Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-1Ydintehtävä

   Kärryn kulkemaa matkaa $s$ mitattiin ajan $t$ funktiona, ja mittauspisteisiin sovitettu suora kulkee pisteiden $(1{,}0\,\text{s};\ 2{,}3\,\text{m})$ ja $(7{,}0\,\text{s};\ 10{,}1\,\text{m})$ kautta. Mikä on suoran kulmakerroin? Anna vastaus yksikössä m/s.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}3\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suoran kaksi pistettä $(t_1$; $s_1) = (1{,}0\,\text{s}$; $2{,}3\,\text{m})$ ja $(t_2$; $s_2) = (7{,}0\,\text{s}$; $10{,}1\,\text{m})$

   Kysytty

   suoran kulmakerroin $k$ yksikössä m/s

   Periaate

   Suoralla $s$ kasvaa joka kohdassa yhtä paljon aikayksikköä kohti, joten kulmakerroin on sama, minkä tahansa kahden suoran pisteen väliltä se lasketaan. Pisteet ovat suoralla ja kaukana toisistaan, joten lukemavirhe vaikuttaa tulokseen vähän.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

   $= \dfrac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: matkat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten tulos tulee suoraan yksikössä m/s.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{10{,}1\,\text{m} - 2{,}3\,\text{m}}{7{,}0\,\text{s} - 1{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{7{,}8\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}}$

   $= 1{,}3\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $1{,}3\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska erotukset $7{,}8\,\text{m}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ ovat kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Kulmakerroin on positiivinen, koska matka kasvaa ajan mukana. Pisteiden välillä kärry kulkee noin $8\,\text{m}$ noin 6 sekunnissa, eli noin 1,3 metriä sekunnissa, mikä on rauhallisen kävelyn vauhtia.

2. Tehtävä 4-2Ydintehtävä

   Uima-altaaseen lasketaan vettä. Veden korkeus $h$ ajan $t$ funktiona noudattaa mittausten mukaan suoraa $h = 0{,}50\,\tfrac{\text{cm}}{\text{min}} \cdot t + 12\,\text{cm}$. Kuinka korkealla veden pinta on, kun hanaa on pidetty auki 30 minuuttia? Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $27\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suora $h = 0{,}50\,\tfrac{\text{cm}}{\text{min}} \cdot t + 12\,\text{cm}$, eli $k = 0{,}50\,\tfrac{\text{cm}}{\text{min}}$ ja $b = 12\,\text{cm}$; aika $t = 30\,\text{min}$

   Kysytty

   veden korkeus $h$ hetkellä $t = 30\,\text{min}$ senttimetreinä

   Periaate

   Mittauksiin sovitettu suora on altaan täyttymisen lineaarinen malli: kulmakerroin kertoo nousun minuutissa ja vakiotermi korkeuden alussa. Kun aika sijoitetaan suoran yhtälöön, saadaan korkeus.

   Kaava

   $h = k t + b$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aika on minuutteina kuten kulmakertoimen yksikössä, ja korkeus tulee senttimetreinä.

   Sijoitus

   $h$$= 0{,}50\,\tfrac{\text{cm}}{\text{min}} \cdot 30\,\text{min} + 12\,\text{cm}$

   $= 15\,\text{cm} + 12\,\text{cm}$

   $= 27\,\text{cm}$

   Vastaus

   $27\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmakertoimessa $0{,}50$ ja vakiotermissä $12\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Pinta nousee 30 minuutissa noin $0{,}5 \cdot 30 = 15\,\text{cm}$ alkukorkeudesta $12\,\text{cm}$, joten korkeus on noin $27\,\text{cm}$ eli suurempi kuin alussa, kuten täytettäessä pitääkin.

3. Tehtävä 4-3

   Nurmikon pituutta $h$ seurattiin vuorokausien $t$ funktiona, ja sovitettu suora on $h = 0{,}60\,\tfrac{\text{cm}}{\text{vrk}} \cdot t + 4{,}0\,\text{cm}$. Monenako vuorokautena mittauksen alusta nurmikko on $10\,\text{cm}$ pitkä? Anna vastaus vuorokausina.

   vrkTarkista
   Vastaus

   $10\,\text{vrk}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suora $h = 0{,}60\,\tfrac{\text{cm}}{\text{vrk}} \cdot t + 4{,}0\,\text{cm}$, eli $k = 0{,}60\,\tfrac{\text{cm}}{\text{vrk}}$ ja $b = 4{,}0\,\text{cm}$; pituus $h = 10\,\text{cm}$

   Kysytty

   aika $t$ vuorokausina

   Periaate

   Suora kertoo pituuden ajan funktiona. Nyt pituus tunnetaan ja aika kysytään, joten suoran yhtälö ratkaistaan ajalle.

   Kaava

   $h = k t + b$, josta $t = \dfrac{h - b}{k}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: pituudet ovat senttimetreinä ja kulmakerroin kertoo senttimetrit vuorokaudessa.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{10\,\text{cm} - 4{,}0\,\text{cm}}{0{,}60\,\tfrac{\text{cm}}{\text{vrk}}}$

   $= \dfrac{6{,}0\,\text{cm}}{0{,}60\,\tfrac{\text{cm}}{\text{vrk}}}$

   $= 10\,\text{vrk}$

   Vastaus

   $10\,\text{vrk}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska $6{,}0\,\text{cm}$ ja $0{,}60\,\tfrac{\text{cm}}{\text{vrk}}$ ovat kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Nurmikko kasvaa alun $4{,}0\,\text{cm}$:stä kuuden sentin verran, ja se kestää noin $6 : 0{,}6 = 10$ vuorokautta. Tarkistus: $0{,}60 \cdot 10 + 4{,}0 = 10\,\text{cm}$.

4. Tehtävä 4-4

   Kynttilä palaa tasaisesti. Mittauspisteisiin sovitettu suora kulkee pisteiden $(0{,}0\,\text{h};\ 20{,}0\,\text{cm})$ ja $(4{,}0\,\text{h};\ 14{,}0\,\text{cm})$ kautta, kun $y$-akselilla on kynttilän pituus. Mikä on suoran kulmakerroin? Anna vastaus etumerkkeineen yksikössä cm/h.

   cm/hTarkista
   Vastaus

   $-1{,}5\,\text{cm/h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suoran pisteet $(t_1$; $y_1) = (0{,}0\,\text{h}$; $20{,}0\,\text{cm})$ ja $(t_2$; $y_2) = (4{,}0\,\text{h}$; $14{,}0\,\text{cm})$, missä $y$ on kynttilän pituus

   Kysytty

   suoran kulmakerroin $k$ yksikössä cm/h

   Periaate

   Kynttilä lyhenee tasaisesti, joten pituus on ajan lineaarinen funktio. Kulmakerroin on pituuden muutos jaettuna ajan muutoksella, ja se on negatiivinen, kun suure pienenee.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta y}{\Delta t}$

   $= \dfrac{y_2 - y_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: pituudet ovat senttimetreinä ja ajat tunteina.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{14{,}0\,\text{cm} - 20{,}0\,\text{cm}}{4{,}0\,\text{h} - 0{,}0\,\text{h}}$

   $= \dfrac{-6{,}0\,\text{cm}}{4{,}0\,\text{h}}$

   $= -1{,}5\,\tfrac{\text{cm}}{\text{h}}$

   Vastaus

   $-1{,}5\,\text{cm/h}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten erotuksissa $-6{,}0\,\text{cm}$ ja $4{,}0\,\text{h}$.

   Järkevyys

   Miinusmerkki kuuluu tulokseen, koska kynttilän pituus pienenee. Kynttilä, jonka pituus on $20\,\text{cm}$, palaisi loppuun noin $20 : 1{,}5 \approx 13$ tunnissa, mikä sopii tavalliselle kynttilälle.

5. Tehtävä 4-5

   Kopiopaperipinon massa $m$ on suoraan verrannollinen arkkien määrään $N$, joten massa esitetään origon kautta kulkevalla suoralla. Kun $N = 250$, massa on $1{,}2\,\text{kg}$.

   Kuinka suuri on yhden arkin massa? Anna vastaus grammoina.

   gTarkista
   Vastaus

   $4{,}8\,\text{g}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pinossa $N = 250$ arkkia ja massa $m = 1{,}2\,\text{kg}$; massa esitetään origon kautta kulkevalla suoralla

   Kysytty

   yhden arkin massa, eli kulmakerroin $k$ grammoina arkkia kohti

   Periaate

   Massa on suoraan verrannollinen arkkien määrään, joten suora kulkee origon kautta ja sen yhtälö on $m = kN$. Kulmakerroin kertoo yhden arkin massan.

   Kaava

   $m = kN$, josta $k = \dfrac{m}{N}$

   Muunnokset

   $1{,}2\,\text{kg} = 1200\,\text{g}$, koska $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{1200\,\text{g}}{250}$

   $= 4{,}8\,\text{g}$

   Vastaus

   $4{,}8\,\text{g}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $1{,}2\,\text{kg}$ (arkkien määrä on tarkka lukumäärä).

   Järkevyys

   Tavallisen A4-arkin massa on noin $5\,\text{g}$, joten tulos on järkevä. Tarkistus:

   $250 \cdot 4{,}8\,\text{g}$$= 1200\,\text{g}$

   $= 1{,}2\,\text{kg}$
6. Tehtävä 4-6

   Kokeessa saatiin kuusi mittauspistettä, jotka asettuvat likimain suoralle mutta hajoavat sen ympärille mittausepävarmuuden vuoksi. Mikä seuraavista kuvaa oikein, miten pisteisiin sovitetaan suora?

   Valitse vaihtoehto.

   • Pisteet yhdistetään murtoviivaksi, koska jokainen mittaus on yhtä tärkeä.
   • Suora piirretään ensimmäisen ja viimeisen pisteen kautta, koska ne rajaavat mittausalueen.
   • Suora piirretään mahdollisimman monen pisteen kautta ja loput pisteet jätetään huomiotta.
   • Suora kulkee pisteiden joukon keskeltä ja pisteitä jää sen molemmille puolille.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Suora kulkee pisteiden joukon keskeltä ja pisteitä jää sen molemmille puolille.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten hajonneisiin mittauspisteisiin sovitetaan suora.

   Periaate

   Mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi. Jokainen piste kertoo suoran paikasta, mutta jokaisessa on satunnaista hajontaa, joten suora valitaan niin, että se on lähellä kaikkia pisteitä ja pisteitä jää suunnilleen yhtä monta sen ylä- ja alapuolelle. Sovitettu suora on malli, ei pisteiden yhdistelmä.

   Mallivastaus

   Suora kulkee pisteiden joukon keskeltä, ja pisteitä jää sen molemmille puolille. Sen ei tarvitse kulkea yhdenkään mittauspisteen kautta. Suoraa ei sidota kahteen päätepisteeseen eikä pisteitä yhdistetä murtoviivaksi, koska silloin hajonta tulkittaisiin ilmiön ominaisuudeksi. Pisteen saa jättää huomiotta vain, jos siinä on todettu karkea virhe ja syy kirjataan.

7. Tehtävä 4-7

   Saman metallin eri kokoisten kappaleiden massa $m$ grammoina mitattiin tilavuuden $V$ funktiona kuutiosenttimetreinä. Mittauspisteisiin sovitettu suora kulkee origon kautta, ja sen kulmakerroin on $7{,}9$. Mitä kulmakerroin kertoo?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kulmakerroin on $7{,}9\,\text{g}$ ja kertoo kappaleen massan, kun tilavuus on nolla.
   • Kulmakerroin on $7{,}9\,\text{g/cm}^3$ ja kertoo, montako grammaa massaa on yhtä kuutiosenttimetriä kohti.
   • Kulmakerroin on pelkkä luku ilman yksikköä, koska se kertoo vain suoran jyrkkyyden.
   • Kulmakerroin on $7{,}9\,\text{cm}^3/\text{g}$ ja kertoo, kuinka suuren tilavuuden yksi gramma täyttää.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kulmakerroin on $7{,}9\,\text{g/cm}^3$ ja kertoo, montako grammaa massaa on yhtä kuutiosenttimetriä kohti.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä saman metallin kappaleiden massa-tilavuuskuvaajan suoran kulmakerroin $7{,}9$ kertoo.

   Periaate

   Kulmakerroin on $k = \Delta y : \Delta x$, joten sen yksikkö on $y$:n yksikkö jaettuna $x$:n yksiköllä. Tässä $y$ on massa grammoina ja $x$ tilavuus kuutiosenttimetreinä, joten yksikkö on $\text{g/cm}^3$. Suora kulkee origon kautta, joten vakiotermi on $b = 0$ ja kulmakerroin kertoo koko suoran jyrkkyyden.

   Mallivastaus

   Kulmakerroin on $7{,}9\,\text{g/cm}^3$. Jokaista lisättyä kuutiosenttimetriä kohti massa kasvaa $7{,}9$ grammaa, eli kulmakerroin on tämän metallin tiheys. Kulmakerroin on tiheys vain, koska kaikki kappaleet ovat samaa ainetta; eri aineista tehtyihin kappaleisiin ei sovitettaisi yhtä suoraa. Se ei ole massa tilavuudella nolla (se olisi vakiotermi), eikä se ole yksikötön luku eikä käänteinen $\text{cm}^3/\text{g}$.

8. Tehtävä 4-8

   Jousen pituus $l$ mitattiin kuorman massan $m$ funktiona. Mittauspisteisiin sovitettu suora kulkee pisteen $(3{,}0\,\text{kg};\ 7{,}0\,\text{cm})$ kautta, ja sen kulmakerroin on $1{,}5\,\tfrac{\text{cm}}{\text{kg}}$. Kuinka pitkä jousi on ilman kuormaa? Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suoran piste $(m_1$; $l_1) = (3{,}0\,\text{kg}$; $7{,}0\,\text{cm})$ ja kulmakerroin $k = 1{,}5\,\tfrac{\text{cm}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   jousen pituus ilman kuormaa eli vakiotermi $b$ senttimetreinä

   Periaate

   Jousen pituus on kuorman lineaarinen funktio $l = km + b$. Ilman kuormaa $m = 0$, joten jousen pituus on suoran ja pystyakselin leikkauskohta eli vakiotermi $b$. Se lasketaan yhdestä suoran pisteestä ja kulmakertoimesta.

   Kaava

   $l_1 = km_1 + b$, josta $b = l_1 - km_1$

   Muunnokset

   Ei tarvita: pituudet ovat senttimetreinä ja massat kilogrammoina kuten kulmakertoimen yksikössä.

   Sijoitus

   $b$$= 7{,}0\,\text{cm} - 1{,}5\,\tfrac{\text{cm}}{\text{kg}} \cdot 3{,}0\,\text{kg}$

   $= 7{,}0\,\text{cm} - 4{,}5\,\text{cm}$

   $= 2{,}5\,\text{cm}$

   Vastaus

   $2{,}5\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa $7{,}0\,\text{cm}$ ja $1{,}5\,\tfrac{\text{cm}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Kuorma $3{,}0\,\text{kg}$ venyttää jousta noin $4{,}5\,\text{cm}$, joten kuormaton jousi on tämän verran lyhyempi kuin $7{,}0\,\text{cm}$. Tulos on positiivinen ja pienempi kuin kuormitettu pituus, kuten pitää.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-9Ydintehtävä

   Pyöräilijän kulkema matka $s$ mitattiin kilometreinä ja aika $t$ minuutteina. Mittauspisteisiin sovitettu suora kulkee pisteiden $(2{,}0\,\text{min};\ 0{,}30\,\text{km})$ ja $(10{,}0\,\text{min};\ 1{,}50\,\text{km})$ kautta. Mikä on suoran kulmakerroin yksikössä m/s?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suoran pisteet $(t_1$; $s_1) = (2{,}0\,\text{min}$; $0{,}30\,\text{km})$ ja $(t_2$; $s_2) = (10{,}0\,\text{min}$; $1{,}50\,\text{km})$

   Kysytty

   kulmakerroin $k$ yksikössä m/s

   Periaate

   Matka-aikakuvaajan suoran kulmakerroin on matkan muutos jaettuna ajan muutoksella. Se on sama kahdella pisteellä missä tahansa suoralla, ja yksiköt on muunnettava SI-yksiköiksi ennen tuloksen ilmoittamista.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

   $= \dfrac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   $\Delta s$$= 1{,}50\,\text{km} - 0{,}30\,\text{km}$

   $= 1{,}20\,\text{km}$

   $= 1200\,\text{m}$

   $\Delta t$$= 10{,}0\,\text{min} - 2{,}0\,\text{min}$

   $= 8{,}0\,\text{min}$

   $= 480\,\text{s}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{1200\,\text{m}}{480\,\text{s}}$

   $= 2{,}5\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $2{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska aikaväli $8{,}0\,\text{min}$ on annettu kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Tulos on noin $2{,}5 \cdot 3{,}6 = 9\,\text{km/h}$. Tarkistus kilometreillä ja minuuteilla:

   $1{,}20\,\text{km} : 8{,}0\,\text{min}$

   $= 0{,}15\,\text{km/min}$

   $= 9\,\text{km/h}$

   mikä on rauhallisen pyöräilyn vauhti.

2. Tehtävä 4-10Ydintehtävä

   Kuvaajassa on tasaisesti liikkuvan kärryn kulkema matka $s$ ajan $t$ funktiona kuudessa mittauksessa. Sovita pisteisiin silmämääräisesti suora (piirrä pisteet ruutupaperille tai aseta viivoitin kuvan päälle) ja arvioi sen avulla, kuinka pitkän matkan kärry on kulkenut hetkellä $t = 8{,}0\,\text{s}$, kun liike jatkuu samanlaisena. Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $s \approx 3{,}9\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan mittauspisteet $(t$; $s)$: $(1\,\text{s}$; $0{,}6\,\text{m})$, $(2\,\text{s}$; $0{,}8\,\text{m})$, $(3\,\text{s}$; $1{,}6\,\text{m})$, $(4\,\text{s}$; $2{,}1\,\text{m})$, $(5\,\text{s}$; $2{,}4\,\text{m})$ ja $(6\,\text{s}$; $2{,}9\,\text{m})$; kysytty hetki $t = 8{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   kärryn kulkema matka $s$ hetkellä $8{,}0\,\text{s}$ metreinä

   Periaate

   Kärry liikkuu tasaisesti, joten matka kasvaa ajan mukana lineaarisesti ja pisteisiin sovitetaan suora $s = kt + b$. Pisteet poikkeavat suorasta satunnaisesti, joten suora piirretään pisteiden keskelle niin, että sen molemmille puolille jää pisteitä, eikä minkään kahden pisteen kautta. Ennuste olettaa, että liike jatkuu samanlaisena myös mittausalueen jälkeen.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteiden keskelle piirretty suora kulkee lähes origon kautta, ja hetkellä $6{,}0\,\text{s}$ se on kohdassa $2{,}9\,\text{m}$. Luetaan suoralta nämä kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, $(0\,\text{s}$; $0{,}0\,\text{m})$ ja $(6{,}0\,\text{s}$; $2{,}9\,\text{m})$, ja jatketaan suoraa hetkeen $8{,}0\,\text{s}$.

   Kaava

   $k = \dfrac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$ ja $s = s_1 + k\,(t - t_1)$

   Muunnokset

   Ei tarvita: ajat ovat sekunteina ja matkat metreinä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{2{,}9\,\text{m} - 0{,}0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 0{,}4833\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   joten

   $s$$= 0{,}0\,\text{m} + 0{,}4833\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 8{,}0\,\text{s}$

   $= 3{,}87\,\text{m}$

   Vastaus

   $s \approx 3{,}9\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska suoralta luetut arvot ovat kahden numeron tarkkuudella. Silmämääräinen sovitus vaihtelee, joten noin $3{,}6\ldots4{,}2\,\text{m}$ on hyvä vastaus.

   Järkevyys

   Kärry kulkee noin puoli metriä sekunnissa, joten hetken $6\,\text{s}$ noin $2{,}9\,\text{m}$:stä se etenee kahdessa sekunnissa vielä noin metrin: $2{,}9\,\text{m} + 1{,}0\,\text{m} \approx 3{,}9\,\text{m}$. Mittausalueen ulkopuolinen ennuste on epävarmempi kuin mittausalueen sisältä luettu arvo.

3. Tehtävä 4-11

   Vesikanisterin ja siinä olevan veden yhteismassa $m$ mitattiin veden tilavuuden $V$ funktiona. Sovitettu suora kulkee pisteiden $(3{,}0\,\textsf{l};\ 3{,}9\,\text{kg})$ ja $(9{,}0\,\textsf{l};\ 9{,}9\,\text{kg})$ kautta. Mikä on tyhjän kanisterin massa? Anna vastaus kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}9\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suoran pisteet $(V_1$; $m_1) = (3{,}0\,\textsf{l}$; $3{,}9\,\text{kg})$ ja $(V_2$; $m_2) = (9{,}0\,\textsf{l}$; $9{,}9\,\text{kg})$, missä $m$ on kanisterin ja veden yhteismassa

   Kysytty

   tyhjän kanisterin massa eli vakiotermi $b$ kilogrammoina

   Periaate

   Yhteismassa on $m = kV + b$: vesi lisää massaa kulmakertoimen verran litraa kohti, ja kun $V = 0$, jäljelle jää vain tyhjän kanisterin massa. Se on suoran ja $m$-akselin leikkauskohta, vakiotermi $b$.

   Kaava

   $k = \dfrac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1}$, ja kun $m_1 = kV_1 + b$, saadaan $b = m_1 - kV_1$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massat ovat kilogrammoina ja tilavuudet litroina, joten $k$ tulee yksikössä kg/l.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{9{,}9\,\text{kg} - 3{,}9\,\text{kg}}{9{,}0\,\textsf{l} - 3{,}0\,\textsf{l}}$

   $= 1{,}0\,\tfrac{\text{kg}}{\textsf{l}}$

   $b$$= 3{,}9\,\text{kg} - 1{,}0\,\tfrac{\text{kg}}{\textsf{l}} \cdot 3{,}0\,\textsf{l}$

   $= 0{,}9\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}9\,\text{kg}$

   Yksi desimaali kuten annetuissa massoissa $3{,}9\,\text{kg}$ ja $9{,}9\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kulmakerroin $1{,}0\,\text{kg/l}$ on veden tiheys, joten vesi tunnistetaan oikein. Tyhjä muovikanisteri painaa noin $1\,\text{kg}$, joten $0{,}9\,\text{kg}$ on järkevä.

4. Tehtävä 4-12

   Taksimatkan hinta on alkumaksu $4{,}0\,\text{€}$ ja lisäksi $2{,}5\,\text{€}$ jokaiselta ajetulta kilometriltä. Hinta on matkan funktio $y = kx + b$.

   Kuinka monta kertaa niin kallis $10\,\text{km}$:n matka on kuin $5{,}0\,\text{km}$:n matka? Anna vastaus lukuna.

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $1{,}8$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkumaksu $b = 4{,}0\,\text{€}$ ja kilometrihinta $k = 2{,}5\,\tfrac{\text{€}}{\text{km}}$; matkat $x_1 = 5{,}0\,\text{km}$ ja $x_2 = 10\,\text{km}$

   Kysytty

   hintojen suhde $r = \dfrac{y(x_2)}{y(x_1)}$

   Periaate

   Hinta on matkan lineaarinen funktio $y = kx + b$. Koska vakiotermi $b$ ei ole nolla, hinta ei ole suoraan verrannollinen matkaan: kaksinkertainen matka ei maksa kaksinkertaista hintaa.

   Kaava

   $y = kx + b$, joten $r = \dfrac{kx_2 + b}{kx_1 + b}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: matkat ovat kilometreinä ja hinnat euroina.

   Sijoitus

   $r$$= \dfrac{2{,}5\,\tfrac{\text{€}}{\text{km}} \cdot 10\,\text{km} + 4{,}0\,\text{€}}{2{,}5\,\tfrac{\text{€}}{\text{km}} \cdot 5{,}0\,\text{km} + 4{,}0\,\text{€}}$

   $= \dfrac{29{,}0\,\text{€}}{16{,}5\,\text{€}}$

   $= 1{,}76$

   Vastaus

   $1{,}8$

   Kertaa, kaksi merkitsevää numeroa kuten kilometrihinnassa $2{,}5\,\tfrac{\text{€}}{\text{km}}$.

   Järkevyys

   Suhde on pienempi kuin 2, koska alkumaksu $4{,}0\,\text{€}$ maksetaan lyhyestäkin matkasta. Jos hinta olisi suoraan verrannollinen matkaan ($b = 0$), suhde olisi tasan 2.

5. Tehtävä 4-13

   Teräsjousesta ripustettiin eri massoja ja mitattiin jousen venymä $x$ kuorman massan $m$ funktiona. Piirrä mittauspisteistä kuvaaja, sovita pisteisiin suora ja määritä sen kulmakerroin.

   Kuinka monta millimetriä jousi venyy yhtä lisägrammaa kohti? Anna vastaus yksikössä mm/g.

   Jousen venymä kuorman funktiona

   $m\,(\text{g})$	$x\,(\text{mm})$
   50,0	4,1
   100,0	8,3
   150,0	11,8
   200,0	16,5
   250,0	20,2
   300,0	23,9

   mm/gTarkista
   Vastaus

   $0{,}080\,\text{mm/g}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(m$; $x)$: $(50{,}0\,\text{g}$; $4{,}1\,\text{mm})$, $(100{,}0\,\text{g}$; $8{,}3\,\text{mm})$, $(150{,}0\,\text{g}$; $11{,}8\,\text{mm})$, $(200{,}0\,\text{g}$; $16{,}5\,\text{mm})$, $(250{,}0\,\text{g}$; $20{,}2\,\text{mm})$ ja $(300{,}0\,\text{g}$; $23{,}9\,\text{mm})$

   Kysytty

   sovitetun suoran kulmakerroin $k$ yksikössä mm/g

   Periaate

   Jousen venymä kasvaa tasaisesti kuorman mukana, kun jousta ei venytetä liikaa, joten pisteisiin sopii lineaarinen malli $x = km + b$. Kulmakerroin kertoo venymän lisäyksen yhtä lisägrammaa kohti. Suora piirretään pisteiden joukon keskeltä, ja kulmakerroin lasketaan suoran pisteistä, ei mittauspisteistä.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet asettuvat nousevalle suoralle, jonka molemmille puolille jää pisteitä. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{g}$; $0{,}2\,\text{mm})$ ja $(300\,\text{g}$; $24{,}1\,\text{mm})$ kautta. Ne luetaan suoralta ja valitaan kaukana toisistaan.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta x}{\Delta m}$

   $= \dfrac{x_2 - x_1}{m_2 - m_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: venymä on millimetreinä ja massa grammoina kuten kysytyssä yksikössä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{24{,}1\,\text{mm} - 0{,}2\,\text{mm}}{300\,\text{g} - 0\,\text{g}}$

   $= \dfrac{23{,}9\,\text{mm}}{300\,\text{g}}$

   $= 0{,}0797\,\tfrac{\text{mm}}{\text{g}}$

   Vastaus

   $0{,}080\,\text{mm/g}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska suora sovitetaan silmämääräisesti ja kulmakerroin saadaan siksi vain kahden numeron tarkkuudella. Silmämääräinen sovitus vaihtelee, joten noin $0{,}076\text{–}0{,}084\,\text{mm/g}$ on hyvä vastaus.

   Järkevyys

   Kuorma $100\,\text{g}$ venyttää jousta noin $0{,}080 \cdot 100 = 8\,\text{mm}$, mikä vastaa taulukon toista riviä. Suora kulkee lähes origon kautta, kuten pitääkin, koska kuormaton jousi ei veny.

6. Tehtävä 4-14

   Kärry liikkui tasaisesti radalla, ja sen paikka $x$ radan merkistä mitattiin ajan $t$ funktiona. Piirrä mittauspisteistä kuvaaja ja sovita pisteisiin suora.

   Mikä on suoran vakiotermi $b$ metreinä? Selitä, miksi suora ei kulje origon kautta ja mitä vakiotermi tässä kokeessa tarkoittaa.

   Kärryn paikka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$x\,(\text{m})$
   0,0	0,82
   1,0	1,31
   2,0	1,68
   3,0	2,22
   4,0	2,57
   5,0	3,09

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}83\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $x)$: $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}82\,\text{m})$, $(1{,}0\,\text{s}$; $1{,}31\,\text{m})$, $(2{,}0\,\text{s}$; $1{,}68\,\text{m})$, $(3{,}0\,\text{s}$; $2{,}22\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $2{,}57\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}09\,\text{m})$

   Kysytty

   sovitetun suoran vakiotermi $b$ metreinä sekä selitys, miksi suora ei kulje origon kautta

   Periaate

   Kärry liikkuu tasaisesti, joten paikka on ajan lineaarinen funktio $x = vt + b$. Vakiotermi on paikka hetkellä $t = 0$ eli suoran ja paikka-akselin leikkauskohta. Se luetaan sovitetulta suoralta eikä mittauspisteestä, koska pisteissä on hajontaa.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet asettuvat nousevalle suoralle, joka alkaa pystyakselilta selvästi nollan yläpuolelta. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}83\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}07\,\text{m})$ kautta, joten leikkauskohta on $0{,}83\,\text{m}$. Pisteiden $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}83\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}07\,\text{m})$ avulla saadaan myös kulmakerroin, eli kärryn nopeus.

   Kaava

   $b = x_1 - vt_1$, missä $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$; kun $t_1 = 0$, $b = x_1$

   Muunnokset

   Ei tarvita: ajat ovat sekunteina ja paikat metreinä.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{3{,}07\,\text{m} - 0{,}83\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}448\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $b$$= 0{,}83\,\text{m} - 0{,}448\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}0\,\text{s}$

   $= 0{,}83\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}83\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten paikoissa. Silmämääräinen sovitus vaihtelee, joten noin $0{,}75\text{–}0{,}91\,\text{m}$ on hyvä vastaus. Suora ei kulje origon kautta, koska kärry oli kellon käynnistyessä jo $0{,}83\,\text{m}$:n päässä radan merkistä, josta paikka mitataan. Vakiotermi on siis kärryn aloituspaikka, eikä origon kautta kulkeva suora sopisi tähän mittaukseen.

   Järkevyys

   Nopeus $0{,}45\,\text{m/s}$ vie kärryn viidessä sekunnissa noin $2{,}2\,\text{m}$ eteenpäin: $0{,}83\,\text{m} + 2{,}2\,\text{m} \approx 3{,}1\,\text{m}$, mikä vastaa viimeistä mittausta. Vakiotermi on positiivinen, koska kärry oli jo merkin edellä.

7. Tehtävä 4-15

   Kahdesta tasalaatuisesta metallista, A:sta ja B:stä, valmistettiin kummastakin eri tilavuuksisia saman aineen kappaleita, ja jokaisen massa punnittiin.

   Piirrä kummankin aineen mittauspisteistä kuvaaja samaan koordinaatistoon ja sovita kumpaankin oma suora. Kuinka monta kertaa suurempi on B:n suoran kulmakerroin kuin A:n? Mitä kulmakerroin tässä kuvaajassa tarkoittaa, ja kumpi aine on tiheämpi?

   Kappaleiden massa tilavuuden funktiona

   $V\,(\text{cm}^3)$	$m_\text{A}\,(\text{g})$	$m_\text{B}\,(\text{g})$
   10,0	27,4	78,6
   20,0	53,8	156,8
   30,0	82,1	237,1
   40,0	108,9	313,5
   50,0	135,2	392,0

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $2{,}9$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon tilavuudet $V = 10{,}0\text{–}50{,}0\,\text{cm}^3$ sekä massat $m_\text{A}$: $27{,}4$, $53{,}8$, $82{,}1$, $108{,}9$ ja $135{,}2\,\text{g}$ ja $m_\text{B}$: $78{,}6$, $156{,}8$, $237{,}1$, $313{,}5$ ja $392{,}0\,\text{g}$

   Kysytty

   suhde $\dfrac{k_\text{B}}{k_\text{A}}$, kulmakertoimen merkitys tässä kuvaajassa ja se, kumpi aine on tiheämpi

   Periaate

   Kummassakin metallissa aine on tasalaatuista ja kappaleet ovat samaa ainetta, joten massa on tilavuuden lineaarinen funktio $m = kV$. Kulmakerroin $k = \Delta m : \Delta V$ on massa tilavuusyksikköä kohti eli tässä kuvaajassa aineen tiheys. Kummallekin aineelle sovitetaan oma suora samaan koordinaatistoon, ja jyrkempi suora kuuluu tiheämmälle aineelle.

   Kuvaajan lukeminen

   Molemmat pistejoukot nousevat suorina origon lähelle, mutta B:n pisteet ovat kaikilla tilavuuksilla paljon korkeammalla kuin A:n. Sovitetut suorat kulkevat likimain pisteiden $(0\,\text{cm}^3$; $0{,}3\,\text{g})$ ja $(50\,\text{cm}^3$; $135{,}6\,\text{g})$ (A) sekä $(0\,\text{cm}^3$; $0{,}5\,\text{g})$ ja $(50\,\text{cm}^3$; $392{,}3\,\text{g})$ (B) kautta.

   Kaava

   $k = \dfrac{\Delta m}{\Delta V}$ ja $\dfrac{k_\text{B}}{k_\text{A}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suhde on yksikötön, ja kummankin suoran kulmakerroin saadaan yksikössä $\text{g/cm}^3$.

   Sijoitus

   $k_\text{A}$$= \dfrac{135{,}6\,\text{g} - 0{,}3\,\text{g}}{50\,\text{cm}^3}$

   $= 2{,}71\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

   $k_\text{B}$$= \dfrac{392{,}3\,\text{g} - 0{,}5\,\text{g}}{50\,\text{cm}^3}$

   $= 7{,}84\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

   joten

   $\dfrac{k_\text{B}}{k_\text{A}}$$= \dfrac{7{,}84}{2{,}71}$

   $= 2{,}89$

   Vastaus

   $2{,}9$

   Kertaa, kaksi merkitsevää numeroa, koska suorat sovitetaan silmämääräisesti ja kulmakertoimet $2{,}7\,\text{g/cm}^3$ ja $7{,}8\,\text{g/cm}^3$ ovat luotettavia vain kahden numeron tarkkuudella, vaikka massat on annettu kolmella numerolla. Kulmakerroin tarkoittaa tässä aineen tiheyttä (massa yhtä kuutiosenttimetriä kohti), ja B on tiheämpi, koska sen kulmakerroin on suurempi.

   Järkevyys

   Kulmakertoimet $2{,}7\,\text{g/cm}^3$ ja $7{,}8\,\text{g/cm}^3$ ovat lähellä alumiinin ja raudan tiheyksiä, joten aineet voisivat olla alumiini ja rauta. Samalla $50\,\text{cm}^3$:n tilavuudella B painaa karkeasti kolme kertaa A:n verran, mikä vastaa suhdetta.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 4-16

   Oppilas mittasi kärryn paikkaa $s$ ajan $t$ funktiona, mutta käynnisti sekuntikellon vasta sitten, kun kärry oli jo kulkenut radan alusta.

   Mittauspisteisiin sovitettu suora on $s = 0{,}85\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 0{,}40\,\text{m}$, missä $s$ mitataan radan alusta.

   Mikä aika sekuntikellon mukaan vastaa hetkeä, jolloin kärry oli radan alussa ($s = 0$)? Anna vastaus etumerkkeineen sekunteina ja perustele etumerkki.

   sTarkista
   Vastaus

   $-0{,}47\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suora $s = 0{,}85\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 0{,}40\,\text{m}$, eli $k = 0{,}85\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ja $b = 0{,}40\,\text{m}$; kärry on radan alussa, kun $s = 0$

   Kysytty

   sekuntikellon lukema $t$, kun $s = 0$

   Periaate

   Vakiotermi $b = 0{,}40\,\text{m}$ on paikka hetkellä $t = 0$ eli silloin, kun sekuntikello käynnistettiin: kärry oli jo $0{,}40\,\text{m}$ radan alusta. Radan alussa kärry oli siis ennen kellon käynnistämistä, ja suoran jatke taaksepäin antaa negatiivisen kellon lukeman.

   Kaava

   $s = kt + b$, josta $t = \dfrac{s - b}{k}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: paikka on metreinä ja kulmakerroin kertoo metrit sekunnissa.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{0 - 0{,}40\,\text{m}}{0{,}85\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

   $= -0{,}4706\,\text{s}$

   Vastaus

   $-0{,}47\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmakertoimessa $0{,}85\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ja vakiotermissä $0{,}40\,\text{m}$. Miinusmerkki tarkoittaa, että kärry oli radan alussa $0{,}47\,\text{s}$ ennen kellon käynnistystä. Tulos olettaa, että kärry liikkui samalla nopeudella jo ennen kellon käynnistämistä, koska suoraa jatketaan mittausalueen ulkopuolelle ($t < 0$).

   Järkevyys

   Tarkistus: kärry ehti 0,47 sekunnissa vauhdilla $0{,}85\,\text{m/s}$ noin $0{,}85 \cdot 0{,}47 = 0{,}40\,\text{m}$, mikä on täsmälleen vakiotermi. Tulos on sama kuin tilanteessa, jossa kello olisi käynnistetty $0{,}47\,\text{s}$ aiemmin ja vakiotermi olisi nolla.

2. Tehtävä 4-17

   Kahvin lämpötila $T$ mitattiin ajan $t$ funktiona: $0\,\text{min}$: $90\,{}^\circ\text{C}$, $10\,\text{min}$: $72\,{}^\circ\text{C}$, $20\,\text{min}$: $60\,{}^\circ\text{C}$ ja $30\,\text{min}$: $51\,{}^\circ\text{C}$.

   Kuinka monta kertaa suurempi on lämpötilan muutos minuutissa (kulmakertoimen itseisarvo) ensimmäisellä kymmenen minuutin välillä kuin viimeisellä? Perustele, miksi yksi suora ei kuvaa kaikkia mittauksia.

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $2{,}0$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kahvin lämpötila $T$: $90\,{}^\circ\text{C}$ ($0\,\text{min}$), $72\,{}^\circ\text{C}$ ($10\,\text{min}$), $60\,{}^\circ\text{C}$ ($20\,\text{min}$) ja $51\,{}^\circ\text{C}$ ($30\,\text{min}$)

   Kysytty

   kulmakertoimien itseisarvojen suhde $\dfrac{|k_1|}{|k_3|}$ ensimmäisellä ja viimeisellä kymmenen minuutin välillä sekä perustelu, miksi yksi suora ei sovi

   Periaate

   Jos mittauspisteet noudattaisivat suoraa, kulmakerroin olisi sama jokaisella aikavälillä. Lasketaan kulmakerroin ensimmäiseltä ja viimeiseltä välillä ja verrataan niitä.

   Kaava

   $k = \dfrac{\Delta T}{\Delta t}$ ja $\dfrac{|k_1|}{|k_3|}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: lämpötilojen erotus on sama celsiusasteina ja kelvineinä, ja aika on minuutteina.

   Sijoitus

   $k_1$$= \dfrac{72\,{}^\circ\text{C} - 90\,{}^\circ\text{C}}{10\,\text{min}}$

   $= -1{,}8\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}$

   $k_3$$= \dfrac{51\,{}^\circ\text{C} - 60\,{}^\circ\text{C}}{10\,\text{min}}$

   $= -0{,}90\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}$

   joten

   $\dfrac{|k_1|}{|k_3|}$$= \dfrac{1{,}8}{0{,}90}$

   $= 2{,}0$

   Vastaus

   $2{,}0$

   Kertaa, kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpötilaerotuksissa. Yksi suora ei sovi, koska kulmakerroin ei ole vakio: kahvi jäähtyy ensin kaksi kertaa nopeammin kuin lopussa, ja väliltä 10–$20\,\text{min}$ saadaan vielä kolmas arvo $-1{,}2\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}$. Pisteet eivät asetu suoralle.

   Järkevyys

   Kulmakertoimet ovat negatiivisia, koska kahvi jäähtyy. Jäähtyminen hidastuu, koska kahvi lähestyy huoneen lämpötilaa ja lämpötilaero ympäristöön pienenee, mikä sopii kokemukseen kuuman juoman jäähtymisestä.

3. Tehtävä 4-18

   Suoralta $y = 2{,}0\,x$ luetaan kaksi pistettä, ja kummankin $y$-arvon lukemavirhe on enintään $0{,}1$ yksikköä. Kulmakerroin lasketaan joko pisteistä $x = 4{,}0$ ja $x = 4{,}5$ tai pisteistä $x = 1{,}0$ ja $x = 9{,}0$.

   Kuinka monta kertaa suurempi on kulmakertoimen suhteellinen epävarmuus lähekkäisistä pisteistä laskettuna? Käytä pahinta tapausta, jossa lukemavirheet summautuvat erotukseen $\Delta y$. Perustele, miksi kaukana toisistaan olevat pisteet ovat parempi valinta.

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $16$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suora $y = 2{,}0\,x$; $y$-lukeman epävarmuus on noin $\Delta y_\text{luku} = 0{,}1$, joten kahden lukeman erotuksen $\Delta y$ epävarmuus on varovaisesti arvioiden noin $2\,\Delta y_\text{luku} = 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2$; lähekkäin $\Delta x_1 = 4{,}5 - 4{,}0 = 0{,}5$, kaukana $\Delta x_2 = 9{,}0 - 1{,}0 = 8{,}0$

   Kysytty

   kuinka monta kertaa suurempi on kulmakertoimen suhteellinen epävarmuus lähekkäisistä pisteistä laskettuna

   Periaate

   Kulmakerroin on $k = \Delta y : \Delta x$. Kun $x$-arvot tunnetaan tarkasti, kulmakertoimen suhteellinen epävarmuus on yhtä suuri kuin erotuksen $\Delta y$ suhteellinen epävarmuus. Suoralla $\Delta y = k\,\Delta x$, joten erotus kasvaa matkan mukana, mutta lukemavirhe pysyy samana.

   Kaava

   $\dfrac{\Delta k}{k}$$= \dfrac{2\,\Delta y_\text{luku}}{\Delta y}$

   $= \dfrac{2\,\Delta y_\text{luku}}{k\,\Delta x}$

   joten

   $\dfrac{(\Delta k : k)_\text{lähellä}}{(\Delta k : k)_\text{kaukana}}$

   $= \dfrac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suhde on yksikötön.

   Sijoitus

   Lähellä

   $\Delta y$$= 2{,}0 \cdot 0{,}5$

   $= 1{,}0$

   $\dfrac{\Delta k}{k}$$= \dfrac{0{,}2}{1{,}0}$

   $= 0{,}20$

   Kaukana

   $\Delta y$$= 2{,}0 \cdot 8{,}0$

   $= 16$

   $\dfrac{\Delta k}{k}$$= \dfrac{0{,}2}{16}$

   $= 0{,}0125$

   Suhde on

   $\dfrac{0{,}20}{0{,}0125}$$= \dfrac{8{,}0}{0{,}5}$

   $= 16$

   Vastaus

   $16$

   Kertaa. Lukemavirhe supistuu pois suhteesta, joten luku määräytyy pelkästä $\Delta x$:n suhteesta $8{,}0 : 0{,}5 = 16$, joka on tarkka; kaksi merkitsevää numeroa riittää. Kaukana toisistaan olevat pisteet ovat parempi valinta, koska erotus $\Delta y$ on suuri verrattuna lukemavirheeseen.

   Järkevyys

   Lähekkäisten pisteiden virhe $20\,\%$ on liian suuri, kaukana oleva noin $1{,}3\,\%$ on hyvä. Suhde 16 on sama kuin $\Delta x$:n suhde $8{,}0 : 0{,}5$, kuten kaavasta pitää seurata.

4. Tehtävä 4-19

   Jousesta mitattiin venymä $x$ kuorman massan $m$ funktiona suuremmilla kuormilla kuin tavallisesti. Piirrä mittauspisteistä kuvaaja.

   Millä kuormien välillä lineaarinen malli pätee? Sovita suora sille välille ja anna sen kulmakerroin yksikössä mm/g. Perustele, miksi malli ei päde koko mitatulla alueella.

   Jousen venymä suurilla kuormilla

   $m\,(\text{g})$	$x\,(\text{mm})$
   100,0	8,1
   200,0	16,3
   300,0	24,2
   400,0	32,5
   500,0	40,1
   600,0	51,8
   700,0	68,9

   mm/gTarkista
   Vastaus

   $0{,}080\,\text{mm/g}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(m$; $x)$ välillä $100\text{–}700\,\text{g}$; venymät $8{,}1$, $16{,}3$, $24{,}2$, $32{,}5$, $40{,}1$, $51{,}8$ ja $68{,}9\,\text{mm}$

   Kysytty

   kuormien väli, jolla lineaarinen malli pätee, sen suoran kulmakerroin $k$ yksikössä mm/g ja perustelu, miksi malli ei päde koko alueella

   Periaate

   Lineaarinen malli pätee vain mitatulla alueella, jolla pisteet asettuvat suoralle. Sovitetaan suora pisteisiin, jotka ovat suoralla, ja tarkistetaan, mihin kohtaan muut pisteet eivät enää sovi. Mitatuista pisteistä alueella $100\text{–}500\,\text{g}$ venymä kasvaa tasaisesti, mutta suuremmilla kuormilla jousi venyy enemmän kuin suora ennustaa.

   Kuvaajan lukeminen

   Viisi ensimmäistä pistettä asettuvat suoralle, jonka molemmille puolille jää pisteitä. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{g}$; $0{,}2\,\text{mm})$ ja $(500\,\text{g}$; $40{,}3\,\text{mm})$ kautta. Pisteet $600\,\text{g}$ ja $700\,\text{g}$ ovat suoran yläpuolella, ja ero kasvaa: suora antaisi $48{,}3\,\text{mm}$ ja $56{,}3\,\text{mm}$, mutta mitattu on $51{,}8\,\text{mm}$ ja $68{,}9\,\text{mm}$. Poikkeama on $3{,}5\,\text{mm}$ ja $12{,}6\,\text{mm}$, kun alueen sisällä poikkeama on enintään $0{,}3\,\text{mm}$.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta x}{\Delta m}$

   $= \dfrac{x_2 - x_1}{m_2 - m_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: venymä on millimetreinä ja massa grammoina.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{40{,}3\,\text{mm} - 0{,}2\,\text{mm}}{500\,\text{g} - 0\,\text{g}}$

   $= \dfrac{40{,}1\,\text{mm}}{500\,\text{g}}$

   $= 0{,}0802\,\tfrac{\text{mm}}{\text{g}}$

   Vastaus

   $0{,}080\,\text{mm/g}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten venymissä. Lineaarinen malli pätee mitatuista pisteistä välillä $100\text{–}500\,\text{g}$, ja ekstrapoloiden se pätee myös pienemmille kuormille aina kuormattomaan jouseen asti, koska suora kulkee likimain origon kautta ja kuormaton jousi ei veny. Kuormat $600\,\text{g}$ ja $700\,\text{g}$ poikkeavat suorasta selvästi enemmän kuin mittaushajonta selittää: jousi ylikuormittuu eli venyy kimmoisen alueensa yli, jolloin venymä ei ole enää suoraan verrannollinen kuormaan ja jousi voi jäädä pysyvästi venyneeksi. Suoraa ei saa jatkaa tälle kuormien alueelle.

   Järkevyys

   Alkuosan kulmakerroin $0{,}080\,\text{mm/g}$ vastaa pienen kuorman jousta (vrt. $8\,\text{mm}$ kuormalla $100\,\text{g}$). Jos suora sovitettaisiin kaikkiin seitsemään pisteeseen, kulmakerroin kasvaisi ja väli $100\text{–}500\,\text{g}$ kuvautuisi huonommin.

5. Tehtävä 4-20

   Kärryn matka $s$ mitattiin ajan $t$ funktiona. Piirrä mittauspisteistä kuvaaja. Pisteiden joukkoon mahtuu jyrkin suora, joka kulkee pisteiden $(1{,}0\,\text{s};\ 0{,}75\,\text{m})$ ja $(6{,}0\,\text{s};\ 3{,}50\,\text{m})$ kautta, ja loivin suora pisteiden $(2{,}0\,\text{s};\ 1{,}40\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s};\ 2{,}60\,\text{m})$ kautta.

   Oppilas arvioi kulmakertoimeksi näiden suorien kulmakertoimien keskiarvon ja sen epävarmuudeksi niiden erotuksen: "Jyrkin suora antaa $0{,}55\,\text{m/s}$ ja loivin $0{,}40\,\text{m/s}$. Keskiarvo on $0{,}475\,\text{m/s}$ ja epävarmuus $0{,}55\,\text{m/s} - 0{,}40\,\text{m/s} = 0{,}15\,\text{m/s}$, joten epävarmuus on $32\,\%$ kulmakertoimesta."

   Etsi oppilaan virhe ja laske oikea epävarmuus prosentteina kulmakertoimesta. Selitä, mitä tämä arvio kertoo ja mitä se ei takaa.

   Kärryn matka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   1,0	0,75
   2,0	1,40
   3,0	1,80
   4,0	2,30
   5,0	2,60
   6,0	3,50

   %Tarkista
   Vastaus

   $16\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $s)$: $(1{,}0\,\text{s}$; $0{,}75\,\text{m})$, $(2{,}0\,\text{s}$; $1{,}40\,\text{m})$, $(3{,}0\,\text{s}$; $1{,}80\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $2{,}30\,\text{m})$, $(5{,}0\,\text{s}$; $2{,}60\,\text{m})$ ja $(6{,}0\,\text{s}$; $3{,}50\,\text{m})$; jyrkin suora pisteiden $(1{,}0\,\text{s}$; $0{,}75\,\text{m})$ ja $(6{,}0\,\text{s}$; $3{,}50\,\text{m})$ kautta, loivin suora pisteiden $(2{,}0\,\text{s}$; $1{,}40\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $2{,}60\,\text{m})$ kautta

   Kysytty

   oppilaan virhe ja kulmakertoimen epävarmuus prosentteina kulmakertoimesta

   Periaate

   Jyrkin ja loivin suora, jotka vielä mahtuvat pisteiden joukkoon, rajaavat kulmakertoimelle arvioidun vaihteluvälin. Kulmakertoimen arvo on välin keskikohta ja epävarmuus on puolet välin leveydestä, koska arvo on keskellä ja väli ulottuu epävarmuuden verran molemmille puolille. Arvio on yksinkertainen eikä takaa, että todellinen arvo on välillä.

   Kuvaajan lukeminen

   Piirretyt pisteet nousevat suoraan ylöspäin, ja jyrkin ja loivin suora kulkevat molemmat pistejoukon läpi niin, että pisteitä jää kummallekin puolelle. Jyrkin suora nousee pisteiden $1{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ välillä $3{,}50\,\text{m} - 0{,}75\,\text{m} = 2{,}75\,\text{m}$ ja loivin pisteiden $2{,}0\,\text{s}$ ja $5{,}0\,\text{s}$ välillä $2{,}60\,\text{m} - 1{,}40\,\text{m} = 1{,}20\,\text{m}$. Oppilaan keskiarvo ja kulmakertoimet ovat oikein; virhe on epävarmuuden laskussa.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

   $\;k$$= \dfrac{k_\text{max} + k_\text{min}}{2}$

   $\;\Delta k$$= \dfrac{k_\text{max} - k_\text{min}}{2}$

   ja suhteellinen epävarmuus $\dfrac{\Delta k}{k} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kulmakertoimet saadaan yksikössä m/s, ja prosenttiosuus on yksikötön suhde kerrottuna luvulla $100$.

   Sijoitus

   $k_\text{max}$$= \dfrac{2{,}75\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}55\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $k_\text{min}$$= \dfrac{1{,}20\,\text{m}}{3{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}40\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Keskiarvo

   $k$$= \dfrac{0{,}55 + 0{,}40}{2}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $= 0{,}475\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $\Delta k$$= \dfrac{0{,}55 - 0{,}40}{2}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $= 0{,}075\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   joten

   $\dfrac{\Delta k}{k} \cdot 100\,\%$$= \dfrac{0{,}075}{0{,}475} \cdot 100\,\%$

   $= 15{,}8\,\%$

   Vastaus

   Oppilas käytti epävarmuutena koko kulmakertoimien erotusta $0{,}15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ eikä sen puolikasta; oikea epävarmuus on $16\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten pisteiden koordinaateissa (esimerkiksi $0{,}75\,\text{m}$). Kulmakerroin on siis noin $(0{,}48 \pm 0{,}08)\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Arvio kertoo, kuinka paljon kulmakerroin voi hajonnan vuoksi vaihdella, mutta se ei takaa, että todellinen nopeus on tällä välillä: väli on arvioitu rajaus eikä varma raja.

   Järkevyys

   Oikea väli $0{,}475 \pm 0{,}075\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ on $0{,}40\text{–}0{,}55\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, eli täsmälleen loivin ja jyrkin suora. Oppilaan väli $0{,}475 \pm 0{,}15$ olisi $0{,}33\text{–}0{,}63\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, joka ulottuu selvästi yli kummankin suoran, joten $32\,\%$ on kaksinkertainen. Koko mittausvälin päätepisteistä saatu keskimääräinen nopeus

   $\tfrac{3{,}50 - 0{,}75}{5{,}0}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$= 0{,}55\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   on välin sisällä.