Paino, kitka ja kalteva taso
Miksi muuttolaatikko pysyy paikallaan vinolla lastaussillalla, mutta lähtee liukumaan, kun siltaa jyrkennetään vähän lisää?
Pohjatiedot
- Voimakuvion piirtäminen ja liikeyhtälöt $\Sigma F_x = m a_x$ ja $\Sigma F_y = m a_y$luku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
- Vinon voiman komponentit $F\cos\alpha$ ja $F\sin\alpha$luku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 3.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Paino
- Voima, jolla Maa vetää kappaletta. Paino riippuu paikasta, massa ei.
- Kitka
- Voima, joka vastustaa kahden pinnan liukumista toisiaan vasten.
- Lepokitka
- Kitka, joka pitää kappaleen paikallaan pinnan suhteen. Se voi kasvaa vain tiettyyn ylärajaan asti.
- Liikekitka
- Kitka, joka vaikuttaa, kun kappale jo liukuu pintaa pitkin.
- Kitkakerroin
- Luku, joka kertoo, kuinka suuri kitka on tukivoimaan verrattuna. Se riippuu pinnoista.
Pohdinta
Muuttaja nostaa laatikon pakettiauton lastaussillalle. Laatikko voi olla tyhjä tai täyteen pakattu. Laatikko jää sillalle paikalleen, vaikka silta on vinossa. Sitten sillan alapäätä siirretään lähemmäs autoa, ja silta jyrkkenee. Jossakin vaiheessa laatikko lähtee yhtäkkiä liukumaan alas.
Mikä pitää laatikon paikallaan loivalla sillalla? Miksi se ei enää riitä jyrkällä sillalla?
Valinnainen Kertaa: tukivoima rinteellä
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kitka kallistuvalla lankulla
Ennuste 2: raskas ja kevyt laatikko
Tutki
Laatikko on lankulla, jonka kaltevuutta voit muuttaa. Vasemmalla on tilannekuva ja kuvaaja kitkavoimasta. Oikealla on laatikon voimakuvio mittakaavassa.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä lankun kulmaa $\alpha$ liukusäätimellä. Valitse Massa ja Pinnat. Voimakuvio ja lukemat päivittyvät heti. Jos laatikko liukuu, paina Käynnistä, niin näet liukumisen. Paina Alusta, niin laatikko palaa alkuun. Kuvaaja merkitsee kitkavoiman jokaisella kokeilemallasi kulmalla. Ruutu Näytä painon komponentit näyttää komponentit katkoviivoin. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa liikettä. Lukemat eivät muutu.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Laatikko on aluksi levossa. Se pysyy paikallaan, jos tarvittava lepokitka on enintään $\mu_0 N$. Muuten se liukuu, ja siihen vaikuttaa liikekitka $\mu N$. Kitkakertoimet ovat mallin arvoja: puu puulla $\mu_0 = 0{,}50$ ja $\mu = 0{,}30$, muovi puulla $\mu_0 = 0{,}30$ ja $\mu = 0{,}20$, kumi puulla $\mu_0 = 0{,}80$ ja $\mu = 0{,}60$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Nopeuden sininen nuoli on tilannekuvassa, ei voimakuviossa, koska nopeus ei ole voima.
Laskennan selitys
Painon komponentit ovat $G_x = mg\sin\alpha$ rinnettä alas ja $G_y = mg\cos\alpha$ pintaa kohti. Putoamiskiihtyvyys on $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Pintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$. Jos $G_x \le \mu_0 N$, laatikko pysyy paikallaan. Silloin lepokitka on $F_\mu = G_x$ ja $a = 0$. Muuten $F_\mu = \mu N$, ja rinteen suunnassa $G_x - F_\mu = ma$. Siitä saadaan $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$.
Koe 1: lankun kallistaminen
Testaa ensimmäinen ennuste. Alkutila valitsee puu puulla -pinnat ja massan $2{,}0\,\text{kg}$. Muuta vain kulmaa $\alpha$. Kirjaa mittaus ainakin kulmilla $0^\circ$, $10^\circ$ ja $20^\circ$. Kasvata sitten kulmaa asteen kerrallaan, kunnes laatikko lähtee liukumaan. Kirjaa myös viimeinen kulma, jolla laatikko pysyy paikallaan, ja ensimmäinen kulma, jolla se liukuu.
Alkutila: pinnat: puu puulla, massa $m$ = $2\,\text{kg}$, kulma $\alpha$ = $0^\circ$. Vakiona: pinnat, massa $m$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $G_x$ $(\text{N})$ | $N$ $(\text{N})$ | $F_\mu$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Etsi taulukosta raja, jolla laatikko lähtee liukumaan. Määritä sen avulla laatikon ja lankun välinen lepokitkakerroin $\mu_0$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Juuri ennen liukumista lepokitka on suurimmillaan, eli $F_\mu = \mu_0 N$. Mitkä voimat ovat silloin tasapainossa rinteen suunnassa?
Vihje 2: mikä yhteys
Rinteen suunnassa $mg\sin\alpha_0 = \mu_0\,mg\cos\alpha_0$, ja massa supistuu.
Vihje 3: välivaihe
$\mu_0 = \tan\alpha_0$. Tässä $\alpha_0$ on puolivälissä viimeistä paikallaan pysymiskulmaa ja ensimmäistä liukumiskulmaa.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta laatikko pysyy paikallaan kulmalla $26^\circ$ ja liukuu kulmalla $27^\circ$, joten rajakulma on $\alpha_0 \approx 26{,}5^\circ$; $m = 2{,}0\,\text{kg}$
Kysytty
lepokitkakerroin $\mu_0$ (ei yksikköä)
Periaate
Juuri ennen liukumista laatikko on vielä levossa, joten voimien summa on nolla. Lepokitka on silloin suurimmillaan, $F_\mu = \mu_0 N$. Newtonin toinen laki rinteen suuntaan ja kohtisuoraan pintaa vastaan antaa kertoimen.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas. Sen komponentit $G_x = mg\sin\alpha_0$ ja $G_y = mg\cos\alpha_0$ on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos ja lepokitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha_0 = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha_0 - \mu_0 N = 0$, joten
Muunnokset
Kulma on asteina. Tangentti lasketaan laskimen astetilassa. Muita muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\mu_0 = \tan 26{,}5^\circ = 0{,}4986$
Vastaus
$0{,}50$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska rajakulma tunnetaan vain asteen tarkkuudella: $\tan 26^\circ = 0{,}49$ ja $\tan 27^\circ = 0{,}51$.
Järkevyys
Taulukossa juuri ennen liukumista kitka on $8{,}6\,\text{N}$ ja tukivoima $17{,}6\,\text{N}$. Niiden suhde on $0{,}49$, sama tulos. Puun kitkakerroin puuta vasten on tyypillisesti $0{,}3$–$0{,}6$, joten arvo on uskottava.
Koe 2: massa muuttuu
Testaa toinen ennuste. Alkutila valitsee puu puulla -pinnat ja kulman $35^\circ$, jolla laatikko liukuu. Muuta vain massaa. Kirjaa mittaus kaikilla kolmella massalla. Voit katsoa liukumisen painamalla Käynnistä.
Alkutila: pinnat: puu puulla, kulma $\alpha$ = $35^\circ$, massa $m$ = $2\,\text{kg}$. Vakiona: pinnat, kulma $\alpha$. Muutetaan: massa $m$.
| massa $m$ | $G_x$ $(\text{N})$ | $F_\mu$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, miksi laatikko pysyy loivalla lankulla paikallaan mutta lähtee jyrkemmällä lankulla liukumaan. Selitä myös, miksi massa ei vaikuta kiihtyvyyteen.
Mallivastaus
Levossa laatikkoon vaikuttava lepokitka on yhtä suuri kuin rinnettä alas vievä komponentti $G_x = mg\sin\alpha$. Siksi lepokitka kasvaa kulman mukana: mallin arvoissa $3{,}4\,\text{N}$ kulmalla $10^\circ$ ja $8{,}6\,\text{N}$ kulmalla $26^\circ$. Samalla tukivoima $N = mg\cos\alpha$ pienenee, ja sen mukana lepokitkan yläraja $\mu_0 N$. Kun $G_x$ ylittää ylärajan, noin kulmalla $27^\circ$, laatikko lähtee liukumaan. Silloin kitka putoaa liikekitkaksi $\mu N$, mallin arvoissa $5{,}2\,\text{N}$. Sekä $G_x$ että kitka ovat verrannollisia massaan, joten massa supistuu. Kulmalla $35^\circ$ kiihtyvyys on $3{,}22\,\text{m/s}^2$ kaikilla massoilla, mikä näkyy koe 2:n taulukossa. Rajakulma ei riipu massasta, koska ehdossa $\tan\alpha_0 = \mu_0$ ei ole massaa. Tätä ei kuitenkaan mitattu.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Valinnainen Mittaus jousivaa'alla
Keksitty esimerkkiaineisto
Opiskelijat vetävät puupalikkaa vaakasuoralla pöydällä jousivaa'alla. He vetävät vaakasuoraan ja tasaisella nopeudella. He lisäävät palikan päälle punnuksia ja kirjaavat vaa'an lukeman.
| $m$ (kg) | $0{,}50$ | $1{,}00$ | $1{,}50$ | $2{,}00$ |
|---|---|---|---|---|
| $F$ (N) | $1{,}7$ | $3{,}5$ | $5{,}1$ | $6{,}9$ |
Määritä palikan ja pöydän välinen liikekitkakerroin $\mu$ mittausten keskiarvona.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Palikka liikkuu tasaisesti, joten vaa'an voima on yhtä suuri kuin liikekitka. Mikä on tukivoima vaakasuoralla pöydällä?
Vihje 2: mikä yhteys
jokaiselle riville.
Vihje 3: välivaihe
Esimerkiksi ensimmäiseltä riviltä
Laske kaikki neljä riviä ja niiden keskiarvo.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon massat $0{,}50$–$2{,}00\,\text{kg}$ ja vaa'an lukemat $1{,}7$–$6{,}9\,\text{N}$; palikka liikkuu vaakasuoraan tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Palikka liikkuu tasaisella nopeudella, joten voimien summa on nolla. Vaakasuunnassa vaa'an voima on yhtä suuri kuin liikekitka. Pystysuunnassa tukivoima on yhtä suuri kuin paino. Liikekitka on $F_\mu = \mu N$.
Kaava
$F - \mu N = 0$ ja $N - mg = 0$, joten $\mu = \dfrac{F}{mg}$
Muunnokset
Massat ovat kilogrammoina ja voimat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
samoin $\mu_2 = 0{,}357$, $\mu_3 = 0{,}347$ ja $\mu_4 = 0{,}352$; keskiarvo
Vastaus
$0{,}35$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten vaa'an lukemissa, esimerkiksi $1{,}7\,\text{N}$.
Järkevyys
Kaikki neljä suhdetta ovat lähellä toisiaan, joten kitka on todella verrannollinen tukivoimaan. Kun massa nelinkertaistuu, lukema kasvaa $1{,}7\,\text{N}$:sta $6{,}9\,\text{N}$:iin eli noin nelinkertaiseksi. Puun kitkakerroin puuta vasten on tyypillisesti $0{,}3$–$0{,}6$.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Paino
Kappaleen paino $\overline{G}$ on voima, jolla Maa vetää kappaletta. Paino osoittaa aina suoraan alas, myös rinteellä. Voimakuviossa paino piirretään kappaleen keskipisteestä. Painon suuruus on massan ja putoamiskiihtyvyyden tulo $mg$.
Massa kertoo, kuinka vaikea kappaleen liiketilaa on muuttaa. Massa on sama kaikkialla. Paino taas riippuu paikasta. Kuun pinnalla $g = 1{,}62\,\text{m/s}^2$. Siksi $60\,\text{kg}$:n ihmisen paino on Kuussa noin $97\,\text{N}$, mutta Maassa noin $590\,\text{N}$.
Lepokitka ja liikekitka
Kun kaksi pintaa koskettaa toisiaan, ne vastustavat liukumista toistensa suhteen. Tämä pinnan suuntainen voima on kitka $\overline{F}_\mu$. Pinnat eivät ole täysin sileitä. Pienet epätasaisuudet tarttuvat toisiinsa, ja pintojen hiukkasten välillä on vetovoimia. Mitä lujemmin pinnat painuvat toisiaan vasten, sitä suurempi kitka voi olla. Pintojen painamista toisiaan vasten kuvaa tukivoima $N$.
Kun laatikkoa vedetään lattialla heikosti, se ei liiku. Silloin laatikkoon vaikuttaa lepokitka. Lepokitka on yhtä suuri kuin veto ja vastakkaissuuntainen, joten kokonaisvoima on nolla. Lepokitka ei siis ole vakio, vaan se mukautuu tilanteeseen. Sillä on kuitenkin yläraja.
Kun veto ylittää ylärajan, laatikko lähtee liukumaan. Silloin kitka vaihtuu liikekitkaksi. Liikekitka on yleensä pienempi kuin lepokitkan suurin arvo. Tavallisilla nopeuksilla liikekitka on likimain vakio.
Kuvaajassa lattian tukivoima on $100\,\text{N}$. Lepokitka kasvaa vedon mukana $50\,\text{N}$:iin asti. Siinä laatikko lähtee liikkeelle. Liukuvaan laatikkoon vaikuttaa $35\,\text{N}$:n liikekitka, vaikka vetoa lisättäisiin. Siksi raskas kaappi on vaikeinta saada liikkeelle. Kun kaappi liikkuu, sitä on helpompi työntää.
Kalteva taso
Kalteva taso on vino pinta eli rinne. Rinteellä paino osoittaa yhä suoraan alas, mutta pinta on vinossa. Tukivoima on kohtisuorassa pintaa vastaan, ja kitka on pinnan suuntainen.
Laskua varten paino jaetaan kahteen komponenttiin. Komponentti on voiman osa tietyssä suunnassa. Rinteen suuntainen komponentti pyrkii viemään kappaletta rinnettä alas. Pintaa vastaan kohtisuora komponentti painaa kappaletta pintaa vasten. Komponentit eivät ole uusia voimia. Ne korvaavat painon laskussa. Voimakuviossa ne piirretään katkoviivoin.
Mitä jyrkempi rinne on, sitä suurempi on rinteen suuntainen komponentti. Samalla kohtisuora komponentti pienenee.
Oletetaan, että pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima. Oletetaan myös, että kappale ei kiihdy siinä suunnassa. Silloin tukivoima pienenee kohtisuoran komponentin mukana. Samalla pienenee lepokitkan yläraja.
Siksi laatikko lähtee jyrkässä rinteessä liukumaan. Rinnettä alas vievä komponentti kasvaa suuremmaksi kuin suurin lepokitka, jonka silta pystyy antamaan.
Kitka ei aina vastusta liikettä
Kitka vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen. Se ei välttämättä vastusta kappaleen liikettä.
Esimerkiksi avolava-auto lähtee kiihtyen liikkeelle. Lavalla oleva laatikko kiihtyy mukana. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Silloin ainoa vaakasuora voima laatikkoon on lavan kitka. Kitkan täytyy siis osoittaa eteenpäin, liikkeen suuntaan. Lava pyrkii liukumaan eteenpäin laatikon alta, ja lepokitka estää sen.
Samoin kävellessä jalka työntää maata taaksepäin, ja maan lepokitka työntää jalkaa eteenpäin. Peilijäällä kitkaa on hyvin vähän. Siksi liikkeelle lähteminen on siellä vaikeaa.
Kitkan lisäksi kappaleeseen voi vaikuttaa muitakin kosketusvoimia. Noste on voima, jolla neste tai kaasu työntää siihen uponnutta kappaletta ylöspäin. Väliaineen vastusvoima on voima, jolla ilma tai vesi vastustaa kappaleen liikettä. Ilmanvastusta käsitellään tarkemmin luvussa Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa. Tässä luvussa ilmanvastus ja noste jätetään huomiotta.
Kitkavoima ja kalteva taso
Painon suuruus on
$$G = mg$$
missä $G$ on paino (N), $m$ massa (kg) ja $g$ putoamiskiihtyvyys, Maan pinnalla $9{,}81\,\text{m/s}^2$.
Liikekitka on verrannollinen tukivoimaan:
$$F_\mu = \mu N$$
missä $F_\mu$ on liikekitkan suuruus (N), $\mu$ liikekitkakerroin (ei yksikköä) ja $N$ tukivoiman suuruus (N). Lepokitka on enintään tukivoiman ja lepokitkakertoimen $\mu_0$ tulo:
$$F_{\mu 0} \le \mu_0 N$$
missä $F_{\mu 0}$ on lepokitkan suuruus (N).
Kitkakertoimet riippuvat pintojen aineista ja kunnosta. Yleensä $\mu < \mu_0$. Kaavat ovat kokeellisia malleja, jotka kuvaavat kuivia pintoja hyvin. Niissä kitka ei riipu kosketuspinnan alasta eikä liukumisnopeudesta.
Kaltevalla tasolla kaltevuuskulma on $\alpha$. Valitaan $x$-akseli rinteen suuntaiseksi ja $y$-akseli kohtisuoraan pintaa vastaan. Painon komponentit ovat
$$\begin{aligned} G_x &= G\sin\alpha \\ G_y &= G\cos\alpha \end{aligned}$$
missä $G_x$ on rinteen suuntainen komponentti (N) ja $G_y$ pintaa vastaan kohtisuora komponentti (N).
Painon ja komponentin $G_y$ välinen kulma on sama $\alpha$ kuin rinteen kaltevuuskulma. Syy on tämä: paino on kohtisuorassa vaakatasoa vastaan ja $G_y$ on kohtisuorassa rinnettä vastaan.
Oletetaan, että pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima. Oletetaan myös, että kappale ei kiihdy siinä suunnassa. Silloin tukivoima on yhtä suuri kuin $G_y$: $N = mg\cos\alpha$. Tukivoima on painoa pienempi. (Pintaa vasten tai siitä poispäin suuntautuva vetävä tai työntävä voima muuttaisi tukivoimaa.)
Levossa olevaan kappaleeseen vaikuttava lepokitka on yhtä suuri kuin $G_x$. Kappale pysyy paikallaan niin kauan kuin $mg\sin\alpha \le \mu_0\,mg\cos\alpha$ eli $\tan\alpha \le \mu_0$. Massa supistuu. Tämän mallin mukaan raskas ja kevyt laatikko lähtevät samalta pinnalta liukumaan samalla kulmalla.
Kitkakertoimen määrittäminen
Kuvioissa ja simulaatiossa levossa olevaan kappaleeseen vaikuttavaa lepokitkaa merkitään $\overline{F}_\mu$. Sen suuruus on $F_{\mu 0} \le \mu_0 N$. Liukuessa $F_\mu = \mu N$.
Lepokitkakerroin saadaan kokeesta, jossa lautaa kallistetaan hitaasti, kunnes kappale lähtee liukumaan. Tällä rajakulmalla $\alpha_0$ lepokitka on suurimmillaan, joten $\mu_0 = \tan\alpha_0$.
Liikekitkakerroin saadaan esimerkiksi vetämällä kappaletta vaakasuoralla pöydällä jousivaa'alla. Veto on vaakasuora ja nopeus tasainen. Silloin veto on yhtä suuri kuin liikekitka ja tukivoima yhtä suuri kuin paino, joten $\mu = F : mg$. Kun mittaus toistetaan eri massoilla, kitkakerroin on $(N, F_\mu)$-kuvaajaan sovitetun suoran kulmakerroin. Suora kulkee origon kautta.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että kitkavoima on aina $\mu_0 N$ tai $\mu N$ ja aina liikettä vastaan. Lepokitka on kuitenkin vain niin suuri kuin tilanne vaatii. Jos laatikkoa työnnetään $20\,\text{N}$:n voimalla eikä se liiku, lepokitka on $20\,\text{N}$, vaikka sen yläraja olisi suurempi.
Kitka vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen. Siksi se voi osoittaa myös liikkeen suuntaan, kuten kiihtyvän auton lavalla.
Toinen yleinen virhe on pitää tukivoimaa aina painon suuruisena. Rinteellä $N = mg\cos\alpha$ on painoa pienempi. Tämä pätee, kun kohtisuorassa suunnassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima eikä kappale kiihdy siinä suunnassa. Paino osoittaa silloinkin suoraan alas eikä kohtisuoraan rinnettä vastaan.
Tiivistelmä
- Painon suuruus on $G = mg$, ja paino osoittaa aina suoraan alas. Massa on sama kaikkialla, mutta paino riippuu putoamiskiihtyvyydestä.
- Kitka on pinnan suuntainen. Se vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen, ei aina kappaleen liikettä.
- Lepokitka mukautuu tilanteeseen: $F_{\mu 0} \le \mu_0 N$. Liukuvaan kappaleeseen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$, ja yleensä $\mu < \mu_0$.
- Rinteellä paino jaetaan komponentteihin $G_x = mg\sin\alpha$ ja $G_y = mg\cos\alpha$. Tukivoima on $N = mg\cos\alpha$, kun pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima eikä kappale kiihdy siinä suunnassa. Komponentit piirretään katkoviivoin, eivätkä ne ole uusia voimia.
- Lepokitkakerroin saadaan rajakulmasta, jolla kappale lähtee liukumaan: $\mu_0 = \tan\alpha_0$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin. Mitä opit lepokitkan suuruudesta? Palaa myös alun laatikkoon. Päättele ehdosta $\tan\alpha_0 = \mu_0$, miksi tyhjä ja täyteen pakattu laatikko lähtevät liukumaan samalla sillan kulmalla.
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Muuttolaatikon massa on $18\,\text{kg}$. Laatikko liukuu lastaussiltaa alas. Silta on $25^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden, ja laatikon ja sillan välinen liikekitkakerroin on $0{,}30$. Kuinka suuri on laatikon kiihtyvyys, ja kuinka suuri on kitkavoima? Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vaihe 1/8
Tunnetut ja kysytty. $m = 18\,\text{kg}$, $\alpha = 25^\circ$, $\mu = 0{,}30$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kysytään kiihtyvyyttä $a$ ja kitkavoimaa $F_\mu$.
Vaihe 2/8
Periaate. Valitaan kappaleeksi laatikko. Siihen vaikuttavat Maa (paino) ja silta (tukivoima ja liikekitka). Laatikko liukuu alas, joten liikekitka osoittaa rinnettä ylös. Newtonin toinen laki kirjoitetaan kahteen suuntaan. Rinteen suunnassa laatikko kiihtyy. Kohtisuoraan pintaa vastaan se ei kiihdy: $a_y = 0$.
Vaihe 3/8
Voimakuvio. Laatikko piirretään suorakulmiona rinteen suuntaisesti, ja voimat lähtevät vaikutuskohdistaan. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas eli kiihtyvyyden suuntaan. Akseli $y$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino jaetaan komponentteihin $G_x = mg\sin\alpha$ ja $G_y = mg\cos\alpha$. Ne on piirretty katkoviivalla.
Vaihe 4/8
Kaava ratkaistuna. Kuviosta luetaan liikeyhtälöt, ja niistä ratkaistaan kysytyt suureet:
$$\begin{aligned} &x\text{:}\ \ mg\sin\alpha - \mu N = ma \\ &y\text{:}\ \ N - mg\cos\alpha = 0 \\ &F_\mu = \mu mg\cos\alpha \\ &a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \end{aligned}$$
Vaihe 5/8
Yksikkömuunnokset. Muunnoksia ei tarvita. Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja kitkakerroin on yksikötön.
Vaihe 6/8
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} &F_\mu = \mu mg\cos\alpha \\ &\phantom{F_\mu} = 0{,}30\cdot 18\,\text{kg} \\ &\quad\ \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 25^\circ \\ &\phantom{F_\mu} \approx 48{,}0\,\text{N} \\[4pt] &a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \\ &\phantom{a} = 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad\ \cdot(\sin 25^\circ - 0{,}30\cdot\cos 25^\circ) \\ &\phantom{a} \approx 1{,}48\,\text{m/s}^2 \end{aligned}$$
Vaihe 7/8
Tulos. Laatikon kiihtyvyys on $a \approx 1{,}5\,\text{m/s}^2$ rinnettä alas. Kitkavoima on $F_\mu \approx 48\,\text{N}$. Tuloksissa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa $\mu = 0{,}30$ ja $m = 18\,\text{kg}$.
Vaihe 8/8
Järkevyys. Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $g\sin 25^\circ \approx 4{,}1\,\text{m/s}^2$. Kitka pienentää kiihtyvyyttä, kuten pitääkin. Kitkavoima $48\,\text{N}$ on pienempi kuin rinteen suuntainen komponentti $G_x \approx 75\,\text{N}$. Siksi kokonaisvoima osoittaa rinnettä alas ja laatikko kiihtyy alas. Massa ei vaikuta kiihtyvyyteen, koska sekä $G_x$ että $F_\mu$ ovat verrannollisia massaan.
Etsi virhe
Valitse oikea voimakuvio
Sovella uuteen tilanteeseen
Lentokentän liukuhihna nostaa $8{,}0\,\text{kg}$:n matkalaukkua ylöspäin tasaisella nopeudella. Hihna on $15^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Laukku ei liu'u hihnalla. Kuinka suuri on hihnan kitkavoima laukkuun? Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä laukun voimakuvio. Laukku liikkuu ylöspäin tasaisella nopeudella, joten kokonaisvoima on nolla. Mikä voima voi kumota painon rinteen suuntaisen komponentin?
Vihje 2: mikä yhteys
Valitse $x$ hihnaa pitkin ylös. Rinteen suunnassa $F_\mu - mg\sin\alpha = 0$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 8{,}0\,\text{kg}$, hihnan kulma $\alpha = 15^\circ$, laukku liikkuu tasaisella nopeudella eikä liu'u hihnalla; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
hihnan kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Laukku liikkuu tasaisella nopeudella, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla. Laukku ei liu'u hihnan suhteen, joten siihen vaikuttaa lepokitka. Lepokitka on juuri niin suuri kuin tarvitaan.
Voimakuvio
Laukku on piirretty suorakulmiona hihnan suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa hihnaa pitkin ylös ja akseli $y$ kohtisuoraan hihnasta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas. Sen komponentit $mg\sin\alpha$ hihnaa alas ja $mg\cos\alpha$ hihnaa kohti on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan hihnasta ulos ja lepokitka $\overline{F}_\mu$ hihnaa pitkin ylös. Laukku pyrkii liukumaan alas hihnan suhteen, joten kitka osoittaa ylös, liikkeen suuntaan.
Kaava
$x$: $F_\mu - mg\sin\alpha = 0$, joten $F_\mu = mg\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$20\,\text{N}$
Hihnaa pitkin ylös. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $8{,}0\,\text{kg}$.
Järkevyys
Laukun paino on noin $80\,\text{N}$. Loivalla hihnalla rinteen suuntainen komponentti on siitä vain noin neljännes, joten $20\,\text{N}$ on järkevä. Kitka osoittaa liikkeen suuntaan: se vastustaa laukun liukumista hihnan suhteen, ei laukun liikettä.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Lautaa kallistetaan hitaasti, ja sen päällä oleva kappale lähtee liukumaan kulmalla $\alpha_0$. Miksi lepokitkakerroin on $\tan\alpha_0$?
Vastaus
Juuri ennen liukumista lepokitka on suurimmillaan, $\mu_0 N$. Se kumoaa painon rinteen suuntaisen komponentin: $mg\sin\alpha_0 = \mu_0\,mg\cos\alpha_0$. Massa supistuu, joten
$\mu_0$$= \dfrac{\sin\alpha_0}{\cos\alpha_0}$$= \tan\alpha_0$ - Kävelijä astuu eteenpäin, ja hänen jalkansa työntää maata taaksepäin. Mihin suuntaan maan kitkavoima vaikuttaa jalkaan? Miksi?
Vastaus
Eteenpäin, liikkeen suuntaan. Jalka pyrkii liukumaan taaksepäin maan suhteen, ja lepokitka vastustaa tätä liukumista. Kitka vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen, ei kävelijän liikettä. Juuri kitka vie kävelijää eteenpäin.
- Ihmisen massa on $60\,\text{kg}$. Kuinka suuri on hänen massansa ja hänen painonsa Kuun pinnalla, kun $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$?
Vastaus
Massa on sama kuin Maassa, $60\,\text{kg}$. Paino on
$G$$= mg_\text{Kuu}$$= 60\,\text{kg}\cdot 1{,}62\,\text{m/s}^2$$\approx 97\,\text{N}$Maassa paino on noin $590\,\text{N}$.
1. Käsite
2. Laskeminen
Kirjaa tönäistään kallistetulla pöydän kannella, ja kirja liukuu alas tasaisella nopeudella. Kannen kaltevuuskulma on $17^\circ$. Kuinka suuri on kirjan ja kannen välinen liikekitkakerroin?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä kirjan voimakuvio. Tasaisessa liikkeessä kokonaisvoima on nolla, myös rinteen suunnassa.
Vihje 2: mikä yhteys
Rinteen suunnassa $mg\sin\alpha - \mu N = 0$ ja kohtisuorassa suunnassa $N = mg\cos\alpha$.
Vihje 3: välivaihe
Massa supistuu: $\mu = \tan\alpha$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kannen kaltevuuskulma $\alpha = 17^\circ$, kirja liukuu alas tasaisella nopeudella
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on silloin nolla kummassakin suunnassa. Kirja liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$.
Voimakuvio
Kirja on piirretty suorakulmiona kannen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa kantta pitkin alas ja akseli $y$ kohtisuoraan kannesta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit $mg\sin\alpha$ ja $mg\cos\alpha$ on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan kannesta ulos. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa kantta pitkin ylös, koska kirja liukuu alas.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = 0$, joten
Muunnokset
Kulma on asteina. Muita muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
$\mu = \tan 17^\circ = 0{,}3057$
Vastaus
$0{,}31$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmassa $17^\circ$.
Järkevyys
Kerroin on positiivinen ja pienempi kuin $1$, kuten kirjan ja puun välillä on tyypillistä. Pienempi kulma tarkoittaisi pienempää kitkakerrointa: jäällä kirja liukuisi tasaisella nopeudella jo hyvin loivassa kulmassa.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Piirrä itse
Laatikkoa, jonka massa on $20\,\text{kg}$, vedetään köydellä ylös $20^\circ$:n rinnettä tasaisella nopeudella. Köysi on rinteen suuntainen. Laatikon ja rinteen välinen liikekitkakerroin on $0{,}25$. Piirrä laatikon voimakuvio paperille: laatikko suorakulmiona ja jokainen voima vaikutuskohdastaan. Kirjoita sitten liikeyhtälöt rinteen suunnassa ja kohtisuoraan sitä vastaan. Laske lopuksi köyden jännitysvoima. (Jännitysvoima on voima, jolla köysi vetää laatikkoa.)
Mallikuvio
Laatikkoon vaikuttavat Maa, rinne ja köysi. Paino $\overline{G}$ osoittaa keskipisteestä suoraan alas. Rinne vaikuttaa alapinnasta kahdella voimalla. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa rinnettä alas, koska laatikko liukuu ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa rinnettä ylös. Laatikko liikkuu tasaisesti, joten kokonaisvoima on nolla. Akseli $x$ osoittaa rinnettä ylös ja akseli $y$ pinnasta ulos. $y$: $N - mg\cos 20^\circ = 0$, joten $N = 20\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 20^\circ \approx 184\,\text{N}$ ja $F_\mu = \mu N \approx 46\,\text{N}$. $x$: $T - mg\sin 20^\circ - \mu N = 0$, joten $T = mg\sin 20^\circ + \mu mg\cos 20^\circ \approx 67\,\text{N} + 46\,\text{N} \approx 113\,\text{N}$. Köyden on voitettava sekä painon rinteen suuntainen komponentti että kitka.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Paino
- Maan kappaleeseen kohdistama gravitaatiovoima.$$G = mg$$
- Kalteva taso
- Tilanne helpottuu valitsemalla koordinaatisto tason suuntaiseksi ja jakamalla voimat komponentteihin.
- Kitka
- Kosketuksessa olevien pintojen välinen voima vastustaa niiden suhteellista liikettä tai liikkeelle lähtöä.
- Lepokitka
- Estää pintojen liukumisen toistensa suhteen ja mukautuu tarvittavaan suuruuteen enimmäisarvoonsa asti.
- Liikekitka
- Vastustaa toistensa suhteen liukuvien pintojen liikettä (liukukitka).$$F_{\mu} = \mu N$$
- Kitkakerroin
- Aineparista riippuva dimensioton luku, joka kuvaa pintojen välistä kitkaa.
- Noste
- Nesteen tai kaasun kappaleeseen kohdistama ylöspäin suuntautuva voima.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-1Ydintehtävä
Astronautin ja hänen avaruuspukunsa yhteinen massa on $160\,\text{kg}$. Kuun pinnalla putoamiskiihtyvyys on $1{,}62\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on astronautin ja puvun yhteinen paino Kuun pinnalla?
Vastaus
$259\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 160\,\text{kg}$, Kuun putoamiskiihtyvyys $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$
Kysytty
paino Kuun pinnalla $G$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Paino on voima, jolla taivaankappale vetää kappaletta. Sen suuruus on massan ja putoamiskiihtyvyyden tulo. Massa on sama Kuussa kuin Maassa, mutta putoamiskiihtyvyys on Kuussa pienempi.
Voimakuvio
Astronautti on piirretty suorakulmiona Kuun pinnalle. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Tukivoima $\overline{N}$ lähtee alapinnasta ylös, ja se on yhtä pitkä kuin paino. Kysytty on painon suuruus $mg_\text{Kuu}$.
Kaava
$G = m g_\text{Kuu}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyys yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$G$$= 160\,\text{kg}\cdot 1{,}62\,\text{m/s}^2$$= 259{,}2\,\text{N}$Vastaus
$259\,\text{N}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten putoamiskiihtyvyydessä $1{,}62\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Maassa paino olisi $160\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1570\,\text{N}$. Kuun putoamiskiihtyvyys on noin kuudesosa Maan arvosta. Niin ollen $1570\,\text{N} : 6 \approx 260\,\text{N}$, sama tulos.
- Tehtävä 8-2Ydintehtävä
Pulkka liukuu vaakasuoralla lumella. Pulkan massa on $30\,\text{kg}$. Pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}12$. Piirrä pulkan voimakuvio. Kuinka suuri on lumen kitkavoima pulkkaan?
Vastaus
$35\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 30\,\text{kg}$, $\mu = 0{,}12$, pulkka liukuu vaakasuoralla lumella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitka $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Pulkka liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$. Pystysuunnassa pulkka ei kiihdy. Siksi Newtonin toisen lain mukaan tukivoima on yhtä suuri kuin paino.
Voimakuvio
Pulkka on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja akseli $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Lumen tukivoima $\overline{N}$ lähtee alapinnasta ylös, ja se on yhtä pitkä kuin paino. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan takakulmasta taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$, joten $N = mg$ ja $F_\mu = \mu N = \mu mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\mu$$= 0{,}12\cdot 30\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 35{,}316\,\text{N}$Vastaus
$35\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}12$ ja massassa $30\,\text{kg}$.
Järkevyys
Pulkan paino on noin $290\,\text{N}$. Kitka on siitä noin kahdeksasosa, kuten pieni kitkakerroin $0{,}12$ edellyttää. Kitka hidastaa pulkkaa:
$a$$= F_\mu : m$$\approx 1{,}2\,\text{m/s}^2$ - Tehtävä 8-3
Laatikon massa on $40\,\text{kg}$. Laatikkoa työnnetään vaakasuoralla lattialla vaakasuoraan $120\,\text{N}$:n voimalla, ja se liukuu tasaisella nopeudella. Kuinka suuri on laatikon ja lattian välinen liikekitkakerroin?
Vastaus
$0{,}31$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 40\,\text{kg}$, vaakasuora työntövoima $F = 120\,\text{N}$, laatikko liukuu tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Tasaisessa liikkeessä voimien summa on nolla. Siksi liikekitka on yhtä suuri kuin työntö ja tukivoima yhtä suuri kuin paino. Liikekitka on $F_\mu = \mu N$.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja akseli $y$ ylös. Työntövoima $\overline{F}$ osoittaa eteenpäin. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin, ja se on yhtä pitkä kuin työntö. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös, ja ne ovat yhtä pitkät.
Kaava
$x$: $F - \mu N = 0$ ja $y$: $N - mg = 0$, joten $\mu = \dfrac{F}{mg}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\mu$$= \dfrac{120\,\text{N}}{40\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{120\,\text{N}}{392{,}4\,\text{N}}$$= 0{,}3058$Vastaus
$0{,}31$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $40\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kitkakerroin on yksikötön, koska se on kahden voiman suhde. Työntö $120\,\text{N}$ on vajaa kolmannes laatikon painosta $392\,\text{N}$. Siksi kerroin on vähän yli $0{,}3$, mikä on tavallinen arvo puulle lattiaa vasten.
- Tehtävä 8-4
Kirja on paikallaan pöydän kannella. Kirjan massa on $0{,}80\,\text{kg}$, ja kansi on kallistettu $20^\circ$:n kulmaan vaakatasoon nähden. Piirrä kirjan voimakuvio. Kuinka suuri on kannen tukivoima kirjaan?
Vastaus
$7{,}4\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}80\,\text{kg}$, kannen kulma $\alpha = 20^\circ$, kirja on levossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kirja ei liiku kantta vastaan kohtisuorassa suunnassa. Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on siinä suunnassa nolla. Tukivoima kumoaa painon kohtisuoran komponentin.
Voimakuvio
Kirja on piirretty suorakulmiona kannen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa kantta pitkin alas ja akseli $y$ kohtisuoraan kannesta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit $mg\sin\alpha$ ja $mg\cos\alpha$ on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan kannesta ulos ja lepokitka $\overline{F}_\mu$ kantta pitkin ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$, joten $N = mg\cos\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 0{,}80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 20^\circ$$= 7{,}848\,\text{N}\cdot 0{,}9397$$= 7{,}375\,\text{N}$Vastaus
$7{,}4\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}80\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kirjan paino on $7{,}8\,\text{N}$. Tukivoima on vähän pienempi, koska kansi on vinossa. Vaakasuoralla kannella tukivoima olisi koko paino ja pystysuoralla nolla.
- Tehtävä 8-5
Laatikko on rinteellä, jonka kaltevuuskulma on $30^\circ$. Laatikon massa on $12\,\text{kg}$. Kuinka suuri on laatikon painon rinteen suuntainen komponentti?
Vastaus
$59\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 12\,\text{kg}$, rinteen kaltevuuskulma $\alpha = 30^\circ$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
painon rinteen suuntainen komponentti $G_x$ yksikössä $\text{N}$
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit $G_x$ ja $G_y$ on piirretty katkoviivoin. Muut voimat eivät vaikuta kysyttyyn komponenttiin.
Periaate
Paino osoittaa suoraan alas. Valitaan $x$-akseli rinteen suuntaiseksi. Painon komponentti sen suuntaan saadaan suorakulmaisesta kolmiosta. Kolmiossa painon ja kohtisuoran komponentin välinen kulma on rinteen kaltevuuskulma $\alpha$.
Kaava
$G_x = G\sin\alpha = mg\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$G_x$$= 12\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\sin 30^\circ$$= 117{,}72\,\text{N}\cdot 0{,}5$$= 58{,}86\,\text{N}$Vastaus
$59\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $12\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kulmalla $30^\circ$ sini on tasan $0{,}5$. Siksi rinteen suuntainen komponentti on puolet painosta $118\,\text{N}$. Komponentti on aina pienempi kuin paino itse.
- Tehtävä 8-6
Laatikko on levossa vaakasuoralla lattialla. Sitä työnnetään vaakasuoraan $20\,\text{N}$:n voimalla, mutta se ei liiku.
Laatikon ja lattian välisen lepokitkan suurin mahdollinen arvo on $60\,\text{N}$. Mikä väite lattian laatikkoon kohdistamasta lepokitkasta $F_{\mu 0}$ on oikea?
Vastaus
$F_{\mu 0} = 20\,\text{N}$, koska levossa lepokitka on yhtä suuri kuin työntö.
Näytä ratkaisu
Kysytty
lattian laatikkoon kohdistaman kitkavoiman suuruus, kun laatikko pysyy paikallaan
Periaate
Laatikko on levossa. Newtonin toisen lain mukaan vaakasuuntaisten voimien summa on silloin nolla. Lepokitka mukautuu tilanteeseen. Se on yhtä suuri kuin työntö ja vastakkaissuuntainen, kunhan työntö ei ylitä lepokitkan enimmäisarvoa.
Mallivastaus
Kitkavoiman suuruus on $20\,\text{N}$, koska laatikko on levossa ja kitka kumoaa työnnön. Enimmäisarvo $60\,\text{N}$ on vain yläraja, ja työntö $20\,\text{N}$ jää sen alle. Väite, että kitka olisi aina enimmäisarvon suuruinen, on väärä. Lepokitka on vain niin suuri kuin tilanne vaatii. Väite, että kitkaa ei olisi lainkaan, on väärä. Juuri kitka estää laatikkoa liikkumasta. Väite, että kitka olisi enimmäisarvon ja työnnön erotus, on väärä. Levossa kitka ja työntö ovat yhtä suuret.
- Tehtävä 8-7
Vaakasuoralla lattialla on levossa $50\,\text{kg}$:n laatikko. Laatikon ja lattian välinen lepokitkakerroin on $0{,}45$. Kuinka suuri vaakasuora voima laatikkoon on vähintään kohdistettava, jotta se lähtee liikkeelle?
Vastaus
$2{,}2\cdot 10^2\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 50\,\text{kg}$, $\mu_0 = 0{,}45$, laatikko on levossa vaakasuoralla lattialla; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pienin vaakasuora voima $F$ yksikössä $\text{N}$, jolla laatikko lähtee liikkeelle
Periaate
Laatikko lähtee liikkeelle, kun työntö ylittää lepokitkan enimmäisarvon $\mu_0 N$. Rajatapauksessa työntö on yhtä suuri kuin tämä enimmäisarvo. Pystysuunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N = mg$.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa työnnön suuntaan ja akseli $y$ ylös. Työntövoima $\overline{F}$ osoittaa eteenpäin. Lepokitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin, ja rajatapauksessa se on yhtä pitkä kuin työntö. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös, ja ne ovat yhtä pitkät.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $F - \mu_0 N = 0$, joten $F = \mu_0 mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F$$= 0{,}45\cdot 50\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 220{,}7\,\text{N}$Vastaus
$2{,}2\cdot 10^2\,\text{N}$
Eli noin $220\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}45$ ja massassa $50\,\text{kg}$. Tätä pienemmällä voimalla laatikko pysyy paikallaan.
Järkevyys
Laatikon paino on $490\,\text{N}$. Tarvittava voima on $0{,}45$-kertainen siihen nähden, kuten kitkakerroin edellyttää. Kun laatikko on lähtenyt liikkeelle, liikekitka on yleensä pienempi kuin $\mu_0 N$. Siksi liikkeessä pitämiseen riittää pienempi voima.
- Tehtävä 8-8
Kappale on levossa $30^\circ$:n kaltevalla tasolla. Kappaleeseen vaikuttavat vain paino $\overline{G}$, tukivoima $\overline{N}$ ja kitka.
Mikä väite tukivoiman suuruudesta $N$ ja painon suuruudesta $G$ on oikea?
Vastaus
$N < G$, koska tukivoima kumoaa vain painon kohtisuoran komponentin.
Näytä ratkaisu
Kysytty
tukivoiman suuruuden $N$ suhde painon suuruuteen $G$ kaltevalla tasolla levossa olevalle kappaleelle
Periaate
Valitaan $y$-akseli kohtisuoraan pintaa vastaan. Siinä suunnassa kappale ei kiihdy, joten voimien summa on nolla. Pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain tukivoima ja painon komponentti $G_y = mg\cos\alpha$. Kitka on pinnan suuntainen. Paino osoittaa suoraan alas, ja se jaetaan kahteen komponenttiin: rinteen suuntaan ja sitä vastaan kohtisuoraan.
Mallivastaus
Tukivoima on painoa pienempi: $N = mg\cos\alpha < G$. Tukivoima kumoaa vain painon komponentin, joka on kohtisuorassa pintaa vastaan. Rinteen suuntaisen komponentin kumoaa kitka. Kulmalla $30^\circ$ saadaan $N = G\cos 30^\circ \approx 0{,}87\,G$. Väite, että tukivoima ja paino ovat aina vastakkaiset ja yhtä suuret, pätee vain vaakasuoralla pinnalla. Väite $N > G$ on väärä, koska kitka ei paina kappaletta pintaa vasten. Väite $N = 0$ on väärä, koska painon komponentti $G_y$ painaa kappaletta pintaa vasten.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-9Ydintehtävä
Pulkka lähtee levossa liukumaan mäessä, jonka kaltevuuskulma on $12^\circ$. Se saavuttaa $4{,}0\,\text{s}$:ssa nopeuden $3{,}0\,\text{m/s}$. Kiihtyvyys on vakio.
Kuinka suuri on pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin? Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vastaus
$0{,}13$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\alpha = 12^\circ$, pulkka lähtee levossa, $v = 3{,}0\,\text{m/s}$ ajassa $t = 4{,}0\,\text{s}$, kiihtyvyys vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Kiihtyvyys saadaan nopeuden muutoksesta. Newtonin toinen laki rinteen suuntaan antaa kitkan. Pulkka liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $F_\mu = \mu N$. Kohtisuorassa suunnassa pulkka ei kiihdy.
Voimakuvio
Pulkka on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös. Kiihtyvyys $\overline{a}$ piirretään erikseen oranssina nuolena rinnettä alas.
Kaava
$a = \dfrac{v - 0}{t}$, $y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, joten
$\mu$$= \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m/s}}{4{,}0\,\text{s}}$$= 0{,}75\,\text{m/s}^2$$\mu$$= \dfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\sin 12^\circ - 0{,}75\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 12^\circ}$$= \dfrac{2{,}040 - 0{,}75}{9{,}596}$$= 0{,}134$Vastaus
$0{,}13$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $3{,}0\,\text{m/s}$ ja ajassa $4{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $g\sin 12^\circ \approx 2{,}0\,\text{m/s}^2$. Kitka pienentää kiihtyvyyttä, kuten pitääkin. Kerroin $0{,}13$ on pienempi kuin $\tan 12^\circ = 0{,}21$, jolla pulkka liukuisi tasaisella nopeudella. Kerroin sopii muovipulkan ja lumen välille ($0{,}05$–$0{,}3$).
- Tehtävä 8-10Ydintehtävä
Varastotyöntekijä vetää $40\,\text{kg}$:n kuormalavaa betonilattiaa pitkin vaakasuoralla narulla. Narun jännitysvoima on $150\,\text{N}$. Lavan ja lattian välinen liikekitkakerroin on $0{,}30$. Kuinka suuri on kuormalavan kiihtyvyys?
Vastaus
$0{,}81\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 40\,\text{kg}$, narun vaakasuora jännitysvoima $T = 150\,\text{N}$ (voima, jolla naru vetää lavaa), $\mu = 0{,}30$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Lava liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $\mu N$. Pystysuunnassa lava ei kiihdy, joten $N = mg$. Vaakasuunnassa jännitysvoiman ja kitkan erotus kiihdyttää lavaa Newtonin toisen lain mukaan.
Voimakuvio
Lava on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa vedon suuntaan ja akseli $y$ ylös. Narun jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa eteenpäin. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan takakulmasta taaksepäin, ja se on lyhyempi kuin jännitysvoima. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös, ja ne ovat yhtä pitkät.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $T - \mu N = ma$, joten $a = \dfrac{T - \mu mg}{m}$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{150\,\text{N} - 0{,}30\cdot 40\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{40\,\text{kg}}$$= \dfrac{150\,\text{N} - 117{,}72\,\text{N}}{40\,\text{kg}}$$= 0{,}807\,\text{m/s}^2$Vastaus
$0{,}81\,\text{m/s}^2$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}30$ ja massassa $40\,\text{kg}$.
Järkevyys
Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $150\,\text{N} : 40\,\text{kg} \approx 3{,}8\,\text{m/s}^2$. Kitka $118\,\text{N}$ kumoaa suurimman osan narun voimasta. Siksi kiihtyvyys jää alle $1\,\text{m/s}^2$:n, mikä on järkevää.
- Tehtävä 8-11
Alla on esimerkkiaineisto: puupalikan liikekitka on mitattu eri tukivoimilla. Kuvaajassa ovat mittauspisteet. Määritä kuvaajasta palikan ja pöydän välinen liikekitkakerroin.
Vastaus
$0{,}21$
Näytä ratkaisu
Annettu
esimerkkiaineiston kuvaajan viisi mittauspistettä $(N, F_\mu)$: $(5\,\text{N}$; $1{,}1\,\text{N})$, $(10\,\text{N}$; $2{,}1\,\text{N})$, $(15\,\text{N}$; $3{,}3\,\text{N})$, $(20\,\text{N}$; $4{,}2\,\text{N})$ ja $(25\,\text{N}$; $5{,}4\,\text{N})$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Liikekitka on verrannollinen tukivoimaan, $F_\mu = \mu N$. Siksi $(N, F_\mu)$-kuvaaja on suora, joka kulkee origon kautta, ja suoran kulmakerroin on $\mu$. Kulmakerroin luetaan pisteisiin sovitetulta suoralta, ei kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä. Mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla, koska mittauksissa on aina epävarmuutta.
Kuvaajan lukeminen
Piirretään suora origon kautta niin, että se kulkee mahdollisimman läheltä kaikkia pisteitä. Luetaan suoralta kaukainen piste. Esimerkiksi tukivoimalla $N = 25\,\text{N}$ suoran arvo on noin $F_\mu = 5{,}35\,\text{N}$.
Kaava
$\mu = \dfrac{\Delta F_\mu}{\Delta N}$, kun $\Delta F_\mu$ ja $\Delta N$ luetaan sovitetulta suoralta
Muunnokset
Molemmat akselit ovat newtoneina, joten yksiköt supistuvat eikä muunnoksia tarvita.
Sijoitus
$\mu$$= \dfrac{5{,}35\,\text{N} - 0\,\text{N}}{25\,\text{N} - 0\,\text{N}}$$= 0{,}214$Vastaus
$0{,}21$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kitkavoimat on mitattu kahden numeron tarkkuudella ja suora piirretään käsin.
Järkevyys
Yksittäisistä pisteistä saadaan suhteet $0{,}21$–$0{,}22$, esimerkiksi $4{,}2\,\text{N} : 20\,\text{N} = 0{,}21$. Sovitetun suoran kulmakerroin osuu niiden väliin. Kerroin on yksikötön, kuten kahden voiman suhteen pitää olla.
- Tehtävä 8-12
Muuttolaatikko asetetaan levossa lankulle, joka on $35^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Laatikon massa on $10\,\text{kg}$. Laatikon ja lankun välinen lepokitkakerroin on $0{,}60$.
Laske lepokitkan suurin mahdollinen arvo ja vertaa sitä painon rinteen suuntaiseen komponenttiin. Kuinka monta newtonia komponentti ylittää suurimman lepokitkan? (Jos luku olisi negatiivinen, laatikko pysyisi paikallaan.)
Vastaus
$56{,}3\,\text{N} - 48{,}2\,\text{N} = 8{,}1\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 10\,\text{kg}$, $\alpha = 35^\circ$, $\mu_0 = 0{,}60$, laatikko asetetaan levossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
erotus $G_x - F_\text{max}$ yksikössä $\text{N}$, missä $F_\text{max}$ on lepokitkan suurin arvo. Erotuksen etumerkki kertoo, pysyykö laatikko paikallaan
Periaate
Lepokitka on enintään $\mu_0 N$. Laatikko pysyy paikallaan vain, jos tämä yläraja riittää kumoamaan painon rinteen suuntaisen komponentin. Kohtisuorassa suunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit $mg\sin\alpha$ ja $mg\cos\alpha$ on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos ja kitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$, joten suurin lepokitka on $F_\text{max} = \mu_0 mg\cos\alpha$, ja sitä verrataan komponenttiin $G_x = mg\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\text{max}$$= 0{,}60\cdot 10\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 35^\circ$$= 48{,}2\,\text{N}$$G_x$$= 10\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\sin 35^\circ$$= 56{,}3\,\text{N}$joten $G_x - F_\text{max} = 8{,}1\,\text{N}$
Vastaus
komponentti ylittää suurimman lepokitkan $56{,}3\,\text{N} - 48{,}2\,\text{N} = 8{,}1\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}60$. Suurin lepokitka $48\,\text{N}$ on pienempi kuin komponentti $56\,\text{N}$. Siksi laatikko ei pysy paikallaan vaan lähtee liukumaan. Erotus on positiivinen, joten kitka ei riitä.
Järkevyys
Saman päätelmän antaa kulma. Arvo $\tan 35^\circ = 0{,}70$ on suurempi kuin $\mu_0 = 0{,}60$, joten lankku on jyrkempi kuin rajakulma $\tan^{-1} 0{,}60 \approx 31^\circ$.
- Tehtävä 8-13
Oppilaat vetivät puupalikkaa vaakasuoralla pöydällä jousivaa'alla. He vetivät vaakasuoraan ja tasaisella nopeudella. Palikan päälle lisättiin painoja, ja jokaisella massalla luettiin vaa'an näyttämä veto. Alla on esimerkkiaineisto.
Piirrä $(N, F_\mu)$-kuvaaja ja sovita siihen origon kautta kulkeva suora. Määritä palikan ja pöydän välinen liikekitkakerroin kuvaajasta. Tukivoima lasketaan massasta.
Palikan ja painojen yhteismassa $m$ ja vaa'an veto $F$ (esimerkkiaineisto) $m\,(\text{kg})$ $F\,(\text{N})$ 0,20 0,85 0,40 1,62 0,60 2,50 0,80 3,31 1,00 4,02 Vastaus
$0{,}42$
Näytä ratkaisu
Annettu
esimerkkiaineiston viisi mittausta $(m, F)$: $(0{,}20\,\text{kg}$; $0{,}85\,\text{N})$, $(0{,}40\,\text{kg}$; $1{,}62\,\text{N})$, $(0{,}60\,\text{kg}$; $2{,}50\,\text{N})$, $(0{,}80\,\text{kg}$; $3{,}31\,\text{N})$ ja $(1{,}00\,\text{kg}$; $4{,}02\,\text{N})$; palikkaa vedetään vaakasuoraan tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä)
Periaate
Tasaisella nopeudella voimien summa on nolla, joten veto on yhtä suuri kuin liikekitka, $F = F_\mu$. Vaakasuoralla pöydällä tukivoima on yhtä suuri kuin paino, $N = mg$. Koska $F_\mu = \mu N$, $(N, F_\mu)$-kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Suoran kulmakerroin on $\mu$.
Kuvaajan lukeminen
Lasketaan ensin tukivoimat: $N = mg$ antaa arvot $1{,}96\,\text{N}$, $3{,}92\,\text{N}$, $5{,}89\,\text{N}$, $7{,}85\,\text{N}$ ja $9{,}81\,\text{N}$. Piirretään pisteet $(N, F_\mu)$. Sovitetaan niihin origon kautta kulkeva suora, joka kulkee mahdollisimman läheltä kaikkia pisteitä. Luetaan suoralta kaukainen piste. Tukivoimalla $N = 9{,}81\,\text{N}$ suoran arvo on noin $F_\mu = 4{,}1\,\text{N}$.
Kaava
$\mu = \dfrac{\Delta F_\mu}{\Delta N}$, kun $\Delta F_\mu$ ja $\Delta N$ luetaan sovitetulta suoralta
Muunnokset
Molemmat akselit ovat newtoneina, joten yksiköt supistuvat. Massat ovat kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\mu$$= \dfrac{4{,}1\,\text{N} - 0\,\text{N}}{9{,}81\,\text{N} - 0\,\text{N}}$$= 0{,}418$Vastaus
$0{,}42$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska vetovoimat on mitattu kolmen numeron tarkkuudella mutta suora piirretään käsin.
Järkevyys
Yksittäisistä pisteistä saadaan suhteet $F : N$ väliltä $0{,}41$–$0{,}43$, esimerkiksi $4{,}02\,\text{N} : 9{,}81\,\text{N} = 0{,}41$. Sovitetun suoran kulmakerroin osuu niiden väliin. Kerroin on yksikötön, ja se on puun ja pöydän välille tavallista suuruusluokkaa.
- Tehtävä 8-14
Voima-anturilla vedettiin $0{,}75\,\text{kg}$:n puupalikkaa vaakasuoralla pöydällä. Veto oli koko ajan vaakasuora. Vetoa kasvatettiin hitaasti, kunnes palikka lähti liikkeelle. Sen jälkeen palikkaa vedettiin vaakasuoraan tasaisella nopeudella. Palikka liikkui tasaisella nopeudella hetkestä $t = 3{,}5\,\text{s}$ alkaen. Alla on esimerkkiaineisto.
Piirrä $(t, F)$-kuvaaja. Lue taulukosta suurin lukema lepokitkan suurimmaksi arvoksi. Lue myös tasaisen liikkeen aikainen vetovoima. Määritä lepokitkakerroin $\mu_0$ ja liikekitkakerroin $\mu$.
Kirjoita vastauslaatikkoon liikekitkakerroin $\mu$.
Anturin mittaama vetovoima $F$ ajan $t$ funktiona (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $F\,(\text{N})$ 0,0 0,0 0,5 0,7 1,0 1,4 1,5 2,1 2,0 2,8 2,5 3,3 3,0 2,3 3,5 2,2 4,0 2,1 4,5 2,2 Vastaus
$\mu = 0{,}29$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}75\,\text{kg}$, esimerkkiaineiston vetovoima $F$ ajan $t$ funktiona; suurin lukema $3{,}3\,\text{N}$ hetkellä $t = 2{,}5\,\text{s}$, tasaisen liikkeen lukemat $2{,}2\,\text{N}$, $2{,}1\,\text{N}$ ja $2{,}2\,\text{N}$ hetkillä $3{,}5\,\text{s}$–$4{,}5\,\text{s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liikekitkakerroin $\mu$ (ei yksikköä) ja lepokitkakerroin $\mu_0$
Periaate
Ennen liikkeellelähtöä veto kasvaa, ja lepokitka kasvaa sen mukana. Kun veto ylittää lepokitkan enimmäisarvon $\mu_0 N$, palikka lähtee liikkeelle. Kuvaajan huippu on tämä enimmäisarvo. Tasaisella nopeudella voimien summa on nolla, joten veto on yhtä suuri kuin liikekitka $\mu N$. Vaakasuoralla pöydällä $N = mg$.
Kuvaajan lukeminen
Veto kasvaa suoraviivaisesti hetkeen $t = 2{,}5\,\text{s}$ asti. Siinä on kuvaajan huippu $3{,}3\,\text{N}$. Huipun jälkeen veto putoaa ja pysyy lähes vakiona, noin $2{,}2\,\text{N}$, kun palikka liikkuu tasaisella nopeudella. Vakiovedon lukemien summa on $2{,}2\,\text{N} + 2{,}1\,\text{N} + 2{,}2\,\text{N} = 6{,}5\,\text{N}$, joten niiden keskiarvo on $6{,}5\,\text{N} : 3 = 2{,}17\,\text{N}$.
Kaava
$N = mg$, $\mu_0 = \dfrac{F_{\text{huippu}}}{N}$ ja $\mu = \dfrac{F_{\text{tasainen}}}{N}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja voimat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 0{,}75\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 7{,}36\,\text{N}$$\mu_0$$= \dfrac{3{,}3\,\text{N}}{7{,}36\,\text{N}}$$= 0{,}449$$\mu$$= \dfrac{2{,}17\,\text{N}}{7{,}36\,\text{N}}$$= 0{,}295$Vastaus
liikekitkakerroin on $\mu = 0{,}29$ ja lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}45$. Vastauksissa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}75\,\text{kg}$ ja vetovoiman lukemissa.
Järkevyys
Liikekitkakerroin on pienempi kuin lepokitkakerroin, $0{,}29 < 0{,}45$, kuten yleensä. Siksi veto putoaa, kun palikka on lähtenyt liikkeelle. Liikkeessä pitämiseen tarvitaan pienempi voima kuin liikkeelle saamiseen. Kertoimet ovat puun ja pöydän välille tavallista suuruusluokkaa.
- Tehtävä 8-15
Lepokitkakerroin määritettiin kokeella. Puulautaa kallistettiin hitaasti, kunnes sen päällä ollut puupalikka lähti liukumaan. Kulma luettiin kulmamittarista. Koe toistettiin viisi kertaa. Alla on esimerkkiaineisto.
Perustele, miksi lepokitkakerroin on $\mu_0 = \tan\alpha_0$, kun $\alpha_0$ on kulma, jolla palikka lähtee liukumaan. Laske kulmien keskiarvo ja määritä sen avulla lepokitkakerroin.
Kirjoita vastauslaatikkoon lepokitkakerroin $\mu_0$.
Kulma $\alpha_0$, jolla palikka lähtee liukumaan (esimerkkiaineisto) Mittaus $\alpha_0\,({}^\circ)$ 1 24 2 26 3 25 4 27 5 25 Vastaus
$0{,}47$
Näytä ratkaisu
Annettu
esimerkkiaineiston viisi kulmaa: $24^\circ$, $26^\circ$, $25^\circ$, $27^\circ$ ja $25^\circ$
Kysytty
lepokitkakerroin $\mu_0$ (ei yksikköä)
Periaate
Kun lauta kallistuu, painon rinteen suuntainen komponentti $G_x = mg\sin\alpha$ kasvaa, ja lepokitka kasvaa sen mukana. Palikka lähtee liukumaan, kun komponentti ylittää lepokitkan enimmäisarvon $\mu_0 N$. Kohtisuorassa suunnassa palikka ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$. Rajakulmalla $\alpha_0$ pätee $mg\sin\alpha_0 = \mu_0\,mg\cos\alpha_0$. Massa supistuu. Kun yhtälö jaetaan puolittain, saadaan $\mu_0 = \tan\alpha_0$.
Kaava
$\mu_0 = \tan\alpha_0$, missä $\alpha_0$ on mittausten keskiarvo
Muunnokset
Kulmat ovat asteina, joten muunnoksia ei tarvita. Laskimen on oltava asteiden tilassa.
Sijoitus
Kulmien summa on $24^\circ + 26^\circ + 25^\circ + 27^\circ + 25^\circ = 127^\circ$, joten keskiarvo on
$\alpha_{0,\text{ka}}$$= 127^\circ : 5$$= 25{,}4^\circ$$\mu_0 = \tan 25{,}4^\circ = 0{,}4748$
Vastaus
$0{,}47$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmien keskiarvon tarkkuus on sen verran.
Järkevyys
Yksittäisistä kulmista saadaan $\tan 24^\circ = 0{,}45$ ja $\tan 27^\circ = 0{,}51$. Keskiarvo $0{,}47$ on niiden välissä. Kokeessa ei tarvita palikan massaa, koska se supistuu. Tulos on puun ja puun väliselle lepokitkakertoimelle tavallista suuruusluokkaa.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 8-16
Avolava-auton lavalla on $50\,\text{kg}$:n laatikko, joka ei ole kiinnitetty. Auto lähtee liikkeelle vaakasuoralla tiellä kiihtyvyydellä $3{,}5\,\text{m/s}^2$.
Kuinka suuri lavan ja laatikon välisen lepokitkakertoimen on vähintään oltava, jotta laatikko ei liu'u lavalla?
Vastaus
$0{,}36$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 50\,\text{kg}$, auton ja laatikon kiihtyvyys $a = 3{,}5\,\text{m/s}^2$ eteenpäin, tie vaakasuora; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lepokitkakertoimen pienin arvo $\mu_0$ (ei yksikköä)
Periaate
Jos laatikko ei liu'u, se kiihtyy auton mukana. Ainoa vaakasuora voima laatikkoon on lavan lepokitka. Newtonin toisen lain mukaan sen täytyy olla $ma$ ja osoittaa eteenpäin, liikkeen suuntaan. Lepokitka voi olla enintään $\mu_0 N$.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa eteenpäin ja akseli $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Lavan tukivoima $\overline{N}$ lähtee alapinnasta ylös, ja se on yhtä pitkä kuin paino. Lepokitka $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan etukulmasta eteenpäin. Kiihtyvyys piirretään erikseen ohuena oranssina nuolena, koska se ei ole voima.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $F_\mu = ma$. Ehto $F_\mu \le \mu_0 N$ antaa $ma \le \mu_0 mg$, joten $\mu_0 \ge \dfrac{a}{g}$
Muunnokset
Kiihtyvyydet ovat yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu.
Sijoitus
$\mu_0$$= \dfrac{3{,}5\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= 0{,}357$Vastaus
$0{,}36$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä $3{,}5\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Kitka osoittaa liikkeen suuntaan, koska lava pyrkii liukumaan eteenpäin laatikon alta. Massa supistuu, joten tulos pätee sekä kevyelle että raskaalle laatikolle. Märällä vanerilla kerroin voi jäädä alle $0{,}36$. Silloin laatikko liukuu taaksepäin lavan suhteen. Siksi kuorma kiinnitetään.
- Tehtävä 8-17
Kiekkoa työnnetään ylös $20^\circ$:n rinnettä, ja kiekko irtoaa kädestä nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$. Kiekon ja rinteen välinen liikekitkakerroin on $0{,}25$.
Kuinka pitkän matkan kiekko liukuu rinnettä ylös, ennen kuin se pysähtyy? Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vastaus
$0{,}80\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rinteen kulma $\alpha = 20^\circ$, alkunopeus $v_0 = 3{,}0\,\text{m/s}$ rinnettä ylös, $\mu = 0{,}25$, loppunopeus $v = 0$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
liukumatka $s$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Kun kiekko liukuu ylös, sekä painon rinteen suuntainen komponentti että liikekitka osoittavat rinnettä alas. Siksi kiekko hidastuu tasaisesti. Kiihtyvyys saadaan Newtonin toisesta laista. Matka saadaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöstä $v^2 = v_0^2 - 2as$, kun $a$ on hidastuvuuden suuruus.
Voimakuvio
Kiekko on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa rinnettä alas, koska kiekko liukuu ylös. Nopeus on rinnettä ylös, mutta se ei ole voima.
Kaava
$y$: $N = mg\cos\alpha$ ja $x$: $mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = ma$, joten $a = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$. Liikeyhtälöstä $v^2 = v_0^2 - 2as$ ja ehdosta $v = 0$ saadaan $s = \dfrac{v_0^2}{2a}$, missä $a = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot(\sin 20^\circ + 0{,}25\cdot\cos 20^\circ)$$= 5{,}660\,\text{m/s}^2$$s$$= \dfrac{(3{,}0\,\text{m/s})^2}{2\cdot 5{,}660\,\text{m/s}^2}$$= 0{,}795\,\text{m}$Vastaus
$0{,}80\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $3{,}0\,\text{m/s}$ ja kitkakertoimessa $0{,}25$.
Järkevyys
Ilman kitkaa hidastuvuus olisi $g\sin 20^\circ \approx 3{,}4\,\text{m/s}^2$ ja matka noin $1{,}3\,\text{m}$. Kitka lyhentää matkaa. Pysähdyttyään kiekko jää rinteelle vain, jos lepokitkakerroin on vähintään $\tan 20^\circ \approx 0{,}36$. Muuten kiekko lähtee liukumaan takaisin alas.
- Tehtävä 8-18
Maassa laatikko liukuu $30^\circ$:n rinnettä alas kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$.
Kuinka suuri olisi laatikon kiihtyvyys samalla rinteellä ja samalla pinnalla Kuun pinnalla? Kuussa putoamiskiihtyvyys on $1{,}62\,\text{m/s}^2$. Kuussa ei ole ilmaa. Ilmanvastus jätetään huomiotta myös Maassa.
Vastaus
$0{,}33\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
Maassa $\alpha = 30^\circ$ ja $a_\text{Maa} = 2{,}0\,\text{m/s}^2$ alas rinnettä, Kuussa sama rinne ja pinta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $g_\text{Kuu} = 1{,}62\,\text{m/s}^2$; ilmanvastusta ei ole
Kysytty
kiihtyvyys Kuussa $a_\text{Kuu}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Laatikko liukuu, joten siihen vaikuttaa liikekitka $\mu N$ rinnettä ylös. Kitkakerrointa ei anneta. Kitkakerroin on pinnan ominaisuus, joten se on sama Maassa ja Kuussa. Maan kiihtyvyydestä saadaan $\mu$, ja Kuussa sama laki antaa uuden kiihtyvyyden. Kohtisuorassa suunnassa laatikko ei kiihdy.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, joten
$a$$= g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$\mu$$= \tan\alpha - \dfrac{a_\text{Maa}}{g\cos\alpha}$Sulkulauseke on sama molemmissa paikoissa, joten
$a_\text{Kuu}$$= a_\text{Maa}\cdot\dfrac{g_\text{Kuu}}{g}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu.
Sijoitus
$\mu$$= \tan 30^\circ - \dfrac{2{,}0\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\cos 30^\circ}$$= 0{,}577 - 0{,}235$$= 0{,}342$ja
$a_\text{Kuu}$$= 1{,}62\,\text{m/s}^2\cdot(\sin 30^\circ - 0{,}342\cdot\cos 30^\circ)$$= 0{,}330\,\text{m/s}^2$Suoraan suhteesta:
$2{,}0\,\text{m/s}^2\cdot\dfrac{1{,}62}{9{,}81}$$= 0{,}330\,\text{m/s}^2$Vastaus
$0{,}33\,\text{m/s}^2$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten Maan kiihtyvyydessä $2{,}0\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Sekä paino että kitka ovat Kuussa noin kuudesosan Maan arvosta. Siksi myös kiihtyvyys on noin kuudesosa. Laatikko liukuu Kuussakin, koska ehto $\tan\alpha > \mu$ ei riipu putoamiskiihtyvyydestä.
- Tehtävä 8-19
Henkilöauton jarrutusmatka lasketaan mallilla. Mallissa pyörät lukkiutuvat, ja renkaiden ja tien välillä vaikuttaa liikekitka. Alla on esimerkkiaineisto renkaiden ja tien välisistä liikekitkakertoimista.
Auto jarruttaa nopeudesta $80\,\text{km/h}$ pysähdyksiin. Ilmanvastus jätetään huomiotta, ja kiihtyvyys on vakio.
a) Määritä jarrutusmatka kuivalla vaakasuoralla asfaltilla.
b) Määritä jarrutusmatka märällä vaakasuoralla asfaltilla.
c) Märkä tie viettää alamäkeen $6{,}0^\circ$:n kulmassa. Määritä jarrutusmatka alamäessä ja perustele, miksi auton massaa ei tarvita.
Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) jarrutusmatka.
Liikekitkakerroin $\mu$ renkaiden ja tien välillä (esimerkkiaineisto) Tienpinta $\mu$ Kuiva asfaltti 0,75 Märkä asfaltti 0,45 Vastaus
$73\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alkunopeus $v_0 = 80\,\text{km/h}$, loppunopeus $v = 0$, kiihtyvyys vakio, pyörät lukkiutuvat; esimerkkiaineiston liikekitkakertoimet: kuiva asfaltti $\mu = 0{,}75$, märkä asfaltti $\mu = 0{,}45$; kohdassa c) märkä alamäki $\alpha = 6{,}0^\circ$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
jarrutusmatka $s$ yksikössä $\text{m}$, kohdissa a) kuiva vaakasuora, b) märkä vaakasuora ja c) märkä alamäki
Periaate
Lukkiutuneet pyörät liukuvat tiellä, joten autoon vaikuttaa liikekitka $\mu N$ liikettä vastaan. Newtonin toisen lain mukaan kitka antaa hidastuvuuden. Matka saadaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöstä $v^2 = v_0^2 - 2as$, kun $a$ on hidastuvuuden suuruus. Kohtisuorassa suunnassa auto ei kiihdy, joten $N = mg\cos\alpha$.
Voimakuvio
Kohdan c) auto on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan tiestä ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan tiestä ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös. Nopeus on rinnettä alas, mutta hidastuvuus on rinnettä ylös.
Kaava
vaakasuoralla $N = mg$ ja $\mu mg = ma$, joten $a = \mu g$. Alamäessä $x$: $\mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = ma$, joten $a = g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)$. Matka on $s = \dfrac{v_0^2}{2a}$
Muunnokset
$v_0$$= 80\,\text{km/h}$$= 80 : 3{,}6\,\text{m/s}$$= 22{,}22\,\text{m/s}$ja $v_0^2 = 493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2$.
Sijoitus
Kohta a):
$a_a$$= 0{,}75\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 7{,}358\,\text{m/s}^2$$s_a$$= \dfrac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2\cdot 7{,}358\,\text{m/s}^2}$$= 33{,}6\,\text{m}$Kohdat b) ja c):
$$\begin{aligned} a_b &= 0{,}45 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 4{,}415\,\text{m/s}^2 \\ s_b &= \frac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2 \cdot 4{,}415\,\text{m/s}^2} = 55{,}9\,\text{m} \\[4pt] a_c &= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad \cdot (0{,}45\cos 6{,}0^\circ - \sin 6{,}0^\circ) \\ &= 3{,}365\,\text{m/s}^2 \\ s_c &= \frac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2 \cdot 3{,}365\,\text{m/s}^2} = 73{,}4\,\text{m} \end{aligned}$$
Vastaus
a) $34\,\text{m}$, b) $56\,\text{m}$ ja c) $73\,\text{m}$ (laskettu $73{,}4\,\text{m}$). Kohdan c) tulos pyöristetään kahteen merkitsevään numeroon kuten kitkakertoimessa $0{,}45$ ja kulmassa $6{,}0^\circ$. Auton massaa ei tarvita, koska se supistuu. Sekä kitka että painon komponentti ovat verrannollisia massaan, joten hidastuvuus ei riipu siitä.
Järkevyys
Märällä tiellä matka on $55{,}9 : 33{,}6 = 1{,}66$-kertainen kuivaan verrattuna. Sama suhde saadaan kitkakertoimista: $0{,}75 : 0{,}45 = 1{,}67$. Alamäessä matka on pidempi kuin vaakasuoralla märällä tiellä, $73\,\text{m} > 56\,\text{m}$, koska painon komponentti rinnettä alas pienentää hidastuvuutta. Hidastuvuus $3{,}365\,\text{m/s}^2$ on silti positiivinen, koska
$\mu$$= 0{,}45$$> \tan 6{,}0^\circ$$= 0{,}11$ - Tehtävä 8-20
Laatikon massa on $20\,\text{kg}$. Laatikko lähtee levossa liukumaan $30^\circ$:n rinnettä alas. Laatikon ja rinteen välinen liikekitkakerroin on $0{,}35$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Oppilas ratkaisi tehtävän näin: ”Tukivoima on painon suuruinen, $N = mg$. Liikeyhtälö rinteen suuntaan on $mg\sin\alpha - \mu mg = ma$, joten $a = g(\sin\alpha - \mu) \approx 1{,}5\,\text{m/s}^2$.”
a) Selitä oppilaan virhe ja piirrä laatikon voimakuvio.
b) Laske laatikon oikea kiihtyvyys.
c) Kuinka pitkän matkan laatikko liukuu ensimmäisten $3{,}0\,\text{s}$:n aikana?
Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) matka.
Vastaus
$8{,}7\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 20\,\text{kg}$, $\alpha = 30^\circ$, $\mu = 0{,}35$, laatikko lähtee levossa, $t = 3{,}0\,\text{s}$; oppilaan ratkaisussa $N = mg$ ja tulos $1{,}5\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
oppilaan virhe, oikea kiihtyvyys $a$ ja matka $s$ ajassa $3{,}0\,\text{s}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Oppilas käytti tukivoimana koko painoa, $N = mg$. Rinteellä pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima. Laatikko ei kiihdy siinä suunnassa, joten $N = mg\cos\alpha$. Se on pienempi kuin paino. Oppilaan kitka $\mu mg$ on siksi liian suuri ja kiihtyvyys liian pieni. Oikea kiihtyvyys saadaan Newtonin toisesta laista rinteen suuntaan. Matka saadaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöstä, kun lähtönopeus on nolla.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan pinnasta ulos. Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas, ja sen komponentit on piirretty katkoviivoin. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos, ja se on painoa lyhyempi. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa rinnettä ylös. Kiihtyvyys piirretään erikseen rinnettä alas.
Kaava
$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, joten $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$. Matka on $s = \tfrac{1}{2}at^2$, koska alkunopeus on nolla
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu.
Sijoitus
$a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot(\sin 30^\circ - 0{,}35\cdot\cos 30^\circ)$$= 1{,}931\,\text{m/s}^2$ja
$$\begin{aligned} s &= \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}931\,\text{m/s}^2 \cdot (3{,}0\,\text{s})^2 \\ &= 8{,}69\,\text{m} \end{aligned}$$
Vastaus
oppilaan virhe on $N = mg$ rinteellä. Oikea tukivoima on $N = mg\cos\alpha \approx 170\,\text{N}$ ja oikea kiihtyvyys $a \approx 1{,}9\,\text{m/s}^2$. Laatikko liukuu ajassa $3{,}0\,\text{s}$ matkan $8{,}7\,\text{m}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}35$ ja ajassa $3{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Oppilaan kiihtyvyys $1{,}5\,\text{m/s}^2$ on liian pieni, koska hän laski kitkan $\mu mg = 69\,\text{N}$ liian suureksi. Oikea kitka on $\mu mg\cos\alpha = 59\,\text{N}$. Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $g\sin 30^\circ \approx 4{,}9\,\text{m/s}^2$, joten kitka pienentää sitä. Liukuessaan laatikko kiihtyy alas, koska $\tan 30^\circ = 0{,}58 > \mu = 0{,}35$. Tehtävän mukaan laatikko lähtee liikkeelle, joten $\mu_0 < \tan 30^\circ$.
Valokuvat
- Michał Frąckowiak - Snow Sledding. Michał Frąckowiak. lähde, CC BY-SA 2.0
