Työ ja energia

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-1Ydintehtävä

   Mopoa työnnetään liikkeen suuntaan $80\,\text{N}$:n voimalla. Matka on 25 metriä. Kuinka suuren työn työntävä voima tekee?

   kJTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $F = 80\,\text{N}$ (liikkeen suuntainen), $s = 25\,\text{m}$

   Kysytty

   voiman tekemä työ $W$ kilojouleina

   Periaate

   Työntävä voima on liikkeen suuntainen ja vakio. Silloin voima tekee työn, joka on voiman ja siirtymän tulo. Jos voima olisi vinossa tai muuttuisi matkalla, tarvittaisiin toinen menetelmä.

   Kaava

   $W = F s$. Työ on siis jo ratkaistu: $W = F s$

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja matka metreinä. Siksi tulo on suoraan jouleina ($1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}$). Lopuksi muunnetaan kilojouleiksi: $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 80\,\text{N} \cdot 25\,\text{m}$

   $= 2000\,\text{J}$

   $= 2{,}000\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{kJ}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten annetuissa arvoissa $80\,\text{N}$ ja $25\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: $80\,\text{N} \approx 8\,\text{kg}$:n paino, ja

   $8\,\text{kg}\cdot 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 25\,\text{m}$

   $= 2000\,\text{J}$

   Sama työ nostaisi $20\,\text{kg}$:n kappaleen noin $10\,\text{m}$:n korkeuteen:

   $20\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 10\,\text{m}$

   $\approx 2{,}0\,\text{kJ}$

   $W$ on positiivinen, koska voima on liikkeen suuntainen.

2. Tehtävä 2-2Ydintehtävä

   Kirjahylly painaa $150\,\text{N}$. Hylly nostetaan hitaasti lattialta $1{,}2\,\text{m}$:n korkeuteen. Kuinka suuren työn nostovoima tekee?

   JTarkista
   Vastaus

   $180\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   paino $G = 150\,\text{N}$, nostokorkeus $h = 1{,}2\,\text{m}$, nosto hidas

   Kysytty

   nostovoiman tekemä työ $W$ jouleina

   Periaate

   Nosto on hidas. Silloin nostovoima on yhtä suuri kuin paino, ja se on liikkeen suuntainen. Voima on siis vakio koko matkan. Työ on silloin voiman ja nostokorkeuden tulo.

   Kaava

   $W = F h$ ja $F = G$, joten $W = G h$

   Muunnokset

   Paino on newtoneina ja korkeus metreinä. Muunnoksia ei siis tarvita: $\text{N}\cdot\text{m} = \text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 150\,\text{N} \cdot 1{,}2\,\text{m}$

   $= 180\,\text{J}$

   Vastaus

   $180\,\text{J}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten korkeudessa $1{,}2\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: $150\,\text{N} \cdot 1\,\text{m} = 150\,\text{J}$. Matka on vähän yli metrin, joten tulos on vähän suurempi. Paino $150\,\text{N}$ vastaa noin $\tfrac{150\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2} \approx 15\,\text{kg}$:n massaa. Työ vastaa siis sitä, että $15\,\text{kg}$:n hylly nostetaan vähän yli metrin. $W$ on positiivinen, koska nostovoima ja liike ovat ylöspäin.

3. Tehtävä 2-3

   Hissin moottori tekee $36\,\text{kJ}$:n työn 12 sekunnissa. Mikä on moottorin teho?

   kWTarkista
   Vastaus

   $3{,}0\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   työ $W = 36\,\text{kJ}$, aika $t = 12\,\text{s}$

   Kysytty

   moottorin teho $P$ kilowatteina

   Periaate

   Teho kertoo, kuinka nopeasti työtä tehdään. Teho on työ aikayksikköä kohti. Moottori tekee työn tasaisesti annetussa ajassa. Keskiteho on siis kokonaistyö jaettuna ajalla.

   Kaava

   $P = \dfrac{W}{t}$. Teho on siis jo ratkaistu: $P = \dfrac{W}{t}$

   Muunnokset

   $36\,\text{kJ}$$= 36 \cdot 1000\,\text{J}$

   $= 36\,000\,\text{J}$

   Silloin tulos tulee watteina ($1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$). Lopuksi muunnetaan kilowateiksi: $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= \dfrac{36\,000\,\text{J}}{12\,\text{s}}$

   $= 3000\,\text{W}$

   $= 3{,}000\,\text{kW}$

   Vastaus

   $3{,}0\,\text{kW}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten ajassa $12\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Kilojoule jaettuna sekunnilla antaa suoraan kilowatin:

   $\tfrac{36\,\text{kJ}}{12\,\text{s}}$$= 3\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{s}}$

   $= 3\,\text{kW}$

   Tällä teholla voisi nostaa noin $300\,\text{kg}$:n kuorman tasaisesti metrin sekunnissa:

   $300\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $\approx 2{,}9\,\text{kW}$

   Tämä sopii hissin moottorille.

4. Tehtävä 2-4

   Kuvaajassa on kelkkaa vetävän voiman suuruus kuljetun matkan funktiona. Voima on liikkeen suuntainen. Laske voiman tekemä kokonaistyö kuvaajan pinta-alana.

   JTarkista
   Vastaus

   $190\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta luettuna voima $F_1 = 25\,\text{N}$ matkalla $0\ldots 6\,\text{m}$ ja $F_2 = 10\,\text{N}$ matkalla $6\ldots 10\,\text{m}$. Voima on liikkeen suuntainen.

   Kysytty

   voiman tekemä kokonaistyö $W$ jouleina

   Periaate

   Työ on $(s,F)$-kuvaajan ja $s$-akselin välissä olevan alueen pinta-ala. Voima ei ole vakio koko matkalla. Siksi kaava $W = F s$ ei käy suoraan koko matkalle. Pinta-ala jakautuu kahteen suorakulmioon. Kummassakin suorakulmiossa voima on vakio.

   Kuvaajan lukeminen

   Ensimmäinen vaakasuora jana on ruudukon viivalla $F_1 = 25\,\text{N}$. Se alkaa pisteestä $s = 0$ ja päättyy pisteeseen $s = 6\,\text{m}$. Siinä se putoaa pystysuoraan. Toinen jana on viivalla $F_2 = 10\,\text{N}$. Se alkaa pisteestä $s = 6\,\text{m}$ ja päättyy pisteeseen $s = 10\,\text{m}$. Toisen suorakulmion leveys on

   $s_2$$= 10\,\text{m} - 6\,\text{m}$

   $= 4\,\text{m}$

   Kaava

   $W = W_1 + W_2$, joten $W = F_1 s_1 + F_2 s_2$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä. Muunnoksia ei siis tarvita: $\text{N}\cdot\text{m} = \text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 25\,\text{N} \cdot 6\,\text{m} + 10\,\text{N} \cdot 4\,\text{m}$

   $= 150\,\text{J} + 40\,\text{J}$

   $= 190\,\text{J}$

   Vastaus

   $190\,\text{J}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajan arvot on luettu ruudukon viivoilta kokonaislukuina.

   Järkevyys

   Keskimääräinen voima koko $10\,\text{m}$:n matkalla on

   $\dfrac{190\,\text{J}}{10\,\text{m}}$$= 19\,\text{N}$

   Se on voiman pienimmän ($10\,\text{N}$) ja suurimman ($25\,\text{N}$) arvon välissä. Jos laskisit koko matkalle $25\,\text{N} \cdot 10\,\text{m} = 250\,\text{J}$, saisit liian suuren tuloksen. Syy on se, että voima putoaa kesken matkan.

5. Tehtävä 2-5

   Hiihtäjä vetää pulkkaa tasaisella $3{,}0\,\text{m/s}$:n nopeudella. Vetävä voima on $20\,\text{N}$ ja liikkeen suuntainen. Mikä on vetävän voiman teho?

   WTarkista
   Vastaus

   $60\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F = 20\,\text{N}$ (liikkeen suuntainen), nopeus $v = 3{,}0\,\text{m/s}$, liike tasaista

   Kysytty

   vetävän voiman teho $P$ watteina

   Periaate

   Teho on työ aikayksikköä kohti. Liike on tasaista. Voima on vakio ja liikkeen suuntainen. Siksi sekunnissa kuljettu matka on $v$, ja sekunnissa tehty työ on $F v$.

   Kaava

   $P = \dfrac{W}{t}$ ja $W = F s$, $s = v t$, joten $P = \dfrac{F v t}{t} = F v$

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja nopeus metreinä sekunnissa. Siksi tulo tulee suoraan watteina: $1\,\text{N}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 1\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 20\,\text{N} \cdot 3{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $= 60\,\text{W}$

   Vastaus

   $60\,\text{W}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $3{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Tarkistetaan ajan avulla. Yhdessä sekunnissa pulkka kulkee $3{,}0\,\text{m}$. Silloin työ on $20\,\text{N} \cdot 3{,}0\,\text{m} = 60\,\text{J}$ ja teho $\tfrac{60\,\text{J}}{1\,\text{s}} = 60\,\text{W}$. Muutaman kymmenen watin teho on tavallinen vetoteho, kun kävellään reippaasti.

6. Tehtävä 2-6

   Oppilas kantaa repun vaakasuoraan käytävää pitkin tasaisella vauhdilla. Reppua kannatteleva voima osoittaa ylöspäin. Miksi tämä voima ei tee työtä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Reppu liikkuu tasaisella vauhdilla, joten mikään voima ei tee sille työtä.
   • Työtä tehdään vain nostettaessa, joten vaakasuora liike ei vaadi työtä.
   • Kantava voima on yhtä suuri kuin paino, joten se ei tee työtä.
   • Voima osoittaa ylös, mutta liike on sivulle, joten voima ei ole liikkeen suuntainen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Voima osoittaa ylös, mutta liike on sivulle, joten voima ei ole liikkeen suuntainen.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi kantava voima ei tee työtä, kun reppua kannetaan vaakasuoraan

   Periaate

   Voiman tekemä työ $W = F s$ vaatii, että voima on liikkeen suuntainen. Reppua kannatteleva voima osoittaa ylös. Reppu liikkuu kuitenkin sivulle. Voima on siis kohtisuorassa liikettä vastaan.

   Mallivastaus

   Voima osoittaa ylös, mutta liike on sivulle. Voima ei ole liikkeen suuntainen, joten se ei tee työtä. Tasainen vauhti ei selitä asiaa. Liikkeen suuntainen voima tekee työn myös tasaisessa liikkeessä, esimerkiksi pulkkaa vetävä voima. Voiman suuruus ei selitä asiaa. Hitaassa nostossa painon suuruinen voima tekee työn $W = G h$. Työ ei myöskään rajoitu nostamiseen. Mopoa työntävä vaakasuora voima tekee työn.

7. Tehtävä 2-7

   Moottori pyörittää kuljetinhihnaa. Se vetää hihnaa tasaisella vauhdilla liikkeen suuntaisella $1{,}2\,\text{kN}$:n voimalla. Moottorin teho on $1{,}8\,\text{kW}$. Millä nopeudella hihna kulkee?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F = 1{,}2\,\text{kN}$ (liikkeen suuntainen), teho $P = 1{,}8\,\text{kW}$, vauhti tasainen

   Kysytty

   hihnan nopeus $v$ metreinä sekunnissa

   Periaate

   Vauhti on tasainen, ja voima on vakio ja liikkeen suuntainen. Silloin teho on voiman ja nopeuden tulo. Nopeuden voi laskea, kun teho ja voima tunnetaan.

   Kaava

   $P = F v$, joten $v = \dfrac{P}{F}$

   Muunnokset

   $1{,}8\,\text{kW} = 1800\,\text{W}$ ja $1{,}2\,\text{kN} = 1200\,\text{N}$. Silloin tulos tulee yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{N}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{1800\,\text{W}}{1200\,\text{N}}$

   $= 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten annetuissa arvoissa $1{,}2\,\text{kN}$ ja $1{,}8\,\text{kW}$.

   Järkevyys

   Tarkistus toiseen suuntaan: $1200\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 1800\,\text{W}$, kuten annettu teho. Nopeus $1{,}5\,\text{m/s}$ on noin $5{,}4\,\text{km/h}$. Se on reippaan kävelyn vauhti, ja se sopii kuljetinhihnalle.

8. Tehtävä 2-8

   Kaksi nosturia nostaa kumpikin $500\,\text{kg}$:n kuorman samaan korkeuteen tasaisella nopeudella. Nosturi A nostaa kuorman $20\,\text{s}$:ssa ja nosturi B $40\,\text{s}$:ssa. Mikä väite on oikea?

   Valitse vaihtoehto.

   • Nosturin B teho on suurempi, koska se tekee suuremman työn pidemmässä ajassa.
   • Nosturin A teho on suurempi, koska työ on sama mutta tehty lyhyemmässä ajassa.
   • Nosturien teho on sama, koska ne nostavat saman kuorman samaan korkeuteen.
   • Nosturin A työ on suurempi, koska se nostaa saman kuorman nopeammin.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Nosturin A teho on suurempi, koska työ on sama mutta tehty lyhyemmässä ajassa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kumpi nosturi on tehokkaampi ja miksi

   Periaate

   Kuorma ja nostokorkeus ovat samat. Siksi nostotyö $W = m g h$ on kummallakin nosturilla sama. Teho on työ aikayksikköä kohti, $P = \dfrac{W}{t}$. Sama työ lyhyemmässä ajassa tarkoittaa siis suurempaa tehoa.

   Mallivastaus

   Nosturin A teho on suurempi, koska työ on sama mutta se tehdään lyhyemmässä ajassa. Kummankaan nostotyö ei ole suurempi, koska työ riippuu vain kuormasta ja korkeudesta. Nostoon kuluva aika ei vaikuta siihen. Teho ei myöskään ole sama, koska teho kertoo, kuinka nopeasti työ tehdään. Nosturin A nosto kestää vain puolet nosturin B ajasta, joten sen teho on kaksinkertainen. Luku $500\,\text{kg}$ ja korkeus eivät vaikuta vertailuun, koska nostotyö on molemmilla sama.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-9Ydintehtävä

   Traktori vetää kuormaa liikkeen suuntaisella $1{,}5\,\text{kN}$:n voimalla. Traktori tekee $45\,\text{kJ}$:n työn. Kuinka pitkän matkan kuorma siirtyy?

   mTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   työ $W = 45\,\text{kJ}$, voima $F = 1{,}5\,\text{kN}$ (liikkeen suuntainen)

   Kysytty

   kuorman siirtymä $s$ metreinä

   Periaate

   Voima on liikkeen suuntainen ja vakio. Siksi työ on voiman ja matkan tulo. Työ ja voima tunnetaan, joten matka voidaan ratkaista.

   Kaava

   $W = F s$, joten $s = \dfrac{W}{F}$

   Muunnokset

   $45\,\text{kJ} = 45\,000\,\text{J}$ ja $1{,}5\,\text{kN} = 1500\,\text{N}$. Nyt yksiköt ovat SI-yksiköitä, ja $\tfrac{\text{J}}{\text{N}} = \text{m}$.

   Sijoitus

   $s$$= \dfrac{45\,000\,\text{J}}{1500\,\text{N}}$

   $= 30\,\text{m}$

   Vastaus

   $30\,\text{m}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten voimassa $1{,}5\,\text{kN}$.

   Järkevyys

   Yksiköt:

   $\dfrac{\text{J}}{\text{N}}$$= \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{N}}$

   $= \text{m}$

   Tarkistetaan toisin päin: $1500\,\text{N} \cdot 30\,\text{m} = 45\,000\,\text{J}$. Tämä on sama kuin annettu työ. Kolmenkymmenen metrin siirto on uskottava, kun traktori vetää kuormaa.

2. Tehtävä 2-10Ydintehtävä

   Vesipumpun teho on $1{,}5\,\text{kW}$. Kuinka suuren työn pumppu tekee 4,0 minuutissa? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $360\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 1{,}5\,\text{kW}$, aika $t = 4{,}0\,\text{min}$

   Kysytty

   pumpun tekemä työ $W$ kilojouleina

   Periaate

   Teho on työ aikayksikköä kohti. Pumpun teho pysyy vakiona. Siksi työ on teho kertaa aika.

   Kaava

   $P = \dfrac{W}{t}$, joten $W = P t$

   Muunnokset

   $1{,}5\,\text{kW}$$= 1500\,\text{W}$

   $4{,}0\,\text{min}$$= 4{,}0 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 240\,\text{s}$

   Silloin työ tulee jouleina. Lopuksi muunnetaan kilojouleiksi: $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 1500\,\text{W} \cdot 240\,\text{s}$

   $= 360\,000\,\text{J}$

   $= 360\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $360\,\text{kJ}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten tehossa $1{,}5\,\text{kW}$ ja ajassa $4{,}0\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Lasketaan toisella tavalla: $1{,}5\,\text{kW} \cdot \tfrac{4}{60}\,\text{h} = 0{,}10\,\text{kWh}$. Lisäksi $1\,\text{kWh} = 3600\,\text{kJ}$, joten $0{,}10 \cdot 3600\,\text{kJ} = 360\,\text{kJ}$. Tällä työllä voisi nostaa $1000\,\text{kg}$ vettä noin $37\,\text{m}$:n korkeuteen:

   $\tfrac{360\,000\,\text{J}}{1000\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 37\,\text{m}$
3. Tehtävä 2-11

   Nosturi nostaa $850\,\text{kg}$:n betonielementin hitaasti $30\,\text{m}$:n korkeuteen. Kuinka suuren työn nostovoima tekee? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $250\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 850\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 30\,\text{m}$, nosto hidas, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nostovoiman tekemä työ $W$ kilojouleina

   Periaate

   Nosto on hidas. Silloin nostovoima on yhtä suuri kuin paino. Voima on vakio ja liikkeen suuntainen. Työ on siis painon ja nostokorkeuden tulo. Paino lasketaan massasta.

   Kaava

   $W = F h$, $F = G = m g$, joten $W = m g h$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja korkeus metreinä. Ennen laskua muunnoksia ei siis tarvita. Lopuksi muunnetaan kilojouleiksi: $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= 850\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 30\,\text{m}$

   $= 250\,155\,\text{J}$

   $= 250{,}155\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $250\,\text{kJ}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten korkeudessa $30\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Elementin paino on

   $850\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

   $\approx 8{,}3\,\text{kN}$

   Karkea arvio: $8\,\text{kN} \cdot 30\,\text{m} = 240\,\text{kJ}$. Se on lähellä tulosta. Kolmenkymmenen metrin korkeus on noin kymmenkerroksisen talon korkeus. Neljänneksen megajoulen työ on uskottava nosturille.

4. Tehtävä 2-12

   Vaunua työnnetään liikkeen suuntaisella voimalla. Aluksi voima on $10\,\text{N}$ matkalla $0\text{–}2{,}0\,\text{m}$. Sen jälkeen voima kasvaa tasaisesti $10\,\text{N}$:sta $30\,\text{N}$:iin matkalla $2{,}0\text{–}6{,}0\,\text{m}$. Laske voiman tekemä kokonaistyö $(s, F)$-kuvaajan pinta-alana.

   JTarkista
   Vastaus

   $100\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F_1 = 10\,\text{N}$ vakiona matkalla $s_1 = 2{,}0\,\text{m}$ ($0\text{–}2{,}0\,\text{m}$); sitten voima kasvaa tasaisesti arvosta $F_1 = 10\,\text{N}$ arvoon $F_2 = 30\,\text{N}$ matkalla $s_2 = 4{,}0\,\text{m}$ ($2{,}0\text{–}6{,}0\,\text{m}$)

   Kysytty

   kokonaistyö $W$ jouleina

   Periaate

   Voima muuttuu, joten kaava $W = F s$ ei käy koko matkalle. Työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala. Sen voi laskea osissa. Vakiovoiman osa on suorakulmio. Tasaisesti kasvavan voiman osa on puolisuunnikas.

   Kuvaajan lukeminen

   Kuvaajassa on ensin vaakasuora jana korkeudella $10\,\text{N}$ välillä $0\ldots 2{,}0\,\text{m}$. Sen jatkona on suora jana, joka nousee korkeudesta $10\,\text{N}$ korkeuteen $30\,\text{N}$ välillä $2{,}0\ldots 6{,}0\,\text{m}$. Suorakulmion korkeus on $10\,\text{N}$ ja leveys $2{,}0\,\text{m}$. Puolisuunnikkaan yhdensuuntaiset sivut ovat $10\,\text{N}$ ja $30\,\text{N}$. Sen korkeus (leveys $s$-akselilla) on $4{,}0\,\text{m}$.

   Kaava

   $W = A_\text{suorakulmio} + A_\text{puolisuunnikas}$, joten $W = F_1 s_1 + 0{,}5 \cdot (F_1 + F_2)\, s_2$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $W$$= 10\,\text{N} \cdot 2{,}0\,\text{m} + \tfrac{1}{2} \cdot (10\,\text{N} + 30\,\text{N}) \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= 20\,\text{J} + 80\,\text{J}$

   $= 100\,\text{J}$

   Vastaus

   $100\,\text{J}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten annetuissa arvoissa (esimerkiksi $2{,}0\,\text{m}$).

   Järkevyys

   Keskimääräinen voima koko $6{,}0\,\text{m}$:n matkalla on

   $\dfrac{100\,\text{J}}{6{,}0\,\text{m}}$$\approx 17\,\text{N}$

   Se on voiman pienimmän ($10\,\text{N}$) ja suurimman ($30\,\text{N}$) arvon välissä. Karkeat rajat: työ on vähintään $10\,\text{N} \cdot 6{,}0\,\text{m} = 60\,\text{J}$ ja enintään $30\,\text{N} \cdot 6{,}0\,\text{m} = 180\,\text{J}$. Tulos on näiden välissä.

5. Tehtävä 2-13

   Kärryä vedetään kiskolla liikkeen suuntaisella voimalla. Voima-anturi mittaa voiman suuruuden. Tulokset ovat taulukossa (esimerkkiaineisto).

   Laske voiman tekemä työ matkalla $0\text{–}4{,}0\,\text{m}$. Jaa matka neljään osaan, joista jokainen on yksi metri. Käytä jokaisella osalla voiman keskiarvoa osan alku- ja loppupisteessä.

   Kärryä vetävä voima matkan funktiona (esimerkkiaineisto)

   $s\,(\text{m})$	$F\,(\text{N})$
   0,0	18,0
   1,0	17,2
   2,0	15,1
   3,0	11,0
   4,0	6,0

   JTarkista
   Vastaus

   $55\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta voima $F$ kohdissa $s = 0{,}0\,\text{m}$, $1{,}0\,\text{m}$, $2{,}0\,\text{m}$, $3{,}0\,\text{m}$ ja $4{,}0\,\text{m}$: $18{,}0\,\text{N}$, $17{,}2\,\text{N}$, $15{,}1\,\text{N}$, $11{,}0\,\text{N}$ ja $6{,}0\,\text{N}$; voima on liikkeen suuntainen

   Kysytty

   voiman tekemä työ $W$ jouleina matkalla $0\ldots 4{,}0\,\text{m}$

   Periaate

   Voima muuttuu matkalla, joten työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala. Jokaisella yhden metrin osalla pinta-ala on puolisuunnikas. Sen korkeus on voiman keskiarvo osan päissä. Lopuksi osat lasketaan yhteen.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon pisteet yhdistetään ajatuksissa suorilla janoilla $(s,F)$-koordinaatistossa. Osan $0\ldots 1{,}0\,\text{m}$ päissä voima on $18{,}0\,\text{N}$ ja $17{,}2\,\text{N}$. Osan $1{,}0\ldots 2{,}0\,\text{m}$ päissä se on $17{,}2\,\text{N}$ ja $15{,}1\,\text{N}$. Osan $2{,}0\ldots 3{,}0\,\text{m}$ päissä se on $15{,}1\,\text{N}$ ja $11{,}0\,\text{N}$. Osan $3{,}0\ldots 4{,}0\,\text{m}$ päissä se on $11{,}0\,\text{N}$ ja $6{,}0\,\text{N}$. Jokaisen osan leveys on $\Delta s = 1{,}0\,\text{m}$.

   Kaava

   $W = \sum 0{,}5 \cdot (F_\text{alku} + F_\text{loppu})\,\Delta s$, joten $W = W_1 + W_2 + W_3 + W_4$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} W_1 &= 0{,}5 \cdot (18{,}0 + 17{,}2)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 17{,}6\,\text{J} \\ W_2 &= 0{,}5 \cdot (17{,}2 + 15{,}1)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 16{,}15\,\text{J} \\ W_3 &= 0{,}5 \cdot (15{,}1 + 11{,}0)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 13{,}05\,\text{J} \\ W_4 &= 0{,}5 \cdot (11{,}0 + 6{,}0)\,\text{N} \\ &\quad \cdot 1{,}0\,\text{m} = 8{,}5\,\text{J} \\ W &= 17{,}6\,\text{J} + 16{,}15\,\text{J} \\ &\quad + 13{,}05\,\text{J} + 8{,}5\,\text{J} \\ &= 55{,}3\,\text{J} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $55\,\text{J}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska osan leveys $\Delta s = 1{,}0\,\text{m}$ ja loppuvoima $6{,}0\,\text{N}$ on annettu kahdella merkitsevällä numerolla.

   Järkevyys

   Keskimääräinen voima koko $4{,}0\,\text{m}$:n matkalla on $55{,}3\,\text{J} / 4{,}0\,\text{m} \approx 14\,\text{N}$. Se on voiman pienimmän ($6{,}0\,\text{N}$) ja suurimman ($18{,}0\,\text{N}$) arvon välissä. Karkea arvio: $18\,\text{N} \cdot 4{,}0\,\text{m} = 72\,\text{J}$ on yläraja ja $6\,\text{N} \cdot 4{,}0\,\text{m} = 24\,\text{J}$ on alaraja. Tulos on niiden välissä.

6. Tehtävä 2-14

   Oppilas mittaa portaissa tekemäänsä työtä ja tehoa. Hänen massansa on $62\,\text{kg}$. Portaissa on 18 askelmaa, ja jokaisen korkeus on $0{,}17\,\text{m}$. Oppilas nousee portaat kolme kertaa mahdollisimman tasaisella vauhdilla. Ajanotto antaa taulukon nousuajat (esimerkkiaineisto).

   Oletetaan, että työtä vaatii vain oppilaan painon nostaminen portaiden korkeudelle. Laske oppilaan keskimääräinen teho nousun aikana. Käytä nousuaikojen keskiarvoa.

   Portaiden nousuajat (esimerkkiaineisto)

   Nousu	$t\,(\text{s})$
   1	8,1
   2	7,8
   3	8,4

   WTarkista
   Vastaus

   $230\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 62\,\text{kg}$, askelmia 18 kappaletta, askelman korkeus $0{,}17\,\text{m}$, nousuajat $8{,}1\,\text{s}$, $7{,}8\,\text{s}$ ja $8{,}4\,\text{s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   keskimääräinen teho $P$ watteina

   Periaate

   Vauhti on tasainen. Silloin nostovoima on yhtä suuri kuin oppilaan paino. Työ lasketaan vain painon nostamisesta portaiden korkeudelle: $W = m g h$. Teho on tämä työ jaettuna nousuajalla. Toistetuista ajoista käytetään keskiarvoa, koska yhden ajanoton satunnainen virhe pienenee keskiarvossa.

   Kaava

   $h = n\, h_1$, $W = m g h$ ja $P = \dfrac{W}{t_\text{ka}}$, joten

   $P$$= \dfrac{m g\, n\, h_1}{t_\text{ka}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} \textstyle\sum t &= 8{,}1\,\text{s} + 7{,}8\,\text{s} + 8{,}4\,\text{s} \\ &= 24{,}3\,\text{s} \\ t_\text{ka} &= \dfrac{24{,}3\,\text{s}}{3} = 8{,}1\,\text{s} \\ h &= 18 \cdot 0{,}17\,\text{m} = 3{,}06\,\text{m} \\ W &= 62\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3{,}06\,\text{m} \\ &= 1861{,}2\,\text{J} \\ P &= \dfrac{1861{,}2\,\text{J}}{8{,}1\,\text{s}} \\ &= 229{,}8\,\text{W} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $230\,\text{W}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten massassa $62\,\text{kg}$ ja ajassa $8{,}1\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: paino on noin $600\,\text{N}$ ja korkeus noin $3\,\text{m}$. Työ on silloin noin $1800\,\text{J}$ ja teho $\tfrac{1800\,\text{J}}{8\,\text{s}} \approx 225\,\text{W}$. Kolmen ajanoton vaihteluväli $7{,}8\ldots 8{,}4\,\text{s}$ vastaa tehoa $222\ldots 239\,\text{W}$. Tulos $230\,\text{W}$ on tämän välin sisällä. Portaita nopeasti nousevan ihmisen teho on satoja watteja.

7. Tehtävä 2-15

   Tehtävässä nostetaan $40\,\text{kg}$:n laatikko hitaasti $1{,}5\,\text{m}$:n korkeuteen. Kysytään nostovoiman tekemä työ. Oppilas ratkaisi: ”$W = F s = 40 \cdot 1{,}5\,\text{J} = 60\,\text{J}$.”

   Oppilaan tulos on väärä. Etsi virhe ja laske oikea työ jouleina.

   JTarkista
   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 40\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 1{,}5\,\text{m}$, nosto hidas, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; oppilaan tulos $60\,\text{J}$

   Mallivastaus

   Virhe: oppilas käytti kaavassa $W = F s$ voimana massan lukua $40$. Massa ei ole voima. Nostovoima on painon suuruinen, $F = m g$, ja se pitää laskea newtoneina. Oikea työ on $W = m g h \approx 590\,\text{J}$.

   Kysytty

   oppilaan virhe ja nostovoiman tekemä oikea työ $W$ jouleina

   Periaate

   Oppilas pani kaavaan $W = F s$ voiman paikalle massan luvun $40$. Massa ei ole voima. Hitaassa nostossa nostovoima on yhtä suuri kuin paino $G = m g$, ja se pitää tuoda laskuun newtoneina. Työ on tämän voiman ja nostokorkeuden tulo.

   Kaava

   $F = G = m g$ ja $W = F h$, joten $W = m g h$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja korkeus metreinä. Muunnoksia ei siis tarvita. Painon yksikkö on newton: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} G &= 40\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = 392{,}4\,\text{N} \\ W &= 392{,}4\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 588{,}6\,\text{J} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten massassa $40\,\text{kg}$ ja korkeudessa $1{,}5\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Oppilaan tulos on lähes kymmenesosa oikeasta. Se vastaa tekijää $g \approx 9{,}81\,\text{m/s}^2$, joka jäi pois. Karkea arvio: paino on noin $400\,\text{N}$, joten $400\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 600\,\text{J}$. Yksiköt: oppilaan luku $40$ oli massa kilogrammoina eikä newtoneina. Siksi tulo ei voinut olla jouleja.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 2-16

   Laatikkoa työnnetään liikkeen suuntaisella voimalla. Voima kasvaa tasaisesti nollasta $40\,\text{N}$:iin matkalla $0\text{–}0{,}50\,\text{m}$. Sitten voima pysyy $40\,\text{N}$:ssä matkalla $0{,}50\text{–}1{,}5\,\text{m}$. Lopuksi voima pienenee tasaisesti nollaan matkalla $1{,}5\text{–}2{,}0\,\text{m}$.

   Mikä on voiman matkan suhteen keskimääräinen suuruus koko $2{,}0\,\text{m}$:n matkalla? Vihje: laske ensin kokonaistyö kuvaajan pinta-alana.

   NTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   huippuvoima $F = 40\,\text{N}$; voima kasvaa nollasta arvoon $F$ matkalla $s_1 = 0{,}50\,\text{m}$, pysyy vakiona matkalla $s_2 = 1{,}0\,\text{m}$ ja pienenee nollaan matkalla $s_3 = 0{,}50\,\text{m}$; koko matka $s = 2{,}0\,\text{m}$

   Kysytty

   voiman matkan suhteen keskimääräinen suuruus $F_\text{ka}$ newtoneina

   Periaate

   Voima muuttuu, joten työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala. Keskimääräinen voima on se vakiovoima, joka tekisi saman työn samalla matkalla. Siksi $W = F_\text{ka}\, s$.

   Kuvaajan lukeminen

   Kuvaaja on puolisuunnikas. Siinä on kolme osaa: nouseva kolmio ($0\ldots 0{,}50\,\text{m}$, korkeus $40\,\text{N}$), vaakasuora osa eli suorakulmio ($0{,}50\ldots 1{,}5\,\text{m}$, korkeus $40\,\text{N}$) ja laskeva kolmio ($1{,}5\ldots 2{,}0\,\text{m}$, korkeus $40\,\text{N}$). Työ on näiden kolmen pinta-alan summa.

   Kaava

   $W = \tfrac{1}{2} F s_1 + F s_2 + \tfrac{1}{2} F s_3$ ja $W = F_\text{ka}\, s$, joten $F_\text{ka} = \dfrac{W}{s}$

   Muunnokset

   Voimat ovat newtoneina ja matkat metreinä. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $W$$= \tfrac{1}{2} \cdot 40\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{m} + 40\,\text{N} \cdot 1{,}0\,\text{m} + \tfrac{1}{2} \cdot 40\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{m}$

   $= 10\,\text{J} + 40\,\text{J} + 10\,\text{J}$

   $= 60\,\text{J}$

   $F_\text{ka}$$= \dfrac{60\,\text{J}}{2{,}0\,\text{m}}$

   $= 30\,\text{N}$

   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten matkassa $2{,}0\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Keskiarvo on pienempi kuin huippuarvo $40\,\text{N}$. Syy on se, että voima on alussa ja lopussa pieni. Keskiarvo on kuitenkin suurempi kuin puolet huipusta. Syy on se, että voima on huipussa puolet matkasta. Puolisuunnikkaan kaava antaa saman työn:

   $0{,}5 \cdot (2{,}0\,\text{m} + 1{,}0\,\text{m}) \cdot 40\,\text{N}$

   $= 60\,\text{J}$

   Jos voima kasvaisi tasaisesti nollasta koko matkan, sen keskiarvo olisi $20\,\text{N}$.

2. Tehtävä 2-17

   Joulen kokeessa $2{,}0\,\text{kg}$:n paino putoaa $1{,}5\,\text{m}$ ja pyörittää siipipyörää vedessä. Koe toistetaan 20 kertaa. Joka kerta paino nostetaan takaisin ylös. Oleta, että paino menettää pudotessaan nostotyön suuruisen energian. Oleta myös, että kaikki tämä energia jää veteen.

   Kuinka paljon veden sisäenergia kasvaa?

   JTarkista
   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 2{,}0\,\text{kg}$, putoamiskorkeus $h = 1{,}5\,\text{m}$, pudotuksia $n = 20$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   veden sisäenergian kasvu $\Delta U$ jouleina

   Periaate

   Energia säilyy. Kun paino putoaa, se menettää energiaa nostotyön $m g h$ verran. Oletuksen mukaan kaikki tämä energia siirtyy siipipyörän kautta veteen. Siellä siitä tulee veden sisäenergiaa. Jokainen pudotus siirtää saman energian. Siksi pudotusten energiat lasketaan yhteen.

   Kaava

   $W_1 = m g h$ ja $\Delta U = n W_1$, joten $\Delta U = n m g h$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja korkeus metreinä. Muunnoksia ei siis tarvita. Pudotusten lukumäärä $n = 20$ on pelkkä luku.

   Sijoitus

   $W_1$$= 2{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1{,}5\,\text{m}$

   $= 29{,}43\,\text{J}$

   $\Delta U$$= 20 \cdot 29{,}43\,\text{J}$

   $= 588{,}6\,\text{J}$

   Vastaus

   $590\,\text{J}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten massassa $2{,}0\,\text{kg}$ ja korkeudessa $1{,}5\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Karkea arvio: paino on noin $20\,\text{N}$. Yksi pudotus antaa siis noin $20\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 30\,\text{J}$, ja 20 pudotusta antaa noin $600\,\text{J}$. Tulos on sama kuin jos noin $60\,\text{kg}$:n kappale nostetaan metrin. Se on pieni energiamäärä. Siksi veden lämpötila muuttui vain vähän, ja mittauksen piti olla tarkka. Tästä syystä Joule toisti pudotuksia monta kertaa.

3. Tehtävä 2-18

   Mökin aurinkopaneeli antaa auringonpaisteessa $180\,\text{W}$:n tehon. Energian pitää riittää $1000\,\text{kg}$:n veden nostamiseen $50\,\text{m}$:n korkeuteen.

   Kuinka monta minuuttia auringon pitää paistaa paneeliin? Oleta, että kaikki energia menee veden nostamiseen.

   minTarkista
   Vastaus

   $45\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   paneelin teho $P = 180\,\text{W}$, veden massa $m = 1000\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 50\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, kaikki energia menee nostamiseen

   Kysytty

   aika $t$ minuutteina

   Periaate

   Oletuksen mukaan paneelin tuottama energia on yhtä suuri kuin veden nostoon tarvittava työ. Häviöitä ei ole. Teho on vakio, joten tuotettu energia on teho kertaa aika. Vesi nostetaan hitaasti, joten nostotyö on $m g h$.

   Kaava

   $W = m g h$ ja $W = P t$, joten $t = \dfrac{m g h}{P}$

   Muunnokset

   Massa, korkeus ja teho ovat SI-yksiköissä. Siksi aika tulee ensin sekunteina. Lopuksi muunnetaan minuuteiksi: $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $W$$= 1000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 50\,\text{m}$

   $= 490\,500\,\text{J}$

   $t$$= \dfrac{490\,500\,\text{J}}{180\,\text{W}}$

   $= 2725\,\text{s}$

   $= \dfrac{2725}{60}\,\text{min}$

   $= 45{,}42\,\text{min}$

   Vastaus

   $45\,\text{min}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten korkeudessa $50\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Paneeli tuottaa tunnissa $180\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} = 648\,\text{kJ}$. Se on enemmän kuin tarvittava $490\,\text{kJ}$. Aika on siis alle tunnin. Suhde $\tfrac{490{,}5}{648} \approx 0{,}76$ tuntia on noin $45\,\text{min}$, kuten tulos. Tämä sopii arkikokemukseen aurinkosähköstä.

4. Tehtävä 2-19

   Jousen venytyskokeessa jousta venytetään hitaasti. Voima-anturi mittaa jousen suuntaisen venyttävän voiman $F$ eri venymillä $s$ (esimerkkiaineisto). Venymä on mitattu jousen vapaasta pituudesta.

   a) Perustele taulukon arvoista, miten voima riippuu venymästä. Selitä, miksi venyttämiseen tehty työ on $(s,F)$-kuvaajassa kolmion pinta-ala.

   b) Laske työ, kun jousi venytetään $10{,}0\,\text{cm}$:n venymään.

   c) Kuinka korkealle tällä työllä voitaisiin nostaa hitaasti $0{,}20\,\text{kg}$:n kappale? Perustele laskun malli. Anna c)-kohdan tulos senttimetreinä vastauslaatikkoon.

   Jousen venyttävä voima venymän funktiona (esimerkkiaineisto)

   $s\,(\text{cm})$	$F\,(\text{N})$
   2,0	1,9
   4,0	4,2
   6,0	5,8
   8,0	8,1
   10,0	10,0

   cmTarkista
   Vastaus

   $25\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta $(s, F)$: $(2{,}0\,\text{cm}$; $1{,}9\,\text{N})$, $(4{,}0\,\text{cm}$; $4{,}2\,\text{N})$, $(6{,}0\,\text{cm}$; $5{,}8\,\text{N})$, $(8{,}0\,\text{cm}$; $8{,}1\,\text{N})$, $(10{,}0\,\text{cm}$; $10{,}0\,\text{N})$; venymä $s_\text{max} = 10{,}0\,\text{cm}$; nostettava massa $m = 0{,}20\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) voiman ja venymän riippuvuus, b) venyttämiseen tehty työ $W$, c) nostokorkeus $h$ senttimetreinä

   Periaate

   Voima muuttuu venymän mukana, joten työ on $(s,F)$-kuvaajan pinta-ala. Jos voima on verrannollinen venymään, kuvaaja on suora, joka kulkee origon kautta. Silloin pinta-ala on kolmio. Energia säilyy ilman häviöitä. Jousen venyttämiseen tehdyllä työllä voi nostaa kappaleen hitaasti. Silloin nostotyö $m g h$ on yhtä suuri kuin $W$.

   Kuvaajan lukeminen

   Voima kasvaa venymän mukana niin, että osamäärä $\tfrac{F}{s}$ on kaikissa pisteissä noin $1{,}0\,\text{N/cm}$. Esimerkiksi $\tfrac{1{,}9}{2{,}0} = 0{,}95$ ja $\tfrac{10{,}0}{10{,}0} = 1{,}0$. Mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla, koska mittauksessa on epävarmuutta. Siksi pisteiden lomaan sovitetaan suora, joka kulkee origon kautta. Origo kuuluu suoralle, koska venymä on mitattu vapaasta pituudesta. Suoralla kohdassa $s = 10{,}0\,\text{cm}$ voima on $F = 10{,}0\,\text{N}$. Voima kasvaa nollasta tasaisesti. Kuvaaja on siis suora, joka kulkee origon kautta, ja sen alle jää kolmio. Siksi työ on kolmion pinta-ala. Kolmion kanta on $s$ ja korkeus on $F$.

   Kaava

   $W = \tfrac{1}{2} F s$ ja $W = m g h$, joten $h = \dfrac{W}{m g}$

   Muunnokset

   $10{,}0\,\text{cm} = 0{,}100\,\text{m}$, jotta työ tulee jouleina. Lopuksi $h$ muunnetaan senttimetreiksi: $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} W &= 0{,}5 \cdot 10{,}0\,\text{N} \cdot 0{,}100\,\text{m} \\ &= 0{,}500\,\text{J} \\ h &= \dfrac{0{,}500\,\text{J}}{0{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 0{,}2548\,\text{m} \\ &= 25{,}48\,\text{cm} \end{aligned}$$

   Vastaus

   a) voima on likimain verrannollinen venymään, $F \approx 1{,}0\,\tfrac{\text{N}}{\text{cm}} \cdot s$; b) $W = 0{,}50\,\text{J}$; c) $25\,\text{cm}$ ($25{,}5\,\text{cm}$ ennen pyöristystä). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Jos voima olisi koko matkan $10{,}0\,\text{N}$, työ olisi $10{,}0\,\text{N} \cdot 0{,}100\,\text{m} = 1{,}0\,\text{J}$. Kolmion työ on tästä puolet, koska keskimääräinen voima on $5{,}0\,\text{N}$. Mittauspisteiden puolisuunnikassumma antaa saman: $0{,}020\,\text{m} \cdot 25{,}0\,\text{N} = 0{,}50\,\text{J}$. Kappaleen paino on

   $0{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

   $\approx 2{,}0\,\text{N}$

   ja $2{,}0\,\text{N} \cdot 0{,}25\,\text{m} \approx 0{,}50\,\text{J}$.

5. Tehtävä 2-20

   Rakennusnosturin moottori nostaa $450\,\text{kg}$:n kuormaa lattialta ylös. Kuorman korkeus lattiasta mitataan eri hetkinä nostoliikkeen alusta lukien (esimerkkiaineisto).

   a) Perustele taulukosta, että kuorma nousee likimain tasaisella nopeudella. Määritä nopeus sovitetun suoran avulla. Suoran saa vetää origon kautta, koska aika ja korkeus lasketaan nostoliikkeen alusta.

   b) Perustele, miksi nostovoima on yhtä suuri kuin kuorman paino, kun kuorma nousee tasaisella nopeudella (kuten kaavan $W = m g h$ johdossa).

   c) Laske moottorin kuormalle antama teho kilowatteina. Tämä tulos vastauslaatikkoon.

   d) Laske kuorman nostotyö $m g h$ taulukon viimeiselle pisteelle ($8{,}0\,\text{s}$; $6{,}5\,\text{m}$). Vertaa sitä työhön, jonka saat tehon ja ajan $8{,}0\,\text{s}$ tulona.

   Nostettavan kuorman korkeus (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$h\,(\text{m})$
   0,0	0,0
   2,0	1,6
   4,0	3,3
   6,0	4,9
   8,0	6,5

   kWTarkista
   Vastaus

   $3{,}6\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 450\,\text{kg}$, taulukosta $(t, h)$: $(2{,}0\,\text{s}$; $1{,}6\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $3{,}3\,\text{m})$, $(6{,}0\,\text{s}$; $4{,}9\,\text{m})$, $(8{,}0\,\text{s}$; $6{,}5\,\text{m})$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) kuorman nopeus $v$, b) miksi nostovoima on yhtä suuri kuin paino, c) moottorin teho $P$ kilowatteina, d) työn vertailu taulukon viimeiseen pisteeseen

   Periaate

   Jos korkeus kasvaa tasaisesti ajan mukana, kuorma nousee vakionopeudella. Tasaisella nopeudella nostovoima $F$ on yhtä suuri kuin paino $G = m g$. Teho on voiman ja nopeuden tulo, $P = F v$.

   Kuvaajan lukeminen

   Aikaväleillä $2{,}0\,\text{s}$ korkeus kasvaa $1{,}6\,\text{m}$, $1{,}7\,\text{m}$, $1{,}6\,\text{m}$ ja $1{,}6\,\text{m}$. Se kasvaa siis lähes saman verran joka kerta, joten nopeus on likimain vakio. Mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla, koska mittauksessa on epävarmuutta. Siksi nopeus luetaan sovitetun suoran kulmakertoimesta. Sitä ei lueta kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä. Origon kautta kulkeva suora sopii pisteiden lomaan, koska aika ja korkeus lasketaan nostoliikkeen alusta. Suoralta luetaan $h = 6{,}52\,\text{m}$ kohdassa $t = 8{,}0\,\text{s}$. Kulmakerroin on siis

   $v$$= 6{,}52\,\text{m} / 8{,}0\,\text{s}$

   $= 0{,}815\,\text{m/s}$

   Kaava

   $F = G = m g$ ja $P = F v$, joten $P = m g v$; vertailussa $W = P t$ ja $W = m g h$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} G &= 450\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &= 4414{,}5\,\text{N} \\ P &= 4414{,}5\,\text{N} \cdot 0{,}815\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3598\,\text{W} \\ &= 3{,}598\,\text{kW} \\ P t &= 3598\,\text{W} \cdot 8{,}0\,\text{s} \\ &= 28\,780\,\text{J} \\ m g h &= 4414{,}5\,\text{N} \cdot 6{,}5\,\text{m} \\ &= 28\,690\,\text{J} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $3{,}6\,\text{kW}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten massassa ja korkeusmittauksissa. Perustelut: a) korkeus kasvaa tasaisesti, joten nopeus on likimain vakio, $v \approx 0{,}82\,\text{m/s}$; b) oppitunnin mukaan tasaisella nopeudella nostovoima on yhtä suuri kuin paino, kuten kaavan $W = m g h$ johdossa; d) työt ovat $28{,}8\,\text{kJ}$ ja $28{,}7\,\text{kJ}$, eli ne eroavat alle prosentin.

   Järkevyys

   Karkea arvio: paino on noin $4400\,\text{N}$ ja nopeus noin $0{,}8\,\text{m/s}$, joten teho on noin $3500\,\text{W}$. Vertailu d) on johdonmukainen. Sovitetun suoran antama työ $P t$ ja taulukon pisteestä laskettu $m g h$ eroavat alle prosentin. Kilowattien teho on uskottava rakennusnosturin nostomoottorille, kun otetaan huomioon vain nostotyö.