Tiheys: $m = \rho V$
Miksi kaksi samankokoista metallikuutiota voi tuntua kädessä aivan eri painoisilta, ja miten tuntemattoman kappaleen aineen voi päätellä pelkästä vaa'asta ja mittalasista?
Pohjatiedot
- Suoraan verrannollisessa riippuvuudessa mittauspisteet ovat mittausepävarmuuden rajoissa origon kautta kulkevalla suoralla, ja sen kulmakerroin on suhde $y : x$luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen
- Mittaustuloksissa on aina virhettä, ja tulos ilmoitetaan sopivalla määrällä merkitseviä numeroitaluku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus
- Suureet lasketaan SI-yksiköissä ja yksiköt muunnetaan potenssien avullaluku Suureet, yksiköt ja SI-järjestelmä
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 3.
Pohdinta
Kierrätyspisteellä on pöydällä kaksi harmaata metallikuutiota. Ne ovat täsmälleen samankokoiset, mutta toinen tuntuu kädessä paljon raskaammalta kuin toinen. Toinen on alumiinia ja toinen rautaa, mutta kuutioissa ei ole merkintöjä. Pöydällä on vaaka ja viivoitin.
Mitä kuutioista kannattaa mitata, jotta niiden aineen voi päätellä?
Valinnainen Kertaa: suoraan verrannollisuus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kolminkertainen pala
Ennuste 2: kaksi ainetta samassa koordinaatistossa
Tutki
Alumiinipalat: onko massa verrannollinen tilavuuteen?
Simuloitu esimerkkiaineisto
Taulukossa on esimerkkiaineisto viidestä eri kokoisesta alumiinipalasta. Tilavuus on laskettu mitoista ja massa mitattu vaa'alla. Luvut ovat esimerkkiarvoja, eivät oikeita mittauksia, mutta niissä on mukana tavallista mittausvirhettä.
| Pala | $V$ ($\text{cm}^3$) | $m$ (g) |
|---|---|---|
| 1 | 10,0 | 26,8 |
| 2 | 20,0 | 54,4 |
| 3 | 30,0 | 80,6 |
| 4 | 40,0 | 108,4 |
| 5 | 50,0 | 134,6 |
Laske jokaiselle riville suhde $m : V$.
Tuntematon metalli
Simuloitu esimerkkiaineisto
Taulukossa on esimerkkiaineisto tuntemattomasta metallista tehdyistä paloista. Luvut ovat esimerkkiarvoja. Tiheyden voi laskea kahdella tavalla: yhden rivin suhteena $m : V$ tai kahden kaukana toisistaan olevan rivin erotusten suhteena $\Delta m : \Delta V$. Jälkimmäinen käyttää koko mittausaluetta.
| Pala | $V$ ($\text{cm}^3$) | $m$ (g) |
|---|---|---|
| 1 | 5,0 | 45,1 |
| 2 | 10,0 | 89,2 |
| 3 | 15,0 | 135,0 |
| 4 | 20,0 | 178,9 |
| 5 | 25,0 | 224,3 |
Laske metallin tiheys käyttämällä ensimmäistä ja viimeistä riviä ja kaavaa $\rho = \Delta m : \Delta V$. Vertaa tulosta lopuksi kirjan taulukkoon (luvun teoriaosa): alumiini $2{,}70$, rauta $7{,}87$, kupari $8{,}96$, lyijy $11{,}3$ ja kulta $19{,}3\,\text{g/cm}^3$. Vastaa yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä on massan ja mikä tilavuuden muutos ensimmäisen ja viimeisen rivin välillä?
Vihje 2: mikä yhteys
$\Delta m = 224{,}3\,\text{g} - 45{,}1\,\text{g}$ ja $\Delta V = 25{,}0\,\text{cm}^3 - 5{,}0\,\text{cm}^3$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
ensimmäinen rivi $V_1 = 5{,}0\,\text{cm}^3$, $m_1 = 45{,}1\,\text{g}$ ja viimeinen rivi $V_5 = 25{,}0\,\text{cm}^3$, $m_5 = 224{,}3\,\text{g}$
Kysytty
metallin tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$
Periaate
Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen, joten mittauspisteet ovat suoralla $m = \rho V$, jonka kulmakerroin on tiheys. Kulmakerroin saadaan kahden kaukana toisistaan olevan pisteen erotusten suhteena.
Kaava
Muunnokset
Ei tarvita: massat ovat grammoina ja tilavuudet kuutiosenttimetreinä, ja vastaus pyydetään yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
Vastaus
$8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten mittaustuloksissa.
Järkevyys
Arvo vastaa taulukon kuparia, $8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, joten metalli on luultavasti kuparia. Tarkistus yhdellä rivillä:
eli lähes sama.
Neste astiassa: mistä massa koostuu?
Simuloitu esimerkkiaineisto
Mittapulloon kaadetaan nestettä, ja vaaka näyttää pullon ja nesteen yhteismassan $m_\text{yht}$. Taulukossa on esimerkkiaineisto. Luvut ovat esimerkkiarvoja.
| $V$ ($\text{cm}^3$) | $m_\text{yht}$ (g) |
|---|---|
| 0 | 42,1 |
| 20 | 57,9 |
| 40 | 73,5 |
| 60 | 89,6 |
| 80 | 105,1 |
Tutki, kuinka paljon massa kasvaa jokaista $20\,\text{cm}^3$ kohti.
Johtopäätös: miten massa ja tilavuus liittyvät?
Kirjoita kolmen taulukon perusteella: Mistä tiedät, että alumiinipalojen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen? Miten tuntemattoman metallin tiheys saatiin? Kumpi suora, alumiinin vai tuntemattoman metallin, olisi koordinaatistossa jyrkempi ja miksi? Mitä pitää tehdä, jos nestettä mitataan astiassa?
Mallivastaus
Alumiinipaloissa suhde $m : V$ oli joka rivillä noin $2{,}7\,\text{g/cm}^3$, joten massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja suhde on aineen tiheys. Tuntemattoman metallin tiheys saatiin kahden kaukana toisistaan olevan pisteen erotuksista, $\rho = \Delta m : \Delta V = 179{,}2\,\text{g} : 20{,}0\,\text{cm}^3 = 8{,}96\,\text{g/cm}^3$, ja se vastasi kuparia. Kuparin suora on alumiinin suoraa jyrkempi, koska sen tiheys eli kulmakerroin on suurempi. Nesteen kokonaismassa astian kanssa ei ole verrannollinen tilavuuteen, koska tyhjän astian massa on mukana. Siksi astian massa pitää vähentää kokonaismassasta tai tiheys pitää lukea suoran kulmakertoimesta, jolloin astian massa on suoran leikkauspiste. Aineistot olivat esimerkkiarvoja, joissa oli pientä mittausvirhettä. Kuutioiden aine voidaan siis päätellä mittaamalla massa ja tilavuus ja laskemalla niistä tiheys.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kappaleen massa $m$ kertoo, kuinka paljon ainetta kappaleessa on, ja sen yksikkö on kilogramma. Tilavuus $V$ kertoo, kuinka suuren tilan kappale vie; sen SI-yksikkö on kuutiometri ($\text{m}^3$). Kaksi samankokoista kappaletta voivat olla eri painoisia, jos ne ovat eri ainetta: kymmenen kuutiosenttimetrin mäntykuutio on kevyt, alumiinikuutio selvästi raskaampi ja rautakuutio raskain.
Ero syntyy siitä, kuinka tiiviisti ainetta on tilavuuden sisällä. Tätä kuvaa tiheys $\rho$: se kertoo, kuinka paljon massaa aineessa on yhtä tilavuusyksikköä kohti. Rauta on noin kuusitoista kertaa niin tiheää kuin mänty, joten sama tilavuus sisältää noin kuusitoista kertaa niin paljon ainetta.
Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen
Kun mitataan saman aineen eri kokoisia paloja, havaitaan säännönmukaisuus: kaksinkertainen tilavuus antaa kaksinkertaisen massan, ja puolet tilavuudesta antaa puolet massasta. Massa on siis suoraan verrannollinen tilavuuteen, eli suhde $m : V$ pysyy samana. Tuo vakio suhde on aineen tiheys.
Jos mittaustulokset piirretään koordinaatistoon, jossa vaaka-akselilla on tilavuus ja pystyakselilla massa, pisteet asettuvat mittausepävarmuuden rajoissa origon kautta kulkevalle suoralle (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen). Suoran kulmakerroin on tiheys.
Tiheys kertoo, mistä aineesta on kyse
Jokaisella puhtaalla aineella on tietyssä olomuodossa ja lämpötilassa oma tiheytensä, joten tiheys on kuin aineen sormenjälki: kun kappaleen massa ja tilavuus on mitattu, laskettu tiheys voidaan verrata taulukkoarvoihin. Päättely ei ole varma. Mittauksissa on aina virhettä (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus), ja joillakin aineilla on lähes sama tiheys, joten tulos kertoo vain, mitä aineita kappale voi olla.
Tiheys
Aineen tiheys on massan ja tilavuuden suhde. Suhteen ratkaiseminen massan ja tilavuuden suhteen antaa kaksi muuta muotoa:
$$\begin{aligned} \rho &= \frac{m}{V} \\ m &= \rho V \\ V &= \frac{m}{\rho} \end{aligned}$$
missä $\rho$ on tiheys (SI-yksikkö $\text{kg/m}^3$), $m$ massa (kg) ja $V$ tilavuus ($\text{m}^3$). Muoto $m = \rho V$ on suoran verrannollisuuden malli $y = kx$: massa $m$ on $y$, tilavuus $V$ on $x$ ja tiheys $\rho$ on kulmakerroin $k$.
Kuvassa jokaisen aineen pisteet ovat omalla suoralla. Mitä jyrkempi suora on, sitä suurempi on tiheys. Tiheyden saa kuvaajasta lukemalla kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä suoralta ja laskemalla $\rho = \Delta m : \Delta V$. Näin laskettu tulos on tarkempi kuin yhden pisteen suhde $m : V$, koska se käyttää koko suoraa.
Yksiköt
Tiheyden SI-yksikkö on $\text{kg/m}^3$, mutta pienillä kappaleilla käytetään usein yksikköä $\text{g/cm}^3$. Yksiköiden välinen yhteys on
$$1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \frac{10^{-3}\,\text{kg}}{10^{-6}\,\text{m}^3} = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$
Laskussa pidetään kaikki suureet samassa yksikköjärjestelmässä. Tilavuuden muunnokset ovat $1\,\text{cm}^3 = 10^{-6}\,\text{m}^3$ ja $1\,\text{dm}^3 = 10^{-3}\,\text{m}^3$. Lisäksi $1\,\text{dm}^3$ on yksi litra, ja $1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$.
| Aine | $\rho$ ($\text{kg/m}^3$) | $\rho$ ($\text{g/cm}^3$) |
|---|---|---|
| mänty | 500 | 0,50 |
| etanoli | 790 | 0,79 |
| ruokaöljy | 920 | 0,92 |
| jää | 920 | 0,92 |
| vesi | 1000 | 1,00 |
| alumiini | 2700 | 2,70 |
| rauta | 7870 | 7,87 |
| kupari | 8960 | 8,96 |
| lyijy | 11 300 | 11,3 |
| kulta | 19 300 | 19,3 |
Tilavuuden mittaaminen
Säännöllisen kappaleen tilavuus lasketaan mitoista: kuution tilavuus on $a^3$ ja suorakulmaisen särmiön tilavuus on pohjan pinta-ala kertaa korkeus. Epäsäännöllisen kappaleen tilavuus mitataan vedensiirtymällä: kappale upotetaan mittalasiin, ja tilavuus on veden pinnan nousu $V = V_2 - V_1$.
Mittalasin lukemassa on epävarmuutta, esimerkiksi asteikon ja nestepinnan kaarevuuden lukemisesta. Kahden lukeman erotus on pienempi luku kuin lukemat itse, mutta siihen tulee kummankin lukeman epävarmuus, joten erotuksessa voi olla vähemmän merkitseviä numeroita kuin kummassakaan lukemassa. Tämä rajoittaa tiheyden tarkkuutta.
Astian massa mittauksessa
Jos nestettä mitataan astiassa ja vaaka näyttää astian ja nesteen yhteismassan, mittauspisteet eivät kulje origon kautta: tyhjänkin astian massa $m_0$ on mukana. Kokonaismassa noudattaa lineaarista mallia $m_\text{yht} = \rho V + m_0$. Tiheys on silti suoran kulmakerroin, ja vakio $m_0$ on suoran ja pystyakselin leikkauspiste, eli tyhjän astian massa. Kokonaismassa ei ole suoraan verrannollinen tilavuuteen, mutta nesteen oma massa on.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että suurempi kappale on tiheämpi, koska se on raskaampi. Isompi rautapala on kyllä raskaampi kuin pieni, mutta niiden tiheys on sama: massa ja tilavuus kasvavat yhdessä niin, että suhde $m : V$ ei muutu. Tiheys on aineen ominaisuus, ei kappaleen koon.
Toinen virhe on sekoittaa yksiköt. Jos massa on grammoina ja tilavuus kuutiometreinä, tulos on tuhat kertaa liian suuri tai pieni. Muunna ensin kaikki yhteen yksikköjärjestelmään: joko $\text{kg}$ ja $\text{m}^3$ tai $\text{g}$ ja $\text{cm}^3$.
Kolmas virhe on ajatella, että tyhjän astian massa kuuluu nesteeseen. Se täytyy vähentää kokonaismassasta, ennen kuin lasketaan tiheys.
Tiivistelmä
- Tiheys on massa tilavuutta kohti: $\rho = m : V$, SI-yksikkö $\text{kg/m}^3$. Vesi 1000 $\text{kg/m}^3$, alumiini 2700 $\text{kg/m}^3$, rauta 7870 $\text{kg/m}^3$.
- Saman aineen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen: $m = \rho V$. Kuvaajassa $m(V)$ on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on tiheys.
- Kaavasta ratkaistaan tarvittava suure: $\rho = m : V$, $m = \rho V$ tai $V = m : \rho$. Pidä yksiköt samassa järjestelmässä: $1\,\text{g/cm}^3 = 1000\,\text{kg/m}^3$.
- Epäsäännöllisen kappaleen tilavuus mitataan vedensiirtymällä $V = V_2 - V_1$. Astian massa on vähennettävä tai se näkyy suoran vakiotermi $m_0$.
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Massiivisen rautapalkin pituus on $1{,}20\,\text{m}$, ja sen poikkileikkaus on neliö, jonka sivu on 4,0 cm. Mikä on palkin massa?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Pituus $L = 1{,}20\,\text{m}$ ja poikkileikkauksen sivu $a = 4{,}0\,\text{cm}$. Taulukosta raudan tiheys $\rho = 7870\,\text{kg/m}^3$. Kysytään palkin massaa $m$.
Vaihe 2/7
Periaate. Palkki on kauttaaltaan rautaa, joten sen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen, ja verrannollisuuskerroin on raudan tiheys. Tilavuus saadaan poikkileikkauksen pinta-alan $a^2$ ja pituuden tulona.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} V &= a^2 L \\ m &= \rho V = \rho a^2 L \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$, joten pituudet muunnetaan metreiksi:
Pituus on jo metreinä, ja massa saadaan suoraan kilogrammoina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} m &= \rho a^2 L \\ &= 7870\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot (0{,}040\,\text{m})^2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \\ &= 7870\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1{,}92 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3 \\ &= 15{,}11\,\text{kg} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Palkin massa on noin $15\,\text{kg}$. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska sivu $4{,}0\,\text{cm}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella; taulukon tiheys $7870\,\text{kg/m}^3$ olisi tarkempi.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Palkin tilavuus on $1{,}92\,\text{dm}^3$ eli noin kaksi litraa, ja saman tilavuuden vesi olisi noin $1{,}9\,\text{kg}$. Rauta on noin 7,9 kertaa vettä tiheämpää, joten arvio on $7{,}9 \cdot 1{,}9\,\text{kg} \approx 15\,\text{kg}$. Tulos täsmää.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Joesta löydetyn kiven massa on $187\,\text{g}$. Mittalasissa on vettä $120\,\text{ml}$, ja kun kivi upotetaan, lukema on $190\,\text{ml}$. Kuinka suuri on kiven aineen tiheys? Vastaa yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä on kiven tilavuus? Kivi syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä.
Vihje 2: mikä yhteys
Tilavuus on
Muunna sitten massa kilogrammoiksi ja tilavuus kuutiometreiksi:
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
kiven massa $m = 187\,\text{g}$; veden lukema ennen $V_1 = 120\,\text{ml}$ ja jälkeen $V_2 = 190\,\text{ml}$
Kysytty
kiven aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Upotettu kivi syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä, joten kiven tilavuus on lukemien erotus. Tiheys on massa jaettuna tilavuudella.
Kaava
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$2{,}7 \cdot 10^3\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska lukemien erotus $70\,\text{ml}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Kivet ovat tavallisesti noin 2,5–3-kertaisen tiheitä veteen verrattuna, ja $2{,}7 \cdot 10^3\,\text{kg/m}^3$ on tällä välillä. Arvio: $190\,\text{g}$ ja $70\,\text{cm}^3$ antaisivat noin $2{,}7\,\text{g/cm}^3$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Alumiinikappaleen tilavuus on $40\,\text{cm}^3$ ja massa $108\,\text{g}$. Mikä on alumiinin tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$?
Vastaus
$\rho$$= \dfrac{m}{V}$$= \dfrac{108\,\text{g}}{40\,\text{cm}^3}$$= 2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ - Vesipullon tilavuus on $1{,}5\,\text{dm}^3$. Kuinka suuri on veden massa ($\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$)? Mitä muunnosta tarvitaan?
Vastaus
Tilavuus muunnetaan kuutiometreiksi: $1{,}5\,\text{dm}^3 = 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3$. Silloin
$m$$= \rho V$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3$$= 1{,}5\,\text{kg}$
1. Käsite
2. Tiheys on aineen ominaisuus
3. Laskutehtävä
Mäntykuution särmä on $20{,}0\,\text{cm}$ ja männyn tiheys $500\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on kuution massa? Vastaa kilogrammoina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin kuution tilavuus. Kuution tilavuus on särmän kolmas potenssi.
Vihje 2: mikä yhteys
Muunna särmä metreiksi: $20{,}0\,\text{cm} = 0{,}200\,\text{m}$. Tilavuus on $V = a^3$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
kuution särmä $a = 20{,}0\,\text{cm}$; männyn tiheys $\rho = 500\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
kuution massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Kuutio on kauttaaltaan mäntyä, joten massa on tiheys kertaa tilavuus. Kuution tilavuus on särmän kolmas potenssi.
Kaava
$V = a^3$ ja $m = \rho V = \rho a^3$
Muunnokset
Tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$, joten särmä muunnetaan metreiksi:
Sijoitus
Vastaus
$4{,}00\,\text{kg}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten särmässä $20{,}0\,\text{cm}$.
Järkevyys
Kuution tilavuus on $8{,}00\,\text{dm}^3$ eli kahdeksan litraa. Saman tilavuuden vesi olisi $8\,\text{kg}$, ja mänty on noin puolet veden tiheydestä, joten massa on noin $4\,\text{kg}$.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 4. Selitä ja perustele
Opiskelija mittaa tuntemattoman metallipalan massan ja tilavuuden ja laskee tiheydeksi $8{,}9\,\text{g/cm}^3$. Hän sanoo: "Pala on kuparia." Selitä, miksi tiheys on hyvä tapa tunnistaa aine ja miksi päätelmä ei silti ole täysin varma.
Mallivastaus
Tiheys $\rho = m : V$ on aineen ominaisuus: saman aineen suuri ja pieni pala antavat saman tuloksen. Siksi mitattua tiheyttä voi verrata taulukkoarvoihin. Tulos $8{,}9\,\text{g/cm}^3$ on hyvin lähellä kuparin arvoa $8{,}96\,\text{g/cm}^3$, joten kupari on todennäköinen. Päätelmä ei ole varma, koska mittauksissa on aina virhettä, erityisesti tilavuudessa, ja koska muutkin aineet tai seokset voivat olla tiheydeltään lähellä samaa arvoa. Varmuutta lisäävät toiset mittaukset, kuten väri tai magneettisuus.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Tiheys
- Kertoo, kuinka suuri massa aineella on tilavuusyksikköä kohti.$$\rho = \dfrac{m}{V}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 7-1Ydintehtävä
Kierrätyspisteellä punnitaan harmaa metallinen harkko. Sen massa on $340\,\text{g}$ ja tilavuus $30{,}0\,\text{cm}^3$. Kuinka suuri on harkon aineen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Vastaus
$11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
metalliharkon massa $m = 340\,\text{g}$ ja tilavuus $V = 30{,}0\,\text{cm}^3$
Kysytty
harkon aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$
Periaate
Tiheys on massa tilavuutta kohti. Harkko on yhtä ainetta, joten sen massan ja tilavuuden suhde on aineen tiheys.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
Ei tarvita: massa on grammoina ja tilavuus kuutiosenttimetreinä, ja vastaus pyydetään yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{340\,\text{g}}{30{,}0\,\text{cm}^3}$$= 11{,}33\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
$11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $30{,}0\,\text{cm}^3$.
Järkevyys
Arvo on lähellä lyijyn tiheyttä $11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, joten harkko on luultavasti lyijyä. Arvio: $30\,\text{cm}^3$ ja noin $11\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ antaisivat noin $330\,\text{g}$, mikä on lähellä mitattua massaa.
- Tehtävä 7-2Ydintehtävä
Alumiinilevyn tilavuus on $35{,}0\,\text{cm}^3$, ja alumiinin tiheys on $2{,}70\,\text{g/cm}^3$. Kuinka suuri on levyn massa? Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$94{,}5\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alumiinilevyn tilavuus $V = 35{,}0\,\text{cm}^3$ ja tiheys $\rho = 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
levyn massa $m$ grammoina
Periaate
Saman aineen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen, ja verrannollisuuskerroin on tiheys. Levy on kauttaaltaan alumiinia.
Kaava
Tiheyden määritelmästä $\rho = \dfrac{m}{V}$ ratkaistaan massa: $m = \rho V$
Muunnokset
Ei tarvita: tiheys on yksikössä $\text{g/cm}^3$ ja tilavuus yksikössä $\text{cm}^3$, joten massa tulee suoraan grammoina.
Sijoitus
$m$$= 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 35{,}0\,\text{cm}^3$$= 94{,}5\,\text{g}$Vastaus
$94{,}5\,\text{g}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.
Järkevyys
Vesi, jonka tilavuus on $35\,\text{cm}^3$, painaisi $35\,\text{g}$. Alumiini on noin 2,7-kertaisen tiheää, joten $2{,}7 \cdot 35\,\text{g} \approx 95\,\text{g}$. Tulos täsmää.
- Tehtävä 7-3
Kemian luokassa mitataan vaa'alla $316\,\text{g}$ etanolia, jonka tiheys on $0{,}79\,\text{g/cm}^3$. Kuinka suuri on nesteen tilavuus? Anna vastaus kuutiosenttimetreinä.
Vastaus
$400\,\text{cm}^3$
Näytä ratkaisu
Annettu
etanolin massa $m = 316\,\text{g}$ ja tiheys $\rho = 0{,}79\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
nesteen tilavuus $V$ kuutiosenttimetreinä
Periaate
Tiheys on massa tilavuutta kohti, joten kun massa ja tiheys tunnetaan, tilavuus saadaan jakamalla massa tiheydellä.
Kaava
Kaavasta $\rho = \dfrac{m}{V}$ ratkaistaan tilavuus: $V = \dfrac{m}{\rho}$
Muunnokset
Ei tarvita: massa on grammoina ja tiheys $\text{g/cm}^3$, joten gramma supistuu ja jäljelle jää $\text{cm}^3$.
Sijoitus
$V$$= \dfrac{316\,\text{g}}{0{,}79\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$= 400\,\text{cm}^3$Vastaus
$400\,\text{cm}^3$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska tiheys $0{,}79\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Etanoli on vettä kevyempää, joten $316\,\text{g}$ vie enemmän tilaa kuin $316\,\text{g}$ vettä eli $316\,\text{cm}^3$. Tulos $400\,\text{cm}^3$ on suurempi, kuten pitääkin.
- Tehtävä 7-4
Betonilaatan tilavuus on $0{,}75\,\text{m}^3$. Betonin tiheys on $2400\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on laatan massa? Anna vastaus kilogrammoina.
Vastaus
$1800\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
laatan tilavuus $V = 0{,}75\,\text{m}^3$ ja betonin tiheys $\rho = 2400\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
laatan massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Laatta on kauttaaltaan betonia, joten massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja kerroin on tiheys.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$, josta $m = \rho V$
Muunnokset
Ei tarvita: tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$ ja tilavuus yksikössä $\text{m}^3$, joten massa tulee kilogrammoina.
Sijoitus
$m$$= 2400\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}75\,\text{m}^3$$= 1800\,\text{kg}$Vastaus
$1800\,\text{kg}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $0{,}75\,\text{m}^3$.
Järkevyys
Kuutiometri vettä on $1000\,\text{kg}$ ja betoni on noin 2,4-kertaisen tiheää, joten $0{,}75\,\text{m}^3$ painaa noin $0{,}75 \cdot 2400\,\text{kg} \approx 1800\,\text{kg}$: yli tonnin, kuten betonilaatta.
- Tehtävä 7-5
Jäälohkon massa on $36{,}8\,\text{kg}$ ja tilavuus $0{,}0400\,\text{m}^3$. Kuinka suuri on jään tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vastaus
$920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jäälohkon massa $m = 36{,}8\,\text{kg}$ ja tilavuus $V = 0{,}0400\,\text{m}^3$
Kysytty
jään tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Tiheys on massa tilavuutta kohti, ja lohko on yhtä ainetta.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja tilavuus kuutiometreinä, ja vastaus pyydetään yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{36{,}8\,\text{kg}}{0{,}0400\,\text{m}^3}$$= 920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$Vastaus
$920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.
Järkevyys
Tulos on hieman alle veden tiheyden $1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, mikä sopii siihen, että jää kelluu vedessä. Karkea arvio:
$37\,\text{kg} : 0{,}04\,\text{m}^3$$\approx 925\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ - Tehtävä 7-6
Tasalaatuinen alumiinipalikka sahataan kahteen yhtä suureen osaan. Mitä tapahtuu aineen tiheydelle?
Vastaus
Tiheys on kummassakin osassa sama kuin alkuperäisessä palikassa.
Näytä ratkaisu
Kysytty
miten tiheys muuttuu, kun tasalaatuinen alumiinipalikka puolitetaan.
Periaate
Tiheys $\rho = \dfrac{m}{V}$ on massan ja tilavuuden suhde, ja se on aineen ominaisuus. Palikka on kauttaaltaan alumiinia, joten kumpikin puolikas on samaa ainetta kuin kokonainen palikka.
Mallivastaus
Tiheys pysyy samana. Kun palikka puolitetaan, massa $m$ ja tilavuus $V$ puolittuvat, joten suhde $m : V$ ei muutu: kummankin osan tiheys on edelleen $2{,}70\,\text{g/cm}^3$. Tiheys ei riipu kappaleen koosta tai muodosta, vain aineesta.
- Tehtävä 7-7
Ruokaöljyä kaadetaan varovasti vesilasiin. Öljyn tiheys on $920\,\text{kg/m}^3$ ja veden $1000\,\text{kg/m}^3$. Öljy ei sekoitu veteen. Mitä lasissa tapahtuu?
Vastaus
Öljy jää veden päälle, koska öljyn tiheys on pienempi kuin veden.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mitä tapahtuu, kun ruokaöljyä kaadetaan veteen, kun öljyn tiheys on $920\,\text{kg/m}^3$ ja veden $1000\,\text{kg/m}^3$.
Periaate
Tiheys kertoo, kuinka paljon massaa on yhtä tilavuutta kohti. Pienemmän tiheyden neste on samassa tilavuudessa kevyempää, ja se asettuu tiheämmän nesteen päälle.
Mallivastaus
Öljyn tiheys $920\,\text{kg/m}^3$ on pienempi kuin veden tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$, joten öljy jää veden päälle omaksi kerrokseksi. Samaa kertoo se, että öljyn tiheys on $0{,}92$ kertaa veden tiheys: kuutiometrin öljyä massa on $920\,\text{kg}$ ja kuutiometrin vettä $1000\,\text{kg}$. Öljy ei sekoitu veteen, joten tiheys ratkaisee, kumpi neste on päällä; nesteen sakeus tai määrä ei ratkaise asiaa.
- Tehtävä 7-8
Onkikoukun lyijypainon tilavuus on $5{,}00\,\text{cm}^3$. Lyijyn tiheys on $11{,}3\,\text{g/cm}^3$. Kuinka suuri on painon massa? Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$56{,}5\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lyijypainon tilavuus $V = 5{,}00\,\text{cm}^3$ ja lyijyn tiheys $\rho = 11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
painon massa $m$ grammoina
Periaate
Paino on kauttaaltaan lyijyä, joten massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja verrannollisuuskerroin on lyijyn tiheys.
Kaava
Kaavasta $\rho = \dfrac{m}{V}$ ratkaistaan massa: $m = \rho V$
Muunnokset
Ei tarvita: tilavuus on kuutiosenttimetreinä ja tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$, joten $\text{cm}^3$ supistuu ja jäljelle jää gramma.
Sijoitus
$m$$= 11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 5{,}00\,\text{cm}^3$$= 56{,}5\,\text{g}$Vastaus
$56{,}5\,\text{g}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.
Järkevyys
Viisi kuutiosenttimetriä vettä painaisi noin $5\,\text{g}$. Lyijyn tiheys on noin $11$ kertaa veden tiheys, joten massa on noin $11 \cdot 5\,\text{g} = 55\,\text{g}$, mikä sopii tulokseen $56{,}5\,\text{g}$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 7-9Ydintehtävä
Kultaharkon mitat ovat $10{,}0\,\text{cm} \cdot 5{,}0\,\text{cm} \cdot 2{,}0\,\text{cm}$. Kullan tiheys on $19\,300\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on harkon massa? Anna vastaus kilogrammoina.
Vastaus
$1{,}9\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
harkon mitat $10{,}0\,\text{cm}$, $5{,}0\,\text{cm}$ ja $2{,}0\,\text{cm}$; kullan tiheys $\rho = 19\,300\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
harkon massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Harkko on kauttaaltaan kultaa, joten massa on tiheys kertaa tilavuus. Särmiön tilavuus on kolmen mitan tulo.
Kaava
$V = a\,b\,c$ ja $m = \rho V = \rho\,a\,b\,c$
Muunnokset
Tiheys on yksikössä $\text{kg/m}^3$, joten mitat muunnetaan metreiksi: $10{,}0\,\text{cm} = 0{,}100\,\text{m}$, $5{,}0\,\text{cm} = 0{,}050\,\text{m}$ ja $2{,}0\,\text{cm} = 0{,}020\,\text{m}$.
Sijoitus
$m$$= 19\,300\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}100\,\text{m} \cdot 0{,}050\,\text{m} \cdot 0{,}020\,\text{m}$$= 19\,300\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^3$$= 1{,}93\,\text{kg}$Vastaus
$1{,}9\,\text{kg}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska mitat $5{,}0\,\text{cm}$ ja $2{,}0\,\text{cm}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Harkon tilavuus on $100\,\text{cm}^3$, ja saman tilavuuden vesi olisi $100\,\text{g}$. Kulta on noin 19-kertaisen tiheää, joten $19 \cdot 100\,\text{g} \approx 1{,}9\,\text{kg}$.
- Tehtävä 7-10Ydintehtävä
Laboratoriossa on pullo, jossa on $2{,}5\,\text{dm}^3$ etanolia. Etanolin tiheys on $790\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on nesteen massa? Anna vastaus kilogrammoina.
Vastaus
$2{,}0\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
etanolin tilavuus $V = 2{,}5\,\text{dm}^3$ ja tiheys $\rho = 790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
nesteen massa $m$ kilogrammoina
Periaate
Neste on yhtä ainetta, joten massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja kerroin on tiheys.
Kaava
$\rho = \dfrac{m}{V}$, josta $m = \rho V$
Muunnokset
Tiheys on kuutiometreissä, joten
$2{,}5\,\text{dm}^3$$= 2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3$$= 0{,}0025\,\text{m}^3$koska $1\,\text{dm}^3 = 10^{-3}\,\text{m}^3$.
Sijoitus
$m$$= 790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}0025\,\text{m}^3$$= 1{,}975\,\text{kg}$Vastaus
$2{,}0\,\text{kg}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $2{,}5\,\text{dm}^3$ ja tiheydessä $790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
Järkevyys
Kaksi ja puoli litraa vettä on $2{,}5\,\text{kg}$. Etanoli on vettä kevyempää, joten sen massa on hieman pienempi, noin $0{,}79 \cdot 2{,}5\,\text{kg} \approx 2{,}0\,\text{kg}$.
- Tehtävä 7-11
Metallikappaleen massa on $89{,}0\,\text{g}$. Kuvassa on mittalasi ennen kappaleen upottamista ja sen jälkeen. Kuinka suuri on kappaleen aineen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vastaus
$8900\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
metallikappaleen massa $m = 89{,}0\,\text{g}$; kuva mittalasista ennen ja jälkeen kappaleen upottamisen
Kysytty
kappaleen aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Upotettu kappale syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä, joten kappaleen tilavuus on veden lukemien erotus. Tiheys on massa tilavuutta kohti.
Kuvaajan lukeminen
Asteikon numerot ovat $20\,\text{ml}$ välein, pitkät viivat $10\,\text{ml}$ välein ja pienet viivat $2\,\text{ml}$ välein. Ennen upotusta vesi yltää merkkiin $V_1 = 40\,\text{ml}$. Upotuksen jälkeen vesi yltää pitkään viivaan numeroiden $40$ ja $60$ puolivälissä, $V_2 = 50\,\text{ml}$. Vastauksen hyväksytään poikkeavan korkeintaan $3\,\%$.
Kaava
$V = V_2 - V_1$ ja $\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
$V$$= 50\,\text{ml} - 40\,\text{ml}$$= 10\,\text{ml}$$= 10\,\text{cm}^3$$= 1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3$$89{,}0\,\text{g} = 0{,}0890\,\text{kg}$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{0{,}0890\,\text{kg}}{1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3}$$= 8900\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$Vastaus
$8900\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska tilavuus $10\,\text{ml}$ luetaan asteikolta noin $1\,\text{ml}$:n tarkkuudella.
Järkevyys
Arvio: $89\,\text{g} : 10\,\text{cm}^3 \approx 9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, mikä on $9000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Tulos on lähellä kuparin tiheyttä $8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, joten kappale voi olla kuparia.
- Tehtävä 7-12
Tyhjän mittapullon massa on $215\,\text{g}$. Kun pulloon kaadetaan $250\,\text{cm}^3$ tuntematonta nestettä, vaaka näyttää $412\,\text{g}$. Kuinka suuri on nesteen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{kg/m}^3$.
Vastaus
$788\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tyhjän pullon massa $m_0 = 215\,\text{g}$, nesteen tilavuus $V = 250\,\text{cm}^3$ ja pullon sekä nesteen yhteismassa $m_\text{yht} = 412\,\text{g}$
Kysytty
nesteen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$
Periaate
Vaaka näyttää pullon ja nesteen yhteismassan, mutta tiheys lasketaan pelkän nesteen massasta. Pullon massa vähennetään, ja loput on nesteen massaa.
Kaava
$m$$= m_\text{yht} - m_0$$\rho$$= \dfrac{m}{V}$$= \dfrac{m_\text{yht} - m_0}{V}$Muunnokset
$m$$= 412\,\text{g} - 215\,\text{g}$$= 197\,\text{g}$$= 0{,}197\,\text{kg}$$250\,\text{cm}^3$$= 250 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3$$= 2{,}50 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^3$Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{0{,}197\,\text{kg}}{2{,}50 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^3}$$= 788\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$Vastaus
$788\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kolme merkitsevää numeroa, koska massojen erotus $197\,\text{g}$ ja tilavuus $250\,\text{cm}^3$ on mitattu kolmen numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Tulos on lähellä etanolin tiheyttä $790\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, joten neste on luultavasti etanolia. Jos pullon massa olisi unohdettu vähentää, saataisiin virheellisesti $1650\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, mikä olisi enemmän kuin vettä.
- Tehtävä 7-13
Tasalaatuisesta metallista valmistettiin eri kokoisia kappaleita, ja jokaisen tilavuus ja massa mitattiin. Piirrä mittauspisteistä $(V,m)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin origon kautta kulkeva suora.
Mikä on aineen tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$? Mikä aine on kyseessä? Käytä oppitunnin taulukkoa.
Metallikappaleiden massa tilavuuden funktiona $V\,(\text{cm}^3)$ $m\,(\text{g})$ 10,0 27,3 20,0 53,5 30,0 81,6 40,0 107,9 50,0 135,4 Vastaus
$2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon mittauspisteet $(V$; $m)$: $(10{,}0\,\text{cm}^3$; $27{,}3\,\text{g})$, $(20{,}0\,\text{cm}^3$; $53{,}5\,\text{g})$, $(30{,}0\,\text{cm}^3$; $81{,}6\,\text{g})$, $(40{,}0\,\text{cm}^3$; $107{,}9\,\text{g})$ ja $(50{,}0\,\text{cm}^3$; $135{,}4\,\text{g})$
Kysytty
aineen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$ ja aineen nimi
Periaate
Saman aineen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen, $m = \rho V$, joten pisteet asettuvat origon kautta kulkevalle suoralle ja suoran kulmakerroin on tiheys. Suora piirretään pisteiden joukon keskeltä, ja kulmakerroin lasketaan suoran pisteistä, ei yksittäisestä mittauspisteestä.
Kuvaajan lukeminen
Pisteet asettuvat nousevalle suoralle, jonka molemmille puolille jää pisteitä. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{cm}^3$; $0\,\text{g})$ ja $(50{,}0\,\text{cm}^3$; $135\,\text{g})$ kautta. Pisteet luetaan suoralta ja valitaan kaukana toisistaan.
Kaava
$\rho$$= \dfrac{\Delta m}{\Delta V}$$= \dfrac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1}$Muunnokset
Ei tarvita: massa on grammoina ja tilavuus kuutiosenttimetreinä, kuten kysytty yksikkö $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{135\,\text{g} - 0\,\text{g}}{50{,}0\,\text{cm}^3 - 0\,\text{cm}^3}$$= 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
$2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska suora sovitetaan silmämääräisesti. Silmämääräinen sovitus vaihtelee, joten noin $2{,}62\text{–}2{,}78\,\text{g/cm}^3$ on hyvä vastaus. Taulukossa alumiinin tiheys on $2{,}70\,\text{g/cm}^3$, joten aine on alumiinia.
Järkevyys
Suora kulkee origon kautta, kuten pitääkin, koska tilavuudeltaan nollan kappaleen massa on nolla. Tarkistus:
$27{,}3\,\text{g} : 10{,}0\,\text{cm}^3$$= 2{,}73\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$$135{,}4\,\text{g} : 50{,}0\,\text{cm}^3$$= 2{,}71\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$eli jokainen piste antaa lähes saman arvon.
- Tehtävä 7-14
Nestettä kaadettiin mittalasiin vaiheittain, ja vaaka näytti mittalasin ja nesteen yhteismassan $m_\text{yht}$ nesteen tilavuuden $V$ funktiona. Piirrä mittauspisteistä kuvaaja ja sovita pisteisiin suora.
Mikä on nesteen tiheys yksikössä $\text{kg/m}^3$? Määritä lisäksi tyhjän mittalasin massa ja selitä, miksi suora ei kulje origon kautta.
Mittalasin ja nesteen yhteismassa nesteen tilavuuden funktiona $V\,(\text{cm}^3)$ $m_\text{yht}\,(\text{g})$ 20,0 103,6 40,0 121,2 60,0 140,5 80,0 158,9 100,0 176,8 Vastaus
$920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon mittauspisteet $(V$; $m_\text{yht})$: $(20{,}0\,\text{cm}^3$; $103{,}6\,\text{g})$, $(40{,}0\,\text{cm}^3$; $121{,}2\,\text{g})$, $(60{,}0\,\text{cm}^3$; $140{,}5\,\text{g})$, $(80{,}0\,\text{cm}^3$; $158{,}9\,\text{g})$ ja $(100{,}0\,\text{cm}^3$; $176{,}8\,\text{g})$
Kysytty
nesteen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$, tyhjän mittalasin massa $m_0$ ja syy sille, miksi suora ei kulje origon kautta
Periaate
Vaaka näyttää mittalasin ja nesteen yhteismassan, joka noudattaa lineaarista mallia $m_\text{yht} = \rho V + m_0$. Nesteen tiheys on suoran kulmakerroin ja tyhjän lasin massa $m_0$ on suoran ja pystyakselin leikkauspiste.
Kuvaajan lukeminen
Pisteet asettuvat nousevalle suoralle, jonka molemmille puolille jää pisteitä. Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{cm}^3$; $85\,\text{g})$ ja $(100\,\text{cm}^3$; $177\,\text{g})$ kautta. Piste $(0\,\text{cm}^3$; $85\,\text{g})$ on suoran ja pystyakselin leikkauspiste.
Kaava
$\rho$$= \dfrac{\Delta m_\text{yht}}{\Delta V}$$= \dfrac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1}$$m_0 = m_1 - \rho V_1$
Muunnokset
$1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{177\,\text{g} - 85\,\text{g}}{100\,\text{cm}^3 - 0\,\text{cm}^3}$$= \dfrac{92\,\text{g}}{100\,\text{cm}^3}$$= 0{,}92\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$$= 920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$m_0 = 85\,\text{g}$ (suoran ja pystyakselin leikkauspiste)
Vastaus
nesteen tiheys on $920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska suora sovitetaan silmämääräisesti. Tyhjän mittalasin massa on noin $85\,\text{g}$. Suora ei kulje origon kautta, koska vaaka näyttää myös tyhjän mittalasin massan: jos nestettä ei ole, $V = 0$, vaaka näyttää silti $m_0$.
Järkevyys
Tiheys $920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ on sama kuin ruokaöljyn tai jään tiheys taulukossa, joten neste voi olla ruokaöljyä. Tarkistus pisteessä $V = 60\,\text{cm}^3$: $85\,\text{g}\,{+}\,0{,}92 \cdot 60\,\text{g} = 140\,\text{g}$, mitattu $140{,}5\,\text{g}$.
- Tehtävä 7-15
Oppilas määritti metallikappaleen tiheyden vedensiirtomenetelmällä. Kappaleen massa on $107\,\text{g}$. Mittalasin lukema oli ennen upotusta $60\,\text{ml}$ ja upotuksen jälkeen $72\,\text{ml}$. Oppilas laski $\rho = 107\,\text{g} : 72\,\text{cm}^3 = 1{,}5\,\text{g/cm}^3$ ja päätteli kappaleen olevan kevyttä muovia. Etsi oppilaan virhe ja laske oikea tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Mikä aine kappale voi olla?
Vastaus
$8{,}9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kappaleen massa $m = 107\,\text{g}$, mittalasin lukemat $V_1 = 60\,\text{ml}$ ja $V_2 = 72\,\text{ml}$; oppilaan tulos $\rho = 1{,}5\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
oppilaan virhe, oikea tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$ ja aine
Periaate
Vedensiirtomenetelmässä kappaleen tilavuus on veden pinnan nousu eli lukemien erotus. Mittalasin lukema $V_2$ sisältää myös veden, joka oli lasissa jo ennen upotusta. Tiheys on kappaleen massa jaettuna kappaleen tilavuudella.
Kaava
$V = V_2 - V_1$ ja $\rho = \dfrac{m}{V}$
Muunnokset
$V$$= 72\,\text{ml} - 60\,\text{ml}$$= 12\,\text{ml}$$= 12\,\text{cm}^3$koska $1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$.
Sijoitus
$\rho$$= \dfrac{107\,\text{g}}{12\,\text{cm}^3}$$= 8{,}92\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
Oppilas jakoi massan upotuksen jälkeisellä lukemalla $72\,\text{ml}$, eikä lukemien erotuksella, joten tilavuus oli kuusinkertainen ja tiheys liian pieni. Oikea tiheys on $8{,}9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska tilavuus $12\,\text{ml}$ on kahden numeron luku. Taulukossa kuparin tiheys on $8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, joten kappale voi olla kuparia, ei muovia.
Järkevyys
Tulos $8{,}9\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ on yli kahdeksankertainen veteen verrattuna, mikä sopii metallille. Tilavuuden lukemien erotus on pienempi kuin kumpikaan lukema, joten erotuksessa on suhteellisesti enemmän epävarmuutta: jos kummankin lukeman virhe on $1\,\text{ml}$, tilavuus on $12 \pm 2\,\text{ml}$ ja tiheys voi olla noin $7{,}6\text{–}10{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 7-16
Kuparikappaleella ja alumiinikappaleella on sama massa. Kuinka moninkertainen on alumiinikappaleen tilavuus kuparikappaleen tilavuuteen verrattuna? Käytä taulukon tiheyksiä.
Vastaus
$3{,}32$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuparikappaleen ja alumiinikappaleen massat ovat yhtä suuret, $m_\text{Cu} = m_\text{Al} = m$; taulukosta $\rho_\text{Cu} = 8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ ja $\rho_\text{Al} = 2700\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
tilavuuksien suhde $V_\text{Al} : V_\text{Cu}$
Periaate
Kummankin kappaleen massa on tiheys kertaa tilavuus. Koska massat ovat yhtä suuret, tiheyden ja tilavuuden tulot ovat yhtä suuret, joten suurempi tiheys tarkoittaa pienempää tilavuutta.
Kaava
$\rho_\text{Al} V_\text{Al} = \rho_\text{Cu} V_\text{Cu}$, josta
$$\frac{V_\text{Al}}{V_\text{Cu}} = \frac{\rho_\text{Cu}}{\rho_\text{Al}}$$Muunnokset
Ei tarvita: tiheydet ovat samassa yksikössä ja massa $m$ supistuu pois.
Sijoitus
$\dfrac{V_\text{Al}}{V_\text{Cu}}$$= \dfrac{8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}}{2700\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}}$$= 3{,}32$Vastaus
$3{,}32$
Kertaa, kolme merkitsevää numeroa kuten tiheyksissä $8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ ja $2{,}70\cdot10^{3}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
Järkevyys
Alumiini on kevyempää, joten saman massan saamiseksi sitä tarvitaan enemmän tilavuutena. Pyöristetyillä luvuilla $3 \cdot 2700 = 8100$ ja $4 \cdot 2700 = 10\,800$, joten suhde $8960 : 2700$ on kolmen ja neljän välissä, lähempänä kolmea, kuten $3{,}32$.
- Tehtävä 7-17
Kappale tehdään valamalla yhteen $100\,\text{cm}^3$ alumiinia ja $50\,\text{cm}^3$ rautaa. Tilavuudet oletetaan yhteenlaskettaviksi. Kuinka suuri on kappaleen keskimääräinen tiheys? Anna vastaus yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Vastaus
$4{,}4\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alumiinia $V_1 = 100\,\text{cm}^3$, $\rho_1 = 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja rautaa $V_2 = 50\,\text{cm}^3$, $\rho_2 = 7{,}87\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$; tilavuudet lasketaan yhteen
Kysytty
kappaleen keskimääräinen tiheys $\bar{\rho}$ yksikössä $\text{g/cm}^3$
Periaate
Tiheyksiä ei lasketa yhteen eikä keskiarvoisteta suoraan. Massat ja tilavuudet lasketaan yhteen, ja koko kappaleen tiheys on kokonaismassa jaettuna kokonaistilavuudella.
Kaava
$m_i = \rho_i V_i$, ja
$$\bar{\rho} = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2} = \frac{\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2}{V_1 + V_2}$$Muunnokset
Ei tarvita: kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{g}$ ja $\text{cm}^3$.
Sijoitus
Massat ovat
$m_1$$= 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 100\,\text{cm}^3$$= 270\,\text{g}$$m_2$$= 7{,}87\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 50\,\text{cm}^3$$= 393{,}5\,\text{g}$joten
$\bar{\rho}$$= \dfrac{270\,\text{g} + 393{,}5\,\text{g}}{150\,\text{cm}^3}$$= 4{,}42\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Vastaus
$4{,}4\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuuksissa $50\,\text{cm}^3$.
Järkevyys
Tulos on alumiinin ja raudan tiheyksien välissä, ja lähempänä alumiinia, koska alumiinia on kaksi kertaa niin paljon tilavuutena. Kahden tiheyden tavallinen keskiarvo $5{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ olisi liian suuri.
- Tehtävä 7-18
Pyöreän kuparilangan halkaisija on $1{,}0\,\text{mm}$ ja massa $0{,}50\,\text{kg}$. Kuinka pitkä lanka on? Langan poikkileikkaus on ympyrä, jonka pinta-ala on $\pi r^2$, ja langan tilavuus on pinta-ala kertaa pituus.
Vastaus
$71\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
langan massa $m = 0{,}50\,\text{kg}$, halkaisija $d = 1{,}0\,\text{mm}$ eli säde $r = 0{,}50\,\text{mm}$; taulukosta $\rho = 8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Kysytty
langan pituus $L$ metreinä
Periaate
Massasta ja tiheydestä saadaan tilavuus. Lanka on pitkä lieriö, jonka tilavuus on poikkileikkauksen pinta-ala kertaa pituus, joten pituus saadaan jakamalla tilavuus pinta-alalla.
Kaava
$V = \dfrac{m}{\rho}$, $A = \pi r^2$ ja $V = A L$, joten
$$L = \frac{V}{A} = \frac{m}{\rho\,\pi r^2}$$Muunnokset
Säde
$r$$= 0{,}50\,\text{mm}$$= 0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$joten $r^2 = 2{,}5 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2$.
Sijoitus
$V$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg}}{8960\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}}$$= 5{,}58 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3$$A$$= \pi \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2$$= 7{,}85 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2$joten
$L$$= \dfrac{5{,}58 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3}{7{,}85 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2}$$= 71{,}1\,\text{m}$Vastaus
$71\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska halkaisija $1{,}0\,\text{mm}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Puoli kiloa kuparia on tilavuudeltaan vain noin $56\,\text{cm}^3$, eli puoli desilitraa. Ohueksi, tuhannesosametrin paksuiseksi langaksi vedettynä se riittää kymmenien metrien pituudelle, joten $71\,\text{m}$ on uskottava.
- Tehtävä 7-19
Oppilas määrittää metallikappaleen tiheyden vedensiirtomenetelmällä. Kappaleen massa on $113\,\text{g}$. Mittalasin lukema ennen upotusta on $50{,}0\,\text{ml}$ ja upotuksen jälkeen $62{,}0\,\text{ml}$.
Jälkeenpäin oppilas huomaa, että kappaleen pintaan oli jäänyt ilmakupla, jonka tilavuus on $2{,}0\,\text{ml}$.
Mikä on kappaleen todellinen tiheys yksikössä $\text{g/cm}^3$? Laske myös oppilaan alun perin saama tiheys ja sen prosenttivirhe, päättele taulukon perusteella, mitä metallia kumpikin tiheys antaisi ymmärtää kappaleen olevan, ja kerro, miten kupla olisi voitu poistaa tai havaita.
Vastaus
$11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kappaleen massa $m = 113\,\text{g}$, mittalasin lukemat $V_1 = 50{,}0\,\text{ml}$ ja $V_2 = 62{,}0\,\text{ml}$, ilmakuplan tilavuus $V_\text{k} = 2{,}0\,\text{ml}$; taulukosta kuparin tiheys $8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja lyijyn $11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Kysytty
kappaleen todellinen tiheys $\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$, oppilaan saama tiheys $\rho'$, sen prosenttivirhe ja metallit, joihin tiheydet viittaavat
Periaate
Vedensiirtomenetelmässä tilavuus on lukemien erotus $V_2 - V_1$. Kupla syrjäyttää vettä kappaleen mukana, joten erotus sisältää kappaleen tilavuuden ja kuplan tilavuuden. Massa punnitaan erikseen, joten virhe tulee vain tilavuudesta.
Kaava
$V' = V_2 - V_1$, $V = V' - V_\text{k}$, $\rho = \dfrac{m}{V}$ ja $\rho' = \dfrac{m}{V'}$; prosenttivirhe on $\dfrac{\rho' - \rho}{\rho} \cdot 100\,\%$
Muunnokset
$1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$, joten $V' = 12{,}0\,\text{cm}^3$ ja $V_\text{k} = 2{,}0\,\text{cm}^3$.
Sijoitus
$V'$$= 62{,}0\,\text{ml} - 50{,}0\,\text{ml}$$= 12{,}0\,\text{ml}$$V$$= 12{,}0\,\text{cm}^3 - 2{,}0\,\text{cm}^3$$= 10{,}0\,\text{cm}^3$Todellinen tiheys on
$\rho$$= \dfrac{113\,\text{g}}{10{,}0\,\text{cm}^3}$$= 11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ja oppilaan tulos
$\rho'$$= \dfrac{113\,\text{g}}{12{,}0\,\text{cm}^3}$$= 9{,}42\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$Virhe on
$\dfrac{9{,}42 - 11{,}3}{11{,}3} \cdot 100\,\%$$= -16{,}7\,\%$Vastaus
Todellinen tiheys on $11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, kolme merkitsevää numeroa, koska massa ja lukemat on annettu kolmella numerolla. Oppilaan tulos $9{,}42\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ on noin $17\,\%$ liian pieni, koska mitattu tilavuus oli liian suuri. Todellinen tiheys vastaa lyijyä ($11{,}3\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$), mutta virheellinen tulos on lähempänä kuparia ($8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$), joten kupla voi johtaa väärään metalliin. Kuplan voi poistaa napauttamalla kappaletta ja sen havaitsee lasin sivusta katsomalla.
Järkevyys
Massa on oikein ja tilavuus liian suuri, joten tiheyden on pakko tulla liian pieneksi, ja niin kävi: $9{,}42 < 11{,}3$. Tarkistus: $0{,}83 \cdot 11{,}3 \approx 9{,}4$.
- Tehtävä 7-20
Seoskappale on valettu kuparista ja alumiinista. Sen tilavuus on $100\,\text{cm}^3$ ja massa $520\,\text{g}$. Tilavuudet oletetaan yhteenlaskettaviksi.
Kuinka monta kuutiosenttimetriä kuparia kappaleessa on? Käytä oppitunnin taulukon tiheyksiä. Perustele myös, kumpaa metallia kappaleessa on enemmän tilavuuden ja kumpaa massan mukaan.
Vastaus
$39{,}9\,\text{cm}^3$
Näytä ratkaisu
Annettu
seoskappaleen tilavuus $V = 100\,\text{cm}^3$ ja massa $m = 520\,\text{g}$; taulukosta $\rho_\text{Cu} = 8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja $\rho_\text{Al} = 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$; tilavuudet lasketaan yhteen
Kysytty
kuparin tilavuus $V_\text{Cu}$ kuutiosenttimetreinä
Periaate
Kokonaistilavuus on osien tilavuuksien summa ja kokonaismassa osien massojen summa. Kummankin osan massa on tiheys kertaa tilavuus. Tuntemattomia on kaksi, $V_\text{Cu}$ ja $V_\text{Al}$, joten tarvitaan kaksi yhtälöä: tilavuuksien ja massojen summa.
Kaava
Tilavuuksille $V_\text{Cu} + V_\text{Al} = V$ ja massoille $\rho_\text{Cu} V_\text{Cu} + \rho_\text{Al} V_\text{Al} = m$. Sijoittamalla $V_\text{Al} = V - V_\text{Cu}$ toiseen yhtälöön ratkeaa
$V_\text{Cu}$$= \dfrac{m - \rho_\text{Al} V}{\rho_\text{Cu} - \rho_\text{Al}}$Muunnokset
Ei tarvita: massat ovat grammoina, tilavuudet kuutiosenttimetreinä ja tiheydet yksikössä $\text{g/cm}^3$.
Sijoitus
$V_\text{Cu}$$= \dfrac{520\,\text{g} - 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 100\,\text{cm}^3}{8{,}96\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} - 2{,}70\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$= \dfrac{250\,\text{g}}{6{,}26\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$= 39{,}9\,\text{cm}^3$Vastaus
$39{,}9\,\text{cm}^3$
Kolme merkitsevää numeroa, koska taulukon tiheydet ovat kolmella numerolla ja tiedot $520\,\text{g}$ ja $100\,\text{cm}^3$ luetaan kolmen numeron tarkkuudella. Alumiinia on $V_\text{Al} = 100\,\text{cm}^3 - 39{,}9\,\text{cm}^3 = 60{,}1\,\text{cm}^3$.
Järkevyys
Jos kappale olisi pelkkää alumiinia, sen massa olisi $270\,\text{g}$, ja pelkkää kuparia $896\,\text{g}$. Todellinen massa $520\,\text{g}$ on näiden välissä ja lähempänä alumiinia, joten kuparia on alle puolet tilavuudesta, kuten $39{,}9\,\text{cm}^3$. Alumiinia on enemmän tilavuuden mukaan ($60{,}1\,\text{cm}^3$), mutta kuparia on enemmän massan mukaan: kuparin massa on noin $357{,}5\,\text{g}$ ja alumiinin noin $162{,}3\,\text{g}$, koska kuparin tiheys on moninkertainen. Tarkistus:
$8{,}96 \cdot 39{,}9\,\text{g} + 2{,}70 \cdot 60{,}1\,\text{g}$$= 357{,}5\,\text{g} + 162{,}3\,\text{g}$$= 519{,}8\,\text{g}$$\approx 520\,\text{g}$
Valokuvat
- Very Blue Iceberg With Anvil Top. Eric Kilby. lähde, CC BY-SA 2.0
