Absoluuttisen nollapisteen määrittäminen

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-1Ydintehtävä

   Suljetussa jäykässä astiassa olevan kaasun paine noudattaa mittausalueella suoraa $p = 98{,}0\,\text{kPa} + 0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$. Tässä $\theta$ on lämpötila celsiusasteina. Missä lämpötilassa suora antaa paineeksi nollan? Vastaa celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $-272\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suora $p = p_0 + k\theta$, jossa $p_0 = 98{,}0\,\text{kPa}$ ja $k = 0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Kysytty

   lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina, jossa suora antaa paineeksi $p = 0$

   Periaate

   Astia on suljettu ja jäykkä. Siksi kaasun ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina, ja paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Suoran yhtälö kuvaa siis kaasua mittausalueella. Suoraa voi jatkaa (ekstrapoloida) mittausalueen ulkopuolelle. Nollapaineen kohta saadaan asettamalla yhtälöön $p = 0$.

   Kaava

   $p = p_0 + k\theta$. Kun $p = 0$ ja $\theta = \theta_0$, niin $0 = p_0 + k\theta_0$, joten $\theta_0 = -\dfrac{p_0}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Sekä $p_0$ että $k$ ovat kilopascaleina, joten kPa supistuu pois. Tulos jää celsiusasteiksi, kuten kysytään.

   Sijoitus

   $\theta_0$$= -\dfrac{98{,}0\,\text{kPa}}{0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -272{,}22\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-272\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten arvoissa $98{,}0\,\text{kPa}$ ja $0{,}360$.

   Järkevyys

   Paine laskee $0{,}360\,\text{kPa}$ jokaista astetta kohti. Siksi $98\,\text{kPa}$ loppuu noin $98/0{,}36 \approx 270$ asteen jälkeen. Se on lähellä tulosta. Tulos on myös lähellä absoluuttista nollapistettä $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistus:

   $p$$= 98{,}0\,\text{kPa} + 0{,}360\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot (-272{,}22\,{}^\circ\text{C})$

   $= 0\,\text{kPa}$
2. Tehtävä 4-2Ydintehtävä

   Suljetussa jäykässä astiassa on harvaa kaasua. Kaasun paine on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $105{,}0\,\text{kPa}$ ja $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $127{,}0\,\text{kPa}$. Laske näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin yksikössä kPa/°C.

   kPa/°CTarkista
   Vastaus

   $0{,}367\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi pistettä suoralta: $(\theta_1, p_1) = (20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $105{,}0\,\text{kPa})$ ja $(\theta_2, p_2) = (80{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $127{,}0\,\text{kPa})$

   Kysytty

   suoran kulmakerroin $k$ yksikössä $\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Periaate

   Suljetussa jäykässä astiassa harvan kaasun paine on mittausalueella lämpötilan lineaarinen funktio. Siksi suoran kulmakerroin on kaikkialla sama. Se kertoo, kuinka monta kilopascalia paine kasvaa yhtä celsiusastetta kohti. Voit laskea sen mistä tahansa kahdesta suoran pisteestä.

   Kaava

   $k = \dfrac{\Delta p}{\Delta\theta}$, missä $\Delta p = p_2 - p_1$ ja $\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$, joten

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   Muunnokset

   Yksiköitä ei muunneta, sillä kulmakerroin kysytään yksikössä $\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$. Lämpötilaero on

   $\Delta\theta$$= 80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 60{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   Se on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(127{,}0 - 105{,}0)\,\text{kPa}}{(80{,}0 - 20{,}0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{22{,}0\,\text{kPa}}{60{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Vastaus

   $0{,}367\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska molemmat erotukset tunnetaan kolmella numerolla. Ne ovat painemuutos $22{,}0\,\text{kPa}$ ja lämpötilaero $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Kulmakerroin on positiivinen, koska paine kasvaa lämpötilan noustessa. Tarkistus:

   $105{,}0\,\text{kPa} + 0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 60{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 127{,}0\,\text{kPa}$

   Arvo on samaa suuruusluokkaa kuin muissa tämän luvun kokeissa ($0{,}36\ldots 0{,}39\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$).

3. Tehtävä 4-3

   Oppilasryhmä sai ekstrapoloimalla absoluuttisen nollapisteen arvoksi $-267{,}90\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka monta celsiusastetta tulos poikkeaa hyväksytystä arvosta $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$?

   °CTarkista
   Vastaus

   $5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ryhmän tulos $\theta_0 = -267{,}90\,{}^\circ\text{C}$ ja hyväksytty arvo $\theta_\text{h} = -273{,}15\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   poikkeama $d$ celsiusasteina

   Periaate

   Mittausvirhe on tuloksen ja hyväksytyn arvon erotus. Sen etumerkki kertoo suunnan. Kysytty poikkeama on tämän erotuksen suuruus eli etäisyys. Se on positiivinen riippumatta siitä, onko tulos hyväksytyn arvon ylä- vai alapuolella. Siksi otetaan erotuksen itseisarvo.

   Kaava

   $d = |\theta_0 - \theta_\text{h}|$

   Muunnokset

   Molemmat arvot ovat celsiusasteina samalla asteikolla. Lämpötilojen erotus on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $d$$= |-267{,}90\,{}^\circ\text{C} - (-273{,}15\,{}^\circ\text{C})|$

   $= |5{,}25\,{}^\circ\text{C}|$

   $= 5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa. Molemmat lämpötilat, $-267{,}90\,{}^\circ\text{C}$ ja $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, on annettu sadasosan tarkkuudella. Erotuksessa on yhtä monta desimaalia kuin epätarkimmassa luvussa.

   Järkevyys

   Ryhmän tulos on vähemmän negatiivinen kuin hyväksytty arvo. Siksi erotus on positiivinen ja tulos on hieman liian lämmin. Tarkistus:

   $-273{,}15\,{}^\circ\text{C} + 5{,}25\,{}^\circ\text{C}$

   $= -267{,}90\,{}^\circ\text{C}$

   Poikkeama on vain noin $5{,}25/273 \approx 2\,\%$ koko ekstrapolointimatkasta. Tulos on siis hyvä.

4. Tehtävä 4-4

   Mittauspisteiden kautta piirretään kaksi ääriviivaa. Jyrkempi osuu nollapaineeseen lämpötilassa $-258\,{}^\circ\text{C}$. Loivempi osuu siihen lämpötilassa $-284\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuri on tuloksen epävarmuus $\Delta\theta_0$?

   °CTarkista
   Vastaus

   $13\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jyrkemmän ääriviivan nollapaineen lämpötila $\theta_{0,\text{max}} = -258\,{}^\circ\text{C}$ ja loivemman $\theta_{0,\text{min}} = -284\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   tuloksen epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina

   Periaate

   Kaikki suorat, jotka kulkevat kaikkien epävarmuusjanojen kautta, sopivat aineistoon yhtä hyvin. Niistä jyrkin ja loivin rajaavat välin, jolla todellinen nollapiste todennäköisesti on. Tulos kirjoitetaan muotoon $\theta_0 \pm \Delta\theta_0$. Siksi epävarmuus on välin puolikas.

   Kaava

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Molemmat lämpötilat ovat celsiusasteina, ja niiden erotus on sama kelvineinä. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{-258\,{}^\circ\text{C} - (-284\,{}^\circ\text{C})}{2}$

   $= \dfrac{26\,{}^\circ\text{C}}{2}$

   $= 13\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $13\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ääriarvojen erotus $26\,{}^\circ\text{C}$ on annettu kokonaisina asteina eli kahdella numerolla. Jakaja $2$ on tarkka luku, eikä se rajoita.

   Järkevyys

   Välin keskikohta on

   $\dfrac{-258 + (-284)}{2}\,{}^\circ\text{C}$

   $= -271\,{}^\circ\text{C}$

   Keskikohdasta pääsee $13\,{}^\circ\text{C}$ kumpaankin suuntaan täsmälleen ääriarvoihin $-258\,{}^\circ\text{C}$ ja $-284\,{}^\circ\text{C}$. Hyväksytty arvo $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kuuluu väliin. Tulos sopii siis sen kanssa yhteen.

5. Tehtävä 4-5

   Painemittarin lukema on $112\,\text{kPa}$. Paineen lukeman epävarmuudeksi arvioidaan $1{,}0\,\text{kPa}$. Kuinka monta prosenttia lukemasta epävarmuus on?

   %Tarkista
   Vastaus

   $0{,}89\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   painemittarin lukema $p = 112\,\text{kPa}$ ja paineen lukeman arvioitu epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina lukemasta

   Periaate

   Epävarmuuden merkitys riippuu siitä, kuinka suuri se on mitattuun arvoon verrattuna. Suhteellinen epävarmuus on epävarmuuden ja lukeman osamäärä. Kerro se luvulla $100\,\%$, niin saat prosentit.

   Kaava

   $\varepsilon$$= \dfrac{\Delta p}{p} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Molemmat paineet ovat kilopascaleina, joten yksikkö supistuu. Muunnoksia ei tarvita. Osamäärä on suhdeluku, ja kertominen luvulla $100\,\%$ muuttaa sen prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\varepsilon$$= \dfrac{1{,}0\,\text{kPa}}{112\,\text{kPa}} \cdot 100\,\%$

   $= 0{,}8929\,\%$

   Vastaus

   $0{,}89\,\%$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska epävarmuus $1{,}0\,\text{kPa}$ on annettu kahdella numerolla. Lukema $112\,\text{kPa}$ on annettu kolmella numerolla, ja se rajoittaa vähemmän.

   Järkevyys

   Arvio:

   $\dfrac{1}{112}$$\approx \dfrac{1}{100}$

   $= 1\,\%$

   Luku 112 on hieman yli sata, joten tulos on hieman alle prosentin. Jos lukema olisi vain $1\,\text{kPa}$, epävarmuus olisi $100\,\%$. Suuri lukema pienentää siis suhteellista epävarmuutta. Ekstrapoloinnissa tämä pieni epävarmuus silti kasvaa moninkertaiseksi.

6. Tehtävä 4-6

   Mitä tarkoittaa lämpötila $0\,\text{K}$ eli absoluuttinen nollapiste?

   Valitse vaihtoehto.

   • Lämpötila, jossa kaikki kaasut muuttuvat nesteiksi. Hiukkaset vetävät toisiaan puoleensa.
   • Alin mahdollinen lämpötila. Silloin hiukkasten keskimääräinen liike-energia on pienin.
   • Lämpötila, jossa hiukkaset pysähtyvät kokonaan. Niiltä on poistettu kaikki energia.
   • Veden jäätymislämpötila. Kelvinasteikon nollakohta on valittu jään sulamispisteeseen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Alin mahdollinen lämpötila. Silloin hiukkasten keskimääräinen liike-energia on pienin.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä lämpötila $0\,\text{K}$ eli absoluuttinen nollapiste tarkoittaa.

   Periaate

   Lämpötila kertoo hiukkasten keskimääräisestä liike-energiasta. Kelvinasteikko alkaa lämpötilasta, jota alempaa ei ole. Siinä hiukkasten energia on pienimmillään.

   Mallivastaus

   Absoluuttinen nollapiste on alin mahdollinen lämpötila, $0\,\text{K} = -273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Silloin hiukkasten keskimääräinen liike-energia on pienimmillään. Se ei ole veden jäätymispiste ($273{,}15\,\text{K}$). Hiukkaset eivät myöskään pysähdy. Kyse on pienimmästä mahdollisesta energiasta, ja tarkempi selitys kuuluu myöhempään kurssiin. Kaikki kaasut eivät myöskään muutu nesteiksi juuri siinä lämpötilassa. Lämpötila riippuu aineesta.

7. Tehtävä 4-7

   Nestemäinen typpi kiehuu normaalipaineessa lämpötilassa $-195{,}8\,{}^\circ\text{C}$ (taulukkoarvo). Muunna lämpötila kelvineiksi.

   KTarkista
   Vastaus

   $77{,}4\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   typen kiehumispiste $\theta = -195{,}8\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   sama lämpötila kelvineinä, $T$

   Periaate

   Celsius- ja kelvinasteikon asteen koko on sama. Nollakohdat ovat eri kohdissa: kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste. Muunnos on siis pelkkä siirto.

   Kaava

   $T = \theta + 273{,}15$

   Muunnokset

   Lämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$ on $273{,}15\,\text{K}$. Siksi celsiusarvoon lisätään $273{,}15$, ja yksiköksi tulee kelvin.

   Sijoitus

   $T$$= (-195{,}8 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 77{,}35\,\text{K}$

   $\approx 77{,}4\,\text{K}$

   Vastaus

   $77{,}4\,\text{K}$

   Vastaus on kymmenesosan tarkkuudella, kuten $-195{,}8\,{}^\circ\text{C}$. Tarkka luku $273{,}15$ ei rajoita.

   Järkevyys

   Tulos on positiivinen, kuten kelvinlämpötilan kuuluu olla. Se on selvästi alle veden jäätymispisteen $273{,}15\,\text{K}$. Tarkistus takaisin:

   $77{,}4\,\text{K} - 273{,}15\,\text{K}$

   $= -195{,}75\,{}^\circ\text{C}$

   $\approx -195{,}8\,{}^\circ\text{C}$
8. Tehtävä 4-8

   Kaasun paine mitattiin lämpötila-alueella $20\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$. Pisteisiin sovitettua suoraa jatkettiin kohtaan $p = 0$. Mitä ekstrapolointi tarkoittaa tässä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Arvon lukemista kahden mitatun pisteen väliltä. Paine muuttuu pisteiden välillä tasaisesti.
   • Suoran vetämistä jokaisen pisteen kautta. Jokaisen pisteen pitää olla täsmälleen suoralla.
   • Suoran jatkamista mitatun alueen ulkopuolelle. Paineen oletetaan siellä käyttäytyvän samalla tavalla.
   • Mittauksen toistamista monta kertaa. Keskiarvo on tarkempi kuin yksittäinen mittaus.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Suoran jatkamista mitatun alueen ulkopuolelle. Paineen oletetaan siellä käyttäytyvän samalla tavalla.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä ekstrapolointi tarkoittaa, kun mittauspisteisiin sovitettua suoraa jatketaan kohtaan $p = 0$.

   Periaate

   Mittaus kattaa vain välin $20\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$. Kun suoraa jatketaan tämän välin ulkopuolelle, tulosta ei ole mitattu vaan päätelty. Päätelmä olettaa, että sama lineaarinen riippuvuus pätee myös mitatun alueen ulkopuolella.

   Mallivastaus

   Ekstrapolointi on suoran jatkamista mittausalueen ulkopuolelle. Silloin oletetaan, että paine käyttäytyy siellä samoin kuin mitatulla alueella. Siksi ekstrapoloitu arvo on arvio eikä mittaustulos. Arvon lukeminen kahden mitatun pisteen väliltä on interpolointia. Toistaminen pienentää keskiarvon satunnaista virhettä. Suora kulkee pisteiden joukon keskeltä, ei jokaisen pisteen kautta.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-9Ydintehtävä

   Pullossa olevan ilman paine mitattiin kahdessa lämpötilassa. Lämpötilassa $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$ paine oli $1{,}050\,\text{bar}$ ja lämpötilassa $95{,}0\,{}^\circ\text{C}$ se oli $1{,}360\,\text{bar}$. Oleta, että paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti.

   Missä lämpötilassa suora antaa nollapaineen? Vastaa celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $-256\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi mittauspistettä $(\theta_1, p_1) = (15{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $1{,}050\,\text{bar})$ ja $(\theta_2, p_2) = (95{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $1{,}360\,\text{bar})$. Paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti.

   Kysytty

   lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina, jossa suora antaa nollapaineen

   Periaate

   Pullo on suljettu. Siksi ilman ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina, ja paine on lämpötilan lineaarinen funktio. Kaksi pistettä määrää suoran. Suoraa jatketaan ekstrapoloimalla kohtaan, jossa $p = 0$.

   Kaava

   Kulmakerroin

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   Suora pisteen 1 kautta on $p = p_1 + k(\theta - \theta_1)$, ja $p = 0$ antaa $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Molemmat paineet ovat barina. Osamäärässä $p_1/k$ yksikkö bar supistuu, joten pascaleiksi muuntamista ei tarvita. Lämpötilaero

   $95{,}0\,{}^\circ\text{C} - 15{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(1{,}360 - 1{,}050)\,\text{bar}}{(95{,}0 - 15{,}0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{0{,}310\,\text{bar}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}003875\,\tfrac{\text{bar}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 15{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{1{,}050\,\text{bar}}{0{,}003875\,\tfrac{\text{bar}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= 15{,}0\,{}^\circ\text{C} - 270{,}97\,{}^\circ\text{C}$

   $= -255{,}97\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-256\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska paine-ero $0{,}310\,\text{bar}$ ja lämpötilaero $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla. Lopuksi vähennys $15{,}0 - 271$ antaa tuloksen kokonaisina asteina.

   Järkevyys

   Paine kasvaa noin $0{,}310\,\text{bar}$ kahdeksassakymmenessä asteessa. Yksi bar vastaa siis noin $270\,{}^\circ\text{C}$. Toinen tarkistus tehdään kelvineillä. Suhde $p_1/p_2 = 1{,}050/1{,}360 = 0{,}772$ on lähellä suhdetta $T_1/T_2 = 288{,}15/368{,}15 = 0{,}783$. Tulos on siis lähellä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Ero johtuu kahden pisteen mittausvirheestä, joka kasvaa pitkässä ekstrapoloinnissa.

2. Tehtävä 4-10Ydintehtävä

   Kaasun paineen mittauspisteiden kautta voidaan piirtää kaksi ääriviivaa: $p = 100\,\text{kPa} + 0{,}380\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$ ja $p = 102\,\text{kPa} + 0{,}350\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$. Laske kummankin viivan nollapaineen lämpötila. Laske niiden avulla absoluuttisen nollapisteen epävarmuus $\Delta\theta_0$.

   °CTarkista
   Vastaus

   $14\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi ääriviivaa $p = 100\,\text{kPa} + 0{,}380\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$ (jyrkempi) ja $p = 102\,\text{kPa} + 0{,}350\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \theta$ (loivempi)

   Kysytty

   epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina

   Periaate

   Molemmat suorat kulkevat kaikkien mittauspisteiden epävarmuusjanojen kautta. Todellinen suora on siis todennäköisesti niiden välissä. Ääriviivojen nollapaineen lämpötilat rajaavat nollapisteen arvioidun välin. Epävarmuus on tämän välin puolikas.

   Kaava

   Kummankin viivan nollapaine saadaan ehdosta $0 = p_0 + k\theta_0$, eli $\theta_0 = -\dfrac{p_0}{k}$. Jyrkempi antaa arvon $\theta_{0,\text{max}}$ ja loivempi arvon $\theta_{0,\text{min}}$, ja

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Suure $p_0$ on kilopascaleina ja $k$ yksikössä $\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$, joten osamäärä on celsiusasteina.

   Sijoitus

   $\theta_{0,\text{max}}$$= -\dfrac{100\,\text{kPa}}{0{,}380\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -263{,}16\,{}^\circ\text{C}$

   $\theta_{0,\text{min}}$$= -\dfrac{102\,\text{kPa}}{0{,}350\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -291{,}43\,{}^\circ\text{C}$

   Siis

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{-263{,}16\,{}^\circ\text{C} - (-291{,}43\,{}^\circ\text{C})}{2}$

   $= 14{,}14\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $14\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa. Nollapisteet $-263\,{}^\circ\text{C}$ ja $-291\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla eli kokonaisina asteina. Niiden erotus $28\,{}^\circ\text{C}$ on vain kahden numeron luku. Jakaja $2$ on tarkka.

   Järkevyys

   Väli on $-277 \pm 14\,{}^\circ\text{C}$, sillä keskikohta on

   $\dfrac{-263{,}16 + (-291{,}43)}{2}$

   $= -277{,}3\,{}^\circ\text{C}$

   Hyväksytty arvo $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kuuluu väliin, joten tulos on sopusoinnussa. Suuruusluokka on sama kuin luvun esimerkissä ($18\,{}^\circ\text{C}$), kun pisteet ja paineen lukeman epävarmuus ovat samanlaiset.

3. Tehtävä 4-11

   Kokeessa käytettiin painemittaria, joka näyttää ylipainetta ympäröivään ilmanpaineeseen verrattuna. Ilmanpaine oli $101{,}0\,\text{kPa}$. Mittarin lukema oli $30{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $9{,}0\,\text{kPa}$ ja $90{,}0\,{}^\circ\text{C}$:ssa $31{,}0\,\text{kPa}$.

   Missä lämpötilassa kaasun absoluuttinen paine olisi nolla? Oleta, että paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Vastaa celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $-270\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ilmanpaine $p_\text{ilma} = 101{,}0\,\text{kPa}$. Mittarin ylipaine on $p_\text{y,1} = 9{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $\theta_1 = 30{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $p_\text{y,2} = 31{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $\theta_2 = 90{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

   Kysytty

   lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina, jossa kaasun absoluuttinen paine on nolla

   Periaate

   Kaasun paine tarkoittaa absoluuttista painetta. Vain absoluuttinen paine on lineaarinen lämpötilan suhteen niin, että suoran nolla ennustaa tyhjiön. Mittari näyttää ylipainetta ilmanpaineeseen verrattuna. Siksi ilmanpaine on lisättävä ennen kuin suoraa sovitetaan.

   Kaava

   $p = p_\text{y} + p_\text{ilma}$. Sitten

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   ja nollapaineelle $0 = p_1 + k(\theta_0 - \theta_1)$, joten $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Muunna ylipaineet absoluuttisiksi paineiksi:

   $p_1$$= 9{,}0\,\text{kPa} + 101{,}0\,\text{kPa}$

   $= 110{,}0\,\text{kPa}$

   $p_2$$= 31{,}0\,\text{kPa} + 101{,}0\,\text{kPa}$

   $= 132{,}0\,\text{kPa}$

   Yksiköt ovat jo kilopascaleja ja celsiusasteita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{(132{,}0 - 110{,}0)\,\text{kPa}}{(90{,}0 - 30{,}0)\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{22{,}0\,\text{kPa}}{60{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 30{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{110{,}0\,\text{kPa}}{0{,}36667\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= 30{,}0\,{}^\circ\text{C} - 300\,{}^\circ\text{C}$

   $= -270\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-270\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska paine-ero $22{,}0\,\text{kPa}$ ja lämpötilaero $60{,}0\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla. Lopuksi vähennys $30{,}0 - 300$ antaa tuloksen kokonaisina asteina.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$, kuten pitääkin. Jos ilmanpainetta ei lisättäisi, ylipaineen suora menisi nollaan jo kohdassa $30{,}0 - 9{,}0/0{,}36667 = 5{,}5\,{}^\circ\text{C}$. Se on mahdotonta, koska huoneenlämpöinen kaasu ei ole lähelläkään tyhjiötä.

4. Tehtävä 4-12

   Kokeessa lämpötilan lukematarkkuus on $\pm 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$ ja paineen $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Mittauspisteiden suoran kulmakerroin on $0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$. Lämpötilan epävarmuus $\pm 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$ vastaa suoralla tiettyä paineen muutosta.

   Kuinka monta prosenttia tämä paineen muutos on paineen epävarmuudesta $1{,}0\,\text{kPa}$?

   %Tarkista
   Vastaus

   $18\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lämpötilan lukematarkkuus $\Delta\theta = 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$, suoran kulmakerroin $k = 0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ ja paineen epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   lämpötilan epävarmuutta vastaava paineen muutos $\Delta p_\theta$ prosentteina epävarmuudesta $\Delta p$

   Periaate

   Mittauspisteet ovat suoralla $p = p_0 + k\theta$. Lämpötilan virhe $\Delta\theta$ siirtää pistettä vaakasuunnassa. Suoran kohdalla se vastaa pystysuuntaista poikkeamaa $k\,\Delta\theta$. Kun virhe on muutettu paineeksi, sitä voi verrata suoraan paineen lukeman epävarmuuteen.

   Kaava

   $\Delta p_\theta = k\,\Delta\theta$ ja osuus

   $s$$= \dfrac{\Delta p_\theta}{\Delta p} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Celsiusasteet supistuvat tulossa $k\,\Delta\theta$, ja kilopascalit supistuvat osamäärässä. Kertominen luvulla $100\,\%$ muuttaa suhdeluvun prosenteiksi.

   Sijoitus

   $\Delta p_\theta$$= 0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 0{,}50\,{}^\circ\text{C}$

   $= 0{,}18\,\text{kPa}$

   $s$$= \dfrac{0{,}18\,\text{kPa}}{1{,}0\,\text{kPa}} \cdot 100\,\%$

   $= 18\,\%$

   Vastaus

   $18\,\%$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin $0{,}36\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ on annettu kahdella numerolla. Epävarmuudet $0{,}50\,{}^\circ\text{C}$ ja $1{,}0\,\text{kPa}$ ovat myös kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Lämpötilan virhe vastaa vain noin viidesosaa paineen lukeman epävarmuudesta. Tuloksen tarkkuutta rajoittaa siis painemittari, ei lämpömittari. Rajatapaus: osuus olisi $100\,\%$, jos lämpötilan virhe olisi $1{,}0/0{,}36 = 2{,}8\,{}^\circ\text{C}$. Lämpömittarin pitäisi silloin olla paljon epätarkempi kuin nyt.

5. Tehtävä 4-13

   Esimerkkiaineisto: suljetun pullon ilman paine mitattiin viidessä lämpötilassa. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Pisteisiin sovitettu paras suora kulkee pisteiden keskipisteen $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta. Sen kulmakerroin on tietokoneella laskettuna $0{,}363\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$.

   a) Laske taulukon keskipiste $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$. Keskipisteen koordinaatit ovat lämpötilojen ja paineiden keskiarvot.

   b) Laske sovitetun suoran nollapaineen lämpötila $\theta_0$.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos celsiusasteina.

   Suljetun pullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   10	103,4
   30	110,1
   50	118,2
   70	124,9
   90	132,3

   °CTarkista
   Vastaus

   $-274\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viisi pistettä taulukosta; sovitetun suoran kulmakerroin $k = 0{,}363\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$; suora kulkee keskipisteen $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta

   Kysytty

   a) keskipiste; b) nollapaineen lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina

   Periaate

   Pullo on suljettu ja jäykkä. Siksi ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina, ja paine on lämpötilan lineaarinen funktio. Sovitettu suora kulkee pisteiden joukon keskeltä, joten se kulkee keskipisteen kautta. Suoraa jatketaan ekstrapoloimalla kohtaan $p = 0$.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon keskipiste lasketaan keskiarvoina $\theta_{\text{ka}}$ ja $p_{\text{ka}}$. Lämpötilojen summa on $250\,{}^\circ\text{C}$ ja paineiden summa $588{,}9\,\text{kPa}$. Suora kulkee tämän pisteen kautta kulmakertoimella $k$.

   Kaava

   Suora pisteen $(\theta_{\text{ka}}, p_{\text{ka}})$ kautta on $p = p_{\text{ka}} + k(\theta - \theta_{\text{ka}})$. Kun $p = 0$ ja $\theta = \theta_0$, niin

   $\theta_0$$= \theta_{\text{ka}} - \dfrac{p_{\text{ka}}}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Paineet ovat kilopascaleina, joten osamäärässä $p_{\text{ka}}/k$ kPa supistuu pois. Jäljelle jää celsiusaste.

   Sijoitus

   a)

   $\theta_{\text{ka}}$$= 250\,{}^\circ\text{C} : 5$

   $= 50\,{}^\circ\text{C}$

   $p_{\text{ka}}$$= 588{,}9\,\text{kPa} : 5$

   $= 117{,}78\,\text{kPa}$

   b)

   $$\begin{aligned} \theta_0 &= 50\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{117{,}78\,\text{kPa}}{0{,}363\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 50\,{}^\circ\text{C} - 324{,}46\,{}^\circ\text{C} \\ &= -274{,}46\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-274\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten kulmakertoimessa $0{,}363$. Keskipiste on $(50\,{}^\circ\text{C}$; $117{,}78\,\text{kPa})$.

   Järkevyys

   Lämpötilassa $\theta = 10\,{}^\circ\text{C}$ suora antaa paineen

   $117{,}78\,\text{kPa} + 0{,}363\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot (-40\,{}^\circ\text{C})$

   $= 103{,}26\,\text{kPa}$

   Se poikkeaa mitatusta arvosta $103{,}4\,\text{kPa}$ vain $0{,}14\,\text{kPa}$. Ero on selvästi pienempi kuin epävarmuus $1{,}0\,\text{kPa}$. Tulos poikkeaa hyväksytystä arvosta $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ vain noin $1{,}3\,{}^\circ\text{C}$.

6. Tehtävä 4-14

   Esimerkkiaineisto: kaksi ryhmää tutki samaa suljetun pullon ilman painemittausta. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Ryhmä A sovitti suoran kaikkiin kuuteen pisteeseen. Nollapaineen lämpötilaksi tuli $-270\,{}^\circ\text{C}$. Ryhmä B käytti vain kahta alinta lämpötilaa, $20\,{}^\circ\text{C}$ ja $35\,{}^\circ\text{C}$. Se piirsi suoran niiden kautta.

   a) Laske ryhmän B nollapaineen lämpötila $\theta_0$.

   b) Selitä, miksi ryhmän B tulos eroaa ryhmän A tuloksesta.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos celsiusasteina.

   Suljetun pullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   20	107,4
   35	112,4
   50	118,0
   65	124,1
   80	129,1
   95	135,0

   °CTarkista
   Vastaus

   $-302\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ryhmä B käyttää pisteitä $(\theta_1, p_1) = (20\,{}^\circ\text{C}$; $107{,}4\,\text{kPa})$ ja $(\theta_2, p_2) = (35\,{}^\circ\text{C}$; $112{,}4\,\text{kPa})$; ryhmän A tulos $-270\,{}^\circ\text{C}$; paineen epävarmuus $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) ryhmän B nollapaineen lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina; b) miksi tulos eroaa ryhmän A tuloksesta

   Periaate

   Suljetussa jäykässä astiassa paine on lämpötilan lineaarinen funktio. Kaksi pistettä määrää suoran, ja suora jatketaan kohtaan $p = 0$. Mittauspisteissä on satunnaista hajontaa. Siksi kulmakerroin on sitä epävarmempi, mitä lyhyemmältä väliltä se lasketaan.

   Kuvaajan lukeminen

   Ryhmä B lukee taulukosta vain kaksi ensimmäistä riviä, lämpötilat $20\,{}^\circ\text{C}$ ja $35\,{}^\circ\text{C}$.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Paineet ovat kilopascaleina, joten kPa supistuu osamäärässä $p_1/k$. Lämpötilaero $15\,{}^\circ\text{C}$ on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(112{,}4 - 107{,}4)\,\text{kPa}}{(35 - 20)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= \dfrac{5{,}0\,\text{kPa}}{15\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 20\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}4\,\text{kPa}}{0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 20\,{}^\circ\text{C} - 322{,}2\,{}^\circ\text{C} \\ &= -302{,}2\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-302\,{}^\circ\text{C}$

   Mutta vain noin kahden numeron tarkkuudella ($-3{,}0 \cdot 10^{2}\,{}^\circ\text{C}$). Kulmakerroin $0{,}33\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$ tunnetaan vain kahdella numerolla.

   Mallivastaus (b)

   Ryhmä B laskee kulmakertoimen vain $15\,{}^\circ\text{C}$:n väliltä. Sillä välillä paine kasvaa $5{,}0\,\text{kPa}$. Kummankin paineen epävarmuus $1{,}0\,\text{kPa}$ voi muuttaa paine-eroa jopa $2{,}0\,\text{kPa}$. Siksi kulmakerroin on epävarma noin $2{,}0 : 15 = 0{,}13\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$. Se on noin $40\,\%$ itse arvosta. Suoraa jatketaan yli $300\,{}^\circ\text{C}$, joten pieni virhe kulmakertoimessa kasvaa suureksi. Ryhmä A käyttää kuutta pistettä $75\,{}^\circ\text{C}$:n levyiseltä väliltä. Silloin hajonta tasoittuu, ja kulmakerroin $0{,}370\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ on luotettavampi.

   Järkevyys

   Ryhmän B suora antaisi lämpötilassa $95\,{}^\circ\text{C}$ paineen

   $107{,}4\,\text{kPa} + 0{,}3333\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 75\,{}^\circ\text{C}$

   $= 132{,}4\,\text{kPa}$

   Mitattu paine on kuitenkin $135{,}0\,\text{kPa}$. Ero $2{,}6\,\text{kPa}$ on suurempi kuin epävarmuus $1{,}0\,\text{kPa}$. Ryhmän B suora ei siis sovi muihin pisteisiin. Ryhmän A suoran ero mitatusta olisi alle $0{,}2\,\text{kPa}$.

7. Tehtävä 4-15

   Esimerkkiaineisto: ryhmä lämmitti pulloon suljettua ilmaa ja mittasi paineen neljässä lämpötilassa. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$. Ryhmä epäilee, että pullon korkki vuotaa. Ryhmä piirsi suoran taulukon ensimmäisen ja viimeisen pisteen kautta. Se jatkoi suoraa kohtaan $p = 0$.

   a) Laske ryhmän saama nollapaineen lämpötila $\theta_0$.

   b) Tukeeko taulukko epäilyä? Perustele kulmakertoimien avulla. Selitä, miksi vuoto vääristää tulosta.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos celsiusasteina.

   Vuotavan pullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   20	104,0
   40	110,6
   60	116,0
   80	120,0

   °CTarkista
   Vastaus

   $-370\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pisteet $(20\,{}^\circ\text{C}$; $104{,}0\,\text{kPa})$, $(40\,{}^\circ\text{C}$; $110{,}6\,\text{kPa})$, $(60\,{}^\circ\text{C}$; $116{,}0\,\text{kPa})$ ja $(80\,{}^\circ\text{C}$; $120{,}0\,\text{kPa})$; paineen epävarmuus $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$; suora ensimmäisen ja viimeisen pisteen kautta

   Kysytty

   a) ryhmän saama nollapaineen lämpötila $\theta_0$ celsiusasteina; b) tukeeko taulukko vuotoepäilyä ja miksi vuoto vääristää tulosta

   Periaate

   Pullossa, joka ei vuoda, ainemäärä on vakio. Paine kasvaa silloin lämpötilan mukana lineaarisesti. Jos kaasua pääsee pois, ainemäärä pienenee eikä lineaarinen malli enää päde. Ekstrapolointi olettaa, että malli pätee. Siksi tulos vääristyy.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan taulukosta ensimmäinen piste $(20\,{}^\circ\text{C}$; $104{,}0\,\text{kPa})$ ja viimeinen piste $(80\,{}^\circ\text{C}$; $120{,}0\,\text{kPa})$.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Kilopascalit supistuvat osamäärässä, ja lämpötilaero $60\,{}^\circ\text{C}$ on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(120{,}0 - 104{,}0)\,\text{kPa}}{(80 - 20)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= \dfrac{16{,}0\,\text{kPa}}{60\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}2667\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 20\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{104{,}0\,\text{kPa}}{0{,}2667\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 20\,{}^\circ\text{C} - 390\,{}^\circ\text{C} \\ &= -370\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-370\,{}^\circ\text{C}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten paineissa. Tulos on selvästi alle $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

   Mallivastaus (b)

   Taulukko tukee epäilyä. Paine kasvaa jokaisella $20\,{}^\circ\text{C}$:n välillä vähemmän: $6{,}6\,\text{kPa}$, $5{,}4\,\text{kPa}$ ja $4{,}0\,\text{kPa}$. Kulmakerroin pienenee siis arvoista $0{,}33$ ja $0{,}27$ arvoon $0{,}20\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$. Erot ovat paljon suurempia kuin epävarmuus $\pm 0{,}5\,\text{kPa}$. Kyse ei ole hajonnasta vaan siitä, että malli ei päde: pisteet eivät ole suoralla. Vuodossa kuumasta pullosta pääsee pois kaasua. Ainemäärä pienenee, ja paine kasvaa vähemmän kuin pullossa, joka ei vuoda. Päätepisteiden suoran kulmakerroin $0{,}267\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ on liian pieni. Pieni kulmakerroin vie nollapaineen liian kauas, kohtaan $-370\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Kahden ensimmäisen pisteen kulmakerroin $0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$ antaisi

   $20\,{}^\circ\text{C} - 104{,}0\,\text{kPa} : 0{,}33\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $= -295\,{}^\circ\text{C}$

   Se on lähempänä oikeaa arvoa, koska vuotoa on ehtinyt tapahtua vähemmän. Tulos $-370\,{}^\circ\text{C}$ poikkeaa hyväksytystä arvosta $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ lähes sadalla asteella. Se on liikaa pelkäksi mittausepävarmuudeksi.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 4-16

   Mittausalue on 20,0–$100{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Pisteessä $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ paine on $106{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Pisteessä $100{,}0\,{}^\circ\text{C}$ paine on $137{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$.

   Jyrkin ääriviiva kulkee pisteiden ($20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $105{,}0\,\text{kPa}$) ja ($100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $138{,}0\,\text{kPa}$) kautta. Loivin kulkee pisteiden ($20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $107{,}0\,\text{kPa}$) ja ($100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $136{,}0\,\text{kPa}$) kautta.

   Määritä absoluuttisen nollapisteen epävarmuus $\Delta\theta_0$. Päättele, miksi pelkkien päätepisteiden ääriviivat antavat suuremman epävarmuuden kuin seitsemän pisteen aineisto.

   °CTarkista
   Vastaus

   $20\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   päätepisteet $106{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $137{,}0 \pm 1{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $100{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Jyrkin ääriviiva kulkee pisteiden $(20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $105{,}0\,\text{kPa})$ ja $(100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $138{,}0\,\text{kPa})$ kautta. Loivin kulkee pisteiden $(20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $107{,}0\,\text{kPa})$ ja $(100{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $136{,}0\,\text{kPa})$ kautta.

   Kysytty

   epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina ja syy siihen, miksi tulos on suurempi kuin seitsemän pisteen aineistolla

   Periaate

   Mitä jyrkemmän tai loivemman suoran sallitaan, sitä laajempi on nollapisteiden väli. Laske kummankin ääriviivan nollapaine suoran kahdesta pisteestä. Epävarmuus on näiden kahden arvon välin puolikas.

   Kaava

   Kummallekin suoralle

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$, ja sitten

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Paineet ovat kilopascaleina ja lämpötilat celsiusasteina. Lämpötilaero

   $100{,}0\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   Jyrkin:

   $k$$= \dfrac{(138{,}0 - 105{,}0)\,\text{kPa}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}4125\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 20{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{105{,}0\,\text{kPa}}{0{,}4125\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -234{,}55\,{}^\circ\text{C}$

   Loivin:

   $k$$= \dfrac{(136{,}0 - 107{,}0)\,\text{kPa}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 0{,}3625\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$

   $\theta_0$$= 20{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3625\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}}$

   $= -275{,}17\,{}^\circ\text{C}$

   Siis

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{-234{,}55 - (-275{,}17)}{2}\,{}^\circ\text{C}$

   $= 20{,}31\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $20\,{}^\circ\text{C}$

   (tarkasti $20{,}3\,{}^\circ\text{C}$). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa. Nollapisteet $-235\,{}^\circ\text{C}$ ja $-275\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella numerolla eli kokonaisina asteina. Niiden erotus $40\,{}^\circ\text{C}$ on kahden numeron luku. Kolmas numero vaatisi lähtöarvot sadasosan tarkkuudella, mikä ei sovi epävarmuuteen $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$.

   Järkevyys

   Väli $-275{,}2\ldots -234{,}5\,{}^\circ\text{C}$ sisältää hyväksytyn arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tulos on suurempi kuin seitsemän pisteen aineiston $18\,{}^\circ\text{C}$, kuten pitääkin. Kahden pisteen suoralla ei ole muita rajoitteita. Jyrkin suora saa siis nousta toisessa päässä ja laskea toisessa epävarmuusjanan ääreen. Seitsemän pisteen aineistossa jokaisen suoran täytyy kulkea myös viiden välipisteen janojen kautta. Se kaventaa sallittujen kulmakertoimien väliä.

2. Tehtävä 4-17

   Typpikaasun paine on jäykässä astiassa $100{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$. Paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan.

   Mikä paine suoran mukaan olisi lämpötilassa $77{,}0\,\text{K}$, jossa typpi kiehuu normaalipaineessa?

   Näin pienessä paineessa typpikaasu tiivistyy nesteeksi vasta noin $67\,\text{K}$:ssä. Perustele, miksi suoraa ei voi jatkaa absoluuttiseen nollapisteeseen asti. Vastaa paineena kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $28{,}2\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $p_0 = 100{,}0\,\text{kPa}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$, tavoitelämpötila $T = 77{,}0\,\text{K}$ ja $p \propto T$ kelvineinä. Typpi tiivistyy tässä paineessa nesteeksi vasta noin $67\,\text{K}$:ssä.

   Kysytty

   paine $p$ lämpötilassa $77{,}0\,\text{K}$ kilopascaleina ja perustelu sille, miksi suoraa ei voi jatkaa nollaan asti

   Periaate

   Jäykässä suljetussa astiassa kaasun ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina. Siksi paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, ja $\dfrac{p}{T}$ on vakio. Verrannollisuus pätee vain kelvineinä, koska vain kelvinasteikon nolla on absoluuttinen nollapiste. Se edellyttää myös, että kaasu pysyy kaasuna.

   Kaava

   $\dfrac{p}{T} = \dfrac{p_0}{T_0}$, joten $p = p_0\,\dfrac{T}{T_0}$

   Muunnokset

   Muunna lähtölämpötila kelvineiksi:

   $T_0$$= 0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 273{,}15\,\text{K}$

   Lämpötila $77{,}0\,\text{K}$ on jo kelvineinä. Suhteessa $T/T_0$ kelvinit supistuvat, joten paine jää kilopascaleiksi.

   Sijoitus

   $p$$= 100{,}0\,\text{kPa} \cdot \dfrac{77{,}0\,\text{K}}{273{,}15\,\text{K}}$

   $= 28{,}19\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $28{,}2\,\text{kPa}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska lämpötila $77{,}0\,\text{K}$ on annettu kolmella numerolla. Luku $273{,}15\,\text{K}$ on määritelmä, eikä se rajoita. Suoraa ei voi jatkaa nollaan asti, koska typpi tiivistyy nesteeksi noin $67\,\text{K}$:ssä. Silloin kaasun ainemäärä pienenee ja paine putoaa nopeammin kuin suora ennustaa. Ehto "ainemäärä vakio" ei enää päde.

   Järkevyys

   Lämpötila $77{,}0\,\text{K}$ on noin $0{,}28$-kertainen lämpötilaan $273{,}15\,\text{K}$ verrattuna. Paine on samassa suhteessa: noin $0{,}28 \cdot 100 = 28\,\text{kPa}$. Suora antaisi lämpötilassa $67\,\text{K}$ paineen $100 \cdot 67/273{,}15 = 24{,}5\,\text{kPa}$. Noin siinä lämpötilassa kaasu alkaa tiivistyä nesteeksi. Sen jälkeen paine ei enää noudata suoraa. Ekstrapolointi on siis luotettava vain niin pitkälle kuin oletus kaasusta pitää paikkansa.

3. Tehtävä 4-18

   Ryhmän A mittauksen tulos on $\theta_0 = -262{,}00 \pm 6{,}00\,{}^\circ\text{C}$. Hyväksytty arvo on $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

   Kuinka monta kertaa epävarmuus $\Delta\theta_0$ mahtuu tuloksen ja hyväksytyn arvon väliin? Päättele, mistä syystä tulos ei ole sopusoinnussa hyväksytyn arvon kanssa.

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $1{,}86$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ryhmän A tulos $\theta_0 = -262{,}00\,{}^\circ\text{C}$ ja epävarmuus $\Delta\theta_0 = 6{,}00\,{}^\circ\text{C}$. Hyväksytty arvo on $\theta_\text{h} = -273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

   Kysytty

   poikkeaman suhde epävarmuuteen $n$ (kuinka monta kertaa $\Delta\theta_0$ mahtuu tuloksen ja hyväksytyn arvon väliin) ja syy ristiriitaan

   Periaate

   Tässä luvussa tulosta pidetään sopusoinnussa hyväksytyn arvon kanssa, jos arvo kuuluu epävarmuusväliin $\theta_0 \pm \Delta\theta_0$. Silloin poikkeama on korkeintaan yksi epävarmuus. Suhde $n$ kertoo, kuinka moninkertainen poikkeama on epävarmuuteen verrattuna. Epävarmuus ei ole ehdoton raja. Siksi poikkeama ei yksin todista virhettä. Mitä suurempi $n$ on, sitä todennäköisemmin mittauksessa on systemaattinen virhe tai epävarmuus on arvioitu liian pieneksi.

   Kaava

   $n$$= \dfrac{|\theta_0 - \theta_\text{h}|}{\Delta\theta_0}$

   Muunnokset

   Kaikki lämpötilat ovat celsiusasteina, ja lämpötilaerot ovat samat kelvineinä. Suhde $n$ on dimensioton. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{|-262{,}00\,{}^\circ\text{C} - (-273{,}15\,{}^\circ\text{C})|}{6{,}00\,{}^\circ\text{C}}$

   $= \dfrac{11{,}15\,{}^\circ\text{C}}{6{,}00\,{}^\circ\text{C}}$

   $= 1{,}858$

   Vastaus

   $1{,}86$

   Kertaa. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska erotus $11{,}15\,{}^\circ\text{C}$ ja epävarmuus $6{,}00\,{}^\circ\text{C}$ on annettu kolmella numerolla. Tulos $-262{,}00\,{}^\circ\text{C}$ ja hyväksytty arvo ovat sadasosan tarkkuudella.

   Järkevyys

   Poikkeama $11{,}15\,{}^\circ\text{C}$ on lähes kaksi epävarmuutta ($2 \cdot 6{,}00 = 12{,}0$). Epävarmuusväli $-268\ldots -256\,{}^\circ\text{C}$ ei sisällä hyväksyttyä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tämän säännön mukaan tulos ei siis ole sopusoinnussa arvon kanssa. Syynä voi olla systemaattinen virhe, esimerkiksi epätarkka lämpömittari, ilmavuoto tai pullon tilavuuden muutos. Syynä voi olla myös liian pieneksi arvioitu epävarmuus. Tarkistus: $1{,}858 \cdot 6{,}00\,{}^\circ\text{C} = 11{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

4. Tehtävä 4-19

   Esimerkkiaineisto: kaksi ryhmää määritti absoluuttisen nollapisteen suljetun kaasun paineesta. Kumpikin mittasi paineen kahdessa lämpötilassa. Paineen epävarmuus on kummassakin $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Lämpötilan epävarmuus jätetään huomiotta. Jyrkin ääriviiva kulkee alemman pisteen epävarmuusjanan alapään ja ylemmän pisteen epävarmuusjanan yläpään kautta. Loivin kulkee päinvastoin.

   a) Laske kummankin sarjan jyrkimmän ja loivimman ääriviivan nollapaineen lämpötila. Laske niiden avulla epävarmuus $\Delta\theta_0$.

   b) Päättele laskujesi perusteella, miten mittausalueen leveys vaikuttaa epävarmuuteen. Tarkista, sopiiko kummankin sarjan tulos yhteen arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kanssa.

   Vastauskenttään tulee sarjan B epävarmuus $\Delta\theta_0$ kohdasta a) celsiusasteina.

   Kaksi mittaussarjaa samasta kaasusta (esimerkkiaineisto)

   Sarja	$\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   A	25	108,0
   A	85	130,0
   B	25	108,0
   B	225	181,5

   °CTarkista
   Vastaus

   $10{,}7\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sarja A: $(25\,{}^\circ\text{C}$; $108{,}0\,\text{kPa})$ ja $(85\,{}^\circ\text{C}$; $130{,}0\,\text{kPa})$; sarja B: $(25\,{}^\circ\text{C}$; $108{,}0\,\text{kPa})$ ja $(225\,{}^\circ\text{C}$; $181{,}5\,\text{kPa})$; paineen epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) kummankin sarjan nollapaineen lämpötilan epävarmuus $\Delta\theta_0$ celsiusasteina; b) mittausalueen leveyden vaikutus ja yhteensopivuus arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ kanssa

   Periaate

   Jokaisen pisteen paine tunnetaan välillä $p \pm \Delta p$. Jyrkin suora kulkee alemman pisteen alapään ja ylemmän pisteen yläpään kautta. Loivin suora kulkee päinvastoin. Molemmat sopivat aineistoon. Niiden nollapaineen lämpötilat rajaavat välin, ja epävarmuus on välin puolikas. Malli olettaa, että suljetussa jäykässä astiassa paine on lämpötilan lineaarinen funktio myös mitatun alueen ulkopuolella.

   Kuvaajan lukeminen

   Kustakin sarjasta luetaan kaksi pistettä. Jyrkin suora kulkee pisteiden $(\theta_1$; $p_1 - \Delta p)$ ja $(\theta_2$; $p_2 + \Delta p)$ kautta. Loivin kulkee pisteiden $(\theta_1$; $p_1 + \Delta p)$ ja $(\theta_2$; $p_2 - \Delta p)$ kautta.

   Kaava

   Suoran paine pisteessä $\theta_1$ on $p_a$ ja pisteessä $\theta_2$ on $p_b$. Silloin

   $k$$= \dfrac{p_b - p_a}{\theta_2 - \theta_1}$

   $\theta_0$$= \theta_1 - \dfrac{p_a}{k}$

   $\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Kilopascalit supistuvat osamäärässä $p_a/k$, ja lämpötilaerot ovat samat kelvineinä.

   Sijoitus

   Sarja A, jyrkin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(131{,}0 - 107{,}0)\,\text{kPa}}{(85 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}4000\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}0\,\text{kPa}}{0{,}4000\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -242{,}5\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Sarja A, loivin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(129{,}0 - 109{,}0)\,\text{kPa}}{(85 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{109{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3333\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -302{,}0\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Siis

   $\Delta\theta_{0,\text{A}}$$= \dfrac{(-242{,}5 + 302{,}0)\,{}^\circ\text{C}}{2}$

   $= 29{,}75\,{}^\circ\text{C}$

   Sarja B, jyrkin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(182{,}5 - 107{,}0)\,\text{kPa}}{(225 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3775\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{107{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3775\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -258{,}44\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Sarja B, loivin:

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(180{,}5 - 109{,}0)\,\text{kPa}}{(225 - 25)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3575\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \\ \theta_0 &= 25\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{109{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3575\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -279{,}90\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \Delta\theta_{0,\text{B}} &= \dfrac{(-258{,}44 + 279{,}90)\,{}^\circ\text{C}}{2} \\ &= 10{,}73\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   Sarjan B epävarmuus on $10{,}7\,{}^\circ\text{C}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska paineet on annettu neljällä numerolla ja ääriarvojen erotus $21{,}46\,{}^\circ\text{C}$ tunnetaan kolmella. Sarjan A epävarmuus on noin $30\,{}^\circ\text{C}$. Tulokset ovat $\theta_{0,\text{A}} = -272 \pm 30\,{}^\circ\text{C}$ ja $\theta_{0,\text{B}} = -269 \pm 11\,{}^\circ\text{C}$.

   Mallivastaus (b)

   Sarjan B mittausalue on $200\,{}^\circ\text{C}$ leveä ja sarjan A $60\,{}^\circ\text{C}$. Sarjan B epävarmuus on vain noin kolmasosa sarjan A epävarmuudesta. Sama paineen epävarmuus $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$ vaikuttaa kulmakertoimeen sitä vähemmän, mitä pidemmältä väliltä kulmakerroin lasketaan. Pieni virhe kulmakertoimessa kasvaa ekstrapoloitaessa. Leveämpi mittausalue siis pienentää epävarmuutta. Kummankin sarjan väli sisältää arvon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ (A: $-302\ldots -243\,{}^\circ\text{C}$, B: $-280\ldots -258\,{}^\circ\text{C}$). Tulokset sopivat siis yhteen hyväksytyn arvon kanssa. Väli on arvio, ja se olettaa, että paine pysyy lineaarisena myös mitatun alueen ulkopuolella.

   Järkevyys

   Alueiden leveyksien suhde on $200:60 \approx 3{,}3$ ja epävarmuuksien suhde $29{,}75:10{,}73 \approx 2{,}8$. Epävarmuus pienenee siis suunnilleen leveyden kasvun mukana. Sarjojen välien keskikohdat $-272\,{}^\circ\text{C}$ ja $-269\,{}^\circ\text{C}$ ovat lähellä toisiaan ja lähellä arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$.

5. Tehtävä 4-20

   Esimerkkiaineisto: suljetun pullon ilman paine mitattiin viidessä lämpötilassa kaasulämpömittarin kalibroimiseksi. Pullo vietiin pakastimeen. Sen paineeksi luettiin $94{,}0\,\text{kPa}$. Paineen lukeman epävarmuus on $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$. Oleta, että paine on lämpötilan lineaarinen funktio myös taulukon alueen ulkopuolella.

   a) Määritä pakastimen lämpötila $\theta$ kalibrointisuoralla. Laske suoran kulmakerroin taulukon ensimmäisestä ja viimeisestä pisteestä.

   b) Laske painelukeman epävarmuudesta $\pm 1{,}0\,\text{kPa}$ johtuva lämpötilan epävarmuus.

   c) Perustele, miksi tulos on ekstrapolointia. Perustele myös, miksi se on silti luotettavampi kuin nollapisteen määritys samalla suoralla.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos celsiusasteina.

   Kalibrointipullon ilman paine (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   0	100,4
   25	109,7
   50	118,6
   75	127,9
   100	137,0

   °CTarkista
   Vastaus

   $-17{,}5\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kalibrointipisteet taulukosta, ensimmäinen $(\theta_1, p_1) = (0\,{}^\circ\text{C}$; $100{,}4\,\text{kPa})$ ja viimeinen $(\theta_2, p_2) = (100\,{}^\circ\text{C}$; $137{,}0\,\text{kPa})$; pakastimessa luettu paine $p = 94{,}0\,\text{kPa}$ ja sen epävarmuus $\Delta p = 1{,}0\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) pakastimen lämpötila $\theta$ celsiusasteina; b) painelukeman epävarmuudesta johtuva lämpötilan epävarmuus $\Delta\theta$; c) miksi tulos on ekstrapolointia mutta luotettava

   Periaate

   Pullo on suljettu ja jäykkä. Siksi kaasun ainemäärä ja tilavuus pysyvät vakioina, ja paine on lämpötilan lineaarinen funktio. Kalibrointisuora kulkee kaukana toisistaan olevien pisteiden kautta. Suora ratkaistaan lämpötilan suhteen, kun paine tunnetaan. Pakastimen lämpötila on kalibrointialueen $0\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$ ulkopuolella.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan taulukosta kaukaisimmat pisteet $(0\,{}^\circ\text{C}$; $100{,}4\,\text{kPa})$ ja $(100\,{}^\circ\text{C}$; $137{,}0\,\text{kPa})$. Muut pisteet toimivat tarkistuksena.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   Suoran $p = p_1 + k(\theta - \theta_1)$ ratkaisu on

   $\theta$$= \theta_1 + \dfrac{p - p_1}{k}$

   Painelukeman epävarmuutta vastaa lämpötilan epävarmuus $\Delta\theta = \dfrac{\Delta p}{k}$.

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Kilopascalit supistuvat, joten tulos on celsiusasteina. Lämpötilaero $100\,{}^\circ\text{C}$ on sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{(137{,}0 - 100{,}4)\,\text{kPa}}{(100 - 0)\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3660\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   a)

   $$\begin{aligned} \theta &= 0\,{}^\circ\text{C} + \dfrac{(94{,}0 - 100{,}4)\,\text{kPa}}{0{,}3660\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= -17{,}49\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   b)

   $$\begin{aligned} \Delta\theta &= \dfrac{1{,}0\,\text{kPa}}{0{,}3660\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}} \\ &= 2{,}73\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-17{,}5\,{}^\circ\text{C}$

   Ja epävarmuus on noin $2{,}7\,{}^\circ\text{C}$. Tulos on siis $-17{,}5 \pm 2{,}7\,{}^\circ\text{C}$. Rajoittava tieto on paine-ero $94{,}0 - 100{,}4 = -6{,}4\,\text{kPa}$ (kaksi numeroa). Yksinkertaisimmillaan tulos on siis $-17 \pm 3\,{}^\circ\text{C}$. Desimaali annetaan, jotta tulos vastaa vastauskentän arvoa.

   Mallivastaus (c)

   Pakastimen lämpötila on kalibroidun alueen $0\ldots 100\,{}^\circ\text{C}$ ulkopuolella. Suoraa jatketaan siis mitatun alueen yli, ja tulos on ekstrapolointia. Se olettaa, että paine pysyy lineaarisena. Jatke on kuitenkin vain noin $17{,}5\,{}^\circ\text{C}$ pitkä. Nollapisteen määrityksessä suoraa jatketaan yli $270\,{}^\circ\text{C}$. Kalibrointisuoran kulmakertoimen epävarmuus vaikuttaa tulokseen vain jatkeen pituudelta, joten vaikutus on muutama aste. Lisäksi lämpötila $-17{,}5\,{}^\circ\text{C}$ on kaukana lämpötilasta, jossa ilma alkaisi muuttua nesteeksi. Lineaarinen malli on siksi järkevä.

   Järkevyys

   Tulos on tyypillinen pakastimen lämpötila. Välipiste tarkistaa suoran:

   $100{,}4\,\text{kPa} + 0{,}3660\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 50\,{}^\circ\text{C}$

   $= 118{,}7\,\text{kPa}$

   kun mitattu on $118{,}6\,\text{kPa}$. Kelvineinä lämpötila on

   $T$$= 273{,}15\,\text{K} - 17{,}49\,\text{K}$

   $= 255{,}66\,\text{K}$

   Paineiden suhde $94{,}0:100{,}4 = 0{,}936$ on sama kuin lämpötilojen suhde $255{,}66:273{,}15 = 0{,}936$.