Sisäenergia, lämpömäärä ja energian säilyminen

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-1Ydintehtävä

   Pullataikinaa vaivataan käsin. Vaivatessa kädet tekevät taikinaan työn $450\,\text{J}$, ja lämpimistä käsistä siirtyy taikinaan lämpömäärä $120\,\text{J}$. Taikina on systeemi. Kuinka paljon taikinan sisäenergia muuttuu?

   JTarkista
   Vastaus

   $570\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on taikina; käsien tekemä työ $W = +450\,\text{J}$ (ympäristö tekee työtä taikinaan), käsistä siirtyvä lämpö $Q = +120\,\text{J}$ (lämpöä siirtyy taikinaan)

   Kysytty

   taikinan sisäenergian muutos $\Delta U$

   Periaate

   Energia säilyy: systeemin sisäenergia muuttuu täsmälleen sen verran kuin siihen siirtyy energiaa lämpönä ja työnä (termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö). Laki pätee, koska taikina on selvästi rajattu systeemi ja kaikki energia ylittää sen rajan vain työnä tai lämpönä. Molemmat siirrot tuovat energiaa systeemiin, joten molemmat ovat positiivisia.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, ja kysytty $\Delta U$ on jo yhtälön vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ei tarvita: sekä $Q$ että $W$ on annettu jouleina, ja tulos halutaan jouleina.

   Sijoitus

   $\Delta U$$= 120\,\text{J} + 450\,\text{J}$

   $= 570\,\text{J}$

   Vastaus

   $570\,\text{J}$

   Kokonaisina jouleina, koska molemmat siirrot on annettu kokonaisina jouleina.

   Järkevyys

   Molemmat siirrot tuovat energiaa taikinaan, joten sisäenergian on kasvettava, ja tulos $570\,\text{J}$ on suurempi kuin kumpikaan yksittäinen siirto:

   $570\,\text{J}$$> 450\,\text{J}$

   $> 120\,\text{J}$

   Vaivattu taikina lämpenee hieman, mikä sopii kokemukseen.

2. Tehtävä 6-2Ydintehtävä

   Kuppi kuumaa kahvia jäähtyy mökin pöydällä. Kahvista siirtyy ympäristöön lämpömäärä $8{,}4\,\text{kJ}$. Kahviin ei tehdä työtä, eikä kahvi tee työtä.

   Kuinka paljon kahvin sisäenergia muuttuu? Anna vastaus etumerkkeineen kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $-8{,}4\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on kahvi; $Q = -8{,}4\,\text{kJ}$ (lämpöä siirtyy kahvista pois), $W = 0$

   Kysytty

   kahvin sisäenergian muutos $\Delta U$ kilojouleina

   Periaate

   Energia säilyy, joten sisäenergian muutos on systeemiin siirtyneiden lämmön ja työn summa. Kahvista lähtee lämpöä, joten $Q$ on negatiivinen. Työtä ei tehdä kumpaankaan suuntaan, joten $W = 0$ ja vain lämpö muuttaa sisäenergiaa.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, ja kysytty $\Delta U$ on jo yhtälön vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ei tarvita: $Q$ on annettu kilojouleina ja vastaus halutaan kilojouleina, joten $W = 0\,\text{kJ}$ riittää.

   Sijoitus

   $\Delta U$$= -8{,}4\,\text{kJ} + 0\,\text{kJ}$

   $= -8{,}4\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $-8{,}4\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpömäärässä $8{,}4\,\text{kJ}$.

   Järkevyys

   Etumerkki on negatiivinen, koska kahvi luovuttaa energiaa ja jäähtyy. Energia ei katoa: sama $8{,}4\,\text{kJ}$ siirtyy pöytään ja huoneen ilmaan, joten ympäristön sisäenergia kasvaa $+8{,}4\,\text{kJ}$ ja kokonaisuuden summa on nolla.

3. Tehtävä 6-3

   Juhlailmapallo viedään lämpimään saunaan. Pallon ilmaan siirtyy lämpömäärä $350\,\text{J}$, ja samalla pallo laajenee, jolloin ilma tekee ympäristöön työn $100\,\text{J}$. Kuinka paljon pallon ilman sisäenergia muuttuu?

   JTarkista
   Vastaus

   $250\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on pallon ilma; $Q = +350\,\text{J}$ (lämpöä siirtyy ilmaan), $W = -100\,\text{J}$ (ilma tekee työtä ympäristöön laajetessaan)

   Kysytty

   ilman sisäenergian muutos $\Delta U$

   Periaate

   Energia säilyy: sisäenergian muutos on systeemiin siirtyneen lämmön ja työn summa. Ilma saa energiaa lämpönä mutta luovuttaa osan laajenemistyönä, joten työ on negatiivinen ja pienentää sisäenergian kasvua.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, ja kysytty $\Delta U$ on jo yhtälön vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ei tarvita: kumpikin siirto on annettu jouleina.

   Sijoitus

   $\Delta U$$= 350\,\text{J} + (-100\,\text{J})$

   $= 250\,\text{J}$

   Vastaus

   $250\,\text{J}$

   Kokonaisina jouleina, koska siirrot on annettu kokonaisina jouleina.

   Järkevyys

   Osa tulevasta energiasta kuluu laajenemistyöhön, joten sisäenergia kasvaa vähemmän kuin $350\,\text{J}$: $250\,\text{J} < 350\,\text{J}$. Sisäenergia kasvaa silti, joten ilman lämpötila nousee. Energiatase: tuli $350\,\text{J}$, meni $100\,\text{J}$, jäi $250\,\text{J}$.

4. Tehtävä 6-4

   Henkilöauton moottorin sylinterissä polttoaine on palanut, ja kuuma palokaasu laajenee työntäen mäntää. Kaasu tekee mäntään työn $320\,\text{J}$, ja samalla kaasusta siirtyy sylinterin seiniin lämpömäärä $180\,\text{J}$.

   Kuinka paljon kaasun sisäenergia muuttuu? Anna vastaus etumerkkeineen.

   JTarkista
   Vastaus

   $-500\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on palokaasu; $W = -320\,\text{J}$ (kaasu tekee työtä mäntään), $Q = -180\,\text{J}$ (lämpöä siirtyy kaasusta seiniin)

   Kysytty

   kaasun sisäenergian muutos $\Delta U$ etumerkkeineen

   Periaate

   Energia säilyy, joten sisäenergian muutos on lämmön ja työn summa. Tässä kaasu luovuttaa energiaa kahta reittiä: työnä laajetessaan ja lämpönä seinille. Kumpikin on systeemistä pois, joten kumpikin on negatiivinen.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, ja kysytty $\Delta U$ on jo yhtälön vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ei tarvita: kumpikin siirto on annettu jouleina.

   Sijoitus

   $\Delta U$$= -180\,\text{J} + (-320\,\text{J})$

   $= -500\,\text{J}$

   Vastaus

   $-500\,\text{J}$

   Kokonaisina jouleina, koska siirrot on annettu kokonaisina jouleina.

   Järkevyys

   Energiaa lähtee kaasusta kahta reittiä eikä tule mitään, joten sisäenergian on pienennyttävä ja kaasun jäähdyttävä. Pieneneminen on yhtä suuri kuin poistuneiden siirtojen summa: $180\,\text{J} + 320\,\text{J} = 500\,\text{J}$.

5. Tehtävä 6-5

   Polkupyörän renkaasta päästetään ilmaa venttiilin kautta. Ulos purkautuva ilma laajenee ja tekee ympäristöön työn $85\,\text{J}$. Samalla siihen ehtii siirtyä ympäristöstä lämpömäärä $15\,\text{J}$.

   Kuinka paljon purkautuvan ilman sisäenergia muuttuu? Anna vastaus etumerkkeineen.

   JTarkista
   Vastaus

   $-70\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on purkautuva ilma; $W = -85\,\text{J}$ (ilma tekee työtä ympäristöön), $Q = +15\,\text{J}$ (lämpöä siirtyy ilmaan)

   Kysytty

   ilman sisäenergian muutos $\Delta U$ etumerkkeineen

   Periaate

   Energia säilyy, joten sisäenergian muutos on lämmön ja työn summa. Ilma laajenee ja tekee työtä, joten $W$ on negatiivinen. Ympäristöstä ehtii siirtyä vain vähän lämpöä, koska purkaus on nopea.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, ja kysytty $\Delta U$ on jo yhtälön vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ei tarvita: kumpikin siirto on annettu jouleina.

   Sijoitus

   $\Delta U$$= 15\,\text{J} + (-85\,\text{J})$

   $= -70\,\text{J}$

   Vastaus

   $-70\,\text{J}$

   Kokonaisina jouleina, koska molemmat siirrot on annettu kokonaisina jouleina.

   Järkevyys

   Laajenemistyö vie enemmän energiaa kuin lämpö tuo ($85\,\text{J} > 15\,\text{J}$), joten sisäenergian on pienennyttävä ja ilman jäähdyttävä. Siksi venttiili tuntuu kylmältä, kun ilmaa päästetään ulos.

6. Tehtävä 6-6

   Kahvikuppi ja iso kattila ovat täynnä vettä, jonka lämpötila on kummassakin $60\,{}^\circ\text{C}$. Kattilassa vettä on kymmenen kertaa enemmän kuin kupissa. Mikä väite vesien sisäenergiasta on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kattilassa on suurempi sisäenergia, koska samassa lämpötilassa hiukkasia on enemmän.
   • Molemmilla on sama sisäenergia, koska lämpötila on kummassakin vedessä sama.
   • Kattilassa on enemmän lämpöä, koska lämpö varastoituu veteen vesimäärän mukaan.
   • Kupissa on suurempi sisäenergia, koska pieni vesimäärä kuumenee nopeammin kuin suuri.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kattilassa on suurempi sisäenergia, koska samassa lämpötilassa hiukkasia on enemmän.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kummalla vesimäärällä on suurempi sisäenergia, kun lämpötila on sama

   Periaate

   Sisäenergia on systeemin hiukkasten liike-energian ja hiukkasten välisten vuorovaikutusten energian summa. Lämpötila kertoo hiukkasten liikkeen voimakkuudesta, mutta sisäenergia riippuu myös hiukkasten määrästä. Lämpö ei ole kappaleeseen varastoitunut määrä, vaan energian siirtymistä lämpötilaeron vuoksi.

   Mallivastaus

   Kattilassa on suurempi sisäenergia, koska samassa lämpötilassa hiukkasia on enemmän. Väite, että sisäenergia on sama, sekoittaa lämpötilan ja sisäenergian. Kupin sisäenergian ei voi olla suurempi, koska siinä on vähemmän hiukkasia. Väite, että kattilassa on enemmän lämpöä, on virheellinen, koska kappaleeseen varastoituu sisäenergiaa eikä lämpöä.

7. Tehtävä 6-7

   Eristettyyn astiaan kaadetaan kuumaa ja kylmää vettä, ja vesi sekoitetaan. Astiasta ei siirry energiaa pois, sekoituksen tekemä työ on merkityksetön ja astian oman lämpenemisen voi jättää huomiotta.

   Mikä väite energiasta on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kuuman veden sisäenergia pienenee yhtä paljon kuin kylmän kasvaa, joten energia säilyy.
   • Kylmä vesi saa enemmän energiaa kuin kuuma luovuttaa, koska kylmässä vedessä on tilaa.
   • Kummankin veden sisäenergia pysyy ennallaan, ja vain lämpötilat tasoittuvat keskenään.
   • Kuuma vesi luovuttaa lämpöä, mutta osa siitä häviää sekoituksessa, ja kokonaisenergia pienenee.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kuuman veden sisäenergia pienenee yhtä paljon kuin kylmän kasvaa, joten energia säilyy.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä energialle tapahtuu, kun kuumaa ja kylmää vettä sekoitetaan eristetyssä astiassa (astian oma lämpeneminen jätetään huomiotta)

   Periaate

   Eristetyn systeemin kokonaisenergia pysyy vakiona (energian säilyminen). Lämpöä siirtyy kuumemmasta kylmempään, kunnes lämpötilat ovat samat. Kuuman veden luovuttama energia on siis täsmälleen se energia, jonka kylmä vesi saa.

   Mallivastaus

   Kuuman veden sisäenergia pienenee sen verran kuin kylmän veden sisäenergia kasvaa, joten kokonaisenergia säilyy. Väite, että energiaa häviää sekoituksessa, rikkoo energian säilymistä, koska energiaa ei siirry astian ulkopuolelle. Sisäenergia ei voi pysyä kummassakin ennallaan, koska lämpötilat muuttuvat. Kylmä vesi ei myöskään voi saada enempää energiaa kuin kuuma luovuttaa.

8. Tehtävä 6-8

   Uppokuumennin siirtää vesiämpärin veteen lämpöä tasaisella $0{,}80\,\text{kW}$:n teholla $45\,\text{s}$:n ajan. Ämpäri on hyvin eristetty, joten lämpöä ei karkaa ympäristöön, eikä veteen tehdä työtä.

   Kuinka paljon veden sisäenergia kasvaa? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $36\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on vesi; teho $P = 0{,}80\,\text{kW}$, aika $t = 45\,\text{s}$, lämpöä ei karkaa ympäristöön, $W = 0$

   Kysytty

   veden sisäenergian kasvu $\Delta U$ kilojouleina

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Kuumennin siirtää veteen energiaa lämpönä tasaisella teholla, joten veteen siirtyvä lämpömäärä on tehon ja ajan tulo. Työtä ei tehdä, joten $W = 0$.

   Kaava

   $Q = Pt$ ja $\Delta U = Q + W$, joten $\Delta U = Pt$

   Muunnokset

   $P = 0{,}80\,\text{kW} = 800\,\text{W}$, jolloin $Pt$ tulee jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $\Delta U$$= 800\,\text{W} \cdot 45\,\text{s}$

   $= 36\,000\,\text{J}$

   $= 36\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $36\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $0{,}80\,\text{kW}$ ja $45\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Kuumennin siirtää joka sekunti $800\,\text{J}$, ja koko minuutissa se siirtäisi $0{,}80\,\text{kW} \cdot 60\,\text{s} = 48\,\text{kJ}$. Aika $45\,\text{s}$ on lyhyempi kuin minuutti, joten tulos $36\,\text{kJ}$ on pienempi: $36\,\text{kJ} < 48\,\text{kJ}$. Tulos on positiivinen, koska veteen tulee energiaa eikä sitä lähde.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-9Ydintehtävä

   Kompressorin mäntä puristaa sylinterissä olevaa ilmaa. Kuvaajassa on männän ilmaan kohdistama voima $F$ männän kulkeman matkan $s$ funktiona puristuksen aikana. Ilman sisäenergia kasvaa puristuksessa $45\,\text{J}$.

   Kuinka suuri lämpömäärä $Q$ ilmaan siirtyy? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta ja anna vastaus etumerkkeineen: negatiivinen $Q$ tarkoittaa, että lämpöä siirtyy ilmasta pois.

   JTarkista
   Vastaus

   $-15\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on ilma; männän voima ilmaan on kuvaajassa matkan funktiona, $\Delta U = +45\,\text{J}$

   Kysytty

   ilmaan siirtyvä lämpömäärä $Q$ etumerkkeineen

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Voima muuttuu matkalla, joten työtä ei lasketa tulona $Fs$ vaan $(s,F)$-kuvaajan ja vaaka-akselin väliin jäävänä pinta-alana. Mäntä on ympäristöä, joka tekee työtä ilmaan, joten $W$ on positiivinen. Lämpö saadaan sisäenergian muutoksen ja työn erotuksena.

   Kuvaajan lukeminen

   Suora alkaa ruudukon risteyksestä $(0\,\text{m}$; $200\,\text{N})$ ja päättyy risteykseen $(0{,}20\,\text{m}$; $400\,\text{N})$. Pinta-ala on puolisuunnikas, jonka yhdensuuntaiset sivut ovat $F_1 = 200\,\text{N}$ ja $F_2 = 400\,\text{N}$ ja korkeus $s = 0{,}20\,\text{m}$.

   Kaava

   $W = \dfrac{F_1 + F_2}{2}\, s$ ja $\Delta U = Q + W$, joten $Q = \Delta U - W$

   Muunnokset

   Ei tarvita: voima on newtoneina ja matka metreinä, joten $1\,\text{N}\cdot\text{m} = 1\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= \dfrac{200\,\text{N} + 400\,\text{N}}{2} \cdot 0{,}20\,\text{m}$

   $= 300\,\text{N} \cdot 0{,}20\,\text{m}$

   $= 60\,\text{J}$

   joten

   $Q$$= 45\,\text{J} - 60\,\text{J}$

   $= -15\,\text{J}$

   Vastaus

   $-15\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $0{,}20\,\text{m}$ ja $45\,\text{J}$. Kuvaajan arvot luetaan tarkasti ruudukosta, joten hyväksytään $-14{,}5\ldots-15{,}5\,\text{J}$.

   Järkevyys

   Työ toi ilmaan $60\,\text{J}$, mutta sisäenergia kasvoi vain $45\,\text{J}$, joten $15\,\text{J}$:n on täytynyt lähteä lämpönä pois ja $Q$ on negatiivinen. Tulos sopii siihen, että puristettu ilma on lämmintä ja luovuttaa lämpöä sylinterin seiniin. Tase: $-15\,\text{J} + 60\,\text{J} = 45\,\text{J}$.

2. Tehtävä 6-10Ydintehtävä

   Vedenkeittimen vastus siirtää veteen energiaa lämpönä tasaisella $2{,}0\,\text{kW}$:n teholla 90 sekunnin ajan. Samaan aikaan vedestä siirtyy keittimen kuoren kautta ympäristöön lämpömäärä $20\,\text{kJ}$.

   Kuinka paljon veden sisäenergia kasvaa? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $160\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on vesi; vastuksen teho $P = 2{,}0\,\text{kW}$, aika $t = 90\,\text{s}$, kuoren läpi ympäristöön siirtyvä lämpö $20\,\text{kJ}$; työtä ei tehdä, joten $W = 0$

   Kysytty

   veden sisäenergian kasvu $\Delta U$ kilojouleina

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Vastus siirtää veteen energiaa lämpönä, ja osa siitä karkaa ulos. Veteen siirtyvä nettolämpö on tuleva energia miinus poistuva, ja koska vesi ei laajene eikä siihen tehdä työtä, $W = 0$.

   Kaava

   vastuksen siirtämä energia $Q_\text{sis} = Pt$, nettolämpö $Q = Pt - Q_\text{ulos}$ ja $\Delta U = Q + W$, joten $\Delta U = Pt - Q_\text{ulos}$

   Muunnokset

   $P = 2{,}0\,\text{kW} = 2000\,\text{W}$, jolloin $Pt$ tulee jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Pt$$= 2000\,\text{W} \cdot 90\,\text{s}$

   $= 180\,000\,\text{J}$

   $= 180\,\text{kJ}$

   Siis

   $\Delta U$$= 180\,\text{kJ} - 20\,\text{kJ} + 0$

   $= 160\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $160\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa: erotus $180\,\text{kJ} - 20\,\text{kJ}$ tunnetaan kymmenen kilojoulen tarkkuudella, koska lämpö $20\,\text{kJ}$ on annettu vain niin tarkasti.

   Järkevyys

   Veteen jää $\tfrac{160}{180} \approx 89\,\%$ vastuksen energiasta ja vain pieni osa karkaa kuoren läpi, mikä sopii hyvin eristettyyn keittimeen. Karkeasti: $2\,\text{kW}$ kahden minuutin ajan olisi $240\,\text{kJ}$, joten $90\,\text{s}$:ssa tulee noin kolme neljäsosaa siitä eli $180\,\text{kJ}$.

3. Tehtävä 6-11

   Saimaalla liikennöivän höyrylaivan koneen sylinterissä höyry laajenee ja tekee mäntään työn $2{,}0\,\text{kJ}$. Samalla höyryn sisäenergia pienenee $1{,}2\,\text{kJ}$. Kuinka suuri lämpömäärä höyryyn siirtyy? Anna vastaus jouleina.

   JTarkista
   Vastaus

   $800\,\text{J} = 0{,}8\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on höyry; $W = -2{,}0\,\text{kJ}$ (höyry tekee työtä), $\Delta U = -1{,}2\,\text{kJ}$

   Kysytty

   höyryyn siirtyvä lämpömäärä $Q$ jouleina

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Sisäenergian muutos ja työ tunnetaan, joten lämpö saadaan niiden erotuksena. Höyry laajenee ja tekee työtä, joten $W$ on negatiivinen.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, joten $Q = \Delta U - W$

   Muunnokset

   Vastaus halutaan jouleina:

   $\Delta U$$= -1{,}2\,\text{kJ}$

   $= -1200\,\text{J}$

   $W$$= -2{,}0\,\text{kJ}$

   $= -2000\,\text{J}$

   Sijoitus

   $Q$$= -1200\,\text{J} - (-2000\,\text{J})$

   $= 800\,\text{J}$

   Vastaus

   $800\,\text{J} = 0{,}8\,\text{kJ}$

   ; erotus tunnetaan sadan joulen tarkkuudella kuten tiedot, joten yksi merkitsevä numero.

   Järkevyys

   $Q$ on positiivinen, joten lämpöä siirtyy höyryyn. Höyry luovutti työnä $2000\,\text{J}$ mutta sen sisäenergia pieneni vain $1200\,\text{J}$, joten puuttuvan $800\,\text{J}$:n on täytynyt tulla lämpönä sylinterin kuumista seinistä. Tase: $800\,\text{J} - 2000\,\text{J} = -1200\,\text{J}$.

4. Tehtävä 6-12

   Pakastemustikoista tehtyä smoothieta sekoitetaan tehosekoittimessa. Terä tekee smoothieen työtä $250\,\text{W}$:n teholla. Smoothie on keittiön ilmaa kylmempää, ja sekoituksen aikana siihen siirtyy kannun seinien kautta lämpömäärä $2{,}0\,\text{kJ}$. Sekoituksen jälkeen smoothien sisäenergia on kasvanut $12\,\text{kJ}$.

   Kuinka kauan sekoitin oli päällä?

   sTarkista
   Vastaus

   $40\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on smoothie; terän teho $P = 250\,\text{W}$, $Q = +2{,}0\,\text{kJ}$ (lämpöä siirtyy smoothieen), $\Delta U = +12\,\text{kJ}$

   Kysytty

   sekoitusaika $t$

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Sisäenergian kasvusta osa tulee lämpönä ja loput terän tekemänä työnä. Terän työ on tehon ja ajan tulo, koska teho on vakio: $W = Pt$.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, joten $W = \Delta U - Q$. Koska $P = \dfrac{W}{t}$, ratkeaa

   $t$$= \dfrac{W}{P}$

   $= \dfrac{\Delta U - Q}{P}$

   Muunnokset

   Energiat kilojouleista jouleiksi, jotta tulos tulee sekunteina: $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$, joten $\Delta U = 12\,000\,\text{J}$ ja $Q = 2000\,\text{J}$. Tehon yksikkö $1\,\text{W} = 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$.

   Sijoitus

   $W$$= 12\,\text{kJ} - 2{,}0\,\text{kJ}$

   $= 10\,\text{kJ}$

   $= 10\,000\,\text{J}$

   Siis

   $t$$= \dfrac{10\,000\,\text{J}}{250\,\text{W}}$

   $= 40\,\text{s}$

   Vastaus

   $40\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska työ $W = 12\,\text{kJ} - 2{,}0\,\text{kJ} = 10\,\text{kJ}$ tunnetaan tarkkuudella $1\,\text{kJ}$ (sisäenergia $12\,\text{kJ}$ on annettu kokonaisina kilojouleina).

   Järkevyys

   Alle minuutin sekoitus on tehosekoittimelle tavallinen aika. Tarkistus tehosta: $250\,\text{W} \cdot 40\,\text{s} = 10\,000\,\text{J}$, ja $10\,\text{kJ} + 2{,}0\,\text{kJ} = 12\,\text{kJ}$. Jos lämpöä ei siirtyisi, aikaa kuluisi $\tfrac{12\,000}{250} = 48\,\text{s}$, joten tulos on sitä lyhyempi, kuten pitääkin.

5. Tehtävä 6-13

   Suljetussa sylinterissä oleva kaasu käy läpi neljän vaiheen kierron ja palaa neljännen vaiheen jälkeen täsmälleen alkutilaansa: kaasun määrä, lämpötila ja muut tilanmuuttujat ovat samat kuin alussa.

   Taulukossa on esimerkkiaineistona kaasuun siirtynyt lämpömäärä $Q$ ja kaasuun tehty työ $W$ jokaisessa vaiheessa; vaiheen 4 työtä ei tunneta.

   Kuinka suuri on työ $W$ vaiheessa 4? Anna vastaus etumerkkeineen: negatiivinen $W$ tarkoittaa, että kaasu tekee työtä ympäristöön.

   Kaasun lämpö ja työ kierron vaiheissa (esimerkkiaineisto)

   Vaihe	$Q\,(\text{J})$	$W\,(\text{J})$
   1	600	−250
   2	−150	0
   3	−320	210
   4	0	?

   JTarkista
   Vastaus

   $-90\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on kaasu; vaiheet 1–3: $Q_1 = +600\,\text{J}$, $W_1 = -250\,\text{J}$; $Q_2 = -150\,\text{J}$, $W_2 = 0$; $Q_3 = -320\,\text{J}$, $W_3 = +210\,\text{J}$; vaihe 4: $Q_4 = 0$, $W_4$ tuntematon; kaasu palaa kierron lopussa alkutilaansa

   Kysytty

   työ $W_4$ vaiheessa 4 etumerkkeineen

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$ koko kierrolle. Kaasu palaa täsmälleen alkutilaansa, joten sen sisäenergia on sama kuin alussa. Sisäenergia on tilan funktio, joten kierrossa sen muutos on nolla: $\Delta U = 0$. Silloin kierron lämpöjen ja töiden summa on nolla.

   Kaava

   $\Delta U$$= (Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4) + (W_1 + W_2 + W_3 + W_4)$

   $= 0$

   joten $W_4 = -(Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4) - (W_1 + W_2 + W_3)$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki energiat on annettu jouleina.

   Sijoitus

   Lämpöjen summa on $600\,\text{J} - 150\,\text{J} - 320\,\text{J} + 0 = 130\,\text{J}$ ja tunnettujen töiden summa $-250\,\text{J} + 0 + 210\,\text{J} = -40\,\text{J}$. Siis

   $W_4$$= -130\,\text{J} - (-40\,\text{J})$

   $= -90\,\text{J}$

   Vastaus

   $-90\,\text{J}$

   Kokonaisina jouleina, koska tiedot on annettu kokonaisina jouleina. Negatiivinen työ tarkoittaa, että kaasu tekee ympäristöön työn $90\,\text{J}$.

   Järkevyys

   Kierrossa kaasuun tulee lämpöä yhteensä $130\,\text{J}$, joten sen täytyy tehdä ympäristöön työtä yhteensä $130\,\text{J}$: $-250\,\text{J} + 0 + 210\,\text{J} - 90\,\text{J} = -130\,\text{J}$, ja $130\,\text{J} - 130\,\text{J} = 0$. Vaiheessa 4 lämpöä ei siirry, joten työn tekeminen pienentää kaasun sisäenergiaa:

   $\Delta U_4$$= 0 + (-90\,\text{J})$

   $= -90\,\text{J}$

   ja kaasu jäähtyy.

6. Tehtävä 6-14

   Oppilas ratkaisi tehtävän ja sai tuloksen $\Delta U = 40\,\text{J}$. Tehtävä: pyöräpumpun sylinterissä olevaa ilmaa puristetaan, jolloin mäntä tekee ilmaan työn $30\,\text{J}$, ja samalla ilmasta siirtyy sylinterin seinien kautta ympäristöön lämpömäärä $10\,\text{J}$. Oppilaan ratkaisu: ”Ilmaan tehdään työ, joten $W = +30\,\text{J}$. Lämpömäärä on $10\,\text{J}$, joten $Q = 10\,\text{J}$. Siis $\Delta U = Q + W = 10\,\text{J} + 30\,\text{J} = 40\,\text{J}$.”

   a) Mikä virhe oppilaan ratkaisussa on?

   b) Laske ilman sisäenergian muutos oikein.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) tulos etumerkkeineen.

   JTarkista
   Vastaus

   $20\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on pumpun ilma; $W = +30\,\text{J}$ (mäntä tekee työtä ilmaan), ilmasta siirtyy pois lämpömäärä $10\,\text{J}$; oppilaan tulos $\Delta U = 40\,\text{J}$

   Kysytty

   a) oppilaan virhe, b) oikea $\Delta U$ etumerkkeineen

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Merkit kertovat suunnan: energia systeemiin on positiivista ja systeemistä pois negatiivista. Ilmasta lähtevä lämpö vähentää sisäenergiaa, joten $Q$ on negatiivinen.

   Kaava

   $\Delta U = Q + W$, ja kysytty $\Delta U$ on jo yhtälön vasemmalla puolella

   Muunnokset

   Ei tarvita: kumpikin siirto on annettu jouleina.

   Sijoitus

   a) Oppilas antoi lämmölle etumerkin plus, vaikka lämpöä siirtyy ilmasta pois ja oikea arvo on $Q = -10\,\text{J}$. Työn etumerkki $W = +30\,\text{J}$ on oikein. b)

   $\Delta U$$= -10\,\text{J} + 30\,\text{J}$

   $= 20\,\text{J}$

   Vastaus

   $20\,\text{J}$

   Kokonaisina jouleina, koska siirrot on annettu kokonaisina jouleina.

   Järkevyys

   Työ toi ilmaan $30\,\text{J}$ ja lämpönä lähti $10\,\text{J}$, joten sisäenergian on kasvettava vähemmän kuin työn verran: $20\,\text{J} < 30\,\text{J}$. Oppilaan tulos oli suurempi kuin työ, vaikka ilmasta lähti energiaa, mikä ei voi pitää paikkaansa.

7. Tehtävä 6-15

   Oppilaat vetävät puupalikkaa pöydällä tasaisella nopeudella voimamittarilla. Palikka ja pöytä muodostavat systeemin.

   Taulukossa on esimerkkiaineistona vetovoima $F$ viidellä vedolla; jokaisella vedolla palikka liikkuu matkan $0{,}600\,\text{m}$. Vetovoiman tekemä työ muuttuu kitkan vuoksi sisäenergiaksi. Oletetaan, että lämpöä ei siirry ympäristöön, ja käytetään vetovoimana mittausten keskiarvoa.

   Kuinka paljon systeemin sisäenergia kasvaa 20 vedon aikana? Perustele lyhyesti, miksi oikea kasvu on todennäköisesti hieman pienempi kuin laskettu.

   Palikan vetovoima viidellä vedolla (esimerkkiaineisto)

   Veto	$F\,(\text{N})$
   1	4,1
   2	4,3
   3	4,2
   4	4,0
   5	4,4

   JTarkista
   Vastaus

   $50{,}4\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on palikka ja pöytä; vetoja $n = 20$, matka vedolla $s = 0{,}600\,\text{m}$, voimat $4{,}1\,\text{N}$, $4{,}3\,\text{N}$, $4{,}2\,\text{N}$, $4{,}0\,\text{N}$ ja $4{,}4\,\text{N}$; $Q = 0$

   Kysytty

   sisäenergian kasvu $\Delta U$ 20 vedon aikana, ja miksi oikea kasvu on pienempi

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Oletuksen mukaan $Q = 0$, joten $\Delta U = W$. Vetovoima tekee työn $W = Fs$ systeemiin, ja kitka muuttaa sen sisäenergiaksi. Mittaukset vaihtelevat hieman, joten käytetään vetovoimana keskiarvoa.

   Kaava

   $F_\text{ka}$$= \dfrac{\text{mittausten summa}}{5}$

   yhden vedon työ $W_1 = F_\text{ka}\, s$ ja kaikkien vetojen $\Delta U = nW_1$

   Muunnokset

   Ei tarvita: voima on newtoneina ja matka metreinä, joten tulo on jouleina.

   Sijoitus

   Mittausten summa on

   $4{,}1\,\text{N} + 4{,}3\,\text{N} + 4{,}2\,\text{N} + 4{,}0\,\text{N} + 4{,}4\,\text{N}$

   $= 21{,}0\,\text{N}$

   joten

   $F_\text{ka}$$= \dfrac{21{,}0\,\text{N}}{5}$

   $= 4{,}20\,\text{N}$

   Yhden vedon työ on

   $W_1$$= 4{,}20\,\text{N} \cdot 0{,}600\,\text{m}$

   $= 2{,}52\,\text{J}$

   joten

   $\Delta U$$= 20 \cdot 2{,}52\,\text{J}$

   $= 50{,}4\,\text{J}$

   Vastaus

   $50{,}4\,\text{J}$

   Eli noin $50\,\text{J}$: mittaukset on annettu kahdella merkitsevällä numerolla ja ne vaihtelevat noin $\pm 0{,}2\,\text{N}$ ($\approx 5\,\%$), joten kahden merkitsevän numeron tulos on rehellinen. Oikea kasvu on todennäköisesti hieman pienempi, koska osa lämmenneestä palikasta ja pöydästä siirtää lämpöä ilmaan, jolloin $Q < 0$ ja $\Delta U = Q + W < W$.

   Järkevyys

   Yhden vedon $2{,}52\,\text{J}$ on pieni, ja siksi kitkan aiheuttama lämpeneminen on arjessa vaikea huomata, mutta $20$ vedon $50{,}4\,\text{J}$ on jo selvästi mitattava. Tarkistus: $20 \cdot 0{,}600\,\text{m} = 12{,}0\,\text{m}$ vetomatkaa kerrottuna voimalla $4{,}20\,\text{N}$ antaa $50{,}4\,\text{J}$.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 6-16

   Pyöräpumpun suuaukko tukitaan sormella, joten ilmaa ei pääse ulos. Mäntää painetaan hyvin hitaasti, ja mäntä työntää ilmaa $0{,}15\,\text{m}$:n matkan keskimääräisellä $120\,\text{N}$:n voimalla. Pumpun ilman lämpötila pysyy koko ajan huoneen lämpötilassa, ja ilmaa voi pitää ideaalikaasuna.

   Kuinka suuri lämpömäärä $Q$ ilmaan siirtyy? Anna vastaus etumerkkeineen ja perustele, miksi ilman sisäenergia ei muutu.

   JTarkista
   Vastaus

   $-18\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on pumpun ilma (määrä ei muutu); $F = 120\,\text{N}$, $s = 0{,}15\,\text{m}$, lämpötila pysyy vakiona

   Kysytty

   ilmaan siirtyvä lämpömäärä $Q$ etumerkkeineen, ja miksi $\Delta U$ ei muutu

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Tehtävän mukaan lämpötila pysyy vakiona eikä ilman määrä muutu, joten hiukkasten liike-energia ja määrä ovat ennallaan, ja koska ilmaa voi pitää ideaalikaasuna, sen sisäenergia ei muutu: $\Delta U = 0$. Silloin työn tuoma energia on siirryttävä pois lämpönä: $Q = -W$.

   Kaava

   $W = Fs$ ja $\Delta U = Q + W = 0$, joten $Q = -W = -Fs$

   Muunnokset

   Ei tarvita: voima on newtoneina ja matka metreinä, joten tulo on jouleina.

   Sijoitus

   $W$$= 120\,\text{N} \cdot 0{,}15\,\text{m}$

   $= 18\,\text{J}$

   (työtä tehdään ilmaan, joten $W > 0$). Siis $Q = -18\,\text{J}$

   Vastaus

   $-18\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $0{,}15\,\text{m}$ ja $120\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Koska mäntää painetaan hitaasti, työn tuoma energia ehtii siirtyä lämpönä pumpun seinien kautta huoneeseen, ja lämpötila pysyy vakiona. Tase: $-18\,\text{J} + 18\,\text{J} = 0$. Rajatapaus: nopeasti painettaessa lämpöä ei ehtisi siirtyä, $Q \approx 0$, ja pumppu kuumenisi.

2. Tehtävä 6-17

   Lukion fysiikan tunnilla tehdään Joulen kokeen kaltainen mittaus.

   Narun varassa oleva $5{,}0\,\text{kg}$:n punnus laskeutuu hitaasti tasaisella nopeudella ja pyörittää siipipyörää vedessä. Vesiastia on hyvin eristetty. Punnus nostetaan aina takaisin ylös ja päästetään alas yhteensä 12 kertaa.

   Kuinka korkealta punnuksen on joka kerta laskeuduttava, jotta veden sisäenergia kasvaa kaikkiaan $1{,}0\,\text{kJ}$? Oleta, että punnuksen menettämä energia siirtyy siipipyörän tekemänä työnä veteen.

   mTarkista
   Vastaus

   $1{,}7\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on vesi; punnuksen massa $m = 5{,}0\,\text{kg}$, laskeutumisia $n = 12$, $\Delta U = 1{,}0\,\text{kJ}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, eristetty astia

   Kysytty

   laskeutumiskorkeus $h$ yhdellä kerralla

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Astia on eristetty, joten lämpöä ei siirry ja $Q = 0$. Punnus laskeutuu tasaisella nopeudella, joten köysi vetää sitä voimalla $F = G = mg$ ja laskeutuessaan korkeuden $h$ köysi ja siipipyörä tekevät veteen työn $W_1 = Fh = mgh$. Silloin $\Delta U = W$.

   Kaava

   yhden laskeutumisen työ $W_1 = mgh$, joten $\Delta U = nmgh$ ja $h = \dfrac{\Delta U}{nmg}$

   Muunnokset

   $\Delta U$$= 1{,}0\,\text{kJ}$

   $= 1000\,\text{J}$

   Lopuksi $1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}$ ja $1\,\text{N} = 1\,\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2}$, joten osamäärän yksikkö on metri.

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{1000\,\text{J}}{12 \cdot 5{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{1000\,\text{J}}{588{,}6\,\text{N}}$

   $= 1{,}6989\,\text{m}$

   Vastaus

   $1{,}7\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $5{,}0\,\text{kg}$ ja energiassa $1{,}0\,\text{kJ}$.

   Järkevyys

   Noin 1,7 metrin pudotus mahtuu luokkahuoneeseen. Yhden laskeutumisen työ on

   $5{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}7\,\text{m}$

   $\approx 83\,\text{J}$

   ja $12 \cdot 83\,\text{J} \approx 1000\,\text{J}$. Joulen kokeessa tarvitaan paljon toistoja, koska yhden kilon vesi lämpenisi $\tfrac{1000\,\text{J}}{4190\,\text{J/K}} \approx 0{,}24\,\text{K}$.

3. Tehtävä 6-18

   Sylinterissä oleva kaasu viedään kahdella eri tavalla samasta alkulämpötilasta samaan loppulämpötilaan; kaasun määrä ei muutu. Kaasua voi pitää ideaalikaasuna, jonka hiukkasten välisten vuorovaikutusten energia on merkityksettömän pieni.

   Tavassa A kaasuun siirtyy lämpömäärä $400\,\text{J}$, ja kaasu tekee ympäristöön työn $150\,\text{J}$. Tavassa B kaasu tekee ympäristöön työn $60\,\text{J}$.

   Kuinka suuri lämpömäärä kaasuun siirtyy tavassa B? Perustele, miksi kaasun sisäenergian muutos on molemmissa tavoissa sama.

   JTarkista
   Vastaus

   $310\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on kaasu; tapa A: $Q_\text{A} = +400\,\text{J}$, $W_\text{A} = -150\,\text{J}$ (kaasu tekee työtä); tapa B: $W_\text{B} = -60\,\text{J}$; sama alku- ja loppulämpötila, sama kaasun määrä

   Kysytty

   lämpömäärä $Q_\text{B}$, ja miksi $\Delta U$ on kummassakin tavassa sama

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$ kummallekin tavalle. Tehtävän mukaan alku- ja lopputilassa kaasun lämpötila ja määrä ovat samat, joten hiukkasten liike-energia on sama, ja koska ideaalikaasussa vuorovaikutusten energia on merkityksetön, myös sisäenergia on sama. Siksi $\Delta U$ on sama kummassakin tavassa, vaikka lämpö ja työ eroavat: ne riippuvat reitistä, sisäenergia vain alku- ja lopputilasta.

   Kaava

   $\Delta U_\text{A} = Q_\text{A} + W_\text{A}$ ja $\Delta U_\text{B} = \Delta U_\text{A}$, joten

   $Q_\text{B}$$= \Delta U_\text{A} - W_\text{B}$

   $= Q_\text{A} + W_\text{A} - W_\text{B}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki energiat on annettu jouleina.

   Sijoitus

   $\Delta U_\text{A}$$= 400\,\text{J} + (-150\,\text{J})$

   $= 250\,\text{J}$

   Siis

   $Q_\text{B}$$= 250\,\text{J} - (-60\,\text{J})$

   $= 310\,\text{J}$

   Vastaus

   $310\,\text{J}$

   ; yhteenlaskussa tulos on yhtä tarkka kuin tiedot, jotka on annettu täysinä jouleina.

   Järkevyys

   Tavassa B kaasu tekee vähemmän työtä, joten sama sisäenergian kasvu $250\,\text{J}$ syntyy pienemmällä lämmöllä kuin tavassa A: $310\,\text{J} < 400\,\text{J}$. Tase:

   $310\,\text{J} + (-60\,\text{J})$

   $= 250\,\text{J}$

   $= \Delta U_\text{A}$
4. Tehtävä 6-19

   Pyöräpumpun sylinterin mäntää työnnetään nopeasti $0{,}20\,\text{m}$:n matka, ja pumpun ilma puristuu. Taulukossa on esimerkkiaineistona männän ilmaan kohdistama voima $F$ männän kulkeman matkan $s$ funktiona; voima kasvaa, koska puristuva ilma vastustaa yhä enemmän. Nopeassa puristuksessa lämpöä ei ehdi siirtyä ympäristöön, joten $Q = 0$.

   a) Laske männän ilmaan tekemä työ $W$ puolisuunnikassäännöllä: jakovälit ovat yhtä pitkät, ja työ on voiman ja matkan kuvaajan alle jäävä pinta-ala.

   b) Kuinka paljon ilman sisäenergia kasvaa nopeassa puristuksessa?

   c) Sama mäntä puristetaan nyt hitaasti samaan loppuasentoon niin, että ilman lämpötila pysyy huoneen lämpötilassa; ilmaa voi pitää ideaalikaasuna. Hitaassa puristuksessa mäntä tekee ilmaan työn $14{,}0\,\text{J}$. Kuinka suuri lämpömäärä $Q$ ilmaan siirtyy, ja miksi ilman lämpötila nousee vain nopeassa puristuksessa?

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) tulos.

   Pumpun männän voima matkan funktiona (esimerkkiaineisto)

   $s\,(\text{m})$	$F\,(\text{N})$
   0,00	50
   0,04	62
   0,08	78
   0,12	98
   0,16	125
   0,20	160

   JTarkista
   Vastaus

   $W \approx 18{,}7\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on pumpun ilma; $(s,F)$-taulukko, $s = 0$ … $0{,}20\,\text{m}$ askelin $0{,}04\,\text{m}$; nopeassa puristuksessa $Q = 0$; hitaassa puristuksessa lämpötila vakio ja $W_\text{hidas} = 14{,}0\,\text{J}$

   Kysytty

   a) työ $W$ puolisuunnikassäännöllä, b) sisäenergian kasvu $\Delta U$ nopeassa puristuksessa, c) lämpömäärä $Q$ hitaassa puristuksessa ja selitys

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Voima muuttuu matkalla, joten työ on $(s,F)$-kuvaajan alle jäävä pinta-ala, jonka puolisuunnikassääntö arvioi. Mäntä tekee ilmaan työtä, joten $W > 0$. Nopeassa puristuksessa lämpöä ei ehdi siirtyä, joten $\Delta U = W$. Hitaassa puristuksessa lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina, ja koska ilmaa voi pitää ideaalikaasuna, $\Delta U = 0$ ja $Q = -W$.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukossa jakovälejä on viisi, ja jokaisen leveys on $h = 0{,}04\,\text{m}$. Voimat jakovälien päissä ovat $50$, $62$, $78$, $98$, $125$ ja $160\,\text{N}$. Jokaisen välin pinta-ala on puolisuunnikas, jonka yhdensuuntaiset sivut ovat välin päiden voimat.

   Kaava

   puolisuunnikassääntö: työ on kaikkien välien pinta-alojen $h\,\dfrac{F_i + F_{i+1}}{2}$ summa, jossa välin päiden voimat ovat $F_i$ ja $F_{i+1}$. Lisäksi $\Delta U_\text{nopea} = Q + W = W$ ja $Q_\text{hidas} = -W_\text{hidas}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: voima on newtoneina ja matka metreinä, joten $1\,\text{N}\cdot\text{m} = 1\,\text{J}$.

   Sijoitus

   Jokaisen voiman ympärillä on kaksi vierekkäistä väliä, paitsi päissä; siksi päiden voimista lasketaan puolet. Summa on

   $25\,\text{N} + 62\,\text{N} + 78\,\text{N} + 98\,\text{N} + 125\,\text{N} + 80\,\text{N}$

   $= 468\,\text{N}$

   Siis

   $W$$= 0{,}04\,\text{m} \cdot 468\,\text{N}$

   $= 18{,}72\,\text{J}$

   joten

   $\Delta U$$= 0 + 18{,}72\,\text{J}$

   $= 18{,}72\,\text{J}$

   Kohdassa c) $Q = -14{,}0\,\text{J}$.

   Vastaus

   a) $W \approx 18{,}7\,\text{J}$. b) $\Delta U \approx 18{,}7\,\text{J}$, kolme merkitsevää numeroa. c) $Q = -14{,}0\,\text{J}$. Nopeassa puristuksessa lämpöä ei ehdi siirtyä pois, joten kaikki työ jää ilman sisäenergiaksi ja lämpötila nousee. Hitaassa puristuksessa sama energia siirtyy lämpönä sylinterin seinien kautta ympäristöön, joten sisäenergia ja lämpötila pysyvät ennallaan.

   Järkevyys

   Keskimääräinen voima on

   $\dfrac{18{,}72\,\text{J}}{0{,}20\,\text{m}}$$\approx 94\,\text{N}$

   mikä on alkuvoiman $50\,\text{N}$ ja loppuvoiman $160\,\text{N}$ välissä. Nopeassa puristuksessa sisäenergia kasvaa enemmän kuin hitaassa tarvittu työ: $18{,}7\,\text{J} > 14{,}0\,\text{J}$. Tämä sopii siihen, että nopeasti painettaessa pumppu kuumenee ja ilman paine nousee korkeammaksi, joten puristus vaatii suuremman voiman.

5. Tehtävä 6-20

   Vedenkeittimen vastukselle menevä sähköenergia $E_\text{v}$ mitataan energiamittarilla, ja veden sisäenergian kasvu $\Delta U$ on laskettu lämpötilan noususta. Taulukossa on esimerkkiaineistona mittaukset eri ajanhetkillä; vastus siirtää veteen energiaa lämpönä, ja vettä ei sekoiteta eikä siihen tehdä työtä. Oletetaan, että vastuksen ja keittimen rungon oma lämpeneminen on merkityksetön. Aineiston mukaan energia ei näytä säilyvän.

   a) Laske vastuksen keskimääräinen teho $P$ koko mittauksen ajalta.

   b) Laske, kuinka suuri lämpömäärä $Q_\text{ulos}$ on siirtynyt vedestä ympäristöön ajanhetkellä $120\,\text{s}$, ja kuinka monta prosenttia vastuksen energiasta se on.

   c) Selitä energian säilymisen avulla, mihin ”puuttuva” energia on mennyt ja miksi ensimmäinen pääsääntö $\Delta U = Q + W$ on aineistossa silti voimassa. Perustele taulukon avulla, että kertynyt häviö kasvaa ajan mukana.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) lämpömäärä $Q_\text{ulos}$ kilojouleina.

   Keittimen vastuksen energia ja veden sisäenergian kasvu (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$E_\text{v}\,(\text{kJ})$	$\Delta U\,(\text{kJ})$
   0	0,0	0,0
   30	60,1	52,0
   60	119,8	103,5
   90	180,3	154,2
   120	239,9	205,1

   kJTarkista
   Vastaus

   $Q_\text{ulos} = 34{,}8\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   systeemi on vesi; taulukon $E_\text{v}$ ja $\Delta U$ ajanhetkillä $0$, $30$, $60$, $90$ ja $120\,\text{s}$; $W = 0$; vastus siirtää veteen energian $E_\text{v}$ lämpönä

   Kysytty

   a) keskimääräinen teho $P$, b) vedestä ympäristöön siirtynyt lämpömäärä $Q_\text{ulos}$ ajanhetkellä $120\,\text{s}$ ja sen osuus prosentteina, c) selitys energian säilymisen avulla

   Periaate

   Energia säilyy, joten $\Delta U = Q + W$. Vettä ei sekoiteta eikä siihen tehdä työtä, joten $W = 0$. Vastuksen ja keittimen rungon oman lämpenemisen oletetaan merkityksettömäksi, joten veteen siirtyvä nettolämpö on vastuksen siirtämä energia miinus ympäristöön karkaava lämpö: $Q = E_\text{v} - Q_\text{ulos}$. Siis $\Delta U = E_\text{v} - Q_\text{ulos}$ ja $Q_\text{ulos} = E_\text{v} - \Delta U$. Teho on energia jaettuna ajalla: $P = \dfrac{E_\text{v}}{t}$.

   Kuvaajan lukeminen

   Viimeisellä rivillä $t = 120\,\text{s}$, $E_\text{v} = 239{,}9\,\text{kJ}$ ja $\Delta U = 205{,}1\,\text{kJ}$. Ensimmäisellä rivillä molemmat ovat nollia.

   Kaava

   $P = \dfrac{E_\text{v}}{t}$, $Q_\text{ulos} = E_\text{v} - \Delta U$ ja osuus $= \dfrac{Q_\text{ulos}}{E_\text{v}} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   $E_\text{v}$$= 239{,}9\,\text{kJ}$

   $= 239\,900\,\text{J}$

   jolloin teho tulee watteina; $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   a)

   $P$$= \dfrac{239\,900\,\text{J}}{120\,\text{s}}$

   $= 1999\,\text{W}$

   $\approx 2{,}00\,\text{kW}$

   b)

   $Q_\text{ulos}$$= 239{,}9\,\text{kJ} - 205{,}1\,\text{kJ}$

   $= 34{,}8\,\text{kJ}$

   ja osuus

   $\dfrac{34{,}8\,\text{kJ}}{239{,}9\,\text{kJ}} \cdot 100\,\%$

   $= 14{,}5\,\%$

   Vastaus

   $Q_\text{ulos} = 34{,}8\,\text{kJ}$

   (kohta b), kolme merkitsevää numeroa kuten taulukon arvot, eli noin $14{,}5\,\%$ vastuksen energiasta. Kohta a): keskiteho on $P = 2{,}00\,\text{kW}$. Kohta c): Puuttuva energia ei ole kadonnut: se on siirtynyt lämpönä keittimen seinän kautta ympäröivään ilmaan ja pöytään, joiden sisäenergia on kasvanut sen verran. Ensimmäinen pääsääntö on voimassa, kun vedelle lasketaan nettolämpö $Q = E_\text{v} - Q_\text{ulos}$. Kertynyt häviö $E_\text{v} - \Delta U$ kasvaa taulukossa jokaisella rivillä: $8{,}1$, $16{,}3$, $26{,}1$ ja $34{,}8\,\text{kJ}$, koska lämmin vesi luovuttaa ympäristöön lämpöä koko ajan.

   Järkevyys

   Häviö on pienempi kuin vastuksen energia ($34{,}8\,\text{kJ} < 239{,}9\,\text{kJ}$), joten veden sisäenergia kasvaa edelleen, kuten taulukossa. Tase: $205{,}1\,\text{kJ} + 34{,}8\,\text{kJ} = 239{,}9\,\text{kJ}$. Mittauksessa teho on $2{,}00\,\text{kW}$ ja häviö noin $0{,}29\,\text{kW}$ koko ajan keskimäärin, mikä on noin $15\,\%$ tehosta eli selvästi mitattava osa.