Vastusten sarja- ja rinnankytkennät
Miksi vanhan jouluvalosarjan kaikki lamput sammuvat, kun yksi lamppu menee rikki? Miksi kotona lattiavalaisin palaa edelleen, vaikka pöytävalaisin sammutetaan?
Pohjatiedot
- Vastuksen jännite, virta ja resistanssi liittyvät toisiinsa Ohmin lailla $U = RI$luku Resistanssi ja Ohmin laki
- Virtamittari kytketään sarjaan mitattavan komponentin kanssa. Jännitemittari kytketään rinnan sen kanssaluku Mittaukset virtapiirissä
- Virran suunta on sovittu pariston plusnavasta miinusnapaanluku Virtapiiri, sähkövirta ja jännite
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 3.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Sarjaankytkentä
- Vastukset ovat peräkkäin. Sama virta kulkee jokaisen vastuksen läpi.
- Rinnankytkentä
- Vastukset ovat eri haaroissa samojen kahden haarautumispisteen välissä. Jokaisen haaran yli on sama jännite.
- Kokonaisresistanssi
- Yhden vastuksen resistanssi, joka korvaisi koko kytkennän niin, että virta ja jännite pysyvät samoina.
Pohdinta
Joulukuun iltana ikkunassa roikkuu vanha valosarja. Kaikki sen lamput sammuivat yhtä aikaa, kun yksi pieni lamppu irtosi kannastaan. Samaan jatkojohtoon kytketty lattiavalaisin ja pöytävalaisin palavat silti edelleen. Kumman tahansa niistä voi sammuttaa toisesta riippumatta.
Miten lamppujen kytkentätapa ratkaisee, mihin lamppuihin virta lakkaa kulkemasta, kun yksi lamppu sammuu?
Valinnainen Kertaa: Ohmin laki
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: sarjaankytkentä
Ennuste 2: rinnankytkentä
Tutki
Kytke vastukset sarjaan tai rinnan. Katso, miten virta ja jännitteet jakautuvat ja kuinka suuri virta paristosta lähtee.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Kytkentä: yksi vastus, kaksi vastusta sarjaan tai kaksi vastusta rinnan. Säädä pariston jännitettä $U$ sekä vastuksia $R_1$ ja $R_2$. Virtamittari $\text{A}$ näyttää paristosta lähtevän virran $I$. Vastusten vieressä näkyvät niiden jännitteet. Rinnankytkennässä näkyvät myös haaravirrat. Violettien pisteiden nopeus kertoo virran suuruuden johtimen kussakin osassa. Mitä enemmän tehoa vastuksessa muuttuu sisäenergiaksi, sitä oranssimpana se hehkuu. Nopeus muuttaa vain pisteiden liikkeen tahtia. Se ei muuta lukemia.
Mallin oletukset
Paristo on ihanteellinen: napojen välinen jännite $U$ pysyy samana, vaikka virta muuttuu. Johtimien ja virtamittarin resistanssi on nolla. Vastusten resistanssit eivät muutu, kun ne lämpenevät. Kaikki lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia. Pisteet näyttävät sovitun virran suunnan plusnavasta miinusnapaan. Metallijohtimessa elektronit liikkuvat vastakkaiseen suuntaan. Pisteiden nopeus on vain havainnollistus. Elektronien todellinen keskimääräinen liike johtimessa on hyvin hidasta.
Laskennan selitys
Sarjaankytkennässä $R = R_1 + R_2$, ja koko piirissä kulkee sama virta $I = U : R$. Vastusten jännitteet ovat $U_1 = R_1 I$ ja $U_2 = R_2 I$.
Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on pariston jännite $U$. Haaravirrat ovat siis $I_1 = U : R_1$ ja $I_2 = U : R_2$. Paristosta lähtevä virta on $I = I_1 + I_2$. Kokonaisresistanssi on $R = U : I$, ja se on sama kuin
$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$
Vastuksen hehku seuraa tehoa $P = UI$. Teho käsitellään luvussa Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen.
Koe 1: sarjaankytkentä
Testaa ennuste 1. Vastukset ovat sarjassa, pariston jännite on $6{,}0\,\text{V}$ ja $R_1 = 100\,\Omega$. Muuta vain vastusta $R_2$. Kirjaa virrat ja jännitteet ainakin kahdella arvolla, esimerkiksi $50\,\Omega$, $100\,\Omega$ ja $200\,\Omega$. Vertaa virtoja $I_1$ ja $I_2$. Laske jännitteiden summa.
Alkutila: kytkentä: sarjaankytkentä, pariston jännite = $6\,\text{V}$, $R_1$: $100\,\Omega$, $R_2$: $50\,\Omega$. Vakiona: kytkentä, pariston jännite, $R_1$. Muutetaan: $R_2$.
| $R_2$ | $I_1$ $(\text{mA})$ | $I_2$ $(\text{mA})$ | $U_1$ $(\text{V})$ | $U_2$ $(\text{V})$ |
|---|
Koe 2: rinnankytkentä
Testaa ennuste 2. Vastukset ovat nyt rinnan, pariston jännite on $6{,}0\,\text{V}$ ja $R_1 = 100\,\Omega$. Muuta vain vastusta $R_2$. Kirjaa virrat ja kokonaisresistanssi ainakin kahdella arvolla. Ota ensin ennusteen arvo $100\,\Omega$ ja sitten esimerkiksi $200\,\Omega$ ja $50\,\Omega$. Muuttuuko haaravirta $I_1$, kun $R_2$ muuttuu? Onko kokonaisresistanssi koskaan suurempi kuin pienempi vastuksista?
Alkutila: kytkentä: rinnankytkentä, pariston jännite = $6\,\text{V}$, $R_1$: $100\,\Omega$, $R_2$: $100\,\Omega$. Vakiona: kytkentä, pariston jännite, $R_1$. Muutetaan: $R_2$.
| $R_2$ | $I_1$ $(\text{mA})$ | $I_2$ $(\text{mA})$ | $I$ $(\text{mA})$ | $R$ $(\Omega)$ |
|---|
Johtopäätös: virta ja jännite kytkennöissä
Kirjoita taulukoidesi perusteella.
Mikä suure oli sarjaankytkennässä sama kummassakin vastuksessa, ja mikä jakautui niiden kesken? Mikä suure oli rinnankytkennässä sama kummassakin haarassa? Miten paristosta lähtevä virta riippui haaravirroista? Miten kokonaisresistanssi muuttui, kun toinen vastus kytkettiin rinnan? Mainitse lopuksi, että luvut ovat mallin arvoja, ja mitä oletuksia ne vaativat.
Mallivastaus
Sarjaankytkennässä virta oli sama kummassakin vastuksessa. Se oli esimerkiksi $40{,}0\,\text{mA}$, kun $R_2 = 50\,\Omega$, ja $20{,}0\,\text{mA}$, kun $R_2 = 200\,\Omega$. Pariston jännite jakautui vastusten kesken resistanssien suhteessa: $4{,}00\,\text{V} + 2{,}00\,\text{V} = 6{,}0\,\text{V}$. Rinnankytkennässä kummankin haaran yli oli pariston jännite. Siksi haaravirta $I_1$ pysyi $60{,}0\,\text{mA}$:ssa, vaikka $R_2$ muuttui. Paristosta lähtevä virta oli haaravirtojen summa, esimerkiksi $60{,}0\,\text{mA} + 30{,}0\,\text{mA} = 90{,}0\,\text{mA}$. Kokonaisresistanssi oli aina pienempi kuin pienempi vastuksista, esimerkiksi $50{,}0\,\Omega$ kahdella $100\,\Omega$:n vastuksella. Arvot ovat mallin laskemia: paristo on ihanteellinen, eikä johtimissa ole resistanssia.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Virtapiirissä on usein useampi kuin yksi vastus tai lamppu. Kaksi vastusta voidaan kytkeä paristoon kahdella tavalla. Ne voivat olla peräkkäin samassa silmukassa eli sarjassa. Ne voivat myös olla eri haaroissa samojen kahden pisteen välissä eli rinnan. Kytkentätapa ratkaisee, miten virta ja jännite jakautuvat vastusten kesken. Se ratkaisee myös, kuinka suuri virta paristosta lähtee. Tässä luvussa paristo on ihanteellinen. Ihanteellisen pariston napojen välinen jännite ei riipu virrasta. Johtimien resistanssi jätetään huomiotta.
Sarjaankytkentä
Sarjaankytkennässä vastukset ovat peräkkäin. Varauksilla on vain yksi reitti. Siksi sama virta $I$ kulkee jokaisen vastuksen läpi. Virta ei kulu vastuksessa: varausta ei katoa eikä kasaannu mihinkään piirin kohtaan. Vastuksen jännite kertoo, kuinka paljon kunkin varauksen sähköistä energiaa muuttuu siinä vastuksen sisäenergiaksi. Sisäenergia siirtyy lämpönä ympäristöön. Pariston jännite jakautuu vastusten kesken, $U = U_1 + U_2$. Ohmin lain mukaan $U_1 = R_1 I$ ja $U_2 = R_2 I$. Suuremman resistanssin yli on siis suurempi jännite.
Sarjaan kytketty komponentti voi katketa. Esimerkiksi lampun hehkulanka voi palaa poikki. Silloin ainoa reitti aukeaa, ja virta lakkaa kulkemasta koko piirissä. Siksi vanhanmallisen jouluvalosarjan kaikki lamput sammuvat, kun yksi niistä menee rikki.
Rinnankytkentä
Rinnankytkennässä vastukset ovat eri haaroissa samojen kahden haarautumispisteen välissä. Kummankin haaran päät on yhdistetty johtimilla pariston napoihin. Siksi kummankin vastuksen yli on sama jännite $U$. Haarautumispisteessä virta jakautuu. Toisessa haarautumispisteessä haaravirrat yhdistyvät taas. Paristosta lähtevä virta on haaravirtojen summa, $I = I_1 + I_2$. Ohmin lain mukaan haaravirta on $I_1 = U : R_1$. Pienemmän resistanssin haarassa kulkee siis suurempi virta.
Uusi rinnakkainen haara ei muuta muiden haarojen virtoja, koska niiden jännite pysyy samana. Haara tuo piiriin lisää reittejä, joten paristosta lähtevä virta kasvaa. Kotien valaisimet ja pistorasiat on kytketty rinnan. Jokainen laite saa saman verkkojännitteen. Yhden laitteen sammuttaminen katkaisee vain sen oman haaran.
Kokonaisresistanssi
Vastusten kytkennän voi korvata yhdellä vastuksella, josta paristo antaa saman virran. Tämän vastuksen resistanssi on kytkennän kokonaisresistanssi $R$. Sille pätee $U = RI$, missä $I$ on paristosta lähtevä virta. Sarjaankytkennässä varaukset kulkevat jokaisen vastuksen läpi. Kokonaisresistanssi on siksi suurempi kuin yksikään vastuksista. Rinnankytkennässä jokainen haara on uusi reitti. Kokonaisresistanssi on siksi pienempi kuin pienin haarojen resistansseista.
Vastusten kokonaisresistanssi
Sarjaankytkennässä jännitteet lasketaan yhteen, $U = U_1 + U_2$. Jokaisessa vastuksessa kulkee sama virta $I$. Kun jännitteet kirjoitetaan Ohmin lain avulla, saadaan $RI = R_1 I + R_2 I$. Virta $I$ supistuu pois. Sarjaan kytkettyjen vastusten kokonaisresistanssi on siis
$$R = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$$
missä $R$ on kokonaisresistanssi ($\Omega$) ja $R_1$, $R_2$, $R_3$, … ovat vastusten resistanssit ($\Omega$).
Rinnankytkennässä virrat lasketaan yhteen, $I = I_1 + I_2$. Jokaisen vastuksen yli on sama jännite $U$. Kun virrat kirjoitetaan Ohmin lain avulla, saadaan $\tfrac{U}{R} = \tfrac{U}{R_1} + \tfrac{U}{R_2}$. Jännite $U$ supistuu pois. Rinnan kytkettyjen vastusten kokonaisresistanssille pätee
$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$
missä $R$ on kokonaisresistanssi ja $R_1$, $R_2$, $R_3$, … ovat haarojen resistanssit. Yhtälöstä saadaan ensin luku $\tfrac{1}{R}$, jonka yksikkö on $\tfrac{1}{\Omega}$. Kokonaisresistanssi on sen käänteisluku. Laskun lopuksi on siis muistettava kääntää. Kahdelle rinnakkaiselle vastukselle yhtälön voi ratkaista valmiiksi:
$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$
Kun kaksi yhtä suurta vastusta kytketään rinnan, kokonaisresistanssi on puolet yhden vastuksen resistanssista.
Kuvaajassa vastus $R_1 = 100\,\Omega$ pysyy samana ja $R_2$ muuttuu. Sarjaankytkennän kokonaisresistanssi kasvaa yhtä paljon kuin $R_2$. Se on aina yli $100\,\Omega$. Rinnankytkennän kokonaisresistanssi jää aina pienemmäksi kuin kumpikaan vastuksista. Kun $R_2 = 100\,\Omega$, se on $50\,\Omega$.
Sekakytkentä
Monessa piirissä on sekä sarjaan että rinnan kytkettyjä vastuksia. Ratkaisu etenee vaiheittain sisältä ulospäin:
- Korvaa rinnakkaiset vastukset $R_2$ ja $R_3$ yhdellä vastuksella $R_{23}$ rinnankytkennän kaavalla.
- Vastus $R_1$ on sarjassa sen kanssa, joten kokonaisresistanssi on $R = R_1 + R_{23}$.
- Paristosta lähtevä virta on $I = U : R$. Se kulkee sekä vastuksen $R_1$ että rinnakkaisosan läpi.
- Sarjaosien jännitteet saadaan Ohmin laista: $U_1 = R_1 I$ ja $U_{23} = R_{23} I$. Ne lasketaan yhteen pariston jännitteeksi.
- Jännite $U_{23}$ on sama kummankin rinnakkaisen vastuksen yli. Haaravirrat ovat siis $I_2 = U_{23} : R_2$ ja $I_3 = U_{23} : R_3$. Ne lasketaan yhteen virraksi $I$.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että virta kuluu vastuksessa. Silloin sarjaankytkennän ensimmäinen vastus saisi eniten virtaa ja seuraaville jäisi vähemmän. Kun vastukset $10\,\Omega$ ja $20\,\Omega$ kytketään sarjaan $6{,}0\,\text{V}$:n paristoon, kummankin läpi kulkee kuitenkin sama virta $0{,}20\,\text{A}$. Vastuksessa ei häviä varausta. Siinä varausten sähköistä energiaa muuttuu sisäenergiaksi, ja lampussa myös valoksi.
Toinen yleinen virhe on ajatella, että jokainen lisätty vastus suurentaa kokonaisresistanssia. Se pitää paikkansa vain sarjaankytkennässä. Rinnan lisätty vastus avaa uuden reitin. Kokonaisresistanssi pienenee, ja paristosta lähtevä virta kasvaa.
Tiivistelmä
- Sarjaankytkennässä sama virta kulkee jokaisen vastuksen läpi. Jännitteet lasketaan yhteen, $U = U_1 + U_2$. Kokonaisresistanssi on $R = R_1 + R_2 + \dots$
- Rinnankytkennässä jokaisen haaran yli on sama jännite. Virrat lasketaan yhteen, $I = I_1 + I_2$, ja $\tfrac{1}{R} = \tfrac{1}{R_1} + \tfrac{1}{R_2} + \dots$. Kokonaisresistanssi on pienempi kuin pienin haarojen resistansseista.
- Kun sarjaan kytketty komponentti katkeaa, virta katkeaa koko piiristä. Kun rinnakkainen haara katkeaa, virta katkeaa vain siitä haarasta.
- Sekakytkennän kokonaisresistanssi lasketaan vaiheittain: ensin rinnakkaiset osat, sitten sarjaan kytketyt.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen. Miksi jouluvalosarjan kaikki lamput sammuivat, kun yksi lamppu irtosi? Miksi jatkojohtoon kytketyt valaisimet voi sammuttaa toisistaan riippumatta? Kumpi kytkentä on valosarjassa ja kumpi jatkojohdossa?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kaksi vastusta, $R_1 = 120\,\Omega$ ja $R_2 = 60\,\Omega$, kytketään rinnan $9{,}0\,\text{V}$:n paristoon. Kuinka suuri virta paristosta lähtee? Paristoa pidetään ihanteellisena. Johtimien resistanssi jätetään huomiotta.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $R_1 = 120\,\Omega$, $R_2 = 60\,\Omega$ ja $U = 9{,}0\,\text{V}$. Kysytään paristosta lähtevää virtaa $I$.
Vaihe 2/7
Periaate. Vastukset ovat rinnan, joten kummankin yli on pariston jännite. Kytkennän voi korvata kokonaisresistanssilla $R$. Silloin Ohmin laki antaa paristosta lähtevän virran $I = U : R$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Ratkaistaan rinnankytkennän yhtälöstä $R$ ja sen avulla virta $I$:
$$\begin{aligned} \frac{1}{R} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \\[4pt] R &= \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \\[4pt] I &= \frac{U}{R} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita. Resistanssit ovat ohmeina ja jännite voltteina, ja $\tfrac{\text{V}}{\Omega} = \text{A}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} R &= \frac{120\,\Omega \cdot 60\,\Omega}{120\,\Omega + 60\,\Omega} \\ &= 40\,\Omega \\[6pt] I &= \frac{9{,}0\,\text{V}}{40\,\Omega} \\ &= 0{,}225\,\text{A} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Paristosta lähtee virta $0{,}23\,\text{A}$ eli noin $230\,\text{mA}$. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla kuten jännite $9{,}0\,\text{V}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Haaravirroista saadaan sama tulos: $9{,}0\,\text{V} : 120\,\Omega = 0{,}075\,\text{A}$ ja $9{,}0\,\text{V} : 60\,\Omega = 0{,}15\,\text{A}$. Yhteensä ne ovat $0{,}225\,\text{A}$. Kokonaisresistanssi $40\,\Omega$ on pienempi kuin pienempi vastuksista, $60\,\Omega$, kuten rinnankytkennässä pitääkin.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Kuvan kytkennässä paristo on ihanteellinen. Johtimien resistanssi jätetään huomiotta. Kuinka suuri virta paristosta lähtee? Vastaa ampeereina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mitkä vastukset ovat samojen kahden haarautumispisteen välissä? Mikä vastus on niiden kanssa samalla reitillä, jonka koko virta kulkee?
Vihje 2: mikä yhteys
Korvaa rinnakkaiset vastukset ensin yhdellä vastuksella: $R_{23} = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$. Se on sarjassa $20\,\Omega$:n vastuksen kanssa.
Vihje 3: välivaihe
joten $R = 40\,\Omega$ ja $I = 12\,\text{V} : 40\,\Omega$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvasta pariston jännite $U = 12\,\text{V}$, sarjavastus $R_1 = 20\,\Omega$ ja rinnakkaiset vastukset $R_2 = 60\,\Omega$ ja $R_3 = 30\,\Omega$. Paristo on ihanteellinen, eikä johtimissa ole resistanssia.
Kysytty
paristosta lähtevä virta $I$ ampeereina
Periaate
Rinnakkaiset vastukset korvataan yhdellä vastuksella $R_{23}$. Vastus $20\,\Omega$ on sen kanssa sarjassa, koska koko virta kulkee sen läpi. Kokonaisresistanssi on näiden summa. Ohmin laki antaa paristosta lähtevän virran.
Kuvan lukeminen
Kuvasta luetaan $12\,\text{V}$ ja vastukset. Vastukset $60\,\Omega$ ja $30\,\Omega$ ovat samojen kahden haarautumispisteen välissä eli rinnan. Vastus $20\,\Omega$ on pariston kanssa samassa silmukassa ennen haarautumista eli sarjassa.
Kaava
$R_{23} = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$, $R = R_1 + R_{23}$ ja $U = RI$, josta
$$I = \frac{U}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}}$$
Muunnokset
Ei tarvita. Jännite on voltteina ja resistanssit ohmeina, ja $\tfrac{\text{V}}{\Omega} = \text{A}$.
Sijoitus
Vastaus
$0{,}30\,\text{A}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $12\,\text{V}$.
Järkevyys
Sarjavastuksen yli on $20\,\Omega \cdot 0{,}30\,\text{A} = 6{,}0\,\text{V}$. Rinnakkaisosan yli on loput $6{,}0\,\text{V}$. Haaravirrat ovat $6{,}0\,\text{V} : 60\,\Omega = 0{,}10\,\text{A}$ ja $6{,}0\,\text{V} : 30\,\Omega = 0{,}20\,\text{A}$. Yhteensä ne ovat $0{,}30\,\text{A}$, sama kuin paristosta lähtevä virta.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Vastukset $47\,\Omega$ ja $68\,\Omega$ kytketään sarjaan. Kuinka suuri on niiden kokonaisresistanssi?
Vastaus
Sarjaankytkennässä resistanssit lasketaan yhteen:
$R$$= 47\,\Omega + 68\,\Omega$$= 115\,\Omega$ - Kaksi samanlaista $80\,\Omega$:n vastusta kytketään rinnan. Kuinka suuri on kokonaisresistanssi? Miksi se on pienempi kuin yhden vastuksen resistanssi?
Vastaus
$\tfrac{1}{R}$$= \tfrac{1}{80\,\Omega} + \tfrac{1}{80\,\Omega}$$= \tfrac{2}{80\,\Omega}$joten $R = 40\,\Omega$. Rinnan kytketty vastus on uusi reitti. Samalla jännitteellä paristosta lähtee kaksinkertainen virta. Siksi kokonaisresistanssi on puolet.
1. Käsite
2. Jännitteen jakautuminen
Vastukset $220\,\Omega$ ja $330\,\Omega$ kytketään sarjaan $9{,}0\,\text{V}$:n paristoon. Kuinka suuri jännite on $330\,\Omega$:n vastuksen yli? Vastaa voltteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä suure on sarjaankytkennässä sama kummassakin vastuksessa?
Vihje 2: mikä yhteys
Laske ensin virta kokonaisresistanssin avulla: $I = \dfrac{U}{R_1 + R_2}$.
Vihje 3: välivaihe
ja $U_2 = 330\,\Omega \cdot I$.
Näytä ratkaisu
Annettu
sarjaan kytketyt vastukset $R_1 = 220\,\Omega$ ja $R_2 = 330\,\Omega$, pariston jännite $U = 9{,}0\,\text{V}$
Kysytty
vastuksen $R_2$ jännite $U_2$ voltteina
Periaate
Sarjaankytkennässä sama virta kulkee kummankin vastuksen läpi. Se saadaan kokonaisresistanssista Ohmin lailla. Vastuksen jännite on sen resistanssi kertaa tämä virta.
Kaava
$I = \dfrac{U}{R_1 + R_2}$ ja $U_2 = R_2 I$, josta
$$U_2 = \frac{R_2 U}{R_1 + R_2}$$
Muunnokset
Ei tarvita. Resistanssit ovat ohmeina ja jännite voltteina.
Sijoitus
Vastaus
$5{,}4\,\text{V}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $9{,}0\,\text{V}$.
Järkevyys
Vastuksen $R_2$ osuus kokonaisresistanssista on $330 : 550 = 0{,}6$. Sen yli on siis $0{,}6$ pariston jännitteestä. Toisen vastuksen yli on $9{,}0\,\text{V} - 5{,}4\,\text{V} = 3{,}6\,\text{V}$. Suurempi jännite on suuremman resistanssin yli.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä
Selitä, miksi kahden rinnan kytketyn vastuksen kokonaisresistanssi on aina pienempi kuin kummankaan vastuksen resistanssi. Käytä selityksessäsi jännitettä ja virtaa.
Mallivastaus
Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on sama pariston jännite $U$. Kumpikin haara saa siksi saman virran, jonka se saisi yksinään, esimerkiksi $I_1 = U : R_1$. Paristosta lähtevä virta on haaravirtojen summa $I = I_1 + I_2$. Se on siis suurempi kuin $I_1$ tai $I_2$. Kokonaisresistanssi on $R = U : I$. Sama jännite antaa suuremman virran kuin kumpikaan vastus yksinään. Siksi kokonaisresistanssi on pienempi kuin $R_1$ ja pienempi kuin $R_2$. Jokainen uusi haara on lisäreitti varauksille.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-1Ydintehtävä
Elektroniikkasarjan piirilevyllä on kolme vastusta sarjassa: $120\,\Omega$, $220\,\Omega$ ja $330\,\Omega$. Kuinka suuri on niiden kokonaisresistanssi?
Vastaus
$670\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
sarjaan kytketyt vastukset $R_1 = 120\,\Omega$, $R_2 = 220\,\Omega$ ja $R_3 = 330\,\Omega$
Kysytty
kokonaisresistanssi $R$ ohmeina
Periaate
Sarjaankytkennässä sama virta kulkee jokaisen vastuksen läpi. Vastusten jännitteet lasketaan yhteen. Siksi kokonaisresistanssi on vastusten resistanssien summa.
Kaava
$R = R_1 + R_2 + R_3$
Muunnokset
Ei tarvita, kaikki resistanssit ovat ohmeina.
Sijoitus
$R$$= 120\,\Omega + 220\,\Omega + 330\,\Omega$$= 670\,\Omega$Vastaus
$670\,\Omega$
Summan tarkkuuden ratkaisevat yhteenlaskettavat, jotka kaikki on annettu ohmin tarkkuudella.
Järkevyys
Sarjaankytkennän kokonaisresistanssi on suurempi kuin suurin vastuksista, $330\,\Omega$. Tulos on noin kaksinkertainen suurimpaan vastukseen verrattuna, mikä sopii, koska kaksi muuta vastusta ovat yhteensä $340\,\Omega$.
- Tehtävä 4-2Ydintehtävä
Vastukset $40\,\Omega$ ja $60\,\Omega$ kytketään rinnan. Kuinka suuri on kytkennän kokonaisresistanssi?
Vastaus
$24\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
rinnan kytketyt vastukset $R_1 = 40\,\Omega$ ja $R_2 = 60\,\Omega$
Kysytty
kokonaisresistanssi $R$ ohmeina
Periaate
Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on sama jännite. Haaravirrat lasketaan yhteen. Siksi kokonaisresistanssin käänteisluku on haarojen resistanssien käänteislukujen summa.
Kaava
$\dfrac{1}{R}$$= \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$josta $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
Muunnokset
Ei tarvita, molemmat resistanssit ovat ohmeina.
Sijoitus
$R$$= \dfrac{40\,\Omega \cdot 60\,\Omega}{40\,\Omega + 60\,\Omega}$$= \dfrac{2400\,\Omega^2}{100\,\Omega}$$= 24\,\Omega$Vastaus
$24\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten vastusten arvoissa.
Järkevyys
Rinnankytkennän kokonaisresistanssi on pienempi kuin pienempi vastuksista, $40\,\Omega$. Jos vastukset olisivat molemmat $40\,\Omega$, tulos olisi puolet eli $20\,\Omega$; nyt toinen vastus on suurempi, joten tulos on hieman yli $20\,\Omega$.
- Tehtävä 4-3
Auton sisätiloissa on kolme valaisinta. Ne on kytketty rinnan akkuun. Valaisimien virrat ovat $0{,}20\,\text{A}$, $0{,}45\,\text{A}$ ja $0{,}85\,\text{A}$. Kuinka suuri virta akusta lähtee, kun kaikki kolme palavat?
Vastaus
$1{,}50\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rinnan kytkettyjen valaisimien virrat $I_1 = 0{,}20\,\text{A}$, $I_2 = 0{,}45\,\text{A}$ ja $I_3 = 0{,}85\,\text{A}$
Kysytty
akusta lähtevä virta $I$
Periaate
Rinnankytkennässä virta jakautuu haaroihin ja yhdistyy taas. Varausta ei katoa eikä kasaannu haarautumispisteisiin. Akusta lähtevä virta on siis haaravirtojen summa.
Kaava
$I = I_1 + I_2 + I_3$
Muunnokset
Ei tarvita, kaikki virrat ovat ampeereina.
Sijoitus
$I$$= 0{,}20\,\text{A} + 0{,}45\,\text{A} + 0{,}85\,\text{A}$$= 1{,}50\,\text{A}$Vastaus
$1{,}50\,\text{A}$
Sadasosa-ampeerin tarkkuudella kuten kaikki yhteenlaskettavat.
Järkevyys
Akusta lähtevä virta on suurempi kuin yksikään haaravirroista, koska jokainen valaisin on oma kulkureittinsä. Pyöristetyillä luvuilla $0{,}2\,\text{A} + 0{,}5\,\text{A} + 0{,}8\,\text{A} = 1{,}5\,\text{A}$.
- Tehtävä 4-4
Taskulampussa on kaksi pientä lamppua sarjassa $4{,}5\,\text{V}$:n paristoon kytkettynä. Jännitemittari näyttää ensimmäisen lampun yli $1{,}8\,\text{V}$. Kuinka suuri jännite on toisen lampun yli?
Vastaus
$2{,}7\,\text{V}$
Näytä ratkaisu
Annettu
sarjaan kytketyt lamput, pariston jännite $U = 4{,}5\,\text{V}$, ensimmäisen lampun jännite $U_1 = 1{,}8\,\text{V}$
Kysytty
toisen lampun jännite $U_2$
Periaate
Sarjaankytkennässä pariston jännite jakautuu komponenttien kesken. Jokainen varaus kulkee molempien lamppujen läpi, ja sen energia muuttuu lampuissa valoksi ja hehkulankojen sisäenergiaksi. Lamppujen jännitteiden summa on pariston jännite.
Kaava
$U = U_1 + U_2$, josta $U_2 = U - U_1$
Muunnokset
Ei tarvita, jännitteet ovat voltteina.
Sijoitus
$U_2$$= 4{,}5\,\text{V} - 1{,}8\,\text{V}$$= 2{,}7\,\text{V}$Vastaus
$2{,}7\,\text{V}$
Kymmenesosavoltin tarkkuudella kuten annetut jännitteet.
Järkevyys
Kummankin lampun jännite on pienempi kuin pariston jännite, ja yhteensä $1{,}8\,\text{V} + 2{,}7\,\text{V} = 4{,}5\,\text{V}$. Lamppujen läpi kulkee sama virta, joten suurempi jännite on sen lampun yli, jonka resistanssi on suurempi.
- Tehtävä 4-5
Kolme samanlaista $330\,\Omega$:n vastusta kytketään rinnan. Kuinka suuri on kytkennän kokonaisresistanssi?
Vastaus
$110\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
kolme rinnan kytkettyä vastusta, kukin $R_1 = 330\,\Omega$
Kysytty
kokonaisresistanssi $R$ ohmeina
Periaate
Rinnankytkennässä jokaisen vastuksen yli on sama jännite. Haaravirrat lasketaan yhteen, joten kokonaisresistanssin käänteisluku on haarojen käänteislukujen summa. Kun vastukset ovat yhtä suuret, summa on kolme kertaa yksi käänteisluku.
Kaava
$\dfrac{1}{R}$$= \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_1}$$= \dfrac{3}{R_1}$josta $R = \dfrac{R_1}{3}$
Muunnokset
Ei tarvita, resistanssi on ohmeina.
Sijoitus
$R$$= \dfrac{330\,\Omega}{3}$$= 110\,\Omega$Vastaus
$110\,\Omega$
Kolme merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $330\,\Omega$.
Järkevyys
Kolme samanlaista haaraa johtaa virtaa kolme kertaa niin hyvin kuin yksi. Resistanssi on siis kolmasosa. Tulos on pienempi kuin yhden vastuksen $330\,\Omega$, kuten rinnankytkennässä pitääkin.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-6Ydintehtävä
Vastukset $1{,}2\,\text{k}\Omega$ ja $680\,\Omega$ kytketään sarjaan $9{,}0\,\text{V}$:n paristoon. Kuinka suuri virta piirissä kulkee? Anna vastaus milliampeereina.
Vastaus
$4{,}8\,\text{mA}$
Näytä ratkaisu
Annettu
sarjaan kytketyt vastukset $R_1 = 1{,}2\,\text{k}\Omega$ ja $R_2 = 680\,\Omega$, pariston jännite $U = 9{,}0\,\text{V}$
Kysytty
piirin virta $I$ milliampeereina
Periaate
Sarjaankytkennässä on vain yksi reitti, joten sama virta kulkee kummankin vastuksen läpi. Kytkennän voi korvata kokonaisresistanssilla, joka on resistanssien summa. Virta saadaan Ohmin laista.
Kaava
$R = R_1 + R_2$ ja $U = RI$, josta $I = \dfrac{U}{R_1 + R_2}$
Muunnokset
$R_1$$= 1{,}2\,\text{k}\Omega$$= 1{,}2 \cdot 1000\,\Omega$$= 1200\,\Omega$Lopuksi $1\,\text{A} = 1000\,\text{mA}$.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{9{,}0\,\text{V}}{1200\,\Omega + 680\,\Omega}$$= \dfrac{9{,}0\,\text{V}}{1880\,\Omega}$$= 0{,}004\,787\,\text{A}$$= 4{,}787\,\text{mA}$Vastaus
$4{,}8\,\text{mA}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $9{,}0\,\text{V}$ ja resistanssissa $1{,}2\,\text{k}\Omega$.
Järkevyys
Kokonaisresistanssi on noin $2\,\text{k}\Omega$, joten virta on noin $9\,\text{V} : 2000\,\Omega \approx 4{,}5\,\text{mA}$. Kilo-ohmien vastuksilla ja paristolla virrat ovat tyypillisesti milliampeereja.
- Tehtävä 4-7Ydintehtävä
Pieni merkkilamppu toimii oikein, kun sen jännite on $2{,}5\,\text{V}$ ja virta $0{,}10\,\text{A}$. Lamppu halutaan kytkeä $6{,}0\,\text{V}$:n paristoon. Siksi sen kanssa kytketään sarjaan vastus.
Kuinka suuri vastuksen resistanssin on oltava?
Vastaus
$35\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
lampun jännite $U_\text{L} = 2{,}5\,\text{V}$ ja virta $I = 0{,}10\,\text{A}$, pariston jännite $U = 6{,}0\,\text{V}$
Kysytty
sarjavastuksen resistanssi $R_\text{s}$
Periaate
Lamppu ja vastus ovat sarjassa, joten sama virta $I$ kulkee kummankin läpi. Pariston jännite jakautuu niiden kesken. Vastuksen yli on se osa jännitteestä, joka ei jää lampulle. Vastuksen resistanssi saadaan Ohmin laista.
Kaava
$U = U_\text{L} + U_\text{s}$ ja $U_\text{s} = R_\text{s} I$, josta
$R_\text{s}$$= \dfrac{U - U_\text{L}}{I}$Muunnokset
Ei tarvita: jännitteet ovat voltteina ja virta ampeereina, ja $\tfrac{\text{V}}{\text{A}} = \Omega$.
Sijoitus
$R_\text{s}$$= \dfrac{6{,}0\,\text{V} - 2{,}5\,\text{V}}{0{,}10\,\text{A}}$$= \dfrac{3{,}5\,\text{V}}{0{,}10\,\text{A}}$$= 35\,\Omega$Vastaus
$35\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten virrassa $0{,}10\,\text{A}$.
Järkevyys
Vastuksen yli on enemmän jännitettä kuin lampun yli. Vastuksen resistanssi on siis suurempi kuin lampun, $2{,}5\,\text{V} : 0{,}10\,\text{A} = 25\,\Omega$. Tarkistus: kokonaisresistanssi $35\,\Omega + 25\,\Omega = 60\,\Omega$ antaa virran $6{,}0\,\text{V} : 60\,\Omega = 0{,}10\,\text{A}$.
- Tehtävä 4-8
Vastus $30\,\Omega$ ja tuntematon vastus on kytketty rinnan $6{,}0\,\text{V}$:n paristoon. Paristosta lähtevä virta on $0{,}50\,\text{A}$. Kuinka suuri on tuntemattoman vastuksen resistanssi?
Vastaus
$20\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
rinnan kytketyt vastukset $R_1 = 30\,\Omega$ ja tuntematon $R_2$, pariston jännite $U = 6{,}0\,\text{V}$, paristosta lähtevä virta $I = 0{,}50\,\text{A}$
Kysytty
tuntemattoman vastuksen resistanssi $R_2$
Periaate
Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on pariston jännite. Paristosta lähtevä virta on haaravirtojen summa. Tunnetun vastuksen virta saadaan Ohmin laista, ja loppu virrasta kulkee tuntemattoman vastuksen kautta.
Kaava
$I = I_1 + I_2$, $I_1 = \dfrac{U}{R_1}$ ja $I_2 = \dfrac{U}{R_2}$, josta $R_2 = \dfrac{U}{I - \dfrac{U}{R_1}}$
Muunnokset
Ei tarvita: jännite on voltteina, virta ampeereina ja resistanssi ohmeina.
Sijoitus
$I_1$$= \dfrac{6{,}0\,\text{V}}{30\,\Omega}$$= 0{,}20\,\text{A}$$R_2$$= \dfrac{6{,}0\,\text{V}}{0{,}50\,\text{A} - 0{,}20\,\text{A}}$$= \dfrac{6{,}0\,\text{V}}{0{,}30\,\text{A}}$$= 20\,\Omega$Vastaus
$20\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa.
Järkevyys
Tuntemattomassa haarassa kulkee suurempi virta, $0{,}30\,\text{A}$. Sen resistanssi on siis pienempi kuin $30\,\Omega$. Tarkistus kokonaisresistanssilla:
$\dfrac{30\,\Omega \cdot 20\,\Omega}{50\,\Omega}$$= 12\,\Omega$$6{,}0\,\text{V} : 12\,\Omega = 0{,}50\,\text{A}$.
- Tehtävä 4-9
Vastukset $2{,}2\,\text{k}\Omega$ ja $3{,}3\,\text{k}\Omega$ kytketään rinnan. Kuinka suuri on kytkennän kokonaisresistanssi? Anna vastaus kilo-ohmeina.
Vastaus
$1{,}3\,\text{k}\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
rinnan kytketyt vastukset $R_1 = 2{,}2\,\text{k}\Omega$ ja $R_2 = 3{,}3\,\text{k}\Omega$
Kysytty
kokonaisresistanssi $R$ kilo-ohmeina
Periaate
Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on sama jännite. Haaravirrat lasketaan yhteen, joten kokonaisresistanssin käänteisluku on käänteislukujen summa. Kahdelle vastukselle sen voi ratkaista valmiiksi.
Kaava
$\dfrac{1}{R}$$= \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$josta $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
Muunnokset
$R_1$$= 2{,}2 \cdot 1000\,\Omega$$= 2200\,\Omega$$R_2$$= 3{,}3 \cdot 1000\,\Omega$$= 3300\,\Omega$Lopuksi $1\,\text{k}\Omega = 1000\,\Omega$.
Sijoitus
$R$$= \dfrac{2200\,\Omega \cdot 3300\,\Omega}{2200\,\Omega + 3300\,\Omega}$$= \dfrac{7\,260\,000\,\Omega^2}{5500\,\Omega}$$= 1320\,\Omega$$= 1{,}32\,\text{k}\Omega$Vastaus
$1{,}3\,\text{k}\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten vastusten arvoissa.
Järkevyys
Tulos on pienempi kuin pienempi vastus $2{,}2\,\text{k}\Omega$. Kahdella $2{,}2\,\text{k}\Omega$:n vastuksella tulos olisi $1{,}1\,\text{k}\Omega$. Nyt toinen vastus on suurempi, joten tulos on hieman suurempi. Laskun olisi voinut tehdä myös suoraan kilo-ohmeina, koska yksikkö on osoittajassa ja nimittäjässä.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 4-10
Kuvan kytkennässä paristo on ihanteellinen. Johtimien resistanssi jätetään huomiotta. Kuinka suuri virta kulkee vastuksen $R_3$ läpi? Anna vastaus milliampeereina.
Vastaus
$50\,\text{mA}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvasta pariston jännite $U = 12\,\text{V}$, vastus $R_1 = 40\,\Omega$ sarjassa rinnakkaisten vastusten $R_2 = 60\,\Omega$ ja $R_3 = 120\,\Omega$ kanssa
Kysytty
vastuksen $R_3$ virta $I_3$ milliampeereina
Periaate
Rinnakkaiset vastukset $R_2$ ja $R_3$ korvataan yhdellä vastuksella $R_{23}$, joka on sarjassa $R_1$:n kanssa. Paristosta lähtevä virta kulkee $R_1$:n ja koko rinnakkaisosan läpi. Rinnakkaisosan jännite on sama kummankin haaran yli. Vastuksen $R_3$ virta saadaan siitä Ohmin laista.
Kuvan lukeminen
Kuvasta luetaan arvot $12\,\text{V}$, $R_1 = 40\,\Omega$, $R_2 = 60\,\Omega$ ja $R_3 = 120\,\Omega$. Vastukset $R_2$ ja $R_3$ ovat samojen kahden haarautumispisteen välissä eli rinnan. Koko paristosta lähtevä virta kulkee $R_1$:n läpi ja sitten rinnakkaisosaan. Vastus $R_1$ ja rinnakkaisosa ovat siis peräkkäin eli sarjassa.
Kaava
$R_{23} = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$, $I = \dfrac{U}{R_1 + R_{23}}$, $U_{23} = R_{23} I$, josta $I_3 = \dfrac{U_{23}}{R_3}$
Muunnokset
Ei tarvita laskun aikana. Lopuksi $1\,\text{A} = 1000\,\text{mA}$.
Sijoitus
$R_{23}$$= \dfrac{60\,\Omega \cdot 120\,\Omega}{180\,\Omega}$$= 40\,\Omega$$I$$= \dfrac{12\,\text{V}}{40\,\Omega + 40\,\Omega}$$= 0{,}15\,\text{A}$$U_{23}$$= 40\,\Omega \cdot 0{,}15\,\text{A}$$= 6{,}0\,\text{V}$$I_3$$= \dfrac{6{,}0\,\text{V}}{120\,\Omega}$$= 0{,}050\,\text{A}$$= 50\,\text{mA}$Vastaus
$50\,\text{mA}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $12\,\text{V}$.
Järkevyys
$R_2$:n virta on $6{,}0\,\text{V} : 60\,\Omega = 0{,}10\,\text{A}$, ja haaravirrat ovat yhteensä $0{,}10\,\text{A} + 0{,}050\,\text{A} = 0{,}15\,\text{A}$, sama kuin paristosta lähtevä virta. Suuremman resistanssin haarassa kulkee pienempi virta, kuten pitää.
- Tehtävä 4-11
Sähkölämmittimessä on kaksi samanlaista $46\,\Omega$:n lämmitysvastusta. Se kytketään $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen. Pienellä teholla vastukset on kytketty sarjaan, suurella teholla rinnan.
Kuinka moninkertainen on lämmittimen ottama virta rinnankytkennässä sarjaankytkentään verrattuna? Oleta, että vastusten resistanssi ei muutu.
Vastaus
$4$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaksi lämmitysvastusta, kumpikin $R_1 = 46\,\Omega$, verkkojännite $U = 230\,\text{V}$; resistanssi ei muutu
Kysytty
kuinka moninkertainen virta $I_\text{rinnan}$ on virtaan $I_\text{sarja}$ verrattuna
Periaate
Molemmissa kytkennöissä lämmittimen napojen välillä on sama verkkojännite. Ohmin lain mukaan lämmittimen virta riippuu siis vain kokonaisresistanssista. Sarjaan kytkettyjen yhtä suurten vastusten kokonaisresistanssi on kaksi kertaa yhden resistanssi. Rinnan kytkettyjen se on puolet siitä.
Kaava
$R_\text{sarja} = 2R_1$ ja $R_\text{rinnan} = \dfrac{R_1}{2}$, joten
$\dfrac{I_\text{rinnan}}{I_\text{sarja}}$$= \dfrac{U : R_\text{rinnan}}{U : R_\text{sarja}}$$= \dfrac{R_\text{sarja}}{R_\text{rinnan}}$$= \dfrac{2R_1}{R_1 : 2}$$= 4$Muunnokset
Ei tarvita: jännite ja resistanssi supistuvat suhteesta pois.
Sijoitus
Lukuarvoilla
$I_\text{sarja}$$= \dfrac{230\,\text{V}}{92\,\Omega}$$= 2{,}5\,\text{A}$$I_\text{rinnan}$$= \dfrac{230\,\text{V}}{23\,\Omega}$$= 10\,\text{A}$joten
$\dfrac{I_\text{rinnan}}{I_\text{sarja}}$$= \dfrac{10\,\text{A}}{2{,}5\,\text{A}}$$= 4{,}0$Vastaus
$4$
Kertaa. Suhde on tarkka, koska se ei riipu resistanssin eikä jännitteen arvosta, kun vastukset ovat yhtä suuret.
Järkevyys
Rinnankytkennässä kummankin vastuksen yli on koko $230\,\text{V}$, sarjaankytkennässä vain puolet. Siksi kummankin vastuksen virta on kaksinkertainen, ja haaroja on kaksi. Yhteensä virta on nelinkertainen. Suurempi virta vastaa suurempaa lämmitystehoa, kuten lämmittimen asennot lupaavat.
- Tehtävä 4-12
Kaksi vastusta antaa sarjaan kytkettyinä kokonaisresistanssin $250\,\Omega$ ja rinnan kytkettyinä $60\,\Omega$. Kuinka suuri on suuremman vastuksen resistanssi?
Vastaus
$150\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
sarjaankytkennän kokonaisresistanssi $R_\text{s} = 250\,\Omega$, rinnankytkennän $R_\text{r} = 60\,\Omega$
Kysytty
suuremman vastuksen resistanssi
Periaate
Sarjaankytkennässä resistanssit lasketaan yhteen. Rinnankytkennän kokonaisresistanssi on resistanssien tulo jaettuna niiden summalla. Kahdesta yhtälöstä saadaan vastusten summa ja tulo, ja ne määräävät vastukset.
Kaava
$R_1 + R_2 = R_\text{s}$ ja $R_1 R_2 = R_\text{r} R_\text{s}$ (rinnankytkennän kaavasta). Sijoitetaan $R_2 = R_\text{s} - R_1$, jolloin $R_1^2 - R_\text{s} R_1 + R_\text{r} R_\text{s} = 0$, josta
$R_1$$= \dfrac{R_\text{s} \pm \sqrt{R_\text{s}^2 - 4 R_\text{r} R_\text{s}}}{2}$Muunnokset
Ei tarvita, molemmat resistanssit ovat ohmeina.
Sijoitus
$R_\text{r} R_\text{s}$$= 60\,\Omega \cdot 250\,\Omega$$= 15\,000\,\Omega^2$$R_\text{s}^2 - 4 R_\text{r} R_\text{s}$$= 62\,500\,\Omega^2 - 60\,000\,\Omega^2$$= 2500\,\Omega^2$jonka neliöjuuri on $50\,\Omega$. Siis
$R_1$$= \dfrac{250\,\Omega \pm 50\,\Omega}{2}$joten $R_1 = 150\,\Omega$ tai $R_1 = 100\,\Omega$
Vastaus
$150\,\Omega$
; toinen vastus on $100\,\Omega$. Kaksi merkitsevää numeroa kuten arvossa $60\,\Omega$; data otetaan tarkkoina, sillä juuren alla oleva ero $62\,500 - 60\,000$ on pieni ja tulos herkkä datan viimeiselle numerolle.
Järkevyys
Tarkistus:
$150\,\Omega + 100\,\Omega$$= 250\,\Omega$$\dfrac{150\,\Omega \cdot 100\,\Omega}{250\,\Omega}$$= 60\,\Omega$Rinnankytkennän tulos on pienempi kuin pienempi vastus $100\,\Omega$, kuten pitää.
Valokuvat
- Christmas lights 2. Daniel Schwen. lähde, CC BY-SA 3.0
