Lähdejännite ja sisäinen resistanssi
Miksi auton ajovalot himmenevät hetkeksi, kun moottori käynnistetään kylmänä talviaamuna?
Pohjatiedot
- Kirchhoffin jännitelaki: silmukan potentiaalin muutosten summa on nollaluku Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä
- Vastuksen jännite on $U = RI$luku Resistanssi ja Ohmin laki
- Sähköteho on $P = UI$luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
On pakkasaamu, ja auton ajovalot palavat jo. Kun kuljettaja kääntää virta-avaimen käynnistysasentoon, ajovalot himmenevät selvästi muutamaksi sekunniksi ja kirkastuvat taas, kun moottori on käynnistynyt. Akku on sama, ja ajovalot on kytketty sen napoihin koko ajan.
Miksi saman akun napoihin kytketyt lamput himmenevät, kun akusta otetaan samaan aikaan suuri virta toiseen laitteeseen?
Valinnainen Kertaa: jännitelaki
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: napajännite ja virta
Ennuste 2: kaksi paristoa rinnan
Tutki
Valitse paristo ja kytkentä, säädä kuormitusvastusta ja merkitse mittarien lukemat kuvaajaan. Mistä kuvaajan kohdasta lähdejännite ja sisäinen resistanssi löytyvät?
Simulaatio
Käyttöohje
Paristo valitsee uuden tai käytetyn pariston ja Kytkentä yhden pariston, kaksi sarjaan tai kaksi rinnan. Katkoviivan sisällä paristo on piirretty mallinaan: lähdejännite $E$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s}$. Kytkin avaa tai sulkee virtapiirin, ja liukusäädin asettaa kuormitusvastuksen $R$. Jännitemittari on kytketty pariston napoihin, joten se näyttää napajännitteen $U$, ja virtamittari näyttää virran $I$. Merkitse piste lisää lukemat oikealla (puhelimessa alla) olevaan $(I, U)$-kuvaajaan. Kun samalla paristolla ja kytkennällä on vähintään kaksi pistettä, kuvaajaan piirtyy pisteisiin sovitettu sininen katkoviiva, jota on jatkettu akseleille. Violetit pisteet näyttävät virran suunnan, ja oranssi hehku kertoo, kuinka paljon sähköenergiaa muuttuu pariston sisäenergiaksi.
Mallin oletukset
Paristo on ideaalinen jännitelähde, jonka kanssa on sarjassa vakiona pysyvä sisäinen resistanssi. Johtimilla ja virtamittarilla ei ole resistanssia, eikä jännitemittari ota virtaa. Todellisen pariston lähdejännite ja sisäinen resistanssi muuttuvat hieman virran, lämpötilan ja käytön mukana, ja mittarien lukemissa on epävarmuutta, joten oikeat mittauspisteet eivät asetu täsmälleen suoralle. Luvut ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Kun kytkin on kiinni, Kirchhoffin jännitelaki antaa silmukalle $E - R_\text{s} I - R I = 0$, joten virta on
$$I = \frac{E}{R + R_\text{s}}$$
Jännitemittari näyttää napajännitteen $U = E - R_\text{s} I$, joka on myös kuormitusvastuksen jännite $RI$. Kun kytkin on auki, $I = 0$ ja $U = E$. Kahden pariston sarjaankytkennässä lähdejännite on $2E$ ja sisäinen resistanssi $2R_\text{s}$, rinnankytkennässä lähdejännite $E$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s} : 2$. Hehku kasvaa pariston sisäisessä resistanssissa muuttuvan tehon $R_\text{s} I^2$ mukana. Sovitettu suora on pienimmän neliösumman suora merkittyjen pisteiden kautta.
Koe 1: napajännite virran funktiona
Testaa ennuste 1. Uusi paristo, yksi paristo ja suljettu kytkin pysyvät vakioina; muuta vain kuormitusvastusta $R$. Kirjaa napajännite ja virta ainakin kolmella vastuksella, esimerkiksi $1{,}0\,\Omega$, $2{,}0\,\Omega$, $4{,}0\,\Omega$ ja $8{,}0\,\Omega$, ja merkitse jokainen piste myös kuvaajaan. Miten napajännite muuttuu, kun virta kasvaa?
Alkutila: paristo: uusi paristo, kytkentä: yksi paristo, kytkin: kiinni, kuormitusvastus $R$ = $2\,\Omega$. Vakiona: paristo, kytkentä, kytkin. Muutetaan: kuormitusvastus $R$.
| kuormitusvastus $R$ | $I$ $(\text{A})$ | $U$ $(\text{V})$ |
|---|
Määritä taulukkosi kahdesta kaukana toisistaan olevasta rivistä pariston sisäinen resistanssi $R_\text{s}$. Vastaa ohmeina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Napajännite on $U = E - R_\text{s} I$. Kuinka paljon napajännite pienenee, kun virta kasvaa riviltä toiselle?
Vihje 2: mikä yhteys
Valitse esimerkiksi rivit $R = 1{,}0\,\Omega$ ja $R = 4{,}0\,\Omega$. Laske napajännitteen muutos $\Delta U$ ja virran muutos $\Delta I$.
Vihje 3: välivaihe
Mallin arvoilla
ja $R_\text{s} = -\Delta U : \Delta I$.
Näytä ratkaisu
Annettu
mallin lukemat uudelle paristolle, esimerkiksi rivillä $R = 1{,}0\,\Omega$ virta $I_1 = 1{,}333\,\text{A}$ ja napajännite $U_1 = 1{,}333\,\text{V}$ sekä rivillä $R = 4{,}0\,\Omega$ virta $I_2 = 0{,}381\,\text{A}$ ja napajännite $U_2 = 1{,}524\,\text{V}$
Kysytty
sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ ohmeina
Periaate
Malli on sama kaikilla kuormilla: lähdejännite $E$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ pysyvät vakioina. Silloin napajännite $U = E - R_\text{s} I$ pienenee jokaista virran ampeeria kohti $R_\text{s}$:n verran, joten kahden rivin erotuksesta $E$ häviää ja jää vain $R_\text{s}$. Kaukana toisistaan olevat rivit antavat suuret erotukset, joten lukemien pyöristys vaikuttaa vähiten.
Kaava
$U_1 = E - R_\text{s} I_1$ ja $U_2 = E - R_\text{s} I_2$, joten vähentämällä
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} : 1\,\text{A} = 1\,\Omega$.
Sijoitus
Vastaus
$0{,}20\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteiden erotuksessa $0{,}19\,\text{V}$.
Järkevyys
Lähdejännite on
ja juuri tähän arvoon kuvaajan sovitettu suora osuu pystyakselilla. Sisäinen resistanssi on pieni verrattuna kuormiin $1$–$8\,\Omega$, joten napajännite jää aina lähelle lähdejännitettä, kuten uudelta paristolta odottaa.
Koe 2: yksi paristo, sarjaan ja rinnan
Testaa ennuste 2. Uusi paristo, suljettu kytkin ja kuormitusvastus $1{,}0\,\Omega$ pysyvät vakioina; vaihda vain kytkentää. Kirjaa napajännite ja virta kaikilla kolmella kytkennällä. Mikä kytkentä antaa suurimman napajännitteen, ja kuinka paljon rinnankytkentä muuttaa sitä yhteen paristoon verrattuna?
Alkutila: paristo: uusi paristo, kytkentä: yksi paristo, kytkin: kiinni, kuormitusvastus $R$ = $1\,\Omega$. Vakiona: paristo, kytkin, kuormitusvastus $R$. Muutetaan: kytkentä.
| kytkentä | $I$ $(\text{A})$ | $U$ $(\text{V})$ |
|---|
Valinnainen Koe 3: käytetty paristo
Käytetty paristo, yksi paristo ja suljettu kytkin pysyvät vakioina; muuta vain kuormitusvastusta. Kirjaa napajännite ja virta ainakin kolmella vastuksella ja merkitse pisteet kuvaajaan. Avaa lopuksi kytkin ja katso, mitä jännitemittari näyttää. Miten käytetyn pariston suora eroaa uuden pariston suorasta?
Alkutila: paristo: käytetty paristo, kytkentä: yksi paristo, kytkin: kiinni, kuormitusvastus $R$ = $2\,\Omega$. Vakiona: paristo, kytkentä. Muutetaan: kuormitusvastus $R$.
| kuormitusvastus $R$ | $I$ $(\text{A})$ | $U$ $(\text{V})$ |
|---|
Johtopäätös: pariston malli
Kirjoita taulukoidesi perusteella: miten napajännite riippuu virrasta, ja mistä kuvaajan kohdasta lähdejännite ja sisäinen resistanssi löytyvät? Mitä sarjaan- ja rinnankytkentä tekivät napajännitteelle kuormalla $1{,}0\,\Omega$?
Mallivastaus
Uuden pariston napajännite pieneni virran kasvaessa tasaisesti: virralla $0{,}195\,\text{A}$ se oli $1{,}561\,\text{V}$ ja virralla $1{,}333\,\text{A}$ vain $1{,}333\,\text{V}$, ja pisteet asettuivat laskevalle suoralle. Suora leikkaa pystyakselin lähdejännitteen $1{,}60\,\text{V}$ kohdalla, koska ilman virtaa napajännite on lähdejännite. Suoran kulmakertoimesta saadaan sisäinen resistanssi: $0{,}191\,\text{V} : 0{,}952\,\text{A} \approx 0{,}20\,\Omega$. Kuormalla $1{,}0\,\Omega$ yhden pariston napajännite oli $1{,}333\,\text{V}$, kahden sarjaan kytketyn $2{,}286\,\text{V}$ ja kahden rinnan kytketyn $1{,}455\,\text{V}$. Sarjaankytkentä kaksinkertaistaa lähdejännitteen, mutta myös sisäisen resistanssin. Rinnankytkentä pitää lähdejännitteen samana ja puolittaa sisäisen resistanssin, joten napajännite kasvaa vain vähän. Arvot ovat mallin laskemia: mallissa lähdejännite ja sisäinen resistanssi ovat vakioita.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Paristo on lähde ja vastus yhdessä
Paristossa kemialliset reaktiot erottavat varauksia toisistaan ja ylläpitävät napojen välillä jännitettä. Pariston lähdejännite $E$ kertoo, kuinka paljon energiaa paristo antaa jokaiselle sen läpi kulkevalle varausyksikölle: lähdejännite $1{,}5\,\text{V}$ tarkoittaa energiaa $1{,}5\,\text{J}$ jokaista coulombia kohti. Virta kulkee kuitenkin myös pariston sisällä elektrolyytin ja elektrodien läpi, ja niilläkin on resistanssia. Tätä sanotaan pariston sisäiseksi resistanssiksi $R_\text{s}$. Paristoa voi siksi kuvata mallilla, jossa ideaalinen jännitelähde $E$ on sarjassa vastuksen $R_\text{s}$ kanssa. Luvussa Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä lähde oli ideaalinen; nyt sen oma resistanssi otetaan huomioon.
Napajännite pienenee, kun virta kasvaa
Pariston napojen välistä jännitettä sanotaan napajännitteeksi $U$. Kun paristosta otetaan virta $I$, potentiaali nousee ideaalisessa lähteessä lähdejännitteen $E$ verran, mutta se laskee sisäisessä resistanssissa jännitteen $R_\text{s} I$ verran kuten missä tahansa vastuksessa. Plusnavan potentiaali miinusnapaan nähden on siksi $E - R_\text{s} I$. Energian kannalta jokaisesta coulombista, jolle lähde antaa energian $E$:n verran, osa $R_\text{s} I$ muuttuu pariston omaksi sisäenergiaksi, ja vain loput $U$ siirtyy ulkoiseen piiriin. Siksi paristo lämpenee, kun siitä otetaan suuri virta.
Lähdejännite mitataan ilman virtaa
Kun paristosta ei oteta virtaa, sisäisen resistanssin jännite $R_\text{s} I$ on nolla, ja napajännite on yhtä suuri kuin lähdejännite. Lähdejännitteen voi siis mitata kytkemällä pariston napoihin pelkän jännitemittarin, sillä hyvä jännitemittari ottaa vain häviävän pienen virran. Uudesta AA-paristosta saadaan näin noin $1{,}6\,\text{V}$. Käytetyn pariston lähdejännite voi olla lähes yhtä suuri, mutta sen sisäinen resistanssi on kasvanut moninkertaiseksi. Pelkkä jännitemittari ei siksi paljasta, onko paristo vielä käyttökelpoinen: vasta kuormitettuna sen napajännite laskee selvästi.
Auton akku käynnistettäessä
Auton akun sisäinen resistanssi on hyvin pieni, vain sadasosaohmien luokkaa. Käynnistysmoottori ottaa kuitenkin hetken aikaa satojen ampeerien virran, joten akun sisäisen resistanssin jännite $R_\text{s} I$ on voltteja, ja napajännite laskee selvästi. Ajovalot on kytketty samoihin napoihin, joten niiden jännite ja teho pienenevät samaksi hetkeksi, ja ne himmenevät. Kylmässä akun kemialliset reaktiot hidastuvat ja sisäinen resistanssi kasvaa, joten ilmiö on pakkasella voimakkaampi.
Oikosulku
Oikosulussa pariston navat yhdistetään johtimella, jonka resistanssi on lähes nolla. Silloin napajännite on lähes nolla, ja virtaa rajoittaa vain sisäinen resistanssi. Oikosulkuvirta on suurin virta, jonka paristosta voi saada: uudelle AA-paristolle se on noin $1{,}60\,\text{V} : 0{,}20\,\Omega = 8{,}0\,\text{A}$ ja auton akulle yli tuhat ampeeria. Lähteen koko teho muuttuu silloin pariston ja johtimen sisäenergiaksi. Johdin voi kuumeta hehkuvaksi, ja paristo voi vuotaa tai kuumeta vaarallisesti; litiumparisto voi jopa syttyä palamaan. Pariston napoja ei siksi saa yhdistää suoraan johtimella, eikä irtoparistoja pidetä taskussa avainten tai kolikoiden kanssa.
Napajännite ja oikosulkuvirta
Pariston napajännite, kun paristosta otetaan virta $I$, on
$$U = E - R_\text{s} I$$
missä $U$ on napajännite ($\text{V}$), $E$ lähdejännite ($\text{V}$), $R_\text{s}$ sisäinen resistanssi ($\Omega$) ja $I$ paristosta otettava virta ($\text{A}$). Malli olettaa, että $E$ ja $R_\text{s}$ pysyvät vakioina. Todellisella paristolla ne muuttuvat hieman virran, lämpötilan ja pariston käytön mukana.
Kun paristoon kytketään kuormitusvastus $R$, Kirchhoffin jännitelaki antaa silmukalle $E - R_\text{s} I - R I = 0$. Virta on siis
$$I = \frac{E}{R + R_\text{s}}$$
missä $R$ on ulkoisen piirin resistanssi ($\Omega$). Sisäinen resistanssi toimii kuin kuorman kanssa sarjaan kytketty lisävastus. Oikosulussa $R = 0$, ja virta on oikosulkuvirta
$$I_\text{k} = \frac{E}{R_\text{s}}$$
missä $I_\text{k}$ on oikosulkuvirta ($\text{A}$).
Lähdejännite ja sisäinen resistanssi kuvaajasta
Napajännite pienenee tasaisesti virran kasvaessa, joten pariston $(I, U)$-kuvaaja on laskeva suora. Se leikkaa pystyakselin kohdassa $U = E$, koska ilman virtaa napajännite on lähdejännite, ja vaaka-akselin oikosulkuvirran $I_\text{k}$ kohdalla. Suoran kulmakerroin on $-R_\text{s}$, joten sisäinen resistanssi saadaan kulmakertoimen kolmiosta: $R_\text{s} = -\Delta U : \Delta I$. Kuvan paristolla napajännite pienenee $0{,}60\,\text{V}$, kun virta kasvaa $2{,}0\,\text{A}$, joten $R_\text{s} = 0{,}60\,\text{V} : 2{,}0\,\text{A} = 0{,}30\,\Omega$.
Sisäinen resistanssi määritetään kokeellisesti näin. Paristoon kytketään säädettävä kuormitusvastus, virtamittari sarjaan ja jännitemittari pariston napoihin. Napajännite ja virta mitataan usealla kuorman arvolla, pisteet piirretään $(I, U)$-koordinaatistoon ja niihin sovitetaan suora. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi. Lähdejännite luetaan suoran ja pystyakselin leikkauskohdasta, ja sisäinen resistanssi lasketaan suoran kulmakertoimesta, joka luetaan suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä. Oikosulkuvirtaa ei mitata, koska oikosulku voisi vahingoittaa paristoa. Se lasketaan yhtälöstä $I_\text{k} = E : R_\text{s}$ tai saadaan jatkamalla suoraa vaaka-akselille. Jatkaminen mittausalueen ulkopuolelle olettaa, että sisäinen resistanssi pysyy samana myös suurilla virroilla.
Paristojen sarja- ja rinnankytkentä
Kun paristot kytketään sarjaan niin, että kunkin plusnapa on kytketty seuraavan miinusnapaan, potentiaalin nousut summautuvat, ja kaikki sisäiset resistanssit ovat samassa silmukassa peräkkäin. Paristoryhmän lähdejännite ja sisäinen resistanssi ovat
$$\begin{aligned} E &= E_1 + E_2 + \dots \\ R_\text{s} &= R_{\text{s}1} + R_{\text{s}2} + \dots \end{aligned}$$
missä $E_1$, $E_2$, … ovat yksittäisten paristojen lähdejännitteet ($\text{V}$) ja $R_{\text{s}1}$, $R_{\text{s}2}$, … niiden sisäiset resistanssit ($\Omega$). Taskulampun kolme sarjaan kytkettyä paristoa antavat noin $4{,}5\,\text{V}$. Väärin päin asetettu paristo vähentää ryhmän lähdejännitettä omansa verran, mutta sen sisäinen resistanssi lisätään silti muihin.
Kun $n$ samanlaista paristoa kytketään rinnan, plusnavat yhteen ja miinusnavat yhteen, ryhmän lähdejännite on sama kuin yhden pariston. Sisäiset resistanssit ovat rinnakkaisia haaroja, joihin virta jakautuu tasan, joten ryhmän sisäinen resistanssi on
$$R_\text{s} = \frac{R_{\text{s}1}}{n}$$
missä $R_{\text{s}1}$ on yhden pariston sisäinen resistanssi ($\Omega$). Kaksi uutta AA-paristoa antaa sarjassa lähdejännitteen $3{,}20\,\text{V}$ ja sisäisen resistanssin $0{,}40\,\Omega$, rinnan taas $1{,}60\,\text{V}$ ja $0{,}10\,\Omega$. Rinnankytkentä ei siis nosta jännitettä, mutta se antaa suuremman virran pienemmällä napajännitteen laskulla. Rinnan kytketään vain samanlaisia ja yhtä täysiä paristoja: muuten suuremman lähdejännitteen paristo ajaa virtaa toisen läpi, ja molemmat lämpenevät turhaan.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että paristo antaa aina saman virran tai että paristossa on varastossa tietty määrä virtaa. Paristo pitää yllä lähes vakiona pysyvää lähdejännitettä, ja virran määrää koko piirin resistanssi: $I = E : (R + R_\text{s})$. Sama paristo antaa pienelle kuormitusvastukselle suuren virran ja suurelle pienen virran. Paristossa ei myöskään kulu virta vaan kemiallinen energia, jota lähde muuttaa sähköenergiaksi.
Toinen virhekäsitys on, että pariston jännite on aina siihen painettu $1{,}5\,\text{V}$. Merkintä kertoo vain likimäärin lähdejännitteen. Napajännite on sitä pienempi, mitä suurempi virta paristosta otetaan ja mitä suurempi pariston sisäinen resistanssi on. Kolmas virhe on luulla, että rinnankytkentä kaksinkertaistaa jännitteen: rinnan kytkettyjen samanlaisten paristojen lähdejännite on sama kuin yhden, vain sisäinen resistanssi pienenee.
Tiivistelmä
- Paristoa kuvataan mallilla, jossa ideaalinen lähde, jonka lähdejännite on $E$, on sarjassa sisäisen resistanssin $R_\text{s}$ kanssa.
- Napajännite on $U = E - R_\text{s} I$: se pienenee virran kasvaessa. Ilman virtaa napajännite on lähdejännite.
- Kuormitusvastuksen kanssa virta on $I = E : (R + R_\text{s})$. Oikosulkuvirta $I_\text{k} = E : R_\text{s}$ on suurin mahdollinen virta, ja oikosulku on vaarallinen.
- Pariston $(I, U)$-kuvaaja on laskeva suora: se leikkaa pystyakselin lähdejännitteen kohdalla, ja sen kulmakerroin on $-R_\text{s}$.
- Sarjaan kytkettyjen paristojen lähdejännitteet ja sisäiset resistanssit summautuvat. Rinnan kytkettyjen samanlaisten paristojen lähdejännite on sama kuin yhden, ja sisäinen resistanssi on $R_{\text{s}1} : n$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja pariston malliin. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi auton ajovalot himmenevät, kun käynnistysmoottori ottaa akusta suuren virran?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Uuden AA-pariston napoihin kytketään pelkkä jännitemittari, ja se näyttää $1{,}58\,\text{V}$. Kun paristoon kytketään lisäksi vastus $4{,}0\,\Omega$, jännitemittari näyttää $1{,}45\,\text{V}$. Kuinka suuri on pariston sisäinen resistanssi, ja kuinka suuri olisi sen oikosulkuvirta?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Ilman virtaa mitattu jännite $1{,}58\,\text{V}$, kuormitettuna mitattu napajännite $U = 1{,}45\,\text{V}$ ja kuormitusvastus $R = 4{,}0\,\Omega$. Kysytään sisäistä resistanssia $R_\text{s}$ ja oikosulkuvirtaa $I_\text{k}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Jännitemittari ottaa häviävän pienen virran, joten ilman kuormaa se näyttää lähdejännitteen: $E = 1{,}58\,\text{V}$. Kuormitettuna mittari näyttää napajännitteen, joka on samalla vastuksen jännite, joten Ohmin laki antaa virran. Napajännitteen yhtälöstä ratkaistaan sisäinen resistanssi ja siitä oikosulkuvirta.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} I &= \frac{U}{R} \\ U &= E - R_\text{s} I \\ R_\text{s} &= \frac{E - U}{I} \\ I_\text{k} &= \frac{E}{R_\text{s}} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: kaikki suureet ovat perusyksiköissä, ja $1\,\text{V} : 1\,\text{A} = 1\,\Omega$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} I &= \frac{U}{R} \\ &= \frac{1{,}45\,\text{V}}{4{,}0\,\Omega} = 0{,}3625\,\text{A} \\ R_\text{s} &= \frac{E - U}{I} \\ &= \frac{1{,}58\,\text{V} - 1{,}45\,\text{V}}{0{,}3625\,\text{A}} \\ &= 0{,}3586\,\Omega \\ I_\text{k} &= \frac{E}{R_\text{s}} \\ &= \frac{1{,}58\,\text{V}}{0{,}3586\,\Omega} = 4{,}406\,\text{A} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Sisäinen resistanssi on noin $0{,}36\,\Omega$ ja oikosulkuvirta noin $4{,}4\,\text{A}$. Tulokset ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska jännitteiden erotus $0{,}13\,\text{V}$ ja vastus $4{,}0\,\Omega$ ovat kahden numeron tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Sijoitetaan tulos takaisin: $0{,}3586\,\Omega \cdot 0{,}3625\,\text{A} = 0{,}13\,\text{V}$, ja $1{,}58\,\text{V} - 0{,}13\,\text{V} = 1{,}45\,\text{V}$ on mitattu napajännite. Sisäinen resistanssi on paljon pienempi kuin kuorma $4{,}0\,\Omega$, joten napajännite jää vain vähän lähdejännitettä pienemmäksi. Oikosulkuvirta on muutamia ampeereja kuten AA-paristolla kuuluukin.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Auton akun lähdejännite on $12{,}6\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}012\,\Omega$. Käynnistettäessä käynnistysmoottori ottaa akusta virran $180\,\text{A}$. Ajovalot on kytketty akun napoihin, ja niiden oma virta on pieni käynnistysvirtaan verrattuna.
Kuinka suuri on akun napajännite käynnistyksen aikana? Vastaa voltteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Ajovalojen jännite on akun napajännite. Mikä määrää, kuinka paljon napajännite on lähdejännitettä pienempi?
Vihje 2: mikä yhteys
Napajännite on $U = E - R_\text{s} I$, missä $I$ on akusta otettava virta.
Vihje 3: välivaihe
Sisäisen resistanssin jännite on $0{,}012\,\Omega \cdot 180\,\text{A} = 2{,}16\,\text{V}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
lähdejännite $E = 12{,}6\,\text{V}$, sisäinen resistanssi $R_\text{s} = 0{,}012\,\Omega$, käynnistysvirta $I = 180\,\text{A}$; ajovalojen virta jätetään huomiotta
Kysytty
akun napajännite $U$ voltteina
Periaate
Akkua kuvataan ideaalisena lähteenä, jonka kanssa on sarjassa sisäinen resistanssi. Kun akusta otetaan virta, potentiaali laskee sisäisessä resistanssissa jännitteen $R_\text{s} I$ verran, joten napojen välille jää lähdejännitettä pienempi napajännite. Ajovalot on kytketty samoihin napoihin, joten napajännite on myös niiden jännite.
Kaava
$U = E - R_\text{s} I$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\Omega \cdot 1\,\text{A} = 1\,\text{V}$.
Sijoitus
Vastaus
$10{,}4\,\text{V}$
Kymmenesosavoltin tarkkuudella kuten lähdejännite $12{,}6\,\text{V}$; sisäisen resistanssin jännite $2{,}2\,\text{V}$ tunnetaan kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Napajännite laskee noin $2\,\text{V}$ eli kuudesosan. Ajovalon teho on verrannollinen jännitteen neliöön, kun sen resistanssi pysyy likimain samana, joten teho pienenee noin $(10{,}44 : 12{,}6)^2 \approx 0{,}69$-kertaiseksi, ja valot himmenevät selvästi. Akun oikosulkuvirta olisi $12{,}6\,\text{V} : 0{,}012\,\Omega = 1050\,\text{A}$, joten $180\,\text{A}$ on siitä alle viidennes, kuten käynnistysmoottorin kuuluukin.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Miksi pariston napajännite on pienempi kuin sen lähdejännite, kun paristosta otetaan virtaa?
Vastaus
Virta kulkee myös pariston sisällä, ja pariston sisäisessä resistanssissa potentiaali laskee jännitteen $R_\text{s} I$ verran. Siksi napojen välille jää $U = E - R_\text{s} I$. Ilman virtaa napajännite on lähdejännite.
- Pariston lähdejännite on $9{,}0\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $1{,}8\,\Omega$. Kuinka suuri on sen oikosulkuvirta, ja miksi oikosulku on vaarallinen?
Vastaus
Oikosulkuvirta on
$I_\text{k}$$= E : R_\text{s}$$= 9{,}0\,\text{V} : 1{,}8\,\Omega$$= 5{,}0\,\text{A}$Virtaa rajoittaa vain sisäinen resistanssi, joten lähteen koko teho muuttuu pariston ja johtimen sisäenergiaksi: ne kuumenevat, ja paristo voi vuotaa tai syttyä.
1. Käsite
2. Lue kuvaajasta
Kuvaajassa on $9\,\text{V}$:n pariston mittauspisteet ja niihin sovitettu suora. Määritä kuvaajasta pariston sisäinen resistanssi. Vastaa ohmeina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Sisäinen resistanssi on suoran kulmakertoimen itseisarvo. Valitse suoralta kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, ei kahta mittauspistettä.
Vihje 2: mikä yhteys
Suora alkaa pystyakselilta jännitteestä $9{,}0\,\text{V}$ ja päättyy kohtaan, jossa virta on $1{,}5\,\text{A}$. Lue napajännite siinä kohdassa.
Vihje 3: välivaihe
Kun virta kasvaa $1{,}5\,\text{A}$, napajännite pienenee $9{,}0\,\text{V} - 6{,}0\,\text{V} = 3{,}0\,\text{V}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajan mittauspisteet ja niihin sovitettu suora
Kysytty
sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ ohmeina
Periaate
Napajännite on $U = E - R_\text{s} I$, joten $(I, U)$-kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $-R_\text{s}$. Mittauspisteet eivät mittausepävarmuuden vuoksi ole täsmälleen suoralla, joten kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä.
Kuvaajan lukeminen
Suora alkaa pystyakselilta kohdasta $(0\,\text{A}$; $9{,}0\,\text{V})$ ja päättyy kohtaan $(1{,}5\,\text{A}$; $6{,}0\,\text{V})$, joka on ruudukkoviivojen risteyksessä. Näiden välillä virta kasvaa $1{,}5\,\text{A}$ ja napajännite pienenee $3{,}0\,\text{V}$.
Kaava
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} : 1\,\text{A} = 1\,\Omega$.
Sijoitus
Vastaus
$2{,}0\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luetaan jännite noin $0{,}1\,\text{V}$:n ja virta noin $0{,}05\,\text{A}$:n tarkkuudella.
Järkevyys
Lähdejännite on suoran alkupiste $9{,}0\,\text{V}$, ja oikosulkuvirta olisi $9{,}0\,\text{V} : 2{,}0\,\Omega = 4{,}5\,\text{A}$. Mittauspiste $(1{,}00\,\text{A}$; $6{,}98\,\text{V})$ on lähellä suoran arvoa $9{,}0\,\text{V} - 2{,}0\,\Omega \cdot 1{,}00\,\text{A} = 7{,}0\,\text{V}$. Muutaman ohmin sisäinen resistanssi on tyypillinen pienelle $9\,\text{V}$:n paristolle.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä kytkennät
Selitä pariston mallin avulla, miksi kaksi samanlaista paristoa antaa sarjaan kytkettyinä kaksinkertaisen lähdejännitteen mutta rinnan kytkettyinä saman lähdejännitteen kuin yksi paristo. Milloin rinnankytkennästä on hyötyä?
Mallivastaus
Sarjaankytkennässä varaus kulkee molempien paristojen läpi peräkkäin. Kummassakin ideaalisessa lähteessä potentiaali nousee $E$:n verran, joten nousut summautuvat ja lähdejännite on $2E$. Samalla molemmat sisäiset resistanssit ovat samassa silmukassa peräkkäin, joten sisäinen resistanssi on $2R_\text{s}$. Rinnankytkennässä paristot ovat rinnakkaisia haaroja samojen kahden kohdan välissä. Kukin varaus kulkee vain yhden pariston kautta, joten potentiaali nousee vain $E$:n verran. Virta jakautuu kahteen haaraan, joten kumpaankin sisäiseen resistanssiin jää vain puolet jännitteestä, ja sisäinen resistanssi on $R_\text{s} : 2$. Rinnankytkennästä on hyötyä, kun tarvitaan suuri virta tai pitkä käyttöaika samalla jännitteellä: napajännite laskee vähemmän, ja kumpikin paristo antaa vain osan virrasta.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-1Ydintehtävä
Pariston lähdejännite on $1{,}58\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}25\,\Omega$. Paristosta otetaan virta $0{,}80\,\text{A}$. Kuinka suuri on pariston napajännite?
Vastaus
$1{,}38\,\text{V}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lähdejännite $E = 1{,}58\,\text{V}$, sisäinen resistanssi $R_\text{s} = 0{,}25\,\Omega$, virta $I = 0{,}80\,\text{A}$
Kysytty
napajännite $U$ voltteina
Periaate
Paristo on ideaalinen lähde, jonka kanssa on sarjassa sisäinen resistanssi. Kun paristosta otetaan virta, potentiaali laskee sisäisessä resistanssissa jännitteen $R_\text{s} I$ verran, joten napojen välille jää lähdejännitettä pienempi jännite.
Kaava
$U = E - R_\text{s} I$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\Omega \cdot 1\,\text{A} = 1\,\text{V}$.
Sijoitus
$U$$= 1{,}58\,\text{V} - 0{,}25\,\Omega \cdot 0{,}80\,\text{A}$$= 1{,}58\,\text{V} - 0{,}20\,\text{V}$$= 1{,}38\,\text{V}$Vastaus
$1{,}38\,\text{V}$
Sadasosavoltin tarkkuudella kuten lähdejännite $1{,}58\,\text{V}$.
Järkevyys
Napajännite on lähdejännitettä pienempi, kuten virtaa antavalla paristolla kuuluu. Sisäisen resistanssin jännite $0{,}20\,\text{V}$ on noin kahdeksasosa lähdejännitteestä, mikä sopii melko suureen virtaan $0{,}80\,\text{A}$.
- Tehtävä 8-2Ydintehtävä
Ladattavan nikkelimetallihydridikennon lähdejännite on $1{,}30\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}040\,\Omega$. Kuinka suuri virta kulkisi, jos kennon navat yhdistettäisiin oikosulkuun paksulla johtimella, jonka resistanssi jätetään huomiotta?
Vastaus
$33\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lähdejännite $E = 1{,}30\,\text{V}$, sisäinen resistanssi $R_\text{s} = 0{,}040\,\Omega$; oikosulkujohtimen resistanssi jätetään huomiotta
Kysytty
oikosulkuvirta $I_\text{k}$ ampeereina
Periaate
Oikosulussa ulkoisen piirin resistanssi on nolla, joten Kirchhoffin jännitelain mukaan koko lähdejännite jää kennon sisäiselle resistanssille. Virtaa rajoittaa vain sisäinen resistanssi.
Kaava
$E - R_\text{s} I_\text{k} = 0$, josta $I_\text{k} = \dfrac{E}{R_\text{s}}$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} : 1\,\Omega = 1\,\text{A}$.
Sijoitus
$I_\text{k}$$= \dfrac{1{,}30\,\text{V}}{0{,}040\,\Omega}$$= 32{,}5\,\text{A}$Vastaus
$33\,\text{A}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten sisäisessä resistanssissa $0{,}040\,\Omega$.
Järkevyys
Arvio $1{,}3\,\text{V} : 0{,}04\,\Omega \approx 30\,\text{A}$. Ladattavan kennon sisäinen resistanssi on pieni, joten oikosulkuvirta on kymmeniä ampeereja: niin suuri virta kuumentaa johtimen ja kennon nopeasti, minkä vuoksi oikosulku on vaarallinen.
- Tehtävä 8-3
Kauko-ohjaimessa on neljä paristoa sarjassa. Kunkin pariston lähdejännite on $1{,}55\,\text{V}$. Kuinka suuri on paristoryhmän lähdejännite?
Vastaus
$6{,}20\,\text{V}$
Näytä ratkaisu
Annettu
neljä paristoa sarjassa, kunkin lähdejännite $E_1 = 1{,}55\,\text{V}$
Kysytty
paristoryhmän lähdejännite $E$ voltteina
Periaate
Sarjaankytkennässä varaus kulkee jokaisen pariston läpi peräkkäin, ja jokaisessa potentiaali nousee lähdejännitteen verran. Paristot ovat oikein päin, joten nousut summautuvat.
Kaava
$E = E_1 + E_2 + E_3 + E_4$, ja samanlaisille paristoille $E = 4E_1$
Muunnokset
Ei tarvita: jännitteet ovat voltteina.
Sijoitus
$E$$= 4 \cdot 1{,}55\,\text{V}$$= 6{,}20\,\text{V}$Vastaus
$6{,}20\,\text{V}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten pariston lähdejännitteessä $1{,}55\,\text{V}$.
Järkevyys
Neljän $1{,}5\,\text{V}$:n pariston ryhmältä odottaa noin $6\,\text{V}$, ja tulos on sitä hieman suurempi, koska uuden pariston lähdejännite on vähän yli merkinnän $1{,}5\,\text{V}$.
- Tehtävä 8-4
Kolme samanlaista paristoa on kytketty rinnan. Kunkin pariston sisäinen resistanssi on $0{,}45\,\Omega$. Kuinka suuri on paristoryhmän sisäinen resistanssi?
Vastaus
$0{,}15\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
kolme samanlaista paristoa rinnan, kunkin sisäinen resistanssi $R_{\text{s}1} = 0{,}45\,\Omega$
Kysytty
paristoryhmän sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ ohmeina
Periaate
Rinnan kytkettyjen paristojen sisäiset resistanssit ovat rinnakkaisia haaroja samojen kahden kohdan välissä. Paristot ovat samanlaisia, joten virta jakautuu niille tasan, ja ryhmän sisäinen resistanssi on yhden pariston sisäinen resistanssi jaettuna paristojen määrällä.
Kaava
$R_\text{s} = \dfrac{R_{\text{s}1}}{n}$
Muunnokset
Ei tarvita: resistanssi on ohmeina.
Sijoitus
$R_\text{s}$$= \dfrac{0{,}45\,\Omega}{3}$$= 0{,}15\,\Omega$Vastaus
$0{,}15\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten sisäisessä resistanssissa $0{,}45\,\Omega$; paristojen määrä $3$ on tarkka luku.
Järkevyys
Rinnankytkennän resistanssi on pienempi kuin yhdenkään haaran resistanssi, ja $0{,}15\,\Omega < 0{,}45\,\Omega$. Tarkistus vastusten rinnankytkennän yhtälöllä: $\tfrac{1}{R_\text{s}} = \tfrac{3}{0{,}45\,\Omega}$, joten $R_\text{s} = 0{,}15\,\Omega$.
- Tehtävä 8-5
Kuvaajassa on pariston napajännite virran funktiona neljällä kuorman arvolla (mallista lasketut pisteet) ja niiden kautta piirretty suora, jota on jatkettu akseleille.
Kuinka suuri on pariston oikosulkuvirta? Lue arvo kuvaajasta.
Vastaus
$3{,}0\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajan pisteet ja niiden kautta piirretty suora, jota on jatkettu akseleille
Kysytty
oikosulkuvirta $I_\text{k}$ ampeereina
Periaate
Oikosulussa napajännite on nolla. Pariston $(I, U)$-kuvaaja on suora $U = E - R_\text{s} I$, joten oikosulkuvirta on se virta, jolla suora leikkaa vaaka-akselin. Oikosulkuvirtaa ei mitattu, vaan se saadaan jatkamalla pisteiden kautta piirrettyä suoraa.
Kuvaajan lukeminen
Katkoviivaksi jatkettu suora kohtaa vaaka-akselin $U = 0$ ruudukkoviivalla $3{,}0\,\text{A}$. Pystyakselin se kohtaa kohdassa $4{,}5\,\text{V}$, joka on lähdejännite.
Kaava
$U = E - R_\text{s} I_\text{k} = 0$, josta $I_\text{k} = \dfrac{E}{R_\text{s}}$; arvo luetaan suoran ja vaaka-akselin leikkauskohdasta.
Muunnokset
Ei tarvita: virta luetaan ampeereina.
Sijoitus
Kuvaajasta $I_\text{k} = 3{,}0\,\text{A}$.
Vastaus
$3{,}0\,\text{A}$
Kahden merkitsevän numeron tarkkuudella, koska arvo luetaan $0{,}5\,\text{A}$:n ruudukolta.
Järkevyys
Suoran pisteistä $(0{,}40\,\text{A}$; $3{,}9\,\text{V})$ ja $(1{,}60\,\text{A}$; $2{,}1\,\text{V})$ saadaan
$R_\text{s}$$= 1{,}8\,\text{V} : 1{,}20\,\text{A}$$= 1{,}5\,\Omega$ja
$I_\text{k}$$= E : R_\text{s}$$= 4{,}5\,\text{V} : 1{,}5\,\Omega$$= 3{,}0\,\text{A}$Tulos riippuu siitä, että sisäinen resistanssi pysyy samana myös mittausalueen ulkopuolella.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-6Ydintehtävä
Paristoon kytketään vuorotellen kaksi eri kuormitusvastusta. Ensimmäisellä vastuksella virta on $0{,}20\,\text{A}$ ja napajännite $4{,}30\,\text{V}$, toisella virta on $0{,}80\,\text{A}$ ja napajännite $3{,}70\,\text{V}$. Kuinka suuri on pariston sisäinen resistanssi?
Vastaus
$1{,}0\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
ensimmäinen kuorma: $I_1 = 0{,}20\,\text{A}$, $U_1 = 4{,}30\,\text{V}$; toinen kuorma: $I_2 = 0{,}80\,\text{A}$, $U_2 = 3{,}70\,\text{V}$
Kysytty
sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ ohmeina
Periaate
Sama paristo on molemmissa mittauksissa, joten sen lähdejännite ja sisäinen resistanssi ovat samat. Napajännite $U = E - R_\text{s} I$ pienenee virran kasvaessa $R_\text{s}$:n verran ampeeria kohti, joten kahden mittauksen erotuksesta lähdejännite häviää.
Kaava
$U_1 = E - R_\text{s} I_1$ ja $U_2 = E - R_\text{s} I_2$; vähentämällä $U_1 - U_2 = R_\text{s}(I_2 - I_1)$, josta
$R_\text{s}$$= \dfrac{U_1 - U_2}{I_2 - I_1}$Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} : 1\,\text{A} = 1\,\Omega$.
Sijoitus
$R_\text{s}$$= \dfrac{4{,}30\,\text{V} - 3{,}70\,\text{V}}{0{,}80\,\text{A} - 0{,}20\,\text{A}}$$= \dfrac{0{,}60\,\text{V}}{0{,}60\,\text{A}}$$= 1{,}0\,\Omega$Vastaus
$1{,}0\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten erotuksissa $0{,}60\,\text{V}$ ja $0{,}60\,\text{A}$.
Järkevyys
Lähdejännite on
$E$$= 4{,}30\,\text{V} + 1{,}0\,\Omega \cdot 0{,}20\,\text{A}$$= 4{,}50\,\text{V}$ja toinen mittaus antaa saman: $3{,}70\,\text{V} + 1{,}0\,\Omega \cdot 0{,}80\,\text{A} = 4{,}50\,\text{V}$. Kyseessä voi olla litteä $4{,}5\,\text{V}$:n paristo, jonka sisäinen resistanssi on ohmin luokkaa.
- Tehtävä 8-7Ydintehtävä
Jännitelähteen lähdejännite on $6{,}0\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}50\,\Omega$. Siihen kytketään vastus, jonka resistanssi on $5{,}5\,\Omega$. Kuinka suuri on lähteen napajännite?
Vastaus
$5{,}5\,\text{V}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lähdejännite $E = 6{,}0\,\text{V}$, sisäinen resistanssi $R_\text{s} = 0{,}50\,\Omega$, kuormitusvastus $R = 5{,}5\,\Omega$
Kysytty
napajännite $U$ voltteina
Periaate
Sisäinen resistanssi ja kuormitusvastus ovat samassa silmukassa sarjassa, joten Kirchhoffin jännitelaki $E - R_\text{s} I - RI = 0$ antaa virran. Napajännite on kuormitusvastuksen jännite, koska vastus on kytketty suoraan lähteen napoihin.
Kaava
$I = \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$ ja $U = RI$, joten $U = \dfrac{R E}{R + R_\text{s}}$
Muunnokset
Ei tarvita: kaikki suureet ovat perusyksiköissä.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{6{,}0\,\text{V}}{5{,}5\,\Omega + 0{,}50\,\Omega}$$= 1{,}0\,\text{A}$$U$$= 5{,}5\,\Omega \cdot 1{,}0\,\text{A}$$= 5{,}5\,\text{V}$Vastaus
$5{,}5\,\text{V}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Napajännitteen yhtälö antaa saman:
$U$$= 6{,}0\,\text{V} - 0{,}50\,\Omega \cdot 1{,}0\,\text{A}$$= 5{,}5\,\text{V}$Sisäinen resistanssi on vain noin kymmenesosa kuormasta, joten napajännite jää vain vähän lähdejännitettä pienemmäksi.
- Tehtävä 8-8
Taskulampun lamppu, jonka resistanssi on $3{,}0\,\Omega$, kytketään paristoon, jonka lähdejännite on $4{,}5\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $1{,}5\,\Omega$. Lampun resistanssi oletetaan vakioksi. Kuinka suuri on lampun teho?
Vastaus
$3{,}0\,\text{W}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lampun resistanssi $R = 3{,}0\,\Omega$, lähdejännite $E = 4{,}5\,\text{V}$, sisäinen resistanssi $R_\text{s} = 1{,}5\,\Omega$
Kysytty
lampun teho $P$ watteina
Periaate
Lamppu ja pariston sisäinen resistanssi ovat samassa silmukassa sarjassa, joten jännitelaki antaa virran. Lampun jännite on pariston napajännite, ja sähköteho on jännitteen ja virran tulo (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen).
Kaava
$I = \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$, $U = E - R_\text{s} I$ ja $P = UI$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 1\,\text{W}$.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{4{,}5\,\text{V}}{3{,}0\,\Omega + 1{,}5\,\Omega}$$= 1{,}0\,\text{A}$$U$$= 4{,}5\,\text{V} - 1{,}5\,\Omega \cdot 1{,}0\,\text{A}$$= 3{,}0\,\text{V}$$P$$= 3{,}0\,\text{V} \cdot 1{,}0\,\text{A}$$= 3{,}0\,\text{W}$Vastaus
$3{,}0\,\text{W}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistansseissa.
Järkevyys
Lähde antaa tehon $4{,}5\,\text{V} \cdot 1{,}0\,\text{A} = 4{,}5\,\text{W}$, josta $1{,}5\,\Omega \cdot (1{,}0\,\text{A})^2 = 1{,}5\,\text{W}$ muuttuu pariston sisäenergiaksi ja $3{,}0\,\text{W}$ siirtyy lamppuun: $1{,}5\,\text{W} + 3{,}0\,\text{W} = 4{,}5\,\text{W}$. Ilman sisäistä resistanssia lampun teho olisi suurempi.
- Tehtävä 8-9
Kaksi paristoa on kytketty sarjaan, ja niiden kuormana on vastus $2{,}4\,\Omega$. Kummankin pariston lähdejännite on $1{,}5\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}30\,\Omega$. Kuinka suuri virta kulkee vastuksen läpi?
Vastaus
$1{,}0\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaksi paristoa sarjassa, kummankin $E_1 = 1{,}5\,\text{V}$ ja $R_{\text{s}1} = 0{,}30\,\Omega$; kuormitusvastus $R = 2{,}4\,\Omega$
Kysytty
virta $I$ ampeereina
Periaate
Sarjaan kytkettyjen paristojen lähdejännitteet summautuvat, ja niiden sisäiset resistanssit ovat kuorman kanssa samassa silmukassa peräkkäin. Kirchhoffin jännitelaki antaa silmukan virran.
Kaava
$E = 2E_1$ ja $R_\text{s} = 2R_{\text{s}1}$, joten
$I$$= \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$$= \dfrac{2E_1}{R + 2R_{\text{s}1}}$Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} : 1\,\Omega = 1\,\text{A}$.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{2 \cdot 1{,}5\,\text{V}}{2{,}4\,\Omega + 2 \cdot 0{,}30\,\Omega}$$= \dfrac{3{,}0\,\text{V}}{3{,}0\,\Omega}$$= 1{,}0\,\text{A}$Vastaus
$1{,}0\,\text{A}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Ilman sisäisiä resistansseja virta olisi $3{,}0\,\text{V} : 2{,}4\,\Omega = 1{,}25\,\text{A}$, joten sisäiset resistanssit pienentävät sitä, kuten pitääkin. Napajännite on $2{,}4\,\Omega \cdot 1{,}0\,\text{A} = 2{,}4\,\text{V}$, mikä on vähemmän kuin lähdejännite $3{,}0\,\text{V}$.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 8-10
Retkivalaisimessa on kaksi samanlaista paristoa rinnan, jotta valaisin toimisi pidempään. Kummankin pariston lähdejännite on $1{,}5\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}40\,\Omega$. Valaisimen lampun resistanssi on $0{,}80\,\Omega$, ja sen oletetaan pysyvän vakiona.
Kuinka suuri virta kulkee kunkin pariston läpi?
Vastaus
$0{,}75\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaksi samanlaista paristoa rinnan, kummankin $E_1 = 1{,}5\,\text{V}$ ja $R_{\text{s}1} = 0{,}40\,\Omega$; lampun resistanssi $R = 0{,}80\,\Omega$
Kysytty
kunkin pariston läpi kulkeva virta $I_1$ ampeereina
Periaate
Rinnan kytkettyjen samanlaisten paristojen lähdejännite on sama kuin yhden, ja sisäiset resistanssit ovat rinnakkaisia haaroja, joten ryhmän sisäinen resistanssi on puolet yhden pariston sisäisestä resistanssista. Ryhmä ja lamppu muodostavat silmukan, jonka virta saadaan jännitelaista. Paristot ovat samanlaisia, joten virtalain mukaan kokonaisvirta jakautuu niille tasan.
Kaava
$R_\text{s} = \dfrac{R_{\text{s}1}}{2}$, $I = \dfrac{E_1}{R + R_\text{s}}$ ja $I_1 = \dfrac{I}{2}$
Muunnokset
Ei tarvita: kaikki suureet ovat perusyksiköissä.
Sijoitus
$R_\text{s}$$= \dfrac{0{,}40\,\Omega}{2}$$= 0{,}20\,\Omega$$I$$= \dfrac{1{,}5\,\text{V}}{0{,}80\,\Omega + 0{,}20\,\Omega}$$= 1{,}5\,\text{A}$$I_1$$= \dfrac{1{,}5\,\text{A}}{2}$$= 0{,}75\,\text{A}$Vastaus
$0{,}75\,\text{A}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Napajännite on $0{,}80\,\Omega \cdot 1{,}5\,\text{A} = 1{,}2\,\text{V}$. Kunkin pariston yli tämä on $1{,}5\,\text{V} - 0{,}40\,\Omega \cdot 0{,}75\,\text{A} = 1{,}2\,\text{V}$, joten molemmat haarat antavat saman jännitteen. Yksi paristo yksinään antaisi vain $1{,}5\,\text{V} : 1{,}20\,\Omega = 1{,}25\,\text{A}$ ja joutuisi antamaan sen kokonaan itse.
- Tehtävä 8-11
Taskulamppuun asetetaan kolme paristoa sarjaan, mutta yksi niistä asetetaan vahingossa väärin päin. Kunkin pariston lähdejännite on $1{,}5\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}25\,\Omega$. Lampun resistanssi on $4{,}0\,\Omega$, ja sen oletetaan pysyvän vakiona.
Kuinka suuri virta kulkee lampun läpi?
Vastaus
$0{,}32\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kolme paristoa sarjassa, yksi väärin päin; kunkin $E_1 = 1{,}5\,\text{V}$ ja $R_{\text{s}1} = 0{,}25\,\Omega$; lampun resistanssi $R = 4{,}0\,\Omega$
Kysytty
lampun läpi kulkeva virta $I$ ampeereina
Periaate
Sarjaankytkennässä potentiaalin muutokset summautuvat. Oikein päin olevissa paristoissa potentiaali nousee $E_1$:n verran, mutta väärin päin olevassa se laskee saman verran, joten ryhmän lähdejännite on $E_1 + E_1 - E_1$. Kaikkien kolmen sisäinen resistanssi on silti samassa silmukassa peräkkäin.
Kaava
$E = E_1 + E_1 - E_1 = E_1$,
$R_\text{s}$$= 3R_{\text{s}1}$$I$$= \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$$= \dfrac{E_1}{R + 3R_{\text{s}1}}$Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} : 1\,\Omega = 1\,\text{A}$.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{1{,}5\,\text{V}}{4{,}0\,\Omega + 3 \cdot 0{,}25\,\Omega}$$= \dfrac{1{,}5\,\text{V}}{4{,}75\,\Omega}$$= 0{,}3158\,\text{A}$Vastaus
$0{,}32\,\text{A}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Oikein asetettuna ryhmän lähdejännite olisi $4{,}5\,\text{V}$ ja virta $4{,}5\,\text{V} : 4{,}75\,\Omega = 0{,}95\,\text{A}$, kolminkertainen. Lamppu hehkuu siis selvästi himmeämmin, mikä on tavallinen merkki väärin päin asetetusta paristosta.
- Tehtävä 8-12
Paristoon kytketään ensin vastus $2{,}0\,\Omega$, jolloin pariston napajännite on $1{,}20\,\text{V}$, ja sitten vastus $6{,}0\,\Omega$, jolloin napajännite on $1{,}44\,\text{V}$. Pariston lähdejännite ja sisäinen resistanssi oletetaan samoiksi kummassakin mittauksessa.
Kuinka suuri on pariston lähdejännite?
Vastaus
$1{,}60\,\text{V}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuorma $R_1 = 2{,}0\,\Omega$, napajännite $U_1 = 1{,}20\,\text{V}$; kuorma $R_2 = 6{,}0\,\Omega$, napajännite $U_2 = 1{,}44\,\text{V}$
Kysytty
lähdejännite $E$ voltteina
Periaate
Napajännite on kuormitusvastuksen jännite, joten Ohmin laki antaa kummankin mittauksen virran. Sama paristo on molemmissa mittauksissa, joten $U = E - R_\text{s} I$ pätee samoilla $E$:llä ja $R_\text{s}$:llä. Kahdesta yhtälöstä ratkaistaan ensin sisäinen resistanssi ja sitten lähdejännite.
Kaava
$I_1 = \dfrac{U_1}{R_1}$ ja $I_2 = \dfrac{U_2}{R_2}$; $U_1 = E - R_\text{s} I_1$ ja $U_2 = E - R_\text{s} I_2$, joten
$R_\text{s}$$= \dfrac{U_2 - U_1}{I_1 - I_2}$$E = U_1 + R_\text{s} I_1$
Muunnokset
Ei tarvita: kaikki suureet ovat perusyksiköissä.
Sijoitus
$I_1$$= \dfrac{1{,}20\,\text{V}}{2{,}0\,\Omega}$$= 0{,}60\,\text{A}$$I_2$$= \dfrac{1{,}44\,\text{V}}{6{,}0\,\Omega}$$= 0{,}24\,\text{A}$$R_\text{s}$$= \dfrac{1{,}44\,\text{V} - 1{,}20\,\text{V}}{0{,}60\,\text{A} - 0{,}24\,\text{A}}$$= 0{,}667\,\Omega$$E$$= 1{,}20\,\text{V} + 0{,}667\,\Omega \cdot 0{,}60\,\text{A}$$= 1{,}60\,\text{V}$Vastaus
$1{,}60\,\text{V}$
Sadasosavoltin tarkkuudella kuten mitatut napajännitteet.
Järkevyys
Toinen mittaus antaa saman:
$1{,}44\,\text{V} + 0{,}667\,\Omega \cdot 0{,}24\,\text{A}$$= 1{,}60\,\text{V}$Lähdejännite on suurempi kuin kumpikin napajännite, kuten pitääkin, ja $1{,}60\,\text{V}$ on tyypillinen uuden AA-pariston lähdejännite.
