Tasainen liike – nopeus, paikka ja kuvaajat

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Pyöräilijä ajaa tasaisesti nopeudella $5{,}5\,\text{m/s}$. Kuinka pitkän matkan hän kulkee 20 sekunnissa?

   mTarkista
   Vastaus

   $110\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 5{,}5\,\text{m/s}$, aika $t = 20\,\text{s}$; liike alkaa nollakohdasta, joten $s_0 = 0$

   Kysytty

   kuljettu matka $s$ metreinä

   Periaate

   Nopeus on vakio. Siksi liike on tasaista. Matka on suoraan verrannollinen aikaan.

   Kaava

   $s = s_0 + vt$, ja koska $s_0 = 0$, $s = vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Nopeus on yksikössä m/s ja aika sekunteina. Siksi tulo on metreinä.

   Sijoitus

   $s$$= 5{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 20\,\text{s}$

   $= 110\,\text{m}$

   Vastaus

   $110\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $5{,}5\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Kappale kulkee noin $5\,\text{m}$ sekunnissa. Kahdessakymmenessä sekunnissa se on noin $5 \cdot 20 = 100\,\text{m}$. Myös yksikkö on oikea: $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} = \text{m}$ on matkan yksikkö.

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Juoksija kulkee tasaisella vauhdilla $360\,\text{m}$ ajassa $45\,\text{s}$. Mikä on hänen nopeutensa?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 360\,\text{m}$, aika $t = 45\,\text{s}$; liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä m/s

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on kuljettu matka jaettuna ajalla. Aika on se aika, joka matkaan kului.

   Kaava

   $s = vt$, josta $v = \dfrac{s}{t}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: matka on metreinä ja aika sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{360\,\text{m}}{45\,\text{s}}$

   $= 8{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $45\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tarkistus takaisin: $8{,}0\,\text{m/s} \cdot 45\,\text{s} = 360\,\text{m}$. Nopeus on noin $29\,\text{km/h}$. Se on hyvän juoksijan vauhti 400 metrin juoksussa.

3. Tehtävä 5-3

   Kuvaajassa on kävelijän paikka ajan funktiona. Kävelijä liikkuu tasaisesti samaan suuntaan myös kuvaajan ulkopuolella. Kuinka monta sekuntia kuluu lähdöstä siihen, kun hän on kulkenut $150\,\text{m}$?

   sTarkista
   Vastaus

   $60\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaaja, jossa kävelijän paikka $s$ on ajan $t$ funktiona suora viiva origosta; liike jatkuu tasaisena kuvaajan ulkopuolella; matka $s = 150\,\text{m}$

   Kysytty

   aika $t$ sekunteina, kun matka on $150\,\text{m}$

   Periaate

   Suora viiva origosta tarkoittaa tasaista liikettä. Viivan kulmakerroin on nopeus. Kun nopeus tunnetaan, aika saadaan jakamalla matka nopeudella. Näin saa ajan myös kuvaajan ulkopuolella.

   Kuvaajan lukeminen

   Viiva kulkee ruudukon risteyksen kautta, jossa $t_1 = 0\,\text{s}$ ja $s_1 = 0\,\text{m}$ (origo). Se kulkee myös risteyksen kautta, jossa $t_2 = 8\,\text{s}$ ja $s_2 = 20\,\text{m}$. Muut risteykset ovat esimerkiksi $(4\,\text{s}$; $10\,\text{m})$ ja $(10\,\text{s}$; $25\,\text{m})$. Lukema on tarkka ruudukosta. Siksi vastauksen hyväksytään poikkeavan korkeintaan $3\,\%$.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ ja $s = vt$, josta $t = \dfrac{s}{v}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Matka on metreinä ja aika sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{20\,\text{m} - 0\,\text{m}}{8\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 2{,}5\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $t$$= \dfrac{150\,\text{m}}{2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

   $= 60\,\text{s}$

   Vastaus

   $60\,\text{s}$

   Eli yksi minuutti. Nopeus on luettu kahdella merkitsevällä numerolla. Siksi vastaus on annettu samalla tarkkuudella.

   Järkevyys

   Nopeus $2{,}5\,\text{m/s}$ on noin $9\,\text{km/h}$. Se on reipas kävely tai hidas hölkkä. Kuvaajassa $10\,\text{s}$ vie $25\,\text{m}$. Matka $150\,\text{m}$ on kuusi kertaa pidempi, joten se vie kuusi kertaa pidemmän ajan, $60\,\text{s}$.

4. Tehtävä 5-4

   Kappale lähtee lähtöpisteestään ja liikkuu tasaisesti. Se kulkee ajassa $4{,}0\,\text{s}$ matkan $18\,\text{m}$. Kuinka pitkän matkan se kulkee ajassa $10\,\text{s}$?

   mTarkista
   Vastaus

   $45\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $s_1 = 18\,\text{m}$ ajassa $t_1 = 4{,}0\,\text{s}$; kysytty aika $t_2 = 10\,\text{s}$; liike alkaa lähtöpisteestä, joten $s_0 = 0$

   Kysytty

   matka $s_2$ ajassa $t_2$ metreinä

   Periaate

   Liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta. Siksi matka on suoraan verrannollinen aikaan. Suhde $s : t$ on molemmilla ajoilla sama.

   Kaava

   $\dfrac{s_2}{t_2} = \dfrac{s_1}{t_1}$, josta $s_2 = s_1\,\dfrac{t_2}{t_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Ajat ovat sekunteina, ja sekunnit supistuvat.

   Sijoitus

   $s_2$$= 18\,\text{m} \cdot \dfrac{10\,\text{s}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= 45\,\text{m}$

   Vastaus

   $45\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten matkassa $18\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Aika $10\,\text{s}$ on $2{,}5$-kertainen aikaan $4{,}0\,\text{s}$ verrattuna. Siksi myös matkan pitää olla $2{,}5$-kertainen: $2{,}5 \cdot 18\,\text{m} = 45\,\text{m}$. Toinen tarkistus: nopeus on $18\,\text{m} : 4{,}0\,\text{s} = 4{,}5\,\text{m/s}$, ja $4{,}5\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 45\,\text{m}$.

5. Tehtävä 5-5

   Kärry liikkuu tasaisesti. Sen paikka mitataan lähtöpisteestä. Hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ kärry on kohdassa $7{,}0\,\text{m}$ ja hetkellä $6{,}0\,\text{s}$ kohdassa $21\,\text{m}$. Laske kärryn nopeus. Käytä paikan muutosta ja aikaväliä.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $3{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hetkellä $t_1 = 2{,}0\,\text{s}$ paikka $s_1 = 7{,}0\,\text{m}$ ja hetkellä $t_2 = 6{,}0\,\text{s}$ paikka $s_2 = 21\,\text{m}$; liike on tasaista

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä m/s

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on vakio. Nopeus on paikan muutos jaettuna aikavälillä. Alkupaikalla ei ole väliä. Se häviää, kun paikat vähennetään toisistaan.

   Kaava

   $v$$= \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

   $= \dfrac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{21\,\text{m} - 7{,}0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{14\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= 3{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $3{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten paikoissa $7{,}0\,\text{m}$ ja ajoissa $2{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Osamäärät $7{,}0\,\text{m} : 2{,}0\,\text{s}$ ja $21\,\text{m} : 6{,}0\,\text{s}$ ovat kumpikin $3{,}5\,\text{m/s}$. Siksi paikka on verrannollinen aikaan, ja alkupaikka on nolla. Nopeus $3{,}5\,\text{m/s}$ on noin $13\,\text{km/h}$. Se on hidasta pyöräilyä.

6. Tehtävä 5-6

   Kävelijän paikka $s$ on mitattu ajan $t$ funktiona. Mittauspisteet ovat samalla suoralla. Mitä suoran kulmakerroin $\Delta s : \Delta t$ kertoo?

   Valitse vaihtoehto.

   • Paikan $s$ ja ajan $t$ osamäärän $s : t$ jostakin yksittäisestä pisteestä.
   • Kävelijän nopeuden.
   • Kävelijän kulkeman kokonaismatkan.
   • Kävelijän alkupaikan.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kävelijän nopeuden.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä $(t, s)$-kuvaajan suoran kulmakerroin kertoo tasaisesta liikkeestä.

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä $(t, s)$-kuvaaja on suora. Kulmakerroin on paikan muutos jaettuna aikavälillä, $\Delta s : \Delta t$. Se on kappaleen nopeus $v$ (yksikkö m/s). Alkupaikka $s_0$ on kohta, jossa suora leikkaa $s$-akselin. Se ei ole kulmakerroin.

   Mallivastaus

   Kulmakerroin kertoo kävelijän nopeuden. Mitä jyrkempi suora on, sitä suurempi nopeus on. Se ei ole alkupaikka (leikkauskohta). Se ei ole kokonaismatka (pelkkä $\Delta s$). Osamäärä $s : t$ on nopeus vain, kun suora kulkee origon kautta.

7. Tehtävä 5-7

   Kärry liikkuu tasaisesti. $(t, v)$-kuvaajassa sen nopeus on vaakasuora viiva kohdassa $v = 0{,}80\,\text{m/s}$ aikavälillä $0\,\text{s} - 12\,\text{s}$. Viivan ja $t$-akselin väliin jää suorakulmio. Sen pinta-ala vastaa kuljettua matkaa.

   Kuinka pitkän matkan kärry kulkee tänä aikana?

   mTarkista
   Vastaus

   $9{,}6\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 0{,}80\,\text{m/s}$ vakiona aikavälillä $0\,\text{s} - 12\,\text{s}$, joten aikaväli on $t = 12\,\text{s}$

   Kysytty

   kuljettu matka $\Delta s$ metreinä

   Periaate

   $(t, v)$-kuvaajassa vaakasuora viiva on suorakulmion yläreuna. Suorakulmion korkeus on nopeus $v$ ja leveys on aika $t$. Sen pinta-ala $vt$ on tasaisessa liikkeessä kuljettu matka.

   Kuvaajan lukeminen

   Korkeus on $v = 0{,}80\,\text{m/s}$. Leveys on

   $t$$= 12\,\text{s} - 0\,\text{s}$

   $= 12\,\text{s}$

   Kaava

   $\Delta s = vt$ (suorakulmion pinta-ala = korkeus $\cdot$ leveys)

   Muunnokset

   Ei tarvita. Nopeus on m/s ja aika sekunteina, ja $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} = \text{m}$.

   Sijoitus

   $\Delta s$$= 0{,}80\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 12\,\text{s}$

   $= 9{,}6\,\text{m}$

   Vastaus

   $9{,}6\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $0{,}80\,\text{m/s}$ ja ajassa $12\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus $0{,}80\,\text{m/s}$ on alle metri sekunnissa. Siksi $12\,\text{s}$:ssa matka on alle $12\,\text{m}$. Sama tulos saadaan kaavalla $s = vt$. Se on tasaisen liikkeen perusyhtälö.

8. Tehtävä 5-8

   Pyöräilijä kulkee tasaisesti $2{,}4\,\text{km}$ ajassa $16\,\text{min}$. Mikä on hänen nopeutensa? Anna vastaus yksikössä m/s.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 2{,}4\,\text{km}$, aika $t = 16\,\text{min}$; liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä m/s

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on kuljettu matka jaettuna ajalla. Ennen jakamista kilometrit muunnetaan metreiksi ja minuutit sekunneiksi.

   Kaava

   $s = vt$, josta $v = \dfrac{s}{t}$

   Muunnokset

   sijoitetaan $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ ja $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$:

   $s$$= 2{,}4 \cdot 1000\,\text{m}$

   $= 2400\,\text{m}$

   $t$$= 16 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 960\,\text{s}$

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{2400\,\text{m}}{960\,\text{s}}$

   $= 2{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $2{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $2{,}4\,\text{km}$ ja $16\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Tarkistus takaisin: $2{,}5\,\text{m/s} \cdot 960\,\text{s} = 2400\,\text{m}$. Nopeus on $9{,}0\,\text{km/h}$. Se sopii rauhalliseen pyöräilyyn.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-9Ydintehtävä

   Auto ajaa tasaisella nopeudella $54\,\text{km/h}$. Kuinka pitkän matkan se kulkee 14 sekunnissa? Vastaa metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $210\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 54\,\text{km/h}$, aika $t = 14\,\text{s}$; liike alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   matka $s$ metreinä

   Periaate

   Auto ajaa vakionopeudella. Siksi liike on tasaista ja $s = vt$. Nopeuden ja ajan yksiköiden täytyy sopia yhteen.

   Kaava

   $s = vt$

   Muunnokset

   sijoitetaan $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ ja $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$:

   $v$$= 54\,\text{km/h}$

   $= \dfrac{54\cdot1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 15\,\text{m/s}$

   Sijoitus

   $s$$= 15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 14\,\text{s}$

   $= 210\,\text{m}$

   Vastaus

   $210\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $54\,\text{km/h}$ ja ajassa $14\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus $54\,\text{km/h}$ on $0{,}9\,\text{km}$ minuutissa. Aika $14\,\text{s}$ on noin $0{,}23\,\text{min}$. Siksi matka on noin

   $0{,}9 \cdot 0{,}23\,\text{km}$$\approx 0{,}21\,\text{km}$

   $= 210\,\text{m}$
2. Tehtävä 5-10Ydintehtävä

   Linja-auto ajaa tasaisesti nopeudella $36\,\text{km/h}$. Kuinka monta sekuntia $4{,}5\,\text{km}$:n matka kestää?

   sTarkista
   Vastaus

   $450\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 36\,\text{km/h}$, matka $s = 4{,}5\,\text{km}$; liike on tasaista ja alkaa nollakohdasta

   Kysytty

   aika $t$ sekunteina

   Periaate

   Linja-auto ajaa vakionopeudella. Siksi matka on verrannollinen aikaan. Aika on matka jaettuna nopeudella.

   Kaava

   $s = vt$, josta $t = \dfrac{s}{v}$

   Muunnokset

   $v$$= 36\,\text{km/h}$

   $= \dfrac{36\cdot1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 10\,\text{m/s}$

   $s = 4{,}5\,\text{km} = 4500\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{4500\,\text{m}}{10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

   $= 450\,\text{s}$

   Vastaus

   $450\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $36\,\text{km/h}$ ja $4{,}5\,\text{km}$.

   Järkevyys

   Lasketaan kilometreinä ja tunteina:

   $4{,}5\,\text{km} : 36\,\text{km/h}$

   $= 0{,}125\,\text{h}$

   $= 7{,}5\,\text{min}$

   $= 450\,\text{s}$

   Tulos on sama.

3. Tehtävä 5-11

   Retkeilijä on $1{,}5\,\text{km}$:n päässä mökistä. Hän kävelee suoraa polkua mökistä poispäin. Hänen nopeutensa on tasainen $1{,}5\,\text{m/s}$. Kuinka kaukana mökistä hän on 10 minuutin kuluttua? Vastaa kilometreinä.

   kmTarkista
   Vastaus

   $2{,}4\,\text{km}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkupaikka $s_0 = 1{,}5\,\text{km}$ mökistä, nopeus $v = 1{,}5\,\text{m/s}$ poispäin mökistä, aika $t = 10\,\text{min}$

   Kysytty

   etäisyys mökistä $s$ kilometreinä

   Periaate

   Retkeilijä kävelee vakionopeudella. Siksi liike on tasaista. Alkupaikka ei ole nolla. Siksi paikka saadaan, kun alkupaikkaan lisätään kuljettu matka.

   Kaava

   $s = s_0 + vt$

   Muunnokset

   $s_0$$= 1{,}5\,\text{km}$

   $= 1500\,\text{m}$

   $t = 10\,\text{min} = 600\,\text{s}$. Lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $s$$= 1500\,\text{m} + 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 600\,\text{s}$

   $= 1500\,\text{m} + 900\,\text{m}$

   $= 2400\,\text{m}$

   $= 2{,}4\,\text{km}$

   Vastaus

   $2{,}4\,\text{km}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $1{,}5\,\text{km}$ ja $1{,}5\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Nopeus $1{,}5\,\text{m/s}$ on noin $5{,}4\,\text{km/h}$. Kymmenen minuuttia on kuudesosa tunnista. Siinä ajassa retkeilijä etenee noin $0{,}9\,\text{km}$. Lisätään tämä alkupaikkaan: $1{,}5\,\text{km} + 0{,}9\,\text{km} = 2{,}4\,\text{km}$. Tulos on suurempi kuin alkupaikka, kuten pitääkin.

4. Tehtävä 5-12

   Salama välähtää. Ukkosen jyrähdys kuuluu $5{,}0\,\text{s}$ myöhemmin. Ääni etenee ilmassa tasaisesti nopeudella $343\,\text{m/s}$. Valon kulkuaika on hyvin pieni, joten se jätetään huomiotta. Kuinka kaukana salama iski? Vastaa kilometreinä.

   kmTarkista
   Vastaus

   $1{,}7\,\text{km}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aika $t = 5{,}0\,\text{s}$, äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$; valon kulkuaika jätetään huomiotta

   Kysytty

   salaman etäisyys $s$ kilometreinä

   Periaate

   Ääni etenee vakionopeudella. Siksi sen kulkema matka on $s = vt$. Valo saapuu käytännössä heti. Siksi jyrähdyksen viive on se aika, jonka ääni kulkee koko matkan.

   Kaava

   $s = vt$

   Muunnokset

   Matka lasketaan metreinä, ja lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $s$$= 343\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 5{,}0\,\text{s}$

   $= 1715\,\text{m}$

   $= 1{,}7\,\text{km}$

   Vastaus

   $1{,}7\,\text{km}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $5{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Peukalosääntö (helppo nyrkkisääntö): kolme sekuntia vastaa noin kilometriä. Siksi viisi sekuntia vastaa noin $1{,}7\,\text{km}$. Valo kulkisi tämän matkan ajassa $1715\,\text{m} : (3{,}0 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}) \approx 6\,\mu\text{s}$. Se on hyvin pieni aika viiveeseen $5{,}0\,\text{s}$ verrattuna.

5. Tehtävä 5-13

   Kävelijän liike kuvattiin videolle. Videoanalyysillä mitattiin kävelijän paikka $s$ lähtömerkistä ajan $t$ funktiona. Kävelijä liikkuu tasaisesti. Pisteet eivät ole tarkasti suoralla, koska mittauksessa on epävarmuutta.

   Piirrä pisteistä kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Määritä suoran kulmakertoimesta kävelijän nopeus. Ennusta sen avulla kävelijän paikka hetkellä $12\,\text{s}$. Kuinka monta metriä lähtömerkistä hän silloin on? Perustele, miksi ennuste on mallin arvo eikä mittaus.

   Kävelijän paikka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   0,0	1,2
   1,0	2,7
   2,0	3,9
   3,0	5,5
   4,0	6,7
   5,0	8,3

   mTarkista
   Vastaus

   $18\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $s)$: $(0{,}0\,\text{s}$; $1{,}2\,\text{m})$, $(1{,}0\,\text{s}$; $2{,}7\,\text{m})$, $(2{,}0\,\text{s}$; $3{,}9\,\text{m})$, $(3{,}0\,\text{s}$; $5{,}5\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $6{,}7\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $8{,}3\,\text{m})$; kävelijä liikkuu tasaisesti

   Kysytty

   kävelijän paikka $s$ hetkellä $t = 12\,\text{s}$ metreinä

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä paikka on ajan lineaarinen funktio $s = s_0 + vt$. Mittauksissa pisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla, koska mittauksessa on epävarmuutta. Siksi suora sovitetaan pisteiden keskelle. Nopeus luetaan tältä suoralta.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet ovat nousevan suoran molemmin puolin. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{s}$; $1{,}2\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $8{,}2\,\text{m})$ kautta. Ne luetaan suoralta, ja ne valitaan kaukana toisistaan. Alkupaikka on $s_0 = 1{,}2\,\text{m}$, koska suora leikkaa $s$-akselin siinä.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ ja $s = s_0 + vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{8{,}2\,\text{m} - 1{,}2\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 1{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $s$$= 1{,}2\,\text{m} + 1{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 12\,\text{s}$

   $= 1{,}2\,\text{m} + 16{,}8\,\text{m}$

   $= 18\,\text{m}$

   Vastaus

   noin $18\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa. Silmällä sovitettu suora vaihtelee, joten noin $17{,}3\text{–}18{,}7\,\text{m}$ on hyvä vastaus. Ennuste on mallin arvo eikä mittaus. Hetki $12\,\text{s}$ on mitatun alueen $0\,\text{s} - 5\,\text{s}$ ulkopuolella. Ennuste on oikein vain, jos kävelijä jatkaa samalla nopeudella. Se on oletus, jota mittaus ei ole tarkistanut.

   Järkevyys

   Nopeus $1{,}4\,\text{m/s}$ on noin $5\,\text{km/h}$. Se on tavallinen kävelyvauhti. Ennuste on selvästi suurempi kuin viimeinen mittaus $8{,}3\,\text{m}$. Niin pitääkin olla, koska $12\,\text{s}$ on yli kaksi kertaa niin pitkä aika kuin mittausalue.

6. Tehtävä 5-14

   Kärry liikkuu tasaisesti radalla. Alussa se on kohdassa $s_0 = 8{,}0\,\text{m}$. Hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ se on kohdassa $11\,\text{m}$. Oppilas päättelee: ”Kun aika kolminkertaistuu $6{,}0\,\text{s}$:iin, paikka kolminkertaistuu. Siksi kärry on silloin kohdassa $33\,\text{m}$.” Etsi oppilaan virhe. Laske kärryn oikea paikka hetkellä $6{,}0\,\text{s}$.

   mTarkista
   Vastaus

   $17\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkupaikka $s_0 = 8{,}0\,\text{m}$, paikka $s_1 = 11\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 2{,}0\,\text{s}$; oppilaan päätelmä on $s = 33\,\text{m}$ hetkellä $t_2 = 6{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   oppilaan virhe ja oikea paikka $s$ hetkellä $6{,}0\,\text{s}$ metreinä

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä vain kuljettu matka $\Delta s = vt$ on suoraan verrannollinen aikaan. Paikka $s = s_0 + vt$ on verrannollinen aikaan vain, kun $s_0 = 0$. Oppilas sekoitti paikan ja matkan. Hän kolminkertaisti paikan, vaikka olisi pitänyt kolminkertaistaa matka.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ ja $s = s_0 + vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{11\,\text{m} - 8{,}0\,\text{m}}{2{,}0\,\text{s}}$

   $= 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $s$$= 8{,}0\,\text{m} + 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6{,}0\,\text{s}$

   $= 8{,}0\,\text{m} + 9{,}0\,\text{m}$

   $= 17\,\text{m}$

   Vastaus

   Kärry on kohdassa $17\,\text{m}$, ei kohdassa $33\,\text{m}$. Virhe on se, että paikka kolminkertaistettiin. Alkupaikka $s_0 = 8{,}0\,\text{m}$ ei ole nolla. Siksi vain matka kolminkertaistuu ($3{,}0\,\text{m} \to 9{,}0\,\text{m}$), ja alkupaikka pitää lisätä siihen.

   Järkevyys

   Matka kolminkertaistui: $3{,}0\,\text{m} \cdot 3 = 9{,}0\,\text{m}$. Oppilaan vastaus $33\,\text{m}$ vaatisi, että kärry kulkee $25\,\text{m}$ kuudessa sekunnissa. Silloin nopeus olisi $4{,}2\,\text{m/s}$. Annetuista tiedoista nopeus on kuitenkin $1{,}5\,\text{m/s}$.

7. Tehtävä 5-15

   Leluauto ajaa tasaisesti nopeudella noin $0{,}80\,\text{m/s}$. Auton kulkuaika mitataan käsin. Ajanoton epävarmuus on noin $0{,}2\,\text{s}$. Se on sama, vaikka mitattava aika olisi pitkä tai lyhyt.

   Suunnittelet nopeuden mittauksen. Ajan suhteellinen epävarmuus saa olla enintään $2{,}0\,\%$. Oleta, että matka mitataan niin tarkasti, ettei sen epävarmuus vaikuta tulokseen.

   Kuinka pitkän matkan auton on vähintään kuljettava mittauksen aikana? Selitä, miksi pitkä matka parantaa mittausta.

   mTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus noin $v = 0{,}80\,\text{m/s}$, ajanoton epävarmuus $u_t = 0{,}2\,\text{s}$ (sama kaikilla ajoilla), suhteellisen epävarmuuden raja $2{,}0\,\%$

   Kysytty

   pienin matka $s$ metreinä

   Periaate

   Ajan suhteellinen epävarmuus on $u_t : t$. Epävarmuus $u_t$ on vakio. Siksi suhteellinen epävarmuus pienenee, kun mitattu aika kasvaa. Raja antaa pienimmän ajan. Tasaisessa liikkeessä matka on nopeus kertaa aika.

   Kaava

   $\dfrac{u_t}{t} \le 0{,}020$, josta $t \ge \dfrac{u_t}{0{,}020}$, ja $s = vt$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Ajat ovat sekunteina ja nopeus m/s. Prosentti on $2{,}0\,\% = 0{,}020$.

   Sijoitus

   $t$$\ge \dfrac{0{,}2\,\text{s}}{0{,}020}$

   $= 10\,\text{s}$

   $s$$= 0{,}80\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s}$

   $= 8{,}0\,\text{m}$

   Vastaus

   Auton on kuljettava vähintään $8{,}0\,\text{m}$. Pitkä matka parantaa mittausta, koska se kestää kauemmin. Silloin ajanoton epävarmuus $0{,}2\,\text{s}$ on pienempi osa koko ajasta. Lyhyellä matkalla, esimerkiksi $1{,}0\,\text{m}$ ($t = 1{,}25\,\text{s}$), suhteellinen epävarmuus olisi $16\,\%$.

   Järkevyys

   Tarkistus: ajalla $10\,\text{s}$ suhteellinen epävarmuus on

   $0{,}2\,\text{s} : 10\,\text{s}$$= 0{,}020$

   $= 2{,}0\,\%$

   Raja täyttyy siis juuri. Matka $8{,}0\,\text{m}$ mahtuu koulun käytävälle.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 5-16

   Voyager 2 -luotain ylitti heliopaussin 5. marraskuuta 2018. Silloin sen etäisyys Auringosta oli $119{,}7\,\text{AU}$ (NASA/JPL). Sen nopeus Aurinkoon nähden on $15{,}341\,\text{km/s}$ (JPL). Oleta nopeus vakioksi.

   Kuinka monta vuorokautta heliopaussin ylityksestä kuluu, ennen kuin luotain on mallin mukaan $150\,\text{AU}$:n päässä Auringosta? Käytä arvoja $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$ ja $1\,\text{vrk} = 86\,400\,\text{s}$. Tulos on mallin arvo.

   vrkTarkista
   Vastaus

   $3420\,\text{vrk}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $s_0 = 119{,}7\,\text{AU}$ hetkellä $t = 0$ (5. marraskuuta 2018), $v = 15{,}341\,\text{km/s}$, $s = 150\,\text{AU}$, $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$, $1\,\text{vrk} = 86\,400\,\text{s}$

   Kysytty

   aika $t$ vuorokausina, kun luotain on etäisyydellä $150\,\text{AU}$

   Periaate

   Nopeus oletetaan vakioksi. Siksi tasaisen liikkeen malli $s = s_0 + vt$ pätee. Tulos on mallin arvo. Auringon vetovoima hidastaa luotainta hieman, joten todellinen aika on vähän pidempi.

   Kaava

   $s = s_0 + vt$, josta $t = \dfrac{s - s_0}{v}$

   Muunnokset

   Muunnetaan nopeus yksikköön tähtitieteellistä yksikköä vuorokaudessa (AU/vrk):

   $v$$= 15{,}341\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} \cdot 86\,400\,\tfrac{\text{s}}{\text{vrk}}$

   $= 1\,325\,462\,\tfrac{\text{km}}{\text{vrk}}$

   ja

   $\dfrac{1\,325\,462\,\text{km/vrk}}{149\,597\,870{,}7\,\text{km/AU}}$

   $= 0{,}0088602\,\tfrac{\text{AU}}{\text{vrk}}$

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{150\,\text{AU} - 119{,}7\,\text{AU}}{0{,}0088602\,\text{AU/vrk}}$

   $= \dfrac{30{,}3\,\text{AU}}{0{,}0088602\,\text{AU/vrk}}$

   $= 3419{,}8\,\text{vrk}$

   Vastaus

   $3420\,\text{vrk}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Arvo $150\,\text{AU}$ tulkitaan kolmen numeron tarkkuudella, ja erotus on $30{,}3\,\text{AU}$.

   Järkevyys

   Vauhti on noin $3{,}2\,\text{AU}$ vuodessa. Siksi $30{,}3\,\text{AU}$ vie noin $30{,}3 : 3{,}2 \approx 9{,}5$ vuotta. Tulos $3420\,\text{vrk} \approx 9{,}4$ vuotta sopii tähän. Ajankohta on maaliskuu 2028. Malli poikkeaa JPL:n arvosta noin 0,2 AU. Se vastaa noin 20 vuorokauden virhettä ajankohdassa.

2. Tehtävä 5-17

   Voyager 2 on mallin mukaan $150\,\text{AU}$:n etäisyydellä Maasta. Radiosignaali etenee tyhjiössä tasaisesti nopeudella $299\,792\,458\,\text{m/s}$.

   Komento lähtee Maasta luotaimelle. Luotain vastaa, ja vastaus saapuu Maahan. Kuinka monta tuntia tähän kuluu? Luotaimen liike ja sen käsittelyaika vastausta varten jätetään huomiotta. Käytä arvoa $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$. Perustele, miksi liikkeen voi jättää huomiotta.

   hTarkista
   Vastaus

   $41{,}6\,\text{h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   etäisyys $d = 150\,\text{AU}$, signaalin nopeus $c = 299\,792\,458\,\text{m/s}$, $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$

   Kysytty

   edestakaisen matkan kulkuaika $t$ tunteina

   Periaate

   Radiosignaali etenee tyhjiössä vakionopeudella. Sen kulkema matka on siksi $s = ct$. Komento ja vastaus kulkevat kumpikin matkan $d$. Kokonaismatka on siis $2d$. Luotain liikkuu tänä aikana noin $15\,\text{km/s} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{s} \approx 2{,}3 \cdot 10^{6}\,\text{km} \approx 0{,}015\,\text{AU}$. Se on vain $0{,}01\,\%$ etäisyydestä $150\,\text{AU}$. Maa liikkuu samassa ajassa noin $30\,\text{km/s} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{s} \approx 0{,}03\,\text{AU}$. Se on vain noin $0{,}02\,\%$. Kumpaakaan liikettä ei siis tarvitse ottaa huomioon.

   Kaava

   $2d = ct$, josta $t = \dfrac{2d}{c}$

   Muunnokset

   $d$$= 150 \cdot 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$

   $= 2{,}2440 \cdot 10^{10}\,\text{km}$

   $= 2{,}2440 \cdot 10^{13}\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{2 \cdot 2{,}2440 \cdot 10^{13}\,\text{m}}{299\,792\,458\,\text{m/s}}$

   $= 1{,}497 \cdot 10^{5}\,\text{s}$

   $= \dfrac{1{,}497 \cdot 10^{5}\,\text{s}}{3600\,\text{s/h}}$

   $= 41{,}58\,\text{h}$

   Vastaus

   $41{,}6\,\text{h}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Etäisyys $150\,\text{AU}$ tulkitaan kolmen numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Valo kulkee yhden AU:n noin ajassa $499\,\text{s} \approx 8{,}3\,\text{min}$. Siksi $150\,\text{AU}$ vie noin

   $150 \cdot 8{,}3\,\text{min}$$\approx 1250\,\text{min}$

   $\approx 20{,}8\,\text{h}$

   Edestakaisin se vie $41{,}6\,\text{h}$. Yli vuorokauden viive on järkevä, koska luotain on kymmenien miljardien kilometrien päässä.

3. Tehtävä 5-18

   Kaksi ystävää lähtee koulun ovelta samaa suoraa katua pitkin samaan suuntaan. Ensimmäinen kävelee tasaisesti nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$. Toinen lähtee ovelta $40\,\text{s}$ myöhemmin pyörällä. Hän ajaa tasaisesti nopeudella $4{,}5\,\text{m/s}$.

   Kuinka kaukana ovelta pyöräilijä saavuttaa kävelijän?

   mTarkista
   Vastaus

   $90\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kävelijän nopeus $v_1 = 1{,}5\,\text{m/s}$, pyöräilijän nopeus $v_2 = 4{,}5\,\text{m/s}$, pyöräilijän viive $t_0 = 40\,\text{s}$; molemmat lähtevät ovelta, joten $s_0 = 0$

   Kysytty

   etäisyys ovelta $s$ siinä kohdassa, jossa pyöräilijä saavuttaa kävelijän

   Periaate

   Molemmat liikkuvat tasaisesti. He ovat samassa paikassa silloin, kun heidän etäisyytensä ovelta ovat yhtä suuret. Aika $t$ mitataan kävelijän lähdöstä. Siksi pyöräilijä on liikkunut ajan $t - t_0$.

   Kaava

   $s_1 = v_1 t$ ja $s_2 = v_2 (t - t_0)$. Kun $s_1 = s_2$, saadaan $v_1 t = v_2 (t - t_0)$. Tästä saadaan $t = \dfrac{v_2 t_0}{v_2 - v_1}$ ja $s = v_1 t$.

   Muunnokset

   Ei tarvita. Nopeudet ovat yksikössä m/s ja viive sekunteina.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{4{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 40\,\text{s}}{4{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} - 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

   $= 60\,\text{s}$

   $s$$= 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 60\,\text{s}$

   $= 90\,\text{m}$

   Vastaus

   $90\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.

   Järkevyys

   Pyöräilijä ajaa $60\,\text{s} - 40\,\text{s} = 20\,\text{s}$. Silloin $4{,}5\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s} = 90\,\text{m}$. Tulos on sama. Toinen tarkistus: kävelijän etumatka on ajan $40\,\text{s}$ jälkeen $1{,}5 \cdot 40 = 60\,\text{m}$. Pyöräilijä on nopeampi. Nopeusero on $3{,}0\,\text{m/s}$. Pyöräilijä saa etumatkan kiinni ajassa $60 : 3{,}0 = 20\,\text{s}$.

4. Tehtävä 5-19

   Pyöräilijän paikka $s$ radan alusta mitattiin videoanalyysillä ajan $t$ funktiona. Piirrä pisteistä kuvaaja.

   Pyöräilijän nopeus muuttuu kesken matkan. Siksi liikettä ei voi mallintaa yhdellä suoralla. Etsi taulukosta hetki, jolloin nopeus muuttuu. Mallinna liike kahtena tasaisena osana.

   Laske mallin avulla pyöräilijän keskinopeus aikavälillä $5{,}0\,\text{s} - 35\,\text{s}$. Keskinopeus on aikavälillä kuljettu matka jaettuna aikavälin pituudella. Hetkeä $35\,\text{s}$ ei ole taulukossa. Miksi keskinopeus ei ole osien nopeuksien keskiarvo?

   Pyöräilijän paikka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   0,0	0,0
   5,0	15,0
   10,0	30,0
   15,0	35,0
   20,0	40,0
   30,0	50,0
   40,0	60,0

   m/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}3\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $s)$: $(0\,\text{s}$; $0\,\text{m})$, $(5{,}0\,\text{s}$; $15\,\text{m})$, $(10\,\text{s}$; $30\,\text{m})$, $(15\,\text{s}$; $35\,\text{m})$, $(20\,\text{s}$; $40\,\text{m})$, $(30\,\text{s}$; $50\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $60\,\text{m})$

   Kysytty

   keskinopeus $v_\text{ka}$ aikavälillä $5{,}0\,\text{s} - 35\,\text{s}$ ja syy, miksi se ei ole osien nopeuksien keskiarvo

   Periaate

   Kuvaajassa pisteet ovat kahdella suoralla osalla. Osien kulmakertoimet ovat eri suuret, joten yksi suora ei sovi koko liikkeeseen. Liike mallinnetaan paloittain. Kummallakin osalla on oma tasainen nopeutensa. Hetken $35\,\text{s}$ paikka lasketaan jälkimmäisen osan mallista. Keskinopeus on kuljettu matka jaettuna ajalla.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $0\,\text{s} - 10\,\text{s}$ ovat samalla jyrkällä suoralla. Hetkestä $10\,\text{s}$ alkaen suora on loivempi. Pisteet $(10\,\text{s}$; $30\,\text{m})$, $(20\,\text{s}$; $40\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $60\,\text{m})$ ovat samalla loivalla suoralla. Nopeus muuttuu siis hetkellä $t = 10\,\text{s}$.

   Kaava

   osan nopeus $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$, paikka loivalla osalla $s = s_{10} + v_2 (t - 10\,\text{s})$ ja keskinopeus

   $v_\text{ka}$$= \dfrac{s(35\,\text{s}) - s(5{,}0\,\text{s})}{35\,\text{s} - 5{,}0\,\text{s}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   Osa 1:

   $v_1$$= \dfrac{30\,\text{m} - 0\,\text{m}}{10\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 3{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Osa 2:

   $v_2$$= \dfrac{60\,\text{m} - 30\,\text{m}}{40\,\text{s} - 10\,\text{s}}$

   $= 1{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Paikka hetkellä $35\,\text{s}$:

   $s$$= 30\,\text{m} + 1{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 25\,\text{s}$

   $= 55\,\text{m}$

   Keskinopeus:

   $v_\text{ka}$$= \dfrac{55\,\text{m} - 15\,\text{m}}{35\,\text{s} - 5{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{40\,\text{m}}{30\,\text{s}}$

   $= 1{,}33\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $1{,}3\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa. Osien nopeuksien keskiarvo olisi $(3{,}0 + 1{,}0)\,\text{m/s} : 2 = 2{,}0\,\text{m/s}$. Se olisi väärin, koska osat kestävät eri ajan. Nopeus $3{,}0\,\text{m/s}$ on voimassa vain $5{,}0\,\text{s}$. Nopeus $1{,}0\,\text{m/s}$ on voimassa peräti $25\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Osamatkat ovat $3{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} = 15\,\text{m}$ ja $1{,}0\,\text{m/s} \cdot 25\,\text{s} = 25\,\text{m}$. Yhteensä ne ovat $40\,\text{m}$, sama kuin yllä. Keskinopeus $1{,}3\,\text{m/s}$ on lähempänä hitaampaa nopeutta $1{,}0\,\text{m/s}$ kuin nopeampaa nopeutta $3{,}0\,\text{m/s}$. Niin pitääkin olla, koska suurin osa ajasta ajetaan hitaasti.

5. Tehtävä 5-20

   Nopeaa luotia kuvataan kameralla. Kamera ottaa kuvan $0{,}010\,\text{s}$ välein. Kuvista mitattu luodin paikka $s$ lähtökohdasta on taulukossa. Luodin nopeus on tänä aikana vakio. Laske luodin nopeus.

   Piirretään $(t, s)$-kuvaaja. Sen vaaka-akselilla $1{,}0\,\text{s}$ on $10\,\text{cm}$ ja pystyakselilla $1{,}0\,\text{m}$ on $1{,}0\,\text{cm}$.

   Kuinka monta senttimetriä viiva nousee yhden kuvausvälin aikana? Kuinka pitkä on kuvausväli vaaka-akselilla? Perustele näiden avulla, miksi viiva näyttää lähes pystysuoralta mutta ei voi olla täsmälleen pystysuora.

   Luodin paikka ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   0,000	2,0
   0,010	5,0
   0,020	8,0
   0,030	11,0

   m/sTarkista
   Vastaus

   $300\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvausväli $\Delta t = 0{,}010\,\text{s}$, luodin paikat $s = 2{,}0\,\text{m}$, $5{,}0\,\text{m}$, $8{,}0\,\text{m}$ ja $11{,}0\,\text{m}$ hetkinä $0{,}000\,\text{s}$, $0{,}010\,\text{s}$, $0{,}020\,\text{s}$ ja $0{,}030\,\text{s}$; piirroksen mittakaava: $1{,}0\,\text{s}$ on $10\,\text{cm}$ ja $1{,}0\,\text{m}$ on $1{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   luodin nopeus $v$ yksikössä m/s sekä kuvaajan nousu ja kuvausvälin pituus senttimetreinä

   Periaate

   Paikka kasvaa joka kuvausvälillä yhtä paljon ($3{,}0\,\text{m}$). Siksi liike on tasaista, ja nopeus on kuvaajan kulmakerroin $\Delta s : \Delta t$. Kappaleella on jokaisella hetkellä vain yksi paikka. Siksi jokaista ajan arvoa vastaa yksi paikan arvo. Pystysuorassa viivassa olisi $\Delta t = 0$ ja $\Delta s \neq 0$. Silloin osamäärä ei olisi mikään luku.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon pisteet ovat samalla suoralla. Kahden peräkkäisen pisteen välillä paikka muuttuu

   $\Delta s$$= 5{,}0\,\text{m} - 2{,}0\,\text{m}$

   $= 3{,}0\,\text{m}$

   ajassa $\Delta t = 0{,}010\,\text{s}$.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$; piirroksessa pituus on mitta-arvo kertaa mittakaava

   Muunnokset

   Nopeuden laskussa ei tarvita. Piirroksessa

   $\Delta s$$= 3{,}0 \cdot 1{,}0\,\text{cm}$

   $= 3{,}0\,\text{cm}$

   $\Delta t$$= 0{,}010 \cdot 10\,\text{cm}$

   $= 0{,}10\,\text{cm}$

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m}}{0{,}010\,\text{s}}$

   $= 300\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Viiva nousee yhdessä kuvausvälissä $3{,}0\,\text{cm}$. Vaakasuunnassa se etenee vain $0{,}10\,\text{cm}$ eli $1{,}0\,\text{mm}$.

   Vastaus

   $300\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten paikkojen erotuksessa $3{,}0\,\text{m}$. Viiva nousee $3{,}0\,\text{cm}$ ja etenee $0{,}10\,\text{cm}$. Se on siis noin $30$ kertaa jyrkempi kuin se on leveä, ja se näyttää lähes pystysuoralta. Se ei silti ole pystysuora. Kuvausvälillä kuluu aina aikaa $\Delta t > 0$, ja luoti on jokaisella hetkellä täsmälleen yhdessä paikassa. Pystysuora viiva vaatisi, että luoti olisi samalla hetkellä kahdessa paikassa. Silloin nopeus olisi ääretön.

   Järkevyys

   Nopeus $300\,\text{m/s}$ on samaa suuruusluokkaa kuin äänen nopeus $343\,\text{m/s}$. Se sopii nopealle luodille. Tarkistus: $300\,\text{m/s} \cdot 0{,}010\,\text{s} = 3{,}0\,\text{m}$, sama kuin taulukossa. Pysähtynyt kappale piirtyisi vaakasuorana viivana, koska $\Delta s = 0$.