Suureet, yksiköt ja SI-järjestelmä
Miksi Voyager 2 -luotaimen etäisyys kerrotaan välillä kilometreinä, välillä astronomisina yksikköinä ja välillä valotunteina, vaikka matka on aina sama?
Pohjatiedot
- Koot vaihtelevat Planckin pituudesta havaittavaan maailmankaikkeuteen yli kuudellakymmenellä kymmenpotenssillaluku Fysiikka tieteenä ja maailmankaikkeuden mittasuhteet
- Jokainen kymmenpotenssin askel kymmenkertaistaa pituuden tai pienentää sen kymmenesosaanluku Fysiikka tieteenä ja maailmankaikkeuden mittasuhteet
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 5.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Suure
- Ominaisuus, jonka voi mitata, esimerkiksi pituus, massa tai aika.
- Yksikkö
- Sovittu mitta, johon suuretta verrataan, esimerkiksi metri tai sekunti. Lukuarvo ilman yksikköä ei kerro mitään.
- SI-järjestelmä
- Kansainvälisesti sovittu yksikköjärjestelmä. Siinä on seitsemän perusyksikköä, esimerkiksi metri, kilogramma ja sekunti.
- Etuliite
- Yksikön eteen lisätty osa, joka kertoo kymmenpotenssin. Esimerkiksi kilo tarkoittaa tuhatta ja milli tuhannesosaa.
- Merkitsevä numero
- Lukuarvon numero, joka kertoo, kuinka tarkasti suure tunnetaan.
Pohdinta
NASAn Voyager 2 -luotain lähti matkaan vuonna 1977. Se on ylittänyt heliopaussin eli aurinkotuulen puhaltaman kuplan rajan. Nyt luotain liikkuu tähtienvälisessä avaruudessa, mutta se on yhä Auringon painovoiman piirissä. Luotaimeen pidetään yhteyttä radiosignaaleilla. Sen etäisyys kerrotaan välillä kilometreinä, välillä astronomisina yksikköinä ja välillä ajalla, jonka signaali kulkee luotaimen luota tänne.
Miksi sama etäisyys ilmoitetaan eri yksiköillä? Mitä lukujen välillä pitää tehdä, jotta ne tarkoittavat samaa?
Valinnainen Kertaa: kymmenpotenssit
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: signaali Voyager 2:lle
Ennuste 2: kauempana oleva luotain
Tutki
Vieritä Aurinkokuntaa, jossa Kuun halkaisija on yksi kuvapiste. Hyppää kohteeseen, matkusta valon nopeudella ja lue etäisyys kilometreinä, AU:na ja valon kulkuaikana.
Simulaatio
Käyttöohje
Vieritä kuvaa vetämällä, hiiren pyörällä, nuolinäppäimillä (Shift suurentaa askelta) tai nuolipainikkeilla. Mitä pidempään pidät painiketta, sitä nopeammin kuva vierii. Liukusäädin siirtää näkymän etäisyydelle $d = 10^{n}\,\text{km}$ Auringosta. Hyppypainikkeet vievät suoraan Aurinkoon, planeettaan tai Voyager 2:een. Matkusta valon nopeudella lähettää valopulssin näkymän keskikohdasta. Nopeus kertoo, moninkertaisella tahdilla aika kuluu (1-, 100- tai 10 000-kertainen). Kulunut aika ja kuljettu matka näkyvät luvuissa. Alusta palauttaa näkymän Aurinkoon. Kenttä Voyager 2 -päivä valitsee päivän, jolle luotaimen paikka lasketaan. Oletuksena se on tämä päivä. Näkymän keskikohdan etäisyys luetaan kolmella tavalla: kilometreinä, AU:na ja valon kulkuaikana.
Mallin oletukset
Kuva on todellisessa mittakaavassa etäisyyden suunnassa. Yksi kuvapiste on Kuun halkaisija, $3474\,\text{km}$. Planeetat on piirretty yhdelle suoralle Auringosta lähtien. Ne ovat keskimääräisillä etäisyyksillään eli radan isoilla puoliakseleilla (JPL, Approximate Positions of the Planets). Niiden koot ovat päiväntasaajan halkaisijoita (NASA). Todellisuudessa planeetat ovat Auringon eri puolilla. Voyager 2 on merkitty suurennetulla symbolilla, koska luotain on kuvassa paljon pienempi kuin yksi kuvapiste.
Voyager 2:n etäisyys, nopeus ja signaalin kulkuaika ovat mallin laskemia arvoja (lähteet: NASA/JPL). Ne eivät ole mittauksia. Malli olettaa, että luotain etenee vakionopeudella $15{,}341\,\text{km/s}$. Laskenta alkaa heliopaussin eli aurinkotuulen kuplan rajan ylityksestä 2018-11-05, jolloin etäisyys oli $119{,}7\,\text{AU}$. Todellinen nopeus muuttuu hieman. Signaalin kulkuaika lasketaan Auringon etäisyydestä. Maa on enintään $1\,\text{AU}$ Aurinkoa lähempänä tai kauempana. Siksi signaalin kulkuaika Maahan poikkeaa näytetystä enintään noin kahdeksan minuuttia. Valon nopeus on $c = 299\,792\,458\,\text{m/s}$. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia, ei kulunutta aikaa eikä matkaa.
Laskennan selitys
Kuvapisteiden määrä saadaan jakamalla pituus Kuun halkaisijalla:
$$N = \frac{d}{3474\,\text{km}}\cdot1\,\text{px}$$
Esimerkiksi Auringon leveys on $\tfrac{1{,}392\cdot10^{6}\,\text{km}}{3474\,\text{km}}\cdot1\,\text{px} = 401\,\text{px}$. Etäisyys AU:na on $\tfrac{d}{1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}}$. Valon kulkuaika on
$$t = \frac{d}{c}\qquad c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$$
Kun matkustat, kuljettu matka on $s = ct$ ja kulunut aika $t = s : c$. Nopeusvalinta kertoo vain, kuinka monta animaatiosekuntia kuluu sekunnissa. Voyager 2:n etäisyys päivänä $t$ on mallissa
$$d = d_0 + v\,(t - t_0)$$
Tässä $d_0 = 119{,}7\,\text{AU}$, $v = 15{,}341\,\text{km/s}$ ja $t_0$ on 2018-11-05. Kaava on tässä valmis malli. Sinun ei tarvitse ratkaista sitä itse.
Koe 1: etäisyyden kymmenpotenssi
Testaa ennuste 2. Liu'uta etäisyyttä $d = 10^{n}\,\text{km}$. Kirjaa etäisyys AU:na (astronominen yksikkö) ja valon kulkuaika sekunteina arvoilla $n = 7$, $n = 8$ ja $n = 9$. Tee jokainen mittaus näin: siirrä ensin liukua niin, että liukusäätimen otsikossa lukee täsmälleen oikea arvo, esimerkiksi $n = 8{,}00$. Paina sitten Kirjaa mittaus. Katso, mitä taulukon luvuille tapahtuu, kun $n$ kasvaa yhdellä.
Alkutila: etäisyyden kymmenpotenssi $n$ = $7$. Vakiona: Voyager 2 -päivä. Muutetaan: etäisyyden kymmenpotenssi $n$.
| etäisyyden kymmenpotenssi $n$ | $d$ $(\text{AU})$ | $t$ $(\text{s})$ |
|---|
Voyager 2 -mallin lähtötiedot ja arvot
Mallin laskemia arvoja · NASA/JPL: heliopaussin (aurinkotuulen kuplan rajan) ylitys 2018-11-05 etäisyydellä 119,7 AU, nopeus $15{,}341\,\text{km/s}$. $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km}$, $c = 299\,792\,458\,\text{m/s}$.
Simulaatio laskee Voyager 2:n paikan. Se olettaa, että luotain etenee heliopaussin ylityksen jälkeen vakionopeudella. Heliopaussi on raja. Sen ulkopuolella Auringon hiukkastuuli ei enää hallitse avaruutta. Taulukossa on näin lasketut etäisyydet ja signaalin kulkuajat Auringosta neljänä päivänä. Ne eivät ole mittauksia:
| Vuosi | $d$ (AU) | $d$ (km) | $t$ (h) |
|---|---|---|---|
| 2018 | $119{,}7$ | $1{,}79\cdot10^{10}$ | $16{,}6$ |
| 2022 | $132{,}6$ | $1{,}98\cdot10^{10}$ | $18{,}4$ |
| 2026 | $145{,}6$ | $2{,}18\cdot10^{10}$ | $20{,}2$ |
| 2030 | $158{,}5$ | $2{,}37\cdot10^{10}$ | $22{,}0$ |
Arvot ovat kunkin vuoden 5. marraskuuta. Sama etäisyys on kirjoitettu kolmella tavalla: AU:na, kilometreinä ja valon kulkuaikana tunteina.
Koe 2: Voyager 2 eri päivinä
Testaa ennuste 1. Paina Voyager 2 -hyppypainiketta. Näkymän keskikohta siirtyy luotaimen luo. Kirjaa luotaimen etäisyys AU:na ja signaalin kulkuaika tunteina päivälle 2026-01-01. Kirjaa sama vielä ainakin yhdelle toiselle päivälle, esimerkiksi 2030-01-01. Vaihda päivä kenttään Voyager 2 -päivä. Arvot ovat mallin laskemia.
Alkutila: päivämäärä = 2026-01-01. Vakiona: ei mitään. Muutetaan: päivämäärä.
| päivämäärä | $d$ $(\text{AU})$ | $t$ $(\text{h})$ |
|---|
Johtopäätös: etäisyys, yksikkö ja valon kulkuaika
Kirjoita taulukoidesi perusteella: miten valon kulkuaika muuttuu, kun matka kasvaa? Kuinka monta kertaa pidempi Voyager 2:n signaalin kulkuaika on kuin yhden AU:n kulkuaika? Miksi etäisyys voidaan ilmoittaa kolmella eri yksiköllä?
Mallivastaus
Kokeessa 1 jokainen $n$:n kasvu yhdellä kymmenkertaisti sekä etäisyyden AU:na että valon kulkuajan. Arvolla $n = 7$ aika oli $33{,}4\,\text{s}$, arvolla $n = 8$ se oli $334\,\text{s}$ ja arvolla $n = 9$ se oli $3340\,\text{s}$. Valon nopeus on vakio, joten aika on suoraan verrannollinen matkaan, $t = s : c$. Kokeessa 2 mallin arvo päivälle 1.1.2026 oli $142{,}9\,\text{AU}$ ja kulkuaika $19{,}8\,\text{h}$. Se on noin 143 kertaa yhden AU:n kulkuaika $8{,}32\,\text{min}$. Myöhemmin kulkuaika on pidempi, koska luotain etääntyy. Sama matka voidaan kirjoittaa kilometreinä, AU:na tai valon kulkuaikana. Luvut ovat eri, koska yksiköt ovat eri. Ne kuvaavat silti samaa matkaa. Yksikön paikalle voi aina kirjoittaa sen arvon toisessa yksikössä. Arvot ovat mallin laskemia, ja lähteinä ovat NASA/JPL. Maan kulkuaika voi poiketa niistä enintään noin kahdeksan minuuttia.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Suure, lukuarvo ja yksikkö
Fysiikka kuvaa maailmaa ominaisuuksilla, joita voi mitata. Näitä ominaisuuksia sanotaan suureiksi. Pituus, massa, aika ja nopeus ovat suureita. Suureen arvon saa vertaamalla sitä sovittuun mittaan eli yksikköön. Arvo kirjoitetaan lukuarvon ja yksikön tulona eli lukuarvo kerrottuna yksiköllä, esimerkiksi kynän pituus $l = 12{,}0\,\text{cm}$. Lukuarvo ilman yksikköä ei kerro mitään. Luku 12 voisi tarkoittaa senttimetrejä, tunteja tai kilogrammoja. Suureen symboli kirjoitetaan kursiivilla ($l$, $m$, $t$). Yksikkö kirjoitetaan pystykirjaimilla ($\text{m}$, $\text{kg}$, $\text{s}$).
SI-järjestelmä
Metrin pitää olla sama kaikkialla maailmassa. Siksi tiedeyhteisö on sopinut yhteisestä yksikköjärjestelmästä, SI-järjestelmästä. Siinä on seitsemän perussuuretta, ja jokaisella on oma perusyksikkönsä. Kaikki muut suureet johdetaan perussuureista eli saadaan niistä kertomalla ja jakamalla. Nopeus on pituus jaettuna ajalla, joten nopeuden yksikkö on $\text{m/s}$. Pinta-alan yksikkö on $\text{m}^2$.
| Perussuure | Symboli | SI-yksikkö |
|---|---|---|
| pituus | $l$ | metri $\text{m}$ |
| massa | $m$ | kilogramma $\text{kg}$ |
| aika | $t$ | sekunti $\text{s}$ |
| sähkövirta | $I$ | ampeeri $\text{A}$ |
| lämpötila | $T$ | kelvin $\text{K}$ |
| ainemäärä | $n$ | mooli $\text{mol}$ |
| valovoima | $I_\text{v}$ | kandela $\text{cd}$ |
Tällä kurssilla tarvitset eniten kolmea ensimmäistä. Muut perussuureet tulevat vastaan myöhemmillä kursseilla.
Etuliitteet ja kymmenpotenssit
Metri sopii huoneen mittaamiseen. Se ei sovi atomille eikä Neptunukselle. Siksi yksikön eteen liitetään etuliite. Etuliite on kymmenpotenssin lyhenne: $1\,\text{km} = 10^{3}\,\text{m}$ ja $1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}$. Yleisimmät etuliitteet etenevät tuhannen kertoimen portain. Poikkeuksia ovat esimerkiksi senti $10^{-2}$ ja desi $10^{-1}$. Suuret ja pienet luvut kirjoitetaan kymmenpotenssimuodossa $a\cdot10^{n}$. Siinä $1 \le a < 10$ ja $n$ on kokonaisluku. Esimerkiksi Maan ja Auringon etäisyys on $1{,}5\cdot10^{11}\,\text{m} = 1{,}5\cdot10^{8}\,\text{km}$.
Kun siirryt pienempään yksikköön, lukuarvo kasvaa: $4{,}2\,\text{km} = 4{,}2\cdot10^{3}\,\text{m} = 4200\,\text{m}$. Kun siirryt suurempaan yksikköön, lukuarvo pienenee. Suure pysyy samana. Vain sen kirjoitustapa muuttuu.
Jokaiselle mittakaavalle oma yksikkö
Yksikkö valitaan niin, että lukuarvo on helppo lukea. Luvussa Fysiikka tieteenä ja maailmankaikkeuden mittasuhteet näit, että aineen ja maailmankaikkeuden rakenteet ovat kymmenpotenssien portailla. Jokaiselle portaalle on sopiva yksikkö:
- Atomiydin, noin $10^{-15}\,\text{m}$: femtometri, $1\,\text{fm} = 10^{-15}\,\text{m}$.
- Atomi, noin $10^{-10}\,\text{m}$: nanometri, $1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}$.
- Punasolu, noin $10^{-5}\,\text{m}$: mikrometri, $1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$.
- Maa, noin $10^{7}\,\text{m}$: kilometri, $1\,\text{km} = 10^{3}\,\text{m}$.
- Planeettojen radat, noin $10^{12}\,\text{m}$: astronominen yksikkö, $1\,\text{AU} \approx 1{,}5\cdot10^{11}\,\text{m}$.
- Tähtien väliset matkat, noin $10^{16}\,\text{m}$ ja enemmän: valovuosi, noin $9{,}46\cdot10^{15}\,\text{m}$.
Esimerkiksi vetyatomin halkaisija on $0{,}11\,\text{nm}$ ja protonin halkaisija $1{,}7\,\text{fm}$. Yksikkö ei muuta kokoa. Se muuttaa vain kirjoitustapaa. Astronominen yksikkö ja valovuosi eivät ole SI-yksiköitä. Ne on kuitenkin määritelty metreinä, joten ne voi aina muuntaa metreiksi.
Merkitsevät numerot
Lukuarvon merkitsevät numerot kertovat, kuinka tarkasti suure tunnetaan. Laske mukaan kaikki numerot ensimmäisestä nollasta eroavasta numerosta alkaen. Myös loppunollat ovat merkitseviä. Luvussa $0{,}0250\,\text{m}$ on kolme merkitsevää numeroa ja luvussa $3{,}0\,\text{m}$ kaksi. Kymmenpotenssimuoto näyttää tarkkuuden: luvussa $3{,}00\cdot10^{8}$ on kolme merkitsevää numeroa ja luvussa $3\cdot10^{8}$ yksi. Kokonaisluvun loppunollat ovat epäselviä. Luvusta $384\,400$ ei näe, onko tarkkuus sata kilometriä vai yksi kilometri. Kirjoita siksi tarkkuus näkyviin kymmenpotenssimuodossa, esimerkiksi $3{,}844\cdot10^{5}$ (neljä merkitsevää numeroa).
Kerto- ja jakolaskun tulos annetaan niin monella merkitsevällä numerolla kuin epätarkimmassa tekijässä on. Pyöristä vasta lopuksi. Tarkoilla luvuilla, kuten muunnoskertoimella $1000$, ei ole rajoittavaa vaikutusta. Esimerkiksi $1{,}85\,\text{m}\cdot0{,}92\,\text{m} = 1{,}702\,\text{m}^2$ pyöristetään arvoon $1{,}7\,\text{m}^2$.
Yksikkömuunnokset
Kun vaihdat yksikköä, suure ei muutu. Vain sen kirjoitustapa muuttuu. Muunnos tehdään korvaamalla vanha yksikkö sen arvolla uudessa yksikössä. Koska $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$, kilometrin paikalle voi kirjoittaa $1000\,\text{m}$:
$$4{,}2\,\text{km} = 4{,}2\cdot1000\,\text{m} = 4200\,\text{m}$$
Toiseen suuntaan $1\,\text{m} = 0{,}001\,\text{km}$, joten $350\,\text{m} = 350\cdot0{,}001\,\text{km} = 0{,}35\,\text{km}$. Tarkista tulos aina päättelemällä. Pienemmässä yksikössä lukuarvo on suurempi, koska pieniä yksiköitä tarvitaan enemmän. Pinta-alan yksikkö on kahden pituuden tulo, joten $1\,\text{km}^2 = 1000\,\text{m}\cdot1000\,\text{m} = 10^{6}\,\text{m}^2$.
Tähtitieteessä kilometri on liian pieni yksikkö. Astronominen yksikkö $\text{AU}$ on Maan ja Auringon keskimääräinen etäisyys: $1\,\text{AU} = 149\,597\,870{,}7\,\text{km} \approx 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$. Myös valovuosi on pituusyksikkö eikä aikayksikkö. Se on matka, jonka valo kulkee vuodessa, noin $9{,}46\cdot10^{12}\,\text{km}$.
Etäisyyden voi ilmoittaa myös ajalla, jonka valo tarvitsee sen kulkemiseen. Valo etenee tyhjiössä tasaisella nopeudella $c$. Valon kulkema matka on siis nopeus kertaa aika, $s = ct$. Kulkuaika saadaan, kun ratkaiset tämän kaavan ajan suhteen eli kirjoitat kaavan niin, että aika on yksin yhtälön vasemmalla puolella:
$$t = \frac{s}{c}$$
Tässä $t$ on valon kulkuaika, $s$ valon kulkema matka ja $c = 299\,792\,458\,\text{m/s} \approx 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$ valon nopeus tyhjiössä. Yhden AU:n matkan valo kulkee ajassa $\tfrac{1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}}{2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}} = 499\,\text{s}$ eli $8{,}32\,\text{min}$.
Yleinen virhekäsitys
Lukuarvo ja yksikkö kuuluvat yhteen. Kun yksikkö vaihtuu, lukuarvo muuttuu päinvastaiseen suuntaan. Suurempi yksikkö tarkoittaa pienempää lukuarvoa. Suure itse pysyy samana.
Neliöyksiköt unohtuvat helposti. Yksi neliökilometri ei ole tuhat vaan miljoona neliömetriä, koska $(10^{3})^2 = 10^{6}$.
Valovuosi ei ole aikayksikkö, vaikka nimessä on vuosi. Se on pituusyksikkö, noin $9{,}46\cdot10^{12}\,\text{km}$.
Tiivistelmä
- Suureen arvo on lukuarvo kertaa yksikkö: $l = 12{,}0\,\text{cm}$. Ilman yksikköä luku ei kerro mitään.
- SI-järjestelmässä perusyksiköitä ovat esimerkiksi metri, kilogramma ja sekunti. Muut yksiköt johdetaan niistä.
- Etuliite on kymmenpotenssi: kilo $10^{3}$, mega $10^{6}$, giga $10^{9}$, milli $10^{-3}$, mikro $10^{-6}$.
- Yksikkömuunnoksessa vanhan yksikön paikalle kirjoitetaan sen arvo uudessa yksikössä, esimerkiksi $4{,}2\,\text{km} = 4{,}2\cdot1000\,\text{m}$. Neliöyksikössä muunnos tehdään kahdesti: $1\,\text{km}^2 = 10^{6}\,\text{m}^2$.
- Tulos annetaan niin monella merkitsevällä numerolla kuin epätarkimmassa tekijässä on.
- Valon kulkuaika on $t = \tfrac{s}{c}$. Yhden AU:n matkan valo kulkee noin $8{,}3\,\text{min}$:ssa.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja yksikkömuunnoksiin. Palaa sitten alun kysymykseen. Miksi sama etäisyys voidaan ilmoittaa kilometreinä, astronomisina yksikköinä ja valon kulkuaikana? Milloin mikin yksikkö on käyttökelpoinen?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Neptunuksen etäisyys Auringosta on keskimäärin $30{,}1\,\text{AU}$. Kuinka monta kilometriä se on kymmenpotenssimuodossa? Kuinka monta tuntia valolla kestää kulkea Auringosta Neptunukseen? Käytä arvoja $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$ ja $c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Etäisyys on $s = 30{,}1\,\text{AU}$, $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$ ja valon nopeus on $c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$. Kysytään etäisyyttä $s$ kilometreinä ja kulkuaikaa $t$ tunteina.
Vaihe 2/7
Periaate. Etäisyys ei muutu, kun yksikkö vaihtuu. Siksi AU:n paikalle kirjoitetaan sen arvo kilometreinä. Valo etenee tasaisella nopeudella $c$, joten annettu kaava $s = ct$ antaa kulkuajan.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$t = \frac{s}{c}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Etäisyys muunnetaan kilometreiksi kirjoittamalla $\text{AU}$:n paikalle $1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$:
Kulkuaika tulee sekunteina, koska $\text{km}$ supistuu pois. Sekunnit muunnetaan tunneiksi, koska $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} t &= \frac{s}{c} \\ &= \frac{4{,}503\cdot10^{9}\,\text{km}}{2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}} \\ &= 1{,}502\cdot10^{4}\,\text{s} \\ &= (1{,}502\cdot10^{4} : 3600)\,\text{h} = 4{,}17\,\text{h} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Etäisyys on $4{,}50\cdot10^{9}\,\text{km}$ ja valon kulkuaika on $4{,}17\,\text{h}$. Tulos on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, kuten lähtöarvo $30{,}1\,\text{AU}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Yhden AU:n matkan valo kulkee $8{,}3\,\text{min}$:ssa, joten $30$ AU vie noin
Tämä täsmää tuloksen kanssa. Etäisyys on miljardien kilometrien luokkaa, ja se sopii ulkoplaneetalle.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Montako numeroa kirjoitetaan?
Sovella uuteen tilanteeseen
Voyager 2 etääntyy Auringosta nopeudella $15{,}341\,\text{km/s}$. Kuinka monta astronomista yksikköä se etääntyy vuodessa? Käytä arvoja $1\,\text{a} = 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$ ja $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$. Vastaa yksikössä AU/a.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Nopeus kertoo matkan sekunnissa. Kuinka monta sekuntia vuodessa on? Mikä on matkan yksikkö, kun nopeus on $\text{km/s}$?
Vihje 2: mikä yhteys
Matka vuodessa on $s = vt$, missä $t = 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$. Laske sitten, montako AU:ta matkaan mahtuu, kun $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$.
Vihje 3: välivaihe
AU:ita on $4{,}842\cdot10^{8}\,\text{km} : 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus $v = 15{,}341\,\text{km/s}$, aika $t = 1\,\text{a} = 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$, $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$
Kysytty
matka vuodessa $s$ yksikössä AU/a
Periaate
Oletuksen mukaan luotain etenee vakionopeudella. Siksi annettu kaava $s = vt$ antaa matkan, jonka luotain kulkee vuodessa. Matka saadaan kilometreinä. Lopuksi se muunnetaan astronomisiksi yksiköiksi.
Kaava
$s = vt$
Muunnokset
Aika on jo sekunteina, joten $\text{s}$ supistuu pois. Lopuksi lasketaan, montako AU:ta matkaan mahtuu: $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$.
Sijoitus
AU:ita on $4{,}842\cdot10^{8}\,\text{km} : 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km} = 3{,}236$, joten $s = 3{,}236\,\text{AU}$
Vastaus
$3{,}236\,\text{AU/a}$
Tulos annetaan neljällä merkitsevällä numerolla, koska vuoden pituus $3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$ ja AU $1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$ on annettu neljällä.
Järkevyys
Vuodessa on noin $3\cdot10^{7}$ sekuntia ja nopeus on noin $15\,\text{km/s}$, joten matka on noin $4{,}5\cdot10^{8}\,\text{km}$. Se on noin kolme AU:ta. Mallin taulukossa etäisyys kasvoi neljässä vuodessa noin $13\,\text{AU}$. Se on noin $3{,}2\,\text{AU}$ vuodessa.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Kerro omin sanoin, mikä ero on suureella ja yksiköllä. Anna esimerkki ja kirjoita suureen arvo.
Vastaus
Suure on ominaisuus, jota voi mitata, esimerkiksi pituus $l$. Yksikkö on sovittu mitta, johon suuretta verrataan, esimerkiksi metri. Suureen arvo on lukuarvo kertaa yksikkö: $l = 3{,}2\,\text{m}$. Pelkkä lukuarvo 3,2 ei kerro mitään.
- Muunna $4{,}2\,\text{km}$ metreiksi ja $0{,}50\,\text{mm}$ mikrometreiksi.
Vastaus
$4{,}2\,\text{km}$$= 4{,}2\cdot10^{3}\,\text{m}$$= 4200\,\text{m}$$0{,}50\,\text{mm}$$= 0{,}50\cdot10^{-3}\,\text{m}$$= 0{,}50\cdot10^{3}\,\mu\text{m}$$= 500\,\mu\text{m}$
1. Käsite
2. Matka ja aika
3. Valon kulkuaika
Merkurius on keskimäärin $0{,}387\,\text{AU}$:n etäisyydellä Auringosta. Kuinka monta minuuttia valolla kestää kulkea Auringosta Merkuriukseen? Käytä arvoja $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$ ja $c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$. Vastaa minuutteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Muunna ensin matka kilometreiksi: kuinka monta kilometriä on $0{,}387\,\text{AU}$?
Vihje 2: mikä yhteys
Valon kulkuaika on $t = \dfrac{s}{c}$. Se tulee sekunteina, kun matka on kilometreinä ja nopeus on $\text{km/s}$.
Vihje 3: välivaihe
muuta lopuksi minuuteiksi.
Näytä ratkaisu
Annettu
etäisyys $a = 0{,}387\,\text{AU}$, $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$, $c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$
Kysytty
valon kulkuaika $t$ minuutteina
Periaate
Valo etenee tasaisella nopeudella $c$, joten annettu kaava $s = ct$ antaa kulkuajan $t = s : c$. Muunna ensin matka AU:sta kilometreiksi. Silloin se sopii nopeuden yksikköön.
Kaava
$s = a\cdot1\,\text{AU}$ ja $t = \dfrac{s}{c}$, josta $t = \dfrac{a\cdot1\,\text{AU}}{c}$
Muunnokset
Lopuksi sekunnit minuuteiksi: $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.
Sijoitus
Minuutteja on $193{,}1\,\text{s} : 60\,\text{s} = 3{,}219$, joten $t = 3{,}219\,\text{min}$
Vastaus
$3{,}22\,\text{min}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $0{,}387\,\text{AU}$.
Järkevyys
Yhden AU:n matkan valo kulkee noin $8{,}3\,\text{min}$:ssa. Merkurius on noin 0,4 AU:n päässä. Siksi aika on noin $0{,}4\cdot8{,}3\,\text{min} = 3{,}3\,\text{min}$. Tulos on samaa suuruusluokkaa.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 4. Selitä ja siirrä
Selitä omin sanoin, miksi tähtitieteessä etäisyydet ilmoitetaan kilometrien sijaan astronomisina yksikköinä tai valon kulkuaikana. Mitä tarvitaan, jotta voi siirtyä yksiköstä toiseen?
Mallivastaus
Kilometreinä tähtitieteelliset etäisyydet olisivat valtavia lukuja. Neptunus on noin $4{,}5\cdot10^{9}\,\text{km}$ ja Voyager 2 yli $2\cdot10^{10}\,\text{km}$. Astronominen yksikkö $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$ on Maan ja Auringon etäisyys. Neptunus on $30{,}1\,\text{AU}$ päässä, ja luvun suuruutta voi verrata Maahan. Valon kulkuaika kertoo, kuinka kauan viesti on matkalla. Voyager 2:lle se on noin 20 tuntia. Yksiköstä toiseen siirrytään kirjoittamalla yksikön paikalle sen arvo, esimerkiksi $30{,}1\,\text{AU} = 30{,}1\cdot1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$. Valon kulkuaikaan siirrytään jakamalla matka valon nopeudella, $t = s : c$. Suure pysyy samana. Vain lukuarvo muuttuu.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- SI-järjestelmä
- Kansainvälisesti sovittu mittayksikkökokonaisuus, jonka seitsemästä perusyksiköstä muut yksiköt muodostetaan.
- Perussuure
- Yksi seitsemästä perustaksi valitusta mitattavasta ominaisuudesta, kuten pituus, massa tai aika.
- Perusyksikkö
- Perustaksi valitulle suureelle sovittu yksikkö, kuten metri, kilogramma tai sekunti.
- Johdannaisyksikkö
- Perusyksiköistä muodostettu yhdistelmä, kuten nopeuden m/s tai voiman N.
- Kerrannaisyksikkö
- Etuliitteen avulla muodostettu käytännöllinen yksikkö hyvin suurille tai pienille arvoille.
- Etuliite
- Yksikön edessä oleva merkintä kertoo kymmenpotenssikertoimen, kuten kilo $10^{3}$ tai milli $10^{-3}$.
- Kymmenpotenssi
- Muoto $10^{n}$ helpottaa erittäin suurten ja pienten lukujen kirjoittamista ja vertailua.
- Suuruusluokka
- Kohteen kokoa kuvataan sopivan kymmenen potenssin avulla.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 2-1Ydintehtävä
Ihmisen hiuksen paksuus on $82\,\mu\text{m}$. Ilmoita paksuus millimetreinä.
Vastaus
$0{,}082\,\text{mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
hiuksen paksuus $l = 82\,\mu\text{m}$
Kysytty
paksuus $l$ millimetreinä
Periaate
Suure ei muutu, kun yksikkö vaihtuu. Vain lukuarvo muuttuu. Etuliite mikro tarkoittaa kerrointa $10^{-6}$ ja etuliite milli kerrointa $10^{-3}$, joten $1\,\mu\text{m} = 10^{-3}\,\text{mm}$.
Kaava
$1\,\mu\text{m} = 10^{-3}\,\text{mm}$
Muunnokset
Mikrometrin paikalle kirjoitetaan sen arvo millimetreinä, $10^{-3}\,\text{mm}$.
Sijoitus
$l$$= 82\,\mu\text{m}$$= 82\cdot 10^{-3}\,\text{mm}$$= 0{,}082\,\text{mm}$Vastaus
$0{,}082\,\text{mm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvossa $82\,\mu\text{m}$ (johtava nolla ei ole merkitsevä).
Järkevyys
Millimetri on tuhat kertaa suurempi yksikkö kuin mikrometri. Siksi lukuarvon on pienennyttävä tuhannesosaan: 82:sta 0,082:een. Hius on hieman alle kymmenesosamillimetrin paksuinen, ja se sopii kokemukseen.
- Tehtävä 2-2Ydintehtävä
Kuun etäisyys Maasta on keskimäärin $384\,400\,\text{km}$. Ilmoita etäisyys megametreinä, kun $1\,\text{Mm} = 10^{6}\,\text{m}$.
Vastaus
$384{,}4\,\text{Mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Maan ja Kuun etäisyys $s = 384\,400\,\text{km}$; $1\,\text{Mm} = 10^{6}\,\text{m}$
Kysytty
etäisyys $s$ megametreinä
Periaate
Etäisyys on sama, vaikka yksikkö vaihtuu. Etuliite mega on $10^{6}$ ja etuliite kilo $10^{3}$, joten $1\,\text{Mm} = 10^{3}\,\text{km}$.
Kaava
$1\,\text{km} = 10^{-3}\,\text{Mm}$
Muunnokset
Megametri on tuhat kilometriä, joten kilometri on tuhannesosa megametristä. Kilometrin paikalle kirjoitetaan $10^{-3}\,\text{Mm}$.
Sijoitus
$s$$= 384\,400\,\text{km}$$= 384\,400\cdot 10^{-3}\,\text{Mm}$$= 384{,}4\,\text{Mm}$Vastaus
$384{,}4\,\text{Mm}$
Neljä merkitsevää numeroa. Kokonaisluvun $384\,400$ loppunollat ovat epäselviä. Siksi luku tulkitaan sadan kilometrin tarkkuudella, $3{,}844\cdot10^{5}\,\text{km}$, ja $1\,\text{km} = 10^{-3}\,\text{Mm}$ on tarkka.
Järkevyys
Megametri on tuhat kilometriä, ja 384 400 on noin 400 tuhatta, joten tulos on noin 400 Mm. Etäisyyden kymmenpotenssi on $10^{8}\,\text{m} = 100\,\text{Mm}$ ja $10^{9}\,\text{m} = 1000\,\text{Mm}$ välissä, kuten pitääkin.
- Tehtävä 2-3
Pöydän pituus on $1{,}85\,\text{m}$ ja leveys $0{,}92\,\text{m}$. Laske pöydän pinta-ala niin monella merkitsevällä numerolla kuin mittaustulokset oikeuttavat.
Vastaus
$1{,}7\,\text{m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
pituus $l = 1{,}85\,\text{m}$ (kolme merkitsevää numeroa), leveys $w = 0{,}92\,\text{m}$ (kaksi merkitsevää numeroa)
Kysytty
pinta-ala $A$ neliömetreinä
Periaate
Suorakulmion ala on sivujen tulo. Tulon merkitsevien numeroiden määrä on sama kuin epätarkimmalla tekijällä. Tulosta ei voi ilmoittaa tarkemmin kuin se mittaustulos, jonka tarkkuus on pienin.
Kaava
$A = l\,w$
Muunnokset
Ei tarvita: kumpikin sivu on jo metreinä, joten ala tulee yksikössä $\text{m}\cdot\text{m} = \text{m}^2$.
Sijoitus
$A$$= 1{,}85\,\text{m}\cdot 0{,}92\,\text{m}$$= 1{,}702\,\text{m}^2$Vastaus
$1{,}7\,\text{m}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska leveys $0{,}92\,\text{m}$ on epätarkin tieto.
Järkevyys
Pyöristetyillä luvuilla $2\,\text{m}\cdot 1\,\text{m} = 2\,\text{m}^2$, ja tulos 1,7 on hieman pienempi, koska kumpikin sivu pyöristettiin ylöspäin. Neliömetri on pinta-alan yksikkö, kuten pitää.
- Tehtävä 2-4
Kuvassa alumiinitanko on viivaimen vieressä. Kuinka pitkä tanko on? Ilmoita pituus millimetreinä.
Vastaus
$116\,\text{mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuva, jossa alumiinitanko on viivaimen vieressä ja tangon päät ovat viivaimen asteikon kohdalla
Kysytty
tangon pituus $l$ millimetreinä
Periaate
Tanko ei ala viivaimen nollakohdasta. Siksi pituus ei ole oikean pään lukema. Pituus on päiden lukemien erotus. Suure ei muutu, kun yksikkö vaihdetaan. Senttimetrin paikalle kirjoitetaan sen arvo millimetreinä.
Kuvaajan lukeminen
Vasen pää on kohdassa $x_1 = 2{,}0\,\text{cm}$ (kaksi pitkää viivaa nollasta). Oikea pää on kohdassa $x_2 = 13{,}6\,\text{cm}$ (kolmetoista pitkää viivaa ja kuusi millimetriviivaa sen jälkeen). Lukema on tarkka millimetrin viivoista.
Kaava
$l = x_2 - x_1$
Muunnokset
Yksi senttimetri on kymmenen millimetriä, joten senttimetrin paikalle kirjoitetaan $10\,\text{mm}$.
Sijoitus
$l$$= 13{,}6\,\text{cm} - 2{,}0\,\text{cm}$$= 11{,}6\,\text{cm}$$= 11{,}6\cdot10\,\text{mm}$$= 116\,\text{mm}$Vastaus
$116\,\text{mm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lukemat, jotka on luettu millimetrin tarkkuudella.
Järkevyys
Millimetri on pienempi yksikkö kuin senttimetri, joten lukuarvon on kasvettava kymmenkertaiseksi: 11,6:sta 116:een. Tanko on noin kymmenen senttimetriä pitkä, kuten kuvasta näkee.
- Tehtävä 2-5
Kuun halkaisija on $3474\,\text{km}$, ja se piirretään kuvaan yhden kuvapisteen levyiseksi. Aurinkoa vastaava ympyrä piirretään samassa mittakaavassa. Auringon halkaisija on $1{,}392\cdot10^{6}\,\text{km}$. Kuinka monta kuvapistettä leveä Aurinko on?
Vastaus
$400{,}7\,\text{px}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Kuun halkaisija $D_\text{Kuu} = 3474\,\text{km}$ vastaa yhtä kuvapistettä; Auringon halkaisija $D_\text{Aurinko} = 1{,}392\cdot10^{6}\,\text{km}$
Kysytty
Auringon leveys kuvapisteinä $N$
Periaate
Kuva on mittakaavassa, joten kaikki pituudet pienenevät samassa suhteessa. Kuvapisteiden määrä on pituuden ja Kuun halkaisijan suhde.
Kaava
$N$$= \dfrac{D_\text{Aurinko}}{D_\text{Kuu}}\cdot 1\,\text{px}$Muunnokset
Ei tarvita: molemmat halkaisijat ovat kilometreinä ja yksiköt supistuvat.
Sijoitus
$N$$= \dfrac{1{,}392\cdot10^{6}\,\text{km}}{3474\,\text{km}}\cdot 1\,\text{px}$$= 400{,}69\,\text{px}$Vastaus
$400{,}7\,\text{px}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa $1{,}392\cdot10^{6}\,\text{km}$ ja $3474\,\text{km}$.
Järkevyys
Karkeasti
$\dfrac{1{,}4\cdot10^{6}}{3{,}5\cdot10^{3}}$$= 0{,}4\cdot10^{3}$$= 400$Aurinko on halkaisijaltaan noin 400 Kuuta, mikä sopii siihen, että se on paljon Kuuta suurempi.
- Tehtävä 2-6
Mikä seuraavista yksiköistä on SI-järjestelmän perusyksikkö?
Vastaus
Kilogramma ($\text{kg}$), jolla mitataan massaa.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mikä annetuista yksiköistä on SI-järjestelmän perusyksikkö.
Periaate
SI-järjestelmässä on seitsemän perusyksikköä: metri, kilogramma, sekunti, ampeeri, kelvin, mooli ja kandela. Perusyksiköt on sovittu SI-järjestelmässä. Muut yksiköt johdetaan niistä tuloina ja osamäärinä, esimerkiksi $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$. Etuliite ei tee uutta yksikköä. Se muodostaa perusyksiköstä osan tai monikerran.
Mallivastaus
Kilogramma on massan SI-perusyksikkö. Newton on voiman yksikkö. Se johdetaan perusyksiköistä tulona ja osamääränä, $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$, joten se on johdettu yksikkö. Gramma on tuhannesosa kilogrammasta, $1\,\text{g} = 10^{-3}\,\text{kg}$. Se on siis kilogramman etuliitteellä muodostettu osa eikä johdettu yksikkö. Litra ei kuulu SI-yksiköihin. Tilavuuden SI-yksikkö $\text{m}^3$ johdetaan metristä: $\text{m}\cdot\text{m}\cdot\text{m}$.
- Tehtävä 2-7
Pyöräilijän nopeus on $18\,\text{km/h}$. Ilmoita nopeus yksikössä $\text{m/s}$.
Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus $v = 18\,\text{km/h}$
Kysytty
nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Suure ei muutu, kun yksikkö vaihdetaan. Vain lukuarvo muuttuu. Nopeuden yksikkö on pituus jaettuna ajalla. Siksi sekä kilometri että tunti korvataan arvollaan SI-yksiköissä.
Kaava
nopeus on matka jaettuna ajalla, $v = \dfrac{s}{t}$, joten yksikkö on pituusyksikkö jaettuna aikayksiköllä
Muunnokset
Kilometrin paikalle kirjoitetaan $1000\,\text{m}$ ja tunnin paikalle $3600\,\text{s}$, koska $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ ja $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.
Sijoitus
$v$$= 18\,\text{km/h}$$= 18\cdot\dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 5{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvossa $18\,\text{km/h}$.
Järkevyys
Sekunti on tuntia paljon lyhyempi aika, ja kilometri on metriä paljon pidempi matka. Pyöräilijä etenee tunnissa $18\,\text{km}$ eli sekunnissa muutaman metrin. Nopeus $5{,}0\,\text{m}$ sekunnissa sopii tavalliseen pyöräilyyn.
- Tehtävä 2-8
Tiheys lasketaan kaavalla $\rho = \dfrac{m}{V}$. Tässä $m$ on massa ja $V$ tilavuus. Mikä on tiheyden yksikkö, kun massa on kilogrammoina ja tilavuus kuutiometreinä?
Vastaus
$\text{kg/m}^3$, koska massa jaetaan tilavuudella
Näytä ratkaisu
Kysytty
tiheyden yksikkö, kun massa on kilogrammoina ja tilavuus kuutiometreinä.
Periaate
Kaavassa $\rho = \dfrac{m}{V}$ massa jaetaan tilavuudella. Yksiköille tehdään sama kuin suureille: suureen yksikkö saadaan sijoittamalla kaavaan suureiden yksiköt. Tilavuuden yksikkö on kolmen pituuden tulo, $\text{m}\cdot\text{m}\cdot\text{m} = \text{m}^3$.
Mallivastaus
Sijoitetaan yksiköt kaavaan: $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Tiheyden yksikkö on siis $\text{kg/m}^3$. Kilogramma on osoittajassa, koska massa on kaavan osoittajassa. Tulo $\text{kg}\cdot\text{m}^3$ ei tule jakolaskusta. Käänteinen yksikkö $\text{m}^3/\text{kg}$ kuvaisi tilavuutta massayksikköä kohti. Neliömetri on pinta-alan yksikkö. Yksikkötarkastelulla voi siis tarkistaa, onko kaava kirjoitettu oikein.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 2-9Ydintehtävä
Tietokoneen prosessorin kellotaajuus on $3{,}2\,\text{GHz}$ eli 3,2 miljardia jaksoa sekunnissa. Käytä arvoja $1\,\text{GHz} = 10^{9}\,\text{Hz}$ ja $1\,\text{Hz} = 1/\text{s}$. Kuinka monta kellojaksoa prosessori ehtii suorittaa $5{,}0\,\text{ms}$:ssa?
Vastaus
$16\,000\,000$
Näytä ratkaisu
Annettu
kellotaajuus $f = 3{,}2\,\text{GHz}$, aika $t = 5{,}0\,\text{ms}$; $1\,\text{GHz} = 10^{9}\,\text{Hz}$ ja $1\,\text{Hz} = 1/\text{s}$
Kysytty
kellojaksojen lukumäärä $N$
Periaate
Taajuus kertoo, montako jaksoa tapahtuu sekunnissa. Kun taajuus on vakio, jaksojen lukumäärä on taajuuden ja ajan tulo. Taajuus ja aika on ilmoitettava samassa aikayksikössä. Siksi kumpikin muunnetaan SI-yksiköihin.
Kaava
$N = f\,t$
Muunnokset
$f$$= 3{,}2\,\text{GHz}$$= 3{,}2\cdot10^{9}\,\text{Hz}$$= 3{,}2\cdot10^{9}\,\text{1/s}$$t$$= 5{,}0\,\text{ms}$$= 5{,}0\cdot10^{-3}\,\text{s}$Sijoitus
$N$$= 3{,}2\cdot10^{9}\,\dfrac{1}{\text{s}}\cdot 5{,}0\cdot10^{-3}\,\text{s}$$= 16\cdot10^{6}$$= 1{,}6\cdot10^{7}$Vastaus
$16\,000\,000$
Eli $1{,}6\cdot10^{7}$ jaksoa, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa $3{,}2\,\text{GHz}$ ja $5{,}0\,\text{ms}$.
Järkevyys
Kolme gigahertsiä on noin kolme miljardia jaksoa sekunnissa. Millisekunti on sekunnin tuhannesosa, joten yhdessä millisekunnissa jaksoja on noin kolme miljoonaa ja viidessä noin $5\cdot 3 = 15$ miljoonaa. Tulos $16$ miljoonaa täsmää arvion kanssa.
- Tehtävä 2-10Ydintehtävä
Bakteerin pituus on $2{,}0\,\mu\text{m}$. Kuinka monta tällaista bakteeria mahtuu peräkkäin $1{,}0\,\text{mm}$:n matkalle?
Vastaus
$500$
Näytä ratkaisu
Annettu
bakteerin pituus $l = 2{,}0\,\mu\text{m}$, matka $L = 1{,}0\,\text{mm}$
Kysytty
bakteerien lukumäärä $N$
Periaate
Lukumäärä on matkan ja yhden bakteerin pituuden suhde. Suhde on mielekäs vain, kun molemmat pituudet ovat samassa yksikössä. Siksi toinen muunnetaan.
Kaava
$N = \dfrac{L}{l}$
Muunnokset
$L$$= 1{,}0\,\text{mm}$$= 1{,}0\cdot10^{-3}\,\text{m}$$l$$= 2{,}0\,\mu\text{m}$$= 2{,}0\cdot10^{-6}\,\text{m}$Sijoitus
$N$$= \dfrac{1{,}0\cdot10^{-3}\,\text{m}}{2{,}0\cdot10^{-6}\,\text{m}}$$= 0{,}50\cdot10^{3}$$= 5{,}0\cdot10^{2}$$= 500$Vastaus
$500$
Bakteeria, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa $1{,}0\,\text{mm}$ ja $2{,}0\,\mu\text{m}$.
Järkevyys
Millimetri on tuhat mikrometriä, joten $1\,\text{mm}$:iin mahtuisi 1000 mikrometrin mittaista kappaletta. Bakteeri on kaksi mikrometriä pitkä, joten niitä mahtuu puolet siitä, 500.
- Tehtävä 2-11
Pellon pinta-ala on $2{,}4\,\text{km}^2$. Ilmoita pinta-ala hehtaareina, kun $1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2$.
Vastaus
$240\,\text{ha}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pinta-ala $A = 2{,}4\,\text{km}^2$; $1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2$
Kysytty
pinta-ala $A$ hehtaareina
Periaate
Yksikön paikalle kirjoitetaan sen arvo toisessa yksikössä. Pinta-alan yksikkö on kahden pituuden tulo. Siksi $1\,\text{km}^2 = 1000\,\text{m}\cdot1000\,\text{m} = 10^{6}\,\text{m}^2$, ei $1000\,\text{m}^2$. Sen jälkeen lasketaan, montako hehtaaria tähän neliömetrimäärään mahtuu.
Kaava
$1\,\text{km}^2 = 10^{6}\,\text{m}^2$ ja $1\,\text{ha} = 10^{4}\,\text{m}^2$, joten
$1\,\text{km}^2$$= 10^{6} : 10^{4}\,\text{ha}$$= 100\,\text{ha}$Muunnokset
Neliökilometrin paikalle kirjoitetaan $100\,\text{ha}$.
Sijoitus
$A$$= 2{,}4\,\text{km}^2$$= 2{,}4\cdot100\,\text{ha}$$= 240\,\text{ha}$Vastaus
$240\,\text{ha}$
Kirjoitettuna $2{,}4\cdot10^{2}\,\text{ha}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvossa $2{,}4\,\text{km}^2$.
Järkevyys
Neliökilometri on 100 hehtaaria, koska $10^{6} : 10^{4} = 10^{2}$. Siksi 2,4 neliökilometriä on 2,4 kertaa sata eli 240 hehtaaria.
- Tehtävä 2-12
Voyager 2:n nopeus on $15{,}341\,\text{km/s}$. Oleta nopeus vakioksi. Kuinka monta miljoonaa kilometriä luotain kulkee vuorokaudessa?
Vastaus
$1{,}3255$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus $v = 15{,}341\,\text{km/s}$ (vakio), aika $t = 1\,\text{vrk}$
Kysytty
matka $s$ miljoonina kilometreinä ($10^{6}\,\text{km}$)
Periaate
Oletuksen mukaan luotain etenee tasaisella nopeudella, joten matka on nopeuden ja ajan tulo. Aika on ilmoitettava sekunteina, jotta se sopii nopeuden yksikköön.
Kaava
$s = vt$
Muunnokset
$1\,\text{vrk}$$= 24\cdot 3600\,\text{s}$$= 86\,400\,\text{s}$Lopuksi $1\,\text{milj. km} = 10^{6}\,\text{km}$.
Sijoitus
$s$$= 15{,}341\,\dfrac{\text{km}}{\text{s}}\cdot 86\,400\,\text{s}$$= 1\,325\,462\,\text{km}$$= 1{,}3255\cdot10^{6}\,\text{km}$Vastaus
$1{,}3255$
Milj. km, viisi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $15{,}341\,\text{km/s}$; vuorokauden pituus on tarkka.
Järkevyys
Pyöristetyillä luvuilla $15\,\text{km/s}\cdot 9\cdot10^{4}\,\text{s} = 1{,}35\cdot10^{6}\,\text{km}$. Vuorokaudessa luotain kulkee reilun miljoonan kilometrin. Se on noin kolme kertaa Maan ja Kuun etäisyys.
- Tehtävä 2-13
Taulukossa on neljän kulkuneuvon nopeus ilmoitettuna eri yksiköissä. Käytä arvoa $1\,\text{solmu} = 1{,}852\,\text{km/h}$. Mikä kulkuneuvo on nopein? Ilmoita sen nopeus yksikössä $\text{m/s}$.
Kulkuneuvojen nopeuksia Kulkuneuvo $v$ $\text{Yksikkö}$ Pikalaiva 38,0 $\text{solmua}$ Juna 66,0 $\text{km/h}$ Pyöräilijä 9,0 $\text{m/s}$ Kalastusvene 12,0 $\text{solmua}$ Vastaus
$19{,}5\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta nopeudet: pikalaiva $38{,}0$ solmua, juna $66{,}0\,\text{km/h}$, pyöräilijä $9{,}0\,\text{m/s}$ ja kalastusvene $12{,}0$ solmua; $1\,\text{solmu} = 1{,}852\,\text{km/h}$
Kysytty
nopein kulkuneuvo ja sen nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Lukuarvoja voi verrata vasta, kun ne on ilmoitettu samassa yksikössä. Siksi kaikki nopeudet muunnetaan yksikköön $\text{m/s}$, ja suurin valitaan. Taulukon suurin lukuarvo $66{,}0$ ei kerro mitään, koska se on eri yksikössä kuin muut.
Kaava
$1\,\text{solmu}$$= 1{,}852\,\text{km/h}$$1\,\text{km/h}$$= \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$joten
$v$$= n\cdot 1{,}852\cdot\dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$kun solmuja on $n$
Muunnokset
Pikalaiva $38{,}0\cdot1{,}852\,\text{km/h} = 70{,}38\,\text{km/h}$, kalastusvene $12{,}0\cdot1{,}852\,\text{km/h} = 22{,}22\,\text{km/h}$. Pyöräilijä on jo yksikössä $\text{m/s}$.
Sijoitus
pikalaiva
$70{,}38\,\text{km/h}$$= 70{,}38\cdot\dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 19{,}55\,\text{m/s}$juna
$66{,}0\cdot\dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 18{,}33\,\text{m/s}$kalastusvene
$22{,}22\cdot\dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 6{,}17\,\text{m/s}$pyöräilijä $9{,}0\,\text{m/s}$. Nopeusjärjestys on pikalaiva, juna, pyöräilijä, kalastusvene.
Vastaus
nopein on pikalaiva, $19{,}5\,\text{m/s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtöarvossa $38{,}0$ solmua. Muunnoskerroin $1{,}852$ on tarkka.
Järkevyys
Pikalaiva kulkee tunnissa $70\,\text{km}$ ja juna $66\,\text{km}$, joten laiva on vähän nopeampi. Pyöräilijän $9{,}0\,\text{m/s}$ on noin $32\,\text{km/h}$, mikä on alle kummankin.
- Tehtävä 2-14
Oppilas punnitsi viisi saman lajikkeen omenaa ja kirjasi tulokset taulukkoon. Etsi taulukosta virhe ja korjaa se. Laske sen jälkeen omenan keskimassa kilogrammoina.
Omenoiden massa Omena $m\,(\text{kg})$ A 152,4 B 147,9 C 160,8 D 155,3 E 158,1 Vastaus
$0{,}1549\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta viiden omenan massat $152{,}4$, $147{,}9$, $160{,}8$, $155{,}3$ ja $158{,}1$; sarakkeen otsikossa yksikkö $\text{kg}$
Kysytty
virhe taulukossa ja omenan keskimassa $m_{\text{ka}}$ kilogrammoina
Periaate
Mittaustulosta arvioidaan aina järkevyydellä. Omena ei painaisi $150\,\text{kg}$, joten otsikon yksikkö on väärin. Lukuarvot on mitattu grammoina. Keskiarvo on massojen summa jaettuna lukumäärällä, ja yksikkö korjataan sijoittamalla.
Kaava
$m_{\text{ka}}$$= \dfrac{m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5}{5}$Muunnokset
Oikea otsikko on $m\,(\text{g})$. Gramman paikalle kirjoitetaan sen arvo kilogrammoina, $1\,\text{g} = 10^{-3}\,\text{kg}$.
Sijoitus
Massojen summa on
$152{,}4\,\text{g} + 147{,}9\,\text{g} + 160{,}8\,\text{g} + 155{,}3\,\text{g} + 158{,}1\,\text{g}$$= 774{,}5\,\text{g}$joten
$m_{\text{ka}}$$= \dfrac{774{,}5\,\text{g}}{5}$$= 154{,}9\,\text{g}$$= 154{,}9\cdot10^{-3}\,\text{kg}$$= 0{,}1549\,\text{kg}$Vastaus
$0{,}1549\,\text{kg}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten punnituksissa, jotka on annettu kymmenesosagrammaan. Omenoiden lukumäärä on tarkka luku.
Järkevyys
Omena painaa noin $150\,\text{g}$ eli noin $0{,}15\,\text{kg}$, ja arvot ovat lähellä toisiaan. Keskiarvo $154{,}9\,\text{g}$ on lukujen $147{,}9$ ja $160{,}8$ välissä, kuten keskiarvon pitää.
- Tehtävä 2-15
Vesihana täyttää ämpäriä tasaisella virtaamalla $q = 0{,}20\,\textsf{l}/\text{s}$. Oppilas laskee, kauanko $12\,\textsf{l}$:n ämpärin täyttäminen kestää.
Oppilaan ratkaisu on: ”Aika on virtaaman ja tilavuuden tulo, $t = qV = 0{,}20\,\textsf{l}/\text{s}\cdot12\,\textsf{l} = 2{,}4$.” Hän päättelee, että ämpäri täyttyy $2{,}4$ sekunnissa.
Tarkista oppilaan laskun yksiköt. Selitä, mistä yksikkötarkastelu paljastaa virheen. Laske sitten oikea aika minuutteina.
Vastaus
$1{,}0\,\text{min}$
Näytä ratkaisu
Annettu
virtaama $q = 0{,}20\,\textsf{l}/\text{s}$ ja ämpärin tilavuus $V = 12\,\textsf{l}$; oppilaan tulos $t = qV = 2{,}4$ sekuntia
Kysytty
oppilaan virhe ja oikea täyttöaika $t$ minuutteina
Periaate
Kun lasketaan aikaa, tuloksen yksikön on oltava aikayksikkö. Virtaama kertoo, montako litraa tulee sekunnissa. Kaavan on siksi oltava $V = qt$.
Kaava
$V = qt$, josta $t = \dfrac{V}{q}$
Muunnokset
Yksikkö tarkistetaan sijoittamalla. Oppilaan kaavassa $\textsf{l}/\text{s}\cdot\textsf{l} = \textsf{l}^2/\text{s}$, mikä ei ole aikayksikkö, joten kaava on väärä. Sekunnit muunnetaan lopuksi minuuteiksi: $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{12\,\textsf{l}}{0{,}20\,\textsf{l}/\text{s}}$$= 60\,\text{s}$$= \dfrac{60}{60}\,\text{min}$$= 1{,}0\,\text{min}$Vastaus
$1{,}0\,\text{min}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten virtaamassa $0{,}20\,\textsf{l}/\text{s}$ ja tilavuudessa $12\,\textsf{l}$. Oppilaan $2{,}4$ ei ole sekunteja vaan yksikössä $\textsf{l}^2/\text{s}$.
Järkevyys
Joka sekunti tulee viidesosa litraa, joten litra täyttyy viidessä sekunnissa. $12\,\textsf{l}$ täyttyy kahtatoista kertaa pidemmässä ajassa, $60\,\text{s}$. Täyttöaika on siis minuutin luokkaa, kuten ämpärin täyttämisestä tietää.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 2-16
Valovuosi on matka, jonka valo kulkee yhdessä vuodessa. Käytä arvoja $c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$, $1\,\text{a} = 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$ ja $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$. Kuinka monta astronomista yksikköä yksi valovuosi on?
Vastaus
$63\,250\,\text{AU}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$, $1\,\text{a} = 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$, $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$
Kysytty
yhden valovuoden pituus $L$ astronomisina yksikköinä
Periaate
Valovuosi on pituusyksikkö, ei aikayksikkö. Se on matka, jonka valo kulkee vuodessa. Valo etenee tasaisella nopeudella, joten annettu kaava $s = ct$ antaa matkan kilometreinä. Sen jälkeen matka jaetaan AU:n pituudella.
Kaava
$L = c\,t$
Muunnokset
$t$$= 1\,\text{a}$$= 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$on jo sekunteina. Astronomisina yksikköinä matka saadaan, kun lasketaan, montako AU:ta ($1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$) siihen mahtuu.
Sijoitus
$L$$= 2{,}998\cdot10^{5}\,\dfrac{\text{km}}{\text{s}}\cdot 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$$= 9{,}462\cdot10^{12}\,\text{km}$$9{,}462\cdot10^{12}\,\text{km} : 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$$= 6{,}325\cdot10^{4}$eli $L = 6{,}325\cdot10^{4}\,\text{AU}$
Vastaus
$63\,250\,\text{AU}$
Kirjoitettuna $6{,}325\cdot10^{4}\,\text{AU}$, neljä merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
Valo kulkee yhden AU:n 8,3 minuutissa, ja vuodessa on noin $525\,600$ minuuttia. Suhde $525\,600 : 8{,}3 \approx 63\,000$ vahvistaa tuloksen.
- Tehtävä 2-17
Näytön leveys on tarkalleen $1920\,\text{px}$. Kuvassa Kuun halkaisija, $3474\,\text{km}$, on yksi kuvapiste. Auringosta Neptunukseen on $30{,}07\,\text{AU}$ ja $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$.
Kuinka monta näytön leveyttä peräkkäin tarvitaan, jotta matka Auringosta Neptunukseen mahtuu kuvaan?
Vastaus
$674{,}4$
Näytä ratkaisu
Annettu
näytön leveys $W = 1920\,\text{px}$ (tarkka luku); Kuun halkaisija $D = 3474\,\text{km} = 1\,\text{px}$; matka $a = 30{,}07\,\text{AU}$; $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$
Kysytty
näyttöjen lukumäärä $N$
Periaate
Kuva on mittakaavassa, joten kilometrit muuttuvat kuvapisteiksi, kun ne jaetaan Kuun halkaisijalla. Näyttöjen lukumäärä on kuvapisteiden määrä jaettuna yhden näytön leveydellä.
Kaava
$N$$= \dfrac{a\cdot 1\,\text{AU}}{D}\cdot\dfrac{1\,\text{px}}{W}$Muunnokset
Matka kilometreinä: $30{,}07\cdot 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km} = 4{,}498\cdot10^{9}\,\text{km}$. Jokainen $3474\,\text{km}$ on yksi kuvapiste, joten kuvapisteitä on $4{,}498\cdot10^{9}\,\text{km} : 3474\,\text{km} = 1{,}295\cdot10^{6}$.
Sijoitus
$N$$= \dfrac{1{,}295\cdot10^{6}\,\text{px}}{1920\,\text{px}}$$= 674{,}4$Vastaus
$674{,}4$
Näytön leveyttä, neljä merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $30{,}07\,\text{AU}$, $1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$ ja $3474\,\text{km}$; näytön leveys $1920\,\text{px}$ on tarkka luku eikä rajoita.
Järkevyys
Neptunus on noin 1,3 miljoonan kuvapisteen päässä. Luku 1,3 miljoonaa jaettuna kahdella tuhannella on noin 650. Tulos on samaa suuruusluokkaa. Matkaa ei siis voi vierittää kuvassa yhdellä vilkaisulla.
- Tehtävä 2-18
Ohjauskeskus lähettää komennon Voyager 2:lle, kun luotain on $145\,\text{AU}$:n päässä. Komento kulkee valon nopeudella. Luotain lähettää vahvistuksen heti takaisin. Käytä arvoja $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$ ja $c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$.
Kuinka monta tuntia kuluu komennon lähettämisestä vahvistuksen saapumiseen?
Vastaus
$40{,}2\,\text{h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
etäisyys $d = 145\,\text{AU}$, $1\,\text{AU} = 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$, $c = 2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}$; komento menee perille ja vahvistus palaa heti
Kysytty
koko edestakaisen matkan aika $t$ tunteina
Periaate
Valo etenee tasaisella nopeudella $c$, joten annettu kaava $s = ct$ antaa ajan. Komento ja vahvistus kulkevat kumpikin matkan $d$. Koko matka on siis $2d$ eikä pelkkä $d$.
Kaava
$t = \dfrac{2d}{c}$
Muunnokset
$d$$= 145\cdot 1{,}496\cdot10^{8}\,\text{km}$$= 2{,}169\cdot10^{10}\,\text{km}$Lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{2\cdot 2{,}169\cdot10^{10}\,\text{km}}{2{,}998\cdot10^{5}\,\text{km/s}}$$= 1{,}447\cdot10^{5}\,\text{s}$Tunteja on $1{,}447\cdot10^{5}\,\text{s} : 3600\,\text{s} = 40{,}2$, joten $t = 40{,}2\,\text{h}$
Vastaus
$40{,}2\,\text{h}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $145\,\text{AU}$.
Järkevyys
Yhteen suuntaan valolla kestää noin
$145\cdot 8{,}3\,\text{min}$$= 1200\,\text{min}$$= 20\,\text{h}$Edestakaisin aikaa kuluu siis noin 40 tuntia. Vastaus saapuu yli vuorokauden kuluttua.
- Tehtävä 2-19
Heilurin jaksonaika $T$ on aika yhteen täyteen heilahdukseen. Se voi riippua vain heilurin pituudesta $L$, putoamiskiihtyvyydestä $g$ ja heilurin massasta $m$.
Oletetaan, että $T = k\,L^{a}g^{b}m^{c}$, missä $k$ on yksikötön luku. Päättele yksiköiden avulla eksponentit $a$, $b$ ja $c$.
Pituudella $0{,}250\,\text{m}$ jaksonaika mitattiin $1{,}00\,\text{s}$. Kuinka pitkä jaksonaika on samassa paikassa, kun pituus on $1{,}00\,\text{m}$?
Vastaus
$T_2 = 2{,}00\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$T = k\,L^{a}g^{b}m^{c}$, jossa $k$ on yksikötön; $L_1 = 0{,}250\,\text{m}$, $T_1 = 1{,}00\,\text{s}$, $L_2 = 1{,}00\,\text{m}$
Kysytty
eksponentit $a$, $b$ ja $c$ sekä jaksonaika $T_2$ sekunteina
Periaate
Yhtälön kummallakin puolella on oltava sama yksikkö. Yksiköistä saadaan siis ehdot eksponenteille. Sen jälkeen kaavan muoto on tiedossa. Yksikötön kerroin $k$ jää samaksi, kun heilurin pituus vaihtuu samassa paikassa. Kerroin $k$ on heilahdusilmiön oma vakio, eikä se riipu pituudesta tai paikasta. Yksikkötarkastelu ei kuitenkaan anna lukua $k$. Se kertoo vain, miten $T$ riippuu suureista, ei kertoimen suuruutta.
Kaava
Yksiköt:
$\text{s}$$= \text{m}^{a}\cdot\left(\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)^{b}\cdot\text{kg}^{c}$$= \text{m}^{a+b}\,\text{s}^{-2b}\,\text{kg}^{c}$Kilogramma esiintyy vain massassa, joten $c = 0$. Sekunnit antavat $-2b = 1$, eli $b = -\tfrac{1}{2}$, ja metrit $a + b = 0$, eli $a = \tfrac{1}{2}$. Siis $T = k\sqrt{\dfrac{L}{g}}$. Koska $k$ ja $g$ pysyvät samoina, $T_2 = T_1\sqrt{\dfrac{L_2}{L_1}}$.
Muunnokset
Ei tarvita. Pituudet ovat metreinä ja aika sekunteina.
Sijoitus
$T_2$$= 1{,}00\,\text{s}\cdot\sqrt{\dfrac{1{,}00\,\text{m}}{0{,}250\,\text{m}}}$$= 1{,}00\,\text{s}\cdot\sqrt{4{,}00}$$= 2{,}00\,\text{s}$Vastaus
$a = \tfrac{1}{2}$
$b = -\tfrac{1}{2}$ ja $c = 0$; $T_2 = 2{,}00\,\text{s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten mittauksessa. Massa ei vaikuta jaksonaikaan. Yksiköt eivät anna kerrointa. Pienillä heilahduksilla pätee $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$, jossa $2\pi$ on yksikötön luku, jota yksikkötarkastelu ei voi antaa. Tässä tehtävässä sitä ei tarvita, koska $k$ supistuu suhteesta $T_2/T_1$.
Järkevyys
Heilurin pituus on nelinkertainen ja jaksonaika kaksinkertainen, koska $\sqrt{4} = 2$. Metrin heilurin jakso on noin kaksi sekuntia, mikä sopii seinäkellon heiluriin.
- Tehtävä 2-20
Valmistaja ilmoittaa kahden kannettavan virtalähteen tiedot eri yksiköissä. Molemmat on ladattu täyteen. Kumpikin syöttää laitetta, jonka teho on taulukon käyttöteho.
Toiminta-aika on $t = \dfrac{E}{P}$, ja teholle pätee $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$. Energian yksiköille pätee $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$.
Ystäväsi väittää, että laite B kestää kauemmin, koska sen energian lukuarvo $2{,}20$ on suurempi kuin laitteen A lukuarvo $0{,}65$.
Kuinka monta tuntia kauemmin pidempään toimiva laite toimii? Perustele. Onko väite oikein?
Valmistajan ilmoittamat tiedot Laite $E$ Yksikkö $P$ Yksikkö A 0,65 $\text{kWh}$ 85,0 $\text{W}$ B 2,20 $\text{MJ}$ 0,100 $\text{kW}$ Vastaus
$1{,}5\,\text{h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta laite A: $E_\text{A} = 0{,}65\,\text{kWh}$, $P_\text{A} = 85{,}0\,\text{W}$; laite B: $E_\text{B} = 2{,}20\,\text{MJ}$, $P_\text{B} = 0{,}100\,\text{kW}$; $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$
Kysytty
kumpi laite toimii kauemmin ja kuinka monta tuntia kauemmin
Periaate
Lukuarvoja $0{,}65$ ja $2{,}20$ ei voi verrata, koska yksiköt $\text{kWh}$ ja $\text{MJ}$ ovat eri suuria. Laite toimii ajan $t = \tfrac{E}{P}$, kunnes varastoitu energia on kulunut. Energia ja teho muunnetaan siksi yksiköihin J ja W.
Kaava
$t = \dfrac{E}{P}$
Muunnokset
Kilowattitunnin paikalle kirjoitetaan $1000\,\text{W}\cdot3600\,\text{s}$, eli $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$.
$E_\text{A}$$= 0{,}65\cdot1000\,\text{W}\cdot3600\,\text{s}$$= 2{,}34\cdot10^{6}\,\text{J}$$E_\text{B}$$= 2{,}20\cdot10^{6}\,\text{J}$$P_\text{B}$$= 0{,}100\cdot1000\,\text{W}$$= 100\,\text{W}$Sekunnit muunnetaan tunneiksi, $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.
Sijoitus
$t_\text{A}$$= \dfrac{2{,}34\cdot10^{6}\,\text{J}}{85{,}0\,\text{W}}$$= 2{,}753\cdot10^{4}\,\text{s}$$= 7{,}647\,\text{h}$$t_\text{B}$$= \dfrac{2{,}20\cdot10^{6}\,\text{J}}{100\,\text{W}}$$= 2{,}20\cdot10^{4}\,\text{s}$$= 6{,}111\,\text{h}$Erotus $7{,}647\,\text{h} - 6{,}111\,\text{h} = 1{,}54\,\text{h}$
Vastaus
laite A toimii kauemmin, noin $1{,}5\,\text{h}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten energiassa $0{,}65\,\text{kWh}$. Laitteen B energia on vain $0{,}61\,\text{kWh}$, ja sen teho on suurempi. Väite ei siis ole oikein.
Järkevyys
Laitteen A energia $650\,\text{Wh}$ jaettuna tehon $85\,\text{W}$ arviolla $90\,\text{W}$ antaa noin $7\,\text{h}$. Laitteen B energia on $2{,}2:3{,}6 = 0{,}61\,\text{kWh}$, ja $610\,\text{Wh} : 100\,\text{W}$ on noin $6\,\text{h}$.
Valokuvat
- NIST-4 Kibble balance. Jennifer Lauren Lee / NIST. lähde, public domain (PD-USGov-NIST)
