Valon heijastuminen ja taittuminen

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-1Ydintehtävä

   Valo etenee etanolissa nopeudella $2{,}20 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on etanolin taitekerroin? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$.

   Tarkista
   Vastaus

   $n \approx 1{,}36$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   valon nopeus etanolissa $v = 2{,}20 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Kysytty

   etanolin taitekerroin $n$ (yksikötön)

   Periaate

   Aineen taitekerroin kertoo, kuinka monta kertaa hitaammin valo etenee aineessa kuin tyhjiössä. Kun valon nopeus aineessa tunnetaan, taitekerroin saadaan suoraan määritelmästään.

   Kaava

   $n = \dfrac{c}{v}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kumpikin nopeus on yksikössä $\text{m/s}$, joten yksiköt supistuvat.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{2{,}20 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}$

   $= 1{,}3636$

   Vastaus

   $n \approx 1{,}36$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.

   Järkevyys

   Taitekerroin on suurempi kuin $1$, kuten aineessa pitää, ja hieman suurempi kuin veden $1{,}33$. Taulukon mukaan etanolin taitekerroin on $1{,}36$.

2. Tehtävä 10-2Ydintehtävä

   Timantin taitekerroin on $2{,}42$. Kuinka suurella nopeudella valo etenee timantissa? Anna vastaus muodossa $\ldots \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ eli kirjoita vastaukseksi kerroin.

   · 10⁸ m/sTarkista
   Vastaus

   $v \approx 1{,}24 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   timantin taitekerroin $n = 2{,}42$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Kysytty

   valon nopeus timantissa $v$ muodossa $\ldots \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Periaate

   Taitekerroin on valon nopeuden suhde tyhjiössä ja aineessa, $n = c : v$. Kun taitekerroin tunnetaan, nopeus aineessa saadaan ratkaisemalla yhtälöstä $v$.

   Kaava

   $n = \dfrac{c}{v}$, josta $v = \dfrac{c}{n}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: taitekerroin on yksikötön, joten $v$ saadaan samassa yksikössä kuin $c$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{2{,}42}$

   $= 1{,}2397 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $v \approx 1{,}24 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Vastaukseksi $1{,}24$; kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimessa.

   Järkevyys

   Timantissa valo etenee alle puolella tyhjiön nopeudesta, koska taitekerroin on yli $2$, joten $3{,}00 : 2 = 1{,}5$, ja tulos on vähän tätä pienempi.

3. Tehtävä 10-3

   Valonsäde osuu tasopeiliin. Tulevan ja heijastuneen säteen välinen kulma on $76^\circ$. Kuinka suuri on tulokulma?

   °Tarkista
   Vastaus

   $\alpha_1 = 38^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tulevan ja heijastuneen säteen välinen kulma $76^\circ$, tasopeili

   Kysytty

   tulokulma $\alpha_1$ asteina

   Periaate

   Heijastuslain mukaan heijastuskulma on yhtä suuri kuin tulokulma, $\beta = \alpha_1$, kun molemmat mitataan normaalista. Normaali on tulevan ja heijastuneen säteen puolivälissä, joten säteiden välinen kulma on $\alpha_1 + \beta = 2\alpha_1$.

   Kaava

   $\alpha_1 + \beta = 76^\circ$ ja $\beta = \alpha_1$, joten $2\alpha_1 = 76^\circ$ ja $\alpha_1 = \dfrac{76^\circ}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kulmat ovat asteina.

   Sijoitus

   $\alpha_1$$= \dfrac{76^\circ}{2}$

   $= 38^\circ$

   Vastaus

   $\alpha_1 = 38^\circ$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmassa $76^\circ$.

   Järkevyys

   Heijastuskulma on myös $38^\circ$, ja $38^\circ + 38^\circ = 76^\circ$. Jos tulokulma mitattaisiin peilin pinnasta, se olisi $90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$; normaalista mitattu kulma on oikea, koska heijastuslaki koskee normaalista mitattuja kulmia.

4. Tehtävä 10-4

   Valonsäde tulee ilmasta ikkunalasiin tulokulmassa $60{,}0^\circ$. Ilman taitekerroin on $1{,}00$ ja lasin $1{,}52$. Kuinka suuri on taitekulma?

   °Tarkista
   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 34{,}7^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tulokulma $\alpha_1 = 60{,}0^\circ$, ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$, lasin taitekerroin $n_2 = 1{,}52$

   Kysytty

   taitekulma $\alpha_2$ asteina

   Periaate

   Valo siirtyy ilmasta lasiin, joten se taittuu rajapinnassa taittumislain mukaan. Lasi on optisesti tiheämpää, joten säde taittuu kohti normaalia.

   Kaava

   $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$, josta

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{n_1 \sin\alpha_1}{n_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksikköttömiä, ja kulma on asteina.

   Sijoitus

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{1{,}00 \cdot \sin 60{,}0^\circ}{1{,}52}$

   $= \dfrac{0{,}8660}{1{,}52}$

   $= 0{,}5698$

   joten $\alpha_2 = 34{,}73^\circ$

   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 34{,}7^\circ$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten tulokulmassa $60{,}0^\circ$ ja taitekertoimissa.

   Järkevyys

   Taitekulma on pienempi kuin tulokulma, joten säde taittui kohti normaalia, kuten optisesti tiheämpään aineeseen pitää. Tarkistus:

   $1{,}52 \cdot \sin 34{,}7^\circ$

   $\approx 0{,}866$

   $= \sin 60{,}0^\circ$
5. Tehtävä 10-5

   Altaan pohjassa olevasta lampusta lähtevä säde osuu vedenpintaan tulokulmassa $40{,}0^\circ$ ja jatkaa ilmaan. Veden taitekerroin on $1{,}33$ ja ilman $1{,}00$. Kuinka suuri on taitekulma ilmassa?

   °Tarkista
   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 58{,}7^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tulokulma vedessä $\alpha_1 = 40{,}0^\circ$, veden taitekerroin $n_1 = 1{,}33$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$

   Kysytty

   taitekulma ilmassa $\alpha_2$ asteina

   Periaate

   Säde siirtyy vedestä ilmaan, joten se taittuu taittumislain mukaan. Nyt tulopuolen aine on vesi, joten $n_1 = 1{,}33$. Ilma on optisesti harvempaa, joten säde taittuu normaalista poispäin.

   Kaava

   $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$, josta

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{n_1 \sin\alpha_1}{n_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksikköttömiä, ja kulma on asteina.

   Sijoitus

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{1{,}33 \cdot \sin 40{,}0^\circ}{1{,}00}$

   $= 1{,}33 \cdot 0{,}6428$

   $= 0{,}8549$

   joten $\alpha_2 = 58{,}749^\circ$

   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 58{,}7^\circ$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten tulokulmassa $40{,}0^\circ$ ja taitekertoimessa $1{,}33$.

   Järkevyys

   Taitekulma on suurempi kuin tulokulma, joten säde taittui normaalista poispäin, kuten vedestä ilmaan pitää. $\sin\alpha_2$ on alle $1$, joten taittunut säde on olemassa.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-6Ydintehtävä

   Laserin säde osuu ilmasta lasilevyn pintaan niin, että säteen ja pinnan välinen kulma on $25{,}0^\circ$. Lasin taitekerroin on $1{,}52$ ja ilman $1{,}00$.

   Kuinka suuri on taitekulma lasissa normaalista mitattuna?

   °Tarkista
   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 36{,}6^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   säteen ja lasin pinnan välinen kulma $25{,}0^\circ$, ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$, lasin taitekerroin $n_2 = 1{,}52$

   Kysytty

   taitekulma $\alpha_2$ normaalista mitattuna, asteina

   Periaate

   Taittumislaki koskee normaalista mitattuja kulmia. Normaali on kohtisuorassa pintaa vastaan, joten tulokulma on $90^\circ$ miinus säteen ja pinnan välinen kulma. Lasi on optisesti tiheämpää, joten säde taittuu kohti normaalia.

   Kaava

   $\alpha_1 = 90^\circ - 25{,}0^\circ$ ja $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$, josta

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{n_1 \sin\alpha_1}{n_2}$

   Muunnokset

   Kulma pinnasta muutetaan tulokulmaksi normaalista:

   $\alpha_1$$= 90^\circ - 25{,}0^\circ$

   $= 65{,}0^\circ$

   Sijoitus

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{1{,}00 \cdot \sin 65{,}0^\circ}{1{,}52}$

   $= \dfrac{0{,}9063}{1{,}52}$

   $= 0{,}5963$

   joten $\alpha_2 = 36{,}60^\circ$

   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 36{,}6^\circ$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten kulmassa $25{,}0^\circ$ ja taitekertoimissa.

   Järkevyys

   Taitekulma $36{,}6^\circ$ on pienempi kuin tulokulma $65{,}0^\circ$, joten säde taittui kohti normaalia. Jos kulma $25{,}0^\circ$ sijoitettaisiin suoraan, saataisiin $16{,}1^\circ$, ja virhe näkyisi siinä, että kulmat mitattaisiin väärästä suorasta.

2. Tehtävä 10-7Ydintehtävä

   Opiskelija suuntaa laserin säteen ilmasta muovikappaleeseen. Tulokulma on $40{,}0^\circ$ ja taitekulma $25{,}4^\circ$. Ilman taitekerroin on $1{,}00$.

   Kuinka suurella nopeudella valo etenee muovissa? Anna vastaus muodossa $\ldots \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ eli kirjoita vastaukseksi kerroin.

   · 10⁸ m/sTarkista
   Vastaus

   $v \approx 2{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tulokulma ilmassa $\alpha_1 = 40{,}0^\circ$, taitekulma muovissa $\alpha_2 = 25{,}4^\circ$, ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$, $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Kysytty

   valon nopeus muovissa $v$ muodossa $\ldots \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Periaate

   Taittumislaista saadaan muovin taitekerroin, koska molemmat kulmat ja ilman taitekerroin tunnetaan. Taitekerroin kertoo, kuinka monta kertaa hitaammin valo etenee muovissa kuin tyhjiössä, $n = c : v$.

   Kaava

   $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$, josta

   $n_2$$= \dfrac{n_1 \sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}$

   ja $v = \dfrac{c}{n_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kulmat ovat asteina, taitekertoimet yksikköttömiä, ja nopeus saadaan samassa yksikössä kuin $c$.

   Sijoitus

   $n_2$$= \dfrac{1{,}00 \cdot \sin 40{,}0^\circ}{\sin 25{,}4^\circ}$

   $= \dfrac{0{,}6428}{0{,}4289}$

   $= 1{,}4986$

   $v$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{1{,}4986}$

   $= 2{,}002 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $v \approx 2{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Vastaukseksi $2{,}00$; kolme merkitsevää numeroa kuten kulmissa.

   Järkevyys

   Taitekerroin $1{,}50$ on tavallisen muovin, kuten akryylin $1{,}49$, suuruinen. Valo etenee muovissa noin kaksi kolmasosaa tyhjiön nopeudesta, mikä sopii taitekertoimeen $1{,}5$.

3. Tehtävä 10-8

   Valo kulkee kohtisuoraan $2{,}0\,\text{cm}$ paksun ikkunalasin läpi. Lasin taitekerroin on $1{,}52$.

   Kuinka paljon kauemmin valolta kuluu lasin läpi kulkemiseen kuin saman matkan kulkemiseen ilmassa? Ilmassa valon nopeudeksi voi olettaa $3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Anna vastaus pikosekunteina, $1\,\text{ps} = 10^{-12}\,\text{s}$.

   psTarkista
   Vastaus

   $\Delta t \approx 35\,\text{ps}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lasin paksuus $d = 2{,}0\,\text{cm}$, lasin taitekerroin $n = 1{,}52$, valon nopeus ilmassa $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Kysytty

   kulkuaikojen erotus $\Delta t$ pikosekunteina

   Periaate

   Valo etenee lasissa nopeudella $v = c : n$, joten saman matkan kulkeminen kestää lasissa kauemmin kuin ilmassa. Kulkuaika on matka jaettuna nopeudella. Valo tulee kohtisuoraan, joten se ei taitu ja kulkee lasissa matkan $d$.

   Kaava

   $\Delta t$$= \dfrac{d}{v} - \dfrac{d}{c}$

   missä $v = \dfrac{c}{n}$, joten

   $\Delta t$$= \dfrac{n d}{c} - \dfrac{d}{c}$

   $= \dfrac{(n - 1)\, d}{c}$

   Muunnokset

   $d$$= 2{,}0\,\text{cm}$

   $= 2{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}020\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{ps} = 10^{-12}\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $\Delta t$$= \dfrac{(1{,}52 - 1) \cdot 0{,}020\,\text{m}}{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}$

   $= 3{,}467 \cdot 10^{-11}\,\text{s}$

   $= 34{,}67\,\text{ps}$

   Vastaus

   $\Delta t \approx 35\,\text{ps}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten paksuudessa $2{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Ilmassa matka kestää $0{,}020\,\text{m} : 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s} \approx 67\,\text{ps}$, ja lasissa noin $1{,}5$ kertaa kauemmin eli noin $100\,\text{ps}$. Erotus on noin puolet ilman kulkuajasta, kuten taitekertoimesta $1{,}52$ seuraa.

4. Tehtävä 10-9

   Kuvassa ilmasta tuleva laserin säde osuu lasisen puolisylinterin tasaisen pinnan keskipisteeseen astelevyn keskellä. Lasissa valo kulkee keskipisteestä suoraan kohti kaarevaa pintaa, joten se osuu siihen kohtisuoraan eikä taitu siinä. Lue kulmat astelevyltä ja määritä lasin taitekerroin, kun ilman taitekerroin on $1{,}00$.

   Tarkista
   Vastaus

   $n_2 \approx 1{,}53$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$; kulmat luetaan kuvan astelevyltä

   Kysytty

   lasin taitekerroin $n_2$

   Periaate

   Valo taittuu puolisylinterin tasaisessa pinnassa taittumislain mukaan. Lasissa valo kulkee keskipisteestä kohti kaarevaa pintaa ja osuu siihen kohtisuoraan, joten taitekulma näkyy suoraan astelevyllä. Kun tulokulma ja taitekulma tunnetaan, taitekerroin saadaan taittumislaista.

   Kuvaajan lukeminen

   Astelevyn kulmat mitataan katkoviivalla piirretystä normaalista. Tuleva säde kulkee ilmassa numeroiden $40$ ja $60$ puolivälissä olevan viivan kohdalta, joten $\alpha_1 = 50^\circ$. Lasissa säde kulkee numeroiden $20$ ja $40$ puolivälissä olevan viivan kohdalta, joten $\alpha_2 = 30^\circ$.

   Kaava

   $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$, josta

   $n_2$$= \dfrac{n_1 \sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kulmat ovat asteina, ja taitekertoimet ovat yksikköttömiä.

   Sijoitus

   $n_2$$= \dfrac{1{,}00 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 30^\circ}$

   $= \dfrac{0{,}7660}{0{,}5000}$

   $= 1{,}532$

   Vastaus

   $n_2 \approx 1{,}53$

   Kolme merkitsevää numeroa; astelevyltä luetut kulmat ovat noin asteen tarkkoja, joten kolmas numero on jo epävarma.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä taulukon ikkunalasin taitekerrointa $1{,}52$. Taitekulma on pienempi kuin tulokulma, joten taitekertoimen on oltava suurempi kuin $1$, kuten tuloksessa.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 10-10

   Kaksi tasopeiliä on kohtisuorassa toisiaan vastaan. Valonsäde osuu ensimmäiseen peiliin tulokulmassa $30{,}0^\circ$, heijastuu ja osuu sitten toiseen peiliin.

   Kuinka suuri on tulokulma toisessa peilissä? Säde kulkee peilien normaalien tasossa.

   °Tarkista
   Vastaus

   $60{,}0^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   peilit kohtisuorassa toisiaan vastaan, tulokulma ensimmäisessä peilissä $30{,}0^\circ$, säde peilien normaalien tasossa

   Kysytty

   tulokulma toisessa peilissä asteina

   Periaate

   Ensimmäisessä peilissä heijastuslain mukaan heijastuskulma on $30{,}0^\circ$, joten heijastunut säde muodostaa ensimmäisen peilin pinnan kanssa kulman $90^\circ - 30{,}0^\circ = 60{,}0^\circ$. Toinen peili on kohtisuorassa ensimmäistä vastaan, joten sen normaali on ensimmäisen peilin pinnan suuntainen. Siksi säteen ja toisen peilin normaalin välinen kulma on sama kuin säteen ja ensimmäisen peilin pinnan välinen kulma.

   Kaava

   $\beta_1 = \alpha_1$ ja $\alpha_\text{toinen} = 90^\circ - \beta_1$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kulmat ovat asteina.

   Sijoitus

   $\alpha_\text{toinen}$$= 90^\circ - 30{,}0^\circ$

   $= 60{,}0^\circ$

   Vastaus

   $60{,}0^\circ$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten tulokulmassa $30{,}0^\circ$.

   Järkevyys

   Tulokulmat $30{,}0^\circ$ ja $60{,}0^\circ$ ovat yhteensä $90^\circ$, kuten kohtisuorien peilien normaalien välisestä kulmasta seuraa. Kahden heijastuksen jälkeen säde palaa tulosuuntaansa vastakkaiseen suuntaan, ja samaan periaatteeseen perustuvat esimerkiksi polkupyörän heijastimet.

2. Tehtävä 10-11

   Uima-altaan pohjassa on lamppu $2{,}0\,\text{m}$:n syvyydellä. Lampusta lähtevä säde osuu vedenpintaan kohdassa, joka on vaakasuunnassa $1{,}5\,\text{m}$:n päässä lampun kohdalta, ja jatkuu ilmaan. Veden taitekerroin on $1{,}33$ ja ilman $1{,}00$.

   Kuinka suuren kulman säde muodostaa ilmassa pinnan normaalin kanssa?

   °Tarkista
   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 53^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lampun syvyys $h = 2{,}0\,\text{m}$, vaakasuora etäisyys $x = 1{,}5\,\text{m}$, veden taitekerroin $n_1 = 1{,}33$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$

   Kysytty

   säteen ja normaalin välinen kulma ilmassa $\alpha_2$ asteina

   Periaate

   Vedessä säde kulkee suoraan lampusta pintaan, joten tulokulma saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, jonka kateetit ovat syvyys ja vaakasuora etäisyys. Normaali on pystysuora, joten $\tan\alpha_1 = x : h$. Pinnassa säde taittuu taittumislain mukaan normaalista poispäin, koska ilma on optisesti harvempaa.

   Kaava

   $\tan\alpha_1 = \dfrac{x}{h}$ ja $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$, josta

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{n_1 \sin\alpha_1}{n_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: matkat ovat metreinä, ja niiden suhteessa yksiköt supistuvat.

   Sijoitus

   $\tan\alpha_1$$= \dfrac{1{,}5\,\text{m}}{2{,}0\,\text{m}}$

   $= 0{,}75$

   joten $\alpha_1 = 36{,}87^\circ$;

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{1{,}33 \cdot \sin 36{,}87^\circ}{1{,}00}$

   $= 1{,}33 \cdot 0{,}600$

   $= 0{,}798$

   joten $\alpha_2 = 52{,}94^\circ$

   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 53^\circ$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $2{,}0\,\text{m}$ ja etäisyydessä $1{,}5\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Kulma ilmassa on suurempi kuin kulma vedessä $36{,}9^\circ$, joten säde taittui normaalista poispäin. $\sin\alpha_2 = 0{,}798$ on alle $1$, joten säde pääsee ilmaan.

3. Tehtävä 10-12

   Valo etenee aineessa A nopeudella $2{,}25 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja aineessa B nopeudella $1{,}97 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Valonsäde tulee aineesta A aineeseen B tulokulmassa $40{,}0^\circ$. Kuinka suuri on taitekulma?

   °Tarkista
   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 34{,}2^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   valon nopeus aineessa A $v_1 = 2{,}25 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, aineessa B $v_2 = 1{,}97 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, tulokulma $\alpha_1 = 40{,}0^\circ$

   Kysytty

   taitekulma $\alpha_2$ asteina

   Periaate

   Taittumislaki $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ ja taitekertoimen määritelmä $n = c : v$ yhdessä antavat $\dfrac{\sin\alpha_1}{v_1} = \dfrac{\sin\alpha_2}{v_2}$: kulmien sinien suhde on sama kuin nopeuksien suhde. Valo hidastuu, kun se siirtyy aineeseen B, joten se taittuu kohti normaalia.

   Kaava

   $\dfrac{c}{v_1}\sin\alpha_1$$= \dfrac{c}{v_2}\sin\alpha_2$

   josta

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{v_2 \sin\alpha_1}{v_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeudet ovat samassa yksikössä, joten ne supistuvat.

   Sijoitus

   $\sin\alpha_2$$= \dfrac{1{,}97 \cdot 10^{8}\,\text{m/s} \cdot \sin 40{,}0^\circ}{2{,}25 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}$

   $= 0{,}8756 \cdot 0{,}6428$

   $= 0{,}5628$

   joten $\alpha_2 = 34{,}249^\circ$

   Vastaus

   $\alpha_2 \approx 34{,}2^\circ$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa ja tulokulmassa.

   Järkevyys

   Taitekulma on pienempi kuin tulokulma, kuten hitaampaan aineeseen siirryttäessä pitää. Taitekertoimet ovat $3{,}00 : 2{,}25 = 1{,}33$ (vesi) ja $3{,}00 : 1{,}97 = 1{,}52$ (lasi), ja niillä laskettuna

   $\sin\alpha_2$$= 1{,}33 \cdot 0{,}6428 : 1{,}52$

   $= 0{,}563$

   sama tulos.