Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen
Miksi leivänpaahtimen vastuslangat hehkuvat punaisina, mutta paahtimen johto pysyy viileänä, vaikka molempien läpi kulkee sama virta?
Pohjatiedot
- Teho kertoo, kuinka paljon energiaa muuttuu muodosta toiseen yhdessä sekunnissaluku Teho
- Jännite kertoo, kuinka monta joulea energiaa yksi coulombi varausta luovuttaa komponentissaluku Virtapiiri, sähkövirta ja jännite
- Vastuksen jännite on $U = RI$luku Resistanssi ja Ohmin laki
- Sarjaan kytketyissä vastuksissa kulkee sama virta. Rinnan kytketyissä vastuksissa on sama jänniteluku Vastusten sarja- ja rinnankytkennät
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 3.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Sähköteho
- Sähköteho kertoo, kuinka paljon sähköenergiaa muuttuu muuksi energiaksi yhdessä sekunnissa. Saat sen kertomalla jännitteen ja virran.
- Joulen laki
- Joulen laki kertoo, miten vastuksen teho riippuu virrasta tai jännitteestä. Kun virta samassa vastuksessa kaksinkertaistuu ja resistanssi pysyy samana, vastus lämpenee nelinkertaisella teholla.
- Sähköenergia
- Sähköenergia on energiaa, jonka virtapiirin varaukset siirtävät komponenttiin. Vastuksessa se muuttuu sisäenergiaksi, ja vastus lämpenee.
Pohdinta
Aamulla painat leivänpaahtimen vivun alas. Hetken päästä paahtimen aukoissa näkyy punaisena hehkuvia lankoja. Niiden yläpuolella ilma väreilee kuumuudesta. Paahtimen johto kulkee työtason yli pistorasiaan. Kun kosketat johtoa, se tuntuu huoneenlämpöiseltä. Sama sähkövirta kulkee johdon kautta hehkuviin lankoihin ja takaisin.
Mikä ratkaisee, kuinka paljon virtapiirin osa lämpenee, kun sen läpi kulkee virta?
Valinnainen Kertaa: Ohmin laki
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: sarjaan kytketyt vastukset
Ennuste 2: rinnan kytketyt vastukset
Tutki
Valitse kytkentä. Säädä jännitettä ja vastuksia. Käynnistä sitten kello. Seuraa vastusten tehoja ja veden lämpötilaa kummassakin lasissa.
Simulaatio
Käyttöohje
Liukusäätimillä asetetaan lähteen jännite $U$ sekä vastukset $R_1$ ja $R_2$. Kytkentä valitsee, ovatko vastukset sarjassa vai rinnan. Käynnistä käynnistää kellon ja Pysäytä pysäyttää sen. Nollaa palauttaa ajan nollaan ja veden lämpötilaksi $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Nopeus muuttaa vain sitä, kuinka nopeasti simuloitu aika kuluu. Violetit nuolet ovat virtaa sovitussa suunnassa plusnavalta miinusnavalle. Kierukka hehkuu sitä kirkkaammin, mitä suurempi sen teho on. Oranssi palkki lasin alla näyttää tehon: täysi palkki on $72\,\text{W}$. Lämpömittarin punainen pylväs ja veden sävy näyttävät lämpötilan. Ajo pysähtyy, kun jomman kumman lasin vesi on $80\,{}^\circ\text{C}$.
Mallin oletukset
Jännitelähde on ideaalinen. Sen napojen välinen jännite on aina $U$, eikä johtimilla ole resistanssia. Vastusten resistanssit pysyvät vakioina, vaikka vastukset lämpenevät. Kummassakin lasissa on $0{,}10\,\text{kg}$ vettä. Koko vastuksen sähköenergia lämmittää vettä. Lämpöhäviöt ympäristöön sekä lasin ja kierukan lämpeneminen jätetään huomiotta. Siksi lämpötila nousee tasaisesti. Oikeassa lasissa nousu hidastuisi, kun vesi lämpenee ja luovuttaa enemmän lämpöä ympäristöön. Luvut ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Sarjaankytkennässä virta on $I = U : (R_1 + R_2)$. Vastusten jännitteet ovat $U_1 = R_1 I$ ja $U_2 = R_2 I$. Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on $U$. Virrat ovat $I_1 = U : R_1$ ja $I_2 = U : R_2$, ja lähteen virta on $I = I_1 + I_2$. Kummankin vastuksen teho on sen jännite kertaa virta, $P_1 = U_1 I_1$. Lähteen teho on $P = UI$. Kun kello käy ajan $\Delta t$, lasin veden lämpötila nousee
$$\Delta T = \frac{P_1 \Delta t}{c m}$$
missä $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$ ja $m = 0{,}10\,\text{kg}$. Energia on $E_1 = P_1 t$.
Koe 1: tehot sarjaankytkennässä
Testaa ennuste 1. Vastukset ovat sarjassa. Lähteen jännite on $12\,\text{V}$ ja $R_1 = 4\,\Omega$. Muuta vain vastusta $R_2$. Kirjaa arvot ainakin kahdella resistanssilla, esimerkiksi $4\,\Omega$, $8\,\Omega$ ja $16\,\Omega$. Käynnistä kello ja katso, kumpi lasi lämpenee nopeammin. Kumpi vastus saa suuremman tehon?
Alkutila: lähteen jännite $U$ = $12\,\text{V}$, vastus $R_1$ = $4\,\Omega$, vastus $R_2$ = $8\,\Omega$, kytkentä: sarjaan. Vakiona: lähteen jännite $U$, vastus $R_1$, kytkentä. Muutetaan: vastus $R_2$.
| vastus $R_2$ | $I$ $(\text{A})$ | $U_1$ $(\text{V})$ | $U_2$ $(\text{V})$ | $P_1$ $(\text{W})$ | $P_2$ $(\text{W})$ |
|---|
Koe 2: tehot rinnankytkennässä
Testaa ennuste 2. Vastukset ovat rinnan. Lähteen jännite on $12\,\text{V}$ ja $R_1 = 4\,\Omega$. Muuta vain vastusta $R_2$. Kirjaa arvot ainakin kahdella resistanssilla, esimerkiksi $4\,\Omega$, $8\,\Omega$ ja $16\,\Omega$. Laske joka rivillä $P_1 + P_2$ ja vertaa sitä lähteen tehoon $P$. Kumpi vastus saa nyt suuremman tehon?
Alkutila: lähteen jännite $U$ = $12\,\text{V}$, vastus $R_1$ = $4\,\Omega$, vastus $R_2$ = $8\,\Omega$, kytkentä: rinnan. Vakiona: lähteen jännite $U$, vastus $R_1$, kytkentä. Muutetaan: vastus $R_2$.
| vastus $R_2$ | $I_1$ $(\text{A})$ | $I_2$ $(\text{A})$ | $P_1$ $(\text{W})$ | $P_2$ $(\text{W})$ | $P$ $(\text{W})$ |
|---|
Johtopäätös: kumpi vastus saa suuremman tehon?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: kumpi vastus sai suuremman tehon sarjaankytkennässä ja kumpi rinnankytkennässä? Mikä suure oli kummassakin kytkennässä vastuksille yhteinen? Miten se selittää tuloksen? Miten vastusten tehot liittyvät lähteen tehoon?
Mallivastaus
Sarjaankytkennässä suurempi resistanssi sai suuremman tehon. Kun $R_2 = 8\,\Omega$, virta oli molemmissa $1{,}0\,\text{A}$ ja tehot olivat $P_1 = 4{,}0\,\text{W}$ ja $P_2 = 8{,}0\,\text{W}$. Yhteinen suure oli virta. Samalla virralla suuremman resistanssin vastus sai suuremman tehon $P = RI^2$ ($P_2 > P_1$ joka rivillä, jossa $R_2 > R_1$), ja sen yli oli suurempi jännite. Kun $R_2$ kasvoi, koko piirin resistanssi kasvoi ja yhteinen virta pieneni. Siksi $P_2$ ei kasvanut koko ajan. Rinnankytkennässä pienempi resistanssi sai suuremman tehon. Kun $R_2 = 8\,\Omega$, tehot olivat $P_1 = 36\,\text{W}$ ja $P_2 = 18\,\text{W}$. Yhteinen suure oli jännite $12\,\text{V}$. Pienempi resistanssi sai suuremman virran, ja teho $P = U^2 : R$ pieneni resistanssin kasvaessa. Kummassakin kytkennässä vastusten tehot olivat yhteensä lähteen teho, esimerkiksi $36\,\text{W} + 18\,\text{W} = 54\,\text{W}$. Arvot ovat mallin laskemia. Mallissa lähteellä ja johtimilla ei ole resistanssia.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Teho: kuinka nopeasti sähköenergia muuttuu
Teho kertoo, kuinka paljon energiaa muuttuu muodosta toiseen yhdessä sekunnissa (luku Teho). Virtapiirissä tehon saa jännitteestä ja virrasta. Jännite kertoo, kuinka paljon energiaa yksi coulombi varausta luovuttaa komponentissa. Esimerkiksi $12\,\text{V}$ tarkoittaa $12\,\text{J}$ coulombia kohti (luku Virtapiiri, sähkövirta ja jännite). Virta kertoo, montako coulombia kulkee komponentin läpi sekunnissa. Kerro jännite ja virta keskenään. Silloin saat sähköenergian, joka muuttuu komponentissa sekunnissa. Tätä sanotaan sähkötehoksi: $P = UI$.
Kuvan vastuksen läpi kulkee $0{,}50\,\text{C}$ sekunnissa. Jokainen coulombi luovuttaa siinä $12\,\text{J}$. Sähköenergiaa muuttuu siis $6{,}0\,\text{J}$ sekunnissa. Vastuksen teho on $6{,}0\,\text{W}$. Tehon yksikkö on watti: $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s} = 1\,\text{V} \cdot 1\,\text{A}$.
Joulen laki: miksi vastus lämpenee
Vastuksessa sähkökenttä vauhdittaa vapaita elektroneja. Elektronit törmäilevät koko ajan metallin ioneihin (luku Resistanssi ja Ohmin laki). Törmäyksissä elektronien energia siirtyy ionien värähtelyyn. Sähköenergia muuttuu silloin vastuksen sisäenergiaksi, eli aineen hiukkasten energiaksi. Vastus lämpenee. Lämpimästä vastuksesta energiaa siirtyy lämpönä ympäristöön.
Sijoita tehon kaavaan Ohmin laki $U = RI$. Vastuksen teho on silloin $P = RI \cdot I = RI^2$. Tämä on Joulen laki. Sen mukaan vastuksessa sisäenergiaksi muuttuva teho on verrannollinen resistanssiin ja virran neliöön. Kun virta samassa vastuksessa kaksinkertaistuu ja resistanssi pysyy samana, lämmitysteho nelinkertaistuu.
Tehon jakautuminen virtapiirissä
Sarjaan kytkettyjen vastusten läpi kulkee sama virta (luku Vastusten sarja- ja rinnankytkennät). Joulen lain $P = RI^2$ mukaan suurempi resistanssi saa silloin suuremman tehon. Rinnan kytkettyjen vastusten yli on sama jännite. Silloin teho kannattaa laskea jännitteestä. Kun $I = U : R$, teho on $P = U^2 : R$. Pienempi resistanssi saa silloin suuremman tehon.
Kuvassa samat vastukset $4\,\Omega$ ja $8\,\Omega$ on kytketty $12\,\text{V}$:n lähteeseen. Ensin ne ovat sarjassa ja sitten rinnan. Kummassakin kytkennässä vastusten tehot ovat yhteensä yhtä suuret kuin lähteen antama teho $UI$. Näin on, koska energia säilyy. Sarjaankytkennässä $4{,}0\,\text{W} + 8{,}0\,\text{W} = 12\,\text{W}$. Lähteen teho on $12\,\text{V} \cdot 1{,}0\,\text{A} = 12\,\text{W}$.
Paahdin ja sen johto
Paahtimen vastuslanka ja johto ovat sarjassa. Niiden läpi kulkee siis sama virta. Vastuslangan resistanssi on kymmeniä ohmeja. Johdon kuparijohtimien resistanssi on vain sadasosia ohmista. Paahtimen teho on $900\,\text{W}$. Silloin vastuslangan resistanssi on noin $59\,\Omega$ ja virta noin $3{,}9\,\text{A}$. Oletetaan, että johdon resistanssi on $0{,}050\,\Omega$. Silloin johto saa tehon $0{,}050\,\Omega \cdot (3{,}9\,\text{A})^2 \approx 0{,}8\,\text{W}$. Tämä teho jakautuu koko johdon pituudelle. Joulen lain mukaan johtoon tuleva teho on siksi yli tuhat kertaa pienempi kuin vastuslankaan tuleva. Resistanssien suhde on $59\,\Omega : 0{,}050\,\Omega \approx 1200$. Vastuslanka sen sijaan hehkuu.
Vastuksen lämpeneminen tasaantuu
Kun virta kytketään, vastus lämpenee aluksi nopeasti. Lähes koko sähköteho kasvattaa silloin sen sisäenergiaa. Mitä lämpimämpi vastus on ympäristöönsä verrattuna, sitä enemmän lämpöä siitä siirtyy ympäristöön joka sekunti. Siksi lämpeneminen hidastuu. Lämpötila tasaantuu, kun vastuksesta siirtyy ympäristöön lämpöä yhtä nopeasti kuin siihen tulee sähköenergiaa. Siksi vastukselle ilmoitetaan suurin sallittu teho, esimerkiksi $0{,}25\,\text{W}$. Suuremmalla teholla lopullinen lämpötila nousisi niin korkeaksi, että vastus vaurioituisi.
Sähköteho ja Joulen laki
Sähköteho on
$$P = UI$$
missä $P$ on teho (W), $U$ komponentin jännite (V) ja $I$ komponentin läpi kulkeva virta (A). Kaava toimii kaikille komponenteille: vastukselle, lampulle, moottorille ja ladattavalle akulle.
Vastukselle, jonka resistanssi on $R$, Ohmin laki $U = RI$ antaa Joulen lain kaksi muotoa:
$$P = RI^2 = \frac{U^2}{R}$$
missä $R$ on vastuksen resistanssi ($\Omega$). Käytä muotoa $RI^2$, kun virta tunnetaan, kuten sarjaankytkennässä. Käytä muotoa $U^2 : R$, kun jännite tunnetaan, kuten rinnankytkennässä.
Ajassa $t$ komponentissa muuttuva sähköenergia on
$$E = Pt$$
missä $E$ on energia (J) ja $t$ aika (s). Vastuksessa tämä energia muuttuu sisäenergiaksi. Se siirtyy lämpönä ympäristöön.
Laitteeseen merkitty teho, esimerkiksi $230\,\text{V}$ ja $900\,\text{W}$, on sen teho nimellisjännitteellä. Nimellisjännite on jännite, jolle laite on tehty. Pienemmällä jännitteellä vastuslaitteen teho on pienempi, koska $P = U^2 : R$ ja resistanssi pysyy likimain samana. Kuvaajassa vastuksen teho kasvaa virran neliönä. Kun $4\,\Omega$:n vastuksen virta kasvaa $1{,}0\,\text{A}$:sta $2{,}0\,\text{A}$:iin, teho kasvaa $4{,}0\,\text{W}$:sta $16\,\text{W}$:iin.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että suuremman resistanssin vastus lämpenee aina enemmän. Toiset ajattelevat päinvastoin, että pienempi resistanssi lämpenee aina enemmän, koska sen läpi kulkee suurempi virta. Kumpikaan ei ole aina totta. Se riippuu kytkennästä. Sarjaankytkennässä virta on sama, ja suurempi resistanssi saa suuremman tehon $RI^2$. Rinnankytkennässä jännite on sama, ja pienempi resistanssi saa suuremman tehon $U^2 : R$.
Toinen yleinen virhe on laskea sarjaan kytketyn vastuksen teho lähteen jännitteellä. Oletetaan, että $12\,\text{V}$:n lähteeseen on kytketty sarjaan $4\,\Omega$ ja $8\,\Omega$. Silloin vastuksen $8\,\Omega$ teho ei ole $(12\,\text{V})^2 : 8\,\Omega = 18\,\text{W}$. Vastuksen yli on vain osa lähteen jännitteestä, $8{,}0\,\text{V}$. Kaavaan $U^2 : R$ sijoitetaan aina sen komponentin oma jännite, jonka tehoa lasketaan.
Tiivistelmä
- Sähköteho $P = UI$ kertoo, kuinka monta joulea sähköenergiaa muuttuu komponentissa sekunnissa. Yksikkö on $1\,\text{W} = 1\,\text{V} \cdot 1\,\text{A}$.
- Joulen laki: vastuksessa sisäenergiaksi muuttuva teho on $P = RI^2 = U^2 : R$. Kun virta samassa vastuksessa kaksinkertaistuu ja resistanssi pysyy samana, teho on nelinkertainen.
- Sarjaankytkennässä suurempi resistanssi saa suuremman tehon. Rinnankytkennässä pienempi resistanssi saa suuremman tehon. Komponenttien tehot ovat yhteensä lähteen teho.
- Energia on $E = Pt$. Vastus lämpenee, kunnes siitä siirtyy ympäristöön lämpöä yhtä nopeasti kuin siihen tulee sähköenergiaa.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja Joulen lakiin. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi paahtimen vastuslangat hehkuvat, mutta johto pysyy viileänä? Molempien läpi kulkee sama virta.
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Auton lisälämmittimessä on kaksi lämmitysvastusta, $R_1 = 15\,\Omega$ ja $R_2 = 30\,\Omega$. Ne on kytketty rinnan $12\,\text{V}$:n akkuun. Kuinka suuri on kummankin vastuksen teho? Kuinka paljon sähköenergiaa muuttuu vastusten sisäenergiaksi yhteensä $5{,}0\,\text{min}$:ssa? Akun ja johtimien resistanssit jätetään huomiotta.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $U = 12\,\text{V}$, $R_1 = 15\,\Omega$, $R_2 = 30\,\Omega$ ja $t = 5{,}0\,\text{min}$. Kysytään tehoja $P_1$ ja $P_2$ sekä energiaa $E$.
Vaihe 2/7
Periaate. Rinnan kytkettyjen vastusten kummankin yli on koko akun jännite $U$. Jännite tunnetaan, joten teho lasketaan Joulen lain muodosta $P = U^2 : R$. Energia on kokonaisteho kertaa aika. Kokonaisteho on vastusten tehojen summa.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} P_1 &= \frac{U^2}{R_1} \\ P_2 &= \frac{U^2}{R_2} \\ E &= (P_1 + P_2)\,t \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset.
Lisäksi
$\text{W} \cdot \text{s} = \text{J}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} P_1 &= \frac{U^2}{R_1} \\ \phantom{P_1} &= \frac{(12\,\text{V})^2}{15\,\Omega} = 9{,}6\,\text{W} \\ P_2 &= \frac{(12\,\text{V})^2}{30\,\Omega} = 4{,}8\,\text{W} \\ E &= 14{,}4\,\text{W} \cdot 300\,\text{s} \\ \phantom{E} &= 4320\,\text{J} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Vastuksen $R_1$ teho on $9{,}6\,\text{W}$ ja vastuksen $R_2$ teho $4{,}8\,\text{W}$. Viidessä minuutissa sisäenergiaksi muuttuu noin $4{,}3\,\text{kJ}$. Tulokset on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten lähtötiedot.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Akusta lähtevä virta on
Akun teho on siis $12\,\text{V} \cdot 1{,}2\,\text{A} = 14{,}4\,\text{W}$. Se on sama kuin vastusten tehot yhteensä. Rinnankytkennässä puolet pienempi resistanssi saa kaksinkertaisen tehon, kuten pitääkin.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Autoon tarkoitetussa matkavedenkeittimessä on lämmitysvastus. Sen resistanssi on $2{,}4\,\Omega$, ja se kytketään auton $12\,\text{V}$:n akkuun. Keittimessä on $0{,}40\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$.
Kuinka kauan veden lämmittäminen kiehumispisteeseen $100\,{}^\circ\text{C}$ kestää? Oleta, että koko sähköenergia lämmittää vettä. Oleta myös, ettei vettä höyrysty ennen kiehumispistettä ja että vastuksen resistanssi pysyy vakiona. Veden ominaislämpökapasiteetti on $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$. Vastaa minuutteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kuinka paljon energiaa veden lämmittäminen vaatii? Entä kuinka suuri on keittimen teho, kun vastuksen yli on akun jännite?
Vihje 2: mikä yhteys
Energia on $Q = cm\Delta T$ (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen), ja vastuksen teho on $P = U^2 : R$.
Vihje 3: välivaihe
Aika on $t = Q : P$. Muunna lopuksi sekunnit minuuteiksi.
Näytä ratkaisu
Annettu
akun jännite $U = 12\,\text{V}$, resistanssi $R = 2{,}4\,\Omega$, veden massa $m = 0{,}40\,\text{kg}$, lämpötilat $20\,{}^\circ\text{C}$ ja $100\,{}^\circ\text{C}$, veden ominaislämpökapasiteetti $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
Kysytty
lämmitysaika $t$ minuutteina
Periaate
Vastuksen yli on koko akun jännite. Joulen lain mukaan sen teho on siis $P = U^2 : R$. Koko sähköenergia lämmittää vettä, eikä olomuoto muutu ennen kiehumispistettä. Siksi vastuksessa muuttuva energia $Pt$ on yhtä suuri kuin veden lämpenemiseen tarvittava energia $cm\Delta T$.
Kaava
$Pt = cm\Delta T$ ja $P = \dfrac{U^2}{R}$, joten $t = \dfrac{cm\Delta T}{P}$
Muunnokset
Lämpötilan muutos on
Muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Lopuksi $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.
Sijoitus
joten
Vastaus
noin $37\,\text{min}$. Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten resistanssi $2{,}4\,\Omega$ ja massa $0{,}40\,\text{kg}$.
Järkevyys
Keittimen teho $60\,\text{W}$ on vain noin kolmaskymmenesosa kodin $2000\,\text{W}$:n vedenkeittimen tehosta. Kodin keitin keittäisi saman veden noin minuutissa. Puolen tunnin luokkaa oleva aika on siis odotettu. Todellisuudessa osa energiasta siirtyy ympäristöön, joten aika olisi vielä pidempi.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Laitteen arvokilvessä lukee $230\,\text{V}$, $1150\,\text{W}$. Kuinka suuri virta laitteen läpi kulkee, kun se on kytketty verkkoon ja toimii nimellisteholla?
Vastaus
Teho on $P = UI$, joten virta on
$I$$= P : U$$= 1150\,\text{W} : 230\,\text{V}$$= 5{,}0\,\text{A}$ - Vastuksen läpi kulkeva virta kasvaa kaksinkertaiseksi. Vastuksen resistanssi pysyy samana. Kuinka moninkertaiseksi vastuksen teho kasvaa?
Vastaus
Joulen lain mukaan $P = RI^2$. Kun virta kaksinkertaistuu, teho kasvaa $2^2 = 4$-kertaiseksi.
1. Käsite
2. Jatkojohdon lämpeneminen
Jatkojohdon kahden johtimen yhteinen resistanssi on $0{,}20\,\Omega$. Johdon kautta kulkee virta $8{,}0\,\text{A}$ lämpöpuhaltimeen. Kuinka suuri teho muuttuu johdossa sisäenergiaksi? Vastaa watteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Johto on sarjassa puhaltimen kanssa, ja sen läpi kulkevan virran tiedät. Kumpi Joulen lain muoto sopii?
Vihje 2: mikä yhteys
Kun virta tunnetaan, $P = RI^2$.
Vihje 3: välivaihe
$P = 0{,}20\,\Omega \cdot (8{,}0\,\text{A})^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
johdon resistanssi $R = 0{,}20\,\Omega$, virta $I = 8{,}0\,\text{A}$
Kysytty
johdossa sisäenergiaksi muuttuva teho $P$ watteina
Periaate
Johdossa on resistanssia. Joulen lain mukaan siinä muuttuu sähköenergiaa sisäenergiaksi. Johdon läpi kulkeva virta tunnetaan, joten teho lasketaan muodosta $P = RI^2$.
Kaava
$P = RI^2$
Muunnokset
Ei tarvita:
Sijoitus
Vastaus
noin $13\,\text{W}$. Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten resistanssi ja virta.
Järkevyys
Puhaltimen teho on noin $230\,\text{V} \cdot 8{,}0\,\text{A} \approx 1800\,\text{W}$. Johtoon menee siis alle prosentti. Teho jakautuu metrien matkalle, joten johto lämpenee vain vähän. Jos johto on kelalla, siitä siirtyy huonosti lämpöä ympäristöön. Silloin johto voi kuumentua vaarallisesti.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä paahtimen ilmiö
Selitä Joulen lain avulla alun kysymys: miksi leivänpaahtimen vastuslangat hehkuvat, mutta paahtimen johto pysyy viileänä? Molempien läpi kulkee sama virta.
Mallivastaus
Vastuslangat ja johto ovat sarjassa, joten niiden läpi kulkee sama virta. Joulen lain $P = RI^2$ mukaan sisäenergiaksi muuttuva teho on silloin verrannollinen resistanssiin. Vastuslangan resistanssi on kymmeniä ohmeja. Johdon kuparijohtimien resistanssi on vain sadasosia ohmista. Johtoon tulee siksi paljon pienempi teho kuin vastuslankaan. Esimerkiksi resistanssien suhde $59\,\Omega : 0{,}050\,\Omega \approx 1200$ tarkoittaa yli tuhat kertaa pienempää tehoa. Lisäksi johdon pieni teho jakautuu metrien matkalle. Johdosta siirtyy energiaa lämpönä ympäristöön jo, kun se on hieman lämmennyt. Vastuslanka sen sijaan lämpenee, kunnes se luovuttaa lämpöä yhtä nopeasti kuin siihen tulee sähköenergiaa. Se tapahtuu vasta hehkulämpötilassa.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-1Ydintehtävä
USB-laturi antaa puhelimelle jännitteen $5{,}0\,\text{V}$ ja virran $2{,}4\,\text{A}$. Kuinka suuri on latausteho?
Vastaus
$12\,\text{W}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jännite $U = 5{,}0\,\text{V}$, virta $I = 2{,}4\,\text{A}$
Kysytty
latausteho $P$ watteina
Periaate
Sähköteho on jännitteen ja virran tulo. Jännite kertoo, montako joulea yksi coulombi luovuttaa. Virta kertoo, montako coulombia kulkee sekunnissa. Kaava toimii kaikille laitteille, myös laturille.
Kaava
$P = UI$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 1\,\text{W}$.
Sijoitus
$P$$= 5{,}0\,\text{V} \cdot 2{,}4\,\text{A}$$= 12\,\text{W}$Vastaus
$12\,\text{W}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten jännitteessä ja virrassa.
Järkevyys
Arvio $5\,\text{V} \cdot 2\,\text{A} = 10\,\text{W}$ on lähellä tulosta. Puhelimen pikalaturien tehot ovat tyypillisesti $10\,\text{W}$:n ja muutaman kymmenen watin välillä. Tulos on siis uskottava.
- Tehtävä 6-2Ydintehtävä
Vastuksen resistanssi on $47\,\Omega$. Sen läpi kulkee virta $0{,}20\,\text{A}$. Kuinka suuri teho vastuksessa muuttuu sisäenergiaksi?
Vastaus
$1{,}9\,\text{W}$
Näytä ratkaisu
Annettu
resistanssi $R = 47\,\Omega$, virta $I = 0{,}20\,\text{A}$
Kysytty
vastuksessa sisäenergiaksi muuttuva teho $P$ watteina
Periaate
Joulen laki: vastuksessa sisäenergiaksi muuttuva teho on resistanssi kertaa virran neliö. Virta tunnetaan, joten tämä muoto sopii suoraan. Sisäenergia on aineen hiukkasten energiaa.
Kaava
$P = RI^2$
Muunnokset
Ei tarvita:
$\Omega \cdot \text{A}^2$$= \text{V} \cdot \text{A}$$= \text{W}$Sijoitus
$P$$= 47\,\Omega \cdot (0{,}20\,\text{A})^2$$= 47\,\Omega \cdot 0{,}040\,\text{A}^2$$= 1{,}88\,\text{W}$Vastaus
$1{,}9\,\text{W}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten resistanssissa ja virrassa.
Järkevyys
Vastuksen jännite on $47\,\Omega \cdot 0{,}20\,\text{A} = 9{,}4\,\text{V}$, ja $9{,}4\,\text{V} \cdot 0{,}20\,\text{A} = 1{,}88\,\text{W}$ antaa saman tehon. Tavallinen pieni vastus kestää vain $0{,}25\,\text{W}$, joten tähän tarvitaan tehovastus.
- Tehtävä 6-3
Vedenkeittimen lämmitysvastuksen resistanssi on $26{,}5\,\Omega$. Keitin on kytketty $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Kuinka suuri on keittimen teho? Vastaa kilowatteina.
Vastaus
$2{,}00\,\text{kW}$
Näytä ratkaisu
Annettu
resistanssi $R = 26{,}5\,\Omega$, jännite $U = 230\,\text{V}$
Kysytty
keittimen teho $P$ kilowatteina
Periaate
Lämmitysvastuksen yli on koko verkkojännite. Siksi kannattaa käyttää Joulen lakia muodossa $P = U^2 : R$.
Kaava
$P = \dfrac{U^2}{R}$
Muunnokset
Tulos watteina muunnetaan: $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.
Sijoitus
$P$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{26{,}5\,\Omega}$$= \dfrac{52\,900\,\text{V}^2}{26{,}5\,\Omega}$$= 1996\,\text{W}$$= 1{,}996\,\text{kW}$Vastaus
$2{,}00\,\text{kW}$
Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla kuten resistanssissa ja verkkojännitteessä $230\,\text{V}$ (sen oletetaan olevan kolmen numeron tarkkuudella).
Järkevyys
Kodin vedenkeittimen teho on tyypillisesti $2\,\text{kW}$:n luokkaa. Virta on $230\,\text{V} : 26{,}5\,\Omega \approx 8{,}7\,\text{A}$, mikä mahtuu tavallisen pistorasian virtarajaan.
- Tehtävä 6-4
Led-lamppu, jonka teho on $9{,}0\,\text{W}$, palaa $2{,}0\,\text{h}$. Kuinka paljon sähköenergiaa lampussa muuttuu muuksi energiaksi tänä aikana? Vastaa kilojouleina.
Vastaus
$65\,\text{kJ}$
Näytä ratkaisu
Annettu
teho $P = 9{,}0\,\text{W}$, aika $t = 2{,}0\,\text{h}$
Kysytty
lampussa muuttuva sähköenergia $E$ kilojouleina
Periaate
Teho kertoo, montako joulea energiaa muuttuu sekunnissa. Teho on vakio, joten energia on teho kertaa aika.
Kaava
$E = Pt$
Muunnokset
$t$$= 2{,}0\,\text{h}$$= 2{,}0 \cdot 3600\,\text{s}$$= 7200\,\text{s}$ja lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.
Sijoitus
$E$$= 9{,}0\,\text{W} \cdot 7200\,\text{s}$$= 64\,800\,\text{J}$$= 64{,}8\,\text{kJ}$Vastaus
$65\,\text{kJ}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten tehossa ja ajassa.
Järkevyys
Tunnissa lamppu käyttää $9\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} \approx 32\,\text{kJ}$, joten kahdessa tunnissa noin kaksinkertaisen määrän. Yksikkö $\text{W} \cdot \text{s} = \text{J}$ on oikea.
- Tehtävä 6-5
Kuvaajassa on vastuksen teho virran funktiona. Kuinka suuri on vastuksen resistanssi? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta.
Vastaus
$5{,}0\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajan pisteet: teho $P$ virran $I$ funktiona
Kysytty
vastuksen resistanssi $R$ ohmeina
Periaate
Joulen lain mukaan vastuksen teho on $P = RI^2$. Kuvaajan yhdestä pisteestä saadaan virta ja teho. Niistä voi ratkaista resistanssin.
Kuvaajan lukeminen
Luetaan piste, jossa virta on suurin ja jonka voi lukea tarkimmin. Kun $I = 2{,}0\,\text{A}$, piste on ruudukkoviivalla $P = 20\,\text{W}$. Myös piste $(1{,}0\,\text{A}$; $5{,}0\,\text{W})$ on ruudukkoviivalla. Se antaa saman tuloksen.
Kaava
$P = RI^2$, josta $R = \dfrac{P}{I^2}$
Muunnokset
Ei tarvita:
$\text{W} : \text{A}^2$$= \text{V} : \text{A}$$= \Omega$Sijoitus
$R$$= \dfrac{20\,\text{W}}{(2{,}0\,\text{A})^2}$$= \dfrac{20\,\text{W}}{4{,}0\,\text{A}^2}$$= 5{,}0\,\Omega$Vastaus
$5{,}0\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska arvot luetaan kuvaajasta kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Pisteestä $(1{,}0\,\text{A}$; $5{,}0\,\text{W})$ saadaan $5{,}0\,\text{W} : (1{,}0\,\text{A})^2 = 5{,}0\,\Omega$, sama tulos. Kun virta kaksinkertaistuu, teho nelinkertaistuu $5\,\text{W}$:sta $20\,\text{W}$:iin, kuten Joulen laki vaatii.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-6Ydintehtävä
Hiustenkuivaajan teho on $1{,}8\,\text{kW}$, kun se on kytketty $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Kuinka suuri virta kulkee kuivaajan läpi?
Vastaus
$7{,}8\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
teho $P = 1{,}8\,\text{kW}$, jännite $U = 230\,\text{V}$
Kysytty
kuivaajan läpi kulkeva virta $I$ ampeereina
Periaate
Sähköteho on jännitteen ja virran tulo. Teho ja jännite tunnetaan. Virta ratkaistaan tehon kaavasta.
Kaava
$P = UI$, josta $I = \dfrac{P}{U}$
Muunnokset
$P$$= 1{,}8\,\text{kW}$$= 1{,}8 \cdot 1000\,\text{W}$$= 1800\,\text{W}$Sijoitus
$I$$= \dfrac{1800\,\text{W}}{230\,\text{V}}$$= 7{,}83\,\text{A}$Vastaus
$7{,}8\,\text{A}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten tehossa $1{,}8\,\text{kW}$.
Järkevyys
Arvio $2000\,\text{W} : 250\,\text{V} = 8\,\text{A}$ on lähellä tulosta. Virta on pienempi kuin tavallisen pistorasian virtaraja. Ilman kilowattien muuntamista virraksi tulisi $0{,}008\,\text{A}$, mikä on aivan liian pieni näin tehokkaalle laitteelle.
- Tehtävä 6-7Ydintehtävä
Vastukset $R_1 = 10\,\Omega$ ja $R_2 = 20\,\Omega$ on kytketty sarjaan $12\,\text{V}$:n jännitelähteeseen. Lähteen ja johtimien resistanssit jätetään huomiotta. Kuinka suuri on vastuksen $R_2$ teho?
Vastaus
$3{,}2\,\text{W}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$R_1 = 10\,\Omega$, $R_2 = 20\,\Omega$ sarjassa, lähteen jännite $U = 12\,\text{V}$
Kysytty
vastuksen $R_2$ teho $P_2$ watteina
Periaate
Sarjaankytkennässä molempien vastusten läpi kulkee sama virta. Sen määrää kokonaisresistanssi $R_1 + R_2$. Kun virta tunnetaan, vastuksen teho saadaan Joulen laista $P = RI^2$.
Kaava
$I = \dfrac{U}{R_1 + R_2}$ ja $P_2 = R_2 I^2$, joten
$P_2$$= R_2 \left(\dfrac{U}{R_1 + R_2}\right)^2$Muunnokset
Ei tarvita: $\text{V} : \Omega = \text{A}$ ja $\Omega \cdot \text{A}^2 = \text{W}$.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{12\,\text{V}}{10\,\Omega + 20\,\Omega}$$= 0{,}40\,\text{A}$$P_2$$= 20\,\Omega \cdot (0{,}40\,\text{A})^2$$= 3{,}2\,\text{W}$Vastaus
$3{,}2\,\text{W}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten resistansseissa ja jännitteessä.
Järkevyys
Vastuksen $R_1$ teho on $10\,\Omega \cdot (0{,}40\,\text{A})^2 = 1{,}6\,\text{W}$, puolet pienempi, kuten sarjaankytkennässä kuuluu. Tehot ovat yhteensä $4{,}8\,\text{W}$, ja lähteen teho on $12\,\text{V} \cdot 0{,}40\,\text{A} = 4{,}8\,\text{W}$.
- Tehtävä 6-8
Vastuksen resistanssi on $1{,}0\,\text{k}\Omega$. Valmistaja ilmoittaa sen suurimmaksi sallituksi tehoksi $0{,}25\,\text{W}$. Kuinka suuri jännite vastuksen yli saa enintään olla?
Vastaus
$16\,\text{V}$
Näytä ratkaisu
Annettu
resistanssi $R = 1{,}0\,\text{k}\Omega$, suurin sallittu teho $P = 0{,}25\,\text{W}$
Kysytty
suurin sallittu jännite $U$ voltteina
Periaate
Joulen lain mukaan vastuksen teho kasvaa jännitteen neliönä, $P = U^2 : R$. Suurin sallittu jännite on se, jolla teho on juuri suurin sallittu teho.
Kaava
$P = \dfrac{U^2}{R}$, josta $U = \sqrt{PR}$
Muunnokset
$R$$= 1{,}0\,\text{k}\Omega$$= 1{,}0 \cdot 1000\,\Omega$$= 1000\,\Omega$Sijoitus
$U$$= \sqrt{0{,}25\,\text{W} \cdot 1000\,\Omega}$$= \sqrt{250\,\text{V}^2}$$= 15{,}8\,\text{V}$Vastaus
$16\,\text{V}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten tehossa ja resistanssissa.
Järkevyys
Tarkistus: $(15{,}8\,\text{V})^2 : 1000\,\Omega = 0{,}25\,\text{W}$. Yksikkö
$\sqrt{\text{W} \cdot \Omega}$$= \sqrt{\text{V}^2}$$= \text{V}$on oikea. Tavallisessa $5\,\text{V}$:n tai $9\,\text{V}$:n piirissä vastus on siis turvallisella alueella, vaikka koko jännite olisi vastuksen yli.
- Tehtävä 6-9
Uppokuumentimen teho on $200\,\text{W}$. Se lämmittää $0{,}80\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on aluksi $20\,{}^\circ\text{C}$, $5{,}0\,\text{min}$:n ajan. Oleta, että koko sähköenergia lämmittää vettä ja ettei vettä höyrysty. Veden ominaislämpökapasiteetti on $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$.
Kuinka paljon veden lämpötila nousee?
Vastaus
$18\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
teho $P = 200\,\text{W}$, veden massa $m = 0{,}80\,\text{kg}$, aika $t = 5{,}0\,\text{min}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
Kysytty
veden lämpötilan nousu $\Delta T$ kelvineinä
Periaate
Kuumentimessa muuttuu sähköenergiaa $E = Pt$. Koko energia lämmittää vettä, eikä olomuoto muutu. Siksi energia on yhtä suuri kuin veden saama lämpömäärä $cm\Delta T$ (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen).
Kaava
$Pt = cm\Delta T$, josta $\Delta T = \dfrac{Pt}{cm}$
Muunnokset
$t$$= 5{,}0\,\text{min}$$= 5{,}0 \cdot 60\,\text{s}$$= 300\,\text{s}$Sijoitus
$\Delta T$$= \dfrac{200\,\text{W} \cdot 300\,\text{s}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 0{,}80\,\text{kg}}$$= \dfrac{60\,000\,\text{J}}{3352\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$$= 17{,}9\,\text{K}$Vastaus
$18\,\text{K}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten massassa ja ajassa.
Järkevyys
Yhden asteen lämmittämiseen $0{,}80\,\text{kg}$ vettä tarvitaan noin $3{,}4\,\text{kJ}$, ja kuumennin antaa $60\,\text{kJ}$, joten nousu on noin $60 : 3{,}4 \approx 18$ astetta. Todellisuudessa osa energiasta siirtyy ympäristöön, joten nousu jää hieman pienemmäksi.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 6-10
Kaksi hehkulamppua, joiden merkinnät ovat $230\,\text{V}$, $40\,\text{W}$ ja $230\,\text{V}$, $100\,\text{W}$, on kytketty sarjaan $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Oleta, että lamppujen resistanssit pysyvät samoina kuin nimellisjännitteellä.
Kuinka suuri on $40\,\text{W}$:n lampun teho tässä kytkennässä?
Vastaus
$20\,\text{W}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lamput $230\,\text{V}$, $40\,\text{W}$ ja $230\,\text{V}$, $100\,\text{W}$ sarjassa $230\,\text{V}$:n jännitteessä; resistanssit pysyvät nimellisjännitteen arvoissa
Kysytty
$40\,\text{W}$:n lampun teho $P_{40}$ watteina sarjaankytkennässä
Periaate
Lampun merkintä kertoo tehon nimellisjännitteellä. Nimellisjännite on jännite, jolle lamppu on tehty. Resistanssi saadaan kaavasta $P = U^2 : R$. Sarjaankytkennässä molempien lamppujen läpi kulkee sama virta. Sen määrää resistanssien summa. Kummankin teho on $RI^2$.
Kaava
$R_{40} = \dfrac{U^2}{P_\text{n,40}}$, $R_{100} = \dfrac{U^2}{P_\text{n,100}}$, $I = \dfrac{U}{R_{40} + R_{100}}$, joten $P_{40} = R_{40} I^2$
Muunnokset
Ei tarvita: kaikki suureet ovat perusyksiköissä.
Sijoitus
$R_{40}$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{40\,\text{W}}$$= 1322{,}5\,\Omega$$R_{100}$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{100\,\text{W}}$$= 529\,\Omega$$I$$= \dfrac{230\,\text{V}}{1851{,}5\,\Omega}$$= 0{,}1242\,\text{A}$$P_{40}$$= 1322{,}5\,\Omega \cdot (0{,}1242\,\text{A})^2$$= 20{,}4\,\text{W}$Vastaus
$20\,\text{W}$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten tehossa $40\,\text{W}$.
Järkevyys
$100\,\text{W}$:n lampun teho on $529\,\Omega \cdot (0{,}1242\,\text{A})^2 \approx 8{,}2\,\text{W}$, joten sarjassa $40\,\text{W}$:n lamppu palaa kirkkaammin, koska sen resistanssi on suurempi ja virta on sama. Kummankin teho on pienempi kuin merkitty, koska kummankin yli on vain osa verkkojännitteestä.
- Tehtävä 6-11
Joulukuusen valosarjassa on $20$ samanlaista lamppua sarjassa. Sarja on kytketty $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Koko valosarjan teho on $9{,}2\,\text{W}$. Kuinka suuri on yhden lampun resistanssi, kun sarja palaa?
Vastaus
$2{,}9 \cdot 10^{2}\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
$20$ samanlaista lamppua sarjassa, verkkojännite $U = 230\,\text{V}$, sarjan teho $P = 9{,}2\,\text{W}$
Kysytty
yhden lampun resistanssi $R$ ohmeina
Periaate
Sarjaankytkennässä kaikkien lamppujen läpi kulkee sama virta. Sen saa koko sarjan tehosta ja jännitteestä, $P = UI$. Lamput ovat samanlaisia, joten verkkojännite jakautuu niille tasan. Yhden lampun resistanssi saadaan Ohmin laista.
Kaava
$I = \dfrac{P}{U}$ ja $U_1 = \dfrac{U}{20}$, joten $R = \dfrac{U_1}{I}$
Muunnokset
Ei tarvita: $\text{V} : \text{A} = \Omega$.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{9{,}2\,\text{W}}{230\,\text{V}}$$= 0{,}040\,\text{A}$$U_1$$= \dfrac{230\,\text{V}}{20}$$= 11{,}5\,\text{V}$$R$$= \dfrac{11{,}5\,\text{V}}{0{,}040\,\text{A}}$$= 287{,}5\,\Omega$Vastaus
$2{,}9 \cdot 10^{2}\,\Omega$
Eli noin $290\,\Omega$. Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten tehossa $9{,}2\,\text{W}$.
Järkevyys
Yhden lampun teho on $9{,}2\,\text{W} : 20 = 0{,}46\,\text{W}$, ja $(11{,}5\,\text{V})^2 : 287{,}5\,\Omega = 0{,}46\,\text{W}$ antaa saman. Koko sarjan resistanssi $20 \cdot 287{,}5\,\Omega = 5750\,\Omega$ antaa virran $230\,\text{V} : 5750\,\Omega = 0{,}040\,\text{A}$.
- Tehtävä 6-12
Kaksi vastusta on kytketty rinnan $12\,\text{V}$:n jännitelähteeseen. Lähteen ja johtimien resistanssit jätetään huomiotta. Toisen vastuksen resistanssi on $6{,}0\,\Omega$. Vastusten yhteenlaskettu teho on $36\,\text{W}$.
Kuinka suuri on toisen vastuksen resistanssi?
Vastaus
$12\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
rinnankytkentä, jännite $U = 12\,\text{V}$, $R_1 = 6{,}0\,\Omega$, kokonaisteho $P = 36\,\text{W}$
Kysytty
toisen vastuksen resistanssi $R_2$ ohmeina
Periaate
Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on koko lähteen jännite. Kummankin teho on siis $U^2 : R$. Energia säilyy, joten vastusten tehot ovat yhteensä kokonaisteho. Toisen vastuksen teho on kokonaisteho miinus ensimmäisen teho.
Kaava
$P$$= \dfrac{U^2}{R_1} + \dfrac{U^2}{R_2}$josta
$R_2$$= \dfrac{U^2}{P - \dfrac{U^2}{R_1}}$Muunnokset
Ei tarvita: $\text{V}^2 : \text{W} = \Omega$.
Sijoitus
$P_1$$= \dfrac{(12\,\text{V})^2}{6{,}0\,\Omega}$$= 24\,\text{W}$$P_2$$= 36\,\text{W} - 24\,\text{W}$$= 12\,\text{W}$$R_2$$= \dfrac{(12\,\text{V})^2}{12\,\text{W}}$$= 12\,\Omega$Vastaus
$12\,\Omega$
Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten resistanssissa $6{,}0\,\Omega$ ja tehossa $36\,\text{W}$.
Järkevyys
Toinen vastus saa puolet pienemmän tehon, joten rinnankytkennässä sen resistanssin pitää olla kaksinkertainen, $2 \cdot 6{,}0\,\Omega = 12\,\Omega$. Virrat ovat $2{,}0\,\text{A}$ ja $1{,}0\,\text{A}$, ja $12\,\text{V} \cdot 3{,}0\,\text{A} = 36\,\text{W}$.
