Putoamiskiihtyvyys: $v = gt$

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-1Ydintehtävä

   Pallo päästetään putoamaan levosta, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Mikä on pallon nopeus, kun pudotuksen alusta on kulunut $3{,}0\,\text{s}$?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $29\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pallo lähtee levosta, $t = 3{,}0\,\text{s}$, putoamiskiihtyvyys $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   pallon nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Ilmanvastus jätetään huomiotta, joten pallo on vapaassa pudotuksessa. Silloin nopeus kasvaa joka sekunti saman verran. Levosta lähteneen kappaleen nopeus on suoraan verrannollinen aikaan.

   Kaava

   $v = g\,t$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn nopeuden suhteen: $v = g\,t$

   Muunnokset

   Aika on sekunteina ja $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$. Tulos tulee siis suoraan yksikössä $\text{m/s}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 3{,}0\,\text{s}$

   $= 29{,}43\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $29\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $3{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus kasvaa noin $10\,\text{m/s}$ sekunnissa. Kolmessa sekunnissa se on noin $3 \cdot 10\,\text{m/s} = 30\,\text{m/s}$. Tämä vastaa tulosta. Lisäksi $29\,\text{m/s} \approx 106\,\text{km/h}$ on maantienopeus. Se on järkevä tulos kolmen sekunnin vapaalle pudotukselle.

2. Tehtävä 6-2Ydintehtävä

   Omena irtoaa oksasta ja putoaa levosta maahan $0{,}80\,\text{s}$:ssa. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Mikä on omenan nopeus maahan osuessa?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $7{,}8\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   omena lähtee levosta, $t = 0{,}80\,\text{s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   omenan nopeus $v$ osuessaan maahan yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Ilmanvastus jätetään huomiotta, joten omena on vapaassa pudotuksessa ja lähtee levosta. Silloin nopeus on putoamiskiihtyvyyden ja kuluneen ajan tulo.

   Kaava

   $v = g\,t$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn nopeuden suhteen: $v = g\,t$

   Muunnokset

   Aika on annettu sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}80\,\text{s}$

   $= 7{,}848\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $7{,}8\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $0{,}80\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Alle sekunnissa nopeus ehtii kasvaa alle $9{,}81\,\text{m/s}$. Lasku $0{,}80 \cdot 9{,}81 \approx 8$ antaa saman suuruusluokan. Nopeus $7{,}8\,\text{m/s} \approx 28\,\text{km/h}$ on järkevä alle sekunnin pudotuksen jälkeen. Se on nopeampi kuin hölkkä mutta ei vielä autojen vauhti.

3. Tehtävä 6-3

   Kuun pinnalla putoamiskiihtyvyys on $1{,}62\,\text{m/s}^2$. Astronautti pudottaa kiven. Kivi putoaa levosta $4{,}0\,\text{s}$. Mikä on kiven nopeus tämän ajan kuluttua?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $6{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kivi lähtee levosta, $t = 4{,}0\,\text{s}$, Kuun putoamiskiihtyvyys $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$ (tehtävänannosta)

   Kysytty

   kiven nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Kuussa ei ole ilmakehää, joten kivi putoaa vapaasti. Levosta lähteneen vapaasti putoavan kappaleen nopeus on kiihtyvyyden ja ajan tulo. Kiihtyvyys on tässä Kuun $g$.

   Kaava

   $v = g_\text{Kuu}\,t$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn nopeuden suhteen: $v = g_\text{Kuu}\,t$

   Muunnokset

   Aika on sekunteina ja kiihtyvyys yksikössä $\text{m/s}^2$. Tulos tulee siis yksikössä $\text{m/s}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= 1{,}62\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}0\,\text{s}$

   $= 6{,}48\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $6{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $4{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Kuun $g$ on noin kuudesosa Maan arvosta. Nopeuden pitää siis olla noin kuudesosa Maan nopeudesta samalla ajalla:

   $\dfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}0\,\text{s}}{6}$

   $\approx 6{,}5\,\text{m/s}$

   Tulos vastaa tätä.

4. Tehtävä 6-4

   Vapaasti putoavan kappaleen $(t, v)$-kuvaaja on suora. Suora kulkee pisteiden $(0\,\text{s};\, 0\,\text{m/s})$ ja $(5{,}0\,\text{s};\, 49\,\text{m/s})$ kautta. Mikä on putoamiskiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $(t, v)$-kuvaajan suora kulkee pisteiden $(t_1$; $v_1) = (0\,\text{s}$; $0\,\text{m/s})$ ja $(t_2$; $v_2) = (5{,}0\,\text{s}$; $49\,\text{m/s})$ kautta

   Kysytty

   putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Vapaasti putoavan kappaleen nopeus kasvaa joka sekunti saman verran, joten $(t, v)$-kuvaaja on suora. Suoran kulmakerroin on nopeuden muutos jaettuna ajan muutoksella. Se on putoamiskiihtyvyys.

   Kuvaajan lukeminen

   Kaksi annettua pistettä ovat suoralla. Nousu $\Delta v = v_2 - v_1$ luetaan pystysuunnassa. Eteneminen $\Delta t = t_2 - t_1$ luetaan vaakasuunnassa. Pisteet ovat kaukana toisistaan, joten lukuvirhe jää pieneksi.

   Kaava

   $g$$= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

   $= \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina. Tulos tulee siis yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $g$$= \dfrac{49\,\text{m/s} - 0\,\text{m/s}}{5{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{49\,\text{m/s}}{5{,}0\,\text{s}}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten luvuissa $49\,\text{m/s}$ ja $5{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä Maan arvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kuvaaja kuuluu siis Maassa putoavalle kappaleelle. Kulmakerroin on positiivinen, koska nopeus kasvaa ajan myötä.

5. Tehtävä 6-5

   Marsissa putoamiskiihtyvyys on $3{,}71\,\text{m/s}^2$. Kappale putoaa Marsissa levosta $6{,}0\,\text{s}$ ilman ilmanvastusta. Mikä on kappaleen nopeus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $22\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kappale lähtee levosta, $t = 6{,}0\,\text{s}$, Marsin putoamiskiihtyvyys $g_\text{Mars} = 3{,}71\,\text{m/s}^2$ (tehtävänannosta)

   Kysytty

   kappaleen nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Tehtävässä ei ole ilmanvastusta, joten kappale on vapaassa pudotuksessa. Nopeus kasvaa joka sekunti saman verran. Kun kappale lähtee levosta, nopeus on $g\,t$ Marsin $g$:llä.

   Kaava

   $v = g_\text{Mars}\,t$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn nopeuden suhteen: $v = g_\text{Mars}\,t$

   Muunnokset

   Aika on sekunteina ja kiihtyvyys yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= 3{,}71\,\text{m/s}^2 \cdot 6{,}0\,\text{s}$

   $= 22{,}26\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $22\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $6{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Marsin $g$ on pienempi kuin Maan. Samassa ajassa nopeus on siis pienempi kuin Maassa: $9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 6{,}0\,\text{s} \approx 59\,\text{m/s}$. Tulos $22\,\text{m/s}$ on alle puolet siitä. Tämä sopii siihen, että $3{,}71$ on alle puolet luvusta $9{,}81$.

6. Tehtävä 6-6

   Astronautti pudottaa Kuun pinnalla yhtä aikaa samalta korkeudelta levosta vasaran ja höyhenen. Kuussa ei ole ilmakehää eli ilmaa. Mitä tapahtuu?

   Valitse vaihtoehto.

   • Höyhen osuu maahan ensin, koska se on kevyempi.
   • Vasara ja höyhen osuvat maahan yhtä aikaa.
   • Kumpikaan ei putoa, koska Kuussa ei ole ilmaa.
   • Vasara osuu maahan ensin, koska se on raskaampi.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Vasara ja höyhen osuvat maahan yhtä aikaa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kumpi osuu Kuun pinnalla maahan ensin, vasara vai höyhen.

   Periaate

   Kuussa ei ole ilmakehää, joten ilmanvastusta ei ole. Kappaleet ovat vapaassa pudotuksessa. Silloin levosta lähteneen kappaleen nopeus on $v = g\,t$. Putoamiskiihtyvyys $g$ on sama kaikille kappaleille. Massalla ei ole väliä.

   Mallivastaus

   Vasara ja höyhen osuvat maahan yhtä aikaa. Molempien nopeus kasvaa joka sekunti saman verran ($1{,}62\,\text{m/s}$ Kuussa). Niillä on siis koko matkan sama nopeus. Maassa höyhen putoaa hitaammin vain siksi, että ilma hidastaa eniten kevyttä ja leveää kappaletta.

7. Tehtävä 6-7

   Vapaasti putoavan kappaleen $(t, v)$-kuvaaja on suora, joka kulkee origon kautta. Suoran kulmakerroin on $9{,}8\,\text{m/s}^2$. Mitä kulmakerroin kertoo?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kappaleen nopeus on $9{,}8\,\text{m/s}$ vasta sekunnin kuluttua, ja sitä ennen se on nolla.
   • Kappale putoaa joka sekunti $9{,}8\,\text{m}$ lisää.
   • Nopeus kasvaa joka sekunti $9{,}8\,\text{m/s}$.
   • Kappaleen nopeus on koko ajan $9{,}8\,\text{m/s}$.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Nopeus kasvaa joka sekunti $9{,}8\,\text{m/s}$.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä $(t, v)$-suoran kulmakerroin $9{,}8\,\text{m/s}^2$ kertoo.

   Periaate

   Kulmakerroin on $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ eli nopeuden muutos yhtä aikayksikköä kohti. Putoamiskiihtyvyys $g$ on siis kuvaajan kulmakerroin. Sen yksikkö $\text{m/s}^2$ tarkoittaa $\text{m/s}$ sekunnissa.

   Mallivastaus

   Nopeus kasvaa joka sekunti $9{,}8\,\text{m/s}$. Luku ei ole nopeus eikä matka. Nopeus hetkellä $t$ on $v = g\,t$. Se on esimerkiksi $9{,}8\,\text{m/s}$ vasta hetkellä $1{,}0\,\text{s}$ ja $19{,}6\,\text{m/s}$ hetkellä $2{,}0\,\text{s}$.

   Kuvaajan lukeminen

   Kulmakerroin luetaan suoran kahdesta pisteestä. Kun aika kasvaa $\Delta t = 1\,\text{s}$, suora nousee $\Delta v = 9{,}8\,\text{m/s}$.

8. Tehtävä 6-8

   Putoamiskiihtyvyys on Maan pinnalla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Vapaasti putoavan kappaleen nopeus kasvaa siis joka sekunti $9{,}81\,\text{m/s}$. Kuinka monta $\text{km/h}$ nopeus kasvaa joka sekunti?

   km/hTarkista
   Vastaus

   $35{,}3\,\text{km/h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeuden kasvu sekunnissa on $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ eli $9{,}81\,\text{m/s}$ joka sekunti

   Kysytty

   nopeuden kasvu sekunnissa yksikössä $\text{km/h}$

   Periaate

   Putoamiskiihtyvyys kertoo nopeuden kasvun sekunnissa. Sen voi ilmoittaa toisessa yksikössä. Silloin nopeus muunnetaan yksiköstä $\text{m/s}$ yksikköön $\text{km/h}$.

   Kaava

   $\Delta v = g\,\Delta t$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn suureen suhteen.

   Muunnokset

   Kun $\Delta t = 1\,\text{s}$, nopeus kasvaa $g$:n verran. Tunnissa ($3600\,\text{s}$) kertyy $3600\,\text{m} = 3{,}6\,\text{km}$. Siis $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

   Sijoitus

   $\Delta v$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1\,\text{s}$

   $= 9{,}81 \cdot 1\,\text{m/s}$

   $= 9{,}81 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$

   $= 35{,}316\,\text{km/h}$

   Vastaus

   $35{,}3\,\text{km/h}$

   Sekunnissa, kolme merkitsevää numeroa kuten luvussa $9{,}81$.

   Järkevyys

   Nopeus kasvaa noin $10\,\text{m/s}$ sekunnissa ja $10 \cdot 3{,}6 = 36\,\text{km/h}$. Tämä vastaa tulosta. Kolmessa sekunnissa nopeus olisi jo noin $106\,\text{km/h}$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-9Ydintehtävä

   Pallo päästetään putoamaan levosta, ja se osuu maahan nopeudella $12{,}0\,\text{m/s}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka kauan pallo putosi?

   sTarkista
   Vastaus

   $1{,}22\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pallo lähtee levosta, loppunopeus $v = 12{,}0\,\text{m/s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   pudotuksen kesto $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Ilmanvastus jätetään huomiotta, joten pallo on vapaassa pudotuksessa. Levosta lähteneen kappaleen nopeus on $v = g\,t$. Kun nopeus tunnetaan, aika saadaan ratkaisemalla kaava ajan suhteen.

   Kaava

   $v = g\,t$, josta $t = \dfrac{v}{g}$

   Muunnokset

   Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$. Osamäärän yksikkö on siis

   $\dfrac{\text{m/s}}{\text{m/s}^2}$$= \text{s}$

   Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{12{,}0\,\text{m/s}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 1{,}223\,\text{s}$

   Vastaus

   $1{,}22\,\text{s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $12{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Nopeus kasvaa noin $10\,\text{m/s}$ sekunnissa. Nopeuteen $12\,\text{m/s}$ pääseminen vie siis hieman yli sekunnin. Takaisinlasku: $9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}22\,\text{s} = 12{,}0\,\text{m/s}$.

2. Tehtävä 6-10Ydintehtävä

   Kuvassa on kahdella ilmattomalla planeetalla levosta pudotettujen kappaleiden $(t, v)$-kuvaajat. Planeetan A kappale on pudotettu, ja siitä on kulunut $5{,}0\,\text{s}$.

   Kuinka monen sekunnin kuluttua pudotuksesta planeetan B kappaleella on sama nopeus kuin planeetan A kappaleella on tällöin?

   sTarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajat, joissa kappaleet on pudotettu levosta kahdella ilmattomalla planeetalla A ja B; planeetan A kappaleen aika $t_\text{A} = 5{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   aika $t_\text{B}$, jonka kuluttua planeetan B kappaleella on sama nopeus kuin planeetan A kappaleella ajan $t_\text{A}$ kuluttua

   Periaate

   Vapaassa pudotuksessa levosta nopeus kasvaa joka sekunti saman verran. Siksi nopeus on $v = g\,t$. Kuvaaja $(t, v)$ on origosta alkava suora, ja sen kulmakerroin on planeetan $g$. Lasketaan ensin A:n nopeus. Sitten lasketaan aika, jonka B tarvitsee samaan nopeuteen.

   Kuvaajan lukeminen

   Planeetan A suora kulkee ruudukon risteyksen $(5{,}0\,\text{s}$; $20\,\text{m/s})$ kautta. Siksi A:n kappaleella on $v_\text{A} = 20\,\text{m/s}$ ajan $5{,}0\,\text{s}$ kuluttua. Planeetan B suora kulkee risteyksen $(5{,}0\,\text{s}$; $40\,\text{m/s})$ kautta. Lukemat ovat tarkkoja ruudukosta. Siksi vastauksen hyväksytään poikkeavan korkeintaan $3\,\%$.

   Kaava

   $g_\text{B}$$= \dfrac{v}{t}$

   $t_\text{B}$$= \dfrac{v_\text{A}}{g_\text{B}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina.

   Sijoitus

   $g_\text{B}$$= \dfrac{40\,\text{m/s}}{5{,}0\,\text{s}}$

   $= 8{,}0\,\text{m/s}^2$

   $t_\text{B}$$= \dfrac{20\,\text{m/s}}{8{,}0\,\text{m/s}^2}$

   $= 2{,}5\,\text{s}$

   Vastaus

   $2{,}5\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten luetuissa arvoissa ja ajassa $5{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Planeetan B kiihtyvyys $8{,}0\,\text{m/s}^2$ on kaksi kertaa A:n kiihtyvyys

   $\dfrac{20\,\text{m/s}}{5{,}0\,\text{s}}$$= 4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Siksi B saavuttaa saman nopeuden puolessa ajassa: $\tfrac{5{,}0\,\text{s}}{2} = 2{,}5\,\text{s}$. Kuvaajassa B:n suora ylittää $20\,\text{m/s}$ kohdan ajan $2$ ja $3\,\text{s}$ välillä, kuten pitääkin.

3. Tehtävä 6-11

   Putoavan kappaleen nopeus on jollakin hetkellä $12{,}0\,\text{m/s}$, eikä ilmanvastusta ole. Kuinka suuri nopeus on $1{,}50\,\text{s}$ myöhemmin?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $26{,}7\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus alussa $v_1 = 12{,}0\,\text{m/s}$, aikaväli $\Delta t = 1{,}50\,\text{s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, ei ilmanvastusta

   Kysytty

   nopeus $v_2$ yksikössä $\text{m/s}$ aikavälin lopussa

   Periaate

   Kappale ei lähde tässä levosta, mutta kiihtyvyys on silti vakio $g$. Nopeus kasvaa siis joka sekunti saman verran. Nopeuden muutos aikavälillä on $\Delta v = g\,\Delta t$. Uusi nopeus on vanha nopeus lisättynä muutoksella.

   Kaava

   $v_2 = v_1 + \Delta v$ ja $\Delta v = g\,\Delta t$, joten $v_2 = v_1 + g\,\Delta t$

   Muunnokset

   Ajat ovat sekunteina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v_2$$= 12{,}0\,\text{m/s} + 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}50\,\text{s}$

   $= 12{,}0\,\text{m/s} + 14{,}715\,\text{m/s}$

   $= 26{,}715\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $26{,}7\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $12{,}0\,\text{m/s}$ ja $1{,}50\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus kasvaa, joten uuden nopeuden pitää olla suurempi kuin $12{,}0\,\text{m/s}$. Arvio: puolitoista sekuntia antaa noin $15\,\text{m/s}$ lisää. Luku $12 + 15 = 27$ sopii tulokseen.

4. Tehtävä 6-12

   Vapaasti putoavan kappaleen nopeus mitataan kahdella hetkellä. Hetkellä $t = 1{,}0\,\text{s}$ nopeus on $9{,}7\,\text{m/s}$. Hetkellä $t = 3{,}0\,\text{s}$ nopeus on $29{,}3\,\text{m/s}$. Laske putoamiskiihtyvyys näistä mittauksista.

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mittaukset $(t_1$; $v_1) = (1{,}0\,\text{s}$; $9{,}7\,\text{m/s})$ ja $(t_2$; $v_2) = (3{,}0\,\text{s}$; $29{,}3\,\text{m/s})$

   Kysytty

   putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Vapaassa pudotuksessa nopeus kasvaa joka sekunti yhtä paljon. Siksi $g$ on nopeuden muutos jaettuna ajan muutoksella. Voit laskea sen mistä tahansa kahdesta mittauksesta. Se onnistuu myös silloin, kun kumpikaan mittaus ei ole hetkellä nolla.

   Kaava

   $g$$= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

   $= \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina. Tulos tulee siis yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $g$$= \dfrac{29{,}3\,\text{m/s} - 9{,}7\,\text{m/s}}{3{,}0\,\text{s} - 1{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{19{,}6\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{s}}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska aikaväli $2{,}0\,\text{s}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä taulukkoarvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Laske vielä pelkällä jakolaskulla. Ensimmäisestä mittauksesta saadaan

   $\dfrac{9{,}7\,\text{m/s}}{1{,}0\,\text{s}}$$= 9{,}7\,\text{m/s}^2$

   ja toisesta

   $\dfrac{29{,}3\,\text{m/s}}{3{,}0\,\text{s}}$$= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Tulokset ovat lähes samat. Mittaukset sopivat siis suoralle, joka kulkee origon kautta.

5. Tehtävä 6-13

   Valoporttimittauksessa mitattiin pienen kappaleen nopeus $v$ eri hetkillä $t$ pudotuksen alusta. Kappale päästettiin putoamaan levosta. Piirrä mittauspisteistä $(t, v)$-kuvaaja. Sovita pisteisiin suora ja määritä sen kulmakerroin.

   Mikä on putoamiskiihtyvyys $g$ mittauksen mukaan? Vertaa tulosta taulukkoarvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   Putoavan kappaleen nopeus ajan funktiona

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,10	0,95
   0,20	2,03
   0,30	2,91
   0,40	3,88
   0,50	4,94
   0,60	5,83

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $v)$: $(0{,}10\,\text{s}$; $0{,}95\,\text{m/s})$, $(0{,}20\,\text{s}$; $2{,}03\,\text{m/s})$, $(0{,}30\,\text{s}$; $2{,}91\,\text{m/s})$, $(0{,}40\,\text{s}$; $3{,}88\,\text{m/s})$, $(0{,}50\,\text{s}$; $4{,}94\,\text{m/s})$ ja $(0{,}60\,\text{s}$; $5{,}83\,\text{m/s})$

   Kysytty

   putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja sen vertailu taulukkoarvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kappale lähtee levosta ja ilmanvastus on pieni. Siksi pisteisiin sopii suora $v = g\,t$. Suoran kulmakerroin on putoamiskiihtyvyys. Suora piirretään pisteiden joukon keskeltä. Kulmakerroin lasketaan suoran pisteistä, ei mittauspisteistä.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet asettuvat nousevalle suoralle. Suoran molemmille puolille jää pisteitä. Suora kulkee lähes origon kautta. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{s}$; $0\,\text{m/s})$ ja $(0{,}60\,\text{s}$; $5{,}85\,\text{m/s})$ kautta. Ne luetaan suoralta ja valitaan kaukana toisistaan.

   Kaava

   $g$$= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

   $= \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja aika yksikössä $\text{s}$.

   Sijoitus

   $g$$= \dfrac{5{,}85\,\text{m/s} - 0\,\text{m/s}}{0{,}60\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 9{,}75\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska suora sovitetaan silmällä. Silmällä sovitus vaihtelee, joten noin $9{,}3\text{–}10{,}2\,\text{m/s}^2$ on hyvä vastaus. Tulos $9{,}75\,\text{m/s}^2$ on $0{,}6\,\%$ pienempi kuin taulukkoarvo $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Ero on alle prosentin. Mittaus tukee siis mallia $v = g\,t$, ja mittauspisteiden hajonta on satunnaista.

   Järkevyys

   Suoran mukaan nopeus hetkellä $0{,}30\,\text{s}$ on $9{,}75 \cdot 0{,}30 \approx 2{,}9\,\text{m/s}$. Tämä vastaa taulukon kolmatta riviä. Kulmakerroin on lähellä tunnettua arvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$.

6. Tehtävä 6-14

   Kappale päästettiin putoamaan levosta. Mittaus aloitettiin vasta hetkellä $t = 0$, kun kappale oli jo ehtinyt pudota hetken. Nopeus mitattiin eri hetkinä.

   Piirrä mittauspisteistä $(t, v)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Suora ei kulje origon kautta. Kuinka monta sekuntia ennen mittauksen alkua kappale päästettiin putoamaan? Selitä, mitä suoran ja $v$-akselin leikkauskohta kertoo.

   Putoavan kappaleen nopeus mittauksen alusta

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	1,97
   0,1	2,93
   0,2	3,95
   0,3	4,89
   0,4	5,90
   0,5	6,86

   sTarkista
   Vastaus

   $0{,}20\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittauspisteet $(t$; $v)$: $(0{,}0\,\text{s}$; $1{,}97\,\text{m/s})$, $(0{,}1\,\text{s}$; $2{,}93\,\text{m/s})$, $(0{,}2\,\text{s}$; $3{,}95\,\text{m/s})$, $(0{,}3\,\text{s}$; $4{,}89\,\text{m/s})$, $(0{,}4\,\text{s}$; $5{,}90\,\text{m/s})$ ja $(0{,}5\,\text{s}$; $6{,}86\,\text{m/s})$; kappale päästettiin levosta ennen mittauksen alkua

   Kysytty

   aika $t_0$ pudotuksen alun ja mittauksen alun välillä yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Nopeus kasvaa tasaisesti, joten pisteisiin sopii suora $v = k\,t + b$. Sen kulmakerroin $k$ on putoamiskiihtyvyys $g$. Suora ei kulje origon kautta, koska kappale liikkui jo hetkellä $t = 0$. Vakiotermi $b$ on nopeus mittauksen alkaessa. Levosta lähtenyt kappale saavuttaa nopeuden $b$ ajassa $\dfrac{b}{g}$. Tämä on aika pudotuksen alusta mittauksen alkuun.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet asettuvat nousevalle suoralle. Suora leikkaa $v$-akselin kohdassa $b \approx 2{,}0\,\text{m/s}$. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0{,}0\,\text{s}$; $2{,}0\,\text{m/s})$ ja $(0{,}5\,\text{s}$; $6{,}9\,\text{m/s})$ kautta. Siis

   $k$$= \dfrac{6{,}9\,\text{m/s} - 2{,}0\,\text{m/s}}{0{,}5\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaava

   $t_0 = \dfrac{b}{k}$, koska $v = k\,t_0$ kertoo ajan, jossa levosta lähtenyt kappale saavuttaa nopeuden $b$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja kulmakerroin yksikössä $\text{m/s}^2$.

   Sijoitus

   $t_0$$= \dfrac{2{,}0\,\text{m/s}}{9{,}8\,\text{m/s}^2}$

   $= 0{,}20\,\text{s}$

   Vastaus

   $0{,}20\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska vakiotermi luetaan kuvaajasta kahden numeron tarkkuudella. Suoran ja $v$-akselin leikkauskohta $b \approx 2{,}0\,\text{m/s}$ on kappaleen nopeus mittauksen alkaessa. Suora ei kulje origon kautta, koska aika $t$ lasketaan mittauksen alusta eikä pudotuksen alusta.

   Järkevyys

   Kulmakerroin $9{,}8\,\text{m/s}^2$ on putoamiskiihtyvyys. Malli on siis oikea, ja vain ajan nollakohta on siirtynyt. Kappale oli pudonnut $0{,}20\,\text{s}$. Nopeus $9{,}8 \cdot 0{,}20 \approx 2{,}0\,\text{m/s}$ vastaa taulukon ensimmäistä riviä.

7. Tehtävä 6-15

   Oppilaat mittaavat putoamiskiihtyvyyden kahdella valoportilla. Portit ovat pystysuunnassa toistensa alapuolella. Levosta pudotetun $5{,}0\,\text{cm}$ pitkän kappaleen nopeus saadaan kummassakin portissa kappaleen pituudesta ja ajasta $\Delta t_\text{valo}$, jonka valo on katkennut.

   Pudotushetkeä ei tunneta tarkasti. Kello mittaa hetket $t$, jolloin valon katkos on puolivälissä eli kappaleen keskikohta on portin kohdalla.

   Laske putoamiskiihtyvyys taulukon mittauksista. Selitä, miksi $g$ saadaan kahden portin nopeuksista, vaikka pudotushetki ei ole tiedossa.

   Kahden valoportin mittaus

   Portti	$\Delta t_\text{valo}\,(\text{ms})$	$t\,(\text{s})$
   1	25,0	0,320
   2	11,1	0,575

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kappaleen pituus $L = 5{,}0\,\text{cm}$; portti 1: $\Delta t_\text{valo,1} = 25{,}0\,\text{ms}$ ja valokatkoksen puolivälin hetki $t_1 = 0{,}320\,\text{s}$; portti 2: $\Delta t_\text{valo,2} = 11{,}1\,\text{ms}$ ja valokatkoksen puolivälin hetki $t_2 = 0{,}575\,\text{s}$

   Kysytty

   putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kappaleen nopeus portissa on kappaleen pituus jaettuna ajalla, jonka valo on ollut katkennut: $v = \dfrac{L}{\Delta t_\text{valo}}$. Tämä on keskinopeus katkoksen aikana. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä se on yhtä suuri kuin nopeus katkoksen puolivälissä. Siksi kello merkitsee hetken, jolloin katkos on puolivälissä. Nopeus kasvaa tasaisesti, joten kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajan muutoksella: $g = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. Pudotushetkeä ei tarvita, koska tulokseen vaikuttavat vain aikaero $t_2 - t_1$ ja nopeuksien erotus. Jos kellon lukema pudotushetkellä on väärä, se siirtää molempia aikoja yhtä paljon ja kumoutuu erotuksessa.

   Kaava

   $v = \dfrac{L}{\Delta t_\text{valo}}$ ja $g = \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   $L$$= 5{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}050\,\text{m}$

   koska $1\,\text{cm} = 0{,}01\,\text{m}$.

   $\Delta t_\text{valo,1}$$= 25{,}0\,\text{ms}$

   $= 0{,}0250\,\text{s}$

   $\Delta t_\text{valo,2}$$= 11{,}1\,\text{ms}$

   $= 0{,}0111\,\text{s}$

   koska $1\,\text{ms} = 0{,}001\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $v_1$$= \dfrac{0{,}050\,\text{m}}{0{,}0250\,\text{s}}$

   $= 2{,}00\,\text{m/s}$

   $v_2$$= \dfrac{0{,}050\,\text{m}}{0{,}0111\,\text{s}}$

   $= 4{,}50\,\text{m/s}$

   Sitten

   $g$$= \dfrac{4{,}50\,\text{m/s} - 2{,}00\,\text{m/s}}{0{,}575\,\text{s} - 0{,}320\,\text{s}}$

   $= \dfrac{2{,}50\,\text{m/s}}{0{,}255\,\text{s}}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska kappaleen pituus $L = 5{,}0\,\text{cm}$ on annettu kahdella numerolla ja rajoittaa tulosta. Kahden portin avulla saatu $g$ ei vaadi tietoa pudotushetkestä. Nopeudet saadaan kappaleen pituudesta ja valon katkeamisajasta. Kiihtyvyys saadaan aikaerosta $t_2 - t_1$.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä tunnettua arvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Nopeus $2{,}00\,\text{m/s}$ vaatii vain noin $0{,}20\,\text{s}$ putoamista, vaikka kello näyttää $0{,}320\,\text{s}$. Kello on käynnistetty ennen pudotusta, mikä ei haittaa aikaeroa. Nopeus $2{,}0\,\text{m/s}$ vastaa pudotusaikaa

   $\dfrac{2{,}0}{9{,}8}$$\approx 0{,}20\,\text{s}$

   ja nopeus $4{,}5\,\text{m/s}$ aikaa $0{,}46\,\text{s}$. Niiden ero on $0{,}25\,\text{s}$ kuten kellon aikaerokin.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 6-16

   Tyhjiökammiossa pudotetaan yhtä aikaa levosta kaksi palloa. Pallojen massat ovat $0{,}50\,\text{kg}$ ja $4{,}0\,\text{kg}$. Pudotuksen alusta on kulunut $1{,}5\,\text{s}$.

   Kuinka monta kertaa suurempi on raskaamman pallon nopeus kuin kevyemmän pallon nopeus?

   Tarkista
   Vastaus

   $1{,}0$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi palloa tyhjiössä, massat $m_1 = 0{,}50\,\text{kg}$ ja $m_2 = 4{,}0\,\text{kg}$, molemmat lähtevät levosta, $t = 1{,}5\,\text{s}$

   Kysytty

   nopeuksien suhde $\dfrac{v_2}{v_1}$ (ei yksikköä)

   Periaate

   Tyhjiössä ei ole ilmanvastusta, joten kumpikin pallo on vapaassa pudotuksessa. Putoamiskiihtyvyys $g$ on kaikille kappaleille sama massasta riippumatta. Kummankin nopeus on siis $g\,t$.

   Kaava

   $v_1 = g\,t$ ja $v_2 = g\,t$, joten $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{g\,t}{g\,t}$

   Muunnokset

   Ajat ovat sekunteina, ja massoja ei tarvita laskussa. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v_1$$= v_2$

   $= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}5\,\text{s}$

   $= 14{,}715\,\text{m/s}$

   joten

   $\dfrac{v_2}{v_1}$$= \dfrac{14{,}715\,\text{m/s}}{14{,}715\,\text{m/s}}$

   $= 1{,}0$

   Vastaus

   $1{,}0$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $1{,}5\,\text{s}$. Suhde on tarkalleen yksi, koska massa supistuu pois.

   Järkevyys

   Jos raskaampi putoaisi nopeammin, massan pitäisi näkyä kaavassa. Kaavassa $v = g\,t$ ei kuitenkaan ole massaa. Tämä vastaa Kuussa tehtyä vasara–höyhen-koetta, jossa kappaleet osuivat maahan yhtä aikaa.

2. Tehtävä 6-17

   Tuntemattomalla planeetalla ei ole ilmakehää. Siellä levosta pudotetun kiven nopeus on $4{,}0\,\text{s}$:n kuluttua $14{,}8\,\text{m/s}$. Kuinka monen sekunnin kuluttua pudotuksen alusta kiven nopeus on $30{,}0\,\text{m/s}$?

   sTarkista
   Vastaus

   $8{,}1\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   planeetalla ei ole ilmakehää, kivi lähtee levosta, $v_1 = 14{,}8\,\text{m/s}$ hetkellä $t_1 = 4{,}0\,\text{s}$, haluttu nopeus $v_2 = 30{,}0\,\text{m/s}$

   Kysytty

   aika $t_2$ yksikössä $\text{s}$, jolloin nopeus on $30{,}0\,\text{m/s}$

   Periaate

   Ilmakehää ei ole, joten kivi on vapaassa pudotuksessa. Nopeus on suoraan verrannollinen aikaan: $v = g\,t$. Planeetan $g$ ei tunneta. Ratkaise se ensin annetusta mittauksesta. Käytä sitä sitten ajan laskemiseen.

   Kaava

   $g = \dfrac{v_1}{t_1}$ ja $t_2 = \dfrac{v_2}{g}$, joten $t_2 = \dfrac{v_2\,t_1}{v_1}$

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $g$$= \dfrac{14{,}8\,\text{m/s}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= 3{,}70\,\text{m/s}^2$

   $t_2$$= \dfrac{30{,}0\,\text{m/s}}{3{,}70\,\text{m/s}^2}$

   $= 8{,}108\,\text{s}$

   Vastaus

   $8{,}1\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Aika $4{,}0\,\text{s}$ on annettu kahdella numerolla, ja se rajoittaa tulosta.

   Järkevyys

   Nopeus $30{,}0\,\text{m/s}$ on noin kaksi kertaa nopeus $14{,}8\,\text{m/s}$. Aika on siis noin kaksi kertaa $4{,}0\,\text{s}$ eli noin $8\,\text{s}$. Tulos $8{,}1\,\text{s}$ vastaa arviota. Planeetan $g = 3{,}70\,\text{m/s}^2$ on Marsin kaltainen.

3. Tehtävä 6-18

   Pallo pudotetaan ilmassa levosta. Sen nopeudeksi mitataan $3{,}00\,\text{s}$:n kuluttua $25{,}0\,\text{m/s}$. Vapaassa pudotuksessa ilman ilmanvastusta pallon nopeus olisi suurempi. Kuinka monta $\text{m/s}$ pienempi mitattu nopeus on?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $4{,}4\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mitattu nopeus ilmassa $v_\text{mitattu} = 25{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $t = 3{,}00\,\text{s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   erotus $\Delta v = v_\text{vapaa} - v_\text{mitattu}$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Vapaassa pudotuksessa ilman ilmanvastusta levosta lähtevän kappaleen nopeus olisi $v_\text{vapaa} = g\,t$. Ilma hidastaa palloa, joten mitattu nopeus on pienempi. Erotus kertoo, kuinka paljon ilmanvastus pienentää nopeutta.

   Kaava

   $v_\text{vapaa} = g\,t$ ja $\Delta v = g\,t - v_\text{mitattu}$

   Muunnokset

   Aika on sekunteina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta v$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 3{,}00\,\text{s} - 25{,}0\,\text{m/s}$

   $= 29{,}43\,\text{m/s} - 25{,}0\,\text{m/s}$

   $= 4{,}43\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $4{,}4\,\text{m/s}$

   Aika $3{,}00\,\text{s}$ antaa nopeudelle $29{,}43\,\text{m/s}$ kolme merkitsevää numeroa. Erotuksella on kuitenkin yhtä monta desimaalia kuin heikoimmalla luvulla eli mitatulla arvolla $25{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Erotus on positiivinen, koska ilma hidastaa palloa. Se on pieni osa nopeudesta: $\dfrac{4{,}4}{29{,}4} \approx 15\,\%$. Kolmen sekunnin pudotuksessa ilmanvastus on jo merkittävä mutta ei hallitseva. Se sopii pallolle.

4. Tehtävä 6-19

   Kahden kappaleen, pienen pallon ja suodatinpaperin, nopeus mitattiin videolta hetkinä $t$ pudotuksen alusta. Kappaleet päästettiin putoamaan levosta ilmassa.

   Piirrä molempien $(t, v)$-kuvaajat samaan koordinaatistoon. Missä kohdassa ja miksi malli $v = g\,t$ lakkaa pätemästä suodatinpaperille mutta ei vielä pallolle? Kuinka monta prosenttia suodatinpaperin nopeus on pienempi kuin mallin antama nopeus hetkellä $0{,}40\,\text{s}$?

   Pallon ja suodatinpaperin nopeus ilmassa

   $t\,(\text{s})$	$v_\text{pallo}\,(\text{m/s})$	$v_\text{paperi}\,(\text{m/s})$
   0,05	0,49	0,49
   0,10	0,98	0,93
   0,15	1,48	1,21
   0,20	1,96	1,38
   0,30	2,94	1,46
   0,40	3,93	1,49
   0,60	5,88	1,50

   %Tarkista
   Vastaus

   $62\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pallon ja suodatinpaperin nopeudet taulukossa hetkinä $0{,}05\,\text{s}$–$0{,}60\,\text{s}$, paperin nopeus hetkellä $0{,}40\,\text{s}$ on $1{,}49\,\text{m/s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kohta, jossa malli $v = g\,t$ lakkaa pätemästä suodatinpaperille, ja suodatinpaperin nopeuden vaje mallista hetkellä $t = 0{,}40\,\text{s}$ prosentteina

   Periaate

   Malli $v = g\,t$ pätee, kun ilmanvastusta ei ole. Pallon mittauspisteet asettuvat suoralle, joka kulkee origon kautta. Suoran kulmakerroin on noin $9{,}8\,\text{m/s}^2$. Pallolle ilmanvastus on siis tässä pieni. Suodatinpaperi on kevyt ja leveä, joten ilma hidastaa sitä. Sen kuvaaja on aluksi samalla suoralla, mutta kaartuu siitä alaspäin. Lopuksi kuvaaja tasoittuu lähes vakionopeuteen $1{,}5\,\text{m/s}$. Ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, ja lopulta se melkein kumoaa nopeuden kasvun.

   Kuvaajan lukeminen

   Hetkellä $0{,}05\,\text{s}$ paperin piste on pallon suoralla. Hetkellä $0{,}10\,\text{s}$ paperin nopeus $0{,}93\,\text{m/s}$ jää mallin arvosta $0{,}98\,\text{m/s}$ jo

   $\dfrac{0{,}98 - 0{,}93}{0{,}98}$$\approx 5\,\%$

   Kriteeriksi otetaan, että poikkeama on yli $5\,\%$. Hetken $0{,}30\,\text{s}$ jälkeen paperin nopeus ei enää juuri kasva, vaikka pallon nopeus kasvaa edelleen.

   Kaava

   $v_\text{malli} = g\,t$ ja vaje $= \dfrac{v_\text{malli} - v_\text{paperi}}{v_\text{malli}} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat yksikössä $\text{s}$.

   Sijoitus

   $v_\text{malli}$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}40\,\text{s}$

   $= 3{,}924\,\text{m/s}$

   Erotus on $3{,}924\,\text{m/s} - 1{,}49\,\text{m/s} = 2{,}434\,\text{m/s}$, joten
   $$\begin{aligned} \text{vaje} &= \dfrac{2{,}434\,\text{m/s}}{3{,}924\,\text{m/s}} \cdot 100\,\% \\ &= 62{,}0\,\% \end{aligned}$$

   Vastaus

   Suodatinpaperin nopeus on hetkellä $0{,}40\,\text{s}$ noin $62\,\%$ pienempi kuin mallin antama nopeus. Malli lakkaa pätemästä paperille noin hetkellä $0{,}10\,\text{s}$. Silloin poikkeama ylittää $5\,\%$, ja se kasvaa siitä eteenpäin. Ilmanvastus kasvaa nopeuden ja kappaleen leveyden mukana. Palloon ilmanvastus vaikuttaa vähän, joten malli pätee sille koko mitatulla välillä.

   Järkevyys

   Pallon nopeus $3{,}93\,\text{m/s}$ vastaa mallia $3{,}924\,\text{m/s}$. Paperin pienempi nopeus sopii kevyelle ja leveälle kappaleelle ilmassa.

5. Tehtävä 6-20

   Oppilas pudotti kappaleen levosta ja mittasi sen nopeuden kolmella kellon lukemalla $t$. Kello oli käynnissä jo ennen pudotusta, mutta oppilas ei tiennyt, kuinka kauan.

   Oppilas laski jokaisesta rivistä osamäärän $\dfrac{v}{t}$ ja sai arvot $7{,}5\,\text{m/s}^2$, $8{,}9\,\text{m/s}^2$ ja $9{,}2\,\text{m/s}^2$. Putoamiskiihtyvyys on kuitenkin vakio.

   Selitä, miksi osamäärät eroavat toisistaan ja miksi ne ovat liian pieniä. Laske $g$ toisella tavalla niin, että kellon nollakohta ei vaikuta tulokseen. Perustele menetelmä. Kuinka monta sekuntia ennen pudotusta kello oli käynnistetty?

   Putoavan kappaleen nopeus kellon lukemilla

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,65	4,9
   1,65	14,7
   2,65	24,5

   sTarkista
   Vastaus

   $t_0 = 0{,}15\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kellon lukemat ja nopeudet: $(0{,}65\,\text{s}$; $4{,}9\,\text{m/s})$, $(1{,}65\,\text{s}$; $14{,}7\,\text{m/s})$ ja $(2{,}65\,\text{s}$; $24{,}5\,\text{m/s})$; kappale lähti levosta, kello oli käynnissä jo ennen pudotusta

   Kysytty

   miksi osamäärät $\dfrac{v}{t}$ eroavat, putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja kellon käynnistyksen ja pudotuksen väli $t_0$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Kaava $v = g\,t$ pätee, kun $t$ on aika pudotuksen alusta. Kellon lukema on $t = t_0 + t_\text{putoaa}$. Siksi osamäärä $\dfrac{v}{t}$ on liian pieni. Virhe on suhteellisesti suurin lyhyellä lukemalla. Nopeuden muutos $\Delta v$ ja aikaero $\Delta t$ eivät riipu kellon nollakohdasta, koska $t_0$ kumoutuu erotuksessa. Siksi $g = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ on oikea menetelmä.

   Kaava

   $g$$= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

   $= \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

   $t_0$$= t - t_\text{putoaa}$

   $= t - \dfrac{v}{g}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat yksikössä $\text{s}$.

   Sijoitus

   Osamäärät: $\dfrac{4{,}9}{0{,}65} = 7{,}5$, $\dfrac{14{,}7}{1{,}65} = 8{,}9$ ja $\dfrac{24{,}5}{2{,}65} = 9{,}2$ (yksikkö $\text{m/s}^2$). Ne lähestyvät arvoa $9{,}8$, kun kellon lukema kasvaa. Kulmakerroin:

   $g$$= \dfrac{24{,}5\,\text{m/s} - 4{,}9\,\text{m/s}}{2{,}65\,\text{s} - 0{,}65\,\text{s}}$

   $= \dfrac{19{,}6\,\text{m/s}}{2{,}00\,\text{s}}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Myös pareilla $(1)$ ja $(2)$ sekä $(2)$ ja $(3)$ saadaan sama arvo. Todellinen putoamisaika ensimmäisellä rivillä on

   $\dfrac{4{,}9\,\text{m/s}}{9{,}8\,\text{m/s}^2}$$= 0{,}50\,\text{s}$

   Siis

   $t_0$$= 0{,}65\,\text{s} - 0{,}50\,\text{s}$

   $= 0{,}15\,\text{s}$

   Vastaus

   $t_0 = 0{,}15\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kellon lukemissa. Putoamiskiihtyvyys on $9{,}8\,\text{m/s}^2$. Osamäärät $\dfrac{v}{t}$ ovat liian pieniä, koska kellon lukema on aina $0{,}15\,\text{s}$ liian suuri. Virhe vaikuttaa eniten lyhyeen lukemaan. Kulmakerroin toimii, koska nopeuden muutos ja aikaero eivät riipu kellon nollakohdasta.

   Järkevyys

   Kellon virhe on sama kaikilla riveillä: todelliset putoamisajat ovat $0{,}50\,\text{s}$, $1{,}50\,\text{s}$ ja $2{,}50\,\text{s}$. Lasku $9{,}8 \cdot 2{,}50 = 24{,}5\,\text{m/s}$ vastaa kolmatta riviä. Tulos $9{,}8\,\text{m/s}^2$ on lähellä tunnettua arvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$.