Termodynaaminen systeemi, tilanmuuttujat ja lämpötila

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 3-1Ydintehtävä

   Huoneen lämpötila on $21\,{}^\circ\text{C}$. Mikä lämpötila on kelvineinä?

   KTarkista
   Vastaus

   $294\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\theta = 21\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   lämpötila kelvineinä, $T$

   Periaate

   Kelvin ja celsiusaste ovat yhtä suuria. Asteikot eroavat vain nollakohdaltaan: $0\,{}^\circ\text{C}$ on $273{,}15\,\text{K}$. Kelvinlukema saadaan siis lisäämällä celsiuslukemaan $273{,}15$.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$. Kaava on jo valmiiksi ratkaistu kysytylle suureelle $T$.

   Muunnokset

   Celsiuslämpötila muutetaan kelvineiksi tässä kaavassa. Muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 21 + 273{,}15$

   $= 294{,}15\,\text{K}$

   Vastaus

   $294\,\text{K}$

   Vastaus annetaan täysinä kelvineinä, koska lämpötila $21\,{}^\circ\text{C}$ on annettu täysinä asteina.

   Järkevyys

   Huonelämpötila on noin $20\,{}^\circ\text{C}$. Arvio on siis $20 + 273 \approx 293\,\text{K}$, ja tulos on lähellä sitä. Lasketaan vielä takaisin: $294{,}15 - 273{,}15 = 21$. Muunnos palaa siis lähtöarvoon. Kelvinlämpötila on positiivinen, kuten pitää.

2. Tehtävä 3-2Ydintehtävä

   Kaasun lämpötila on $350\,\text{K}$. Mikä lämpötila on celsiusasteina?

   °CTarkista
   Vastaus

   $77\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $T = 350\,\text{K}$

   Kysytty

   lämpötila celsiusasteina, $\theta$

   Periaate

   Kelvin- ja celsiusasteikon välit ovat yhtä suuret. Nollakohtien ero on $273{,}15$. Celsiuslukema saadaan siis vähentämällä kelvinlukemasta $273{,}15$.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$, josta $\theta = T - 273{,}15$

   Muunnokset

   Kelvinlämpötila muutetaan celsiusasteiksi tämän kaavan avulla. Muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\theta$$= 350 - 273{,}15$

   $= 76{,}85\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $77\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus annetaan täysinä asteina, koska $350\,\text{K}$ on annettu täysinä kelvineinä.

   Järkevyys

   Veden kiehumispiste normaalipaineessa on $373\,\text{K}$ eli $100\,{}^\circ\text{C}$. Lämpötila $350\,\text{K}$ on $23\,\text{K}$ sen alapuolella. Arvio on siis $100 - 23 = 77\,{}^\circ\text{C}$. Tulos on myös yli nollan, koska $350\,\text{K} > 273\,\text{K}$. Lasketaan vielä takaisin: $76{,}85 + 273{,}15 = 350$.

3. Tehtävä 3-3

   Nestemäisen typen kiehumispiste on $77{,}4\,\text{K}$. Mikä se on celsiusasteina?

   °CTarkista
   Vastaus

   $-196\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $T = 77{,}4\,\text{K}$

   Kysytty

   lämpötila celsiusasteina, $\theta$

   Periaate

   Celsius- ja kelvinasteikon välit ovat yhtä suuret. Nollakohtien ero on $273{,}15$. Siksi $\theta$ saadaan vähentämällä kelvinlukemasta $273{,}15$. Kaava pätee myös silloin, kun tulos on negatiivinen.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$, josta $\theta = T - 273{,}15$

   Muunnokset

   Kelvinlämpötila muutetaan celsiusasteiksi tämän kaavan avulla. Muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\theta$$= 77{,}4 - 273{,}15$

   $= -195{,}75\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-196\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten arvossa $77{,}4\,\text{K}$. Tarkka vakio $273{,}15$ ei rajoita tarkkuutta. Desimaalin tarkkuudella tulos olisi $-195{,}8\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Typpi on ilman pääainesosa. Se muuttuu nesteeksi vasta hyvin kylmässä. Tulos on selvästi alle veden jäätymispisteen $0\,{}^\circ\text{C}$. Se on kuitenkin yli absoluuttisen nollapisteen $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Lasketaan vielä takaisin: $-195{,}75 + 273{,}15 = 77{,}4\,\text{K}$. Arvio: $77 - 273 \approx -196$.

4. Tehtävä 3-4

   Veden lämpötila nousee $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $45\,{}^\circ\text{C}$:een. Kuinka suuri lämpötilan muutos on kelvineinä?

   KTarkista
   Vastaus

   $25\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\theta_1 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = 45\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   lämpötilan muutos kelvineinä, $\Delta T$

   Periaate

   Celsiusaste ja kelvin ovat yhtä suuria. Asteikkojen nollakohdat eroavat vain vakiolla $273{,}15$. Vakio supistuu pois, kun lasketaan erotus. Siksi lämpötilan muutos on sama kummallakin asteikolla.

   Kaava

   $\Delta T$$= T_2 - T_1$

   $= (\theta_2 + 273{,}15) - (\theta_1 + 273{,}15)$

   joten $\Delta T = \theta_2 - \theta_1$

   Muunnokset

   Muunnosta ei tarvita. Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Vain yksikkö vaihtuu.

   Sijoitus

   $\Delta T = 45 - 20 = 25\,\text{K}$

   Vastaus

   $25\,\text{K}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten annetuissa lämpötiloissa.

   Järkevyys

   Tarkistetaan kelvineinä: $T_1 = 293{,}15\,\text{K}$ ja $T_2 = 318{,}15\,\text{K}$. Ero on $318{,}15 - 293{,}15 = 25\,\text{K}$. Etumerkki on positiivinen, koska vesi lämpenee.

5. Tehtävä 3-5

   Maailmankaikkeuden taustasäteilyn lämpötila on $2{,}7\,\text{K}$. Mikä se on celsiusasteina?

   °CTarkista
   Vastaus

   $-270\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $T = 2{,}7\,\text{K}$

   Kysytty

   lämpötila celsiusasteina, $\theta$

   Periaate

   Celsius- ja kelvinasteikon välit ovat yhtä suuret. Nollakohtien ero on $273{,}15$. Siksi $\theta$ saadaan vähentämällä kelvinlukemasta $273{,}15$. Kelvinlukema on pieni, joten tulos on negatiivinen.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$, josta $\theta = T - 273{,}15$

   Muunnokset

   Kelvinlämpötila muutetaan celsiusasteiksi tämän kaavan avulla. Muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\theta$$= 2{,}7 - 273{,}15$

   $= -270{,}45\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-270\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten arvossa $2{,}7\,\text{K}$. Tarkka vakio $273{,}15$ ei rajoita tarkkuutta. Desimaalin tarkkuudella tulos olisi $-270{,}5\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Lämpötila on vain $2{,}7\,\text{K}$ absoluuttisen nollapisteen yläpuolella. Siksi sen täytyy olla vain vähän yli $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$: $-273{,}15 + 2{,}7 = -270{,}45$. Tulos ei ole alle absoluuttisen nollapisteen. Niin ei saakaan olla.

6. Tehtävä 3-6

   Kaasu on tiiviissä sylinterissä, jonka mäntä liikkuu. Kaasu valitaan termodynaamiseksi systeemiksi. Kaasua voi lämmittää ja puristaa. Ainetta ei pääse sylinteristä ulos eikä sinne tule lisää.

   Mikä seuraavista kuvaa tätä systeemiä oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Avoin, koska lämmitys siirtää energiaa rajan yli; suljetussa systeemissä energia ei siirry.
   • Suljettu, koska lämpötila pysyy samana; lämpötilan muuttuessa systeemi olisi avoin.
   • Avoin, koska mäntä liikkuu; tilavuus voi muuttua, joten aine pääsee rajan yli.
   • Suljettu, koska ainetta ei siirry systeemin rajan yli; energiaa voi silti siirtyä.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Suljettu, koska ainetta ei siirry systeemin rajan yli; energiaa voi silti siirtyä.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   onko tiiviissä sylinterissä oleva kaasu suljettu vai avoin systeemi.

   Periaate

   Systeemi on suljettu, jos siitä ei pääse ainetta ulos eikä sinne tule ainetta. Energiaa voi silti siirtyä rajan yli. Mäntä kuuluu systeemin rajaan. Kun mäntä liikkuu, tilavuus muuttuu. Aine ei kuitenkaan ylitä rajaa.

   Mallivastaus

   Kaasu on suljettu systeemi, koska ainetta ei siirry sen rajan yli. Energiaa voi siirtyä ja tilavuus voi muuttua. Systeemi olisi avoin vasta, jos ainetta pääsisi ulos tai sisään, esimerkiksi jos sylinteri vuotaisi. Lämmitys ja puristus muuttavat tilanmuuttujia eli lämpötilaa, painetta ja tilavuutta. Ne eivät tee systeemistä avointa. Suljetun systeemin lämpötila ei myöskään ole vakio.

7. Tehtävä 3-7

   Pakastimen lämpötila on $-18\,{}^\circ\text{C}$. Mikä lämpötila on kelvineinä?

   KTarkista
   Vastaus

   $255\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\theta = -18\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   lämpötila kelvineinä, $T$

   Periaate

   Kelvin ja celsiusaste ovat yhtä suuria. Asteikot eroavat vain nollakohdaltaan: $0\,{}^\circ\text{C}$ on $273{,}15\,\text{K}$. Kelvinlukema saadaan lisäämällä celsiuslukemaan $273{,}15$. Näin tehdään myös silloin, kun celsiuslukema on negatiivinen.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$. Kaava on jo valmiiksi ratkaistu kysytylle suureelle $T$.

   Muunnokset

   Celsiuslämpötila muutetaan kelvineiksi tässä kaavassa. Muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= -18 + 273{,}15$

   $= 255{,}15\,\text{K}$

   Vastaus

   $255\,\text{K}$

   Vastaus annetaan täysinä kelvineinä, koska lämpötila $-18\,{}^\circ\text{C}$ on annettu täysinä asteina.

   Järkevyys

   Arvio pyöristetyillä luvuilla: $273 - 18 = 255$. Tulos on siis oikean suuntainen. Kelvinlämpötila on positiivinen ja pienempi kuin $273{,}15\,\text{K}$, joka vastaa veden jäätymispistettä. Näin pitää olla, koska pakastin on jäätymispistettä kylmempi. Lasketaan vielä takaisin: $255{,}15 - 273{,}15 = -18$.

8. Tehtävä 3-8

   Suljetussa ja jäykässä astiassa on kaasua. Astiaa lämmitetään. Mikä seuraavista kaasun suureista pysyy samana?

   Valitse vaihtoehto.

   • Paine, koska astiasta ei pääse kaasua ulos lämmitettäessä.
   • Hiukkasten keskimääräinen liike-energia, koska hiukkasmäärä ei muutu.
   • Lämpötila, koska astian seinät estävät kaasun lämpenemisen.
   • Tilavuus, koska jäykän astian seinät eivät siirry lämmitettäessä.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Tilavuus, koska jäykän astian seinät eivät siirry lämmitettäessä.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä kaasun suureista pysyy samana, kun suljettua jäykkää astiaa lämmitetään.

   Periaate

   Jäykän astian seinät eivät siirry. Siksi kaasun tilavuus on astian tilavuus ja pysyy samana. Lämmitys nostaa kaasun lämpötilaa, ja hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa. Hiukkaset törmäävät seinään useammin ja kovemmin, joten paine kasvaa.

   Mallivastaus

   Tilavuus pysyy samana, koska jäykän astian seinät eivät siirry lämmitettäessä. Lämpötila ja paine kasvavat. Hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa lämpötilan mukana. Harvassa kaasussa se on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Astia on suljettu. Se tarkoittaa vain sitä, että hiukkasmäärä eli aineen määrä pysyy samana. Astia ei estä lämpenemistä eikä paineen kasvua.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 3-9Ydintehtävä

   Kaasun lämpötila on $288\,\text{K}$. Kaasua lämmitetään, ja sen lämpötila nousee $45\,\text{K}$. Mikä on loppulämpötila celsiusasteina?

   °CTarkista
   Vastaus

   $60\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $T_1 = 288\,\text{K}$, lämpötilan nousu $\Delta T = 45\,\text{K}$

   Kysytty

   loppulämpötila celsiusasteina, $\theta_2$

   Periaate

   Lämpötilan muutos on sama kelvineinä ja celsiusasteina. Siksi nousun voi lisätä suoraan kelvinlämpötilaan. Vasta lopuksi tulos muutetaan celsiusasteiksi.

   Kaava

   $T_2 = T_1 + \Delta T$ ja $\theta_2 = T_2 - 273{,}15$, joten $\theta_2 = T_1 + \Delta T - 273{,}15$

   Muunnokset

   Nousu $45\,\text{K}$ lisätään sellaisenaan. Loppulämpötila muutetaan kelvineistä celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$.

   Sijoitus

   $T_2 = 288 + 45 = 333\,\text{K}$, ja

   $\theta_2$$= 333 - 273{,}15$

   $= 59{,}85\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $60\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus annetaan täysinä asteina, koska lähtöarvot on annettu täysinä kelvineinä.

   Järkevyys

   Alkulämpötila $288\,\text{K}$ on noin $15\,{}^\circ\text{C}$. Kun lämpötila nousee $45\,\text{K}$, tulos on noin $15 + 45 = 60\,{}^\circ\text{C}$. Tarkka tarkistus: $288 - 273{,}15 = 14{,}85\,{}^\circ\text{C}$ ja $14{,}85 + 45 = 59{,}85\,{}^\circ\text{C}$. Kaasu lämpenee, joten loppulämpötila on suurempi kuin alkulämpötila.

2. Tehtävä 3-10Ydintehtävä

   Astia on suljettu ja jäykkä. Astiassa kaasun paine on $90{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$. Lämpötilassa $100\,{}^\circ\text{C}$ paine on $123\,\text{kPa}$. Oleta, että paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Mikä on paine lämpötilassa $35\,{}^\circ\text{C}$?

   kPaTarkista
   Vastaus

   $102\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $(\theta_1,\, p_1) = (0\,{}^\circ\text{C},\ 90{,}0\,\text{kPa})$ ja $(\theta_2,\, p_2) = (100\,{}^\circ\text{C},\ 123\,\text{kPa})$. Paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti.

   Kysytty

   paine $p$ lämpötilassa $\theta = 35\,{}^\circ\text{C}$ kilopascaleina

   Periaate

   Astia on suljettu ja jäykkä. Siksi kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina, ja paine muuttuu vain lämpötilan mukana. Tehtävässä saa käyttää lineaarista mallia. Silloin pisteet määräävät suoran. Suoralta luetaan paine kohdassa $35\,{}^\circ\text{C}$.

   Kaava

   kulmakerroin

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   ja suora $p = p_1 + k\theta$, koska $\theta_1 = 0\,{}^\circ\text{C}$. Siis

   $p$$= p_1 + \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}\,\theta$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Paineet ovat samassa yksikössä. Lämpötilaero $\theta_2 - \theta_1$ on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Kulmakertoimen yksikkö on $\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(123 - 90{,}0)\,\text{kPa}}{(100 - 0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   ja

   $p$$= 90{,}0\,\text{kPa} + 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 35\,{}^\circ\text{C}$

   $= 101{,}55\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $102\,\text{kPa}$

   Paine-ero $\Delta p = 123 - 90{,}0 = 33\,\text{kPa}$ on kaksinumeroinen. Siksi $k = 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ ja $k\theta \approx 12\,\text{kPa}$. Summa $90{,}0 + 12 = 102\,\text{kPa}$ pyöristetään kokonaisiin kilopascaleihin.

   Järkevyys

   Lämpötila $35\,{}^\circ\text{C}$ on $35\,\%$ matkasta $0\,{}^\circ\text{C}$:sta $100\,{}^\circ\text{C}$:een. Siksi paineen pitää olla $35\,\%$ matkasta välillä $90{,}0\ldots123\,\text{kPa}$: $90{,}0 + 0{,}35 \cdot 33 = 101{,}55\,\text{kPa}$. Tulos on pisteiden paineiden välissä. Se on myös alle välin keskiarvon $106{,}5\,\text{kPa}$.

3. Tehtävä 3-11

   Kuvaajassa on mitattu kaasun paine eri lämpötiloissa. Kaasu on suljetussa jäykässä astiassa. Oleta, että paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Oletus pätee myös mittausalueen ulkopuolella.

   Mikä olisi paine lämpötilassa $-100\,{}^\circ\text{C}$?

   kPaTarkista
   Vastaus

   $p \approx 48\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta luettuna pisteet $(0\,{}^\circ\text{C}$; $75\,\text{kPa})$ ja $(100\,{}^\circ\text{C}$; $102{,}5\,\text{kPa})$. Paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti, myös mittausalueen ulkopuolella.

   Kysytty

   paine $p$ lämpötilassa $\theta = -100\,{}^\circ\text{C}$ kilopascaleina

   Periaate

   Jäykässä suljetussa astiassa kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina. Siksi paine riippuu vain lämpötilasta. Pisteet ovat suoralla, joten suoraa voi jatkaa mittausalueen ulkopuolelle. Tätä sanotaan ekstrapoloinniksi.

   Kuvaajan lukeminen

   Mittauspisteet ovat lämpötiloissa $0\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$. Ensimmäinen piste on ruudukon risteyksessä $(0\,{}^\circ\text{C}$; $75\,\text{kPa})$. Viimeinen piste on hieman $100\,\text{kPa}$:n viivan yläpuolella, $102{,}5\,\text{kPa}$. Näistä kahdesta pisteestä lasketaan suoran kulmakerroin. Sitten suoraa jatketaan vasemmalle lämpötilaan $-100\,{}^\circ\text{C}$. Jos piirrät suoran silmämääräisesti, saat arvon $45$–$50\,\text{kPa}$. Se hyväksytään.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   $p = p_1 + k(\theta - \theta_1)$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Paineet ovat kilopascaleina. Lämpötilaerot ovat samat celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(102{,}5 - 75)\,\text{kPa}}{(100 - 0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}275\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   ja

   $p$$= 75\,\text{kPa} + 0{,}275\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot (-100 - 0)\,{}^\circ\text{C}$

   $= 75\,\text{kPa} - 27{,}5\,\text{kPa}$

   $= 47{,}5\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $p \approx 48\,\text{kPa}$

   Vastaus annetaan kahdella merkitsevällä numerolla. Kuvaajasta luettu paine-ero $27{,}5\,\text{kPa}$ on kolmen numeron arvo, mutta lukutarkkuus on vain noin $1\,\text{kPa}$.

   Järkevyys

   Lämpötila on mittausalueen alapuolella. Siksi paineen pitää olla pienempi kuin pienin mitattu paine $75\,\text{kPa}$. Paineen pitää kuitenkin olla selvästi yli nollan. Tehdään vielä riippumaton tarkistus. Jos paine on verrannollinen kelvinlämpötilaan,

   $p$$\approx 75\,\text{kPa} \cdot \dfrac{173{,}15\,\text{K}}{273{,}15\,\text{K}}$

   $= 47{,}5\,\text{kPa}$

   Tulos on sama.

4. Tehtävä 3-12

   Kuun yöpuolen lämpötila on $-173\,{}^\circ\text{C}$. Päiväpuolen lämpötila on $127\,{}^\circ\text{C}$. Laske molemmat lämpötilat kelvineinä. Kuinka monta kertaa suurempi päiväpuolen kelvinlämpötila on kuin yöpuolen kelvinlämpötila?

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $4{,}00$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\theta_\text{yö} = -173\,{}^\circ\text{C}$ ja $\theta_\text{päivä} = 127\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   kelvinlämpötilojen suhde $\dfrac{T_\text{päivä}}{T_\text{yö}}$

   Periaate

   Suhde lasketaan kelvinlämpötiloista. Vain kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste. Se on alin mahdollinen lämpötila. Celsiusasteiden suhteella ei ole fysikaalista merkitystä.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$, ja suhde

   $\dfrac{T_\text{päivä}}{T_\text{yö}}$$= \dfrac{\theta_\text{päivä} + 273{,}15}{\theta_\text{yö} + 273{,}15}$

   Muunnokset

   Molemmat lämpötilat muutetaan kelvineiksi lisäämällä $273{,}15$:

   $T_\text{yö}$$= -173 + 273{,}15$

   $= 100{,}15\,\text{K}$

   $T_\text{päivä}$$= 127 + 273{,}15$

   $= 400{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   $\dfrac{T_\text{päivä}}{T_\text{yö}}$$= \dfrac{400{,}15\,\text{K}}{100{,}15\,\text{K}}$

   $= 3{,}9955$

   Vastaus

   $4{,}00$

   Kertaa. Lämpötilat on annettu täysinä asteina. Siksi kelvinlämpötilat $100\,\text{K}$ ja $400\,\text{K}$ tunnetaan kelvinin tarkkuudella. Kummassakin on kolme merkitsevää numeroa, joten myös osamäärässä on kolme.

   Järkevyys

   Kelvineinä lämpötilat ovat noin $100\,\text{K}$ ja $400\,\text{K}$. Suhde on siis noin $4$. Päiväpuoli on lämpimämpi, joten suhde on yli $1$. Celsiusasteiden suhde olisi $\tfrac{127}{-173} \approx -0{,}73$. Sellainen vertailu ei ole järkevä.

5. Tehtävä 3-13

   Lämpömittaria A verrataan kalibroinnissa tarkkaan vertailulämpömittariin. Molemmat pidetään samassa vesihauteessa eri lämpötiloissa. Taulukko on esimerkkiaineistoa.

   a) Laske mittarin A lukeman keskimääräinen ero vertailulukemaan, $\theta_\text{A} - \theta_\text{vert}$, kelvineinä.

   b) Onko ero systemaattinen vai satunnainen? Perustele taulukon avulla. Systemaattinen virhe poikkeaa joka mittauksessa samaan suuntaan. Satunnainen virhe vaihtelee suuntaan ja toiseen.

   c) Mittari A näyttää kylpyveden lämpötilaksi $38{,}6\,{}^\circ\text{C}$. Mikä on lämpötila korjattuna?

   Syötä vastauslaatikkoon kohdan a) tulos.

   Lämpömittarin A kalibrointi (esimerkkiaineisto)

   $\theta_\text{vert}\,({}^\circ\text{C})$	$\theta_\text{A}\,({}^\circ\text{C})$
   0,0	1,4
   20,0	21,7
   40,0	41,3
   60,0	61,6
   80,0	81,5

   KTarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vertailulukemat $0$, $20{,}0$, $40{,}0$, $60{,}0$ ja $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja mittarin A lukemat $1{,}4$, $21{,}7$, $41{,}3$, $61{,}6$ ja $81{,}5\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto); kylpyveden lukema $38{,}6\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   mittarin A lukeman keskimääräinen ero vertailulukemaan, $\Delta\theta$, kelvineinä (kohta a), ja korjattu kylpyveden lämpötila

   Periaate

   Vertailumittari on tarkka. Siksi jokaisen mittauksen ero $\theta_\text{A} - \theta_\text{vert}$ kertoo mittarin A virheen. Jos ero on joka mittauksessa suunnilleen yhtä suuri ja samanmerkkinen, virhe on systemaattinen. Silloin virhe korjataan vähentämällä keskimääräinen ero lukemasta.

   Kaava

   $\Delta\theta_i$$= \theta_{\text{A},i} - \theta_{\text{vert},i}$

   $\Delta\theta_\text{ka}$$= \dfrac{\sum \Delta\theta_i}{n}$

   jossa $n = 5$; korjattu lämpötila $\theta_\text{korj} = \theta_\text{A} - \Delta\theta_\text{ka}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita, koska lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   erot ovat $1{,}4$, $1{,}7$, $1{,}3$, $1{,}6$ ja $1{,}5\,\text{K}$. Summa on $7{,}5\,\text{K}$, joten

   $\Delta\theta_\text{ka}$$= 7{,}5\,\text{K} : 5$

   $= 1{,}5\,\text{K}$

   Korjattu lämpötila on

   $\theta_\text{korj}$$= 38{,}6\,{}^\circ\text{C} - 1{,}5\,\text{K}$

   $= 37{,}1\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{K}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten yksittäisissä eroissa. Ero on systemaattinen. Mittari A näyttää kaikissa viidessä mittauksessa $1{,}3\ldots 1{,}7\,\text{K}$ liikaa, vaikka lämpötila vaihtelee $80\,\text{K}$. Erojen pieni vaihtelu on satunnaista hajontaa. Kylpyveden korjattu lämpötila on $37{,}1\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Kaikki erot ovat positiivisia. Siksi keskiarvon on oltava pienimmän ja suurimman eron välissä: $1{,}3 < 1{,}5 < 1{,}7$. Korjattu lukema on pienempi kuin mittarin lukema, koska mittari näyttää liikaa. Lämpötila $37{,}1\,{}^\circ\text{C}$ on tavallinen kylpyveden lämpötila.

6. Tehtävä 3-14

   Kuumaa vettä kaadettiin termospulloon. Veden lämpötila mitattiin tunnin välein. Huoneen lämpötila oli koko ajan $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Taulukko on esimerkkiaineistoa.

   a) Laske veden lämpötilan lasku ensimmäisen tunnin aikana ja viimeisen tunnin aikana.

   b) Kuinka monta kertaa suurempi lasku oli ensimmäisellä tunnilla kuin viimeisellä?

   c) Selitä taulukon avulla, miksi lämpötilan lasku hidastuu, kun vesi lähestyy huoneen lämpötilaa. Vihje: laske kunkin tunnin lasku jaettuna tunnin alun lämpötilaerolla huoneeseen.

   Syötä vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   Veden lämpötila termospullossa (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{h})$	$\theta\,({}^\circ\text{C})$
   0	80,0
   1	69,9
   2	61,3
   3	54,4
   4	48,6

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $1{,}7$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\theta_0 = 80{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_1 = 69{,}9\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_3 = 54{,}4\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_4 = 48{,}6\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto); huoneen lämpötila $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   lämpötilan laskujen suhde $\dfrac{\Delta\theta_\text{ensimmäinen}}{\Delta\theta_\text{viimeinen}}$

   Periaate

   Lämpötilan lasku tunnissa on edellisen ja seuraavan mittauksen erotus. Lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Kun vertaa ensimmäisen ja viimeisen tunnin laskua, näkee, miten jäähtyminen muuttuu. Vesi lähestyy huoneen lämpötilaa.

   Kaava

   $\Delta\theta = \theta_\text{alku} - \theta_\text{loppu}$ ja suhde $\dfrac{\Delta\theta_1}{\Delta\theta_4}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Lämpötilojen erotus on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Suhteessa yksiköt supistuvat.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} \Delta\theta_1 &= 80{,}0 - 69{,}9 = 10{,}1\,\text{K} \\ \Delta\theta_4 &= 54{,}4 - 48{,}6 = 5{,}8\,\text{K} \\ \frac{\Delta\theta_1}{\Delta\theta_4} &= \frac{10{,}1\,\text{K}}{5{,}8\,\text{K}} = 1{,}741 \end{aligned}$$

   Vastaus

   $1{,}7$

   Kertaa. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten laskuissa $10{,}1\,\text{K}$ ja $5{,}8\,\text{K}$. Selitys: alussa vesi on huonetta $60{,}0\,\text{K}$ lämpimämpi. Lopussa se on vain $28{,}6\,\text{K}$ lämpimämpi. Kun lämpötilaero huoneeseen pienenee, lasku hidastuu. Ensimmäisenä tuntina lasku on $10{,}1 : 60{,}0 \approx 0{,}17$ tunnin alun lämpötilaerosta. Viimeisenä tuntina se on $5{,}8 : 34{,}4 \approx 0{,}17$ tunnin alun lämpötilaerosta. Vesi lähestyy huoneen lämpötilaa, mutta ei ylitä sitä.

   Järkevyys

   Jäähtyvän veden lasku hidastuu. Siksi suhteen on oltava yli $1$, ja $1{,}7 > 1$. Tarkistus: tuntilaskut ovat $10{,}1$, $8{,}6$, $6{,}9$ ja $5{,}8\,\text{K}$ eli pienenevä jono. Veden lämpötila $48{,}6\,{}^\circ\text{C}$ on yhä yli huoneen lämpötilan $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

7. Tehtävä 3-15

   Opiskelija siirtää huoneenlämpöisen nestelämpömittarin kuumaan veteen. Veden lämpötila pidetään vakiona. Opiskelija lukee mittarin lukeman $10\,\text{s}$ välein. Lukema vakiintuu arvoon $60{,}2\,{}^\circ\text{C}$. Taulukko on esimerkkiaineistoa.

   a) Valitse taulukon ajoista aikaisin, jolla lukema poikkeaa vakiintuneesta lukemasta alle $0{,}5\,\text{K}$. Kuinka monta sekuntia mittaria pitää vähintään pitää vedessä ennen lukemista?

   b) Selitä, miksi liian aikaisin luettu lukema on liian pieni ja mitä mittari silloin mittaa.

   Syötä vastauslaatikkoon kohdan a) tulos.

   Mittarin lukema vedessä (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$\theta\,({}^\circ\text{C})$
   0	21,0
   10	48,2
   20	56,6
   30	59,3
   40	59,9
   50	60,2
   60	60,2

   sTarkista
   Vastaus

   $40\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vakiintunut lukema $60{,}2\,{}^\circ\text{C}$, raja-ero $0{,}5\,\text{K}$ ja taulukon lukemat $10\,\text{s}$ välein (esimerkkiaineisto)

   Kysytty

   aikaisin taulukon ajanhetki $t$ sekunteina, jolla lukema poikkeaa vakiintuneesta lukemasta alle $0{,}5\,\text{K}$

   Periaate

   Nestelämpömittari näyttää oman lämpötilansa, ei veden lämpötilaa. Kun mittari siirretään veteen, sen lämpötila lähestyy veden lämpötilaa vähitellen. Lukema vakiintuu vasta, kun mittari on samassa lämpötilassa kuin vesihaude. Aikaisin luettu lukema on liian pieni.

   Kaava

   $\Delta\theta(t) = \theta_\text{vak} - \theta(t)$, ja etsitään aikaisin $t$, jolla $\Delta\theta(t) < 0{,}5\,\text{K}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Aika on jo sekunteina, ja lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} \Delta\theta(10\,\text{s}) &= 60{,}2 - 48{,}2 = 12{,}0\,\text{K} \\ \Delta\theta(20\,\text{s}) &= 60{,}2 - 56{,}6 = 3{,}6\,\text{K} \\ \Delta\theta(30\,\text{s}) &= 60{,}2 - 59{,}3 = 0{,}9\,\text{K} \\ \Delta\theta(40\,\text{s}) &= 60{,}2 - 59{,}9 = 0{,}3\,\text{K} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $40\,\text{s}$

   Tarkkuus on taulukon $10\,\text{s}$ aikaväli. Lukemaa $30\,\text{s}$:n kohdalla ei voi käyttää, koska ero on silloin $0{,}9\,\text{K}$. Aikaisemmin luettu lukema on liian pieni. Mittari ei ole vielä lämmennyt veden lämpötilaan, ja se mittaa omaa lämpötilaansa.

   Järkevyys

   Ero pienenee koko ajan: $12{,}0$, $3{,}6$, $0{,}9$ ja $0{,}3\,\text{K}$. Jokaisella $10\,\text{s}$ jaksolla se pienenee noin neljäsosaan tai kolmasosaan edellisestä. Lukemat $50\,\text{s}$ ja $60\,\text{s}$ ovat yhtä suuret. Siksi vakiintunut lukema $60{,}2\,{}^\circ\text{C}$ on perusteltu.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 3-16

   Pyörän renkaassa ilman kokonaispaine on $300\,\text{kPa}$ lämpötilassa $15\,{}^\circ\text{C}$. (Kokonaispaine ei ole ylipaine.) Rengas ei vuoda, ja sen tilavuus pysyy samana. Paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan.

   Mikä paine renkaassa on lämpötilassa $35\,{}^\circ\text{C}$?

   kPaTarkista
   Vastaus

   $321\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $p_1 = 300\,\text{kPa}$ (kokonaispaine), $\theta_1 = 15\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = 35\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   paine $p_2$ lämpötilassa $\theta_2$ kilopascaleina

   Periaate

   Rengas ei vuoda eikä sen tilavuus muutu. Siksi ilman määrä ja tilavuus ovat vakiot. Silloin paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Lämpimämmän kaasun hiukkaset liikkuvat nopeammin ja törmäävät seinään useammin ja kovemmin. Verrannollisuus ei päde celsiuslämpötilaan.

   Kaava

   $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$, josta $p_2 = p_1\,\dfrac{T_2}{T_1}$

   Muunnokset

   Lämpötilat muutetaan kelvineiksi:

   $T_1$$= 15 + 273{,}15$

   $= 288{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= 35 + 273{,}15$

   $= 308{,}15\,\text{K}$

   Paine pysyy kilopascaleina, koska se on kaavassa vain suhteena.

   Sijoitus

   $p_2$$= 300\,\text{kPa} \cdot \dfrac{308{,}15\,\text{K}}{288{,}15\,\text{K}}$

   $= 320{,}8\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $321\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten annetuissa arvoissa.

   Järkevyys

   Kelvinlämpötila nousee $20\,\text{K}$ eli noin $\dfrac{20}{288} \approx 6{,}9\,\%$. Siksi paine nousee noin $0{,}069 \cdot 300\,\text{kPa} \approx 21\,\text{kPa}$. Tarkistus: $300 + 21 = 321\,\text{kPa}$. Lämpötila nousee, joten paineen pitää kasvaa. Celsiusasteiden suhde $\tfrac{35}{15}$ antaisi liian suuren paineen $700\,\text{kPa}$.

2. Tehtävä 3-17

   Astia on suljettu ja jäykkä. Astiassa kaasun paine on $150\,\text{kPa}$ lämpötilassa $27{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Astiaa lämmitetään, kunnes paine on $200\,\text{kPa}$. Paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Mikä on loppulämpötila celsiusasteina?

   °CTarkista
   Vastaus

   $127\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $p_1 = 150\,\text{kPa}$, $\theta_1 = 27{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $p_2 = 200\,\text{kPa}$

   Kysytty

   loppulämpötila celsiusasteina, $\theta_2$

   Periaate

   Astia on suljettu ja jäykkä. Siksi tilavuus ja kaasun määrä pysyvät samoina, ja paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Paineiden suhde on siis yhtä suuri kuin kelvinlämpötilojen suhde.

   Kaava

   $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$, josta $T_2 = T_1\,\dfrac{p_2}{p_1}$, ja $\theta_2 = T_2 - 273{,}15$

   Muunnokset

   Alkulämpötila muutetaan kelvineiksi:

   $T_1$$= 27{,}0 + 273{,}15$

   $= 300{,}15\,\text{K}$

   Lopuksi tulos muutetaan celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$. Paineita ei tarvitse muuttaa, koska ne ovat samassa yksikössä.

   Sijoitus

   $T_2$$= 300{,}15\,\text{K} \cdot \dfrac{200\,\text{kPa}}{150\,\text{kPa}}$

   $= 400{,}2\,\text{K}$

   ja

   $\theta_2$$= 400{,}2 - 273{,}15$

   $= 127{,}05\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $127\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten arvossa $27{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Paine kasvaa kertoimella $\tfrac{4}{3}$. Siksi kelvinlämpötilan täytyy kasvaa samalla kertoimella: noin $300\,\text{K} \to 400\,\text{K}$ eli $127\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistus: $\tfrac{p}{T}$ on alussa $\tfrac{150}{300{,}15} = 0{,}4998\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$ ja lopussa $\tfrac{200}{400{,}2} = 0{,}4998\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$. Celsiusasteiden suhde antaisi väärän tuloksen $36\,{}^\circ\text{C}$.

3. Tehtävä 3-18

   Kaasun lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Kaasu jäähdytetään. Jäähdytys jatkuu, kunnes kaasun hiukkasten keskimääräinen liike-energia on puolet alkuperäisestä. Keskimääräinen liike-energia on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Mikä on lopullinen lämpötila celsiusasteina?

   °CTarkista
   Vastaus

   $-127\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\theta_1 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja keskimääräinen liike-energia $E_2 = \tfrac{1}{2}E_1$

   Kysytty

   loppulämpötila celsiusasteina, $\theta_2$

   Periaate

   Tehtävän mukaan kaasun hiukkasten keskimääräinen liike-energia on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Näin on harvassa kaasussa, jossa hiukkaset vaikuttavat toisiinsa vain törmätessään. Verrannollisuus koskee kelvinlämpötilaa. Syy on se, että vain kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste. Kun energia puolittuu, myös kelvinlämpötila puolittuu. Celsiuslämpötilaa ei saa puolittaa.

   Kaava

   $\dfrac{E_2}{E_1}$$= \dfrac{T_2}{T_1}$

   $= \dfrac{1}{2}$

   josta $T_2 = \dfrac{T_1}{2}$, ja $\theta_2 = T_2 - 273{,}15$

   Muunnokset

   Alkulämpötila muutetaan kelvineiksi:

   $T_1$$= 20{,}0 + 273{,}15$

   $= 293{,}15\,\text{K}$

   Lopuksi $T_2$ muutetaan takaisin celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$.

   Sijoitus

   $T_2$$= \dfrac{293{,}15\,\text{K}}{2}$

   $= 146{,}575\,\text{K}$

   ja

   $\theta_2$$= 146{,}575 - 273{,}15$

   $= -126{,}575\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-127\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten arvossa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Kaasun pitää jäähtyä. Siksi tulos on alle $20\,{}^\circ\text{C}$. Se on kuitenkin yli absoluuttisen nollapisteen $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistus: $\tfrac{146{,}575\,\text{K}}{293{,}15\,\text{K}} = 0{,}5$. Jos celsiuslämpötila puolitettaisiin, tulos olisi $10\,{}^\circ\text{C}$. Silloin kelvinlämpötila olisi vain $283\,\text{K}$ eli $97\,\%$ alkuarvosta, ei puolet.

4. Tehtävä 3-19

   Henkilön kehon lämpötilaa mitattiin viisi kertaa kolmella menetelmällä lyhyessä ajassa. Suuhun asetettava digitaalinen lämpömittari on tässä viitemenetelmä. Taulukko on esimerkkiaineistoa.

   a) Laske kunkin menetelmän lukemien keskiarvo. Kirjoita summa ennen jakamista. Muut kohdat tarkistat ratkaisusta.

   b) Laske otsamittarin keskiarvon ero viitemenetelmän keskiarvoon, $\theta_\text{suu} - \theta_\text{otsa}$, kelvineinä.

   c) Arvioi kunkin menetelmän hajontaa lukemien vaihteluvälin puolikkaalla. Onko otsamittarin ero systemaattista vai satunnaista virhettä? Perustele. Systemaattinen virhe poikkeaa joka mittauksessa samaan suuntaan. Satunnainen virhe vaihtelee suuntaan ja toiseen.

   d) Henkilön lämpötila on suuhun mitattuna $37{,}6\,{}^\circ\text{C}$. Kuumeen raja on $37{,}5\,{}^\circ\text{C}$. Oleta, että otsamittarin ero on aina sama. Mitä otsamittari näyttäisi keskimäärin? Havaittaisiinko kuume?

   Syötä vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   Kehon lämpötila kolmella menetelmällä (esimerkkiaineisto)

   Mittaus	$\theta_\text{korva}\,({}^\circ\text{C})$	$\theta_\text{otsa}\,({}^\circ\text{C})$	$\theta_\text{suu}\,({}^\circ\text{C})$
   1	36,9	36,2	37,0
   2	37,1	36,7	37,0
   3	36,8	36,0	37,1
   4	37,0	36,5	36,9
   5	37,2	36,6	37,0

   KTarkista
   Vastaus

   $0{,}6\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viiden mittauksen lukemat (esimerkkiaineisto): korvamittari $36{,}9$, $37{,}1$, $36{,}8$, $37{,}0$, $37{,}2$; otsamittari $36{,}2$, $36{,}7$, $36{,}0$, $36{,}5$, $36{,}6$; suumittari (viite) $37{,}0$, $37{,}0$, $37{,}1$, $36{,}9$, $37{,}0$, kaikki celsiusasteina; kuumeen raja $37{,}5\,{}^\circ\text{C}$ ja suumittarilla mitattu $37{,}6\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   otsamittarin keskiarvon ero viitemenetelmään, $\Delta\theta = \theta_\text{suu,ka} - \theta_\text{otsa,ka}$, kelvineinä (kohta b)

   Periaate

   Toistetuista mittauksista lasketaan keskiarvo. Ero viitemenetelmään kertoo menetelmän virheen suunnan ja suuruuden. Lukemien hajonta kertoo satunnaisen vaihtelun suuruusluokan. Jos ero on suurempi kuin hajonta ja kaikki lukemat poikkeavat samaan suuntaan, virhe on systemaattinen. Hajonnan yksinkertainen arvio on vaihteluvälin puolikas.

   Kaava

   $\theta_\text{ka}$$= \dfrac{\sum \theta_i}{n}$

   hajonnan arvio

   $s$$= \dfrac{\theta_\text{max} - \theta_\text{min}}{2}$

   $\Delta\theta = \theta_\text{suu,ka} - \theta_\text{otsa,ka}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita, koska lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} \sum\theta_\text{korva} &= 36{,}9 + 37{,}1 + 36{,}8 \\ &\quad + 37{,}0 + 37{,}2 \\ &= 185{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \theta_\text{korva,ka} &= 185{,}0 : 5 = 37{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \sum\theta_\text{otsa} &= 36{,}2 + 36{,}7 + 36{,}0 \\ &\quad + 36{,}5 + 36{,}6 \\ &= 182{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \theta_\text{otsa,ka} &= 182{,}0 : 5 = 36{,}4\,{}^\circ\text{C} \\ \sum\theta_\text{suu} &= 37{,}0 + 37{,}0 + 37{,}1 \\ &\quad + 36{,}9 + 37{,}0 \\ &= 185{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \theta_\text{suu,ka} &= 185{,}0 : 5 = 37{,}0\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$
   $$\begin{aligned} \Delta\theta &= 37{,}0 - 36{,}4 = 0{,}6\,\text{K} \\ s_\text{korva} &= (37{,}2 - 36{,}8) : 2 = 0{,}2\,\text{K} \\ s_\text{otsa} &= (36{,}7 - 36{,}0) : 2 = 0{,}35\,\text{K} \\ s_\text{suu} &= (37{,}1 - 36{,}9) : 2 = 0{,}1\,\text{K} \end{aligned}$$
   $$\theta_\text{otsa,korj} = 37{,}6 - 0{,}6 = 37{,}0\,{}^\circ\text{C}$$

   Vastaus

   $0{,}6\,\text{K}$

   Vastauksessa on yksi merkitsevä numero, koska lukemat on annettu $0{,}1\,\text{K}$:n tarkkuudella. Ero on systemaattinen. Jokainen otsalukema ($36{,}0\ldots 36{,}7\,{}^\circ\text{C}$) on pienempi kuin jokainen suulukema ($36{,}9\ldots 37{,}1\,{}^\circ\text{C}$). Lisäksi ero $0{,}6\,\text{K}$ on suurempi kuin otsamittarin hajonta $0{,}35\,\text{K}$. Kun suu näyttää $37{,}6\,{}^\circ\text{C}$, otsamittari näyttäisi keskimäärin $37{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Se on alle kuumerajan, joten kuume jäisi havaitsematta, vaikka henkilöllä on kuume.

   Järkevyys

   Korvamittarin keskiarvo on sama kuin viitteen, ja sen hajonta $0{,}2\,\text{K}$ on pieni. Korvamittari on siis tässä aineistossa luotettavin. Otsamittarin keskiarvo $36{,}4\,{}^\circ\text{C}$ on viitettä pienempi. Kaikki viisi otsalukemaa ovat viitteen pienintä lukemaa $36{,}9\,{}^\circ\text{C}$ pienempiä. Toistaminen pienentää keskiarvon satunnaista virhettä, mutta ei poista systemaattista virhettä. Siksi viidenkin mittauksen keskiarvo on kuumetta arvioitaessa liian pieni.

5. Tehtävä 3-20

   Teräksinen, jäykkä ja tiivis ilmasäiliö täytetään lämpötilassa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ niin, että säiliön ylipaine on $600\,\text{kPa}$. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$. Ylipaine tarkoittaa kokonaispaineen ja ilmanpaineen erotusta. Säiliön varoventtiili avautuu, kun ylipaine on $900\,\text{kPa}$. Oleta, että ilmaa ei vuoda. Oleta myös, että kokonaispaine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Tiedot ovat esimerkkiaineistoa.

   a) Säiliö jätetään kuumaan autoon, jossa sen lämpötila nousee arvoon $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Laske säiliön kokonaispaine ja ylipaine.

   b) Missä lämpötilassa varoventtiili avautuisi?

   c) Kuinka monta prosenttia ilman hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa lämpötilasta $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ lämpötilaan $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$? Vertaa kokonaispaineen ja ylipaineen suhteellista kasvua. Perustele, kumpi on verrannollinen kelvinlämpötilaan.

   Syötä vastauslaatikkoon kohdan b) tulos celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $145\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylipaine $p_\text{y1} = 600\,\text{kPa}$ lämpötilassa $\theta_1 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ilmanpaine $p_0 = 101\,\text{kPa}$, venttiilin avautumisraja ylipaineessa $p_\text{y,max} = 900\,\text{kPa}$, $\theta_2 = 60{,}0\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto)

   Kysytty

   lämpötila $\theta_3$ celsiusasteina, jossa varoventtiili avautuu (kohta b); lisäksi kokonaispaine ja ylipaine lämpötilassa $\theta_2$ ja liike-energian kasvu

   Periaate

   Säiliö on tiivis ja jäykkä, joten ilman määrä ja tilavuus ovat vakiot. Silloin kokonaispaine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Verrannollisuus koskee kokonaispainetta, ei ylipainetta. Siksi ylipaineet muutetaan ensin kokonaispaineiksi lisäämällä ilmanpaine. Harvassa kaasussa hiukkasten keskimääräinen liike-energia on myös suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan.

   Kaava

   $p = p_\text{y} + p_0$
   $$p_2 = p_1\,\frac{T_2}{T_1}$$
   $$\frac{\Delta E_\text{k}}{E_\text{k,1}} = \frac{T_2 - T_1}{T_1}$$
   $$T_3 = T_1\,\frac{p_3}{p_1}$$
   $$\theta_3 = T_3 - 273{,}15$$

   Muunnokset

   $T_1$$= 20{,}0 + 273{,}15$

   $= 293{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= 60{,}0 + 273{,}15$

   $= 333{,}15\,\text{K}$

   Kokonaispaineet: $p_1 = 600 + 101 = 701\,\text{kPa}$ ja $p_3 = 900 + 101 = 1001\,\text{kPa}$.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} p_2 &= 701\,\text{kPa} \cdot \frac{333{,}15\,\text{K}}{293{,}15\,\text{K}} \\ &= 796{,}7\,\text{kPa} \\ p_{\text{y},2} &= 796{,}7 - 101 = 695{,}7\,\text{kPa} \\ T_3 &= 293{,}15\,\text{K} \cdot \frac{1001\,\text{kPa}}{701\,\text{kPa}} \\ &= 418{,}61\,\text{K} \\ \theta_3 &= 418{,}61 - 273{,}15 = 145{,}46\,{}^\circ\text{C} \\ \frac{\Delta E_\text{k}}{E_\text{k,1}} &= \frac{333{,}15 - 293{,}15}{293{,}15} = 0{,}136 \end{aligned}$$
   Liike-energia kasvaa siis $13{,}6\,\%$.

   Vastaus

   $145\,{}^\circ\text{C}$

   (tarkasti $145{,}46\,{}^\circ\text{C}$). Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten ilmanpaineessa $101\,\text{kPa}$. Muut tulokset: lämpötilassa $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$ kokonaispaine on $797\,\text{kPa}$ ja ylipaine $696\,\text{kPa}$, eikä venttiili avaudu. Liike-energia kasvaa $13{,}6\,\%$. Kokonaispaine kasvaa $796{,}7 : 701 = 1{,}136$-kertaiseksi eli $13{,}6\,\%$, saman verran kuin liike-energia. Ylipaine kasvaa $695{,}7 : 600 = 1{,}16$-kertaiseksi eli $16\,\%$. Kokonaispaine on verrannollinen kelvinlämpötilaan, koska se syntyy hiukkasten törmäyksistä. Ylipaine on kokonaispaineen ja ilmanpaineen erotus.

   Järkevyys

   Kun venttiili avautuu, kokonaispaine kasvaa suhteessa $1001 : 701 = 1{,}43$. Kelvinlämpötilan on siis kasvettava samoin: $293 \cdot 1{,}43 \approx 419\,\text{K}$. Se vastaa tulosta

   $418{,}61\,\text{K} - 273{,}15$

   $= 145{,}46\,{}^\circ\text{C}$

   $\approx 145\,{}^\circ\text{C}$

   Auton sisällä oleva $60\,{}^\circ\text{C}$ on selvästi alle $145\,{}^\circ\text{C}$, joten venttiili ei avaudu. Jos ylipainetta pidettäisiin verrannollisena, saataisiin väärin $293{,}15 \cdot 1{,}5 - 273{,}15 \approx 167\,{}^\circ\text{C}$.