Paine ja hydrostaattinen paine

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Hiihtäjän paino on $720\,\text{N}$. Se jakautuu tasaisesti suksien pohjille, joiden yhteinen pinta-ala on $0{,}30\,\text{m}^2$. Kuinka suuri paine suksista kohdistuu lumeen?

   PaTarkista
   Vastaus

   $2400\,\text{Pa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hiihtäjän paino eli voima lumeen $F = 720\,\text{N}$, suksien yhteinen pinta-ala $A = 0{,}30\,\text{m}^2$

   Kysytty

   lumeen kohdistuva paine $p$ pascaleina

   Periaate

   Paine on voiman ja pinta-alan suhde. Voima vaikuttaa kohtisuoraan pintaa vastaan. Paino jakautuu tasaisesti suksien pohjille. Siksi koko voima $720\,\text{N}$ jakautuu koko alalle $0{,}30\,\text{m}^2$.

   Kaava

   $p = \dfrac{F}{A}$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Voima on newtoneina ja ala neliömetreinä: $1\,\text{N}/\text{m}^2 = 1\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $p$$= \dfrac{720\,\text{N}}{0{,}30\,\text{m}^2}$

   $= 2400\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}^2}$

   $= 2400\,\text{Pa}$

   Vastaus

   $2400\,\text{Pa}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ala $0{,}30\,\text{m}^2$ on annettu kahdella numerolla (nollat ovat vain paikan pitäjiä).

   Järkevyys

   Arvio: $700\,\text{N} / 0{,}3\,\text{m}^2 \approx 2300\,\text{Pa}$. Oletetaan, että sama ihminen seisoo kengillä. Kenkien pohjien ala on noin kymmenesosa suksien alasta. Silloin paine on kymmenkertainen eli noin $24\,\text{kPa}$. Siksi sukset kantavat hangella, vaikka kengät uppoavat. Tulos on vain noin $2\,\%$ ilmanpaineesta ($101\,\text{kPa}$).

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Päijänteen syvin kohta on noin $95\,\text{m}$:n syvyydessä. Kuinka suuri on hydrostaattinen paine siellä? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$. Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $930\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 95\,\text{m}$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hydrostaattinen paine $\Delta p$ kilopascaleina

   Periaate

   Levossa olevassa nesteessä paine kasvaa syvyyden mukana, koska syvemmällä on enemmän nestettä päällä. Vesi on käytännössä kokoonpuristumatonta. Siksi $\rho$ on vakio koko syvyydellä, ja paine kasvaa suoraan syvyyden mukana. Kysytty hydrostaattinen paine on vain veden aiheuttama osa. Ilmanpainetta ei lasketa mukaan.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi muutetaan kilopascaleiksi: $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 95\,\text{m}$

   $= 931\,950\,\text{Pa}$

   $= 931{,}95\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $930\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska syvyys $95\,\text{m}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Vesi lisää painetta noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti. Siksi $95\,\text{m}$ antaa noin $950\,\text{kPa}$. Tarkka arvo on hieman pienempi, koska $g < 10\,\text{m/s}^2$. Tulos on noin $930/101 \approx 9{,}2$ ilmanpainetta.

3. Tehtävä 5-3

   Järven pohjaan $18{,}0\,\text{m}$:n syvyyteen on asennettu painemittari. Ilmanpaine järven pinnalla on $98{,}5\,\text{kPa}$, koska on matalapaine. Mikä on kokonaispaine mittarin kohdalla? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $275\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 18{,}0\,\text{m}$, ilmanpaine pinnalla $p_0 = 98{,}5\,\text{kPa}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaispaine $p$ mittarin kohdalla kilopascaleina

   Periaate

   Mittari tuntee veden painon. Se tuntee myös veden pinnalla olevan ilman painon. Nesteen pinta välittää ilmanpaineen koko nesteeseen sellaisenaan. Sen päälle tulee hydrostaattinen paine $\rho g h$. Siksi paineet lasketaan yhteen.

   Kaava

   $p = p_0 + \rho g h$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ilmanpaine pascaleina: $98{,}5\,\text{kPa} = 98\,500\,\text{Pa}$. Lopuksi tulos muutetaan takaisin kilopascaleiksi: $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\rho g h$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 18{,}0\,\text{m}$

   $= 176\,580\,\text{Pa}$

   $p$$= 98\,500\,\text{Pa} + 176\,580\,\text{Pa}$

   $= 275\,080\,\text{Pa}$

   $= 275{,}08\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $275\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska syvyys $18{,}0\,\text{m}$ ja ilmanpaine $98{,}5\,\text{kPa}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Arvio: $18\,\text{m}$ vettä on noin $1{,}8$ ilmanpainetta eli noin $180\,\text{kPa}$. Siihen lisätään ilmanpaine, noin $100\,\text{kPa}$. Yhteensä saadaan noin $280\,\text{kPa}$. Tulos on suurempi kuin pelkkä hydrostaattinen paine $177\,\text{kPa}$. Se on lähes kolme ilmanpainetta.

4. Tehtävä 5-4

   Saunan kiukaan paino on $750\,\text{N}$. Kiuas seisoo neljällä jalalla, joiden yhteinen pinta-ala lattiaa vasten on $0{,}0025\,\text{m}^2$. Kuinka suuri paine jaloista kohdistuu lattiaan? Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $300\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiukaan paino eli voima lattiaan $F = 750\,\text{N}$, jalkojen yhteinen ala $A = 0{,}0025\,\text{m}^2$

   Kysytty

   lattiaan kohdistuva paine $p$ kilopascaleina

   Periaate

   Paine on voiman ja pinta-alan suhde. Kiuas seisoo paikallaan. Siksi lattiaan kohdistuva voima on yhtä suuri kuin kiukaan paino. Voima välittyy lattiaan vain jalkojen pienen alan kautta.

   Kaava

   $p = \dfrac{F}{A}$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja ala neliömetreinä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi muutetaan kilopascaleiksi: $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $p$$= \dfrac{750\,\text{N}}{0{,}0025\,\text{m}^2}$

   $= 300\,000\,\text{Pa}$

   $= 300\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $300\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ala $0{,}0025\,\text{m}^2$ on annettu kahdella numerolla (nollat ovat paikan pitäjiä).

   Järkevyys

   Yhden jalan ala on $0{,}0025\,\text{m}^2 / 4 \approx 6\,\text{cm}^2$, esimerkiksi $2{,}5\,\text{cm} \cdot 2{,}5\,\text{cm}$. Se on uskottava jalan koko. Paine on noin kolme ilmanpainetta. Siksi raskaan kiukaan jalat voivat painua pehmeään lattiaan. Jos ala olisi kymmenkertainen, paine olisi vain kymmenesosa.

5. Tehtävä 5-5

   Saunan vesisaavissa veden syvyys on $0{,}45\,\text{m}$. Kuinka suuri on hydrostaattinen paine saavin pohjalla? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   PaTarkista
   Vastaus

   $4400\,\text{Pa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 0{,}45\,\text{m}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hydrostaattinen paine $\Delta p$ pascaleina

   Periaate

   Saavissa vesi on levossa ja sen tiheys on vakio. Siksi paine kasvaa suoraan syvyyden mukana. Pohjalla hydrostaattinen paine riippuu vain syvyydestä. Se ei riipu saavin muodosta eikä vesimäärästä.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja tulos kysytään pascaleina.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}45\,\text{m}$

   $= 4414{,}5\,\text{Pa}$

   Vastaus

   $4400\,\text{Pa}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska syvyys $0{,}45\,\text{m}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Vesi lisää painetta noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti. Alle puolessa metrissä paine on siis noin $4{,}5\,\text{kPa}$. Tulos on vain noin $4\,\%$ ilmanpaineesta. Pohja ei tunne suurta ylipainetta.

6. Tehtävä 5-6

   Naula menee puuhun kärki edellä, kun sitä painetaan peukalolla. Kanta edellä se ei mene. Peukalon voima on kummassakin tapauksessa yhtä suuri. Mikä selittää eron?

   Valitse vaihtoehto.

   • Paine on kärjessä ja kannassa yhtä suuri, joten ero johtuu vain naulan omasta painosta.
   • Kärjen pinta-ala on pieni, joten sama voima aiheuttaa kärjessä suuremman paineen.
   • Kärkeen kohdistuu suurempi voima kuin kantaan, koska naula vahvistaa peukalon voimaa.
   • Kannan pinta-ala on suuri, joten kantaan kohdistuu suurempi paine kuin kärkeen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kärjen pinta-ala on pieni, joten sama voima aiheuttaa kärjessä suuremman paineen.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi naula menee puuhun kärki edellä mutta ei kanta edellä, kun peukalon voima on sama.

   Periaate

   Paine on pintaa vastaan kohtisuoran voiman ja pinta-alan suhde, $p = F/A$. Naula on peukalon ja puun välissä tasapainossa. Siksi voima on kärjessä, kannassa ja peukalolla yhtä suuri. Paine riippuu siis vain siitä, kuinka pieneen alaan sama voima keskittyy.

   Mallivastaus

   Kärjen pinta-ala on pieni, joten sama voima aiheuttaa kärjessä suuremman paineen. Silloin puun kuidut antavat periksi. Kannan ala on moninkertainen, joten paine on siellä pieni. Siksi naula ei tunkeudu puuhun. Naula ei vahvista voimaa. Voima on kummassakin tapauksessa yhtä suuri, mutta paine ei ole. Naulan oma paino ei vaikuta, koska se on pieni peukalon voimaan verrattuna.

7. Tehtävä 5-7

   Itämeren vesi on murtovettä. Sen tiheys on $1005\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on hydrostaattinen paine Itämeren vedessä $40\,\text{m}$:n syvyydessä? Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $390\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $h = 40\,\text{m}$, Itämeren veden tiheys $\rho = 1005\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hydrostaattinen paine $\Delta p$ kilopascaleina

   Periaate

   Levossa olevassa nesteessä paine kasvaa syvyyden mukana, koska syvemmällä on enemmän nestettä päällä. Murtovesi on makean veden tavoin käytännössä kokoonpuristumatonta. Siksi $\rho$ on vakio. Kysytty hydrostaattinen paine on vain veden aiheuttama osa. Ilmanpainetta ei lasketa mukaan.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi muutetaan kilopascaleiksi: $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1005\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 40\,\text{m}$

   $= 394\,362\,\text{Pa}$

   $= 394{,}362\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $390\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska syvyys $40\,\text{m}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Vesi lisää painetta noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti. Siksi $40\,\text{m}$ antaa noin $400\,\text{kPa}$. Tarkka arvo on hieman pienempi, koska $g < 10\,\text{m/s}^2$. Makean veden tiheydellä $1000\,\text{kg/m}^3$ tulos olisi $392\,\text{kPa}$. Murtoveden suurempi tiheys muuttaa tulosta siis alle $1\,\%$.

8. Tehtävä 5-8

   Oppilas väittää: ”Järvessä $10\,\text{m}$:n syvyydessä kokonaispaine on kaksi kertaa niin suuri kuin $5\,\text{m}$:n syvyydessä, koska syvyys on kaksinkertainen.” Mikä virhe päättelyssä on?

   Valitse vaihtoehto.

   • Syvemmällä vesi on kevyempää, joten paine kasvaa hitaammin kuin syvyys kasvaa.
   • Paine kasvaa syvyyden neliön mukaan, joten se on yli kaksinkertainen kaksinkertaisessa syvyydessä.
   • Vain veden osuus kaksinkertaistuu, koska ilmanpaine on kummassakin syvyydessä sama.
   • Paine ei riipu syvyydestä, koska nesteen paine määräytyy vain tiheydestä ja ilmanpaineesta.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Vain veden osuus kaksinkertaistuu, koska ilmanpaine on kummassakin syvyydessä sama.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä virhe on väitteessä, että kaksinkertaisessa syvyydessä myös kokonaispaine on kaksinkertainen.

   Periaate

   Nesteessä kokonaispaine on $p = p_0 + \rho g h$. Hydrostaattinen osa $\rho g h$ on suoraan verrannollinen syvyyteen. Pinnan paine $p_0$ on kuitenkin vakiotermi. Se on sama jokaisessa syvyydessä.

   Mallivastaus

   Vain veden osuus kaksinkertaistuu, koska ilmanpaine on kummassakin syvyydessä sama. Esimerkki: ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$. Syvyydessä $5\,\text{m}$ paine on $101\,\text{kPa} + 49\,\text{kPa} = 150\,\text{kPa}$. Syvyydessä $10\,\text{m}$ se on $101\,\text{kPa} + 98\,\text{kPa} = 199\,\text{kPa}$. Paine on siis vain noin $1{,}3$-kertainen. Paine kasvaa syvyyden mukana, mutta ei neliöllisesti. Veden tiheys on joka syvyydessä sama.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-9Ydintehtävä

   Ihmisen paino on $600\,\text{N}$. Askeleen alussa hän painaa hetken parkettilattiaa pelkällä korkokengän korolla. Koron kosketusala lattiaan on $1{,}5\,\text{cm}^2$.

   Kuinka suuri paine korosta kohdistuu lattiaan? Anna vastaus megapascaleina (MPa). Etuliite mega tarkoittaa miljoonaa.

   MPaTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{MPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F = 600\,\text{N}$, koron kosketusala $A = 1{,}5\,\text{cm}^2$

   Kysytty

   paine $p$ megapascaleina

   Periaate

   Paine on voiman ja pinta-alan suhde. Askeleen alussa koko paino $600\,\text{N}$ välittyy lattiaan koron pienen alan kautta. Siksi voima jakautuu vain alalle $1{,}5\,\text{cm}^2$.

   Kaava

   $p = \dfrac{F}{A}$; tuntematon $p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   $1\,\text{cm}^2$$= (0{,}01\,\text{m})^2$

   $= 10^{-4}\,\text{m}^2$

   joten $A = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$. Lopuksi muutetaan megapascaleiksi: $1\,\text{MPa} = 10^6\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $p$$= \dfrac{600\,\text{N}}{1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2}$

   $= 4\,000\,000\,\text{Pa}$

   $= 4{,}0\,\text{MPa}$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{MPa}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ala $1{,}5\,\text{cm}^2$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Paine on noin $4{,}0\,\text{MPa} / 0{,}101\,\text{MPa} \approx 40$ ilmanpainetta. Verrataan paljaaseen jalkapohjaan, jonka ala on noin $200\,\text{cm}^2$. Se antaisi vain noin $600\,\text{N} / 0{,}02\,\text{m}^2 = 30\,\text{kPa}$. Koron paine on siis yli sata kertaa suurempi. Siksi korko jättää lommon parkettiin.

2. Tehtävä 5-10Ydintehtävä

   Talo saa vetensä vesitornista. Hanat ovat kiinni. Silloin painemittari näyttää kellarin hanan kohdalla ylipaineen $350\,\text{kPa}$. Kuinka korkealla tornin vedenpinta on hanan yläpuolella? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   mTarkista
   Vastaus

   $35{,}7\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylipaine $\Delta p = 350\,\text{kPa}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   vedenpinnan korkeus $h$ hanan yläpuolella metreinä

   Periaate

   Hanat ovat kiinni, joten vesi on levossa. Silloin ylipaine hanalla on vesipatsaan hydrostaattinen paine $\Delta p = \rho g h$. Tornin ja hanan välinen vesi on yhtenäistä. Siksi vain korkeusero ratkaisee. Putkiston pituudella ei ole väliä.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$, josta $h = \dfrac{\Delta p}{\rho g}$

   Muunnokset

   $350\,\text{kPa} = 350\,000\,\text{Pa}$. Näin yksiköt $\text{Pa} = \text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2)$ supistuvat metreiksi.

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{350\,000\,\text{Pa}}{1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

   $= 35{,}678\,\text{m}$

   Vastaus

   $35{,}7\,\text{m}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa. Ylipaine $350\,\text{kPa} = 3{,}50\cdot10^{2}\,\text{kPa}$ ja tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$ on tässä annettu kolmen numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Vesi antaa noin $10\,\text{kPa}$ metriä kohti. Siksi $350\,\text{kPa}$ vastaa noin $35\,\text{m}$. Tarkka arvo on hieman suurempi, koska $g < 10\,\text{m/s}^2$. Takaisin laskettuna

   $\rho g h$$= 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 35{,}7\,\text{Pa}$

   $\approx 350\,\text{kPa}$

   Vesitornit ovat tämän korkuisia.

3. Tehtävä 5-11

   Kuvaajassa ovat kahden nesteen, A:n ja B:n, paineet syvyyden funktiona. Pinnalla paine on molemmissa sama.

   Missä syvyydessä nesteessä A paine on yhtä suuri kuin nesteessä B syvyydessä $4{,}0\,\text{m}$?

   mTarkista
   Vastaus

   $h_\text{A} = 6{,}0\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta luettuna molemmissa nesteissä $p_0 = 100\,\text{kPa}$. Suora A kulkee pisteen $(10\,\text{m}$; $200\,\text{kPa})$ kautta. Suora B kulkee pisteen $(10\,\text{m}$; $250\,\text{kPa})$ kautta. $h_\text{B} = 4{,}0\,\text{m}$

   Kysytty

   syvyys $h_\text{A}$, jossa nesteen A paine on sama kuin nesteen B paine syvyydessä $h_\text{B}$

   Periaate

   Nesteessä $p = p_0 + \rho g h$. Siksi $(h, p)$-kuvaaja on suora. Suoran kulmakerroin on $k = \rho g$, ja se on suurempi tiheämmällä nesteellä. Tiheyksiä ei tarvitse laskea. Kulmakertoimet luetaan kuvaajalta.

   Kuvaajan lukeminen

   Suorat alkavat samasta pisteestä $(0\,\text{m}$; $100\,\text{kPa})$. Ne päättyvät ruudukon risteyksiin. Siis

   $k_\text{A}$$= \dfrac{(200 - 100)\,\text{kPa}}{10\,\text{m}}$

   $= 10\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$

   $k_\text{B}$$= \dfrac{(250 - 100)\,\text{kPa}}{10\,\text{m}}$

   $= 15\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$

   Kaava

   $p_0 + k_\text{A} h_\text{A} = p_0 + k_\text{B} h_\text{B}$, josta

   $h_\text{A}$$= \dfrac{k_\text{B}}{k_\text{A}}\, h_\text{B}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Kilopascalit supistuvat suhteessa $k_\text{B}/k_\text{A}$.

   Sijoitus

   $h_\text{A}$$= \dfrac{15\,\text{kPa/m}}{10\,\text{kPa/m}} \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= 6{,}0\,\text{m}$

   Vastaus

   $h_\text{A} = 6{,}0\,\text{m}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska syvyys $4{,}0\,\text{m}$ on annettu kahdella numerolla. Silmällä luettu arvo $5{,}8$–$6{,}2\,\text{m}$ hyväksytään.

   Järkevyys

   Neste A on harvempaa. Siksi saman paineen saavuttamiseen tarvitaan suurempi syvyys kuin $4{,}0\,\text{m}$. Tarkistus:

   $100\,\text{kPa} + 10\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 6{,}0\,\text{m}$

   $= 160\,\text{kPa}$

   $= 100\,\text{kPa} + 15\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 4{,}0\,\text{m}$
4. Tehtävä 5-12

   Painekattilan sisällä on ylipaine $0{,}85\,\text{bar}$ ($1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$). Kannen pinta-ala on $380\,\text{cm}^2$. Kuinka suuren voiman ylipaine kohdistaa kanteen? Anna vastaus kilonewtoneina.

   kNTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylipaine $\Delta p = 0{,}85\,\text{bar}$ (tehtävän mukaan $1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$), kannen ala $A = 380\,\text{cm}^2$

   Kysytty

   kanteen kohdistuva voima $F$ kilonewtoneina

   Periaate

   Ylipaine työntää kantta sisältä päin joka kohdassa. Paine on voima jaettuna alalla. Kokonaisvoima on siis ylipaine kerrottuna kannen alalla. Ulkoilman paine ei kuulu tähän, koska kysytään vain ylipaineen aiheuttamaa voimaa.

   Kaava

   $\Delta p = \dfrac{F}{A}$, josta $F = \Delta p\,A$

   Muunnokset

   $0{,}85\,\text{bar}$$= 85\,\text{kPa}$

   $= 85\,000\,\text{Pa}$

   $380\,\text{cm}^2$$= 380 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$

   $= 0{,}0380\,\text{m}^2$

   Lopuksi muutetaan kilonewtoneiksi: $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $F$$= 85\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0380\,\text{m}^2$

   $= 3230\,\text{N}$

   $= 3{,}23\,\text{kN}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{kN}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ylipaine $0{,}85\,\text{bar}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Voima vastaa $3230\,\text{N} / 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 330\,\text{kg}$:n massan painoa. Se on paljon, vaikka ylipaine on alle yhden ilmanpaineen. Arvio: $80\,\text{kPa} \cdot 0{,}04\,\text{m}^2 = 3200\,\text{N}$. Siksi kantta ei saa avata ennen kuin ylipaine on päästetty pois.

5. Tehtävä 5-13

   Esimerkkiaineisto: sukeltaja mittasi järvessä painemittarilla paineen eri syvyyksillä. Pisteisiin sovitetun suoran kulmakerroin on tietokoneella laskettuna $9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$. Suora kulkee pisteiden keskipisteen $(h_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta. Keskipiste on pisteiden keskiarvo. Mittarin lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$.

   a) Laske veden tiheys $\rho$ kulmakertoimesta.

   b) Laske taulukon keskipiste. Laske sen avulla suoran vakiotermi eli ilmanpaine $p_0$ pinnalla.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) ilmanpaine kilopascaleina.

   Järven paine syvyyden funktiona (esimerkkiaineisto)

   $h\,(\text{m})$	$p\,(\text{kPa})$
   0,0	99,6
   2,0	119,5
   4,0	138,6
   6,0	158,7
   8,0	178,1
   10,0	197,3

   kPaTarkista
   Vastaus

   $p_0 = 99{,}7\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuusi pistettä $(h, p)$ taulukosta; sovitetun suoran kulmakerroin $k = 9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$; suora kulkee keskipisteen $(h_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) veden tiheys $\rho$; b) ilmanpaine $p_0$ kilopascaleina

   Periaate

   Paine nesteessä on $p = p_0 + \rho g h$. Siksi kuvaaja $(h, p)$ on suora. Sen kulmakerroin on $\rho g$ ja vakiotermi on $p_0$. Mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla, koska mittauksessa on epävarmuutta. Siksi sovitettu suora kulkee pisteiden joukon keskeltä eli keskipisteen kautta.

   Taulukon lukeminen

   Vakiotermi on suoran paine kohdassa $h = 0$. Se saadaan keskipisteestä. Syvyyksien summa on $30{,}0\,\text{m}$ ja paineiden summa $891{,}8\,\text{kPa}$.

   Kaava

   a) $k = \rho g$, joten $\rho = \dfrac{k}{g}$. b) $p_{\text{ka}} = p_0 + k h_{\text{ka}}$, joten $p_0 = p_{\text{ka}} - k h_{\text{ka}}$

   Muunnokset

   $k$$= 9{,}78\,\text{kPa/m}$

   $= 9780\,\text{Pa/m}$

   $= 9780\,\text{N/m}^3$

   Silloin tiheys tulee yksikössä $\text{kg/m}^3$.

   Sijoitus

   a)

   $\rho$$= \dfrac{9780\,\text{N/m}^3}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 997{,}0\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

   b)

   $h_{\text{ka}}$$= 30{,}0\,\text{m} : 6$

   $= 5{,}0\,\text{m}$

   $p_{\text{ka}}$$= 891{,}8\,\text{kPa} : 6$

   $= 148{,}63\,\text{kPa}$

   joten

   $$\begin{aligned} p_0 &= 148{,}63\,\text{kPa} - 9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 5{,}0\,\text{m} \\ &= 148{,}63\,\text{kPa} - 48{,}9\,\text{kPa} \\ &= 99{,}73\,\text{kPa} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $p_0 = 99{,}7\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin ja paineet on annettu kolmella numerolla. Tiheys on $997\,\text{kg/m}^3$.

   Järkevyys

   Suora antaa kohdassa $h = 10{,}0\,\text{m}$ paineen

   $99{,}73\,\text{kPa} + 9{,}78\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot 10{,}0\,\text{m}$

   $= 197{,}5\,\text{kPa}$

   Mitattu arvo on $197{,}3\,\text{kPa}$. Ero on vain $0{,}2\,\text{kPa}$, eli alle epävarmuuden $0{,}5\,\text{kPa}$. Tiheys on lähellä veden tiheyttä $1000\,\text{kg/m}^3$. Ilmanpaine on lähellä arvoa $101\,\text{kPa}$.

6. Tehtävä 5-14

   Esimerkkiaineisto: neljä erimuotoista lasiastiaa täytettiin vedellä $0{,}300\,\text{m}$:n korkeuteen. Astian pohjalla olevalla painemittarilla mitattiin ylipaine. Mittarin lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}1\,\text{kPa}$. Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$.

   a) Laske hydrostaattinen paine syvyydellä $0{,}300\,\text{m}$. Tarkista, sopiiko tulos taulukon mittauksiin.

   b) Selitä, miksi pohjan paine on lähes sama kaikissa astioissa, vaikka vettä on eri määrä.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos kilopascaleina.

   Pohjan ylipaine eri astioissa (esimerkkiaineisto)

   Astia	$V\,(\text{l})$	$\Delta p\,(\text{kPa})$
   suora	1,5	2,9
   alas levenevä	2,4	3,0
   ylös levenevä	0,8	3,0
   pullo	1,2	2,9

   kPaTarkista
   Vastaus

   $2{,}94\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesipatsaan korkeus $h = 0{,}300\,\text{m}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; mitatut ylipaineet $2{,}9\ldots 3{,}0\,\text{kPa}$, lukeman epävarmuus $\pm 0{,}1\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) hydrostaattinen paine $\Delta p$ kilopascaleina; b) miksi pohjan paine on lähes sama eri astioissa

   Periaate

   Levossa olevassa nesteessä hydrostaattinen paine riippuu vain syvyydestä ja nesteen tiheydestä, $\Delta p = \rho g h$. Astian muoto ja veden määrä eivät ole kaavassa. Mittari mittaa ylipainetta ilmanpaineeseen verrattuna.

   Taulukon lukeminen

   Taulukon neljä ylipainetta ovat $2{,}9\,\text{kPa}$, $3{,}0\,\text{kPa}$, $3{,}0\,\text{kPa}$ ja $2{,}9\,\text{kPa}$. Vettä on silti $0{,}8\ldots 2{,}4\,\textsf{l}$. Arvot poikkeavat toisistaan vain mittarin epävarmuuden verran.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$; tuntematon $\Delta p$ on jo yksin vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee pascaleina. Lopuksi muutetaan kilopascaleiksi: $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}300\,\text{m}$

   $= 2943\,\text{Pa}$

   $= 2{,}94\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $2{,}94\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska korkeus $0{,}300\,\text{m}$ on annettu kolmella numerolla. Kohdan b) selitys: pohjan paine määräytyy vain syvyydestä ja tiheydestä. Siksi astian muoto ja vesimäärä eivät vaikuta siihen.

   Järkevyys

   Jokainen mitattu arvo on $0{,}1\,\text{kPa}$:n sisällä laskusta. Erot ovat $0{,}04\,\text{kPa}$ ja $0{,}06\,\text{kPa}$. Suurimmassa astiassa on kolminkertainen määrä vettä pienimpään verrattuna ($2{,}4\,\textsf{l} : 0{,}8\,\textsf{l} = 3$). Paine on silti sama. Paine ei siis voi riippua vesimäärästä.

7. Tehtävä 5-15

   Esimerkkiaineisto: U-putkimanometrin toinen haara on avoin ilmakehään. Toinen haara on yhdistetty suljettuun kaasusäiliöön. Putkessa on vettä, jonka tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$. Nestepintojen korkeusero luettiin kolme kertaa. Kaasun puoleinen vedenpinta oli avoimen haaran pintaa alempana. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$.

   a) Laske korkeuseron keskiarvo $\Delta h_{\text{ka}}$.

   b) Laske kaasun ylipaine ilmanpaineeseen verrattuna.

   c) Laske kaasun kokonaispaine. Perustele, miksi kaasun puoleinen pinta on alempana.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos kilopascaleina.

   Nestepintojen korkeusero (esimerkkiaineisto)

   Mittaus	$\Delta h\,(\text{cm})$
   1	14,2
   2	14,8
   3	14,5

   kPaTarkista
   Vastaus

   $1{,}42\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nestepintojen korkeuserot $14{,}2\,\text{cm}$, $14{,}8\,\text{cm}$ ja $14{,}5\,\text{cm}$; $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, ilmanpaine $p_0 = 101\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) keskiarvo $\Delta h_{\text{ka}}$; b) kaasun ylipaine $\Delta p$ kilopascaleina; c) kaasun kokonaispaine $p$

   Periaate

   Putken avoin haara on ilmanpaineessa. Samalla vaakatasolla samassa nesteessä paine on sama. Siksi korkeuseron $\Delta h$ aiheuttama hydrostaattinen paine $\rho g \Delta h$ on kaasun paineen ja ilmanpaineen erotus. Toistetun mittauksen keskiarvo pienentää satunnaista lukuvirhettä.

   Kaava

   $\Delta h_{\text{ka}}$$= \dfrac{\text{summa}}{3}$

   $\Delta p = \rho g \Delta h_{\text{ka}}$; $p = p_0 + \Delta p$

   Muunnokset

   Korkeus senttimetreistä metreiksi:

   $14{,}5\,\text{cm}$$= 14{,}5 : 100\,\text{m}$

   $= 0{,}145\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   a) Summa on

   $14{,}2\,\text{cm} + 14{,}8\,\text{cm} + 14{,}5\,\text{cm}$

   $= 43{,}5\,\text{cm}$

   joten

   $\Delta h_{\text{ka}}$$= 43{,}5\,\text{cm} : 3$

   $= 14{,}5\,\text{cm}$

   b)

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}145\,\text{m}$

   $= 1422{,}45\,\text{Pa}$

   $= 1{,}42\,\text{kPa}$

   c)

   $p$$= 101\,\text{kPa} + 1{,}42\,\text{kPa}$

   $= 102{,}42\,\text{kPa}$

   Vastaus

   b) $1{,}42\,\text{kPa}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska korkeusero $14{,}5\,\text{cm}$ on annettu kolmella numerolla. Kohdassa c) kokonaispaine on $102\,\text{kPa}$, koska ilmanpaine $101\,\text{kPa}$ on annettu kolmella numerolla. Kaasun puoleinen pinta on alempana, koska kaasun paine on suurempi kuin ilmanpaine. Kaasu painaa nestettä alas omassa haarassaan. Se painaa, kunnes korkeuseron vesipatsas tasapainottaa ylipaineen.

   Järkevyys

   Vesipatsas $10\,\text{cm}$ vastaa noin $1\,\text{kPa}$. Siksi $14{,}5\,\text{cm}$ vastaa noin $1{,}4\,\text{kPa}$. Ylipaine on vain noin $1{,}4\,\%$ ilmanpaineesta ($1{,}42/101 = 0{,}014$). Se sopii pieneen korkeuseroon.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 5-16

   Retkeilijän massa on rinkan kanssa $85\,\text{kg}$. Upottava hanki kantaa, jos paine siihen on enintään $6{,}0\,\text{kPa}$. Kävellessä retkeilijä on hetkittäin vain yhden jalan varassa.

   Kuinka suuri yhden lumikengän pinta-alan on vähintään oltava? Silloin retkeilijä ei uppoa.

   m²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}14\,\text{m}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa rinkan kanssa $m = 85\,\text{kg}$, suurin sallittu paine $p_\text{max} = 6{,}0\,\text{kPa}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; koko paino on yhden jalan varassa

   Kysytty

   yhden lumikengän pienin pinta-ala $A$ neliömetreinä

   Periaate

   Retkeilijä ei uppoa, kun paine lumeen on enintään $p_\text{max}$. Hetkittäin koko paino on yhden jalan varassa. Silloin tähän kenkään kohdistuva voima on koko paino $G = mg$. Ala on pienin, kun paine on juuri $p_\text{max}$.

   Kaava

   $G = mg$ ja $p_\text{max} = \dfrac{G}{A}$, josta

   $A$$= \dfrac{G}{p_\text{max}}$

   $= \dfrac{mg}{p_\text{max}}$

   Muunnokset

   $6{,}0\,\text{kPa} = 6000\,\text{Pa}$. Massa on jo kilogrammoina.

   Sijoitus

   $G$$= 85\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

   $= 833{,}85\,\text{N}$

   $A$$= \dfrac{833{,}85\,\text{N}}{6000\,\text{Pa}}$

   $= 0{,}13898\,\text{m}^2$

   Vastaus

   $0{,}14\,\text{m}^2$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska paine $6{,}0\,\text{kPa}$ ja massa $85\,\text{kg}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Takaisin laskettuna $833{,}85\,\text{N} / 0{,}14\,\text{m}^2 \approx 5960\,\text{Pa}$. Se on alle $6000\,\text{Pa}$. Ala on esimerkiksi $25\,\text{cm} \cdot 56\,\text{cm}$, tavallisen lumikengän koko. Tavallisen kengän pohjan ala on noin $0{,}03\,\text{m}^2$. Sillä paine olisi noin $28\,\text{kPa}$, joten kenkä uppoaisi.

2. Tehtävä 5-17

   Mökin sadevesitynnyri on täynnä vettä. Sen tiivis kansi on vettä vasten. Kannen pinta-ala on $0{,}25\,\text{m}^2$.

   Kannen läpi asennetaan ohut pystysuora letku. Letku täytetään vedellä $4{,}0\,\text{m}$:n korkeuteen kannen yläpuolelle. Letkuun mahtuu vain $0{,}40\,\textsf{l}$ vettä.

   Kuinka paljon kasvaa voima, jolla tynnyrin vesi painaa kantta? Anna vastaus kilonewtoneina.

   kNTarkista
   Vastaus

   $9{,}8\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   letkun korkeus kannen yläpuolella $h = 4{,}0\,\text{m}$, kannen ala $A = 0{,}25\,\text{m}^2$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; letkun vesimäärä $0{,}40\,\textsf{l}$

   Kysytty

   kanteen kohdistuvan voiman kasvu $\Delta F$ kilonewtoneina

   Periaate

   Tynnyrin vesi ja letkun vesi ovat yhtä nestettä levossa. Siksi paine kannen kohdalla kasvaa letkun vesipatsaan hydrostaattisen paineen $\rho g h$ verran. Paine riippuu vain korkeudesta, ei vesimäärästä. Siksi ohut letku riittää. Paineen kasvu vaikuttaa koko kannen alalle.

   Kaava

   $\Delta p = \rho g h$ ja $\Delta F = \Delta p \, A$, joten $\Delta F = \rho g h A$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi muutetaan kilonewtoneiksi: $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $\Delta p$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= 39\,240\,\text{Pa}$

   $\Delta F$$= 39\,240\,\text{Pa} \cdot 0{,}25\,\text{m}^2$

   $= 9810\,\text{N}$

   $= 9{,}81\,\text{kN}$

   Vastaus

   $9{,}8\,\text{kN}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska korkeus $4{,}0\,\text{m}$ ja ala $0{,}25\,\text{m}^2$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Letkun $0{,}40\,\textsf{l}$ vettä painaa vain $0{,}40\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 3{,}9\,\text{N}$. Kanteen kohdistuu kuitenkin lähes $10\,\text{kN}$. Suhde on $9810 / 3{,}9 \approx 2500$. Se on sama kuin kannen ja letkun poikkipinta-alan ($1\,\text{cm}^2$) suhde. Siksi ohut letku voi rikkoa tynnyrin.

3. Tehtävä 5-18

   Huoltoaseman öljynerotuskaivon pohjalla on $1{,}60\,\text{m}$:n kerros vettä. Veden päällä on $0{,}40\,\text{m}$:n kerros öljyä, jonka tiheys on $850\,\text{kg/m}^3$.

   Kuinka suuri on ylipaine kaivon pohjalla? Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$. Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $19{,}0\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesikerros $h_2 = 1{,}60\,\text{m}$, $\rho_2 = 1000\,\text{kg/m}^3$; sen päällä öljykerros $h_1 = 0{,}40\,\text{m}$, $\rho_1 = 850\,\text{kg/m}^3$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ylipaine $\Delta p$ kaivon pohjalla kilopascaleina

   Periaate

   Nesteet ovat levossa. Pohjaa painaa koko niiden päällä oleva nestepatsas. Tiheys vaihtuu rajapinnalla. Siksi kummankin kerroksen hydrostaattinen paine lasketaan omalla tiheydellään ja korkeudellaan. Sitten paineet lasketaan yhteen. Ylipaine tarkoittaa, että ilmanpainetta ei lasketa mukaan.

   Kaava

   kerrosten paineet lasketaan yhteen, joten $\Delta p = \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten paine tulee pascaleina. Lopuksi muutetaan kilopascaleiksi: $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $\rho_1 g h_1$$= 850\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}40\,\text{m}$

   $= 3335{,}4\,\text{Pa}$

   $\rho_2 g h_2$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1{,}60\,\text{m}$

   $= 15\,696\,\text{Pa}$

   $\Delta p$$= 3335{,}4\,\text{Pa} + 15\,696\,\text{Pa}$

   $= 19\,031{,}4\,\text{Pa}$

   Vastaus

   $19{,}0\,\text{kPa}$

   Summassa desimaalit määräytyvät epätarkimman termin mukaan. Öljykerroksen $3{,}3\,\text{kPa}$ on tarkka yhden desimaalin tarkkuudella (paksuus $0{,}40\,\text{m}$, kaksi numeroa). Siksi $3{,}3 + 15{,}7 = 19{,}0\,\text{kPa}$.

   Järkevyys

   Jos koko $2{,}00\,\text{m}$ olisi vettä, ylipaine olisi $1000 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}00 = 19\,620\,\text{Pa}$. Öljy on kevyempää, joten tulos on pienempi. Ero on $(1000 - 850) \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}40\,\text{Pa} = 588{,}6\,\text{Pa}$ ja $19\,620 - 588{,}6 = 19\,031{,}4\,\text{Pa}$, kuten laskettiin.

4. Tehtävä 5-19

   Esimerkkiaineisto: kesällä järvessä on lämpötilakerroksia, ja veden tiheys riippuu lämpötilasta. Ryhmä asensi järveen painemittarin $20{,}0\,\text{m}$:n syvyyteen. Taulukossa ovat veden kerrokset pinnasta alaspäin. Painemittarin lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$. Ilmanpaine jätetään huomiotta ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   a) Laske mittarin kohdalla hydrostaattinen paine. Ota jokaisen kerroksen oma tiheys huomioon.

   b) Laske sama paine olettamalla koko vesipatsaan tiheydeksi $1000\,\text{kg/m}^3$. Laske, kuinka paljon suurempi tämä tulos on kuin kohdassa a).

   c) Näkyykö ero mittarin lukemassa? Muuta mittarin ylipaine syvyydeksi tiheydellä $1000\,\text{kg/m}^3$. Laske, kuinka paljon syvyys tulisi väärin. Vertaa tulosta epävarmuutta vastaavaan syvyyteen.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) ero kilopascaleina.

   Järven vesikerrokset (esimerkkiaineisto)

   Kerros	$d\,(\text{m})$	$\theta\,({}^\circ\text{C})$	$\rho\,(\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3})$
   pinta	5,0	20	998,2
   väli	10,0	10	999,7
   pohja	5,0	4	1000,0

   kPaTarkista
   Vastaus

   $\delta p = 0{,}12\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   syvyys $20{,}0\,\text{m}$; kerrokset: $5{,}0\,\text{m}$ ($998{,}2\,\text{kg/m}^3$), $10{,}0\,\text{m}$ ($999{,}7\,\text{kg/m}^3$) ja $5{,}0\,\text{m}$ ($1000{,}0\,\text{kg/m}^3$); mittarin epävarmuus $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) hydrostaattinen paine $\Delta p_{\text{a}}$ kerroksittain; b) paine vakiotiheydellä ja sen ero kohtaan a) $\delta p$ kilopascaleina; c) näkyykö ero ja syvyysvirhe

   Periaate

   Jokainen kerros lisää painetta määrän $\rho_i g d_i$. Kerrokset ovat päällekkäin, joten kerrosten paineet lasketaan yhteen. Jos tiheyttä pidetään vakiona, koko syvyydelle käytetään yhtä tiheyttä $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$. Ero voidaan havaita vain, jos se on suurempi kuin mittarin epävarmuus.

   Taulukon lukeminen

   Taulukosta luetaan kunkin kerroksen paksuus $d_i$ ja tiheys $\rho_i$. Paksuuksien summa on mittarin syvyys $20{,}0\,\text{m}$.

   Kaava

   a) $\Delta p_{\text{a}} = g\,(\rho_1 d_1 + \rho_2 d_2 + \rho_3 d_3)$. b) $\Delta p_{\text{b}} = \rho g h$ ja $\delta p = \Delta p_{\text{b}} - \Delta p_{\text{a}}$. c) syvyysvirhe

   $\delta h$$= h - \dfrac{\Delta p_{\text{a}}}{\rho g}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten paineet tulevat pascaleina. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   a) $\rho_i d_i$ -summa on

   $998{,}2 \cdot 5{,}0 + 999{,}7 \cdot 10{,}0 + 1000{,}0 \cdot 5{,}0$

   $= 19\,988\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^2}$

   joten

   $\Delta p_{\text{a}}$$= 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 19\,988\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^2}$

   $= 196\,082\,\text{Pa}$

   $= 196{,}08\,\text{kPa}$

   b)

   $\Delta p_{\text{b}}$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 20{,}0\,\text{m}$

   $= 196\,200\,\text{Pa}$

   joten

   $\delta p$$= 196\,200\,\text{Pa} - 196\,082\,\text{Pa}$

   $= 118\,\text{Pa}$

   $= 0{,}118\,\text{kPa}$

   c) Muutetaan mittarin lukema $196\,082\,\text{Pa}$ syvyydeksi tiheydellä $1000\,\text{kg/m}^3$:

   $$\begin{aligned} h' &= \dfrac{196\,082\,\text{Pa}}{1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ &= 19{,}988\,\text{m} \end{aligned}$$

   Syvyysvirhe on siis

   $20{,}0\,\text{m} - 19{,}988\,\text{m}$

   $= 0{,}012\,\text{m}$

   $= 1{,}2\,\text{cm}$

   Mittarin epävarmuus $0{,}5\,\text{kPa}$ vastaa syvyyttä

   $500\,\text{Pa} : 9810\,\text{Pa/m}$

   $= 0{,}051\,\text{m}$

   $= 5{,}1\,\text{cm}$

   Vastaus

   $\delta p = 0{,}12\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiheysero $1000 - 998{,}2 = 1{,}8\,\text{kg/m}^3$ on kahdella numerolla. Kerrosten tiheysero näkyy paineessa vain noin $0{,}06\,\%$:n verran. Se on pienempi kuin mittarin epävarmuus $0{,}5\,\text{kPa}$. Syvyysvirhe $1{,}2\,\text{cm}$ on pienempi kuin epävarmuutta vastaava $5{,}1\,\text{cm}$. Ero ei siis näy mittarin lukemassa.

   Järkevyys

   Veden tiheys poikkeaa arvosta $1000\,\text{kg/m}^3$ eniten ylimmässä kerroksessa, alle $0{,}2\,\%$ (suhde $1{,}8 : 1000 = 0{,}0018$). Poikkeama koskee vesipatsaan ylintä $15\,\text{m}$:ä. Välikerroksessa se on vain $0{,}03\,\%$. Kokonaispaineen muutos on siksi vielä pienempi: laskettu ero on noin $0{,}06\,\%$.

5. Tehtävä 5-20

   Esimerkkiaineisto: padon pystysuora betonimuuri pidättää $20{,}0\,\text{m}$:n syvyistä vettä. Tarkastellaan muurin yhden metrin levyistä kaistaa. Kaista jaetaan neljään yhtä korkeaan osaan. Osan ala on sen korkeus kertaa leveys. Ilmanpaine vaikuttaa muuriin molemmin puolin, joten se jätetään huomiotta. Paine kasvaa syvyyden mukana lineaarisesti. Siksi osaan kohdistuva voima lasketaan näin: osan ylä- ja alareunan paineiden keskiarvo kerrotaan osan alalla. Veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   a) Laske veden paine jokaisen osan ylä- ja alareunassa.

   b) Laske veden voima ylimpään ja alimpaan osaan.

   c) Laske kaikkien osien voimien summa. Tarkista se laskemalla koko kaistan voima. Käytä koko muurin ylä- ja alareunan paineiden keskiarvoa.

   d) Perustele voimien suhteella, miksi padon muuri tehdään alaosastaan paksummaksi kuin yläosastaan.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) alimpaan osaan kohdistuva voima kilonewtoneina.

   Muurin kaistan osat (esimerkkiaineisto)

   Osa	$h_1\,(\text{m})$	$h_2\,(\text{m})$
   1	0,0	5,0
   2	5,0	10,0
   3	10,0	15,0
   4	15,0	20,0

   kNTarkista
   Vastaus

   $F_4 = 858\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   muurin korkeus $H = 20{,}0\,\text{m}$ neljässä osassa, joiden korkeus on $5{,}0\,\text{m}$; kaistan leveys $w = 1{,}0\,\text{m}$; $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) paineet osien reunoilla; b) voimat ylimpään ja alimpaan osaan $F_1$ ja $F_4$ kilonewtoneina; c) voimien summa ja tarkistus; d) miksi muuri on alaosasta paksumpi

   Periaate

   Vesi painaa muuria kohtisuoraan pintaa vastaan. Paine on $\Delta p = \rho g h$. Ilmanpaine vaikuttaa muuriin molemmin puolin ja kumoaa itsensä. Siksi lasketaan vain ylipaine. Paine on syvyyden lineaarinen funktio. Siksi osan keskipaine on sen ylä- ja alareunan paineiden keskiarvo. Osaan kohdistuva voima on $F = p_{\text{ka}} A$.

   Taulukon lukeminen

   Taulukosta luetaan kunkin osan ylä- ja alareunan syvyydet $h_1$ ja $h_2$. Jokaisen osan korkeus on $h_2 - h_1 = 5{,}0\,\text{m}$. Osan ala on siis $A = 5{,}0\,\text{m} \cdot 1{,}0\,\text{m} = 5{,}0\,\text{m}^2$.

   Kaava

   a) $\Delta p = \rho g h$. b)

   $p_{\text{ka}}$$= \dfrac{\rho g h_1 + \rho g h_2}{2}$

   $F = p_{\text{ka}} A$. c) koko kaista:

   $F_{\text{kok}}$$= \dfrac{0 + \rho g H}{2} \cdot H w$

   d) verrataan voimia $F_4$ ja $F_1$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten paineet tulevat pascaleina ja voimat newtoneina. Lopuksi $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   a) $\rho g = 9810\,\text{Pa/m}$, joten reunojen paineet ovat $0$, $49{,}05$, $98{,}1$, $147{,}15$ ja $196{,}2\,\text{kPa}$ syvyyksillä $0$, $5{,}0$, $10{,}0$, $15{,}0$ ja $20{,}0\,\text{m}$. b) Osan 1 keskipaine on $(0 + 49{,}05\,\text{kPa}) : 2 = 24{,}525\,\text{kPa}$, joten

   $F_1$$= 24{,}525\,\text{kPa} \cdot 5{,}0\,\text{m}^2$

   $= 122{,}6\,\text{kN}$

   Osan 4 keskipaine on $(147{,}15\,\text{kPa} + 196{,}2\,\text{kPa}) : 2 = 171{,}675\,\text{kPa}$, joten

   $$\begin{aligned} F_4 &= 171{,}675\,\text{kPa} \cdot 5{,}0\,\text{m}^2 \\ &= 858{,}375\,\text{kN} \end{aligned}$$

   c) Osille 2 ja 3 saadaan samalla tavalla $367{,}9\,\text{kN}$ ja $613{,}1\,\text{kN}$. Summa on

   $122{,}6\,\text{kN} + 367{,}9\,\text{kN} + 613{,}1\,\text{kN} + 858{,}4\,\text{kN}$

   $= 1962\,\text{kN}$

   Tarkistus koko kaistalle: $98{,}1\,\text{kPa} \cdot 20{,}0\,\text{m}^2 = 1962\,\text{kN}$. d) Voimien suhde on

   $F_4 : F_1$$= 858{,}4\,\text{kN} : 122{,}6\,\text{kN}$

   $= 7{,}0$

   Vastaus

   $F_4 = 858\,\text{kN}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska syvyydet $15{,}0\,\text{m}$ ja $20{,}0\,\text{m}$ on annettu kolmella numerolla. Kaistan leveys on tasan yksi metri. Alimpaan osaan kohdistuu seitsenkertainen voima ylimpään verrattuna ($F_1 = 123\,\text{kN}$), koska paine kasvaa syvyyden mukana. Siksi muuri tehdään alaosastaan paksummaksi. Alaosan on kestettävä paljon suurempi voima kuin yläosan.

   Järkevyys

   Osien voimat kasvavat tasaisin askelin suhteessa $1 : 3 : 5 : 7$ ($122{,}6 \cdot 3 \approx 367{,}9$, $122{,}6 \cdot 5 \approx 613{,}1$, $122{,}6 \cdot 7 \approx 858{,}4$). Se sopii lineaarisesti kasvavaan paineeseen.