Työ ja energia

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-1Ydintehtävä

   Mopoa työnnetään liikkeen suuntaan $80\,\text{N}$:n voimalla 25 metrin matkan. Kuinka suuren työn työntävä voima tekee?

   kJTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $F = 80\,\text{N}$ (liikkeen suuntainen), $s = 25\,\text{m}$

   Kysytty

   voiman tekemä työ $W$ kilojouleina

   Periaate

   Työntävä voima on liikkeen suuntainen ja vakio, joten se tekee työn, joka on voiman ja siirtymän tulo. Jos voima olisi vinossa tai muuttuisi matkalla, tarvittaisiin muuta menetelmää.

   Kaava

   $W = F s$, jolloin työ on jo ratkaistu: $W = F s$

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja matka metreinä, joten tulo on suoraan jouleina ($1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}$). Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 80\,\text{N} \cdot 25\,\text{m}$

   $= 2000\,\text{J}$

   $= 2{,}000\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa $80\,\text{N}$ ja $25\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: $80\,\text{N} \approx 8\,\text{kg}$:n paino, ja

   $8\,\text{kg}\cdot 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 25\,\text{m}$

   $= 2000\,\text{J}$

   Sama työ nostaisi $20\,\text{kg}$:n kappaleen noin $10\,\text{m}$:n korkeuteen:

   $20\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 10\,\text{m}$

   $\approx 2{,}0\,\text{kJ}$

   $W$ on positiivinen, koska voima on liikkeen suuntainen.

2. Tehtävä 2-2Ydintehtävä

   Kirjahylly painaa $150\,\text{N}$. Hylly nostetaan hitaasti lattialta $1{,}2\,\text{m}$:n korkeuteen. Kuinka suuren työn nostovoima tekee?

   JTarkista
   Vastaus

   $180\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   paino $G = 150\,\text{N}$, nostokorkeus $h = 1{,}2\,\text{m}$, nosto hidas

   Kysytty

   nostovoiman tekemä työ $W$ jouleina

   Periaate

   Hitaassa nostossa nostovoima on yhtä suuri kuin paino ja liikkeen suuntainen, joten voima on vakio koko matkan. Työ on silloin voiman ja nostokorkeuden tulo.

   Kaava

   $W = F h$ ja $F = G$, joten $W = G h$

   Muunnokset

   Paino on newtoneina ja korkeus metreinä, joten muunnoksia ei tarvita: $\text{N}\cdot\text{m} = \text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 150\,\text{N} \cdot 1{,}2\,\text{m}$

   $= 180\,\text{J}$

   Vastaus

   $180\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $1{,}2\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: $150\,\text{N} \cdot 1\,\text{m} = 150\,\text{J}$, ja matka on hieman yli metrin. Paino $150\,\text{N}$ vastaa noin $\tfrac{150\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2} \approx 15\,\text{kg}$:n massaa, joten työ vastaa $15\,\text{kg}$:n hyllyn nostamista reilun metrin. $W$ on positiivinen, koska nostovoima ja liike ovat ylöspäin.

3. Tehtävä 2-3

   Hissin moottori tekee $36\,\text{kJ}$:n työn 12 sekunnissa. Mikä on moottorin teho?

   kWTarkista
   Vastaus

   $3{,}0\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   työ $W = 36\,\text{kJ}$, aika $t = 12\,\text{s}$

   Kysytty

   moottorin teho $P$ kilowatteina

   Periaate

   Teho kertoo, kuinka nopeasti työtä tehdään, eli työ aikayksikköä kohti. Moottori tekee työn tasaisesti annetussa ajassa, joten keskiteho on kokonaistyö jaettuna ajalla.

   Kaava

   $P = \dfrac{W}{t}$, jolloin teho on jo ratkaistu: $P = \dfrac{W}{t}$

   Muunnokset

   $36\,\text{kJ}$$= 36 \cdot 1000\,\text{J}$

   $= 36\,000\,\text{J}$

   jotta tulos tulee watteina ($1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$). Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= \dfrac{36\,000\,\text{J}}{12\,\text{s}}$

   $= 3000\,\text{W}$

   $= 3{,}000\,\text{kW}$

   Vastaus

   $3{,}0\,\text{kW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $12\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Yksiköt kilojoule ja sekunti antavat suoraan kilowatin:

   $\tfrac{36\,\text{kJ}}{12\,\text{s}}$$= 3\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{s}}$

   $= 3\,\text{kW}$

   Tällä teholla voisi nostaa noin $300\,\text{kg}$:n kuorman tasaisesti metrin sekunnissa:

   $300\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $\approx 2{,}9\,\text{kW}$

   Tämä sopii hissin moottorille.

4. Tehtävä 2-4

   Kuvaajassa on kelkkaa vetävän, liikkeen suuntaisen voiman suuruus kuljetun matkan funktiona. Laske voiman tekemä kokonaistyö kuvaajan pinta-alana.

   JTarkista
   Vastaus

   $190\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta luettuna voima $F_1 = 25\,\text{N}$ matkalla $0\ldots 6\,\text{m}$ ja $F_2 = 10\,\text{N}$ matkalla $6\ldots 10\,\text{m}$, voima on liikkeen suuntainen

   Kysytty

   voiman tekemä kokonaistyö $W$ jouleina

   Periaate

   Työ on $(s,F)$-kuvaajan ja $s$-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Voima ei ole vakio koko matkalla, joten kaava $W = F s$ ei käy suoraan koko matkalle. Pinta-ala jakautuu kahteen suorakulmioon, joissa voima on vakio.

   Kuvaajan lukeminen

   Ensimmäinen vaakasuora jana on ruudukon viivalla $F_1 = 25\,\text{N}$ ja ulottuu pisteestä $s = 0$ pisteeseen $s = 6\,\text{m}$, jossa se putoaa pystysuoraan. Toinen jana on viivalla $F_2 = 10\,\text{N}$ ja ulottuu pisteestä $s = 6\,\text{m}$ pisteeseen $s = 10\,\text{m}$. Toisen suorakulmion leveys on

   $s_2$$= 10\,\text{m} - 6\,\text{m}$

   $= 4\,\text{m}$

   Kaava

   $W = W_1 + W_2$, joten $W = F_1 s_1 + F_2 s_2$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä, joten muunnoksia ei tarvita: $\text{N}\cdot\text{m} = \text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 25\,\text{N} \cdot 6\,\text{m} + 10\,\text{N} \cdot 4\,\text{m}$

   $= 150\,\text{J} + 40\,\text{J}$

   $= 190\,\text{J}$

   Vastaus

   $190\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajan arvot on luettu ruudukon viivoilta kokonaislukuina.

   Järkevyys

   Keskimääräinen voima koko $10\,\text{m}$:n matkalla on

   $\dfrac{190\,\text{J}}{10\,\text{m}}$$= 19\,\text{N}$

   mikä on voiman pienimmän ($10\,\text{N}$) ja suurimman ($25\,\text{N}$) arvon välissä. Jos laskisit koko matkalle $25\,\text{N} \cdot 10\,\text{m} = 250\,\text{J}$, saisit liian suuren tuloksen, koska voima putoaa kesken matkan.

5. Tehtävä 2-5

   Hiihtäjä vetää pulkkaa tasaisella $3{,}0\,\text{m/s}$:n nopeudella liikkeen suuntaisella $20\,\text{N}$:n voimalla. Mikä on vetävän voiman teho?

   WTarkista
   Vastaus

   $60\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F = 20\,\text{N}$ (liikkeen suuntainen), nopeus $v = 3{,}0\,\text{m/s}$, liike tasaista

   Kysytty

   vetävän voiman teho $P$ watteina

   Periaate

   Teho on työ aikayksikköä kohti. Liike on tasaista ja voima liikkeen suuntainen vakio, joten sekunnissa kuljettu matka on $v$ ja sekunnissa tehty työ on $F v$.

   Kaava

   $P = \dfrac{W}{t}$ ja $W = F s$, $s = v t$, joten $P = \dfrac{F v t}{t} = F v$

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja nopeus metreinä sekunnissa, joten tulo tulee suoraan watteina: $1\,\text{N}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 1\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 20\,\text{N} \cdot 3{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $= 60\,\text{W}$

   Vastaus

   $60\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $3{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Tarkistus ajan kautta: yhdessä sekunnissa pulkka kulkee $3{,}0\,\text{m}$, jolloin työ on $20\,\text{N} \cdot 3{,}0\,\text{m} = 60\,\text{J}$ ja teho $\tfrac{60\,\text{J}}{1\,\text{s}} = 60\,\text{W}$. Muutaman kymmenen watin teho on tavallinen reippaan kävelyvauhdin vetoteho.

6. Tehtävä 2-6

   Oppilas kantaa repun vaakasuoraan käytävää pitkin tasaisella vauhdilla. Repun painoa kannatteleva voima osoittaa ylöspäin. Miksi tämä voima ei tee työtä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Reppu liikkuu tasaisella vauhdilla, joten mikään voima ei tee sille työtä.
   • Työtä tehdään vain nostettaessa, joten vaakasuora liike ei vaadi työtä.
   • Kantava voima on yhtä suuri kuin paino, joten se ei tee työtä.
   • Voima osoittaa ylös, mutta liike on sivulle, joten voima ei ole liikkeen suuntainen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Voima osoittaa ylös, mutta liike on sivulle, joten voima ei ole liikkeen suuntainen.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi kantava voima ei tee työtä, kun reppua kannetaan vaakasuoraan

   Periaate

   Voiman tekemä työ $W = F s$ edellyttää, että voima on liikkeen suuntainen. Reppua kannatteleva voima osoittaa ylös, mutta reppu liikkuu sivulle, joten voima on kohtisuorassa liikettä vastaan.

   Mallivastaus

   Voima osoittaa ylös, mutta liike on sivulle, joten voima ei ole liikkeen suuntainen eikä tee työtä. Tasainen vauhti ei selitä asiaa, sillä liikkeen suuntainen voima tekee työn tasaisessakin liikkeessä, kuten pulkkaa vetävä voima. Voiman suuruus ei selitä sitä: hitaassa nostossa yhtä suuri voima kuin paino tekee työn $W = G h$. Työ ei myöskään rajoitu nostamiseen, sillä mopoa työntävä vaakasuora voima tekee työn.

7. Tehtävä 2-7

   Kuljetinhihnaa pyörittävä moottori vetää hihnaa tasaisella vauhdilla liikkeen suuntaisella $1{,}2\,\text{kN}$:n voimalla. Moottorin teho on $1{,}8\,\text{kW}$. Millä nopeudella hihna kulkee?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F = 1{,}2\,\text{kN}$ (liikkeen suuntainen), teho $P = 1{,}8\,\text{kW}$, vauhti tasainen

   Kysytty

   hihnan nopeus $v$ metreinä sekunnissa

   Periaate

   Vauhti on tasainen ja voima liikkeen suuntainen vakio, joten teho on voiman ja nopeuden tulo. Nopeus ratkeaa, kun teho ja voima tunnetaan.

   Kaava

   $P = F v$, joten $v = \dfrac{P}{F}$

   Muunnokset

   $1{,}8\,\text{kW} = 1800\,\text{W}$ ja $1{,}2\,\text{kN} = 1200\,\text{N}$, jotta tulos tulee yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{N}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{1800\,\text{W}}{1200\,\text{N}}$

   $= 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa $1{,}2\,\text{kN}$ ja $1{,}8\,\text{kW}$.

   Järkevyys

   Käänteinen tarkistus: $1200\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 1800\,\text{W}$, kuten annettu teho. Nopeus $1{,}5\,\text{m/s}$ on noin $5{,}4\,\text{km/h}$ eli reippaan kävelyn vauhti, mikä sopii kuljetinhihnalle.

8. Tehtävä 2-8

   Kaksi nosturia nostaa kumpikin $500\,\text{kg}$:n kuorman samaan korkeuteen tasaisella nopeudella. Nosturi A tekee noston $20\,\text{s}$:ssa ja nosturi B $40\,\text{s}$:ssa. Mikä väite on oikea?

   Valitse vaihtoehto.

   • Nosturin B teho on suurempi, koska se tekee suuremman työn pidemmässä ajassa.
   • Nosturin A teho on suurempi, koska työ on sama mutta tehty lyhyemmässä ajassa.
   • Nosturien teho on sama, koska ne nostavat saman kuorman samaan korkeuteen.
   • Nosturin A työ on suurempi, koska se nostaa saman kuorman nopeammin.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Nosturin A teho on suurempi, koska työ on sama mutta tehty lyhyemmässä ajassa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kumpi nosturi on tehokkaampi ja miksi

   Periaate

   Kuorma ja nostokorkeus ovat samat, joten nostotyö $W = m g h$ on kummallakin nosturilla sama. Teho on työ aikayksikköä kohti, $P = \dfrac{W}{t}$, joten sama työ lyhyemmässä ajassa tarkoittaa suurempaa tehoa.

   Mallivastaus

   Nosturin A teho on suurempi, koska työ on sama mutta se tehdään lyhyemmässä ajassa. Nostotyö ei ole suurempi kummallakaan, koska se riippuu vain kuormasta ja korkeudesta eikä nostoon kuluvasta ajasta. Teho ei myöskään ole sama, koska teho kertoo työn tekemisen nopeuden: nosturin A nosto kestää vain puolet nosturin B ajasta, joten sen teho on kaksinkertainen. Tehtävän luvut $500\,\text{kg}$ ja korkeus eivät vaikuta vertailuun, koska nostotyö on molemmilla sama.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-9Ydintehtävä

   Traktori tekee $45\,\text{kJ}$:n työn vetämällä kuormaa liikkeen suuntaisella $1{,}5\,\text{kN}$:n voimalla. Kuinka pitkän matkan kuorma siirtyy?

   mTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   työ $W = 45\,\text{kJ}$, voima $F = 1{,}5\,\text{kN}$ (liikkeen suuntainen)

   Kysytty

   kuorman siirtymä $s$ metreinä

   Periaate

   Voima on liikkeen suuntainen ja vakio, joten työ on voiman ja matkan tulo. Tästä matka ratkeaa, kun työ ja voima tunnetaan.

   Kaava

   $W = F s$, joten $s = \dfrac{W}{F}$

   Muunnokset

   $45\,\text{kJ} = 45\,000\,\text{J}$ ja $1{,}5\,\text{kN} = 1500\,\text{N}$, jotta yksiköt ovat SI-yksiköitä ja $\tfrac{\text{J}}{\text{N}} = \text{m}$.

   Sijoitus

   $s$$= \dfrac{45\,000\,\text{J}}{1500\,\text{N}}$

   $= 30\,\text{m}$

   Vastaus

   $30\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $1{,}5\,\text{kN}$.

   Järkevyys

   Yksiköt:

   $\dfrac{\text{J}}{\text{N}}$$= \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{N}}$

   $= \text{m}$

   Käänteinen tarkistus: $1500\,\text{N} \cdot 30\,\text{m} = 45\,000\,\text{J}$, kuten annettu työ. Kolmenkymmenen metrin siirto on uskottava traktorin vedolle.

2. Tehtävä 2-10Ydintehtävä

   Vesipumpun teho on $1{,}5\,\text{kW}$. Kuinka suuren työn pumppu tekee 4,0 minuutissa? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $360\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 1{,}5\,\text{kW}$, aika $t = 4{,}0\,\text{min}$

   Kysytty

   pumpun tekemä työ $W$ kilojouleina

   Periaate

   Teho on työ aikayksikköä kohti. Pumpun teho pysyy vakiona, joten työ on teho kertaa aika.

   Kaava

   $P = \dfrac{W}{t}$, joten $W = P t$

   Muunnokset

   $1{,}5\,\text{kW}$$= 1500\,\text{W}$

   $4{,}0\,\text{min}$$= 4{,}0 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 240\,\text{s}$

   jotta työ tulee jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 1500\,\text{W} \cdot 240\,\text{s}$

   $= 360\,000\,\text{J}$

   $= 360\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $360\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa $1{,}5\,\text{kW}$ ja ajassa $4{,}0\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Toinen reitti: $1{,}5\,\text{kW} \cdot \tfrac{4}{60}\,\text{h} = 0{,}10\,\text{kWh}$, ja $1\,\text{kWh} = 3600\,\text{kJ}$, joten $0{,}10 \cdot 3600\,\text{kJ} = 360\,\text{kJ}$. Tällä työllä voisi nostaa $1000\,\text{kg}$:n vesimäärän noin $37\,\text{m}$:n korkeuteen:

   $\tfrac{360\,000\,\text{J}}{1000\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 37\,\text{m}$
3. Tehtävä 2-11

   Nosturi nostaa $850\,\text{kg}$:n betonielementin hitaasti $30\,\text{m}$:n korkeuteen. Kuinka suuren työn nostovoima tekee? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $250\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 850\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 30\,\text{m}$, nosto hidas, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nostovoiman tekemä työ $W$ kilojouleina

   Periaate

   Hitaassa nostossa nostovoima on yhtä suuri kuin paino ja liikkeen suuntainen vakio. Työ on siis painon ja nostokorkeuden tulo, ja paino saadaan massasta.

   Kaava

   $W = F h$, $F = G = m g$, joten $W = m g h$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja korkeus metreinä, joten muunnoksia ei tarvita ennen laskua. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 850\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 30\,\text{m}$

   $= 250\,155\,\text{J}$

   $= 250{,}155\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $250\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $30\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Elementin paino on

   $850\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

   $\approx 8{,}3\,\text{kN}$

   Karkea arvio: $8\,\text{kN} \cdot 30\,\text{m} = 240\,\text{kJ}$, lähellä tulosta. Kolmenkymmenen metrin korkeus vastaa kymmenkerroksista taloa, ja neljännesmegajoulen työ on uskottava nosturille.

4. Tehtävä 2-12

   Vaunua työnnetään liikkeen suuntaisella voimalla. Voima on ensin $10\,\text{N}$ matkalla $0\text{–}2{,}0\,\text{m}$. Sen jälkeen voima kasvaa tasaisesti $10\,\text{N}$:sta $30\,\text{N}$:iin matkalla $2{,}0\text{–}6{,}0\,\text{m}$. Laske voiman tekemä kokonaistyö $(s, F)$-kuvaajan pinta-alana.

   JTarkista
   Vastaus

   $100\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F_1 = 10\,\text{N}$ vakiona matkalla $s_1 = 2{,}0\,\text{m}$ ($0\text{–}2{,}0\,\text{m}$); sitten voima kasvaa tasaisesti arvosta $F_1 = 10\,\text{N}$ arvoon $F_2 = 30\,\text{N}$ matkalla $s_2 = 4{,}0\,\text{m}$ ($2{,}0\text{–}6{,}0\,\text{m}$)

   Kysytty

   kokonaistyö $W$ jouleina

   Periaate

   Voima muuttuu, joten kaava $W = F s$ ei käy koko matkalle. Työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala, ja sen voi laskea osissa: vakiovoiman osuus on suorakulmio ja tasaisesti kasvavan osuus puolisuunnikas.

   Kuvaajan lukeminen

   Kuvaajassa on vaakasuora jana korkeudella $10\,\text{N}$ välillä $0\ldots 2{,}0\,\text{m}$ ja sen jatkona suora jana korkeudesta $10\,\text{N}$ korkeuteen $30\,\text{N}$ välillä $2{,}0\ldots 6{,}0\,\text{m}$. Suorakulmion korkeus on $10\,\text{N}$ ja leveys $2{,}0\,\text{m}$. Puolisuunnikkaan yhdensuuntaiset sivut ovat $10\,\text{N}$ ja $30\,\text{N}$ ja korkeus (leveys $s$-akselilla) $4{,}0\,\text{m}$.

   Kaava

   $W = A_\text{suorakulmio} + A_\text{puolisuunnikas}$, joten $W = F_1 s_1 + 0{,}5 \cdot (F_1 + F_2)\, s_2$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $W$$= 10\,\text{N} \cdot 2{,}0\,\text{m} + \tfrac{1}{2} \cdot (10\,\text{N} + 30\,\text{N}) \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= 20\,\text{J} + 80\,\text{J}$

   $= 100\,\text{J}$

   Vastaus

   $100\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa (esimerkiksi $2{,}0\,\text{m}$).

   Järkevyys

   Keskimääräinen voima koko $6{,}0\,\text{m}$:n matkalla on

   $\dfrac{100\,\text{J}}{6{,}0\,\text{m}}$$\approx 17\,\text{N}$

   mikä on voiman pienimmän ($10\,\text{N}$) ja suurimman ($30\,\text{N}$) arvon välissä. Karkea alaraja: vähintään $10\,\text{N} \cdot 6{,}0\,\text{m} = 60\,\text{J}$ ja enintään $30\,\text{N} \cdot 6{,}0\,\text{m} = 180\,\text{J}$, ja tulos on niiden välissä.

5. Tehtävä 2-13

   Kärryä vedetään kiskolla liikkeen suuntaisella voimalla, jonka suuruus mitataan voima-anturilla. Tulokset ovat taulukossa (esimerkkiaineisto).

   Laske voiman tekemä työ matkalla $0\text{–}4{,}0\,\text{m}$ jakamalla matka neljään yhden metrin osaan ja käyttämällä kullakin osalla voiman keskiarvoa osan alku- ja loppupisteessä.

   Kärryä vetävä voima matkan funktiona (esimerkkiaineisto)

   $s\,(\text{m})$	$F\,(\text{N})$
   0,0	18,0
   1,0	17,2
   2,0	15,1
   3,0	11,0
   4,0	6,0

   JTarkista
   Vastaus

   $55\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta voima $F$ kohdissa $s = 0{,}0\,\text{m}$, $1{,}0\,\text{m}$, $2{,}0\,\text{m}$, $3{,}0\,\text{m}$ ja $4{,}0\,\text{m}$: $18{,}0\,\text{N}$, $17{,}2\,\text{N}$, $15{,}1\,\text{N}$, $11{,}0\,\text{N}$ ja $6{,}0\,\text{N}$; voima on liikkeen suuntainen

   Kysytty

   voiman tekemä työ $W$ jouleina matkalla $0\ldots 4{,}0\,\text{m}$

   Periaate

   Voima muuttuu matkalla, joten työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala. Kullakin yhden metrin osalla pinta-ala saadaan puolisuunnikkaana, jonka korkeus on voiman keskiarvo osan päissä, ja osat lasketaan yhteen.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon pisteet ajatellaan yhdistetyiksi suorilla janoilla $(s,F)$-koordinaatistossa. Osan $0\ldots 1{,}0\,\text{m}$ päissä voima on $18{,}0\,\text{N}$ ja $17{,}2\,\text{N}$, osan $1{,}0\ldots 2{,}0\,\text{m}$ päissä $17{,}2\,\text{N}$ ja $15{,}1\,\text{N}$, osan $2{,}0\ldots 3{,}0\,\text{m}$ päissä $15{,}1\,\text{N}$ ja $11{,}0\,\text{N}$ ja osan $3{,}0\ldots 4{,}0\,\text{m}$ päissä $11{,}0\,\text{N}$ ja $6{,}0\,\text{N}$. Jokaisen osan leveys on $\Delta s = 1{,}0\,\text{m}$.

   Kaava

   $W = \sum 0{,}5 \cdot (F_\text{alku} + F_\text{loppu})\,\Delta s$, joten $W = W_1 + W_2 + W_3 + W_4$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} W_1 &= 0{,}5 \cdot (18{,}0 + 17{,}2)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 17{,}6\,\text{J} \\ W_2 &= 0{,}5 \cdot (17{,}2 + 15{,}1)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 16{,}15\,\text{J} \\ W_3 &= 0{,}5 \cdot (15{,}1 + 11{,}0)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 13{,}05\,\text{J} \\ W_4 &= 0{,}5 \cdot (11{,}0 + 6{,}0)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 8{,}5\,\text{J} \\ W &= 17{,}6\,\text{J} + 16{,}15\,\text{J} \\ &\quad + 13{,}05\,\text{J} + 8{,}5\,\text{J} \\ &= 55{,}3\,\text{J} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $55\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska osan leveys $\Delta s = 1{,}0\,\text{m}$ ja loppuvoima $6{,}0\,\text{N}$ on annettu kahdella merkitsevällä numerolla.

   Järkevyys

   Keskimääräinen voima koko $4{,}0\,\text{m}$:n matkalla on $55{,}3\,\text{J} / 4{,}0\,\text{m} \approx 14\,\text{N}$, mikä on voiman pienimmän ($6{,}0\,\text{N}$) ja suurimman ($18{,}0\,\text{N}$) arvon välissä. Karkea arvio: $18\,\text{N} \cdot 4{,}0\,\text{m} = 72\,\text{J}$ on yläraja ja $6\,\text{N} \cdot 4{,}0\,\text{m} = 24\,\text{J}$ alaraja, ja tulos on niiden välissä.

6. Tehtävä 2-14

   Oppilas mittaa portaissa tekemäänsä työtä ja tehoa. Hänen massansa on $62\,\text{kg}$. Portaissa on 18 askelmaa, joiden korkeus on kukin $0{,}17\,\text{m}$. Oppilas nousee portaat kolme kertaa mahdollisimman tasaisella vauhdilla, ja ajanotto antaa taulukon nousuajat (esimerkkiaineisto).

   Oletetaan, että vain oppilaan painon nostaminen portaiden korkeudelle vaatii työtä. Laske oppilaan keskimääräinen teho nousun aikana käyttäen nousuaikojen keskiarvoa.

   Portaiden nousuajat (esimerkkiaineisto)

   Nousu	$t\,(\text{s})$
   1	8,1
   2	7,8
   3	8,4

   WTarkista
   Vastaus

   $230\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 62\,\text{kg}$, askelmia 18 kappaletta, askelman korkeus $0{,}17\,\text{m}$, nousuajat $8{,}1\,\text{s}$, $7{,}8\,\text{s}$ ja $8{,}4\,\text{s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   keskimääräinen teho $P$ watteina

   Periaate

   Tasaisella vauhdilla nostovoima on yhtä suuri kuin oppilaan paino, ja työ lasketaan vain painon nostamisesta portaiden korkeudelle: $W = m g h$. Teho on tämä työ jaettuna nousuajalla. Toistetuista ajoista käytetään keskiarvoa, koska yksittäisen ajanoton satunnaisvirhe pienenee keskiarvossa.

   Kaava

   $h = n\, h_1$, $W = m g h$ ja $P = \dfrac{W}{t_\text{ka}}$, joten

   $P$$= \dfrac{m g\, n\, h_1}{t_\text{ka}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} \textstyle\sum t &= 8{,}1\,\text{s} + 7{,}8\,\text{s} + 8{,}4\,\text{s} \\ &= 24{,}3\,\text{s} \\ t_\text{ka} &= \dfrac{24{,}3\,\text{s}}{3} = 8{,}1\,\text{s} \\ h &= 18 \cdot 0{,}17\,\text{m} = 3{,}06\,\text{m} \\ W &= 62\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3{,}06\,\text{m} \\ &= 1861{,}2\,\text{J} \\ P &= \dfrac{1861{,}2\,\text{J}}{8{,}1\,\text{s}} \\ &= 229{,}8\,\text{W} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $230\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $62\,\text{kg}$ ja ajassa $8{,}1\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: paino on noin $600\,\text{N}$ ja korkeus noin $3\,\text{m}$, joten työ on noin $1800\,\text{J}$ ja teho $\tfrac{1800\,\text{J}}{8\,\text{s}} \approx 225\,\text{W}$. Kolmen aikamittauksen vaihteluväli $7{,}8\ldots 8{,}4\,\text{s}$ vastaa tehoa $222\ldots 239\,\text{W}$, joten tulos $230\,\text{W}$ on tämän välin sisällä. Portaita nopeasti nousevan ihmisen teho on satoja watteja.

7. Tehtävä 2-15

   Tehtävässä nostetaan $40\,\text{kg}$:n laatikko hitaasti $1{,}5\,\text{m}$:n korkeuteen ja kysytään nostovoiman tekemä työ. Oppilas ratkaisi: ”$W = F s = 40 \cdot 1{,}5\,\text{J} = 60\,\text{J}$.”

   Oppilaan tulos on väärä. Etsi virhe ja laske oikea työ jouleina.

   JTarkista
   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 40\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 1{,}5\,\text{m}$, nosto hidas, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; oppilaan tulos $60\,\text{J}$

   Mallivastaus

   Virhe: oppilas käytti kaavassa $W = F s$ voimana massan lukuarvoa $40$, vaikka massa ei ole voima. Nostovoima on painon suuruinen, $F = m g$, ja se on laskettava newtoneina. Oikea työ on $W = m g h \approx 590\,\text{J}$.

   Kysytty

   oppilaan virhe ja nostovoiman tekemä oikea työ $W$ jouleina

   Periaate

   Oppilas sijoitti kaavaan $W = F s$ voiman paikalle massan luvun $40$. Massa ei ole voima: hitaassa nostossa nostovoima on yhtä suuri kuin paino $G = m g$, ja se on tuotava laskuun newtoneina. Työ on tämän voiman ja nostokorkeuden tulo.

   Kaava

   $F = G = m g$ ja $W = F h$, joten $W = m g h$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja korkeus metreinä, joten muunnoksia ei tarvita. Painon yksikkö on newton: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} G &= 40\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = 392{,}4\,\text{N} \\ W &= 392{,}4\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 588{,}6\,\text{J} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $40\,\text{kg}$ ja korkeudessa $1{,}5\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Oppilaan tulos on lähes kymmenesosa oikeasta, mikä vastaa tekijää $g \approx 9{,}81\,\text{m/s}^2$, joka jäi pois. Karkea arvio: paino on noin $400\,\text{N}$, joten $400\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 600\,\text{J}$. Yksiköt: oppilaan luku $40$ oli massa kilogrammoina eikä newtoneina, joten tulo ei voinut olla jouleja.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 2-16

   Laatikkoa työnnetään liikkeen suuntaisella voimalla. Voima kasvaa tasaisesti nollasta $40\,\text{N}$:iin matkalla $0\text{–}0{,}50\,\text{m}$, pysyy sitten $40\,\text{N}$:ssä matkalla $0{,}50\text{–}1{,}5\,\text{m}$ ja pienenee tasaisesti nollaan matkalla $1{,}5\text{–}2{,}0\,\text{m}$.

   Mikä on voiman matkan suhteen keskimääräinen suuruus koko $2{,}0\,\text{m}$:n matkalla? Vihje: laske ensin kokonaistyö kuvaajan pinta-alana.

   NTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   huippuvoima $F = 40\,\text{N}$; voima kasvaa nollasta arvoon $F$ matkalla $s_1 = 0{,}50\,\text{m}$, pysyy vakiona matkalla $s_2 = 1{,}0\,\text{m}$ ja pienenee nollaan matkalla $s_3 = 0{,}50\,\text{m}$; koko matka $s = 2{,}0\,\text{m}$

   Kysytty

   voiman matkan suhteen keskimääräinen suuruus $F_\text{ka}$ newtoneina

   Periaate

   Voima muuttuu, joten työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala. Keskimääräinen voima on se vakiovoima, joka tekisi saman työn samalla matkalla, joten $W = F_\text{ka}\, s$.

   Kuvaajan lukeminen

   Kuvaaja on puolisuunnikas: nouseva kolmio ($0\ldots 0{,}50\,\text{m}$, korkeus $40\,\text{N}$), vaakasuora osa suorakulmiona ($0{,}50\ldots 1{,}5\,\text{m}$, korkeus $40\,\text{N}$) ja laskeva kolmio ($1{,}5\ldots 2{,}0\,\text{m}$, korkeus $40\,\text{N}$). Työ on näiden kolmen pinta-alan summa.

   Kaava

   $W = \tfrac{1}{2} F s_1 + F s_2 + \tfrac{1}{2} F s_3$ ja $W = F_\text{ka}\, s$, joten $F_\text{ka} = \dfrac{W}{s}$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $W$$= \tfrac{1}{2} \cdot 40\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{m} + 40\,\text{N} \cdot 1{,}0\,\text{m} + \tfrac{1}{2} \cdot 40\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{m}$

   $= 10\,\text{J} + 40\,\text{J} + 10\,\text{J}$

   $= 60\,\text{J}$

   $F_\text{ka}$$= \dfrac{60\,\text{J}}{2{,}0\,\text{m}}$

   $= 30\,\text{N}$

   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten matkassa $2{,}0\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Keskiarvo on huippuarvoa $40\,\text{N}$ pienempi, koska voima on alussa ja lopussa pieni, mutta suurempi kuin puolet huipusta, koska voima on huipussa puolet matkasta. Puolisuunnikaskaava antaa saman työn:

   $0{,}5 \cdot (2{,}0\,\text{m} + 1{,}0\,\text{m}) \cdot 40\,\text{N}$

   $= 60\,\text{J}$

   Tasaisesti nollasta kasvavan voiman keskiarvo olisi $20\,\text{N}$.

2. Tehtävä 2-17

   Joulen kokeessa $2{,}0\,\text{kg}$:n paino putoaa $1{,}5\,\text{m}$ ja pyörittää siipipyörää vedessä. Koe toistetaan 20 kertaa nostamalla paino aina takaisin ylös. Oleta, että paino menettää pudotessaan nostotyön suuruisen energian ja että kaikki tämä energia jää veteen.

   Kuinka paljon veden sisäenergia kasvaa?

   JTarkista
   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 2{,}0\,\text{kg}$, putoamiskorkeus $h = 1{,}5\,\text{m}$, pudotuksia $n = 20$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   veden sisäenergian kasvu $\Delta U$ jouleina

   Periaate

   Energia säilyy. Pudotessaan paino menettää energiaa nostotyön $m g h$ verran, ja oletuksen mukaan kaikki tämä energia siirtyy siipipyörän kautta veteen sisäenergiaksi. Jokainen pudotus siirtää saman energian, joten pudotukset lasketaan yhteen.

   Kaava

   $W_1 = m g h$ ja $\Delta U = n W_1$, joten $\Delta U = n m g h$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja korkeus metreinä, joten muunnoksia ei tarvita. Pudotusten lukumäärä $n = 20$ on pelkkä luku.

   Sijoitus

   $W_1$$= 2{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1{,}5\,\text{m}$

   $= 29{,}43\,\text{J}$

   $\Delta U$$= 20 \cdot 29{,}43\,\text{J}$

   $= 588{,}6\,\text{J}$

   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}0\,\text{kg}$ ja korkeudessa $1{,}5\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: paino on noin $20\,\text{N}$, joten yksi pudotus antaa noin $20\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 30\,\text{J}$ ja 20 pudotusta noin $600\,\text{J}$. Tulos on sama kuin noin $60\,\text{kg}$:n kappaleen nostaminen metrin, eli pieni energiamäärä, joten veden lämpötila muuttui vain vähän ja mittaus vaati tarkkuutta. Siksi Joule toisti pudotuksia monta kertaa.

3. Tehtävä 2-18

   Mökin aurinkopaneeli antaa auringonpaisteessa $180\,\text{W}$:n tehon. Kuinka monta minuuttia auringon pitää paistaa paneeliin, jotta energia riittää nostamaan $1000\,\text{kg}$ vettä $50\,\text{m}$:n korkeuteen? Oleta, että kaikki energia menee veden nostamiseen.

   minTarkista
   Vastaus

   $45\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   paneelin teho $P = 180\,\text{W}$, veden massa $m = 1000\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 50\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, kaikki energia menee nostamiseen

   Kysytty

   aika $t$ minuutteina

   Periaate

   Oletuksen mukaan paneelin tuottama energia on yhtä suuri kuin veden nostoon tarvittava työ, eikä häviöitä ole. Teho on vakio, joten tuotettu energia on teho kertaa aika. Nostotyö on $m g h$, koska vesi nostetaan hitaasti.

   Kaava

   $W = m g h$ ja $W = P t$, joten $t = \dfrac{m g h}{P}$

   Muunnokset

   Massa, korkeus ja teho ovat SI-yksiköissä, joten aika tulee ensin sekunteina. Lopuksi $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $W$$= 1000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 50\,\text{m}$

   $= 490\,500\,\text{J}$

   $t$$= \dfrac{490\,500\,\text{J}}{180\,\text{W}}$

   $= 2725\,\text{s}$

   $= \dfrac{2725}{60}\,\text{min}$

   $= 45{,}42\,\text{min}$

   Vastaus

   $45\,\text{min}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $50\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Paneeli tuottaa tunnissa $180\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} = 648\,\text{kJ}$, joka on enemmän kuin tarvittava $490\,\text{kJ}$, joten aika on alle tunnin. Suhde $\tfrac{490{,}5}{648} \approx 0{,}76$ tuntia on noin $45\,\text{min}$, kuten tulos. Se vastaa arkikokemusta aurinkosähköstä.

4. Tehtävä 2-19

   Jousen venytyskokeessa jousta venytetään hitaasti ja voima-anturi mittaa jousen suuntaisen venyttävän voiman $F$ eri venymillä $s$ (esimerkkiaineisto). Venymä on mitattu jousen vapaasta pituudesta.

   a) Perustele taulukon arvoista, miten voima riippuu venymästä, ja selitä, miksi venyttämiseen tehty työ on $(s,F)$-kuvaajassa kolmion pinta-ala.

   b) Laske työ, kun jousi venytetään $10{,}0\,\text{cm}$:n venymään.

   c) Kuinka korkealle tällä työllä voitaisiin nostaa hitaasti $0{,}20\,\text{kg}$:n kappale? Perustele laskun malli ja anna c)-kohdan tulos senttimetreinä vastauslaatikkoon.

   Jousen venyttävä voima venymän funktiona (esimerkkiaineisto)

   $s\,(\text{cm})$	$F\,(\text{N})$
   2,0	1,9
   4,0	4,2
   6,0	5,8
   8,0	8,1
   10,0	10,0

   cmTarkista
   Vastaus

   $25\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta $(s, F)$: $(2{,}0\,\text{cm}$; $1{,}9\,\text{N})$, $(4{,}0\,\text{cm}$; $4{,}2\,\text{N})$, $(6{,}0\,\text{cm}$; $5{,}8\,\text{N})$, $(8{,}0\,\text{cm}$; $8{,}1\,\text{N})$, $(10{,}0\,\text{cm}$; $10{,}0\,\text{N})$; venymä $s_\text{max} = 10{,}0\,\text{cm}$; nostettava massa $m = 0{,}20\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) voiman ja venymän riippuvuus, b) venyttämiseen tehty työ $W$, c) nostokorkeus $h$ senttimetreinä

   Periaate

   Voima muuttuu venymän mukana, joten työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala. Jos voima on verrannollinen venymään, kuvaaja on origon kautta kulkeva suora ja pinta-ala on kolmio. Energia säilyy häviöittä: jousen venyttämiseen tehty työ voidaan käyttää kappaleen hitaaseen nostamiseen, jolloin nostotyö on $m g h$ ja se on yhtä suuri kuin $W$.

   Kuvaajan lukeminen

   Voima kasvaa venymän mukana siten, että osamäärä $\tfrac{F}{s}$ on kaikissa pisteissä noin $1{,}0\,\text{N/cm}$: esimerkiksi $\tfrac{1{,}9}{2{,}0} = 0{,}95$ ja $\tfrac{10{,}0}{10{,}0} = 1{,}0$. Mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi, joten niiden lomaan sovitetaan origon kautta kulkeva suora; origo kuuluu suoralle, koska venymä on mitattu vapaasta pituudesta. Suoran kohdalla $s = 10{,}0\,\text{cm}$ voima on $F = 10{,}0\,\text{N}$. Koska voima kasvaa nollasta tasaisesti, kuvaaja on origon kautta kulkeva suora ja sen alle jää kolmio; siksi työ on kolmion pinta-ala, jonka kanta on $s$ ja korkeus $F$.

   Kaava

   $W = \tfrac{1}{2} F s$ ja $W = m g h$, joten $h = \dfrac{W}{m g}$

   Muunnokset

   $10{,}0\,\text{cm} = 0{,}100\,\text{m}$, jotta työ tulee jouleina. Lopuksi $h$ muutetaan senttimetreiksi: $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} W &= 0{,}5 \cdot 10{,}0\,\text{N} \cdot 0{,}100\,\text{m} \\ &= 0{,}500\,\text{J} \\ h &= \dfrac{0{,}500\,\text{J}}{0{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 0{,}2548\,\text{m} \\ &= 25{,}48\,\text{cm} \end{aligned}$$

   Vastaus

   a) voima on likimain verrannollinen venymään, $F \approx 1{,}0\,\tfrac{\text{N}}{\text{cm}} \cdot s$; b) $W = 0{,}50\,\text{J}$; c) $25\,\text{cm}$ ($25{,}5\,\text{cm}$ ennen pyöristystä), kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Jos voima olisi koko matkan $10{,}0\,\text{N}$, työ olisi $10{,}0\,\text{N} \cdot 0{,}100\,\text{m} = 1{,}0\,\text{J}$; kolmion työ on tästä puolet, koska keskimääräinen voima on $5{,}0\,\text{N}$. Mittauspisteiden puolisuunnikassumma antaa saman: $0{,}020\,\text{m} \cdot 25{,}0\,\text{N} = 0{,}50\,\text{J}$. Kappaleen paino on

   $0{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

   $\approx 2{,}0\,\text{N}$

   ja $2{,}0\,\text{N} \cdot 0{,}25\,\text{m} \approx 0{,}50\,\text{J}$.

5. Tehtävä 2-20

   Rakennusnosturin moottori nostaa $450\,\text{kg}$:n kuormaa lattialta ylös. Kuorman korkeus lattiasta mitataan eri hetkinä nostoliikkeen alusta lukien (esimerkkiaineisto).

   a) Perustele taulukosta, että kuorma nousee likimain tasaisella nopeudella, ja määritä nopeus sovitetun suoran avulla. Suoran saa vetää origon kautta, koska aika ja korkeus lasketaan nostoliikkeen alusta.

   b) Perustele, miksi nostovoima on yhtä suuri kuin kuorman paino, kun kuorma nousee tasaisella nopeudella (kuten kaavan $W = m g h$ johdossa).

   c) Laske moottorin kuormalle antama teho kilowatteina. Tämä tulos vastauslaatikkoon.

   d) Laske kuorman nostotyö $m g h$ taulukon viimeiselle pisteelle ($8{,}0\,\text{s}$; $6{,}5\,\text{m}$) ja vertaa sitä tehon ja ajan $8{,}0\,\text{s}$ tulona saatuun työhön.

   Nostettavan kuorman korkeus (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$h\,(\text{m})$
   0,0	0,0
   2,0	1,6
   4,0	3,3
   6,0	4,9
   8,0	6,5

   kWTarkista
   Vastaus

   $3{,}6\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 450\,\text{kg}$, taulukosta $(t, h)$: $(2{,}0\,\text{s}$; $1{,}6\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $3{,}3\,\text{m})$, $(6{,}0\,\text{s}$; $4{,}9\,\text{m})$, $(8{,}0\,\text{s}$; $6{,}5\,\text{m})$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) kuorman nopeus $v$, b) miksi nostovoima on yhtä suuri kuin paino, c) moottorin teho $P$ kilowatteina, d) työn vertailu taulukon viimeiseen pisteeseen

   Periaate

   Jos korkeus kasvaa tasaisesti ajan mukana, kuorma nousee vakionopeudella. Tasaisella nopeudella nostovoima $F$ on yhtä suuri kuin paino $G = m g$, ja teho on voiman ja nopeuden tulo $P = F v$.

   Kuvaajan lukeminen

   Aikaväleillä $2{,}0\,\text{s}$ korkeus kasvaa $1{,}6\,\text{m}$, $1{,}7\,\text{m}$, $1{,}6\,\text{m}$ ja $1{,}6\,\text{m}$, eli lähes saman verran, joten nopeus on likimain vakio. Mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi, joten nopeus luetaan sovitetun suoran kulmakertoimesta, ei kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä. Origon kautta kulkeva suora sopii pisteiden lomaan, koska aika ja korkeus lasketaan nostoliikkeen alusta. Suoralta luetaan $h = 6{,}52\,\text{m}$ kohdassa $t = 8{,}0\,\text{s}$, joten kulmakerroin on

   $v$$= 6{,}52\,\text{m} / 8{,}0\,\text{s}$

   $= 0{,}815\,\text{m/s}$

   Kaava

   $F = G = m g$ ja $P = F v$, joten $P = m g v$; vertailussa $W = P t$ ja $W = m g h$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} G &= 450\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &= 4414{,}5\,\text{N} \\ P &= 4414{,}5\,\text{N} \cdot 0{,}815\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3598\,\text{W} \\ &= 3{,}598\,\text{kW} \\ P t &= 3598\,\text{W} \cdot 8{,}0\,\text{s} \\ &= 28\,780\,\text{J} \\ m g h &= 4414{,}5\,\text{N} \cdot 6{,}5\,\text{m} \\ &= 28\,690\,\text{J} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $3{,}6\,\text{kW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja korkeusmittauksissa. Perustelut: a) korkeus kasvaa tasaisesti, joten nopeus on likimain vakio, $v \approx 0{,}82\,\text{m/s}$; b) oppitunnin mukaan tasaisella nopeudella nostovoima on yhtä suuri kuin paino, kuten kaavan $W = m g h$ johdossa; d) työt ovat $28{,}8\,\text{kJ}$ ja $28{,}7\,\text{kJ}$, eli ne eroavat alle prosentin.

   Järkevyys

   Karkea arvio: paino on noin $4400\,\text{N}$ ja nopeus noin $0{,}8\,\text{m/s}$, joten teho on noin $3500\,\text{W}$. Vertailu d) on johdonmukainen: sovitetun suoran antama työ $P t$ ja taulukon pisteestä laskettu $m g h$ eroavat alle prosentin. Kilowattien teho on uskottava rakennusnosturin nostomoottorille, kun vain nostotyö otetaan huomioon.