Paino, kitka ja kalteva taso
Miksi muuttolaatikko pysyy paikallaan vinolla lastaussillalla, mutta lähtee liukumaan, kun siltaa jyrkennetään vähän lisää?
Pohjatiedot
- Voimakuvion piirtäminen ja liikeyhtälöt $\Sigma F_x = m a_x$ ja $\Sigma F_y = m a_y$luku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
- Vinon voiman komponentit $F\cos\alpha$ ja $F\sin\alpha$luku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 3.
Pohdinta
Muuttaja nostaa laatikon pakettiauton lastaussillalle. Laatikko voi olla tyhjä tai täyteen pakattu. Se jää sillalle paikalleen, vaikka silta on vinossa. Kun sillan alapäätä siirretään lähemmäs autoa, silta jyrkkenee. Jossakin vaiheessa laatikko lähtee yhtäkkiä liukumaan alas.
Mikä pitää laatikon paikallaan loivalla sillalla, ja miksi se ei enää riitä jyrkällä sillalla?
Valinnainen Kertaa: tukivoima rinteellä
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kitka kallistuvalla lankulla
Ennuste 2: raskas ja kevyt laatikko
Tutki
Laatikko on lankulla, jonka kaltevuutta voit muuttaa. Vasemmalla on tilannekuva ja kuvaaja kitkavoimasta, oikealla laatikon voimakuvio mittakaavassa.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä lankun kulmaa $\alpha$ liukusäätimellä. Valitse Massa ja Pinnat. Voimakuvio ja lukemat päivittyvät heti. Jos laatikko liukuu, paina Käynnistä, niin näet liukumisen, ja Alusta, niin laatikko palaa alkuun. Kuvaaja merkitsee kitkavoiman jokaisella kokeilemallasi kulmalla. Ruutu Näytä painon komponentit näyttää komponentit katkoviivoin. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa liikettä muuttamatta lukemia.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Laatikko on aluksi levossa. Se pysyy paikallaan, jos tarvittava lepokitka on enintään $\mu_0 N$; muuten se liukuu, ja siihen vaikuttaa liikekitka $\mu N$. Kitkakertoimet ovat mallin arvoja: puu puulla $\mu_0 = 0{,}50$ ja $\mu = 0{,}30$, muovi puulla $\mu_0 = 0{,}30$ ja $\mu = 0{,}20$, kumi puulla $\mu_0 = 0{,}80$ ja $\mu = 0{,}60$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Nopeuden sininen nuoli on tilannekuvassa, ei voimakuviossa, koska nopeus ei ole voima.
Laskennan selitys
Painon komponentit ovat $G_x = mg\sin\alpha$ rinnettä alas ja $G_y = mg\cos\alpha$ pintaa kohti, ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Pintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$. Jos $G_x \le \mu_0 N$, laatikko pysyy paikallaan, lepokitka on $F_\mu = G_x$ ja $a = 0$. Muuten $F_\mu = \mu N$ ja rinteen suunnassa $G_x - F_\mu = ma$, joten $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$.
Koe 1: lankun kallistaminen
Testaa ensimmäinen ennuste. Alkutila valitsee puu puulla -pinnat ja massan $2{,}0\,\text{kg}$. Muuta vain kulmaa $\alpha$. Kirjaa mittaus ainakin kulmilla $0^\circ$, $10^\circ$ ja $20^\circ$. Kasvata sitten kulmaa asteen kerrallaan, kunnes laatikko lähtee liukumaan, ja kirjaa myös viimeinen kulma, jolla se pysyy paikallaan, ja ensimmäinen, jolla se liukuu.
Alkutila: pinnat: puu puulla, massa $m$ = $2\,\text{kg}$, kulma $\alpha$ = $0^\circ$. Vakiona: pinnat, massa $m$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $G_x$ $(\text{N})$ | $N$ $(\text{N})$ | $F_\mu$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Etsi taulukosta raja, jolla laatikko lähtee liukumaan. Määritä sen avulla laatikon ja lankun välinen lepokitkakerroin $\mu_0$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Juuri ennen liukumista lepokitka on suurimmillaan, eli $F_\mu = \mu_0 N$. Mitkä voimat ovat silloin tasapainossa rinteen suunnassa?
Vihje 2: mikä yhteys
Rinteen suunnassa $mg\sin\alpha_0 = \mu_0\,mg\cos\alpha_0$, ja massa supistuu.
Vihje 3: välivaihe
$\mu_0 = \tan\alpha_0$, missä $\alpha_0$ on viimeisen paikallaan pysymiskulman ja ensimmäisen liukumiskulman puoliväli.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta laatikko pysyy paikallaan kulmalla $26^\circ$ ja liukuu kulmalla $27^\circ$, joten rajakulma on $\alpha_0 \approx 26{,}5^\circ$; $m = 2{,}0\,\text{kg}$
Kysytty
lepokitkakerroin $\mu_0$ (ei yksikköä)
Periaate
Juuri ennen liukumista laatikko on vielä levossa, joten voimien summa on nolla, ja lepokitka on suurimmillaan, $F_\mu = \mu_0 N$. Newtonin toinen laki rinteen suuntaan ja kohtisuoraan pintaa vastaan antaa kertoimen.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas, sen komponentit $G_x = mg\sin\alpha_0$ ja $G_y = mg\cos\alpha_0$ katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan pinnasta ulos ja lepokitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha_0 = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha_0 - \mu_0 N = 0$, joten
Muunnokset
Kulma on asteina, ja tangentti lasketaan laskimen astetilassa; muita muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\mu_0 = \tan 26{,}5^\circ = 0{,}4986$
Vastaus
$0{,}50$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska rajakulma tunnetaan vain asteen tarkkuudella: $\tan 26^\circ = 0{,}49$ ja $\tan 27^\circ = 0{,}51$.
Järkevyys
Taulukossa juuri ennen liukumista kitka on $8{,}6\,\text{N}$ ja tukivoima $17{,}6\,\text{N}$, ja niiden suhde on $0{,}49$, sama tulos. Puun kitkakerroin puuta vasten on tyypillisesti $0{,}3$–$0{,}6$, joten arvo on uskottava.
Koe 2: massa muuttuu
Testaa toinen ennuste. Alkutila valitsee puu puulla -pinnat ja kulman $35^\circ$, jolla laatikko liukuu. Muuta vain massaa ja kirjaa mittaus kaikilla kolmella massalla. Voit katsoa liukumisen painamalla Käynnistä.
Alkutila: pinnat: puu puulla, kulma $\alpha$ = $35^\circ$, massa $m$ = $2\,\text{kg}$. Vakiona: pinnat, kulma $\alpha$. Muutetaan: massa $m$.
| massa $m$ | $G_x$ $(\text{N})$ | $F_\mu$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, miksi laatikko pysyy loivalla lankulla paikallaan mutta lähtee jyrkemmällä liukumaan, ja miksi massa ei vaikuta kiihtyvyyteen.
Mallivastaus
Levossa laatikkoon vaikuttava lepokitka on yhtä suuri kuin rinnettä alas vievä komponentti $G_x = mg\sin\alpha$, joten se kasvaa kulman mukana: mallin arvoissa $3{,}4\,\text{N}$ kulmalla $10^\circ$ ja $8{,}6\,\text{N}$ kulmalla $26^\circ$. Samalla tukivoima $N = mg\cos\alpha$ pienenee, ja sen mukana lepokitkan yläraja $\mu_0 N$. Kun $G_x$ ylittää ylärajan, noin kulmalla $27^\circ$, laatikko lähtee liukumaan, ja kitka putoaa liikekitkaksi $\mu N$, mallin arvoissa $5{,}2\,\text{N}$. Sekä $G_x$ että kitka ovat verrannollisia massaan, joten massa supistuu, ja kulmalla $35^\circ$ kiihtyvyys on $3{,}22\,\text{m/s}^2$ kaikilla massoilla, mikä näkyy koe 2:n taulukossa. Rajakulman riippumattomuus massasta seuraa ehdosta $\tan\alpha_0 = \mu_0$, jossa massaa ei ole; sitä ei mitattu.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Valinnainen Mittaus jousivaa'alla
Keksitty esimerkkiaineisto
Opiskelijat vetävät puupalikkaa vaakasuoralla pöydällä jousivaa'alla vaakasuoraan ja tasaisella nopeudella. He lisäävät palikan päälle punnuksia ja kirjaavat vaa'an lukeman.
| $m$ (kg) | $0{,}50$ | $1{,}00$ | $1{,}50$ | $2{,}00$ |
|---|---|---|---|---|
| $F$ (N) | $1{,}7$ | $3{,}5$ | $5{,}1$ | $6{,}9$ |
Määritä palikan ja pöydän välinen liikekitkakerroin $\mu$ mittausten keskiarvona.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Palikka liikkuu tasaisesti, joten vaa'an voima on yhtä suuri kuin liikekitka. Mikä on tukivoima vaakasuoralla pöydällä?
Vihje 2: mikä yhteys
jokaiselle riville.
Vihje 3: välivaihe
Esimerkiksi ensimmäiseltä riviltä
Laske kaikki neljä ja niiden keskiarvo.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon massat $0{,}50$–$2{,}00\,\text{kg}$ ja vaa'an lukemat $1{,}7$–$6{,}9\,\text{N}$; palikka liikkuu vaakasuoraan tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Palikka liikkuu tasaisella nopeudella, joten voimien summa on nolla: vaakasuunnassa vaa'an voima on yhtä suuri kuin liikekitka ja pystysuunnassa tukivoima yhtä suuri kuin paino. Liikekitka on $F_\mu = \mu N$.
Kaava
$F - \mu N = 0$ ja $N - mg = 0$, joten $\mu = \dfrac{F}{mg}$
Muunnokset
Massat ovat kilogrammoina ja voimat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
samoin $\mu_2 = 0{,}357$, $\mu_3 = 0{,}347$ ja $\mu_4 = 0{,}352$; keskiarvo
Vastaus
$0{,}35$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten vaa'an lukemissa, esimerkiksi $1{,}7\,\text{N}$.
Järkevyys
Kaikki neljä suhdetta ovat lähellä toisiaan, joten kitka on todella verrannollinen tukivoimaan. Kun massa nelinkertaistuu, lukema kasvaa $1{,}7\,\text{N}$:sta $6{,}9\,\text{N}$:iin eli noin nelinkertaiseksi. Puun kitkakerroin puuta vasten on tyypillisesti $0{,}3$–$0{,}6$.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Paino
Kappaleen paino $\overline{G}$ on voima, jolla Maa vetää kappaletta. Se osoittaa aina suoraan alas, myös rinteellä, ja voimakuviossa se piirretään kappaleen keskipisteestä. Painon suuruus on massan ja putoamiskiihtyvyyden tulo $mg$. Massa kuvaa kappaleen hitautta eli sitä, kuinka vaikea sen liiketilaa on muuttaa, ja se on sama kaikkialla. Paino taas riippuu paikasta: Kuun pinnalla $g = 1{,}62\,\text{m/s}^2$, joten $60\,\text{kg}$:n ihmisen paino on siellä noin $97\,\text{N}$, kun se Maassa on noin $590\,\text{N}$.
Lepokitka ja liikekitka
Kun kaksi pintaa koskettaa toisiaan, ne vastustavat liukumista toistensa suhteen. Tämä pinnan suuntainen voima on kitka $\overline{F}_\mu$. Pinnat eivät ole täysin sileitä: pienet epätasaisuudet tarttuvat toisiinsa, ja pintojen hiukkasten välillä on vetovoimia. Mitä lujemmin pinnat painuvat toisiaan vasten eli mitä suurempi tukivoima $N$ on, sitä suurempi kitka voi olla.
Kun laatikkoa vedetään lattialla heikosti, se ei liiku. Silloin siihen vaikuttaa lepokitka, joka on yhtä suuri kuin veto ja vastakkaissuuntainen, joten kokonaisvoima on nolla. Lepokitka ei siis ole vakio, vaan se mukautuu tilanteeseen. Sillä on kuitenkin yläraja. Kun veto ylittää sen, laatikko lähtee liukumaan, ja kitka vaihtuu liikekitkaksi. Liikekitka on yleensä pienempi kuin lepokitkan suurin arvo, ja tavallisilla nopeuksilla se on likimain vakio.
Kuvaajassa lattian tukivoima on $100\,\text{N}$. Lepokitka kasvaa vedon mukana $50\,\text{N}$:iin asti, ja siinä laatikko lähtee liikkeelle. Liukuvaan laatikkoon vaikuttaa $35\,\text{N}$:n liikekitka, vaikka vetoa lisättäisiin. Siksi raskas kaappi on vaikeinta saada liikkeelle, ja liikkeellä se kulkee kevyemmin.
Kalteva taso
Kaltevalla tasolla eli rinteellä paino osoittaa yhä suoraan alas, mutta pinta on vinossa. Tukivoima on kohtisuorassa pintaa vastaan, ja kitka on pinnan suuntainen. Laskua varten paino jaetaan kahteen komponenttiin: rinteen suuntainen komponentti pyrkii viemään kappaletta rinnettä alas, ja pintaa vastaan kohtisuora komponentti painaa kappaletta pintaa vasten. Komponentit eivät ole uusia voimia. Ne korvaavat painon laskussa, ja voimakuviossa ne piirretään katkoviivoin.
Mitä jyrkempi rinne, sitä suurempi on rinteen suuntainen komponentti ja sitä pienempi kohtisuora komponentti. Kun pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima eikä kappale kiihdy siinä suunnassa, tukivoima pienenee kohtisuoran komponentin mukana ja sen mukana lepokitkan yläraja. Siksi laatikko lähtee jyrkässä rinteessä liukumaan: rinnettä alas vievä komponentti kasvaa suuremmaksi kuin suurin lepokitka, jonka silta pystyy antamaan.
Kitka ei aina vastusta liikettä
Kitka vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen, ei välttämättä kappaleen liikettä. Kun avolava-auto lähtee kiihtyen liikkeelle, lavalla oleva laatikko kiihtyy mukana. Kun ilmanvastus jätetään huomiotta, ainoa vaakasuora voima laatikkoon on lavan kitka, joten sen täytyy osoittaa eteenpäin, liikkeen suuntaan: lava pyrkii liukumaan eteenpäin laatikon alta, ja lepokitka estää sen. Samoin kävellessä jalka työntää maata taaksepäin, ja maan lepokitka työntää jalkaa eteenpäin. Peilijäällä, jossa kitkaa on hyvin vähän, liikkeelle lähteminen on siksi vaikeaa.
Kitkan lisäksi kappaleeseen voi vaikuttaa muitakin kosketusvoimia. Noste on voima, jolla neste tai kaasu työntää siihen uponnutta kappaletta ylöspäin, ja väliaineen vastusvoima on voima, jolla ilma tai vesi vastustaa kappaleen liikettä. Ilmanvastusta käsitellään tarkemmin luvussa Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa. Tässä luvussa ilmanvastus ja noste jätetään huomiotta.
Kitkavoima ja kalteva taso
Painon suuruus on
$$G = mg$$
missä $G$ on paino (N), $m$ massa (kg) ja $g$ putoamiskiihtyvyys, Maan pinnalla $9{,}81\,\text{m/s}^2$.
Liikekitka on verrannollinen tukivoimaan:
$$F_\mu = \mu N$$
missä $F_\mu$ on liikekitkan suuruus (N), $\mu$ liikekitkakerroin (ei yksikköä) ja $N$ tukivoiman suuruus (N). Lepokitka on enintään tukivoiman ja lepokitkakertoimen $\mu_0$ tulo:
$$F_{\mu 0} \le \mu_0 N$$
missä $F_{\mu 0}$ on lepokitkan suuruus (N). Kitkakertoimet riippuvat pintojen aineista ja kunnosta, ja yleensä $\mu < \mu_0$. Kaavat ovat kokeellisia malleja, jotka kuvaavat kuivia pintoja hyvin. Niissä kitka ei riipu kosketuspinnan alasta eikä liukumisnopeudesta.
Kaltevalla tasolla, jonka kaltevuuskulma on $\alpha$, valitaan $x$-akseli rinteen suuntaiseksi ja $y$-akseli kohtisuoraan pintaa vastaan. Painon komponentit ovat
$$\begin{aligned} G_x &= G\sin\alpha \\ G_y &= G\cos\alpha \end{aligned}$$
missä $G_x$ on rinteen suuntainen komponentti (N) ja $G_y$ pintaa vastaan kohtisuora komponentti (N). Painon ja komponentin $G_y$ välinen kulma on sama $\alpha$ kuin rinteen kaltevuuskulma, koska kumpikin on kohtisuorassa omaa vastinsuoraansa vastaan: paino vaakatasoa ja $G_y$ rinnettä.
Jos pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima eikä kappale kiihdy siinä suunnassa, tukivoima on yhtä suuri kuin $G_y$: $N = mg\cos\alpha$, painoa pienempi. (Pintaa vasten tai siitä poispäin suuntautuva vetävä tai työntävä voima muuttaisi tukivoimaa.) Levossa olevaan kappaleeseen vaikuttava lepokitka on yhtä suuri kuin $G_x$. Kappale pysyy paikallaan niin kauan kuin $mg\sin\alpha \le \mu_0\,mg\cos\alpha$ eli $\tan\alpha \le \mu_0$. Massa supistuu, joten tämän mallin mukaan raskas ja kevyt laatikko lähtevät samalta pinnalta liukumaan samalla kulmalla.
Kitkakertoimen määrittäminen
Kuvioissa ja simulaatiossa levossa olevaan kappaleeseen vaikuttavaa lepokitkaa merkitään $\overline{F}_\mu$; sen suuruus on $F_{\mu 0} \le \mu_0 N$, ja liukuessa $F_\mu = \mu N$.
Lepokitkakerroin saadaan kokeesta, jossa lautaa kallistetaan hitaasti, kunnes kappale lähtee liukumaan. Tällä rajakulmalla $\alpha_0$ lepokitka on suurimmillaan, joten $\mu_0 = \tan\alpha_0$. Liikekitkakerroin saadaan esimerkiksi vetämällä kappaletta vaakasuoralla pöydällä jousivaa'alla vaakasuoraan ja tasaisella nopeudella. Silloin veto on yhtä suuri kuin liikekitka ja tukivoima yhtä suuri kuin paino, joten $\mu = F : mg$. Kun mittaus toistetaan eri massoilla, kitkakerroin on $(N, F_\mu)$-kuvaajaan sovitetun origon kautta kulkevan suoran kulmakerroin.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että kitkavoima on aina $\mu_0 N$ tai $\mu N$ ja aina liikettä vastaan. Lepokitka on kuitenkin vain niin suuri kuin tilanne vaatii: jos laatikkoa työnnetään $20\,\text{N}$:n voimalla eikä se liiku, lepokitka on $20\,\text{N}$, vaikka sen yläraja olisi suurempi. Kitka vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen, joten se voi osoittaa myös liikkeen suuntaan, kuten kiihtyvän auton lavalla. Toinen yleinen virhe on pitää tukivoimaa aina painon suuruisena. Rinteellä $N = mg\cos\alpha$ on painoa pienempi, kun kohtisuorassa suunnassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima eikä kappale kiihdy siinä suunnassa, ja paino osoittaa silloinkin suoraan alas eikä kohtisuoraan rinnettä vastaan.
Tiivistelmä
- Painon suuruus on $G = mg$, ja paino osoittaa aina suoraan alas. Massa on sama kaikkialla, mutta paino riippuu putoamiskiihtyvyydestä.
- Kitka on pinnan suuntainen ja vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen, ei aina kappaleen liikettä.
- Lepokitka mukautuu tilanteeseen: $F_{\mu 0} \le \mu_0 N$. Liukuvaan kappaleeseen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$, ja yleensä $\mu < \mu_0$.
- Rinteellä paino jaetaan komponentteihin $G_x = mg\sin\alpha$ ja $G_y = mg\cos\alpha$, ja tukivoima on $N = mg\cos\alpha$, kun pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima eikä kappale kiihdy siinä suunnassa. Komponentit piirretään katkoviivoin, eivätkä ne ole uusia voimia.
- Lepokitkakerroin saadaan rajakulmasta, jolla kappale lähtee liukumaan: $\mu_0 = \tan\alpha_0$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin. Mitä opit lepokitkan suuruudesta? Palaa myös alun laatikkoon: päättele ehdosta $\tan\alpha_0 = \mu_0$, miksi tyhjä ja täyteen pakattu laatikko lähtevät liukumaan samalla sillan kulmalla.
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Muuttolaatikko, jonka massa on $18\,\text{kg}$, liukuu lastaussiltaa alas. Silta on $25^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden, ja laatikon ja sillan välinen liikekitkakerroin on $0{,}30$. Kuinka suuri on laatikon kiihtyvyys, ja kuinka suuri on kitkavoima? Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vaihe 1/8
Tunnetut ja kysytty. $m = 18\,\text{kg}$, $\alpha = 25^\circ$, $\mu = 0{,}30$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kysytään kiihtyvyyttä $a$ ja kitkavoimaa $F_\mu$.
Vaihe 2/8
Periaate. Valitaan kappaleeksi laatikko. Siihen vaikuttavat Maa (paino) ja silta (tukivoima ja liikekitka). Laatikko liukuu alas, joten liikekitka osoittaa rinnettä ylös. Newtonin toinen laki kirjoitetaan rinteen suuntaan, jossa laatikko kiihtyy, ja kohtisuoraan pintaa vastaan, jossa se ei kiihdy: $a_y = 0$.
Vaihe 3/8
Voimakuvio. Laatikko piirretään suorakulmiona rinteen suuntaisesti, ja voimat lähtevät vaikutuskohdistaan. Akselit valitaan niin, että $x$ osoittaa rinnettä alas eli kiihtyvyyden suuntaan ja $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino jaetaan komponentteihin $G_x = mg\sin\alpha$ ja $G_y = mg\cos\alpha$, jotka on piirretty katkoviivalla.
Vaihe 4/8
Kaava ratkaistuna. Kuviosta luetaan liikeyhtälöt ja ratkaistaan kysytyt suureet:
$$\begin{aligned} &x\text{:}\ \ mg\sin\alpha - \mu N = ma \\ &y\text{:}\ \ N - mg\cos\alpha = 0 \\ &F_\mu = \mu mg\cos\alpha \\ &a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \end{aligned}$$
Vaihe 5/8
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja kitkakerroin on yksikötön.
Vaihe 6/8
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} &F_\mu = \mu mg\cos\alpha \\ &\phantom{F_\mu} = 0{,}30\cdot 18\,\text{kg} \\ &\quad\ \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 25^\circ \\ &\phantom{F_\mu} \approx 48{,}0\,\text{N} \\[4pt] &a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \\ &\phantom{a} = 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad\ \cdot(\sin 25^\circ - 0{,}30\cdot\cos 25^\circ) \\ &\phantom{a} \approx 1{,}48\,\text{m/s}^2 \end{aligned}$$
Vaihe 7/8
Tulos. Laatikon kiihtyvyys on $a \approx 1{,}5\,\text{m/s}^2$ rinnettä alas ja kitkavoima $F_\mu \approx 48\,\text{N}$, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten lähtötiedot $\mu = 0{,}30$ ja $m = 18\,\text{kg}$.
Vaihe 8/8
Järkevyys. Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $g\sin 25^\circ \approx 4{,}1\,\text{m/s}^2$, joten kitka pienentää sitä, kuten pitääkin. Kitkavoima $48\,\text{N}$ on pienempi kuin rinteen suuntainen komponentti $G_x \approx 75\,\text{N}$, joten kokonaisvoima osoittaa rinnettä alas ja laatikko kiihtyy alas. Massa ei vaikuta kiihtyvyyteen, koska sekä $G_x$ että $F_\mu$ ovat verrannollisia massaan.
Etsi virhe
Valitse oikea voimakuvio
Sovella uuteen tilanteeseen
Lentokentän liukuhihna nostaa $8{,}0\,\text{kg}$:n matkalaukkua tasaisella nopeudella ylöspäin. Hihna on $15^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden, eikä laukku liu'u hihnalla. Kuinka suuri on hihnan kitkavoima laukkuun? Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä laukun voimakuvio. Laukku liikkuu ylöspäin tasaisella nopeudella, joten kokonaisvoima on nolla. Mikä voima voi kumota painon rinteen suuntaisen komponentin?
Vihje 2: mikä yhteys
Valitse $x$ hihnaa pitkin ylös. Rinteen suunnassa $F_\mu - mg\sin\alpha = 0$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 8{,}0\,\text{kg}$, hihnan kulma $\alpha = 15^\circ$, laukku liikkuu tasaisella nopeudella eikä liu'u hihnalla; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
hihnan kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Laukku liikkuu tasaisella nopeudella, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla. Laukku ei liu'u hihnan suhteen, joten siihen vaikuttaa lepokitka, joka on juuri niin suuri kuin tarvitaan.
Voimakuvio
Laukku suorakulmiona hihnan suuntaisesti, $x$ hihnaa pitkin ylös ja $y$ kohtisuoraan hihnasta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas, sen komponentit $mg\sin\alpha$ hihnaa alas ja $mg\cos\alpha$ hihnaa kohti katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan hihnasta ulos ja lepokitka $\overline{F}_\mu$ hihnaa pitkin ylös. Laukku pyrkii liukumaan alas hihnan suhteen, joten kitka osoittaa ylös, liikkeen suuntaan.
Kaava
$x$: $F_\mu - mg\sin\alpha = 0$, joten $F_\mu = mg\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$20\,\text{N}$
Hihnaa pitkin ylös, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $8{,}0\,\text{kg}$.
Järkevyys
Laukun paino on noin $80\,\text{N}$, ja loivalla hihnalla rinteen suuntainen komponentti on siitä vain noin neljännes, joten $20\,\text{N}$ on järkevä. Kitka osoittaa liikkeen suuntaan: se vastustaa laukun liukumista hihnan suhteen, ei laukun liikettä.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Lautaa kallistetaan hitaasti, ja sen päällä oleva kappale lähtee liukumaan kulmalla $\alpha_0$. Miksi lepokitkakerroin on $\tan\alpha_0$?
Vastaus
Juuri ennen liukumista lepokitka on suurimmillaan, $\mu_0 N$, ja se kumoaa painon rinteen suuntaisen komponentin: $mg\sin\alpha_0 = \mu_0\,mg\cos\alpha_0$. Massa supistuu, joten
$\mu_0$$= \dfrac{\sin\alpha_0}{\cos\alpha_0}$$= \tan\alpha_0$ - Kävelijä astuu eteenpäin, ja hänen jalkansa työntää maata taaksepäin. Mihin suuntaan maan kitkavoima vaikuttaa jalkaan, ja miksi?
Vastaus
Eteenpäin, liikkeen suuntaan. Jalka pyrkii liukumaan taaksepäin maan suhteen, ja lepokitka vastustaa tätä liukumista. Kitka vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen, ei kävelijän liikettä: juuri kitka vie kävelijää eteenpäin.
- Ihmisen massa on $60\,\text{kg}$. Kuinka suuri on hänen massansa ja hänen painonsa Kuun pinnalla, kun $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$?
Vastaus
Massa on sama kuin Maassa, $60\,\text{kg}$. Paino on
$G$$= mg_\text{Kuu}$$= 60\,\text{kg}\cdot 1{,}62\,\text{m/s}^2$$\approx 97\,\text{N}$kun se Maassa on noin $590\,\text{N}$.
1. Käsite
2. Laskeminen
Kirjaa tönäistään kallistetulla pöydän kannella, ja kirja liukuu alas tasaisella nopeudella, kun kannen kaltevuuskulma on $17^\circ$. Kuinka suuri on kirjan ja kannen välinen liikekitkakerroin?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä kirjan voimakuvio. Tasaisessa liikkeessä kokonaisvoima on nolla, myös rinteen suunnassa.
Vihje 2: mikä yhteys
Rinteen suunnassa $mg\sin\alpha - \mu N = 0$ ja kohtisuorassa suunnassa $N = mg\cos\alpha$.
Vihje 3: välivaihe
Massa supistuu: $\mu = \tan\alpha$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kannen kaltevuuskulma $\alpha = 17^\circ$, kirja liukuu alas tasaisella nopeudella
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla kummassakin suunnassa. Kirja liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$.
Voimakuvio
Kirja suorakulmiona kannen suuntaisesti, $x$ kantta pitkin alas ja $y$ kohtisuoraan kannesta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit $mg\sin\alpha$ ja $mg\cos\alpha$ katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan kannesta ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ kantta pitkin ylös, koska kirja liukuu alas.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = 0$, joten
Muunnokset
Kulma on asteina; muita muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
$\mu = \tan 17^\circ = 0{,}3057$
Vastaus
$0{,}31$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmassa $17^\circ$.
Järkevyys
Kerroin on positiivinen ja pienempi kuin $1$, kuten kirjan ja puun välillä on tyypillistä. Pienempi kulma tarkoittaisi pienempää kitkakerrointa: jäällä kirja liukuisi tasaisella nopeudella jo hyvin loivassa kulmassa.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Piirrä itse
Laatikkoa, jonka massa on $20\,\text{kg}$, vedetään köydellä ylös $20^\circ$:n rinnettä tasaisella nopeudella. Köysi on rinteen suuntainen, ja laatikon ja rinteen välinen liikekitkakerroin on $0{,}25$. Piirrä laatikon voimakuvio paperille: laatikko suorakulmiona ja jokainen voima vaikutuskohdastaan. Kirjoita sitten liikeyhtälöt rinteen suunnassa ja kohtisuoraan sitä vastaan ja laske köyden jännitysvoima.
Mallikuvio
Laatikkoon vaikuttavat Maa, rinne ja köysi. Paino $\overline{G}$ osoittaa keskipisteestä suoraan alas. Rinne vaikuttaa alapinnasta kahdella voimalla: tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä alas, koska laatikko liukuu ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa rinnettä ylös. Laatikko liikkuu tasaisesti, joten kokonaisvoima on nolla. Kun $x$ osoittaa rinnettä ylös ja $y$ pinnasta ulos: $y$: $N - mg\cos 20^\circ = 0$, joten $N = 20\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 20^\circ \approx 184\,\text{N}$ ja $F_\mu = \mu N \approx 46\,\text{N}$. $x$: $T - mg\sin 20^\circ - \mu N = 0$, joten $T = mg\sin 20^\circ + \mu mg\cos 20^\circ \approx 67\,\text{N} + 46\,\text{N} \approx 113\,\text{N}$. Köyden on voitettava sekä painon rinteen suuntainen komponentti että kitka.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Paino
- Maan kappaleeseen kohdistama gravitaatiovoima.$$G = mg$$
- Kalteva taso
- Tilanne helpottuu valitsemalla koordinaatisto tason suuntaiseksi ja jakamalla voimat komponentteihin.
- Kitka
- Kosketuksessa olevien pintojen välinen voima vastustaa niiden suhteellista liikettä tai liikkeelle lähtöä.
- Lepokitka
- Estää pintojen liukumisen toistensa suhteen ja mukautuu tarvittavaan suuruuteen enimmäisarvoonsa asti.
- Liikekitka
- Vastustaa toistensa suhteen liukuvien pintojen liikettä (liukukitka).$$F_{\mu} = \mu N$$
- Kitkakerroin
- Aineparista riippuva dimensioton luku, joka kuvaa pintojen välistä kitkaa.
- Noste
- Nesteen tai kaasun kappaleeseen kohdistama ylöspäin suuntautuva voima.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-1Ydintehtävä
Astronautin ja hänen avaruuspukunsa yhteinen massa on $160\,\text{kg}$. Kuun pinnalla putoamiskiihtyvyys on $1{,}62\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on astronautin ja puvun yhteinen paino Kuun pinnalla?
Vastaus
$259\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 160\,\text{kg}$, Kuun putoamiskiihtyvyys $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$
Kysytty
paino Kuun pinnalla $G$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Paino on voima, jolla taivaankappale vetää kappaletta, ja sen suuruus on massan ja putoamiskiihtyvyyden tulo. Massa on sama Kuussa kuin Maassa, mutta putoamiskiihtyvyys on Kuussa pienempi.
Voimakuvio
Astronautti suorakulmiona Kuun pinnalla: paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös yhtä pitkänä. Kysytty on painon suuruus $mg_\text{Kuu}$.
Kaava
$G = m g_\text{Kuu}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyys yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$G$$= 160\,\text{kg}\cdot 1{,}62\,\text{m/s}^2$$= 259{,}2\,\text{N}$Vastaus
$259\,\text{N}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten putoamiskiihtyvyydessä $1{,}62\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Maassa paino olisi $160\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1570\,\text{N}$. Kuun putoamiskiihtyvyys on noin kuudesosa Maan arvosta, ja $1570\,\text{N} : 6 \approx 260\,\text{N}$, sama tulos.
- Tehtävä 8-2Ydintehtävä
Pulkka, jonka massa on $30\,\text{kg}$, liukuu vaakasuoralla lumella. Pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}12$. Piirrä pulkan voimakuvio. Kuinka suuri on lumen kitkavoima pulkkaan?
Vastaus
$35\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 30\,\text{kg}$, $\mu = 0{,}12$, pulkka liukuu vaakasuoralla lumella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitka $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Pulkka liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$. Pystysuunnassa pulkka ei kiihdy, joten Newtonin toisen lain mukaan tukivoima on yhtä suuri kuin paino.
Voimakuvio
Pulkka suorakulmiona, $x$ liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, lumen tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös ja yhtä pitkä kuin paino, liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$, joten $N = mg$ ja $F_\mu = \mu N = \mu mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\mu$$= 0{,}12\cdot 30\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 35{,}316\,\text{N}$Vastaus
$35\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}12$ ja massassa $30\,\text{kg}$.
Järkevyys
Pulkan paino on noin $290\,\text{N}$, ja kitka on siitä noin kahdeksasosa, kuten pieni kitkakerroin $0{,}12$ edellyttää. Kitka hidastaa pulkkaa:
$a$$= F_\mu : m$$\approx 1{,}2\,\text{m/s}^2$ - Tehtävä 8-3
Laatikkoa, jonka massa on $40\,\text{kg}$, työnnetään vaakasuoralla lattialla vaakasuoraan $120\,\text{N}$:n voimalla, ja se liukuu tasaisella nopeudella. Kuinka suuri on laatikon ja lattian välinen liikekitkakerroin?
Vastaus
$0{,}31$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 40\,\text{kg}$, vaakasuora työntövoima $F = 120\,\text{N}$, laatikko liukuu tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Tasaisessa liikkeessä voimien summa on nolla, joten liikekitka on yhtä suuri kuin työntö ja tukivoima yhtä suuri kuin paino. Liikekitka on $F_\mu = \mu N$.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona, $x$ liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Työntövoima $\overline{F}$ eteenpäin, liikekitka $\overline{F}_\mu$ taaksepäin ja yhtä pitkä, paino $\overline{G}$ alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös yhtä pitkänä.
Kaava
$x$: $F - \mu N = 0$ ja $y$: $N - mg = 0$, joten $\mu = \dfrac{F}{mg}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\mu$$= \dfrac{120\,\text{N}}{40\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{120\,\text{N}}{392{,}4\,\text{N}}$$= 0{,}3058$Vastaus
$0{,}31$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $40\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kitkakerroin on yksikötön, koska se on kahden voiman suhde. Työntö $120\,\text{N}$ on vajaa kolmannes laatikon painosta $392\,\text{N}$, joten kerroin on vähän yli $0{,}3$, tavallinen arvo puulle lattiaa vasten.
- Tehtävä 8-4
Kirja, jonka massa on $0{,}80\,\text{kg}$, on paikallaan pöydän kannella, joka on kallistettu $20^\circ$:n kulmaan vaakatasoon nähden. Piirrä kirjan voimakuvio. Kuinka suuri on kannen tukivoima kirjaan?
Vastaus
$7{,}4\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}80\,\text{kg}$, kannen kulma $\alpha = 20^\circ$, kirja on levossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kirja ei liiku kantta vastaan kohtisuorassa suunnassa, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on siinä suunnassa nolla. Tukivoima kumoaa painon kohtisuoran komponentin.
Voimakuvio
Kirja suorakulmiona kannen suuntaisesti, $x$ kantta pitkin alas ja $y$ kohtisuoraan kannesta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit $mg\sin\alpha$ ja $mg\cos\alpha$ katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan kannesta ulos ja lepokitka $\overline{F}_\mu$ kantta pitkin ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$, joten $N = mg\cos\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 0{,}80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 20^\circ$$= 7{,}848\,\text{N}\cdot 0{,}9397$$= 7{,}375\,\text{N}$Vastaus
$7{,}4\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}80\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kirjan paino on $7{,}8\,\text{N}$, ja tukivoima on vähän pienempi, koska kansi on vinossa. Vaakasuoralla kannella tukivoima olisi koko paino, pystysuoralla nolla.
- Tehtävä 8-5
Laatikko, jonka massa on $12\,\text{kg}$, on rinteellä, jonka kaltevuuskulma on $30^\circ$. Kuinka suuri on laatikon painon rinteen suuntainen komponentti?
Vastaus
$59\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 12\,\text{kg}$, rinteen kaltevuuskulma $\alpha = 30^\circ$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
painon rinteen suuntainen komponentti $G_x$ yksikössä $\text{N}$
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit $G_x$ ja $G_y$ katkoviivoin; muut voimat eivät vaikuta kysyttyyn komponenttiin.
Periaate
Paino osoittaa suoraan alas. Kun $x$-akseli valitaan rinteen suuntaiseksi, painon komponentti sen suuntaan saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, jossa painon ja kohtisuoran komponentin välinen kulma on rinteen kaltevuuskulma $\alpha$.
Kaava
$G_x = G\sin\alpha = mg\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$G_x$$= 12\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\sin 30^\circ$$= 117{,}72\,\text{N}\cdot 0{,}5$$= 58{,}86\,\text{N}$Vastaus
$59\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $12\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kulmalla $30^\circ$ sini on tasan $0{,}5$, joten rinteen suuntainen komponentti on puolet painosta $118\,\text{N}$. Komponentti on aina pienempi kuin paino itse.
- Tehtävä 8-6
Laatikko on levossa vaakasuoralla lattialla. Sitä työnnetään vaakasuoraan $20\,\text{N}$:n voimalla, mutta se ei liiku.
Laatikon ja lattian välisen lepokitkan suurin mahdollinen arvo on $60\,\text{N}$. Mikä väite lattian laatikkoon kohdistamasta lepokitkasta $F_{\mu 0}$ on oikea?
Vastaus
$F_{\mu 0} = 20\,\text{N}$, koska levossa lepokitka on yhtä suuri kuin työntö.
Näytä ratkaisu
Kysytty
lattian laatikkoon kohdistaman kitkavoiman suuruus, kun laatikko pysyy paikallaan
Periaate
Laatikko on levossa, joten Newtonin toisen lain mukaan vaakasuuntaisten voimien summa on nolla. Lepokitka mukautuu tilanteeseen: se on yhtä suuri kuin työntö ja vastakkaissuuntainen, kunhan työntö ei ylitä lepokitkan enimmäisarvoa.
Mallivastaus
Kitkavoiman suuruus on $20\,\text{N}$, koska laatikko on levossa ja kitka kumoaa työnnön. Enimmäisarvo $60\,\text{N}$ on vain yläraja, ja työntö $20\,\text{N}$ jää sen alle. Väite, jonka mukaan kitka olisi aina enimmäisarvon suuruinen, on väärä, koska lepokitka on vain niin suuri kuin tilanne vaatii. Väite, jonka mukaan kitkaa ei olisi lainkaan, on väärä, koska juuri kitka estää laatikkoa liikkumasta. Väite, jonka mukaan kitka olisi enimmäisarvon ja työnnön erotus, on väärä, koska levossa kitka ja työntö ovat yhtä suuret.
- Tehtävä 8-7
Vaakasuoralla lattialla on levossa $50\,\text{kg}$:n laatikko. Laatikon ja lattian välinen lepokitkakerroin on $0{,}45$. Kuinka suuri vaakasuora voima laatikkoon on vähintään kohdistettava, jotta se lähtee liikkeelle?
Vastaus
$2{,}2\cdot 10^2\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 50\,\text{kg}$, $\mu_0 = 0{,}45$, laatikko on levossa vaakasuoralla lattialla; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pienin vaakasuora voima $F$ yksikössä $\text{N}$, jolla laatikko lähtee liikkeelle
Periaate
Laatikko lähtee liikkeelle, kun työntö ylittää lepokitkan enimmäisarvon $\mu_0 N$. Rajatapauksessa työntö on yhtä suuri kuin tämä enimmäisarvo. Pystysuunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N = mg$.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona, $x$ työnnön suuntaan ja $y$ ylös. Työntövoima $\overline{F}$ eteenpäin, lepokitka $\overline{F}_\mu$ taaksepäin ja rajatapauksessa yhtä pitkä, paino $\overline{G}$ alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös yhtä pitkänä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $F - \mu_0 N = 0$, joten $F = \mu_0 mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F$$= 0{,}45\cdot 50\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 220{,}7\,\text{N}$Vastaus
$2{,}2\cdot 10^2\,\text{N}$
Eli noin $220\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}45$ ja massassa $50\,\text{kg}$. Tätä pienemmällä voimalla laatikko pysyy paikallaan.
Järkevyys
Laatikon paino on $490\,\text{N}$, ja tarvittava voima on $0{,}45$-kertainen siihen nähden, kuten kitkakerroin edellyttää. Kun laatikko on lähtenyt liikkeelle, liikekitka on yleensä pienempi kuin $\mu_0 N$, joten liikkeessä pitämiseen riittää pienempi voima.
- Tehtävä 8-8
Kappale on levossa $30^\circ$:n kaltevalla tasolla. Kappaleeseen vaikuttavat vain paino $\overline{G}$, tukivoima $\overline{N}$ ja kitka.
Mikä väite tukivoiman suuruudesta $N$ ja painon suuruudesta $G$ on oikea?
Vastaus
$N < G$, koska tukivoima kumoaa vain painon kohtisuoran komponentin.
Näytä ratkaisu
Kysytty
tukivoiman suuruuden $N$ suhde painon suuruuteen $G$ kaltevalla tasolla levossa olevalle kappaleelle
Periaate
Valitaan $y$-akseli kohtisuoraan pintaa vastaan. Siinä suunnassa kappale ei kiihdy, joten voimien summa on nolla. Pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain tukivoima ja painon komponentti $G_y = mg\cos\alpha$, ja kitka on pinnan suuntainen. Paino osoittaa suoraan alas, ja se jaetaan komponentteihin rinteen suuntaan ja sitä vastaan kohtisuoraan.
Mallivastaus
Tukivoima on painoa pienempi: $N = mg\cos\alpha < G$. Tukivoima kumoaa vain painon pintaa vastaan kohtisuoran komponentin, ja rinteen suuntaisen komponentin kumoaa kitka. Kulmalla $30^\circ$ saadaan $N = G\cos 30^\circ \approx 0{,}87\,G$. Väite, jonka mukaan tukivoima ja paino ovat aina vastakkaiset ja yhtä suuret, pätee vain vaakasuoralla pinnalla. Väite $N > G$ on väärä, koska kitka ei paina kappaletta pintaa vasten. Väite $N = 0$ on väärä, koska painon komponentti $G_y$ painaa kappaletta pintaa vasten.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-9Ydintehtävä
Pulkka lähtee levossa liukumaan $12^\circ$:n kaltevuuskulman mäessä ja saavuttaa $4{,}0\,\text{s}$:ssa nopeuden $3{,}0\,\text{m/s}$. Kiihtyvyys on vakio. Kuinka suuri on pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin? Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vastaus
$0{,}13$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\alpha = 12^\circ$, pulkka lähtee levossa, $v = 3{,}0\,\text{m/s}$ ajassa $t = 4{,}0\,\text{s}$, kiihtyvyys vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Kiihtyvyys saadaan nopeuden muutoksesta, ja Newtonin toinen laki rinteen suuntaan antaa kitkan. Pulkka liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$. Kohtisuorassa suunnassa pulkka ei kiihdy.
Voimakuvio
Pulkka suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan pinnasta ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös. Kiihtyvyys $\overline{a}$ piirretään erikseen oranssina nuolena rinnettä alas.
Kaava
$a = \dfrac{v - 0}{t}$, $y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, joten
$\mu$$= \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m/s}}{4{,}0\,\text{s}}$$= 0{,}75\,\text{m/s}^2$$\mu$$= \dfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\sin 12^\circ - 0{,}75\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 12^\circ}$$= \dfrac{2{,}040 - 0{,}75}{9{,}596}$$= 0{,}134$Vastaus
$0{,}13$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $3{,}0\,\text{m/s}$ ja ajassa $4{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $g\sin 12^\circ \approx 2{,}0\,\text{m/s}^2$, joten kitka pienentää sitä kuten pitääkin. Kerroin $0{,}13$ on pienempi kuin $\tan 12^\circ = 0{,}21$, jolla pulkka liukuisi tasaisella nopeudella, ja se sopii muovipulkan ja lumen välille ($0{,}05$–$0{,}3$).
- Tehtävä 8-10Ydintehtävä
Varastotyöntekijä vetää $40\,\text{kg}$:n kuormalavaa betonilattiaa pitkin vaakasuoralla narulla. Narun jännitysvoima on $150\,\text{N}$, ja lavan ja lattian välinen liikekitkakerroin on $0{,}30$. Kuinka suuri on kuormalavan kiihtyvyys?
Vastaus
$0{,}81\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 40\,\text{kg}$, narun vaakasuora jännitysvoima $T = 150\,\text{N}$, $\mu = 0{,}30$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Lava liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $\mu N$. Pystysuunnassa se ei kiihdy, joten $N = mg$. Vaakasuunnassa Newtonin toisen lain mukaan jännitysvoiman ja kitkan erotus kiihdyttää lavaa.
Voimakuvio
Lava suorakulmiona, $x$ vedon suuntaan ja $y$ ylös. Narun jännitysvoima $\overline{T}$ eteenpäin, liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta taaksepäin ja lyhyempi, paino $\overline{G}$ alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös yhtä pitkänä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $T - \mu N = ma$, joten $a = \dfrac{T - \mu mg}{m}$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{150\,\text{N} - 0{,}30\cdot 40\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{40\,\text{kg}}$$= \dfrac{150\,\text{N} - 117{,}72\,\text{N}}{40\,\text{kg}}$$= 0{,}807\,\text{m/s}^2$Vastaus
$0{,}81\,\text{m/s}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}30$ ja massassa $40\,\text{kg}$.
Järkevyys
Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $150\,\text{N} : 40\,\text{kg} \approx 3{,}8\,\text{m/s}^2$. Kitka $118\,\text{N}$ kumoaa suurimman osan narun voimasta, joten kiihtyvyys jää alle $1\,\text{m/s}^2$:n, mikä on järkevää.
- Tehtävä 8-11
Alla on esimerkkiaineisto: puupalikan liikekitka mitattu eri tukivoimilla. Kuvaajassa ovat mittauspisteet. Määritä kuvaajasta palikan ja pöydän välinen liikekitkakerroin.
Vastaus
$0{,}21$
Näytä ratkaisu
Annettu
esimerkkiaineiston kuvaajan viisi mittauspistettä $(N, F_\mu)$: $(5\,\text{N}$; $1{,}1\,\text{N})$, $(10\,\text{N}$; $2{,}1\,\text{N})$, $(15\,\text{N}$; $3{,}3\,\text{N})$, $(20\,\text{N}$; $4{,}2\,\text{N})$ ja $(25\,\text{N}$; $5{,}4\,\text{N})$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Liikekitka on verrannollinen tukivoimaan, $F_\mu = \mu N$, joten $(N, F_\mu)$-kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $\mu$. Kulmakerroin luetaan pisteisiin sovitetulta suoralta, ei kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä, koska mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi.
Kuvaajan lukeminen
Piirretään origon kautta suora, joka kulkee mahdollisimman läheltä kaikkia pisteitä. Luetaan suoralta kaukainen piste, esimerkiksi tukivoimalla $N = 25\,\text{N}$ suoran arvo on noin $F_\mu = 5{,}35\,\text{N}$.
Kaava
$\mu = \dfrac{\Delta F_\mu}{\Delta N}$, kun $\Delta F_\mu$ ja $\Delta N$ luetaan sovitetulta suoralta
Muunnokset
Molemmat akselit ovat newtoneina, joten yksiköt supistuvat eikä muunnoksia tarvita.
Sijoitus
$\mu$$= \dfrac{5{,}35\,\text{N} - 0\,\text{N}}{25\,\text{N} - 0\,\text{N}}$$= 0{,}214$Vastaus
$0{,}21$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska kitkavoimat on mitattu kahden numeron tarkkuudella ja suora piirretään käsin.
Järkevyys
Yksittäisistä pisteistä saadaan suhteet $0{,}21$–$0{,}22$, esimerkiksi $4{,}2\,\text{N} : 20\,\text{N} = 0{,}21$, joten sovitetun suoran kulmakerroin osuu niiden väliin. Kerroin on yksikötön, kuten kahden voiman suhteen pitää olla.
- Tehtävä 8-12
Muuttolaatikko, jonka massa on $10\,\text{kg}$, asetetaan levossa lankulle, joka on $35^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Laatikon ja lankun välinen lepokitkakerroin on $0{,}60$.
Laske lepokitkan suurin mahdollinen arvo ja vertaa sitä painon rinteen suuntaiseen komponenttiin. Kuinka monta newtonia komponentti ylittää suurimman lepokitkan? (Jos luku olisi negatiivinen, laatikko pysyisi paikallaan.)
Vastaus
$56{,}3\,\text{N} - 48{,}2\,\text{N} = 8{,}1\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 10\,\text{kg}$, $\alpha = 35^\circ$, $\mu_0 = 0{,}60$, laatikko asetetaan levossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
erotus $G_x - F_\text{max}$ yksikössä $\text{N}$, missä $F_\text{max}$ on lepokitkan suurin arvo; erotuksen etumerkki kertoo, pysyykö laatikko paikallaan
Periaate
Lepokitka on enintään $\mu_0 N$. Laatikko pysyy paikallaan vain, jos tämä yläraja riittää kumoamaan painon rinteen suuntaisen komponentin. Kohtisuorassa suunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit $mg\sin\alpha$ ja $mg\cos\alpha$ katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan pinnasta ulos ja kitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$, joten suurin lepokitka on $F_\text{max} = \mu_0 mg\cos\alpha$, ja sitä verrataan komponenttiin $G_x = mg\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\text{max}$$= 0{,}60\cdot 10\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 35^\circ$$= 48{,}2\,\text{N}$$G_x$$= 10\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\sin 35^\circ$$= 56{,}3\,\text{N}$joten $G_x - F_\text{max} = 8{,}1\,\text{N}$
Vastaus
komponentti ylittää suurimman lepokitkan $56{,}3\,\text{N} - 48{,}2\,\text{N} = 8{,}1\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}60$. Suurin lepokitka $48\,\text{N}$ on pienempi kuin komponentti $56\,\text{N}$, joten laatikko ei pysy paikallaan vaan lähtee liukumaan. Erotus on positiivinen, joten kitka ei riitä.
Järkevyys
Saman päätelmän antaa kulma: $\tan 35^\circ = 0{,}70$ on suurempi kuin $\mu_0 = 0{,}60$, joten lankku on jyrkempi kuin rajakulma $\tan^{-1} 0{,}60 \approx 31^\circ$.
- Tehtävä 8-13
Oppilaat vetivät puupalikkaa vaakasuoralla pöydällä jousivaa'alla vaakasuoraan ja tasaisella nopeudella. Palikan päälle lisättiin painoja, ja jokaisella massalla luettiin vaa'an näyttämä veto. Alla on esimerkkiaineisto.
Piirrä $(N, F_\mu)$-kuvaaja ja sovita siihen origon kautta kulkeva suora. Määritä palikan ja pöydän välinen liikekitkakerroin kuvaajasta. Tukivoima lasketaan massasta.
Palikan ja painojen yhteismassa $m$ ja vaa'an veto $F$ (esimerkkiaineisto) $m\,(\text{kg})$ $F\,(\text{N})$ 0,20 0,85 0,40 1,62 0,60 2,50 0,80 3,31 1,00 4,02 Vastaus
$0{,}42$
Näytä ratkaisu
Annettu
esimerkkiaineiston viisi mittausta $(m, F)$: $(0{,}20\,\text{kg}$; $0{,}85\,\text{N})$, $(0{,}40\,\text{kg}$; $1{,}62\,\text{N})$, $(0{,}60\,\text{kg}$; $2{,}50\,\text{N})$, $(0{,}80\,\text{kg}$; $3{,}31\,\text{N})$ ja $(1{,}00\,\text{kg}$; $4{,}02\,\text{N})$; palikkaa vedetään vaakasuoraan tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Tasaisella nopeudella voimien summa on nolla, joten veto on yhtä suuri kuin liikekitka, $F = F_\mu$. Vaakasuoralla pöydällä tukivoima on yhtä suuri kuin paino, $N = mg$. Koska $F_\mu = \mu N$, $(N, F_\mu)$-kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $\mu$.
Kuvaajan lukeminen
Lasketaan ensin tukivoimat: $N = mg$ antaa arvot $1{,}96\,\text{N}$, $3{,}92\,\text{N}$, $5{,}89\,\text{N}$, $7{,}85\,\text{N}$ ja $9{,}81\,\text{N}$. Piirretään pisteet $(N, F_\mu)$ ja sovitetaan niihin origon kautta kulkeva suora, joka kulkee mahdollisimman läheltä kaikkia pisteitä. Luetaan suoralta kaukainen piste: tukivoimalla $N = 9{,}81\,\text{N}$ suoran arvo on noin $F_\mu = 4{,}1\,\text{N}$.
Kaava
$\mu = \dfrac{\Delta F_\mu}{\Delta N}$, kun $\Delta F_\mu$ ja $\Delta N$ luetaan sovitetulta suoralta
Muunnokset
Molemmat akselit ovat newtoneina, joten yksiköt supistuvat. Massat ovat kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\mu$$= \dfrac{4{,}1\,\text{N} - 0\,\text{N}}{9{,}81\,\text{N} - 0\,\text{N}}$$= 0{,}418$Vastaus
$0{,}42$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska vetovoimat on mitattu kolmen numeron tarkkuudella mutta suora piirretään käsin.
Järkevyys
Yksittäisistä pisteistä saadaan suhteet $F : N$ väliltä $0{,}41$–$0{,}43$, esimerkiksi $4{,}02\,\text{N} : 9{,}81\,\text{N} = 0{,}41$, joten sovitetun suoran kulmakerroin osuu niiden väliin. Kerroin on yksikötön ja puun ja pöydän välille tavallista suuruusluokkaa.
- Tehtävä 8-14
Voima-anturilla vedettiin $0{,}75\,\text{kg}$:n puupalikkaa vaakasuoralla pöydällä. Veto oli koko ajan vaakasuora. Vetoa kasvatettiin hitaasti, kunnes palikka lähti liikkeelle, ja sen jälkeen palikkaa vedettiin vaakasuoraan tasaisella nopeudella. Palikka liikkui tasaisella nopeudella hetkestä $t = 3{,}5\,\text{s}$ alkaen. Alla on esimerkkiaineisto.
Piirrä $(t, F)$-kuvaaja ja lue taulukosta suurin lukema lepokitkan suurimmaksi arvoksi ja tasaisen liikkeen aikainen vetovoima. Määritä lepokitkakerroin $\mu_0$ ja liikekitkakerroin $\mu$.
Kirjoita vastauslaatikkoon liikekitkakerroin $\mu$.
Anturin mittaama vetovoima $F$ ajan $t$ funktiona (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $F\,(\text{N})$ 0,0 0,0 0,5 0,7 1,0 1,4 1,5 2,1 2,0 2,8 2,5 3,3 3,0 2,3 3,5 2,2 4,0 2,1 4,5 2,2 Vastaus
$\mu = 0{,}29$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}75\,\text{kg}$, esimerkkiaineiston vetovoima $F$ ajan $t$ funktiona; suurin lukema $3{,}3\,\text{N}$ hetkellä $t = 2{,}5\,\text{s}$, tasaisen liikkeen lukemat $2{,}2\,\text{N}$, $2{,}1\,\text{N}$ ja $2{,}2\,\text{N}$ hetkillä $3{,}5\,\text{s}$–$4{,}5\,\text{s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä) sekä lepokitkakerroin $\mu_0$
Periaate
Ennen liikkeellelähtöä veto kasvaa ja lepokitka kasvaa sen mukana. Kun veto ylittää lepokitkan enimmäisarvon $\mu_0 N$, palikka lähtee liikkeelle, ja kuvaajan huippu on tämä enimmäisarvo. Tasaisella nopeudella voimien summa on nolla, joten veto on yhtä suuri kuin liikekitka $\mu N$. Vaakasuoralla pöydällä $N = mg$.
Kuvaajan lukeminen
Veto kasvaa suoraviivaisesti hetkeen $t = 2{,}5\,\text{s}$ asti, jossa on kuvaajan huippu $3{,}3\,\text{N}$. Huipun jälkeen veto putoaa ja pysyy lähes vakiona, noin $2{,}2\,\text{N}$, kun palikka liikkuu tasaisella nopeudella. Vakiovedon lukemien summa on $2{,}2\,\text{N} + 2{,}1\,\text{N} + 2{,}2\,\text{N} = 6{,}5\,\text{N}$, joten niiden keskiarvo on $6{,}5\,\text{N} : 3 = 2{,}17\,\text{N}$.
Kaava
$N = mg$, $\mu_0 = \dfrac{F_{\text{huippu}}}{N}$ ja $\mu = \dfrac{F_{\text{tasainen}}}{N}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja voimat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 0{,}75\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 7{,}36\,\text{N}$$\mu_0$$= \dfrac{3{,}3\,\text{N}}{7{,}36\,\text{N}}$$= 0{,}449$$\mu$$= \dfrac{2{,}17\,\text{N}}{7{,}36\,\text{N}}$$= 0{,}295$Vastaus
liikekitkakerroin on $\mu = 0{,}29$ ja lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}45$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}75\,\text{kg}$ ja vetovoiman lukemissa.
Järkevyys
Liikekitkakerroin on pienempi kuin lepokitkakerroin, $0{,}29 < 0{,}45$, kuten yleensä. Siksi veto putoaa, kun palikka on lähtenyt liikkeelle: liikkeessä pitämiseen tarvitaan pienempi voima kuin liikkeelle saamiseen. Kertoimet ovat puun ja pöydän välille tavallista suuruusluokkaa.
- Tehtävä 8-15
Lepokitkakerroin määritettiin kokeella: puulautaa kallistettiin hitaasti, kunnes sen päällä ollut puupalikka lähti liukumaan, ja kulma luettiin kulmamittarista. Koe toistettiin viisi kertaa. Alla on esimerkkiaineisto.
Perustele, miksi lepokitkakerroin on $\mu_0 = \tan\alpha_0$, kun $\alpha_0$ on kulma, jolla palikka lähtee liukumaan. Laske kulmien keskiarvo ja määritä sen avulla lepokitkakerroin.
Kirjoita vastauslaatikkoon lepokitkakerroin $\mu_0$.
Kulma $\alpha_0$, jolla palikka lähtee liukumaan (esimerkkiaineisto) Mittaus $\alpha_0\,({}^\circ)$ 1 24 2 26 3 25 4 27 5 25 Vastaus
$0{,}47$
Näytä ratkaisu
Annettu
esimerkkiaineiston viisi kulmaa: $24^\circ$, $26^\circ$, $25^\circ$, $27^\circ$ ja $25^\circ$
Kysytty
lepokitkakerroin $\mu_0$ (ei yksikköä)
Periaate
Laudan kallistuessa painon rinteen suuntainen komponentti $G_x = mg\sin\alpha$ kasvaa, ja lepokitka kasvaa sen mukana. Palikka lähtee liukumaan, kun komponentti ylittää lepokitkan enimmäisarvon $\mu_0 N$. Kohtisuorassa suunnassa palikka ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$. Rajakulmalla $\alpha_0$ pätee $mg\sin\alpha_0 = \mu_0\,mg\cos\alpha_0$. Massa supistuu, ja jakamalla puolittain saadaan $\mu_0 = \tan\alpha_0$.
Kaava
$\mu_0 = \tan\alpha_0$, missä $\alpha_0$ on mittausten keskiarvo
Muunnokset
Kulmat ovat asteina, joten muunnoksia ei tarvita. Laskimen on oltava asteiden tilassa.
Sijoitus
Kulmien summa on $24^\circ + 26^\circ + 25^\circ + 27^\circ + 25^\circ = 127^\circ$, joten keskiarvo on
$\alpha_{0,\text{ka}}$$= 127^\circ : 5$$= 25{,}4^\circ$$\mu_0 = \tan 25{,}4^\circ = 0{,}4748$
Vastaus
$0{,}47$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmien keskiarvon tarkkuus antaa.
Järkevyys
Yksittäisistä kulmista saadaan $\tan 24^\circ = 0{,}45$ ja $\tan 27^\circ = 0{,}51$, joten keskiarvo $0{,}47$ on niiden välissä. Kokeessa ei tarvita palikan massaa, koska se supistuu. Tulos on puun ja puun väliselle lepokitkakertoimelle tavallista suuruusluokkaa.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 8-16
Avolava-auton lavalla on $50\,\text{kg}$:n laatikko, joka ei ole kiinnitetty. Auto lähtee liikkeelle vaakasuoralla tiellä kiihtyvyydellä $3{,}5\,\text{m/s}^2$.
Kuinka suuri lavan ja laatikon välisen lepokitkakertoimen on vähintään oltava, jotta laatikko ei liu'u lavalla?
Vastaus
$0{,}36$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 50\,\text{kg}$, auton ja laatikon kiihtyvyys $a = 3{,}5\,\text{m/s}^2$ eteenpäin, tie vaakasuora; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lepokitkakertoimen pienin arvo $\mu_0$ (ei yksikköä)
Periaate
Jos laatikko ei liu'u, se kiihtyy auton mukana. Ainoa vaakasuora voima laatikkoon on lavan lepokitka, joten Newtonin toisen lain mukaan sen täytyy olla $ma$ ja osoittaa eteenpäin, liikkeen suuntaan. Lepokitka voi olla enintään $\mu_0 N$.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona, $x$ eteenpäin ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, lavan tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös ja yhtä pitkä, lepokitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan etukulmasta eteenpäin. Kiihtyvyys piirretään erikseen ohuena oranssina nuolena, ei voimaksi.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $F_\mu = ma$. Ehto $F_\mu \le \mu_0 N$ antaa $ma \le \mu_0 mg$, joten $\mu_0 \ge \dfrac{a}{g}$
Muunnokset
Kiihtyvyydet ovat yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
$\mu_0$$= \dfrac{3{,}5\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= 0{,}357$Vastaus
$0{,}36$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä $3{,}5\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Kitka osoittaa liikkeen suuntaan, koska lava pyrkii liukumaan eteenpäin laatikon alta. Massa supistuu, joten tulos pätee sekä kevyelle että raskaalle laatikolle. Märällä vanerilla kerroin voi jäädä alle $0{,}36$, jolloin laatikko liukuu taaksepäin lavan suhteen: siksi kuorma kiinnitetään.
- Tehtävä 8-17
Kiekkoa työnnetään ylös $20^\circ$:n rinnettä, ja se irtoaa kädestä nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$. Kiekon ja rinteen välinen liikekitkakerroin on $0{,}25$.
Kuinka pitkän matkan kiekko liukuu rinnettä ylös ennen kuin se pysähtyy? Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vastaus
$0{,}80\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rinteen kulma $\alpha = 20^\circ$, alkunopeus $v_0 = 3{,}0\,\text{m/s}$ rinnettä ylös, $\mu = 0{,}25$, loppunopeus $v = 0$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liukumatka $s$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Ylös liukuessa sekä painon rinteen suuntainen komponentti että liikekitka osoittavat rinnettä alas, joten kiekko hidastuu tasaisesti. Kiihtyvyys saadaan Newtonin toisesta laista, ja matka tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöstä $v^2 = v_0^2 - 2as$, kun $a$ on hidastuvuuden suuruus.
Voimakuvio
Kiekko suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan pinnasta ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä alas, koska kiekko liukuu ylös. Nopeus on rinnettä ylös, mutta se ei ole voima.
Kaava
$y$: $N = mg\cos\alpha$ ja $x$: $mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = ma$, joten $a = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$. Liikeyhtälöstä $v^2 = v_0^2 - 2as$ ja ehdosta $v = 0$ saadaan $s = \dfrac{v_0^2}{2a}$, missä $a = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot(\sin 20^\circ + 0{,}25\cdot\cos 20^\circ)$$= 5{,}660\,\text{m/s}^2$$s$$= \dfrac{(3{,}0\,\text{m/s})^2}{2\cdot 5{,}660\,\text{m/s}^2}$$= 0{,}795\,\text{m}$Vastaus
$0{,}80\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $3{,}0\,\text{m/s}$ ja kitkakertoimessa $0{,}25$.
Järkevyys
Ilman kitkaa hidastuvuus olisi $g\sin 20^\circ \approx 3{,}4\,\text{m/s}^2$ ja matka noin $1{,}3\,\text{m}$; kitka lyhentää matkaa. Pysähdyttyään kiekko jää rinteelle vain, jos lepokitkakerroin on vähintään $\tan 20^\circ \approx 0{,}36$; muuten se lähtee liukumaan takaisin alas.
- Tehtävä 8-18
Maassa laatikko liukuu $30^\circ$:n rinnettä alas kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$.
Kuinka suuri olisi laatikon kiihtyvyys samalla rinteellä ja samalla pinnalla Kuun pinnalla, jossa putoamiskiihtyvyys on $1{,}62\,\text{m/s}^2$? Kuussa ei ole ilmaa, ja ilmanvastus jätetään huomiotta myös Maassa.
Vastaus
$0{,}33\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
Maassa $\alpha = 30^\circ$ ja $a_\text{Maa} = 2{,}0\,\text{m/s}^2$ alas rinnettä, Kuussa sama rinne ja pinta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$; ilmanvastusta ei ole
Kysytty
kiihtyvyys Kuussa $a_\text{Kuu}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Laatikko liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $\mu N$ rinnettä ylös. Kitkakerrointa ei anneta, mutta se on pinnan ominaisuus ja sama Maassa ja Kuussa. Maan kiihtyvyydestä saadaan $\mu$, ja Kuussa sama laki antaa uuden kiihtyvyyden. Kohtisuorassa suunnassa laatikko ei kiihdy.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan pinnasta ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, joten
$a$$= g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$\mu$$= \tan\alpha - \dfrac{a_\text{Maa}}{g\cos\alpha}$Koska sulkulauseke on sama molemmissa paikoissa,
$a_\text{Kuu}$$= a_\text{Maa}\cdot\dfrac{g_\text{Kuu}}{g}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
$\mu$$= \tan 30^\circ - \dfrac{2{,}0\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 30^\circ}$$= 0{,}577 - 0{,}235$$= 0{,}342$ja
$a_\text{Kuu}$$= 1{,}62\,\text{m/s}^2\cdot(\sin 30^\circ - 0{,}342\cdot\cos 30^\circ)$$= 0{,}330\,\text{m/s}^2$Suoraan suhteesta:
$2{,}0\,\text{m/s}^2\cdot\dfrac{1{,}62}{9{,}81}$$= 0{,}330\,\text{m/s}^2$Vastaus
$0{,}33\,\text{m/s}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten Maan kiihtyvyydessä $2{,}0\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Sekä paino että kitka ovat Kuussa noin kuudesosan Maan arvosta, joten myös kiihtyvyys on noin kuudesosa. Laatikko liukuu Kuussakin, koska ehto $\tan\alpha > \mu$ ei riipu putoamiskiihtyvyydestä.
- Tehtävä 8-19
Henkilöauton jarrutusmatka lasketaan mallilla, jossa pyörät lukkiutuvat ja renkaiden ja tien välillä vaikuttaa liikekitka. Alla on esimerkkiaineisto renkaiden ja tien välisistä liikekitkakertoimista.
Auto jarruttaa nopeudesta $80\,\text{km/h}$ pysähdyksiin. Ilmanvastus jätetään huomiotta, ja kiihtyvyys on vakio.
a) Määritä jarrutusmatka kuivalla vaakasuoralla asfaltilla.
b) Määritä jarrutusmatka märällä vaakasuoralla asfaltilla.
c) Märkä tie viettää alamäkeen $6{,}0^\circ$:n kulmassa. Määritä jarrutusmatka alamäessä ja perustele, miksi auton massaa ei tarvita.
Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) jarrutusmatka.
Liikekitkakerroin $\mu$ renkaiden ja tien välillä (esimerkkiaineisto) Tienpinta $\mu$ Kuiva asfaltti 0,75 Märkä asfaltti 0,45 Vastaus
$73\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alkunopeus $v_0 = 80\,\text{km/h}$, loppunopeus $v = 0$, kiihtyvyys vakio, pyörät lukkiutuvat; esimerkkiaineiston liikekitkakertoimet: kuiva asfaltti $\mu = 0{,}75$, märkä asfaltti $\mu = 0{,}45$; kohdassa c) märkä alamäki $\alpha = 6{,}0^\circ$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
jarrutusmatka $s$ yksikössä $\text{m}$, kohdissa a) kuiva vaakasuora, b) märkä vaakasuora ja c) märkä alamäki
Periaate
Lukkiutuneet pyörät liukuvat tiellä, joten autoon vaikuttaa liikekitka $\mu N$ liikettä vastaan. Newtonin toisen lain mukaan kitka antaa hidastuvuuden, ja matka saadaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöstä $v^2 = v_0^2 - 2as$, kun $a$ on hidastuvuuden suuruus. Kohtisuorassa suunnassa auto ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$.
Voimakuvio
Kohdan c) auto suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan tiestä ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan tiestä ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös. Nopeus on rinnettä alas, mutta hidastuvuus on rinnettä ylös.
Kaava
vaakasuoralla $N = mg$ ja $\mu mg = ma$, joten $a = \mu g$. Alamäessä $x$: $\mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = ma$, joten $a = g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)$. Matka on $s = \dfrac{v_0^2}{2a}$
Muunnokset
$v_0$$= 80\,\text{km/h}$$= 80 : 3{,}6\,\text{m/s}$$= 22{,}22\,\text{m/s}$ja $v_0^2 = 493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2$.
Sijoitus
Kohta a):
$a_a$$= 0{,}75\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 7{,}358\,\text{m/s}^2$$s_a$$= \dfrac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2\cdot 7{,}358\,\text{m/s}^2}$$= 33{,}6\,\text{m}$Kohdat b) ja c):
$$\begin{aligned} a_b &= 0{,}45 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 4{,}415\,\text{m/s}^2 \\ s_b &= \frac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2 \cdot 4{,}415\,\text{m/s}^2} = 55{,}9\,\text{m} \\[4pt] a_c &= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad \cdot (0{,}45\cos 6{,}0^\circ - \sin 6{,}0^\circ) \\ &= 3{,}365\,\text{m/s}^2 \\ s_c &= \frac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2 \cdot 3{,}365\,\text{m/s}^2} = 73{,}4\,\text{m} \end{aligned}$$
Vastaus
a) $34\,\text{m}$, b) $56\,\text{m}$ ja c) $73\,\text{m}$ (laskettu $73{,}4\,\text{m}$). Kohdan c) tulos pyöristetään kahteen merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}45$ ja kulmassa $6{,}0^\circ$. Auton massaa ei tarvita, koska se supistuu: sekä kitka että painon komponentti ovat verrannollisia massaan, joten hidastuvuus ei riipu siitä.
Järkevyys
Märällä tiellä matka on $55{,}9 : 33{,}6 = 1{,}66$-kertainen kuivaan verrattuna, ja sama suhde saadaan kitkakertoimista $0{,}75 : 0{,}45 = 1{,}67$. Alamäessä matka on pidempi kuin vaakasuoralla märällä tiellä, $73\,\text{m} > 56\,\text{m}$, koska painon komponentti rinnettä alas pienentää hidastuvuutta. Hidastuvuus $3{,}365\,\text{m/s}^2$ on silti positiivinen, koska
$\mu$$= 0{,}45$$> \tan 6{,}0^\circ$$= 0{,}11$ - Tehtävä 8-20
Laatikko, jonka massa on $20\,\text{kg}$, lähtee levossa liukumaan $30^\circ$:n rinnettä alas. Laatikon ja rinteen välinen liikekitkakerroin on $0{,}35$, ja ilmanvastus jätetään huomiotta.
Oppilas ratkaisi tehtävän näin: ”Tukivoima on painon suuruinen, $N = mg$. Liikeyhtälö rinteen suuntaan on $mg\sin\alpha - \mu mg = ma$, joten $a = g(\sin\alpha - \mu) \approx 1{,}5\,\text{m/s}^2$.”
a) Selitä oppilaan virhe ja piirrä laatikon voimakuvio.
b) Laske laatikon oikea kiihtyvyys.
c) Kuinka pitkän matkan laatikko liukuu ensimmäisten $3{,}0\,\text{s}$:n aikana?
Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) matka.
Vastaus
$8{,}7\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 20\,\text{kg}$, $\alpha = 30^\circ$, $\mu = 0{,}35$, laatikko lähtee levossa, $t = 3{,}0\,\text{s}$; oppilaan ratkaisussa $N = mg$ ja tulos $1{,}5\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
oppilaan virhe, oikea kiihtyvyys $a$ ja matka $s$ ajassa $3{,}0\,\text{s}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Oppilas käytti tukivoimana koko painoa, $N = mg$. Rinteellä pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima, ja laatikko ei kiihdy siinä suunnassa, joten $N = mg\cos\alpha$, painoa pienempi. Oppilaan kitka $\mu mg$ on siksi liian suuri ja kiihtyvyys liian pieni. Oikea kiihtyvyys saadaan Newtonin toisesta laista rinteen suuntaan, ja matka tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöstä lähtönopeudella nolla.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ suoraan alas ja sen komponentit katkoviivoin, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan pinnasta ulos ja painoa lyhyempi, liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös. Kiihtyvyys piirretään erikseen rinnettä alas.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, joten $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$. Matka on $s = \tfrac{1}{2}at^2$, koska alkunopeus on nolla
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
$a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot(\sin 30^\circ - 0{,}35\cdot\cos 30^\circ)$$= 1{,}931\,\text{m/s}^2$ja
$$\begin{aligned} s &= \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}931\,\text{m/s}^2 \cdot (3{,}0\,\text{s})^2 \\ &= 8{,}69\,\text{m} \end{aligned}$$
Vastaus
oppilaan virhe on $N = mg$ rinteellä, oikea tukivoima on $N = mg\cos\alpha \approx 170\,\text{N}$ ja oikea kiihtyvyys $a \approx 1{,}9\,\text{m/s}^2$. Laatikko liukuu ajassa $3{,}0\,\text{s}$ matkan $8{,}7\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}35$ ja ajassa $3{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Oppilaan kiihtyvyys $1{,}5\,\text{m/s}^2$ on liian pieni, koska hän laski kitkan $\mu mg = 69\,\text{N}$ liian suureksi; oikea kitka on $\mu mg\cos\alpha = 59\,\text{N}$. Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $g\sin 30^\circ \approx 4{,}9\,\text{m/s}^2$, joten kitka pienentää sitä. Liukuessaan laatikko kiihtyy alas, koska $\tan 30^\circ = 0{,}58 > \mu = 0{,}35$; tehtävän mukaan se lähtee liikkeelle, joten $\mu_0 < \tan 30^\circ$.
Valokuvat
- Michał Frąckowiak - Snow Sledding. Michał Frąckowiak. lähde, CC BY-SA 2.0
