Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 3-1Ydintehtävä

   Oppilas mittaa pienen kuulan putoamisajan neljä kertaa ja saa tulokset $0{,}52\,\text{s}$, $0{,}48\,\text{s}$, $0{,}55\,\text{s}$ ja $0{,}49\,\text{s}$. Mikä on mittaussarjan keskiarvo?

   sTarkista
   Vastaus

   $0{,}51\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $t_1 = 0{,}52\,\text{s}$, $t_2 = 0{,}48\,\text{s}$, $t_3 = 0{,}55\,\text{s}$, $t_4 = 0{,}49\,\text{s}$; mittauksia on $n = 4$

   Kysytty

   mittaussarjan keskiarvo $\bar{t}$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Jokaisessa mittauksessa on satunnaisvirhe, joka heittää tulosta milloin mihinkin suuntaan. Kun tulokset lasketaan yhteen ja summa jaetaan mittausten lukumäärällä, heitot kumoavat osin toisensa. Siksi keskiarvo on parempi arvio kuin yksittäinen tulos.

   Kaava

   $\bar{t}$$= \dfrac{t_1 + t_2 + t_3 + t_4}{n}$

   Muunnokset

   Kaikki ajat ovat sekunteina, joten yksiköitä ei tarvitse muuntaa.

   Sijoitus

   Summa on

   $0{,}52\,\text{s} + 0{,}48\,\text{s} + 0{,}55\,\text{s} + 0{,}49\,\text{s}$

   $= 2{,}04\,\text{s}$

   joten

   $\bar{t}$$= \dfrac{2{,}04\,\text{s}}{4}$

   $= 0{,}51\,\text{s}$

   Vastaus

   $0{,}51\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten mittaustuloksissa (jakaja $4$ on tarkka lukumäärä).

   Järkevyys

   Keskiarvon täytyy olla pienimmän tuloksen $0{,}48\,\text{s}$ ja suurimman tuloksen $0{,}55\,\text{s}$ välissä, ja $0{,}51\,\text{s}$ on. Tarkistus takaperin: $4 \cdot 0{,}51\,\text{s} = 2{,}04\,\text{s}$ on tulosten summa.

2. Tehtävä 3-2Ydintehtävä

   Vertailukappaleen pituus tunnetaan tarkasti: se on $20{,}0\,\text{cm}$. Mittanauha antaa kappaleen pituudeksi $20{,}3\,\text{cm}$. Mikä on mittausvirhe etumerkkeineen?

   cmTarkista
   Vastaus

   $0{,}3\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   oikea arvo (vertailupituus) $x_\text{oikea} = 20{,}0\,\text{cm}$, mittaustulos $x = 20{,}3\,\text{cm}$

   Kysytty

   mittausvirhe $x - x_\text{oikea}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{cm}$

   Periaate

   Mittausvirhe on mittaustuloksen ja oikean arvon erotus. Etumerkki kertoo suunnan: plus tarkoittaa, että tulos on liian suuri, ja miinus, että se on liian pieni.

   Kaava

   Mittausvirhe on tuloksen ja oikean arvon erotus: $\text{mittausvirhe} = x - x_\text{oikea}$

   Muunnokset

   Molemmat pituudet ovat senttimetreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $x - x_\text{oikea}$$= 20{,}3\,\text{cm} - 20{,}0\,\text{cm}$

   $= +0{,}3\,\text{cm}$

   Vastaus

   $0{,}3\,\text{cm}$

   Eli tulos on liian suuri. Erotus tunnetaan vain yhden desimaalin tarkkuudella, koska molemmat pituudet on annettu yhdellä desimaalilla.

   Järkevyys

   Tulos $20{,}3\,\text{cm}$ on suurempi kuin oikea arvo $20{,}0\,\text{cm}$, joten virheen pitää olla positiivinen. Suhteessa pituuteen virhe on

   $\dfrac{0{,}3\,\text{cm}}{20{,}0\,\text{cm}}$$\approx 1{,}5\,\%$

   mikä on mittanauhalle suuri virhe (nauha on tavallisesti tarkka noin millimetrin), joten syy on todennäköisesti systemaattinen, esimerkiksi kulunut nauhan alkupää tai väärä nollakohta.

3. Tehtävä 3-3

   Heilurin kymmenen heilahduksen aika mitataan käsikellolla viisi kertaa. Kuvaan on merkitty jokainen tulos pisteenä aika-akselille. Lue kuvasta pienin ja suurin tulos. Mikä on tulosten vaihteluvälin puolikas?

   sTarkista
   Vastaus

   $0{,}35\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvan viisi tulosta aika-akselilla; pienin tulos $t_\text{min} = 12{,}2\,\text{s}$ ja suurin $t_\text{max} = 12{,}9\,\text{s}$

   Kysytty

   vaihteluvälin puolikas $\Delta t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Tulosten hajonta kertoo satunnaisvirheen suuruudesta. Yksinkertaisin arvio on vaihteluvälin eli suurimman ja pienimmän tuloksen erotuksen puolikas, koska yksittäinen tulos voi poiketa keskikohdasta kumpaan suuntaan tahansa. Vaihteluvälin määräävät vain kaksi ääripäätä, joten muita pisteitä ei tarvita.

   Kuvaajan lukeminen

   Akselin pystyviivat ovat $0{,}1\,\text{s}$:n välein ja numerot $0{,}2\,\text{s}$:n välein. Vasemmanpuoleisin piste on viivalla $12{,}2\,\text{s}$, joten $t_\text{min} = 12{,}2\,\text{s}$. Oikeanpuoleisin piste on viivalla, joka on yhden välin verran numeron $12{,}8$ oikealla puolella, joten $t_\text{max} = 12{,}9\,\text{s}$. Muut pisteet ovat kohdissa $12{,}4\,\text{s}$, $12{,}6\,\text{s}$ ja $12{,}7\,\text{s}$.

   Kaava

   $\Delta t$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$

   Muunnokset

   Kaikki ajat ovat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta t$$= \dfrac{12{,}9\,\text{s} - 12{,}2\,\text{s}}{2}$

   $= \dfrac{0{,}7\,\text{s}}{2}$

   $= 0{,}35\,\text{s}$

   Vastaus

   $0{,}35\,\text{s}$

   On vaihteluvälin tarkka puolikas. Epävarmuus ilmoitetaan yhdellä merkitsevällä numerolla, joten raportissa se on $0{,}4\,\text{s}$. Kumpikin vastaus hyväksytään.

   Järkevyys

   Kuvassa pisteiden ääripäiden väli on seitsemän ruutua eli $0{,}7\,\text{s}$, ja sen puolikas on pienempi kuin vaihteluväli, kuten pitää. Vaihteluvälin keskikohta on $12{,}55\,\text{s}$, ja $12{,}55\,\text{s} \pm 0{,}35\,\text{s}$ antaa juuri välin $12{,}2\,\text{s}$–$12{,}9\,\text{s}$, jolle kaikki pisteet osuvat.

4. Tehtävä 3-4

   Keittiövaaka näyttää tyhjänä lukeman $1{,}2\,\text{g}$, vaikka sen päällä ei ole mitään. Vaa'alle pannaan kappale, ja vaaka näyttää $48{,}7\,\text{g}$. Mikä on kappaleen massa?

   gTarkista
   Vastaus

   $47{,}5\,\text{g}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vaa'an lukema tyhjänä (nollalukema) $m_0 = 1{,}2\,\text{g}$, lukema kappaleen kanssa $m_\text{lukema} = 48{,}7\,\text{g}$

   Kysytty

   kappaleen massa $m$ yksikössä $\text{g}$

   Periaate

   Vaaka lisää jokaiseen lukemaan saman määrän $1{,}2\,\text{g}$, koska se näyttää sen jo tyhjänä. Tämä on systemaattinen virhe, ja se korjataan vähentämällä nollalukema lukemasta.

   Kaava

   $m = m_\text{lukema} - m_0$

   Muunnokset

   Molemmat lukemat ovat grammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m$$= 48{,}7\,\text{g} - 1{,}2\,\text{g}$

   $= 47{,}5\,\text{g}$

   Vastaus

   $47{,}5\,\text{g}$

   Kolme merkitsevää numeroa; molemmat lukemat tunnetaan yhden desimaalin tarkkuudella.

   Järkevyys

   Vaaka näyttää liikaa, joten oikean massan täytyy olla pienempi kuin lukema, ja $47{,}5\,\text{g} < 48{,}7\,\text{g}$. Tarkistus: $47{,}5\,\text{g} + 1{,}2\,\text{g} = 48{,}7\,\text{g}$.

5. Tehtävä 3-5

   Viivaimen pienin asteikkoväli on $1{,}0\,\text{mm}$, ja lukeman epävarmuudeksi arvioidaan puoli asteikkoväliä. Kuinka suuri on lukeman epävarmuus?

   mmTarkista
   Vastaus

   $0{,}5\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pienin asteikkoväli $d = 1{,}0\,\text{mm}$

   Kysytty

   lukeman epävarmuus $\Delta x$ yksikössä $\text{mm}$

   Periaate

   Lukema luetaan asteikolta lähimmän asteikkoviivan mukaan. Yksinkertaisessa tilanteessa lukeman epävarmuudeksi arvioidaan puoli asteikkoväliä; kokonaisepävarmuus voi olla suurempi, jos esimerkiksi kappaleen reuna on epäselvä tai asteikkoa katsotaan vinosti.

   Kaava

   $\Delta x = \dfrac{d}{2}$

   Muunnokset

   Asteikkoväli on jo millimetreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta x$$= \dfrac{1{,}0\,\text{mm}}{2}$

   $= 0{,}5\,\text{mm}$

   Vastaus

   $0{,}5\,\text{mm}$

   ; virhe-arvio on karkea arvio, joten se ilmoitetaan yhdellä merkitsevällä numerolla.

   Järkevyys

   Jos viivaimelta luetaan $23{,}0\,\text{mm}$, lukeman perusteella pituus on arviolta välillä $22{,}5\,\text{mm}$–$23{,}5\,\text{mm}$, ja tämä väli on yhden asteikkovälin eli $1{,}0\,\text{mm}$ levyinen. Lukeman epävarmuus on siis pienempi kuin asteikkoväli, mutta mittauksen kokonaisepävarmuus voi olla tätä suurempi.

6. Tehtävä 3-6

   Mikä seuraavista tilanteista on esimerkki systemaattisesta virheestä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Oppilas katsoo asteikkoa milloin vasemmalta, milloin oikealta, ja lukemat vaihtelevat sen mukaan.
   • Oppilas kirjaa tuloksen $3{,}42\,\text{s}$ muistiin muodossa $34{,}2\,\text{s}$.
   • Käsikellon pysäytys osuu milloin liian aikaisin, milloin liian myöhään, joten ajat vaihtelevat kerrasta toiseen.
   • Lämpömittarin nollakohta on väärin, joten se näyttää jäävedessä joka kerralla noin $1{,}5\,{}^\circ\text{C}$.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Lämpömittarin nollakohta on väärin, joten se näyttää jäävedessä joka kerralla noin $1{,}5\,{}^\circ\text{C}$.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä tilanteista on systemaattinen virhe.

   Periaate

   Systemaattinen virhe on joka mittauksessa suunnaltaan ja suuruudeltaan lähes sama, esimerkiksi mittarin väärä nollakohta. Satunnaisvirhe vaihtelee sattumanvaraisesti kumpaan suuntaan tahansa, ja karkea virhe on yksittäinen erehdys, joka näkyy muista poikkeavana tuloksena.

   Mallivastaus

   Systemaattinen virhe on lämpömittarin väärä nollakohta: jäävedessä mittari näyttää joka kerralla noin $1{,}5\,{}^\circ\text{C}$ liikaa, joten kaikki lukemat siirtyvät samaan suuntaan. Toistaminen ja keskiarvo eivät poista sitä, mutta vertailu tunnettuun arvoon (jäävesi on $0\,{}^\circ\text{C}$) paljastaa sen, ja lukemat korjataan vähentämällä virhe. Kellon vaihteleva pysäytyshetki ja vaihteleva katselusuunta ovat satunnaisvirheitä, joita keskiarvo pienentää. Väärin kirjattu luku $34{,}2\,\text{s}$ on karkea virhe, joka tarkistetaan ja korjataan.

7. Tehtävä 3-7

   Puupalikan leveys mitataan viisi kertaa: $5{,}41\,\text{cm}$, $5{,}47\,\text{cm}$, $5{,}39\,\text{cm}$, $5{,}44\,\text{cm}$ ja $5{,}43\,\text{cm}$. Virhe-arvioksi otetaan vaihteluvälin puolikas ja se pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon. Anna keskiarvo pyöristettynä niin, että sen tarkkuus sopii virhe-arvioon.

   cmTarkista
   Vastaus

   $5{,}43\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $x_1 = 5{,}41\,\text{cm}$, $x_2 = 5{,}47\,\text{cm}$, $x_3 = 5{,}39\,\text{cm}$, $x_4 = 5{,}44\,\text{cm}$, $x_5 = 5{,}43\,\text{cm}$; $n = 5$

   Kysytty

   keskiarvo $\bar{x}$ yksikössä $\text{cm}$, pyöristettynä virhe-arvion $\Delta x$ tarkkuuteen

   Periaate

   Tulos ilmoitetaan muodossa $\bar{x} \pm \Delta x$. Virhe-arvio pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon (kahteen, jos ensimmäinen numero on 1), ja keskiarvo pyöristetään samaan desimaaliin, koska numerot virhe-arvion desimaalin jälkeen ovat jo epävarmoja.

   Kaava

   $\bar{x}$$= \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{n}$

   $\Delta x$$= \dfrac{x_\text{max} - x_\text{min}}{2}$

   Muunnokset

   Kaikki pituudet ovat senttimetreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Tulosten summa on

   $5{,}41\,\text{cm} + 5{,}47\,\text{cm} + 5{,}39\,\text{cm} + 5{,}44\,\text{cm} + 5{,}43\,\text{cm}$

   $= 27{,}14\,\text{cm}$

   joten

   $\bar{x}$$= \dfrac{27{,}14\,\text{cm}}{5}$

   $= 5{,}428\,\text{cm}$

   $\Delta x$$= \dfrac{5{,}47\,\text{cm} - 5{,}39\,\text{cm}}{2}$

   $= 0{,}04\,\text{cm}$

   Vastaus

   $5{,}43\,\text{cm}$

   Sillä virhe-arvio $0{,}04\,\text{cm}$ on yhden numeron luku sadasosien kohdalla (ensimmäinen numero ei ole 1). Tulos on $5{,}43\,\text{cm} \pm 0{,}04\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Väli $5{,}43\,\text{cm} \pm 0{,}04\,\text{cm}$ eli $5{,}39\,\text{cm}$–$5{,}47\,\text{cm}$ kattaa kaikki viisi tulosta. Tulos $5{,}428\,\text{cm}$ olisi liian tarkka, koska se antaisi ymmärtää tietävän leveyden tuhannesosien tarkkuudella, vaikka virhe-arvio on sadasosia.

8. Tehtävä 3-8

   Levyn paksuus mitataan kahdella välineellä: viivaimella, jonka pienin asteikkoväli on $1{,}0\,\text{mm}$, ja digitaalisella työntömitalla, jonka näyttö muuttuu $0{,}01\,\text{mm}$:n portain. Lukeman epävarmuudeksi arvioidaan kummallakin puoli pienintä lukemaväliä.

   Kuinka monta kertaa pienempi on työntömitan lukeman epävarmuus kuin viivaimen?

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $100$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viivaimen pienin asteikkoväli $d_\text{v} = 1{,}0\,\text{mm}$, työntömitan näytön pienin askel $d_\text{t} = 0{,}01\,\text{mm}$

   Kysytty

   kuinka monta kertaa pienempi on työntömitan lukeman epävarmuus $\Delta x_\text{t}$ kuin viivaimen $\Delta x_\text{v}$

   Periaate

   Kummankin lukeman epävarmuudeksi arvioidaan puoli pienintä lukemaväliä: asteikolta luettaessa lukema sijoitetaan viivojen väliin, ja digitaalinen näyttö pyöristää lukeman lähimpään askeleeseen. Pienempi lukemaväli tarkoittaa pienempää lukemisepävarmuutta, joten työntömitta on tarkempi väline. Se on arvio lukemisesta; mittauksen kokonaisepävarmuuteen voivat vaikuttaa myös mittari ja menetelmä.

   Kaava

   $\Delta x = \dfrac{d}{2}$ kummallekin välineelle, ja vertailu on suhde $\Delta x_\text{v} : \Delta x_\text{t}$

   Muunnokset

   Molemmat välit ovat millimetreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta x_\text{v}$$= \dfrac{1{,}0\,\text{mm}}{2}$

   $= 0{,}5\,\text{mm}$

   $\Delta x_\text{t}$$= \dfrac{0{,}01\,\text{mm}}{2}$

   $= 0{,}005\,\text{mm}$

   joten $0{,}5\,\text{mm} : 0{,}005\,\text{mm} = 100$

   Vastaus

   $100$

   Kertaa pienempi, yksi merkitsevä numero kuten askeleessa $0{,}01\,\text{mm}$. Työntömitan lukemisepävarmuus on sadasosa viivaimen epävarmuudesta.

   Järkevyys

   Suhde on sama kuin lukemavälien suhde $1{,}0\,\text{mm} : 0{,}01\,\text{mm} = 100$, koska puolittaminen supistuu pois. Viivaimella leveys luetaan puolen millimetrin tarkkuudella ja työntömitalla sadasosamillimetrin tarkkuudella, mikä vastaa arkikokemusta siitä, että työntömitta on tarkempi.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 3-9Ydintehtävä

   Kuulan vierimisaika mitataan kuusi kertaa: $1{,}84\,\text{s}$, $1{,}91\,\text{s}$, $1{,}78\,\text{s}$, $1{,}88\,\text{s}$, $1{,}96\,\text{s}$ ja $1{,}82\,\text{s}$. Satunnaisvirheen arvioksi otetaan vaihteluvälin puolikas. Kuinka monta prosenttia se on keskiarvosta?

   %Tarkista
   Vastaus

   $5\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $t = 1{,}84\,\text{s}$, $1{,}91\,\text{s}$, $1{,}78\,\text{s}$, $1{,}88\,\text{s}$, $1{,}96\,\text{s}$ ja $1{,}82\,\text{s}$; $n = 6$, $t_\text{min} = 1{,}78\,\text{s}$, $t_\text{max} = 1{,}96\,\text{s}$

   Kysytty

   satunnaisvirheen arvion $\Delta t$ suhde keskiarvoon $\bar{t}$ prosentteina

   Periaate

   Satunnaisvirheen arvio on vaihteluvälin puolikas, ja tuloksen tarkkuutta kuvaa parhaiten sen suhde tulokseen, suhteellinen epävarmuus. Tulokseksi otetaan keskiarvo, koska se pienentää satunnaisvirheen vaikutusta.

   Kaava

   $\bar{t}$$= \dfrac{t_1 + \dots + t_6}{n}$

   $\Delta t$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$

   $\varepsilon$$= \dfrac{\Delta t}{\bar{t}} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Ajat ovat sekunteina ja suhde on yksikötön. Se kerrotaan sadalla prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\bar{t}$$= \dfrac{11{,}19\,\text{s}}{6}$

   $= 1{,}865\,\text{s}$

   $\Delta t$$= \dfrac{1{,}96\,\text{s} - 1{,}78\,\text{s}}{2}$

   $= 0{,}09\,\text{s}$

   joten

   $\varepsilon$$= \dfrac{0{,}09\,\text{s}}{1{,}865\,\text{s}} \cdot 100\,\%$

   $= 4{,}83\,\%$

   Vastaus

   $5\,\%$

   Yksi merkitsevä numero kuten virhearviossa $0{,}09\,\text{s}$ (laskimen arvo $4{,}83\,\%$).

   Järkevyys

   Arvio karkeasti: $0{,}09\,\text{s}$ on noin $\tfrac{1}{20}$ ajasta $1{,}87\,\text{s}$, eli noin $5\,\%$. Käsin otetulle ajalle muutaman prosentin satunnaisvirhe on tavallinen.

2. Tehtävä 3-10Ydintehtävä

   Mittanauhan alkupää on kulunut. Tarkasti $1{,}000\,\text{m}$ pitkä sauva mitataan nauhalla kolme kertaa, ja lukemat ovat $1{,}012\,\text{m}$, $1{,}009\,\text{m}$ ja $1{,}011\,\text{m}$. Kuinka monta millimetriä liikaa nauha keskimäärin näyttää?

   mmTarkista
   Vastaus

   $11\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sauvan pituus $L_0 = 1{,}000\,\text{m}$ ja nauhan lukemat $L_1 = 1{,}012\,\text{m}$, $L_2 = 1{,}009\,\text{m}$, $L_3 = 1{,}011\,\text{m}$

   Kysytty

   nauhan keskimääräinen virhe $\Delta L_\text{sys}$ yksikössä $\text{mm}$

   Periaate

   Sauva on koko ajan yhtä pitkä, ja kulunut alkupää lisää jokaiseen lukemaan saman määrän: tämä on systemaattinen virhe. Lukemat vaihtelevat hieman satunnaisvirheen takia, joten virhe arvioidaan lukemien keskiarvon ja oikean arvon erotuksena.

   Kaava

   $\bar{L} = \dfrac{L_1 + L_2 + L_3}{3}$ ja $\Delta L_\text{sys} = \bar{L} - L_0$

   Muunnokset

   Tulos tulee metreinä, ja $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$, joten se kerrotaan tuhannella.

   Sijoitus

   Summa on

   $1{,}012\,\text{m} + 1{,}009\,\text{m} + 1{,}011\,\text{m}$

   $= 3{,}032\,\text{m}$

   joten

   $\bar{L}$$= \dfrac{3{,}032\,\text{m}}{3}$

   $= 1{,}01067\,\text{m}$

   $\Delta L_\text{sys}$$= 1{,}01067\,\text{m} - 1{,}000\,\text{m}$

   $= 0{,}01067\,\text{m}$

   $= 10{,}67\,\text{mm}$

   Vastaus

   noin $11\,\text{mm}$ (laskimen arvo $10{,}67\,\text{mm}$): lukemat vaihtelevat noin $\pm 1{,}5\,\text{mm}$, joten keskiarvoa ei kannata ilmoittaa millimetriä tarkemmin.

   Järkevyys

   Jokainen lukema on $9\,\text{mm}$–$12\,\text{mm}$ liian suuri, joten keskiarvo $11\,\text{mm}$ on näiden välissä. Nauha näyttää noin $1\,\%$ liikaa, ja virheen etumerkki on positiivinen, koska lukemat ylittävät oikean arvon.

3. Tehtävä 3-11

   Lasiputken pituus mitataan kolme kertaa, ja tulokset on kirjattu eri yksiköillä: $12{,}4\,\text{cm}$, $0{,}125\,\text{m}$ ja $123\,\text{mm}$. Mikä on keskiarvo senttimetreinä?

   cmTarkista
   Vastaus

   $12{,}4\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $L_1 = 12{,}4\,\text{cm}$, $L_2 = 0{,}125\,\text{m}$, $L_3 = 123\,\text{mm}$

   Kysytty

   keskiarvo $\bar{L}$ yksikössä $\text{cm}$

   Periaate

   Keskiarvon voi laskea vain samassa yksikössä olevista luvuista, koska eri yksiköissä olevia lukuja ei voi laskea yhteen. Muunnetaan siksi kaikki tulokset ensin senttimetreiksi.

   Kaava

   $\bar{L} = \dfrac{L_1 + L_2 + L_3}{3}$

   Muunnokset

   $0{,}125\,\text{m} = 12{,}5\,\text{cm}$, koska $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$, ja $123\,\text{mm} = 12{,}3\,\text{cm}$, koska $10\,\text{mm} = 1\,\text{cm}$.

   Sijoitus

   Summa on

   $12{,}4\,\text{cm} + 12{,}5\,\text{cm} + 12{,}3\,\text{cm}$

   $= 37{,}2\,\text{cm}$

   joten

   $\bar{L}$$= \dfrac{37{,}2\,\text{cm}}{3}$

   $= 12{,}4\,\text{cm}$

   Vastaus

   $12{,}4\,\text{cm}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten mittaustuloksissa.

   Järkevyys

   Keskiarvo on pienimmän $12{,}3\,\text{cm}$ ja suurimman $12{,}5\,\text{cm}$ tuloksen välissä. Jos lukuja ei olisi muunnettu, summa $12{,}4 + 0{,}125 + 123$ antaisi järjettömän keskiarvon $45{,}2$, joten muunnos on välttämätön.

4. Tehtävä 3-12

   Sama pituus mitataan viisi kertaa kahdella mittarilla. Mittari A antaa tulokset $5{,}2\,\text{cm}$, $5{,}6\,\text{cm}$, $5{,}4\,\text{cm}$, $5{,}3\,\text{cm}$ ja $5{,}5\,\text{cm}$. Mittari B antaa tulokset $5{,}40\,\text{cm}$, $5{,}43\,\text{cm}$, $5{,}41\,\text{cm}$, $5{,}42\,\text{cm}$ ja $5{,}44\,\text{cm}$.

   Kuinka moninkertainen on mittarin A tulosten vaihteluvälin puolikas mittarin B vastaavaan verrattuna?

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $10$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mittari A: $5{,}2$, $5{,}6$, $5{,}4$, $5{,}3$ ja $5{,}5\,\text{cm}$; mittari B: $5{,}40$, $5{,}43$, $5{,}41$, $5{,}42$ ja $5{,}44\,\text{cm}$

   Kysytty

   suhde $k = \dfrac{\Delta x_\text{A}}{\Delta x_\text{B}}$, jossa $\Delta x$ on vaihteluvälin puolikas

   Periaate

   Vaihteluvälin puolikas kuvaa satunnaisvirheen suuruutta eli sitä, kuinka hyvin mittaus toistuu. Pienempi puolikas tarkoittaa parempaa toistettavuutta, joten suhde kertoo, kuinka paljon paremmin toinen mittari toistuu.

   Kaava

   $\Delta x$$= \dfrac{x_\text{max} - x_\text{min}}{2}$

   kummallekin mittarille, ja

   $k$$= \dfrac{\Delta x_\text{A}}{\Delta x_\text{B}}$

   Muunnokset

   Kaikki pituudet ovat senttimetreinä. Suhteessa yksiköt supistuvat, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta x_\text{A}$$= \dfrac{5{,}6\,\text{cm} - 5{,}2\,\text{cm}}{2}$

   $= 0{,}2\,\text{cm}$

   $\Delta x_\text{B}$$= \dfrac{5{,}44\,\text{cm} - 5{,}40\,\text{cm}}{2}$

   $= 0{,}02\,\text{cm}$

   joten

   $k$$= \dfrac{0{,}2\,\text{cm}}{0{,}02\,\text{cm}}$

   $= 10$

   Vastaus

   $10$

   Kertaa; erotukset $0{,}4\,\text{cm}$ ja $0{,}04\,\text{cm}$ ovat yhden numeron lukuja, joten suhde annetaan yhdellä merkitsevällä numerolla.

   Järkevyys

   Mittarin B tulokset mahtuvat $0{,}04\,\text{cm}$ levyiselle välille ja mittarin A tulokset $0{,}4\,\text{cm}$ levyiselle, eli kymmenen kertaa leveämmälle. Hyvä toistettavuus ei silti kerro, onko mittarin B keskiarvo oikea.

5. Tehtävä 3-13

   Levysoittimen levyn kymmenen kierroksen aika mitattiin käsikellolla kahdeksan kertaa, ja tulokset ovat taulukossa. Ota 10 kierroksen ajan virhe-arvioksi vaihteluvälin puolikas ja pyöristä keskiarvo virhe-arvion tarkkuuteen. Ilmoita yhden kierroksen aika muodossa $\bar{T} \pm \Delta T$.

   Levyn 10 kierroksen aika

   $n$	$t_{10}\,(\text{s})$
   1	18,12
   2	18,31
   3	18,05
   4	18,27
   5	18,19
   6	18,35
   7	18,10
   8	18,22

   sTarkista
   Vastaus

   $\bar{T} = 1{,}820\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon kahdeksan aikaa $t_{10}$ (10 kierrosta): $18{,}12\,\text{s}$, $18{,}31\,\text{s}$, $18{,}05\,\text{s}$, $18{,}27\,\text{s}$, $18{,}19\,\text{s}$, $18{,}35\,\text{s}$, $18{,}10\,\text{s}$ ja $18{,}22\,\text{s}$; $n = 8$

   Kysytty

   yhden kierroksen ajan keskiarvo $\bar{T}$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Käsin otetussa ajassa on satunnaisvirhe, joten tulokseksi otetaan keskiarvo ja virhe-arvioksi vaihteluvälin puolikas. Kymmenen kierroksen ajasta saadaan yhden kierroksen aika jakamalla sekä keskiarvo että virhe-arvio tarkalla luvulla $10$.

   Kaava

   $\bar{t}_{10}$$= \dfrac{t_1 + \dots + t_8}{n}$

   $\;\Delta t_{10}$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$

   $\;\bar{T} = \dfrac{\bar{t}_{10}}{10}$ ja $\Delta T = \dfrac{\Delta t_{10}}{10}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki ajat ovat sekunteina.

   Sijoitus

   Summa on $145{,}61\,\text{s}$, joten

   $\bar{t}_{10}$$= \dfrac{145{,}61\,\text{s}}{8}$

   $= 18{,}20125\,\text{s}$

   $\Delta t_{10}$$= \dfrac{18{,}35\,\text{s} - 18{,}05\,\text{s}}{2}$

   $= 0{,}15\,\text{s}$

   Siis

   $\bar{T}$$= \dfrac{18{,}20125\,\text{s}}{10}$

   $= 1{,}820125\,\text{s}$

   $\Delta T$$= \dfrac{0{,}15\,\text{s}}{10}$

   $= 0{,}015\,\text{s}$

   Vastaus

   $\bar{T} = 1{,}820\,\text{s}$

   Eli $1{,}82\,\text{s}$. Virhe-arvio $0{,}015\,\text{s}$ on kahden numeron luku, koska ensimmäinen numero on 1, joten tulos pyöristetään tuhannesosiin: $T = 1{,}820\,\text{s} \pm 0{,}015\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tavallinen levysoittimen nopeus on $33{,}33$ kierrosta minuutissa, jolloin yksi kierros kestää $60\,\text{s} : 33{,}33 = 1{,}800\,\text{s}$. Mitattu $1{,}820\,\text{s} \pm 0{,}015\,\text{s}$ on suuruusluokaltaan oikea, mutta $1{,}800\,\text{s}$ jää juuri sen välin ulkopuolelle; levysoitin voi siis pyöriä hieman hitaasti tai ajanotossa voi olla pieni systemaattinen virhe. Kymmenen kierroksen mittaus pienentää reaktioajan suhteellista osuutta: virhe-arvio $0{,}15\,\text{s}$ on vain noin $0{,}8\,\%$ ajasta $18{,}2\,\text{s}$.

6. Tehtävä 3-14

   Kaksi ryhmää mittasi saman vesimäärän, jonka tilavuus tunnetaan tarkasti: $50{,}0\,\text{ml}$. Tulokset ovat taulukossa. Laske ryhmän A tulosten keskiarvon poikkeama tunnetusta arvosta etumerkkeineen.

   Kumpi mittaussarja on toistettavampi ja kumpi lähempänä oikeaa arvoa? Perustele vaihteluvälin puolikkailla ja keskiarvoilla.

   Mitatut tilavuudet

   $n$	$V_\text{A}\,(\text{ml})$	$V_\text{B}\,(\text{ml})$
   1	50,9	49,4
   2	51,1	50,5
   3	50,8	49,8
   4	51,0	50,3
   5	50,9	50,1

   mlTarkista
   Vastaus

   $+0{,}94\,\text{ml}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tunnettu tilavuus $V_\text{oikea} = 50{,}0\,\text{ml}$; ryhmän A tulokset $50{,}9\,\text{ml}$, $51{,}1\,\text{ml}$, $50{,}8\,\text{ml}$, $51{,}0\,\text{ml}$, $50{,}9\,\text{ml}$ ja ryhmän B tulokset $49{,}4\,\text{ml}$, $50{,}5\,\text{ml}$, $49{,}8\,\text{ml}$, $50{,}3\,\text{ml}$, $50{,}1\,\text{ml}$

   Kysytty

   sarjan A keskiarvon poikkeama $\bar{V}_\text{A} - V_\text{oikea}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{ml}$; kumpi sarja on toistettavampi ja kumpi lähempänä oikeaa arvoa

   Periaate

   Toistettavuus kertoo satunnaisvirheestä, ja sitä kuvaa vaihteluvälin puolikas $\Delta V$. Keskiarvon ero tunnettuun arvoon kertoo systemaattisesta virheestä, jota toistaminen ei pienennä.

   Kaava

   $\bar{V}$$= \dfrac{V_1 + \dots + V_5}{n}$

   $\;\Delta V$$= \dfrac{V_\text{max} - V_\text{min}}{2}$

   ja poikkeama $\bar{V}_\text{A} - V_\text{oikea}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki tilavuudet ovat millilitroina.

   Sijoitus

   $\bar{V}_\text{A}$$= \dfrac{254{,}7\,\text{ml}}{5}$

   $= 50{,}94\,\text{ml}$

   joten poikkeama on $50{,}94\,\text{ml} - 50{,}0\,\text{ml} = 0{,}94\,\text{ml}$. Lisäksi

   $\Delta V_\text{A}$$= \dfrac{51{,}1\,\text{ml} - 50{,}8\,\text{ml}}{2}$

   $= 0{,}15\,\text{ml}$

   $\Delta V_\text{B}$$= \dfrac{50{,}5\,\text{ml} - 49{,}4\,\text{ml}}{2}$

   $= 0{,}55\,\text{ml}$

   $\bar{V}_\text{B} = 50{,}02\,\text{ml}$.

   Vastaus

   $+0{,}94\,\text{ml}$

   Lukemat ovat kolmen merkitsevän numeron lukuja, ja koska virhe-arvio $\Delta V_\text{A} = 0{,}15\,\text{ml}$ on sadasosien tarkkuudella, myös poikkeama ilmoitetaan sadasosina. Sarja A on toistettavampi ($0{,}15\,\text{ml} < 0{,}55\,\text{ml}$), mutta sen tulokset ovat kaikki yli $50\,\text{ml}$, eli siinä on systemaattinen virhe. Sarjan B keskiarvo on lähempänä oikeaa arvoa, vaikka hajonta on suurempi.

   Järkevyys

   Kaikki A:n tulokset ovat samalla puolella oikeaa arvoa, ja poikkeama $0{,}94\,\text{ml}$ on moninkertainen hajontaan $\Delta V_\text{A} = 0{,}15\,\text{ml}$ verrattuna, joten poikkeama ei todennäköisesti ole satunnaista. Hyvä toistettavuus ei siis takaa oikeaa tulosta.

7. Tehtävä 3-15

   Heilurin heilahdusaika on noin $1{,}5\,\text{s}$. Käsin ajanotossa kellon käynnistys ja pysäytys aiheuttavat reaktioajasta yhteensä noin $0{,}2\,\text{s}$:n epävarmuuden koko mitattuun aikaan (arvio, joka ei riipu mitatun ajan pituudesta).

   Suunnittelet mittauksen, jossa mitataan kerralla $N$ peräkkäistä heilahdusta ja jaetaan aika luvulla $N$.

   Kuinka monta heilahdusta vähintään on mitattava, jotta heilahdusajan suhteellinen epävarmuus on enintään $1\,\%$? Selitä myös, miksi pidemmän ajan mittaaminen pienentää reaktioajan vaikutusta.

   heilahdustaTarkista
   Vastaus

   $14$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   heilahdusaika $T \approx 1{,}5\,\text{s}$; reaktioajan epävarmuus koko mitatulle ajalle $\Delta t = 0{,}2\,\text{s}$ (arvio); vaadittu suhteellinen epävarmuus enintään $1\,\%$

   Kysytty

   heilahdusten vähimmäismäärä $N$

   Periaate

   Reaktioaika vaikuttaa kerran alussa ja kerran lopussa, oli mitattava aika lyhyt tai pitkä. Kun mitataan $N$ heilahdusta ja aika jaetaan luvulla $N$, myös epävarmuus jaetaan luvulla $N$.

   Kaava

   $\Delta T = \dfrac{\Delta t}{N}$ ja vaatimus $\dfrac{\Delta T}{T} \le 0{,}01$, joten

   $\dfrac{\Delta t}{N \cdot T}$$\le 0{,}01$

   josta

   $N$$\ge \dfrac{\Delta t}{0{,}01 \cdot T}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki ajat ovat sekunteina, ja $1\,\% = 0{,}01$.

   Sijoitus

   $N$$\ge \dfrac{0{,}2\,\text{s}}{0{,}01 \cdot 1{,}5\,\text{s}}$

   $= 13{,}33\ldots$

   Vastaus

   Heilahduksia täytyy mitata vähintään $14$, koska $N$ on kokonaisluku ja $13$ ei riitä ($0{,}2 : (13 \cdot 1{,}5) = 1{,}03\,\%$).

   Järkevyys

   Tarkistus: $N = 14$ antaa

   $\Delta T$$= 0{,}2\,\text{s} : 14$

   $= 0{,}014\,\text{s}$

   $0{,}014\,\text{s} : 1{,}5\,\text{s} = 0{,}95\,\%$, joten vaatimus täyttyy. Yhden heilahduksen mittaus antaisi epävarmuudeksi $0{,}2 : 1{,}5 = 13\,\%$.

   Mallivastaus

   Reaktioajan virhe ei kasva ajan pituuden mukana, vaan se on suunnilleen sama alussa ja lopussa. Pitkä mittaus jaetaan monelle heilahdukselle, jolloin yhteen heilahdukseen tuleva osuus pienenee. Toistaminen pienentää myös satunnaisvirhettä keskiarvon avulla.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 3-16

   Käsin otetussa ajanotossa kello käynnistetään aina $0{,}18\,\text{s}$ liian myöhään ja pysäytetään aina $0{,}12\,\text{s}$ liian myöhään (viiveet ovat joka kerralla samat).

   Mikä on ajanoton systemaattinen virhe eli lukema miinus oikea aika? Anna vastaus etumerkkeineen.

   sTarkista
   Vastaus

   $-0{,}06\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aloitusviive $\tau_1 = 0{,}18\,\text{s}$ (kello käynnistyy liian myöhään), lopetusviive $\tau_2 = 0{,}12\,\text{s}$ (kello pysähtyy liian myöhään)

   Kysytty

   systemaattinen virhe $\Delta t_\text{sys}$ = lukema − oikea aika, etumerkkeineen yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Viiveet ovat joka mittauksessa samat, joten ne ovat systemaattisia. Myöhään käynnistyvä kello jää jälkeen ja lukema on liian lyhyt, ja myöhään pysähtyvä kello näyttää liikaa. Viiveet vaikuttavat siis vastakkaisiin suuntiin.

   Kaava

   lukema $= t_\text{oikea} - \tau_1 + \tau_2$, joten virhe on $\Delta t_\text{sys} = \tau_2 - \tau_1$

   Muunnokset

   Molemmat viiveet ovat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta t_\text{sys}$$= 0{,}12\,\text{s} - 0{,}18\,\text{s}$

   $= -0{,}06\,\text{s}$

   Vastaus

   $-0{,}06\,\text{s}$

   Kaksi desimaalia kuten viiveissä. Miinus kertoo, että lukema on liian lyhyt.

   Järkevyys

   Aloitusviive on suurempi kuin lopetusviive, joten lukema jää lyhyeksi, ja etumerkki on negatiivinen. Viiveet kumoavat toisensa lähes kokonaan: virhe on vain kolmasosa aloitusviiveestä. Jos lukema olisi $3{,}44\,\text{s}$, oikea aika olisi $3{,}50\,\text{s}$.

2. Tehtävä 3-17

   Paperipinossa on 250 samanlaista arkkia. Pinon paksuus mitataan viivaimella, jonka pienin asteikkoväli on $1{,}0\,\text{mm}$, ja lukeman epävarmuudeksi arvioidaan puoli asteikkoväliä.

   Mikä on yhden arkin paksuuden virhe-arvio, kun kaikki arkit ovat yhtä paksuja? Anna vastaus mikrometreinä, kun yksi mikrometri on tuhannesosa millimetristä.

   µmTarkista
   Vastaus

   $2\,\mu\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   arkkien lukumäärä $n = 250$, pienin asteikkoväli $d = 1{,}0\,\text{mm}$

   Kysytty

   yhden arkin paksuuden virhe-arvio $\Delta h_1$ yksikössä $\mu\text{m}$

   Periaate

   Pinon paksuus on $n$ yhtä paksun arkin summa, $h = n h_1$. Pinon paksuudessa on lukemisvirhe, ja koska arkkien lukumäärä on tarkka, myös yhden arkin paksuuden virhe on pinon virhe jaettuna luvulla $n$.

   Kaava

   $\Delta h = \dfrac{d}{2}$ ja $\Delta h_1 = \dfrac{\Delta h}{n}$, joten $\Delta h_1 = \dfrac{d}{2n}$

   Muunnokset

   Tulos tulee millimetreinä, ja $1\,\text{mm} = 1000\,\mu\text{m}$, joten se kerrotaan tuhannella.

   Sijoitus

   $\Delta h_1$$= \dfrac{1{,}0\,\text{mm}}{2 \cdot 250}$

   $= \dfrac{0{,}5\,\text{mm}}{250}$

   $= 0{,}0020\,\text{mm}$

   $= 2{,}0\,\mu\text{m}$

   Vastaus

   $2\,\mu\text{m}$

   Yksi merkitsevä numero, koska virhe-arvio pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon; arkkien lukumäärä on tarkka luku.

   Järkevyys

   Tavallisen kopiopaperin paksuus on noin $0{,}1\,\text{mm} = 100\,\mu\text{m}$, joten suhteellinen epävarmuus on noin $2\,\%$. Yhden arkin mittaaminen suoraan viivaimella antaisi epävarmuudeksi $0{,}5\,\text{mm}$ eli suhteellisesti noin $500\,\%$, joten pinon mittaaminen pienentää suhteellisen epävarmuuden 250-osaan.

3. Tehtävä 3-18

   Terästangon pituus tunnetaan vertailumittauksesta tarkasti: se on $8{,}00\,\text{cm}$. Tanko mitataan työntömitalla viisi kertaa, ja lukemat ovat $8{,}24\,\text{cm}$, $8{,}27\,\text{cm}$, $8{,}25\,\text{cm}$, $8{,}29\,\text{cm}$ ja $8{,}25\,\text{cm}$. Laske systemaattisen virheen arvio eli keskiarvon ja oikean arvon erotus.

   cmTarkista
   Vastaus

   $0{,}26\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   oikea arvo $x_\text{oikea} = 8{,}00\,\text{cm}$; lukemat $8{,}24$, $8{,}27$, $8{,}25$, $8{,}29$ ja $8{,}25\,\text{cm}$; $n = 5$

   Kysytty

   systemaattisen virheen arvio $\Delta x_\text{sys}$ yksikössä $\text{cm}$

   Periaate

   Lukemat ovat tiiviisti toistensa lähellä mutta kaikki selvästi oikean arvon yläpuolella. Keskiarvo pienentää satunnaisvirhettä, joten sen ero oikeaan arvoon kuvaa jäljelle jäänyttä systemaattista virhettä.

   Kaava

   $\bar{x}$$= \dfrac{x_1 + \dots + x_5}{n}$

   $\Delta x_\text{sys} = \bar{x} - x_\text{oikea}$

   Muunnokset

   Kaikki pituudet ovat senttimetreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Summa on

   $8{,}24\,\text{cm} + 8{,}27\,\text{cm} + 8{,}25\,\text{cm} + 8{,}29\,\text{cm} + 8{,}25\,\text{cm}$

   $= 41{,}30\,\text{cm}$

   joten

   $\bar{x}$$= \dfrac{41{,}30\,\text{cm}}{5}$

   $= 8{,}26\,\text{cm}$

   $\Delta x_\text{sys}$$= 8{,}26\,\text{cm} - 8{,}00\,\text{cm}$

   $= 0{,}26\,\text{cm}$

   Vastaus

   $0{,}26\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa; erotus on kahden desimaalin tarkkuudella.

   Järkevyys

   Satunnaisvirheen arvio

   $\dfrac{8{,}29\,\text{cm} - 8{,}24\,\text{cm}}{2}$

   $= 0{,}025\,\text{cm}$

   $\approx 0{,}03\,\text{cm}$

   on noin kymmenesosa systemaattisesta virheestä, joten virheen ratkaisee systemaattinen osa, esimerkiksi väärä nollakohta. Jos kaikista lukemista vähennetään $0{,}26\,\text{cm}$, ne ovat $7{,}98\,\text{cm}$–$8{,}03\,\text{cm}$ eli lähellä oikeaa arvoa.

4. Tehtävä 3-19

   Kärryn kulkuaika radan päästä päähän mitattiin käsikellolla kahdeksan kertaa, ja tulokset ovat taulukossa. Laboratoriopäiväkirjassa on kuudennen mittauksen kohdalla merkintä: ”Katsoin hetkeksi muualle ja pysäytin kellon myöhään.”

   Saako tuloksen $2{,}97\,\text{s}$ jättää pois? Perustele päiväkirjan merkinnällä ja laske keskiarvo $\bar{t}$, jota perustellusti käytät.

   Entä jos merkintää ei olisi eikä poikkeamalle löytyisi syytä? Laske silloin keskiarvo kaikista kahdeksasta tuloksesta ja vertaa vaihteluvälin puolikasta tuloksen kanssa ja ilman sitä.

   Kärryn kulkuaika

   $n$	$t\,(\text{s})$
   1	2,41
   2	2,38
   3	2,44
   4	2,40
   5	2,43
   6	2,97
   7	2,39
   8	2,42

   sTarkista
   Vastaus

   $2{,}41\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon kahdeksan aikaa; kuudes tulos $2{,}97\,\text{s}$ poikkeaa muista, ja laboratoriopäiväkirjassa on sen kohdalla merkintä, että kello pysäytettiin myöhään

   Kysytty

   saako tuloksen jättää pois, keskiarvo $\bar{t}$ yksikössä $\text{s}$, ja mitä tehtäisiin, jos syytä ei olisi kirjattu

   Periaate

   Selvästi poikkeava tulos tarkistetaan, mutta sitä ei poisteta pelkästään siksi, että se poikkeaa. Se saa jäädä pois vain, jos karkean virheen syy löytyy ja poisjättö perustellaan ja kirjataan. Tässä päiväkirjan merkintä kertoo syyn: kello pysäytettiin myöhässä. Jos syytä ei löydy, tulos pysyy aineistossa ja poikkeama kuvataan epävarmuudessa.

   Kaava

   $\bar{t}$$= \dfrac{t_1 + \dots + t_n}{n}$

   missä $n = 7$ jäljelle jäävää tulosta

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki ajat ovat sekunteina.

   Sijoitus

   Tulosten summa on

   $2{,}41\,\text{s} + 2{,}38\,\text{s} + 2{,}44\,\text{s} + 2{,}40\,\text{s} + 2{,}43\,\text{s} + 2{,}39\,\text{s} + 2{,}42\,\text{s}$

   $= 16{,}87\,\text{s}$

   joten

   $\bar{t}$$= \dfrac{16{,}87\,\text{s}}{7}$

   $= 2{,}41\,\text{s}$

   Vastaus

   Tuloksen saa jättää pois, koska päiväkirjan merkintä antaa syyn ja poisjättö kirjataan; keskiarvo on $2{,}41\,\text{s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten mittauksissa. Vaihteluvälin puolikas on $(2{,}44\,\text{s} - 2{,}38\,\text{s}) : 2 = 0{,}03\,\text{s}$. Jos syytä ei olisi löytynyt, tulos pysyisi aineistossa: keskiarvo olisi $19{,}84\,\text{s} : 8 = 2{,}48\,\text{s}$ ja vaihteluvälin puolikas $(2{,}97\,\text{s} - 2{,}38\,\text{s}) : 2 = 0{,}30\,\text{s}$, kymmenkertainen. Tulos ilmoitettaisiin tällä epävarmuudella, poikkeama mainittaisiin ja mittaus kannattaisi toistaa.

   Järkevyys

   Poikkeavan tuloksen kanssa keskiarvo siirtyy $0{,}07\,\text{s}$ eli yli kaksi kertaa vaihteluvälin puolikkaan $0{,}03\,\text{s}$. Poisjättö perustuu kirjattuun syyhyn eikä poikkeaman suuruuteen $2{,}97\,\text{s} - 2{,}41\,\text{s} = 0{,}56\,\text{s}$: päiväkirjan merkinnän perusteella tulos on karkea virhe.

5. Tehtävä 3-20

   Kaksi ryhmää mittasi saman alumiinikappaleen tiheyden. Ryhmä A sai tulokseksi $\rho_\text{A} = 2{,}74 \pm 0{,}05\,\text{g/cm}^3$ ja ryhmä B tulokseksi $\rho_\text{B} = 2{,}60 \pm 0{,}05\,\text{g/cm}^3$ (epävarmuudet ovat ryhmien arvioita).

   Oppilas päättelee näin. ”Tulokset eroavat vain $0{,}14\,\text{g/cm}^3$ eli noin $5\,\%$, joten ne ovat sopusoinnussa.”

   Etsi päättelyn virhe ja arvioi epävarmuusväleillä, ovatko tulokset sopusoinnussa. Kuinka suuri on välien väliin jäävä rako?

   g/cm³Tarkista
   Vastaus

   $0{,}04\,\text{g/cm}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\rho_\text{A} = 2{,}74\,\text{g/cm}^3$, $\Delta\rho_\text{A} = 0{,}05\,\text{g/cm}^3$; $\rho_\text{B} = 2{,}60\,\text{g/cm}^3$, $\Delta\rho_\text{B} = 0{,}05\,\text{g/cm}^3$; oppilaan päätelmä: ero on noin $5\,\%$, joten tulokset ovat sopusoinnussa

   Kysytty

   oppilaan päättelyn virhe, ovatko tulokset sopusoinnussa, ja epävarmuusvälien väliin jäävä rako $E$ yksikössä $\text{g/cm}^3$

   Periaate

   Kahden tuloksen sopusointua arvioidaan epävarmuusväleillä, ei sillä, kuinka monta prosenttia tulokset eroavat. Jos välit $\rho \pm \Delta\rho$ menevät päällekkäin, eroa ei voida osoittaa; jos eivät, ero on suurempi kuin ilmoitetut epävarmuudet selittävät. Epävarmuudet ovat arvioita, eivät varmoja rajoja.

   Kaava

   rako on tulosten eron ja epävarmuuksien summan erotus:

   $E$$= |\rho_\text{A} - \rho_\text{B}| - (\Delta\rho_\text{A} + \Delta\rho_\text{B})$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki arvot ovat yksikössä $\text{g/cm}^3$.

   Sijoitus

   $E$$= |2{,}74\,\text{g/cm}^3 - 2{,}60\,\text{g/cm}^3| - (0{,}05\,\text{g/cm}^3 + 0{,}05\,\text{g/cm}^3)$

   $= 0{,}14\,\text{g/cm}^3 - 0{,}10\,\text{g/cm}^3$

   $= 0{,}04\,\text{g/cm}^3$

   Vastaus

   $0{,}04\,\text{g/cm}^3$

   Kaksi desimaalia kuten tuloksissa. Oppilaan virhe on arvioida sopusointua prosenttierolla: välit $2{,}69$–$2{,}79\,\text{g/cm}^3$ ja $2{,}55$–$2{,}65\,\text{g/cm}^3$ eivät mene päällekkäin, vaan niiden väliin jää $0{,}04\,\text{g/cm}^3$. Näiden arvioiden mukaan ero on suurempi kuin ilmoitetut epävarmuudet selittävät, joten tulokset eroavat toisistaan; syytä kannattaa etsiä esimerkiksi systemaattisesta virheestä. Ero ei silti todista kummankaan tuloksen vääräksi.

   Järkevyys

   Epävarmuudet ovat noin $2\,\%$ tuloksista, joten $5\,\%$ ero on yli kaksinkertainen niihin verrattuna. Jos B olisi $2{,}66\,\text{g/cm}^3$, välit osuisivat päällekkäin, vaikka tulokset eroaisivat vielä $0{,}08\,\text{g/cm}^3$.