Tasainen liike – nopeus, paikka ja kuvaajat

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Pyöräilijä ajaa tasaisesti nopeudella $5{,}5\,\text{m/s}$. Kuinka pitkän matkan hän kulkee 20 sekunnissa?

   mTarkista
   Vastaus

   $110\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 5{,}5\,\text{m/s}$, aika $t = 20\,\text{s}$; liike alkaa nollakohdasta, joten $s_0 = 0$

   Kysytty

   kuljettu matka $s$ metreinä

   Periaate

   Nopeus on vakio, joten liike on tasaista, ja matka on suoraan verrannollinen aikaan.

   Kaava

   $s = s_0 + vt$, ja koska $s_0 = 0$, $s = vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeus on m/s ja aika sekunteina, joten tulo on metreinä.

   Sijoitus

   $s$$= 5{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 20\,\text{s}$

   $= 110\,\text{m}$

   Vastaus

   $110\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $5{,}5\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Noin $5\,\text{m}$ sekunnissa kahdenkymmenen sekunnin ajan on noin $5 \cdot 20 = 100\,\text{m}$, ja yksikkö $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} = \text{m}$ on matkan yksikkö.

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Juoksija kulkee tasaisella vauhdilla $360\,\text{m}$ ajassa $45\,\text{s}$. Mikä on hänen nopeutensa?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 360\,\text{m}$, aika $t = 45\,\text{s}$; liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä m/s

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on kuljettu matka jaettuna siihen kuluneella ajalla.

   Kaava

   $s = vt$, josta $v = \dfrac{s}{t}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: matka on metreinä ja aika sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{360\,\text{m}}{45\,\text{s}}$

   $= 8{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $45\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tarkistus takaisin: $8{,}0\,\text{m/s} \cdot 45\,\text{s} = 360\,\text{m}$. Nopeus vastaa noin $29\,\text{km/h}$, mikä vastaa hyvän juoksijan vauhtia 400 metrin juoksussa.

3. Tehtävä 5-3

   Kuvaajassa on kävelijän paikka ajan funktiona. Kävelijä liikkuu tasaisesti samaan suuntaan myös kuvaajan ulkopuolella. Kuinka monta sekuntia kuluu lähdöstä siihen, kun hän on kulkenut $150\,\text{m}$?

   sTarkista
   Vastaus

   $60\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaaja, jossa kävelijän paikka $s$ on ajan $t$ funktiona suora viiva origosta; liike jatkuu tasaisena kuvaajan ulkopuolella; matka $s = 150\,\text{m}$

   Kysytty

   aika $t$ sekunteina, kun matka on $150\,\text{m}$

   Periaate

   Suora viiva origosta tarkoittaa tasaista liikettä, ja viivan kulmakerroin on nopeus. Kun nopeus tunnetaan, aika kuvaajan ulkopuolellekin saadaan jakamalla matka nopeudella.

   Kuvaajan lukeminen

   Viiva kulkee ruudukon risteyksen kautta, jossa $t_1 = 0\,\text{s}$ ja $s_1 = 0\,\text{m}$ (origo), sekä risteyksen kautta, jossa $t_2 = 8\,\text{s}$ ja $s_2 = 20\,\text{m}$. Muut risteykset ovat esimerkiksi $(4\,\text{s}$; $10\,\text{m})$ ja $(10\,\text{s}$; $25\,\text{m})$. Lukema on tarkka ruudukosta, joten vastauksen hyväksytään poikkeavan korkeintaan $3\,\%$.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ ja $s = vt$, josta $t = \dfrac{s}{v}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: matka on metreinä ja aika sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{20\,\text{m} - 0\,\text{m}}{8\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 2{,}5\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $t$$= \dfrac{150\,\text{m}}{2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

   $= 60\,\text{s}$

   Vastaus

   $60\,\text{s}$

   Eli yksi minuutti; nopeus on luettu kahdella merkitsevällä numerolla, joten vastaus on annettu samalla tarkkuudella.

   Järkevyys

   Nopeus $2{,}5\,\text{m/s}$ on noin $9\,\text{km/h}$, reipas kävely tai hidas hölkkä. Kuvaajassa $10\,\text{s}$ vie $25\,\text{m}$, joten $150\,\text{m}$ eli kuusi kertaa pidempi matka vie kuusi kertaa pidemmän ajan, $60\,\text{s}$.

4. Tehtävä 5-4

   Kappale liikkuu tasaisesti lähtöpisteestään ja kulkee ajassa $4{,}0\,\text{s}$ matkan $18\,\text{m}$. Kuinka pitkän matkan se kulkee ajassa $10\,\text{s}$?

   mTarkista
   Vastaus

   $45\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $s_1 = 18\,\text{m}$ ajassa $t_1 = 4{,}0\,\text{s}$; kysytty aika $t_2 = 10\,\text{s}$; liike alkaa lähtöpisteestä, joten $s_0 = 0$

   Kysytty

   matka $s_2$ ajassa $t_2$ metreinä

   Periaate

   Liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta, joten matka on suoraan verrannollinen aikaan: suhde $s : t$ on molemmilla ajoilla sama.

   Kaava

   $\dfrac{s_2}{t_2} = \dfrac{s_1}{t_1}$, josta $s_2 = s_1\,\dfrac{t_2}{t_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: ajat ovat sekunteina, ja sekunnit supistuvat.

   Sijoitus

   $s_2$$= 18\,\text{m} \cdot \dfrac{10\,\text{s}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= 45\,\text{m}$

   Vastaus

   $45\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten matkassa $18\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Aika $10\,\text{s}$ on $2{,}5$-kertainen aikaan $4{,}0\,\text{s}$ verrattuna, joten matkankin pitää olla $2{,}5$-kertainen: $2{,}5 \cdot 18\,\text{m} = 45\,\text{m}$. Nopeus on $18\,\text{m} : 4{,}0\,\text{s} = 4{,}5\,\text{m/s}$, ja $4{,}5\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 45\,\text{m}$.

5. Tehtävä 5-5

   Tasaisesti liikkuvan kärryn paikka lähtöpisteestä mitattuna on hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ kohdassa $7{,}0\,\text{m}$ ja hetkellä $6{,}0\,\text{s}$ kohdassa $21\,\text{m}$. Laske kärryn nopeus paikan muutoksen ja aikavälin avulla.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $3{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hetkellä $t_1 = 2{,}0\,\text{s}$ paikka $s_1 = 7{,}0\,\text{m}$ ja hetkellä $t_2 = 6{,}0\,\text{s}$ paikka $s_2 = 21\,\text{m}$; liike on tasaista

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä m/s

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on vakio, joten se on paikan muutos jaettuna aikavälillä. Alkupaikalla ei ole väliä, koska se supistuu erotuksessa pois.

   Kaava

   $v$$= \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

   $= \dfrac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{21\,\text{m} - 7{,}0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{14\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= 3{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $3{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten paikoissa $7{,}0\,\text{m}$ ja ajoissa $2{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Osamäärät $7{,}0\,\text{m} : 2{,}0\,\text{s}$ ja $21\,\text{m} : 6{,}0\,\text{s}$ ovat kumpikin $3{,}5\,\text{m/s}$, joten paikka on verrannollinen aikaan ja alkupaikka on nolla. Nopeus $3{,}5\,\text{m/s}$ vastaa pyöräilyä hitaasti, noin $13\,\text{km/h}$.

6. Tehtävä 5-6

   Kävelijän paikka $s$ on mitattu ajan $t$ funktiona, ja mittauspisteet asettuvat suoralle. Mitä suoran kulmakerroin $\Delta s : \Delta t$ kertoo?

   Valitse vaihtoehto.

   • Paikan $s$ ja ajan $t$ osamäärän $s : t$ jostakin yksittäisestä pisteestä.
   • Kävelijän nopeuden.
   • Kävelijän kulkeman kokonaismatkan.
   • Kävelijän alkupaikan.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kävelijän nopeuden.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä $(t, s)$-kuvaajan suoran kulmakerroin kertoo tasaisesta liikkeestä.

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä $(t, s)$-kuvaaja on suora. Kulmakerroin on paikan muutos jaettuna aikavälillä, $\Delta s : \Delta t$, ja se on kappaleen nopeus $v$ (yksikkö m/s). Alkupaikka $s_0$ on suoran ja $s$-akselin leikkauskohta, ei kulmakerroin.

   Mallivastaus

   Kulmakerroin kertoo kävelijän nopeuden. Mitä jyrkempi suora on, sitä suurempi nopeus on. Se ei ole alkupaikka (leikkauskohta) eikä kokonaismatka (pelkkä $\Delta s$), ja osamäärä $s : t$ on nopeus vain, kun suora kulkee origon kautta.

7. Tehtävä 5-7

   Tasaisesti liikkuvan kärryn nopeus on $(t, v)$-kuvaajassa vaakasuora viiva kohdassa $v = 0{,}80\,\text{m/s}$ aikavälillä $0\,\text{s} - 12\,\text{s}$. Viivan ja $t$-akselin väliin jäävän suorakulmion pinta-ala on vastaava kuljettu matka.

   Kuinka pitkän matkan kärry kulkee tänä aikana?

   mTarkista
   Vastaus

   $9{,}6\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 0{,}80\,\text{m/s}$ vakiona aikavälillä $0\,\text{s} - 12\,\text{s}$, joten aikaväli on $t = 12\,\text{s}$

   Kysytty

   kuljettu matka $\Delta s$ metreinä

   Periaate

   $(t, v)$-kuvaajassa vaakasuora viiva on suorakulmion yläreuna. Suorakulmion korkeus on nopeus $v$ ja leveys aika $t$, joten sen pinta-ala $vt$ on tasaisessa liikkeessä kuljettu matka.

   Kuvaajan lukeminen

   Korkeus on $v = 0{,}80\,\text{m/s}$ ja leveys

   $t$$= 12\,\text{s} - 0\,\text{s}$

   $= 12\,\text{s}$

   Kaava

   $\Delta s = vt$ (suorakulmion pinta-ala = korkeus $\cdot$ leveys)

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeus on m/s ja aika sekunteina, ja $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} = \text{m}$.

   Sijoitus

   $\Delta s$$= 0{,}80\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 12\,\text{s}$

   $= 9{,}6\,\text{m}$

   Vastaus

   $9{,}6\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $0{,}80\,\text{m/s}$ ja ajassa $12\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus $0{,}80\,\text{m/s}$ on alle metri sekunnissa, joten $12\,\text{s}$:ssa matka on alle $12\,\text{m}$. Sama tulos saadaan kaavalla $s = vt$, joka on tasaisen liikkeen perusyhtälö.

8. Tehtävä 5-8

   Pyöräilijä kulkee tasaisesti $2{,}4\,\text{km}$ ajassa $16\,\text{min}$. Mikä on hänen nopeutensa? Anna vastaus yksikössä m/s.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 2{,}4\,\text{km}$, aika $t = 16\,\text{min}$; liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä m/s

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on kuljettu matka jaettuna siihen kuluneella ajalla. Kilometrit ja minuutit muunnetaan metreiksi ja sekunneiksi ennen jakamista.

   Kaava

   $s = vt$, josta $v = \dfrac{s}{t}$

   Muunnokset

   sijoitetaan $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ ja $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$:

   $s$$= 2{,}4 \cdot 1000\,\text{m}$

   $= 2400\,\text{m}$

   $t$$= 16 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 960\,\text{s}$

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{2400\,\text{m}}{960\,\text{s}}$

   $= 2{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $2{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $2{,}4\,\text{km}$ ja $16\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Tarkistus takaisin: $2{,}5\,\text{m/s} \cdot 960\,\text{s} = 2400\,\text{m}$. Nopeus on $9{,}0\,\text{km/h}$, mikä sopii rauhalliseen pyöräilyyn.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-9Ydintehtävä

   Auto ajaa tasaisella nopeudella $54\,\text{km/h}$. Kuinka pitkän matkan se kulkee 14 sekunnissa? Vastaa metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $210\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 54\,\text{km/h}$, aika $t = 14\,\text{s}$; liike alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   matka $s$ metreinä

   Periaate

   Auto ajaa vakionopeudella, joten liike on tasaista ja $s = vt$. Nopeus ja aika täytyy saada yhteensopiviin yksiköihin.

   Kaava

   $s = vt$

   Muunnokset

   sijoitetaan $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ ja $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$:

   $v$$= 54\,\text{km/h}$

   $= \dfrac{54\cdot1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 15\,\text{m/s}$

   Sijoitus

   $s$$= 15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 14\,\text{s}$

   $= 210\,\text{m}$

   Vastaus

   $210\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $54\,\text{km/h}$ ja ajassa $14\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus $54\,\text{km/h}$ on $0{,}9\,\text{km}$ minuutissa, ja $14\,\text{s}$ on noin $0{,}23\,\text{min}$, joten matka on noin

   $0{,}9 \cdot 0{,}23\,\text{km}$$\approx 0{,}21\,\text{km}$

   $= 210\,\text{m}$
2. Tehtävä 5-10Ydintehtävä

   Linja-auto ajaa tasaisesti nopeudella $36\,\text{km/h}$. Kuinka monta sekuntia $4{,}5\,\text{km}$:n matka kestää?

   sTarkista
   Vastaus

   $450\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 36\,\text{km/h}$, matka $s = 4{,}5\,\text{km}$; liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   aika $t$ sekunteina

   Periaate

   Linja-auto ajaa vakionopeudella, joten matka on verrannollinen aikaan ja aika on matka jaettuna nopeudella.

   Kaava

   $s = vt$, josta $t = \dfrac{s}{v}$

   Muunnokset

   $v$$= 36\,\text{km/h}$

   $= \dfrac{36\cdot1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 10\,\text{m/s}$

   $s = 4{,}5\,\text{km} = 4500\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{4500\,\text{m}}{10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

   $= 450\,\text{s}$

   Vastaus

   $450\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $36\,\text{km/h}$ ja $4{,}5\,\text{km}$.

   Järkevyys

   Kilometreinä ja tunteina:

   $4{,}5\,\text{km} : 36\,\text{km/h}$

   $= 0{,}125\,\text{h}$

   $= 7{,}5\,\text{min}$

   $= 450\,\text{s}$

   mikä on sama tulos.

3. Tehtävä 5-11

   Retkeilijä on kohdassa, joka on $1{,}5\,\text{km}$:n päässä mökistä. Hän kävelee suoraa polkua mökistä poispäin tasaisesti nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$. Kuinka kaukana mökistä hän on 10 minuutin kuluttua? Vastaa kilometreinä.

   kmTarkista
   Vastaus

   $2{,}4\,\text{km}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkupaikka $s_0 = 1{,}5\,\text{km}$ mökistä, nopeus $v = 1{,}5\,\text{m/s}$ poispäin mökistä, aika $t = 10\,\text{min}$

   Kysytty

   etäisyys mökistä $s$ kilometreinä

   Periaate

   Retkeilijä kävelee vakionopeudella, joten liike on tasaista. Alkupaikka ei ole nolla, joten paikka on alkupaikka lisättynä kuljetulla matkalla.

   Kaava

   $s = s_0 + vt$

   Muunnokset

   $s_0$$= 1{,}5\,\text{km}$

   $= 1500\,\text{m}$

   $t = 10\,\text{min} = 600\,\text{s}$. Lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $s$$= 1500\,\text{m} + 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 600\,\text{s}$

   $= 1500\,\text{m} + 900\,\text{m}$

   $= 2400\,\text{m}$

   $= 2{,}4\,\text{km}$

   Vastaus

   $2{,}4\,\text{km}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $1{,}5\,\text{km}$ ja $1{,}5\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Nopeus $1{,}5\,\text{m/s}$ on noin $5{,}4\,\text{km/h}$, joten kymmenessä minuutissa eli kuudesosatunnissa edetään noin $0{,}9\,\text{km}$. Alkupaikkaan lisättynä $1{,}5\,\text{km} + 0{,}9\,\text{km} = 2{,}4\,\text{km}$, ja tulos on suurempi kuin alkupaikka, kuten pitääkin.

4. Tehtävä 5-12

   Salaman jälkeen ukkosen jyrähdys kuuluu $5{,}0\,\text{s}$ kuluttua. Ääni etenee ilmassa tasaisesti nopeudella $343\,\text{m/s}$, ja valon kulkuaika on niin pieni, että se jätetään huomiotta.

   Kuinka kaukana salama iski? Vastaa kilometreinä.

   kmTarkista
   Vastaus

   $1{,}7\,\text{km}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aika $t = 5{,}0\,\text{s}$, äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$; valon kulkuaika jätetään huomiotta

   Kysytty

   salaman etäisyys $s$ kilometreinä

   Periaate

   Ääni etenee vakionopeudella, joten sen kulkema matka on $s = vt$. Valo saapuu käytännössä heti, joten jyrähdyksen viive on äänen kulkuaika koko matkalla.

   Kaava

   $s = vt$

   Muunnokset

   Matka lasketaan metreinä, ja lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $s$$= 343\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 5{,}0\,\text{s}$

   $= 1715\,\text{m}$

   $= 1{,}7\,\text{km}$

   Vastaus

   $1{,}7\,\text{km}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $5{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Peukalosääntö: kolme sekuntia vastaa noin kilometriä, joten viisi sekuntia vastaa noin $1{,}7\,\text{km}$. Valo kulkisi tämän matkan ajassa $1715\,\text{m} : (3{,}0 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}) \approx 6\,\mu\text{s}$, mikä on mitätön viiveeseen $5{,}0\,\text{s}$ verrattuna.

5. Tehtävä 5-13

   Kävelijän liikettä kuvattiin videolle, ja hänen paikkansa $s$ lähtömerkistä mitattiin videoanalyysillä ajan $t$ funktiona. Kävelijä liikkuu tasaisesti, ja pisteet poikkeavat suorasta mittausepävarmuuden vuoksi.

   Piirrä pisteistä kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Määritä suoran kulmakertoimesta kävelijän nopeus ja ennusta sen avulla kävelijän paikka hetkellä $12\,\text{s}$. Kuinka monta metriä lähtömerkistä hän silloin on? Perustele, miksi ennuste on mallin arvo eikä mittaus.

   Kävelijän paikka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   0,0	1,2
   1,0	2,7
   2,0	3,9
   3,0	5,5
   4,0	6,7
   5,0	8,3

   mTarkista
   Vastaus

   $18\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $s)$: $(0{,}0\,\text{s}$; $1{,}2\,\text{m})$, $(1{,}0\,\text{s}$; $2{,}7\,\text{m})$, $(2{,}0\,\text{s}$; $3{,}9\,\text{m})$, $(3{,}0\,\text{s}$; $5{,}5\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $6{,}7\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $8{,}3\,\text{m})$; kävelijä liikkuu tasaisesti

   Kysytty

   kävelijän paikka $s$ hetkellä $t = 12\,\text{s}$ metreinä

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä paikka on ajan lineaarinen funktio $s = s_0 + vt$. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi, joten suora sovitetaan pisteiden joukon keskeltä ja nopeus luetaan sitä pitkin.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet asettuvat nousevalle suoralle, jonka molemmille puolille jää pisteitä. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{s}$; $1{,}2\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $8{,}2\,\text{m})$ kautta. Ne luetaan suoralta ja valitaan kaukana toisistaan. Alkupaikka on $s_0 = 1{,}2\,\text{m}$, koska suora leikkaa $s$-akselin siinä.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ ja $s = s_0 + vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita: paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{8{,}2\,\text{m} - 1{,}2\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 1{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $s$$= 1{,}2\,\text{m} + 1{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 12\,\text{s}$

   $= 1{,}2\,\text{m} + 16{,}8\,\text{m}$

   $= 18\,\text{m}$

   Vastaus

   noin $18\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa. Silmämääräinen sovitus vaihtelee, joten noin $17{,}3\text{–}18{,}7\,\text{m}$ on hyvä vastaus. Ennuste on mallin arvo, ei mittaus: hetki $12\,\text{s}$ on mitatun alueen $0\,\text{s} - 5\,\text{s}$ ulkopuolella, ja se on oikein vain, jos kävelijä jatkaa samalla nopeudella. Tämä on oletus, jota mittaus ei ole tarkistanut.

   Järkevyys

   Nopeus $1{,}4\,\text{m/s}$ on noin $5\,\text{km/h}$, tavallinen kävelyvauhti. Ennuste ylittää viimeisen mittauksen $8{,}3\,\text{m}$ selvästi, kuten pitääkin, koska $12\,\text{s}$ on yli kaksi kertaa niin pitkä aika kuin mittausalue.

6. Tehtävä 5-14

   Kärry liikkuu tasaisesti radalla. Se on alussa kohdassa $s_0 = 8{,}0\,\text{m}$, ja hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ se on kohdassa $11\,\text{m}$. Oppilas päättelee: ”Kun aika kolminkertaistuu $6{,}0\,\text{s}$:iin, paikka kolminkertaistuu, joten kärry on silloin kohdassa $33\,\text{m}$.” Etsi oppilaan virhe ja laske kärryn oikea paikka hetkellä $6{,}0\,\text{s}$.

   mTarkista
   Vastaus

   $17\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkupaikka $s_0 = 8{,}0\,\text{m}$, paikka $s_1 = 11\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 2{,}0\,\text{s}$; oppilaan päätelmä on $s = 33\,\text{m}$ hetkellä $t_2 = 6{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   oppilaan virhe ja oikea paikka $s$ hetkellä $6{,}0\,\text{s}$ metreinä

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä vain kuljettu matka $\Delta s = vt$ on suoraan verrannollinen aikaan. Paikka $s = s_0 + vt$ on verrannollinen aikaan vain, kun $s_0 = 0$. Oppilas sekoitti paikan ja matkan: hän kolminkertaisti paikan, vaikka olisi pitänyt kolminkertaistaa matka.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ ja $s = s_0 + vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita: paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{11\,\text{m} - 8{,}0\,\text{m}}{2{,}0\,\text{s}}$

   $= 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $s$$= 8{,}0\,\text{m} + 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6{,}0\,\text{s}$

   $= 8{,}0\,\text{m} + 9{,}0\,\text{m}$

   $= 17\,\text{m}$

   Vastaus

   Kärry on kohdassa $17\,\text{m}$, ei kohdassa $33\,\text{m}$. Virhe on se, että paikka kolminkertaistettiin: alkupaikka $s_0 = 8{,}0\,\text{m}$ ei ole nolla, joten vain matka kolminkertaistuu ($3{,}0\,\text{m} \to 9{,}0\,\text{m}$), ja alkupaikka on lisättävä siihen.

   Järkevyys

   Matka kolminkertaistui: $3{,}0\,\text{m} \cdot 3 = 9{,}0\,\text{m}$. Oppilaan vastaus $33\,\text{m}$ vaatisi kärryltä matkan $25\,\text{m}$ kuudessa sekunnissa eli nopeuden $4{,}2\,\text{m/s}$, mikä on eri nopeus kuin annetuista tiedoista saatu $1{,}5\,\text{m/s}$.

7. Tehtävä 5-15

   Leluauto ajaa tasaisesti nopeudella noin $0{,}80\,\text{m/s}$. Auton kulkuaika mitataan käsin, ja ajanoton epävarmuus on noin $0{,}2\,\text{s}$ riippumatta mitattavan ajan pituudesta.

   Suunnittelet nopeuden mittauksen, jossa ajan suhteellisen epävarmuuden pitää olla enintään $2{,}0\,\%$. Oleta, että matka mitataan niin tarkasti, ettei sen epävarmuus vaikuta tulokseen.

   Kuinka pitkän matkan auton on vähintään kuljettava mittauksen aikana? Selitä, miksi pitkä matka parantaa mittausta.

   mTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus noin $v = 0{,}80\,\text{m/s}$, ajanoton epävarmuus $u_t = 0{,}2\,\text{s}$ (sama kaikilla ajoilla), suhteellisen epävarmuuden raja $2{,}0\,\%$

   Kysytty

   pienin matka $s$ metreinä

   Periaate

   Ajan suhteellinen epävarmuus on $u_t : t$. Koska $u_t$ on vakio, suhteellinen epävarmuus pienenee, kun mitattu aika kasvaa. Raja antaa pienimmän ajan, ja tasaisessa liikkeessä matka on nopeus kertaa aika.

   Kaava

   $\dfrac{u_t}{t} \le 0{,}020$, josta $t \ge \dfrac{u_t}{0{,}020}$, ja $s = vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita: ajat ovat sekunteina ja nopeus m/s. Prosentti on $2{,}0\,\% = 0{,}020$.

   Sijoitus

   $t$$\ge \dfrac{0{,}2\,\text{s}}{0{,}020}$

   $= 10\,\text{s}$

   $s$$= 0{,}80\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s}$

   $= 8{,}0\,\text{m}$

   Vastaus

   Auton on kuljettava vähintään $8{,}0\,\text{m}$. Pitkä matka parantaa mittausta, koska se kestää kauemmin ja ajanoton epävarmuus $0{,}2\,\text{s}$ on silloin pienempi osa koko ajasta. Lyhyellä matkalla, esimerkiksi $1{,}0\,\text{m}$ ($t = 1{,}25\,\text{s}$), suhteellinen epävarmuus olisi $16\,\%$.

   Järkevyys

   Tarkistus: ajalla $10\,\text{s}$ suhteellinen epävarmuus on

   $0{,}2\,\text{s} : 10\,\text{s}$$= 0{,}020$

   $= 2{,}0\,\%$

   joten raja täyttyy juuri. Matka $8{,}0\,\text{m}$ mahtuu koulun käytävälle.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 5-16

   Voyager 2 -luotain ylitti heliopaussin 5. marraskuuta 2018 etäisyydellä $119{,}7\,\text{AU}$ Auringosta (NASA/JPL), ja sen nopeus Aurinkoon nähden on $15{,}341\,\text{km/s}$ (JPL). Oleta nopeus vakioksi.

   Kuinka monta vuorokautta heliopaussin ylityksestä kuluu, ennen kuin luotain on mallin mukaan $150\,\text{AU}$:n päässä Auringosta? Käytä arvoja $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$ ja $1\,\text{vrk} = 86\,400\,\text{s}$. Tulos on mallin arvo.

   vrkTarkista
   Vastaus

   $3420\,\text{vrk}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $s_0 = 119{,}7\,\text{AU}$ hetkellä $t = 0$ (5. marraskuuta 2018), $v = 15{,}341\,\text{km/s}$, $s = 150\,\text{AU}$, $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$, $1\,\text{vrk} = 86\,400\,\text{s}$

   Kysytty

   aika $t$ vuorokausina, kun luotain on etäisyydellä $150\,\text{AU}$

   Periaate

   Nopeus oletetaan vakioksi, joten tasaisen liikkeen malli $s = s_0 + vt$ pätee. Tulos on mallin arvo, koska Auringon vetovoima hidastaa luotainta hieman ja todellinen aika on siksi vähän pidempi.

   Kaava

   $s = s_0 + vt$, josta $t = \dfrac{s - s_0}{v}$

   Muunnokset

   Nopeus tähtitieteellisiksi yksiköiksi vuorokaudessa:

   $v$$= 15{,}341\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} \cdot 86\,400\,\tfrac{\text{s}}{\text{vrk}}$

   $= 1\,325\,462\,\tfrac{\text{km}}{\text{vrk}}$

   ja

   $\dfrac{1\,325\,462\,\text{km/vrk}}{149\,597\,870{,}7\,\text{km/AU}}$

   $= 0{,}0088602\,\tfrac{\text{AU}}{\text{vrk}}$

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{150\,\text{AU} - 119{,}7\,\text{AU}}{0{,}0088602\,\text{AU/vrk}}$

   $= \dfrac{30{,}3\,\text{AU}}{0{,}0088602\,\text{AU/vrk}}$

   $= 3419{,}8\,\text{vrk}$

   Vastaus

   $3420\,\text{vrk}$

   Kolme merkitsevää numeroa, kun $150\,\text{AU}$ tulkitaan kolmen numeron tarkkuudella ja erotus on $30{,}3\,\text{AU}$.

   Järkevyys

   Vauhti on noin $3{,}2\,\text{AU}$ vuodessa, joten $30{,}3\,\text{AU}$ vie noin $30{,}3 : 3{,}2 \approx 9{,}5$ vuotta. Tulos $3420\,\text{vrk} \approx 9{,}4$ vuotta sopii tähän ja ajoittuu maaliskuuhun 2028. Malli poikkeaa JPL:n arvosta noin 0,2 AU, mikä vastaa noin 20 vuorokauden virhettä ajankohdassa.

2. Tehtävä 5-17

   Voyager 2 on mallin mukaan $150\,\text{AU}$:n etäisyydellä Maasta. Radiosignaali etenee tyhjiössä tasaisesti nopeudella $299\,792\,458\,\text{m/s}$.

   Kuinka monta tuntia kuluu siitä, kun komento lähtee Maasta, siihen, kun luotaimen vastaus saapuu Maahan? Luotaimen liike ja sen käsittelyaika vastausta varten jätetään huomiotta. Käytä arvoa $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$. Perustele, miksi liikkeen voi jättää huomiotta.

   hTarkista
   Vastaus

   $41{,}6\,\text{h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   etäisyys $d = 150\,\text{AU}$, signaalin nopeus $c = 299\,792\,458\,\text{m/s}$, $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$

   Kysytty

   edestakaisen matkan kulkuaika $t$ tunteina

   Periaate

   Radiosignaali etenee tyhjiössä vakionopeudella, joten sen kulkema matka on $s = ct$. Komento ja vastaus kulkevat kumpikin matkan $d$, joten kokonaismatka on $2d$. Luotain liikkuu tänä aikana noin $15\,\text{km/s} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{s} \approx 2{,}3 \cdot 10^{6}\,\text{km} \approx 0{,}015\,\text{AU}$, mikä on vain $0{,}01\,\%$ etäisyydestä $150\,\text{AU}$. Maa liikkuu samassa ajassa noin $30\,\text{km/s} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{s} \approx 0{,}03\,\text{AU}$, vain noin $0{,}02\,\%$, joten kummankaan liikkeen voi jättää huomiotta.

   Kaava

   $2d = ct$, josta $t = \dfrac{2d}{c}$

   Muunnokset

   $d$$= 150 \cdot 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$

   $= 2{,}2440 \cdot 10^{10}\,\text{km}$

   $= 2{,}2440 \cdot 10^{13}\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{2 \cdot 2{,}2440 \cdot 10^{13}\,\text{m}}{299\,792\,458\,\text{m/s}}$

   $= 1{,}497 \cdot 10^{5}\,\text{s}$

   $= \dfrac{1{,}497 \cdot 10^{5}\,\text{s}}{3600\,\text{s/h}}$

   $= 41{,}58\,\text{h}$

   Vastaus

   $41{,}6\,\text{h}$

   Kolme merkitsevää numeroa, kun etäisyys $150\,\text{AU}$ tulkitaan kolmen numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Valo kulkee yhden AU:n noin $499\,\text{s} \approx 8{,}3\,\text{min}$, joten $150\,\text{AU}$ vie noin

   $150 \cdot 8{,}3\,\text{min}$$\approx 1250\,\text{min}$

   $\approx 20{,}8\,\text{h}$

   ja edestakaisin $41{,}6\,\text{h}$. Yli vuorokauden viive on järkevä, koska luotain on kymmeniä miljardeja kilometrejä päässä.

3. Tehtävä 5-18

   Koulun ovelta lähtee kaksi ystävää samaa suoraa katua pitkin samaan suuntaan. Ensimmäinen kävelee tasaisesti nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$. Toinen lähtee ovelta $40\,\text{s}$ myöhemmin pyörällä ja ajaa tasaisesti nopeudella $4{,}5\,\text{m/s}$.

   Kuinka kaukana ovelta pyöräilijä saavuttaa kävelijän?

   mTarkista
   Vastaus

   $90\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kävelijän nopeus $v_1 = 1{,}5\,\text{m/s}$, pyöräilijän nopeus $v_2 = 4{,}5\,\text{m/s}$, pyöräilijän viive $t_0 = 40\,\text{s}$; molemmat lähtevät ovelta, joten $s_0 = 0$

   Kysytty

   etäisyys ovelta $s$ siinä kohdassa, jossa pyöräilijä saavuttaa kävelijän

   Periaate

   Molemmat liikkuvat tasaisesti. He ovat samassa paikassa silloin, kun heidän etäisyytensä ovelta ovat yhtä suuret. Aika $t$ mitataan kävelijän lähdöstä, joten pyöräilijä on liikkunut ajan $t - t_0$.

   Kaava

   $s_1 = v_1 t$ ja $s_2 = v_2 (t - t_0)$. Ehdosta $s_1 = s_2$ saadaan $v_1 t = v_2 (t - t_0)$, josta $t = \dfrac{v_2 t_0}{v_2 - v_1}$ ja $s = v_1 t$.

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeudet ovat m/s ja viive sekunteina.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{4{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 40\,\text{s}}{4{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} - 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

   $= 60\,\text{s}$

   $s$$= 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 60\,\text{s}$

   $= 90\,\text{m}$

   Vastaus

   $90\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.

   Järkevyys

   Pyöräilijä ajaa $60\,\text{s} - 40\,\text{s} = 20\,\text{s}$, ja $4{,}5\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s} = 90\,\text{m}$, sama tulos. Toinen tarkistus: kävelijän etumatka $40\,\text{s}$ jälkeen on $1{,}5 \cdot 40 = 60\,\text{m}$, ja pyöräilijä kuroo sen umpeen nopeuserolla $3{,}0\,\text{m/s}$ ajassa $60 : 3{,}0 = 20\,\text{s}$.

4. Tehtävä 5-19

   Pyöräilijän paikka $s$ radan alusta mitattiin videoanalyysillä ajan $t$ funktiona. Piirrä pisteistä kuvaaja.

   Pyöräilijän nopeus muuttuu kesken matkan, joten liikettä ei voi mallintaa yhdellä suoralla. Etsi taulukosta hetki, jolloin nopeus muuttuu, ja mallinna liike kahtena tasaisena osana.

   Laske mallin avulla pyöräilijän keskinopeus aikavälillä $5{,}0\,\text{s} - 35\,\text{s}$, kun keskinopeus on aikavälillä kuljettu matka jaettuna aikavälin pituudella. Hetkeä $35\,\text{s}$ ei ole taulukossa. Miksi keskinopeus ei ole osien nopeuksien keskiarvo?

   Pyöräilijän paikka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   0,0	0,0
   5,0	15,0
   10,0	30,0
   15,0	35,0
   20,0	40,0
   30,0	50,0
   40,0	60,0

   m/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}3\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $s)$: $(0\,\text{s}$; $0\,\text{m})$, $(5{,}0\,\text{s}$; $15\,\text{m})$, $(10\,\text{s}$; $30\,\text{m})$, $(15\,\text{s}$; $35\,\text{m})$, $(20\,\text{s}$; $40\,\text{m})$, $(30\,\text{s}$; $50\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $60\,\text{m})$

   Kysytty

   keskinopeus $v_\text{ka}$ aikavälillä $5{,}0\,\text{s} - 35\,\text{s}$ ja syy, miksi se ei ole osien nopeuksien keskiarvo

   Periaate

   Kuvaajassa pisteet asettuvat kahdelle suoralle osalle, joiden kulmakertoimet ovat eri suuret, joten yksi suora ei sovi koko liikkeeseen. Liike mallinnetaan paloittain: kummallakin osalla on oma tasainen nopeutensa, ja hetken $35\,\text{s}$ paikka lasketaan jälkimmäisen osan mallista. Keskinopeus on kuljettu matka jaettuna ajalla.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $0\,\text{s} - 10\,\text{s}$ ovat samalla jyrkällä suoralla. Hetkestä $10\,\text{s}$ alkaen suora on loivempi, ja pisteet $(10\,\text{s}$; $30\,\text{m})$, $(20\,\text{s}$; $40\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $60\,\text{m})$ ovat samalla loivalla suoralla. Nopeus muuttuu siis hetkellä $t = 10\,\text{s}$.

   Kaava

   osan nopeus $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$, paikka loivalla osalla $s = s_{10} + v_2 (t - 10\,\text{s})$ ja keskinopeus

   $v_\text{ka}$$= \dfrac{s(35\,\text{s}) - s(5{,}0\,\text{s})}{35\,\text{s} - 5{,}0\,\text{s}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   Osa 1:

   $v_1$$= \dfrac{30\,\text{m} - 0\,\text{m}}{10\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 3{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Osa 2:

   $v_2$$= \dfrac{60\,\text{m} - 30\,\text{m}}{40\,\text{s} - 10\,\text{s}}$

   $= 1{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Paikka hetkellä $35\,\text{s}$:

   $s$$= 30\,\text{m} + 1{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 25\,\text{s}$

   $= 55\,\text{m}$

   Keskinopeus:

   $v_\text{ka}$$= \dfrac{55\,\text{m} - 15\,\text{m}}{35\,\text{s} - 5{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{40\,\text{m}}{30\,\text{s}}$

   $= 1{,}33\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $1{,}3\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa. Osien nopeuksien keskiarvo olisi $(3{,}0 + 1{,}0)\,\text{m/s} : 2 = 2{,}0\,\text{m/s}$, mutta se olisi väärin, koska osat kestävät eri ajan: nopeus $3{,}0\,\text{m/s}$ on voimassa vain $5{,}0\,\text{s}$ ja nopeus $1{,}0\,\text{m/s}$ peräti $25\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Osamatkat ovat $3{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} = 15\,\text{m}$ ja $1{,}0\,\text{m/s} \cdot 25\,\text{s} = 25\,\text{m}$, yhteensä $40\,\text{m}$, sama kuin yllä. Keskinopeus $1{,}3\,\text{m/s}$ on lähempänä hitaampaa nopeutta $1{,}0\,\text{m/s}$ kuin nopeampaa $3{,}0\,\text{m/s}$, kuten pitääkin, koska suurin osa ajasta ajetaan hitaasti.

5. Tehtävä 5-20

   Nopeaa luotia kuvataan kameralla, joka ottaa kuvan $0{,}010\,\text{s}$ välein. Kuvista mitattu luodin paikka $s$ lähtökohdasta on taulukossa. Luodin nopeus on tänä aikana vakio. Laske luodin nopeus.

   Piirretään $(t, s)$-kuvaaja, jonka vaaka-akselilla $1{,}0\,\text{s}$ on $10\,\text{cm}$ ja pystyakselilla $1{,}0\,\text{m}$ on $1{,}0\,\text{cm}$.

   Kuinka monta senttimetriä viiva nousee yhden kuvausvälin aikana ja kuinka pitkä on kuvausväli vaaka-akselilla? Perustele näiden avulla, miksi viiva näyttää lähes pystysuoralta mutta ei voi olla täsmälleen pystysuora.

   Luodin paikka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   0,000	2,0
   0,010	5,0
   0,020	8,0
   0,030	11,0

   m/sTarkista
   Vastaus

   $300\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvausväli $\Delta t = 0{,}010\,\text{s}$, luodin paikat $s = 2{,}0\,\text{m}$, $5{,}0\,\text{m}$, $8{,}0\,\text{m}$ ja $11{,}0\,\text{m}$ hetkinä $0{,}000\,\text{s}$, $0{,}010\,\text{s}$, $0{,}020\,\text{s}$ ja $0{,}030\,\text{s}$; piirroksen mittakaava: $1{,}0\,\text{s}$ on $10\,\text{cm}$ ja $1{,}0\,\text{m}$ on $1{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   luodin nopeus $v$ yksikössä m/s sekä kuvaajan nousu ja kuvausvälin pituus senttimetreinä

   Periaate

   Paikka kasvaa joka kuvausvälillä yhtä paljon ($3{,}0\,\text{m}$), joten liike on tasaista ja nopeus on kuvaajan kulmakerroin $\Delta s : \Delta t$. Kappaleella on jokaisella hetkellä vain yksi paikka, joten jokaista ajan arvoa vastaa yksi paikan arvo. Pystysuorassa viivassa olisi $\Delta t = 0$ ja $\Delta s \neq 0$, jolloin osamäärä ei olisi mikään luku.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon pisteet ovat samalla suoralla, ja kahden peräkkäisen pisteen välillä paikka muuttuu

   $\Delta s$$= 5{,}0\,\text{m} - 2{,}0\,\text{m}$

   $= 3{,}0\,\text{m}$

   ajassa $\Delta t = 0{,}010\,\text{s}$.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$; piirroksessa pituus on mitta-arvo kertaa mittakaava

   Muunnokset

   Ei tarvita nopeuden laskussa. Piirroksessa

   $\Delta s$$= 3{,}0 \cdot 1{,}0\,\text{cm}$

   $= 3{,}0\,\text{cm}$

   $\Delta t$$= 0{,}010 \cdot 10\,\text{cm}$

   $= 0{,}10\,\text{cm}$

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m}}{0{,}010\,\text{s}}$

   $= 300\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Viiva nousee yhdessä kuvausvälissä $3{,}0\,\text{cm}$ ja etenee vaakasuunnassa vain $0{,}10\,\text{cm}$, eli $1{,}0\,\text{mm}$.

   Vastaus

   $300\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten paikkojen erotuksessa $3{,}0\,\text{m}$. Viiva nousee $3{,}0\,\text{cm}$ ja etenee $0{,}10\,\text{cm}$, joten se on noin $30$ kertaa jyrkempi kuin se on leveä ja näyttää lähes pystysuoralta. Se ei silti ole pystysuora: kuvausvälillä kuluu aina aikaa $\Delta t > 0$, ja luoti on jokaisella hetkellä täsmälleen yhdessä paikassa. Pystysuora viiva vaatisi, että luoti olisi samalla hetkellä kahdessa paikassa eli nopeus olisi ääretön.

   Järkevyys

   Nopeus $300\,\text{m/s}$ on samaa suuruusluokkaa kuin äänen nopeus $343\,\text{m/s}$ ja sopii nopealle luodille. Tarkistus: $300\,\text{m/s} \cdot 0{,}010\,\text{s} = 3{,}0\,\text{m}$, sama kuin taulukossa. Pysähtynyt kappale piirtyisi vaakasuorana viivana, koska $\Delta s = 0$.