Termodynaaminen systeemi, tilanmuuttujat ja lämpötila
Miksi pyörän rengas tuntuu kovemmalta kuumana kesäpäivänä kuin pakkasella, vaikka renkaaseen ei pumpata lisää ilmaa?
Pohjatiedot
- Celsiusasteikko: vesi jäätyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja kiehuu $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa normaalipaineessa (yläkoulun fysiikka)
- Renkaaseen pumpattu lisäilma tekee siitä kovemman (arkikokemus)
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 7.
Pohdinta
Pyörä on yön pakkasessa ulkona, ja aamulla rengas painuu peukalon alla. Iltapäivällä sama pyörä on seissyt auringossa, ja rengas on kova. Venttiili on ollut kiinni koko ajan, joten renkaassa on sama ilma, ja kumi venyy niin vähän, että renkaan tilavuus pysyy lähes samana. Ainoa, mikä on muuttunut, on ilman lämpötila.
Mitä renkaan sisällä olevalle ilmalle tapahtuu, kun se lämpenee, ja miksi se painaa renkaan seiniä silloin voimakkaammin?
Valinnainen Kertaa: miksi rengas kovenee?
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: kaasu lämpenee
Valinnainen Ennuste 2: astia pienenee
Ennuste 3: miksi lämmin kaasu painaa enemmän?
Tutki
Simulaatio on kaasun mikromalli: astiassa liikkuu 80 hiukkasta, jotka kimpoavat seinistä. Kokeile vapaasti, mitä lämpötila ja tilavuus tekevät hiukkasille ja paineelle.
Simulaatio
Mallin oletukset
Malli on yksinkertaistettu: se on kaksiulotteinen, hiukkaset eivät törmää toisiinsa, ja kaikilla hiukkasilla on sama, lämpötilan määräämä nopeus. Kun hiukkaset liikkuvat nopeammin, ne osuvat seinään useammin ja kovempaa. Kun astia on pienempi, ne osuvat seinään useammin. Molemmissa tapauksissa paine kasvaa. Mitattu paine vaihtelee hieman teoria-arvon ympärillä.
Laskennan selitys
Paine on suhteellinen luku (100 = $300\,\text{K}$ ja 1,0 dm³). Mitattu paine lasketaan hiukkasten törmäyksistä seinään viimeisen 1,5 sekunnin ajalta, joten se vaihtelee hieman; teoria on mallin laskema arvo. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia: paine lasketaan simuloidun ajan mukaan, joten se ei muuta mitattua arvoa.
Koe 1: vain lämpötila muuttuu
Testaa ennusteet 1 ja 3. Tilavuus on lukittu 1,0 dm³:iin, ja vain lämpötila muuttuu. Kirjaa paine ja hiukkasten keskinopeus $v$ (suhteessa $300\,\text{K}$:n keskinopeuteen) ainakin kahdessa lämpötilassa, esimerkiksi $150\,\text{K}$, $300\,\text{K}$ ja $600\,\text{K}$. Odota säädön jälkeen pari sekuntia, jotta mitattu paine ehtii asettua uuteen arvoonsa. Vertaa kelvinlämpötilojen suhdetta paineiden suhteeseen.
Alkutila: $T$ = $300\,\text{K}$, $V$ = $1\,\text{dm}^3$. Vakiona: $V$. Muutetaan: $T$.
| $T$ | $\theta$ (°C) | $v$ (suht.) | $p$ mitattu | $p$ teoria |
|---|
Valinnainen Lisätutkimus: vain tilavuus muuttuu
Testaa ennuste 2. Lämpötila on lukittu $300\,\text{K}$:iin, ja vain tilavuus muuttuu. Kirjaa paine ja hiukkasten keskinopeus $v$ (suhteessa $300\,\text{K}$:n keskinopeuteen) ainakin kahdella tilavuudella, esimerkiksi 2,0 dm³ ja 1,0 dm³. Odota säädön jälkeen pari sekuntia ennen kirjaamista. Muuttuuko hiukkasten nopeus? Mikä silloin kasvattaa painetta?
Alkutila: $T$ = $300\,\text{K}$, $V$ = $2\,\text{dm}^3$. Vakiona: $T$. Muutetaan: $V$.
| $V$ | $v$ (suht.) | $p$ mitattu | $p$ teoria |
|---|
Johtopäätös: lämpötila, nopeus ja paine
Kirjoita kokeen 1 taulukon perusteella lyhyt johtopäätös.
Kuinka monikertaiseksi paine kasvoi, kun kelvinlämpötila kaksinkertaistui, ja kuinka paljon hiukkasten nopeus kasvoi? Miten mikromalli selittää, että paine kasvaa nopeutta enemmän? Miksi lämpötilojen suhde pitää laskea kelvineinä?
Mallivastaus
Kun lämpötila nousi $300\,\text{K}$:stä $600\,\text{K}$:iin, mitattu paine kaksinkertaistui (noin $100 \to 200$), mutta hiukkasten nopeus kasvoi vain noin $1{,}41$-kertaiseksi. Nopeammat hiukkaset osuvat seinään sekä useammin että kovempaa, joten paine kasvaa kahdesta syystä ja on verrannollinen kelvinlämpötilaan. Celsiusasteina sama muutos on $27\,{}^\circ\text{C} \to 327\,{}^\circ\text{C}$ eli yli kymmenkertainen, mutta paine vain kaksinkertaistui, joten paine seuraa kelvinlämpötilaa. Simulaation mitattu paine syntyy laskemalla simuloituja törmäyksiä, joten se vaihtelee hieman. Mallin oletus, että nopeus määräytyy lämpötilasta, on kuitenkin mallin osa eikä mittaustulos.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kun tutkitaan ilmiötä, tarkasteltava osa maailmasta rajataan erilleen muusta. Rajattu osa on termodynaaminen systeemi ja kaikki sen ulkopuolella oleva on ympäristö. Pyörän renkaan ilma on esimerkki systeemistä. Jos systeemistä ei pääse ainetta ulos eikä sisään, systeemi on suljettu. Systeemin tilaa kuvataan tilanmuuttujilla, joita ovat lämpötila, paine ja tilavuus sekä aineen määrä. Paine on voima pinta-alaa kohti; sen yksikkö on pascal (Pa), ja 1 kPa = 1000 Pa. Paineeseen paneudutaan tarkemmin myöhemmin. Kun kaasusysteemissä muutetaan yhtä tilanmuuttujaa, vähintään yksi muista muuttuu myös.
Miksi näin käy, selittää aineen mikromalli. Kaasu koostuu hiukkasista, jotka liikkuvat jatkuvasti joka suuntaan ja törmäilevät toisiinsa ja astian seinämiin. Kaasun lämpötila kertoo hiukkasten keskimääräisestä liike-energiasta: mitä kuumempaa kaasu on, sitä nopeammin hiukkaset keskimäärin liikkuvat. Paine syntyy, kun hiukkaset törmäävät seinämään ja jokainen törmäys työntää seinää hieman. Kun tilavuus pienenee ja lämpötila pysyy samana, hiukkasilla on vähemmän tilaa ja ne osuvat seinään useammin, joten paine kasvaa, mutta yksittäinen törmäys ei muutu kovemmaksi. Kun lämpötila nousee mutta tilavuus pysyy samana, hiukkaset osuvat seinään sekä useammin että kovempaa, joten paine kasvaa. Tästä syystä rengas tuntuu kesällä kovemmalta.
Kuva on kaaviokuva: nuolen pituus kuvaa hiukkasen nopeutta. Astiat ovat yhtä suuret, ja niissä on yhtä monta hiukkasta.
Lämpötilaa mitataan celsiusasteikolla, jossa $0\,{}^\circ\text{C}$ on veden jäätymispiste ja $100\,{}^\circ\text{C}$ veden kiehumispiste normaalipaineessa, ja kelvinasteikolla. Kelvinasteikon nollapiste on absoluuttinen nollapiste, alin mahdollinen lämpötila. Siinä hiukkasten keskimääräinen liike-energia on pienimmillään, eikä kylmempää voi olla. Celsiusasteen ja kelvinin suuruus on sama, joten lämpötilaero on sama kelvineinä ja celsiusasteina. Kun tilavuus ja kaasun määrä pysyvät samoina ja kaasu on harvaa eli kaukana nesteytymisestä, kaasun paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Myös harvan kaasun hiukkasten keskimääräinen liike-energia on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, joten lämpötilojen suhteita verrataan kelvineinä. Paineen, tilavuuden ja lämpötilan yhteyttä tutkitaan tarkemmin luvussa Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki.
Mallin rajat
Lause ”lämpötila kertoo hiukkasten keskimääräisestä liike-energiasta” pätee sellaisenaan harvalle kaasulle, jonka hiukkaset vaikuttavat toisiinsa vain törmätessään. Silloin lämpötila on verrannollinen hiukkasten etenemisliikkeen keskimääräiseen liike-energiaan. Nesteessä ja kiinteässä aineessa hiukkaset ovat lähellä toisiaan ja värähtelevät naapuriensa vetäminä. Lämpötila kuvaa niissäkin hiukkasten lämpöliikkeen voimakkuutta, mutta aineen energiaan kuuluu myös hiukkasten välisten vuorovaikutusten energia. Siksi lämpötila ei ole sama asia kuin aineen energia: jäällä ja vedellä voi olla sama lämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$, vaikka samamassaisessa vedessä on enemmän sisäenergiaa kuin jäässä (luvut Sisäenergia, lämpömäärä ja energian säilyminen ja Olomuodon muutokset). Absoluuttisessa nollapisteessäkään kaikki hiukkasten liike ei lakkaa, mutta sen energia on pienin mahdollinen.
Kelvinasteikko
Celsiuslämpötilan $\theta$ muunnos kelvineiksi on:
$$T = \theta + 273{,}15$$
missä $T$ on lämpötila kelvineinä (K) ja $\theta$ lämpötila celsiusasteina (°C). Käytännössä riittää usein luku 273. Kelvineissä ei käytetä sanaa aste: sanotaan ”300 kelviniä”, ei ”300 kelvinastetta”.
Absoluuttinen nollapiste on siis $0\,\text{K}$ = $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Kelvinlämpötila ei voi olla negatiivinen, mutta celsiuslämpötila voi.
Kuva on piirretty mittakaavassa. Yläasteikko on kelvinasteikko ja alaasteikko celsiusasteikko; väli $0\,{}^\circ\text{C}$:sta $100\,{}^\circ\text{C}$:een on yhtä pitkä kuin väli $273{,}15\,\text{K}$:sta $373{,}15\,\text{K}$:iin.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että lämpötila kaksinkertaistuu, kun se nousee $10\,{}^\circ\text{C}$:sta $20\,{}^\circ\text{C}$:een. Fysikaalisesti oikea vertailu tehdään kelvineinä: $283\,\text{K}$:sta $293\,\text{K}$:iin. Lämpötilojen suhde on 293/283 ≈ 1,035, eli nousu on noin $3{,}5\,\%$. Siksi hiukkasten keskimääräinen liike-energia ei kaksinkertaistu. Toinen virhe on pitää $0\,{}^\circ\text{C}$:ta alimpana mahdollisena lämpötilana. Se on vain veden jäätymispiste, ja alin mahdollinen lämpötila on $0\,\text{K}$.
Tiivistelmä
- Termodynaaminen systeemi on rajattu osa maailmaa. Sen tilaa kuvaavat tilanmuuttujat: lämpötila, paine, tilavuus ja aineen määrä.
- Kaasusysteemissä lämpötila, paine ja tilavuus riippuvat toisistaan: jos yhtä muutetaan, vähintään yksi muista muuttuu myös.
- Kaasun mikromalli: lämpötila kertoo hiukkasten keskimääräisestä liike-energiasta, ja paine syntyy hiukkasten törmäyksistä seinämään. Nesteessä ja kiinteässä aineessa energiaan kuuluu myös hiukkasten välisten vuorovaikutusten energia, joten lämpötila ei ole sama asia kuin aineen energia.
- Kun tilavuus ja aineen määrä pysyvät samoina, harvan kaasun paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Mittapisteiden suoran jatkaminen eli ekstrapolointi antaa arvion absoluuttisesta nollapisteestä.
- Muunnos on $T = \theta + 273{,}15$. Absoluuttinen nollapiste on $0\,\text{K}$ = $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden tuloksiin ja mikromalliin. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi pyörän rengas on kova auringossa ja pehmeä pakkasella, vaikka sen ilma on sama? Käytä selityksessäsi sanoja lämpötila, hiukkasten nopeus ja törmäykset.
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Suljetussa jäykässä astiassa on kaasua, joten sen tilavuus ja aineen määrä pysyvät samoina. Kaasun paine mitataan eri lämpötiloissa:
| $\theta$ (°C) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $p$ (kPa) | 100 | 107 | 115 | 122 | 129 | 137 |
Määritä ekstrapoloimalla lämpötila, jossa kaasun paine olisi nolla.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Taulukossa on kuusi mittapistettä $(\theta,\, p)$, ja paine $p_0 = 100\,\text{kPa}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$. Kysytään lämpötilaa $\theta_0$, jossa paine olisi nolla. Pisteet asettuvat kuvaajassa suoralle: paine kasvaa jokaista $20\,{}^\circ\text{C}$ kohti $7$–$8\,\text{kPa}$. Suoraa jatketaan vasemmalle mittausalueen ulkopuolelle eli ekstrapoloidaan.
Pystyakseli on piirretty kuvan vasempaan reunaan, noin $-300\,{}^\circ\text{C}$:n kohdalle, eikä kohtaan $\theta = 0$. Yhtenäinen suora on mittausalue ja katkoviiva ekstrapolointi.
Vaihe 2/7
Periaate. Astia on suljettu ja jäykkä, joten kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina, ja paine riippuu vain lämpötilasta. Mittapisteet ovat suoralla, joten paine muuttuu lämpötilan mukana tasaisesti. Suoran yhtälö antaa arvion paineesta myös mittausalueen ulkopuolella, jos oletetaan, että riippuvuus pysyy samanlaisena. Nollapaine on kohdassa, jossa suora leikkaa lämpötila-akselin.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Kulmakerroin $k$ lasketaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Tässä mittapisteet ovat lukutarkkuuden rajoissa suoralla, joten mittausalueen päätepisteet ovat myös suoran pisteitä. Suoran yhtälössä $p_0$ on paine lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$. Asetetaan $p = 0$ ja ratkaistaan $\theta_0$:
$$\begin{aligned} k &= \frac{\Delta p}{\Delta \theta} \\[4pt] p &= p_0 + k\theta \\ 0 &= p_0 + k\theta_0 \\ \theta_0 &= -\frac{p_0}{k} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Muunnoksia ei tarvita. Paineet ovat jo kilopascaleina, ja lämpötilaero $\Delta\theta$ on sama celsiusasteina ja kelvineinä, joten kulmakertoimen yksikkö $\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ on myös $\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$. Tulos saadaan suoraan celsiusasteina, koska taulukon lämpötilat ovat celsiusasteina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin kulmakerroin ja sitten nollakohta:
$$\begin{aligned} &k = \frac{\Delta p}{\Delta \theta} \\ &= \frac{(137 - 100)\,\text{kPa}}{(100 - 0)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}37\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \\[6pt] &\theta_0 = -\frac{p_0}{k} \\ &= -\frac{100\,\text{kPa}}{0{,}37\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}} \\ &= -270{,}27\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Nollapaineen lämpötila on noin $-270\,{}^\circ\text{C}$. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska kulmakerroin $0{,}37\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Tulos on lähellä absoluuttista nollapistettä $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, vain noin $3\,{}^\circ\text{C}$ eli yhden prosentin päässä siitä. Riippumaton tarkistus: jos paine on verrannollinen kelvinlämpötilaan, $p = 100\,\text{kPa}$ vastaa lämpötilaa $273{,}15\,\text{K}$, joten paine lämpötilassa $100\,{}^\circ\text{C}$ olisi $100\,\text{kPa} \cdot \tfrac{373{,}15}{273{,}15} = 136{,}6\,\text{kPa}$, ja mitattu arvo on $137\,\text{kPa}$. Mikromallin mukaan nollapaineessa hiukkasten liike olisi niin vähäistä, ettei paine enää syntyisi. Todelliset kaasut nesteytyvät jo ennen tätä lämpötilaa, joten suoran jatke on vain malli ja kuvaa raja-arvoa.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Sovella uuteen tilanteeseen
Lasipurkki suljetaan tiiviillä kannella huoneessa, jossa ilman lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$ ja paine 101 kPa. Purkki lämmitetään vesihauteessa, kunnes sen sisällä olevan ilman lämpötila on $80\,{}^\circ\text{C}$. Purkin tilavuus ja ilman määrä pysyvät samoina.
Mikä on purkin ilman paine? Vastaa kilopascaleina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mitkä tilanmuuttujat pysyvät samoina ja mitkä muuttuvat? Millä asteikolla lämpötilojen suhde pitää laskea?
Vihje 2: mikä yhteys
Kun tilavuus ja aineen määrä pysyvät samoina, paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan: $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$, eli $p_2 = p_1 \dfrac{T_2}{T_1}$.
Vihje 3: välivaihe
Muunna ensin: $T_1 = 293{,}15\,\text{K}$ ja $T_2 = 353{,}15\,\text{K}$. Sijoita:
Näytä ratkaisu
Annettu
ilma suljetussa purkissa, $\theta_1 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $p_1 = 101\,\text{kPa}$, $\theta_2 = 80\,{}^\circ\text{C}$; purkin tilavuus ja ilman määrä pysyvät samoina
Kysytty
ilman paine $p_2$ kilopascaleina
Periaate
Tilavuus ja ilman määrä ovat vakiot, joten paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan: lämpimämmän ilman hiukkaset liikkuvat nopeammin ja törmäävät seinään useammin ja kovemmin. Verrannollisuus ei päde celsiuslämpötilaan.
Kaava
$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$, josta
$$p_2 = p_1\,\frac{T_2}{T_1}$$
Muunnokset
Lämpötilat muutetaan kelvineiksi:
Paine pysyy kilopascaleina.
Sijoitus
Vastaus
$122\,\text{kPa}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten paineessa $101\,\text{kPa}$.
Järkevyys
Kelvinlämpötila nousee $60\,\text{K}$ eli noin $\dfrac{60}{293} \approx 20\,\%$, joten paine nousee noin $0{,}20 \cdot 101\,\text{kPa} \approx 21\,\text{kPa}$, ja $101 + 21 \approx 122\,\text{kPa}$. Lämpötila nousee, joten paineen pitää kasvaa. Celsiusasteiden suhde $\tfrac{80}{20} = 4$ antaisi kohtuuttoman $404\,\text{kPa}$. Purkin paine on suurempi kuin ulkoilman $101\,\text{kPa}$, joten kansi painuu ulospäin.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Miksi suljetun astian kaasun paine kasvaa, kun kaasu lämpenee?
Vastaus
Lämpötilan noustessa hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa, eli hiukkaset liikkuvat nopeammin. Ne osuvat seinään useammin ja kovempaa, joten paine kasvaa.
1. Käsite
2. Lämpötilan kasvu
3. Taulukko ja ekstrapolointi
Taulukossa ovat simulaation teoria-arvot paineelle (suhteellinen luku), kun tilavuus on 1,0 dm³. Ne ovat mallin arvoja, eivät mittauksia.
| $\theta$ (°C) | −123 | 27 | 177 |
|---|---|---|---|
| $p$ (suht.) | 50 | 100 | 150 |
Pisteet ovat samalla suoralla. Jatka suoraa ja määritä lämpötila, jossa paine olisi nolla. Vastaa celsiusasteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kuinka paljon paine muuttuu, kun lämpötila nousee yhden celsiusasteen?
Vihje 2: mikä yhteys
Kulmakerroin on $k = \dfrac{\Delta p}{\Delta \theta}$, ja paine on nolla, kun se on pienentynyt arvosta 100 nollaan:
Vihje 3: välivaihe
joten 100 yksikön pudotukseen tarvitaan $300\,{}^\circ\text{C}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
pisteet $(-123\,{}^\circ\text{C}$; $50)$, $(27\,{}^\circ\text{C}$; $100)$ ja $(177\,{}^\circ\text{C}$; $150)$ samalla suoralla; $p$ on suhteellinen luku ilman yksikköä
Kysytty
lämpötila $\theta_0$, jossa $p = 0$, celsiusasteina
Periaate
Pisteet ovat samalla suoralla, joten paine muuttuu lämpötilan mukana tasaisesti. Kun suoraa jatketaan alaspäin mittausalueen ulkopuolelle eli ekstrapoloidaan, nollapaine löytyy kohdasta, jossa suora leikkaa lämpötila-akselin.
Kuvaajan lukeminen
Taulukosta luetaan kaksi pistettä, esimerkiksi päätepisteet $(-123\,{}^\circ\text{C}$; $50)$ ja $(177\,{}^\circ\text{C}$; $150)$. Kolmas piste $(27\,{}^\circ\text{C}$; $100)$ on samalla suoralla, joten malli on lineaarinen. Suoraa jatketaan vasemmalle, kunnes $p = 0$.
Kaava
ja suora $p = p_a + k(\theta - \theta_a)$ pisteen $(\theta_a,\, p_a) = (27\,{}^\circ\text{C}$; $100)$ kautta. Kun $p = 0$:
$$\theta_0 = \theta_a - \frac{p_a}{k}$$
Muunnokset
Muunnoksia ei tarvita: lämpötilaero $\theta_2 - \theta_1$ on sama celsiusasteina ja kelvineinä, ja tulos halutaan celsiusasteina. Kulmakertoimen yksikkö on $\tfrac{1}{{}^\circ\text{C}}$.
Sijoitus
ja
Vastaus
$-273\,{}^\circ\text{C}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taulukon lämpötiloissa.
Järkevyys
Paine laskee $50$ yksikköä jokaista $150\,{}^\circ\text{C}$ kohti, joten pisteestä $(-123\,{}^\circ\text{C}$; $50)$ nollaan on vielä $150\,{}^\circ\text{C}$: $-123 - 150 = -273\,{}^\circ\text{C}$. Tulos on absoluuttinen nollapiste $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ eli $0\,\text{K}$, koska mallissa paine on verrannollinen kelvinlämpötilaan.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 4. Selitä
Selitä mikromallin avulla, miksi lämpötilojen suhteita verrataan kelvineinä eikä celsiusasteina ja miksi kelvinlämpötila ei voi olla negatiivinen.
Mallivastaus
Kaasun mikromallissa lämpötila kertoo hiukkasten keskimääräisestä liike-energiasta, ja harvassa kaasussa liike-energia on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste, jossa hiukkasten liike-energia on pienimmillään; kylmempää ei voi olla, joten negatiivisia kelvinlämpötiloja ei ole. Celsiusasteikon nolla on vain veden jäätymispiste, eivätkä hiukkaset ole siinä lähelläkään levossa. Siksi suhde lasketaan kelvineinä: kun lämpötila nousee $10\,{}^\circ\text{C}$:sta $20\,{}^\circ\text{C}$:een, se nousee $283\,\text{K}$:sta $293\,\text{K}$:iin, eli vain noin $3{,}5\,\%$, eikä hiukkasten keskimääräinen liike-energia kaksinkertaistu.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Lämpötila
- Kuvaa aineen rakenneosasten lämpöliikkeen voimakkuutta.
- Kelvinasteikko
- Absoluuttinen lämpötila-asteikko, jonka nollakohta $0\,\text{K}$ on alin mahdollinen lämpötila.
- Absoluuttinen nollapiste
- Alin mahdollinen lämpötila on $0\,\text{K}$ eli $-273{,}15\,{}^{\circ}\text{C}$.
- Lämpöliike
- Aineen rakenneosasten jatkuvaa satunnaista liikettä ja värähtelyä.
- Tilanmuuttuja
- Systeemin tilaa kuvaava suure, kuten lämpötila, paine tai tilavuus.
- Termodynaaminen systeemi
- Tarkasteltavaksi rajattu aine tai alue, jonka energian muutoksia tutkitaan.
- Avoin systeemi
- Ympäristön kanssa voi vaihtua sekä ainetta että energiaa.
- Suljettu systeemi
- Ympäristön kanssa voi vaihtua energiaa mutta ei ainetta.
- Eristetty systeemi
- Ympäristön kanssa ei vaihdu ainetta eikä energiaa.
- Lämpötasapaino
- Kosketuksissa olevien systeemien lämpötilat ovat tasoittuneet samoiksi.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-1Ydintehtävä
Huoneen lämpötila on $21\,{}^\circ\text{C}$. Mikä lämpötila on kelvineinä?
Vastaus
$294\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\theta = 21\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
lämpötila kelvineinä, $T$
Periaate
Kelvinin ja celsiusasteen suuruus on sama, ja asteikot eroavat vain nollakohdaltaan: $0\,{}^\circ\text{C}$ on $273{,}15\,\text{K}$. Siksi kelvinlukema saadaan lisäämällä celsiuslukemaan $273{,}15$.
Kaava
$T = \theta + 273{,}15$, ja tämä on jo ratkaistu kysytylle suureelle $T$
Muunnokset
Celsiuslämpötila muutetaan kelvineiksi tässä kaavassa; muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$T$$= 21 + 273{,}15$$= 294{,}15\,\text{K}$Vastaus
$294\,\text{K}$
Täysinä kelvineinä, koska lämpötila $21\,{}^\circ\text{C}$ on annettu täysinä asteina.
Järkevyys
Huonelämpötila on noin $20\,{}^\circ\text{C}$, joten arvio on $20 + 273 \approx 293\,\text{K}$, ja tulos on sen lähellä. Takaisinlasku: $294{,}15 - 273{,}15 = 21$, joten muunnos palaa lähtöarvoon. Kelvinlämpötila on positiivinen, kuten pitää.
- Tehtävä 3-2Ydintehtävä
Kaasun lämpötila on $350\,\text{K}$. Mikä lämpötila on celsiusasteina?
Vastaus
$77\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$T = 350\,\text{K}$
Kysytty
lämpötila celsiusasteina, $\theta$
Periaate
Kelvin- ja celsiusasteikon välit ovat yhtä suuret, ja nollakohtien ero on $273{,}15$. Celsiuslukema saadaan siis vähentämällä kelvinlukemasta $273{,}15$.
Kaava
$T = \theta + 273{,}15$, josta $\theta = T - 273{,}15$
Muunnokset
Kelvinlämpötila muutetaan celsiusasteiksi tämän kaavan avulla; muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\theta$$= 350 - 273{,}15$$= 76{,}85\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$77\,{}^\circ\text{C}$
Täysinä asteina, koska $350\,\text{K}$ on annettu täysinä kelvineinä.
Järkevyys
Veden kiehumispiste normaalipaineessa on $373\,\text{K}$ eli $100\,{}^\circ\text{C}$, ja $350\,\text{K}$ on $23\,\text{K}$ sen alapuolella, joten arvio on $100 - 23 = 77\,{}^\circ\text{C}$. Tulos on myös yli nollan, koska $350\,\text{K} > 273\,\text{K}$. Takaisinlasku: $76{,}85 + 273{,}15 = 350$.
- Tehtävä 3-3
Nestemäisen typen kiehumispiste on $77{,}4\,\text{K}$. Mikä se on celsiusasteina?
Vastaus
$-196\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$T = 77{,}4\,\text{K}$
Kysytty
lämpötila celsiusasteina, $\theta$
Periaate
Celsius- ja kelvinasteikon välit ovat yhtä suuret, ja nollakohtien ero on $273{,}15$. Siksi $\theta$ saadaan vähentämällä kelvinlukemasta $273{,}15$. Kaava pätee myös, kun tulos on negatiivinen.
Kaava
$T = \theta + 273{,}15$, josta $\theta = T - 273{,}15$
Muunnokset
Kelvinlämpötila muutetaan celsiusasteiksi tämän kaavan avulla; muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\theta$$= 77{,}4 - 273{,}15$$= -195{,}75\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$-196\,{}^\circ\text{C}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten arvossa $77{,}4\,\text{K}$ (tarkka vakio $273{,}15$ ei rajoita; desimaalin tarkkuudella tulos olisi $-195{,}8\,{}^\circ\text{C}$).
Järkevyys
Typpi on ilman pääainesosa ja nesteytyy vasta hyvin kylmässä: tulos on selvästi alle veden jäätymispisteen $0\,{}^\circ\text{C}$ mutta yli absoluuttisen nollapisteen $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Takaisinlasku: $-195{,}75 + 273{,}15 = 77{,}4\,\text{K}$. Arvio: $77 - 273 \approx -196$.
- Tehtävä 3-4
Veden lämpötila nousee $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $45\,{}^\circ\text{C}$:een. Kuinka suuri lämpötilan muutos on kelvineinä?
Vastaus
$25\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\theta_1 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = 45\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
lämpötilan muutos kelvineinä, $\Delta T$
Periaate
Celsiusasteen ja kelvinin suuruus on sama, ja asteikkojen nollakohdat eroavat vain vakiolla $273{,}15$. Vakio supistuu eron laskussa pois, joten lämpötilan muutos on sama kummallakin asteikolla.
Kaava
$\Delta T$$= T_2 - T_1$$= (\theta_2 + 273{,}15) - (\theta_1 + 273{,}15)$joten $\Delta T = \theta_2 - \theta_1$
Muunnokset
Muunnosta ei tarvita, koska lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä; vain yksikkö vaihtuu.
Sijoitus
$\Delta T = 45 - 20 = 25\,\text{K}$
Vastaus
$25\,\text{K}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa lämpötiloissa.
Järkevyys
Tarkistus kelvineinä: $T_1 = 293{,}15\,\text{K}$ ja $T_2 = 318{,}15\,\text{K}$, joten ero on $318{,}15 - 293{,}15 = 25\,\text{K}$. Etumerkki on positiivinen, koska vesi lämpenee.
- Tehtävä 3-5
Maailmankaikkeuden taustasäteilyn lämpötila on $2{,}7\,\text{K}$. Mikä se on celsiusasteina?
Vastaus
$-270\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$T = 2{,}7\,\text{K}$
Kysytty
lämpötila celsiusasteina, $\theta$
Periaate
Celsius- ja kelvinasteikon välit ovat yhtä suuret, ja nollakohtien ero on $273{,}15$, joten $\theta$ saadaan vähentämällä kelvinlukemasta $273{,}15$. Kelvinlukema on pieni, joten tulos on negatiivinen.
Kaava
$T = \theta + 273{,}15$, josta $\theta = T - 273{,}15$
Muunnokset
Kelvinlämpötila muutetaan celsiusasteiksi tämän kaavan avulla; muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\theta$$= 2{,}7 - 273{,}15$$= -270{,}45\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$-270\,{}^\circ\text{C}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten arvossa $2{,}7\,\text{K}$ (tarkka vakio $273{,}15$ ei rajoita; desimaalin tarkkuudella tulos olisi $-270{,}5\,{}^\circ\text{C}$).
Järkevyys
Lämpötila on vain $2{,}7\,\text{K}$ absoluuttisen nollapisteen yläpuolella, joten sen täytyy olla vain vähän yli $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$: $-273{,}15 + 2{,}7 = -270{,}45$. Tulos ei alita absoluuttista nollapistettä, kuten ei saa.
- Tehtävä 3-6
Kaasua on tiiviissä sylinterissä, jonka mäntä liikkuu. Kaasu valitaan termodynaamiseksi systeemiksi. Kaasua voidaan lämmittää ja puristaa, mutta ainetta ei pääse sylinteristä ulos eikä sinne tule lisää.
Mikä seuraavista kuvaa oikein tätä systeemiä?
Vastaus
Suljettu, koska ainetta ei siirry systeemin rajan yli; energiaa voi silti siirtyä.
Näytä ratkaisu
Kysytty
onko tiiviissä sylinterissä oleva kaasu suljettu vai avoin systeemi.
Periaate
Systeemi on suljettu, jos siitä ei pääse ainetta ulos eikä sinne tule ainetta. Energiaa voi silti siirtyä rajan yli. Mäntä kuuluu systeemin rajaan: kun se liikkuu, tilavuus muuttuu, mutta aine ei ylitä rajaa.
Mallivastaus
Kaasu on suljettu systeemi, koska ainetta ei siirry sen rajan yli, vaikka energiaa voi siirtyä ja tilavuus voi muuttua. Avoimeksi systeemin tekisi vasta aineen pääsy ulos tai sisään, esimerkiksi vuotava sylinteri. Lämmitys ja puristus muuttavat tilanmuuttujia eli lämpötilaa, painetta ja tilavuutta, mutta eivät tee systeemistä avointa. Suljetun systeemin lämpötila ei myöskään ole vakio.
- Tehtävä 3-7
Pakastimen lämpötila on $-18\,{}^\circ\text{C}$. Mikä lämpötila on kelvineinä?
Vastaus
$255\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\theta = -18\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
lämpötila kelvineinä, $T$
Periaate
Kelvinin ja celsiusasteen suuruus on sama, ja asteikot eroavat vain nollakohdaltaan: $0\,{}^\circ\text{C}$ on $273{,}15\,\text{K}$. Kelvinlukema saadaan lisäämällä celsiuslukemaan $273{,}15$, myös kun celsiuslukema on negatiivinen.
Kaava
$T = \theta + 273{,}15$, ja tämä on jo ratkaistu kysytylle suureelle $T$
Muunnokset
Celsiuslämpötila muutetaan kelvineiksi tässä kaavassa; muita yksikkömuunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$T$$= -18 + 273{,}15$$= 255{,}15\,\text{K}$Vastaus
$255\,\text{K}$
Vastaus pyöristetään täysiin kelvineihin, koska lämpötila $-18\,{}^\circ\text{C}$ on annettu täysinä asteina.
Järkevyys
Arvio pyöristetyillä luvuilla: $273 - 18 = 255$, joten tulos on sen mukainen. Kelvinlämpötila on positiivinen ja pienempi kuin veden jäätymispistettä vastaava $273{,}15\,\text{K}$, koska pakastin on jäätymispistettä kylmempi. Takaisinlasku: $255{,}15 - 273{,}15 = -18$.
- Tehtävä 3-8
Suljetussa ja jäykässä astiassa on kaasua. Astiaa lämmitetään. Mikä seuraavista kaasun suureista pysyy samana?
Vastaus
Tilavuus, koska jäykän astian seinät eivät siirry lämmitettäessä.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mikä kaasun suureista pysyy samana, kun suljettua jäykkää astiaa lämmitetään.
Periaate
Jäykän astian seinät eivät siirry, joten kaasun tilavuus on astian tilavuus ja pysyy samana. Lämmitys nostaa kaasun lämpötilaa, ja hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa. Hiukkaset törmäävät seinään useammin ja kovemmin, joten paine kasvaa.
Mallivastaus
Tilavuus pysyy samana, koska jäykän astian seinät eivät siirry lämmitettäessä. Lämpötila ja paine kasvavat. Hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa lämpötilan mukana, koska harvassa kaasussa se on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Se, että astia on suljettu, tarkoittaa vain sitä, että hiukkasmäärä eli aineen määrä pysyy samana. Astia ei estä lämpenemistä eikä paineen kasvua.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-9Ydintehtävä
Kaasun lämpötila on $288\,\text{K}$. Kaasua lämmitetään, ja sen lämpötila nousee $45\,\text{K}$. Mikä on loppulämpötila celsiusasteina?
Vastaus
$60\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$T_1 = 288\,\text{K}$, lämpötilan nousu $\Delta T = 45\,\text{K}$
Kysytty
loppulämpötila celsiusasteina, $\theta_2$
Periaate
Lämpötilan muutos on sama kelvineinä ja celsiusasteina, joten nousu voidaan lisätä suoraan kelvinlämpötilaan. Vasta lopuksi tulos muutetaan celsiusasteiksi.
Kaava
$T_2 = T_1 + \Delta T$ ja $\theta_2 = T_2 - 273{,}15$, joten $\theta_2 = T_1 + \Delta T - 273{,}15$
Muunnokset
Nousu $45\,\text{K}$ lisätään sellaisenaan. Loppulämpötila muutetaan kelvineistä celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$.
Sijoitus
$T_2 = 288 + 45 = 333\,\text{K}$, ja
$\theta_2$$= 333 - 273{,}15$$= 59{,}85\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$60\,{}^\circ\text{C}$
Täysinä asteina, koska lähtöarvot on annettu täysinä kelvineinä.
Järkevyys
Alkulämpötila $288\,\text{K}$ on noin $15\,{}^\circ\text{C}$, ja $45\,\text{K}$:n nousu antaa noin $15 + 45 = 60\,{}^\circ\text{C}$. Tarkka tarkistus: $288 - 273{,}15 = 14{,}85\,{}^\circ\text{C}$ ja $14{,}85 + 45 = 59{,}85\,{}^\circ\text{C}$. Kaasu lämpenee, joten loppulämpötila on alkulämpötilaa suurempi.
- Tehtävä 3-10Ydintehtävä
Suljetussa jäykässä astiassa kaasun paine on $90{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$ ja $123\,\text{kPa}$ lämpötilassa $100\,{}^\circ\text{C}$. Oleta, että paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Mikä on paine lämpötilassa $35\,{}^\circ\text{C}$?
Vastaus
$102\,\text{kPa}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$(\theta_1,\, p_1) = (0\,{}^\circ\text{C},\ 90{,}0\,\text{kPa})$ ja $(\theta_2,\, p_2) = (100\,{}^\circ\text{C},\ 123\,\text{kPa})$; paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti
Kysytty
paine $p$ lämpötilassa $\theta = 35\,{}^\circ\text{C}$ kilopascaleina
Periaate
Astia on suljettu ja jäykkä, joten kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina ja paine muuttuu vain lämpötilan mukana. Tehtävä sallii lineaarisen mallin, jolloin pisteet määräävät suoran, ja suoralta luetaan paine kohdassa $35\,{}^\circ\text{C}$.
Kaava
kulmakerroin
$k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$ja suora $p = p_1 + k\theta$, koska $\theta_1 = 0\,{}^\circ\text{C}$; siis
$p$$= p_1 + \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}\,\theta$Muunnokset
Muunnoksia ei tarvita: paineet ovat samassa yksikössä, ja lämpötilaero $\theta_2 - \theta_1$ on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Kulmakertoimen yksikkö on $\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$.
Sijoitus
$k$$= \dfrac{(123 - 90{,}0)\,\text{kPa}}{(100 - 0)\,{}^\circ\text{C}}$$= 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ja
$p$$= 90{,}0\,\text{kPa} + 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 35\,{}^\circ\text{C}$$= 101{,}55\,\text{kPa}$Vastaus
$102\,\text{kPa}$
Paine-ero $\Delta p = 123 - 90{,}0 = 33\,\text{kPa}$ on kaksinumeroinen, joten $k = 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ ja $k\theta \approx 12\,\text{kPa}$; summa $90{,}0 + 12 = 102\,\text{kPa}$ pyöristyy kokonaisiin kilopascaleihin.
Järkevyys
Lämpötila $35\,{}^\circ\text{C}$ on $35\,\%$ matkasta $0\,{}^\circ\text{C}$:sta $100\,{}^\circ\text{C}$:een, joten paineen pitää olla $35\,\%$ matkasta välillä $90{,}0\ldots123\,\text{kPa}$: $90{,}0 + 0{,}35 \cdot 33 = 101{,}55\,\text{kPa}$. Tulos on pisteiden paineiden välissä ja alle välin keskiarvon $106{,}5\,\text{kPa}$.
- Tehtävä 3-11
Kuvaajassa ovat suljetussa jäykässä astiassa mitatut kaasun paineet eri lämpötiloissa. Oleta, että paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti myös mittausalueen ulkopuolella. Mikä olisi paine lämpötilassa $-100\,{}^\circ\text{C}$?
Vastaus
$p \approx 48\,\text{kPa}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajasta luettuna pisteet $(0\,{}^\circ\text{C}$; $75\,\text{kPa})$ ja $(100\,{}^\circ\text{C}$; $102{,}5\,\text{kPa})$; paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti, myös mittausalueen ulkopuolella
Kysytty
paine $p$ lämpötilassa $\theta = -100\,{}^\circ\text{C}$ kilopascaleina
Periaate
Jäykässä suljetussa astiassa kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina, joten paine riippuu vain lämpötilasta. Pisteet ovat suoralla, joten suoraa voidaan jatkaa mittausalueen ulkopuolelle eli ekstrapoloida.
Kuvaajan lukeminen
Mittauspisteet ovat lämpötiloissa $0\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$. Ensimmäinen piste on ruudukon risteyksessä $(0\,{}^\circ\text{C}$; $75\,\text{kPa})$, ja viimeinen piste on hieman $100\,\text{kPa}$:n viivan yläpuolella, $102{,}5\,\text{kPa}$. Näistä kahdesta pisteestä lasketaan suoran kulmakerroin, ja suoraa jatketaan vasemmalle lämpötilaan $-100\,{}^\circ\text{C}$. Piirtämällä suora silmämääräisesti saa arvon $45$–$50\,\text{kPa}$, joka hyväksytään.
Kaava
$k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$$p = p_1 + k(\theta - \theta_1)$
Muunnokset
Muunnoksia ei tarvita: paineet ovat kilopascaleina, ja lämpötilaerot ovat samat celsiusasteina ja kelvineinä.
Sijoitus
$k$$= \dfrac{(102{,}5 - 75)\,\text{kPa}}{(100 - 0)\,{}^\circ\text{C}}$$= 0{,}275\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ja
$p$$= 75\,\text{kPa} + 0{,}275\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot (-100 - 0)\,{}^\circ\text{C}$$= 75\,\text{kPa} - 27{,}5\,\text{kPa}$$= 47{,}5\,\text{kPa}$Vastaus
$p \approx 48\,\text{kPa}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luettu paine-ero $27{,}5\,\text{kPa}$ on kolmen numeron arvo mutta lukutarkkuus on noin $1\,\text{kPa}$.
Järkevyys
Lämpötila on mittausalueen alapuolella, joten paineen pitää olla pienempi kuin pienin mitattu $75\,\text{kPa}$, mutta selvästi yli nollan. Riippumaton tarkistus: jos paine on verrannollinen kelvinlämpötilaan,
$p$$\approx 75\,\text{kPa} \cdot \dfrac{173{,}15\,\text{K}}{273{,}15\,\text{K}}$$= 47{,}5\,\text{kPa}$mikä on sama.
- Tehtävä 3-12
Kuun yöpuolen lämpötila on $-173\,{}^\circ\text{C}$ ja päiväpuolen $127\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka monta kertaa suurempi päiväpuolen kelvinlämpötila on kuin yöpuolen kelvinlämpötila?
Vastaus
$4{,}00$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\theta_\text{yö} = -173\,{}^\circ\text{C}$ ja $\theta_\text{päivä} = 127\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
kelvinlämpötilojen suhde $\dfrac{T_\text{päivä}}{T_\text{yö}}$
Periaate
Suhdetta kysytään kelvinlämpötiloista, koska vain kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste, alin mahdollinen lämpötila. Celsiusasteiden suhteella ei ole fysikaalista merkitystä.
Kaava
$T = \theta + 273{,}15$, ja suhde
$\dfrac{T_\text{päivä}}{T_\text{yö}}$$= \dfrac{\theta_\text{päivä} + 273{,}15}{\theta_\text{yö} + 273{,}15}$Muunnokset
Molemmat lämpötilat muutetaan kelvineiksi lisäämällä $273{,}15$:
$T_\text{yö}$$= -173 + 273{,}15$$= 100{,}15\,\text{K}$$T_\text{päivä}$$= 127 + 273{,}15$$= 400{,}15\,\text{K}$Sijoitus
$\dfrac{T_\text{päivä}}{T_\text{yö}}$$= \dfrac{400{,}15\,\text{K}}{100{,}15\,\text{K}}$$= 3{,}9955$Vastaus
$4{,}00$
Kertaa. Täydet asteet antavat kelvinlämpötilat $100\,\text{K}$ ja $400\,\text{K}$ kelvinin tarkkuudella, kolme merkitsevää numeroa kummassakin, joten osamäärässäkin on kolme.
Järkevyys
Kelvineinä lämpötilat ovat noin $100\,\text{K}$ ja $400\,\text{K}$, joten suhde on noin $4$. Päiväpuoli on lämpimämpi, joten suhde on yli $1$. Celsiusasteiden suhde olisi $\tfrac{127}{-173} \approx -0{,}73$, mikä on mieletön vertailu.
- Tehtävä 3-13
Lämpömittaria A verrataan kalibroinnissa tarkkaan vertailulämpömittariin. Molemmat pidetään samassa vesihauteessa eri lämpötiloissa. Taulukko on esimerkkiaineistoa.
a) Laske mittarin A lukeman keskimääräinen ero vertailulukemaan, $\theta_\text{A} - \theta_\text{vert}$, kelvineinä.
b) Onko ero systemaattinen vai satunnainen? Perustele taulukon avulla. Systemaattinen virhe poikkeaa joka mittauksessa samaan suuntaan, satunnainen virhe vaihtelee suuntaan ja toiseen.
c) Mittari A näyttää kylpyveden lämpötilaksi $38{,}6\,{}^\circ\text{C}$. Mikä on lämpötila korjattuna?
Syötä vastauslaatikkoon kohdan a) tulos.
Lämpömittarin A kalibrointi (esimerkkiaineisto) $\theta_\text{vert}\,({}^\circ\text{C})$ $\theta_\text{A}\,({}^\circ\text{C})$ 0,0 1,4 20,0 21,7 40,0 41,3 60,0 61,6 80,0 81,5 Vastaus
$1{,}5\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vertailulukemat $0$, $20{,}0$, $40{,}0$, $60{,}0$ ja $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja mittarin A lukemat $1{,}4$, $21{,}7$, $41{,}3$, $61{,}6$ ja $81{,}5\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto); kylpyveden lukema $38{,}6\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
mittarin A lukeman keskimääräinen ero vertailulukemaan, $\Delta\theta$, kelvineinä (kohta a), ja korjattu kylpyveden lämpötila
Periaate
Vertailumittari on tarkka, joten jokaisen mittauksen ero $\theta_\text{A} - \theta_\text{vert}$ kertoo mittarin A virheen. Jos ero on joka mittauksessa suunnilleen yhtä suuri ja samanmerkkinen, kyse on systemaattisesta virheestä, ja se korjataan vähentämällä keskimääräinen ero lukemasta.
Kaava
$\Delta\theta_i$$= \theta_{\text{A},i} - \theta_{\text{vert},i}$$\Delta\theta_\text{ka}$$= \dfrac{\sum \Delta\theta_i}{n}$jossa $n = 5$; korjattu lämpötila $\theta_\text{korj} = \theta_\text{A} - \Delta\theta_\text{ka}$
Muunnokset
Muunnoksia ei tarvita, koska lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä.
Sijoitus
erot ovat $1{,}4$, $1{,}7$, $1{,}3$, $1{,}6$ ja $1{,}5\,\text{K}$. Summa on $7{,}5\,\text{K}$, joten
$\Delta\theta_\text{ka}$$= 7{,}5\,\text{K} : 5$$= 1{,}5\,\text{K}$Korjattu lämpötila on
$\theta_\text{korj}$$= 38{,}6\,{}^\circ\text{C} - 1{,}5\,\text{K}$$= 37{,}1\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$1{,}5\,\text{K}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten yksittäisissä eroissa. Ero on systemaattinen: mittari A näyttää kaikissa viidessä mittauksessa $1{,}3\ldots 1{,}7\,\text{K}$ liikaa, vaikka lämpötila vaihtelee $80\,\text{K}$, ja erojen vaihtelu on pientä satunnaista hajontaa. Kylpyveden korjattu lämpötila on $37{,}1\,{}^\circ\text{C}$.
Järkevyys
Kaikki erot ovat positiivisia, joten keskiarvon on oltava pienimmän ja suurimman eron välissä: $1{,}3 < 1{,}5 < 1{,}7$. Korjattu lukema on pienempi kuin mittarin lukema, koska mittari näyttää liikaa, ja $37{,}1\,{}^\circ\text{C}$ on tavallinen kylpyveden lämpötila.
- Tehtävä 3-14
Kuumaa vettä kaadettiin termospulloon, ja veden lämpötila mitattiin tunnin välein. Huoneen lämpötila oli koko ajan $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Taulukko on esimerkkiaineistoa.
a) Laske veden lämpötilan lasku ensimmäisen tunnin aikana ja viimeisen tunnin aikana.
b) Kuinka monta kertaa suurempi lasku oli ensimmäisellä tunnilla kuin viimeisellä?
c) Selitä taulukon avulla, miksi lämpötilan lasku hidastuu, kun vesi lähestyy huoneen lämpötilaa. Vihje: laske kunkin tunnin lasku jaettuna tunnin alun lämpötilaerolla huoneeseen.
Syötä vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.
Veden lämpötila termospullossa (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{h})$ $\theta\,({}^\circ\text{C})$ 0 80,0 1 69,9 2 61,3 3 54,4 4 48,6 Vastaus
$1{,}7$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\theta_0 = 80{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_1 = 69{,}9\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_3 = 54{,}4\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_4 = 48{,}6\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto); huoneen lämpötila $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
lämpötilan laskujen suhde $\dfrac{\Delta\theta_\text{ensimmäinen}}{\Delta\theta_\text{viimeinen}}$
Periaate
Lämpötilan lasku tunnissa on edellisen ja seuraavan mittauksen erotus. Lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Vertaamalla ensimmäisen ja viimeisen tunnin laskua nähdään, miten jäähtyminen muuttuu, kun vesi lähestyy huoneen lämpötilaa.
Kaava
$\Delta\theta = \theta_\text{alku} - \theta_\text{loppu}$ ja suhde $\dfrac{\Delta\theta_1}{\Delta\theta_4}$
Muunnokset
Muunnoksia ei tarvita: lämpötilojen erotus on sama celsiusasteina ja kelvineinä, ja suhteessa yksiköt supistuvat.
Sijoitus
$$\begin{aligned} \Delta\theta_1 &= 80{,}0 - 69{,}9 = 10{,}1\,\text{K} \\ \Delta\theta_4 &= 54{,}4 - 48{,}6 = 5{,}8\,\text{K} \\ \frac{\Delta\theta_1}{\Delta\theta_4} &= \frac{10{,}1\,\text{K}}{5{,}8\,\text{K}} = 1{,}741 \end{aligned}$$
Vastaus
$1{,}7$
Kertaa, kaksi merkitsevää numeroa kuten laskuissa $10{,}1\,\text{K}$ ja $5{,}8\,\text{K}$. Selitys: vesi on alussa huonetta $60{,}0\,\text{K}$ lämpimämpi ja lopussa vain $28{,}6\,\text{K}$ lämpimämpi. Kun lämpötilaero huoneeseen pienenee, lasku hidastuu: ensimmäisenä tuntina lasku on $10{,}1 : 60{,}0 \approx 0{,}17$ ja viimeisenä $5{,}8 : 34{,}4 \approx 0{,}17$ osaa tunnin alun lämpötilaerosta. Vesi hakeutuu kohti huoneen lämpötilaa, mutta ei ylitä sitä.
Järkevyys
Jäähtyvän veden lasku hidastuu, joten suhteen on oltava yli $1$, ja $1{,}7 > 1$. Tarkistus: tuntilaskut ovat $10{,}1$, $8{,}6$, $6{,}9$ ja $5{,}8\,\text{K}$, eli pienenevä jono. Veden lämpötila $48{,}6\,{}^\circ\text{C}$ on yhä yli huoneen lämpötilan $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$.
- Tehtävä 3-15
Opiskelija siirtää huoneenlämpöisen nestelämpömittarin kuumaan veteen, jonka lämpötila pidetään vakiona, ja lukee mittarin lukeman $10\,\text{s}$ välein. Lukema vakiintuu arvoon $60{,}2\,{}^\circ\text{C}$. Taulukko on esimerkkiaineistoa.
a) Valitse taulukon ajoista aikaisin, jolla lukema poikkeaa vakiintuneesta lukemasta alle $0{,}5\,\text{K}$. Kuinka monta sekuntia mittaria pitää vähintään pitää vedessä ennen lukemista?
b) Selitä, miksi liian aikaisin luettu lukema on liian pieni ja mitä mittari silloin mittaa.
Syötä vastauslaatikkoon kohdan a) tulos.
Mittarin lukema vedessä (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $\theta\,({}^\circ\text{C})$ 0 21,0 10 48,2 20 56,6 30 59,3 40 59,9 50 60,2 60 60,2 Vastaus
$40\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vakiintunut lukema $60{,}2\,{}^\circ\text{C}$, raja-ero $0{,}5\,\text{K}$ ja taulukon lukemat $10\,\text{s}$ välein (esimerkkiaineisto)
Kysytty
aikaisin taulukon ajanhetki $t$ sekunteina, jolla lukema poikkeaa vakiintuneesta lukemasta alle $0{,}5\,\text{K}$
Periaate
Nestelämpömittari näyttää oman lämpötilansa, ei veden lämpötilaa. Siirron jälkeen mittarin lämpötila lähestyy veden lämpötilaa vähitellen, ja lukema vakiintuu vasta, kun mittari on samassa lämpötilassa vesihauteen kanssa. Aikaisin luettu lukema on liian pieni.
Kaava
$\Delta\theta(t) = \theta_\text{vak} - \theta(t)$, ja etsitään aikaisin $t$, jolla $\Delta\theta(t) < 0{,}5\,\text{K}$
Muunnokset
Muunnoksia ei tarvita: aika on jo sekunteina, ja lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä.
Sijoitus
$$\begin{aligned} \Delta\theta(10\,\text{s}) &= 60{,}2 - 48{,}2 = 12{,}0\,\text{K} \\ \Delta\theta(20\,\text{s}) &= 60{,}2 - 56{,}6 = 3{,}6\,\text{K} \\ \Delta\theta(30\,\text{s}) &= 60{,}2 - 59{,}3 = 0{,}9\,\text{K} \\ \Delta\theta(40\,\text{s}) &= 60{,}2 - 59{,}9 = 0{,}3\,\text{K} \end{aligned}$$
Vastaus
$40\,\text{s}$
Taulukon $10\,\text{s}$ aikavälin tarkkuudella. Lukemaa $30\,\text{s}$:n kohdalla ei voi käyttää, koska ero on silloin $0{,}9\,\text{K}$. Aikaisemmin luettu lukema on liian pieni, koska mittari ei ole vielä lämmennyt veden lämpötilaan ja mittaa omaa lämpötilaansa.
Järkevyys
Ero pienenee koko ajan: $12{,}0$, $3{,}6$, $0{,}9$ ja $0{,}3\,\text{K}$, ja se pienenee jokaisella $10\,\text{s}$ jaksolla noin neljäsosaan tai kolmasosaan edellisestä. Lukemat $50\,\text{s}$ ja $60\,\text{s}$ ovat yhtä suuret, joten vakiintunut lukema $60{,}2\,{}^\circ\text{C}$ on perusteltu.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 3-16
Pyörän renkaan ilman kokonaispaine (ei ylipaine) on $300\,\text{kPa}$ lämpötilassa $15\,{}^\circ\text{C}$. Rengas ei vuoda, ja sen tilavuus pysyy samana. Paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan.
Mikä paine renkaassa on lämpötilassa $35\,{}^\circ\text{C}$?
Vastaus
$321\,\text{kPa}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$p_1 = 300\,\text{kPa}$ (kokonaispaine), $\theta_1 = 15\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = 35\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
paine $p_2$ lämpötilassa $\theta_2$ kilopascaleina
Periaate
Rengas ei vuoda eikä sen tilavuus muutu, joten ilman määrä ja tilavuus ovat vakiot. Silloin paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan: lämpimämmän kaasun hiukkaset liikkuvat nopeammin ja törmäävät seinään useammin ja kovemmin. Verrannollisuus ei päde celsiuslämpötilaan.
Kaava
$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$, josta $p_2 = p_1\,\dfrac{T_2}{T_1}$
Muunnokset
Lämpötilat muutetaan kelvineiksi:
$T_1$$= 15 + 273{,}15$$= 288{,}15\,\text{K}$$T_2$$= 35 + 273{,}15$$= 308{,}15\,\text{K}$Paine pysyy kilopascaleina, koska se esiintyy vain suhteessa.
Sijoitus
$p_2$$= 300\,\text{kPa} \cdot \dfrac{308{,}15\,\text{K}}{288{,}15\,\text{K}}$$= 320{,}8\,\text{kPa}$Vastaus
$321\,\text{kPa}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa.
Järkevyys
Kelvinlämpötila nousee $20\,\text{K}$ eli noin $\dfrac{20}{288} \approx 6{,}9\,\%$, joten paine nousee noin $0{,}069 \cdot 300\,\text{kPa} \approx 21\,\text{kPa}$, ja $300 + 21 = 321\,\text{kPa}$. Lämpötila nousee, joten paineen pitää kasvaa. Celsiusasteiden suhde $\tfrac{35}{15}$ antaisi kohtuuttoman $700\,\text{kPa}$.
- Tehtävä 3-17
Suljetussa jäykässä astiassa kaasun paine on $150\,\text{kPa}$ lämpötilassa $27{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Astiaa lämmitetään, kunnes paine on $200\,\text{kPa}$. Paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Mikä on loppulämpötila celsiusasteina?
Vastaus
$127\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$p_1 = 150\,\text{kPa}$, $\theta_1 = 27{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $p_2 = 200\,\text{kPa}$
Kysytty
loppulämpötila celsiusasteina, $\theta_2$
Periaate
Astia on suljettu ja jäykkä, joten tilavuus ja kaasun määrä pysyvät samoina, ja paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Siksi paineen ja kelvinlämpötilan suhteet ovat yhtä suuret.
Kaava
$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$, josta $T_2 = T_1\,\dfrac{p_2}{p_1}$, ja $\theta_2 = T_2 - 273{,}15$
Muunnokset
Alkulämpötila muutetaan kelvineiksi:
$T_1$$= 27{,}0 + 273{,}15$$= 300{,}15\,\text{K}$Lopuksi tulos muutetaan celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$. Paineita ei tarvitse muuttaa, koska ne ovat samassa yksikössä.
Sijoitus
$T_2$$= 300{,}15\,\text{K} \cdot \dfrac{200\,\text{kPa}}{150\,\text{kPa}}$$= 400{,}2\,\text{K}$ja
$\theta_2$$= 400{,}2 - 273{,}15$$= 127{,}05\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$127\,{}^\circ\text{C}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten arvossa $27{,}0\,{}^\circ\text{C}$.
Järkevyys
Paine kasvaa kertoimella $\tfrac{4}{3}$, joten kelvinlämpötilan täytyy kasvaa samalla kertoimella: noin $300\,\text{K} \to 400\,\text{K}$ eli $127\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistus: $\tfrac{p}{T}$ alussa $\tfrac{150}{300{,}15} = 0{,}4998\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$ ja lopussa $\tfrac{200}{400{,}2} = 0{,}4998\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$. Celsiusasteiden suhde antaisi väärin $36\,{}^\circ\text{C}$.
- Tehtävä 3-18
Kaasun lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Kaasu jäähdytetään, kunnes sen hiukkasten keskimääräinen liike-energia on puolet alkuperäisestä. Keskimääräinen liike-energia on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Mikä on lopullinen lämpötila celsiusasteina?
Vastaus
$-127\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\theta_1 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja keskimääräinen liike-energia $E_2 = \tfrac{1}{2}E_1$
Kysytty
loppulämpötila celsiusasteina, $\theta_2$
Periaate
Tehtävän mukaan kaasun hiukkasten keskimääräinen liike-energia on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan; näin on harvassa kaasussa, jonka hiukkaset vaikuttavat toisiinsa vain törmätessään. Verrannollisuus koskee kelvinlämpötilaa, koska vain kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste. Kun energia puolittuu, myös kelvinlämpötila puolittuu. Celsiuslämpötilaa ei saa puolittaa.
Kaava
$\dfrac{E_2}{E_1}$$= \dfrac{T_2}{T_1}$$= \dfrac{1}{2}$josta $T_2 = \dfrac{T_1}{2}$, ja $\theta_2 = T_2 - 273{,}15$
Muunnokset
Alkulämpötila muutetaan kelvineiksi:
$T_1$$= 20{,}0 + 273{,}15$$= 293{,}15\,\text{K}$Lopuksi $T_2$ muutetaan takaisin celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$.
Sijoitus
$T_2$$= \dfrac{293{,}15\,\text{K}}{2}$$= 146{,}575\,\text{K}$ja
$\theta_2$$= 146{,}575 - 273{,}15$$= -126{,}575\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$-127\,{}^\circ\text{C}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten arvossa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$.
Järkevyys
Kaasun pitää jäähtyä, joten tulos on alle $20\,{}^\circ\text{C}$, ja se on yli absoluuttisen nollapisteen $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistus: $\tfrac{146{,}575\,\text{K}}{293{,}15\,\text{K}} = 0{,}5$. Celsiusasteiden puolitus antaisi $10\,{}^\circ\text{C}$, mutta siinä kelvinlämpötila olisi vain $283\,\text{K}$ eli $97\,\%$ alkuarvosta, ei puolet.
- Tehtävä 3-19
Henkilön kehon lämpötilaa mitattiin viisi kertaa kolmella menetelmällä lyhyessä ajassa. Suuhun asetettava digitaalinen lämpömittari on tässä viitemenetelmä. Taulukko on esimerkkiaineistoa.
a) Laske kunkin menetelmän lukemien keskiarvo. Kirjoita summa ennen jakamista. Muut kohdat tarkistat ratkaisusta.
b) Laske otsamittarin keskiarvon ero viitemenetelmän keskiarvoon, $\theta_\text{suu} - \theta_\text{otsa}$, kelvineinä.
c) Arvioi kunkin menetelmän hajontaa lukemien vaihteluvälin puolikkaalla. Onko otsamittarin ero systemaattista vai satunnaista virhettä? Perustele. Systemaattinen virhe poikkeaa joka mittauksessa samaan suuntaan, satunnainen virhe vaihtelee suuntaan ja toiseen.
d) Henkilön lämpötila on suuhun mitattuna $37{,}6\,{}^\circ\text{C}$, ja kuumeen raja on $37{,}5\,{}^\circ\text{C}$. Oleta, että otsamittarin ero on aina sama. Mitä otsamittari näyttäisi keskimäärin, ja havaittaisiinko kuume?
Syötä vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.
Kehon lämpötila kolmella menetelmällä (esimerkkiaineisto) Mittaus $\theta_\text{korva}\,({}^\circ\text{C})$ $\theta_\text{otsa}\,({}^\circ\text{C})$ $\theta_\text{suu}\,({}^\circ\text{C})$ 1 36,9 36,2 37,0 2 37,1 36,7 37,0 3 36,8 36,0 37,1 4 37,0 36,5 36,9 5 37,2 36,6 37,0 Vastaus
$0{,}6\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
viiden mittauksen lukemat (esimerkkiaineisto): korvamittari $36{,}9$, $37{,}1$, $36{,}8$, $37{,}0$, $37{,}2$; otsamittari $36{,}2$, $36{,}7$, $36{,}0$, $36{,}5$, $36{,}6$; suumittari (viite) $37{,}0$, $37{,}0$, $37{,}1$, $36{,}9$, $37{,}0$, kaikki celsiusasteina; kuumeen raja $37{,}5\,{}^\circ\text{C}$ ja suumittarilla mitattu $37{,}6\,{}^\circ\text{C}$
Kysytty
otsamittarin keskiarvon ero viitemenetelmään, $\Delta\theta = \theta_\text{suu,ka} - \theta_\text{otsa,ka}$, kelvineinä (kohta b)
Periaate
Toistetuista mittauksista lasketaan keskiarvo. Ero viitemenetelmään kertoo menetelmän virheen suunnan ja suuruuden, ja lukemien hajonta kertoo satunnaisen vaihtelun suuruusluokan. Jos ero on suurempi kuin hajonta ja kaikki lukemat poikkeavat samaan suuntaan, virhe on systemaattinen. Hajonnan yksinkertainen arvio on vaihteluvälin puolikas.
Kaava
$\theta_\text{ka}$$= \dfrac{\sum \theta_i}{n}$hajonnan arvio
$s$$= \dfrac{\theta_\text{max} - \theta_\text{min}}{2}$$\Delta\theta = \theta_\text{suu,ka} - \theta_\text{otsa,ka}$
Muunnokset
Muunnoksia ei tarvita, koska lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä.
Sijoitus
$$\begin{aligned} \sum\theta_\text{korva} &= 36{,}9 + 37{,}1 + 36{,}8 \\ &\quad + 37{,}0 + 37{,}2 \\ &= 185{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \theta_\text{korva,ka} &= 185{,}0 : 5 = 37{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \sum\theta_\text{otsa} &= 36{,}2 + 36{,}7 + 36{,}0 \\ &\quad + 36{,}5 + 36{,}6 \\ &= 182{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \theta_\text{otsa,ka} &= 182{,}0 : 5 = 36{,}4\,{}^\circ\text{C} \\ \sum\theta_\text{suu} &= 37{,}0 + 37{,}0 + 37{,}1 \\ &\quad + 36{,}9 + 37{,}0 \\ &= 185{,}0\,{}^\circ\text{C} \\ \theta_\text{suu,ka} &= 185{,}0 : 5 = 37{,}0\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \Delta\theta &= 37{,}0 - 36{,}4 = 0{,}6\,\text{K} \\ s_\text{korva} &= (37{,}2 - 36{,}8) : 2 = 0{,}2\,\text{K} \\ s_\text{otsa} &= (36{,}7 - 36{,}0) : 2 = 0{,}35\,\text{K} \\ s_\text{suu} &= (37{,}1 - 36{,}9) : 2 = 0{,}1\,\text{K} \end{aligned}$$
$$\theta_\text{otsa,korj} = 37{,}6 - 0{,}6 = 37{,}0\,{}^\circ\text{C}$$Vastaus
$0{,}6\,\text{K}$
Yksi merkitsevä numero, koska lukemat on annettu $0{,}1\,\text{K}$:n tarkkuudella. Ero on systemaattinen, koska jokainen otsalukema ($36{,}0\ldots 36{,}7\,{}^\circ\text{C}$) on pienempi kuin jokainen suulukema ($36{,}9\ldots 37{,}1\,{}^\circ\text{C}$), ja ero $0{,}6\,\text{K}$ on suurempi kuin otsamittarin hajonta $0{,}35\,\text{K}$. Kun suu näyttää $37{,}6\,{}^\circ\text{C}$, otsamittari näyttäisi keskimäärin $37{,}0\,{}^\circ\text{C}$ eli alle kuumerajan, joten kuume jäisi havaitsematta, vaikka henkilöllä on kuume.
Järkevyys
Korvamittarin keskiarvo on sama kuin viitteen, ja sen hajonta $0{,}2\,\text{K}$ on pieni, joten korvamittari on tässä aineistossa luotettavin. Otsamittarin keskiarvo $36{,}4\,{}^\circ\text{C}$ on viitettä pienempi, ja kaikki viisi otsalukemaa ovat viitteen pienintä lukemaa $36{,}9\,{}^\circ\text{C}$ pienempiä. Toistaminen pienentää keskiarvon satunnaista virhettä mutta ei poista systemaattista virhettä, joten viidenkin mittauksen keskiarvo on kuumetta arvioitaessa liian pieni.
- Tehtävä 3-20
Teräksinen, jäykkä ja tiivis ilmasäiliö täytetään lämpötilassa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ niin, että säiliön ylipaine on $600\,\text{kPa}$. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$, ja ylipaine tarkoittaa kokonaispaineen ja ilmanpaineen erotusta. Säiliön varoventtiili avautuu, kun ylipaine on $900\,\text{kPa}$. Oleta, että ilmaa ei vuoda ja että kokonaispaine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Tiedot ovat esimerkkiaineistoa.
a) Säiliö jätetään kuumaan autoon, jossa sen lämpötila nousee arvoon $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Laske säiliön kokonaispaine ja ylipaine.
b) Missä lämpötilassa varoventtiili avautuisi?
c) Kuinka monta prosenttia ilman hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa lämpötilasta $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ lämpötilaan $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$? Vertaa kokonaispaineen ja ylipaineen suhteellista kasvua ja perustele, kumpi on verrannollinen kelvinlämpötilaan.
Syötä vastauslaatikkoon kohdan b) tulos celsiusasteina.
Vastaus
$145\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ylipaine $p_\text{y1} = 600\,\text{kPa}$ lämpötilassa $\theta_1 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ilmanpaine $p_0 = 101\,\text{kPa}$, venttiilin avautumisraja ylipaineessa $p_\text{y,max} = 900\,\text{kPa}$, $\theta_2 = 60{,}0\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto)
Kysytty
lämpötila $\theta_3$ celsiusasteina, jossa varoventtiili avautuu (kohta b); lisäksi kokonaispaine ja ylipaine lämpötilassa $\theta_2$ ja liike-energian kasvu
Periaate
Säiliö on tiivis ja jäykkä, joten ilman määrä ja tilavuus ovat vakiot. Silloin kokonaispaine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Verrannollisuus koskee kokonaispainetta, ei ylipainetta, joten ylipaineet muutetaan ensin kokonaispaineiksi lisäämällä ilmanpaine. Harvassa kaasussa hiukkasten keskimääräinen liike-energia on myös suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan.
Kaava
$p = p_\text{y} + p_0$
$$p_2 = p_1\,\frac{T_2}{T_1}$$
$$\frac{\Delta E_\text{k}}{E_\text{k,1}} = \frac{T_2 - T_1}{T_1}$$
$$T_3 = T_1\,\frac{p_3}{p_1}$$
$$\theta_3 = T_3 - 273{,}15$$Muunnokset
$T_1$$= 20{,}0 + 273{,}15$$= 293{,}15\,\text{K}$$T_2$$= 60{,}0 + 273{,}15$$= 333{,}15\,\text{K}$Kokonaispaineet: $p_1 = 600 + 101 = 701\,\text{kPa}$ ja $p_3 = 900 + 101 = 1001\,\text{kPa}$.
Sijoitus
$$\begin{aligned} p_2 &= 701\,\text{kPa} \cdot \frac{333{,}15\,\text{K}}{293{,}15\,\text{K}} \\ &= 796{,}7\,\text{kPa} \\ p_{\text{y},2} &= 796{,}7 - 101 = 695{,}7\,\text{kPa} \\ T_3 &= 293{,}15\,\text{K} \cdot \frac{1001\,\text{kPa}}{701\,\text{kPa}} \\ &= 418{,}61\,\text{K} \\ \theta_3 &= 418{,}61 - 273{,}15 = 145{,}46\,{}^\circ\text{C} \\ \frac{\Delta E_\text{k}}{E_\text{k,1}} &= \frac{333{,}15 - 293{,}15}{293{,}15} = 0{,}136 \end{aligned}$$
Liike-energia kasvaa siis $13{,}6\,\%$.Vastaus
$145\,{}^\circ\text{C}$
(tarkasti $145{,}46\,{}^\circ\text{C}$), kolme merkitsevää numeroa kuten ilmanpaineessa $101\,\text{kPa}$. Muut tulokset: kokonaispaine $797\,\text{kPa}$ ja ylipaine $696\,\text{kPa}$ lämpötilassa $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$ (venttiili ei avaudu), ja liike-energia kasvaa $13{,}6\,\%$. Kokonaispaine kasvaa $796{,}7 : 701 = 1{,}136$-kertaiseksi eli $13{,}6\,\%$, saman verran kuin liike-energia, mutta ylipaine kasvaa $695{,}7 : 600 = 1{,}16$-kertaiseksi eli $16\,\%$. Kokonaispaine on verrannollinen kelvinlämpötilaan, koska se syntyy hiukkasten törmäyksistä; ylipaine on kokonaispaineen ja ilmanpaineen erotus.
Järkevyys
Venttiilin avautumisessa kokonaispaine kasvaa suhteessa $1001 : 701 = 1{,}43$, joten kelvinlämpötilan on kasvettava samoin: $293 \cdot 1{,}43 \approx 419\,\text{K}$, mikä vastaa tuloksen
$418{,}61\,\text{K} - 273{,}15$$= 145{,}46\,{}^\circ\text{C}$$\approx 145\,{}^\circ\text{C}$suuruusluokkaa. Auton sisällä oleva $60\,{}^\circ\text{C}$ on selvästi alle $145\,{}^\circ\text{C}$, joten venttiili ei avaudu. Jos ylipainetta pidettäisiin verrannollisena, saataisiin väärin $293{,}15 \cdot 1{,}5 - 273{,}15 \approx 167\,{}^\circ\text{C}$.
Valokuvat
- Yellow and white thermometer. Maksim Goncharenok. lähde, Pexels License
- Liquid nitrogen ŚFN 2025 (2). Adrian Tync. lähde, CC BY-SA 4.0
.jpg){kind=link}