Olomuodon muutokset

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-1Ydintehtävä

   Mökkireissulla kylmälaukussa on $1{,}20\,\text{kg}$ jääpaloja, joiden lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Matkan aikana jääpalat sulavat kokonaan $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi vedeksi. Kuinka suuren lämpömäärän jää ottaa vastaan sulaessaan? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $401\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jää, $m = 1{,}20\,\text{kg}$, lämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   jään sulamiseen tarvittava lämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Jää on jo sulamislämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$ ja muuttuu $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi vedeksi. Lämpötila ei muutu, joten $Q = cm\Delta T$ ei päde, vaan tarvitaan sulamislämpö: lämpömäärä on verrannollinen sulavaan massaan.

   Kaava

   $Q = sm$, ja kysytty $Q$ on jo yksin vasemmalla puolella: $Q = sm$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja $s$ on kilojouleina kilogrammaa kohti, joten tulos tulee suoraan kilojouleina.

   Sijoitus

   $Q$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 1{,}20\,\text{kg}$

   $= 400{,}8\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $401\,\text{kJ}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $1{,}20\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kilogramman sulattaminen vaatii $334\,\text{kJ}$, joten vähän yli kilogramman sulattaminen vaatii vähän yli $334\,\text{kJ}$: arvio $334\,\text{kJ} \cdot 1{,}2 \approx 400\,\text{kJ}$. $Q$ on positiivinen, koska jää ottaa energiaa vastaan. Sulamisvesi ei lämpene laskussa, koska lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa.

2. Tehtävä 8-2Ydintehtävä

   Mökillä keitetään perunoita ilman kantta. Keittämisen aikana kattilasta kiehuu pois $0{,}40\,\text{kg}$ vettä. Kuinka suuri lämpömäärä kuluu tämän vesimäärän höyrystämiseen? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $0{,}90\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kattilasta kiehuva vesi, $m = 0{,}40\,\text{kg}$; taulukosta $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   höyrystämiseen kuluva lämpömäärä $Q$ megajouleina

   Periaate

   Vesi on jo kiehuvaa ja muuttuu höyryksi vakiolämpötilassa $100\,{}^\circ\text{C}$. Lämpötila ei muutu, joten ei käytetä $c m \Delta T$:ta vaan höyrystymislämpöä: lämpömäärä on verrannollinen höyrystyvään massaan.

   Kaava

   $Q = rm$, ja $Q$ on jo ratkaistu: $Q = rm$

   Muunnokset

   Tulos saadaan ensin kilojouleina: $r m = 904\,\text{kJ}$. Lopuksi $1\,\text{MJ} = 1000\,\text{kJ}$, joten $904\,\text{kJ} = 0{,}904\,\text{MJ}$.

   Sijoitus

   $Q$$= 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}40\,\text{kg}$

   $= 904\,\text{kJ}$

   $= 0{,}904\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $0{,}90\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}40\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Arvio:

   $2300\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}4\,\text{kg}$

   $\approx 920\,\text{kJ}$

   Höyrystäminen vaatii paljon energiaa: sama $0{,}90\,\text{MJ}$ lämmittäisi vettä

   $\dfrac{904\,\text{kJ}}{4{,}19\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 80\,\text{K}}$

   $\approx 2{,}7\,\text{kg}$

   verran $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Siksi kannellinen kattila säästää energiaa.

3. Tehtävä 8-3

   Syksyn ensimmäisellä pakkasviikolla järven pintaan jäätyy $45\,\text{kg}$ vettä jokaista neliömetriä kohti. Vesi on $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä ja muuttuu $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi jääksi.

   Kuinka suuri lämpömäärä vapautuu jäätymisessä jokaista neliömetriä kohti? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $15\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   järven pintaan jäätyvä vesi, $m = 45\,\text{kg}$ jokaista neliömetriä kohti, lämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   jäätymisessä vapautuva lämpömäärä $Q$ megajouleina

   Periaate

   Vesi jähmettyy $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi jääksi vakiolämpötilassa. Jähmettyessä vapautuu sama lämpömäärä, jonka sama massa sulaessaan ottaisi vastaan, joten käytetään sulamislämpöä $s$ eikä lämpötilan muutosta.

   Kaava

   $Q = sm$ (luovutettu lämpömäärä ilmoitetaan positiivisena), ja $Q$ on jo ratkaistu: $Q = sm$

   Muunnokset

   Tulos tulee kilojouleina: $15\,030\,\text{kJ}$. Lopuksi $1\,\text{MJ} = 1000\,\text{kJ}$, joten $15\,030\,\text{kJ} = 15{,}03\,\text{MJ}$.

   Sijoitus

   $Q$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 45\,\text{kg}$

   $= 15\,030\,\text{kJ}$

   $= 15{,}03\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $15\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $45\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Arvio:

   $330\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 45\,\text{kg}$$\approx 15\,000\,\text{kJ}$

   Vesikerroksen paksuus on

   $\dfrac{45\,\text{kg}}{1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1\,\text{m}^2}$

   $= 4{,}5\,\text{cm}$

   mikä sopii pakkasviikon aikana jäätyneeksi kerrokseksi. Vapautuva lämpö hidastaa jäätymistä, joten järvi ei jäädy hetkessä.

4. Tehtävä 8-4

   Kahvilan espressokeittimen höyryputkesta puhalletaan $100\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä vesihöyryä maitokannuun. Maidon vaahdottamisen aikana $0{,}030\,\text{kg}$ höyryä tiivistyy maidossa $100\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi vedeksi. Kuinka suuren lämpömäärän höyry luovuttaa tiivistyessään? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $68\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   höyry, joka tiivistyy $100\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi vedeksi, $m = 0{,}030\,\text{kg}$; taulukosta $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   höyryn luovuttama lämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Höyry tiivistyy vedeksi samassa $100\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilassa, joten lämpötila ei muutu. Tiivistyessä vapautuu sama lämpömäärä, joka höyrystymiseen tarvittaisiin, joten käytetään höyrystymislämpöä $r$.

   Kaava

   $Q = rm$ (luovutettu lämpömäärä ilmoitetaan positiivisena), ja $Q$ on jo ratkaistu: $Q = rm$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja $r$ kilojouleina kilogrammaa kohti, joten tulos tulee kilojouleina.

   Sijoitus

   $Q$$= 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}030\,\text{kg}$

   $= 67{,}8\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $68\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}030\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Arvio:

   $2300\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}03\,\text{kg}$

   $\approx 69\,\text{kJ}$

   Tämä lämpömäärä lämmittäisi $0{,}3\,\text{kg}$ maitoa noin

   $\dfrac{67{,}8\,\text{kJ}}{4{,}19\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}3\,\text{kg}}$

   $\approx 54\,\text{K}$

   joten pieni höyrymäärä lämmittää kannullisen maitoa. Samasta syystä höyry polttaa ihoa pahemmin kuin yhtä kuuma vesi.

5. Tehtävä 8-5

   Pakastimesta otettua $0{,}60\,\text{kg}$:n jääpalaa lämmitetään. Kuvaajassa on jään lämpötila siirretyn energian funktiona. Määritä kuvaajan avulla jään ominaissulamislämpö. Lue tarvittavat arvot kuvaajasta.

   kJ/kgTarkista
   Vastaus

   $333\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jään massa $m = 0{,}60\,\text{kg}$; lämpötila siirretyn energian funktiona kuvaajassa

   Kysytty

   jään ominaissulamislämpö $s$

   Periaate

   Kuvaajan vaakasuorassa osassa lämpötila pysyy vakiona $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, vaikka energiaa siirtyy: jää sulaa, ja kaikki siirtyvä energia kuluu sulamiseen, $Q = sm$. Sulamiseen kuluva energia on vaakasuoran osan pituus vaaka-akselilla.

   Kuvaajan lukeminen

   Vaakasuora osa alkaa ruudukon risteyksestä $(20\,\text{kJ}$; $0\,{}^\circ\text{C})$ ja päättyy risteykseen $(220\,\text{kJ}$; $0\,{}^\circ\text{C})$. Sulamiseen kuluva energia on siis

   $Q$$= 220\,\text{kJ} - 20\,\text{kJ}$

   $= 200\,\text{kJ}$

   Kaava

   $Q = sm$, josta $s = \dfrac{Q}{m}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: energia luetaan kilojouleina, ja vastaus pyydetään yksikössä $\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Sijoitus

   $s$$= \dfrac{200\,\text{kJ}}{0{,}60\,\text{kg}}$

   $= 333\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Vastaus

   $333\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Arvot luetaan tarkasti ruudukosta, joten hyväksytään $323\ldots343\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä taulukon arvoa $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Sulamiseen kuluu $200\,\text{kJ}$, kun jään lämmittämiseen ennen sulamista kului vain $20\,\text{kJ}$, joten vaakasuora osa on pitkä, ja lämpötilan nousu on sulamisen jälkeen loivempaa, koska veden ominaislämpökapasiteetti on suurempi kuin jään.

6. Tehtävä 8-6

   Jäälohkoa lämmitetään tasaisesti sen sulamispisteessä, ja lohko sulaa. Mitä jään ja sulamisveden seoksen lämpötilalle tapahtuu, kun jäätä on vielä jäljellä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Lämpötila laskee, koska sulaminen ottaa energiaa seoksesta itsestään.
   • Lämpötila nousee tasaisesti, koska energia kasvattaa hiukkasten liike-energiaa.
   • Lämpötila pysyy samana, koska energia muuttaa hiukkasten keskinäisiä vuorovaikutuksia.
   • Lämpötila nousee ensin ja laskee sitten, koska energiaa tarvitaan alussa eniten.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Lämpötila pysyy samana, koska energia muuttaa hiukkasten keskinäisiä vuorovaikutuksia.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä sulavan jään ja sulamisveden seoksen lämpötilalle tapahtuu, kun jäätä on vielä jäljellä.

   Periaate

   Vakiopaineessa puhtaan aineen lämpötila pysyy vakiona olomuodon muutoksen ajan. Sulamisen aikana siirtyvä energia muuttaa hiukkasten keskinäisiä vuorovaikutuksia ja kasvattaa niiden välistä vuorovaikutusenergiaa, joten se ei näy lämpötilan nousuna.

   Mallivastaus

   Lämpötila pysyy samana, koska energia kuluu hiukkasten keskinäisten vuorovaikutusten muuttamiseen eikä hiukkasten liike-energian kasvattamiseen. Vaihtoehto, jonka mukaan lämpötila nousee tasaisesti, unohtaa tämän. Vaihtoehto, jonka mukaan seos jäähtyy, on ristiriidassa sen kanssa, että lämmityksessä energiaa siirtyy seokseen koko ajan. Vaihtoehto, jossa lämpötila ensin nousee ja sitten laskee, ei vastaa mitään sulamisen vaihetta. Vasta kun kaikki jää on sulanut, sulamisvesi alkaa lämmetä.

7. Tehtävä 8-7

   Kuumana päivänä iholle tulee hikeä, ja hiki haihtuu. Miksi hien haihtuminen viilentää ihoa?

   Valitse vaihtoehto.

   • Hikipisarat ovat ihoa kylmempiä, ja ne jäähdyttävät ihoa kuin jääpala.
   • Hiki luovuttaa haihtuessaan energiaa iholle, ja siksi ihon lämpötila laskee.
   • Haihtuva hiki ottaa energiaa iholta, joten iho viilenee.
   • Haihtuminen kuluttaa ihon happea, ja siksi iho viilenee.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Haihtuva hiki ottaa energiaa iholta, joten iho viilenee.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi hien haihtuminen viilentää ihoa.

   Periaate

   Nesteen höyrystyminen vaatii energiaa, $Q = rm$. Haihtuva hiki ottaa tämän energian ympäristöstään, tässä iholta, joten iho menettää energiaa ja sen lämpötila laskee.

   Mallivastaus

   Haihtuvat vesimolekyylit ottavat energiaa mukaansa iholta, joten iho menettää energiaa ja viilenee. Höyrystyminen sitoo energiaa eikä luovuta sitä, joten väite, että hiki lämmittäisi ihoa, on väärä. Hiki on yhtä lämmintä kuin iho, joten se ei viilennä ihoa lämpötilaeronsa vuoksi. Haihtuminen ei myöskään kuluta ihon happea. Energian määrä on suuri: yhden grammin haihtuminen vaatii $r m = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}001\,\text{kg} = 2{,}26\,\text{kJ}$.

8. Tehtävä 8-8

   Mökin hella unohtuu päälle avoimen kattilan alle. Kun vesi kiehuu, veteen siirtyy kiehumisen aikana yhteensä $1{,}36\,\text{MJ}$ energiaa, ja kaikki se kuluu veden höyrystämiseen.

   Kuinka monta kilogrammaa vettä kiehuu pois?

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}602\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   höyrystymiseen kuluva energia $Q = 1{,}36\,\text{MJ}$; taulukosta $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   pois kiehuva vesimäärä $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Vesi kiehuu jo, joten sen lämpötila ei nouse ja koko energia kuluu höyrystämiseen, $Q = rm$. Höyrystyvä massa on verrannollinen energiaan.

   Kaava

   $Q = rm$, josta $m = \dfrac{Q}{r}$

   Muunnokset

   $Q$$= 1{,}36\,\text{MJ}$

   $= 1360\,\text{kJ}$

   koska $1\,\text{MJ} = 1000\,\text{kJ}$. Silloin $r$ voidaan pitää kilojouleina kilogrammaa kohti.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{1360\,\text{kJ}}{2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}}$

   $= 0{,}6018\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}602\,\text{kg}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten energiassa $1{,}36\,\text{MJ}$.

   Järkevyys

   Palautuslasku:

   $0{,}602\,\text{kg} \cdot 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $\approx 1360\,\text{kJ}$

   Tulos on pienempi kuin $1\,\text{kg}$, koska $1\,\text{kg}$ vaatisi $2260\,\text{kJ}$, joka on enemmän kuin $1360\,\text{kJ}$. Yksiköt: $\tfrac{\text{kJ}}{\text{kJ/kg}} = \text{kg}$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-9Ydintehtävä

   Mökin sähköhellan keittolevyn teho on $2{,}0\,\text{kW}$. Levyllä on kattila, jossa vesi kiehuu, ja kattila unohtuu liedelle.

   Kuinka kauan kestää, ennen kuin kattilasta on kiehunut pois $0{,}50\,\text{kg}$ vettä? Oleta, että kaikki levyn energia siirtyy veteen. Anna vastaus minuutteina.

   minTarkista
   Vastaus

   $9{,}4\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $P = 2{,}0\,\text{kW}$, kiehuvasta vedestä höyrystyvä massa $m = 0{,}50\,\text{kg}$, kaikki levyn energia siirtyy veteen; taulukosta $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   aika $t$ minuutteina

   Periaate

   Vesi kiehuu jo, joten sen lämpötila ei nouse ja kaikki levyn energia $Pt$ kuluu höyrystämiseen, $Q = rm$. Energia säilyy, kun häviöitä ei ole, joten $Pt = rm$.

   Kaava

   $Pt = rm$, josta $t = \dfrac{rm}{P}$

   Muunnokset

   $P$$= 2{,}0\,\text{kW}$

   $= 2000\,\text{W}$

   $r$$= 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $= 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Aika saadaan sekunteina ja muunnetaan lopuksi minuuteiksi: $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}50\,\text{kg}}{2000\,\text{W}}$

   $= 565\,\text{s}$

   $= \dfrac{565}{60}\,\text{min}$

   $= 9{,}42\,\text{min}$

   Vastaus

   $9{,}4\,\text{min}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten teholla $2{,}0\,\text{kW}$ ja massalla $0{,}50\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Arvio: noin $1{,}1\,\text{MJ}$ energiaa teholla $2\,\text{kW}$ vie noin $550\,\text{s}$, eli vajaat $10\,\text{min}$. Puolen kilon kiehuminen pois noin kymmenessä minuutissa vastaa kokemusta. Yksiköt:

   $\tfrac{\text{J}}{\text{W}}$$= \tfrac{\text{J}}{\text{J/s}}$

   $= \text{s}$
2. Tehtävä 8-10Ydintehtävä

   Pakastimesta otetaan $750\,\text{g}$ jäätä, jonka lämpötila on $-18\,{}^\circ\text{C}$.

   Kuinka suuri lämpömäärä tarvitaan, jotta jää lämpenisi $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulaisi kokonaan $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi vedeksi? Jään ominaislämpökapasiteetti on $2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$. Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $280\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jää, $m = 750\,\text{g}$, $T_1 = -18\,{}^\circ\text{C}$, loppu $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöinen vesi; taulukosta $c_\text{jää} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   kokonaislämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Prosessissa on kaksi vaihetta. Ensin jää lämpenee $-18\,{}^\circ\text{C}$:sta sulamislämpötilaan $0\,{}^\circ\text{C}$ ($Q_1 = cm\Delta T$), ja sitten se sulaa vakiolämpötilassa ($Q_2 = sm$). Kokonaislämpömäärä on näiden summa.

   Kaava

   $Q = Q_1 + Q_2$, ja $Q = c_\text{jää} m \Delta T + sm$, missä $\Delta T = 0\,{}^\circ\text{C} - T_1$

   Muunnokset

   $m$$= 750\,\text{g}$

   $= 0{,}750\,\text{kg}$

   Lämpötilan muutos on sama kelvineinä:

   $\Delta T$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-18\,{}^\circ\text{C})$

   $= 18\,\text{K}$

   $s = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q_1$$= 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}750\,\text{kg} \cdot 18\,\text{K}$

   $= 28\,350\,\text{J}$

   $Q_2$$= 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}750\,\text{kg}$

   $= 250\,500\,\text{J}$

   joten

   $Q$$= 28\,350\,\text{J} + 250\,500\,\text{J}$

   $= 278\,850\,\text{J}$

   $= 278{,}85\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $280\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpötilassa $-18\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Arvio: sulaminen $0{,}75 \cdot 334 \approx 250\,\text{kJ}$ ja lämpeneminen alle $30\,\text{kJ}$, yhteensä noin $280\,\text{kJ}$. Sulaminen vie

   $\dfrac{250{,}5}{278{,}85}$$\approx 90\,\%$

   energiasta, vaikka lämpötila nousee vain lämmitysvaiheessa. Jos grammoja ei muuntaisi kilogrammoiksi, tulos olisi tuhat kertaa liian suuri.

3. Tehtävä 8-11

   Huhtikuussa järven jää on jo lämmennyt $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöiseksi. Aurinkoisena päivänä jää saa auringosta energiaa $12\,\text{MJ}$ jokaista neliömetriä kohti. Oleta, että kaikki tämä energia kuluu jään sulattamiseen.

   Kuinka monta kilogrammaa jäätä sulaa päivän aikana jokaisen neliömetrin alalta?

   kgTarkista
   Vastaus

   $36\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   auringosta saatu energia $Q = 12\,\text{MJ}$ neliömetriä kohti, jää $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, kaikki energia kuluu sulattamiseen; taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   sulava jään massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten se ei lämpene vaan kaikki energia kuluu sulamiseen. Siksi sulamiseen tarvittava lämpömäärä on $Q = sm$ ja sulavan massan saa ratkaisemalla $m$.

   Kaava

   $Q = sm$, josta $m = \dfrac{Q}{s}$

   Muunnokset

   Megajoulet ja kilojoulet on saatava samaan yksikköön ennen jakamista: $12\,\text{MJ} = 12\,000\,000\,\text{J}$ ja $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{12\,000\,000\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= 35{,}93\,\text{kg}$

   Vastaus

   $36\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten energiassa $12\,\text{MJ}$.

   Järkevyys

   Arvio: $\dfrac{12\,000}{330} \approx 36$. Kerroksen paksuus on

   $\dfrac{35{,}93\,\text{kg}}{920\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1\,\text{m}^2}$

   $\approx 3{,}9\,\text{cm}$

   joten aurinkoinen päivä ohentaa jäätä muutaman sentin, mikä sopii kevään havaintoihin. Jos käyttäisi $\text{MJ}$ ja $\text{kJ}$ sekaisin, tulos olisi tuhat kertaa väärin.

4. Tehtävä 8-12

   Pastan keittämistä varten kattilaan laitetaan $2{,}0\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $15\,{}^\circ\text{C}$. Vesi lämmitetään kiehumispisteeseen eli $100\,{}^\circ\text{C}$:seen, ja sitä keitetään, kunnes kattilasta on höyrystynyt $0{,}10\,\text{kg}$ vettä.

   Kuinka suuri lämpömäärä veteen siirtyy kaikkiaan? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $0{,}94\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m = 2{,}0\,\text{kg}$, $T_1 = 15\,{}^\circ\text{C}$, $T_2 = 100\,{}^\circ\text{C}$, höyrystyvä osa $m_\text{h} = 0{,}10\,\text{kg}$; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   veteen siirtyvä kokonaislämpömäärä $Q$ megajouleina

   Periaate

   Prosessissa on kaksi vaihetta. Ensin koko vesimäärä lämpenee kiehumispisteeseen ($Q_1 = cm\Delta T$), ja sitten vain höyrystyvä osa muuttuu höyryksi vakiolämpötilassa ($Q_2 = rm_\text{h}$). Kokonaislämpömäärä on näiden summa.

   Kaava

   $Q = Q_1 + Q_2$, ja $Q = cm(T_2 - T_1) + rm_\text{h}$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama kelvineinä:

   $T_2 - T_1$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C}$

   $= 85\,\text{K}$

   $r = 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{MJ} = 10^6\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q_1$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 2{,}0\,\text{kg} \cdot 85\,\text{K}$

   $= 712\,300\,\text{J}$

   $Q_2$$= 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}10\,\text{kg}$

   $= 226\,000\,\text{J}$

   joten

   $Q$$= 938\,300\,\text{J}$

   $= 0{,}9383\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $0{,}94\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa $2{,}0\,\text{kg}$ ja $0{,}10\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Arvio:

   $4\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 2\,\text{kg} \cdot 85\,\text{K}$

   $\approx 680\,\text{kJ}$

   $2300 \cdot 0{,}1 = 230\,\text{kJ}$, yhteensä noin $0{,}9\,\text{MJ}$. Höyrystyvä massa on vain $0{,}10\,\text{kg}$, ei koko $2{,}0\,\text{kg}$. Silti tuo pieni määrä vie $\dfrac{226}{938{,}3} \approx 24\,\%$ energiasta, koska $r$ on suuri.

5. Tehtävä 8-13

   Oppilas lämmittää $0{,}250\,\text{kg}$ jäätä $600\,\text{W}$:n uppokuumentimella ja mittaa lämpötilan $T$ ajan $t$ funktiona (taulukko, esimerkkiaineisto). Oleta, että kaikki kuumentimen energia siirtyy jäähän ja siitä syntyvään veteen.

   a) Selitä taulukon avulla, mitä aineelle tapahtuu eri vaiheissa ja miksi lämpötila ei nouse noin hetkien $20\,\text{s}$ ja $150\,\text{s}$ välillä.

   b) Määritä sulamiseen kuluva aika taulukosta ja laske sen avulla jään ominaissulamislämpö. Taulukon rivit $20\,\text{s}$ ja $150\,\text{s}$ ovat jo tasanteen sisällä: arvioi nousujen kulmakertoimista, milloin lämpötila tarkalleen saavuttaa $0\,{}^\circ\text{C}$ ja milloin se alkaa taas nousta.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) ominaissulamislämpö yksikössä $\text{kJ/kg}$.

   Jään lämmitys $600\,\text{W}$:n teholla (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$T\,({}^\circ\text{C})$
   0	−20,0
   10	−8,6
   20	0,0
   60	0,0
   100	0,1
   140	0,0
   150	0,0
   160	1,9
   180	13,4

   kJ/kgTarkista
   Vastaus

   $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jään massa $m = 0{,}250\,\text{kg}$, teho $P = 600\,\text{W}$, kaikki energia siirtyy jäähän; taulukosta lämpötila ajan funktiona

   Kysytty

   a) vaiheet ja lämpötilan pysyminen; b) ominaissulamislämpö $s$ yksikössä $\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Periaate

   Teho on vakio, joten kuumentimen antama energia on $Pt$. Kun lämpötila nousee, energia kuluu lämpenemiseen, $Q = cm\Delta T$. Kun lämpötila pysyy vakiona $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, jää sulaa, ja koko energia kuluu sulamiseen, $Pt = sm$.

   Mallivastaus a)

   Ensin jää lämpenee $0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Sitten lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, vaikka kuumennin antaa energiaa: energia kuluu jään sulattamiseen ja kasvattaa hiukkasten välistä vuorovaikutusenergiaa. Lopuksi kaikki jää on sulanut ja vesi lämpenee.

   Taulukon lukeminen

   Rivit $20\,\text{s}$ ja $150\,\text{s}$ ovat jo tasanteen sisällä, joten sulamisen alku ja loppu arvioidaan nousuista. Alku: rivit $0\,\text{s}$ ja $10\,\text{s}$ antavat nousun $1{,}14\,\tfrac{\text{K}}{\text{s}}$, joten $0\,{}^\circ\text{C}$ saavutetaan noin $18\,\text{s}$:ssa. Loppu: rivillä $160\,\text{s}$ lämpötila on $1{,}9\,{}^\circ\text{C}$ ja rivien $160\,\text{s}$ ja $180\,\text{s}$ nousu on $0{,}575\,\tfrac{\text{K}}{\text{s}}$, joten nousu alkoi noin $3{,}3\,\text{s}$ aiemmin eli noin $157\,\text{s}$:ssa. Sulamisen kesto on $\Delta t = 157\,\text{s} - 18\,\text{s} = 139\,\text{s}$.

   Kaava

   $Pt = sm$, josta $s = \dfrac{P\,\Delta t}{m}$

   Muunnokset

   Teho ja aika ovat jo perusyksiköissä, $1\,\text{W} \cdot 1\,\text{s} = 1\,\text{J}$. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} s &= \dfrac{600\,\text{W} \cdot 139\,\text{s}}{0{,}250\,\text{kg}} \\ &= \dfrac{83\,400\,\text{J}}{0{,}250\,\text{kg}} \\ &= 333\,600\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Aika luetaan vain noin sekunnin tarkkuudella, joten hyväksytään $\pm 5\,\%$, ja kolme merkitsevää numeroa annetaan massan ja tehon mukaan. Jos tasanteeksi lukee suoraan rivit $20\,\text{s}$ ja $150\,\text{s}$, aika on $130\,\text{s}$ ja tulos $312\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$, liian pieni, koska sulaminen alkoi jo ennen riviä $20\,\text{s}$ ja päättyi vasta rivin $150\,\text{s}$ jälkeen.

   Järkevyys

   Tulos vastaa jään tunnettua ominaissulamislämpöä $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Jään lämmitys $-20\,{}^\circ\text{C}$:sta vei noin $18\,\text{s}$ eli $600\,\text{W} \cdot 18\,\text{s} = 10\,800\,\text{J}$. Tarkistus:

   $c m \Delta T$$= 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}250\,\text{kg} \cdot 20\,\text{K}$

   $= 10\,500\,\text{J}$

   joten mittaus ja laskenta sopivat yhteen. Sulaminen vei noin $83\,\text{kJ}$, noin kahdeksan kertaa enemmän energiaa kuin jään lämmittäminen.

6. Tehtävä 8-14

   Oppilas keittää vettä avoimessa kattilassa sähköhellalla. Vesi kiehuu, ja hän kirjoittaa muistiin: ”Kun nostan hellan tehoa, kiehuva vesi lämpenee yli $100\,{}^\circ\text{C}$:n, koska veteen siirtyy enemmän energiaa, ja siksi se höyrystyy nopeammin.”

   a) Selitä, mikä oppilaan päättelyssä on virheellistä.

   b) Hellan teho on $3{,}0\,\text{kW}$. Kuinka monta kilogrammaa vettä kiehuu pois $5{,}0\,\text{min}$:ssa, kun kaikki hellan energia siirtyy veteen?

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}40\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 3{,}0\,\text{kW}$, aika $t = 5{,}0\,\text{min}$, kaikki hellan energia siirtyy veteen; taulukosta $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   a) virhe oppilaan päättelyssä; b) pois kiehuvan veden massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Avoimessa kattilassa paine on vakio ilmanpaine, ja kiehuvan veden lämpötila pysyy kiehumispisteessä, normaalipaineessa noin $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Koko hellan antama energia $Pt$ kuluu höyrystämiseen, $Q = rm$, joten $Pt = rm$.

   Mallivastaus a)

   Oppilas olettaa, että lisätty energia nostaa kiehuvan veden lämpötilaa. Vakiopaineessa lämpötila ei nouse olomuodon muutoksen aikana: lisäenergia kuluu veden höyrystämiseen. Teho vaikuttaa siihen, kuinka nopeasti vesi höyrystyy, mutta ei veden lämpötilaan. Kaksinkertainen teho höyrystää vettä kaksi kertaa niin monta kilogrammaa samassa ajassa, ja vesi pysyy koko ajan $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa.

   Kaava

   $Pt = rm$, josta $m = \dfrac{Pt}{r}$

   Muunnokset

   $P$$= 3{,}0\,\text{kW}$

   $= 3000\,\text{W}$

   $t$$= 5{,}0\,\text{min}$

   $= 5{,}0 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 300\,\text{s}$

   $r$$= 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $= 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} m &= \dfrac{3000\,\text{W} \cdot 300\,\text{s}}{2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}} \\ &= \dfrac{900\,000\,\text{J}}{2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}} \\ &= 0{,}398\,\text{kg} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $0{,}40\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten teholla $3{,}0\,\text{kW}$ ja ajalla $5{,}0\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Arvio: $900\,\text{kJ}$ jaettuna noin $2300\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$:lla on noin $0{,}39\,\text{kg}$. Teholla $1{,}5\,\text{kW}$ vettä höyrystyisi samassa ajassa puolet tästä, noin $0{,}2\,\text{kg}$, mikä vastaa sitä, että höyrystyvä massa on suoraan verrannollinen tehoon.

7. Tehtävä 8-15

   Taulukossa on veden kiehumispiste $T_\text{k}$ eri paineissa $p$ (vesihöyrytaulukko, arvot pyöristetty). Kattilassa keitetään vettä avoimena korkealla vuoristossa, jossa ilmanpaine on $60{,}0\,\text{kPa}$. Normaali ilmanpaine on $101{,}3\,\text{kPa}$.

   a) Arvioi kiehumispiste paineessa $60{,}0\,\text{kPa}$ taulukon kahden viereisen rivin avulla. Kuinka monta kelviniä alempana vesi kiehuu paineessa $60{,}0\,\text{kPa}$ kuin normaalipaineessa?

   b) Selitä, miksi ruoka kypsyy vuoristossa hitaammin, vaikka vesi kiehuu koko ajan ja hella antaa saman tehon.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan a) tulos.

   Veden kiehumispiste eri paineissa (vesihöyrytaulukko)

   $p\,(\text{kPa})$	$T_\text{k}\,({}^\circ\text{C})$
   20,0	60,1
   30,0	69,1
   50,0	81,3
   70,0	90,0
   101,3	100,0

   KTarkista
   Vastaus

   $14{,}4\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiehumispisteet taulukosta: $T_\text{k} = 100{,}0\,{}^\circ\text{C}$ paineessa $101{,}3\,\text{kPa}$, $T_\text{k} = 81{,}3\,{}^\circ\text{C}$ paineessa $50{,}0\,\text{kPa}$ ja $T_\text{k} = 90{,}0\,{}^\circ\text{C}$ paineessa $70{,}0\,\text{kPa}$; vuoristossa $p = 60{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) kiehumispisteen ero $\Delta T$ kelvineinä paineessa $60{,}0\,\text{kPa}$ normaalipaineeseen verrattuna; b) miksi ruoka kypsyy hitaammin vuoristossa

   Periaate

   Veden kiehumispiste riippuu paineesta: pienemmässä paineessa vesi kiehuu alemmassa lämpötilassa. Paine $60{,}0\,\text{kPa}$ on taulukon rivien $50{,}0\,\text{kPa}$ ja $70{,}0\,\text{kPa}$ puolivälissä, joten kiehumispiste arvioidaan niiden puolivälistä (lineaarinen interpolointi).

   Kaava

   $T_\text{k,vuori}$$= \dfrac{T_{50} + T_{70}}{2}$

   $\Delta T = T_\text{k,normaali} - T_\text{k,vuori}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} T_\text{k,vuori} &= \dfrac{81{,}3\,{}^\circ\text{C} + 90{,}0\,{}^\circ\text{C}}{2} \\ &= 85{,}65\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \Delta T &= 100{,}0\,{}^\circ\text{C} - 85{,}65\,{}^\circ\text{C} \\ &= 14{,}35\,\text{K} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $14{,}4\,\text{K}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten taulukon lämpötiloissa. Interpolointi on arvio, joten hyväksytään $\pm 4\,\%$.

   Mallivastaus b)

   Kiehuva vesi pysyy lämpötilassa $T_\text{k}$, vaikka hella antaa lisää energiaa: lisäenergia höyrystää vettä eikä nosta lämpötilaa. Vuoristossa $T_\text{k}$ on vain noin $85{,}7\,{}^\circ\text{C}$, joten ruoka ympäröivässä vedessä on noin $14\,\text{K}$ viileämpää kuin merenpinnan tasolla. Ruoan kypsyminen riippuu lämpötilasta, joten se kestää kauemmin.

   Järkevyys

   Arvio $85{,}7\,{}^\circ\text{C}$ on rivien $81{,}3\,{}^\circ\text{C}$ ja $90{,}0\,{}^\circ\text{C}$ välissä, kuten paine $60{,}0\,\text{kPa}$ on rivien $50{,}0\,\text{kPa}$ ja $70{,}0\,\text{kPa}$ välissä. Ero $14{,}4\,\text{K}$ on pienempi kuin paineessa $50{,}0\,\text{kPa}$ ($18{,}7\,\text{K}$) ja suurempi kuin paineessa $70{,}0\,\text{kPa}$ ($10{,}0\,\text{K}$), kuten pitääkin.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 8-16

   Laiturilla juodaan mehua.

   Lasissa on $0{,}35\,\text{kg}$ mehua, jonka lämpötila on $25\,{}^\circ\text{C}$, ja siihen pudotetaan $60\,\text{g}$ sulamassa olevia $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöisiä jääpaloja. Mehun ominaislämpökapasiteetti on sama kuin veden.

   Mikä on juoman lämpötila, kun kaikki jää on sulanut ja lasin sisältö on lämpötasapainossa? Oleta, että lämpöä ei siirry lasiin eikä ilmaan. Perustele myös, miksi $60\,\text{g}$ $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä vettä ei jäähdyttäisi mehua yhtä paljon.

   °CTarkista
   Vastaus

   $9{,}7\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mehu (veden $c$) $m_1 = 0{,}35\,\text{kg}$, $T_1 = 25\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_2 = 60\,\text{g}$, $T_0 = 0\,{}^\circ\text{C}$; ei lämpöhäviöitä; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   loppulämpötila $T$, kun kaikki jää on sulanut

   Periaate

   Energia säilyy, kun lämpöä ei siirry lasiin eikä ilmaan: mehun luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin jään sulamiseen ja sulamisveden lämmittämiseen kuluva. Jää sulaa kokonaan, jos mehu riittää: se luovuttaisi jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen $36\,662{,}5\,\text{J}$, mutta sulaminen vaatii vain $20\,040\,\text{J}$.

   Kaava

   $cm_1(T_1 - T) = sm_2 + cm_2(T - T_0)$, josta

   $T$$= \dfrac{cm_1T_1 + cm_2T_0 - sm_2}{c(m_1 + m_2)}$

   Muunnokset

   $m_2$$= 60\,\text{g}$

   $= 0{,}060\,\text{kg}$

   $s = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$. Koska $T_0 = 0\,{}^\circ\text{C}$, termi $cm_2T_0$ on nolla, ja lämpötilat voi sijoittaa celsiusasteina, koska kaava sisältää lämpötilaeroja.

   Sijoitus

   Osoittaja on

   $4190 \cdot 0{,}35 \cdot 25 - 334\,000 \cdot 0{,}060$

   $= 36\,662{,}5 - 20\,040$

   $= 16\,622{,}5$

   ja nimittäjä $4190 \cdot 0{,}41 = 1717{,}9$, joten

   $$T = \dfrac{16\,622{,}5}{1717{,}9}\,{}^\circ\text{C} = 9{,}68\,{}^\circ\text{C}$$

   Vastaus

   $9{,}7\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}35\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Tulos on välillä $0\,{}^\circ\text{C}$ ja $25\,{}^\circ\text{C}$. Jos $60\,\text{g}$ olisi jo $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä vettä, loppulämpötila olisi

   $\dfrac{0{,}35 \cdot 25}{0{,}41}\,{}^\circ\text{C}$$\approx 21\,{}^\circ\text{C}$

   Jää jäähdyttää paljon enemmän, koska sulaminen sitoo $20\,040\,\text{J}$ lämpöä ilman lämpötilan muutosta: tämän takia juoma jäähtyy yli $11\,\text{K}$ lisää.

2. Tehtävä 8-17

   Saunassa heitetään kiukaalle löylyä, kauhallinen eli $0{,}25\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$. Vesi lämpenee kuumilla kivillä $100\,{}^\circ\text{C}$:seen ja höyrystyy kokonaan.

   Kiukaassa on $30\,\text{kg}$ kiviä, joiden ominaislämpökapasiteetti on $800\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$. Oleta, että kaikki veden tarvitsema energia tulee kivistä eikä kiuas lämmitä niitä sillä välin.

   Kuinka monta kelviniä kivien lämpötila laskee? Perustele, kumpi vaihe, veden lämpeneminen vai höyrystyminen, vie enemmän energiaa.

   KTarkista
   Vastaus

   $27\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m = 0{,}25\,\text{kg}$, $T_1 = 20\,{}^\circ\text{C}$, lämpenee $T_2 = 100\,{}^\circ\text{C}$:seen ja höyrystyy kokonaan; kivet $m_\text{k} = 30\,\text{kg}$, $c_\text{k} = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   kivien lämpötilan lasku $\Delta T$ kelvineinä

   Periaate

   Energia säilyy: kaikki veden tarvitsema energia tulee kivistä. Vesi tarvitsee ensin lämpenemiseen $cm(T_2 - T_1)$ ja sitten höyrystymiseen, jossa lämpötila ei muutu, $rm$. Kivien luovuttama lämpömäärä on $c_\text{k}m_\text{k}\Delta T$.

   Kaava

   $c_\text{k}m_\text{k}\Delta T = cm(T_2 - T_1) + rm$, josta

   $\Delta T$$= \dfrac{cm(T_2 - T_1) + rm}{c_\text{k}m_\text{k}}$

   Muunnokset

   $T_2 - T_1$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80\,\text{K}$

   sama kelvineinä. $r = 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.

   Sijoitus

   $Q_1$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}25\,\text{kg} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 83\,800\,\text{J}$

   $Q_2$$= 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}25\,\text{kg}$

   $= 565\,000\,\text{J}$

   joten

   $\Delta T$$= \dfrac{648\,800\,\text{J}}{800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 30\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{648\,800\,\text{J}}{24\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$

   $= 27{,}03\,\text{K}$

   Vastaus

   $27\,\text{K}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}25\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Höyrystyminen vie $\dfrac{565}{648{,}8} \approx 87\,\%$ energiasta ja lämpeneminen vain $13\,\%$, vaikka lämpötila nousee $80\,\text{K}$: yhden kilogramman höyrystäminen vaatii saman energian kuin sen lämmittäminen noin

   $\dfrac{2260}{4{,}19}$$\approx 540\,\text{K}$

   Kivien lämpökapasiteetti on $24\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$, joten yksi kauhallinen jäähdyttää kiviä muutaman kymmenen kelviniä, mikä sopii löylyn kokemukseen.

3. Tehtävä 8-18

   Ryhmä mittaa veden ominaishöyrystymislämpöä kahdella mittauksella. Vaa'an päällä olevassa avoimessa astiassa vesi kiehuu, ja vedessä on uppokuumennin, jonka tehoa voi säätää.

   Kun kuumentimen teho on $800\,\text{W}$, vaa'an lukema pienenee $10{,}0\,\text{min}$:ssa $196\,\text{g}$. Kun teho on $400\,\text{W}$, lukema pienenee $10{,}0\,\text{min}$:ssa $90{,}0\,\text{g}$. Vesi on kummassakin mittauksessa $100\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä, joten astiasta siirtyy ympäröivään ilmaan joka sekunti yhtä paljon energiaa.

   Laske ominaishöyrystymislämpö kahden mittauksen erotuksen avulla. Perustele, miksi ilmaan siirtyvä energia ei vaikuta tulokseen ja miksi kummastakin mittauksesta erikseen laskettu arvo on liian suuri. Anna vastaus yksikössä MJ/kg.

   MJ/kgTarkista
   Vastaus

   $2{,}26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $P_1 = 800\,\text{W}$, $\Delta m_1 = 196\,\text{g}$; $P_2 = 400\,\text{W}$, $\Delta m_2 = 90{,}0\,\text{g}$; kummassakin $t = 10{,}0\,\text{min}$; vesi $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten ilmaan siirtyvä teho $P_\text{h}$ on sama

   Kysytty

   ominaishöyrystymislämpö $r$ yksikössä $\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Periaate

   Vesi kiehuu koko ajan, joten sen lämpötila ei muutu ja veteen jäävä energia kuluu höyrystämiseen: $(P - P_\text{h})t = r\Delta m$. Yhtälöitä on kaksi ja tuntemattomia kaksi ($r$ ja $P_\text{h}$), joten ne voidaan ratkaista yhdessä.

   Kaava

   $(P_1 - P_\text{h})t = r\Delta m_1$ ja $(P_2 - P_\text{h})t = r\Delta m_2$. Vähennetään yhtälöt: $(P_1 - P_2)t = r(\Delta m_1 - \Delta m_2)$, josta

   $r$$= \dfrac{(P_1 - P_2)t}{\Delta m_1 - \Delta m_2}$

   Muunnokset

   $t$$= 10{,}0\,\text{min}$

   $= 600\,\text{s}$

   $\Delta m_1 = 0{,}196\,\text{kg}$ ja $\Delta m_2 = 0{,}0900\,\text{kg}$. Lopuksi $1\,\text{MJ} = 10^6\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $r$$= \dfrac{(800\,\text{W} - 400\,\text{W}) \cdot 600\,\text{s}}{0{,}196\,\text{kg} - 0{,}0900\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{240\,000\,\text{J}}{0{,}106\,\text{kg}}$

   $= 2\,264\,151\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   $= 2{,}264\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Vastaus

   $2{,}26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kolme merkitsevää numeroa: erotus $196\,\text{g} - 90{,}0\,\text{g} = 106\,\text{g}$ on gramman tarkkuudella ja sillä on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Ilmaan siirtyvä energia $P_\text{h}t$ on sama kummassakin mittauksessa ja kumoutuu erotuksesta. Yksittäiset mittaukset antaisivat

   $\dfrac{800\,\text{W} \cdot 600\,\text{s}}{0{,}196\,\text{kg}}$$\approx 2{,}45\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $\dfrac{400\,\text{W} \cdot 600\,\text{s}}{0{,}0900\,\text{kg}}$$\approx 2{,}67\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   liian suuria, koska niissä myös ilmaan siirtynyt energia luettaisiin höyrystymiseen. Häviöteho on

   $800\,\text{W} - 2{,}264 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot \dfrac{0{,}196\,\text{kg}}{600\,\text{s}}$

   $\approx 60\,\text{W}$

   ja tulos on taulukon arvon $2{,}26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ mukainen.

4. Tehtävä 8-19

   Kynttilän valmistuksessa käytetty steariini on sulatettu $0{,}100\,\text{kg}$:n erä, joka jäähtyy ja jähmettyy ilmassa. Lämpötila $T$ mitataan ajan $t$ funktiona (taulukko, esimerkkiaineisto). Steariini luovuttaa ympäristöön koko ajan saman tehon. Nestemäisen steariinin ominaislämpökapasiteetti on $2200\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.

   a) Määritä steariinin jähmettymislämpötila taulukosta.

   b) Laske nestemäisen steariinin jäähtymisestä ympäristöön luovutettu teho $P$.

   c) Arvioi taulukosta jähmettymisen alku- ja loppuhetki ja laske jähmettymisessä vapautuva energia sekä steariinin ominaisjähmettymislämpö (sama kuin ominaissulamislämpö). Perustele, miksi lämpötila ei laske jähmettymisen aikana.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) jähmettymisessä vapautuva energia yksikössä $\text{kJ}$.

   Steariinierän jäähtyminen (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{min})$	$T\,({}^\circ\text{C})$
   0	80,0
   1	76,7
   2	73,5
   3	70,2
   4	69,4
   8	69,4
   14	69,3
   20	69,3
   26	69,2
   30	69,2
   32	65,0
   34	57,4

   kJTarkista
   Vastaus

   $Q = 20\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   steariinin massa $m = 0{,}100\,\text{kg}$; nesteen $c = 2200\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; lämpötila ajan funktiona taulukossa; luovutettu teho $P$ on vakio

   Kysytty

   a) jähmettymislämpötila; b) teho $P$; c) jähmettymisessä vapautuva energia $Q$ kilojouleina ja $s$

   Periaate

   Nesteen jäähtyessä luovutettu energia on $Q = cm\Delta T$, joten teho on $P = \dfrac{cm\Delta T}{\Delta t}$. Jähmettymisen aikana lämpötila pysyy vakiona, mutta ympäristöön menee sama teho $P$: jähmettyvä aine luovuttaa energiaa $Q = sm$ ja pitää lämpötilan vakiona.

   Taulukon lukeminen

   Taulukossa lämpötila pysyy välillä $4\ldots 30\,\text{min}$ arvossa $69{,}2\ldots 69{,}4\,{}^\circ\text{C}$ eli noin $69\,{}^\circ\text{C}$. Nestevaiheen rivit $0\,\text{min}$ ja $3\,\text{min}$ antavat jäähtymisen $80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 70{,}2\,{}^\circ\text{C} = 9{,}8\,\text{K}$ ajassa $3\,\text{min}$.

   Jähmettyminen alkaa noin $3{,}2\,\text{min}$:ssa: tasanteelle päästään nesteen jäähtymislinjaa pitkin, noin $0{,}8\,\text{K} : 3{,}27\,\tfrac{\text{K}}{\text{min}} = 0{,}24\,\text{min}$ rivin $3\,\text{min}$ jälkeen.

   Jähmettyminen päättyy noin $30{,}9\,\text{min}$:ssa: kiinteän aineen rivit $32\,\text{min}$ ja $34\,\text{min}$ antavat jäähtymisnopeuden $(65{,}0\,\text{K} - 57{,}4\,\text{K}) : 2\,\text{min} = 3{,}8\,\tfrac{\text{K}}{\text{min}}$, joten tasanteen lämpötilasta $69{,}2\,{}^\circ\text{C}$ rivin $32\,\text{min}$ lämpötilaan $65{,}0\,{}^\circ\text{C}$ kuluu aikaa $4{,}2\,\text{K} : 3{,}8\,\tfrac{\text{K}}{\text{min}} = 1{,}1\,\text{min}$.

   Jähmettymisen kesto on noin $30{,}9\,\text{min} - 3{,}2\,\text{min} = 27{,}7\,\text{min}$.

   Kaava

   b) $P = \dfrac{cm\Delta T}{\Delta t}$; c) $Q = P\,\Delta t_\text{jähm}$ ja $Q = sm$, josta $s = \dfrac{Q}{m}$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   $\Delta t$$= 3\,\text{min}$

   $= 180\,\text{s}$

   $\Delta t_\text{jähm}$$= 27{,}7\,\text{min}$

   $= 1662\,\text{s}$

   Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} P &= \dfrac{2200\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}100\,\text{kg} \cdot 9{,}8\,\text{K}}{180\,\text{s}} \\ &= \dfrac{2156\,\text{J}}{180\,\text{s}} \\ &= 11{,}98\,\text{W} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} Q &= 11{,}98\,\text{W} \cdot 1662\,\text{s} \\ &= 19\,910\,\text{J} \approx 20\,\text{kJ} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} s &= \dfrac{19\,910\,\text{J}}{0{,}100\,\text{kg}} \\ &= 199\,100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \end{aligned}$$

   Vastaus

   a) $69\,{}^\circ\text{C}$; b) $12\,\text{W}$; c) $Q = 20\,\text{kJ}$ ja $s \approx 200\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Aika luetaan karkeasti, joten hyväksytään $\pm 8\,\%$ ja tulos annetaan kahdella merkitsevällä numerolla.

   Järkevyys

   Jähmettyminen kestää $27{,}7\,\text{min}$, selvästi kauemmin kuin nesteen $9{,}8\,\text{K}$:n jäähtyminen $3\,\text{min}$:ssa. Vertailu: jos sama energia $19{,}9\,\text{kJ}$ laskisi nestettä, lämpötila laskisi

   $\dfrac{19\,910\,\text{J}}{2200\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}100\,\text{kg}}$

   $\approx 90\,\text{K}$

   joten jähmettymisessä vapautuu paljon energiaa. Tasanteella lämpötila ei laske, koska jähmettyminen vapauttaa juuri sen energian, jonka aine luovuttaa ympäristöön: koko vapautuva energia kuluu ympäristön häviöihin.

5. Tehtävä 8-20

   Kahvilassa maitoa lämmitetään espressokeittimen höyryputkella. Kannussa on $0{,}300\,\text{kg}$ maitoa, jonka lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Putkesta puhalletaan maitoon $100\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä vesihöyryä, joka tiivistyy ja jäähtyy maidon loppulämpötilaan. Maitoa lämmitetään, kunnes sen lämpötila on $65{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Maidon ominaislämpökapasiteetti on sama kuin veden, ja lämpöä ei siirry kannuun eikä ilmaan.

   a) Laske, kuinka monta grammaa höyryä maitoon täytyy tiivistyä.

   b) Kuinka monta kilogrammaa $100\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä vettä pitäisi sekoittaa maitoon, jotta maito lämpenisi samoin $65{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen? Käytä vertailua perustellessasi, miksi $100\,{}^\circ\text{C}$:n höyry polttaa ihoa pahemmin kuin yhtä kuuma vesi.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan a) tulos yksikössä $\text{g}$. Kohdan b) laskun ja perustelun tarkistat mallivastauksesta.

   gTarkista
   Vastaus

   $23{,}5\,\text{g}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   maito $M = 0{,}300\,\text{kg}$, $T_0 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, loppulämpötila $T = 65{,}0\,{}^\circ\text{C}$; höyry $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa; ei lämpöhäviöitä; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   a) tiivistyvän höyryn massa $m_\text{h}$ grammoina; b) vertailu: tarvittava $100\,{}^\circ\text{C}$:n veden massa

   Periaate

   Energia säilyy, kun häviöitä ei ole: maidon vastaanottama energia on yhtä suuri kuin höyryn luovuttama. Höyry luovuttaa energiaa kahdessa vaiheessa: tiivistyessään $100\,{}^\circ\text{C}$:n vedeksi ($Q = rm_\text{h}$) ja sitten tiivistynyt vesi jäähtyessään $100\,{}^\circ\text{C}$:sta loppulämpötilaan ($Q = cm_\text{h}\Delta T$).

   Kaava

   $c M (T - T_0) = r m_\text{h} + c\, m_\text{h}(100\,{}^\circ\text{C} - T)$, josta

   $m_\text{h}$$= \dfrac{c M (T - T_0)}{r + c\,(100\,{}^\circ\text{C} - T)}$

   Vertailussa pelkkä $100\,{}^\circ\text{C}$:n vesi luovuttaa vain jäähtyessään: $c M (T - T_0) = c\, m_\text{v}(100\,{}^\circ\text{C} - T)$, josta

   $m_\text{v}$$= \dfrac{M (T - T_0)}{100\,{}^\circ\text{C} - T}$

   Muunnokset

   Lämpötilaerot ovat samat celsiusasteina ja kelvineinä: $T - T_0 = 45{,}0\,\text{K}$ ja $100\,{}^\circ\text{C} - T = 35{,}0\,\text{K}$. $r = 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.

   Sijoitus

   Osoittaja on $4190 \cdot 0{,}300 \cdot 45{,}0\,\text{J} = 56\,565\,\text{J}$ ja nimittäjä $2\,260\,000 + 4190 \cdot 35{,}0 = 2\,406\,650\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$, joten

   $$\begin{aligned} m_\text{h} &= \dfrac{56\,565\,\text{J}}{2\,406\,650\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}} \\ &= 0{,}0235\,\text{kg} = 23{,}5\,\text{g} \end{aligned}$$

   $$m_\text{v} = \dfrac{0{,}300 \cdot 45{,}0}{35{,}0}\,\text{kg} = 0{,}386\,\text{kg}$$

   Vastaus

   a) $23{,}5\,\text{g}$, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}300\,\text{kg}$; b) $0{,}386\,\text{kg}$, ja se on noin $16$ kertaa höyryn massa.

   Mallivastaus

   Yksi kilogramma höyryä luovuttaa jäähtyessään $65\,{}^\circ\text{C}$:seen yhteensä $2\,406\,650\,\text{J}$, mutta yksi kilogramma samanlämpöistä vettä vain $4190 \cdot 35{,}0\,\text{J} = 146\,650\,\text{J}$. Höyryn luovuttamasta energiasta valtaosa, noin $94\,\%$, vapautuu tiivistymisessä lämpötilan pysyessä vakiona. Iholle osuva höyry tiivistyy ihon pinnalle ja luovuttaa tämän suuren energian iholle, joten sama massa höyryä aiheuttaa paljon pahemman palovamman kuin yhtä kuuma vesi.

   Järkevyys

   Tulos $23{,}5\,\text{g}$ on pieni verrattuna maidon massaan $300\,\text{g}$, koska höyry luovuttaa tiivistyessään paljon energiaa ($r$ on suuri). Tarkistus: $23{,}5\,\text{g}$ luovuttaa tiivistyessään

   $2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}0235\,\text{kg}$

   $= 53{,}1\,\text{kJ}$

   ja jäähtyessään

   $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}0235\,\text{kg} \cdot 35{,}0\,\text{K}$

   $= 3{,}4\,\text{kJ}$

   yhteensä $56{,}6\,\text{kJ}$, ja maito ottaa $56{,}6\,\text{kJ}$. Energiat täsmäävät.