Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-1Ydintehtävä

   USB-laturi antaa puhelimelle jännitteen $5{,}0\,\text{V}$ ja virran $2{,}4\,\text{A}$. Kuinka suuri on latausteho?

   WTarkista
   Vastaus

   $12\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jännite $U = 5{,}0\,\text{V}$, virta $I = 2{,}4\,\text{A}$

   Kysytty

   latausteho $P$ watteina

   Periaate

   Sähköteho on jännitteen ja virran tulo: jännite kertoo, montako joulea yksi coulombi luovuttaa, ja virta, montako coulombia kulkee sekunnissa. Kaava pätee mille tahansa laitteelle, myös laturille.

   Kaava

   $P = UI$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $1\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 1\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 5{,}0\,\text{V} \cdot 2{,}4\,\text{A}$

   $= 12\,\text{W}$

   Vastaus

   $12\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä ja virrassa.

   Järkevyys

   Arvio $5\,\text{V} \cdot 2\,\text{A} = 10\,\text{W}$ on lähellä tulosta. Puhelimen pikalaturien tehot ovat tyypillisesti $10\,\text{W}$:n ja muutaman kymmenen watin välillä, joten tulos on uskottava.

2. Tehtävä 6-2Ydintehtävä

   Vastuksen resistanssi on $47\,\Omega$, ja sen läpi kulkee virta $0{,}20\,\text{A}$. Kuinka suuri teho vastuksessa muuttuu sisäenergiaksi?

   WTarkista
   Vastaus

   $1{,}9\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   resistanssi $R = 47\,\Omega$, virta $I = 0{,}20\,\text{A}$

   Kysytty

   vastuksessa sisäenergiaksi muuttuva teho $P$ watteina

   Periaate

   Joulen laki: vastuksessa sisäenergiaksi muuttuva teho on resistanssi kertaa virran neliö. Virta tunnetaan, joten tämä muoto sopii suoraan.

   Kaava

   $P = RI^2$

   Muunnokset

   Ei tarvita:

   $\Omega \cdot \text{A}^2$$= \text{V} \cdot \text{A}$

   $= \text{W}$

   Sijoitus

   $P$$= 47\,\Omega \cdot (0{,}20\,\text{A})^2$

   $= 47\,\Omega \cdot 0{,}040\,\text{A}^2$

   $= 1{,}88\,\text{W}$

   Vastaus

   $1{,}9\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa ja virrassa.

   Järkevyys

   Vastuksen jännite on $47\,\Omega \cdot 0{,}20\,\text{A} = 9{,}4\,\text{V}$, ja $9{,}4\,\text{V} \cdot 0{,}20\,\text{A} = 1{,}88\,\text{W}$ antaa saman tehon. Tavallinen pieni vastus kestää vain $0{,}25\,\text{W}$, joten tähän tarvitaan tehovastus.

3. Tehtävä 6-3

   Vedenkeittimen lämmitysvastuksen resistanssi on $26{,}5\,\Omega$, ja keitin on kytketty $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Kuinka suuri on keittimen teho? Vastaa kilowatteina.

   kWTarkista
   Vastaus

   $2{,}00\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   resistanssi $R = 26{,}5\,\Omega$, jännite $U = 230\,\text{V}$

   Kysytty

   keittimen teho $P$ kilowatteina

   Periaate

   Lämmitysvastuksen yli on koko verkkojännite, joten Joulen laki kannattaa käyttää jännitteen avulla kirjoitetussa muodossa $P = U^2 : R$.

   Kaava

   $P = \dfrac{U^2}{R}$

   Muunnokset

   Tulos watteina muunnetaan: $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{26{,}5\,\Omega}$

   $= \dfrac{52\,900\,\text{V}^2}{26{,}5\,\Omega}$

   $= 1996\,\text{W}$

   $= 1{,}996\,\text{kW}$

   Vastaus

   $2{,}00\,\text{kW}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten resistanssissa ja verkkojännitteessä $230\,\text{V}$ (sen oletetaan olevan kolmen numeron tarkkuudella).

   Järkevyys

   Kodin vedenkeittimen teho on tyypillisesti $2\,\text{kW}$:n luokkaa. Virta on $230\,\text{V} : 26{,}5\,\Omega \approx 8{,}7\,\text{A}$, mikä mahtuu tavallisen pistorasian virtarajaan.

4. Tehtävä 6-4

   Led-lamppu, jonka teho on $9{,}0\,\text{W}$, palaa $2{,}0\,\text{h}$. Kuinka paljon sähköenergiaa lampussa muuttuu muuksi energiaksi tänä aikana? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $65\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 9{,}0\,\text{W}$, aika $t = 2{,}0\,\text{h}$

   Kysytty

   lampussa muuttuva sähköenergia $E$ kilojouleina

   Periaate

   Teho kertoo, montako joulea energiaa muuttuu sekunnissa. Kun teho on vakio, energia on teho kertaa aika.

   Kaava

   $E = Pt$

   Muunnokset

   $t$$= 2{,}0\,\text{h}$

   $= 2{,}0 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 7200\,\text{s}$

   ja lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $E$$= 9{,}0\,\text{W} \cdot 7200\,\text{s}$

   $= 64\,800\,\text{J}$

   $= 64{,}8\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $65\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa ja ajassa.

   Järkevyys

   Tunnissa lamppu käyttää $9\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} \approx 32\,\text{kJ}$, joten kahdessa tunnissa noin kaksinkertaisen määrän. Yksikkö $\text{W} \cdot \text{s} = \text{J}$ on oikea.

5. Tehtävä 6-5

   Kuvaajassa on vastuksen teho virran funktiona. Kuinka suuri on vastuksen resistanssi? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta.

   ΩTarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\Omega$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan pisteet: teho $P$ virran $I$ funktiona

   Kysytty

   vastuksen resistanssi $R$ ohmeina

   Periaate

   Joulen lain mukaan vastuksen teho on $P = RI^2$. Kun yhden pisteen virta ja teho tunnetaan, resistanssi saadaan ratkaistua.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan piste, jossa virta on suurin ja tarkin luettava: kun $I = 2{,}0\,\text{A}$, piste on ruudukkoviivalla $P = 20\,\text{W}$. Myös piste $(1{,}0\,\text{A}$; $5{,}0\,\text{W})$ on ruudukkoviivalla ja antaa saman tuloksen.

   Kaava

   $P = RI^2$, josta $R = \dfrac{P}{I^2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita:

   $\text{W} : \text{A}^2$$= \text{V} : \text{A}$

   $= \Omega$

   Sijoitus

   $R$$= \dfrac{20\,\text{W}}{(2{,}0\,\text{A})^2}$

   $= \dfrac{20\,\text{W}}{4{,}0\,\text{A}^2}$

   $= 5{,}0\,\Omega$

   Vastaus

   $5{,}0\,\Omega$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska arvot luetaan kuvaajasta kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Pisteestä $(1{,}0\,\text{A}$; $5{,}0\,\text{W})$ saadaan $5{,}0\,\text{W} : (1{,}0\,\text{A})^2 = 5{,}0\,\Omega$, sama tulos. Kun virta kaksinkertaistuu, teho nelinkertaistuu $5\,\text{W}$:sta $20\,\text{W}$:iin, kuten Joulen laki vaatii.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-6Ydintehtävä

   Hiustenkuivaajan teho on $1{,}8\,\text{kW}$, kun se on kytketty $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Kuinka suuri virta kulkee kuivaajan läpi?

   ATarkista
   Vastaus

   $7{,}8\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 1{,}8\,\text{kW}$, jännite $U = 230\,\text{V}$

   Kysytty

   kuivaajan läpi kulkeva virta $I$ ampeereina

   Periaate

   Sähköteho on jännitteen ja virran tulo. Kun teho ja jännite tunnetaan, virta ratkaistaan tehon kaavasta.

   Kaava

   $P = UI$, josta $I = \dfrac{P}{U}$

   Muunnokset

   $P$$= 1{,}8\,\text{kW}$

   $= 1{,}8 \cdot 1000\,\text{W}$

   $= 1800\,\text{W}$

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{1800\,\text{W}}{230\,\text{V}}$

   $= 7{,}83\,\text{A}$

   Vastaus

   $7{,}8\,\text{A}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa $1{,}8\,\text{kW}$.

   Järkevyys

   Arvio $2000\,\text{W} : 250\,\text{V} = 8\,\text{A}$ on lähellä tulosta. Virta on pienempi kuin tavallisen pistorasian virtaraja. Ilman kilowattien muuntamista virraksi tulisi $0{,}008\,\text{A}$, mikä on aivan liian pieni näin tehokkaalle laitteelle.

2. Tehtävä 6-7Ydintehtävä

   Vastukset $R_1 = 10\,\Omega$ ja $R_2 = 20\,\Omega$ on kytketty sarjaan $12\,\text{V}$:n jännitelähteeseen. Lähteen ja johtimien resistanssit jätetään huomiotta. Kuinka suuri on vastuksen $R_2$ teho?

   WTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $R_1 = 10\,\Omega$, $R_2 = 20\,\Omega$ sarjassa, lähteen jännite $U = 12\,\text{V}$

   Kysytty

   vastuksen $R_2$ teho $P_2$ watteina

   Periaate

   Sarjaankytkennässä molempien vastusten läpi kulkee sama virta, jonka määrää kokonaisresistanssi $R_1 + R_2$. Kun virta tunnetaan, vastuksen teho saadaan Joulen laista $P = RI^2$.

   Kaava

   $I = \dfrac{U}{R_1 + R_2}$ ja $P_2 = R_2 I^2$, joten

   $P_2$$= R_2 \left(\dfrac{U}{R_1 + R_2}\right)^2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $\text{V} : \Omega = \text{A}$ ja $\Omega \cdot \text{A}^2 = \text{W}$.

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{12\,\text{V}}{10\,\Omega + 20\,\Omega}$

   $= 0{,}40\,\text{A}$

   $P_2$$= 20\,\Omega \cdot (0{,}40\,\text{A})^2$

   $= 3{,}2\,\text{W}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistansseissa ja jännitteessä.

   Järkevyys

   Vastuksen $R_1$ teho on $10\,\Omega \cdot (0{,}40\,\text{A})^2 = 1{,}6\,\text{W}$, puolet pienempi, kuten sarjaankytkennässä kuuluu. Tehot ovat yhteensä $4{,}8\,\text{W}$, ja lähteen teho on $12\,\text{V} \cdot 0{,}40\,\text{A} = 4{,}8\,\text{W}$.

3. Tehtävä 6-8

   Vastuksen resistanssi on $1{,}0\,\text{k}\Omega$, ja valmistaja ilmoittaa sen suurimmaksi sallituksi tehoksi $0{,}25\,\text{W}$. Kuinka suuri jännite vastuksen yli saa enintään olla?

   VTarkista
   Vastaus

   $16\,\text{V}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   resistanssi $R = 1{,}0\,\text{k}\Omega$, suurin sallittu teho $P = 0{,}25\,\text{W}$

   Kysytty

   suurin sallittu jännite $U$ voltteina

   Periaate

   Joulen lain mukaan vastuksen teho kasvaa jännitteen neliönä, $P = U^2 : R$. Suurin sallittu jännite on se, jolla teho on juuri suurin sallittu teho.

   Kaava

   $P = \dfrac{U^2}{R}$, josta $U = \sqrt{PR}$

   Muunnokset

   $R$$= 1{,}0\,\text{k}\Omega$

   $= 1{,}0 \cdot 1000\,\Omega$

   $= 1000\,\Omega$

   Sijoitus

   $U$$= \sqrt{0{,}25\,\text{W} \cdot 1000\,\Omega}$

   $= \sqrt{250\,\text{V}^2}$

   $= 15{,}8\,\text{V}$

   Vastaus

   $16\,\text{V}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa ja resistanssissa.

   Järkevyys

   Tarkistus: $(15{,}8\,\text{V})^2 : 1000\,\Omega = 0{,}25\,\text{W}$. Yksikkö

   $\sqrt{\text{W} \cdot \Omega}$$= \sqrt{\text{V}^2}$

   $= \text{V}$

   on oikea. Tavallisessa $5\,\text{V}$:n tai $9\,\text{V}$:n piirissä vastus on siis turvallisella alueella, vaikka koko jännite olisi vastuksen yli.

4. Tehtävä 6-9

   Uppokuumentimen teho on $200\,\text{W}$. Se lämmittää $0{,}80\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on aluksi $20\,{}^\circ\text{C}$, $5{,}0\,\text{min}$:n ajan. Oleta, että koko sähköenergia lämmittää vettä eikä vettä höyrysty. Veden ominaislämpökapasiteetti on $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$.

   Kuinka paljon veden lämpötila nousee?

   KTarkista
   Vastaus

   $18\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 200\,\text{W}$, veden massa $m = 0{,}80\,\text{kg}$, aika $t = 5{,}0\,\text{min}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

   Kysytty

   veden lämpötilan nousu $\Delta T$ kelvineinä

   Periaate

   Kuumentimessa muuttuu sähköenergiaa $E = Pt$. Koska koko energia lämmittää vettä eikä olomuoto muutu, energia on yhtä suuri kuin veden saama lämpömäärä $cm\Delta T$ (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen).

   Kaava

   $Pt = cm\Delta T$, josta $\Delta T = \dfrac{Pt}{cm}$

   Muunnokset

   $t$$= 5{,}0\,\text{min}$

   $= 5{,}0 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 300\,\text{s}$

   Sijoitus

   $\Delta T$$= \dfrac{200\,\text{W} \cdot 300\,\text{s}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 0{,}80\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{60\,000\,\text{J}}{3352\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$

   $= 17{,}9\,\text{K}$

   Vastaus

   $18\,\text{K}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja ajassa.

   Järkevyys

   Yhden asteen lämmittämiseen $0{,}80\,\text{kg}$ vettä tarvitaan noin $3{,}4\,\text{kJ}$, ja kuumennin antaa $60\,\text{kJ}$, joten nousu on noin $60 : 3{,}4 \approx 18$ astetta. Todellisuudessa osa energiasta siirtyy ympäristöön, joten nousu jää hieman pienemmäksi.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 6-10

   Kaksi hehkulamppua, joiden merkinnät ovat $230\,\text{V}$, $40\,\text{W}$ ja $230\,\text{V}$, $100\,\text{W}$, on kytketty sarjaan $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Oleta, että lamppujen resistanssit pysyvät samoina kuin nimellisjännitteellä.

   Kuinka suuri on $40\,\text{W}$:n lampun teho tässä kytkennässä?

   WTarkista
   Vastaus

   $20\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lamput $230\,\text{V}$, $40\,\text{W}$ ja $230\,\text{V}$, $100\,\text{W}$ sarjassa $230\,\text{V}$:n jännitteessä; resistanssit pysyvät nimellisjännitteen arvoissa

   Kysytty

   $40\,\text{W}$:n lampun teho $P_{40}$ watteina sarjaankytkennässä

   Periaate

   Lampun merkintä kertoo tehon nimellisjännitteellä, joten resistanssi saadaan kaavasta $P = U^2 : R$. Sarjaankytkennässä molempien lamppujen läpi kulkee sama virta, jonka määrää resistanssien summa, ja kummankin teho on $RI^2$.

   Kaava

   $R_{40} = \dfrac{U^2}{P_\text{n,40}}$, $R_{100} = \dfrac{U^2}{P_\text{n,100}}$, $I = \dfrac{U}{R_{40} + R_{100}}$, joten $P_{40} = R_{40} I^2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki suureet ovat perusyksiköissä.

   Sijoitus

   $R_{40}$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{40\,\text{W}}$

   $= 1322{,}5\,\Omega$

   $R_{100}$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{100\,\text{W}}$

   $= 529\,\Omega$

   $I$$= \dfrac{230\,\text{V}}{1851{,}5\,\Omega}$

   $= 0{,}1242\,\text{A}$

   $P_{40}$$= 1322{,}5\,\Omega \cdot (0{,}1242\,\text{A})^2$

   $= 20{,}4\,\text{W}$

   Vastaus

   $20\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa $40\,\text{W}$.

   Järkevyys

   $100\,\text{W}$:n lampun teho on $529\,\Omega \cdot (0{,}1242\,\text{A})^2 \approx 8{,}2\,\text{W}$, joten sarjassa $40\,\text{W}$:n lamppu palaa kirkkaammin, koska sen resistanssi on suurempi ja virta on sama. Kummankin teho on pienempi kuin merkitty, koska kummankin yli on vain osa verkkojännitteestä.

2. Tehtävä 6-11

   Joulukuusen valosarjassa on $20$ samanlaista lamppua sarjassa, ja sarja on kytketty $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Koko valosarjan teho on $9{,}2\,\text{W}$. Kuinka suuri on yhden lampun resistanssi, kun sarja palaa?

   ΩTarkista
   Vastaus

   $2{,}9 \cdot 10^{2}\,\Omega$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $20$ samanlaista lamppua sarjassa, verkkojännite $U = 230\,\text{V}$, sarjan teho $P = 9{,}2\,\text{W}$

   Kysytty

   yhden lampun resistanssi $R$ ohmeina

   Periaate

   Sarjaankytkennässä kaikkien lamppujen läpi kulkee sama virta, ja sen saa koko sarjan tehosta ja jännitteestä, $P = UI$. Lamput ovat samanlaisia, joten verkkojännite jakautuu niille tasan. Yhden lampun resistanssi saadaan Ohmin laista.

   Kaava

   $I = \dfrac{P}{U}$ ja $U_1 = \dfrac{U}{20}$, joten $R = \dfrac{U_1}{I}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $\text{V} : \text{A} = \Omega$.

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{9{,}2\,\text{W}}{230\,\text{V}}$

   $= 0{,}040\,\text{A}$

   $U_1$$= \dfrac{230\,\text{V}}{20}$

   $= 11{,}5\,\text{V}$

   $R$$= \dfrac{11{,}5\,\text{V}}{0{,}040\,\text{A}}$

   $= 287{,}5\,\Omega$

   Vastaus

   $2{,}9 \cdot 10^{2}\,\Omega$

   Eli noin $290\,\Omega$, kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa $9{,}2\,\text{W}$.

   Järkevyys

   Yhden lampun teho on $9{,}2\,\text{W} : 20 = 0{,}46\,\text{W}$, ja $(11{,}5\,\text{V})^2 : 287{,}5\,\Omega = 0{,}46\,\text{W}$ antaa saman. Koko sarjan resistanssi $20 \cdot 287{,}5\,\Omega = 5750\,\Omega$ antaa virran $230\,\text{V} : 5750\,\Omega = 0{,}040\,\text{A}$.

3. Tehtävä 6-12

   Kaksi vastusta on kytketty rinnan $12\,\text{V}$:n jännitelähteeseen. Lähteen ja johtimien resistanssit jätetään huomiotta. Toisen vastuksen resistanssi on $6{,}0\,\Omega$, ja vastusten yhteenlaskettu teho on $36\,\text{W}$.

   Kuinka suuri on toisen vastuksen resistanssi?

   ΩTarkista
   Vastaus

   $12\,\Omega$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   rinnankytkentä, jännite $U = 12\,\text{V}$, $R_1 = 6{,}0\,\Omega$, kokonaisteho $P = 36\,\text{W}$

   Kysytty

   toisen vastuksen resistanssi $R_2$ ohmeina

   Periaate

   Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on koko lähteen jännite, joten kummankin teho on $U^2 : R$. Energia säilyy, joten vastusten tehot ovat yhteensä kokonaisteho, ja toisen vastuksen teho on kokonaisteho miinus ensimmäisen teho.

   Kaava

   $P$$= \dfrac{U^2}{R_1} + \dfrac{U^2}{R_2}$

   josta

   $R_2$$= \dfrac{U^2}{P - \dfrac{U^2}{R_1}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $\text{V}^2 : \text{W} = \Omega$.

   Sijoitus

   $P_1$$= \dfrac{(12\,\text{V})^2}{6{,}0\,\Omega}$

   $= 24\,\text{W}$

   $P_2$$= 36\,\text{W} - 24\,\text{W}$

   $= 12\,\text{W}$

   $R_2$$= \dfrac{(12\,\text{V})^2}{12\,\text{W}}$

   $= 12\,\Omega$

   Vastaus

   $12\,\Omega$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $6{,}0\,\Omega$ ja tehossa $36\,\text{W}$.

   Järkevyys

   Toinen vastus saa puolet pienemmän tehon, joten rinnankytkennässä sen resistanssin pitää olla kaksinkertainen, $2 \cdot 6{,}0\,\Omega = 12\,\Omega$. Virrat ovat $2{,}0\,\text{A}$ ja $1{,}0\,\text{A}$, ja $12\,\text{V} \cdot 3{,}0\,\text{A} = 36\,\text{W}$.