Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-1Ydintehtävä

   Pallo vierii rinnettä alas. Oppilas mittaa sen kulkuajaksi käsikellolla $4{,}0\,\text{s}$. Ajanoton epävarmuus on $\Delta t = 0{,}2\,\text{s}$. Kuinka suuri on ajan suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina?

   %Tarkista
   Vastaus

   $5\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mitattu aika $t = 4{,}0\,\text{s}$, ajanoton epävarmuus $\Delta t = 0{,}2\,\text{s}$

   Kysytty

   ajan suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina

   Periaate

   Suhteellinen epävarmuus kertoo, kuinka suuri osa mittaustuloksesta on epävarmuutta. Se lasketaan jakamalla epävarmuus mitatulla arvolla.

   Kaava

   $\varepsilon = \dfrac{\Delta t}{t}$

   Muunnokset

   Sekä $\Delta t$ että $t$ ovat sekunteina, joten yksiköt supistuvat. Osamäärä kerrotaan sadalla prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\varepsilon$$= \dfrac{0{,}2\,\text{s}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}050$

   $= 5{,}0\,\%$

   Vastaus

   $5\,\%$

   Yksi merkitsevä numero kuten epävarmuudessa $0{,}2\,\text{s}$ (laskimen arvo $5{,}0\,\%$).

   Järkevyys

   Neljä sekuntia on 20 kertaa epävarmuus $0{,}2\,\text{s}$, joten epävarmuus on noin $\tfrac{1}{20} = 5\,\%$ mitatusta ajasta.

2. Tehtävä 8-2Ydintehtävä

   Oppilas kävelee kymmenen metrin matkan viisi kertaa. Hän mittaa ajat $12{,}3\,\text{s}$, $12{,}5\,\text{s}$, $12{,}2\,\text{s}$, $12{,}6\,\text{s}$ ja $12{,}4\,\text{s}$. Mikä on mittausten keskiarvo?

   sTarkista
   Vastaus

   $12{,}4\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viisi mittausta $12{,}3\,\text{s}$, $12{,}5\,\text{s}$, $12{,}2\,\text{s}$, $12{,}6\,\text{s}$ ja $12{,}4\,\text{s}$

   Kysytty

   mittausten keskiarvo $\bar{t}$ sekunteina

   Periaate

   Sattumanvaraiset ajanoton virheet menevät välillä yli ja välillä ali. Kun mittaus toistetaan, virheet kumoavat osin toisensa. Siksi keskiarvo on parempi arvio kuin yksi mittaus.

   Kaava

   $\bar{t}$$= \dfrac{t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5}{5}$

   Muunnokset

   Kaikki ajat ovat jo sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   aikojen summa on $62{,}0\,\text{s}$, joten

   $\bar{t}$$= \dfrac{62{,}0\,\text{s}}{5}$

   $= 12{,}4\,\text{s}$

   Vastaus

   $12{,}4\,\text{s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten mittauksissa.

   Järkevyys

   Keskiarvo on pienimmän $12{,}2\,\text{s}$ ja suurimman $12{,}6\,\text{s}$ mittauksen välissä. Näin keskiarvon pitää olla. Se on myös keskimmäisen mittauksen $12{,}4\,\text{s}$ kohdalla, koska poikkeamat ovat melko symmetriset.

3. Tehtävä 8-3

   Leluauton merkitty ajomatka on $1{,}50\,\text{m}$. Auto kulkee sen ajassa $3{,}6\,\text{s}$. Mikä on auton nopeus? Oleta nopeus vakioksi ja vastaa yksikössä m/s.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}42\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 1{,}50\,\text{m}$, aika $t = 3{,}6\,\text{s}$

   Kysytty

   auton nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Auto liikkuu vakionopeudella. Siksi matka on suoraan verrannollinen aikaan: $s = vt$. Nopeus on matkan ja ajan suhde.

   Kaava

   $s = vt$, josta $v = \dfrac{s}{t}$

   Muunnokset

   Matka on metreinä ja aika sekunteina, joten tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{1{,}50\,\text{m}}{3{,}6\,\text{s}}$

   $= 0{,}4167\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}42\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $3{,}6\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tulos sopii tavalliselle leluautolle. Se on alle kolmasosa kävelyvauhdista ($1{,}4\,\text{m/s}$). Karkea tarkistus: $0{,}4\,\text{m/s} \cdot 3{,}6\,\text{s} \approx 1{,}4\,\text{m}$. Se on lähellä 1,5 metriä.

4. Tehtävä 8-4

   Pöydän pituus mitataan viisi kertaa viivoittimella: $24{,}1\,\text{cm}$, $24{,}4\,\text{cm}$, $24{,}0\,\text{cm}$, $24{,}3\,\text{cm}$ ja $24{,}2\,\text{cm}$. Epävarmuus arvioidaan puolena mittausten vaihteluvälistä. Kuinka suuri epävarmuus on?

   cmTarkista
   Vastaus

   $0{,}2\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viisi mittausta $24{,}1\,\text{cm}$, $24{,}4\,\text{cm}$, $24{,}0\,\text{cm}$, $24{,}3\,\text{cm}$ ja $24{,}2\,\text{cm}$

   Kysytty

   epävarmuus $\Delta x$ senttimetreinä

   Periaate

   Epävarmuus arvioidaan tässä yksinkertaisesti puolena vaihteluvälistä. Se kuvaa toistomittausten hajontaa keskiarvon ympärillä. Toistot eivät paljasta systemaattista virhettä.

   Kaava

   $\Delta x$$= \dfrac{x_\text{max} - x_\text{min}}{2}$

   Muunnokset

   Kaikki pituudet ovat senttimetreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta x$$= \dfrac{24{,}4\,\text{cm} - 24{,}0\,\text{cm}}{2}$

   $= \dfrac{0{,}4\,\text{cm}}{2}$

   $= 0{,}2\,\text{cm}$

   Vastaus

   $0{,}2\,\text{cm}$

   Yksi merkitsevä numero, koska epävarmuus ilmoitetaan yhdellä numerolla.

   Järkevyys

   Epävarmuus on kaksi millimetriä. Se sopii viivoittimella tehtyyn mittaukseen, jossa pienin asteikkoväli on millimetri. Mittausten suurin poikkeama keskiarvosta $24{,}2\,\text{cm}$ on $0{,}2\,\text{cm}$.

5. Tehtävä 8-5

   Mittauspöytäkirjan rivillä matka on $2{,}00\,\text{m}$. Kolmen ajan keskiarvo on $4{,}73\,\text{s}$. Puolet vaihteluvälistä on $\Delta t = 0{,}15\,\text{s}$. Kuinka suuri on ajan suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina?

   %Tarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pöytäkirjan rivillä matka $s = 2{,}00\,\text{m}$, aikojen keskiarvo $\bar{t} = 4{,}73\,\text{s}$ ja puolet vaihteluvälistä $\Delta t = 0{,}15\,\text{s}$

   Kysytty

   ajan suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina

   Periaate

   Suhteellinen epävarmuus kertoo, kuinka suuri osa mitatusta ajasta epävarmuus on. Se lasketaan jakamalla pöytäkirjaan kirjattu epävarmuus keskiajalla. Matkaa ei tarvita.

   Kaava

   $\varepsilon$$= \dfrac{\Delta t}{\bar{t}}$

   Muunnokset

   Molemmat ajat ovat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Osamäärä kerrotaan sadalla prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\varepsilon$$= \dfrac{0{,}15\,\text{s}}{4{,}73\,\text{s}}$

   $= 0{,}0317$

   $= 3{,}2\,\%$

   Vastaus

   $3{,}2\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten epävarmuudessa $0{,}15\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: $0{,}15 : 4{,}7$ on noin $0{,}03$, eli noin $3\,\%$. Tulos täsmää pöytäkirjan taulukon arvoon $3{,}2\,\%$. Se on alle $5\,\%$, joten matka $2{,}00\,\text{m}$ riittää.

6. Tehtävä 8-6

   Oppilas tutkii, miten veden lämpötila vaikuttaa siihen, kuinka kauan sokeripala liukenee. Hän laittaa saman kokoisia sokeripaloja samaan vesimäärään. Veden lämpötila on joka kerta eri. Hän mittaa, kuinka kauan palan liukeneminen kestää.

   Mikä on tutkimuksen riippumaton (muutettava) muuttuja?

   Valitse vaihtoehto.

   • Sokeripalan liukenemisaika
   • Mittaukseen käytetty kello
   • Veden määrä ja sokeripalan koko
   • Veden lämpötila

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Veden lämpötila

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   tutkimuksen riippumaton (muutettava) muuttuja.

   Periaate

   Riippumaton muuttuja on se, jota tutkija muuttaa tarkoituksella. Riippuva muuttuja on se, jota mitataan ja jonka odotetaan muuttuvan. Vakioitavat muuttujat pidetään samoina kaikissa mittauksissa. Silloin muutoksen voi yhdistää riippumattomaan muuttujaan.

   Mallivastaus

   Riippumaton muuttuja on veden lämpötila, koska oppilas valitsee sen itse. Riippuva muuttuja on sokeripalan liukenemisaika, jonka hän mittaa. Veden määrä ja sokeripalan koko vakioidaan eli pidetään samoina. Kello on mittalaite. Se ei ole tutkimuksen muuttuja.

7. Tehtävä 8-7

   Oppilaat haluavat tutkia heiluria koulun fysiikan tunnilla yksinkertaisella kokeella. Mikä seuraavista on hyvä tutkimuskysymys?

   Valitse vaihtoehto.

   • Onko heiluri kiva?
   • Millainen heiluri on?
   • Miten heilurin langan pituus vaikuttaa heilahdusajan pituuteen?
   • Miksi heiluri ylipäätään heiluu?

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Miten heilurin langan pituus vaikuttaa heilahdusajan pituuteen?

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä esitetyistä kysymyksistä on hyvä tutkimuskysymys.

   Periaate

   Hyvä tutkimuskysymys on täsmällinen, ja siihen voi vastata mittaamalla. Siinä on yksi muutettava suure ja yksi mitattava suure. Koe pitää voida tehdä käytettävissä olevilla välineillä.

   Mallivastaus

   Hyvä kysymys on ”Miten heilurin langan pituus vaikuttaa heilahdusajan pituuteen?” Langan pituutta voi muuttaa, heilahdusajan voi mitata ja muut tekijät voi pitää samoina. Kysymykset ”Millainen heiluri on?” ja ”Miksi heiluri ylipäätään heiluu?” ovat yhdelle kokeelle liian epämääräisiä tai laajoja. Kysymys ”Onko heiluri kiva?” ei koske mitattavaa suuretta.

8. Tehtävä 8-8

   Työselostuksen kirjoittaja miettii, mihin osioon kukin lause kuuluu. Mikä seuraavista lauseista kuuluu selostuksen tulososioon eikä pohdintaan?

   Valitse vaihtoehto.

   • Jatkossa mittaus kannattaa tehdä valokennolla.
   • Tulos on todennäköisesti liian suuri, koska reaktioaika viivästytti kellon pysäytystä.
   • Viiden mittauksen keskiarvo oli $12{,}4\,\text{s}$ ja puolet vaihteluvälistä $0{,}2\,\text{s}$.
   • Hypoteesi saa tukea tuloksista.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Viiden mittauksen keskiarvo oli $12{,}4\,\text{s}$ ja puolet vaihteluvälistä $0{,}2\,\text{s}$.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä lause kuuluu tulososioon eikä pohdintaan.

   Periaate

   Tulososio kertoo, mitä mitattiin ja laskettiin: taulukot, kuvaajat, keskiarvot ja epävarmuudet. Pohdinta tulkitsee tuloksia. Siinä arvioidaan virhelähteitä ja luotettavuutta, otetaan kantaa hypoteesiin ja ehdotetaan jatkotutkimusta.

   Mallivastaus

   Tuloksiin kuuluu lause ”Viiden mittauksen keskiarvo oli $12{,}4\,\text{s}$ ja puolet vaihteluvälistä $0{,}2\,\text{s}$.” Se kertoo lasketut arvot ilman tulkintaa. Virhelähteen arviointi (reaktioaika), kanta hypoteesiin ja parannusehdotus (valokenno) ovat tulkintaa. Siksi ne kuuluvat pohdintaan.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-9Ydintehtävä

   Leluauton ajoaikaa mitataan viisi kertaa. Tulokset ovat $7{,}8\,\text{s}$, $8{,}2\,\text{s}$, $7{,}9\,\text{s}$, $8{,}1\,\text{s}$ ja $8{,}0\,\text{s}$. Epävarmuuden yksinkertainen ja varovainen arvio on puolet vaihteluvälistä. Kuinka suuri on tuloksen suhteellinen epävarmuus prosentteina?

   %Tarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viisi aikaa $7{,}8\,\text{s}$, $8{,}2\,\text{s}$, $7{,}9\,\text{s}$, $8{,}1\,\text{s}$ ja $8{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   tuloksen suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina, kun epävarmuutena on puolet vaihteluvälistä

   Periaate

   Lasketaan ensin keskiarvo ja epävarmuuden yksinkertainen arvio, joka on puolet vaihteluvälistä. Suhteellinen epävarmuus on epävarmuus jaettuna keskiarvolla. Siksi se kertoo mittauksen laadun riippumatta yksiköstä.

   Kaava

   $\bar{t}$$= \dfrac{\sum t_i}{5}$

   $\Delta t$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$

   $\varepsilon$$= \dfrac{\Delta t}{\bar{t}}$

   Muunnokset

   Kaikki ajat ovat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Osamäärä kerrotaan sadalla prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\bar{t}$$= \dfrac{40{,}0\,\text{s}}{5}$

   $= 8{,}0\,\text{s}$

   $\Delta t$$= \dfrac{8{,}2\,\text{s} - 7{,}8\,\text{s}}{2}$

   $= 0{,}2\,\text{s}$

   joten

   $\varepsilon$$= \dfrac{0{,}2\,\text{s}}{8{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}025$

   $= 2{,}5\,\%$

   Vastaus

   $2{,}5\,\%$

   (laskimen arvo). Epävarmuus $0{,}2\,\text{s}$ on karkea arvio yhdellä numerolla. Siksi raportissa riittää pyöristää suhteellinen epävarmuus yhteen merkitsevään numeroon, noin $3\,\%$. Vastauskenttä hyväksyy kummankin.

   Järkevyys

   Kahdeksan sekuntia on 40 kertaa epävarmuus $0{,}2\,\text{s}$, joten osuus on noin $\tfrac{1}{40} = 2{,}5\,\%$. Se on pienempi kuin $4{,}0\,\text{s}$:n mittauksen $5{,}0\,\%$. Näin pitkällä ajalla kuuluukin olla.

2. Tehtävä 8-10Ydintehtävä

   Auto kulkee $3{,}0\,\text{m}$:n matkan vakionopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$. Kulkuaika mitataan käsikellolla. Ajanoton epävarmuus on $0{,}20\,\text{s}$. Kuinka suuri on mitatun ajan suhteellinen epävarmuus prosentteina?

   %Tarkista
   Vastaus

   $10\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus $v = 1{,}5\,\text{m/s}$, matka $s = 3{,}0\,\text{m}$, ajanoton epävarmuus $\Delta t = 0{,}20\,\text{s}$

   Kysytty

   ajan suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina

   Periaate

   Auto liikkuu vakionopeudella. Siksi kulkuaika saadaan tasaisen liikkeen mallista $s = vt$. Sen jälkeen suhteellinen epävarmuus lasketaan jakamalla epävarmuus ajalla.

   Kaava

   $t$$= \dfrac{s}{v}$

   $\varepsilon$$= \dfrac{\Delta t}{t}$

   $= \dfrac{\Delta t\, v}{s}$

   Muunnokset

   Matka on metreinä ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$, joten aika saadaan sekunteina. Osamäärä kerrotaan sadalla prosenteiksi.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s}}$

   $= 2{,}0\,\text{s}$

   joten

   $\varepsilon$$= \dfrac{0{,}20\,\text{s}}{2{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}10$

   $= 10\,\%$

   Vastaus

   $10\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten matkassa ja nopeudessa.

   Järkevyys

   Kahden sekunnin mittauksessa reaktioajan $0{,}20\,\text{s}$ virhe on kymmenesosa kokonaisajasta. Tulos on kaksi kertaa suurempi kuin $5\,\%$, johon pitkä mittaus yltäisi. Siksi lyhyt matka on huono valinta.

3. Tehtävä 8-11

   Mittauspöytäkirjassa auton paikka on $90\,\text{cm}$, kun aikaa on kulunut $2{,}0\,\text{s}$. Kun aikaa on kulunut $8{,}0\,\text{s}$, paikka on $342\,\text{cm}$. Oleta liike tasaiseksi.

   Mikä on auton nopeus? Vastaa yksikössä m/s.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}42\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pisteet $(t_1, s_1) = (2{,}0\,\text{s}, 90\,\text{cm})$ ja $(t_2, s_2) = (8{,}0\,\text{s}, 342\,\text{cm})$

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Liike on tasaista, joten matka muuttuu ajan mukana tasaisesti. Nopeus on matkan muutoksen ja ajan muutoksen suhde. Se on sama asia kuin kulmakerroin kahden pisteen välillä.

   Kaava

   $v$$= \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

   $= \dfrac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Muutetaan matkat metreiksi: $90\,\text{cm} = 0{,}90\,\text{m}$ ja $342\,\text{cm} = 3{,}42\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{3{,}42\,\text{m} - 0{,}90\,\text{m}}{8{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{2{,}52\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}42\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}42\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska aikojen erotus $6{,}0\,\text{s}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Pisteiden välillä on kulunut $6{,}0\,\text{s}$, ja matka on kasvanut vajaat kolme metriä. Siksi nopeus on noin $\tfrac{2{,}5\,\text{m}}{6\,\text{s}} \approx 0{,}4\,\text{m/s}$. Suora leikkaa matka-akselin kohdassa

   $s_0$$= 0{,}90\,\text{m} - 0{,}42\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s}$

   $\approx 0{,}06\,\text{m}$

   Suora kulkee siis lähes origon kautta.

4. Tehtävä 8-12

   Hypoteesin mukaan auton nopeus on $0{,}50\,\text{m/s}$. Kokeessa nopeudeksi mitataan $0{,}42\,\text{m/s}$. Kuinka monta prosenttia mitattu arvo poikkeaa hypoteesin ennustamasta arvosta?

   %Tarkista
   Vastaus

   $16\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hypoteesin ennustama nopeus $v_\text{enn} = 0{,}50\,\text{m/s}$, mitattu nopeus $v_\text{mit} = 0{,}42\,\text{m/s}$

   Kysytty

   mitatun arvon poikkeama ennustetusta prosentteina

   Periaate

   Hypoteesia testataan vertaamalla mittausta sen ennusteeseen. Poikkeama suhteutetaan ennusteeseen. Näin eroa voi verrata mittauksen epävarmuuteen riippumatta yksiköstä.

   Kaava

   $\delta$$= \dfrac{\left| v_\text{enn} - v_\text{mit} \right|}{v_\text{enn}}$

   Muunnokset

   Kummatkin nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$, joten yksiköt supistuvat. Osamäärä kerrotaan sadalla prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\delta$$= \dfrac{\left| 0{,}50\,\text{m/s} - 0{,}42\,\text{m/s} \right|}{0{,}50\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{0{,}08}{0{,}50}$

   $= 0{,}16$

   $= 16\,\%$

   Vastaus

   $16\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.

   Järkevyys

   Mitattu nopeus on alle ennusteen. Ero $0{,}08\,\text{m/s}$ on noin kuudesosa ennusteesta ($\tfrac{1}{6} \approx 17\,\%$). Jos nopeuden epävarmuus olisi vain muutaman prosentin, ero olisi liian suuri sattumalle. Silloin hypoteesi olisi syytä hylätä tai tarkistaa.

5. Tehtävä 8-13

   Oppilas tutkii, vierivätkö kevyt ($50\,\text{g}$) ja raskas ($200\,\text{g}$) pallo saman rinteen alas yhtä nopeasti. Hän muuttaa vain massaa. Hän mittaa kummallakin pallolla viisi kulkuaikaa käsikellolla.

   Hän päättelee: ”Raskas pallo on nopeampi, koska sen keskimääräinen aika on lyhyempi.”

   Laske kummankin pallon aikojen keskiarvo ja epävarmuus (puolet vaihteluvälistä). Kuinka monta prosenttia keskiarvojen erotus on epävarmuudesta? Päättele lisäksi, tukeeko aineisto oppilaan päätelmää.

   Pallon kulkuaika rinteessä

   Toisto	$t_{50\,\text{g}}\,(\text{s})$	$t_{200\,\text{g}}\,(\text{s})$
   1	3,12	3,06
   2	3,08	3,12
   3	3,16	3,04
   4	3,10	3,10
   5	3,14	3,08

   %Tarkista
   Vastaus

   $100\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kevyen pallon ajat $3{,}12\,\text{s}$, $3{,}08\,\text{s}$, $3{,}16\,\text{s}$, $3{,}10\,\text{s}$ ja $3{,}14\,\text{s}$; raskaan pallon ajat $3{,}06\,\text{s}$, $3{,}12\,\text{s}$, $3{,}04\,\text{s}$, $3{,}10\,\text{s}$ ja $3{,}08\,\text{s}$

   Kysytty

   keskiarvojen erotus prosentteina epävarmuudesta sekä johtopäätös, tukeeko aineisto väitettä

   Periaate

   Kun vertaat kahden ryhmän keskiarvoja, vertaa eroa mittausten hajontaan. Hajonnan yksinkertaisena arviona käytetään tässä puolta vaihteluvälistä. Jos ero ei ole suurempi kuin hajonta ja välit menevät päällekkäin, eroa ei voi osoittaa.

   Kaava

   $\bar{t}$$= \dfrac{t_1 + \dots + t_5}{5}$

   $\;\Delta t$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$

   $\;\dfrac{|\bar{t}_{50} - \bar{t}_{200}|}{\Delta t} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Kaikki ajat ovat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Kevyen pallon aikojen summa on $15{,}60\,\text{s}$, joten

   $\bar{t}_{50}$$= \dfrac{15{,}60\,\text{s}}{5}$

   $= 3{,}12\,\text{s}$

   $\Delta t_{50}$$= \dfrac{3{,}16\,\text{s} - 3{,}08\,\text{s}}{2}$

   $= 0{,}04\,\text{s}$

   Raskaan pallon summa on $15{,}40\,\text{s}$, joten

   $\bar{t}_{200}$$= \dfrac{15{,}40\,\text{s}}{5}$

   $= 3{,}08\,\text{s}$

   $\Delta t_{200}$$= \dfrac{3{,}12\,\text{s} - 3{,}04\,\text{s}}{2}$

   $= 0{,}04\,\text{s}$

   Keskiarvojen erotus on $3{,}12\,\text{s} - 3{,}08\,\text{s} = 0{,}04\,\text{s}$, joten

   $\dfrac{0{,}04\,\text{s}}{0{,}04\,\text{s}} \cdot 100\,\%$

   $= 100\,\%$

   Vastaus

   $100\,\%$

   Keskiarvojen erotus on yhtä suuri kuin epävarmuus. Välit $3{,}12\,\text{s} \pm 0{,}04\,\text{s}$ eli $3{,}08$–$3{,}16\,\text{s}$ ja $3{,}08\,\text{s} \pm 0{,}04\,\text{s}$ eli $3{,}04$–$3{,}12\,\text{s}$ menevät päällekkäin. Siksi aineisto ei tue väitettä ”raskas pallo on nopeampi”.

   Järkevyys

   Kevyen pallon ajat vaihtelevat välillä $3{,}08$–$3{,}16\,\text{s}$ ja raskaan pallon välillä $3{,}04$–$3{,}12\,\text{s}$. Välin $3{,}08$–$3{,}12\,\text{s}$ aikoja on kummallakin pallolla. Ero ei siis ole suurempi kuin yhden pallon oma vaihtelu. Tämä ei todista, ettei massalla ole vaikutusta. Eroa ei vain voi osoittaa näillä mittauksilla. Lisää toistoja ja tarkempi ajanotto voisivat näyttää, onko eroa.

6. Tehtävä 8-14

   Oppilas tutkii, vaikuttaako kärryn massa siihen, kuinka nopeasti kärry vierii rampin alas.

   Hänen suunnitelmansa on: ”Päästän kevyen kärryn loivaa ramppia alas ja raskaan kärryn jyrkkää ramppia alas ja vertaan aikoja.” Mikä muutos korjaa suunnitelman?

   Valitse vaihtoehto.

   • Valitaan vielä raskaampi kärry ja entistä jyrkempi ramppi, jotta ero näkyy selvemmin.
   • Mitataan ajat tarkemmalla kellolla.
   • Toistetaan kummankin kärryn mittaus kymmenen kertaa samalla suunnitelmalla.
   • Käytetään samaa rampin kulmaa molemmille kärryille ja muutetaan vain kärryn massaa.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Käytetään samaa rampin kulmaa molemmille kärryille ja muutetaan vain kärryn massaa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä muutos korjaa suunnitelman.

   Periaate

   Jotta aikojen eron voi yhdistää massaan, vain massa saa muuttua. Muut tekijät, kuten rampin kulma, pidetään samoina. Jos kaksi muuttujaa muuttuu yhtä aikaa, ero voi johtua kummasta tahansa.

   Mallivastaus

   Suunnitelma korjataan käyttämällä molemmille kärryille samaa rampin kulmaa ja muuttamalla vain kärryn massaa. Alkuperäisessä suunnitelmassa massa ja kulma vaihtuvat yhtä aikaa. Siksi ajan ero ei kerro, kumpi sen aiheutti. Toistot ja tarkempi kello pienentävät satunnaisvirhettä ja mittauksen epävarmuutta, mutta ne eivät korjaa tätä suunnitteluvirhettä. Entistä raskaampi kärry ja jyrkempi ramppi pahentaisivat sitä.

7. Tehtävä 8-15

   Oppilas mittaa leluauton paikan eri ajanhetkillä (taulukko). Hän piirtää kuvaajan, jossa matka $s$ on vaaka-akselilla ja aika $t$ pystyakselilla. Akseleille ei ole merkitty suureita eikä yksiköitä. Hän lukee sovitetun suoran kulmakertoimeksi $3{,}3$ ja ilmoittaa sen auton nopeudeksi.

   Piirrä pisteisiin sovitettu suora oikein päin ($t$ vaaka-akselilla). Lue suoran kulmakerroin kahdesta suoran pisteestä, jotka ovat selvästi erillään. Mikä on auton nopeus? Vastaa yksikössä m/s ja selitä, mitä oppilaan luku $3{,}3$ oikeasti kuvaa.

   Leluauton paikka

   $t\,(\text{s})$	$s\,(\text{m})$
   0,0	0,00
   2,0	0,62
   4,0	1,18
   6,0	1,83
   8,0	2,39

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}30\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon pisteet $(t$; $s)$ = $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}00\,\text{m})$, $(2{,}0\,\text{s}$; $0{,}62\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $1{,}18\,\text{m})$, $(6{,}0\,\text{s}$; $1{,}83\,\text{m})$, $(8{,}0\,\text{s}$; $2{,}39\,\text{m})$; oppilaan lukema kulmakerroin on $3{,}3$

   Kysytty

   auton nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$ ja se, mitä luku $3{,}3$ kuvaa

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä $s = vt$. Kun aika on vaaka-akselilla ja matka pystyakselilla, suoran kulmakerroin on nopeus. Oppilas vaihtoi akselit. Kun matka on vaaka-akselilla, kulmakerroin on $\Delta t / \Delta s = 1/v$ eli nopeuden käänteisluku. Lisäksi akseleilta puuttuivat suureet ja yksiköt, joten luvulle $3{,}3$ ei voi antaa merkitystä.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet ovat lähes suoralla, joka kulkee origon kautta. Sovitettu suora kulkee esimerkiksi pisteiden $(2{,}0\,\text{s}$; $0{,}60\,\text{m})$ ja $(8{,}0\,\text{s}$; $2{,}40\,\text{m})$ kautta. Kulmakerroin luetaan kahdesta suoran pisteestä, ei kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä.

   Kaava

   $v = \dfrac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Matka on metreinä ja aika sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{2{,}40\,\text{m} - 0{,}60\,\text{m}}{8{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{1{,}80\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}}$

   $= 0{,}30\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}30\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten luetuissa pisteissä. Oppilaan luku $3{,}3$ on käänteisluku: $\dfrac{1}{0{,}30\,\text{m/s}} = 3{,}3\,\text{s/m}$. Oikein piirretyssä kuvaajassa $t$ on vaaka-akselilla ja $s$ pystyakselilla. Akseleilla ovat suure ja yksikkö, esimerkiksi $t\,(\text{s})$ ja $s\,(\text{m})$.

   Järkevyys

   Mittauspisteet kasvavat noin $0{,}6\,\text{m}$ joka kahden sekunnin välein, eli noin $0{,}3\,\text{m/s}$. Tulos on leluauton nopeuden luokkaa.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 8-16

   Oppilas sovittaa mittauspisteisiin (matka ajan funktiona) kaksi suoraa. Jyrkimmän suoran kulmakerroin on $0{,}463\,\text{m/s}$. Loivimman suoran kulmakerroin on $0{,}397\,\text{m/s}$. Mittauspisteet mahtuvat näiden suorien väliin. Epävarmuudeksi otetaan puolet suorien kulmakertoimien erotuksesta.

   Kuinka suuri on nopeuden epävarmuus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}033\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jyrkimmän suoran kulmakerroin $v_\text{max} = 0{,}463\,\text{m/s}$, loivimman $v_\text{min} = 0{,}397\,\text{m/s}$

   Kysytty

   nopeuden epävarmuus $\Delta v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Kaikki suorat, jotka sopivat mittauspisteisiin niiden epävarmuuksien rajoissa, ovat uskottavia. Siksi nopeus on todennäköisesti jyrkimmän ja loivimman suoran kulmakertoimien välillä. Paras arvio on niiden keskiarvo. Epävarmuus on puolet erotuksesta.

   Kaava

   $v$$= \dfrac{v_\text{max} + v_\text{min}}{2}$

   $\Delta v$$= \dfrac{v_\text{max} - v_\text{min}}{2}$

   Muunnokset

   Kulmakertoimet ovat jo samassa yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta v$$= \dfrac{0{,}463\,\text{m/s} - 0{,}397\,\text{m/s}}{2}$

   $= \dfrac{0{,}066\,\text{m/s}}{2}$

   $= 0{,}033\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}033\,\text{m/s}$

   (laskettu arvo). Erotus $0{,}066\,\text{m/s}$ on kahden numeron luku. Ilmoitettu epävarmuus pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon, joten nopeus on $v = 0{,}43\,\text{m/s} \pm 0{,}03\,\text{m/s}$. Vastauskenttä hyväksyy kummankin.

   Järkevyys

   Epävarmuus on noin $\tfrac{0{,}033}{0{,}430} \approx 8\,\%$ nopeudesta. Se sopii käsikellolla mitatulle liikkeelle. Jos hypoteesi ennustaisi $0{,}50\,\text{m/s}$, ennuste olisi yli kaksi epävarmuutta mitattua arvoa suurempi. Väli on $0{,}397$–$0{,}463\,\text{m/s}$, eikä ennuste mahdu siihen.

2. Tehtävä 8-17

   Kuuma vesi jäähtyy kupissa. Lämpötila on $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ kohdassa $t = 0\,\text{min}$, $68{,}0\,{}^\circ\text{C}$ kohdassa $5{,}0\,\text{min}$, $52{,}0\,{}^\circ\text{C}$ kohdassa $15{,}0\,\text{min}$ ja $47{,}0\,{}^\circ\text{C}$ kohdassa $20{,}0\,\text{min}$. Oppilaan hypoteesi on, että lämpötila laskee tasaisesti. Laske lämpötilan laskunopeus ensimmäisen viiden minuutin aikana ja viimeisen viiden minuutin aikana.

   Kuinka paljon suurempi ensimmäinen laskunopeus on? Vastaa yksikössä K/min.

   K/minTarkista
   Vastaus

   $1{,}4\,\text{K/min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lämpötilat $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ajanhetkellä $0\,\text{min}$, $68{,}0\,{}^\circ\text{C}$ hetkellä $5{,}0\,\text{min}$, $52{,}0\,{}^\circ\text{C}$ hetkellä $15{,}0\,\text{min}$ ja $47{,}0\,{}^\circ\text{C}$ hetkellä $20{,}0\,\text{min}$

   Kysytty

   laskunopeuksien erotus ensimmäisen ja viimeisen viiden minuutin aikana yksikössä $\text{K/min}$

   Periaate

   Hypoteesi "lämpötila laskee tasaisesti" ennustaa saman laskunopeuden joka kohdassa. Siksi lasketaan laskunopeus kahdessa jaksossa ja verrataan niitä. Lämpötilan muutos on yhtä suuri kelvineinä ja celsiusasteina.

   Kaava

   $r$$= \dfrac{T_\text{alku} - T_\text{loppu}}{\Delta t}$

   $\Delta r = r_1 - r_2$

   Muunnokset

   Lämpötilan lasku celsiusasteina on yhtä suuri kuin kelvineinä, joten $1\,{}^\circ\text{C}$ muutos on $1\,\text{K}$ eikä muunnosta tarvita.

   Sijoitus

   $r_1$$= \dfrac{80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 68{,}0\,{}^\circ\text{C}}{5{,}0\,\text{min}}$

   $= \dfrac{12{,}0\,\text{K}}{5{,}0\,\text{min}}$

   $= 2{,}4\,\text{K/min}$

   $r_2$$= \dfrac{52{,}0\,{}^\circ\text{C} - 47{,}0\,{}^\circ\text{C}}{5{,}0\,\text{min}}$

   $= \dfrac{5{,}0\,\text{K}}{5{,}0\,\text{min}}$

   $= 1{,}0\,\text{K/min}$

   joten

   $\Delta r$$= 2{,}4\,\text{K/min} - 1{,}0\,\text{K/min}$

   $= 1{,}4\,\text{K/min}$

   Vastaus

   $1{,}4\,\text{K/min}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska lämpötilojen erotukset ovat $12{,}0\,\text{K}$ ja $5{,}0\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Ensimmäinen laskunopeus on yli kaksinkertainen viimeiseen verrattuna. Tämä ero ei voi johtua pelkästä lukemavirheestä $0{,}1\,\text{K}$. Hypoteesi tasaisesta laskusta ei siis päde. Lämpötila laskee sitä hitaammin, mitä lähempänä huoneen lämpötilaa vesi on.

3. Tehtävä 8-18

   Tutkimukseen on varattu 60 minuuttia. Laitteiden kasaamiseen ja testaamiseen menee 12 minuuttia. Mittaus tehdään kuudella eri matkalla. Jokainen mittaustoisto kestää 2,0 minuuttia. Tähän aikaan kuuluu myös palautus alkuun ja kirjaaminen. Jokaisella matkalla on yhtä monta toistoa.

   Kuinka monta toistoa jokaiselle matkalle ehtii?

   toistoaTarkista
   Vastaus

   $4{,}0$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kokonaisaika $60\,\text{min}$, valmistelu $12\,\text{min}$, matkoja $N = 6$, yksi toisto $2{,}0\,\text{min}$

   Kysytty

   toistojen lukumäärä $n$ jokaista matkaa kohti

   Periaate

   Mittaukseen käytettävä aika on kokonaisaika miinus valmistelu. Se jaetaan tasan kaikkien toistojen kesken. Toistoja on $n$ jokaisella $N$ matkalla, ja jokainen toisto vie saman ajan.

   Kaava

   $t_\text{kok} - t_\text{val} = N\, n\, t_\text{toisto}$, josta

   $n$$= \dfrac{t_\text{kok} - t_\text{val}}{N\, t_\text{toisto}}$

   Muunnokset

   Kaikki ajat ovat minuutteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{60\,\text{min} - 12\,\text{min}}{6 \cdot 2{,}0\,\text{min}}$

   $= \dfrac{48\,\text{min}}{12\,\text{min}}$

   $= 4{,}0$

   Vastaus

   $4{,}0$

   Toistoa, kaksi merkitsevää numeroa kuten toiston kestossa. Toistojen määrän pitää olla kokonaisluku. Tässä tulos on tasan neljä.

   Järkevyys

   Neljä toistoa kuudella matkalla on 24 mittausta. Mittauksiin kuluu $24 \cdot 2{,}0\,\text{min} = 48\,\text{min}$. Kun siihen lisätään valmistelun $12\,\text{min}$, summa on $60\,\text{min}$. Aikaa ei jää hukkaan, eikä aika ylity.

4. Tehtävä 8-19

   Oppilas tutki, vaikuttaako pallon massa vierimisaikaan (vrt. kevyen ja raskaan pallon mittaukset). Viiden toiston keskiarvot ovat $\bar{t}_{50} = 3{,}12\,\text{s} \pm 0{,}04\,\text{s}$ ja $\bar{t}_{200} = 3{,}08\,\text{s} \pm 0{,}04\,\text{s}$ (epävarmuus on puolet vaihteluvälistä). Käsikellon ajanoton epävarmuudeksi arvioitiin yhdessä mittauksessa $0{,}15\,\text{s}$.

   Pohdinnassa lukee: ”Koe onnistui hyvin. Raskaan pallon keskiarvo on pienempi, joten hypoteesi oli oikein. Virheitä oli vähän.”

   Kuinka monta kertaa käsiajanoton epävarmuus $0{,}15\,\text{s}$ on keskiarvojen erotus? Perustele sen avulla ja tulosten väleillä, mitkä pohdinnan väitteet aineisto tukee ja mitkä ei. Kirjoita pohdintaan kaksi parempaa lausetta.

   Kevyen ja raskaan pallon kulkuajan keskiarvot

   Pallo	$\bar{t}\,(\text{s})$	$\Delta t\,(\text{s})$
   $50\,\text{g}$	3,12	0,04
   $200\,\text{g}$	3,08	0,04

   Tarkista
   Vastaus

   $3{,}8$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\bar{t}_{50} = 3{,}12\,\text{s} \pm 0{,}04\,\text{s}$, $\bar{t}_{200} = 3{,}08\,\text{s} \pm 0{,}04\,\text{s}$; käsiajanoton epävarmuus $\Delta t_\text{käsi} = 0{,}15\,\text{s}$; pohdinnan väitteet ”koe onnistui hyvin”, ”hypoteesi oli oikein” ja ”virheitä oli vähän”

   Kysytty

   kuinka monta kertaa $\Delta t_\text{käsi}$ on keskiarvojen erotus, ja mitkä väitteet aineisto tukee

   Periaate

   Pohdinnassa arvioidaan, mitä tulokset osoittavat ja kuinka luotettavia ne ovat. Väite on tuettu vain, jos ero on suurempi kuin epävarmuus eli jos epävarmuusvälit eivät mene päällekkäin. Koe ei todista hypoteesia varmaksi. Lausetta ”virheitä oli vähän” ei myöskään saa jättää ilman lukuja.

   Kaava

   $\Delta \bar{t} = \bar{t}_{50} - \bar{t}_{200}$ ja suhde

   $k$$= \dfrac{\Delta t_\text{käsi}}{\Delta \bar{t}}$

   Muunnokset

   Kaikki ajat ovat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta \bar{t}$$= 3{,}12\,\text{s} - 3{,}08\,\text{s}$

   $= 0{,}04\,\text{s}$

   joten

   $k$$= \dfrac{0{,}15\,\text{s}}{0{,}04\,\text{s}}$

   $= 3{,}75$

   $\approx 3{,}8$

   Välit ovat $3{,}08$–$3{,}16\,\text{s}$ ja $3{,}04$–$3{,}12\,\text{s}$. Ne menevät päällekkäin välillä $3{,}08$–$3{,}12\,\text{s}$.

   Vastaus

   noin $3{,}8$ kertaa. Aineisto ei tue väitettä ”hypoteesi oli oikein”. Erotus $0{,}04\,\text{s}$ on yhtä suuri kuin epävarmuus $0{,}04\,\text{s}$, ja välit menevät päällekkäin. Pelkkä pienempi keskiarvo ei riitä. Väite ”virheitä oli vähän” ei myöskään pidä: käsiajanoton epävarmuus on moninkertainen eroon nähden. Väite ”koe onnistui hyvin” on liian vahva, koska koe ei pystynyt osoittamaan eroa. Parempia lauseita: ”Keskiarvojen erotus $0{,}04\,\text{s}$ on yhtä suuri kuin epävarmuus $0{,}04\,\text{s}$, joten aineisto ei osoita pallojen kulkuaikojen eroa. Tämä ei kuitenkaan todista, ettei massalla ole vaikutusta.” ja ”Käsiajanoton epävarmuus $0{,}15\,\text{s}$ on noin $3{,}8$-kertainen erotukseen nähden, joten jatkossa kannattaa käyttää valokennoa ja lisätä toistoja.”

   Järkevyys

   Käsikellon epävarmuus on moninkertainen mitattuun eroon nähden. Siksi pieni ero ($0{,}04\,\text{s}$, noin $1{,}3\,\%$ ajasta) ei erotu mittausvirheestä. Johtopäätös ”eroa ei voi osoittaa” on siksi sopivan varovainen. Poikkeavaa mittausta ei poistettu, eikä hypoteesia julistettu varmaksi.

5. Tehtävä 8-20

   Oppilas suunnittelee tutkimuksen kysymykseen ”Riippuuko veden jäähtymisnopeus astian materiaalista?” Hän kaataa yhtä monta desilitraa $80\,{}^\circ\text{C}$ vettä kolmeen samankokoiseen astiaan (lasi, metalli, muovi). Hän lukee lämpötilan joka minuutti. Riippumaton (muutettava) muuttuja on astian materiaali. Riippuva muuttuja on lämpötilan lasku.

   Esikokeen lasiastian lämpötilat ovat taulukossa. Arvioi alun jäähtymisnopeus taulukon kolmen ensimmäisen minuutin muutoksesta. Lämpötilan laskun $\Delta T_\text{lasku}$ epävarmuudeksi arvioidaan $1{,}0\,\text{K}$. Laskun suhteellisen epävarmuuden halutaan olevan enintään $5{,}0\,\%$. Oleta, että hitaimmin jäähtyvässäkin astiassa alun nopeus on suunnilleen sama kuin lasiastiassa.

   Kuinka pitkä mittausjakso vähintään pitää suunnitella? Nimeä lisäksi kolme vakioitavaa suuretta perusteluineen ja kerro, miten kolmen astian jäähtymiskäyriä verrataan.

   Veden lämpötila lasiastiassa

   $t\,(\text{min})$	$T\,({}^\circ\text{C})$
   0,0	80,0
   1,0	77,9
   2,0	76,0
   3,0	74,0
   4,0	72,2

   minTarkista
   Vastaus

   $10\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   esikokeen lämpötilat lasiastiassa: $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ hetkellä $0{,}0\,\text{min}$ ja $74{,}0\,{}^\circ\text{C}$ hetkellä $3{,}0\,\text{min}$; laskun epävarmuus $\Delta T_\text{lasku} = 1{,}0\,\text{K}$, suurin sallittu suhteellinen epävarmuus $\varepsilon_\text{max} = 5{,}0\,\%$

   Kysytty

   mittausjakson vähimmäispituus $t$ yksikössä $\text{min}$ sekä kolme vakioitavaa suuretta ja jäähtymiskäyrien vertailutapa

   Periaate

   Alun jäähtymisnopeus arvioidaan taulukon kolmen ensimmäisen minuutin muutoksesta. Suhteellinen epävarmuus pysyy rajassa vain, jos mitattu lasku on tarpeeksi suuri epävarmuuteen nähden. Sama pätee aikamittauksessa, jossa ajan epävarmuus on vakio. Ensin lasketaan pienin riittävä lasku. Sitten lasketaan aika, jossa vesi jäähtyy tämän verran alun nopeudella.

   Kaava

   $r$$= \dfrac{T_\text{alku} - T_3}{\Delta t}$

   $\;\varepsilon$$= \dfrac{\Delta T_\text{lasku}}{T_\text{lasku}}$

   $\le \varepsilon_\text{max}$

   josta

   $T_\text{lasku}$$\ge \dfrac{\Delta T_\text{lasku}}{\varepsilon_\text{max}}$

   $t = \dfrac{T_\text{lasku}}{r}$

   Muunnokset

   Prosentti on sadasosa: $5{,}0\,\% = 0{,}050$. Lämpötilan lasku on sama kelvineinä ja celsiusasteina, joten $\text{K}$ sopii yksiköksi.

   Sijoitus

   $r$$= \dfrac{80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 74{,}0\,{}^\circ\text{C}}{3{,}0\,\text{min}}$

   $= \dfrac{6{,}0\,\text{K}}{3{,}0\,\text{min}}$

   $= 2{,}0\,\text{K/min}$

   Sitten

   $T_\text{lasku}$$\ge \dfrac{1{,}0\,\text{K}}{0{,}050}$

   $= 20\,\text{K}$

   joten

   $t$$= \dfrac{20\,\text{K}}{2{,}0\,\text{K/min}}$

   $= 10\,\text{min}$

   Vastaus

   vähintään $10\,\text{min}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa. Vakioitavia suureita: vesimäärä (muuten lämpökapasiteetti ja pinta-ala muuttuvat), veden alkulämpötila (jäähtymisnopeus riippuu lämpötilaerosta huoneeseen) ja ympäristö eli huoneen lämpötila ja ilmavirta sekä se, onko astiassa kansi. Käyrät piirretään samaan kuvaajaan. Niitä verrataan alun kulmakertoimilla (laskunopeus samalla lämpötilan laskulla $\Delta T$, esimerkiksi ensimmäisen $20\,\text{K}$ laskun aikana) ja otetaan epävarmuus huomioon.

   Järkevyys

   Lämpötilan laskun pitää olla $20\,\text{K}$. Se on 20 kertaa epävarmuus $1{,}0\,\text{K}$, joten suhteellinen epävarmuus on $\tfrac{1}{20} = 5\,\%$. Todellisuudessa jäähtyminen hidastuu (vrt. aiempi jäähtymistehtävä), ja hitaimmin jäähtyvässä astiassa lasku on pienempi. Siksi $10\,\text{min}$ on alaraja: jakso kannattaa suunnitella pidemmäksi ja tarkistaa esikokeella.