Voima vuorovaikutuksen mittana ja paino $G = mg$

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 1-1Ydintehtävä

   Kappaleen massa on $4{,}0\,\text{kg}$. Mikä on sen paino Maassa?

   NTarkista
   Vastaus

   $39\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 4{,}0\,\text{kg}$; taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ (Maa)

   Kysytty

   kappaleen paino Maassa $G$ newtoneina

   Periaate

   Paino kertoo, kuinka voimakas Maan ja kappaleen välinen vuorovaikutus on. Paino on suoraan verrannollinen massaan. Kappale on Maan pinnalla. Siksi kerroin on Maan putoamiskiihtyvyys $g$.

   Kaava

   $G = m g$. Kysytty paino on jo yksin vasemmalla puolella, joten kaavaa ei tarvitse ratkaista toisin: $G = m g$.

   Muunnokset

   Massa on jo kilogrammoina ja $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$, joten tulo tulee suoraan newtoneina: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m/s}^2$.

   Sijoitus

   $G$$= 4{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 39{,}24\,\text{N}$

   Vastaus

   $39\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $4{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Yhden kilogramman massan paino on noin $10\,\text{N}$, joten $4{,}0\,\text{kg}$:n massan paino on noin $4 \cdot 10\,\text{N} = 40\,\text{N}$. Tulos on positiivinen ja newtoneina, kuten voimalla kuuluu.

2. Tehtävä 1-2Ydintehtävä

   Voimamittariin ripustetaan kappale, jonka paino on $4{,}0\,\text{N}$. Jousi venyy $2{,}0\,\text{cm}$. Sitten siihen ripustetaan kappale, jonka paino on $12\,\text{N}$. Kuinka monta senttimetriä jousi nyt venyy?

   cmTarkista
   Vastaus

   $6{,}0\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $F_1 = 4{,}0\,\text{N}$ ja sen venymä $x_1 = 2{,}0\,\text{cm}$; toinen voima $F = 12\,\text{N}$

   Kysytty

   venymä $x$ senttimetreinä

   Periaate

   Voimamittarin jousen venymä on suoraan verrannollinen voimaan, kun jousta ei venytetä liikaa. Jos voima kasvaa moninkertaiseksi, venymä kasvaa samalla luvulla. Siksi voidaan käyttää suhdetta.

   Kaava

   $\dfrac{x}{x_1} = \dfrac{F}{F_1}$, joten $x = \dfrac{x_1 F}{F_1}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: venymä ratkeaa samassa yksikössä kuin $x_1$ (senttimetreinä), ja newtonit supistuvat suhteessa $\dfrac{F}{F_1}$.

   Sijoitus

   $x$$= \dfrac{2{,}0\,\text{cm} \cdot 12\,\text{N}}{4{,}0\,\text{N}}$

   $= 6{,}0\,\text{cm}$

   Vastaus

   $6{,}0\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa.

   Järkevyys

   Voima on $\dfrac{12}{4{,}0} = 3$-kertainen, joten venymän pitää olla $3 \cdot 2{,}0\,\text{cm} = 6{,}0\,\text{cm}$. Myös jousivakio täsmää:

   $\dfrac{2{,}0\,\text{cm}}{4{,}0\,\text{N}}$$= 0{,}50\,\tfrac{\text{cm}}{\text{N}}$

   $0{,}50 \cdot 12 = 6{,}0$.

3. Tehtävä 1-3

   Kuun pinnalle jätetyn mittalaitteen massa on $30\,\text{kg}$. Mikä on sen paino Kuussa? Lue $g$:n arvo oppitunnin taulukosta.

   NTarkista
   Vastaus

   $49\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 30\,\text{kg}$; taulukosta $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   paino Kuussa $G$ newtoneina

   Periaate

   Paino kertoo, kuinka voimakas Kuun ja laitteen välinen vuorovaikutus on. Paino on suoraan verrannollinen massaan. Laite on Kuun pinnalla. Siksi kerroin on Kuun $g$, ei Maan.

   Kaava

   $G = m g_\text{Kuu}$. Kysytty paino on jo yksin vasemmalla puolella.

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$, joten tulos tulee suoraan newtoneina.

   Sijoitus

   $G$$= 30\,\text{kg} \cdot 1{,}62\,\text{m/s}^2$

   $= 48{,}6\,\text{N}$

   Vastaus

   $49\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $30\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Maassa laitteen paino olisi $30\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 294{,}3\,\text{N}$. Kuun $g$ on noin kuudesosa Maan arvosta, ja

   $\dfrac{294{,}3\,\text{N}}{6}$$\approx 49\,\text{N}$

   joten tulos täsmää.

4. Tehtävä 1-4

   Kuvaajassa ovat erään voimamittarin jousen kalibrointimittaukset. Kun jouseen ripustetaan tuntematon kappale, jousi venyy $3{,}5\,\text{cm}$. Kuinka suuri voima venyttää jousta?

   NTarkista
   Vastaus

   $F = 7{,}0\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan mittauspisteet ruudukon risteyksissä; jousen venymä kappaleella $x = 3{,}5\,\text{cm}$

   Kysytty

   voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Jousen venymä on suoraan verrannollinen voimaan, kun jousta ei venytetä liikaa. Siksi pisteet ovat suoralla, joka kulkee origon kautta. Suhde $x/F$ on sama kaikkialla. Tuntematonta voimaa ei tarvitse arvioida silmällä pisteiden välistä. Se lasketaan suhteesta.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan kaksi pistettä ruudukon risteyksistä: $(4\,\text{N}$; $2\,\text{cm})$ ja $(10\,\text{N}$; $5\,\text{cm})$. Molemmissa $x/F = 0{,}5\,\text{cm/N}$. Siksi pisteet ovat samalla suoralla, joka kulkee origon kautta. Venymä $3{,}5\,\text{cm}$ on pisteiden $(6\,\text{N}$; $3\,\text{cm})$ ja $(8\,\text{N}$; $4\,\text{cm})$ välissä. Siksi voiman pitää olla $6\,\text{N}$ ja $8\,\text{N}$ välissä. Silmällä luettu vastaus $6{,}8$–$7{,}2\,\text{N}$ hyväksytään.

   Kaava

   $\dfrac{x}{F} = \dfrac{x_1}{F_1}$, josta $F = \dfrac{F_1 x}{x_1}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: senttimetrit supistuvat suhteessa $\dfrac{x}{x_1}$ ja voima ratkeaa newtoneina.

   Sijoitus

   $F$$= \dfrac{4\,\text{N} \cdot 3{,}5\,\text{cm}}{2\,\text{cm}}$

   $= 7{,}0\,\text{N}$

   Vastaus

   $F = 7{,}0\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $3{,}5\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Venymä $3{,}5\,\text{cm}$ on $1{,}75$-kertainen pisteeseen $(4\,\text{N}$; $2\,\text{cm})$ verrattuna. Ja $1{,}75 \cdot 4\,\text{N} = 7{,}0\,\text{N}$. Tulos on pisteiden $6\,\text{N}$ ja $8\,\text{N}$ välissä, kuten pitääkin.

5. Tehtävä 1-5

   Kappaleen massa on $2{,}5\,\text{kg}$. Mikä on sen paino Jupiterissa, missä $g = 24{,}8\,\text{m/s}^2$?

   NTarkista
   Vastaus

   $62\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 2{,}5\,\text{kg}$, $g_\text{Jupiter} = 24{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   paino Jupiterissa $G$ newtoneina

   Periaate

   Paino on suoraan verrannollinen massaan. Kerroin on sen taivaankappaleen $g$, jonka pinnalla kappale on. Tässä pinta on pilvien yläpinta. Massa on sama kaikkialla, vain $g$ vaihtuu.

   Kaava

   $G = m g_\text{Jupiter}$. Kysytty paino on jo yksin vasemmalla puolella.

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$, joten tulos tulee suoraan newtoneina.

   Sijoitus

   $G$$= 2{,}5\,\text{kg} \cdot 24{,}8\,\text{m/s}^2$

   $= 62{,}0\,\text{N}$

   Vastaus

   $62\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}5\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Maassa paino olisi $2{,}5\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 24{,}5\,\text{N}$. Jupiterin $g$ on $\dfrac{24{,}8}{9{,}81} \approx 2{,}5$-kertainen Maan arvoon verrattuna, ja $2{,}5 \cdot 24{,}5\,\text{N} \approx 62\,\text{N}$, joten $62\,\text{N}$ täsmää.

6. Tehtävä 1-6

   Astronautti matkustaa Maasta Kuuhun. Mikä väite hänen massastaan ja painostaan on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Massa pysyy samana, mutta paino pienenee, koska Kuun vuorovaikutus on heikompi.
   • Massa pienenee, mutta paino pysyy samana, koska astronautin koko ei muutu.
   • Sekä massa että paino pysyvät samoina, koska astronautti ei menetä mitään matkalla.
   • Sekä massa että paino pienenevät, koska Kuussa astronautissa on vähemmän ainetta.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Massa pysyy samana, mutta paino pienenee, koska Kuun vuorovaikutus on heikompi.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten astronautin massa ja paino muuttuvat, kun hän siirtyy Maasta Kuuhun.

   Periaate

   Massa kertoo, kuinka paljon ainetta kappaleessa on. Aineen määrä pysyy samana, vaikka paikka vaihtuu. Paino $G = m g$ on voima. Se kertoo, kuinka voimakas on taivaankappaleen ja kappaleen välinen vuorovaikutus. Paino riippuu paikan $g$:stä. Kuun $g = 1{,}62\,\text{m/s}^2$ on pienempi kuin Maan $9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   Mallivastaus

   Astronautin massa pysyy samana, koska hänessä on yhtä paljon ainetta kuin Maassa. Hänen painonsa pienenee, koska Kuun ja astronautin välinen vuorovaikutus on heikompi. Kuussa paino on noin kuudesosa Maan painosta. Väite, että massa pienenee, sekoittaa aineen määrän ja vuorovaikutuksen voimakkuuden. Väite, että paino ei muutu, unohtaa sen, että Kuussa $g$ on erilainen.

7. Tehtävä 1-7

   Kirja riippuu voimamittarissa Maan pinnalla. Minkä kahden kappaleen välisen vuorovaikutuksen voimakkuutta kirjan paino $G$ kuvaa?

   Valitse vaihtoehto.

   • Maan ja kirjan, koska Maa vetää kirjaa puoleensa.
   • Maan ja voimamittarin, koska mittari on Maan pinnalla.
   • Kirjan ja ilman, koska ilma ympäröi kirjaa joka puolelta.
   • Kirjan ja voimamittarin, koska mittarin jousi venyy.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Maan ja kirjan, koska Maa vetää kirjaa puoleensa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   minkä kahden kappaleen välistä vuorovaikutusta kirjan paino kuvaa.

   Periaate

   Voima kertoo, kuinka voimakas on kahden kappaleen välinen vuorovaikutus. Paino kertoo, kuinka voimakas on Maan ja kappaleen välinen vetovoima. Toinen osapuoli on siis aina Maa (tai muu taivaankappale). Toinen osapuoli on punnittava kappale.

   Mallivastaus

   Kirjan paino kuvaa Maan ja kirjan välistä vuorovaikutusta, koska Maa vetää kirjaa puoleensa. Voimamittari ei ole vuorovaikutuksen osapuoli. Se on väline, jonka jousen venymästä voima luetaan. Myöskään ilma ei aiheuta painoa. Vetovoima vaikuttaa ilmattomassakin tilassa.

8. Tehtävä 1-8

   Marsissa liikkuvan tutkimusauton massa on $0{,}18\,\text{t}$. Mikä on sen paino Marsissa, missä $g = 3{,}71\,\text{m/s}^2$?

   NTarkista
   Vastaus

   $670\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}18\,\text{t}$, $g_\text{Mars} = 3{,}71\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   paino Marsissa $G$ newtoneina

   Periaate

   Paino on suoraan verrannollinen massaan. Kerroin on sen taivaankappaleen $g$, jonka pinnalla kappale on. Auto on Marsissa. Siksi käytetään Marsin $g$:tä, ei Maan.

   Kaava

   $G = m g_\text{Mars}$. Kysytty paino on jo yksin vasemmalla puolella.

   Muunnokset

   $1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}$, joten $m = 0{,}18\,\text{t} = 180\,\text{kg}$. Nyt massa on kilogrammoina ja $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$. Tulos tulee siis newtoneina.

   Sijoitus

   $G$$= 180\,\text{kg} \cdot 3{,}71\,\text{m/s}^2$

   $= 667{,}8\,\text{N}$

   Vastaus

   $670\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}18\,\text{t}$.

   Järkevyys

   Maassa auton paino olisi $180\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1766\,\text{N}$. Marsin $g$ on noin $0{,}38$-kertainen Maan arvoon verrattuna. Lasketaan: $0{,}38 \cdot 1766\,\text{N} \approx 671\,\text{N}$. Siksi $670\,\text{N}$ täsmää.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 1-9Ydintehtävä

   Voimamittari näyttää $49\,\text{N}$, kun siihen ripustetaan kappale Maassa. Mikä on kappaleen massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voimamittarin lukema eli paino $G = 49\,\text{N}$ Maassa; taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kappaleen massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Voimamittari mittaa voimaa. Kappale riippuu mittarissa Maassa, joten lukema on kappaleen paino $G = m g$. Massa saadaan jakamalla paino Maan $g$:llä.

   Kaava

   $G = m g$, joten $m = \dfrac{G}{g}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m/s}^2$, joten $\dfrac{\text{N}}{\text{m/s}^2}$ on kilogramma.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{49\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 4{,}995\,\text{kg}$

   Vastaus

   $5{,}0\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten painossa $49\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Yhden kilogramman massan paino on noin $10\,\text{N}$, joten $49\,\text{N}$ vastaa noin $5\,\text{kg}$:n massaa. Palautuslasku:

   $5{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 49{,}05\,\text{N}$

   $\approx 49\,\text{N}$
2. Tehtävä 1-10Ydintehtävä

   Kananmunan massa on $60\,\text{g}$. Mikä on sen paino Maassa newtoneina?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}59\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 60\,\text{g}$; taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ (Maa)

   Kysytty

   paino $G$ newtoneina

   Periaate

   Paino on suoraan verrannollinen massaan, $G = m g$. Muna on Maan pinnalla, joten käytetään Maan $g$:tä. Kaava vaatii massan kilogrammoina. Siksi gramma pitää muuntaa.

   Kaava

   $G = m g$. Kysytty paino on jo yksin vasemmalla puolella.

   Muunnokset

   $1\,\text{g} = 0{,}001\,\text{kg}$, joten $m = 60\,\text{g} = 0{,}060\,\text{kg}$. Näin tulos tulee newtoneina.

   Sijoitus

   $G$$= 0{,}060\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}5886\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}59\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $60\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Noin $100\,\text{g}$:n kappaleen paino on $1\,\text{N}$, joten $60\,\text{g}$:n paino on noin $0{,}6\,\text{N}$. Jos massaa ei olisi muunnettu, tulos olisi $60 \cdot 9{,}81 \approx 589$. Se on tuhat kertaa liian suuri. Muna ei voi painaa niin paljon.

3. Tehtävä 1-11

   Astronautin massa varusteineen on $145\,\text{kg}$. Kuinka paljon pienempi hänen painonsa on Kuussa ($g = 1{,}62\,\text{m/s}^2$) kuin Maassa ($g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$)?

   NTarkista
   Vastaus

   $1190\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 145\,\text{kg}$; taulukosta $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   painon pieneneminen $\Delta G = G_\text{Maa} - G_\text{Kuu}$ newtoneina

   Periaate

   Massa on sama molemmissa paikoissa. Paino on kummassakin $G = m g$, ja $g$ on sen paikan arvo. Erotus saadaan vähentämällä Kuun paino Maan painosta.

   Kaava

   $\Delta G = m g_\text{Maa} - m g_\text{Kuu}$, joten $\Delta G = m (g_\text{Maa} - g_\text{Kuu})$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja $g$-arvot yksikössä $\text{m/s}^2$, joten tulos tulee newtoneina eikä muunnoksia tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta G$$= 145\,\text{kg} \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1{,}62\,\text{m/s}^2)$

   $= 145\,\text{kg} \cdot 8{,}19\,\text{m/s}^2$

   $= 1187{,}55\,\text{N}$

   Vastaus

   $1190\,\text{N}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $145\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Maassa paino on noin $145 \cdot 9{,}81\,\text{N} \approx 1422\,\text{N}$ ja Kuussa noin $145 \cdot 1{,}62\,\text{N} \approx 235\,\text{N}$. Erotus on $1422\,\text{N} - 235\,\text{N} \approx 1187\,\text{N}$. Kuussa paino on

   $\dfrac{1{,}62}{9{,}81}$$\approx \dfrac{1}{6}$

   Maan painosta. Paino siis pienenee noin $\dfrac{5}{6}$ eli $83\,\%$.

4. Tehtävä 1-12

   Voimamittarin jousi venyy $1{,}5\,\text{cm}$, kun siihen ripustetaan Maassa $0{,}20\,\text{kg}$:n kappale. Kuinka suuri voima venyttää jousta $4{,}5\,\text{cm}$?

   NTarkista
   Vastaus

   $5{,}9\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}20\,\text{kg}$ ja sen venymä $x_1 = 1{,}5\,\text{cm}$ Maassa; uusi venymä $x = 4{,}5\,\text{cm}$; taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   venyttävä voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Kappaleen paino $G = m g$ on voima, joka venyttää jousta matkan $x_1$. Venymä on suoraan verrannollinen voimaan, kun jousta ei venytetä liikaa. Siksi voima uudella venymällä saadaan suhteesta.

   Kaava

   $G = m g$ ja $\dfrac{F}{G} = \dfrac{x}{x_1}$, joten $F = \dfrac{m g x}{x_1}$

   Muunnokset

   Massa on jo kilogrammoina. Senttimetrit supistuvat suhteessa $\dfrac{x}{x_1}$, joten venymiä ei tarvitse muuttaa metreiksi.

   Sijoitus

   $F$$= \dfrac{0{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}5\,\text{cm}}{1{,}5\,\text{cm}}$

   $= 1{,}962\,\text{N} \cdot \dfrac{4{,}5}{1{,}5}$

   $= 5{,}886\,\text{N}$

   Vastaus

   $5{,}9\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Venymä on $\dfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3$-kertainen, joten voimankin pitää olla kolminkertainen: $3 \cdot 1{,}962\,\text{N} = 5{,}886\,\text{N}$. Karkea arvio: $0{,}2\,\text{kg}$ painaa noin $2\,\text{N}$ ja $3 \cdot 2\,\text{N} = 6\,\text{N}$.

5. Tehtävä 1-13

   Oppilas ripustaa voimamittariin Maassa eri massaisia punnuksia. Hän lukee mittarista painon $G$. Mittaustulokset ovat taulukossa (esimerkkiaineisto). Piirrä pisteet $(m, G)$-koordinaatistoon. Sovita pisteisiin suora, joka kulkee origon kautta. Määritä putoamiskiihtyvyys $g$ suoran kulmakertoimesta.

   Punnusten massa ja voimamittarin lukema Maassa (esimerkkiaineisto)

   $m\,(\text{kg})$	$G\,(\text{N})$
   0,10	0,99
   0,20	1,95
   0,30	2,96
   0,40	3,92
   0,50	4,89

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mittauspisteet $(m$; $G)$: $(0{,}10\,\text{kg}$; $0{,}99\,\text{N})$, $(0{,}20$; $1{,}95)$, $(0{,}30$; $2{,}96)$, $(0{,}40$; $3{,}92)$, $(0{,}50\,\text{kg}$; $4{,}89\,\text{N})$

   Kysytty

   putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Paino on suoraan verrannollinen massaan, $G = m g$. Siksi $(m, G)$-pisteet ovat suoralla, joka kulkee origon kautta. Suoran kulmakerroin on $g$. Mittauspisteet eivät ole täsmälleen suoralla. Siksi suora sovitetaan pisteiden väliin. Kulmakerroin luetaan kahdesta piirretyn suoran pisteestä.

   Kuvaajan lukeminen

   Piirretty suora kulkee origon kautta. Mittauspisteitä jää suoran molemmille puolille. Suoralta luetaan kaksi pistettä kaukana toisistaan: origo $(0$; $0)$ ja piste $(0{,}50\,\text{kg}$; $4{,}90\,\text{N})$. Niistä

   $\Delta G$$= 4{,}90\,\text{N} - 0\,\text{N}$

   $= 4{,}90\,\text{N}$

   $\Delta m$$= 0{,}50\,\text{kg} - 0\,\text{kg}$

   $= 0{,}50\,\text{kg}$

   Kaava

   $G = m g$, joten kulmakerroin on $g = \dfrac{\Delta G}{\Delta m}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m/s}^2$, joten $\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ on $\text{m/s}^2$.

   Sijoitus

   $g$$= \dfrac{4{,}90\,\text{N}}{0{,}50\,\text{kg}}$

   $= 9{,}8\,\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä Maan taulukkoarvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Poikkeama on alle $1\,\%$. Jokainen mittauspiste antaa suhteen $G/m$, joka on lähellä samaa arvoa. Esimerkiksi

   $\dfrac{2{,}96\,\text{N}}{0{,}30\,\text{kg}}$$\approx 9{,}9\,\text{m/s}^2$

   $\dfrac{3{,}92\,\text{N}}{0{,}40\,\text{kg}}$$= 9{,}8\,\text{m/s}^2$
6. Tehtävä 1-14

   Sama kivinäyte punnitaan samalla voimamittarilla kolmella taivaankappaleella (esimerkiksi planeetalla tai kuulla). Näytteen massaa ei tiedetä. Tulokset ovat taulukossa (esimerkkiaineisto). Maan putoamiskiihtyvyys on $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   Laske Marsin putoamiskiihtyvyys $g_\text{Mars}$ taulukon painoista.

   Saman näytteen paino kolmella taivaankappaleella (esimerkkiaineisto)

   Taivaankappale	$G\,(\text{N})$
   Maa	7,4
   Kuu	1,2
   Mars	2,8

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $g_\text{Mars} = 3{,}7\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   saman näytteen painot: $G_\text{Maa} = 7{,}4\,\text{N}$, $G_\text{Kuu} = 1{,}2\,\text{N}$, $G_\text{Mars} = 2{,}8\,\text{N}$; $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   Marsin putoamiskiihtyvyys $g_\text{Mars}$

   Periaate

   Näytteen massa on sama kaikkialla, mutta sitä ei tiedetä. Maassa paino kertoo massan: $m = G_\text{Maa}/g_\text{Maa}$. Samaa massaa käytetään Marsissa: $g_\text{Mars} = G_\text{Mars}/m$. Kuun painoa ei tarvita tähän kysymykseen.

   Kaava

   $m$$= \dfrac{G_\text{Maa}}{g_\text{Maa}}$

   $g_\text{Mars}$$= \dfrac{G_\text{Mars}}{m}$

   joten

   $g_\text{Mars}$$= g_\text{Maa} \dfrac{G_\text{Mars}}{G_\text{Maa}}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Newtonit supistuvat suhteessa $\dfrac{G_\text{Mars}}{G_\text{Maa}}$, ja $g$ jää yksikköön $\text{m/s}^2$.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{7{,}4\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 0{,}754\,\text{kg}$

   joten

   $g_\text{Mars}$$= \dfrac{2{,}8\,\text{N}}{0{,}754\,\text{kg}}$

   $= 3{,}71\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $g_\text{Mars} = 3{,}7\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten painoissa.

   Järkevyys

   Näytteen paino Marsissa on $\dfrac{2{,}8}{7{,}4} \approx 0{,}38$-kertainen Maahan verrattuna. Lasketaan: $0{,}38 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 3{,}7\,\text{m/s}^2$. Tulos on sama kuin oppitunnin taulukon Marsin arvo $3{,}71\,\text{m/s}^2$.

7. Tehtävä 1-15

   Oppilas ripustaa kappaleen voimamittariin Maassa. Mittarin lukema on $4{,}9\,\text{N}$. Hän kirjoittaa muistiin: ”Kappaleen massa on $4{,}9\,\text{kg}$, koska voimamittari näyttää massan.”

   a) Selitä, mikä oppilaan päättelyssä on virheellistä.

   b) Laske kappaleen oikea massa. Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voimamittarin lukema $4{,}9\,\text{N}$ Maassa; taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) virhe oppilaan päättelyssä; b) kappaleen massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Voimamittari mittaa voimaa. Jousen venymä kertoo, kuinka voimakas on Maan ja kappaleen välinen vuorovaikutus. Newtoneina oleva lukema on siis paino $G$, ei massa. Massan saa painosta vasta, kun tietää paikan $g$:n: $G = m g$.

   Mallivastaus a)

   Oppilas on sekoittanut painon ja massan. Lukema $4{,}9\,\text{N}$ on voima. Sen yksikkö on newton, ei kilogramma. Massa ja paino eivät ole sama suure, koska paino riippuu $g$:stä ja massa ei. Massa saadaan jakamalla paino luvulla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Se on noin kymmenesosa lukemasta $4{,}9$ eli paljon pienempi kuin $4{,}9\,\text{kg}$.

   Kaava

   $G = m g$, joten $m = \dfrac{G}{g}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m/s}^2$, joten $\dfrac{\text{N}}{\text{m/s}^2}$ on kilogramma.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{4{,}9\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 0{,}4995\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten painossa $4{,}9\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Yhden kilogramman massan paino on noin $10\,\text{N}$. Siksi $4{,}9\,\text{N}$ vastaa noin $0{,}5\,\text{kg}$:n massaa. Palautuslasku: $0{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 4{,}9\,\text{N}$. Oppilaan arvo $4{,}9\,\text{kg}$ painaisi Maassa noin $48\,\text{N}$. Se ei vastaa lukemaa.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 1-16

   Kappale ripustetaan voimamittariin Maassa, ja mittari näyttää $18\,\text{N}$. Sama kappale viedään Marsiin ($g = 3{,}71\,\text{m/s}^2$). Mitä sama mittari näyttää siellä?

   NTarkista
   Vastaus

   $6{,}8\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $G_\text{Maa} = 18\,\text{N}$; taulukosta $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $g_\text{Mars} = 3{,}71\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   mittarin lukema Marsissa $G_\text{Mars}$ newtoneina

   Periaate

   Mittari näyttää painon. Kappaleen massa pysyy samana Marsissa, ja vain $g$ vaihtuu. Siksi paino muuttuu samassa suhteessa kuin $g$. Massa on tässä vakio, ja se yhdistää kaksi paikkaa.

   Kaava

   $m$$= \dfrac{G_\text{Maa}}{g_\text{Maa}}$

   $G_\text{Mars} = m g_\text{Mars}$, joten

   $G_\text{Mars}$$= \dfrac{G_\text{Maa} g_\text{Mars}}{g_\text{Maa}}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: $\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{m/s}^2}$ supistuu, ja paino jää newtoneiksi.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{18\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 1{,}835\,\text{kg}$

   joten

   $G_\text{Mars}$$= 1{,}835\,\text{kg} \cdot 3{,}71\,\text{m/s}^2$

   $= 6{,}807\,\text{N}$

   Vastaus

   $6{,}8\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten painossa $18\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Marsin $g$ on $\dfrac{3{,}71}{9{,}81} \approx 0{,}38$ Maan arvosta, ja $0{,}38 \cdot 18\,\text{N} \approx 6{,}8\,\text{N}$. Paino pienenee, koska Marsin ja kappaleen vuorovaikutus on heikompi. Siksi mittarin pitää näyttää Marsissa vähemmän kuin Maassa.

2. Tehtävä 1-17

   Nostaja jaksaa Maassa nostaa korkeintaan $22{,}0\,\text{kg}$:n massan. Hän jaksaa siis tuottaa voiman, joka on yhtä suuri kuin tämän massan paino.

   Kuinka suuren massan hän jaksaisi nostaa Kuussa ($g = 1{,}62\,\text{m/s}^2$) samalla voimalla?

   kgTarkista
   Vastaus

   $133\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m_\text{Maa} = 22{,}0\,\text{kg}$; taulukosta $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nostettava massa Kuussa $m_\text{Kuu}$ kilogrammoina

   Periaate

   Nostaja jaksaa tuottaa saman voiman $F$ molemmissa paikoissa. Nostettavan massan paino saa olla enintään yhtä suuri kuin tämä voima. Kuussa $g$ on pienempi, joten sama voima riittää suuremmalle massalle.

   Kaava

   $F = m_\text{Maa} g_\text{Maa}$ ja $F = m_\text{Kuu} g_\text{Kuu}$, joten

   $m_\text{Kuu}$$= \dfrac{m_\text{Maa} g_\text{Maa}}{g_\text{Kuu}}$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja $g$-arvot yksikössä $\text{m/s}^2$, joten voima tulee newtoneina ja massa kilogrammoina ilman muunnoksia.

   Sijoitus

   $m_\text{Kuu}$$= \dfrac{22{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{1{,}62\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{215{,}82\,\text{N}}{1{,}62\,\text{m/s}^2}$

   $= 133{,}2\,\text{kg}$

   Vastaus

   $133\,\text{kg}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $22{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kuun $g$ on noin kuudesosa Maan arvosta, joten massan pitää olla noin $6 \cdot 22{,}0\,\text{kg} = 132\,\text{kg}$. Palautuslasku: $133{,}2\,\text{kg} \cdot 1{,}62\,\text{m/s}^2 = 215{,}8\,\text{N}$, sama kuin $22{,}0\,\text{kg}$:n paino Maassa.

3. Tehtävä 1-18

   Voimamittarin asteikko on tehty Maassa. Mittari näyttää kilogrammoina luvun, joka saadaan jakamalla voima arvolla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Marsissa ($g = 3{,}71\,\text{m/s}^2$) mittari näyttää siihen ripustetulle kappaleelle $26\,\text{kg}$. Mikä on kappaleen massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $69\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mittarin lukema $L = 26\,\text{kg}$ Marsissa; taulukosta $g_\text{Mars} = 3{,}71\,\text{m/s}^2$; asteikko näyttää voiman jaettuna Maan arvolla $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kappaleen todellinen massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Mittari mittaa voimaa, ei massaa. Sen asteikko on tehty Maassa jakamalla voima luvulla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Marsissa lukemasta pitää siis ensin päätellä voima eli kappaleen paino. Massa saadaan jakamalla paino Marsin $g$:llä.

   Kaava

   $L = \dfrac{G}{g_\text{Maa}}$, joten $G = L g_\text{Maa}$. Marsissa $G = m g_\text{Mars}$, joten

   $m$$= \dfrac{L g_\text{Maa}}{g_\text{Mars}}$

   Muunnokset

   Lukema $26\,\text{kg}$ on vain asteikon luku, ei massa. Voima newtoneina on $G = 26\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Muita muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{26\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{3{,}71\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{255{,}06\,\text{N}}{3{,}71\,\text{m/s}^2}$

   $= 68{,}75\,\text{kg}$

   Vastaus

   $69\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lukemassa $26\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Marsissa $g$ on $\dfrac{3{,}71}{9{,}81} \approx 0{,}38$ Maan arvosta, Siksi lukema on vain noin $0{,}38$-kertainen massaan verrattuna. Massan pitää olla noin

   $\dfrac{26\,\text{kg}}{0{,}38}$$\approx 69\,\text{kg}$

   Massa on siis selvästi suurempi kuin lukema. Palautuslasku:

   $69\,\text{kg} \cdot 3{,}71\,\text{m/s}^2$

   $\approx 256\,\text{N}$

   $\dfrac{256\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 26\,\text{kg}$
4. Tehtävä 1-19

   Oppilas kalibroi jousen Maassa eli selvittää, kuinka paljon jousi venyy tunnetulla voimalla. Hän ripustaa jouseen punnuksia ja mittaa jousen venymän $x$ (taulukko, esimerkkiaineisto). Sen jälkeen sama jousi viedään tuntemattomalle taivaankappaleelle. Siellä $0{,}50\,\text{kg}$:n punnus venyttää jousta $1{,}9\,\text{cm}$. Jousen venymä on suoraan verrannollinen voimaan.

   a) Määritä taulukosta venymä massayksikköä kohti $x/m$ Maassa. Laske sen avulla taivaankappaleen putoamiskiihtyvyys $g$. Maassa $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   b) Päättele, mikä oppitunnin taulukon taivaankappale on kyseessä, ja perustele. Taulukon $g$-arvot ovat: Kuu $1{,}62$, Mars $3{,}71$, Maa $9{,}81$ ja Jupiter $24{,}8\,\text{m/s}^2$.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan a) $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$. Kohdan b) perustelun voit tarkistaa mallivastauksesta.

   Jousen venymä Maassa punnuksen massan funktiona (esimerkkiaineisto)

   $m\,(\text{kg})$	$x\,(\text{cm})$
   0,10	1,1
   0,20	2,1
   0,30	3,2
   0,40	4,1
   0,50	5,2
   0,60	6,1

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $g_\text{X} = 3{,}6\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   Maassa $(m$; $x)$: $(0{,}10\,\text{kg}$; $1{,}1\,\text{cm})$, $(0{,}20$; $2{,}1)$, $(0{,}30$; $3{,}2)$, $(0{,}40$; $4{,}1)$, $(0{,}50$; $5{,}2)$, $(0{,}60\,\text{kg}$; $6{,}1\,\text{cm})$; tuntemattomalla taivaankappaleella $m_\text{X} = 0{,}50\,\text{kg}$ ja $x_\text{X} = 1{,}9\,\text{cm}$; $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) taivaankappaleen $g_\text{X}$; b) mikä taivaankappale on kyseessä

   Periaate

   Jousen venymä on suoraan verrannollinen voimaan. Paino $G = m g$ on voima. Siksi $x$ on suoraan verrannollinen tuloon $m g$. Saman jousen ja saman massan venymät ovat samassa suhteessa kuin $g$-arvot. Maan mittauksista saadaan jousen kalibrointi. Sen avulla saadaan tuntemattoman paikan $g$.

   Taulukon lukeminen

   Pisteet $(m, x)$ ovat suoralla, joka kulkee origon kautta. Siksi suhde $x/m$ on kaikissa pisteissä lähes sama ($1{,}1/0{,}10 = 11$ ja $6{,}1/0{,}60 \approx 10{,}2\,\text{cm/kg}$). Mittaushajonta tasoittuu, kun suhde lasketaan kaikista pisteistä. Venymien summa on $1{,}1 + 2{,}1 + 3{,}2 + 4{,}1 + 5{,}2 + 6{,}1 = 21{,}8\,\text{cm}$. Massojen summa on $0{,}10 + 0{,}20 + 0{,}30 + 0{,}40 + 0{,}50 + 0{,}60 = 2{,}10\,\text{kg}$.

   Kaava

   Maassa $\dfrac{x}{m} = c\, g_\text{Maa}$ ja tuntemattomalla taivaankappaleella

   $\dfrac{x_\text{X}}{m_\text{X}}$$= c\, g_\text{X}$

   missä $c$ on jousen vakio. Jakamalla saadaan

   $g_\text{X}$$= g_\text{Maa} \dfrac{x_\text{X}/m_\text{X}}{(x/m)_\text{Maa}}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita. Senttimetrit ja kilogramma ovat samat kummassakin suhteessa, ja ne supistuvat. Maan suhde on

   $\dfrac{21{,}8\,\text{cm}}{2{,}10\,\text{kg}}$$= 10{,}38\,\text{cm/kg}$

   Tuntemattoman paikan suhde on

   $\dfrac{1{,}9\,\text{cm}}{0{,}50\,\text{kg}}$$= 3{,}8\,\text{cm/kg}$

   Sijoitus

   $g_\text{X}$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \dfrac{3{,}8\,\text{cm/kg}}{10{,}38\,\text{cm/kg}}$

   $= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}366$

   $= 3{,}59\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   a) $g_\text{X} = 3{,}6\,\text{m/s}^2$, kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $1{,}9\,\text{cm}$. b) Taivaankappale on Mars. Kuun arvo $1{,}62\,\text{m/s}^2$ on alle puolet tuloksesta. Maan arvo $9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja Jupiterin arvo $24{,}8\,\text{m/s}^2$ ovat moninkertaisia. Marsin arvo $3{,}71\,\text{m/s}^2$ poikkeaa tuloksesta vain noin $3\,\%$. Se on mittaushajonnan suuruusluokkaa.

   Järkevyys

   Venymä $1{,}9\,\text{cm}$ on $0{,}50\,\text{kg}$:n punnuksella paljon pienempi kuin Maassa. Maassa sama punnus venyttäisi jousta noin $0{,}50\,\text{kg} \cdot 10{,}38\,\text{cm/kg} = 5{,}2\,\text{cm}$. Venymä on $\dfrac{1{,}9}{5{,}2} \approx 0{,}37$-kertainen. Myös $g$ on yhtä paljon pienempi: $0{,}37 \cdot 9{,}81 \approx 3{,}6\,\text{m/s}^2$.

5. Tehtävä 1-20

   Laskeutumisyksikön jalat on testattu Maassa. Ne kestävät enintään $6{,}00\,\text{kN}$:n kokonaisvoiman. Yksikkö lasketaan Marsiin ($g = 3{,}71\,\text{m/s}^2$). Yksikön osien massat ovat taulukossa (esimerkkiaineisto). Mönkijä on tutkimusauto.

   a) Laske osien yhteismassa. Laske myös yksikön paino Maassa ja Marsissa. Voisiko yksikkö seistä jaloillaan Maassa?

   b) Laske, kuinka suuri lisäkuorma ($\text{kg}$) Marsiin voidaan vielä lisätä, kun jalat kestävät saman voiman kuin testissä. Perustele, miksi Marsiin voi viedä suuremman kokonaismassan kuin Maahan.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) lisäkuorman massa. Kohdan a) tulokset ja perustelun voit tarkistaa mallivastauksesta.

   Laskeutumisyksikön osien massat (esimerkkiaineisto)

   Osa	$m\,(\text{kg})$
   Runko	520
   Mönkijä	180
   Mittalaitteet	95
   Polttoaine	140

   kgTarkista
   Vastaus

   $682\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   osien massat $520\,\text{kg}$, $180\,\text{kg}$, $95\,\text{kg}$ ja $140\,\text{kg}$; jalkojen kestämä voima $F_\text{max} = 6{,}00\,\text{kN}$; $g_\text{Maa} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, $g_\text{Mars} = 3{,}71\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) yhteismassa ja paino Maassa ja Marsissa; b) suurin lisäkuorma $m_\text{lisä}$ Marsissa kilogrammoina

   Periaate

   Jalkojen raja on voima, ei massa. Yksikön paino $G = m g$ on voima, jonka jalat kantavat. Sen täytyy olla enintään $F_\text{max}$. Samalla voimalla Marsin pienempi $g$ sallii suuremman massan. Lisäkuorman suurin massa on suurimman sallitun kokonaismassan ja nykyisen yhteismassan erotus.

   Kaava

   $m_\text{yht} = m_1 + m_2 + m_3 + m_4$,

   $G$$= m g$

   $m_\text{max}$$= \dfrac{F_\text{max}}{g_\text{Mars}}$

   joten

   $m_\text{lisä}$$= \dfrac{F_\text{max}}{g_\text{Mars}} - m_\text{yht}$

   Muunnokset

   $6{,}00\,\text{kN} = 6000\,\text{N}$. Silloin voima on newtoneina ja massa tulee kilogrammoina.

   Sijoitus

   a) ja b)

   $$\begin{aligned} m_\text{yht} &= 520\,\text{kg} + 180\,\text{kg} \\ &\quad + 95\,\text{kg} + 140\,\text{kg} \\ &= 935\,\text{kg} \\ G_\text{Maa} &= 935\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 9172\,\text{N} \\ G_\text{Mars} &= 935\,\text{kg} \cdot 3{,}71\,\text{m/s}^2 = 3469\,\text{N} \\ m_\text{max} &= \dfrac{6000\,\text{N}}{3{,}71\,\text{m/s}^2} = 1617\,\text{kg} \\ m_\text{lisä} &= 1617\,\text{kg} - 935\,\text{kg} = 682\,\text{kg} \end{aligned}$$

   Vastaus

   a) Yhteismassa on $935\,\text{kg}$. Paino Maassa on $9{,}17\,\text{kN}$ ja Marsissa $3{,}47\,\text{kN}$. Maassa paino ylittää rajan $6{,}00\,\text{kN}$. Yksikkö ei siis voisi seistä jaloillaan Maassa, mutta Marsissa se kestää. b) Lisäkuorma voi olla enintään $682\,\text{kg}$. Marsiin voi viedä suuremman kokonaismassan ($1617\,\text{kg}$) kuin Maahan ($6000\,\text{N} : 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 612\,\text{kg}$). Syy on se, että sama massa painaa Marsissa vain noin $0{,}38$-kertaisesti. Jalkoihin kohdistuu silloin pienempi voima.

   Järkevyys

   Kun kokonaismassa on $1617\,\text{kg}$, paino Marsissa on $1617\,\text{kg} \cdot 3{,}71\,\text{m/s}^2 = 6000\,\text{N}$. Se on täsmälleen jalkojen raja. Marsin sallittu kokonaismassa on $\dfrac{9{,}81}{3{,}71} \approx 2{,}64$-kertainen Maan sallittuun massaan verrattuna. Lasketaan: $2{,}64 \cdot 612\,\text{kg} \approx 1620\,\text{kg}$.