Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-1Ydintehtävä

   Kivi pudotetaan levosta sillalta, joka on $12{,}0\,\text{m}$ vedenpinnan yläpuolella. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Millä nopeudella kivi osuu veteen?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $15{,}3\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pudotuskorkeus $h = 12{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   nopeus $v$ veden pinnassa yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Kiveen vaikuttaa vain paino, joten vain paino tekee työtä ja mekaaninen energia säilyy. Nollataso valitaan vedenpintaan: alussa kivellä on vain potentiaalienergiaa, lopussa vain liike-energiaa.

   Kaava

   $mgh = \tfrac{1}{2} mv^2$, joten $v = \sqrt{2gh}$

   Muunnokset

   Korkeus on metreinä, joten muunnoksia ei tarvita. Massaa ei tarvita, koska se supistuu pois.

   Sijoitus

   $v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 12{,}0\,\text{m}}$

   $= \sqrt{235{,}44\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 15{,}34\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $15{,}3\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $12{,}0\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Arvio pyöreillä luvuilla:

   $\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 12}\,\text{m/s}$

   $= \sqrt{240}\,\text{m/s}$

   $\approx 15{,}5\,\text{m/s}$

   joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Nopeus on noin $55\,\text{km/h}$, mikä sopii noin nelikerroksisen talon korkuiseen pudotukseen.

2. Tehtävä 11-2Ydintehtävä

   Rullalautailija liikkuu rampin pohjalla nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$ ja nousee rampin toista reunaa ylös potkaisematta. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka korkealle rampin pohjasta lautailija nousee?

   mTarkista
   Vastaus

   $1{,}8\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus pohjalla $v = 6{,}0\,\text{m/s}$, nopeus ylimmässä kohdassa $0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   nousukorkeus $h$ rampin pohjasta yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Lautailijaan vaikuttavat paino ja rampin tukivoima. Tukivoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä, joten mekaaninen energia säilyy. Nollataso on rampin pohjalla: liike-energia muuttuu kokonaan potentiaalienergiaksi, kun lautailija pysähtyy ylimmässä kohdassa.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv^2 = mgh$, joten $h = \dfrac{v^2}{2 \cdot g}$

   Muunnokset

   Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{(6{,}0\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{36\,\text{m}^2/\text{s}^2}{19{,}62\,\text{m/s}^2}$

   $= 1{,}835\,\text{m}$

   Vastaus

   $1{,}8\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $6{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Kun pudotaan $1{,}8\,\text{m}$, nopeus on $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}835}\,\text{m/s} = 6{,}0\,\text{m/s}$, joten lasku toimii myös takaperin. Todellisuudessa kitka ja ilmanvastus pienentävät nousukorkeutta hieman.

3. Tehtävä 11-3

   Laatikkoa työnnetään vaakasuoralla lattialla $4{,}0\,\text{m}$:n matka. Lattian kitkavoima laatikkoon on $35\,\text{N}$. Kuinka suuren työn kitkavoima tekee laatikkoon? Ilmoita työ etumerkkeineen.

   JTarkista
   Vastaus

   $-140\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 4{,}0\,\text{m}$, kitkavoima $F_\mu = 35\,\text{N}$ liikettä vastaan

   Kysytty

   kitkavoiman tekemä työ $W$ etumerkkeineen yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Kitkavoima osoittaa liikettä vastaan, joten sen liikkeen suuntainen komponentti on $-F_\mu$. Voima, joka vastustaa liikettä, tekee negatiivista työtä.

   Kaava

   $W = F_\parallel s$, ja $F_\parallel = -F_\mu$, joten $W = -F_\mu s$

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja matka metreinä, joten muunnoksia ei tarvita; $1\,\text{N}\cdot\text{m} = 1\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= -35\,\text{N} \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= -140\,\text{J}$

   Vastaus

   $-140\,\text{J}$

   Eli $-1{,}4 \cdot 10^2\,\text{J}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten matkassa $4{,}0\,\text{m}$ ja voimassa $35\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Työ on negatiivinen, koska kitka vähentää laatikon energiaa: $140\,\text{J}$ muuttuu laatikon ja lattian sisäenergiaksi. Suuruusluokka: noin $40\,\text{N}$ kertaa $4\,\text{m}$ on noin $160\,\text{J}$.

4. Tehtävä 11-4

   Pikajuoksija, jonka massa on $65\,\text{kg}$, kiihdyttää lähdössä levosta nopeuteen $8{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka suuren työn juoksijaan vaikuttava kokonaisvoima tekee kiihdytyksen aikana? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $2{,}1\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 65\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 0$, loppunopeus $v_2 = 8{,}0\,\text{m/s}$

   Kysytty

   kokonaisvoiman tekemä työ $W_\text{kok}$ yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Kokonaisvoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin liike-energian muutos. Kokonaisvoimaa tai matkaa ei tarvitse tietää, koska alku- ja loppunopeus kertovat liike-energian muutoksen.

   Kaava

   $W_\text{kok}$$= \Delta E_\text{k}$

   $= \tfrac{1}{2} mv_2^2 - \tfrac{1}{2} mv_1^2$

   ja $v_1 = 0$, joten $W_\text{kok} = \tfrac{1}{2} mv_2^2$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $W_\text{kok}$$= \tfrac12 \cdot 65\,\text{kg} \cdot (8{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 2080\,\text{J}$

   Vastaus

   $2{,}1\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $65\,\text{kg}$ ja nopeudessa $8{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Työ on positiivinen, koska juoksijan liike-energia kasvaa. Arvio: $\tfrac12 \cdot 60 \cdot 64\,\text{J} \approx 1900\,\text{J}$, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa.

5. Tehtävä 11-5

   Hiihtäjän mekaaninen energia on mäen päällä $12{,}4\,\text{kJ}$ ja mäen alla $9{,}8\,\text{kJ}$. Kuinka suuren työn kitka ja ilmanvastus tekevät yhteensä hiihtäjään laskun aikana? Ilmoita työ etumerkkeineen.

   kJTarkista
   Vastaus

   $-2{,}6\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mekaaninen energia mäen päällä $E_{\text{mek},1} = 12{,}4\,\text{kJ}$ ja mäen alla $E_{\text{mek},2} = 9{,}8\,\text{kJ}$

   Kysytty

   kitkan ja ilmanvastuksen yhdessä tekemä työ $W_\text{muut}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Energiaperiaatteen mukaan mekaanisen energian muutos on yhtä suuri kuin muiden voimien kuin painon tekemä työ. Tässä muut voimat ovat kitka ja ilmanvastus; lumen tukivoima ei tee työtä, koska se on kohtisuorassa liikettä vastaan.

   Kaava

   $E_{\text{mek},1} + W_\text{muut} = E_{\text{mek},2}$, joten $W_\text{muut} = E_{\text{mek},2} - E_{\text{mek},1}$

   Muunnokset

   Molemmat energiat ovat kilojouleina, joten vastaus saadaan suoraan kilojouleina.

   Sijoitus

   $W_\text{muut}$$= 9{,}8\,\text{kJ} - 12{,}4\,\text{kJ}$

   $= -2{,}6\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $-2{,}6\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska energiat tunnetaan kymmenesosakilojoulen tarkkuudella ja niiden erotus on $2{,}6\,\text{kJ}$.

   Järkevyys

   Työ on negatiivinen, koska kitka ja ilmanvastus vastustavat liikettä ja mekaaninen energia pienenee. Hiihtäjä menetti noin viidenneksen mekaanisesta energiastaan, mikä on uskottavaa laskettelussa.

6. Tehtävä 11-6

   Kaksi lasta laskee levosta liukumäkeä alas. Toisen liukumäki on jyrkkä ja lyhyt, toisen loiva ja pitkä, mutta molempien lähtökorkeus on sama. Lasten massat ovat yhtä suuret, ja kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Mitä lasten nopeuksista liukumäen alapäässä voi päätellä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Nopeudet ovat yhtä suuret, koska potentiaalienergian muutos on sama.
   • Jyrkän mäen lapsi on nopeampi, koska hänen potentiaalienergiansa muuttuu nopeammin.
   • Loivan mäen lapsi on nopeampi, koska hän kiihtyy pidemmän aikaa.
   • Jyrkän mäen lapsi on nopeampi, koska hänen kiihtyvyytensä on suurempi.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Nopeudet ovat yhtä suuret, koska potentiaalienergian muutos on sama.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten lasten nopeudet liukumäen alapäässä suhtautuvat toisiinsa

   Periaate

   Kumpaankin lapseen vaikuttavat paino ja liukumäen tukivoima. Tukivoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä, ja kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia säilyy. Painon tekemä työ eli potentiaalienergian muutos riippuu vain korkeuserosta, ei radan muodosta eikä pituudesta.

   Mallivastaus

   Molemmat lapset lähtevät levosta samalta korkeudelta ja heidän massansa on sama, joten alun potentiaalienergia $mgh$ on sama. Alapäässä se on kokonaan muuttunut liike-energiaksi, $mgh = \tfrac{1}{2} mv^2$, joten $v = \sqrt{2gh}$ on molemmilla sama. Jyrkässä mäessä kiihtyvyys on suurempi mutta matka lyhyempi, ja loivassa kiihtyvyys on pienempi mutta matka pidempi; nämä tasoittavat toisensa, ja nopeudet ovat alapäässä yhtä suuret. Vain kuluva aika on erilainen.

7. Tehtävä 11-7

   Luistelija, jonka massa on $58{,}0\,\text{kg}$, liukuu jäällä nopeudella $7{,}50\,\text{m/s}$. Kitka ja ilmanvastus hidastavat liikettä, ja luistelijan nopeus pienenee arvoon $4{,}50\,\text{m/s}$.

   Kuinka suuren työn luistelijaan vaikuttava kokonaisvoima tekee hidastumisen aikana? Ilmoita työ etumerkkeineen kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $-1{,}04\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 58{,}0\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 7{,}50\,\text{m/s}$, loppunopeus $v_2 = 4{,}50\,\text{m/s}$

   Kysytty

   kokonaisvoiman tekemä työ $W_\text{kok}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Kokonaisvoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin liike-energian muutos. Kokonaisvoimaa ja matkaa ei tarvitse tietää, koska alku- ja loppunopeus kertovat liike-energian muutoksen.

   Kaava

   $W_\text{kok}$$= \Delta E_\text{k}$

   $= \tfrac{1}{2} mv_2^2 - \tfrac{1}{2} mv_1^2$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   Ensin

   $v_2^2 - v_1^2$$= (20{,}25 - 56{,}25)\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= -36{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   joten

   $W_\text{kok}$$= \tfrac12 \cdot 58{,}0\,\text{kg} \cdot (-36{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2)$

   $= -1044\,\text{J}$

   $= -1{,}044\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $-1{,}04\,\text{kJ}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $58{,}0\,\text{kg}$ ja nopeuksissa.

   Järkevyys

   Työ on negatiivinen, koska kitka ja ilmanvastus vastustavat liikettä ja liike-energia pienenee. Alussa liike-energia on $\tfrac12 \cdot 58 \cdot 7{,}50^2\,\text{J} \approx 1630\,\text{J}$ ja lopussa $\tfrac12 \cdot 58 \cdot 4{,}50^2\,\text{J} \approx 590\,\text{J}$; erotus on noin $-1040\,\text{J}$.

8. Tehtävä 11-8

   Oppilas ratkaisee tehtävän: "Laatikko liukuu kaltevaa lankkua alas $5{,}0\,\text{m}$:n matkan. Lankun päiden korkeusero on $1{,}5\,\text{m}$, ja liikettä vastustava kitkavoima on $8{,}0\,\text{N}$. Kuinka suuren työn kitka tekee laatikkoon?"

   Oppilaan ratkaisu: $W = -F_\mu h = -8{,}0\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = -12\,\text{J}$.

   Mikä oppilaan ratkaisussa on virheellistä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kitkan työ on nolla, koska tukivoima kumoaa kitkan.
   • Kitkavoima pitää kertoa laatikon painolla eikä korkeuserolla.
   • Etumerkki on väärä, koska kitka kasvattaa laatikon mekaanista energiaa.
   • Kitkan työ lasketaan kuljetulla matkalla eikä korkeuserolla.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kitkan työ lasketaan kuljetulla matkalla eikä korkeuserolla.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä oppilaan ratkaisussa on virheellistä

   Periaate

   Voiman tekemä työ on $W = F_\parallel s$, missä $s$ on kuljettu matka voiman suunnassa. Kitkavoima osoittaa koko matkan ajan liikettä vastaan, joten kitkan työ on $-F_\mu s$, jossa $s$ on matka pitkin lankkua. Korkeusero kuuluu painon työhön eli potentiaalienergian muutokseen, ei kitkan työhön.

   Mallivastaus

   Oppilas on kertonut kitkavoiman lankun päiden korkeuserolla, vaikka kitkan työhön tarvitaan laatikon kulkema matka pitkin lankkua. Kitkavoima toimii koko lankun pituudella, joten oikea työ on $W = -8{,}0\,\text{N} \cdot 5{,}0\,\text{m} = -40\,\text{J}$. Etumerkki $-$ oli oikein, koska kitka vastustaa liikettä; vain matka oli väärä. Oppilaan tulos $-12\,\text{J}$ on liian pieni.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-9Ydintehtävä

   Pallo heitetään suoraan alaspäin $15{,}0\,\text{m}$:n korkeudella olevalta parvekkeelta nopeudella $8{,}00\,\text{m/s}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Millä nopeudella pallo osuu maahan?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $18{,}9\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeus $h = 15{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 8{,}00\,\text{m/s}$ alaspäin, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   nopeus $v_2$ maassa yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Heiton jälkeen palloon vaikuttaa vain paino, joten mekaaninen energia säilyy. Nollataso valitaan maahan: alussa pallolla on sekä liike-energiaa että potentiaalienergiaa, lopussa vain liike-energiaa. Liike-energia ei riipu nopeuden suunnasta.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh = \tfrac{1}{2} mv_2^2$, joten $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   Ensin

   $v_1^2$$= (8{,}00\,\text{m/s})^2$

   $= 64{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $2gh$$= 2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$

   $= 294{,}3\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   joten

   $v_2$$= \sqrt{(64{,}0 + 294{,}3)\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 18{,}93\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $18{,}9\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $15{,}0\,\text{m}$ ja nopeudessa $8{,}00\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Pelkkä pudotus antaisi $\sqrt{294{,}3}\,\text{m/s} \approx 17{,}2\,\text{m/s}$, ja heitto lisää nopeutta, joten tuloksen pitää olla tätä suurempi. Nopeudet eivät kuitenkaan summaudu: $18{,}9\,\text{m/s}$ on paljon vähemmän kuin $8{,}0 + 17{,}2\,\text{m/s}$, koska energiat summautuvat, eivät nopeudet.

2. Tehtävä 11-10Ydintehtävä

   Auto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, ajaa vaakasuoralla tiellä nopeudella $72\,\text{km/h}$. Kuljettaja jarruttaa, ja tien kitkavoima renkaisiin on jarrutuksen aikana $6{,}0\,\text{kN}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kuinka pitkä on auton jarrutusmatka?

   mTarkista
   Vastaus

   $40\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1200\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 72\,\text{km/h}$, loppunopeus $v_2 = 0$, kitkavoima $F_\mu = 6{,}0\,\text{kN}$ liikettä vastaan; tie on vaakasuora ja ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   jarrutusmatka $s$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Tie on vaakasuora, joten potentiaalienergia ei muutu. Paino ja tien tukivoima ovat kohtisuorassa liikettä vastaan eivätkä tee työtä. Ainoa työtä tekevä voima on kitka, joka on samalla kokonaisvoima, joten sen työ on liike-energian muutos.

   Kaava

   $-F_\mu s = 0 - \tfrac{1}{2} mv_1^2$, joten $s = \dfrac{mv_1^2}{2F_\mu}$

   Muunnokset

   $v_1$$= 72\,\text{km/h}$

   $= 72 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 20\,\text{m/s}$

   $F_\mu$$= 6{,}0\,\text{kN}$

   $= 6{,}0 \cdot 1000\,\text{N}$

   $= 6000\,\text{N}$

   Sijoitus

   $s$$= \dfrac{1200\,\text{kg} \cdot (20\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 6000\,\text{N}}$

   $= \dfrac{480\,000\,\text{J}}{12\,000\,\text{N}}$

   $= 40\,\text{m}$

   Vastaus

   $40\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $72\,\text{km/h}$ ja voimassa $6{,}0\,\text{kN}$.

   Järkevyys

   Hidastuvuus on $6000\,\text{N} : 1200\,\text{kg} = 5{,}0\,\text{m/s}^2$, ja liikeyhtälöistä saadaan sama matka: $\tfrac{(20\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 5{,}0\,\text{m/s}^2} = 40\,\text{m}$. Liike-energia on verrannollinen nopeuden neliöön, joten kaksinkertaisesta nopeudesta jarrutusmatka olisi nelinkertainen.

3. Tehtävä 11-11

   Nosturi nostaa $250\,\text{kg}$:n betonikuormaa tasaisella nopeudella $18{,}0\,\text{m}$ ylöspäin. Kuinka suuren työn nosturin köysi tekee kuormaan? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $44{,}1\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 250\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 18{,}0\,\text{m}$, nopeus vakio, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden tekemä työ $W_\text{muut}$ yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Kuormaan vaikuttavat paino ja köyden jännitysvoima. Köysi on muu voima kuin paino, joten käytetään energiaperiaatetta. Nopeus on vakio, joten liike-energia ei muutu, ja köyden työ kasvattaa vain potentiaalienergiaa. Nollataso valitaan kuorman lähtökorkeudelle.

   Kaava

   $E_{\text{k},1} + E_{\text{p},1} + W_\text{muut}$

   $= E_{\text{k},2} + E_{\text{p},2}$

   ja $E_{\text{k},1} = E_{\text{k},2}$ ja $E_{\text{p},1} = 0$, joten $W_\text{muut} = mgh$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W_\text{muut}$$= 250\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 18{,}0\,\text{m}$

   $= 44\,145\,\text{J}$

   $= 44{,}1\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $44{,}1\,\text{kJ}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten nostokorkeudessa $18{,}0\,\text{m}$ ja massassa $250\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Tasaisella nopeudella köyden voima on yhtä suuri kuin paino, noin $2{,}5\,\text{kN}$, ja $2{,}5\,\text{kN} \cdot 18\,\text{m} = 45\,\text{kJ}$. Työ on positiivinen, koska köysi vetää liikkeen suuntaan ja kasvattaa kuorman mekaanista energiaa.

4. Tehtävä 11-12

   Jääkiekkoilija lyö levossa olevaa kiekkoa, jonka massa on $0{,}16\,\text{kg}$. Maila työntää kiekkoa liikkeen suuntaan keskimäärin $120\,\text{N}$:n voimalla $0{,}30\,\text{m}$:n matkan. Jään kitka jätetään huomiotta.

   Kuinka suuri on kiekon nopeus, kun se irtoaa mailasta?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $21\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}16\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 0$, mailan voima $F = 120\,\text{N}$ liikkeen suuntaan, matka $s = 0{,}30\,\text{m}$; jään kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   kiekon nopeus $v_2$ irtoamishetkellä yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Kiekkoon vaikuttavat paino, jään tukivoima ja mailan voima. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa eivätkä tee työtä vaakasuorassa liikkeessä, joten mailan voima on kokonaisvoima. Kokonaisvoiman työ on yhtä suuri kuin liike-energian muutos.

   Kaava

   $Fs = \tfrac{1}{2} mv_2^2 - 0$, joten $v_2 = \sqrt{\dfrac{2Fs}{m}}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v_2$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 120\,\text{N} \cdot 0{,}30\,\text{m}}{0{,}16\,\text{kg}}}$

   $= \sqrt{\dfrac{72\,\text{J}}{0{,}16\,\text{kg}}}$

   $= 21{,}2\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $21\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}16\,\text{kg}$ ja matkassa $0{,}30\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Nopeus on noin $76\,\text{km/h}$, mikä on tavallinen kova laukaus. Mailan tekemä työ $36\,\text{J}$ on yhtä suuri kuin kiekon liike-energia:

   $\tfrac12 \cdot 0{,}16\,\text{kg} \cdot (21{,}2\,\text{m/s})^2$

   $\approx 36\,\text{J}$
5. Tehtävä 11-13

   Oppilaat tutkivat heilurin energiaa valoportilla. Heilurin kuula päästetään levosta eri korkeuksilta $h$ mitattuna heilurin alimmasta kohdasta, ja alimmassa kohdassa oleva valoportti mittaa kuulan nopeuden $v$. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Laske jokaisesta mittauksesta $v^2$, piirrä pisteet $(h, v^2)$-koordinaatistoon ja sovita niihin origon kautta kulkeva suora. Määritä suoran kulmakerroin.

   b) Johda säilymislaista kulmakertoimen ja putoamiskiihtyvyyden $g$ yhteys ja laske $g$.

   c) Perustele, miksi suoran pitää kulkea origon kautta.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   Kuulan nopeus heilurin alimmassa kohdassa (esimerkkiaineisto)

   $h\,(\text{m})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,05	1,00
   0,10	1,38
   0,15	1,73
   0,20	1,96
   0,25	2,23
   0,30	2,41

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuulan korkeus alimmasta kohdasta $h$ ja nopeus alimmassa kohdassa $v$ taulukon kuudessa mittauksessa; alkunopeus $0$; kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kuulaan vaikuttavat paino ja langan jännitysvoima. Jännitysvoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä, joten mekaaninen energia säilyy. Nollataso on alin kohta: ylhäällä kuulalla on vain potentiaalienergiaa, alhaalla vain liike-energiaa. Massa supistuu pois, joten kuulan massaa ei tarvita.

   Kuvaajan lukeminen

   Neliöt ovat

   $v^2$$= 1{,}00$; $1{,}90$; $2{,}99$; $3{,}84$; $4{,}97$; $5{,}81\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Pisteet $(h, v^2)$ asettuvat suoran lähelle. Suora kulkee origon kautta, joten sen kulmakerroin saadaan yhdestä suoralta luettavasta pisteestä: suora kulkee pisteiden joukon lomassa pisteen $(0{,}30\,\text{m}$; $5{,}86\,\text{m}^2/\text{s}^2)$ kautta, joten kulmakerroin on

   $k$$= 5{,}86\,\text{m}^2/\text{s}^2 : 0{,}30\,\text{m}$

   $= 19{,}5\,\text{m/s}^2$

   Kaava

   $mgh = \tfrac{1}{2} mv^2$, joten $v^2 = 2g \cdot h$. Suoran kulmakerroin on $k = 2g$, joten $g = \dfrac{k}{2}$.

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $g$$= \dfrac{19{,}5\,\text{m/s}^2}{2}$

   $= 9{,}77\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeuksissa $h$ (esimerkiksi $0{,}05\,\text{m}$). Kuvaajasta luettu tarkempi arvo on $9{,}77\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Tulos poikkeaa tunnetusta arvosta $9{,}81\,\text{m/s}^2$ alle prosentin, mikä on mittausvirheen rajoissa. Yksittäinen mittaus antaa samaa suuruusluokkaa: $h = 0{,}30\,\text{m}$ ja $v = 2{,}41\,\text{m/s}$ antavat $g = v^2 : (2h) = 9{,}68\,\text{m/s}^2$. c) Suoran pitää kulkea origon kautta, koska kun $h = 0$, kuula on alimmassa kohdassa levossa eikä sillä ole liike-energiaa, joten $v = 0$ ja $v^2 = 0$. Yhtälö $v^2 = 2gh$ on verrannollisuus, jossa ei ole vakiotermiä.

6. Tehtävä 11-14

   Pienoisvuoristoradan vaunun massa matkustajineen on $420\,\text{kg}$. Vaunun korkeus $h$ ja nopeus $v$ mitattiin neljässä radan kohdassa, ja $s$ on ratamatka kohdasta A. Taulukko on esimerkkiaineisto. Nollataso on maanpinta.

   a) Laske vaunun mekaaninen energia kohdissa A, B, C ja D kilojouleina.

   b) Kuinka suuren työn vastusvoimat tekevät vaunuun kohtien A ja D välillä yhteensä?

   c) Millä kohtien välillä keskimääräinen vastusvoima on suurin? Perustele laskemalla.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos kilojouleina.

   Vaunun mittaukset radan eri kohdissa (esimerkkiaineisto)

   Kohta	$s\,(\text{m})$	$h\,(\text{m})$	$v\,(\text{m/s})$
   A	0	18,0	1,5
   B	55	6,0	14,6
   C	120	12,0	7,9
   D	170	3,0	14,2

   kJTarkista
   Vastaus

   $W_\text{muut} \approx -19{,}9\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 420\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kohdissa A, B, C, D ratamatka $s = 0$; $55$; $120$; $170\,\text{m}$, korkeus $h = 18{,}0$; $6{,}0$; $12{,}0$; $3{,}0\,\text{m}$ ja nopeus $v = 1{,}5$; $14{,}6$; $7{,}9$; $14{,}2\,\text{m/s}$

   Kysytty

   a) mekaaninen energia $E_\text{mek}$ kohdissa A–D; b) vastusvoimien työ $W_\text{muut}$ kohtien A ja D välillä; c) kohtien väli, jolla keskimääräinen vastusvoima on suurin

   Periaate

   Mekaaninen energia on $E_\text{mek} = \tfrac{1}{2} mv^2 + mgh$ nollatasosta maanpinnasta. Tukivoima ei tee työtä, joten vaunun mekaanisen energian muutos on vastusvoimien työ, $W_\text{muut} = E_{\text{mek},2} - E_{\text{mek},1}$. Vastusvoima on liikettä vastaan koko matkan, joten sen keskiarvo välillä on $F = -W_\text{muut} : \Delta s$.

   Kaava

   $E_\text{mek} = \tfrac{1}{2} mv^2 + mgh$ ja $W_\text{muut} = E_{\text{mek,D}} - E_{\text{mek,A}}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   a) Kohdassa A on

   $\tfrac12 \cdot 420 \cdot 1{,}5^2\,\text{J} + 420 \cdot 9{,}81 \cdot 18{,}0\,\text{J}$

   $= 0{,}47\,\text{kJ} + 74{,}16\,\text{kJ}$

   $= 74{,}6\,\text{kJ}$

   Samoin kohdissa B, C ja D liike-energiat ovat $44{,}8$; $13{,}1$; $42{,}3\,\text{kJ}$ ja potentiaalienergiat $24{,}7$; $49{,}4$; $12{,}4\,\text{kJ}$, joten $E_\text{mek} = 69{,}5$; $62{,}5$; $54{,}7\,\text{kJ}$. b)

   $W_\text{muut}$$= 54{,}7\,\text{kJ} - 74{,}6\,\text{kJ}$

   $= -19{,}9\,\text{kJ}$

   c) Välillä A–B energia pienenee $5{,}15\,\text{kJ}$ matkalla $55\,\text{m}$, joten

   $F$$= 5150\,\text{J} : 55\,\text{m}$

   $= 94\,\text{N}$

   Välillä B–C se pienenee $6{,}94\,\text{kJ}$ matkalla $65\,\text{m}$, joten $F = 107\,\text{N}$. Välillä C–D se pienenee $7{,}84\,\text{kJ}$ matkalla $50\,\text{m}$, joten $F = 157\,\text{N}$.

   Vastaus

   b) $W_\text{muut} \approx -19{,}9\,\text{kJ}$, kolme merkitsevää numeroa kuten korkeuksissa ja nopeuksissa. c) Keskimääräinen vastusvoima on suurin kohtien C ja D välillä, noin $1{,}6 \cdot 10^2\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Mekaaninen energia pienenee joka välillä, kuten pitääkin, ja kokonaisuudessaan noin $27\,\%$ alkuenergiasta muuttui sisäenergiaksi. Koko radan keskimääräinen vastusvoima on $19\,900\,\text{J} : 170\,\text{m} \approx 117\,\text{N}$, joka on kolmen osavälin keskiarvojen $94\,\text{N}$, $107\,\text{N}$ ja $157\,\text{N}$ välissä, kuten pitää.

7. Tehtävä 11-15

   Oppilaat määrittävät kitkavoiman kokeella. Puupalikka, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$, annetaan liukua vaakasuoralla pöydällä eri alkunopeuksilla $v_0$, ja jokaisella kerralla mitataan palikan pysähtymismatka $s$. Ilmanvastus jätetään huomiotta ja kitkavoiman oletetaan olevan vakio. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Laske $v_0^2$, piirrä pisteet $(v_0^2, s)$-koordinaatistoon ja sovita niihin origon kautta kulkeva suora. Määritä suoran kulmakerroin.

   b) Johda energiaperiaatteesta kulmakertoimen ja kitkavoiman $F_\mu$ yhteys ja laske kitkavoima.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos newtoneina.

   Palikan pysähtymismatka eri alkunopeuksilla (esimerkkiaineisto)

   $v_0\,(\text{m/s})$	$s\,(\text{m})$
   1,0	0,22
   1,5	0,47
   2,0	0,88
   2,5	1,35
   3,0	1,98

   NTarkista
   Vastaus

   $F_\mu \approx 1{,}1\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}50\,\text{kg}$, loppunopeus $0$; alkunopeudet $v_0 = 1{,}0$; $1{,}5$; $2{,}0$; $2{,}5$; $3{,}0\,\text{m/s}$ ja pysähtymismatkat $s = 0{,}22$; $0{,}47$; $0{,}88$; $1{,}35$; $1{,}98\,\text{m}$; kitkavoima $F_\mu$ vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Pöytä on vaakasuora, joten potentiaalienergia ei muutu. Paino ja tukivoima ovat kohtisuorassa liikettä vastaan eivätkä tee työtä, joten kitka on kokonaisvoima ja sen työ on liike-energian muutos.

   Kuvaajan lukeminen

   Neliöt ovat $v_0^2 = 1{,}00$; $2{,}25$; $4{,}00$; $6{,}25$; $9{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$. Pisteet $(v_0^2, s)$ asettuvat origon kautta kulkevan suoran lähelle. Suora kulkee pisteen $(9{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$; $1{,}97\,\text{m})$ kautta, joten kulmakerroin on

   $k$$= 1{,}97\,\text{m} : 9{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 0{,}219\,\text{s}^2/\text{m}$

   Kaava

   $-F_\mu s = 0 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$, joten $s = \dfrac{m}{2F_\mu} \cdot v_0^2$. Kulmakerroin on $k = \dfrac{m}{2F_\mu}$, joten $F_\mu = \dfrac{m}{2k}$.

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   $1\,\text{kg} : (\text{s}^2/\text{m})$$= 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$

   $= 1\,\text{N}$

   Sijoitus

   $F_\mu$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg}}{2 \cdot 0{,}2188\,\text{s}^2/\text{m}}$

   $= 1{,}14\,\text{N}$

   Vastaus

   $F_\mu \approx 1{,}1\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Palikan paino on $0{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 4{,}9\,\text{N}$, joten kitkavoima on noin $23\,\%$ painosta eli kitkakerroin on noin $0{,}23$, mikä on uskottava puulle pöydällä. Yksittäisestä mittauksesta saadaan samaa: $v_0 = 2{,}0\,\text{m/s}$ antaa

   $F_\mu$$= m v_0^2 : (2s)$

   $= 0{,}50 \cdot 4{,}0 : 1{,}76\,\text{N}$

   $= 1{,}14\,\text{N}$

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 11-16

   Pyöräilijä rullaa polkematta ja jarruttamatta mäen alas. Pyöräilijän ja pyörän yhteinen massa on $80\,\text{kg}$.

   Mäen päällä nopeus on $4{,}0\,\text{m/s}$ ja mäen alla $13{,}0\,\text{m/s}$. Mäen korkeus on $12{,}0\,\text{m}$, ja tietä on mäessä $150\,\text{m}$.

   Kuinka suuri on pyöräilijää jarruttava keskimääräinen vastusvoima, kun ilmanvastus ja vierimisvastus lasketaan yhteen?

   NTarkista
   Vastaus

   $22\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 80\,\text{kg}$, nopeus mäen päällä $v_1 = 4{,}0\,\text{m/s}$ ja mäen alla $v_2 = 13{,}0\,\text{m/s}$, korkeus $h = 12{,}0\,\text{m}$, tien pituus $s = 150\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   keskimääräinen vastusvoima $F_\text{vast}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Pyöräilijään vaikuttavat paino, tien tukivoima sekä ilmanvastus ja vierimisvastus. Tukivoima ei tee työtä. Vastusvoimat ovat muita voimia kuin paino, joten energiaperiaate antaa niiden työn. Vastusvoima osoittaa liikettä vastaan koko matkan, joten sen työ on $-F_\text{vast} s$. Nollataso valitaan mäen alle.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh - F_\text{vast} s = \tfrac{1}{2} mv_2^2$, joten

   $F_\text{vast}$$= \dfrac{\tfrac{m}{2}(v_1^2 - v_2^2) + mgh}{s}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Ensin

   $\tfrac{m}{2}(v_1^2 - v_2^2)$$= \tfrac12 \cdot 80\,\text{kg} \cdot (16 - 169)\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= -6120\,\text{J}$

   $mgh$$= 80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 12{,}0\,\text{m}$

   $= 9417{,}6\,\text{J}$

   joten

   $F_\text{vast}$$= \dfrac{-6120\,\text{J} + 9417{,}6\,\text{J}}{150\,\text{m}}$

   $= \dfrac{3297{,}6\,\text{J}}{150\,\text{m}}$

   $= 21{,}98\,\text{N}$

   Vastaus

   $22\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $80\,\text{kg}$ ja nopeudessa $4{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Vastusvoimat veivät $3{,}3\,\text{kJ}$ eli noin kolmanneksen potentiaalienergiasta $9{,}4\,\text{kJ}$. Noin $13\,\text{m/s}$:n nopeudella pyöräilijän ilmanvastus on muutamia kymmeniä newtoneja, joten keskiarvo $22\,\text{N}$ koko mäelle on uskottava.

2. Tehtävä 11-17

   Vuoristoradan vaunu, jonka massa matkustajineen on $500\,\text{kg}$, ylittää $35{,}0\,\text{m}$ korkean mäen huipun nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$. Seuraavan mäen huipulle on rataa $120\,\text{m}$, ja vaunuun vaikuttaa koko matkan keskimäärin $150\,\text{N}$:n vastusvoima.

   Kuinka korkea seuraava mäki saa enintään olla, jotta vaunu pääsee sen huipulle?

   mTarkista
   Vastaus

   $31{,}5\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 500\,\text{kg}$, ensimmäisen huipun korkeus $h_1 = 35{,}0\,\text{m}$, nopeus siellä $v_1 = 2{,}0\,\text{m/s}$, ratamatka $s = 120\,\text{m}$, vastusvoima $F_\text{vast} = 150\,\text{N}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   seuraavan mäen suurin korkeus $h_2$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Vaunuun vaikuttavat paino, radan tukivoima ja vastusvoima. Tukivoima ei tee työtä, ja vastusvoima tekee työn $-F_\text{vast} s$, joten käytetään energiaperiaatetta. Korkeimmalle mäelle vaunu pääsee, kun sen nopeus huipulla on juuri ja juuri nolla. Nollataso valitaan maahan.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh_1 - F_\text{vast} s = mgh_2$, joten

   $h_2$$= h_1 + \dfrac{v_1^2}{2 \cdot g} - \dfrac{F_\text{vast} s}{mg}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\dfrac{v_1^2}{2g}$$= \dfrac{(2{,}0\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 0{,}204\,\text{m}$

   $\dfrac{F_\text{vast} s}{mg}$$= \dfrac{150\,\text{N} \cdot 120\,\text{m}}{500\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 3{,}670\,\text{m}$

   joten

   $h_2$$= (35{,}0 + 0{,}204 - 3{,}670)\,\text{m}$

   $= 31{,}53\,\text{m}$

   Vastaus

   enintään $31{,}5\,\text{m}$, kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $35{,}0\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Vastusvoima vie $150\,\text{N} \cdot 120\,\text{m} = 18\,\text{kJ}$, mikä vastaa noin $3{,}7\,\text{m}$:n korkeutta $500\,\text{kg}$:n vaunulle, ja alun pieni nopeus lisää vain $0{,}2\,\text{m}$. Mäki on siis vähän matalampi kuin edellinen, kuten vuoristoradoissa. Todellisuudessa mäki tehdään vielä matalammaksi, jotta vaunu ylittää huipun vauhdilla.

3. Tehtävä 11-18

   Kivi heitetään meren rannalla $20{,}0\,\text{m}$ korkealta kalliolta nopeudella $12{,}0\,\text{m/s}$ vinosti ylöspäin $35^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Millä nopeudella kivi osuu veteen?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $23{,}2\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeus $h = 20{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 12{,}0\,\text{m/s}$ kulmassa $35^\circ$ vaakatasoon nähden, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   kiven nopeus $v_2$ veden pinnassa yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Heiton jälkeen kiveen vaikuttaa vain paino, joten mekaaninen energia säilyy. Energia on skalaari: liike-energia $\tfrac{1}{2} mv^2$ riippuu vain nopeuden suuruudesta eikä suunnasta, joten heittokulmaa ei tarvita. Nollataso valitaan vedenpintaan.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh = \tfrac{1}{2} mv_2^2$, joten $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   Ensin

   $v_1^2$$= (12{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 144\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $2gh$$= 2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 20{,}0\,\text{m}$

   $= 392{,}4\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   joten

   $v_2$$= \sqrt{(144 + 392{,}4)\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 23{,}16\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $23{,}2\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $20{,}0\,\text{m}$ ja nopeudessa $12{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Tulos on suurempi kuin pelkän pudotuksen nopeus $\sqrt{392{,}4}\,\text{m/s} \approx 19{,}8\,\text{m/s}$ ja suurempi kuin heittonopeus, kuten pitää. Jos kivi heitettäisiin samalla nopeudella vaakasuoraan tai alaspäin, se osuisi veteen samalla nopeudella $23{,}2\,\text{m/s}$ mutta eri suunnassa.

4. Tehtävä 11-19

   Lumilautailija, jonka massa varusteineen on $70\,\text{kg}$, laskee levosta rinteen yläpäästä. Rinteen korkeusero on $6{,}0\,\text{m}$ ja rinteen pituus $45\,\text{m}$. Rinteen alapäästä hän liukuu vaakasuoralla lumella pysähtymiseen asti ja mittaa pysähtymiseen kuluneen matkan $s$. Taulukko on esimerkkiaineisto kuudesta laskusta. Ilmanvastus jätetään huomiotta, ja lumen kitkavoima oletetaan vakioksi sekä rinteessä että vaakasuoralla.

   a) Laske pysähtymismatkan keskiarvo.

   b) Laske lumen keskimääräinen kitkavoima energiaperiaatteella.

   c) Laske lautailijan nopeus rinteen alapäässä ja perustele, miksi se on pienempi kuin kitkattomassa tapauksessa.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   Pysähtymismatka vaakasuoralla lumella (esimerkkiaineisto)

   Lasku	$s\,(\text{m})$
   1	29,4
   2	31,2
   3	28,7
   4	30,5
   5	29,9
   6	30,7

   NTarkista
   Vastaus

   $F \approx 55\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70\,\text{kg}$, korkeusero $h = 6{,}0\,\text{m}$, rinteen pituus $L = 45\,\text{m}$, alkunopeus $0$ ja pysähtymisen jälkeen nopeus $0$; vaakasuora pysähtymismatka $s = 29{,}4$; $31{,}2$; $28{,}7$; $30{,}5$; $29{,}9$; $30{,}7\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitkavoima $F$ vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   a) pysähtymismatkan keskiarvo $s_\text{ka}$; b) keskimääräinen kitkavoima $F$ yksikössä $\text{N}$; c) nopeus $v$ rinteen alapäässä

   Periaate

   Lautailijaan vaikuttavat paino, lumen tukivoima ja kitka. Tukivoima ei tee työtä, joten kitka on ainoa muu voima ja käytetään energiaperiaatetta. Koko liikkeen ajan kitka on liikettä vastaan, joten sen työ on $-F$ kertaa koko kuljettu matka $L + s_\text{ka}$. Nollataso on rinteen alapää. Alussa ja lopussa nopeus on nolla, joten koko alun potentiaalienergia $mgh$ muuttuu sisäenergiaksi.

   Kaava

   a) $s_\text{ka} = \dfrac{\text{summa}}{6}$. b) $mgh - F\left(L + s_\text{ka}\right) = 0$, joten $F = \dfrac{mgh}{L + s_\text{ka}}$. c) Rinteessä $mgh - F L = \tfrac{1}{2} mv^2$, joten

   $v$$= \sqrt{\dfrac{2\left(mgh - F L\right)}{m}}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   a) Pysähtymismatkojen summa on $180{,}4\,\text{m}$, joten

   $s_\text{ka}$$= 180{,}4\,\text{m} : 6$

   $= 30{,}07\,\text{m}$

   b)

   $mgh$$= 70\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 6{,}0\,\text{m}$

   $= 4120\,\text{J}$

   $L + s_\text{ka}$$= 45\,\text{m} + 30{,}07\,\text{m}$

   $= 75{,}07\,\text{m}$

   joten

   $F$$= 4120\,\text{J} : 75{,}07\,\text{m}$

   $= 54{,}9\,\text{N}$

   c) Kitkan työ rinteessä on

   $F L$$= 54{,}9\,\text{N} \cdot 45\,\text{m}$

   $= 2470\,\text{J}$

   joten

   $\tfrac{1}{2} mv^2$$= 4120\,\text{J} - 2470\,\text{J}$

   $= 1650\,\text{J}$

   $v$$= \sqrt{2 \cdot 1650\,\text{J} : 70\,\text{kg}}$

   $= 6{,}87\,\text{m/s}$

   Vastaus

   b) $F \approx 55\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $70\,\text{kg}$ ja korkeudessa $6{,}0\,\text{m}$. c) Nopeus rinteen alapäässä on noin $6{,}9\,\text{m/s}$, ja se on pienempi kuin kitkattoman rinteen nopeus $\sqrt{2gh} = 10{,}8\,\text{m/s}$, koska kitka on muuttanut osan potentiaalienergiasta sisäenergiaksi jo rinteessä: mekaaninen energia rinteen alapäässä on $1650\,\text{J}$ eikä $4120\,\text{J}$.

   Järkevyys

   Kitkavoima $55\,\text{N}$ on noin $8\,\%$ lautailijan painosta $687\,\text{N}$ eli kitkakerroin on noin $0{,}08$, mikä sopii liukkaalle lumelle. Rinteessä kitka muuttaa $2470\,\text{J} : 4120\,\text{J} \approx 60\,\%$ energiasta sisäenergiaksi, mikä vastaa rinteen osuutta koko matkasta $45 : 75{,}07 \approx 60\,\%$.

5. Tehtävä 11-20

   Tennispallo, jonka massa on $0{,}057\,\text{kg}$, pudotetaan levosta kovalle lattialle $1{,}20\,\text{m}$:n korkeudelta. Pallon korkeus mitataan videolta jokaisen kimmahduksen jälkeen ylimmässä kohdassa. Taulukko on esimerkkiaineisto. Ilmanvastus jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia muuttuu vain kimmahduksissa. Nollataso on lattia.

   a) Laske pallon mekaaninen energia jokaisessa ylimmässä kohdassa sekä se osuus, jonka pallo säilyttää kustakin kimmahduksesta.

   b) Laske säilyneiden osuuksien keskiarvo prosentteina.

   c) Laske, kuinka paljon mekaanista energiaa muuttuu sisäenergiaksi ensimmäisessä kimmahduksessa. Perustele aineiston avulla, säilyykö pallon mekaaninen energia kimmahduksissa ja säilyykö kokonaisenergia.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   Pallon korkeus ylimmässä kohdassa (esimerkkiaineisto)

   Kimmahduksia	$h\,(\text{m})$
   0	1,20
   1	0,77
   2	0,49
   3	0,32
   4	0,20

   %Tarkista
   Vastaus

   $64\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}057\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; korkeudet ylimmässä kohdassa $h_0 = 1{,}20\,\text{m}$ ja kimmahdusten jälkeen $h_1 = 0{,}77$; $h_2 = 0{,}49$; $h_3 = 0{,}32$; $h_4 = 0{,}20\,\text{m}$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   a) pallon mekaaninen energia ylimmissä kohdissa ja kimmahduksesta säilynyt osuus; b) osuuksien keskiarvo prosentteina; c) ensimmäisessä kimmahduksessa sisäenergiaksi muuttunut mekaaninen energia sekä perustelu energian säilymisestä

   Periaate

   Ylimmässä kohdassa pallo on hetken levossa, joten liike-energia on nolla ja $E_\text{mek} = mgh$ (nollataso lattia). Lennon aikana vaikuttaa vain paino, joten mekaaninen energia säilyy, ja muutokset tapahtuvat kimmahduksissa. Massa ja $g$ supistuvat osuudesta, joten osuus on korkeuksien suhde, $\dfrac{E_{n+1}}{E_n} = \dfrac{h_{n+1}}{h_n}$.

   Kaava

   $E_n = mgh_n$, osuus $r_n = \dfrac{h_{n+1}}{h_n}$, ja ensimmäisen kimmahduksen energiamuutos

   $\Delta E$$= E_0 - E_1$

   $= mg\left(h_0 - h_1\right)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Osuus muutetaan prosenteiksi kertomalla sadalla.

   Sijoitus

   a) Energiat ovat

   $E_0$$= 0{,}057 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}20\,\text{J}$

   $= 0{,}671\,\text{J}$

   $E_1 = 0{,}431\,\text{J}$, $E_2 = 0{,}274\,\text{J}$, $E_3 = 0{,}179\,\text{J}$ ja $E_4 = 0{,}112\,\text{J}$. Osuudet ovat $r_0 = 0{,}77 : 1{,}20 = 0{,}642$, $r_1 = 0{,}636$, $r_2 = 0{,}653$ ja $r_3 = 0{,}625$. b) Osuuksien summa on $2{,}556$, joten keskiarvo on $2{,}556 : 4 = 0{,}639 = 63{,}9\,\%$. c)

   $\Delta E$$= 0{,}057\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (1{,}20 - 0{,}77)\,\text{m}$

   $= 0{,}240\,\text{J}$

   Vastaus

   b) Pallo säilyttää kimmahduksessa keskimäärin noin $64\,\%$ mekaanisesta energiastaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeuksissa. c) Ensimmäisessä kimmahduksessa mekaanista energiaa muuttuu sisäenergiaksi noin $0{,}24\,\text{J}$. Perustelu: pallon mekaaninen energia ei säily kimmahduksissa, koska se pienenee joka kerta (korkeudet pienenevät: $1{,}20 \to 0{,}77 \to 0{,}49 \to 0{,}32 \to 0{,}20\,\text{m}$), mutta kokonaisenergia säilyy: kimmahduksessa pallon ja lattian vuorovaikutus muuttaa osan mekaanisesta energiasta pallon ja lattian sisäenergiaksi (lämpenemiseksi) ja ääneksi.

   Järkevyys

   Osuudet $0{,}625$–$0{,}653$ ovat lähes samat, joten pallo menettää jokaisessa kimmahduksessa suunnilleen saman osuuden, ja se on uskottava tennispallolle. Neljän kimmahduksen jälkeen jäljellä on $0{,}20 : 1{,}20 \approx 17\,\%$ alkuenergiasta, ja $0{,}639^4 \approx 0{,}167$ antaa saman.