Lämpötasapaino olomuodon muuttuessa
Miksi jääpalat viilentävät juomaa niin tehokkaasti, vaikka jää itse on vain nollan asteen lämpöistä? Entä miksi lasin pohjalle voi jäädä jäätä, vaikka juoma oli huoneenlämpöistä?
Pohjatiedot
- Lämpömäärä, joka tarvitaan lämpötilan muuttamiseen, on $Q = cm\Delta T$luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen
- Eristetyssä astiassa kuuman luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin kylmän vastaanottamaluku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen
- Olomuodon muutoksessa lämpötila pysyy vakiona, ja jään sulattaminen vaatii $Q = sm$luku Olomuodon muutokset
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 7.
Pohdinta
Kesäpäivänä pudotat huoneenlämpöiseen mehulasiin muutaman jääkuution. Jäät ovat itse vain 0-asteisia, mutta mehu viilenee nopeasti, paljon enemmän kuin jos lisäisit saman määrän 0-asteista vettä. Kun lämpö on tasoittunut, lasin pohjalla voi silti kellua jäätä.
Miksi 0-asteinen jää viilentää juomaa niin paljon tehokkaammin kuin 0-asteinen vesi, ja miksi kaikki jää ei aina sula?
Valinnainen Kertaa edelliseltä luvulta
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: sulaako kaikki jää
Valinnainen Ennuste 2: kylmä pakastinjää
Tutki
Pudota jäätä veteen kalorimetrissä. Palkit oikealla näyttävät, paljonko lämpöä vesi voi luovuttaa ja paljonko jää tarvitsee lämmetäkseen ja sulaakseen.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä veden massa ja lämpötila sekä jään massa ja lämpötila ja paina Sekoita. Jääkuutiot putoavat veteen ja sulavat; kuvassa näkyvät veden ja jään lämpötilat ja jään massa. Oranssi palkki on veden luovuttama lämpömäärä, tumma sininen jään lämmitys $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja vaalea sininen kaiken jään sulatus. Palkin osa, joka ylittää oranssin palkin korkeuden, on piirretty himmeänä: vesi ei luovuta sitä jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Jos himmeä osa on sulatusta, vastaava jää jää sulamatta. Jos himmeänä on osa lämmityksestä, sen lämmön antaa jäätyvä vesi. Kun muutat jotakin arvoa, jää nousee pois vedestä ja koe alkaa alusta. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia, ei tuloksia. Lämpömittarit näyttävät tilan juuri nyt: kun kaikki vesi on jäätynyt, vesimittarin tilalla lukee ”jäätyi”, ja kun kaikki jää on sulanut, jäämittarin tilalla ”ei jäljellä” ja vesimittari näyttää sekoitetun veden lämpötilan. Lopputila kertoo neljästä tapauksesta yhden: kaikki jää sulaa ja seos on vähintään $0\,{}^\circ\text{C}$; vesi ei riitä sulattamaan kaikkea jäätä ja seos on $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa; kylmä jää jäädyttää osan vedestä ja seos pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa; tai kaikki vesi jäätyy ja seos jäähtyy alle $0\,{}^\circ\text{C}$:n.
Mallin oletukset
Astia on täysin eristetty: lämpöä ei siirry ympäristöön eikä astiaan, joten veden luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Veden ominaislämpökapasiteetti on $4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, jään $2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ ja jään ominaissulamislämpö $334\,\text{kJ/kg}$. Jäätä ja vettä on yhtä aikaa vain lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$. Lopputila, lämpömäärät ja massat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia. Lähestymisen nopeus (aikavakio $1{,}8\,\text{s}$) on vain havainnollistus, ei fysikaalinen malli: todellisuudessa se riippuu sekoittamisesta ja jääkuutioiden koosta.
Laskennan selitys
Veden luovuttama lämpömäärä jäähtyessä $0\,{}^\circ\text{C}$:seen on $Q_\text{v} = c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$. Jään tarvitsema lämpömäärä on lämmitykseen $c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$ ja kaiken jään sulatukseen $s m_\text{j}$. Jos $Q_\text{v}$ on niiden summa tai suurempi, kaikki jää sulaa ja
$$T = \frac{Q_\text{v} - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} - s m_\text{j}}{c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j})}$$
Muuten jäätä jää, lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$ ja sulaneen jään massa on $m_\text{s} = \dfrac{Q_\text{v} - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{s}$. Jos $Q_\text{v}$ ei riitä jään lämmittämiseen, osa vedestä jäätyy; kun kaikki vesi jäätyy, lämpötila ratkaistaan energiataseesta. Palkkien asteikko on 0–50, 0–100 tai 0–$250\,\text{kJ}$: pienin, johon molemmat palkit mahtuvat.
Koe 1: veden lämpötila muuttuu
Testaa ennuste 1. Veden massa sekä jään massa ja lämpötila pysyvät vakioina; muuta vain veden lämpötilaa. Kirjaa lopputilan lämpötila ja jäljelle jäävän jään massa ainakin kolmella lämpötilalla, esimerkiksi $10\,{}^\circ\text{C}$, $20\,{}^\circ\text{C}$ ja $40\,{}^\circ\text{C}$. Paina välillä Sekoita ja seuraa, mitä jäälle tapahtuu.
Alkutila: veden massa = $0{,}3\,\text{kg}$, veden alkulämpötila = 20 °C, jään massa = $0{,}1\,\text{kg}$, jään alkulämpötila = 0 °C. Vakiona: veden massa, jään massa, jään alkulämpötila. Muutetaan: veden alkulämpötila.
| veden alkulämpötila | $T$ (°C) | jää $(\text{g})$ |
|---|
Rajaa liukusäätimellä (askel $0{,}5\,{}^\circ\text{C}$) veden alkulämpötila, jolla jäätä ei ole enää jäljellä mutta lopputilan lämpötila ei vielä ylitä $0\,{}^\circ\text{C}$:ta. Laske sitten tarkka lämpötila ja vastaa celsiusasteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Katso jäljelle jäävän jään massaa: pienennä sitä lämpötilaa nostamalla ja etsi kohta, jossa se katoaa.
Vihje 2: mikä yhteys
Tässä lämpötilassa veden luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin kaiken jään sulattamiseen tarvittava: $c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} = s m_\text{j}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}30\,\text{kg}$, jää $m_\text{j} = 0{,}10\,\text{kg}$, $T_\text{j} = 0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Liukusäätimellä löydetty raja on $26{,}5\,{}^\circ\text{C}$ ja $27{,}0\,{}^\circ\text{C}$ välissä.
Kysytty
veden alkulämpötila $T_\text{v}$, jolla kaikki jää juuri sulaa ja lopputila on $0\,{}^\circ\text{C}$, celsiusasteina.
Periaate
Eristetyssä astiassa energia säilyy, joten veden luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Raja-tapauksessa jäätä ei jää jäljelle mutta sulamisvesikään ei vielä lämpene, joten lopputila on tasan $0\,{}^\circ\text{C}$ ja kaikki veden luovuttama lämpö kuluu sulattamiseen. Jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten sitä ei tarvitse lämmittää.
Kaava
$c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} = s m_\text{j}$, josta
Muunnokset
Veden lasku $T_\text{v} - 0\,{}^\circ\text{C}$ on sama kelvineinä ja celsiusasteina. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
Sijoitus
Vastaus
$27\,{}^\circ\text{C}$
(tarkasti $26{,}57\,{}^\circ\text{C}$), kaksi merkitsevää numeroa, koska massat $0{,}30\,\text{kg}$ ja $0{,}10\,\text{kg}$ ovat kahdella numerolla.
Järkevyys
Tulos on säätimellä löydetyn välin $26{,}5\ldots 27{,}0\,{}^\circ\text{C}$ sisällä. Arvio: sulattaminen vaatii $33{,}4\,\text{kJ}$ ja kolmen desin vesi luovuttaa noin $1{,}26\,\text{kJ}$ kelvinillä, joten $33{,}4 / 1{,}26 \approx 27\,\text{K}$. Jos vettä olisi lämpimämpää, jäätä ei jäisi ja lopputila olisi yli $0\,{}^\circ\text{C}$.
Johtopäätös: milloin kaikki jää sulaa?
Käytä taulukkoasi. Kirjoita lyhyesti, mikä oli lopputilan lämpötila niillä riveillä, joilla jäätä jäi jäljelle, ja miksi.
Mistä lämpötilasta alkaen kaikki jää sulaa, ja miten sen voi perustella energialla?
Mallivastaus
Kun jäätä jäi jäljelle (esimerkiksi $10\,{}^\circ\text{C}$: $62{,}4\,\text{g}$, $20\,{}^\circ\text{C}$: $24{,}7\,\text{g}$), lopputilan lämpötila oli aina $0\,{}^\circ\text{C}$: jää ja vesi ovat tasapainossa vain sulamispisteessä. Lämpimämpi vesi sulatti enemmän jäätä, koska se luovutti jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen enemmän energiaa. Kaikki jää sulaa, kun $c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} \geq s m_\text{j}$ eli kun $T_\text{v} \geq 26{,}6\,{}^\circ\text{C}$. Sen yläpuolella lämpötila nousee yli nollan, esimerkiksi $40\,{}^\circ\text{C}$:sta $10{,}1\,{}^\circ\text{C}$:seen. Simulaatio laskee nämä energian säilymisestä; oikeassa kalorimetrissä osa energiasta menisi astiaan ja ympäristöön.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Valinnainen Koe 2: jään lämpötila muuttuu
Testaa ennuste 2. Vesi ($0{,}30\,\text{kg}$, $25\,{}^\circ\text{C}$) ja jään massa ($0{,}10\,\text{kg}$) pysyvät vakioina; muuta vain jään alkulämpötilaa. Kirjaa jäljelle jäävän jään massa ainakin kahdella lämpötilalla, esimerkiksi $0\,{}^\circ\text{C}$ ja $-20\,{}^\circ\text{C}$.
Alkutila: veden massa = $0{,}3\,\text{kg}$, veden alkulämpötila = 25 °C, jään massa = $0{,}1\,\text{kg}$, jään alkulämpötila = 0 °C. Vakiona: veden massa, veden alkulämpötila, jään massa. Muutetaan: jään alkulämpötila.
| jään alkulämpötila | $T$ (°C) | jää $(\text{g})$ |
|---|
Kuinka monta grammaa enemmän jäätä on jäljellä, kun jää on alussa $-20\,{}^\circ\text{C}$:ssa verrattuna $0\,{}^\circ\text{C}$:seen? Kirjaa tarvittaessa molemmat mittaukset taulukkoon. Vastaa grammoina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Vertaa taulukon kahta jäljelle jäävän jään massaa: toinen on mitattu $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja toinen $-20\,{}^\circ\text{C}$:ssa.
Vihje 2: mikä yhteys
Erotus on se jää, jonka sulattamiseen tarvittava lämpö kului jään lämmittämiseen: $\dfrac{c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{s}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
jää $m_\text{j} = 0{,}10\,\text{kg}$, alkulämpötilat $T_1 = 0\,{}^\circ\text{C}$ ja $T_2 = -20\,{}^\circ\text{C}$; vesi $0{,}30\,\text{kg}$, $25\,{}^\circ\text{C}$ pysyy samana; taulukosta $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
jäljelle jäävän jään massan lisäys $\Delta m$ grammoina, kun jää on $-20\,{}^\circ\text{C}$:ssa eikä $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa.
Periaate
Vesi luovuttaa kummassakin kokeessa saman lämmön. Kylmä jää käyttää osan siitä lämmetäkseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, ja lopputila on $0\,{}^\circ\text{C}$, koska jäätä jää. Se lämpö ei ole sulattamassa, joten sulamatta jäävän jään massa kasvaa juuri tämän lämpömäärän verran.
Kaava
Lisälämpö $Q = c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$ ei sulata jäätä, joten $s\,\Delta m = c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$, josta
Muunnokset
Lämpötilan muutos
on sama kelvineinä. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
Vastaus
$13\,\text{g}$
(tarkasti $12{,}6\,\text{g}$), kaksi merkitsevää numeroa, koska jään massa $0{,}10\,\text{kg}$ ja lämpötilan muutos $20\,\text{K}$ ovat kahdella numerolla; simulaation kymmenesosagramman lukemat eivät lisää laskennan numeroita.
Järkevyys
Jään lämmittäminen vie vain $4{,}2\,\text{kJ}$, kun $0{,}10\,\text{kg}$ jäätä sulattaminen vaatii $33{,}4\,\text{kJ}$, joten vaikutus on pieni: $4{,}2 / 334 \approx 0{,}013\,\text{kg}$. Lisäys on positiivinen, koska kylmä jää sulaa vähemmän.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kun eristettyyn astiaan laitetaan lämmintä vettä ja jäätä, lämpöä siirtyy vedestä jäähän, kunnes lämpötilat ovat samat ja astiassa on lämpötasapaino. Energia säilyy, joten veden luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Jään vastaanottama energia ei kuitenkaan vain nosta lämpötilaa: jää lämpenee ensin $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulaa sitten. Sulamisen aikana lämpötila pysyy vakiona, mutta jokainen kilogramma jäätä ottaa energiaa $334\,\text{kJ}$, ja sama energia nostaisi kilogramman vettä lähes $80\,\text{K}$.
Siksi lopputilan lämpötilaa ei saa alkulämpötilojen keskiarvona. Lopputilanteita on neljä. Jos vesi voi jäähtyessään luovuttaa tarpeeksi lämpöä kaiken jään sulattamiseen, kaikki jää sulaa ja seoksen lämpötila on vähintään $0\,{}^\circ\text{C}$: tasan $0\,{}^\circ\text{C}$, jos lämpö riittää juuri ja juuri, ja muuten yli $0\,{}^\circ\text{C}$. Jos lämpö ei riitä, astiaan jää sekä jäätä että vettä, ja niin kauan kuin kumpaakin on, lämpötila on tasan $0\,{}^\circ\text{C}$. Jos jää on hyvin kylmää ja vettä on vähän, osa vedestä tai kaikki vesi jäätyy; vasta kun kaikki vesi on jäätynyt, lämpötila on alle $0\,{}^\circ\text{C}$. Ratkaisu alkaa aina samasta vertailusta: lasketaan, paljonko lämpöä vesi voi luovuttaa ja paljonko jää tarvitsee sulaakseen kokonaan.
Lämpötasapaino ja sulaminen
Eristetyssä astiassa on vettä, jonka massa on $m_\text{v}$ ja lämpötila $T_\text{v} > 0\,{}^\circ\text{C}$, sekä jäätä, jonka massa on $m_\text{j}$ ja lämpötila $T_\text{j} \le 0\,{}^\circ\text{C}$. Vertaillaan kahta lämpömäärää: sitä, jonka vesi voi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, ja sitä, jonka jää tarvitsee lämmetäkseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulaakseen kokonaan:
$$\begin{aligned} Q_\text{v} &= c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} \\ Q_\text{j} &= c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j} \end{aligned}$$
missä $Q_\text{v}$ on veden luovuttama lämpömäärä (J), $c_\text{v}$ veden ja $c_\text{j}$ jään ominaislämpökapasiteetti (J/(kg·K)), $T_\text{v}$ veden lämpötila celsiusasteina (sama luku kuin lämpötilan muutos $0\,{}^\circ\text{C}$:seen kelvineinä), $Q_\text{j}$ jään tarvitsema lämpömäärä (J), $\Delta T_\text{j} = 0\,{}^\circ\text{C} - T_\text{j}$ jään lämpötilan nousu (K) ja $s$ jään ominaissulamislämpö (J/kg). Termeistä ensimmäinen lämmittää jään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja toinen sulattaa sen.
| Suure | Arvo |
|---|---|
| veden $c_\text{v}$ | $4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ |
| jään $c_\text{j}$ | $2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ |
| jään $s$ | $334\,\text{kJ/kg}$ |
Jos $Q_\text{v} \ge Q_\text{j}$, kaikki jää sulaa. Silloin veden luovuttama lämpö kuluu jään lämmittämiseen ja sulattamiseen, ja loput lämmittää koko vesimäärän $m_\text{v} + m_\text{j}$ lämpötilaan $T$. Energiatase on
$$\begin{aligned} &c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T) \\ \quad &= c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j} \\ &\qquad + c_\text{v} m_\text{j} T \end{aligned}$$
missä vasen puoli on veden luovuttama lämpömäärä ja oikealla ovat jään lämpeneminen, jään sulaminen ja sulamisveden lämpeneminen. Ratkaistuna
$$T = \frac{Q_\text{v} - Q_\text{j}}{c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j})}$$
Rajatapauksessa $Q_\text{v} = Q_\text{j}$ kaava antaa $T = 0\,{}^\circ\text{C}$: kaikki jää on juuri sulanut, mutta sulamisvesi ei lämpene.
Jos $Q_\text{v} < Q_\text{j}$, mutta vesi riittää lämmittämään jään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, kaikki jää ei ehdi sulaa. Astiassa on silloin jäätä ja vettä yhtä aikaa, joten $T = 0\,{}^\circ\text{C}$. Sulaneen jään massa $m_\text{s}$ saadaan siitä lämmöstä, joka jää jäljelle jään lämmittämisen jälkeen:
$$m_\text{s} = \frac{Q_\text{v} - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{s}$$
Jäljelle jäävän jään massa on $m_\text{j} - m_\text{s}$. Kuvaaja näyttää, miten lopputilan lämpötila riippuu veden alkulämpötilasta, kun vettä on $0{,}30\,\text{kg}$ ja 0-asteista jäätä $0{,}10\,\text{kg}$: kunnes veden luovuttama lämpö riittää sulattamaan jään, lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, ja sen jälkeen se nousee. Musta piste on ensimmäisen kuvan lasi, jossa vesi on 20-asteista.
Jos $Q_\text{v}$ ei riitä edes jään lämmittämiseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, kylmä jää jäädyttää osan vedestä. Niin kauan kuin vettä jää, jäätä ja vettä on yhtä aikaa ja lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Vasta jos kaikki vesi jäätyy, jäämassa jäähtyy alle $0\,{}^\circ\text{C}$:n; sen lämpötila ratkaistaan samasta energiataseesta tason 3 tehtävässä.
Yleinen virhekäsitys
Moni laskee lopputilan lämpötilan niin kuin jää olisi vain kylmää vettä, jolloin sulamislämpö unohtuu. Kun sekoitetaan $0{,}30\,\text{kg}$ vettä ($20\,{}^\circ\text{C}$) ja $0{,}10\,\text{kg}$ jäätä ($0\,{}^\circ\text{C}$), tällä tavalla saataisiin
$$\begin{aligned} T &= \frac{c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} + c_\text{v} m_\text{j} T_\text{j}}{c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j})} \\ &= \frac{0{,}30\,\text{kg} \cdot 20\,{}^\circ\text{C}}{0{,}40\,\text{kg}} \\ &= 15\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$
Todellisuudessa kaiken jään sulattaminen vaatisi $33{,}4\,\text{kJ}$, mutta vesi voi luovuttaa jäähtyessään vain $25{,}1\,\text{kJ}$. Lopputila on siis $0\,{}^\circ\text{C}$, ja jäätä jää jäljelle $24{,}7\,\text{g}$. Toinen virhe on pitää lämpötilaa alle $0\,{}^\circ\text{C}$:n, kun astiassa on yhä jäätä ja vettä: niin kauan kuin molempia on, lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Jos laskusi antaa alle $0\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilan kaavalla, joka olettaa kaiken jään sulavan, oletus on väärä: jäätä jää, ja lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Poikkeus on hyvin kylmä jää, joka jäädyttää kaiken veden: silloin astiassa on pelkkää jäätä, ja sen lämpötila on alle $0\,{}^\circ\text{C}$.
Tiivistelmä
- Eristetyssä astiassa veden luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Jää lämpenee ensin $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulaa sitten; sulamisen aikana lämpötila ei muutu.
- Vertaa ensin lämpömääriä $Q_\text{v} = c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$ ja $Q_\text{j} = c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j}$. Jos $Q_\text{v} \ge Q_\text{j}$, kaikki jää sulaa ja $T = \tfrac{Q_\text{v} - Q_\text{j}}{c_\text{v}(m_\text{v} + m_\text{j})}$; rajatapauksessa $Q_\text{v} = Q_\text{j}$ lämpötila on tasan $0\,{}^\circ\text{C}$.
- Jos $Q_\text{v} < Q_\text{j}$, jäätä jää jäljelle ja lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Sulaneen jään massa on $m_\text{s} = \tfrac{Q_\text{v} - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{s}$. Poikkeus: jos jää on niin kylmää, että kaikki vesi jäätyy, lämpötila on alle $0\,{}^\circ\text{C}$.
- Veden ominaissulamislämpö on $334\,\text{kJ/kg}$: yhden kilogramman jään sulattaminen vaatii saman energian kuin kilogramman veden lämmittäminen lähes $80\,\text{K}$.
- Lopputilan lämpötila ei ole alkulämpötilojen keskiarvo, ja kun jää ja vesi ovat samassa astiassa tasapainossa normaalipaineessa, lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja kaavoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi jääpalat viilentävät juomaa tehokkaammin kuin sama massa 0-asteista vettä? Käytä lukuja $334\,\text{kJ/kg}$ ja $4{,}19\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$, ja kerro, milloin kaikki jää sulaa.
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kalorimetrissä on $0{,}250\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $24{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veteen pudotetaan $0{,}050\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $-8{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Sulaako kaikki jää, ja mikä on kalorimetrin sisällön lämpötila lämpötasapainossa? Kalorimetrin oma lämpökapasiteetti ja lämpöhäviöt ympäristöön jätetään huomiotta.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Vesi: $m_\text{v} = 0{,}250\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 24{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Jää: $m_\text{j} = 0{,}050\,\text{kg}$, $T_\text{j} = -8{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Kysytään, sulaako kaikki jää, ja lopputilan lämpötilaa $T$.
Vaihe 2/7
Periaate. Energia säilyy, koska kalorimetri ei ota lämpöä eikä lämpöä karkaa ympäristöön: veden luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Jää lämpenee ensin $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, sulaa sitten vakiolämpötilassa ja sulamisvesi lämpenee lopuksi lopputilan lämpötilaan. Siksi on ensin tarkistettava, riittääkö veden luovuttama lämpö kaiken jään lämmittämiseen ja sulattamiseen. Jos riittää, jää sulaa kokonaan, eikä lopputilan lämpötila ole alle $0\,{}^\circ\text{C}$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Vesi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen lämpömäärän $Q_\text{v}$, ja jää tarvitsee sulaakseen lämpömäärän $Q_\text{j}$. Kun $Q_\text{v} > Q_\text{j}$, ylijäämä lämmittää kaiken veden ($m_\text{v} + m_\text{j}$) lämpötilaan $T$:
$$\begin{aligned} Q_\text{v} &= c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} \\ Q_\text{j} &= c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j} \\[6pt] T &= \frac{Q_\text{v} - Q_\text{j}}{c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j})} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Massat ovat jo kilogrammoina. Lämpötilan muutos on sama kelvineinä ja celsiusasteina: vesi jäähtyy $24{,}0\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C} = 24{,}0\,\text{K}$ ja jää lämpenee
Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan lämpömäärät erikseen ja sitten lämpötila:
$$\begin{aligned} Q_\text{v} &= c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} \\ &= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}250\,\text{kg} \cdot 24{,}0\,\text{K} \\ &= 25\,140\,\text{J} \\[6pt] Q_\text{j} &= c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j} \\ &= 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}050\,\text{kg} \cdot 8{,}0\,\text{K} \\ &\quad + 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}050\,\text{kg} \\ &= 840\,\text{J} + 16\,700\,\text{J} \\ &= 17\,540\,\text{J} \\[6pt] T &= \frac{Q_\text{v} - Q_\text{j}}{c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j})} \\ &= \frac{25\,140\,\text{J} - 17\,540\,\text{J}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}300\,\text{kg}} \\ &= \frac{7600\,\text{J}}{1257\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}} \\ &= 6{,}05\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Koska
kaikki jää sulaa. Lopputilassa on $0{,}300\,\text{kg}$ vettä lämpötilassa $6{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Vastaus annetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska jään massa $0{,}050\,\text{kg}$ tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella ja se määrää lämpömäärän $Q_\text{j} = 17\,540\,\text{J}$ tarkkuuden (sadat joulet); erotus $Q_\text{v} - Q_\text{j} = 7600\,\text{J}$ on siis kahden numeron luku.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Tulos on alkulämpötilojen $-8{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $24{,}0\,{}^\circ\text{C}$ välissä, mutta niiden puolivälin $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$ alapuolella, vaikka vettä on viisinkertainen määrä: jään sulaminen painaa tulosta alas. Jos sulamislämpö unohdettaisiin, tulokseksi tulisi noin $19\,{}^\circ\text{C}$, joten sulaminen vie kaksi kolmasosaa veden luovuttamasta lämmöstä ($16{,}7\,\text{kJ}$ lämmöstä $25{,}1\,\text{kJ}$). Energiatase täsmää: vesi luovuttaa yhteensä $4190 \cdot 0{,}250 \cdot (24{,}0 - 6{,}05) \approx 18{,}8\,\text{kJ}$ ja jää vastaanottaa $840 + 16\,700 + 4190 \cdot 0{,}050 \cdot 6{,}05 \approx 18{,}8\,\text{kJ}$. Kokeile samoja arvoja simulaatiossa.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Sovella uuteen tilanteeseen
Limsaa, jonka massa on $0{,}250\,\text{kg}$ ja lämpötila $22{,}0\,{}^\circ\text{C}$, halutaan viilentää $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen pudottamalla siihen jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
Kuinka monta grammaa jäätä tarvitaan, kun kaikki jää sulaa ja limsan ominaislämpökapasiteetti on sama kuin veden? Lämpöä ei oleteta siirtyvän ympäristöön. Vastaa grammoina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mihin kaikkeen jään vastaanottama lämpö kuluu? Muista, että jää ensin sulaa ja sulamisvesi lämpenee sitten lopputilan lämpötilaan.
Vihje 2: mikä yhteys
Limsan luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin jään sulaminen ja sulamisveden lämpeneminen: $c\, m_\text{l} (T_\text{l} - T) = s m_\text{j} + c\, m_\text{j} T$.
Vihje 3: välivaihe
Ratkaise
ja sijoita: osoittaja on $4190 \cdot 0{,}250 \cdot 14{,}0\,\text{J}$ ja nimittäjä $334\,000 + 4190 \cdot 8{,}0$ J/kg.
Näytä ratkaisu
Annettu
limsa $m_\text{l} = 0{,}250\,\text{kg}$, $T_\text{l} = 22{,}0\,{}^\circ\text{C}$, loppulämpötila $T = 8{,}0\,{}^\circ\text{C}$, jää $T_\text{j} = 0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ (limsalle ja vedelle) ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
tarvittavan jään massa $m_\text{j}$ grammoina.
Periaate
Lämpöä ei siirry ympäristöön, joten energia säilyy: limsan luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Kaikki jää sulaa ja loppulämpötila on yli $0\,{}^\circ\text{C}$, joten jää sulaa ensin ja sulamisvesi lämpenee sitten $0\,{}^\circ\text{C}$:sta lämpötilaan $T$. Jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten sitä ei tarvitse lämmittää.
Kaava
Energiatase on
$$c\, m_\text{l} (T_\text{l} - T) = s m_\text{j} + c\, m_\text{j} T$$
josta
$$m_\text{j} = \frac{c\, m_\text{l} (T_\text{l} - T)}{s + c\, T}$$
Muunnokset
Limsan lasku
on sama kelvineinä ja sulamisveden nousu $T - 0\,{}^\circ\text{C} = 8{,}0\,\text{K}$. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
Vastaus
$39{,}9\,\text{g}$
Kolme merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}250\,\text{kg}$ ja lämpötilaero $22{,}0\,{}^\circ\text{C} - 8{,}0\,{}^\circ\text{C} = 14{,}0\,\text{K}$ ovat kolmella numerolla; nimittäjän lämpenemistermi $4190 \cdot 8{,}0 = 33\,520\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ lisätään sulamislämpöön $334\,000$, joten se vaikuttaa vain kolmannen numeron tuhansien paikkaan.
Järkevyys
Arvio: limsa luovuttaa noin $4 \cdot 0{,}25 \cdot 14 \approx 14\,\text{kJ}$ ja yksi gramma jäätä vie sulaessaan ja lämmetessään noin $0{,}37\,\text{kJ}$, joten $14 / 0{,}37 \approx 38\,\text{g}$. Noin kolme jääkuutiota riittää neljänneslitran viilentämiseen $14\,\text{K}$, mikä sopii kokemukseen. Pelkkä sulatus ilman sulamisveden lämpenemistä antaisi $43{,}9\,\text{g}$, joka on liikaa.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Kuinka suuri lämpömäärä tarvitaan $0{,}20\,\text{kg}$:n jään sulattamiseen $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa ($s = 334\,\text{kJ/kg}$)?
Vastaus
$Q$$= sm$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}20\,\text{kg}$$= 66{,}8\,\text{kJ}$$\approx 67\,\text{kJ}$Lämpötila ei muutu sulamisen aikana.
- Sekoitetaan $0{,}10\,\text{kg}$ vettä ($10\,{}^\circ\text{C}$) ja $0{,}10\,\text{kg}$ jäätä ($0\,{}^\circ\text{C}$). Sulaako kaikki jää? Perustele luvuilla.
Vastaus
Ei sula. Vesi voi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen
$Q$$= cm\Delta T$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}10\,\text{kg} \cdot 10\,\text{K}$$\approx 4{,}2\,\text{kJ}$mutta kaiken jään sulattaminen vaatii
$sm$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}10\,\text{kg}$$= 33{,}4\,\text{kJ}$Sulaa vain noin $12{,}5\,\text{g}$, ja lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
1. Käsite
2. Kylmä jääpala vedessä
3. Laskenta
Kalorimetrissä on $0{,}20\,\text{kg}$ teetä, jonka lämpötila on $70\,{}^\circ\text{C}$ ja jonka ominaislämpökapasiteetti on sama kuin veden. Teehen pudotetaan $0{,}050\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
Mikä on lämpötila, kun kaikki jää on sulanut ja lämpötasapaino on saavutettu? Vastaa celsiusasteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Vertaa ensin, riittääkö teen luovuttama lämpö sulattamaan kaiken jään. Paljonko tee voi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen?
Vihje 2: mikä yhteys
Jos jää sulaa kokonaan,
kun jää on aluksi $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
tee $m_\text{v} = 0{,}20\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 70\,{}^\circ\text{C}$, jää $m_\text{j} = 0{,}050\,\text{kg}$, $T_\text{j} = 0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ (tee on kuin vesi) ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
lopputilan lämpötila $T$ celsiusasteina.
Periaate
Kalorimetri on eristetty, joten energia säilyy: teen luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin jään sulamiseen ja sulamisveden lämpenemiseen kuluva. Jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten se ei lämpene ennen sulamista. Kaiken jään sulaminen pitää tarkistaa: teen on voitava luovuttaa vähintään $s m_\text{j}$.
Kaava
$Q_\text{v} = c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$ on lämpö, jonka tee luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Jos $Q_\text{v} \ge s m_\text{j}$, kaikki jää sulaa ja ylijäämä lämmittää koko nesteen (yhtäsuuruudessa $T = 0\,{}^\circ\text{C}$):
$$T = \frac{Q_\text{v} - s m_\text{j}}{c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j})}$$
Muunnokset
Teen lasku $70\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C} = 70\,\text{K}$ on sama kelvineinä. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
Sijoitus
Koska $58\,660 > 16\,700$, oletus kaiken jään sulamisesta pätee.
Vastaus
$40\,{}^\circ\text{C}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$ ja lämpötilassa $70\,{}^\circ\text{C}$.
Järkevyys
Tulos on välillä $0\,{}^\circ\text{C}$ ja $70\,{}^\circ\text{C}$, ja koska jäätä on vain neljäsosa teen massasta, tulos on lähempänä $70\,{}^\circ\text{C}$:ta kuin $0\,{}^\circ\text{C}$:ta. Ilman sulamislämpöä tulos olisi
joten sulaminen laskee lämpötilaa noin $16\,\text{K}$. Energiatase: tee luovuttaa $4190 \cdot 0{,}20 \cdot 30\,\text{J} \approx 25{,}1\,\text{kJ}$ ja jää ottaa
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 4. Selitä ja siirrä
Juoman viilentämiseen käytetään jääkuutioita. Selitä, miksi 0-asteinen jää viilentää juomaa paljon tehokkaammin kuin sama massa 0-asteista vettä, ja miksi jäätä voi jäädä lasiin, vaikka juoma on huoneenlämpöistä.
Mallivastaus
Jään sulaminen ottaa energiaa $334\,\text{kJ}$ kilogrammaa kohti, vaikka lämpötila ei muutu. Sama energia nostaisi kilogramman vettä lähes $80\,\text{K}$, joten jää ottaa sulaessaan paljon enemmän lämpöä kuin sama massa 0-asteista vettä, joka ottaisi lämpöä vain lämmetessään. Energian säilymisen mukaan juoma luovuttaa täsmälleen sen lämmön, jonka jää ottaa sulaessaan ja sulamisveden lämmetessä. Jos juoman luovuttama lämpö ei riitä sulattamaan kaikkea jäätä, jäätä jää jäljelle ja lasin sisältö on tasan $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Sulaminen
- Kiinteä aine muuttuu nesteeksi ja vastaanottaa energiaa.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 9-1Ydintehtävä
Mehujuomaan pudotetaan $0{,}050\,\text{kg}$:n jääpala, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Jää sulaa kokonaan vedeksi, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuren lämpömäärän jää ottaa itseensä sulaessaan? Anna vastaus kilojouleina.
Vastaus
$17\,\text{kJ}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jää, $m = 0{,}050\,\text{kg}$, lämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
jään sulamiseen tarvittava lämpömäärä $Q$ kilojouleina
Periaate
Jää on jo sulamislämpötilassaan ja sulaa kokonaan vedeksi, jonka lämpötila on myös $0\,{}^\circ\text{C}$. Lämpötila ei muutu, joten lämpö kuluu vain olomuodon muutokseen, ja sulamislämpö on verrannollinen massaan.
Kaava
$Q = s m$, joten kysytty on suoraan $Q = s m$
Muunnokset
Tulos halutaan kilojouleina ja $s$ on jo kilojouleina kilogrammaa kohti, joten muunnosta ei tarvita.
Sijoitus
$Q$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}050\,\text{kg}$$= 16{,}7\,\text{kJ}$Vastaus
$17\,\text{kJ}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}050\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kilogramma jäätä vaatii $334\,\text{kJ}$, ja massa on kahdeskymmenesosa kilosta, joten $334\,\text{kJ} / 20 \approx 17\,\text{kJ}$. $Q$ on positiivinen, koska jää ottaa lämpöä vastaan. Kaavassa ei ole lämpötilan muutosta, koska lämpötila pysyy vakiona.
- Tehtävä 9-2Ydintehtävä
Pakastimessa on $0{,}25\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Vesi jäätyy kokonaan jääksi, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuren lämpömäärän vesi luovuttaa jäätyessään? Anna vastaus kilojouleina.
Vastaus
$84\,\text{kJ}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi, $m = 0{,}25\,\text{kg}$, lämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
jäätyessä vapautuva lämpömäärä $Q$ kilojouleina
Periaate
Vesi jäätyy kokonaan jääksi, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$, joten lämpötila ei muutu. Jäätyminen on sulamisen vastakohta: vesi luovuttaa saman lämpömäärän $s m$, jonka sama massa jäätä ottaisi sulaessaan.
Kaava
$Q = s m$, joten kysytty on suoraan $Q = s m$
Muunnokset
$s$ on jo kilojouleina kilogrammaa kohti ja vastaus halutaan kilojouleina, joten muunnosta ei tarvita.
Sijoitus
$Q$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}25\,\text{kg}$$= 83{,}5\,\text{kJ}$Vastaus
$84\,\text{kJ}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}25\,\text{kg}$.
Järkevyys
Neljännes kilosta vettä luovuttaa neljänneksen luvusta $334\,\text{kJ}$ eli noin $334\,\text{kJ} / 4 \approx 84\,\text{kJ}$. Sama massa jäätä vaatisi sulaessaan täsmälleen saman lämpömäärän, joten pakastimen on poistettava $84\,\text{kJ}$ vaikka veden lämpötila ei laske.
- Tehtävä 9-3
Eristettyyn astiaan, jossa on vettä, lisätään pakastimesta otettua jäätä.
Kuvaajan pylväät näyttävät tämän seoksen kolme lämpömäärää: lämmön, jonka vesi voi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, lämmön, jonka jään lämmittäminen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen vaatii, ja lämmön, jonka kaiken jään sulattaminen vaatisi. Lämpöä ei siirry astiaan eikä ympäristöön.
Päättele kuvaajasta ensin, sulaako kaikki jää. Kuinka monta grammaa jäätä sulaa ennen lämpötasapainoa? Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$60\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajasta veden luovuttama lämpö sen jäähtyessä $0\,{}^\circ\text{C}$:seen $Q_\text{v} = 25\,\text{kJ}$, jään lämmittämiseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen tarvittava lämpö $c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} = 5\,\text{kJ}$ ja kaiken jään sulattamiseen tarvittava lämpö $s m_\text{j} = 60\,\text{kJ}$; taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
sulaneen jään massa $m_\text{s}$ grammoina
Periaate
Energia säilyy eristetyssä astiassa: veden luovuttama lämpö lämmittää ensin jään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, ja loput sulattaa jäätä. Koska $5\,\text{kJ} \le 25\,\text{kJ} < 5\,\text{kJ} + 60\,\text{kJ}$, vesi riittää lämmittämään jään mutta ei sulattamaan sitä kokonaan. Jäätä jää jäljelle, ja lopputilan lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
Kuvaajan lukeminen
Ruudukon väli on $5\,\text{kJ}$. Ylin pylväs päättyy numeroiden $20$ ja $30$ puolivälin viivalle eli kohtaan $25\,\text{kJ}$, keskimmäinen ensimmäiselle viivalle eli kohtaan $5\,\text{kJ}$ ja alin numeron $60$ kohdalle.
Kaava
$m_\text{s}$$= \dfrac{Q_\text{v} - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{s}$Muunnokset
Lämpömäärät ja sulamislämpö ovat kilojouleina, joten kJ supistuu. Lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
$m_\text{s}$$= \dfrac{25\,\text{kJ} - 5\,\text{kJ}}{334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}}$$= \dfrac{20\,\text{kJ}}{334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}}$$= 0{,}05988\,\text{kg}$$= 59{,}88\,\text{g}$Vastaus
$60\,\text{g}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajalta luettu erotus $25\,\text{kJ} - 5\,\text{kJ} = 20\,\text{kJ}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Sulatukseen jää $20\,\text{kJ}$ eli kolmasosa kaiken jään vaatimasta $60\,\text{kJ}$:sta, joten jäästä sulaa noin kolmasosa. Energiatase: vesi luovuttaa $25\,\text{kJ}$, ja jää ottaa
$5\,\text{kJ} + 0{,}05988\,\text{kg} \cdot 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$= 25\,\text{kJ}$ - Tehtävä 9-4
Jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$, sulatetaan lämmittimellä, joka siirtää jäähän lämpömäärän $60\,\text{kJ}$. Kuinka monta grammaa jäätä ehtii sulaa, kun kaikki lämpö kuluu sulattamiseen? Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$180\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jää lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$, siirtyvä lämpömäärä $Q = 60\,\text{kJ}$; taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
sulavan jään massa $m$ grammoina
Periaate
Jää on jo sulamislämpötilassa ja kaikki lämpö kuluu sulattamiseen, joten lämpötila ei muutu eikä lämmitykseen kulu energiaa. Sulava massa on verrannollinen lämpömäärään.
Kaava
$Q = s m$, josta $m = \dfrac{Q}{s}$
Muunnokset
Sekä $Q$ että $s$ ovat kilojouleina, joten ne supistuvat ja massa tulee kilogrammoina. Lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
$m$$= \dfrac{60\,\text{kJ}}{334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}}$$= 0{,}17964\,\text{kg}$$= 179{,}64\,\text{g}$Vastaus
$180\,\text{g}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpömäärässä $60\,\text{kJ}$.
Järkevyys
$60\,\text{kJ}$ on noin viidesosa luvusta $334\,\text{kJ}$, joten sulaa noin viidesosa kilogrammasta eli noin $200\,\text{g}$. Tulos $180\,\text{g}$ on hieman tätä pienempi, kuten pitääkin.
- Tehtävä 9-5
Pakastimesta otetaan $0{,}20\,\text{kg}$:n jääpussi, jonka lämpötila on $-12\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuri lämpömäärä jäähän on siirrettävä, jotta sen lämpötila nousee $0\,{}^\circ\text{C}$:seen eikä jää vielä ala sulaa? Anna vastaus kilojouleina.
Vastaus
$5{,}0\,\text{kJ}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jää, $m = 0{,}20\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = -12\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$
Kysytty
lämmitykseen tarvittava lämpömäärä $Q$ kilojouleina
Periaate
Jää vain lämpenee $0\,{}^\circ\text{C}$:seen eikä vielä ala sulaa, joten sulamislämpöä ei tarvita. Lämpömäärä on verrannollinen massaan ja lämpötilan muutokseen, ja ominaislämpökapasiteetti on jään oma.
Kaava
$Q = c_\text{j} m \Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$, joten kysytty on suoraan $Q = c_\text{j} m \Delta T$
Muunnokset
Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä:
$\Delta T$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-12\,{}^\circ\text{C})$$= 12\,\text{K}$Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.
Sijoitus
$Q$$= 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}20\,\text{kg} \cdot 12\,\text{K}$$= 5040\,\text{J}$$= 5{,}04\,\text{kJ}$Vastaus
$5{,}0\,\text{kJ}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}20\,\text{kg}$ ja lämpötilan muutos $0\,{}^\circ\text{C} - (-12\,{}^\circ\text{C}) = 12\,\text{K}$ ovat kahdella numerolla.
Järkevyys
Arvio:
$2\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}2\,\text{kg} \cdot 12\,\text{K}$$\approx 5\,\text{kJ}$Saman jään sulattaminen vaatisi
$334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}20\,\text{kg}$$= 66{,}8\,\text{kJ}$joten lämmitys on vain noin kolmastoistaosa sulamisen energiasta.
- Tehtävä 9-6
Lasissa on vettä ja jääpaloja. Lasi on ollut pitkään eristettynä, joten lämpötasapaino on saavutettu ja jäätä on yhä jäljellä. Mikä on lasin sisällön lämpötila?
Vastaus
Täsmälleen $0\,{}^\circ\text{C}$, koska lämpö kuluu jään sulamiseen.
Näytä ratkaisu
Kysytty
lasin sisällön lämpötila, kun lämpötasapaino on saavutettu ja jäätä on yhä jäljellä
Periaate
Eristetyssä lasissa lämpötasapainossa ei siirry lämpöä. Jään sulamisen aikana lämpötila ei muutu, vaan siirtyvä lämpö kuluu jään hiukkasten keskinäisten vuorovaikutusten muuttamiseen. Niin kauan kuin jäätä ja vettä on yhtä aikaa, lämpötila on jään sulamislämpötila $0\,{}^\circ\text{C}$.
Mallivastaus
Lasin sisällön lämpötila on täsmälleen $0\,{}^\circ\text{C}$, koska jäätä on yhä jäljellä: jäätä ja vettä voi olla tasapainossa yhtä aikaa vain siinä lämpötilassa. Selitys ei ole se, että lämpötila olisi alkulämpötilojen keskiarvo, koska osa lämmöstä on kulunut sulamiseen. Lämpötila ei myöskään ole yli $0\,{}^\circ\text{C}$, koska silloin jää sulaisi edelleen, eikä sen alapuolella, koska silloin vesi alkaisi jäätyä.
- Tehtävä 9-7
Lasissa on $0{,}20\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $25\,{}^\circ\text{C}$. Veteen aiotaan lisätä jäätä. Kuinka suuren lämpömäärän vesi voi enintään luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen? Anna vastaus kilojouleina.
Vastaus
$21\,\text{kJ}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi, $m = 0{,}20\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 25\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$
Kysytty
veden luovuttama enimmäislämpömäärä $Q_\text{v}$ kilojouleina
Periaate
Vesi voi luovuttaa lämpöä jäähtyessään, kunnes sen lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Sen jälkeen vesi alkaisi jäätyä, joten tämä on lämpö, jonka vesi voi antaa jään lämmittämiseen ja sulattamiseen. Olomuoto ei muutu, joten $Q = c m \Delta T$.
Kaava
$Q_\text{v} = c_\text{v} m \Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{alku} - T_\text{loppu}$, joten kysytty on suoraan $Q_\text{v} = c_\text{v} m \Delta T$
Muunnokset
Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä:
$\Delta T$$= 25\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C}$$= 25\,\text{K}$Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.
Sijoitus
$Q_\text{v}$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}20\,\text{kg} \cdot 25\,\text{K}$$= 20\,950\,\text{J}$$= 20{,}95\,\text{kJ}$Vastaus
$21\,\text{kJ}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$.
Järkevyys
Arvio:
$4\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}2\,\text{kg} \cdot 25\,\text{K}$$= 20\,\text{kJ}$Tämä riittäisi sulattamaan jäätä vain noin
$21\,\text{kJ} : 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$\approx 0{,}063\,\text{kg}$eli $63\,\text{g}$, joten jäähtyvän veden lämpö vastaa vain pientä jääpalaa.
- Tehtävä 9-8
Eristettyyn astiaan, jossa on vettä, lisätään pakastimesta otettua jäätä. Halutaan tietää, sulaako kaikki jää. Mitä vertailua tässä käytetään ensimmäisenä?
Vastaus
Veden luovuttamaa lämpöä verrataan jään lämmitys- ja sulatuslämpöön, koska energia säilyy.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mikä vertailu tehdään ensimmäisenä, kun selvitetään, sulaako kaikki jää
Periaate
Eristetyssä astiassa energia säilyy: veden jäähtyessään luovuttama lämpö kuluu jään lämmittämiseen ja sulattamiseen. Siksi ratkaisevaa on, riittääkö veden luovuttama lämpö kaiken jään lämmittämiseen ja sulattamiseen. Jos riittää, jää sulaa kokonaan, ja muuten jäätä jää jäljelle.
Mallivastaus
Ensin verrataan lämpömääriä: veden jäähtyessään nollaan asteeseen luovuttamaa lämpöä verrataan siihen lämpöön, jonka jään lämmittäminen sulamislämpötilaan ja sen sulattaminen vaativat. Pelkkä massojen vertailu ei riitä, koska sulaminen riippuu energiasta eikä siitä, kumpaa ainetta on enemmän. Lämpötilojen vertailu ei riitä, koska se ei kerro lämmön määrää. Ominaislämpökapasiteettien vertailu ei riitä, koska se kertoo lämpenemisestä eikä sulamisesta.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 9-9Ydintehtävä
Kalorimetrissä on $0{,}35\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $30\,{}^\circ\text{C}$. Veteen pudotetaan $0{,}060\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
Mikä on kalorimetrin sisällön lämpötila, kun lämpötasapaino on saavutettu ja kaikki jää on sulanut? Oleta, ettei lämpöä siirry kalorimetriin eikä ympäristöön.
Vastaus
$14\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}35\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 30\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_\text{j} = 0{,}060\,\text{kg}$, $T_\text{j} = 0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
lopputilan lämpötila $T$ celsiusasteina
Periaate
Eristetyssä kalorimetrissä energia säilyy: veden luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten se ei lämpene ennen sulamista. Tehtävän mukaan kaikki jää sulaa, ja se on tarkistettava vertaamalla lämpömääriä.
Kaava
Vesi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen lämpömäärän $Q_\text{v} = c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$. Jos $Q_\text{v} > s m_\text{j}$, ylijäämä lämmittää koko vesimäärän: $Q_\text{v} - s m_\text{j} = c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j}) T$, josta
$T$$= \dfrac{Q_\text{v} - s m_\text{j}}{c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j})}$Muunnokset
Lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$:sta mitattuna sama kelvineinä ja celsiusasteina, joten $T_\text{v} = 30\,{}^\circ\text{C}$ vastaa $30\,\text{K}$:n laskua. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
Sijoitus
$Q_\text{v}$$= 4190 \cdot 0{,}35 \cdot 30\,\text{J}$$= 43\,995\,\text{J}$$s m_\text{j}$$= 334\,000 \cdot 0{,}060\,\text{J}$$= 20\,040\,\text{J}$Koska $43\,995 > 20\,040$, kaikki jää sulaa.
$T$$= \dfrac{43\,995\,\text{J} - 20\,040\,\text{J}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}41\,\text{kg}}$$= \dfrac{23\,955\,\text{J}}{1717{,}9\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$$= 13{,}94\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$14\,{}^\circ\text{C}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska veden massa $0{,}35\,\text{kg}$, sen lämpötila $30\,{}^\circ\text{C}$ ja jään massa $0{,}060\,\text{kg}$ ovat kaikki kahdella numerolla; lämpömäärien erotus $43\,995 - 20\,040$ ei lisää numeroita.
Järkevyys
Tulos on välillä $0\,{}^\circ\text{C}$ ja $30\,{}^\circ\text{C}$. Ilman sulamislämpöä tulos olisi
$\dfrac{0{,}35 \cdot 30}{0{,}41}$$\approx 26\,{}^\circ\text{C}$joten sulaminen vie lähes puolet veden luovuttamasta lämmöstä. Energiatase: vesi luovuttaa
$4190 \cdot 0{,}35 \cdot (30 - 13{,}944)\,\text{J}$$\approx 23{,}55\,\text{kJ}$ja jää ottaa
$20\,040\,\text{J} + 4190 \cdot 0{,}060 \cdot 13{,}944\,\text{J}$$\approx 23{,}55\,\text{kJ}$eli taseet täsmäävät.
- Tehtävä 9-10Ydintehtävä
Jääkaapista otetulla jäällä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$, halutaan jäähdyttää $0{,}30\,\text{kg}$ vettä $18\,{}^\circ\text{C}$:sta $0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka monta grammaa jäätä on sulatettava? Oleta, ettei lämpöä siirry ympäristöön. Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$68\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}30\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 18\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 0\,{}^\circ\text{C}$; jää $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
sulavan jään massa $m_\text{j}$ grammoina
Periaate
Lämpöä ei karkaa ympäristöön, joten veden luovuttama lämpö kuluu kokonaan jään sulattamiseen. Jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa eikä sulamisvettä tarvitse lämmittää, koska lopputila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
Kaava
$c_\text{v} m_\text{v} \Delta T = s m_\text{j}$, josta
$m_\text{j}$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} \Delta T}{s}$Muunnokset
Lämpötilan lasku on sama kelvineinä:
$\Delta T$$= 18\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C}$$= 18\,\text{K}$Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
$m_\text{j}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}30\,\text{kg} \cdot 18\,\text{K}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= \dfrac{22\,626\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= 0{,}06774\,\text{kg}$$= 67{,}74\,\text{g}$Vastaus
$68\,\text{g}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}30\,\text{kg}$ ja lämpötilan muutos $18\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C} = 18\,\text{K}$ ovat kahdella numerolla.
Järkevyys
Arvio: vesi luovuttaa noin $4 \cdot 0{,}3 \cdot 18 \approx 22\,\text{kJ}$, ja
$22\,\text{kJ} / 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$\approx 0{,}066\,\text{kg}$Noin $68\,\text{g}$ on kaksi tai kolme jääkuutiota, mikä on vähän verrattuna vesimäärään, koska sulaminen on energiaintensiivistä.
- Tehtävä 9-11
Jäätä, jonka massa on $0{,}40\,\text{kg}$ ja lämpötila $-10\,{}^\circ\text{C}$, lämmitetään $800\,\text{W}$:n kuumentimella, kunnes kaikki jää on sulanut vedeksi, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Oleta, että kuumentimen koko teho siirtyy jäähän.
Kuinka kauan lämmitys kestää? Anna vastaus sekunteina.
Vastaus
$180\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jää $m = 0{,}40\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = -10\,{}^\circ\text{C}$, loppu vesi $0\,{}^\circ\text{C}$; teho $P = 800\,\text{W}$; taulukosta $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
lämmityksen kesto $t$ sekunteina
Periaate
Koko teho siirtyy jäähän, joten teho kertaa aika on jäähän siirtyvä energia. Jää lämpenee ensin $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulaa sitten vakiolämpötilassa, joten tarvitaan sekä lämmitys että sulamislämpö.
Kaava
$P t = c_\text{j} m \Delta T + s m$, josta
$t$$= \dfrac{c_\text{j} m \Delta T + s m}{P}$Muunnokset
Lämpötilan muutos
$\Delta T$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-10\,{}^\circ\text{C})$$= 10\,\text{K}$on sama kelvineinä. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$, ja $1\,\text{W} = 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$, joten aika tulee sekunteina.
Sijoitus
Jään lämmittämiseen kuluu
$2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}40\,\text{kg} \cdot 10\,\text{K}$$= 8400\,\text{J}$ja sulattamiseen
$334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}40\,\text{kg}$$= 133\,600\,\text{J}$joten
$$\begin{aligned} t &= \dfrac{8400\,\text{J} + 133\,600\,\text{J}}{800\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}} \\ &= 177{,}5\,\text{s} \end{aligned}$$
Vastaus
$180\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}40\,\text{kg}$ ja lämpötilan muutos $10\,\text{K}$ ovat kahdella numerolla; teho ja taulukkoarvot eivät rajoita tarkemmin.
Järkevyys
Jään lämmittäminen vie vain $8400 / 142\,000 \approx 6\,\%$ kokonaisenergiasta ja loput kuluu sulattamiseen. Arvio:
$0{,}4\,\text{kg} \cdot 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$$\approx 134\,\text{kJ}$$134\,\text{kJ} / 0{,}8\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{s}} \approx 170\,\text{s}$. Noin kolme minuuttia on järkevä aika vedenkeittimen kokoiselle laitteelle.
- Tehtävä 9-12
Jään sulamislämpöä mitataan kalorimetrilla. Kalorimetrissä on $0{,}200\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $30{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veteen pudotetaan $0{,}0500\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Kun jää on sulanut kokonaan, lämpötilaksi mitataan $8{,}1\,{}^\circ\text{C}$. Määritä jään ominaissulamislämpö. Kalorimetrin oma lämpökapasiteetti ja lämpöhäviöt jätetään huomiotta. Anna vastaus yksikössä kJ/kg.
Vastaus
$333\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}200\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 30{,}0\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_\text{j} = 0{,}0500\,\text{kg}$, $T_\text{j} = 0\,{}^\circ\text{C}$; lopputila $T = 8{,}1\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$
Kysytty
jään ominaissulamislämpö $s$ yksikössä $\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Periaate
Kalorimetri on eristetty ja sen oma lämpökapasiteetti jätetään huomiotta, joten energia säilyy: veden luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin jään sulamiseen ja sulamisveden lämpenemiseen kuluva lämpö. Jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten se ei lämpene ennen sulamista.
Kaava
$c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T)$$= s m_\text{j} + c_\text{v} m_\text{j} T$josta
$s$$= \dfrac{c_\text{v} \left[ m_\text{v} (T_\text{v} - T) - m_\text{j} T \right]}{m_\text{j}}$Muunnokset
Lämpötilaerot ovat samat kelvineinä:
$T_\text{v} - T$$= 30{,}0 - 8{,}1$$= 21{,}9\,\text{K}$$T - 0 = 8{,}1\,\text{K}$. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.
Sijoitus
Hakasulkeiden lauseke on
$0{,}200\,\text{kg} \cdot 21{,}9\,\text{K} - 0{,}0500\,\text{kg} \cdot 8{,}1\,\text{K}$$= 4{,}380\,\text{kg}\cdot\text{K} - 0{,}405\,\text{kg}\cdot\text{K}$$= 3{,}975\,\text{kg}\cdot\text{K}$joten
$$\begin{aligned} s &= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 3{,}975\,\text{kg}\cdot\text{K}}{0{,}0500\,\text{kg}} \\ &= 333\,105\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \\ &= 333{,}1\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \end{aligned}$$
Vastaus
$333\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kolme merkitsevää numeroa, koska jään massa $0{,}0500\,\text{kg}$, veden massa $0{,}200\,\text{kg}$ ja lämpötilaero $30{,}0\,{}^\circ\text{C} - 8{,}1\,{}^\circ\text{C} = 21{,}9\,\text{K}$ ovat kolmella numerolla.
Järkevyys
Tulos on lähellä taulukkoarvoa $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ (ero alle $0{,}3\,\%$). Pieni ero mahtuu jo lämpötilan lukematarkkuuden ($0{,}1\,\text{K}$) rajoihin, ja oikeassa kokeessa myös kalorimetrin lämpökapasiteetti ja lämpöhäviöt vaikuttaisivat: lukema $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$ antaisi noin $335\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Tulos on positiivinen, kuten sulamislämmön kuuluu olla.
- Tehtävä 9-13
Jään ominaissulamislämpöä määritetään kokeella. Hienonnettua jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$, lämmitetään suppilossa $150\,\text{W}$:n lämmittimellä. Suppilosta valuu sulanutta vettä mittalasiin. Sulaneen veden massa mitataan minuutin välein (esimerkkiaineisto). Oleta, että kaikki lämmittimen energia sulattaa jäätä.
a) Piirrä $(t,\ m)$-kuvaaja ja vedä siihen suora pisteiden lomaan. Suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{s};\ 0\,\text{g})$ ja $(300\,\text{s};\ 133\,\text{g})$ kautta. Laske suoran kulmakertoimen avulla jään ominaissulamislämpö.
b) Vertaa tulosta taulukkoarvoon $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ ja nimeä yksi syy eroon.
Anna a)-kohdan tulos vastauslaatikkoon.
Sulaneen veden massa lämmityksen aikana (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $m\,(\text{g})$ 0 0,0 60 26,9 120 52,8 180 81,1 240 106,5 300 132,8 Vastaus
$338\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Näytä ratkaisu
Annettu
teho $P = 150\,\text{W}$, jää lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$, suoran pisteet $(0\,\text{s}$; $0\,\text{g})$ ja $(300\,\text{s}$; $133\,\text{g})$; taulukosta vertailuarvo $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
jään ominaissulamislämpö $s$ yksikössä $\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Periaate
Jää on jo sulamislämpötilassa, ja kaikki lämmittimen energia sulattaa jäätä, joten lämpötila ei muutu ja $P t = s m$. Kun sulanut massa kasvaa tasaisesti, kuvaaja $(t,\ m)$ on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $\dfrac{m}{t} = \dfrac{P}{s}$.
Kuvaajan lukeminen
Suora sovitetaan pisteiden lomaan origosta pisteeseen $(300\,\text{s}$; $133\,\text{g})$. Kulmakerroin on
$\dfrac{133\,\text{g}}{300\,\text{s}}$$= 0{,}4433\,\tfrac{\text{g}}{\text{s}}$ja se kertoo, kuinka monta grammaa jäätä sulaa sekunnissa.
Kaava
$P t = s m$, josta $s = \dfrac{P t}{m} = \dfrac{P}{k}$, missä $k = \dfrac{m}{t}$ on kulmakerroin
Muunnokset
$k$$= 0{,}4433\,\tfrac{\text{g}}{\text{s}}$$= 0{,}4433 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$Lopuksi $1\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} = 10^{-3}\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.
Sijoitus
$s$$= \dfrac{150\,\text{W}}{0{,}4433 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}}$$= 338\,400\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$$= 338\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$Vastaus
$338\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten luetussa massassa $133\,\text{g}$. b) Tulos on noin $1\,\%$ taulukkoarvoa $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ suurempi, mikä on kuvaajan lukutarkkuuden rajoissa. Eron syy voi olla se, että osa lämmittimen energiasta meni suppilon ja ympäristön lämmittämiseen eikä jään sulattamiseen: sulanutta massaa kertyi silloin vähemmän kuin lasku olettaa, joten laskettu $s$ on liian suuri. Huoneen lämpö, joka sulattaa jäätä lisää, vaikuttaisi toisin päin ja pienentäisi tulosta, joten nämä tekijät osin kumoavat toisensa.
Järkevyys
Tulos on lähellä taulukkoarvoa $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Tarkistus: $150\,\text{W}$ sulattaa minuutissa
$150\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}} \cdot 60\,\text{s} : 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$$= 0{,}0269\,\text{kg}$$= 26{,}9\,\text{g}$ja taulukon rivillä $t = 60\,\text{s}$ massa on $26{,}9\,\text{g}$.
- Tehtävä 9-14
Eristetyssä astiassa on $0{,}30\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$. Veteen lisätään $0{,}15\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $-15\,{}^\circ\text{C}$. Opiskelija ratkaisee, kuinka paljon jäätä sulaa, ja kirjoittaa:
”Vesi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen lämmön $Q_\text{v} = 25\,140\,\text{J}$. Koko jään sulattaminen vaatisi lämmön $50\,100\,\text{J}$, joten kaikki jää ei sula. Sulaneen jään massa on $m = \dfrac{25\,140\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}} = 75\,\text{g}$.”
a) Mikä virhe laskussa on? Tarkista myös, että opiskelijan päätelmä ”kaikki jää ei sula” pitää paikkansa.
b) Laske sulaneen jään massa oikein. Anna b)-kohdan tulos grammoina vastauslaatikkoon.
Vastaus
$61\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}30\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 20\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_\text{j} = 0{,}15\,\text{kg}$, $T_\text{j} = -15\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$; opiskelijan tulos $75\,\text{g}$
Kysytty
a) opiskelijan virhe, b) sulaneen jään massa $m_\text{s}$ grammoina
Periaate
Eristetyssä astiassa veden luovuttama lämpö kuluu ensin jään lämmittämiseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja vasta loput jään sulattamiseen. Opiskelija unohti, että jää on alussa kylmempää kuin $0\,{}^\circ\text{C}$, joten hän käytti koko lämmön sulattamiseen.
Kaava
$m_\text{s}$$= \dfrac{Q_\text{v} - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{s}$missä $Q_\text{v} = c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$ ja $\Delta T_\text{j} = 0\,{}^\circ\text{C} - T_\text{j}$
Muunnokset
Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä:
$\Delta T_\text{j}$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-15\,{}^\circ\text{C})$$= 15\,\text{K}$Lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
$c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$$= 2100 \cdot 0{,}15 \cdot 15\,\text{J}$$= 4725\,\text{J}$Tällöin
$m_\text{s}$$= \dfrac{25\,140\,\text{J} - 4725\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= \dfrac{20\,415\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= 0{,}06112\,\text{kg}$$= 61{,}12\,\text{g}$Vastaus
a) Virhe on se, että jään lämmittäminen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($4725\,\text{J}$) jäi huomiotta. Päätelmä ”kaikki jää ei sula” pitää silti paikkansa, koska $25\,140\,\text{J} < 4725\,\text{J} + 50\,100\,\text{J}$. b) Sulaneen jään massa on $61\,\text{g}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa $0{,}30\,\text{kg}$ ja $0{,}15\,\text{kg}$.
Järkevyys
Oikea tulos on pienempi kuin opiskelijan $75\,\text{g}$, kuten pitääkin, koska osa lämmöstä kuluu jään lämmittämiseen. Energiatase: vesi luovuttaa $25\,140\,\text{J}$ ja jää ottaa
$4725\,\text{J} + 0{,}06112\,\text{kg} \cdot 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$$= 4725\,\text{J} + 20\,415\,\text{J}$$= 25\,140\,\text{J}$Jäätä jää $150\,\text{g} - 61\,\text{g} = 89\,\text{g}$, ja lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.
- Tehtävä 9-15
Oppilas mittaa kalorimetrilla jään ominaissulamislämmöksi $300\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$, vaikka taulukkoarvo on $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Hän laski tuloksen olettaen, että jään massa on punnittu $0{,}050\,\text{kg}$ ja että kaikki sulanut jää oli ollut täsmälleen $0\,{}^\circ\text{C}$.
Mikä seikka selittää sen, että tulos jäi liian pieneksi?
Vastaus
Jään pintaan oli tarttunut sulaa vettä, joten sulavaa jäätä oli vähemmän kuin punnittiin.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mikä seikka selittää sen, että laskettu sulamislämpö $300\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ jäi taulukkoarvoa $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ pienemmäksi
Periaate
Laskussa veden luovuttama lämpö jaetaan jään massalla: $s = \dfrac{Q}{m}$. Jos todellinen sulanut massa on pienempi kuin laskussa käytetty $0{,}050\,\text{kg}$, laskettu $s$ jää liian pieneksi. Virhe, joka kasvattaisi veden luovuttamaa lämpöä, kasvattaisi myös tulosta.
Mallivastaus
Jään pintaan oli tarttunut sulaa vettä, joten punnitusta massasta osa oli jo vettä eikä se tarvinnut sulamislämpöä. Lasku olettaa, että koko punnittu massa suli, joten jakajana on liian suuri massa ja tulos jää liian pieneksi. Jää, joka olisi ollut kylmempää kuin $0\,{}^\circ\text{C}$, vaatisi lisälämpöä ja kasvattaisi tulosta. Jos lopputilan lämpötila luettaisiin liian matalaksi, veden lämpötilan muutos näyttäisi suuremmalta ja tulos kasvaisi. Ominaislämpökapasiteettien ero on mukana laskussa eikä aiheuta virhettä.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 9-16
Termoskannussa on $0{,}600\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $35{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veteen aiotaan lisätä pakastimesta otettua jäätä, jonka lämpötila on $-20\,{}^\circ\text{C}$, niin paljon, että jää sulaa täsmälleen kokonaan ja seoksen lämpötilaksi tulee $0\,{}^\circ\text{C}$.
Kuinka monta grammaa jäätä tarvitaan? Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$234\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}600\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 35{,}0\,{}^\circ\text{C}$; jää $T_\text{j} = -20\,{}^\circ\text{C}$; lopputila $0\,{}^\circ\text{C}$ ja kaikki jää juuri sulanut; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
jään massa $m_\text{j}$ grammoina
Periaate
Energia säilyy eristetyssä astiassa. Tehtävä on raja-tapaus: lopputila on tasan $0\,{}^\circ\text{C}$ ja jää on juuri sulanut, joten sulamisvettä ei lämmitetä ja veden luovuttama lämpö kuluu kokonaan jään lämmittämiseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulattamiseen.
Kaava
$c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$$= c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j}$josta
$m_\text{j}$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}}{c_\text{j} \Delta T_\text{j} + s}$Muunnokset
Lämpötilaerot ovat samat kelvineinä: veden lasku $35\,\text{K}$ ja jään nousu
$\Delta T_\text{j}$$= 0 - (-20)$$= 20\,\text{K}$Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
$m_\text{j}$$= \dfrac{4190 \cdot 0{,}600 \cdot 35{,}0\,\text{J}}{2100 \cdot 20\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} + 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= \dfrac{87\,990\,\text{J}}{376\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= 0{,}23401\,\text{kg}$$= 234{,}0\,\text{g}$Vastaus
$234\,\text{g}$
Kolme merkitsevää numeroa, koska veden massa $0{,}600\,\text{kg}$ ja lämpötila $35{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ovat kolmella numerolla; nimittäjän summa $42\,000 + 334\,000 = 376\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ on tuhansien tarkkuudella, eli sekin kolmella numerolla.
Järkevyys
Jos jäätä olisi enemmän, osa jäisi sulamatta ja lämpötila olisi $0\,{}^\circ\text{C}$. Jos vähemmän, kaikki sulaisi ja lämpötila olisi yli $0\,{}^\circ\text{C}$. Energiatase: vesi luovuttaa $87\,990\,\text{J}$ ja jää ottaa $0{,}234 \cdot (42\,000 + 334\,000)\,\text{J} \approx 88\,000\,\text{J}$. Jään lämmitys vie $42\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ ja sulatus $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$, joten lämmitys on vain noin kahdeksasosa.
- Tehtävä 9-17
Eristetyssä astiassa on $0{,}200\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veteen lisätään $0{,}300\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $-10{,}0\,{}^\circ\text{C}$.
Kuinka monta grammaa jäätä astiassa on jäljellä, kun lämpötasapaino on saavutettu? Tarkista ensin, sulaako kaikki jää. Anna vastaus grammoina.
Vastaus
$281\,\text{g}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}200\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 15{,}0\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_\text{j} = 0{,}300\,\text{kg}$, $T_\text{j} = -10{,}0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
jäljelle jäävän jään massa $m_\text{j} - m_\text{s}$ grammoina
Periaate
Energia säilyy eristetyssä astiassa. Ensin on selvitettävä lopputila vertaamalla: jää lämpenee ensin $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulaa vasta sitten, ja niin kauan kuin jäätä ja vettä on yhtä aikaa, lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistetaan vertaamalla veden luovuttamaa lämpöä jään lämmitykseen ja sulatukseen tarvittaviin lämpömääriin.
Kaava
$m_\text{s}$$= \dfrac{Q_\text{v} - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{s}$kun
$c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$$\le Q_\text{v}$$< c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j}$jäljelle jää $m_\text{j} - m_\text{s}$
Muunnokset
Lämpötilaerot ovat samat kelvineinä: veden lasku $15\,\text{K}$ ja jään nousu $\Delta T_\text{j} = 10\,\text{K}$. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.
Sijoitus
$Q_\text{v}$$= 4190 \cdot 0{,}200 \cdot 15{,}0\,\text{J}$$= 12\,570\,\text{J}$$c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$$= 2100 \cdot 0{,}300 \cdot 10{,}0\,\text{J}$$= 6300\,\text{J}$$s m_\text{j} = 100\,200\,\text{J}$. Vesi riittää lämmittämään jään mutta ei sulattamaan sitä kokonaan, joten $T = 0\,{}^\circ\text{C}$.
$m_\text{s}$$= \dfrac{12\,570\,\text{J} - 6300\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= 0{,}018772\,\text{kg}$joten jäätä jää
$0{,}300\,\text{kg} - 0{,}018772\,\text{kg}$$= 0{,}28123\,\text{kg}$$= 281{,}2\,\text{g}$Vastaus
$281\,\text{g}$
Kolme merkitsevää numeroa, koska massat $0{,}200\,\text{kg}$ ja $0{,}300\,\text{kg}$ sekä lämpötilat $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $-10{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ovat kolmella numerolla; vähennys $0{,}300 - 0{,}0188$ antaa tuloksen gramman tarkkuudella.
Järkevyys
Vettä on vähän ja jää on kylmää, joten lähes kaikki jää säilyy. Sulaa vain $19\,\text{g}$, ja lopputila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Energiatase: vesi luovuttaa $12\,570\,\text{J}$ ja jää ottaa $6300\,\text{J} + 334\,000 \cdot 0{,}018772\,\text{J} = 12\,570\,\text{J}$.
- Tehtävä 9-18
Eristetyssä astiassa on $0{,}100\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $10{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veteen lisätään $0{,}500\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $-40{,}0\,{}^\circ\text{C}$.
Mikä on astian sisällön lämpötila, kun lämpötasapaino on saavutettu? Päättele ensin, jäätyykö vesi kokonaan. Anna vastaus celsiusasteina.
Vastaus
$-3{,}5\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}100\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 10{,}0\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_\text{j} = 0{,}500\,\text{kg}$, $T_\text{j} = -40{,}0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
lopputilan lämpötila $T$ celsiusasteina
Periaate
Energia säilyy eristetyssä astiassa. Vesi voi luovuttaa enintään sen lämmön, joka vapautuu, kun se jäähtyy $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja jäätyy. Jos tämä on vähemmän kuin jään lämmittämiseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen tarvittava lämpö, kaikki vesi jäätyy ja koko sisältö jää jääksi, jonka lämpötila on alle $0\,{}^\circ\text{C}$.
Kaava
Jos kaikki vesi jäätyy, vesi luovuttaa kolme lämpömäärää: se jäähtyy $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$), jäätyy ($s m_\text{v}$) ja syntynyt jää jäähtyy vielä lämpötilaan $T$ ($c_\text{j} m_\text{v} (0 - T)$). Alkuperäinen jää ottaa lämmetessään lämpötilasta $T_\text{j}$ lämpötilaan $T$ lämpömäärän $c_\text{j} m_\text{j} (T - T_\text{j})$. Energian säilyminen:
$c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} + s m_\text{v} - c_\text{j} m_\text{v} T$$= c_\text{j} m_\text{j} T - c_\text{j} m_\text{j} T_\text{j}$Siirretään $T$:n sisältävät termit oikealle:
$c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} + s m_\text{v} + c_\text{j} m_\text{j} T_\text{j}$$= c_\text{j} (m_\text{j} + m_\text{v}) T$josta
$T$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} + s m_\text{v} + c_\text{j} m_\text{j} T_\text{j}}{c_\text{j} (m_\text{j} + m_\text{v})}$Muunnokset
Lämpötilaerot ovat samat kelvineinä: veden lasku $10\,\text{K}$ ja jään nousu $0 - (-40) = 40\,\text{K}$. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
Sijoitus
Vesi luovuttaa enintään
$4190 \cdot 0{,}100 \cdot 10{,}0\,\text{J} + 334\,000 \cdot 0{,}100\,\text{J}$$= 37\,590\,\text{J}$mutta jään lämmittäminen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen vaatii $2100 \cdot 0{,}500 \cdot 40{,}0\,\text{J} = 42\,000\,\text{J}$, joten kaikki vesi jäätyy.
Osoittajan termit ovat $4190\,\text{J}$, $33\,400\,\text{J}$ ja $2100 \cdot 0{,}500 \cdot (-40{,}0)\,\text{J} = -42\,000\,\text{J}$, ja nimittäjä on
$2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}600\,\text{kg}$$= 1260\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$joten
$$\begin{aligned} T &= \dfrac{4190\,\text{J} + 33\,400\,\text{J} - 42\,000\,\text{J}}{1260\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}} \\ &= \dfrac{-4410\,\text{J}}{1260\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}} \\ &= -3{,}5\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$
Vastaus
$-3{,}5\,{}^\circ\text{C}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska osoittajan erotus $37\,590 - 42\,000 = -4410\,\text{J}$ tunnetaan vain sadan joulen tarkkuudella (sulamislämpö $334\,000 \cdot 0{,}100 = 33\,400\,\text{J}$ rajoittaa), joten tulokseen jää kaksi numeroa vaikka lähtöarvot ovat kolmella.
Järkevyys
Tulos on alle $0\,{}^\circ\text{C}$ ja yli kylmän jään alkulämpötilan $-40\,{}^\circ\text{C}$, kuten pitääkin. Vaikka jäätä on viisinkertainen massa, lämpötila nousee lähelle $0\,{}^\circ\text{C}$:ta, koska jäätyvä vesi luovuttaa $33{,}4\,\text{kJ}$ eli suurimman osan jään lämmittämiseen tarvittavasta $42\,\text{kJ}$:sta; vain $4{,}4\,\text{kJ}$ jää puuttumaan. Energiatase: jää ottaa $2100 \cdot 0{,}50 \cdot 36{,}5\,\text{J} = 38\,325\,\text{J}$ ja vesi luovuttaa
$37\,590\,\text{J} + 2100 \cdot 0{,}10 \cdot 3{,}5\,\text{J}$$= 38\,325\,\text{J}$ - Tehtävä 9-19
Jään ominaissulamislämpöä määritetään kalorimetrilla kahdella mittauksella (esimerkkiaineisto). Kummassakin kalorimetrissä on $0{,}200\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $30{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ja veteen pudotetaan $0{,}0500\,\text{kg}$ jäätä. Mittauksessa 1 jää on ollut sulavassa jäävesihauteessa. Mittauksessa 2 jää on otettu suoraan pakastimesta. Kalorimetrin oma lämpökapasiteetti ja lämpöhäviöt jätetään huomiotta, ja kaikki jää sulaa.
a) Laske kummastakin mittauksesta ominaissulamislämpö olettaen, että jään lämpötila on ollut $0\,{}^\circ\text{C}$. Vertaa tuloksia taulukkoarvoon $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.
b) Mikä on tulosten eron systemaattinen syy? Perustele, miksi virhe on juuri tähän suuntaan.
c) Korjaa mittauksen 2 laskua ottamalla jään lämpeneminen huomioon ja laske ominaissulamislämpö uudelleen. Anna c)-kohdan tulos vastauslaatikkoon.
Kalorimetrimittaukset (esimerkkiaineisto) Mittaus $T_\text{j}\,({}^\circ\text{C})$ $T\,({}^\circ\text{C})$ 1 0,0 8,2 2 −18,0 6,2 Vastaus
$331\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}200\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 30{,}0\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_\text{j} = 0{,}0500\,\text{kg}$; mittaus 1: $T_\text{j} = 0{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $T = 8{,}2\,{}^\circ\text{C}$; mittaus 2: $T_\text{j} = -18{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $T = 6{,}2\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
a) $s$ kummastakin mittauksesta jään lämpötilaa $0\,{}^\circ\text{C}$ olettaen, b) eron syy, c) mittauksen 2 korjattu $s$ yksikössä $\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Periaate
Eristetyssä kalorimetrissä energia säilyy: vesi luovuttaa lämmön, joka lämmittää jään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, sulattaa sen ja lämmittää sulamisveden lopputilan lämpötilaan $T$. Jos jään lämpeneminen unohdetaan, kaikki veden luovuttama lämpö katsotaan sulattamiseen kuluneeksi.
Kaava
$c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T)$$= c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j} + c_\text{v} m_\text{j} T$josta
$s$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T) - c_\text{v} m_\text{j} T - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}}{m_\text{j}}$Kohdassa a) on $\Delta T_\text{j} = 0$.
Muunnokset
Lämpötilan muutokset ovat samat celsiusasteina ja kelvineinä: $T_\text{v} - T_1 = 21{,}8\,\text{K}$ ja $T_\text{v} - T_2 = 23{,}8\,\text{K}$, ja mittauksen 2 jäälle
$\Delta T_\text{j}$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-18{,}0\,{}^\circ\text{C})$$= 18{,}0\,\text{K}$Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.
Sijoitus
a) Mittaus 1:
Ensin $0{,}200 \cdot 21{,}8 - 0{,}0500 \cdot 8{,}2 = 3{,}95$, joten
$$\begin{aligned} s_1 &= \dfrac{4190 \cdot 3{,}95\,\text{J}}{0{,}0500\,\text{kg}} \\ &= 331\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \\ &= 331\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \end{aligned}$$
Mittaus 2:
Ensin $0{,}200 \cdot 23{,}8 - 0{,}0500 \cdot 6{,}2 = 4{,}45$, joten
$$\begin{aligned} s_2 &= \dfrac{4190 \cdot 4{,}45\,\text{J}}{0{,}0500\,\text{kg}} \\ &= 372\,900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \\ &= 373\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \end{aligned}$$
c) Jään lämpeneminen on
$c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$$= 2100 \cdot 0{,}0500 \cdot 18{,}0\,\text{J}$$= 1890\,\text{J}$joten
$$\begin{aligned} s_2' &= \dfrac{4190 \cdot 4{,}45\,\text{J} - 1890\,\text{J}}{0{,}0500\,\text{kg}} \\ &= \dfrac{18\,645{,}5\,\text{J} - 1890\,\text{J}}{0{,}0500\,\text{kg}} \\ &= \dfrac{16\,755{,}5\,\text{J}}{0{,}0500\,\text{kg}} \\ &= 335\,100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \end{aligned}$$
Vastaus
a) Alkuperäiset tulokset ovat mittaukselle 1 noin $331\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ ja mittaukselle 2 noin $373\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$; jälkimmäinen poikkeaa taulukkoarvosta noin $12\,\%$ ylöspäin. b) Syy on se, että pakastimesta otetun jään lämmittäminen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen vei osan veden luovuttamasta lämmöstä, mutta lasku katsoi sen sulamisen lämmöksi, joten $s$ tuli liian suureksi. c) Korjattu sulamislämpö on $335\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$, kolme merkitsevää numeroa kuten massoissa ja lämpötiloissa; se poikkeaa taulukkoarvosta alle $1\,\%$.
Järkevyys
Korjaus on suuruusluokaltaan oikea: jään lämmittäminen vaatii $1890\,\text{J}$ ja sulattaminen $0{,}0500 \cdot 334\,000\,\text{J} = 16\,700\,\text{J}$, joten lämmitys on noin $11\,\%$ sulatuksen lämmöstä, ja virhe $373 - 335 = 38\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ on sen verran. Korjattu tulos on lähellä mittauksen 1 tulosta ($331\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$), ja molemmat ovat lähellä taulukkoarvoa, kuten pitääkin, kun sama aine mitataan kahdesti.
- Tehtävä 9-20
Eristetyssä astiassa on $0{,}300\,\text{kg}$ vettä. Veteen lisätään $0{,}100\,\text{kg}$ pakastimesta otettua jäätä, jonka lämpötilaa ei tunneta. Koe toistetaan eri alkulämpötiloilla $T_\text{v}$, ja kustakin kokeesta mitataan lopputilan lämpötila $T$ (esimerkkiaineisto). Lämpöä ei siirry astiaan eikä ympäristöön.
a) Miltä taulukon riveiltä näkee, että jäätä jäi jäljelle? Perustele.
b) Laske jään alkulämpötila rivistä $T_\text{v} = 40\,{}^\circ\text{C}$.
c) Laske pienin veden alkulämpötila, jolla kaikki jää sulaa, ja tarkista, ovatko taulukon rivit sen kanssa sopusoinnussa. Anna c)-kohdan tulos celsiusasteina vastauslaatikkoon.
Lopputilan lämpötila eri veden alkulämpötiloilla (esimerkkiaineisto) $T_\text{v}\,({}^\circ\text{C})$ $T\,({}^\circ\text{C})$ 10 0,0 20 0,0 30 0,6 40 8,1 60 23,1 Vastaus
$29\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vesi $m_\text{v} = 0{,}300\,\text{kg}$, jää $m_\text{j} = 0{,}100\,\text{kg}$, jään lämpötila $T_\text{j}$ tuntematon; taulukon rivit $(T_\text{v}$; $T)$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_\text{j} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$
Kysytty
a) rivit, joilla jäätä jää jäljelle, b) jään alkulämpötila $T_\text{j}$, c) pienin veden alkulämpötila $T_\text{v,min}$, jolla kaikki jää sulaa, celsiusasteina
Periaate
Niin kauan kuin astiassa on jäätä ja vettä yhtä aikaa, lopputilan lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$. Siksi rivit, joilla $T = 0{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ovat rivejä, joilla jäätä jäi. Kun lopputilan lämpötila on yli $0\,{}^\circ\text{C}$, kaikki jää on sulanut, ja silloin energia säilyy: veden luovuttama lämpö kuluu jään lämmittämiseen, sulattamiseen ja sulamisveden lämmittämiseen. Rajalla $T_\text{v,min}$ veden luovuttama lämpö $c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v,min}$ on juuri yhtä suuri kuin jään tarvitsema $Q_\text{j} = c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s m_\text{j}$. Taulukon riveiltä $T_\text{v} = 10\,{}^\circ\text{C}$ ja $T_\text{v} = 20\,{}^\circ\text{C}$ lopputilan lämpötila on $0{,}0\,{}^\circ\text{C}$, joten niillä jäätä jäi. Riveillä $30$, $40$ ja $60\,{}^\circ\text{C}$ lämpötila on yli $0\,{}^\circ\text{C}$, joten niillä kaikki jää suli.
Kaava
Rivillä, jolla kaikki jää sulaa, on
$c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}$$= Q_\text{j} + c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j}) T$josta
$Q_\text{j}$$= c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v} - c_\text{v} (m_\text{v} + m_\text{j}) T$$\Delta T_\text{j}$$= \dfrac{Q_\text{j} - s m_\text{j}}{c_\text{j} m_\text{j}}$$T_\text{j} = -\Delta T_\text{j}$. Raja on
$T_\text{v,min}$$= \dfrac{Q_\text{j}}{c_\text{v} m_\text{v}}$Muunnokset
Lämpötilan muutokset ovat samat celsiusasteina ja kelvineinä, ja veden jäähtyminen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen on $T_\text{v}$ kelvineinä. Sulamislämpö $334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
Sijoitus
b)
$Q_\text{j}$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}300\,\text{kg} \cdot 40\,\text{K} - 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}400\,\text{kg} \cdot 8{,}1\,\text{K}$$= 50\,280\,\text{J} - 13\,575{,}6\,\text{J}$$= 36\,704{,}4\,\text{J}$Sulattamiseen kuluu
$s m_\text{j}$$= 334\,000 \cdot 0{,}100\,\text{J}$$= 33\,400\,\text{J}$joten
$\Delta T_\text{j}$$= \dfrac{36\,704{,}4\,\text{J} - 33\,400\,\text{J}}{2100 \cdot 0{,}100\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$$= 15{,}7\,\text{K}$eli $T_\text{j} = -15{,}7\,{}^\circ\text{C}$.
c)
$T_\text{v,min}$$= \dfrac{36\,704{,}4\,\text{J}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}300\,\text{kg}}$$= \dfrac{36\,704{,}4\,\text{J}}{1257\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$$= 29{,}2\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
a) Jäätä jäi riveillä $T_\text{v} = 10\,{}^\circ\text{C}$ ja $20\,{}^\circ\text{C}$, koska $T = 0{,}0\,{}^\circ\text{C}$ (rajatapaus, jossa kaikki jää juuri suli, tuottaisi saman lukeman, mutta kohta c) näyttää, että nämä rivit ovat alle rajan $29\,{}^\circ\text{C}$). b) Jään lämpötila oli noin $-16\,{}^\circ\text{C}$. c) Pienin veden alkulämpötila on $29\,{}^\circ\text{C}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska mitattu $T = 8{,}1\,{}^\circ\text{C}$ ja massat ovat kahdella tai kolmella numerolla. Taulukko on sopusoinnussa: $20\,{}^\circ\text{C} < 29\,{}^\circ\text{C}$ jäätä jää, ja $30\,{}^\circ\text{C} > 29\,{}^\circ\text{C}$ kaikki jää sulaa pienellä ylijäämällä ($T = 0{,}6\,{}^\circ\text{C}$).
Järkevyys
Tarkistus riviltä $30\,{}^\circ\text{C}$:
$T$$= \dfrac{4190 \cdot 0{,}300 \cdot 30 - 36\,704{,}4}{1676}\,{}^\circ\text{C}$$= \dfrac{37\,710 - 36\,704{,}4}{1676}\,{}^\circ\text{C}$$= 0{,}60\,{}^\circ\text{C}$mikä on taulukon arvo. Rivi $60\,{}^\circ\text{C}$ antaa saman $Q_\text{j}$:n:
$4190 \cdot 0{,}300 \cdot 60 - 4190 \cdot 0{,}400 \cdot 23{,}1$$= 75\,420 - 38\,715{,}6$$= 36\,704{,}4\,\text{J}$Jään tarvitsema lämpö on lähes kokonaan sulamista ($33\,400\,\text{J}$), koska jään lämmitys vie vain $3300\,\text{J}$.
Valokuvat
- A close-up shot of a glass of water with ice. Srattha Nualsate. lähde, Pexels License