Tiheys: $m = \rho V$
Miksi kaksi samankokoista metallikuutiota voi tuntua kädessä aivan eri painoisilta? Miten voit päätellä tuntemattoman kappaleen aineen pelkän vaa'an ja mittalasin avulla?
Pohjatiedot
- Suoraan verrannollisessa riippuvuudessa mittauspisteet ovat mittausepävarmuuden rajoissa suoralla, joka kulkee origon kautta. Suoran kulmakerroin on suhde $y : x$luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen
- Mittaustuloksissa on aina virhettä. Tulos ilmoitetaan sopivalla määrällä merkitseviä numeroitaluku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus
- Suureet lasketaan SI-yksiköissä. Yksiköt muunnetaan kymmenpotenssien avullaluku Suureet, yksiköt ja SI-järjestelmä
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 3.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Tiheys
- Kertoo, kuinka paljon massaa on tilavuusyksikköä kohti. Se on aineen ominaisuus eikä riipu kappaleen koosta.
- Massa
- Kertoo, kuinka paljon ainetta kappaleessa on.
- Tilavuus
- Kertoo, kuinka suuren tilan kappale vie.
Pohdinta
Kierrätyspisteellä on pöydällä kaksi harmaata metallikuutiota. Ne ovat täsmälleen samankokoiset. Toinen tuntuu kädessä paljon raskaammalta kuin toinen. Toinen on alumiinia ja toinen rautaa, mutta kuutioissa ei ole merkintöjä. Pöydällä on vaaka ja viivoitin.
Mitä kuutioista kannattaa mitata, jotta voit päätellä niiden aineen?
Valinnainen Kertaa: suoraan verrannollisuus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kolminkertainen pala
Ennuste 2: kaksi ainetta samassa koordinaatistossa
Tutki
Alumiinipalat: onko massa verrannollinen tilavuuteen?
Simuloitu esimerkkiaineisto
Taulukossa on esimerkkiaineisto viidestä eri kokoisesta alumiinipalasta. Tilavuus on laskettu mitoista. Massa on mitattu vaa'alla. Luvut ovat esimerkkiarvoja, eivät oikeita mittauksia. Niissä on kuitenkin mukana tavallista mittausvirhettä.
| Pala | $V$ ($\text{cm}^3$) | $m$ (g) |
|---|---|---|
| 1 | 10,0 | 26,8 |
| 2 | 20,0 | 54,4 |
| 3 | 30,0 | 80,6 |
| 4 | 40,0 | 108,4 |
| 5 | 50,0 | 134,6 |
Laske jokaiselle riville suhde $m : V$.
Tuntematon metalli
Simuloitu esimerkkiaineisto
Taulukossa on esimerkkiaineisto tuntemattomasta metallista tehdyistä paloista. Luvut ovat esimerkkiarvoja. Tiheyden voi laskea kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on yhden rivin suhde $m : V$. Toinen tapa on kahden kaukana toisistaan olevan rivin erotusten suhde $\Delta m : \Delta V$. Toinen tapa käyttää koko mittausaluetta.
| Pala | $V$ ($\text{cm}^3$) | $m$ (g) |
|---|---|---|
| 1 | 5,0 | 45,1 |
| 2 | 10,0 | 89,2 |
| 3 | 15,0 | 135,0 |
| 4 | 20,0 | 178,9 |
| 5 | 25,0 | 224,3 |
Laske metallin tiheys käyttämällä ensimmäistä ja viimeistä riviä ja kaavaa $\rho = \Delta m : \Delta V$. Vertaa lopuksi tulosta kirjan taulukkoon (luvun teoriaosa): alumiini $2{,}70$, rauta $7{,}87$, kupari $8{,}96$, lyijy $11{,}3$ ja kulta $19{,}3\,\text{g/cm}^3$. Vastaa yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä on massan muutos ja mikä tilavuuden muutos ensimmäisen ja viimeisen rivin välillä?
Vihje 2: mikä yhteys
$\Delta m = 224{,}3\,\text{g} - 45{,}1\,\text{g}$ ja $\Delta V = 25{,}0\,\text{cm}^3 - 5{,}0\,\text{cm}^3$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
ensimmäinen rivi $V_1 = 5{,}0\,\text{cm}^3$, $m_1 = 45{,}1\,\text{g}$ ja viimeinen rivi $V_5 = 25{,}0\,\text{cm}^3$, $m_5 = 224{,}3\,\text{g}$
Kysytty
metallin tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$
Periaate
Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen. Siksi mittauspisteet ovat suoralla $m = \rho V$. Suoran kulmakerroin on tiheys. Valitse kaksi pistettä, jotka ovat kaukana toisistaan. Kulmakerroin on niiden massojen erotuksen ja tilavuuksien erotuksen suhde.
Kaava
Muunnokset
Ei tarvita. Massat ovat grammoina ja tilavuudet kuutiosenttimetreinä. Vastaus pyydetään yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
Vastaus
$8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten mittaustuloksissa.
Järkevyys
Arvo on sama kuin kuparin tiheys taulukossa, $8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Metalli on siis luultavasti kuparia. Tarkista yhdellä rivillä:
Tulos on lähes sama.
Neste astiassa: mistä massa koostuu?
Simuloitu esimerkkiaineisto
Mittapulloon kaadetaan nestettä. Vaaka näyttää pullon ja nesteen yhteismassan $m_\text{yht}$. Taulukossa on esimerkkiaineisto. Luvut ovat esimerkkiarvoja.
| $V$ ($\text{cm}^3$) | $m_\text{yht}$ (g) |
|---|---|
| 0 | 42,1 |
| 20 | 57,9 |
| 40 | 73,5 |
| 60 | 89,6 |
| 80 | 105,1 |
Tutki, kuinka paljon massa kasvaa jokaista $20\,\text{cm}^3$ kohti.
Johtopäätös: miten massa ja tilavuus liittyvät?
Kirjoita kolmen taulukon perusteella vastaukset näihin kysymyksiin.
Mistä tiedät, että alumiinipalojen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen? Miten tuntemattoman metallin tiheys saatiin? Kumpi suora olisi koordinaatistossa jyrkempi, alumiinin vai tuntemattoman metallin, ja miksi? Mitä pitää tehdä, jos nestettä mitataan astiassa?
Mallivastaus
Alumiinipaloissa suhde $m : V$ oli joka rivillä noin $2{,}7\,\text{g/cm}^3$. Siksi massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen, ja suhde on aineen tiheys. Tuntemattoman metallin tiheys saatiin kahden kaukana toisistaan olevan pisteen erotuksista: $\rho = \Delta m : \Delta V = 179{,}2\,\text{g} : 20{,}0\,\text{cm}^3 = 8{,}96\,\text{g/cm}^3$. Se vastasi kuparia. Kuparin suora on alumiinin suoraa jyrkempi, koska kuparin tiheys eli kulmakerroin on suurempi. Nesteen kokonaismassa astian kanssa ei ole verrannollinen tilavuuteen, koska tyhjän astian massa on mukana. Siksi astian massa pitää vähentää kokonaismassasta. Tiheyden voi myös lukea suoran kulmakertoimesta, ja silloin astian massa on suoran leikkauspiste. Aineistot olivat esimerkkiarvoja, joissa oli pientä mittausvirhettä. Kuutioiden aineen voi siis päätellä näin: mitataan massa ja tilavuus ja lasketaan niistä tiheys.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kappaleen massa $m$ kertoo, kuinka paljon ainetta kappaleessa on. Massan yksikkö on kilogramma. Tilavuus $V$ kertoo, kuinka suuren tilan kappale vie. Tilavuuden SI-yksikkö on kuutiometri ($\text{m}^3$). Kaksi samankokoista kappaletta voivat olla eri painoisia, jos ne ovat eri ainetta. Kymmenen kuutiosenttimetrin mäntykuutio on kevyt. Alumiinikuutio on selvästi raskaampi. Rautakuutio on raskain.
Ero syntyy siitä, kuinka tiiviisti ainetta on tilavuuden sisällä. Tätä kuvaa tiheys $\rho$. Tiheys kertoo, kuinka paljon massaa aineessa on yhtä tilavuusyksikköä kohti, esimerkiksi yhdessä kuutiosenttimetrissä. Rauta on noin kuusitoista kertaa niin tiheää kuin mänty. Sama tilavuus sisältää siis noin kuusitoista kertaa niin paljon ainetta.
Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen
Mittaa saman aineen eri kokoisia paloja. Huomaat säännön: kaksinkertainen tilavuus antaa kaksinkertaisen massan. Puolet tilavuudesta antaa puolet massasta. Massa on siis suoraan verrannollinen tilavuuteen. Se tarkoittaa, että suhde $m : V$ pysyy samana. Tämä vakio suhde on aineen tiheys.
Piirrä mittaustulokset koordinaatistoon. Vaaka-akselilla on tilavuus ja pystyakselilla massa. Pisteet ovat mittausepävarmuuden rajoissa suoralla, joka kulkee origon kautta (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen). Suoran kulmakerroin on tiheys.
Tiheys kertoo, mistä aineesta on kyse
Jokaisella puhtaalla aineella on tietyssä olomuodossa ja lämpötilassa oma tiheytensä. Tiheys on siis kuin aineen sormenjälki. Mittaa ensin kappaleen massa ja tilavuus. Sitten voit verrata laskettua tiheyttä taulukkoarvoihin. Päättely ei ole varma. Mittauksissa on aina virhettä (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus). Lisäksi joillakin aineilla on lähes sama tiheys. Tulos kertoo siis vain, mitä aineita kappale voi olla.
Tiheys
Aineen tiheys on massan ja tilavuuden suhde. Kaavasta voi ratkaista myös massan ja tilavuuden eli kirjoittaa sen niin, että massa tai tilavuus on yksin yhtälön vasemmalla puolella. Silloin saadaan kaksi muuta muotoa:
$$\begin{aligned} \rho &= \frac{m}{V} \\ m &= \rho V \\ V &= \frac{m}{\rho} \end{aligned}$$
Tässä $\rho$ on tiheys (SI-yksikkö $\text{kg/m}^3$), $m$ massa (kg) ja $V$ tilavuus ($\text{m}^3$). Muoto $m = \rho V$ on suoran verrannollisuuden malli $y = kx$. Massa $m$ on $y$, tilavuus $V$ on $x$ ja tiheys $\rho$ on kulmakerroin $k$.
Kuvassa jokaisen aineen pisteet ovat omalla suoralla. Mitä jyrkempi suora on, sitä suurempi on tiheys. Voit lukea tiheyden kuvaajasta. Lue suoralta kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä. Laske sitten $\rho = \Delta m : \Delta V$. Tämä tulos on tarkempi kuin yhden pisteen suhde $m : V$, koska se käyttää koko suoraa.
Yksiköt
Tiheyden SI-yksikkö on $\text{kg/m}^3$. Pienillä kappaleilla käytetään usein yksikköä $\text{g/cm}^3$. Yksiköiden välinen yhteys on
$$1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \frac{10^{-3}\,\text{kg}}{10^{-6}\,\text{m}^3} = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$
Pidä laskussa kaikki suureet samassa yksikköjärjestelmässä. Tilavuuden muunnokset ovat $1\,\text{cm}^3 = 10^{-6}\,\text{m}^3$ ja $1\,\text{dm}^3 = 10^{-3}\,\text{m}^3$. Lisäksi $1\,\text{dm}^3$ on yksi litra, ja $1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$.
| Aine | $\rho$ ($\text{kg/m}^3$) | $\rho$ ($\text{g/cm}^3$) |
|---|---|---|
| mänty | 500 | 0,50 |
| etanoli | 790 | 0,79 |
| ruokaöljy | 920 | 0,92 |
| jää | 920 | 0,92 |
| vesi | 1000 | 1,00 |
| alumiini | 2700 | 2,70 |
| rauta | 7870 | 7,87 |
| kupari | 8960 | 8,96 |
| lyijy | 11 300 | 11,3 |
| kulta | 19 300 | 19,3 |
Tilavuuden mittaaminen
Säännöllisen kappaleen tilavuuden voi laskea mitoista. Kuution tilavuus on $a^3$. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on pohjan pinta-ala kertaa korkeus. Epäsäännöllisen kappaleen tilavuus mitataan vedensiirtymällä. Upota kappale mittalasiin. Tilavuus on veden pinnan nousu $V = V_2 - V_1$.
Mittalasin lukemassa on epävarmuutta. Sitä tulee esimerkiksi asteikon ja nestepinnan kaarevuuden lukemisesta. Kahden lukeman erotus on pienempi luku kuin lukemat itse. Erotukseen tulee kuitenkin kummankin lukeman epävarmuus. Siksi erotuksessa voi olla vähemmän merkitseviä numeroita kuin kummassakaan lukemassa. Tämä rajoittaa tiheyden tarkkuutta.
Astian massa mittauksessa
Joskus nestettä mitataan astiassa. Vaaka näyttää silloin astian ja nesteen yhteismassan. Mittauspisteet eivät kulje origon kautta, koska tyhjänkin astian massa $m_0$ on mukana. Kokonaismassa noudattaa lineaarista mallia $m_\text{yht} = \rho V + m_0$. Tiheys on silti suoran kulmakerroin. Vakio $m_0$ on suoran ja pystyakselin leikkauspiste, eli tyhjän astian massa. Kokonaismassa ei ole suoraan verrannollinen tilavuuteen, mutta nesteen oma massa on.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että suurempi kappale on tiheämpi, koska se on raskaampi. Isompi rautapala on kyllä raskaampi kuin pieni. Niiden tiheys on kuitenkin sama. Massa ja tilavuus kasvavat yhdessä, joten suhde $m : V$ ei muutu. Tiheys on aineen ominaisuus, ei kappaleen koon.
Toinen virhe on sekoittaa yksiköt. Jos massa on grammoina ja tilavuus kuutiometreinä, tulos on tuhat kertaa liian suuri tai pieni. Muunna ensin kaikki yhteen yksikköjärjestelmään. Käytä joko $\text{kg}$ ja $\text{m}^3$ tai $\text{g}$ ja $\text{cm}^3$.
Kolmas virhe on ajatella, että tyhjän astian massa kuuluu nesteeseen. Vähennä se kokonaismassasta, ennen kuin lasket tiheyden.
Tiivistelmä
- Tiheys on massa tilavuutta kohti: $\rho = m : V$, SI-yksikkö $\text{kg/m}^3$. Vesi 1000 $\text{kg/m}^3$, alumiini 2700 $\text{kg/m}^3$, rauta 7870 $\text{kg/m}^3$.
- Saman aineen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen: $m = \rho V$. Kuvaajassa $m(V)$ on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on tiheys.
- Ratkaise kaavasta tarvitsemasi suure: $\rho = m : V$, $m = \rho V$ tai $V = m : \rho$. Pidä yksiköt samassa järjestelmässä: $1\,\text{g/cm}^3 = 1000\,\text{kg/m}^3$.
- Epäsäännöllisen kappaleen tilavuus mitataan vedensiirtymällä $V = V_2 - V_1$. Astian massa pitää vähentää. Muuten se näkyy suoran vakiotermissä $m_0$.
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Massiivisen rautapalkin pituus on $1{,}20\,\text{m}$. Sen poikkileikkaus on neliö, jonka sivu on 4,0 cm. Mikä on palkin massa?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Pituus on $L = 1{,}20\,\text{m}$ ja poikkileikkauksen sivu $a = 4{,}0\,\text{cm}$. Taulukosta saadaan raudan tiheys $\rho = 7870\,\text{kg/m}^3$. Kysytään palkin massaa $m$.
Vaihe 2/7
Periaate. Palkki on kauttaaltaan rautaa. Sen massa on siis suoraan verrannollinen tilavuuteen, ja verrannollisuuskerroin on raudan tiheys. Tilavuus saadaan poikkileikkauksen pinta-alan $a^2$ ja pituuden tulona.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} V &= a^2 L \\ m &= \rho V = \rho a^2 L \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$, joten pituudet muunnetaan metreiksi:
Pituus on jo metreinä. Massa saadaan silloin suoraan kilogrammoina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} m &= \rho a^2 L \\ &= 7870\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot (0{,}040\,\text{m})^2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \\ &= 7870\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1{,}92 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3 \\ &= 15{,}11\,\text{kg} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Palkin massa on noin $15\,\text{kg}$. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska sivu $4{,}0\,\text{cm}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella. Taulukon tiheys $7870\,\text{kg/m}^3$ olisi tarkempi.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Palkin tilavuus on $1{,}92\,\text{dm}^3$ eli noin kaksi litraa. Saman tilavuuden vesi olisi noin $1{,}9\,\text{kg}$. Rauta on noin 7,9 kertaa vettä tiheämpää. Arvio on siis $7{,}9 \cdot 1{,}9\,\text{kg} \approx 15\,\text{kg}$. Tulos täsmää.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Joesta löydetyn kiven massa on $187\,\text{g}$. Mittalasissa on vettä $120\,\text{ml}$. Kun kivi upotetaan, lukema on $190\,\text{ml}$. Kuinka suuri on kiven aineen tiheys? Vastaa yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä on kiven tilavuus? Kivi syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä.
Vihje 2: mikä yhteys
Tilavuus on
Muunna sitten massa kilogrammoiksi ja tilavuus kuutiometreiksi:
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
kiven massa $m = 187\,\text{g}$; veden lukema ennen $V_1 = 120\,\text{ml}$ ja jälkeen $V_2 = 190\,\text{ml}$
Kysytty
kiven aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Kun kivi upotetaan veteen, se syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä. Kiven tilavuus on siis lukemien erotus. Tiheys on massa jaettuna tilavuudella.
Kaava
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$2{,}7 \cdot 10^3\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lukemien erotus $70\,\text{ml}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Kivien tiheys on tavallisesti noin 2,5–3 kertaa veden tiheys. Tulos $2{,}7 \cdot 10^3\,\text{kg/m}^3$ on tällä välillä. Arvio: $190\,\text{g}$ ja $70\,\text{cm}^3$ antaisivat noin $2{,}7\,\text{g/cm}^3$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Alumiinikappaleen tilavuus on $40\,\text{cm}^3$ ja massa $108\,\text{g}$. Mikä on alumiinin tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$?
Vastaus
$\rho$$= \dfrac{m}{V}$$= \dfrac{108\,\text{g}}{40\,\text{cm}^3}$$= 2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ - Vesipullon tilavuus on $1{,}5\,\text{dm}^3$. Kuinka suuri on veden massa ($\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$)? Mitä muunnosta tarvitaan?
Vastaus
Tilavuus muunnetaan kuutiometreiksi: $1{,}5\,\text{dm}^3 = 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3$. Silloin
$m$$= \rho V$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3$$= 1{,}5\,\text{kg}$
1. Käsite
2. Tiheys on aineen ominaisuus
3. Laskutehtävä
Mäntykuution särmä on $20{,}0\,\text{cm}$ ja männyn tiheys $500\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on kuution massa? Vastaa kilogrammoina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin kuution tilavuus. Kuution tilavuus on särmän kolmas potenssi.
Vihje 2: mikä yhteys
Muunna särmä metreiksi: $20{,}0\,\text{cm} = 0{,}200\,\text{m}$. Tilavuus on $V = a^3$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
kuution särmä $a = 20{,}0\,\text{cm}$; männyn tiheys $\rho = 500\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
kuution massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Kuutio on kauttaaltaan mäntyä. Siksi massa on tiheys kertaa tilavuus. Kuution tilavuus on särmän kolmas potenssi.
Kaava
$V = a^3$ ja $m = \rho V = \rho a^3$
Muunnokset
Tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$. Siksi särmä muunnetaan metreiksi:
Sijoitus
Vastaus
$4{,}00\,\text{kg}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten särmässä $20{,}0\,\text{cm}$.
Järkevyys
Kuution tilavuus on $8{,}00\,\text{dm}^3$ eli kahdeksan litraa. Saman tilavuuden vesi olisi $8\,\text{kg}$. Männyn tiheys on noin puolet veden tiheydestä. Siksi massa on noin $4\,\text{kg}$.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 4. Selitä ja perustele
Opiskelija mittaa tuntemattoman metallipalan massan ja tilavuuden. Hän laskee tiheydeksi $8{,}9\,\text{g/cm}^3$ ja sanoo: "Pala on kuparia." Selitä, miksi tiheys on hyvä tapa tunnistaa aine. Selitä myös, miksi päätelmä ei silti ole täysin varma.
Mallivastaus
Tiheys $\rho = m : V$ on aineen ominaisuus. Saman aineen suuri ja pieni pala antavat saman tuloksen. Siksi mitattua tiheyttä voi verrata taulukkoarvoihin. Tulos $8{,}9\,\text{g/cm}^3$ on hyvin lähellä kuparin arvoa $8{,}96\,\text{g/cm}^3$, joten kupari on todennäköinen. Päätelmä ei ole varma. Mittauksissa on aina virhettä, erityisesti tilavuudessa. Lisäksi muiden aineiden tai seosten tiheys voi olla lähellä samaa arvoa. Varmuutta lisäävät toiset mittaukset, kuten väri tai magneettisuus.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Tiheys
- Kertoo, kuinka suuri massa aineella on tilavuusyksikköä kohti.$$\rho = \dfrac{m}{V}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 7-1Ydintehtävä
Kierrätyspisteellä punnitaan harmaa metallinen harkko. Sen massa on $340\,\text{g}$ ja tilavuus $30{,}0\,\text{cm}^3$. Kuinka suuri on harkon aineen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Vastaus
$11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
metalliharkon massa $m = 340\,\text{g}$ ja tilavuus $V = 30{,}0\,\text{cm}^3$
Kysytty
harkon aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$
Periaate
Tiheys on massa tilavuutta kohti. Harkko on yhtä ainetta. Siksi sen massan ja tilavuuden suhde on aineen tiheys.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
Ei tarvita. Massa on grammoina ja tilavuus kuutiosenttimetreinä. Vastaus pyydetään yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{340\,\text{g}}{30{,}0\,\text{cm}^3}$$= 11{,}33\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
$11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $30{,}0\,\text{cm}^3$.
Järkevyys
Arvo on lähellä lyijyn tiheyttä $11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Harkko on siis luultavasti lyijyä. Tee arvio: $30\,\text{cm}^3$ ja noin $11\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ antaisivat noin $330\,\text{g}$. Se on lähellä mitattua massaa.
- Tehtävä 7-2Ydintehtävä
Alumiinilevyn tilavuus on $35{,}0\,\text{cm}^3$, ja alumiinin tiheys on $2{,}70\,\text{g/cm}^3$. Kuinka suuri on levyn massa? Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$94{,}5\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alumiinilevyn tilavuus $V = 35{,}0\,\text{cm}^3$ ja tiheys $\rho = 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
levyn massa $m$ grammoina
Periaate
Saman aineen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen. Verrannollisuuskerroin on tiheys. Levy on kauttaaltaan alumiinia.
Kaava
Tiheyden määritelmästä $\rho = \dfrac{m}{V}$ ratkaistaan massa: $m = \rho V$
Muunnokset
Ei tarvita. Tiheys on yksikössä $\text{g/cm}^3$ ja tilavuus yksikössä $\text{cm}^3$. Siksi massa tulee suoraan grammoina.
Sijoitus
$m$$= 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 35{,}0\,\text{cm}^3$$= 94{,}5\,\text{g}$Vastaus
$94{,}5\,\text{g}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.
Järkevyys
Vesi, jonka tilavuus on $35\,\text{cm}^3$, painaisi $35\,\text{g}$. Alumiini on noin 2,7 kertaa niin tiheää kuin vesi. Siksi massa on noin $2{,}7 \cdot 35\,\text{g} \approx 95\,\text{g}$. Tulos täsmää.
- Tehtävä 7-3
Kemian luokassa mitataan vaa'alla $316\,\text{g}$ etanolia. Etanolin tiheys on $0{,}79\,\text{g/cm}^3$. Kuinka suuri on nesteen tilavuus? Anna vastaus kuutiosenttimetreinä.
Vastaus
$400\,\text{cm}^3$
Näytä ratkaisu
Annettu
etanolin massa $m = 316\,\text{g}$ ja tiheys $\rho = 0{,}79\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
nesteen tilavuus $V$ kuutiosenttimetreinä
Periaate
Tiheys on massa tilavuutta kohti. Kun massa ja tiheys tunnetaan, tilavuus saadaan jakamalla massa tiheydellä.
Kaava
Kaavasta $\rho = \dfrac{m}{V}$ ratkaistaan tilavuus: $V = \dfrac{m}{\rho}$
Muunnokset
Ei tarvita. Massa on grammoina ja tiheys $\text{g/cm}^3$. Gramma supistuu, ja jäljelle jää $\text{cm}^3$.
Sijoitus
$V$$= \dfrac{316\,\text{g}}{0{,}79\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$= 400\,\text{cm}^3$Vastaus
$400\,\text{cm}^3$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska tiheys $0{,}79\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Etanolin tiheys on pienempi kuin veden. Siksi $316\,\text{g}$ etanolia vie enemmän tilaa kuin $316\,\text{g}$ vettä. Sen verran vettä on $316\,\text{cm}^3$. Tulos $400\,\text{cm}^3$ on suurempi, kuten pitääkin.
- Tehtävä 7-4
Betonilaatan tilavuus on $0{,}75\,\text{m}^3$. Betonin tiheys on $2400\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on laatan massa? Anna vastaus kilogrammoina.
Vastaus
$1800\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
laatan tilavuus $V = 0{,}75\,\text{m}^3$ ja betonin tiheys $\rho = 2400\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
laatan massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Laatta on kauttaaltaan betonia. Siksi massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen. Verrannollisuuskerroin on tiheys.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$, josta $m = \rho V$
Muunnokset
Ei tarvita. Tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$ ja tilavuus yksikössä $\text{m}^3$. Siksi massa tulee kilogrammoina.
Sijoitus
$m$$= 2400\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}75\,\text{m}^3$$= 1800\,\text{kg}$Vastaus
$1800\,\text{kg}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $0{,}75\,\text{m}^3$.
Järkevyys
Kuutiometri vettä on $1000\,\text{kg}$. Betoni on noin 2,4 kertaa niin tiheää kuin vesi. Siksi $0{,}75\,\text{m}^3$ betonia painaa noin $0{,}75 \cdot 2400\,\text{kg} \approx 1800\,\text{kg}$. Se on yli tonni, ja betonilaatta onkin raskas.
- Tehtävä 7-5
Jäälohkon massa on $36{,}8\,\text{kg}$ ja tilavuus $0{,}0400\,\text{m}^3$. Kuinka suuri on jään tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vastaus
$920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jäälohkon massa $m = 36{,}8\,\text{kg}$ ja tilavuus $V = 0{,}0400\,\text{m}^3$
Kysytty
jään tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Tiheys on massa tilavuutta kohti. Lohko on yhtä ainetta.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
Ei tarvita. Massa on kilogrammoina ja tilavuus kuutiometreinä. Vastaus pyydetään yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{36{,}8\,\text{kg}}{0{,}0400\,\text{m}^3}$$= 920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$Vastaus
$920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.
Järkevyys
Tulos on hieman pienempi kuin veden tiheys $1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Se sopii siihen, että jää kelluu vedessä. Karkea arvio:
$37\,\text{kg} : 0{,}04\,\text{m}^3$$\approx 925\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ - Tehtävä 7-6
Tasalaatuinen alumiinipalikka sahataan kahteen yhtä suureen osaan. Mitä aineen tiheydelle tapahtuu?
Vastaus
Tiheys on kummassakin osassa sama kuin alkuperäisessä palikassa.
Näytä ratkaisu
Kysytty
miten tiheys muuttuu, kun tasalaatuinen alumiinipalikka puolitetaan.
Periaate
Tiheys $\rho = \dfrac{m}{V}$ on massan ja tilavuuden suhde. Se on aineen ominaisuus. Palikka on kauttaaltaan alumiinia. Siksi kumpikin puolikas on samaa ainetta kuin kokonainen palikka.
Mallivastaus
Tiheys pysyy samana. Kun palikka puolitetaan, massa $m$ ja tilavuus $V$ puolittuvat. Siksi suhde $m : V$ ei muutu. Kummankin osan tiheys on edelleen $2{,}70\,\text{g/cm}^3$. Tiheys ei riipu kappaleen koosta eikä muodosta. Se riippuu vain aineesta.
- Tehtävä 7-7
Ruokaöljyä kaadetaan varovasti vesilasiin. Öljyn tiheys on $920\,\text{kg/m}^3$ ja veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$. Öljy ei sekoitu veteen. Mitä lasissa tapahtuu?
Vastaus
Öljy jää veden päälle, koska öljyn tiheys on pienempi kuin veden.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mitä tapahtuu, kun ruokaöljyä kaadetaan veteen. Öljyn tiheys on $920\,\text{kg/m}^3$ ja veden tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$.
Periaate
Tiheys kertoo, kuinka paljon massaa on yhdessä tilavuusyksikössä. Pienemmän tiheyden neste on samassa tilavuudessa kevyempää. Se asettuu tiheämmän nesteen päälle.
Mallivastaus
Öljyn tiheys $920\,\text{kg/m}^3$ on pienempi kuin veden tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$. Siksi öljy jää veden päälle omaksi kerrokseksi. Sama näkyy siitä, että öljyn tiheys on $0{,}92$-kertainen veden tiheyteen verrattuna. Kuutiometri öljyä painaa $920\,\text{kg}$ ja kuutiometri vettä $1000\,\text{kg}$. Öljy ei sekoitu veteen. Siksi tiheys ratkaisee, kumpi neste on päällä. Nesteen sakeus tai määrä ei ratkaise asiaa.
- Tehtävä 7-8
Onkikoukun lyijypainon tilavuus on $5{,}00\,\text{cm}^3$. Lyijyn tiheys on $11{,}3\,\text{g/cm}^3$. Kuinka suuri on painon massa? Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$56{,}5\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lyijypainon tilavuus $V = 5{,}00\,\text{cm}^3$ ja lyijyn tiheys $\rho = 11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
painon massa $m$ grammoina
Periaate
Paino on kauttaaltaan lyijyä. Siksi massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen. Verrannollisuuskerroin on lyijyn tiheys.
Kaava
Kaavasta $\rho = \dfrac{m}{V}$ ratkaistaan massa: $m = \rho V$
Muunnokset
Ei tarvita. Tilavuus on kuutiosenttimetreinä ja tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$. Siksi $\text{cm}^3$ supistuu ja jäljelle jää gramma.
Sijoitus
$m$$= 11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 5{,}00\,\text{cm}^3$$= 56{,}5\,\text{g}$Vastaus
$56{,}5\,\text{g}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.
Järkevyys
Viisi kuutiosenttimetriä vettä painaisi noin $5\,\text{g}$. Lyijyn tiheys on noin $11$ kertaa veden tiheys. Siksi massa on noin $11 \cdot 5\,\text{g} = 55\,\text{g}$. Se sopii tulokseen $56{,}5\,\text{g}$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 7-9Ydintehtävä
Kultaharkon mitat ovat $10{,}0\,\text{cm} \cdot 5{,}0\,\text{cm} \cdot 2{,}0\,\text{cm}$. Kullan tiheys on $19\,300\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on harkon massa? Anna vastaus kilogrammoina.
Vastaus
$1{,}9\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
harkon mitat $10{,}0\,\text{cm}$, $5{,}0\,\text{cm}$ ja $2{,}0\,\text{cm}$; kullan tiheys $\rho = 19\,300\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
harkon massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Harkko on kauttaaltaan kultaa. Massa on siis tiheys kertaa tilavuus. Harkko on suorakulmainen särmiö. Sen tilavuus saadaan, kun kolme mittaa kerrotaan keskenään.
Kaava
$V = a\,b\,c$ ja $m = \rho V = \rho\,a\,b\,c$
Muunnokset
Tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$. Siksi mitat muunnetaan metreiksi: $10{,}0\,\text{cm} = 0{,}100\,\text{m}$, $5{,}0\,\text{cm} = 0{,}050\,\text{m}$ ja $2{,}0\,\text{cm} = 0{,}020\,\text{m}$.
Sijoitus
$m$$= 19\,300\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}100\,\text{m} \cdot 0{,}050\,\text{m} \cdot 0{,}020\,\text{m}$$= 19\,300\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^3$$= 1{,}93\,\text{kg}$Vastaus
$1{,}9\,\text{kg}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska mitat $5{,}0\,\text{cm}$ ja $2{,}0\,\text{cm}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Harkon tilavuus on $100\,\text{cm}^3$. Saman tilavuuden vesi olisi $100\,\text{g}$. Kulta on noin 19 kertaa niin tiheää kuin vesi. Siksi massa on noin $19 \cdot 100\,\text{g} \approx 1{,}9\,\text{kg}$.
- Tehtävä 7-10Ydintehtävä
Laboratoriossa on pullo, jossa on $2{,}5\,\text{dm}^3$ etanolia. Etanolin tiheys on $790\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on nesteen massa? Anna vastaus kilogrammoina.
Vastaus
$2{,}0\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
etanolin tilavuus $V = 2{,}5\,\text{dm}^3$ ja tiheys $\rho = 790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
nesteen massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Neste on yhtä ainetta. Siksi massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen. Verrannollisuuskerroin on tiheys.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$, josta $m = \rho V$
Muunnokset
Tiheyden yksikössä on kuutiometri. Siksi tilavuus muunnetaan kuutiometreiksi:
$2{,}5\,\text{dm}^3$$= 2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3$$= 0{,}0025\,\text{m}^3$Muunnos perustuu siihen, että $1\,\text{dm}^3 = 10^{-3}\,\text{m}^3$.
Sijoitus
$m$$= 790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}0025\,\text{m}^3$$= 1{,}975\,\text{kg}$Vastaus
$2{,}0\,\text{kg}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $2{,}5\,\text{dm}^3$ ja tiheydessä $790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
Järkevyys
Kaksi ja puoli litraa vettä on $2{,}5\,\text{kg}$. Etanolin tiheys on pienempi kuin veden. Siksi etanolin massa on hieman pienempi, noin $0{,}79 \cdot 2{,}5\,\text{kg} \approx 2{,}0\,\text{kg}$.
- Tehtävä 7-11
Metallikappaleen massa on $89{,}0\,\text{g}$. Kuvassa on mittalasi ennen kappaleen upottamista ja sen jälkeen. Kuinka suuri on kappaleen aineen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vastaus
$8900\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
metallikappaleen massa $m = 89{,}0\,\text{g}$; kuva mittalasista ennen ja jälkeen kappaleen upottamisen
Kysytty
kappaleen aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Upotettu kappale syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä. Kappaleen tilavuus on siis veden lukemien erotus. Tiheys on massa tilavuutta kohti.
Kuvaajan lukeminen
Asteikon numerot ovat $20\,\text{ml}$ välein. Pitkät viivat ovat $10\,\text{ml}$ välein ja pienet viivat $2\,\text{ml}$ välein. Ennen upotusta vesi yltää merkkiin $V_1 = 40\,\text{ml}$. Upotuksen jälkeen vesi yltää pitkään viivaan numeroiden $40$ ja $60$ puolivälissä, $V_2 = 50\,\text{ml}$. Vastaus hyväksytään, jos se poikkeaa korkeintaan $3\,\%$.
Kaava
$V = V_2 - V_1$ ja $\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
$V$$= 50\,\text{ml} - 40\,\text{ml}$$= 10\,\text{ml}$$= 10\,\text{cm}^3$$= 1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3$$89{,}0\,\text{g} = 0{,}0890\,\text{kg}$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{0{,}0890\,\text{kg}}{1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3}$$= 8900\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$Vastaus
$8900\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tilavuus $10\,\text{ml}$ luetaan asteikolta noin $1\,\text{ml}$:n tarkkuudella.
Järkevyys
Arvio: $89\,\text{g} : 10\,\text{cm}^3 \approx 9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Se on $9000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Tulos on lähellä kuparin tiheyttä $8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Kappale voi siis olla kuparia.
- Tehtävä 7-12
Tyhjän mittapullon massa on $215\,\text{g}$. Pulloon kaadetaan $250\,\text{cm}^3$ tuntematonta nestettä. Sitten vaaka näyttää $412\,\text{g}$. Kuinka suuri on nesteen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vastaus
$788\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tyhjän pullon massa $m_0 = 215\,\text{g}$, nesteen tilavuus $V = 250\,\text{cm}^3$, pullon ja nesteen yhteismassa $m_\text{yht} = 412\,\text{g}$
Kysytty
nesteen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Vaaka näyttää pullon ja nesteen yhteismassan. Tiheys lasketaan kuitenkin pelkän nesteen massasta. Vähennä pullon massa. Loput on nesteen massaa.
Kaava
$m$$= m_\text{yht} - m_0$$\rho$$= \dfrac{m}{V}$$= \dfrac{m_\text{yht} - m_0}{V}$Muunnokset
$m$$= 412\,\text{g} - 215\,\text{g}$$= 197\,\text{g}$$= 0{,}197\,\text{kg}$$250\,\text{cm}^3$$= 250 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3$$= 2{,}50 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^3$Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{0{,}197\,\text{kg}}{2{,}50 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^3}$$= 788\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$Vastaus
$788\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa. Massojen erotus $197\,\text{g}$ ja tilavuus $250\,\text{cm}^3$ on mitattu kolmen numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Tulos on lähellä etanolin tiheyttä $790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Neste on siis luultavasti etanolia. Ajattele, että unohdat vähentää pullon massan. Silloin saat väärän tuloksen $1650\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Se olisi enemmän kuin veden tiheys.
- Tehtävä 7-13
Tasalaatuisesta metallista tehtiin eri kokoisia kappaleita. Jokaisen kappaleen tilavuus ja massa mitattiin. Piirrä mittauspisteistä $(V,m)$-kuvaaja. Sovita pisteisiin suora, joka kulkee origon kautta.
Mikä on aineen tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$? Mikä aine on kyseessä? Käytä oppitunnin taulukkoa.
Metallikappaleiden massa tilavuuden mukaan $V\,(\text{cm}^3)$ $m\,(\text{g})$ 10,0 27,3 20,0 53,5 30,0 81,6 40,0 107,9 50,0 135,4 Vastaus
$2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon mittauspisteet $(V$; $m)$: $(10{,}0\,\text{cm}^3$; $27{,}3\,\text{g})$, $(20{,}0\,\text{cm}^3$; $53{,}5\,\text{g})$, $(30{,}0\,\text{cm}^3$; $81{,}6\,\text{g})$, $(40{,}0\,\text{cm}^3$; $107{,}9\,\text{g})$ ja $(50{,}0\,\text{cm}^3$; $135{,}4\,\text{g})$
Kysytty
aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$ ja aineen nimi
Periaate
Saman aineen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen, $m = \rho V$. Siksi pisteet ovat origon kautta kulkevalla suoralla. Suoran kulmakerroin on tiheys. Suora piirretään pistejoukon keskelle. Kulmakerroin lasketaan suoran pisteistä, ei yksittäisestä mittauspisteestä.
Kuvaajan lukeminen
Pisteet ovat nousevalla suoralla, ja suoran molemmin puolin on pisteitä. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{cm}^3$; $0\,\text{g})$ ja $(50{,}0\,\text{cm}^3$; $135\,\text{g})$ kautta. Pisteet luetaan suoralta, ja ne valitaan kauas toisistaan.
Kaava
$\rho$$= \dfrac{\Delta m}{\Delta V}$$= \dfrac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1}$Muunnokset
Ei tarvita. Massa on grammoina ja tilavuus kuutiosenttimetreinä, kuten kysytty yksikkö $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{135\,\text{g} - 0\,\text{g}}{50{,}0\,\text{cm}^3 - 0\,\text{cm}^3}$$= 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
$2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska suora sovitetaan silmällä. Silmällä sovitus vaihtelee. Siksi noin $2{,}62\text{–}2{,}78\,\text{g/cm}^3$ on hyvä vastaus. Taulukossa alumiinin tiheys on $2{,}70\,\text{g/cm}^3$. Aine on siis alumiinia.
Järkevyys
Suora kulkee origon kautta, kuten pitääkin. Kappaleen, jonka tilavuus on nolla, massa on nolla. Tarkistus:
$27{,}3\,\text{g} : 10{,}0\,\text{cm}^3$$= 2{,}73\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$$135{,}4\,\text{g} : 50{,}0\,\text{cm}^3$$= 2{,}71\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Jokainen piste antaa lähes saman arvon.
- Tehtävä 7-14
Mittalasiin kaadettiin nestettä vähitellen. Vaaka näytti mittalasin ja nesteen yhteismassan $m_\text{yht}$ nesteen tilavuuden $V$ mukaan. Piirrä mittauspisteistä kuvaaja ja sovita pisteisiin suora.
Mikä on nesteen tiheys yksikössä $\text{kg/m}^3$? Määritä myös tyhjän mittalasin massa. Selitä, miksi suora ei kulje origon kautta.
Mittalasin ja nesteen yhteismassa nesteen tilavuuden mukaan $V\,(\text{cm}^3)$ $m_\text{yht}\,(\text{g})$ 20,0 103,6 40,0 121,2 60,0 140,5 80,0 158,9 100,0 176,8 Vastaus
$920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon mittauspisteet $(V$; $m_\text{yht})$: $(20{,}0\,\text{cm}^3$; $103{,}6\,\text{g})$, $(40{,}0\,\text{cm}^3$; $121{,}2\,\text{g})$, $(60{,}0\,\text{cm}^3$; $140{,}5\,\text{g})$, $(80{,}0\,\text{cm}^3$; $158{,}9\,\text{g})$ ja $(100{,}0\,\text{cm}^3$; $176{,}8\,\text{g})$
Kysytty
nesteen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$, tyhjän mittalasin massa $m_0$ ja syy siihen, miksi suora ei kulje origon kautta
Periaate
Vaaka näyttää mittalasin ja nesteen yhteismassan. Se noudattaa lineaarista mallia $m_\text{yht} = \rho V + m_0$. Nesteen tiheys on suoran kulmakerroin. Tyhjän lasin massa $m_0$ on kohta, jossa suora leikkaa pystyakselin.
Kuvaajan lukeminen
Pisteet ovat nousevalla suoralla, ja suoran molemmin puolin on pisteitä. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{cm}^3$; $85\,\text{g})$ ja $(100\,\text{cm}^3$; $177\,\text{g})$ kautta. Piste $(0\,\text{cm}^3$; $85\,\text{g})$ on kohta, jossa suora leikkaa pystyakselin.
Kaava
$\rho$$= \dfrac{\Delta m_\text{yht}}{\Delta V}$$= \dfrac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1}$$m_0 = m_1 - \rho V_1$
Muunnokset
$1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{177\,\text{g} - 85\,\text{g}}{100\,\text{cm}^3 - 0\,\text{cm}^3}$$= \dfrac{92\,\text{g}}{100\,\text{cm}^3}$$= 0{,}92\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$$= 920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$m_0 = 85\,\text{g}$ (kohta, jossa suora leikkaa pystyakselin)
Vastaus
nesteen tiheys on $920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska suora sovitetaan silmällä. Tyhjän mittalasin massa on noin $85\,\text{g}$. Suora ei kulje origon kautta, koska vaaka näyttää myös tyhjän mittalasin massan. Jos nestettä ei ole, $V = 0$, ja vaaka näyttää silti $m_0$.
Järkevyys
Tiheys $920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ on sama kuin ruokaöljyn tai jään tiheys taulukossa. Neste voi siis olla ruokaöljyä. Tarkistus kohdassa $V = 60\,\text{cm}^3$: $85\,\text{g}\,{+}\,0{,}92 \cdot 60\,\text{g} = 140\,\text{g}$, mitattu $140{,}5\,\text{g}$.
- Tehtävä 7-15
Oppilas määritti metallikappaleen tiheyden vedensiirtomenetelmällä. Kappaleen massa on $107\,\text{g}$. Mittalasin lukema oli ennen upotusta $60\,\text{ml}$ ja upotuksen jälkeen $72\,\text{ml}$. Oppilas laski $\rho = 107\,\text{g} : 72\,\text{cm}^3 = 1{,}5\,\text{g/cm}^3$. Hän päätteli, että kappale on kevyttä muovia. Etsi oppilaan virhe ja laske oikea tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Mikä aine kappale voi olla?
Vastaus
$8{,}9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kappaleen massa $m = 107\,\text{g}$, mittalasin lukemat $V_1 = 60\,\text{ml}$ ja $V_2 = 72\,\text{ml}$; oppilaan tulos $\rho = 1{,}5\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
oppilaan virhe, oikea tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$ ja aine
Periaate
Vedensiirtomenetelmässä kappaleen tilavuus on veden pinnan nousu eli lukemien erotus. Mittalasin lukema $V_2$ sisältää myös veden, joka oli lasissa jo ennen upotusta. Tiheys on kappaleen massa jaettuna kappaleen tilavuudella.
Kaava
$V = V_2 - V_1$ ja $\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
$V$$= 72\,\text{ml} - 60\,\text{ml}$$= 12\,\text{ml}$$= 12\,\text{cm}^3$koska $1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{107\,\text{g}}{12\,\text{cm}^3}$$= 8{,}92\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
Oppilas jakoi massan upotuksen jälkeisellä lukemalla $72\,\text{ml}$. Hänen olisi pitänyt käyttää lukemien erotusta. Siksi tilavuus oli kuusinkertainen ja tiheys liian pieni. Oikea tiheys on $8{,}9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska tilavuus $12\,\text{ml}$ on kahden numeron luku. Taulukossa kuparin tiheys on $8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Kappale voi siis olla kuparia eikä muovia.
Järkevyys
Tulos $8{,}9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ on yli kahdeksankertainen veteen verrattuna. Se sopii metallille. Lukemien erotus on pienempi kuin kumpikaan lukema. Siksi erotuksessa on suhteessa enemmän epävarmuutta. Jos kummankin lukeman virhe on $1\,\text{ml}$, tilavuus on $12 \pm 2\,\text{ml}$. Silloin tiheys voi olla noin $7{,}6\text{–}10{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 7-16
Kuparikappaleella ja alumiinikappaleella on sama massa. Kuinka moninkertainen on alumiinikappaleen tilavuus kuparikappaleen tilavuuteen verrattuna? Käytä taulukon tiheyksiä.
Vastaus
$3{,}32$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuparikappaleella ja alumiinikappaleella on sama massa, $m_\text{Cu} = m_\text{Al} = m$; taulukosta $\rho_\text{Cu} = 8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ ja $\rho_\text{Al} = 2700\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
tilavuuksien suhde $V_\text{Al} : V_\text{Cu}$
Periaate
Kummankin kappaleen massa on tiheys kertaa tilavuus. Massat ovat yhtä suuret, joten tiheyden ja tilavuuden tulot ovat yhtä suuret. Suurempi tiheys tarkoittaa siis pienempää tilavuutta.
Kaava
$\rho_\text{Al} V_\text{Al} = \rho_\text{Cu} V_\text{Cu}$, josta
$$\frac{V_\text{Al}}{V_\text{Cu}} = \frac{\rho_\text{Cu}}{\rho_\text{Al}}$$Muunnokset
Ei tarvita. Tiheydet ovat samassa yksikössä. Massa $m$ supistuu pois.
Sijoitus
$\dfrac{V_\text{Al}}{V_\text{Cu}}$$= \dfrac{8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}}{2700\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}}$$= 3{,}32$Vastaus
$3{,}32$
Kertaa. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten tiheyksissä $8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ ja $2{,}70\cdot10^{3}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
Järkevyys
Alumiinin tiheys on pienempi. Siksi alumiinia tarvitaan suurempi tilavuus, jotta massa on sama. Laske pyöristetyillä luvuilla: $3 \cdot 2700 = 8100$ ja $4 \cdot 2700 = 10\,800$. Suhde $8960 : 2700$ on siis kolmen ja neljän välissä ja lähempänä kolmea. Tulos $3{,}32$ sopii tähän.
- Tehtävä 7-17
Kappale tehdään valamalla yhteen $100\,\text{cm}^3$ alumiinia ja $50\,\text{cm}^3$ rautaa. Oletetaan, että tilavuudet voi laskea yhteen. Kuinka suuri on kappaleen keskimääräinen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Vastaus
$4{,}4\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alumiini $V_1 = 100\,\text{cm}^3$, $\rho_1 = 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja rauta $V_2 = 50\,\text{cm}^3$, $\rho_2 = 7{,}87\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$; tilavuudet lasketaan yhteen
Kysytty
kappaleen keskimääräinen tiheys $\bar{\rho}$ yksikössä $\text{g/cm}^3$
Periaate
Tiheyksiä ei lasketa yhteen. Niistä ei myöskään lasketa suoraan keskiarvoa. Laske yhteen massat ja tilavuudet. Koko kappaleen tiheys on kokonaismassa jaettuna kokonaistilavuudella.
Kaava
$m_i = \rho_i V_i$, ja
$$\bar{\rho} = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2} = \frac{\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2}{V_1 + V_2}$$Muunnokset
Ei tarvita. Kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{g}$ ja $\text{cm}^3$.
Sijoitus
Massat ovat
$m_1$$= 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 100\,\text{cm}^3$$= 270\,\text{g}$$m_2$$= 7{,}87\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 50\,\text{cm}^3$$= 393{,}5\,\text{g}$joten
$\bar{\rho}$$= \dfrac{270\,\text{g} + 393{,}5\,\text{g}}{150\,\text{cm}^3}$$= 4{,}42\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
$4{,}4\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $50\,\text{cm}^3$.
Järkevyys
Tulos on alumiinin ja raudan tiheyksien välissä. Se on lähempänä alumiinia, koska alumiinin tilavuus on kaksi kertaa niin suuri kuin raudan. Kahden tiheyden tavallinen keskiarvo $5{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ olisi liian suuri.
- Tehtävä 7-18
Pyöreän kuparilangan halkaisija on $1{,}0\,\text{mm}$ ja massa $0{,}50\,\text{kg}$. Kuinka pitkä lanka on? Langan poikkileikkaus on ympyrä, jonka pinta-ala on $\pi r^2$. Langan tilavuus on pinta-ala kertaa pituus.
Vastaus
$71\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
langan massa $m = 0{,}50\,\text{kg}$, halkaisija $d = 1{,}0\,\text{mm}$ eli säde $r = 0{,}50\,\text{mm}$; taulukosta $\rho = 8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
langan pituus $L$ metreinä
Periaate
Massasta ja tiheydestä saadaan tilavuus. Lanka on pitkä lieriö (sylinteri). Sen tilavuus on poikkileikkauksen pinta-ala kertaa pituus. Pituus saadaan siis jakamalla tilavuus pinta-alalla.
Kaava
$V = \dfrac{m}{\rho}$, $A = \pi r^2$ ja $V = A L$, joten
$$L = \frac{V}{A} = \frac{m}{\rho\,\pi r^2}$$Muunnokset
Säde
$r$$= 0{,}50\,\text{mm}$$= 0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$joten $r^2 = 2{,}5 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2$.
Sijoitus
$V$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg}}{8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}}$$= 5{,}58 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3$$A$$= \pi \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2$$= 7{,}85 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2$joten
$L$$= \dfrac{5{,}58 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3}{7{,}85 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2}$$= 71{,}1\,\text{m}$Vastaus
$71\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska halkaisija $1{,}0\,\text{mm}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Puolen kilon kuparin tilavuus on vain noin $56\,\text{cm}^3$, eli noin puoli desilitraa. Lanka on kuitenkin hyvin ohut, vain millimetrin paksuinen. Siksi siitä riittää kymmeniä metrejä lankaa. Tulos $71\,\text{m}$ on uskottava.
- Tehtävä 7-19
Oppilas määrittää metallikappaleen tiheyden vedensiirtomenetelmällä. Kappaleen massa on $113\,\text{g}$. Mittalasin lukema ennen upotusta on $50{,}0\,\text{ml}$ ja upotuksen jälkeen $62{,}0\,\text{ml}$.
Jälkeenpäin oppilas huomaa, että kappaleen pintaan oli jäänyt ilmakupla. Kuplan tilavuus on $2{,}0\,\text{ml}$.
Mikä on kappaleen todellinen tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$? Laske myös tiheys, jonka oppilas sai alun perin, ja sen prosenttivirhe. Päättele taulukosta, mitä metallia kumpikin tiheys antaisi olettaa. Kerro myös, miten kupla olisi voitu poistaa tai huomata.
Vastaus
$11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kappaleen massa $m = 113\,\text{g}$, mittalasin lukemat $V_1 = 50{,}0\,\text{ml}$ ja $V_2 = 62{,}0\,\text{ml}$, ilmakuplan tilavuus $V_\text{k} = 2{,}0\,\text{ml}$; taulukosta kuparin tiheys $8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja lyijyn tiheys $11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
kappaleen todellinen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$, oppilaan saama tiheys $\rho'$, sen prosenttivirhe ja metallit, joihin tiheydet viittaavat
Periaate
Vedensiirtomenetelmässä tilavuus on lukemien erotus $V_2 - V_1$. Kupla syrjäyttää vettä kappaleen mukana. Siksi erotus sisältää sekä kappaleen että kuplan tilavuuden. Massa punnitaan erikseen, joten virhe tulee vain tilavuudesta.
Kaava
$V' = V_2 - V_1$, $V = V' - V_\text{k}$, $\rho = \dfrac{m}{V}$ ja $\rho' = \dfrac{m}{V'}$; prosenttivirhe on $\dfrac{\rho' - \rho}{\rho} \cdot 100\,\%$
Muunnokset
$1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$, joten $V' = 12{,}0\,\text{cm}^3$ ja $V_\text{k} = 2{,}0\,\text{cm}^3$.
Sijoitus
$V'$$= 62{,}0\,\text{ml} - 50{,}0\,\text{ml}$$= 12{,}0\,\text{ml}$$V$$= 12{,}0\,\text{cm}^3 - 2{,}0\,\text{cm}^3$$= 10{,}0\,\text{cm}^3$Todellinen tiheys on
$\rho$$= \dfrac{113\,\text{g}}{10{,}0\,\text{cm}^3}$$= 11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ja oppilaan tulos on
$\rho'$$= \dfrac{113\,\text{g}}{12{,}0\,\text{cm}^3}$$= 9{,}42\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Virhe on
$\dfrac{9{,}42 - 11{,}3}{11{,}3} \cdot 100\,\%$$= -16{,}7\,\%$Vastaus
Todellinen tiheys on $11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, kolme merkitsevää numeroa, koska massa ja lukemat on annettu kolmella numerolla. Oppilaan tulos $9{,}42\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ on noin $17\,\%$ liian pieni, koska mitattu tilavuus oli liian suuri. Todellinen tiheys sopii lyijylle ($11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$). Virheellinen tulos on lähempänä kuparia ($8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$). Kupla voi siis johtaa väärään metalliin. Kuplan voi poistaa napauttamalla kappaletta. Sen voi huomata katsomalla mittalasia sivulta.
Järkevyys
Massa on oikein ja tilavuus liian suuri. Siksi tiheyden pitää tulla liian pieneksi, ja niin kävikin: $9{,}42 < 11{,}3$. Tarkistus: $0{,}83 \cdot 11{,}3 \approx 9{,}4$.
- Tehtävä 7-20
Seoskappale on valettu kuparista ja alumiinista. Sen tilavuus on $100\,\text{cm}^3$ ja massa $520\,\text{g}$. Oletetaan, että tilavuudet voi laskea yhteen.
Kuinka monta kuutiosenttimetriä kuparia kappaleessa on? Käytä oppitunnin taulukon tiheyksiä. Perustele myös, kumpaa metallia on enemmän tilavuuden mukaan ja kumpaa massan mukaan.
Vastaus
$39{,}9\,\text{cm}^3$
Näytä ratkaisu
Annettu
seoskappaleen tilavuus $V = 100\,\text{cm}^3$ ja massa $m = 520\,\text{g}$; taulukosta $\rho_\text{Cu} = 8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja $\rho_\text{Al} = 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$; tilavuudet lasketaan yhteen
Kysytty
kuparin tilavuus $V_\text{Cu}$ kuutiosenttimetreinä
Periaate
Kokonaistilavuus on osien tilavuuksien summa. Kokonaismassa on osien massojen summa. Kummankin osan massa on tiheys kertaa tilavuus. Tuntemattomia on kaksi, $V_\text{Cu}$ ja $V_\text{Al}$. Siksi tarvitaan kaksi yhtälöä: tilavuuksien summa ja massojen summa.
Kaava
Tilavuuksille $V_\text{Cu} + V_\text{Al} = V$ ja massoille $\rho_\text{Cu} V_\text{Cu} + \rho_\text{Al} V_\text{Al} = m$. Kun toiseen yhtälöön sijoitetaan $V_\text{Al} = V - V_\text{Cu}$, saadaan
$V_\text{Cu}$$= \dfrac{m - \rho_\text{Al} V}{\rho_\text{Cu} - \rho_\text{Al}}$Muunnokset
Ei tarvita. Massat ovat grammoina, tilavuudet kuutiosenttimetreinä ja tiheydet yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
$V_\text{Cu}$$= \dfrac{520\,\text{g} - 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 100\,\text{cm}^3}{8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} - 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$= \dfrac{250\,\text{g}}{6{,}26\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$= 39{,}9\,\text{cm}^3$Vastaus
$39{,}9\,\text{cm}^3$
Kolme merkitsevää numeroa, koska taulukon tiheydet on annettu kolmella numerolla ja tiedot $520\,\text{g}$ ja $100\,\text{cm}^3$ luetaan kolmen numeron tarkkuudella. Alumiinin tilavuus on $V_\text{Al} = 100\,\text{cm}^3 - 39{,}9\,\text{cm}^3 = 60{,}1\,\text{cm}^3$.
Järkevyys
Jos kappale olisi pelkkää alumiinia, sen massa olisi $270\,\text{g}$. Jos se olisi pelkkää kuparia, massa olisi $896\,\text{g}$. Todellinen massa $520\,\text{g}$ on näiden välissä ja lähempänä alumiinia. Siksi kuparia on alle puolet tilavuudesta, kuten $39{,}9\,\text{cm}^3$. Alumiinia on enemmän tilavuuden mukaan ($60{,}1\,\text{cm}^3$), mutta kuparia on enemmän massan mukaan. Kuparin massa on noin $357{,}5\,\text{g}$ ja alumiinin noin $162{,}3\,\text{g}$, koska kuparin tiheys on moninkertainen. Tarkistus:
$8{,}96 \cdot 39{,}9\,\text{g} + 2{,}70 \cdot 60{,}1\,\text{g}$$= 357{,}5\,\text{g} + 162{,}3\,\text{g}$$= 519{,}8\,\text{g}$$\approx 520\,\text{g}$
Valokuvat
- Very Blue Iceberg With Anvil Top. Eric Kilby. lähde, CC BY-SA 2.0
