RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 7.1

Harjoituskoe

Miksi kuuden tunnin koe kannattaa tehdä kerran kokonaan ennen oikeaa koetta?

Pohjatiedot

Sovella

Kokeen ohjeet

Rakenne

Harjoituskoe on rakennettu kuten fysiikan ylioppilaskoe. Aikaa on kuusi tuntia. Kokeessa on $11$ tehtävää kolmessa osassa, ja vastaat seitsemään:

Osa Mihin vastaat Pisteet
Osa I pakollinen, $10$ lyhyttä kohtaa $20$ p
Osa II $4$ tehtävää seitsemästä $4 \cdot 15$ p
Osa III $2$ aineistotehtävää kolmesta $2 \cdot 20$ p

Kokeen enimmäispistemäärä on $120$ p. Jos vastaat Osassa II tai III useampaan tehtävään kuin ohje sanoo, harjoitusta arvioidessasi lasket mukaan vain ne, jotka valitsit ennen mallivastausten avaamista.

Osan I pisteet

Osan I kymmenen kohtaa ovat kukin $2$ p, yhteensä $20$ p:

  • kohdat 1–4, monivalinnat: $4 \cdot 2$ p $= 8$ p;
  • kohdat 5–7, väite ja perustelu: $3 \cdot 2$ p $= 6$ p;
  • kohdat 8–10, lyhyet laskut: $3 \cdot 2$ p $= 6$ p.

Osat II ja III

Osan II ja III tehtävät ovat sivun lopussa kohdassa Tehtävät, ja niiden otsikossa lukee, kumpaan osaan tehtävä kuuluu. Osan II tehtävät ovat $15$ p ja Osan III aineistotehtävät $20$ p. Kunkin tehtävän kohtien pisteet on merkitty kohtaan. Kirjoita jokaiseen laskuun täydellinen ratkaisu: annetut ja kysytyt suureet, periaate, kaava ratkaistuna, sijoitus yksiköineen, vastaus oikealla tarkkuudella ja järkevyystarkastelu.

Apuvälineet

Käytä samoja apuvälineitä kuin oikeassa kokeessa: laskinta, taulukkolaskentaa, kuvaajaohjelmaa ja kaavaeditoria sekä kokeen taulukoita ja kaavoja. Muistiinpanot, oppikirja, internet ja tämän sivun mallivastaukset ovat kiinni koko kokeen ajan. Oikean kokeen sallitut ohjelmat ja aineistot kerrotaan ylioppilastutkintolautakunnan määräyksissä, joten tarkista ne ennen koetta.

Aikasuunnitelma

Kuudessa tunnissa on $360\,\text{min}$. Jaa aika suunnilleen pisteiden mukaan ja varaa aikaa lopuksi tarkistukseen:

$0\,\text{h}$
$1\,\text{h}$
$2\,\text{h}$
$3\,\text{h}$
$4\,\text{h}$
$5\,\text{h}$
$6\,\text{h}$
$\text{Osa I}$
$\text{Osa II}$
$\text{Osa III}$
$\text{Lue ja valitse}\ 15\,\text{min}$
$50\,\text{min}$
$160\,\text{min}$
$110\,\text{min}$
$\text{Tarkista}\ 25\,\text{min}$
  • Lue ja valitse, $15\,\text{min}$. Lue kaikki tehtävät. Valitse Osasta II ne neljä ja Osasta III ne kaksi, joiden ilmiön tunnistat ja joiden kaikkiin kohtiin osaat aloittaa vastauksen.
  • Osa I, $50\,\text{min}$. Noin viisi minuuttia kohtaa kohti. Jos kohta ei aukea, siirry seuraavaan ja palaa siihen lopuksi.
  • Osa II, $160\,\text{min}$. Noin $40\,\text{min}$ tehtävää kohti.
  • Osa III, $110\,\text{min}$. Noin $55\,\text{min}$ tehtävää kohti. Aineistotehtävässä kuvaajan teko vie aikaa, joten aloita siitä.
  • Tarkista, $25\,\text{min}$. Käy läpi yksiköt, merkitsevät numerot ja se, että jokainen kysymys on vastattu.

Kirjaa kokeen aikana, kuinka kauan kukin tehtävä kesti. Itsearvioinnissa näet, missä aika kului.

Itsearviointi

Arvioi koe vasta, kun kuusi tuntia on kulunut tai olet vastannut kaikkiin valitsemiisi tehtäviin.

Osa I

Sivu tarkistaa Osan I kohdat. Anna itsellesi monivalinnasta ja väitteestä $2$ p, jos ensimmäinen valintasi oli oikein, muuten $0$ p. Oikeassa kokeessa vastausta ei voi muuttaa palautteen nähtyään, joten älä vaihda valintaasi. Lyhyestä laskusta saat $2$ p, jos tulos on oikein ja ratkaisussasi on kaava, sijoitus yksiköineen ja vastaus yksikköineen, ja $1$ p, jos menetelmä on oikein mutta tulos väärin tai yksikkö puuttuu.

Osat II ja III

  1. Avaa tehtävän mallivastaus ja pisteytysohje vasta, kun olet merkinnyt tehtävän tehdyksi.
  2. Käy pisteytysohje läpi kohta kohdalta. Anna kriteerin pisteet vain, jos vastauksessasi on se, mitä kriteeri vaatii. Hyvä aikomus tai oikea luku ilman perustelua ei riitä.
  3. Lue kohta Yleisiä virheitä: jos teit jonkin niistä, tarkista, ettei se tuonut pisteitä. Kohta Hyväksytään myös kertoo, mitkä muut ratkaisut ovat oikein.
  4. Laske kunkin tehtävän pisteet ja koko kokeen pisteet yhteen, enintään $120$ p.

Mitä seuraavaksi

Jokaisessa tehtävässä on luettelo luvuista, joiden taitoja se käyttää. Jos sait tehtävästä alle puolet pisteistä, kertaa nämä luvut ja tee niistä vielä yksi tehtävä. Vertaa myös ajankäyttöäsi suunnitelmaan: jos jokin osa vei paljon enemmän aikaa, harjoittele sen tehtävätyyppiä ennen oikeaa koetta.

Osa I: kymmenen lyhyttä kohtaa (20 p)

Osa I on pakollinen. Siinä on kymmenen kohtaa moduuleista FY1–FY8, kukin $2$ p. Kohdat 1–4 ovat monivalintoja, kohdissa 5–7 valitset, pitääkö väite paikkansa ja millä perusteella, ja kohdat 8–10 ovat lyhyitä laskuja. Kirjoita laskujen ratkaisut vihkoon tai tiedostoon ennen kuin syötät tuloksen. Valitse vastauksesi huolella: Itsearvioinnissa ensimmäinen valintasi ratkaisee pisteet.

Osa I 1. Puhelimen näyttö (2 p)
Puhelimen näytön pituudeksi mitataan viivoittimella $14{,}62\,\text{cm}$ ja leveydeksi mittanauhalla $6{,}8\,\text{cm}$. Miten näytön pinta-ala ilmoitetaan?
Osa I 2. Energian ketju (2 p)
Sähkö tuotetaan lauhdevoimalassa, jonka hyötysuhde on $40\,\%$. Sähkönsiirrossa häviää $5\,\%$ sähköenergiasta, ja LED-lampun hyötysuhde on $30\,\%$. Kuinka suuri osa polttoaineen energiasta muuttuu lampussa valoksi?
Osa I 3. Pallo lakipisteessä (2 p)
Pallo heitetään suoraan ylöspäin. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Mikä väite pallon liikkeestä lakipisteessä on oikein?
Osa I 4. Magneetti kupariputkessa (2 p)
Pieni voimakas magneetti pudotetaan pystysuoraan kupariputkeen. Se putoaa putken läpi paljon hitaammin kuin samankokoinen rautakappale. Mikä selittää ilmiön?
Osa I 5. Väite: kaasupullo lämpenee (2 p)
Väite: ”Kun suljetun teräspullon kaasu lämpenee $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $40\,{}^\circ\text{C}$:een, kaasun paine kaksinkertaistuu.” Valitse oikea arvio ja perustelu.
Osa I 6. Väite: satelliittien nopeudet (2 p)
Väite: ”Matalalla ympyräradalla Maata kiertävä satelliitti liikkuu nopeammin kuin korkealla ympyräradalla kiertävä satelliitti.” Valitse oikea arvio ja perustelu.
Osa I 7. Väite: toinen lamppu rinnalle (2 p)
Lamppu on kytketty pariston napoihin. Väite: ”Kun lampun rinnalle kytketään toinen samanlainen lamppu, ensimmäinen lamppu himmenee selvästi, koska virta jakautuu kahdelle lampulle.” Paristo on uusi, ja sen sisäinen resistanssi on pieni. Valitse oikea arvio ja perustelu.
Osa I 8. Jousen värähtely (2 p)

Jouseen, jonka jousivakio on $40{,}0\,\text{N/m}$, ripustetaan $250\,\text{g}$:n punnus. Punnus pannaan värähtelemään pystysuunnassa. Laske värähtelyn jaksonaika. Jousen massaa ei oteta huomioon.

s
Näytä ratkaisu

Annettu

jousivakio $k = 40{,}0\,\text{N/m}$, massa $m = 250\,\text{g}$

Kysytty

jaksonaika $T$

Periaate

Punnukseen vaikuttava jousivoima on verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta, joten liike on harmonista värähtelyä. Painovoima vain siirtää tasapainoasemaa eikä muuta jaksonaikaa. Jousen massaa ei oteta huomioon.

Kaava

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Muunnokset

$m$$= 250\,\text{g}$
$= 250 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$
$= 0{,}250\,\text{kg}$

Sijoitus

$T$$= 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}250\,\text{kg}}{40{,}0\,\text{N/m}}}$
$= 2\pi \cdot 0{,}07906\,\text{s}$
$= 0{,}4967\,\text{s}$

Vastaus

$T \approx 0{,}497\,\text{s}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten jousivakiossa ja massassa.

Järkevyys

Yksikkö:

$\sqrt{\tfrac{\text{kg}}{\text{N/m}}}$$= \sqrt{\tfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}}$
$= \text{s}$

Noin kaksi värähdystä sekunnissa sopii koulun jousen ja punnuksen liikkeeseen.

Osa I 9. Lämpöpuhallin (2 p)

Lämpöpuhaltimen teho on $1{,}50\,\text{kW}$, kun sen jännite on $230\,\text{V}$. Laske puhaltimen lämmitysvastuksen resistanssi.

Ω
Näytä ratkaisu

Annettu

teho $P = 1{,}50\,\text{kW}$, jännite $U = 230\,\text{V}$

Kysytty

resistanssi $R$

Periaate

Sähköteho on jännitteen ja virran tulo, ja vastuksen virta noudattaa Ohmin lakia. Kun virta eliminoidaan, teho riippuu vain jännitteestä ja resistanssista.

Kaava

$P = UI$ ja $I = \dfrac{U}{R}$, joten $P = \dfrac{U^2}{R}$ eli $R = \dfrac{U^2}{P}$

Muunnokset

$P$$= 1{,}50\,\text{kW}$
$= 1{,}50 \cdot 1000\,\text{W}$
$= 1500\,\text{W}$

Sijoitus

$R$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{1500\,\text{W}}$
$= \dfrac{52\,900\,\text{V}^2}{1500\,\text{W}}$
$= 35{,}27\,\Omega$

Vastaus

$R \approx 35{,}3\,\Omega$

Kolme merkitsevää numeroa kuten tehossa ja jännitteessä.

Järkevyys

Virta on $\tfrac{230\,\text{V}}{35{,}3\,\Omega} = 6{,}5\,\text{A}$ ja $230\,\text{V} \cdot 6{,}5\,\text{A} \approx 1500\,\text{W}$. Virta on tavallisen pistorasian $10$–$16\,\text{A}$:n rajan alapuolella, kuten kodin laitteella kuuluu.

Osa I 10. Violetti laser (2 p)

Blu-ray-soittimen laser lähettää violettia valoa, jonka aallonpituus on $405\,\text{nm}$. Laske yhden fotonin energia elektronivoltteina.

eV
Näytä ratkaisu

Annettu

aallonpituus $\lambda = 405\,\text{nm}$, Planckin vakio $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$

Kysytty

fotonin energia $E$ elektronivoltteina

Periaate

Valo siirtää energiaa kvantteina eli fotoneina. Yhden fotonin energia on verrannollinen valon taajuuteen, ja taajuus saadaan aallonpituudesta, koska valon nopeus on $c = f\lambda$.

Kaava

$E = hf$ ja $f = \dfrac{c}{\lambda}$, joten $E = \dfrac{hc}{\lambda}$

Muunnokset

$\lambda$$= 405\,\text{nm}$
$= 405 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$

$1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

Sijoitus

$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
$= 1{,}986 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$

joten

$E$$= \dfrac{1{,}986 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{405 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$
$= 4{,}905 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

ja elektronivoltteina

$E$$= \dfrac{4{,}905 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J/eV}}$
$= 3{,}062\,\text{eV}$

Vastaus

$E \approx 3{,}06\,\text{eV}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa.

Järkevyys

Näkyvän valon fotonien energia on noin $1{,}6$–$3{,}3\,\text{eV}$, ja violetti on lähellä lyhyiden aallonpituuksien päätä, joten energia on välin yläpäässä. Tarkistus: $\tfrac{1240\,\text{eV}\,\text{nm}}{405\,\text{nm}} = 3{,}06\,\text{eV}$.

Tehtävät

7.1-1 Osa II: Kiuas ja löyly 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Luvut on valittu todenmukaisiksi, mutta ne eivät ole mittaus.

Kesämökin saunassa on sähkökiuas, jonka teho on $6{,}0\,\text{kW}$. Kiukaassa on $25\,\text{kg}$ kiuaskiviä, joiden ominaislämpökapasiteetti on $0{,}80\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$. Kiuas on päällä $50\,\text{min}$ ennen saunomista, ja sinä aikana kivien lämpötila nousee $15\,{}^\circ\text{C}$:sta $280\,{}^\circ\text{C}$:een.

Saunomisen aikana kiukaalle heitetään kymmenen kauhallista eli yhteensä $1{,}2\,\text{l}$ vettä, jonka lämpötila on $18\,{}^\circ\text{C}$. Vesi höyrystyy kokonaan kuumilla kivillä. Oletetaan, että höyry on syntyessään $100\,{}^\circ\text{C}$:sta ja että kaikki höyrystymiseen tarvittava energia tulee kivistä. Veden ominaislämpökapasiteetti on $4{,}19\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$ ja ominaishöyrystymislämpö $2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

  1. a) Kuinka paljon energiaa kiviin varastoituu esilämmityksen aikana? 3 p
  2. b) Kuinka suuri osa kiukaan esilämmityksen aikana käyttämästä sähköenergiasta on lopuksi kivissä? 3 p
  3. c) Naapuri sanoo b-kohdan tuloksen nähtyään: ”Kiukaan hyötysuhde on siis vain noin $30\,\%$, eli se on huono laite.” Arvioi väitettä. 3 p
  4. d) Kuinka paljon energiaa kivistä siirtyy veteen, kun kaikki kymmenen kauhallista höyrystyvät? 3 p
  5. e) Löylyn jälkeen iho tuntuu polttavan, vaikka saunan ilman lämpötila ei juuri nouse. Selitä ilmiö. 3 p

Taidot luvuista: Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Olomuodon muutokset, Hyötysuhde, Sähköenergia kotona

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kivien massa $m_\text{k} = 25\,\text{kg}$, ominaislämpökapasiteetti $c_\text{k} = 0{,}80\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$, lämpötila nousee $15\,{}^\circ\text{C}$:sta $280\,{}^\circ\text{C}$:een

Kysytty

kiviin varastoituva energia $Q_\text{k}$

Periaate

Kivet ovat kiinteitä koko ajan, eikä niiden olomuoto muutu, joten niiden sisäenergian kasvu on lämpömäärä, joka riippuu massasta, ominaislämpökapasiteetista ja lämpötilan muutoksesta.

Kaava

$Q_\text{k} = c_\text{k} m_\text{k} \Delta T$

Muunnokset

$c_\text{k}$$= 0{,}80\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
$= 0{,}80 \cdot 1000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
$= 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

Lämpötilan muutos on sama kelvineinä ja celsiusasteina:

$\Delta T$$= 280\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C}$
$= 265\,\text{K}$

Sijoitus

$Q_\text{k}$$= 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 25\,\text{kg} \cdot 265\,\text{K}$
$= 5\,300\,000\,\text{J}$
$= 5{,}30\,\text{MJ}$

Vastaus

$Q_\text{k} \approx 5{,}3\,\text{MJ}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska ominaislämpökapasiteetti $0{,}80\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$ ja massa $25\,\text{kg}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Karkeasti $25 \cdot 800 \cdot 300\,\text{J} = 6\,\text{MJ}$, joten suuruusluokka on oikea. Energia vastaa noin $1{,}5\,\text{kWh}$:a, eli kiuas tuottaisi sen täydellä teholla noin $15\,\text{min}$:ssa.

b)

Annettu

kiukaan teho $P = 6{,}0\,\text{kW}$, aika $t = 50\,\text{min}$, $Q_\text{k} = 5{,}30\,\text{MJ}$ (a-kohta)

Kysytty

kiviin varastoituneen energian osuus sähköenergiasta

Periaate

Kiuas muuttaa sähköenergiaa sisäenergiaksi teholla $P$, joten sähköenergia on teho kerrottuna ajalla. Osuus on kiviin varastoitunut energia jaettuna kaikella sähköenergialla.

Kaava

$E = Pt$ ja osuus $= \dfrac{Q_\text{k}}{E} = \dfrac{Q_\text{k}}{Pt}$

Muunnokset

$t$$= 50 \cdot 60\,\text{s}$
$= 3000\,\text{s}$
$P$$= 6{,}0 \cdot 1000\,\text{W}$
$= 6000\,\text{W}$

Sijoitus

$E$$= 6000\,\text{W} \cdot 3000\,\text{s}$
$= 18\,000\,000\,\text{J}$
$= 18{,}0\,\text{MJ}$

ja osuus $= \dfrac{5{,}30\,\text{MJ}}{18{,}0\,\text{MJ}} = 0{,}2944$

Vastaus

Noin $29\,\%$ sähköenergiasta on lopuksi kivissä, kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa ja a-kohdan tuloksessa.

Järkevyys

Osuus on alle $100\,\%$, kuten pitää. Sähköenergia $18\,\text{MJ}$ on $\tfrac{18\,\text{MJ}}{3{,}6\,\text{MJ/kWh}} = 5{,}0\,\text{kWh}$, mikä on tavallinen saunan lämmityksen kulutus.

c)

Kysytty

onko kiukaan hyötysuhde vain noin $30\,\%$

Periaate

Hyötysuhde on hyödyksi saatu energia jaettuna käytetyllä energialla. Se riippuu siitä, mikä lasketaan hyödyksi ja mihin systeemin raja vedetään. Sähkövastuksessa käytännössä kaikki sähköenergia muuttuu sisäenergiaksi.

Mallivastaus

Kiuas on sähkövastus, joten käytännössä kaikki sen käyttämä sähköenergia $18\,\text{MJ}$ muuttuu saunan sisäenergiaksi. Noin $29\,\%$ siitä on kivissä, mutta loput lämmittää saunan ilmaa, lauteita ja seiniä, ja vain osa vuotaa seinien ja ilmanvaihdon kautta ulos. Saunan lämmittämisessä myös ilman ja seinien lämpeneminen on hyötyä, joten b-kohdan luku on kivien osuus energiasta, ei kiukaan hyötysuhde. Väite ei pidä paikkaansa: kiukaan hyötysuhde saunan lämmittäjänä on lähes $100\,\%$, ja hukkaa on vain se energia, joka siirtyy saunasta ulos.

d)

Annettu

veden massa $m = 1{,}2\,\text{kg}$ (veden tiheys $1\,\tfrac{\text{kg}}{\text{l}}$), alkulämpötila $18\,{}^\circ\text{C}$, $c_\text{v} = 4{,}19\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$, $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$; höyry syntyy $100\,{}^\circ\text{C}$:sena

Kysytty

kivistä veteen siirtyvä energia $Q$

Periaate

Vesi lämpenee ensin kiehumispisteeseen, jolloin olomuoto ei muutu, ja höyrystyy sitten vakiolämpötilassa. Kumpaankin vaiheeseen tarvittava energia tulee kivistä, joten ne lasketaan yhteen.

Kaava

$Q = c_\text{v} m \Delta T + r m$

Muunnokset

$1{,}2\,\text{l}$ vettä on $1{,}2\,\text{kg}$.

$c_\text{v}$$= 4{,}19 \cdot 1000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
$r$$= 2260 \cdot 1000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$= 2{,}26 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$\Delta T$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 18\,{}^\circ\text{C}$
$= 82\,\text{K}$

Sijoitus

$Q$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 1{,}2\,\text{kg} \cdot 82\,\text{K} + 2{,}26 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 1{,}2\,\text{kg}$
$= 412\,296\,\text{J} + 2\,712\,000\,\text{J}$
$= 3\,124\,296\,\text{J}$

Vastaus

$Q \approx 3{,}1\,\text{MJ}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten veden määrässä $1{,}2\,\text{l}$.

Järkevyys

Höyrystyminen vie lähes $90\,\%$ energiasta, mikä sopii siihen, että höyrystymislämpö on yli viisinkertainen veden lämmittämiseen kiehumispisteeseen verrattuna. Ilman kiukaan lämmitystä kivet jäähtyisivät

$\tfrac{3{,}12\,\text{MJ}}{25\,\text{kg} \cdot 800\,\text{J/(kg K)}}$
$\approx 160\,\text{K}$

kiuas tuottaa saman energian $\tfrac{3{,}12\,\text{MJ}}{6000\,\text{W}} \approx 9\,\text{min}$:ssa, joten kiuas pitää kivet kuumina, kun löylyä heitetään harvakseltaan.

e)

Kysytty

miksi iho tuntuu polttavan löylyn jälkeen, vaikka ilman lämpötila ei juuri nouse

Periaate

Höyry tiivistyy, kun se osuu itseään viileämpään pintaan. Tiivistymisessä vapautuu sama energia, joka höyrystymiseen tarvittiin.

Mallivastaus

Löylyssä syntyvä vesihöyry leviää saunan ilmaan ja osuu ihoon, jonka lämpötila on vain noin $35$–$40\,{}^\circ\text{C}$. Höyry tiivistyy iholla vedeksi, ja jokaista tiivistyvää kilogrammaa kohti vapautuu noin $2{,}3\,\text{MJ}$ energiaa, joka siirtyy ihoon. Iho saa siksi lyhyessä ajassa paljon energiaa, vaikka saunan ilman lämpötila ei juuri muutu. Lisäksi kostea iho ei jäähdy hikoilemalla, koska hiki ei haihdu kosteaan ilmaan yhtä hyvin. Siksi löyly tuntuu polttavalta.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa lämpötilan muutokseksi otetaan loppulämpötila $280\,{}^\circ\text{C}$ tai kelvineinä $553\,\text{K}$, vaikka kaavaan tarvitaan muutos $\Delta T = 265\,\text{K}$.
  • b-kohdassa aika jätetään minuuteiksi, jolloin energiaksi tulee $300\,\text{kJ}$ ja osuudeksi yli $100\,\%$.
  • c-kohdassa hyväksytään väite, koska ”loppu energiasta menee hukkaan”, vaikka ilma ja seinät lämpenevät myös.
  • d-kohdassa unohdetaan veden lämpeneminen kiehumispisteeseen tai höyrystyminen; pelkkä lämpeneminen antaa vain $0{,}41\,\text{MJ}$.
  • e-kohdassa selitetään, että höyry on ”kuumempaa kuin ilma”, mainitsematta tiivistymistä ja siinä vapautuvaa energiaa.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa vastaus, jonka mukaan hyötysuhde riippuu siitä, mikä määritellään hyödyksi, ja kivien varastoiman energian osuus on eri asia kuin kiukaan hyötysuhde.
  • d-kohdassa vastaus $3{,}12\,\text{MJ}$, kun tarkkuus perustellaan veden lämpökapasiteetilla; täysi tarkkuuspiste vaatii perustelun.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Q = cm\Delta T$; olomuoto ei muutu. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $Q \approx 5{,}3\,\text{MJ}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten ominaislämpökapasiteetissa. 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E = Pt$ ja osuus $\tfrac{Q}{E}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t = 50 \cdot 60\,\text{s}$; $E = 18\,\text{MJ} = 5{,}0\,\text{kWh}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Osuus noin $29\,\%$. 1 p

c)3 p

Sähkövastuksessa käytännössä kaikki sähköenergia muuttuu sisäenergiaksi; kivien lisäksi lämpenevät ilma, lauteet ja seinät. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Hyötysuhde riippuu siitä, mikä lasketaan hyödyksi: saunan lämmittämisessä hyötyä on myös ilman ja seinien lämpeneminen. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite ei pidä: $29\,\%$ on kiviin varastoitunut osuus, ei kiukaan hyötysuhde. Hukkaa on vain se, mikä vuotaa ulos seinien ja ilmanvaihdon kautta. 1 p

d)3 p

Energia kattaa sekä veden lämpenemisen $100\,{}^\circ\text{C}$:een että höyrystymisen: $Q = cm\Delta T + rm$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $1{,}2\,\text{l}$ vettä on $1{,}2\,\text{kg}$; $Q \approx 3{,}1\,\text{MJ}$. 1 p

e)3 p

Höyry tiivistyy vedeksi viileämmälle iholle, jonka lämpötila on noin $35$–$40\,{}^\circ\text{C}$. 1 p
Tiivistymisessä vapautuu höyrystymislämmön suuruinen energia, joka siirtyy ihoon. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Iho saa paljon energiaa lyhyessä ajassa, vaikka ilman lämpötila ei juuri muutu, joten se tuntuu polttavan. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-2 Osa II: Laatikko peräkärryssä 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Luvut on valittu todenmukaisiksi, mutta ne eivät ole mittaus.

Henkilöauto vetää peräkärryä maantiellä nopeudella $80\,\text{km/h}$. Peräkärryn vaakasuoralla lavalla on puinen työkalulaatikko, jota ei ole sidottu kiinni. Laatikon ja lavan välinen lepokitkakerroin on $0{,}45$. Kuljettaja joutuu jarruttamaan tasaisesti pysähdyksiin. Ilmanvastusta ei huomioida laatikon liikkeessä.

  1. a) Piirrä laatikon voimakuvio jarrutuksen aikana, kun laatikko pysyy paikallaan lavan suhteen. Nimeä voimat ja perustele niiden suunnat. 4 p
  2. b) Kuinka suuri hidastuvuus kärryllä saa enintään olla, jotta laatikko ei ala liukua lavalla? 3 p
  3. c) Kuinka pitkä jarrutusmatka on vähintään, jotta laatikko pysyy paikallaan koko jarrutuksen ajan? 4 p
  4. d) Kuljettaja ehdottaa, että laatikkoon lastataan lisää työkaluja, jotta se olisi raskaampi ja pysyisi paremmin paikallaan. Arvioi ehdotusta fysiikan perusteella. 4 p

Taidot luvuista: Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus, Paino, kitka ja kalteva taso, Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Newtonin toinen laki

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

laatikon voimakuvio jarrutuksen aikana, kun laatikko pysyy paikallaan lavan suhteen

Periaate

Voimakuvioon piirretään vain laatikkoon kohdistuvat vuorovaikutukset: Maa (paino), lava (tukivoima ja kitka). Laatikko hidastuu yhdessä kärryn kanssa, joten sen kiihtyvyys osoittaa taaksepäin, ja Newtonin II lain mukaan kokonaisvoiman on osoitettava samaan suuntaan.

Mallivastaus

Laatikkoon vaikuttavat paino $\overline{G}$ alas, lavan tukivoima $\overline{N}$ ylös ja lavan lepokitka $\overline{F}_{\mu 0}$ vaakasuoraan taaksepäin, eli auton kulkusuuntaa vastaan. Pystysuunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N = G$. Ainoa vaakasuora voima on lepokitka, ja sen täytyy osoittaa taaksepäin, koska se hidastaa laatikkoa yhtä paljon kuin jarrut hidastavat kärryä. Eteenpäin osoittavaa ”liikkeen voimaa” ei ole: laatikko jatkaisi liikettään eteenpäin, jos kitkaa ei olisi.

$\overline{G}$
$\overline{N}$
$\overline{F}_{\mu 0}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$

b)

Annettu

lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}45$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

suurin hidastuvuus $a_\text{max}$, jolla laatikko ei liu'u

Periaate

Laatikko pysyy lavan suhteen paikallaan, jos sillä on sama hidastuvuus kuin kärryllä. Sen antaa ainoa vaakasuora voima, lepokitka. Lepokitka voi olla enintään $\mu_0 N$, ja vaakasuoralla lavalla $N = mg$.

Kaava

$F_{\mu 0} = ma$ ja $F_{\mu 0} \le \mu_0 N = \mu_0 mg$, joten $ma \le \mu_0 mg$ eli $a_\text{max} = \mu_0 g$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$a_\text{max}$$= 0{,}45 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 4{,}4145\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a_\text{max} \approx 4{,}4\,\text{m/s}^2$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa.

Järkevyys

Hidastuvuus on vajaa puolet putoamiskiihtyvyydestä, mikä on rauhallinen jarrutus. Hätäjarrutuksessa kuivalla asfaltilla hidastuvuus on noin $7$–$9\,\text{m/s}^2$, joten laatikko liukuisi silloin.

c)

Annettu

alkunopeus $v_0 = 80\,\text{km/h}$, loppunopeus $0$, hidastuvuus enintään $a_\text{max} = 4{,}4145\,\text{m/s}^2$ (b-kohta)

Kysytty

lyhin jarrutusmatka $s$

Periaate

Jarrutus on tasaisesti hidastuvaa liikettä. Mitä pienempi hidastuvuus, sitä pidempi matka, joten lyhin sallittu matka saadaan suurimmalla sallitulla hidastuvuudella.

Kaava

$v^2 = v_0^2 - 2as$ ja $v = 0$, joten $s = \dfrac{v_0^2}{2a_\text{max}}$

Muunnokset

$v_0$$= 80\,\text{km/h}$
$= \dfrac{80 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 22{,}22\,\text{m/s}$

Sijoitus

$s$$= \dfrac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 4{,}4145\,\text{m/s}^2}$
$= \dfrac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{8{,}829\,\text{m/s}^2}$
$= 55{,}93\,\text{m}$

Vastaus

$s \approx 56\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa ja nopeudessa.

Järkevyys

Jarrutus kestää $\tfrac{22{,}2\,\text{m/s}}{4{,}41\,\text{m/s}^2} \approx 5{,}0\,\text{s}$, ja keskinopeudella $11{,}1\,\text{m/s}$ se vastaa $56\,\text{m}$:ä. Hätäjarrutuksessa hidastuvuudella $7\,\text{m/s}^2$ matka olisi vain noin $35\,\text{m}$.

d)

Kysytty

auttaako laatikon massan kasvattaminen pitämään laatikon paikallaan

Periaate

Suurin lepokitka on $\mu_0 N = \mu_0 mg$, ja laatikon hidastamiseen tarvitaan voima $ma$. Molemmat ovat verrannollisia massaan.

Mallivastaus

Raskaampi laatikko painaa lavaa enemmän, joten suurin mahdollinen lepokitka $\mu_0 mg$ kasvaa. Raskaamman laatikon hidastamiseen tarvitaan kuitenkin myös suurempi voima $ma$, ja se kasvaa samassa suhteessa. Massa supistuu ehdosta $ma \le \mu_0 mg$, joten suurin sallittu hidastuvuus $a_\text{max} = \mu_0 g$ ei riipu massasta. Ehdotus ei siis auta. Toimivia keinoja ovat laatikon sitominen lavaan liinoilla tai kitkakertoimen suurentaminen esimerkiksi kumisella liukuesteellä laatikon alla.

Yleisiä virheitä

  • Voimakuvioon piirretään eteenpäin osoittava voima, joka ”vie laatikkoa eteenpäin”, tai kitka piirretään eteenpäin.
  • b-kohdassa massa yritetään laskea tai arvata, vaikka se supistuu yhtälöstä.
  • c-kohdassa nopeus jätetään yksikköön $\text{km/h}$, jolloin matkaksi tulee $725$ ilman järkevää yksikköä.
  • c-kohdassa käytetään kaavaa $s = \tfrac{1}{2}at^2$ ilman, että aika on laskettu.
  • d-kohdassa todetaan vain, että ”raskas pysyy paremmin”, perustelematta voimien suhdetta.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa voimakuvio, jossa kiihtyvyysnuoli puuttuu, kun teksti kertoo kiihtyvyyden suunnan.
  • c-kohdassa ratkaisu ajan kautta: $t = \tfrac{v_0}{a}$ ja $s = v_0 t - \tfrac{1}{2}at^2$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Kappale on valittu selvästi, ja kuvioon on piirretty vain siihen kohdistuvat voimat. Kappale on laatikko, ja voimat piirretään siihen. 1 p
Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Paino $\overline{G}$, tukivoima $\overline{N}$ ja lepokitka $\overline{F}_{\mu 0}$; ei ”liikkeen voimaa” eteenpäin. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Lepokitka osoittaa taaksepäin, koska laatikko hidastuu yhdessä kärryn kanssa. 1 p
Voimanuolet lähtevät kappaleesta järkevästä kohdasta, ja jokaisella voimalla on oma yksiselitteinen nimi. Paino ja tukivoima yhtä pitkät; kiihtyvyys taaksepäin merkitty erikseen. 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $F_{\mu 0} = ma$ ja $F_{\mu 0} \le \mu_0 N = \mu_0 mg$, joten $a_\text{max} = \mu_0 g$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $a_\text{max} \approx 4{,}4\,\text{m/s}^2$. 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Tasaisesti hidastuva liike: $v_0^2 = 2as$, joten $s = \dfrac{v_0^2}{2a}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $80\,\text{km/h} = \tfrac{80}{3{,}6}\,\text{m/s} = 22{,}2\,\text{m/s}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Noin $56\,\text{m}$; kuiva asfaltti sallisi autolle selvästi lyhyemmän jarrutusmatkan. 1 p

d)4 p

Suurin lepokitka $\mu_0 mg$ kasvaa massan mukana, mutta myös hidastamiseen tarvittava voima $ma$ kasvaa samassa suhteessa. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Massa supistuu: $a_\text{max} = \mu_0 g$ ei riipu massasta, joten lisäpaino ei auta. 1 p
Ehdottaa toimivan keinon: laatikko sidotaan kiinni tai lavalle laitetaan liukueste, joka suurentaa kitkakerrointa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-3 Osa II: Urut kylmässä kirkossa 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Äänen nopeudet ovat taulukkoarvoja kuivalle ilmalle; muut luvut on valittu todenmukaisiksi.

Kirkon urkujen yksi pilli on metalliputki, jonka molemmat päät ovat avoimet. Pillin soiva pituus on $1{,}31\,\text{m}$. Talvella kirkkoa lämmitetään vain tilaisuuksien ajaksi, ja arkisin sisälämpötila on $8\,{}^\circ\text{C}$. Urkuri huomaa, että silloin urut soivat matalammalta kuin lämpimässä kirkossa.

Ilman lämpötila Äänen nopeus ilmassa
$0\,{}^\circ\text{C}$ $331{,}3\,\text{m/s}$
$8\,{}^\circ\text{C}$ $336{,}1\,\text{m/s}$
$20\,{}^\circ\text{C}$ $343{,}2\,\text{m/s}$

Pillin metallin pituuden lämpötilakerroin on $2{,}3 \cdot 10^{-5}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Pillin päiden vaikutusta seisovan aallon pituuteen ei huomioida.

  1. a) Mikä on pillin perustaajuus, kun kirkon ilman lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$? 3 p
  2. b) Mikä on perustaajuus kirkon lämpötilassa $8\,{}^\circ\text{C}$, ja kuinka monta prosenttia se on muuttunut? 4 p
  3. c) Kuinka paljon pillin pituus muuttuu, kun kirkko jäähtyy $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $8\,{}^\circ\text{C}$:een? Vertaa tämän muutoksen vaikutusta taajuuteen b-kohdan muutokseen. 4 p
  4. d) Urkurakentaja sulkee toisen samanpituisen pillin yläpään tulpalla. Miten tulpatun pillin sävel eroaa avoimen pillin sävelestä? Perustele seisovan aallon avulla. 4 p

Taidot luvuista: Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet, Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö, Lämpölaajeneminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

avoimen pillin pituus $L = 1{,}31\,\text{m}$, äänen nopeus $20\,{}^\circ\text{C}$:ssa $v = 343{,}2\,\text{m/s}$

Kysytty

perustaajuus $f_1$

Periaate

Pillissä syntyy ilmapatsaan seisova aalto. Avoimen putken molemmissa päissä on siirtymän kupu, ja perusvärähtelyssä niiden välissä on yksi solmu, joten putken pituus on puoli aallonpituutta. Taajuus saadaan aallon perusyhtälöstä $v = f\lambda$.

Kaava

$\lambda_1$$= 2L$
$f_1$$= \dfrac{v}{\lambda_1}$
$= \dfrac{v}{2L}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$f_1$$= \dfrac{343{,}2\,\text{m/s}}{2 \cdot 1{,}31\,\text{m}}$
$= 130{,}99\,\text{Hz}$

Vastaus

$f_1 \approx 131\,\text{Hz}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten pillin pituudessa.

Järkevyys

Ihminen kuulee noin $20\,\text{Hz}$:stä $20\,\text{kHz}$:iin, ja $131\,\text{Hz}$ on matala sävel, kuten metrin mittaisesta pillistä voi odottaa.

b)

Annettu

$L = 1{,}31\,\text{m}$, äänen nopeus $8\,{}^\circ\text{C}$:ssa $v' = 336{,}1\,\text{m/s}$, $f_1 = 130{,}99\,\text{Hz}$ (a-kohta)

Kysytty

perustaajuus $f_1'$ kylmässä kirkossa ja sen suhteellinen muutos

Periaate

Pillin pituus muuttuu niin vähän, että seisovan aallon aallonpituus pysyy samana (tämä tarkistetaan c-kohdassa). Taajuus on siksi verrannollinen äänen nopeuteen, joka pienenee ilman jäähtyessä.

Kaava

$f_1' = \dfrac{v'}{2L}$ ja suhteellinen muutos $\dfrac{f_1' - f_1}{f_1}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$f_1'$
$= \dfrac{336{,}1\,\text{m/s}}{2 \cdot 1{,}31\,\text{m}}$
$= 128{,}28\,\text{Hz}$
$\dfrac{128{,}28\,\text{Hz} - 130{,}99\,\text{Hz}}{130{,}99\,\text{Hz}}$
$= -0{,}0207$

Vastaus

$f_1' \approx 128\,\text{Hz}$

Ja taajuus pienenee noin $2{,}1\,\%$. Kolme merkitsevää numeroa kuten pituudessa.

Järkevyys

Muutos on sama kuin äänen nopeuden suhteellinen muutos $\tfrac{336{,}1 - 343{,}2}{343{,}2} = -2{,}1\,\%$. Se on kuultava ero, sillä puolisävelaskel on noin $6\,\%$.

c)

Annettu

$L_0 = 1{,}31\,\text{m}$, pituuden lämpötilakerroin $\alpha = 2{,}3 \cdot 10^{-5}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, lämpötila laskee $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $8\,{}^\circ\text{C}$:een

Kysytty

pillin pituuden muutos $\Delta L$ ja sen vaikutus taajuuteen verrattuna b-kohtaan

Periaate

Kiinteä metalli lyhenee jäähtyessään, ja pituuden muutos on verrannollinen alkuperäiseen pituuteen ja lämpötilan muutokseen. Perustaajuus on kääntäen verrannollinen pituuteen, joten lyhenevä pilli nostaa taajuutta samalla suhteellisella määrällä.

Kaava

$\Delta L$$= \alpha L_0 \Delta T$
$\dfrac{\Delta f}{f}$$\approx -\dfrac{\Delta L}{L_0}$

Muunnokset

$\Delta T$$= 8\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$
$= -12\,\text{K}$

ja lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

Sijoitus

$\Delta L$$= 2{,}3 \cdot 10^{-5}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1{,}31\,\text{m} \cdot (-12\,\text{K})$
$= -3{,}62 \cdot 10^{-4}\,\text{m}$
$= -0{,}362\,\text{mm}$
$\dfrac{\Delta L}{L_0}$$= \dfrac{-3{,}62 \cdot 10^{-4}\,\text{m}}{1{,}31\,\text{m}}$
$= -2{,}8 \cdot 10^{-4}$
$= -0{,}028\,\%$

Vastaus

Pilli lyhenee noin $0{,}36\,\text{mm}$ (kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpötilakertoimessa). Se nostaisi taajuutta vain noin $0{,}03\,\%$, kun ilman jäähtyminen laskee sitä noin $2{,}1\,\%$, eli noin $75$ kertaa enemmän. Urkujen madaltuminen johtuu siis ilmasta, ei metallin kutistumisesta.

Järkevyys

Metallien lämpölaajeneminen on arkikokemuksen mukaan pieni: metrin mittainen tanko muuttuu kymmenen asteen muutoksessa vain kymmenesosamillimetrejä.

d)

Kysytty

miten tulpatun pillin sävel eroaa avoimen pillin sävelestä

Periaate

Seisovan aallon solmut ja kuvut määräytyvät putken päistä: suljetussa päässä ilma ei pääse liikkumaan, joten siellä on solmu, ja avoimessa päässä on kupu.

Mallivastaus

Tulpatun pillin suljetussa päässä on solmu ja avoimessa kupu, joten perusvärähtelyssä pillin pituus on vain neljäsosa aallonpituudesta: $\lambda_1 = 4L$. Perustaajuus on $f_1 = \tfrac{v}{4L} = \tfrac{343{,}2\,\text{m/s}}{4 \cdot 1{,}31\,\text{m}} \approx 65{,}5\,\text{Hz}$ eli puolet avoimen pillin perustaajuudesta, joten sävel on oktaavin matalampi. Lisäksi tulpatussa pillissä voi syntyä vain perustaajuuden parittomia kerrannaisia $3f_1, 5f_1, \ldots$ ($197\,\text{Hz}$, $328\,\text{Hz}$, …), koska suljetussa päässä on aina oltava solmu. Avoimessa pillissä syntyvät kaikki kerrannaiset. Siksi tulpatun pillin sointiväri on erilainen, pehmeämpi ja ontomman kuuloinen.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa avoimelle putkelle käytetään neljäsosa-aallonpituutta, jolloin taajuudeksi tulee $65{,}5\,\text{Hz}$.
  • b-kohdassa oletetaan, että äänen nopeus ei riipu lämpötilasta, tai lasketaan uusi taajuus lämpölaajenemisen kautta.
  • c-kohdassa lämpötilan muutos muunnetaan kelvineiksi lisäämällä $273$, jolloin muutos ($261\,\text{K}$ eikä $12\,\text{K}$) ja tulos tulevat noin $20$-kertaisiksi.
  • c-kohdassa unohdetaan, että lyhenevä pilli nostaa taajuutta eikä laske sitä.
  • d-kohdassa todetaan vain ”sävel madaltuu”, kertomatta kuinka paljon ja miksi.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa suhteellinen muutos suoraan äänen nopeuksien suhteesta $\tfrac{336{,}1}{343{,}2} = 0{,}979$.
  • d-kohdassa piirros, jossa näkyvät solmut ja kuvut, sanallisen perustelun sijaan.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Avoimen putken molemmissa päissä on kupu, joten perusvärähtelyssä pillin pituus on puoli aallonpituutta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $f_1 = \dfrac{v}{2L}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $f_1 \approx 131\,\text{Hz}$. 1 p

b)4 p

Pillin pituus pysyy (lähes) samana, joten taajuus muuttuu samassa suhteessa kuin äänen nopeus. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $f_1 \approx 128\,\text{Hz}$; muutos noin $-2{,}1\,\%$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $|\Delta L| \approx 0{,}36\,\text{mm}$, suhteellisesti $0{,}028\,\%$. 1 p
Lyhenevä pilli nostaisi taajuutta vain noin $0{,}03\,\%$, kun ilman jäähtyminen laskee sitä noin $2\,\%$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Urkujen madaltuminen johtuu ilmasta, ei metallin kutistumisesta. 1 p

d)4 p

Suljetussa päässä on solmu ja avoimessa kupu, joten perusvärähtelyssä pituus on neljäsosa aallonpituudesta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $f_1 = \dfrac{v}{4L} \approx 65{,}5\,\text{Hz}$ eli puolet avoimen pillin taajuudesta: sävel on oktaavin matalampi. 1 p
Tulpatussa pillissä syntyvät vain parittomat kerrannaiset $3f_1, 5f_1, \ldots$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Siksi myös sointiväri on erilainen kuin avoimessa pillissä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-4 Osa II: Jatkojohto kelalla 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Luvut on valittu todenmukaisiksi, mutta ne eivät ole mittaus.

Kesäjuhlissa pihan grillikatokseen viedään sähköt $25{,}0\,\text{m}$:n jatkojohdolla, jonka johtimet ovat kuparia ja poikkipinta-alaltaan $1{,}5\,\text{mm}^2$. Virta kulkee laitteelle toista johdinta pitkin ja palaa toista pitkin. Johtoon kytketään sähkögrilli ($1{,}6\,\text{kW}$) ja vedenkeitin ($1{,}8\,\text{kW}$), joiden tehot on ilmoitettu jännitteellä $230\,\text{V}$. Pistorasian jännite on $230\,\text{V}$.

Kuparin resistiivisyys on $1{,}68 \cdot 10^{-8}\,\Omega \cdot \text{m}$. Laske verkkojännitteen ja virran tehollisarvoilla kuten tasavirralla, ja oleta, että laitteiden resistanssit eivät muutu.

  1. a) Kuinka suuri on jatkojohdon resistanssi? 3 p
  2. b) Kuinka suuri virta johdossa kulkee, kun molemmat laitteet ovat päällä? 3 p
  3. c) Kuinka suuri teho muuttuu jatkojohdossa lämmöksi? 3 p
  4. d) Kuinka suuri lämmöksi muuttuva teho olisi, jos jatkojohdon johtimien poikkipinta-ala olisi $2{,}5\,\text{mm}^2$? 3 p
  5. e) Jatkojohtoa ei kelattu auki kelalta, ja juhlien aikana kela lämpeni selvästi. Selitä, miksi kelalla oleva johto lämpenee enemmän kuin auki levitetty, ja miksi se on vaarallista. 3 p

Taidot luvuista: Resistanssi ja Ohmin laki, Vastusten sarja- ja rinnankytkennät, Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen, Sähköturvallisuus kotona ja työssä

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

johdon pituus $l = 25{,}0\,\text{m}$, kaksi johdinta, poikkipinta-ala $A = 1{,}5\,\text{mm}^2$, resistiivisyys $\rho = 1{,}68 \cdot 10^{-8}\,\Omega \cdot \text{m}$

Kysytty

jatkojohdon resistanssi $R_\text{j}$

Periaate

Johtimen resistanssi on verrannollinen sen pituuteen ja kääntäen verrannollinen poikkipinta-alaan. Virta kulkee laitteelle yhtä johdinta ja palaa toista pitkin, joten virran kulkema johdin on kaksi kertaa johdon pituus.

Kaava

$R_\text{j} = \rho \dfrac{2l}{A}$

Muunnokset

$A$$= 1{,}5\,\text{mm}^2$
$= 1{,}5 \cdot (10^{-3}\,\text{m})^2$
$= 1{,}5 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2$
$2l$$= 2 \cdot 25{,}0\,\text{m}$
$= 50{,}0\,\text{m}$

Sijoitus

$R_\text{j}$$= 1{,}68 \cdot 10^{-8}\,\Omega \cdot \text{m} \cdot \dfrac{50{,}0\,\text{m}}{1{,}5 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2}$
$= 0{,}560\,\Omega$

Vastaus

$R_\text{j} \approx 0{,}56\,\Omega$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten poikkipinta-alassa.

Järkevyys

Resistanssi on pieni verrattuna laitteiden resistansseihin (kymmeniä ohmeja), kuten johdolta odotetaan, mutta ei nolla.

b)

Annettu

$U = 230\,\text{V}$, grilli $P_1 = 1{,}6\,\text{kW}$ ja keitin $P_2 = 1{,}8\,\text{kW}$ jännitteellä $230\,\text{V}$, $R_\text{j} = 0{,}560\,\Omega$ (a-kohta)

Kysytty

johdon virta $I$

Periaate

Laitteet ovat rinnan johdon päässä, ja niiden yhteinen resistanssi on sarjassa johdon resistanssin kanssa. Laitteiden resistanssit saadaan niiden nimellistehoista, koska ne oletetaan vakioiksi. Virta saadaan Ohmin laista koko piirille.

Kaava

$R$$= \dfrac{U^2}{P}$
$\dfrac{1}{R_\text{l}}$$= \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$
$= \dfrac{P_1 + P_2}{U^2}$

joten

$R_\text{l}$$= \dfrac{U^2}{P_1 + P_2}$
$I$$= \dfrac{U}{R_\text{j} + R_\text{l}}$

Muunnokset

$P_1 + P_2$$= 1{,}6\,\text{kW} + 1{,}8\,\text{kW}$
$= 3{,}4 \cdot 1000\,\text{W}$
$= 3400\,\text{W}$

Sijoitus

$R_\text{l}$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{3400\,\text{W}}$
$= 15{,}56\,\Omega$
$I$$= \dfrac{230\,\text{V}}{0{,}560\,\Omega + 15{,}56\,\Omega}$
$= \dfrac{230\,\text{V}}{16{,}12\,\Omega}$
$= 14{,}27\,\text{A}$

Vastaus

$I \approx 14\,\text{A}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten tehoissa ja poikkipinta-alassa.

Järkevyys

Ilman johtoa virta olisi $\tfrac{3400\,\text{W}}{230\,\text{V}} = 14{,}8\,\text{A}$; johto pienentää sitä vähän, kuten pitää. Virta on alle tavallisen $16\,\text{A}$:n sulakkeen rajan.

c)

Annettu

$R_\text{j} = 0{,}560\,\Omega$, $I = 14{,}27\,\text{A}$ (a- ja b-kohdat)

Kysytty

johdossa lämmöksi muuttuva teho $P_\text{j}$

Periaate

Johdon resistanssin läpi kulkeva virta muuttaa sähköenergiaa johtimen sisäenergiaksi. Johdon teho saadaan sen omasta resistanssista ja sen läpi kulkevasta virrasta.

Kaava

$P_\text{j}$$= U_\text{j} I$
$= R_\text{j} I^2$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$P_\text{j}$$= 0{,}560\,\Omega \cdot (14{,}27\,\text{A})^2$
$= 114{,}0\,\text{W}$

Vastaus

$P_\text{j} \approx 1{,}1 \cdot 10^2\,\text{W}$

Eli noin $110\,\text{W}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten a- ja b-kohdissa.

Järkevyys

Jännite laskee johdossa $0{,}560\,\Omega \cdot 14{,}27\,\text{A} = 8{,}0\,\text{V}$, joten laitteille jää $222\,\text{V}$. Johdon teho on noin $3\,\%$ laitteiden tehosta, mutta se jakautuu koko johdolle ja lämmittää sitä selvästi.

d)

Annettu

poikkipinta-ala $A' = 2{,}5\,\text{mm}^2$, muuten kuten edellä; $R_\text{l} = 15{,}56\,\Omega$

Kysytty

johdon lämpöteho $P_\text{j}'$

Periaate

Resistanssi on kääntäen verrannollinen poikkipinta-alaan, joten paksumman johdon resistanssi on pienempi. Virta lasketaan uudelleen samalla tavalla kuin b-kohdassa.

Kaava

$R_\text{j}'$$= R_\text{j} \dfrac{A}{A'}$
$I'$$= \dfrac{U}{R_\text{j}' + R_\text{l}}$

$P_\text{j}' = R_\text{j}' I'^2$

Muunnokset

Ei tarvita: pinta-alojen suhde on sama neliömillimetreinä.

Sijoitus

$R_\text{j}'$$= 0{,}560\,\Omega \cdot \dfrac{1{,}5\,\text{mm}^2}{2{,}5\,\text{mm}^2}$
$= 0{,}336\,\Omega$
$I'$$= \dfrac{230\,\text{V}}{0{,}336\,\Omega + 15{,}56\,\Omega}$
$= 14{,}47\,\text{A}$
$P_\text{j}'$$= 0{,}336\,\Omega \cdot (14{,}47\,\text{A})^2$
$= 70{,}35\,\text{W}$

Vastaus

$P_\text{j}' \approx 70\,\text{W}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten poikkipinta-alassa. Lämpöteho pienenee noin $40\,\%$.

Järkevyys

Virta on lähes sama, joten lämpöteho pienenee lähes samassa suhteessa kuin resistanssi, $\tfrac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}60$. Siksi suurille kuormille käytetään paksumpia johtoja.

e)

Kysytty

miksi kelalla oleva johto lämpenee enemmän ja miksi se on vaarallista

Periaate

Johdon lämpötila nousee, kunnes siitä siirtyy ympäristöön yhtä suuri teho kuin siinä syntyy. Lämmön siirtyminen riippuu siitä, kuinka suuri pinta on vapaasti ilman kosketuksessa.

Mallivastaus

Johdossa syntyy sama lämpöteho, noin $110\,\text{W}$, oli se kelalla tai auki. Auki levitetty johto luovuttaa lämpöä koko pinnaltaan ilmaan, joten se lämpenee vain vähän. Kelalla kierrokset ovat tiiviisti toistensa päällä: ne lämmittävät toisiaan, ja vain kelan ulkopinta luovuttaa lämpöä ilmaan. Lämpötila nousee siksi paljon korkeammaksi ennen kuin luovutettu teho on yhtä suuri kuin syntyvä teho. Kuparin resistanssi kasvaa lämpötilan noustessa, mikä lisää lämpenemistä hieman. Kuuma eristys voi pehmetä ja sulaa, jolloin syntyy oikosulku tai tulipalo. Siksi jatkojohto kelataan kokonaan auki, kun siihen kytketään suuri kuorma.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa käytetään vain yhden johtimen pituutta $25{,}0\,\text{m}$, jolloin resistanssi tulee puoleen.
  • a-kohdassa neliömillimetrit muunnetaan kertoimella $10^{-3}$ eikä $10^{-6}$.
  • b-kohdassa laitteiden resistanssit lasketaan yhteen kuin sarjaankytkennässä.
  • c-kohdassa johdon teho lasketaan koko verkkojännitteellä, $P = \tfrac{U^2}{R_\text{j}}$, jolloin tulos on kymmeniä kilowatteja.
  • e-kohdassa selitetään, että kelalla ”virta kulkee pidemmän matkan”, vaikka johdon pituus ei muutu.

Hyväksytään myös

  • b- ja c-kohdissa likimääräinen ratkaisu, jossa virta lasketaan nimellistehoista $I \approx \tfrac{P_1 + P_2}{U} = 14{,}8\,\text{A}$ ja johdon tehoksi saadaan noin $120\,\text{W}$, kun oletus kerrotaan.
  • d-kohdassa vastaus pelkän resistanssin suhteen kautta: $0{,}60 \cdot 114\,\text{W} \approx 68\,\text{W}$, kun perustellaan, että virta muuttuu vähän.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Virta kulkee kahden johtimen kautta, joten johtimen kokonaispituus on $50{,}0\,\text{m}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $R = \rho \dfrac{l}{A}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $1{,}5\,\text{mm}^2 = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2$; $R \approx 0{,}56\,\Omega$. 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Laitteiden resistanssit $R = \tfrac{U^2}{P}$, rinnankytkentä ja sarjaan johdon resistanssi. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $I \approx 14\,\text{A}$. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P = RI^2$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 110\,\text{W}$. 1 p

d)3 p

Resistanssi on kääntäen verrannollinen poikkipinta-alaan: $R \approx 0{,}34\,\Omega$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 70\,\text{W}$. 1 p

e)3 p

Lämpöteho on sama, mutta kelalla johdon kierrokset lämmittävät toisiaan eikä lämpö pääse siirtymään ympäristöön. 1 p
Lämpötila nousee, kunnes lämpöä siirtyy pois yhtä paljon kuin syntyy; kuparin resistanssi kasvaa lämmetessä. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Eristys voi sulaa ja aiheuttaa oikosulun tai tulipalon, joten kela kelataan auki ennen suurta kuormaa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-5 Osa II: Valo uima-altaan pohjassa 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Luvut on valittu todenmukaisiksi, mutta ne eivät ole mittaus.

Uimahallin hyppyaltaan pohjassa on valaisin, jonka pyöreän lasi-ikkunan halkaisija on $25{,}0\,\text{cm}$. Ikkunan keskikohta on $2{,}40\,\text{m}$:n syvyydellä. Valaisimen sisällä on ilmaa normaalissa ilmanpaineessa. Kun hallin valot sammutetaan illalla, vedenpinnalla näkyy valaisimen yläpuolella kirkas pyöreä alue, jonka ulkopuolella pinta on tumma. Veden taitekerroin on $1{,}33$ ja tiheys $1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, ja veden pinta on tyyni.

  1. a) Mikä on veden ja ilman rajapinnan rajakulma? 3 p
  2. b) Kuinka suuri on vedenpinnan kirkkaan alueen säde? Käsittele valaisinta pistemäisenä. 4 p
  3. c) Valaisimen vieressä altaan pohjalla oleva sukeltaja katsoo vedenpintaa kirkkaan alueen ulkopuolella. Mitä hän näkee, ja miksi? 3 p
  4. d) Kuinka paljon suuremman voiman altaan vesi ja ilmanpaine yhdessä kohdistavat ikkunaan kuin valaisimen sisällä oleva ilma? 3 p
  5. e) Altaan reunalta katsottuna valaisin näyttää olevan lähempänä pintaa kuin $2{,}40\,\text{m}$:n syvyydessä. Selitä, miksi. 2 p

Taidot luvuista: Valon heijastuminen ja taittuminen, Kokonaisheijastuminen ja valokuitu, Paine ja hydrostaattinen paine

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

veden taitekerroin $n_1 = 1{,}33$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$

Kysytty

rajakulma $\alpha_\text{r}$

Periaate

Kun valo kulkee vedestä ilmaan, se taittuu poispäin pinnan normaalista. Rajakulmassa taitekulma on $90^\circ$: säde kulkee pintaa pitkin. Snellin laki pätee rajakulmaankin.

Kaava

$n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$, joten

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{1{,}00}{1{,}33}$
$= 0{,}7519$

joten $\alpha_\text{r} = 48{,}75^\circ$

Vastaus

$\alpha_\text{r} \approx 48{,}8^\circ$

Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimessa.

Järkevyys

Rajakulma on alle $90^\circ$ ja sitä suurempi, mitä lähempänä toisiaan taitekertoimet ovat. Veden ja ilman taitekertoimet eroavat vähemmän kuin lasin ja ilman, joten veden rajakulma on suurempi kuin lasin noin $42^\circ$.

b)

Annettu

syvyys $h = 2{,}40\,\text{m}$, $\alpha_\text{r} = 48{,}75^\circ$ (a-kohta)

Kysytty

kirkkaan alueen säde $r$

Periaate

Valaisimesta lähtee säteitä kaikkiin suuntiin. Säteet, jotka osuvat pintaan rajakulmaa pienemmässä tulokulmassa, pääsevät ilmaan; suuremmassa kulmassa ne heijastuvat kokonaan. Kirkkaan alueen reunalla tulokulma on juuri rajakulma, ja tulokulma mitataan pinnan normaalista eli pystysuunnasta.

Kaava

Suorakulmaisesta kolmiosta $\tan\alpha_\text{r} = \dfrac{r}{h}$, joten $r = h \tan\alpha_\text{r}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$r$$= 2{,}40\,\text{m} \cdot \tan 48{,}75^\circ$
$= 2{,}40\,\text{m} \cdot 1{,}1404$
$= 2{,}737\,\text{m}$

Vastaus

$r \approx 2{,}74\,\text{m}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten syvyydessä ja taitekertoimessa.

Järkevyys

Koska rajakulma on vähän yli $45^\circ$, säteen on oltava vähän suurempi kuin syvyys, kuten se on. Kirkkaan alueen halkaisija on noin $5{,}5\,\text{m}$, mikä sopii hyppyaltaaseen.

c)

Kysytty

mitä sukeltaja näkee vedenpinnassa kirkkaan alueen ulkopuolella ja miksi

Periaate

Kun valo osuu vedestä pintaan rajakulmaa suuremmassa tulokulmassa, taittunutta sädettä ei synny, ja kaikki valo heijastuu takaisin veteen.

Mallivastaus

Sukeltaja näkee kirkkaan alueen ulkopuolella vedenpinnan peilinä. Altaan pohjasta ja seinistä pintaan osuva valo tulee sinne rajakulmaa $48{,}8^\circ$ suuremmassa tulokulmassa, joten se heijastuu kokonaan takaisin veteen. Sukeltaja näkee pinnassa altaan pohjan, seinät ja muiden uimareiden peilikuvat. Myöskään ilmasta ei voi tulla valoa sukeltajan silmään näistä suunnista, joten hallin kattoa hän ei näe kirkkaan alueen ulkopuolelta.

d)

Annettu

syvyys $h = 2{,}40\,\text{m}$, ikkunan halkaisija $d = 25{,}0\,\text{cm}$, veden tiheys $\rho = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

ikkunaan kohdistuva nettovoima $F$

Periaate

Ulkopuolella ikkunaan vaikuttaa ilmanpaine ja veden hydrostaattinen paine, sisäpuolella ilmanpaine. Ilmanpaine kumoutuu, joten nettovoiman aiheuttaa hydrostaattinen paine. Paine on voima pinta-alaa kohti.

Kaava

$p_\text{h}$$= \rho g h$
$F$$= p_\text{h} A$
$= \rho g h \pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

Muunnokset

$d$$= 25{,}0\,\text{cm}$
$= 25{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$
$= 0{,}250\,\text{m}$

Sijoitus

$p_\text{h}$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 2{,}40\,\text{m}$
$= 23\,544\,\text{Pa}$
$A$$= \pi \cdot (0{,}125\,\text{m})^2$
$= 0{,}04909\,\text{m}^2$
$F$$= 23\,544\,\text{Pa} \cdot 0{,}04909\,\text{m}^2$
$= 1156\,\text{N}$

Vastaus

$F \approx 1{,}16\,\text{kN}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten syvyydessä ja halkaisijassa.

Järkevyys

Voima vastaa noin $120\,\text{kg}$:n massan painoa. Ikkuna on siis tehtävä paksusta lasista, mikä sopii altaan valaisimiin.

e)

Kysytty

miksi valaisin näyttää reunalta katsottuna matalammalla kuin se on

Periaate

Valo taittuu vedestä ilmaan poispäin pinnan normaalista. Silmä ja aivot olettavat valon kulkeneen suoraan.

Mallivastaus

Valaisimesta lähtevät säteet taittuvat vedenpinnassa poispäin normaalista, eli niiden suunta loivenee. Kun taittunut säde tulee silmään, silmä jatkaa sitä suoraan taaksepäin, ja jatkeet leikkaavat valaisimen todellista paikkaa ylempänä. Siksi valaisin ja altaan pohja näyttävät olevan lähempänä pintaa kuin $2{,}40\,\text{m}$:n syvyydessä.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa taitekertoimet vaihdetaan, jolloin sinin arvoksi tulee yli yksi.
  • b-kohdassa käytetään sinifunktiota tai tangenttia väärin päin, jolloin säteeksi tulee $1{,}80\,\text{m}$ tai $2{,}10\,\text{m}$.
  • b-kohdassa tulokulma mitataan vedenpinnasta eikä normaalista.
  • d-kohdassa voima lasketaan koko paineella $p_0 + \rho g h$, vaikka sisäpuolella on ilmanpaine.
  • d-kohdassa halkaisija käytetään säteenä, jolloin pinta-ala on nelinkertainen.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa vastaus, joka kertoo kokonaisheijastuksen ja sen, että pinta näyttää hopeiselta tai peililtä.
  • e-kohdassa sädepiirros sanallisen selityksen tukena.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$, joten $\sin\alpha_\text{r} = \tfrac{n_2}{n_1}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\alpha_\text{r} \approx 48{,}8^\circ$. 1 p

b)4 p

Kirkkaan alueen reunalla säde osuu pintaan rajakulmassa; sitä loivemmat säteet heijastuvat kokonaan. 2 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $r = h \tan\alpha_\text{r}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $r \approx 2{,}74\,\text{m}$. 1 p

c)3 p

Rajakulmaa suuremmassa tulokulmassa pintaan osuva valo heijastuu kokonaan takaisin veteen (kokonaisheijastus). 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Pinta näyttää peililtä: sukeltaja näkee siinä altaan pohjan ja seinät, ei hallin kattoa. 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Ilmanpaine vaikuttaa molemmin puolin, joten nettovoima tulee hydrostaattisesta paineesta: $F = \rho g h A$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $A = \pi\left(\tfrac{d}{2}\right)^2$; $F \approx 1{,}16\,\text{kN}$. 1 p

e)2 p

Valaisimesta tulevat säteet taittuvat vedestä ilmaan poispäin pinnan normaalista. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Silmä jatkaa taittuneita säteitä suoraan taaksepäin, ja ne näyttävät lähtevän matalammalta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-6 Osa II: Järven pohjasta nostettu ruuhi 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Elävän puun hiili-14-aktiivisuus ja puoliintumisaika ovat kirjallisuusarvoja; ruuhen mittaus on keksitty.

Sukeltajat löysivät järven pohjasta puisen ruuhen, joka on koverrettu yhdestä puunrungosta. Ruuhesta otetusta näytteestä mitattiin hiili-14:n aktiivisuudeksi $0{,}198\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$ eli $0{,}198$ hajoamista sekunnissa yhtä grammaa hiiltä kohti. Mittauksen epävarmuus on $\pm 0{,}004\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$.

Elävässä puussa hiili-14:n aktiivisuus on $0{,}226\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$, koska puu ottaa ilmasta jatkuvasti uutta hiilidioksidia. Kun puu kaadetaan, uutta hiili-14:ää ei enää tule. Hiili-14:n puoliintumisaika on $5730$ vuotta.

  1. a) Hiili-14 hajoaa beetahajoamisella. Kirjoita hajoamisen reaktioyhtälö ja kerro, mitä ytimessä tapahtuu. 3 p
  2. b) Kuinka vanha ruuhi on? 4 p
  3. c) Arvioi, kuinka suuri iän epävarmuus aiheutuu aktiivisuuden mittausepävarmuudesta. 4 p
  4. d) Museon tutkija sanoo, että sama menetelmä ei sovi $200\,000$ vuotta vanhan puun eikä kymmenen vuotta sitten kaadetun puun ajoittamiseen. Perustele, miksi. 4 p

Taidot luvuista: Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen, Hajoamislaki ja puoliintumisaika, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

hiili-14:n beetahajoamisen reaktioyhtälö ja mitä ytimessä tapahtuu

Periaate

Beeta miinus -hajoamisessa ytimen neutroni muuttuu protoniksi, ja ydin lähettää elektronin ja antineutriinon. Reaktiossa massaluku ja varausluku säilyvät.

Mallivastaus

$^{14}_{6}\text{C} \to {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{\phantom{-}0}_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_\text{e}$. Massaluvut: $14 = 14 + 0$, ja varausluvut: $6 = 7 + (-1)$. Hiili-14:n ytimessä on kuusi protonia ja kahdeksan neutronia. Hajoamisessa yksi neutroni muuttuu protoniksi, joten tytärytimessä on seitsemän protonia ja seitsemän neutronia: se on typpi-14. Ydin lähettää elektronin eli beetahiukkasen ja antineutriinon.

b)

Annettu

aktiivisuus nyt $A = 0{,}198\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$, elävän puun aktiivisuus $A_0 = 0{,}226\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 5730\,\text{a}$

Kysytty

ruuhen ikä $t$

Periaate

Kun puu kaadetaan, hiili-14 vain hajoaa, eikä uutta tule. Aktiivisuus on verrannollinen ytimien määrään, joten se pienenee hajoamislain mukaan puoleen joka puoliintumisajassa. Oletetaan, että ilman hiili-14-pitoisuus oli puun kasvaessa sama kuin nyt.

Kaava

$A$$= A_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

josta logaritmilla

$\ln\dfrac{A_0}{A}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \ln 2$

eli

$t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln(A_0 / A)}{\ln 2}$

Muunnokset

Ei tarvita: aktiivisuudet ovat samassa yksikössä, ja aika saadaan vuosina kuten puoliintumisaika.

Sijoitus

$\dfrac{A_0}{A}$$= \dfrac{0{,}226}{0{,}198}$
$= 1{,}1414$
$t$$= 5730\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln 1{,}1414}{\ln 2}$
$= 5730\,\text{a} \cdot \dfrac{0{,}13226}{0{,}69315}$
$= 1093\,\text{a}$

Vastaus

$t \approx 1{,}09 \cdot 10^3$

Vuotta eli noin $1100$ vuotta, kolme merkitsevää numeroa kuten aktiivisuuksissa.

Järkevyys

Aktiivisuus on pienentynyt vain noin $12\,\%$, mikä on paljon vähemmän kuin puolet, joten iän on oltava selvästi alle yhden puoliintumisajan. Tuhatvuotias ruuhi sopii rautakauden lopulle, jolloin ruuhia käytettiin yleisesti.

c)

Annettu

$A = (0{,}198 \pm 0{,}004)\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$, $A_0 = 0{,}226\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$, $T_{1/2} = 5730\,\text{a}$

Kysytty

iän epävarmuus $\Delta t$

Periaate

Lasketaan ikä aktiivisuuden suurimmalla ja pienimmällä arvolla. Suurempi aktiivisuus tarkoittaa nuorempaa näytettä. Iän epävarmuus on puolet ääriarvojen erotuksesta.

Kaava

$t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln(A_0 / A)}{\ln 2}$
$\Delta t$$= \dfrac{t_\text{vanhin} - t_\text{nuorin}}{2}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$t_\text{nuorin}$$= 5730\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln(0{,}226 / 0{,}202)}{\ln 2}$
$= 928\,\text{a}$
$t_\text{vanhin}$$= 5730\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln(0{,}226 / 0{,}194)}{\ln 2}$
$= 1262\,\text{a}$
$\Delta t$$= \dfrac{1262\,\text{a} - 928\,\text{a}}{2}$
$= 167\,\text{a}$

Vastaus

$\Delta t \approx 170$

Vuotta, joten ikä on $(1{,}09 \pm 0{,}17) \cdot 10^3$ vuotta. Epävarmuus ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, ja ikä samaan tarkkuuteen.

Järkevyys

Aktiivisuuden suhteellinen epävarmuus on $\tfrac{0{,}004}{0{,}198} \approx 2\,\%$, mutta iän suhteellinen epävarmuus on noin $15\,\%$, koska aktiivisuus muuttuu tuhannessa vuodessa vain vähän. Siksi pienikin mittausepävarmuus näkyy iässä selvästi.

d)

Kysytty

miksi menetelmä ei sovi $200\,000$ vuotta vanhaan eikä kymmenen vuotta vanhaan puuhun

Periaate

Menetelmällä voi ajoittaa vain, jos aktiivisuuden muutos on selvästi suurempi kuin mittausepävarmuus ja jäljellä oleva aktiivisuus erottuu taustasäteilystä.

Mallivastaus

$200\,000$ vuodessa kuluu $\tfrac{200\,000\,\text{a}}{5730\,\text{a}} \approx 35$ puoliintumisaikaa, ja jäljellä on $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{35} \approx 3 \cdot 10^{-11}$ alkuperäisistä hiili-14-ytimistä. Näytteen aktiivisuus on niin pieni, ettei sitä voi erottaa taustasäteilystä, joten ikää ei voi määrittää. Kymmenessä vuodessa aktiivisuus pienenee vain $1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10/5730} \approx 0{,}1\,\%$, kun mittauksen epävarmuus on noin $2\,\%$. Muutos hukkuu epävarmuuteen. Lisäksi 1950- ja 1960-lukujen ydinasekokeet kasvattivat ilman hiili-14-pitoisuutta, joten oletus vakiosta alkuaktiivisuudesta ei päde nuorille näytteille. Menetelmä toimii, kun ikä on sadoista vuosista muutamaan kymmeneen tuhanteen vuoteen.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa tytärytimeksi kirjoitetaan boori tai massaluku pienenee, vaikka beetahajoamisessa massaluku säilyy.
  • b-kohdassa aktiivisuuksien suhde käännetään, jolloin ikä tulee negatiiviseksi.
  • b-kohdassa käytetään lineaarista mallia, esimerkiksi ”aktiivisuus pienenee $12\,\%$, siis ikä on $12\,\%$ puoliintumisajasta”.
  • c-kohdassa epävarmuudeksi ilmoitetaan aktiivisuuden epävarmuus $2\,\%$ iästä eli noin $20$ vuotta.
  • d-kohdassa sanotaan, että vanhassa näytteessä ”kaikki hiili-14 on hajonnut”, perustelematta lukuarvolla tai taustasäteilyllä.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa ratkaisu hajoamisvakion avulla: $\lambda = \tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ ja $t = \tfrac{1}{\lambda}\ln\tfrac{A_0}{A}$.
  • c-kohdassa epävarmuus ilmoitettuna välinä $930$–$1260$ vuotta.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

$^{14}_{6}\text{C} \to {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{\phantom{-}0}_{-1}\text{e} + \overline{\nu}_\text{e}$; tytärydin on typpi. 1 p
Massaluku ja varausluku säilyvät: $14 = 14 + 0$ ja $6 = 7 - 1$. 1 p
Ytimessä neutroni muuttuu protoniksi, ja ydin lähettää elektronin ja antineutriinon. 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ 1 p
Ratkaisee ajan logaritmilla: $t = T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln(A_0 / A)}{\ln 2}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t \approx 1{,}09 \cdot 10^3$ vuotta. 1 p

c)4 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Lasketaan ikä ääriarvoilla $0{,}194$ ja $0{,}202\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{g}}$: noin $930$ ja $1260$ vuotta. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Ikä $(1{,}09 \pm 0{,}17) \cdot 10^3$ vuotta; epävarmuus yhdellä tai kahdella merkitsevällä numerolla. 1 p

d)4 p

$200\,000$ vuodessa kuluu noin $35$ puoliintumisaikaa, ja jäljellä on vain noin $3 \cdot 10^{-11}$ alkuperäisistä ytimistä: aktiivisuus ei erotu taustasäteilystä. 2 p
Kymmenessä vuodessa aktiivisuus pienenee vain noin $0{,}1\,\%$, mikä on paljon vähemmän kuin mittauksen epävarmuus $2\,\%$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Menetelmä toimii, kun ikä on sadoista vuosista muutamaan kymmeneen tuhanteen vuoteen. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-7 Osa II: Squashpallon lämpötila 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Luvut on valittu todenmukaisiksi, mutta ne eivät ole mittaus.

Squashin pelaajat lyövät palloa ennen ottelua, jotta se lämpenee, koska kylmä pallo pomppaa huonosti. Opiskelija haluaa selvittää kokeellisesti, miten pallon lämpötila vaikuttaa sen pomppukorkeuteen. Käytössä on squashpallo, vesihaude, jonka lämpötilan voi säätää, pakastin, infrapunalämpömittari, mittanauha, puhelimen kamera, jalusta ja paperipyyhkeitä.

Esikokeessa huoneenlämpöinen pallo pudotettiin levosta $1{,}50\,\text{m}$:n korkeudelta betonilattialle, ja se pomppasi $0{,}36\,\text{m}$:n korkeudelle. Korkeudet mitattiin pallon alareunasta.

  1. a) Suunnittele koe. Kerro tutkimuskysymys, muuttujat ja vakioina pidettävät suureet, miten pallon lämpötila asetetaan ja mitataan, miten pomppukorkeus mitataan ja miten tulokset käsitellään. 6 p
  2. b) Kuinka monta prosenttia pallon mekaanisesta energiasta muuttuu esikokeen pompussa muihin energiamuotoihin? 3 p
  3. c) Kuinka suuri on pallon nopeus heti pompun jälkeen esikokeessa? 3 p
  4. d) Video kuvataan nopeudella $30$ kuvaa sekunnissa. Arvioi, kuinka tarkasti pomppukorkeus voidaan lukea videolta, ja kerro kaksi keinoa parantaa mittausta. 3 p

Taidot luvuista: Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi, Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

kokeen suunnitelma: tutkimuskysymys, muuttujat, vakiot, lämpötilan asettaminen ja mittaaminen, pomppukorkeuden mittaus ja tulosten käsittely

Periaate

Hyvässä kokeessa muutetaan yhtä muuttujaa ja pidetään muut vakioina, mitataan riippuvaa muuttujaa toistaen ja esitetään tulokset kuvaajana. Pallo vaihtaa lämpöä ympäristön kanssa, joten lämpötila on mitattava juuri ennen pudotusta.

Mallivastaus

Tutkimuskysymys: miten squashpallon pomppukorkeus riippuu pallon lämpötilasta, kun pudotuskorkeus pysyy samana? Riippumaton muuttuja on pallon lämpötila ja riippuva muuttuja pomppukorkeus $h_2$ tai suhde $\tfrac{h_2}{h_1}$. Vakioina pidetään pudotuskorkeus $h_1 = 1{,}50\,\text{m}$, sama pallo, sama kohta betonilattiaa ja pudotus levosta ilman pyörimistä.

Pallo jäähdytetään pakastimessa ja lämmitetään vesihauteessa eri lämpötiloihin, esimerkiksi noin $0$, $10$, $20$, $30$, $40$ ja $50\,{}^\circ\text{C}$:een, ja sen annetaan olla kussakin lämpötilassa muutama minuutti, jotta se lämpenee tai jäähtyy läpikotaisin. Pallo kuivataan paperipyyhkeellä, sen pinnan lämpötila mitataan infrapunalämpömittarilla ja se pudotetaan heti, koska pallo alkaa lähestyä huoneen lämpötilaa.

Pudotus kuvataan puhelimella jalustalta niin, että mittanauha on pystyssä pallon takana ja kamera on suunnilleen pomppukorkeuden tasolla. Pomppukorkeus luetaan videolta siitä kuvasta, jossa pallon alareuna on ylimpänä. Jokaisessa lämpötilassa tehdään vähintään kolme pudotusta, ja niiden keskiarvo ja vaihteluväli kirjataan. Tulokset esitetään kuvaajana: pomppukorkeus lämpötilan funktiona, ja johtopäätös tehdään kuvaajan muodosta, esimerkiksi kasvaako pomppukorkeus koko välillä tasaisesti.

b)

Annettu

pudotuskorkeus $h_1 = 1{,}50\,\text{m}$, pomppukorkeus $h_2 = 0{,}36\,\text{m}$

Kysytty

muiksi energiamuodoiksi muuttuvan mekaanisen energian osuus

Periaate

Ylimmissä kohdissa pallo on hetken levossa, joten sen mekaaninen energia on pelkkää potentiaalienergiaa. Ilmanvastus on näin lyhyellä matkalla pieni, joten energiaa muuttuu muuksi lähinnä pompussa, kun pallo ja lattia muuttavat muotoaan ja lämpenevät.

Kaava

$E_1 = mgh_1$ ja $E_2 = mgh_2$, joten osuus $= \dfrac{E_1 - E_2}{E_1} = 1 - \dfrac{h_2}{h_1}$; massa supistuu

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

osuus $= 1 - \dfrac{0{,}36\,\text{m}}{1{,}50\,\text{m}} = 1 - 0{,}24 = 0{,}76$

Vastaus

Noin $76\,\%$ mekaanisesta energiasta muuttuu pompussa muiksi energiamuodoiksi, kaksi merkitsevää numeroa kuten pomppukorkeudessa.

Järkevyys

Squashpallo pomppaa tunnetusti huonosti, joten suuri osuus sopii. Tennispallo pomppaa samalta korkeudelta yli puoleen korkeuteen, jolloin osuus olisi alle $50\,\%$.

c)

Annettu

pomppukorkeus $h_2 = 0{,}36\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

nopeus $v$ heti pompun jälkeen

Periaate

Pompun jälkeen pallo nousee lakipisteeseen, ja ilmanvastus on pieni, joten mekaaninen energia säilyy nousun aikana: liike-energia muuttuu potentiaalienergiaksi.

Kaava

$\dfrac{1}{2}mv^2 = mgh_2$, joten $v = \sqrt{2gh_2}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}36\,\text{m}}$
$= \sqrt{7{,}063\,\text{m}^2/\text{s}^2}$
$= 2{,}658\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 2{,}7\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten pomppukorkeudessa.

Järkevyys

Juuri ennen osumaa nopeus oli

$\sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}50\,\text{m}}$
$= 5{,}4\,\text{m/s}$

Pomppu puolittaa nopeuden, ja liike-energiaa jää $\left(\tfrac{2{,}66}{5{,}42}\right)^2 = 0{,}24$ eli $24\,\%$, mikä vastaa b-kohtaa.

d)

Kysytty

pomppukorkeuden lukemisen tarkkuus videolta ja kaksi keinoa parantaa mittausta

Periaate

Lakipisteessä pallon nopeus on nolla, joten sen paikka muuttuu kuvien välillä vähän. Kameran ja asteikon asento ratkaisee, luetaanko korkeus oikein.

Mallivastaus

Kuvien väli on $\tfrac{1}{30}\,\text{s}$. Lakipisteen lähellä pallo liikkuu hitaasti: $\tfrac{1}{30}\,\text{s}$ lakipisteen jälkeen se on pudonnut vain $\tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \left(\tfrac{1}{30}\,\text{s}\right)^2 \approx 5\,\text{mm}$, joten ylin kuva näyttää huipun muutaman millimetrin tarkkuudella. Lukemiseen tulee kuitenkin epätarkkuutta pallon epäterävästä reunasta ja siitä, että pallo on mittanauhan edessä. Kokonaisuutena pomppukorkeus saadaan noin $1\,\text{cm}$:n tarkkuudella. Suurin virhelähde on parallaksi: jos kamera on huipun ylä- tai alapuolella, pallo näyttää olevan väärän lukeman kohdalla. Mittausta parannetaan asettamalla kamera huipun korkeudelle ja kauemmas, viemällä mittanauha aivan pallon radan taakse ja toistamalla pudotukset ja käyttämällä keskiarvoa.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa muutetaan samanaikaisesti useaa muuttujaa, esimerkiksi pudotuskorkeutta ja lämpötilaa.
  • a-kohdassa lämpötila mitataan vesihauteesta eikä pallosta juuri ennen pudotusta.
  • b-kohdassa osuudeksi ilmoitetaan $24\,\%$, joka on jäljelle jäävä osuus.
  • c-kohdassa lasketaan nopeus pudotuskorkeudesta $1{,}50\,\text{m}$, joka on nopeus ennen pomppua.
  • d-kohdassa todetaan vain, että ”video on epätarkka”, arvioimatta tarkkuutta lukuna.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa lämpötilan asettaminen lämpökaapissa tai kylmässä ulkoilmassa, kun lämpötila mitataan pallosta.
  • d-kohdassa valoportti tai nopeampi kuvanopeus parannuksena.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)6 p

Tutkimuskysymys ja muuttujat: lämpötila on riippumaton muuttuja ja pomppukorkeus (tai suhde $\tfrac{h_2}{h_1}$) riippuva. 1 p
Vakioina: pudotuskorkeus, sama pallo, sama alusta ja pudotus levosta. 1 p
Lämpötila asetetaan haudeessa tai pakastimessa, pallo kuivataan ja pinnan lämpötila mitataan juuri ennen pudotusta, koska pallo jäähtyy tai lämpenee nopeasti. 1 p
Pomppukorkeus luetaan videolta mittanauhaa vasten, kamera pomppukorkeuden tasolla. 1 p
Ainakin viisi lämpötilaa laajalta väliltä, esimerkiksi $0$–$50\,{}^\circ\text{C}$, ja toistot jokaisessa. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Tulokset esitetään kuvaajana pomppukorkeus lämpötilan funktiona, ja johtopäätös tehdään kuvaajan muodosta. 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Ylimmissä kohdissa pallo on hetken levossa: $E = mgh$, joten osuus on $1 - \tfrac{h_2}{h_1}$; massa supistuu. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Ilmanvastus on pieni lyhyellä matkalla. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Noin $76\,\%$. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\tfrac{1}{2}mv^2 = mgh_2$, joten $v = \sqrt{2gh_2}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 2{,}7\,\text{m/s}$, kaksi merkitsevää numeroa. 1 p

d)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Lakipisteessä pallo liikkuu hitaasti: kuvien välillä vain muutamia millimetrejä, joten huippu löytyy noin $1\,\text{cm}$:n tarkkuudella. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Parallaksivirhe: jos kamera ei ole huipun tasolla, lukema on väärä. 1 p
Parannukset: kamera huipun korkeudelle ja kauemmas, mittanauha pallon taakse, useita toistoja ja keskiarvo. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-8 Osa III: Putoavat kahvinsuodattimet 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineistossa on mittauksen tapaista vaihtelua, mutta se ei ole mittaus.

Ryhmä tutki, miten ilmanvastus riippuu nopeudesta. Sisäkkäin pinottuja kahvinsuodatinpusseja pudotettiin levosta $2{,}5\,\text{m}$:n korkeudelta, ja putoaminen kuvattiin videolle. Videoanalyysin mukaan pino saavutti vakionopeuden ennen viimeistä metriä, ja vakionopeus määritettiin viimeisen metrin aikana. Yhden suodatinpussin massa on $1{,}20\,\text{g}$. Pinon muoto ei muutu, kun pusseja lisätään.

Pusseja pinossa $N$ Vakionopeus $v\ (\text{m/s})$
$1$ $1{,}06$
$2$ $1{,}45$
$3$ $1{,}84$
$4$ $2{,}08$
$5$ $2{,}39$
$6$ $2{,}54$

Ryhmässä esitettiin kaksi mallia. Aino: ”Ilmanvastus on suoraan verrannollinen nopeuteen.” Eetu: ”Ilmanvastus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön.”

  1. a) Selitä voimakuvion avulla, miksi suodatinpino putoaa lopulta vakionopeudella. 4 p
  2. b) Kuinka suuri on ilmanvastus, kun neljän pussin pino putoaa vakionopeudella? 2 p
  3. c) Laadi aineistosta kuvaaja, jonka avulla voit päätellä, kumpi malli kuvaa mittauksia paremmin. Perustele valintasi. 7 p
  4. d) Määritä c-kohdan kuvaajasta valitsemasi mallin verrannollisuuskerroin $k$. 4 p
  5. e) Ennusta pinon vakionopeus, kun pinossa on kymmenen pussia. Arvioi, kuinka luotettava ennuste on samassa koejärjestelyssä. 3 p

Taidot luvuista: Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa, Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

miksi suodatinpino putoaa lopulta vakionopeudella

Periaate

Newtonin II laki: kiihtyvyys on kokonaisvoima jaettuna massalla. Ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, paino pysyy samana.

Mallivastaus

Pinoon vaikuttavat paino $\overline{G}$ alaspäin ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ylöspäin. Heti pudotuksen jälkeen nopeus on pieni, joten ilmanvastus on pieni ja kokonaisvoima osoittaa alas: pino kiihtyy alaspäin ja sen nopeus kasvaa. Nopeuden kasvaessa ilmanvastus kasvaa, joten kokonaisvoima ja kiihtyvyys pienenevät. Lopulta ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino. Silloin kokonaisvoima on nolla, kiihtyvyys on nolla ja pino jatkaa Newtonin I lain mukaisesti tasaisella nopeudella eli rajanopeudella.

b)

Annettu

$N = 4$ pussia, yhden pussin massa $m = 1{,}20\,\text{g}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

ilmanvastus $F_\text{v}$ vakionopeudella

Periaate

Vakionopeudella kiihtyvyys on nolla, joten Newtonin II lain mukaan kokonaisvoima on nolla ja ilmanvastus on yhtä suuri kuin pinon paino.

Kaava

$F_\text{v} = G = Nmg$

Muunnokset

$m$$= 1{,}20\,\text{g}$
$= 1{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

ja lopuksi $1\,\text{N} = 1000\,\text{mN}$.

Sijoitus

$F_\text{v}$$= 4 \cdot 1{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 0{,}04709\,\text{N}$
$= 47{,}09\,\text{mN}$

Vastaus

$F_\text{v} \approx 47{,}1\,\text{mN}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten pussin massassa.

Järkevyys

Neljän pussin massa on $4{,}8\,\text{g}$, ja $5\,\text{g}$:n kappaleen paino on noin $0{,}05\,\text{N}$, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa.

c)

Kysytty

kuvaaja, jonka avulla päätellään, kumpi malli kuvaa mittauksia paremmin

Kuvaaja

Lasketaan ensin jokaiselle pinolle ilmanvastus $F_\text{v} = Nmg$ ja nopeuden neliö $v^2$:

$N$ $F_\text{v}\ (\text{mN})$ $v^2\ (\text{m}^2/\text{s}^2)$
$1$ $11{,}8$ $1{,}12$
$2$ $23{,}5$ $2{,}10$
$3$ $35{,}3$ $3{,}39$
$4$ $47{,}1$ $4{,}33$
$5$ $58{,}9$ $5{,}71$
$6$ $70{,}6$ $6{,}45$

Jos Ainon malli pätisi, pisteet $(v, F_\text{v})$ olisivat origon kautta kulkevalla suoralla. Ne kuitenkin kaartuvat ylöspäin, ja niihin sovitettu suora $F_\text{v} = 38{,}6\,\tfrac{\text{mN} \cdot \text{s}}{\text{m}} \cdot v - 31{,}9\,\text{mN}$ leikkaisi nopeusakselin kohdassa $0{,}83\,\text{m/s}$: malli väittäisi, että tätä hitaammin liikkuvaan pinoon ei vaikuta ilmanvastusta lainkaan, mikä on mahdotonta. Eetun mallin testaamiseksi piirretään $F_\text{v}$ nopeuden neliön $v^2$ funktiona. Suora kulkee origon kautta, koska levossa ilmanvastus on nolla.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$20$
$40$
$60$
$80$
$0$
$v^2\ (\text{m}^2/\text{s}^2)$
$F_\text{v}\ (\text{mN})$
$(6{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2;\ 64{,}2\,\text{mN})$
$F_\text{v} = kv^2$

Mallivastaus

Pisteet $(v^2, F_\text{v})$ asettuvat origon kautta kulkevalle suoralle mittausepävarmuuden rajoissa, kun taas pisteet $(v, F_\text{v})$ eivät ole origon kautta kulkevalla suoralla. Ilmanvastus on siis verrannollinen nopeuden neliöön, ja Eetun malli kuvaa mittauksia paremmin.

d)

Annettu

c-kohdan kuvaaja ja suora $F_\text{v} = kv^2$ origon kautta

Kysytty

verrannollisuuskerroin $k$

Periaate

Mallissa $F_\text{v} = kv^2$ kerroin $k$ on $(v^2, F_\text{v})$-kuvaajan suoran kulmakerroin. Se luetaan sovitetulta suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä, ei mittauspisteistä.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan pisteet $(0$; $0)$ ja $(6{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$; $64{,}2\,\text{mN})$.

Kaava

$k$$= \dfrac{\Delta F_\text{v}}{\Delta (v^2)}$

Muunnokset

$64{,}2\,\text{mN}$$= 64{,}2 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$
$= 0{,}0642\,\text{N}$

Sijoitus

$k$$= \dfrac{0{,}0642\,\text{N} - 0}{6{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2 - 0}$
$= 0{,}01070\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}^2}$

Vastaus

$k \approx 0{,}0107\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}^2} = 0{,}0107\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten mittauksissa. Yksikkö: $\tfrac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}^2} = \tfrac{\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}^2 \cdot \text{s}^2}{\text{m}^2} = \tfrac{\text{kg}}{\text{m}}$.

Järkevyys

Yhden pussin rajanopeus on mallin mukaan

$\sqrt{\tfrac{1{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}0107\,\text{kg/m}}}$$= 1{,}05\,\text{m/s}$

mikä vastaa mittausta $1{,}06\,\text{m/s}$.

e)

Annettu

$N = 10$, $m = 1{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$, $k = 0{,}01070\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}}$ (d-kohta), pudotuskorkeus $2{,}5\,\text{m}$

Kysytty

kymmenen pussin pinon vakionopeus $v_{10}$ ja ennusteen luotettavuus

Periaate

Vakionopeudella ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino, ja d-kohdan mallin mukaan ilmanvastus on $kv^2$. Pinon muoto ei muutu, joten sama $k$ pätee.

Kaava

$kv_{10}^2 = Nmg$, joten $v_{10} = \sqrt{\dfrac{Nmg}{k}}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$v_{10}$$= \sqrt{\dfrac{10 \cdot 1{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}01070\,\text{kg/m}}}$
$= \sqrt{11{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2}$
$= 3{,}317\,\text{m/s}$

Vastaus

$v_{10} \approx 3{,}3\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska ennuste on ekstrapolaatio ja sen epävarmuus on suurempi kuin mittausten. Ennuste on mitatun alueen ($v \le 2{,}54\,\text{m/s}$) ulkopuolella, joten se olettaa mallin pätevän myös suuremmilla nopeuksilla. Samassa koejärjestelyssä raskaampi pino tarvitsee pidemmän matkan rajanopeuden saavuttamiseen, eikä $2{,}5\,\text{m}$:n pudotus ehkä riitä: mitattu nopeus voisi jäädä ennustetta pienemmäksi.

Järkevyys

Nopeus kasvaa massan neliöjuuren mukaan: $\sqrt{\tfrac{10}{6}} \cdot 2{,}54\,\text{m/s} \approx 3{,}3\,\text{m/s}$, mikä vastaa tulosta.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa sanotaan, että vakionopeudella ”voimia ei ole”, vaikka paino ja ilmanvastus vaikuttavat edelleen.
  • b-kohdassa massa jätetään grammoiksi, jolloin ilmanvastukseksi tulee $47\,\text{N}$.
  • c-kohdassa pisteet yhdistetään murtoviivaksi tai sovitetaan suora, joka ei kulje origon kautta, ja malli valitaan pelkän kuvan perusteella.
  • d-kohdassa kulmakerroin lasketaan kahdesta mittauspisteestä tai $(v, F_\text{v})$-kuvaajasta.
  • e-kohdassa ennuste tehdään kertomalla kuuden pussin nopeus suhteella $\tfrac{10}{6}$, kuin nopeus olisi verrannollinen massaan.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa kuvaaja $v^2$ pussien määrän $N$ funktiona, kun perustellaan, että $N$ on verrannollinen ilmanvastukseen.
  • d-kohdassa ohjelman sovittama verrannollisuus $F_\text{v} = kv^2$ tai suoran kulmakerroin, kun sovite ja sen yhtälö näkyvät kuvaajassa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Pinoon vaikuttavat paino $\overline{G}$ alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ylös. 1 p
Aluksi nopeus ja ilmanvastus ovat pieniä, joten kokonaisvoima ja kiihtyvyys osoittavat alas ja nopeus kasvaa. 1 p
Ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, kunnes se on yhtä suuri kuin paino. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Silloin kokonaisvoima on nolla, kiihtyvyys on nolla ja nopeus pysyy vakiona (Newtonin I laki). 1 p

b)2 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Vakionopeudella $F_\text{v} = G = Nmg$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F_\text{v} \approx 47{,}1\,\text{mN}$. 1 p

c)7 p

Laskee jokaiselle pinolle ilmanvastuksen $F_\text{v} = Nmg$ ja nopeuden neliön $v^2$. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Pystyakselilla $F_\text{v}$, vaaka-akselilla $v^2$ (tai $v$), yksiköt. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Suora origon kautta, koska ilmanvastus on nolla levossa. 1 p
Vertaa malleja: $(v, F_\text{v})$-pisteet kaartuvat ylöspäin, ja niihin sovitettu suora leikkaa nopeusakselin noin kohdassa $0{,}8\,\text{m/s}$; $(v^2, F_\text{v})$-pisteet ovat origon kautta kulkevalla suoralla. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Eetun malli kuvaa mittauksia paremmin. 1 p

d)4 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin luetaan suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $k \approx 0{,}0107\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}}$ eli $\tfrac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}^2}$. 1 p

e)3 p

Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v = \sqrt{\tfrac{10mg}{k}} \approx 3{,}3\,\text{m/s}$. 1 p
Ennuste on ekstrapolaatio mitatun alueen ($v \le 2{,}54\,\text{m/s}$) ulkopuolelle. 1 p
Raskaampi pino tarvitsee pidemmän matkan rajanopeuden saavuttamiseen, joten $2{,}5\,\text{m}$:n pudotus ei ehkä riitä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (18 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-9 Osa III: Syvälämpökaivo 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Tiedote, yhtiö ja mittaukset on keksitty; kallioperän lämpötilan nousu syvyyden mukana on Suomelle tyypillistä suuruusluokkaa.

Kaupungin energiayhtiö suunnittelee syvälämpölaitosta. Ote yhtiön tiedotteesta:

Maapallon sisällä on valtava lämpövarasto. Kallioperän lämpö on peräisin suurelta osin kallion uraanin, toriumin ja kalium-40:n radioaktiivisista hajoamisista. Porattavan kaivoparin syvyys on $6{,}0$ kilometriä, ja kaivon pohjalla kallion lämpötila on yli $120\,{}^\circ\text{C}$. Toiseen kaivoon pumpataan vettä, joka lämpenee kalliossa ja nousee toista kaivoa pitkin ylös. Laitos tuottaa kaukolämpöverkkoon $10\,\text{MW}$ lämpötehoa.

Yhtiön koekaivosta mitattiin kallion lämpötila eri syvyyksillä:

Syvyys $z\ (\text{km})$ Lämpötila $T\ ({}^\circ\text{C})$
$0{,}5$ $15{,}4$
$1{,}0$ $23{,}3$
$1{,}5$ $32{,}5$
$2{,}0$ $41{,}3$
$2{,}5$ $49{,}2$
$3{,}0$ $58{,}0$

Suunnitelman mukaan kaivoon pumpataan $30{,}0\,\text{kg}$ vettä sekunnissa. Vesi palaa kaukolämpöverkosta $40\,{}^\circ\text{C}$:sena ja nousee toisesta kaivosta $90\,{}^\circ\text{C}$:sena. Vesi pysyy kaivossa nesteenä suuren paineen vuoksi.

  1. a) Esitä mittaukset kuvaajana ja sovita niihin malli. 6 p
  2. b) Määritä, kuinka monta astetta kallion lämpötila nousee kilometriä kohti. 3 p
  3. c) Arvioi mallin avulla kallion lämpötila $6{,}0\,\text{km}$:n syvyydessä. 3 p
  4. d) Kuinka suuren lämpötehon laitos antaa kaukolämpöverkkoon suunnitelman mukaisella vesivirralla? 3 p
  5. e) Arvioi tiedotteen väitteitä kaivon pohjan lämpötilasta ja laitoksen lämpötehosta mittausten ja laskujesi perusteella. 3 p
  6. f) Tiedotteen mukaan kallioperän lämpö on peräisin radioaktiivisista hajoamisista. Selitä, miten hajoaminen lämmittää kalliota. 2 p

Taidot luvuista: Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen, Energiantuotantotavat ja niiden vertailu

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

mittausten kuvaaja ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Lämpötila piirretään pystyakselille ja syvyys vaaka-akselille. Pisteet ovat lähes suoralla, joten niihin sovitetaan suora. Suoraa ei pakoteta origon kautta, koska maanpinnan lämpötila ei ole $0\,{}^\circ\text{C}$. Ohjelman sovite on $T = 17{,}1\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{km}} \cdot z + 6{,}7\,{}^\circ\text{C}$. Suoraa jatketaan katkoviivalla syvyyteen $6{,}0\,\text{km}$, ja jatko merkitään ekstrapolaatioksi, koska sillä välillä ei ole mittauksia.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$120$
$0$
$z\ (\text{km})$
$T\ ({}^\circ\text{C})$
$(0;\ 6{,}7\,{}^\circ\text{C})$
$(3{,}0\,\text{km};\ 58{,}0\,{}^\circ\text{C})$
$\approx 109\,{}^\circ\text{C}$
$\text{ekstrapolaatio}$

Mallivastaus

Kallion lämpötila nousee mitatulla välillä tasaisesti syvyyden mukana: pisteet poikkeavat suorasta vain muutamia kymmenyksiä asteita. Sovitteen vakiotermi $6{,}7\,{}^\circ\text{C}$ on lämpötila, johon suora ekstrapoloituu maanpinnalla, ja se on lähellä Suomen vuoden keskilämpötilaa. Kulmakerroin kertoo, kuinka paljon lämpötila nousee kilometriä kohti.

b)

Annettu

a-kohdan sovitettu suora

Kysytty

lämpötilan nousu kilometriä kohti eli suoran kulmakerroin $k$

Periaate

Kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä, ei mittauspisteistä.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan pisteet $(0\,\text{km}$; $6{,}7\,{}^\circ\text{C})$ ja $(3{,}0\,\text{km}$; $58{,}0\,{}^\circ\text{C})$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta T}{\Delta z}$

Muunnokset

Ei tarvita: lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{58{,}0\,{}^\circ\text{C} - 6{,}7\,{}^\circ\text{C}}{3{,}0\,\text{km} - 0\,\text{km}}$
$= \dfrac{51{,}3\,{}^\circ\text{C}}{3{,}0\,\text{km}}$
$= 17{,}1\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{km}}$

Vastaus

Lämpötila nousee noin $17{,}1\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{km}}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lämpötiloissa.

Järkevyys

Kallioperän lämpötila nousee Suomessa tyypillisesti noin $15$–$20$ astetta kilometriä kohti, ja tulos on tällä välillä.

c)

Annettu

sovite $T = 17{,}11\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{km}} \cdot z + 6{,}67\,{}^\circ\text{C}$, syvyys $z = 6{,}0\,\text{km}$

Kysytty

kallion lämpötila $T$ syvyydellä $6{,}0\,\text{km}$

Periaate

Lämpötila arvioidaan jatkamalla sovitettua suoraa mitatun alueen ulkopuolelle. Arvio olettaa, että kallio ja sen lämmöntuotto ovat samanlaisia myös välillä $3$–$6\,\text{km}$.

Kaava

$T = kz + T_0$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$T$$= 17{,}11\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{km}} \cdot 6{,}0\,\text{km} + 6{,}67\,{}^\circ\text{C}$
$= 109{,}4\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$T \approx 110\,{}^\circ\text{C}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska syvyys $6{,}0\,\text{km}$ on annettu kahdella numerolla ja arvio on ekstrapolaatio mitatun alueen kaksinkertaiseen syvyyteen.

Järkevyys

Lämpötila on lähes kaksinkertainen $3\,\text{km}$:n syvyyden lämpötilaan $58\,{}^\circ\text{C}$ verrattuna, kuten pitää, koska syvyys kaksinkertaistuu ja vakiotermi on pieni.

d)

Annettu

vesivirta $\tfrac{m}{t} = 30{,}0\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$, veden lämpötila nousee $40\,{}^\circ\text{C}$:sta $90\,{}^\circ\text{C}$:een, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

Kysytty

kaukolämpöverkkoon siirtyvä lämpöteho $P$

Periaate

Vesi on nestettä koko ajan, joten sen lämpeneminen vaatii lämpömäärän $Q = cm\Delta T$. Joka sekunti kaivosta nousee $30{,}0\,\text{kg}$ vettä, joka luovuttaa verkkoon sen energian, jonka se sai kalliosta. Teho on energia aikayksikköä kohti.

Kaava

$P$$= \dfrac{Q}{t}$
$= c \cdot \dfrac{m}{t} \cdot \Delta T$

Muunnokset

$\Delta T$$= 90\,{}^\circ\text{C} - 40\,{}^\circ\text{C}$
$= 50\,\text{K}$

ja lopuksi $1\,\text{MW} = 10^6\,\text{W}$.

Sijoitus

$P$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 30{,}0\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}} \cdot 50\,\text{K}$
$= 6\,285\,000\,\text{W}$
$= 6{,}29\,\text{MW}$

Vastaus

$P \approx 6{,}29\,\text{MW}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten vesivirrassa ja ominaislämpökapasiteetissa.

Järkevyys

Omakotitalon lämmitysteho on pakkasella noin $5$–$10\,\text{kW}$, joten $6\,\text{MW}$ riittäisi noin tuhannen talon lämmittämiseen, mikä sopii kaupungin lämpölaitokselle.

e)

Kysytty

pitävätkö tiedotteen väitteet pohjan lämpötilasta ja lämpötehosta paikkansa

Periaate

Verrataan väitteitä mittauksiin perustuvaan malliin ja d-kohdan laskuun ja kerrotaan, mitä väite vaatisi.

Mallivastaus

Koekaivon mittausten perusteella kallion lämpötila on $6{,}0\,\text{km}$:n syvyydessä noin $110\,{}^\circ\text{C}$. Väite ”yli $120\,{}^\circ\text{C}$” vaatisi, että lämpötila nousee mittaamattomalla välillä $3$–$6\,\text{km}$ nopeammin kuin koekaivossa; samalla nousulla $120\,{}^\circ\text{C}$ saavutettaisiin vasta noin $6{,}6\,\text{km}$:n syvyydessä. Lämpötehoksi saadaan suunnitelman vesivirralla noin $6{,}3\,\text{MW}$. Teho $10\,\text{MW}$ vaatisi samalla lämpötilan nousulla vesivirran $\tfrac{10 \cdot 10^6\,\text{W}}{4190\,\text{J/(kg K)} \cdot 50\,\text{K}} \approx 48\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$ tai suuremman lämpötilaeron. Kumpikaan väite ei siis seuraa annetuista tiedoista: ne ovat liian optimistisia, ellei syvemmältä ole muita mittauksia tai suunnitelmassa muuta muutosta.

f)

Kysytty

miten radioaktiivinen hajoaminen lämmittää kalliota

Periaate

Hajoamisessa ytimen sidosenergiaa vapautuu hiukkasten ja säteilyn liike-energiaksi, joka siirtyy ympäröivään aineeseen.

Mallivastaus

Kun kallion uraani-, torium- tai kalium-40-ydin hajoaa, vapautuu energiaa, joka on syntyvien alfa- tai beetahiukkasten, tytärytimen ja gammasäteilyn energiaa. Hiukkaset ja säteily törmäilevät ympäröivän kallion atomeihin ja luovuttavat energiansa jo millimetrien tai senttimetrien matkalla. Kallion hiukkasten liike lisääntyy, eli kallion sisäenergia ja lämpötila kasvavat. Hajoamisia tapahtuu kaikkialla kalliossa jatkuvasti, joten kallio tuottaa lämpöä koko ajan.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa suora pakotetaan origon kautta, jolloin kulmakerroin ja ekstrapolaatio ovat liian suuria.
  • b-kohdassa kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä.
  • c-kohdassa lämpötila arvioidaan kertomalla $3\,\text{km}$:n lämpötila kahdella, jolloin vakiotermi lasketaan kahteen kertaan ($116\,{}^\circ\text{C}$).
  • d-kohdassa lämpötilaerona käytetään kallion lämpötilaa $110\,{}^\circ\text{C}$ tai veden loppulämpötilaa $90\,{}^\circ\text{C}$.
  • e-kohdassa väitteet hyväksytään tai hylätään vertaamatta niitä omiin tuloksiin.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa vastaus $109\,{}^\circ\text{C}$, kun kerrotaan, että se on ekstrapolaatio.
  • e-kohdassa johtopäätös, että väitteet voivat pitää paikkansa vain, jos syvemmällä kallio on lämpimämpää tai vesivirta suurempi, kun perustelu on laskettu.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)6 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla syvyys $z$ (km), pystyakselilla lämpötila $T$ (°C). 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteet ovat lähes suoralla; sovitettu suora ei kulje origon kautta, koska maanpinnan lämpötila ei ole nolla. 2 p
Kuvaajaan on jatkettu suora katkoviivalla syvyyteen $6{,}0\,\text{km}$ ja merkitty, että se on ekstrapolaatio. 1 p
Sovitteen yhtälö ja sen vakioiden merkitys (maanpinnan lämpötila noin $7\,{}^\circ\text{C}$) kerrotaan. 1 p

b)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Noin $17{,}1\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{km}}$. 1 p

c)3 p

Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T = 6{,}7\,{}^\circ\text{C} + 17{,}1\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{km}} \cdot 6{,}0\,\text{km}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Noin $110\,{}^\circ\text{C}$. 1 p
Toteaa, että arvio edellyttää lämpötilan nousevan samaan tahtiin myös mittaamattomalla välillä $3$–$6\,\text{km}$. 1 p

d)3 p

Joka sekunti $30{,}0\,\text{kg}$ vettä lämpenee $50\,\text{K}$, joten teho on $P = \tfrac{Q}{t} = c \cdot \tfrac{m}{t} \cdot \Delta T$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 6{,}29\,\text{MW}$. 1 p

e)3 p

Lämpötila: mallin mukaan noin $110\,{}^\circ\text{C}$, joten ”yli $120\,{}^\circ\text{C}$” vaatisi lämpötilan nousevan syvemmällä nopeammin kuin koekaivossa. 1 p
Teho: $10\,\text{MW}$ vaatisi samalla lämpötilan nousulla noin $48\,\text{kg/s}$ vesivirran tai suuremman lämpötilaeron. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kumpikaan väite ei seuraa annetuista tiedoista; väitteet ovat liian optimistisia, ellei syvemmältä ole muuta tietoa. 1 p

f)2 p

Hajoamisessa vapautuu energiaa, joka on hiukkasten ja säteilyn liike-energiaa. 1 p
Hiukkaset ja gammasäteily luovuttavat energiansa ympäröivälle kalliolle, jonka sisäenergia ja lämpötila kasvavat. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

7.1-10 Osa III: Jousi ja sen oma massa 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineistossa on mittauksen tapaista vaihtelua, mutta se ei ole mittaus.

Opiskelijat ripustivat kierrejousen telineeseen ja kiinnittivät sen alapäähän punnuksia. Jokaisella punnuksella jousi pantiin värähtelemään pystysuunnassa pienellä amplitudilla, ja kymmenen värähdyksen kesto $t_{10}$ mitattiin. Jousen oma massa on $61\,\text{g}$.

Punnuksen massa $m\ (\text{kg})$ $t_{10}\ (\text{s})$
$0{,}100$ $4{,}37$
$0{,}200$ $5{,}86$
$0{,}300$ $7{,}13$
$0{,}400$ $8{,}19$
$0{,}500$ $9{,}03$
$0{,}600$ $9{,}90$

Lisäksi he mittasivat, että kun jouseen ripustetaan $0{,}300\,\text{kg}$:n punnus, jousi venyy levossa $11{,}8\,\text{cm}$ pidemmäksi kuin ilman punnusta.

  1. a) Laadi aineistosta kuvaaja, jonka pisteet asettuvat suoralle, ja sovita niihin suora. Perustele, miksi valitsit nämä suureet akseleille. 7 p
  2. b) Määritä kuvaajasta jousen jousivakio. 4 p
  3. c) Suora ei kulje origon kautta. Selitä, mistä tämä johtuu, ja määritä kuvaajasta, kuinka suuri osa jousen omasta massasta värähtelee ikään kuin punnuksen mukana. 4 p
  4. d) Määritä jousivakio venymämittauksesta ja vertaa sitä b-kohdan tulokseen. 3 p
  5. e) Opiskelija väittää, että jaksonaika kaksinkertaistuu, kun punnuksen massa kaksinkertaistetaan. Arvioi väitettä aineiston perusteella. 2 p

Taidot luvuista: Jousivärähtelijä ja heiluri, Jousivoima ja jousen energia, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

kuvaaja, jonka pisteet asettuvat suoralle, ja siihen sovitettu suora sekä perustelu akselien valinnalle

Kuvaaja

Jousivärähtelijän jaksonaika on $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$, joten $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{k}\,m$: jaksonajan neliö on verrannollinen värähtelevään massaan. Siksi pystyakselille valitaan $T^2$ ja vaaka-akselille $m$. Taulukosta lasketaan ensin $T = \tfrac{t_{10}}{10}$ ja sitten $T^2$:

$m\ (\text{kg})$ $T\ (\text{s})$ $T^2\ (\text{s}^2)$
$0{,}100$ $0{,}437$ $0{,}191$
$0{,}200$ $0{,}586$ $0{,}343$
$0{,}300$ $0{,}713$ $0{,}508$
$0{,}400$ $0{,}819$ $0{,}671$
$0{,}500$ $0{,}903$ $0{,}815$
$0{,}600$ $0{,}990$ $0{,}980$

Suoraa ei pakoteta origon kautta, koska myös jousi itse värähtelee.

$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}8$
$1{,}0$
$1{,}2$
$0$
$m\ (\text{kg})$
$T^2\ (\text{s}^2)$
$(0;\ 0{,}032\,\text{s}^2)$
$(0{,}600\,\text{kg};\ 0{,}979\,\text{s}^2)$
$\text{kulmakerroin} \approx 1{,}58\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{kg}}$

Mallivastaus

Pisteet asettuvat suoralle, joten $T^2$ riippuu punnuksen massasta lineaarisesti. Sovitettu suora $T^2 = 1{,}578\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{kg}} \cdot m + 0{,}0324\,\text{s}^2$ leikkaa pystyakselin hieman origon yläpuolella.

b)

Annettu

a-kohdan sovitettu suora

Kysytty

jousivakio $k$

Periaate

Mallin $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{k}(m + m_\text{j})$ mukaan suoran kulmakerroin on $\tfrac{4\pi^2}{k}$. Kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan pisteet $(0\,\text{kg}$; $0{,}032\,\text{s}^2)$ ja $(0{,}600\,\text{kg}$; $0{,}979\,\text{s}^2)$, joten kulmakerroin on

$\dfrac{0{,}979\,\text{s}^2 - 0{,}032\,\text{s}^2}{0{,}600\,\text{kg}}$
$= 1{,}578\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{kg}}$

Kaava

kulmakerroin $= \dfrac{4\pi^2}{k}$, joten

$k$$= \dfrac{4\pi^2}{\text{kulmakerroin}}$

Muunnokset

Ei tarvita: $\tfrac{\text{kg}}{\text{s}^2} = \tfrac{\text{N}}{\text{m}}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{4\pi^2}{1{,}578\,\text{s}^2/\text{kg}}$
$= 25{,}01\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}^2}$

Vastaus

$k \approx 25{,}0\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten mittauksissa.

Järkevyys

Tällainen jousi venyy $1\,\text{kg}$:n punnuksella $\tfrac{9{,}81\,\text{N}}{25\,\text{N/m}} \approx 0{,}39\,\text{m}$, mikä sopii koulun kierrejouselle.

c)

Annettu

a-kohdan suora: kulmakerroin $1{,}578\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{kg}}$, vakiotermi $b = 0{,}0324\,\text{s}^2$; jousen massa $61\,\text{g}$

Kysytty

miksi suora ei kulje origon kautta ja kuinka suuri jousen massa $m_\text{j}$ värähtelee punnuksen mukana

Periaate

Punnuksen lisäksi myös jousi liikkuu: sen alapää liikkuu punnuksen mukana ja yläpää on paikallaan. Jousen liike vaikuttaa siis kuin osa sen massasta olisi punnuksessa, ja värähtelevä massa on $m + m_\text{j}$. Silloin $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{k}(m + m_\text{j})$, ja suora leikkaa massa-akselin kohdassa $m = -m_\text{j}$.

Kuvaajan lukeminen

Kun $T^2 = 0$, sovitteesta $0 = 1{,}578\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{kg}} \cdot m + 0{,}0324\,\text{s}^2$, joten suora leikkaa massa-akselin kohdassa $m = -\tfrac{b}{\text{kulmakerroin}}$.

Kaava

$m_\text{j}$$= \dfrac{b}{\text{kulmakerroin}}$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.

Sijoitus

$m_\text{j}$$= \dfrac{0{,}0324\,\text{s}^2}{1{,}578\,\text{s}^2/\text{kg}}$
$= 0{,}0205\,\text{kg}$
$= 20{,}5\,\text{g}$

Vastaus

$m_\text{j} \approx 21\,\text{g}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska vakiotermi on pieni ja sen epävarmuus suhteellisesti suuri. Se on noin kolmasosa jousen omasta massasta $61\,\text{g}$.

Järkevyys

Jousen alapää liikkuu yhtä paljon kuin punnus, yläpää ei lainkaan, joten on järkevää, että vain osa jousen massasta vaikuttaa. $\tfrac{61\,\text{g}}{3} \approx 20\,\text{g}$ vastaa tulosta.

d)

Annettu

punnus $m = 0{,}300\,\text{kg}$, venymä $x = 11{,}8\,\text{cm}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; b-kohdan $k = 25{,}0\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$

Kysytty

jousivakio venymämittauksesta ja vertailu b-kohtaan

Periaate

Levossa punnukseen vaikuttavat jousivoima ylös ja paino alas, ja ne ovat yhtä suuret. Jousivoima on verrannollinen venymään (Hooken laki).

Kaava

$kx = mg$, joten $k = \dfrac{mg}{x}$

Muunnokset

$x$$= 11{,}8\,\text{cm}$
$= 11{,}8 \cdot 0{,}01\,\text{m}$
$= 0{,}118\,\text{m}$

Sijoitus

$k$$= \dfrac{0{,}300\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}118\,\text{m}}$
$= 24{,}94\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$

Vastaus

$k \approx 24{,}9\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa ja venymässä. Tulos poikkeaa b-kohdan arvosta $25{,}0\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ vain noin $0{,}3\,\%$, joten menetelmät tukevat toisiaan.

Järkevyys

Venymän lukemisen epävarmuus esimerkiksi $\pm 2\,\text{mm}$ on noin $2\,\%$, mikä on suurempi kuin ero, joten tulokset ovat yhtäpitävät.

e)

Kysytty

kaksinkertaistuuko jaksonaika, kun massa kaksinkertaistetaan

Periaate

Verrataan aineiston jaksonaikoja massoilla, joista toinen on toisen kaksinkertainen, ja mallia $T \propto \sqrt{m + m_\text{j}}$.

Mallivastaus

Aineistossa massa kaksinkertaistuu esimerkiksi $0{,}300\,\text{kg}$:sta $0{,}600\,\text{kg}$:aan, ja jaksonaika kasvaa $0{,}713\,\text{s}$:sta $0{,}990\,\text{s}$:iin eli vain $\tfrac{0{,}990}{0{,}713} \approx 1{,}39$-kertaiseksi. Väite on väärä: jaksonaika on verrannollinen värähtelevän massan neliöjuureen, joten massan kaksinkertaistuminen kasvattaisi ilman jousen massaa jaksonaikaa $\sqrt{2} \approx 1{,}41$-kertaiseksi. Kun c-kohdan jousen massan vaikutus $m_\text{j} \approx 0{,}020\,\text{kg}$ lisätään kumpaankin massaan, malli antaa $\sqrt{0{,}620 : 0{,}320} \approx 1{,}39$, mikä vastaa aineistoa. Ero johtuu siis jousen omasta massasta, joka ei kaksinkertaistu.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa piirretään $T$ massan funktiona ja sovitetaan suora käyrään pisteistöön.
  • a-kohdassa unohdetaan jakaa kymmenellä, jolloin $T^2$ on sata kertaa liian suuri ja jousivakio sadasosa.
  • b-kohdassa jousivakioksi tulkitaan kulmakerroin itse tai sen käänteisluku ilman tekijää $4\pi^2$.
  • c-kohdassa poikkeama origosta selitetään pelkällä mittausvirheellä, vaikka kaikki pisteet ovat johdonmukaisesti suoralla.
  • d-kohdassa venymä jätetään senttimetreiksi, jolloin jousivakioksi tulee $0{,}249\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa jousen vaikuttavan massan määrittäminen massa-akselin leikkauskohdasta suoraan kuvaajasta, kun lukema on noin $-20\,\text{g}$.
  • e-kohdassa vertailu massoilla $0{,}100\,\text{kg}$ ja $0{,}200\,\text{kg}$ (suhde $1{,}34$), kun ero $\sqrt{2}$:een selitetään jousen massalla.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)7 p

Valitsee akseleille $m$ ja $T^2$ ja perustelee valinnan jousivärähtelijän jaksonajalla $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$, josta $T^2$ on verrannollinen massaan. 2 p
Laskee jaksonajat $T = \tfrac{t_{10}}{10}$ ja niiden neliöt. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Suoraa ei pakoteta origon kautta, ja suora leikkaa pystyakselin hieman origon yläpuolella. 2 p

b)4 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin $\tfrac{\Delta(T^2)}{\Delta m}$ luetaan suoralta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kulmakerroin on $\tfrac{4\pi^2}{k}$, joten $k = \tfrac{4\pi^2}{\text{kulmakerroin}}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $k \approx 25{,}0\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$. 1 p

c)4 p

Myös jousi itse liikkuu: sen alapää liikkuu punnuksen mukana ja yläpää on paikallaan, joten värähtelevä massa on $m + m_\text{j}$. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Suora leikkaa massa-akselin kohdassa $-m_\text{j}$ eli $m_\text{j} = \tfrac{b}{\text{kulmakerroin}}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. $m_\text{j} \approx 21\,\text{g}$, noin kolmasosa jousen massasta $61\,\text{g}$. 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Levossa jousivoima on yhtä suuri kuin paino: $kx = mg$, joten $k = \tfrac{mg}{x}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $k \approx 24{,}9\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Tulokset poikkeavat vain noin $0{,}3\,\%$, joten menetelmät tukevat toisiaan. 1 p

e)2 p

Aineistossa $0{,}300\,\text{kg} \to 0{,}600\,\text{kg}$ jaksonaika kasvaa vain $0{,}713\,\text{s} \to 0{,}990\,\text{s}$ eli noin $1{,}39$-kertaiseksi. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: jaksonaika kasvaa massan neliöjuuren mukaan, noin $\sqrt{2} \approx 1{,}41$-kertaiseksi. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (18 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.