Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-1Ydintehtävä

   Henkilöauton massa on $1200\,\text{kg}$, ja se ajaa nopeudella $20{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on auton liike-energia? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $240\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 1200\,\text{kg}$, nopeus $v = 20{,}0\,\text{m/s}$

   Kysytty

   auton liike-energia $E_\text{k}$ kilojouleina

   Periaate

   Liikkuvalla kappaleella on liike-energiaa, joka on verrannollinen massaan ja nopeuden neliöön. Auton nopeus ja massa tunnetaan, joten liike-energia saadaan suoraan.

   Kaava

   $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn suureen suhteen.

   Muunnokset

   Massa ja nopeus ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $E_\text{k}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 1200\,\text{kg} \cdot (20{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 600\,\text{kg} \cdot 400\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 240\,000\,\text{J}$

   $= 240\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $240\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $1200\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla

   $\tfrac{1}{2} \cdot 1000\,\text{kg} \cdot 400\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 200\,\text{kJ}$

   joten suuruusluokka on oikea. Nopeus $20\,\text{m/s} = 72\,\text{km/h}$ on tavallinen maantienopeus, ja auton liike-energia on silloin satoja kilojouleja.

2. Tehtävä 10-2Ydintehtävä

   Kukkaruukku, jonka massa on $2{,}50\,\text{kg}$, on parvekkeella $8{,}00\,\text{m}$ maanpinnan yläpuolella. Kuinka suuri on ruukun potentiaalienergia, kun nollataso on maanpinta?

   JTarkista
   Vastaus

   $196\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 2{,}50\,\text{kg}$, korkeus $h = 8{,}00\,\text{m}$ nollatason eli maanpinnan yläpuolella, putoamiskiihtyvyys $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ruukun potentiaalienergia $E_\text{p}$ jouleina

   Periaate

   Painovoiman potentiaalienergia riippuu massasta ja korkeudesta valitun nollatason yläpuolella. Korkeusero on pieni, joten $g$ on vakio ja $E_\text{p} = m g h$ pätee.

   Kaava

   $E_\text{p} = m g h$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn suureen suhteen.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{kg} \cdot \text{m/s}^2 \cdot \text{m} = \text{J}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= 2{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 8{,}00\,\text{m}$

   $= 196{,}2\,\text{J}$

   Vastaus

   $196\,\text{J}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa ja korkeudessa.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla $2{,}5\,\text{kg} \cdot 10\,\text{m/s}^2 \cdot 8\,\text{m} = 200\,\text{J}$. Ruukun paino on noin $25\,\text{N}$, ja sen nostaminen kahdeksaan metriin vaatii muutaman sadan joulen energian. Tulos on positiivinen, koska ruukku on nollatason yläpuolella.

3. Tehtävä 10-3

   Lokki, jonka massa on $1{,}20\,\text{kg}$, lentää nopeudella $10{,}0\,\text{m/s}$ korkeudella $20{,}0\,\text{m}$ merenpinnan yläpuolella. Kuinka suuri on lokin mekaaninen energia, kun nollataso on merenpinta?

   JTarkista
   Vastaus

   $295\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 1{,}20\,\text{kg}$, nopeus $v = 10{,}0\,\text{m/s}$, korkeus $h = 20{,}0\,\text{m}$ nollatason eli merenpinnan yläpuolella, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   lokin mekaaninen energia $E_\text{mek}$ jouleina

   Periaate

   Mekaaninen energia on liike-energian ja potentiaalienergian summa. Liike-energia saadaan nopeudesta ja potentiaalienergia korkeudesta merenpinnan yläpuolella.

   Kaava

   $E_\text{mek} = E_\text{k} + E_\text{p}$, joten $E_\text{mek} = \tfrac{1}{2}\,mv^2 + m g h$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten molemmat termit tulevat jouleina. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{mek}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}20\,\text{kg} \cdot (10{,}0\,\text{m/s})^2 + 1{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 20{,}0\,\text{m}$

   $= 60{,}0\,\text{J} + 235{,}4\,\text{J}$

   $\approx 295\,\text{J}$

   Vastaus

   $295\,\text{J}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla

   $60\,\text{J} + 1{,}2\,\text{kg} \cdot 10\,\text{m/s}^2 \cdot 20\,\text{m}$

   $= 60\,\text{J} + 240\,\text{J}$

   $= 300\,\text{J}$

   Potentiaalienergia on suurempi kuin liike-energia, mikä sopii lokkiin, joka lentää korkealla mutta hitaasti.

4. Tehtävä 10-4

   Kiipeilijä, jonka massa varusteineen on $72\,\text{kg}$, nousee kiipeilyseinällä $12\,\text{m}$ ylöspäin. Kuinka paljon hänen potentiaalienergiansa kasvaa? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $8{,}5\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 72\,\text{kg}$, korkeuden muutos $\Delta h = 12\,\text{m}$ ylöspäin, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   potentiaalienergian muutos $\Delta E_\text{p}$ kilojouleina

   Periaate

   Potentiaalienergia on verrannollinen korkeuteen, joten sen muutos riippuu vain korkeuden muutoksesta eikä nollatasosta. Kiipeilijä nousee, joten potentiaalienergia kasvaa.

   Kaava

   $E_\text{p} = m g h$, joten $\Delta E_\text{p} = m g h_2 - m g h_1$ eli $\Delta E_\text{p} = m g\,\Delta h$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten tulos tulee jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $\Delta E_\text{p}$$= 72\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 12\,\text{m}$

   $\approx 8476\,\text{J}$

   $\approx 8{,}48\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $8{,}5\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $72\,\text{kg}$ ja korkeudessa $12\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Kiipeilijän paino on noin $700\,\text{N}$, ja $700\,\text{N} \cdot 12\,\text{m} \approx 8400\,\text{J}$. Tulos ei riipu siitä, mistä korkeudesta kiipeilijä lähti, koska kysytään vain muutosta.

5. Tehtävä 10-5

   Ämpäri, jonka massa on $4{,}0\,\text{kg}$, roikkuu kaivossa $6{,}5\,\text{m}$ maanpinnan alapuolella. Nollataso on maanpinta. Kuinka suuri on ämpärin potentiaalienergia?

   JTarkista
   Vastaus

   $-2{,}6 \cdot 10^{2}\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 4{,}0\,\text{kg}$, korkeus $h = -6{,}5\,\text{m}$ (ämpäri on $6{,}5\,\text{m}$ nollatason eli maanpinnan alapuolella), $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ämpärin potentiaalienergia $E_\text{p}$ jouleina

   Periaate

   Potentiaalienergia mitataan valitusta nollatasosta. Nollatason alapuolella korkeus on negatiivinen, joten myös potentiaalienergia on negatiivinen: ämpärillä on vähemmän potentiaalienergiaa kuin maanpinnalla.

   Kaava

   $E_\text{p} = m g h$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn suureen suhteen.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= 4{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (-6{,}5\,\text{m})$

   $\approx -255\,\text{J}$

   Vastaus

   $-2{,}6 \cdot 10^{2}\,\text{J}$

   Eli kahdella merkitsevällä numerolla, kuten massassa $4{,}0\,\text{kg}$ ja syvyydessä $6{,}5\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Ämpärin nostaminen maanpinnalle vaatii noin $40\,\text{N} \cdot 6{,}5\,\text{m} = 260\,\text{J}$, ja juuri sen verran ämpärin potentiaalienergia on maanpinnan arvoa nollaa pienempi. Etumerkki on negatiivinen, kuten nollatason alapuolella pitää.

6. Tehtävä 10-6

   Auto ajaa tasaisella tiellä ensin nopeudella $v$ ja sitten nopeudella $2v$. Auton massa on molemmissa tapauksissa sama.

   Mikä väite auton liike-energian muutoksesta on oikea?

   Valitse vaihtoehto.

   • Liike-energia kasvaa nelinkertaiseksi, koska se on verrannollinen nopeuden neliöön.
   • Liike-energia pysyy samana, koska se riippuu vain auton massasta.
   • Liike-energia kaksinkertaistuu, koska se on verrannollinen nopeuteen.
   • Liike-energia kasvaa kahdeksankertaiseksi, koska se on verrannollinen nopeuden kolmanteen potenssiin.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Liike-energia kasvaa nelinkertaiseksi, koska se on verrannollinen nopeuden neliöön.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten auton liike-energia muuttuu, kun nopeus kaksinkertaistuu ja massa pysyy samana

   Periaate

   Liike-energia $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$ riippuu nopeuden neliöstä. Kun nopeus kasvaa kaksinkertaiseksi, neliö kasvaa kertoimella $2^2 = 4$, ja massa pysyy samana.

   Mallivastaus

   Liike-energia kasvaa nelinkertaiseksi, koska $\tfrac{1}{2}\,m(2v)^2 = 4 \cdot \tfrac{1}{2}\,mv^2$. Väite kaksinkertaistumisesta on väärä, koska liike-energia ei ole verrannollinen nopeuteen vaan sen neliöön. Väite kahdeksankertaistumisesta on väärä, koska nopeus on kaavassa toisessa eikä kolmannessa potenssissa. Väite muuttumattomuudesta on väärä, koska liike-energia riippuu massan lisäksi nopeudesta.

7. Tehtävä 10-7

   Hissi nostaa henkilön, jonka massa on $80\,\text{kg}$, ylempään kerrokseen. Henkilön potentiaalienergia kasvaa $9{,}4\,\text{kJ}$. Kuinka monta metriä hissi nostaa henkilöä?

   mTarkista
   Vastaus

   $12\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 80\,\text{kg}$, potentiaalienergian muutos $\Delta E_\text{p} = 9{,}4\,\text{kJ}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nostokorkeus $\Delta h$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Potentiaalienergian muutos on verrannollinen korkeuden muutokseen. Kun muutos ja massa tunnetaan, korkeuden muutos ratkaistaan kaavasta.

   Kaava

   $\Delta E_\text{p} = m g\,\Delta h$, joten

   $\Delta h$$= \dfrac{\Delta E_\text{p}}{m g}$

   Muunnokset

   $9{,}4\,\text{kJ}$$= 9{,}4 \cdot 1000\,\text{J}$

   $= 9400\,\text{J}$

   Sijoitus

   $\Delta h$$= \dfrac{9400\,\text{J}}{80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{9400\,\text{J}}{784{,}8\,\text{N}}$

   $\approx 11{,}98\,\text{m}$

   Vastaus

   $12\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja energiassa.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla

   $80\,\text{kg} \cdot 10\,\text{m/s}^2 \cdot 12\,\text{m}$

   $= 9600\,\text{J}$

   $\approx 9{,}4\,\text{kJ}$

   Noin $12\,\text{m}$ vastaa neljän kerroksen korkeutta, mikä sopii hissin matkaksi.

8. Tehtävä 10-8

   Ämpäri on kaivossa $3{,}0\,\text{m}$ maanpinnan alapuolella ja liikkuu alaspäin nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$. Nollataso on maanpinta.

   Mikä väite ämpärin liike-energiasta $E_\text{k}$ ja potentiaalienergiasta $E_\text{p}$ on oikea?

   Valitse vaihtoehto.

   • $E_\text{k} > 0$ ja $E_\text{p} < 0$, koska liike-energia ei riipu suunnasta ja korkeus on negatiivinen.
   • $E_\text{k} > 0$ ja $E_\text{p} > 0$, koska energia on aina positiivista, kun kappale liikkuu.
   • $E_\text{k} < 0$ ja $E_\text{p} < 0$, koska ämpäri liikkuu alas ja on nollatason alapuolella.
   • $E_\text{k} < 0$ ja $E_\text{p} > 0$, koska nopeus osoittaa alas ja syvyys on positiivinen luku.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   $E_\text{k} > 0$ ja $E_\text{p} < 0$, koska liike-energia ei riipu suunnasta ja korkeus on negatiivinen.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   ämpärin liike-energian ja potentiaalienergian etumerkit, kun ämpäri on nollatason alapuolella ja liikkuu

   Periaate

   Liike-energia $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$ sisältää nopeuden neliön, joten se ei ole koskaan negatiivinen eikä riipu liikkeen suunnasta. Potentiaalienergia $E_\text{p} = m g h$ lasketaan korkeudesta nollatasosta, ja nollatason alapuolella $h < 0$.

   Mallivastaus

   Liike-energia on positiivinen ja potentiaalienergia negatiivinen. Ämpäri liikkuu, joten $E_\text{k} > 0$, ja se on nollatason alapuolella, joten $E_\text{p} = m g h < 0$. Väite, jonka mukaan molemmat olisivat negatiiviset, on väärä, koska alaspäin suuntautuva liike ei tee liike-energiasta negatiivista. Väite, jonka mukaan molemmat olisivat positiiviset, on väärä, koska nollatason alapuolella potentiaalienergia on negatiivinen. Väite, jonka mukaan liike-energia olisi negatiivinen ja potentiaalienergia positiivinen, on väärä, koska se kääntää etumerkit päinvastaisiksi: kaavassa $h$ on korkeus nollatasosta, ei syvyys.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-9Ydintehtävä

   Pakettiauton massa on $1350\,\text{kg}$, ja se ajaa moottoritiellä nopeudella $90\,\text{km/h}$. Kuinka suuri on auton liike-energia? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $4{,}2 \cdot 10^{2}\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 1350\,\text{kg}$, nopeus $v = 90\,\text{km/h}$

   Kysytty

   auton liike-energia $E_\text{k}$ kilojouleina

   Periaate

   Liike-energia on verrannollinen massaan ja nopeuden neliöön. Joule on $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$, joten nopeus on muutettava ensin yksikköön $\text{m/s}$.

   Kaava

   $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$. Kaava on jo ratkaistu kysytyn suureen suhteen.

   Muunnokset

   $90\,\text{km/h}$$= \dfrac{90 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 25\,\text{m/s}$

   ja lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $E_\text{k}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 1350\,\text{kg} \cdot (25\,\text{m/s})^2$

   $= 675\,\text{kg} \cdot 625\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 421\,875\,\text{J}$

   $\approx 422\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $4{,}2 \cdot 10^{2}\,\text{kJ}$

   Eli kahdella merkitsevällä numerolla, kuten nopeudessa $90\,\text{km/h}$.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla

   $\tfrac{1}{2} \cdot 1400\,\text{kg} \cdot 600\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 420\,\text{kJ}$

   Jos nopeus sijoitettaisiin kilometreinä tunnissa, tulos olisi lähes $13$ kertaa liian suuri, koska $3{,}6^2 \approx 13$.

2. Tehtävä 10-10Ydintehtävä

   Tennispallon massa on $57\,\text{g}$. Syötön jälkeen pallon liike-energia on $82\,\text{J}$. Mikä on pallon nopeus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $54\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 57\,\text{g}$, liike-energia $E_\text{k} = 82\,\text{J}$

   Kysytty

   pallon nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Liike-energia riippuu massasta ja nopeudesta. Kun energia ja massa tunnetaan, nopeus ratkaistaan liike-energian lausekkeesta. Nopeus on positiivinen, koska kysytään sen suuruutta.

   Kaava

   $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$, joten $v^2 = \dfrac{2E_\text{k}}{m}$ ja $v = \sqrt{\dfrac{2E_\text{k}}{m}}$

   Muunnokset

   $m$$= 57\,\text{g}$

   $= 57 : 1000\,\text{kg}$

   $= 0{,}057\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 82\,\text{J}}{0{,}057\,\text{kg}}}$

   $= \sqrt{2877\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $\approx 53{,}6\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $54\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $57\,\text{g}$ ja energiassa $82\,\text{J}$.

   Järkevyys

   $54\,\text{m/s} \approx 190\,\text{km/h}$, mikä on huippupelaajan kovan syötön vauhti. Takaisin laskettuna

   $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}057\,\text{kg} \cdot (54\,\text{m/s})^2$

   $\approx 83\,\text{J}$

   lähellä annettua energiaa.

3. Tehtävä 10-11

   Kirja, jonka massa on $1{,}20\,\text{kg}$, on hyllyllä $1{,}90\,\text{m}$ lattian yläpuolella. Huoneessa on pöytä, jonka pinta on $0{,}75\,\text{m}$ lattian yläpuolella. Kuinka suuri on kirjan potentiaalienergia, kun nollatasoksi valitaan pöydän pinta?

   JTarkista
   Vastaus

   $13{,}5\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 1{,}20\,\text{kg}$, hyllyn korkeus lattiasta $1{,}90\,\text{m}$, pöydän pinnan korkeus lattiasta $0{,}75\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; nollataso on pöydän pinta

   Kysytty

   kirjan potentiaalienergia $E_\text{p}$ pöydän pinnan suhteen jouleina

   Periaate

   Potentiaalienergiassa korkeus mitataan valitusta nollatasosta. Nollataso on pöydän pinta, joten korkeus on hyllyn ja pöydän korkeuksien erotus eikä hyllyn korkeus lattiasta.

   Kaava

   $E_\text{p} = m g h$, missä $h = h_\text{hylly} - h_\text{pöytä}$. Siis $E_\text{p} = m g\,(h_\text{hylly} - h_\text{pöytä})$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= 1{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (1{,}90 - 0{,}75)\,\text{m}$

   $= 1{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}15\,\text{m}$

   $\approx 13{,}5\,\text{J}$

   Vastaus

   $13{,}5\,\text{J}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa ja korkeuserossa $1{,}15\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Lattian suhteen potentiaalienergia olisi

   $1{,}20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}90\,\text{m}$

   $\approx 22{,}4\,\text{J}$

   Pöydän suhteen se on pienempi, koska kirja on pöydän pinnasta matalammalla kuin lattiasta. Ero $8{,}8\,\text{J}$ on juuri pöydän korkeuden $0{,}75\,\text{m}$ osuus.

4. Tehtävä 10-12

   Kauko-ohjattava lennokki, jonka massa on $1{,}80\,\text{kg}$, lentää $40{,}0\,\text{m}$ maanpinnan yläpuolella. Sen mekaaninen energia maanpinnan suhteen on $905\,\text{J}$. Mikä on lennokin nopeus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $14{,}9\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 1{,}80\,\text{kg}$, korkeus $h = 40{,}0\,\text{m}$ maanpinnan yläpuolella, mekaaninen energia $E_\text{mek} = 905\,\text{J}$ maanpinnan suhteen, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   lennokin nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Mekaaninen energia on liike- ja potentiaalienergian summa. Kun potentiaalienergia lasketaan korkeudesta ja vähennetään mekaanisesta energiasta, jää liike-energia, josta nopeus ratkaistaan.

   Kaava

   $E_\text{mek} = \tfrac{1}{2}\,mv^2 + m g h$, joten

   $\tfrac{1}{2}\,mv^2$$= E_\text{mek} - m g h$

   $v$$= \sqrt{\dfrac{2\,(E_\text{mek} - m g h)}{m}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m g h$$= 1{,}80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 40{,}0\,\text{m}$

   $\approx 706{,}3\,\text{J}$

   joten

   $v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot (905 - 706{,}3)\,\text{J}}{1{,}80\,\text{kg}}}$

   $= \sqrt{220{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $\approx 14{,}9\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $14{,}9\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Takaisin laskettuna

   $\tfrac{1}{2} \cdot 1{,}80\,\text{kg} \cdot (14{,}9\,\text{m/s})^2$

   $\approx 200\,\text{J}$

   $200\,\text{J} + 706\,\text{J} \approx 905\,\text{J}$. Nopeus $15\,\text{m/s} \approx 54\,\text{km/h}$ on lennokille tavallinen.

5. Tehtävä 10-13

   Kumipallo, jonka massa on $0{,}057\,\text{kg}$, pudotettiin lattian yläpuolelta. Videoanalyysillä mitattiin pallon korkeus $h$ lattiasta ja nopeus $v$ ajan $t$ funktiona. Ilmanvastus oli niin pieni, että se jätetään huomiotta. Alla on esimerkkiaineisto.

   a) Laske jokaiselle ajanhetkelle liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia. Nollataso on lattia.

   b) Kuvaile, miten kolme energiaa muuttuvat pudotuksen aikana.

   c) Laske mekaanisen energian keskiarvo $E_{\text{mek,ka}}$ kaikista hetkistä.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) keskiarvo.

   Pudotetun pallon korkeus $h$ ja nopeus $v$ ajan $t$ funktiona (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$h\,(\text{m})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	1,80	0,00
   0,1	1,75	0,98
   0,2	1,60	1,99
   0,3	1,36	2,91
   0,4	1,02	3,95
   0,5	0,58	4,88
   0,6	0,04	5,92

   JTarkista
   Vastaus

   $1{,}0\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 0{,}057\,\text{kg}$, taulukon seitsemän mittausta $(t, h, v)$ hetkillä $0{,}0\,\text{s}$, $0{,}1\,\text{s}$, $\ldots$, $0{,}6\,\text{s}$; nollataso on lattia; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   $E_\text{k}$, $E_\text{p}$ ja $E_\text{mek}$ jokaisella hetkellä, näiden muutos ajan kuluessa ja mekaanisen energian keskiarvo $E_{\text{mek,ka}}$ jouleina

   Periaate

   Liike-energia lasketaan nopeudesta ja potentiaalienergia korkeudesta lattian yläpuolella. Mekaaninen energia on niiden summa. Ilmanvastus jätetään huomiotta, joten mekaanisen energian pitäisi pysyä samana, ja mittausvirheet aiheuttavat vain pientä hajontaa.

   Kaava

   $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$, $E_\text{p} = m g h$ ja $E_\text{mek} = E_\text{k} + E_\text{p}$. Keskiarvo on mekaanisten energioiden summa jaettuna mittausten määrällä $7$.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Esimerkiksi hetkellä $t = 0{,}3\,\text{s}$:

   $$\begin{aligned} E_\text{k} &= \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}057\,\text{kg} \cdot (2{,}91\,\text{m/s})^2 \\ &= 0{,}241\,\text{J} \\ E_\text{p} &= 0{,}057\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}36\,\text{m} \\ &= 0{,}760\,\text{J} \\ E_\text{mek} &= 0{,}241\,\text{J} + 0{,}760\,\text{J} \\ &= 1{,}001\,\text{J} \end{aligned}$$

   Samoin muille hetkille (jouleina):

   $$\begin{array}{c|ccc} t\,(\text{s}) & E_\text{k} & E_\text{p} & E_\text{mek} \\ \hline 0{,}0 & 0{,}000 & 1{,}007 & 1{,}007 \\ 0{,}1 & 0{,}027 & 0{,}979 & 1{,}006 \\ 0{,}2 & 0{,}113 & 0{,}895 & 1{,}008 \\ 0{,}3 & 0{,}241 & 0{,}760 & 1{,}001 \\ 0{,}4 & 0{,}445 & 0{,}570 & 1{,}015 \\ 0{,}5 & 0{,}679 & 0{,}324 & 1{,}003 \\ 0{,}6 & 0{,}999 & 0{,}022 & 1{,}021 \end{array}$$

   Kohta b): liike-energia kasvaa lähes nollasta noin yhteen jouleen, potentiaalienergia pienenee yhtä paljon, ja niiden summa eli mekaaninen energia pysyy lähes samana. Se vaihtelee vain alle $1{,}5\,\%$ keskiarvosta, mikä on mittausvirheen suuruusluokkaa.
   Kohta c): mekaanisten energioiden summa on $7{,}061\,\text{J}$, joten

   $E_{\text{mek,ka}}$$= 7{,}061\,\text{J} : 7$

   $\approx 1{,}009\,\text{J}$

   Vastaus

   $1{,}0\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}057\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Alussa pallo on levossa korkeudella $1{,}80\,\text{m}$, joten

   $E_\text{mek}$$= m g h$

   $= 0{,}057\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}80\,\text{m}$

   $\approx 1{,}01\,\text{J}$

   sama kuin keskiarvo. Viimeisellä hetkellä pallo on lähes lattiassa, ja lähes kaikki energia on liike-energiaa.

6. Tehtävä 10-14

   Sukeltaja, jonka massa varusteineen on $70\,\text{kg}$, on hypännyt tornista veteen. Kun hän on $1{,}5\,\text{m}$ vedenpinnan alapuolella, hänen nopeutensa on $4{,}0\,\text{m/s}$. Nollataso on vedenpinta. Tehtävässä lasketaan vain määritelmän mukainen mekaaninen energia $E_\text{k} + E_\text{p}$.

   Oppilas laski sukeltajan mekaanisen energian näin: ”$E_\text{mek} = \tfrac{1}{2}\,mv^2 + mgh = \tfrac{1}{2} \cdot 70\,\text{kg} \cdot (4{,}0\,\text{m/s})^2 + 70\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}5\,\text{m} \approx 1590\,\text{J}$.”

   a) Selitä oppilaan virhe.

   b) Laske sukeltajan mekaaninen energia oikein.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   JTarkista
   Vastaus

   $-4{,}7 \cdot 10^{2}\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 70\,\text{kg}$, syvyys $1{,}5\,\text{m}$ nollatason eli vedenpinnan alapuolella, nopeus $v = 4{,}0\,\text{m/s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   oppilaan virhe ja sukeltajan mekaaninen energia $E_\text{mek}$ jouleina

   Periaate

   Potentiaalienergia lasketaan korkeudesta nollatason yläpuolella. Vedenpinnan alapuolella korkeus on negatiivinen, $h = -1{,}5\,\text{m}$, joten potentiaalienergia on negatiivinen. Oppilas sijoitti kaavaan syvyyden positiivisena lukuna ja sai positiivisen potentiaalienergian. Liike-energia on positiivinen suunnasta riippumatta.

   Kaava

   $E_\text{mek}$$= E_\text{k} + E_\text{p}$

   $= \tfrac{1}{2}\,mv^2 + m g h$

   missä $h = -1{,}5\,\text{m}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Korkeus on $h = -1{,}5\,\text{m}$, joten

   $$\begin{aligned} E_\text{k} &= \tfrac{1}{2} \cdot 70\,\text{kg} \cdot (4{,}0\,\text{m/s})^2 \\ &= 560\,\text{J} \\ E_\text{p} &= 70\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (-1{,}5\,\text{m}) \\ &\approx -1030\,\text{J} \\ E_\text{mek} &= 560\,\text{J} - 1030\,\text{J} \\ &= -470\,\text{J} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-4{,}7 \cdot 10^{2}\,\text{J}$

   Eli kahdella merkitsevällä numerolla, kuten massassa ja nopeudessa. Virhe: oppilas käytti syvyyttä positiivisena korkeutena, vaikka $h < 0$ nollatason alapuolella.

   Järkevyys

   Sukeltaja on nollatason alapuolella, joten potentiaalienergia on negatiivinen ja sen itseisarvo $1030\,\text{J}$ on suurempi kuin liike-energia $560\,\text{J}$. Siksi myös summa on negatiivinen. Oppilaan positiivinen tulos $1590\,\text{J}$ ei voi pitää paikkaansa, koska nollatason alapuolella potentiaalienergia pienentää mekaanista energiaa.

7. Tehtävä 10-15

   Kärryn liike-energia mitattiin eri nopeuksilla. Kärryn massa unohtui kirjata muistiin, joten se on määritettävä mittausaineistosta. Alla on esimerkkiaineisto.

   Piirrä $(v^2, E_\text{k})$-kuvaaja ja sovita siihen origon kautta kulkeva suora. Perustele kaavan $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$ avulla, miksi suoran kulmakerroin kertoo kärryn massan, ja määritä massa.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kärryn massa.

   Kärryn nopeus $v$ ja liike-energia $E_\text{k}$ (esimerkkiaineisto)

   $v\,(\text{m/s})$	$E_\text{k}\,(\text{J})$
   0,40	0,043
   0,80	0,17
   1,20	0,37
   1,60	0,66
   2,00	1,04

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}52\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   esimerkkiaineiston viisi mittausta $(v, E_\text{k})$: $(0{,}40\,\text{m/s}$; $0{,}043\,\text{J})$, $(0{,}80\,\text{m/s}$; $0{,}17\,\text{J})$, $(1{,}20\,\text{m/s}$; $0{,}37\,\text{J})$, $(1{,}60\,\text{m/s}$; $0{,}66\,\text{J})$ ja $(2{,}00\,\text{m/s}$; $1{,}04\,\text{J})$

   Kysytty

   kärryn massa $m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Liike-energia on $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$. Kun $E_\text{k}$ piirretään nopeuden neliön $v^2$ funktiona, kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $\tfrac{1}{2}\,m$. Massa saadaan siis kulmakertoimen kaksinkertaisena.

   Kuvaajan lukeminen

   Lasketaan ensin $v^2$: $0{,}16$, $0{,}64$, $1{,}44$, $2{,}56$ ja $4{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$. Piirretään pisteet $(v^2, E_\text{k})$ ja sovitetaan niihin origon kautta kulkeva suora. Suoralta luetaan kaukainen piste: kun $v^2 = 4{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$, suoran arvo on noin $E_\text{k} = 1{,}04\,\text{J}$.

   Kaava

   kulmakerroin

   $k$$= \dfrac{\Delta E_\text{k}}{\Delta (v^2)}$

   $= \tfrac{1}{2}\,m$

   joten $m = 2k$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Kulmakertoimen yksikkö on $\text{J} : (\text{m}^2/\text{s}^2) = \text{kg}$.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{1{,}04\,\text{J} - 0\,\text{J}}{4{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2 - 0\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 0{,}26\,\text{kg}$

   joten

   $m$$= 2 \cdot 0{,}26\,\text{kg}$

   $= 0{,}52\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}52\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten mittausarvoissa.

   Järkevyys

   Tarkistus yhdellä pisteellä:

   $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}52\,\text{kg} \cdot (1{,}20\,\text{m/s})^2$

   $= 0{,}37\,\text{J}$

   sama kuin taulukossa. Kärryn massa $0{,}52\,\text{kg}$ on tavallinen laboratoriokärrylle.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 10-16

   Kuorma-auto, jonka massa on $12{,}0\,\text{t}$, ajaa taajamassa nopeudella $40{,}0\,\text{km/h}$.

   Kuinka suurella nopeudella henkilöauton, jonka massa on $1{,}20\,\text{t}$, pitäisi ajaa, jotta sen liike-energia olisi yhtä suuri kuin kuorma-auton? Vastaa yksikössä km/h.

   km/hTarkista
   Vastaus

   $126\,\text{km/h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuorma-auton massa $m_2 = 12{,}0\,\text{t}$ ja nopeus $v_2 = 40{,}0\,\text{km/h}$, henkilöauton massa $m_1 = 1{,}20\,\text{t}$

   Kysytty

   henkilöauton nopeus $v_1$ yksikössä $\text{km/h}$, kun liike-energiat ovat yhtä suuret

   Periaate

   Liike-energia on verrannollinen massaan ja nopeuden neliöön. Kevyemmän auton on ajettava nopeammin, mutta koska nopeus on toisessa potenssissa, kymmenkertainen massa korvautuu vain $\sqrt{10}$-kertaisella nopeudella.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2}\,m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2}\,m_2 v_2^2$, joten $v_1^2 = \dfrac{m_2}{m_1}\,v_2^2$ ja $v_1 = v_2\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}$

   Muunnokset

   Kaavassa on vain massojen suhde ja nopeus kerrotaan sillä, joten tonneja ei tarvitse muuttaa kilogrammoiksi eikä nopeutta yksikköön $\text{m/s}$: yksiköt säilyvät.

   Sijoitus

   $v_1$$= 40{,}0\,\text{km/h} \cdot \sqrt{\dfrac{12{,}0\,\text{t}}{1{,}20\,\text{t}}}$

   $= 40{,}0\,\text{km/h} \cdot \sqrt{10{,}0}$

   $\approx 126{,}5\,\text{km/h}$

   Vastaus

   $126\,\text{km/h}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Tarkistus jouleina: $40{,}0\,\text{km/h} = 11{,}11\,\text{m/s}$ ja $126{,}5\,\text{km/h} = 35{,}14\,\text{m/s}$, joten

   $\tfrac{1}{2} \cdot 12\,000\,\text{kg} \cdot (11{,}11\,\text{m/s})^2$

   $\approx 741\,\text{kJ}$

   $\tfrac{1}{2} \cdot 1200\,\text{kg} \cdot (35{,}14\,\text{m/s})^2$

   $\approx 741\,\text{kJ}$

   Kaupunkivauhtinen kuorma-auto kantaa siis yhtä paljon liike-energiaa kuin moottoritienopeutta reilusti ylittävä henkilöauto.

2. Tehtävä 10-17

   Heilurin punnus, jonka massa on $0{,}500\,\text{kg}$, roikkuu $1{,}20\,\text{m}$:n pituisen langan päässä. Punnus vedetään sivuun niin, että kireä lanka on $40^\circ$:n kulmassa pystysuoraan nähden.

   Kuinka suuri on punnuksen potentiaalienergia, kun nollatasoksi valitaan sen alin kohta?

   JTarkista
   Vastaus

   $1{,}38\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 0{,}500\,\text{kg}$, langan pituus $L = 1{,}20\,\text{m}$, langan kulma pystysuoraan nähden $\alpha = 40^\circ$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; nollataso on punnuksen alin kohta

   Kysytty

   punnuksen potentiaalienergia $E_\text{p}$ jouleina

   Periaate

   Potentiaalienergiaa varten tarvitaan punnuksen korkeus alimman kohdan yläpuolella. Punnus liikkuu ympyrän kaarella, jonka säde on langan pituus. Ripustuspisteestä mitattuna punnus on alimmillaan matkan $L$ alempana ja sivuun vedettynä matkan $L\cos\alpha$ alempana, joten korkeus on näiden erotus.

   Kaava

   $h$$= L - L\cos\alpha$

   $= L\,(1 - \cos\alpha)$

   $E_\text{p} = m g h$, joten $E_\text{p} = m g L\,(1 - \cos\alpha)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Laskimen on oltava asteissa.

   Sijoitus

   $h$$= 1{,}20\,\text{m} \cdot (1 - \cos 40^\circ)$

   $\approx 1{,}20\,\text{m} \cdot 0{,}2340$

   $\approx 0{,}2808\,\text{m}$

   joten

   $E_\text{p}$$= 0{,}500\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}2808\,\text{m}$

   $\approx 1{,}377\,\text{J}$

   Vastaus

   $1{,}38\,\text{J}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}500\,\text{kg}$ ja langan pituudessa $1{,}20\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Korkeus $0{,}28\,\text{m}$ on selvästi langan pituutta pienempi, kuten pitää, kun kulma on alle $90^\circ$; kulmalla $90^\circ$ korkeus olisi koko $1{,}20\,\text{m}$. Pyöristetyillä luvuilla $5\,\text{N} \cdot 0{,}28\,\text{m} \approx 1{,}4\,\text{J}$.

3. Tehtävä 10-18

   Rullaluistelija, jonka massa on $55{,}0\,\text{kg}$, tulee rampin juurelle nopeudella $7{,}00\,\text{m/s}$. Hän ei potkaise lisävauhtia, ja hän pysähtyy hetkeksi $2{,}10\,\text{m}$:n korkeudella rampin juuren yläpuolella.

   Kuinka paljon mekaanista energiaa muuttui nousun aikana muuksi energiaksi, kuten sisäenergiaksi?

   JTarkista
   Vastaus

   $214\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 55{,}0\,\text{kg}$, nopeus rampin juurella $v = 7{,}00\,\text{m/s}$, korkeus ylimmässä kohdassa $h = 2{,}10\,\text{m}$, jossa nopeus on nolla, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; nollataso on rampin juuri

   Kysytty

   muuksi energiaksi muuttunut mekaaninen energia jouleina

   Periaate

   Ilman kitkaa ja ilmanvastusta mekaaninen energia pysyisi samana. Kitka ja ilmanvastus eivät ole konservatiivisia, ja ne muuttavat osan mekaanisesta energiasta sisäenergiaksi. Muuttunut määrä on mekaanisen energian väheneminen juurelta ylimpään kohtaan. Juurella on vain liike-energiaa ($h = 0$), ylimmässä kohdassa vain potentiaalienergiaa ($v = 0$).

   Kaava

   $E_\text{muu} = E_\text{mek,1} - E_\text{mek,2}$, missä $E_\text{mek,1} = \tfrac{1}{2}\,mv^2$ ja $E_\text{mek,2} = m g h$. Siis $E_\text{muu} = \tfrac{1}{2}\,mv^2 - m g h$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\tfrac{1}{2}\,m v^2$$= \tfrac{1}{2} \cdot 55{,}0\,\text{kg} \cdot (7{,}00\,\text{m/s})^2$

   $= 1347{,}5\,\text{J}$

   $m g h$$= 55{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 2{,}10\,\text{m}$

   $\approx 1133{,}1\,\text{J}$

   joten

   $E_\text{muu}$$= 1347{,}5\,\text{J} - 1133{,}1\,\text{J}$

   $\approx 214\,\text{J}$

   Vastaus

   $214\,\text{J}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Ilman kitkaa luistelija nousisi korkeudelle

   $\tfrac{v^2}{2g}$$= \tfrac{49\,\text{m}^2/\text{s}^2}{19{,}62\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 2{,}50\,\text{m}$

   Hän nousee $2{,}10\,\text{m}$ eli noin $16\,\%$ vähemmän, ja muuttunut energia $214\,\text{J}$ on noin $16\,\%$ alkuperäisestä $1347{,}5\,\text{J}$:sta. Tulos on positiivinen, koska kitka vain vähentää mekaanista energiaa.

4. Tehtävä 10-19

   Tennispallo, jonka massa on $0{,}058\,\text{kg}$, pudotettiin kovalle lattialle. Videolta mitattiin pallon korkein kohta lattian yläpuolella ennen pudotusta ja jokaisen pomppauksen jälkeen. Pallo liikkuu pystysuunnassa, ja korkeimmassa kohdassa sen nopeus on nolla. Alla on esimerkkiaineisto.

   a) Laske pallon mekaaninen energia jokaisessa korkeimmassa kohdassa, kun nollataso on lattia.

   b) Kuinka monta prosenttia mekaanisesta energiasta muuttuu yhdessä pomppauksessa muuksi energiaksi keskimäärin?

   c) Kuinka paljon mekaanista energiaa on muuttunut muuksi energiaksi neljän ensimmäisen pomppauksen aikana? Mihin energia on mennyt?

   d) Toinen oppilas valitsee nollatasoksi pöydän pinnan, joka on $1{,}00\,\text{m}$ lattian yläpuolella. Laske hänen nollatasonsa mukaan pallon mekaaninen energia pudotushetkellä ja neljännen pomppauksen jälkeen. Perustele, miksi kohdan c) tulos on silti sama.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) energia.

   Pallon korkein kohta $h$ lattian yläpuolella (esimerkkiaineisto)

   Pomppauksia	$h\,(\text{m})$
   0	1,50
   1	1,09
   2	0,80
   3	0,57
   4	0,42

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}61\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 0{,}058\,\text{kg}$, korkeimmat kohdat $1{,}50\,\text{m}$, $1{,}09\,\text{m}$, $0{,}80\,\text{m}$, $0{,}57\,\text{m}$ ja $0{,}42\,\text{m}$ lattian yläpuolella; korkeimmassa kohdassa $v = 0$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   mekaaninen energia korkeimmissa kohdissa, keskimääräinen prosenttiosuus, neljässä ensimmäisessä pomppauksessa muuttunut energia $\Delta E$ jouleina ja tulosten riippumattomuus nollatasosta

   Periaate

   Korkeimmassa kohdassa nopeus on nolla, joten mekaaninen energia on pelkkää potentiaalienergiaa, $E_\text{mek} = E_\text{p} = m g h$. Jos mekaaninen energia säilyisi, pallo palaisi aina samaan korkeuteen. Korkeus pienenee, joten osa mekaanisesta energiasta muuttuu muuksi energiaksi: törmäyksessä pallo ja lattia lämpenevät hieman, pallo värähtelee ja ääntä syntyy. Muuttunut määrä on mekaanisen energian väheneminen.

   Kaava

   $E_\text{mek} = m g h$. Muuttunut energia on

   $\Delta E$$= E_\text{mek,0} - E_\text{mek,4}$

   $= m g\,(h_0 - h_4)$

   Osuus yhdessä pomppauksessa saadaan korkeuksien suhteesta, koska $E_\text{mek}$ on verrannollinen korkeuteen.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Kohta a):

   $m g$$= 0{,}058\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}569\,\text{N}$

   ja $E_n = m g h_n$:

   $$\begin{aligned} E_0 &= 0{,}569\,\text{N} \cdot 1{,}50\,\text{m} \\ &= 0{,}853\,\text{J} \\ E_1 &= 0{,}569\,\text{N} \cdot 1{,}09\,\text{m} \\ &= 0{,}620\,\text{J} \\ E_2 &= 0{,}569\,\text{N} \cdot 0{,}80\,\text{m} \\ &= 0{,}455\,\text{J} \\ E_3 &= 0{,}569\,\text{N} \cdot 0{,}57\,\text{m} \\ &= 0{,}324\,\text{J} \\ E_4 &= 0{,}569\,\text{N} \cdot 0{,}42\,\text{m} \\ &= 0{,}239\,\text{J} \end{aligned}$$

   Kohta b): peräkkäisten korkeuksien suhteet ovat $\dfrac{1{,}09}{1{,}50} = 0{,}727$, $\dfrac{0{,}80}{1{,}09} = 0{,}734$, $\dfrac{0{,}57}{0{,}80} = 0{,}713$ ja $\dfrac{0{,}42}{0{,}57} = 0{,}737$. Suhteiden summa on $2{,}911$, joten keskiarvo on $2{,}911 : 4 = 0{,}728$. Jokaisessa pomppauksessa mekaanisesta energiasta säilyy siis noin $73\,\%$ ja noin $27\,\%$ muuttuu muuksi energiaksi.
   Kohta c):

   $$\begin{aligned} \Delta E &= 0{,}853\,\text{J} - 0{,}239\,\text{J} \\ &= 0{,}614\,\text{J} \end{aligned}$$

   Kohta d): nollataso on $1{,}00\,\text{m}$ lattian yläpuolella, joten korkeudet ovat $h' = h - 1{,}00\,\text{m}$:

   $$\begin{aligned} E_0' &= 0{,}569\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{m} \\ &= 0{,}285\,\text{J} \\ E_4' &= 0{,}569\,\text{N} \cdot (-0{,}58\,\text{m}) \\ &= -0{,}330\,\text{J} \\ E_4' - E_0' &= -0{,}615\,\text{J} \end{aligned}$$

   Muutos on sama kuin lattian nollatasolla, koska $m g\,(h_4' - h_0') = m g\,(h_4 - h_0)$: nollatason korkeus supistuu pois erotuksesta. Mekaanisen energian arvo riippuu nollatasosta, mutta sen muutos ei.

   Vastaus

   $0{,}61\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}058\,\text{kg}$. Energia on mennyt pallon, lattian ja ilman sisäenergiaksi sekä ääneksi.

   Järkevyys

   Kokonaismuutos on $1 - \dfrac{0{,}42}{1{,}50} = 72\,\%$ alkuperäisestä energiasta, ja $0{,}72 \cdot 0{,}853\,\text{J} = 0{,}614\,\text{J}$. Neljä pomppausta, joissa säilyy $73\,\%$, antaa $0{,}73^4 \approx 0{,}28$ eli jäljellä $28\,\%$, mikä vastaa taulukon suhdetta $0{,}42 : 1{,}50 = 0{,}28$.

5. Tehtävä 10-20

   Pulkkamäen varrella oli viisi mittauspistettä, joissa mitattiin pulkkailijan korkeus $h$ rinteen alapään yläpuolella ja nopeus $v$. Pulkkailijan ja pulkan yhteismassa on $48\,\text{kg}$. Alla on esimerkkiaineisto.

   a) Laske mekaaninen energia jokaisessa mittauspisteessä, kun nollataso on rinteen alapää.

   b) Kuinka paljon mekaanista energiaa on muuttunut muuksi energiaksi pisteiden 1 ja 5 välillä?

   c) Millä pisteiden välillä mekaanista energiaa muuttuu eniten? Perustele havainnolla nopeudesta ja selitä, miksi energia ei häviä mihinkään.

   d) Valitaan nollatasoksi pisteen 1 korkeus. Laske mekaaninen energia pisteissä 1 ja 5 ja perustele, miksi kohdan b) tulos ei muutu.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) energia kilojouleina.

   Pulkkailijan korkeus $h$ ja nopeus $v$ mittauspisteissä (esimerkkiaineisto)

   Piste	$h\,(\text{m})$	$v\,(\text{m/s})$
   1	18,0	1,5
   2	14,0	8,3
   3	10,0	11,5
   4	6,0	14,0
   5	2,0	15,8

   kJTarkista
   Vastaus

   $1{,}6\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 48\,\text{kg}$, mittauspisteet $(h, v)$: $(18{,}0\,\text{m}$; $1{,}5\,\text{m/s})$, $(14{,}0\,\text{m}$; $8{,}3\,\text{m/s})$, $(10{,}0\,\text{m}$; $11{,}5\,\text{m/s})$, $(6{,}0\,\text{m}$; $14{,}0\,\text{m/s})$ ja $(2{,}0\,\text{m}$; $15{,}8\,\text{m/s})$; nollataso on rinteen alapää; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   mekaaninen energia $E_\text{mek}$ pisteissä 1–5, pisteiden 1 ja 5 välillä muuksi energiaksi muuttunut energia $\Delta E$ kilojouleina sekä tuloksen riippumattomuus nollatasosta

   Periaate

   Jokaisessa pisteessä mekaaninen energia on liike-energian ja potentiaalienergian summa. Ilman kitkaa ja ilmanvastusta se pysyisi samana, joten sen väheneminen kertoo, kuinka paljon energiaa on muuttunut muuksi energiaksi eli sisäenergiaksi kitkan ja ilmanvastuksen vaikutuksesta. Korkeus on pystysuora etäisyys nollatasosta, ei matka rinnettä pitkin.

   Kaava

   $E_\text{mek} = \tfrac{1}{2}\,mv^2 + m g h$ ja $\Delta E = E_\text{mek,1} - E_\text{mek,5}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten energiat tulevat jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   Kohta a), esimerkkinä piste 1, jossa

   $m g$$= 48\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 470{,}9\,\text{N}$

   :

   $$\begin{aligned} E_\text{k} &= \tfrac{1}{2} \cdot 48\,\text{kg} \cdot (1{,}5\,\text{m/s})^2 \\ &= 54\,\text{J} \\ E_\text{p} &= 470{,}9\,\text{N} \cdot 18{,}0\,\text{m} \\ &\approx 8476\,\text{J} \\ E_\text{mek} &\approx 8530\,\text{J} \end{aligned}$$

   Kaikki pisteet (jouleina):

   $$\begin{array}{c|ccc} \text{Piste} & E_\text{k} & E_\text{p} & E_\text{mek} \\ \hline 1 & 54 & 8476 & 8530 \\ 2 & 1653 & 6592 & 8246 \\ 3 & 3174 & 4709 & 7883 \\ 4 & 4704 & 2825 & 7529 \\ 5 & 5991 & 942 & 6933 \end{array}$$

   Kohta b):

   $$\begin{aligned} \Delta E &= 8530\,\text{J} - 6933\,\text{J} \\ &= 1597\,\text{J} \\ &\approx 1{,}6\,\text{kJ} \end{aligned}$$

   Kohta c): peräkkäisten pisteiden mekaanisen energian erotukset ovat $284\,\text{J}$, $363\,\text{J}$, $354\,\text{J}$ ja $596\,\text{J}$. Eniten energiaa muuttuu pisteiden 4 ja 5 välillä, missä nopeus on suurin, ja vähiten pisteiden 1 ja 2 välillä, missä nopeus on pienin. Tämä sopii ilmanvastukseen, joka kasvaa nopeuden kasvaessa, ja lumen kitka vaikuttaa sen lisäksi. Energia ei häviä: kitka ja ilmanvastus lämmittävät pulkkaa, lunta ja ilmaa, joten mekaaninen energia muuttuu niiden sisäenergiaksi.
   Kohta d): nollataso on pisteen 1 korkeudella, joten pisteen 5 korkeus on

   $h'$$= 2{,}0\,\text{m} - 18{,}0\,\text{m}$

   $= -16{,}0\,\text{m}$

   ja pisteen 1 korkeus on $0$:

   $$\begin{aligned} E_1' &= 54\,\text{J} + 0\,\text{J} \\ &= 54\,\text{J} \\ E_5' &= 5991\,\text{J} - 7534\,\text{J} \\ &= -1543\,\text{J} \\ E_1' - E_5' &= 1597\,\text{J} \end{aligned}$$

   Erotus on sama, koska nollatason valinta lisää molempiin mekaanisiin energioihin saman luvun, joka supistuu erotuksesta pois.

   Vastaus

   $1{,}6\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $48\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Jos mekaaninen energia säilyisi, pisteen 5 nopeus olisi noin $17{,}8\,\text{m/s}$, ja mitattu $15{,}8\,\text{m/s}$ on sitä pienempi. Muuttunut energia on noin $19\,\%$ alkuperäisestä $8530\,\text{J}$:sta, mikä on kohtuullinen osuus pulkkamäelle.