Absoluuttisen nollapisteen määrittäminen

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-1Ydintehtävä

   Suljetussa jäykässä astiassa olevan kaasun paine noudattaa mittausalueella suoraa $p = 98{,}0\,\text{kPa} + 0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$, missä $\theta$ on lämpötila celsiusasteina. Missä lämpötilassa suora antaa paineeksi nollan? Vastaa celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $-272\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suora $p = p_0 + k\theta$, jossa $p_0 = 98{,}0\,\text{kPa}$ ja $k = 0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Kysytty

   lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina, jossa suora antaa paineeksi $p = 0$

   Periaate

   Astia on suljettu ja jäykkä, joten kaasun ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina ja paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Siksi suoran yhtälö kuvaa kaasua mittausalueella, ja suoraa voi jatkaa (ekstrapoloida) sen ulkopuolelle: nollapaineen kohta saadaan asettamalla yhtälöön $p = 0$.

   Kaava

   $p = p_0 + k\theta$. Kun $p = 0$ ja $\theta = \theta_0$, niin $0 = p_0 + k\theta_0$, joten $\theta_0 = -\dfrac{p_0}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: $p_0$ ja $k$ ovat kilopascaleina, joten kPa supistuu pois ja tulos jää celsiusasteiksi, kuten kysytään.

   Sijoitus

   $\theta_0$$= -\dfrac{98{,}0\,\text{kPa}}{0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -272{,}22\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-272\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten arvoissa $98{,}0\,\text{kPa}$ ja $0{,}360$.

   Järkevyys

   Paine laskee $0{,}360\,\text{kPa}$ jokaista astetta kohti, joten $98\,\text{kPa}$ loppuu noin $98/0{,}36 \approx 270$ asteen jälkeen, mikä on lähellä tulosta. Tulos on myös lähellä absoluuttista nollapistettä $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistus:

   $p$$= 98{,}0\,\text{kPa} + 0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot (-272{,}22\,{}^\circ\text{C})$

   $= 0\,\text{kPa}$
2. Tehtävä 4-2Ydintehtävä

   Harvan kaasun paine on suljetussa jäykässä astiassa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $105{,}0\,\text{kPa}$ ja $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $127{,}0\,\text{kPa}$. Laske näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin yksikössä kPa/°C.

   kPa/°CTarkista
   Vastaus

   $0{,}367\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi pistettä suoralta: $(\theta_1, p_1) = (20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $105{,}0\,\text{kPa})$ ja $(\theta_2, p_2) = (80{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $127{,}0\,\text{kPa})$

   Kysytty

   suoran kulmakerroin $k$ yksikössä $\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Periaate

   Suljetussa jäykässä astiassa harvan kaasun paine on mittausalueella lämpötilan lineaarinen funktio, joten suoran kulmakerroin on kaikkialla sama: se kertoo, kuinka monta kilopascalia paine kasvaa yhtä celsiusastetta kohti. Sen voi siksi laskea mistä tahansa kahdesta suoran pisteestä.

   Kaava

   $k = \dfrac{\Delta p}{\Delta\theta}$, missä $\Delta p = p_2 - p_1$ ja $\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$, joten

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   Muunnokset

   Yksiköitä ei muunneta, sillä kulmakerroin kysytään yksikössä $\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$. Lämpötilaero on

   $\Delta\theta$$= 80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 60{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   ja se on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(127{,}0 - 105{,}0)\,\text{kPa}}{(80{,}0 - 20{,}0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{22{,}0\,\text{kPa}}{60{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Vastaus

   $0{,}367\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska molemmat erotukset, painemuutos $22{,}0\,\text{kPa}$ ja lämpötilaero $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$, tunnetaan kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Kulmakerroin on positiivinen, koska paine kasvaa lämpötilan noustessa. Tarkistus:

   $105{,}0\,\text{kPa} + 0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 60{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 127{,}0\,\text{kPa}$

   Arvo on samaa suuruusluokkaa kuin muissa tämän luvun kokeissa ($0{,}36\ldots 0{,}39\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$).

3. Tehtävä 4-3

   Oppilasryhmä sai ekstrapoloimalla absoluuttisen nollapisteen arvoksi $-267{,}90\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka monta celsiusastetta tulos poikkeaa hyväksytystä arvosta $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$?

   °CTarkista
   Vastaus

   $5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ryhmän tulos $\theta_0 = -267{,}90\,{}^\circ\text{C}$ ja hyväksytty arvo $\theta_\text{h} = -273{,}15\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   poikkeama $d$ celsiusasteina

   Periaate

   Mittausvirhe on tuloksen ja hyväksytyn arvon erotus, ja sen etumerkki kertoo suunnan. Kysytty poikkeama on tämän erotuksen suuruus eli etäisyys, joka on positiivinen riippumatta siitä, onko tulos hyväksytyn arvon ylä- vai alapuolella, joten otetaan erotuksen itseisarvo.

   Kaava

   $d = |\theta_0 - \theta_\text{h}|$

   Muunnokset

   Molemmat arvot ovat celsiusasteina samalla asteikolla. Lämpötilojen erotus on sama celsiusasteina ja kelvineinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $d$$= |-267{,}90\,{}^\circ\text{C} - (-273{,}15\,{}^\circ\text{C})|$

   $= |5{,}25\,{}^\circ\text{C}|$

   $= 5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska molemmat lämpötilat, $-267{,}90\,{}^\circ\text{C}$ ja $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, on annettu sadasosan tarkkuudella ja erotuksessa on yhtä monta desimaalia kuin epätarkimmassa luvussa.

   Järkevyys

   Ryhmän tulos on vähemmän negatiivinen kuin hyväksytty arvo, joten erotus on positiivinen ja tulos on hieman liian lämmin. Tarkistus:

   $-273{,}15\,{}^\circ\text{C} + 5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   $= -267{,}90\,{}^\circ\text{C}$

   Poikkeama on vain noin $5{,}25/273 \approx 2\,\%$ koko ekstrapolointimatkasta, joten tulos on hyvä.

4. Tehtävä 4-4

   Mittauspisteiden kautta piirretyistä kahdesta ääriviivasta jyrkempi osuu nollapaineeseen lämpötilassa $-258\,{}^\circ\text{C}$ ja loivempi lämpötilassa $-284\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuri on tuloksen epävarmuus $\Delta\theta_0$?

   °CTarkista
   Vastaus

   $13\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jyrkemmän ääriviivan nollapaineen lämpötila $\theta_{0,\text{max}} = -258\,{}^\circ\text{C}$ ja loivemman $\theta_{0,\text{min}} = -284\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   tuloksen epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina

   Periaate

   Kaikki suorat, jotka kulkevat kaikkien epävarmuusjanojen kautta, sopivat aineistoon yhtä hyvin. Jyrkin ja loivin niistä rajaavat välin, jolla todellinen nollapiste todennäköisesti on. Tulos kirjoitetaan muotoon $\theta_0 \pm \Delta\theta_0$, joten epävarmuus on välin puolikas.

   Kaava

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Molemmat lämpötilat ovat celsiusasteina, ja niiden erotus on sama kelvineinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{-258\,{}^\circ\text{C} - (-284\,{}^\circ\text{C})}{2}$

   $= \dfrac{26\,{}^\circ\text{C}}{2}$

   $= 13\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $13\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska ääriarvojen erotus $26\,{}^\circ\text{C}$ on annettu kokonaisina asteina eli kahdella numerolla; jakaja $2$ on tarkka luku eikä rajoita.

   Järkevyys

   Välin keskikohta on

   $\dfrac{-258 + (-284)}{2}\,{}^\circ\text{C}$

   $= -271\,{}^\circ\text{C}$

   ja siitä $13\,{}^\circ\text{C}$ kumpaankin suuntaan päästään täsmälleen ääriarvoihin $-258\,{}^\circ\text{C}$ ja $-284\,{}^\circ\text{C}$. Hyväksytty arvo $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kuuluu väliin, joten tulos sopii sen kanssa yhteen.

5. Tehtävä 4-5

   Painemittarin lukema on $112\,\text{kPa}$, ja paineen lukeman epävarmuudeksi arvioidaan $1{,}0\,\text{kPa}$. Kuinka monta prosenttia lukemasta epävarmuus on?

   %Tarkista
   Vastaus

   $0{,}89\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   painemittarin lukema $p = 112\,\text{kPa}$ ja paineen lukeman arvioitu epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina lukemasta

   Periaate

   Epävarmuuden merkitys riippuu siitä, kuinka suuri se on mitattuun arvoon verrattuna. Suhteellinen epävarmuus on epävarmuuden ja lukeman osamäärä, ja kertomalla se luvulla $100\,\%$ saadaan prosentit.

   Kaava

   $\varepsilon$$= \dfrac{\Delta p}{p} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Molemmat paineet ovat kilopascaleina, joten yksikkö supistuu eikä muunnoksia tarvita. Osamäärä on suhdeluku, ja kertominen luvulla $100\,\%$ muuttaa sen prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\varepsilon$$= \dfrac{1{,}0\,\text{kPa}}{112\,\text{kPa}} \cdot 100\,\%$

   $= 0{,}8929\,\%$

   Vastaus

   $0{,}89\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska epävarmuus $1{,}0\,\text{kPa}$ on annettu kahdella numerolla (lukema $112\,\text{kPa}$ on kolmella ja rajoittaa vähemmän).

   Järkevyys

   Arviona

   $\dfrac{1}{112}$$\approx \dfrac{1}{100}$

   $= 1\,\%$

   ja koska 112 on hieman yli sata, tulos on hieman alle prosentin. Jos lukema olisi vain $1\,\text{kPa}$, epävarmuus olisi $100\,\%$, joten suuri lukema pienentää suhteellista epävarmuutta. Ekstrapoloinnissa tämä pieni epävarmuus silti kasvaa moninkertaiseksi.

6. Tehtävä 4-6

   Mitä tarkoittaa lämpötila $0\,\text{K}$ eli absoluuttinen nollapiste?

   Valitse vaihtoehto.

   • Lämpötila, jossa kaikki kaasut tiivistyvät nesteiksi, koska hiukkaset vetävät toisiaan puoleensa.
   • Alin mahdollinen lämpötila, koska hiukkasten keskimääräinen liike-energia on silloin pienin.
   • Lämpötila, jossa hiukkaset pysähtyvät kokonaan, koska niiltä on poistettu kaikki energia.
   • Veden jäätymislämpötila, koska kelvinasteikon nollakohta on valittu jään sulamispisteeseen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Alin mahdollinen lämpötila, koska hiukkasten keskimääräinen liike-energia on silloin pienin.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä lämpötila $0\,\text{K}$ eli absoluuttinen nollapiste tarkoittaa.

   Periaate

   Lämpötila kuvaa hiukkasten keskimääräistä liike-energiaa. Kelvinasteikko alkaa lämpötilasta, jota alempaa ei ole, koska hiukkasten energia on siinä pienimmillään.

   Mallivastaus

   Absoluuttinen nollapiste on alin mahdollinen lämpötila, $0\,\text{K} = -273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, jossa hiukkasten keskimääräinen liike-energia on pienimmillään. Se ei ole veden jäätymispiste ($273{,}15\,\text{K}$), eikä sitä pidä ymmärtää niin, että hiukkaset pysähtyisivät: kyse on pienimmästä mahdollisesta energiasta, ja tarkempi kuva kuuluu myöhempään kurssiin. Kaikki kaasut eivät myöskään tiivisty juuri siinä: tiivistymislämpötila riippuu aineesta.

7. Tehtävä 4-7

   Nestemäinen typpi kiehuu normaalipaineessa lämpötilassa $-195{,}8\,{}^\circ\text{C}$ (taulukkoarvo). Muunna lämpötila kelvineiksi.

   KTarkista
   Vastaus

   $77{,}4\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   typen kiehumispiste $\theta = -195{,}8\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   sama lämpötila kelvineinä, $T$

   Periaate

   Celsius- ja kelvinasteikon asteen koko on sama, mutta nollakohdat eroavat: kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste. Muunnos on siis pelkkä siirto.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$

   Muunnokset

   Lämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$ on $273{,}15\,\text{K}$, joten celsiusarvoon lisätään $273{,}15$ ja yksiköksi tulee kelvin.

   Sijoitus

   $T$$= (-195{,}8 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 77{,}35\,\text{K}$

   $\approx 77{,}4\,\text{K}$

   Vastaus

   $77{,}4\,\text{K}$

   Kymmenesosan tarkkuudella kuten $-195{,}8\,{}^\circ\text{C}$; tarkka $273{,}15$ ei rajoita.

   Järkevyys

   Tulos on positiivinen, kuten kelvinlämpötilan kuuluukin, ja se on selvästi alle veden jäätymispisteen $273{,}15\,\text{K}$. Tarkistus takaisin:

   $77{,}4\,\text{K} - 273{,}15\,\text{K}$

   $= -195{,}75\,{}^\circ\text{C}$

   $\approx -195{,}8\,{}^\circ\text{C}$
8. Tehtävä 4-8

   Kaasun paine mitattiin lämpötila-alueella $20\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$ ja pisteisiin sovitettua suoraa jatkettiin kohtaan $p = 0$. Mitä ekstrapolointi tarkoittaa tässä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Arvon lukemista kahden mitatun pisteen väliltä, koska paine muuttuu pisteiden välillä tasaisesti.
   • Suoran vetämistä jokaisen pisteen kautta, koska jokaisen pisteen pitää olla täsmälleen suoralla.
   • Suoran jatkamista mitatun alueen ulkopuolelle, koska paine oletetaan siellä samanlaiseksi.
   • Mittauksen toistamista monta kertaa, koska keskiarvo on tarkempi kuin yksittäinen mittaus.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Suoran jatkamista mitatun alueen ulkopuolelle, koska paine oletetaan siellä samanlaiseksi.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä ekstrapolointi tarkoittaa, kun mittauspisteisiin sovitettua suoraa jatketaan kohtaan $p = 0$.

   Periaate

   Mittaus kattaa vain välin $20\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$. Kun suora jatketaan tämän välin ulkopuolelle, tulos ei ole mitattu vaan päätelty, ja päätelmä olettaa, että sama lineaarinen riippuvuus pätee myös mitatun alueen ulkopuolella.

   Mallivastaus

   Ekstrapolointi on suoran jatkamista mittausalueen ulkopuolelle sillä oletuksella, että paine käyttäytyy siellä samoin kuin mitatulla alueella. Siksi ekstrapoloitu arvo on arvio eikä mittaustulos. Kahden mitatun pisteen välistä lukeminen on interpolointia, toistaminen pienentää keskiarvon satunnaista virhettä, ja suora kulkee pisteiden joukon keskeltä eikä jokaisen pisteen kautta.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-9Ydintehtävä

   Pullossa olevan ilman paine mitattiin kahdessa lämpötilassa: $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa paine oli $1{,}050\,\text{bar}$ ja $95{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $1{,}360\,\text{bar}$. Oleta, että paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Missä lämpötilassa suora antaa nollapaineen? Vastaa celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $-256\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi mittauspistettä $(\theta_1, p_1) = (15{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $1{,}050\,\text{bar})$ ja $(\theta_2, p_2) = (95{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $1{,}360\,\text{bar})$; paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti

   Kysytty

   lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina, jossa suora antaa nollapaineen

   Periaate

   Pullo on suljettu, joten ilman ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina ja paine on lämpötilan lineaarinen funktio. Kaksi pistettä määrää suoran, ja sitä jatketaan ekstrapoloimalla kohtaan, jossa $p = 0$.

   Kaava

   Kulmakerroin

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   Suora pisteen 1 kautta on $p = p_1 + k(\theta - \theta_1)$, ja $p = 0$ antaa $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Molemmat paineet ovat barina. Osamäärässä $p_1/k$ yksikkö bar supistuu, joten pascaleiksi muuntamista ei tarvita. Lämpötilaero

   $95{,}0\,{}^\circ\text{C} - 15{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(1{,}360 - 1{,}050)\,\text{bar}}{(95{,}0 - 15{,}0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{0{,}310\,\text{bar}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}003875\,\tfrac{\text{bar}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 15{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{1{,}050\,\text{bar}}{0{,}003875\,\tfrac{\text{bar}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= 15{,}0\,{}^\circ\text{C} - 270{,}97\,{}^\circ\text{C}$

   $= -255{,}97\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-256\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska paine-ero $0{,}310\,\text{bar}$ ja lämpötilaero $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla; lopuksi vähennys $15{,}0 - 271$ antaa tuloksen kokonaisina asteina.

   Järkevyys

   Paine kasvaa noin $0{,}310\,\text{bar}$ kahdeksassakymmenessä asteessa, joten yksi bar vastaa noin $270\,{}^\circ\text{C}$. Toinen tarkistus kelvineillä: suhde $p_1/p_2 = 1{,}050/1{,}360 = 0{,}772$ on lähellä suhdetta $T_1/T_2 = 288{,}15/368{,}15 = 0{,}783$. Tulos on siis lähellä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, ja ero johtuu kahden pisteen mittausvirheestä, joka kasvaa pitkässä ekstrapoloinnissa.

2. Tehtävä 4-10Ydintehtävä

   Kaasun paineen mittauspisteiden kautta voidaan piirtää kaksi ääriviivaa: $p = 100\,\text{kPa} + 0{,}380\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$ ja $p = 102\,\text{kPa} + 0{,}350\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$. Laske kummankin viivan nollapaineen lämpötila ja niiden avulla absoluuttisen nollapisteen epävarmuus $\Delta\theta_0$.

   °CTarkista
   Vastaus

   $14\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi ääriviivaa $p = 100\,\text{kPa} + 0{,}380\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$ (jyrkempi) ja $p = 102\,\text{kPa} + 0{,}350\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$ (loivempi)

   Kysytty

   epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina

   Periaate

   Molemmat suorat kulkevat kaikkien mittauspisteiden epävarmuusjanojen kautta, joten todellinen suora on todennäköisesti niiden välissä. Ääriviivojen nollapaineen lämpötilat rajaavat nollapisteen arvioidun välin, ja epävarmuus on tämän välin puolikas.

   Kaava

   Kummankin viivan nollapaine saadaan ehdosta $0 = p_0 + k\theta_0$, eli $\theta_0 = -\dfrac{p_0}{k}$. Jyrkempi antaa arvon $\theta_{0,\text{max}}$ ja loivempi arvon $\theta_{0,\text{min}}$, ja

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: $p_0$ on kilopascaleina ja $k$ yksikössä $\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$, joten osamäärä on celsiusasteina.

   Sijoitus

   $\theta_{0,\text{max}}$$= -\dfrac{100\,\text{kPa}}{0{,}380\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -263{,}16\,{}^\circ\text{C}$

   $\theta_{0,\text{min}}$$= -\dfrac{102\,\text{kPa}}{0{,}350\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -291{,}43\,{}^\circ\text{C}$

   Siis

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{-263{,}16\,{}^\circ\text{C} - (-291{,}43\,{}^\circ\text{C})}{2}$

   $= 14{,}14\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $14\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska nollapisteet $-263\,{}^\circ\text{C}$ ja $-291\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla eli kokonaisina asteina, ja niiden erotus $28\,{}^\circ\text{C}$ on vain kahden numeron luku; jakaja $2$ on tarkka.

   Järkevyys

   Väli on $-277 \pm 14\,{}^\circ\text{C}$, sillä keskikohta on

   $\dfrac{-263{,}16 + (-291{,}43)}{2}$

   $= -277{,}3\,{}^\circ\text{C}$

   Hyväksytty arvo $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kuuluu väliin, joten tulos on sopusoinnussa. Suuruusluokka on sama kuin luvun esimerkissä ($18\,{}^\circ\text{C}$), kun pisteet ja paineen lukeman epävarmuus ovat samanlaiset.

3. Tehtävä 4-11

   Kokeessa käytettiin painemittaria, joka näyttää ylipainetta ympäröivään ilmanpaineeseen verrattuna. Ilmanpaine oli $101{,}0\,\text{kPa}$. Mittarin lukema oli $30{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $9{,}0\,\text{kPa}$ ja $90{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $31{,}0\,\text{kPa}$.

   Missä lämpötilassa kaasun absoluuttinen paine olisi nolla, kun paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti? Vastaa celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $-270\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ilmanpaine $p_\text{ilma} = 101{,}0\,\text{kPa}$; mittarin ylipaine $p_\text{y,1} = 9{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $\theta_1 = 30{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $p_\text{y,2} = 31{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $\theta_2 = 90{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina, jossa kaasun absoluuttinen paine on nolla

   Periaate

   Kaasun paine tarkoittaa absoluuttista painetta, ja vain se on lineaarinen lämpötilan suhteen niin, että suoran nolla ennustaa tyhjiön. Mittari näyttää ylipainetta ilmanpaineeseen verrattuna, joten ilmanpaine on lisättävä ennen kuin suoraa sovitetaan.

   Kaava

   $p = p_\text{y} + p_\text{ilma}$. Sitten

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   ja nollapaineelle $0 = p_1 + k(\theta_0 - \theta_1)$, joten $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Ylipaineet muunnetaan absoluuttisiksi paineiksi:

   $p_1$$= 9{,}0\,\text{kPa} + 101{,}0\,\text{kPa}$

   $= 110{,}0\,\text{kPa}$

   $p_2$$= 31{,}0\,\text{kPa} + 101{,}0\,\text{kPa}$

   $= 132{,}0\,\text{kPa}$

   Yksiköt ovat jo kilopascaleja ja celsiusasteita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(132{,}0 - 110{,}0)\,\text{kPa}}{(90{,}0 - 30{,}0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{22{,}0\,\text{kPa}}{60{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 30{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{110{,}0\,\text{kPa}}{0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= 30{,}0\,{}^\circ\text{C} - 300\,{}^\circ\text{C}$

   $= -270\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-270\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska paine-ero $22{,}0\,\text{kPa}$ ja lämpötilaero $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla; lopuksi vähennys $30{,}0 - 300$ antaa tuloksen kokonaisina asteina.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, kuten pitääkin. Jos ilmanpainetta ei lisättäisi, ylipaineen suora menisi nollaan jo kohdassa $30{,}0 - 9{,}0/0{,}36667 = 5{,}5\,{}^\circ\text{C}$, mikä on mahdotonta, koska huoneenlämpöinen kaasu ei ole lähelläkään tyhjiötä.

4. Tehtävä 4-12

   Kokeessa lämpötilan lukematarkkuus on $\pm 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$ ja paineen $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Mittauspisteiden suoran kulmakerroin on $0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$. Lämpötilan epävarmuus $\pm 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$ vastaa suoralla tiettyä paineen muutosta.

   Kuinka monta prosenttia tämä paineen muutos on paineen epävarmuudesta $1{,}0\,\text{kPa}$?

   %Tarkista
   Vastaus

   $18\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lämpötilan lukematarkkuus $\Delta\theta = 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$, suoran kulmakerroin $k = 0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ ja paineen epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   lämpötilan epävarmuutta vastaava paineen muutos $\Delta p_\theta$ prosentteina epävarmuudesta $\Delta p$

   Periaate

   Mittauspisteet ovat suoralla $p = p_0 + k\theta$, joten lämpötilan virhe $\Delta\theta$ siirtää pistettä vaakasuunnassa, ja suoran kohdalla se vastaa pystysuuntaista poikkeamaa $k\,\Delta\theta$. Kun se muutetaan paineeksi, sitä voi verrata suoraan paineen lukeman epävarmuuteen.

   Kaava

   $\Delta p_\theta = k\,\Delta\theta$ ja osuus

   $s$$= \dfrac{\Delta p_\theta}{\Delta p} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: celsiusasteet supistuvat tulossa $k\,\Delta\theta$, ja kilopascalit supistuvat osamäärässä. Kertominen luvulla $100\,\%$ muuttaa suhdeluvun prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\Delta p_\theta$$= 0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$

   $= 0{,}18\,\text{kPa}$

   $s$$= \dfrac{0{,}18\,\text{kPa}}{1{,}0\,\text{kPa}} \cdot 100\,\%$

   $= 18\,\%$

   Vastaus

   $18\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin $0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ on annettu kahdella numerolla; epävarmuudet $0{,}50\,{}^\circ\text{C}$ ja $1{,}0\,\text{kPa}$ ovat myös kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Lämpötilan virhe vastaa vain noin viidesosaa paineen lukeman epävarmuudesta, joten tuloksen tarkkuutta rajoittaa painemittari, ei lämpömittari. Rajatapaus: osuus olisi $100\,\%$, jos lämpötilan virhe olisi $1{,}0/0{,}36 = 2{,}8\,{}^\circ\text{C}$, eli lämpömittarin pitäisi olla paljon epätarkempi kuin nyt.

5. Tehtävä 4-13

   Esimerkkiaineisto: suljetun pullon ilman paine mitattiin viidessä lämpötilassa. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Pisteisiin sovitettu paras suora kulkee pisteiden keskipisteen $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta, ja sen kulmakerroin on tietokoneella laskettuna $0{,}363\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$.

   a) Laske taulukon keskipiste $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$.

   b) Laske sovitetun suoran nollapaineen lämpötila $\theta_0$.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos celsiusasteina.

   Suljetun pullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   10	103,4
   30	110,1
   50	118,2
   70	124,9
   90	132,3

   °CTarkista
   Vastaus

   $-274\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viisi pistettä taulukosta; sovitetun suoran kulmakerroin $k = 0{,}363\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$; suora kulkee keskipisteen $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta

   Kysytty

   a) keskipiste; b) nollapaineen lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina

   Periaate

   Pullo on suljettu ja jäykkä, joten ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina ja paine on lämpötilan lineaarinen funktio. Sovitettu suora kulkee pisteiden joukon keskeltä, joten se kulkee keskipisteen kautta. Suoraa jatketaan ekstrapoloimalla kohtaan $p = 0$.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon keskipiste lasketaan keskiarvoina $\theta_{\text{ka}}$ ja $p_{\text{ka}}$. Lämpötilojen summa on $250\,{}^\circ\text{C}$ ja paineiden summa $588{,}9\,\text{kPa}$. Suora kulkee tämän pisteen kautta kulmakertoimella $k$.

   Kaava

   Suora pisteen $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta on $p = p_{\text{ka}} + k(\theta - \theta_{\text{ka}})$. Kun $p = 0$ ja $\theta = \theta_0$, niin

   $\theta_0$$= \theta_{\text{ka}} - \dfrac{p_{\text{ka}}}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: paineet ovat kilopascaleina, joten osamäärässä $p_{\text{ka}}/k$ kPa supistuu ja jäljelle jää celsiusaste.

   Sijoitus

   a)

   $\theta_{\text{ka}}$$= 250\,{}^\circ\text{C} : 5$

   $= 50\,{}^\circ\text{C}$

   $p_{\text{ka}}$$= 588{,}9\,\text{kPa} : 5$

   $= 117{,}78\,\text{kPa}$

   b)

   $$\begin{aligned} \theta_0 &= 50\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{117{,}78\,\text{kPa}}{0{,}363\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 50\,{}^\circ\text{C} - 324{,}46\,{}^\circ\text{C} \\ &= -274{,}46\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-274\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten kulmakertoimessa $0{,}363$. Keskipiste on $(50\,{}^\circ\text{C}$; $117{,}78\,\text{kPa})$.

   Järkevyys

   Suora antaa pisteessä $\theta = 10\,{}^\circ\text{C}$ paineen

   $117{,}78\,\text{kPa} + 0{,}363\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot (-40\,{}^\circ\text{C})$

   $= 103{,}26\,\text{kPa}$

   mikä poikkeaa mitatusta $103{,}4\,\text{kPa}$:sta vain $0{,}14\,\text{kPa}$, selvästi alle epävarmuuden $1{,}0\,\text{kPa}$. Tulos poikkeaa hyväksytystä arvosta $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ vain noin $1{,}3\,{}^\circ\text{C}$.

6. Tehtävä 4-14

   Esimerkkiaineisto: kaksi ryhmää analysoi samaa suljetun pullon ilman painemittausta. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Ryhmä A sovitti suoran kaikkiin kuuteen pisteeseen ja sai nollapaineen lämpötilaksi $-270\,{}^\circ\text{C}$. Ryhmä B käytti vain kahta alinta lämpötilaa $20\,{}^\circ\text{C}$ ja $35\,{}^\circ\text{C}$ ja piirsi suoran niiden kautta.

   a) Laske ryhmän B nollapaineen lämpötila $\theta_0$.

   b) Selitä, miksi ryhmän B tulos eroaa ryhmän A tuloksesta.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos celsiusasteina.

   Suljetun pullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   20	107,4
   35	112,4
   50	118,0
   65	124,1
   80	129,1
   95	135,0

   °CTarkista
   Vastaus

   $-302\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ryhmä B käyttää pisteitä $(\theta_1, p_1) = (20\,{}^\circ\text{C}$; $107{,}4\,\text{kPa})$ ja $(\theta_2, p_2) = (35\,{}^\circ\text{C}$; $112{,}4\,\text{kPa})$; ryhmän A tulos $-270\,{}^\circ\text{C}$; paineen epävarmuus $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) ryhmän B nollapaineen lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina; b) miksi tulos eroaa ryhmän A tuloksesta

   Periaate

   Suljetussa jäykässä astiassa paine on lämpötilan lineaarinen funktio, joten kaksi pistettä määrää suoran, jota jatketaan kohtaan $p = 0$. Mittauspisteissä on satunnaista hajontaa, joten suoran kulmakerroin on sitä epävarmempi, mitä lyhyemmältä väliltä se lasketaan.

   Kuvaajan lukeminen

   Ryhmä B lukee taulukosta vain kaksi ensimmäistä riviä, lämpötilat $20\,{}^\circ\text{C}$ ja $35\,{}^\circ\text{C}$.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: paineet ovat kilopascaleina, joten kPa supistuu osamäärässä $p_1/k$. Lämpötilaero $15\,{}^\circ\text{C}$ on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(112{,}4 - 107{,}4)\,\text{kPa}}{(35 - 20)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= \dfrac{5{,}0\,\text{kPa}}{15\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 20\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}4\,\text{kPa}}{0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 20\,{}^\circ\text{C} - 322{,}2\,{}^\circ\text{C} \\ &= -302{,}2\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-302\,{}^\circ\text{C}$

   Mutta vain noin kahden numeron tarkkuudella ($-3{,}0 \cdot 10^{2}\,{}^\circ\text{C}$), koska kulmakerroin $0{,}33\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kahdella numerolla.

   Mallivastaus (b)

   Ryhmä B laskee kulmakertoimen vain $15\,{}^\circ\text{C}$:n välistä, jolla paine kasvaa $5{,}0\,\text{kPa}$. Kummankin paineen epävarmuus $1{,}0\,\text{kPa}$ voi muuttaa paine-eroa jopa $2{,}0\,\text{kPa}$, joten kulmakerroin on epävarma noin $2{,}0 : 15 = 0{,}13\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$, eli noin $40\,\%$ itse arvosta. Ekstrapolointimatka on yli $300\,{}^\circ\text{C}$, joten pieni kulmakertoimen virhe kasvaa suureksi. Ryhmä A käyttää kuutta pistettä $75\,{}^\circ\text{C}$:n levyiseltä väliltä, jolloin hajonta tasoittuu ja kulmakerroin $0{,}370\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ on luotettavampi.

   Järkevyys

   Ryhmän B suora antaisi lämpötilassa $95\,{}^\circ\text{C}$ paineen

   $107{,}4\,\text{kPa} + 0{,}3333\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 75\,{}^\circ\text{C}$

   $= 132{,}4\,\text{kPa}$

   mutta mitattu on $135{,}0\,\text{kPa}$. Ero $2{,}6\,\text{kPa}$ on suurempi kuin epävarmuus $1{,}0\,\text{kPa}$, joten ryhmän B suora ei sovi muihin pisteisiin. Ryhmän A erotus mitatusta olisi alle $0{,}2\,\text{kPa}$.

7. Tehtävä 4-15

   Esimerkkiaineisto: ryhmä lämmitti pulloon suljettua ilmaa ja mittasi paineen neljässä lämpötilassa. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$. Ryhmä epäilee, että pullon korkki vuotaa. Ryhmä piirsi suoran taulukon ensimmäisen ja viimeisen pisteen kautta ja jatkoi sitä kohtaan $p = 0$.

   a) Laske ryhmän saama nollapaineen lämpötila $\theta_0$.

   b) Tukeeko taulukko epäilyä? Perustele kulmakertoimien avulla ja selitä, miksi vuoto vääristää tulosta.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos celsiusasteina.

   Vuotavan pullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   20	104,0
   40	110,6
   60	116,0
   80	120,0

   °CTarkista
   Vastaus

   $-370\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pisteet $(20\,{}^\circ\text{C}$; $104{,}0\,\text{kPa})$, $(40\,{}^\circ\text{C}$; $110{,}6\,\text{kPa})$, $(60\,{}^\circ\text{C}$; $116{,}0\,\text{kPa})$ ja $(80\,{}^\circ\text{C}$; $120{,}0\,\text{kPa})$; paineen epävarmuus $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$; suora ensimmäisen ja viimeisen pisteen kautta

   Kysytty

   a) ryhmän saama nollapaineen lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina; b) tukeeko taulukko vuotoepäilyä ja miksi vuoto vääristää tulosta

   Periaate

   Vuodottomassa suljetussa pullossa ainemäärä on vakio ja paine kasvaa lämpötilan mukana lineaarisesti. Jos kaasua pääsee pois, ainemäärä pienenee eikä lineaarinen malli enää päde. Ekstrapolointi olettaa mallin pätevän, joten tulos vääristyy.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan taulukosta ensimmäinen piste $(20\,{}^\circ\text{C}$; $104{,}0\,\text{kPa})$ ja viimeinen piste $(80\,{}^\circ\text{C}$; $120{,}0\,\text{kPa})$.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: kilopascalit supistuvat osamäärässä, ja lämpötilaero $60\,{}^\circ\text{C}$ on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(120{,}0 - 104{,}0)\,\text{kPa}}{(80 - 20)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= \dfrac{16{,}0\,\text{kPa}}{60\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}2667\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 20\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{104{,}0\,\text{kPa}}{0{,}2667\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 20\,{}^\circ\text{C} - 390\,{}^\circ\text{C} \\ &= -370\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-370\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten paineissa; tulos on selvästi alle $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

   Mallivastaus (b)

   Taulukko tukee epäilyä. Paine kasvaa jokaisella $20\,{}^\circ\text{C}$:n välillä vähemmän: $6{,}6\,\text{kPa}$, $5{,}4\,\text{kPa}$ ja $4{,}0\,\text{kPa}$, eli kulmakerroin pienenee arvoista $0{,}33$ ja $0{,}27$ arvoon $0{,}20\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$. Erot ovat paljon suurempia kuin epävarmuus $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$, joten kyse ei ole hajonnasta vaan mallin rikkoutumisesta: pisteet eivät ole suoralla. Vuodossa kuumasta pullosta poistuu kaasua, joten ainemäärä pienenee ja paine kasvaa vähemmän kuin vuodottomassa pullossa. Päätepisteiden suoran kulmakerroin $0{,}267\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ on liian pieni, ja pieni kulmakerroin vie nollapaineen liian kauas, kohtaan $-370\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Kahden ensimmäisen pisteen kulmakerroin $0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ antaisi

   $20\,{}^\circ\text{C} - 104{,}0\,\text{kPa} : 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $= -295\,{}^\circ\text{C}$

   joka on lähempänä oikeaa arvoa, koska vuotoa on ehtinyt tapahtua vähemmän. Tulos $-370\,{}^\circ\text{C}$ poikkeaa hyväksytystä arvosta $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ lähes sadalla asteella, mikä on liikaa pelkäksi mittausepävarmuudeksi.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 4-16

   Mittausalue on 20,0–$100{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Pisteessä $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ paine on $106{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$ ja pisteessä $100{,}0\,{}^\circ\text{C}$ $137{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$.

   Jyrkin ääriviiva kulkee pisteiden ($20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $105{,}0\,\text{kPa}$) ja ($100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $138{,}0\,\text{kPa}$) kautta, loivin pisteiden ($20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $107{,}0\,\text{kPa}$) ja ($100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $136{,}0\,\text{kPa}$) kautta.

   Määritä absoluuttisen nollapisteen epävarmuus $\Delta\theta_0$ ja päättele, miksi pelkkien päätepisteiden ääriviivat antavat suuremman epävarmuuden kuin seitsemän pisteen aineisto.

   °CTarkista
   Vastaus

   $20\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   päätepisteet $106{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $137{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $100{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Jyrkin ääriviiva kulkee pisteiden $(20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $105{,}0\,\text{kPa})$ ja $(100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $138{,}0\,\text{kPa})$, loivin pisteiden $(20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $107{,}0\,\text{kPa})$ ja $(100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $136{,}0\,\text{kPa})$ kautta

   Kysytty

   epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina ja syy siihen, miksi tulos on suurempi kuin seitsemän pisteen aineistolla

   Periaate

   Mitä jyrkempi tai loivempi suora sallitaan, sitä laajempi on nollapisteiden väli. Kummankin ääriviivan nollapaine lasketaan suoran kahdesta pisteestä, ja epävarmuus on näiden kahden arvon välin puolikas.

   Kaava

   Kummallekin suoralle

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$, ja sitten

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: paineet ovat kilopascaleina ja lämpötilat celsiusasteina, ja lämpötilaero

   $100{,}0\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   Jyrkin:

   $k$$= \dfrac{(138{,}0 - 105{,}0)\,\text{kPa}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}4125\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 20{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{105{,}0\,\text{kPa}}{0{,}4125\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -234{,}55\,{}^\circ\text{C}$

   Loivin:

   $k$$= \dfrac{(136{,}0 - 107{,}0)\,\text{kPa}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}3625\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 20{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3625\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -275{,}17\,{}^\circ\text{C}$

   Siis

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{-234{,}55 - (-275{,}17)}{2}\,{}^\circ\text{C}$

   $= 20{,}31\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $20\,{}^\circ\text{C}$

   (tarkasti $20{,}3\,{}^\circ\text{C}$), kaksi merkitsevää numeroa, koska nollapisteet $-235\,{}^\circ\text{C}$ ja $-275\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla eli kokonaisina asteina ja niiden erotus $40\,{}^\circ\text{C}$ on kahden numeron luku. Kolmas numero vaatisi lähtöarvot sadasosan tarkkuudella, mikä ei sovi epävarmuuteen $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$.

   Järkevyys

   Väli $-275{,}2\ldots -234{,}5\,{}^\circ\text{C}$ sisältää hyväksytyn arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tulos on suurempi kuin seitsemän pisteen aineiston $18\,{}^\circ\text{C}$, kuten pitääkin: kahden pisteen suoralla ei ole muita rajoitteita, joten jyrkin suora saa nousta toisessa päässä ja laskea toisessa epävarmuusjanan ääreen. Seitsemän pisteen aineistossa jokaisen suoran täytyy kulkea myös viiden välipisteen janojen kautta, mikä kaventaa sallittujen kulmakertoimien väliä.

2. Tehtävä 4-17

   Typpikaasun paine on jäykässä astiassa $100{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$, ja paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan.

   Mikä paine suoran mukaan olisi lämpötilassa $77{,}0\,\text{K}$, jossa typpi kiehuu normaalipaineessa?

   Näin pienessä paineessa typpikaasu tiivistyy nesteeksi vasta noin $67\,\text{K}$:ssä. Perustele, miksi suoraa ei voi jatkaa absoluuttiseen nollapisteeseen asti. Vastaa paineena kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $28{,}2\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $p_0 = 100{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$, tavoitelämpötila $T = 77{,}0\,\text{K}$ ja $p \propto T$ kelvineinä; typpi tiivistyy tässä paineessa nesteeksi vasta noin $67\,\text{K}$:ssä

   Kysytty

   paine $p$ lämpötilassa $77{,}0\,\text{K}$ kilopascaleina ja perustelu sille, miksi suoraa ei voi jatkaa nollaan asti

   Periaate

   Jäykässä suljetussa astiassa kaasun ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina, joten paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan ja $\dfrac{p}{T}$ on vakio. Verrannollisuus pätee vain kelvineinä, koska vain kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste. Se edellyttää myös, että kaasu pysyy kaasuna.

   Kaava

   $\dfrac{p}{T} = \dfrac{p_0}{T_0}$, joten $p = p_0\,\dfrac{T}{T_0}$

   Muunnokset

   Lähtölämpötila muunnetaan kelvineiksi:

   $T_0$$= 0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 273{,}15\,\text{K}$

   Lämpötila $77{,}0\,\text{K}$ on jo kelvineinä. Suhteessa $T/T_0$ kelvinit supistuvat, joten paine jää kilopascaleiksi.

   Sijoitus

   $p$$= 100{,}0\,\text{kPa} \cdot \dfrac{77{,}0\,\text{K}}{273{,}15\,\text{K}}$

   $= 28{,}19\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $28{,}2\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska lämpötila $77{,}0\,\text{K}$ on annettu kolmella numerolla ($273{,}15\,\text{K}$ on määritelmä eikä rajoita). Suoraa ei voi jatkaa nollaan asti, koska typpi tiivistyy nesteeksi noin $67\,\text{K}$:ssä. Silloin kaasun ainemäärä pienenee, paine putoaa nopeammin kuin suora ennustaa, eikä ehto "ainemäärä vakio" enää päde.

   Järkevyys

   Lämpötila $77{,}0\,\text{K}$ on noin $0{,}28$-kertainen lämpötilaan $273{,}15\,\text{K}$ verrattuna, ja paine on samassa suhteessa: noin $0{,}28 \cdot 100 = 28\,\text{kPa}$. Suora antaisi lämpötilassa $67\,\text{K}$ paineen $100 \cdot 67/273{,}15 = 24{,}5\,\text{kPa}$, mutta noin siinä lämpötilassa kaasu alkaa tiivistyä nesteeksi, eikä paine sen jälkeen enää noudata suoraa. Ekstrapolointi on siis luotettava vain niin pitkälle kuin oletus kaasusta pitää paikkansa.

3. Tehtävä 4-18

   Ryhmän A mittauksen tulos on $\theta_0 = -262{,}00 \pm 6{,}00\,{}^\circ\text{C}$. Hyväksytty arvo on $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

   Kuinka monta kertaa epävarmuus $\Delta\theta_0$ mahtuu tuloksen ja hyväksytyn arvon väliin? Päättele, mistä syystä tulos ei ole sopusoinnussa hyväksytyn arvon kanssa.

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $1{,}86$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ryhmän A tulos $\theta_0 = -262{,}00\,{}^\circ\text{C}$ ja epävarmuus $\Delta\theta_0 = 6{,}00\,{}^\circ\text{C}$; hyväksytty arvo $\theta_\text{h} = -273{,}15\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   poikkeaman suhde epävarmuuteen $n$ (kuinka monta kertaa $\Delta\theta_0$ mahtuu tuloksen ja hyväksytyn arvon väliin) ja syy ristiriitaan

   Periaate

   Tässä luvussa tulosta pidetään sopusoinnussa hyväksytyn arvon kanssa, jos arvo kuuluu epävarmuusväliin $\theta_0 \pm \Delta\theta_0$, eli kun poikkeama on korkeintaan yksi epävarmuus. Suhde $n$ kertoo, kuinka moninkertainen poikkeama on epävarmuuteen verrattuna. Epävarmuus ei ole ehdoton raja, joten poikkeama ei yksin todista virhettä, mutta mitä suurempi $n$ on, sitä todennäköisemmin mittauksessa on systemaattinen virhe tai epävarmuus on arvioitu liian pieneksi.

   Kaava

   $n$$= \dfrac{|\theta_0 - \theta_\text{h}|}{\Delta\theta_0}$

   Muunnokset

   Kaikki lämpötilat ovat celsiusasteina, ja lämpötilaerot ovat samat kelvineinä. Suhde $n$ on dimensioton, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{|-262{,}00\,{}^\circ\text{C} - (-273{,}15\,{}^\circ\text{C})|}{6{,}00\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{11{,}15\,{}^\circ\text{C}}{6{,}00\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 1{,}858$

   Vastaus

   $1{,}86$

   Kertaa, kolme merkitsevää numeroa, koska erotus $11{,}15\,{}^\circ\text{C}$ ja epävarmuus $6{,}00\,{}^\circ\text{C}$ on annettu kolmella numerolla (tulos $-262{,}00\,{}^\circ\text{C}$ ja hyväksytty arvo ovat sadasosan tarkkuudella).

   Järkevyys

   Poikkeama $11{,}15\,{}^\circ\text{C}$ on lähes kaksi epävarmuutta ($2 \cdot 6{,}00 = 12{,}0$). Epävarmuusväli $-268\ldots -256\,{}^\circ\text{C}$ ei sisällä hyväksyttyä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, joten tulos ei tämän säännön mukaan ole sopusoinnussa. Syynä voi olla systemaattinen virhe, esimerkiksi epätarkka lämpömittari, ilmavuoto tai pullon tilavuuden muutos, tai liian pieneksi arvioitu epävarmuus. Tarkistus: $1{,}858 \cdot 6{,}00\,{}^\circ\text{C} = 11{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

4. Tehtävä 4-19

   Esimerkkiaineisto: kaksi ryhmää määritti absoluuttisen nollapisteen suljetun kaasun paineesta. Kumpikin mittasi paineen kahdessa lämpötilassa, ja paineen epävarmuus on kummassakin $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$; lämpötilan epävarmuus jätetään huomiotta. Jyrkin ääriviiva kulkee alemman pisteen epävarmuusjanan alapään ja ylemmän pisteen epävarmuusjanan yläpään kautta, loivin päinvastoin.

   a) Laske kummankin sarjan jyrkimmän ja loivimman ääriviivan nollapaineen lämpötila ja niiden avulla epävarmuus $\Delta\theta_0$.

   b) Päättele laskujesi perusteella, miten mittausalueen leveys vaikuttaa epävarmuuteen, ja tarkista, sopiiko kummankin sarjan tulos yhteen arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kanssa.

   Vastauskenttään tulee sarjan B epävarmuus $\Delta\theta_0$ kohdasta a) celsiusasteina.

   Kaksi mittaussarjaa samasta kaasusta (esimerkkiaineisto)

   Sarja	$\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   A	25	108,0
   A	85	130,0
   B	25	108,0
   B	225	181,5

   °CTarkista
   Vastaus

   $10{,}7\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sarja A: $(25\,{}^\circ\text{C}$; $108{,}0\,\text{kPa})$ ja $(85\,{}^\circ\text{C}$; $130{,}0\,\text{kPa})$; sarja B: $(25\,{}^\circ\text{C}$; $108{,}0\,\text{kPa})$ ja $(225\,{}^\circ\text{C}$; $181{,}5\,\text{kPa})$; paineen epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) kummankin sarjan nollapaineen lämpötilan epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina; b) mittausalueen leveyden vaikutus ja yhteensopivuus arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kanssa

   Periaate

   Jokaisen pisteen paine tunnetaan välillä $p \pm \Delta p$. Jyrkin suora kulkee alemman pisteen alapään ja ylemmän pisteen yläpään kautta, loivin päinvastoin; molemmat sopivat aineistoon. Niiden nollapaineen lämpötilat rajaavat välin, ja epävarmuus on välin puolikas. Malli olettaa, että paine on lämpötilan lineaarinen funktio suljetussa jäykässä astiassa myös mitatun alueen ulkopuolella.

   Kuvaajan lukeminen

   Kustakin sarjasta luetaan kaksi pistettä. Jyrkin suora kulkee pisteiden $(\theta_1$; $p_1 - \Delta p)$ ja $(\theta_2$; $p_2 + \Delta p)$ kautta, loivin pisteiden $(\theta_1$; $p_1 + \Delta p)$ ja $(\theta_2$; $p_2 - \Delta p)$ kautta.

   Kaava

   Suoran paine pisteessä $\theta_1$ on $p_a$ ja pisteessä $\theta_2$ on $p_b$. Silloin

   $k$$= \dfrac{p_b - p_a}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0$$= \theta_1 - \dfrac{p_a}{k}$

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: kilopascalit supistuvat osamäärässä $p_a/k$, ja lämpötilaerot ovat samat kelvineinä.

   Sijoitus

   Sarja A, jyrkin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(131{,}0 - 107{,}0)\,\text{kPa}}{(85 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}4000\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}0\,\text{kPa}}{0{,}4000\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -242{,}5\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Sarja A, loivin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(129{,}0 - 109{,}0)\,\text{kPa}}{(85 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{109{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -302{,}0\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Siis

   $\Delta\theta_{0,\text{A}}$$= \dfrac{(-242{,}5 + 302{,}0)\,{}^\circ\text{C}}{2}$

   $= 29{,}75\,{}^\circ\text{C}$

   Sarja B, jyrkin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(182{,}5 - 107{,}0)\,\text{kPa}}{(225 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3775\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3775\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -258{,}44\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Sarja B, loivin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(180{,}5 - 109{,}0)\,\text{kPa}}{(225 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3575\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{109{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3575\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -279{,}90\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \Delta\theta_{0,\text{B}} &= \dfrac{(-258{,}44 + 279{,}90)\,{}^\circ\text{C}}{2} \\ &= 10{,}73\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   Sarjan B epävarmuus on $10{,}7\,{}^\circ\text{C}$; kolme merkitsevää numeroa, koska paineet on annettu neljällä ja ääriarvojen erotus $21{,}46\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella. Sarjan A epävarmuus on noin $30\,{}^\circ\text{C}$. Tulokset ovat $\theta_{0,\text{A}} = -272 \pm 30\,{}^\circ\text{C}$ ja $\theta_{0,\text{B}} = -269 \pm 11\,{}^\circ\text{C}$.

   Mallivastaus (b)

   Sarjan B mittausalue on $200\,{}^\circ\text{C}$ leveä ja sarjan A $60\,{}^\circ\text{C}$, ja B:n epävarmuus on vain noin kolmasosa A:n epävarmuudesta. Sama paineen epävarmuus $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$ vaikuttaa kulmakertoimeen sitä vähemmän, mitä pidemmältä väliltä se lasketaan, ja pieni kulmakertoimen virhe kasvaa ekstrapoloitaessa. Leveämpi mittausalue siis pienentää epävarmuutta. Kummankin sarjan väli sisältää arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ (A: $-302\ldots -243\,{}^\circ\text{C}$, B: $-280\ldots -258\,{}^\circ\text{C}$), joten tulokset sopivat yhteen hyväksytyn arvon kanssa. Väli on arvio, ja se olettaa, että paine pysyy lineaarisena myös mitatun alueen ulkopuolella.

   Järkevyys

   Alueiden leveyksien suhde on $200:60 \approx 3{,}3$ ja epävarmuuksien suhde $29{,}75:10{,}73 \approx 2{,}8$, eli epävarmuus pienenee suunnilleen leveyden kasvun mukana. Sarjojen välien keskikohdat $-272\,{}^\circ\text{C}$ ja $-269\,{}^\circ\text{C}$ ovat lähellä toisiaan ja lähellä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

5. Tehtävä 4-20

   Esimerkkiaineisto: suljetun pullon ilman paine mitattiin viidessä lämpötilassa kaasulämpömittarin kalibroimiseksi. Pullo vietiin pakastimeen, ja sen paineeksi luettiin $94{,}0\,\text{kPa}$. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Oleta, että paine on lämpötilan lineaarinen funktio myös taulukon alueen ulkopuolella.

   a) Määritä pakastimen lämpötila $\theta$ kalibrointisuoralla, jonka kulmakerroin lasketaan taulukon ensimmäisestä ja viimeisestä pisteestä.

   b) Laske painelukeman epävarmuudesta $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$ johtuva lämpötilan epävarmuus.

   c) Perustele, miksi tulos on ekstrapolointia ja miksi se on silti luotettavampi kuin nollapisteen määritys samalla suoralla.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos celsiusasteina.

   Kalibrointipullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   0	100,4
   25	109,7
   50	118,6
   75	127,9
   100	137,0

   °CTarkista
   Vastaus

   $-17{,}5\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kalibrointipisteet taulukosta, ensimmäinen $(\theta_1, p_1) = (0\,{}^\circ\text{C}$; $100{,}4\,\text{kPa})$ ja viimeinen $(\theta_2, p_2) = (100\,{}^\circ\text{C}$; $137{,}0\,\text{kPa})$; pakastimessa luettu paine $p = 94{,}0\,\text{kPa}$ ja sen epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) pakastimen lämpötila $\theta$ celsiusasteina; b) painelukeman epävarmuudesta johtuva lämpötilan epävarmuus $\Delta\theta$; c) miksi tulos on ekstrapolointia mutta luotettava

   Periaate

   Pullo on suljettu ja jäykkä, joten kaasun ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina ja paine on lämpötilan lineaarinen funktio. Kalibrointisuora kulkee kaukana toisistaan olevien pisteiden kautta, ja se ratkaistaan lämpötilan suhteen, kun paine tunnetaan. Pakastimen lämpötila on kalibrointialueen $0\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$ ulkopuolella.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan taulukosta kaukaisimmat pisteet $(0\,{}^\circ\text{C}$; $100{,}4\,\text{kPa})$ ja $(100\,{}^\circ\text{C}$; $137{,}0\,\text{kPa})$. Muut pisteet toimivat tarkistuksena.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   ja suoran $p = p_1 + k(\theta - \theta_1)$ ratkaisu

   $\theta$$= \theta_1 + \dfrac{p - p_1}{k}$

   Painelukeman epävarmuutta vastaa lämpötilan epävarmuus $\Delta\theta = \dfrac{\Delta p}{k}$.

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: kilopascalit supistuvat, joten tulos on celsiusasteina. Lämpötilaero $100\,{}^\circ\text{C}$ on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(137{,}0 - 100{,}4)\,\text{kPa}}{(100 - 0)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3660\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   a)

   $$\begin{aligned} \theta &= 0\,{}^\circ\text{C} + \dfrac{(94{,}0 - 100{,}4)\,\text{kPa}}{0{,}3660\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -17{,}49\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   b)

   $$\begin{aligned} \Delta\theta &= \dfrac{1{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3660\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 2{,}73\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-17{,}5\,{}^\circ\text{C}$

   Ja epävarmuus noin $2{,}7\,{}^\circ\text{C}$, eli tulos on $-17{,}5 \pm 2{,}7\,{}^\circ\text{C}$. Rajoittava tieto on paine-ero $94{,}0 - 100{,}4 = -6{,}4\,\text{kPa}$ (kaksi numeroa), joten yksinkertaisimmillaan tulos on $-17 \pm 3\,{}^\circ\text{C}$; desimaali annetaan, jotta tulos vastaa vastauskentän arvoa.

   Mallivastaus (c)

   Pakastimen lämpötila on kalibroidun alueen $0\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$ ulkopuolella, joten suoraa jatketaan mitatun alueen yli ja tulos on ekstrapolointia, joka olettaa paineen pysyvän lineaarisena. Jatke on kuitenkin vain noin $17{,}5\,{}^\circ\text{C}$ pitkä, kun nollapisteen määrityksessä suoraa jatketaan yli $270\,{}^\circ\text{C}$. Kalibrointisuoran kulmakertoimen epävarmuus vaikuttaa tulokseen vain jatkeen pituudelta, joten sen vaikutus on muutaman asteen osa. Lisäksi lämpötila $-17{,}5\,{}^\circ\text{C}$ on kaukana lämpötilasta, jossa ilma alkaisi tiivistyä, joten lineaarinen malli on järkevä.

   Järkevyys

   Tulos on tyypillinen pakastimen lämpötila. Välipiste tarkistaa suoran:

   $100{,}4\,\text{kPa} + 0{,}3660\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 50\,{}^\circ\text{C}$

   $= 118{,}7\,\text{kPa}$

   kun mitattu on $118{,}6\,\text{kPa}$. Kelvineinä lämpötila on

   $T$$= 273{,}15\,\text{K} - 17{,}49\,\text{K}$

   $= 255{,}66\,\text{K}$

   ja paineiden suhde $94{,}0:100{,}4 = 0{,}936$ on sama kuin lämpötilojen suhde $255{,}66:273{,}15 = 0{,}936$.