Paine ja hydrostaattinen paine

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Hiihtäjän paino on $720\,\text{N}$. Se jakautuu tasaisesti suksien pohjille, joiden yhteinen pinta-ala on $0{,}30\,\text{m}^2$. Kuinka suuri paine suksista kohdistuu lumeen?

   PaTarkista
   Vastaus

   $2400\,\text{Pa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hiihtäjän paino eli voima lumeen $F = 720\,\text{N}$, suksien yhteinen pinta-ala $A = 0{,}30\,\text{m}^2$

   Kysytty

   lumeen kohdistuva paine $p$ pascaleina

   Periaate

   Paine on pintaa vastaan kohtisuoraan vaikuttavan voiman ja sen pinta-alan suhde. Paino jakautuu tasaisesti suksien pohjille, joten koko voima $720\,\text{N}$ jakautuu koko alalle $0{,}30\,\text{m}^2$.

   Kaava

   $p = \dfrac{F}{A}$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita, koska voima on newtoneina ja ala neliömetreinä: $1\,\text{N}/\text{m}^2 = 1\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $p$$= \dfrac{720\,\text{N}}{0{,}30\,\text{m}^2}$

   $= 2400\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}^2}$

   $= 2400\,\text{Pa}$

   Vastaus

   $2400\,\text{Pa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten alassa $0{,}30\,\text{m}^2$ (nollat ovat vain paikan pitäjiä).

   Järkevyys

   Arvio: $700\,\text{N} / 0{,}3\,\text{m}^2 \approx 2300\,\text{Pa}$. Jos sama ihminen seisoisi kengillä, joiden pohjien ala on noin kymmenesosa suksien alasta, paine olisi kymmenkertainen eli noin $24\,\text{kPa}$. Siksi sukset kantavat hangella, vaikka kengät uppoavat. Tulos on vain noin $2\,\%$ ilmanpaineesta ($101\,\text{kPa}$).

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Päijänteen syvin kohta on noin $95\,\text{m}$:n syvyydessä. Kuinka suuri on hydrostaattinen paine siellä? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$. Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $930\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 95\,\text{m}$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hydrostaattinen paine $\Delta p$ kilopascaleina

   Periaate

   Lepäävässä nesteessä paine kasvaa syvyyden mukana, koska syvemmällä on enemmän nestettä päällä. Vesi on käytännössä kokoonpuristumatonta, joten $\rho$ on vakio koko syvyydellä ja paine kasvaa suoraan syvyyden mukana. Kysytty hydrostaattinen paine on vain veden aiheuttama osa, ilmanpainetta ei lasketa mukaan.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 95\,\text{m}$

   $= 931\,950\,\text{Pa}$

   $= 931{,}95\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $930\,\text{kPa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $95\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Vesi lisää painetta noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti, joten $95\,\text{m}$ antaa noin $950\,\text{kPa}$. Tarkka arvo on hieman pienempi, koska $g < 10\,\text{m/s}^2$. Tulos on noin $930/101 \approx 9{,}2$ ilmanpaineen verran.

3. Tehtävä 5-3

   Järven pohjaan $18{,}0\,\text{m}$:n syvyyteen on asennettu painemittari. Matalapaineen aikana ilmanpaine järven pinnalla on $98{,}5\,\text{kPa}$. Mikä on kokonaispaine mittarin kohdalla? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $275\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 18{,}0\,\text{m}$, ilmanpaine pinnalla $p_0 = 98{,}5\,\text{kPa}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaispaine $p$ mittarin kohdalla kilopascaleina

   Periaate

   Mittari tuntee sekä veden painon että veden pinnalla olevan ilman painon. Nesteen pinta välittää ilmanpaineen koko nesteeseen sellaisenaan, ja sen päälle tulee hydrostaattinen paine $\rho g h$, joten paineet lasketaan yhteen.

   Kaava

   $p = p_0 + \rho g h$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ilmanpaine pascaleina: $98{,}5\,\text{kPa} = 98\,500\,\text{Pa}$. Lopuksi tulos muutetaan takaisin: $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\rho g h$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 18{,}0\,\text{m}$

   $= 176\,580\,\text{Pa}$

   $p$$= 98\,500\,\text{Pa} + 176\,580\,\text{Pa}$

   $= 275\,080\,\text{Pa}$

   $= 275{,}08\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $275\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $18{,}0\,\text{m}$ ja ilmanpaineessa $98{,}5\,\text{kPa}$.

   Järkevyys

   Arvio: $18\,\text{m}$ vettä on noin $1{,}8$ ilmanpainetta eli noin $180\,\text{kPa}$, ja siihen lisätään ilmanpaine noin $100\,\text{kPa}$, yhteensä noin $280\,\text{kPa}$. Tulos on suurempi kuin pelkkä hydrostaattinen paine $177\,\text{kPa}$ ja lähes kolme ilmanpainetta.

4. Tehtävä 5-4

   Saunan kiukaan paino on $750\,\text{N}$. Kiuas seisoo neljällä jalalla, joiden yhteinen pinta-ala lattiaa vasten on $0{,}0025\,\text{m}^2$. Kuinka suuri paine jaloista kohdistuu lattiaan? Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $300\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiukaan paino eli voima lattiaan $F = 750\,\text{N}$, jalkojen yhteinen ala $A = 0{,}0025\,\text{m}^2$

   Kysytty

   lattiaan kohdistuva paine $p$ kilopascaleina

   Periaate

   Paine on voiman ja pinta-alan suhde. Kiuas seisoo paikallaan, joten lattiaan kohdistuva voima on yhtä suuri kuin kiukaan paino, ja se välittyy lattiaan vain jalkojen pienen alan kautta.

   Kaava

   $p = \dfrac{F}{A}$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja ala neliömetreinä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $p$$= \dfrac{750\,\text{N}}{0{,}0025\,\text{m}^2}$

   $= 300\,000\,\text{Pa}$

   $= 300\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $300\,\text{kPa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten alassa $0{,}0025\,\text{m}^2$ (nollat ovat paikan pitäjiä).

   Järkevyys

   Yhden jalan ala on $0{,}0025\,\text{m}^2 / 4 \approx 6\,\text{cm}^2$, esimerkiksi $2{,}5\,\text{cm} \cdot 2{,}5\,\text{cm}$, mikä on uskottava jalan koko. Paine on noin kolme ilmanpainetta, joten raskaan kiukaan jalat voivat painua pehmeään lattiaan. Jos ala olisi kymmenkertainen, paine olisi vain kymmenesosa.

5. Tehtävä 5-5

   Saunan vesisaavissa veden syvyys on $0{,}45\,\text{m}$. Kuinka suuri on hydrostaattinen paine saavin pohjalla? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   PaTarkista
   Vastaus

   $4400\,\text{Pa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 0{,}45\,\text{m}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hydrostaattinen paine $\Delta p$ pascaleina

   Periaate

   Saavissa vesi on levossa ja sen tiheys on vakio, joten paine kasvaa suoraan syvyyden mukana. Pohjalla hydrostaattinen paine riippuu vain syvyydestä, ei saavin muodosta tai vesimäärästä.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita, koska kaikki suureet ovat SI-yksiköissä ja tulos kysytään pascaleina.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}45\,\text{m}$

   $= 4414{,}5\,\text{Pa}$

   Vastaus

   $4400\,\text{Pa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $0{,}45\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Vesi lisää painetta noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti, joten alle puolessa metrissä paine on noin $4{,}5\,\text{kPa}$. Tulos on vain noin $4\,\%$ ilmanpaineesta, eli pohja ei tunne suurta ylipainetta.

6. Tehtävä 5-6

   Naula menee puuhun kärki edellä, kun sitä painetaan peukalolla, mutta kanta edellä se ei mene. Peukalon voima on kummassakin tapauksessa yhtä suuri. Mikä selittää eron?

   Valitse vaihtoehto.

   • Paine on kärjessä ja kannassa yhtä suuri, joten ero johtuu vain naulan omasta painosta.
   • Kärjen pinta-ala on pieni, joten sama voima aiheuttaa kärjessä suuremman paineen.
   • Kärkeen kohdistuu suurempi voima kuin kantaan, koska naula vahvistaa peukalon voimaa.
   • Kannan pinta-ala on suuri, joten kantaan kohdistuu suurempi paine kuin kärkeen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kärjen pinta-ala on pieni, joten sama voima aiheuttaa kärjessä suuremman paineen.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi naula menee puuhun kärki edellä mutta ei kanta edellä, kun peukalon voima on sama.

   Periaate

   Paine on pintaa vastaan kohtisuoran voiman ja pinta-alan suhde, $p = F/A$. Naula on peukalon ja puun välissä tasapainossa, joten voima on kärjessä, kannassa ja peukalolla yhtä suuri. Paine riippuu siis vain siitä, kuinka pieneen alaan sama voima keskittyy.

   Mallivastaus

   Kärjen pinta-ala on pieni, joten sama voima aiheuttaa kärjessä suuremman paineen, ja puun kuidut antavat periksi. Kannan ala on moninkertainen, joten paine on siellä pieni ja naula ei tunkeudu puuhun. Naula ei vahvista voimaa: voima on kummassakin tapauksessa yhtä suuri, mutta paine ei ole. Naulan omalla painolla ei ole merkitystä, koska se on pieni peukalon voimaan verrattuna.

7. Tehtävä 5-7

   Itämeren vesi on murtovettä, jonka tiheys on $1005\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on hydrostaattinen paine Itämeren vedessä $40\,\text{m}$:n syvyydessä? Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $390\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 40\,\text{m}$, Itämeren veden tiheys $\rho = 1005\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hydrostaattinen paine $\Delta p$ kilopascaleina

   Periaate

   Lepäävässä nesteessä paine kasvaa syvyyden mukana, koska syvemmällä on enemmän nestettä päällä. Murtovesi on kuten makea vesi käytännössä kokoonpuristumatonta, joten $\rho$ on vakio. Kysytty hydrostaattinen paine on vain veden aiheuttama osa, ilmanpainetta ei lasketa mukaan.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1005\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 40\,\text{m}$

   $= 394\,362\,\text{Pa}$

   $= 394{,}362\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $390\,\text{kPa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $40\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Vesi lisää painetta noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti, joten $40\,\text{m}$ antaa noin $400\,\text{kPa}$. Tarkka arvo on hieman pienempi, koska $g < 10\,\text{m/s}^2$. Makean veden tiheydellä $1000\,\text{kg/m}^3$ tulos olisi $392\,\text{kPa}$, joten murtoveden suurempi tiheys muuttaa tulosta alle $1\,\%$.

8. Tehtävä 5-8

   Oppilas väittää: ”Järvessä $10\,\text{m}$:n syvyydessä kokonaispaine on kaksi kertaa niin suuri kuin $5\,\text{m}$:n syvyydessä, koska syvyys on kaksinkertainen.” Mikä virhe päättelyssä on?

   Valitse vaihtoehto.

   • Syvemmällä vesi on kevyempää, joten paine kasvaa hitaammin kuin syvyys kasvaa.
   • Paine kasvaa syvyyden neliön mukaan, joten se on yli kaksinkertainen kaksinkertaisessa syvyydessä.
   • Vain veden osuus kaksinkertaistuu, koska ilmanpaine on kummassakin syvyydessä sama.
   • Paine ei riipu syvyydestä, koska nesteen paine määräytyy vain tiheydestä ja ilmanpaineesta.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Vain veden osuus kaksinkertaistuu, koska ilmanpaine on kummassakin syvyydessä sama.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä virhe on väitteessä, että kaksinkertaisessa syvyydessä myös kokonaispaine on kaksinkertainen.

   Periaate

   Nesteessä kokonaispaine on $p = p_0 + \rho g h$. Hydrostaattinen osa $\rho g h$ on suoraan verrannollinen syvyyteen, mutta pinnan paine $p_0$ on vakiotermi, joka on sama jokaisessa syvyydessä.

   Mallivastaus

   Vain veden osuus kaksinkertaistuu, koska ilmanpaine on kummassakin syvyydessä sama. Esimerkiksi ilmanpaineella $101\,\text{kPa}$ syvyydessä $5\,\text{m}$ paine on $101\,\text{kPa} + 49\,\text{kPa} = 150\,\text{kPa}$ ja syvyydessä $10\,\text{m}$ se on $101\,\text{kPa} + 98\,\text{kPa} = 199\,\text{kPa}$, eli vain noin $1{,}3$-kertainen. Paine kasvaa syvyyden mukana, ei kuitenkaan neliöllisesti, ja veden tiheys on joka syvyydessä sama.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-9Ydintehtävä

   Ihmisen paino on $600\,\text{N}$. Askeleen alussa hän painaa parkettilattiaa hetken pelkällä korkokengän korolla, jonka kosketusala lattiaan on $1{,}5\,\text{cm}^2$.

   Kuinka suuri paine korosta kohdistuu lattiaan? Anna vastaus megapascaleina (MPa); etuliite mega tarkoittaa miljoonaa.

   MPaTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{MPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F = 600\,\text{N}$, koron kosketusala $A = 1{,}5\,\text{cm}^2$

   Kysytty

   paine $p$ megapascaleina

   Periaate

   Paine on voiman ja pinta-alan suhde. Askeleen alussa koko paino $600\,\text{N}$ välittyy lattiaan koron pienen alan kautta, joten voima jakautuu vain alalle $1{,}5\,\text{cm}^2$.

   Kaava

   $p = \dfrac{F}{A}$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   $1\,\text{cm}^2$$= (0{,}01\,\text{m})^2$

   $= 10^{-4}\,\text{m}^2$

   joten $A = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$. Lopuksi $1\,\text{MPa} = 10^6\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $p$$= \dfrac{600\,\text{N}}{1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2}$

   $= 4\,000\,000\,\text{Pa}$

   $= 4{,}0\,\text{MPa}$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{MPa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten alassa $1{,}5\,\text{cm}^2$.

   Järkevyys

   Paine on noin $4{,}0\,\text{MPa} / 0{,}101\,\text{MPa} \approx 40$ ilmanpainetta. Paljas jalkapohja, jonka ala on noin $200\,\text{cm}^2$, antaisi vain noin $600\,\text{N} / 0{,}02\,\text{m}^2 = 30\,\text{kPa}$, joten koron paine on yli sata kertaa suurempi. Siksi korko jättää lommon parkettiin.

2. Tehtävä 5-10Ydintehtävä

   Talo saa vetensä vesitornista. Kun hanat ovat kiinni, painemittari näyttää kellarin hanan kohdalla ylipaineen $350\,\text{kPa}$. Kuinka korkealla tornin vedenpinta on hanan yläpuolella? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   mTarkista
   Vastaus

   $35{,}7\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylipaine $\Delta p = 350\,\text{kPa}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   vedenpinnan korkeus $h$ hanan yläpuolella metreinä

   Periaate

   Kun hanat ovat kiinni, vesi on levossa, joten ylipaine hanalla on vesipatsaan hydrostaattinen paine $\Delta p = \rho g h$. Tornin ja hanan välinen vesi on yhtenäinen, joten vain korkeusero ratkaisee, ei putkiston pituus.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$, josta $h = \dfrac{\Delta p}{\rho g}$

   Muunnokset

   $350\,\text{kPa} = 350\,000\,\text{Pa}$, jotta yksiköt $\text{Pa} = \text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2)$ supistuvat metreiksi.

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{350\,000\,\text{Pa}}{1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

   $= 35{,}678\,\text{m}$

   Vastaus

   $35{,}7\,\text{m}$

   Kolme merkitsevää numeroa: ylipaine $350\,\text{kPa} = 3{,}50\cdot10^{2}\,\text{kPa}$ ja tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$ ovat tässä kolmen numeron tarkkuudella annetut tiedot.

   Järkevyys

   Vesi antaa noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti, joten $350\,\text{kPa}$ vastaa noin $35\,\text{m}$. Tarkka arvo on hieman suurempi, koska $g < 10\,\text{m/s}^2$. Takaisin laskettuna

   $\rho g h$$= 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 35{,}7\,\text{Pa}$

   $\approx 350\,\text{kPa}$

   Vesitornit ovat tämän korkuisia.

3. Tehtävä 5-11

   Kuvaajassa ovat kahden nesteen, A:n ja B:n, paineet syvyyden funktiona. Pinnalla paine on molemmissa sama.

   Missä syvyydessä nesteessä A paine on yhtä suuri kuin nesteessä B syvyydessä $4{,}0\,\text{m}$?

   mTarkista
   Vastaus

   $h_\text{A} = 6{,}0\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta luettuna molemmissa nesteissä $p_0 = 100\,\text{kPa}$; suora A kulkee pisteen $(10\,\text{m}$; $200\,\text{kPa})$ kautta ja suora B pisteen $(10\,\text{m}$; $250\,\text{kPa})$ kautta; $h_\text{B} = 4{,}0\,\text{m}$

   Kysytty

   syvyys $h_\text{A}$, jossa nesteen A paine on sama kuin nesteen B paine syvyydessä $h_\text{B}$

   Periaate

   Nesteessä $p = p_0 + \rho g h$, joten $(h, p)$-kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin $k = \rho g$ on suurempi tiheämmällä nesteellä. Tiheyksiä ei tarvitse laskea, vaan kulmakertoimet luetaan kuvaajalta.

   Kuvaajan lukeminen

   Suorat alkavat samasta pisteestä $(0\,\text{m}$; $100\,\text{kPa})$ ja päättyvät ruudukon risteyksiin. Siis

   $k_\text{A}$$= \dfrac{(200 - 100)\,\text{kPa}}{10\,\text{m}}$

   $= 10\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$

   $k_\text{B}$$= \dfrac{(250 - 100)\,\text{kPa}}{10\,\text{m}}$

   $= 15\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$

   Kaava

   $p_0 + k_\text{A} h_\text{A} = p_0 + k_\text{B} h_\text{B}$, josta

   $h_\text{A}$$= \dfrac{k_\text{B}}{k_\text{A}}\, h_\text{B}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: kilopascalit supistuvat suhteessa $k_\text{B}/k_\text{A}$.

   Sijoitus

   $h_\text{A}$$= \dfrac{15\,\text{kPa/m}}{10\,\text{kPa/m}} \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= 6{,}0\,\text{m}$

   Vastaus

   $h_\text{A} = 6{,}0\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $4{,}0\,\text{m}$. Silmällä luettu arvo $5{,}8$–$6{,}2\,\text{m}$ hyväksytään.

   Järkevyys

   Neste A on harvempaa, joten saman paineen saavuttamiseen tarvitaan suurempi syvyys kuin $4{,}0\,\text{m}$. Tarkistus:

   $100\,\text{kPa} + 10\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 6{,}0\,\text{m}$

   $= 160\,\text{kPa}$

   $= 100\,\text{kPa} + 15\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 4{,}0\,\text{m}$
4. Tehtävä 5-12

   Painekattilan sisällä on ylipaine $0{,}85\,\text{bar}$ ($1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$). Kannen pinta-ala on $380\,\text{cm}^2$. Kuinka suuren voiman ylipaine kohdistaa kanteen? Anna vastaus kilonewtoneina.

   kNTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylipaine $\Delta p = 0{,}85\,\text{bar}$ (tehtävän mukaan $1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$), kannen ala $A = 380\,\text{cm}^2$

   Kysytty

   kanteen kohdistuva voima $F$ kilonewtoneina

   Periaate

   Ylipaine työntää kantta sisältä päin joka kohdassa, ja paine on voima jaettuna alalla. Kokonaisvoima on siis ylipaine kerrottuna kannen alalla. Ulkoilman paine ei kuulu tähän, koska kysytään vain ylipaineen aiheuttamaa voimaa.

   Kaava

   $\Delta p = \dfrac{F}{A}$, josta $F = \Delta p\,A$

   Muunnokset

   $0{,}85\,\text{bar}$$= 85\,\text{kPa}$

   $= 85\,000\,\text{Pa}$

   $380\,\text{cm}^2$$= 380 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$

   $= 0{,}0380\,\text{m}^2$

   Lopuksi $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $F$$= 85\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0380\,\text{m}^2$

   $= 3230\,\text{N}$

   $= 3{,}23\,\text{kN}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{kN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ylipaineessa $0{,}85\,\text{bar}$.

   Järkevyys

   Voima vastaa $3230\,\text{N} / 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 330\,\text{kg}$:n massan painoa, mikä on paljon, vaikka ylipaine on alle yhden ilmanpaineen. Arvio: $80\,\text{kPa} \cdot 0{,}04\,\text{m}^2 = 3200\,\text{N}$. Siksi kantta ei saa avata ennen kuin ylipaine on päästetty pois.

5. Tehtävä 5-13

   Esimerkkiaineisto: sukeltaja mittasi järvessä painemittarilla paineen eri syvyyksillä. Pisteisiin sovitetun suoran kulmakerroin on tietokoneella laskettuna $9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$, ja suora kulkee pisteiden keskipisteen $(h_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta. Mittarin lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$.

   a) Laske veden tiheys $\rho$ kulmakertoimesta.

   b) Laske taulukon keskipiste ja sen avulla suoran vakiotermi eli ilmanpaine $p_0$ pinnalla.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) ilmanpaine kilopascaleina.

   Järven paine syvyyden funktiona (esimerkkiaineisto)

   $h\,(\text{m})$	$p\,(\text{kPa})$
   0,0	99,6
   2,0	119,5
   4,0	138,6
   6,0	158,7
   8,0	178,1
   10,0	197,3

   kPaTarkista
   Vastaus

   $p_0 = 99{,}7\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuusi pistettä $(h, p)$ taulukosta; sovitetun suoran kulmakerroin $k = 9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$; suora kulkee keskipisteen $(h_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) veden tiheys $\rho$; b) ilmanpaine $p_0$ kilopascaleina

   Periaate

   Paine nesteessä on $p = p_0 + \rho g h$, joten kuvaaja $(h, p)$ on suora, jonka kulmakerroin on $\rho g$ ja vakiotermi $p_0$. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi, joten sovitettu suora kulkee pisteiden joukon keskeltä ja siis keskipisteen kautta.

   Taulukon lukeminen

   Vakiotermi on suoran paine kohdassa $h = 0$, ja se saadaan keskipisteestä. Syvyyksien summa on $30{,}0\,\text{m}$ ja paineiden summa $891{,}8\,\text{kPa}$.

   Kaava

   a) $k = \rho g$, joten $\rho = \dfrac{k}{g}$. b) $p_{\text{ka}} = p_0 + k h_{\text{ka}}$, joten $p_0 = p_{\text{ka}} - k h_{\text{ka}}$

   Muunnokset

   $k$$= 9{,}78\,\text{kPa/m}$

   $= 9780\,\text{Pa/m}$

   $= 9780\,\text{N/m}^3$

   jotta tiheys tulee yksikössä $\text{kg/m}^3$.

   Sijoitus

   a)

   $\rho$$= \dfrac{9780\,\text{N/m}^3}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 997{,}0\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

   b)

   $h_{\text{ka}}$$= 30{,}0\,\text{m} : 6$

   $= 5{,}0\,\text{m}$

   $p_{\text{ka}}$$= 891{,}8\,\text{kPa} : 6$

   $= 148{,}63\,\text{kPa}$

   joten

   $$\begin{aligned} p_0 &= 148{,}63\,\text{kPa} - 9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 5{,}0\,\text{m} \\ &= 148{,}63\,\text{kPa} - 48{,}9\,\text{kPa} \\ &= 99{,}73\,\text{kPa} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $p_0 = 99{,}7\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten kulmakertoimessa ja paineissa. Tiheys on $997\,\text{kg/m}^3$.

   Järkevyys

   Suora antaa pisteessä $h = 10{,}0\,\text{m}$ paineen

   $99{,}73\,\text{kPa} + 9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 10{,}0\,\text{m}$

   $= 197{,}5\,\text{kPa}$

   mikä poikkeaa mitatusta $197{,}3\,\text{kPa}$:sta vain $0{,}2\,\text{kPa}$, alle epävarmuuden $0{,}5\,\text{kPa}$. Tiheys on lähellä veden tiheyttä $1000\,\text{kg/m}^3$ ja ilmanpaine lähellä arvoa $101\,\text{kPa}$.

6. Tehtävä 5-14

   Esimerkkiaineisto: neljä erimuotoista lasiastiaa täytettiin vedellä $0{,}300\,\text{m}$:n korkeuteen, ja astian pohjalla olevalla painemittarilla mitattiin ylipaine. Mittarin lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}1\,\text{kPa}$. Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   a) Laske hydrostaattinen paine syvyydellä $0{,}300\,\text{m}$ ja tarkista, sopiiko tulos taulukon mittauksiin.

   b) Selitä, miksi pohjan paine on lähes sama kaikissa astioissa, vaikka vettä on eri määrä.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos kilopascaleina.

   Pohjan ylipaine eri astioissa (esimerkkiaineisto)

   Astia	$V\,(\text{l})$	$\Delta p\,(\text{kPa})$
   suora	1,5	2,9
   alas levenevä	2,4	3,0
   ylös levenevä	0,8	3,0
   pullo	1,2	2,9

   kPaTarkista
   Vastaus

   $2{,}94\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesipatsaan korkeus $h = 0{,}300\,\text{m}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; mitatut ylipaineet $2{,}9\ldots 3{,}0\,\text{kPa}$, lukeman epävarmuus $\pm 0{,}1\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) hydrostaattinen paine $\Delta p$ kilopascaleina; b) miksi pohjan paine on lähes sama eri astioissa

   Periaate

   Lepäävässä nesteessä hydrostaattinen paine riippuu vain syvyydestä ja nesteen tiheydestä, $\Delta p = \rho g h$. Astian muoto ja veden määrä eivät esiinny kaavassa, ja mittari mittaa ylipainetta ilmanpaineeseen verrattuna.

   Taulukon lukeminen

   Taulukon neljä ylipainetta ovat $2{,}9\,\text{kPa}$, $3{,}0\,\text{kPa}$, $3{,}0\,\text{kPa}$ ja $2{,}9\,\text{kPa}$, vaikka vettä on $0{,}8\ldots 2{,}4\,\textsf{l}$. Ne poikkeavat toisistaan vain mittarin epävarmuuden verran.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}300\,\text{m}$

   $= 2943\,\text{Pa}$

   $= 2{,}94\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $2{,}94\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $0{,}300\,\text{m}$. Kohdan b) selitys: pohjan paine määräytyy vain syvyydestä ja tiheydestä, joten astian muoto ja vesimäärä eivät vaikuta siihen.

   Järkevyys

   Jokainen mitattu arvo on $0{,}1\,\text{kPa}$:n sisällä laskusta: erot ovat $0{,}04\,\text{kPa}$ ja $0{,}06\,\text{kPa}$. Suurin astia sisältää kolminkertaisen määrän vettä pienimpään verrattuna ($2{,}4\,\textsf{l} : 0{,}8\,\textsf{l} = 3$), mutta paine on sama, joten paine ei voi riippua vesimäärästä.

7. Tehtävä 5-15

   Esimerkkiaineisto: U-putkimanometrin toinen haara on avoin ilmakehään ja toinen on yhdistetty suljettuun kaasusäiliöön. Putkessa on vettä, jonka tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$. Nestepintojen korkeusero luettiin kolme kertaa; kaasun puoleinen vedenpinta oli avoimen haaran pintaa alempana. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$.

   a) Laske korkeuseron keskiarvo $\Delta h_{\text{ka}}$.

   b) Laske kaasun ylipaine ilmanpaineeseen verrattuna.

   c) Laske kaasun kokonaispaine ja perustele, miksi kaasun puoleinen pinta on alempana.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos kilopascaleina.

   Nestepintojen korkeusero (esimerkkiaineisto)

   Mittaus	$\Delta h\,(\text{cm})$
   1	14,2
   2	14,8
   3	14,5

   kPaTarkista
   Vastaus

   $1{,}42\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nestepintojen korkeuserot $14{,}2\,\text{cm}$, $14{,}8\,\text{cm}$ ja $14{,}5\,\text{cm}$; $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, ilmanpaine $p_0 = 101\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) keskiarvo $\Delta h_{\text{ka}}$; b) kaasun ylipaine $\Delta p$ kilopascaleina; c) kaasun kokonaispaine $p$

   Periaate

   Putken avoin haara on ilmanpaineessa. Samalla vaakatasolla samassa nesteessä paine on sama, joten korkeuseron $\Delta h$ aiheuttama hydrostaattinen paine $\rho g \Delta h$ on kaasun paineen ja ilmanpaineen erotus. Toistetun mittauksen keskiarvo pienentää satunnaista lukuvirhettä.

   Kaava

   $\Delta h_{\text{ka}}$$= \dfrac{\text{summa}}{3}$

   $\Delta p = \rho g \Delta h_{\text{ka}}$; $p = p_0 + \Delta p$

   Muunnokset

   Korkeus senttimetreistä metreiksi:

   $14{,}5\,\text{cm}$$= 14{,}5 : 100\,\text{m}$

   $= 0{,}145\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   a) Summa on

   $14{,}2\,\text{cm} + 14{,}8\,\text{cm} + 14{,}5\,\text{cm}$

   $= 43{,}5\,\text{cm}$

   joten

   $\Delta h_{\text{ka}}$$= 43{,}5\,\text{cm} : 3$

   $= 14{,}5\,\text{cm}$

   b)

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}145\,\text{m}$

   $= 1422{,}45\,\text{Pa}$

   $= 1{,}42\,\text{kPa}$

   c)

   $p$$= 101\,\text{kPa} + 1{,}42\,\text{kPa}$

   $= 102{,}42\,\text{kPa}$

   Vastaus

   b) $1{,}42\,\text{kPa}$, kolme merkitsevää numeroa kuten korkeuserossa $14{,}5\,\text{cm}$. Kohdassa c) kokonaispaine on $102\,\text{kPa}$, koska ilmanpaine $101\,\text{kPa}$ on annettu kolmella numerolla. Kaasun puoleinen pinta on alempana, koska kaasun paine on suurempi kuin ilmanpaine ja se painaa nestettä alas omassa haarassaan, kunnes korkeuseron vesipatsas tasapainottaa ylipaineen.

   Järkevyys

   Vesipatsas $10\,\text{cm}$ vastaa noin $1\,\text{kPa}$, joten $14{,}5\,\text{cm}$ vastaa noin $1{,}4\,\text{kPa}$. Ylipaine on vain noin $1{,}4\,\%$ ilmanpaineesta ($1{,}42/101 = 0{,}014$), mikä sopii pieneen korkeuseroon.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 5-16

   Retkeilijän massa on rinkan kanssa $85\,\text{kg}$. Upottava hanki kantaa, jos paine siihen on enintään $6{,}0\,\text{kPa}$. Kävellessä retkeilijä on hetkittäin vain yhden jalan varassa.

   Kuinka suuri yhden lumikengän pinta-alan on vähintään oltava, jotta hän ei uppoa?

   m²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}14\,\text{m}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa rinkan kanssa $m = 85\,\text{kg}$, suurin sallittu paine $p_\text{max} = 6{,}0\,\text{kPa}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; koko paino yhden jalan varassa

   Kysytty

   yhden lumikengän pienin pinta-ala $A$ neliömetreinä

   Periaate

   Retkeilijä ei uppoa, kun paine lumeen on enintään $p_\text{max}$. Hetkittäin koko paino on yhden jalan varassa, joten tähän kenkään kohdistuva voima on koko paino $G = mg$, ja ala on pienin, kun paine on juuri $p_\text{max}$.

   Kaava

   $G = mg$ ja $p_\text{max} = \dfrac{G}{A}$, josta

   $A$$= \dfrac{G}{p_\text{max}}$

   $= \dfrac{mg}{p_\text{max}}$

   Muunnokset

   $6{,}0\,\text{kPa} = 6000\,\text{Pa}$. Massa on jo kilogrammoina.

   Sijoitus

   $G$$= 85\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

   $= 833{,}85\,\text{N}$

   $A$$= \dfrac{833{,}85\,\text{N}}{6000\,\text{Pa}}$

   $= 0{,}13898\,\text{m}^2$

   Vastaus

   $0{,}14\,\text{m}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten paineessa $6{,}0\,\text{kPa}$ ja massassa $85\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Takaisin laskettuna $833{,}85\,\text{N} / 0{,}14\,\text{m}^2 \approx 5960\,\text{Pa}$, mikä on alle $6000\,\text{Pa}$. Ala on esimerkiksi $25\,\text{cm} \cdot 56\,\text{cm}$, tavallisen lumikengän koko. Tavallisen kengän pohjan ala on noin $0{,}03\,\text{m}^2$, ja sillä paine olisi noin $28\,\text{kPa}$, joten kenkä uppoaisi.

2. Tehtävä 5-17

   Mökin sadevesitynnyri on täynnä vettä, ja sen tiivis kansi on vettä vasten. Kannen pinta-ala on $0{,}25\,\text{m}^2$.

   Kannen läpi asennetaan ohut pystysuora letku, joka täytetään vedellä $4{,}0\,\text{m}$:n korkeuteen kannen yläpuolelle. Letkuun mahtuu vain $0{,}40\,\textsf{l}$ vettä.

   Kuinka paljon kasvaa voima, jolla tynnyrin vesi painaa kantta? Anna vastaus kilonewtoneina.

   kNTarkista
   Vastaus

   $9{,}8\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   letkun korkeus kannen yläpuolella $h = 4{,}0\,\text{m}$, kannen ala $A = 0{,}25\,\text{m}^2$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; letkun vesimäärä $0{,}40\,\textsf{l}$

   Kysytty

   kanteen kohdistuvan voiman kasvu $\Delta F$ kilonewtoneina

   Periaate

   Tynnyrin vesi ja letkun vesi ovat yhtä nestettä levossa, joten kannen kohdalla paine kasvaa letkun vesipatsaan hydrostaattisen paineen $\rho g h$ verran. Paine riippuu vain korkeudesta, ei vesimäärästä, joten ohut letku riittää. Tämä paineen kasvu vaikuttaa koko kannen alalle.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$ ja $\Delta F = \Delta p \, A$, joten $\Delta F = \rho g h A$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= 39\,240\,\text{Pa}$

   $\Delta F$$= 39\,240\,\text{Pa} \cdot 0{,}25\,\text{m}^2$

   $= 9810\,\text{N}$

   $= 9{,}81\,\text{kN}$

   Vastaus

   $9{,}8\,\text{kN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $4{,}0\,\text{m}$ ja alassa $0{,}25\,\text{m}^2$.

   Järkevyys

   Letkun $0{,}40\,\textsf{l}$ vettä painaa vain $0{,}40\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 3{,}9\,\text{N}$, mutta kanteen tulee lähes $10\,\text{kN}$. Suhde on $9810 / 3{,}9 \approx 2500$, ja se on sama kuin kannen ja letkun poikkipinta-alan ($1\,\text{cm}^2$) suhde. Siksi ohut letku voi rikkoa tynnyrin.

3. Tehtävä 5-18

   Huoltoaseman öljynerotuskaivon pohjalla on $1{,}60\,\text{m}$:n kerros vettä ja sen päällä $0{,}40\,\text{m}$:n kerros öljyä, jonka tiheys on $850\,\text{kg/m}^3$.

   Kuinka suuri on ylipaine kaivon pohjalla? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$. Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $19{,}0\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesikerros $h_2 = 1{,}60\,\text{m}$, $\rho_2 = 1000\,\text{kg/m}^3$; sen päällä öljykerros $h_1 = 0{,}40\,\text{m}$, $\rho_1 = 850\,\text{kg/m}^3$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ylipaine $\Delta p$ kaivon pohjalla kilopascaleina

   Periaate

   Nesteet ovat levossa, ja pohjaa painaa koko niiden päällä oleva nestepatsas. Koska tiheys vaihtuu rajapinnalla, kummankin kerroksen hydrostaattinen paine lasketaan omalla tiheydellään ja korkeudellaan, ja paineet lasketaan yhteen. Ylipaine tarkoittaa, että ilmanpainetta ei lasketa mukaan.

   Kaava

   kerrosten paineet lasketaan yhteen, joten $\Delta p = \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten paine tulee pascaleina. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\rho_1 g h_1$$= 850\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}40\,\text{m}$

   $= 3335{,}4\,\text{Pa}$

   $\rho_2 g h_2$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1{,}60\,\text{m}$

   $= 15\,696\,\text{Pa}$

   $\Delta p$$= 3335{,}4\,\text{Pa} + 15\,696\,\text{Pa}$

   $= 19\,031{,}4\,\text{Pa}$

   Vastaus

   $19{,}0\,\text{kPa}$

   Summassa desimaalit määräytyvät epätarkimman termin mukaan: öljykerroksen $3{,}3\,\text{kPa}$ (paksuus $0{,}40\,\text{m}$, kaksi numeroa) on tarkka desimaalin tarkkuudella, joten $3{,}3 + 15{,}7 = 19{,}0\,\text{kPa}$.

   Järkevyys

   Jos koko $2{,}00\,\text{m}$ olisi vettä, ylipaine olisi $1000 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}00 = 19\,620\,\text{Pa}$. Öljy on kevyempää, joten tulos on pienempi: ero on $(1000 - 850) \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}40\,\text{Pa} = 588{,}6\,\text{Pa}$ ja $19\,620 - 588{,}6 = 19\,031{,}4\,\text{Pa}$, kuten laskettiin.

4. Tehtävä 5-19

   Esimerkkiaineisto: kesällä järvessä on lämpötilakerroksia, ja veden tiheys riippuu lämpötilasta. Ryhmä asensi järveen painemittarin $20{,}0\,\text{m}$:n syvyyteen. Taulukossa ovat veden kerrokset pinnasta alaspäin. Painemittarin lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$. Ilmanpaine jätetään huomiotta ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   a) Laske mittarin kohdalla hydrostaattinen paine, kun jokaisen kerroksen oma tiheys otetaan huomioon.

   b) Laske sama paine olettamalla koko vesipatsaan tiheydeksi $1000\,\text{kg/m}^3$ ja laske, kuinka paljon suurempi tämä tulos on kuin kohdassa a).

   c) Näkyykö ero mittarin lukemassa? Laske myös, kuinka paljon syvyys arvioitaisiin väärin, jos mittarin ylipaine muutettaisiin syvyydeksi tiheydellä $1000\,\text{kg/m}^3$, ja vertaa tulosta epävarmuutta vastaavaan syvyyteen.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) ero kilopascaleina.

   Järven vesikerrokset (esimerkkiaineisto)

   Kerros	$d\,(\text{m})$	$\theta\,({}^\circ\text{C})$	$\rho\,(\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3})$
   pinta	5,0	20	998,2
   väli	10,0	10	999,7
   pohja	5,0	4	1000,0

   kPaTarkista
   Vastaus

   $\delta p = 0{,}12\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $20{,}0\,\text{m}$; kerrokset: $5{,}0\,\text{m}$ ($998{,}2\,\text{kg/m}^3$), $10{,}0\,\text{m}$ ($999{,}7\,\text{kg/m}^3$) ja $5{,}0\,\text{m}$ ($1000{,}0\,\text{kg/m}^3$); mittarin epävarmuus $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) hydrostaattinen paine $\Delta p_{\text{a}}$ kerroksittain; b) paine vakiotiheydellä ja sen ero kohtaan a) $\delta p$ kilopascaleina; c) näkyykö ero ja syvyysvirhe

   Periaate

   Jokainen kerros lisää painetta määrän $\rho_i g d_i$, ja kerrosten paineet lasketaan yhteen, koska kerrokset ovat päällekkäin. Jos tiheyttä pidetään vakiona, käytetään koko syvyydelle yhtä tiheyttä $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$. Ero on havaittavissa vain, jos se on suurempi kuin mittarin epävarmuus.

   Taulukon lukeminen

   Taulukosta luetaan kunkin kerroksen paksuus $d_i$ ja tiheys $\rho_i$; paksuuksien summa on mittarin syvyys $20{,}0\,\text{m}$.

   Kaava

   a) $\Delta p_{\text{a}} = g\,(\rho_1 d_1 + \rho_2 d_2 + \rho_3 d_3)$. b) $\Delta p_{\text{b}} = \rho g h$ ja $\delta p = \Delta p_{\text{b}} - \Delta p_{\text{a}}$. c) syvyysvirhe

   $\delta h$$= h - \dfrac{\Delta p_{\text{a}}}{\rho g}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten paineet tulevat pascaleina. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   a) $\rho_i d_i$ -summa on

   $998{,}2 \cdot 5{,}0 + 999{,}7 \cdot 10{,}0 + 1000{,}0 \cdot 5{,}0$

   $= 19\,988\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^2}$

   joten

   $\Delta p_{\text{a}}$$= 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 19\,988\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^2}$

   $= 196\,082\,\text{Pa}$

   $= 196{,}08\,\text{kPa}$

   b)

   $\Delta p_{\text{b}}$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 20{,}0\,\text{m}$

   $= 196\,200\,\text{Pa}$

   joten

   $\delta p$$= 196\,200\,\text{Pa} - 196\,082\,\text{Pa}$

   $= 118\,\text{Pa}$

   $= 0{,}118\,\text{kPa}$

   c) Kun mittarin lukema $196\,082\,\text{Pa}$ muutetaan syvyydeksi tiheydellä $1000\,\text{kg/m}^3$:

   $$\begin{aligned} h' &= \dfrac{196\,082\,\text{Pa}}{1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ &= 19{,}988\,\text{m} \end{aligned}$$

   joten syvyysvirhe on

   $20{,}0\,\text{m} - 19{,}988\,\text{m}$

   $= 0{,}012\,\text{m}$

   $= 1{,}2\,\text{cm}$

   Mittarin epävarmuus $0{,}5\,\text{kPa}$ vastaa syvyyttä

   $500\,\text{Pa} : 9810\,\text{Pa/m}$

   $= 0{,}051\,\text{m}$

   $= 5{,}1\,\text{cm}$

   Vastaus

   $\delta p = 0{,}12\,\text{kPa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiheyserossa $1000 - 998{,}2 = 1{,}8\,\text{kg/m}^3$. Kerrosten tiheysero näkyy siis paineessa vain noin $0{,}06\,\%$:n verran. Se on pienempi kuin mittarin epävarmuus $0{,}5\,\text{kPa}$ ja syvyysvirhe $1{,}2\,\text{cm}$ on pienempi kuin epävarmuutta vastaava $5{,}1\,\text{cm}$, joten ero ei näy mittarin lukemassa.

   Järkevyys

   Veden tiheys poikkeaa arvosta $1000\,\text{kg/m}^3$ eniten ylimmässä kerroksessa, alle $0{,}2\,\%$ (suhde $1{,}8 : 1000 = 0{,}0018$). Poikkeama koskee vesipatsaan ylintä $15\,\text{m}$:ä, ja välikerroksessa se on vain $0{,}03\,\%$, joten kokonaispaineen muutos on vielä pienempi: laskettu ero on noin $0{,}06\,\%$.

5. Tehtävä 5-20

   Esimerkkiaineisto: padon pystysuora betonimuuri pidättää $20{,}0\,\text{m}$:n syvyistä vettä. Tarkastellaan muurin yhden metrin levyistä kaistaa, joka jaetaan neljään yhtä korkeaan osaan; osan ala on sen korkeus kertaa leveys. Ilmanpaine vaikuttaa muuriin molemmin puolin, joten se jätetään huomiotta. Paine kasvaa syvyyden mukana lineaarisesti, joten osaan kohdistuva voima lasketaan osan ylä- ja alareunan paineiden keskiarvolla kerrottuna osan alalla. Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   a) Laske veden paine jokaisen osan ylä- ja alareunassa.

   b) Laske veden voima ylimpään ja alimpaan osaan.

   c) Laske kaikkien osien voimien summa ja tarkista se laskemalla koko kaistan voima koko muurin ylä- ja alareunan paineiden keskiarvolla.

   d) Perustele voimien suhteella, miksi padon muuri tehdään alaosastaan paksummaksi kuin yläosastaan.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) alimpaan osaan kohdistuva voima kilonewtoneina.

   Muurin kaistan osat (esimerkkiaineisto)

   Osa	$h_1\,(\text{m})$	$h_2\,(\text{m})$
   1	0,0	5,0
   2	5,0	10,0
   3	10,0	15,0
   4	15,0	20,0

   kNTarkista
   Vastaus

   $F_4 = 858\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   muurin korkeus $H = 20{,}0\,\text{m}$ neljässä osassa, joiden korkeus on $5{,}0\,\text{m}$; kaistan leveys $w = 1{,}0\,\text{m}$; $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) paineet osien reunoilla; b) voimat ylimpään ja alimpaan osaan $F_1$ ja $F_4$ kilonewtoneina; c) voimien summa ja tarkistus; d) miksi muuri on alaosasta paksumpi

   Periaate

   Vesi painaa muuria pintaa vastaan kohtisuoraan, ja paine on $\Delta p = \rho g h$. Ilmanpaine vaikuttaa muuriin molemmin puolin ja kumoaa itsensä, joten laskettavana on vain ylipaine. Koska paine on syvyyden lineaarinen funktio, osan keskipaine on sen ylä- ja alareunan paineiden keskiarvo, ja osaan kohdistuva voima on $F = p_{\text{ka}} A$.

   Taulukon lukeminen

   Taulukosta luetaan kunkin osan ylä- ja alareunan syvyydet $h_1$ ja $h_2$. Osien korkeus on $h_2 - h_1 = 5{,}0\,\text{m}$ jokaisessa, joten osan ala on $A = 5{,}0\,\text{m} \cdot 1{,}0\,\text{m} = 5{,}0\,\text{m}^2$.

   Kaava

   a) $\Delta p = \rho g h$. b)

   $p_{\text{ka}}$$= \dfrac{\rho g h_1 + \rho g h_2}{2}$

   $F = p_{\text{ka}} A$. c) koko kaista:

   $F_{\text{kok}}$$= \dfrac{0 + \rho g H}{2} \cdot H w$

   d) vertaillaan voimia $F_4$ ja $F_1$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten paineet tulevat pascaleina ja voimat newtoneina. Lopuksi $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   a) $\rho g = 9810\,\text{Pa/m}$, joten reunojen paineet ovat $0$, $49{,}05$, $98{,}1$, $147{,}15$ ja $196{,}2\,\text{kPa}$ syvyyksillä $0$, $5{,}0$, $10{,}0$, $15{,}0$ ja $20{,}0\,\text{m}$. b) Osan 1 keskipaine on $(0 + 49{,}05\,\text{kPa}) : 2 = 24{,}525\,\text{kPa}$, joten

   $F_1$$= 24{,}525\,\text{kPa} \cdot 5{,}0\,\text{m}^2$

   $= 122{,}6\,\text{kN}$

   Osan 4 keskipaine on $(147{,}15\,\text{kPa} + 196{,}2\,\text{kPa}) : 2 = 171{,}675\,\text{kPa}$, joten

   $$\begin{aligned} F_4 &= 171{,}675\,\text{kPa} \cdot 5{,}0\,\text{m}^2 \\ &= 858{,}375\,\text{kN} \end{aligned}$$

   c) Osille 2 ja 3 saadaan samalla tavalla $367{,}9\,\text{kN}$ ja $613{,}1\,\text{kN}$. Summa on

   $122{,}6\,\text{kN} + 367{,}9\,\text{kN} + 613{,}1\,\text{kN} + 858{,}4\,\text{kN}$

   $= 1962\,\text{kN}$

   Tarkistus koko kaistalle: $98{,}1\,\text{kPa} \cdot 20{,}0\,\text{m}^2 = 1962\,\text{kN}$. d) Voimien suhde on

   $F_4 : F_1$$= 858{,}4\,\text{kN} : 122{,}6\,\text{kN}$

   $= 7{,}0$

   Vastaus

   $F_4 = 858\,\text{kN}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska syvyydet $15{,}0\,\text{m}$ ja $20{,}0\,\text{m}$ on annettu kolmella numerolla ja kaistan leveys on tasan yksi metri. Alimpaan osaan kohdistuu seitsenkertainen voima ylimpään verrattuna ($F_1 = 123\,\text{kN}$), koska paine kasvaa syvyyden mukana. Siksi muuri tehdään alaosastaan paksummaksi: alaosan on kestettävä paljon suurempi voima kuin yläosan.

   Järkevyys

   Osien voimat kasvavat tasaisin askelin suhteessa $1 : 3 : 5 : 7$ ($122{,}6 \cdot 3 \approx 367{,}9$, $122{,}6 \cdot 5 \approx 613{,}1$, $122{,}6 \cdot 7 \approx 858{,}4$), mikä sopii lineaarisesti kasvavaan paineeseen.