Lenzin laki ja pyörrevirrat

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-1Ydintehtävä

   $40\,\text{g}$:n neodyymimagneetti putoaa pystysuorassa kupariputkessa tasaisella vauhdilla. Kuinka suuri jarruttava voima pyörrevirroista magneettiin kohdistuu?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}39\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   magneetin massa $m = 40\,\text{g}$, vauhti tasainen, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   pyörrevirtojen jarruttava voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Vauhti on tasainen, joten Newtonin ensimmäisen lain mukaan magneettiin vaikuttavien voimien summa on nolla. Magneettiin vaikuttavat vain paino alaspäin ja pyörrevirtojen jarruttava voima ylöspäin, joten jarruttava voima on yhtä suuri kuin paino.

   Kaava

   $F - m g = 0$, josta $F = m g$

   Muunnokset

   $m$$= 40\,\text{g}$

   $= 40 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}040\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $F$$= 0{,}040\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}3924\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}39\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $40\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Voima on sama kuin $40\,\text{g}$:n kappaleen paino, noin $0{,}4\,\text{N}$. Jos voima olisi pienempi, magneetti kiihtyisi; jos suurempi, se hidastuisi. Tasainen vauhti vaatii täsmälleen painon suuruisen voiman.

2. Tehtävä 6-2Ydintehtävä

   Kevyt kuparirengas riippuu langan varassa. Sauvamagneetin S-napa työnnetään nopeasti kohti rengasta. Kumpi napa syntyy renkaan magneetin puoleiselle sivulle, ja hylkiikö vai vetääkö rengas magneettia?

   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Renkaan magneetin puoleiselle sivulle syntyy S-napa, ja rengas hylkii magneettia.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   renkaan magneetin puoleisen sivun napa ja se, hylkiikö vai vetääkö rengas magneettia

   Periaate

   Lenzin lain mukaan induktiovirran oma magneettikenttä vastustaa sitä muutosta, joka virran synnyttää. Lähestyvä magneetti kasvattaa renkaan läpi kulkevaa vuota, joten renkaan kenttä vastustaa kasvua.

   Mallivastaus

   Kun S-napa lähestyy, renkaan läpi kulkeva vuo kasvaa. Induktiovirta kiertää niin, että renkaasta tulee magneetti, joka vastustaa magneetin tuloa: renkaan magneetin puoleiselle sivulle syntyy S-napa. Samannimiset navat hylkivät toisiaan, joten rengas hylkii magneettia ja heilahtaa poispäin siitä. Sama tapahtuisi, jos lähestyvä napa olisi N-napa; silloin renkaan magneetin puoleinen sivu olisi N-napa. Renkaan voima vastustaa siis aina magneetin liikettä, mikä vastaa energian säilymistä: magneettia työntävä tekee työtä, joka muuttuu renkaan sähköenergiaksi ja sisäenergiaksi.

3. Tehtävä 6-3

   Pyörrevirtajarru hidastaa $450\,\text{kg}$:n vuoristoratavaunua vaakasuoralla radalla vauhdista $22\,\text{m/s}$ vauhtiin $6{,}0\,\text{m/s}$. Muut vastukset jätetään huomiotta. Kuinka paljon energiaa jarrun kuparilevyjen sisäenergiaksi muuttuu? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $1{,}0 \cdot 10^2\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vaunun massa $m = 450\,\text{kg}$, alkuvauhti $v_1 = 22\,\text{m/s}$, loppuvauhti $v_2 = 6{,}0\,\text{m/s}$, rata vaakasuora

   Kysytty

   kuparilevyjen sisäenergiaksi muuttuva energia $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Rata on vaakasuora ja muut vastukset jätetään huomiotta, joten potentiaalienergia ei muutu ja ainoa energian muutos on liike-energian väheneminen. Energia säilyy: pyörrevirrat muuttavat koko liike-energian vähenemisen jarrun levyjen sisäenergiaksi.

   Kaava

   $Q$$= \dfrac{m v_1^2}{2} - \dfrac{m v_2^2}{2}$

   eli $Q = \dfrac{m (v_1^2 - v_2^2)}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q$$= \tfrac{1}{2} \cdot 450\,\text{kg} \cdot \left((22\,\text{m/s})^2 - (6{,}0\,\text{m/s})^2\right)$

   $= 225\,\text{kg} \cdot 448\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 100\,800\,\text{J}$

   $= 100{,}8\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $1{,}0 \cdot 10^2\,\text{kJ}$

   Eli noin $100\,\text{kJ}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten loppuvauhdissa $6{,}0\,\text{m/s}$ ja alkuvauhdissa $22\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Alkuhetken liike-energia on

   $\tfrac{1}{2} \cdot 450\,\text{kg} \cdot (22\,\text{m/s})^2$

   $\approx 109\,\text{kJ}$

   ja vaunulle jää vain noin $8\,\text{kJ}$, koska liike-energia on verrannollinen vauhdin neliöön. Jarru muuttaa siis suurimman osan liike-energiasta sisäenergiaksi, kuten pitääkin.

4. Tehtävä 6-4

   $25\,\text{g}$:n magneetti putoaa pystysuorassa alumiiniputkessa tasaisella vauhdilla $0{,}30\,\text{m/s}$. Kuinka suurella teholla putken sisäenergia kasvaa? Anna vastaus milliwatteina.

   mWTarkista
   Vastaus

   $74\,\text{mW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   magneetin massa $m = 25\,\text{g}$, tasainen vauhti $v = 0{,}30\,\text{m/s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   teho $P$, jolla putken sisäenergia kasvaa, milliwatteina

   Periaate

   Vauhti on tasainen, joten pyörrevirtojen jarruttava voima on yhtä suuri kuin paino, $F = m g$. Liike-energia ei muutu, joten jarruttavan voiman työ eli potentiaalienergian väheneminen muuttuu kokonaan putken sisäenergiaksi. Teho on voima kertaa vauhti.

   Kaava

   $F = m g$ ja $P = F v$, joten $P = m g v$

   Muunnokset

   $m$$= 25\,\text{g}$

   $= 25 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}025\,\text{kg}$

   Lopuksi $1\,\text{W} = 1000\,\text{mW}$.

   Sijoitus

   $P$$= 0{,}025\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}30\,\text{m/s}$

   $= 0{,}073575\,\text{W}$

   $= 73{,}575\,\text{mW}$

   Vastaus

   $74\,\text{mW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $25\,\text{g}$ ja vauhdissa $0{,}30\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Pyöreillä luvuilla paino on noin $0{,}25\,\text{N}$ ja $0{,}25\,\text{N} \cdot 0{,}3\,\text{m/s} \approx 0{,}075\,\text{W}$. Teho on paljon pienempi kuin taskulampun polttimon, joten putki ei tunnu lämpenevän.

5. Tehtävä 6-5

   Induktiolieden lasipinnan alla on kela, jossa kulkee nopeasti vaihteleva virta. Teräskattila lämpenee lieden päällä nopeasti, mutta lasipinta kattilan vieressä pysyy viileänä. Miksi kattila lämpenee mutta lasi ei?

   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kelan vaihtuva magneettikenttä synnyttää sähköä johtavaan kattilan pohjaan pyörrevirtoja, jotka lämmittävät sitä; lasi ei johda sähköä, joten siihen ei synny virtoja.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi induktioliesi lämmittää kattilan mutta ei lasipintaa

   Periaate

   Muuttuva magneettikenttä synnyttää pyörrevirtoja sähköä johtavaan kappaleeseen, ja virrat muuttavat sähköenergiaa johteen sisäenergiaksi. Virta tarvitsee johteen, jossa se voi kiertää suljettuna silmukkana.

   Mallivastaus

   Kelan vaihtovirta synnyttää magneettikentän, joka vaihtaa suuntaansa kymmeniätuhansia kertoja sekunnissa. Kentän läpäisemään kattilan teräspohjaan syntyy induktiovirtoja, pyörrevirtoja, jotka kiertävät suljettuina silmukoina pohjan metallissa. Pohjan resistanssin vuoksi virrat muuttavat sähköenergiaa pohjan sisäenergiaksi, ja pohja kuumenee ja lämmittää ruoan. Lasi on sähköeriste, joten siihen ei synny virtoja, vaikka kenttä kulkee sen läpi. Lasi lämpenee vain kuuman kattilan pohjan kohdalta, kun lämpöä johtuu kattilasta lasiin; kattilan vieressä se pysyy viileänä.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 6-6Ydintehtävä

   Magneetti, jonka massa on $20\,\text{g}$, pudotetaan $1{,}50\,\text{m}$:n pituiseen pystysuoraan kupariputkeen. Se tulee putken alapäästä ulos $10\,\text{s}$:n kuluttua ja putoaa lähes koko matkan tasaisella vauhdilla.

   Kuinka suurella teholla putken sisäenergia kasvaa putoamisen aikana? Anna vastaus milliwatteina.

   mWTarkista
   Vastaus

   $29\,\text{mW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   magneetin massa $m = 20\,\text{g}$, putken pituus $h = 1{,}50\,\text{m}$, putoamisaika $t = 10\,\text{s}$, vauhti lähes tasainen, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   putken sisäenergian keskimääräinen kasvuteho $P$ milliwatteina

   Periaate

   Vauhti on lähes koko matkan tasainen, joten se saadaan matkasta ja ajasta, ja jarruttava voima on yhtä suuri kuin paino. Liike-energia ei tasaisessa putoamisessa muutu, joten potentiaalienergia muuttuu pyörrevirtojen kautta putken sisäenergiaksi teholla $P = F v$.

   Kaava

   $v = \dfrac{h}{t}$, $F = m g$ ja $P = F v$, joten $P = m g v$

   Muunnokset

   $m$$= 20\,\text{g}$

   $= 20 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}020\,\text{kg}$

   Lopuksi $1\,\text{W} = 1000\,\text{mW}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{1{,}50\,\text{m}}{10\,\text{s}}$

   $= 0{,}15\,\text{m/s}$

   $P$$= 0{,}020\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}15\,\text{m/s}$

   $= 0{,}02943\,\text{W}$

   $= 29{,}43\,\text{mW}$

   Vastaus

   $29\,\text{mW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $20\,\text{g}$ ja ajassa $10\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tarkistus energian kautta: sisäenergiaksi muuttuu

   $Q$$= m g h - \tfrac{1}{2} m v^2$

   $= 0{,}2943\,\text{J} - 0{,}0002\,\text{J}$

   $\approx 0{,}294\,\text{J}$

   ja $0{,}294\,\text{J} : 10\,\text{s} \approx 0{,}029\,\text{W}$. Tulokset ovat samat.

2. Tehtävä 6-7Ydintehtävä

   Suljetussa käämissä on $200$ kierrosta, ja sen resistanssi on $15\,\Omega$. Kun magneetti työnnetään käämiin, käämin läpi kulkeva magneettivuo kasvaa tasaisesti $0{,}20\,\text{s}$:ssa nollasta arvoon $3{,}0\,\text{mWb}$.

   Kuinka suuri induktiovirta käämissä kulkee?

   ATarkista
   Vastaus

   $0{,}20\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kierrosten lukumäärä $N = 200$, resistanssi $R = 15\,\Omega$, vuon muutos $\Delta\Phi = 3{,}0\,\text{mWb}$, aika $\Delta t = 0{,}20\,\text{s}$

   Kysytty

   induktiovirta $I$ ampeereina

   Periaate

   Vuo muuttuu tasaisesti, joten induktiolain mukaan käämiin syntyy vakiosuuruinen induktiojännite. Käämi on suljettu, joten jännite ajaa käämin resistanssin läpi virran Ohmin lain mukaan. Lenzin lain mukaan virran kenttä vastustaa vuon kasvua, eli käämin magneetin puoleiseen päähän syntyy samanniminen napa kuin lähestyvä napa. Suuruus lasketaan ilman miinusmerkkiä.

   Kaava

   $e = N \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ ja $I = \dfrac{e}{R}$, joten $I = \dfrac{N \Delta\Phi}{R \Delta t}$

   Muunnokset

   $\Delta\Phi$$= 3{,}0\,\text{mWb}$

   $= 3{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{Wb}$

   $= 0{,}0030\,\text{Wb}$

   Sijoitus

   $e$$= 200 \cdot \dfrac{0{,}0030\,\text{Wb}}{0{,}20\,\text{s}}$

   $= 3{,}0\,\text{V}$

   $I$$= \dfrac{3{,}0\,\text{V}}{15\,\Omega}$

   $= 0{,}20\,\text{A}$

   Vastaus

   $0{,}20\,\text{A}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Yksiköt:

   $\tfrac{\text{Wb}}{\text{s}}$$= \tfrac{\text{V}\cdot\text{s}}{\text{s}}$

   $= \text{V}$

   $\tfrac{\text{V}}{\Omega} = \text{A}$. Muutaman voltin jännite ja kymmenesosa-ampeerin virta sopivat käsin työnnettyyn magneettiin.

3. Tehtävä 6-8

   Kupariputkessa putoavaan $20\,\text{g}$:n magneettiin kohdistuu pyörrevirroista jarruttava voima, joka on verrannollinen magneetin vauhtiin: $F_\text{j} = k v$, missä $k = 1{,}3\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}}$. Kuinka suureksi magneetin vauhti lopulta asettuu?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}15\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   magneetin massa $m = 20\,\text{g}$, jarruttava voima $F_\text{j} = k v$, missä $k = 1{,}3\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   magneetin loppuvauhti $v_\text{t}$ metreinä sekunnissa

   Periaate

   Aluksi magneetti kiihtyy, ja jarruttava voima kasvaa vauhdin mukana. Vauhti lakkaa kasvamasta, kun jarruttava voima on kasvanut yhtä suureksi kuin paino: silloin voimien summa on nolla, ja magneetti putoaa tasaisella vauhdilla.

   Kaava

   $k v_\text{t} = m g$, josta $v_\text{t} = \dfrac{m g}{k}$

   Muunnokset

   $m$$= 20\,\text{g}$

   $= 20 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}020\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $v_\text{t}$$= \dfrac{0{,}020\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{1{,}3\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}}}$

   $= \dfrac{0{,}1962\,\text{N}}{1{,}3\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}}}$

   $= 0{,}1509\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}15\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kertoimessa $1{,}3\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}}$ ja massassa $20\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Yksikkö: $\tfrac{\text{N}}{\text{N}\cdot\text{s}/\text{m}} = \text{m/s}$. Vauhdilla $0{,}15\,\text{m/s}$ metrin putki kestää noin $7\,\text{s}$, mikä on tyypillinen kupariputken pudotuskokeen aika. Raskaampi magneetti putoaisi nopeammin.

4. Tehtävä 6-9

   Junan pyörrevirtajarru kohdistaa junaan $60\,\text{kN}$:n jarruttavan voiman, kun junan vauhti on $250\,\text{km/h}$.

   Kuinka suurella teholla jarru muuttaa junan liike-energiaa jarrun ja kiskon sisäenergiaksi tällä hetkellä? Anna vastaus megawatteina.

   MWTarkista
   Vastaus

   $4{,}2\,\text{MW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jarruttava voima $F = 60\,\text{kN}$, junan vauhti $v = 250\,\text{km/h}$

   Kysytty

   teho $P$, jolla liike-energia muuttuu sisäenergiaksi, megawatteina

   Periaate

   Jarruttava voima tekee työtä junan liikettä vastaan. Ajassa $\Delta t$ juna kulkee matkan $v \Delta t$, ja voiman työ on $F v \Delta t$, joten työn eli energian muutoksen teho on $P = F v$. Pyörrevirrat muuttavat tämän energian jarrun ja kiskon sisäenergiaksi.

   Kaava

   $P = F v$

   Muunnokset

   $F$$= 60\,\text{kN}$

   $= 60 \cdot 1000\,\text{N}$

   $= 60\,000\,\text{N}$

   $v$$= 250\,\text{km/h}$

   $= 250 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 69{,}44\,\text{m/s}$

   Lopuksi $1\,\text{MW} = 10^{6}\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 60\,000\,\text{N} \cdot 69{,}44\,\text{m/s}$

   $= 4\,166\,667\,\text{W}$

   $= 4{,}1667\,\text{MW}$

   Vastaus

   $4{,}2\,\text{MW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $60\,\text{kN}$.

   Järkevyys

   Teho on suuri, satojen sähkökiukaiden verran, mikä sopii suurella vauhdilla kulkevan raskaan junan jarruun. Kun junan vauhti pienenee, myös teho pienenee, sillä se on verrannollinen vauhtiin ja pyörrevirtajarrun voimakin pienenee.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 6-10

   Fysiikan tunnilla $20\,\text{g}$:n magneetti pudotetaan $50$ kertaa peräkkäin $1{,}00\,\text{m}$:n pituisen pystysuoran kupariputken läpi. Joka kerta se tulee alapäästä ulos vauhdilla $0{,}15\,\text{m/s}$. Putken massa on $0{,}35\,\text{kg}$, ja kuparin ominaislämpökapasiteetti on $385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$.

   Kuinka paljon putken lämpötila nousee, jos lämpöä ei siirry ympäristöön?

   KTarkista
   Vastaus

   $0{,}073\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   magneetin massa $m = 20\,\text{g}$, putken pituus $h = 1{,}00\,\text{m}$, pudotuksia $n = 50$, vauhti lopussa $v = 0{,}15\,\text{m/s}$, putken massa $m_\text{p} = 0{,}35\,\text{kg}$, kuparin ominaislämpökapasiteetti $c = 385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   putken lämpötilan nousu $\Delta T$ kelvineinä

   Periaate

   Energia säilyy. Jokaisessa pudotuksessa magneetin potentiaalienergian vähenemisestä se osa, joka ei jää liike-energiaksi, muuttuu pyörrevirtojen kautta putken sisäenergiaksi. Lämpöä ei siirry ympäristöön, joten koko tämä energia nostaa putken lämpötilaa, ja kuparin olomuoto ei muutu.

   Kaava

   $Q$$= n \left(m g h - \dfrac{m v^2}{2}\right)$

   $Q = c m_\text{p} \Delta T$, josta

   $\Delta T$$= \dfrac{n \left(m g h - \frac{m v^2}{2}\right)}{c m_\text{p}}$

   Muunnokset

   $m$$= 20\,\text{g}$

   $= 20 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}020\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $m g h - \tfrac{1}{2} m v^2$$= 0{,}020\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}00\,\text{m} - \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}020\,\text{kg} \cdot (0{,}15\,\text{m/s})^2$

   $= 0{,}19620\,\text{J} - 0{,}000225\,\text{J}$

   $= 0{,}195975\,\text{J}$

   joten

   $Q$$= 50 \cdot 0{,}195975\,\text{J}$

   $= 9{,}79875\,\text{J}$

   $\Delta T$$= \dfrac{9{,}79875\,\text{J}}{385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}35\,\text{kg}}$

   $= 0{,}07272\,\text{K}$

   Vastaus

   $0{,}073\,\text{K}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten putken massassa $0{,}35\,\text{kg}$ ja magneetin massassa $20\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Liike-energia on vain noin $0{,}1\,\%$ potentiaalienergiasta, joten arvio $50 \cdot 0{,}2\,\text{J} = 10\,\text{J}$ on lähes tarkka. Kymmenen joulea nostaa $0{,}35\,\text{kg}$:n kupariputken lämpötilaa alle kymmenesosan kelvinistä, joten lämpenemistä ei huomaa kädellä, vaikka energia on mennyt putkeen.

2. Tehtävä 6-11

   Alumiinilevystä tehty heiluri heilahtaa voimakkaan hevosenkenkämagneetin napojen välistä. Ehjä levy pysähtyy jo muutaman heilahduksen jälkeen. Kun samankokoiseen levyyn on sahattu syviä rakoja niin, että se on kamman muotoinen, levy heiluu napojen välissä pitkään. Selitä ero.

   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Ehjään levyyn syntyy napojen välissä suuria pyörrevirtoja, jotka Lenzin lain mukaan jarruttavat liikettä ja muuttavat heilurin mekaanista energiaa sisäenergiaksi; raot katkaisevat virtasilmukat, joten kampalevyssä virrat ja jarrutus jäävät pieniksi.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi ehjä alumiinilevy pysähtyy magneetin napojen välissä nopeasti mutta kamman muotoinen levy heiluu pitkään

   Periaate

   Liikkuvan levyn läpi kulkeva magneettivuo muuttuu, kun levy tulee napojen väliin ja lähtee sieltä. Muutos synnyttää johtavaan levyyn pyörrevirtoja, jotka Lenzin lain mukaan vastustavat liikettä. Virta tarvitsee suljetun silmukan.

   Mallivastaus

   Kun ehjä levy heilahtaa napojen väliin, sen napojen välissä olevan osan läpi kulkeva vuo muuttuu, ja levyyn syntyy suuria pyörrevirtoja, jotka kiertävät laajoina silmukoina levyn metallissa. Lenzin lain mukaan niiden kenttä vastustaa muutosta, joten magneetti jarruttaa levyä aina, kun levy liikkuu napojen välissä, oli se tulossa tai lähdössä. Pyörrevirrat muuttavat heilurin mekaanista energiaa levyn sisäenergiaksi, ja heilahdukset vaimenevat nopeasti. Kampalevyssä raot katkaisevat suuret virtasilmukat: virrat voivat kiertää vain kapeiden piikkien sisällä, joten ne ja niiden jarruttava voima jäävät pieniksi. Mekaanista energiaa muuttuu sisäenergiaksi vähemmän, ja levy heiluu pitkään. Sama periaate on muuntajan levyistä kootussa rautasydämessä.

3. Tehtävä 6-12

   Kaksi vaakasuoraa metallikiskoa on $0{,}40\,\text{m}$:n etäisyydellä toisistaan, ja niiden päät on yhdistetty vastuksella, jonka resistanssi on $0{,}20\,\Omega$. Kiskojen alueella on pystysuora magneettikenttä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}50\,\text{T}$.

   Kiskojen päällä poikittain oleva metallitanko liikkuu kiskoja pitkin vauhdilla $3{,}0\,\text{m/s}$. Kiskojen ja tangon resistanssi jätetään huomiotta.

   Kuinka suuri jarruttava voima magneettikenttä kohdistaa tankoon?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}60\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiskojen väli eli tangon pituus kentässä $l = 0{,}40\,\text{m}$, resistanssi $R = 0{,}20\,\Omega$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}50\,\text{T}$, tangon vauhti $v = 3{,}0\,\text{m/s}$

   Kysytty

   tankoon kohdistuva jarruttava voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Liikkuvaan tankoon syntyy luvun Sähkömagneettinen induktio mukaan jännite $e = v B l$, koska kenttä on kohtisuorassa sekä tankoa että sen nopeutta vastaan. Tanko, kiskot ja vastus muodostavat suljetun piirin, joten jännite ajaa virran $I = e : R$. Kenttä kohdistaa virtajohtimeen voiman $F = I l B$ (luku Voima virtajohtimeen: sähkömoottori ja kaiutin), ja Lenzin lain mukaan se vastustaa tangon liikettä.

   Kaava

   $e = v B l$, $I = \dfrac{e}{R}$ ja $F = I l B$, joten $F = \dfrac{(B l)^2 v}{R}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä.

   Sijoitus

   $e$$= 3{,}0\,\text{m/s} \cdot 0{,}50\,\text{T} \cdot 0{,}40\,\text{m}$

   $= 0{,}60\,\text{V}$

   $I$$= \dfrac{0{,}60\,\text{V}}{0{,}20\,\Omega}$

   $= 3{,}0\,\text{A}$

   $F$$= 3{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}40\,\text{m} \cdot 0{,}50\,\text{T}$

   $= 0{,}60\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}60\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa. Voima osoittaa tangon nopeutta vastaan.

   Järkevyys

   Energiatasapaino: jarruttavan voiman teho on

   $F v$$= 0{,}60\,\text{N} \cdot 3{,}0\,\text{m/s}$

   $= 1{,}8\,\text{W}$

   ja vastuksessa sähköenergia muuttuu sisäenergiaksi teholla

   $R I^2$$= 0{,}20\,\Omega \cdot (3{,}0\,\text{A})^2$

   $= 1{,}8\,\text{W}$

   Tehot ovat yhtä suuret, kuten energian säilyminen ja Lenzin laki edellyttävät.