Liikeyhtälö kytketyille kappaleille

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-1Ydintehtävä

   Kärry, jonka massa on $1{,}5\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä. Siihen sidottu lanka vetää sitä vaakasuoraan $3{,}0\,\text{N}$:n voimalla. Piirrä kärryn voimakuvio. Kuinka suuri on kärryn kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1{,}5\,\text{kg}$ ja langan jännitysvoima $T = 3{,}0\,\text{N}$ vaakasuoraan. Kitka jätetään huomiotta.

   Kysytty

   kärryn kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kärry kiihtyy vaakasuunnassa. Newtonin toisen lain mukaan vaakasuuntaisten voimien summa on massa kertaa kiihtyvyys. Pystysuunnassa kärry ei kiihdy, joten siellä voimat kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Piirrä kärry suorakulmioksi. Valitse $x$-suunta langan suuntaan. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja pöydän tukivoima $\overline{N}$ ylös, ja nuolet ovat yhtä pitkät. Jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa vaakasuoraan eteenpäin. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}$.

   Kaava

   $T = ma$, joten $a = \dfrac{T}{m}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{3{,}0\,\text{N}}{1{,}5\,\text{kg}}$

   $= 2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiedoissa $3{,}0\,\text{N}$ ja $1{,}5\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Yksi newton antaa yhden kilogramman kappaleelle kiihtyvyyden $1\,\text{m/s}^2$. Voima $3{,}0\,\text{N}$ ja massa $1{,}5\,\text{kg}$ antavat kaksi kertaa sen. Tulo $1{,}5\,\text{kg} \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 = 3{,}0\,\text{N}$ antaa voiman takaisin.

2. Tehtävä 7-2Ydintehtävä

   Punnus, jonka massa on $0{,}60\,\text{kg}$, roikkuu langan varassa ja laskee kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä punnuksen voimakuvio. Kuinka suuri on langan jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $4{,}7\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}60\,\text{kg}$, kiihtyvyys alas $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Punnus kiihtyy alas. Newtonin toisen lain mukaan sen kokonaisvoima osoittaa alas ja on $ma$. Punnukseen vaikuttavat Maa ja lanka.

   Voimakuvio

   Piirrä punnus suorakulmioksi. Positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös. Nuoli $\overline{G}$ on pidempi, koska kokonaisvoima osoittaa alas.

   Kaava

   $mg - T = ma$, joten $T = m(g - a)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 0{,}60\,\text{kg} \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 - 2{,}0\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}60\,\text{kg} \cdot 7{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 4{,}686\,\text{N}$

   Vastaus

   $4{,}7\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa $0{,}60\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ on kaksi.

   Järkevyys

   Punnuksen paino on $0{,}60\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 5{,}9\,\text{N}$. Tulos $4{,}7\,\text{N}$ on sitä pienempi, koska punnus kiihtyy alas. Erotus $1{,}2\,\text{N}$ on $ma = 0{,}60\,\text{kg} \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2$.

3. Tehtävä 7-3

   Kärry, jonka massa on $1{,}0\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä. Siihen sidottu kevyt ja venymätön lanka kulkee pöydän reunalla olevan kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli. Langan päässä roikkuu punnus, jonka massa on $0{,}40\,\text{kg}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio. Kuinka suuri on langan jännitysvoima, kun kappaleet liikkuvat?

   NTarkista
   Vastaus

   $2{,}8\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 1{,}0\,\text{kg}$, punnus $m_2 = 0{,}40\,\text{kg}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Lanka on kevyt ja venymätön, ja väkipyörä on kevyt ja kitkaton.

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kappaleita on kaksi, joten kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Lanka ei veny, joten kiihtyvyys $a$ on molemmilla yhtä suuri. Kevyt lanka ja kitkaton väkipyörä siirtävät voiman muuttumattomana. Siksi lanka vetää kumpaakin voimalla $T$.

   Voimakuvio

   Piirrä kärry suorakulmioksi, positiivinen suunta oikealle. Voimat $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa, ja vaakasuunnassa vaikuttaa $\overline{T}_1$. Piirrä punnus suorakulmioksi, positiivinen suunta alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $m_2 g = (m_1 + m_2)\,a$, joten $a = \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$, ja $T = m_1 a$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}40\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{1{,}4\,\text{kg}}$

   $= 2{,}803\,\text{m/s}^2$

   $T$$= 1{,}0\,\text{kg} \cdot 2{,}803\,\text{m/s}^2$

   $= 2{,}803\,\text{N}$

   Vastaus

   $2{,}8\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massoissa $1{,}0\,\text{kg}$ ja $0{,}40\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Jännitysvoima on pienempi kuin punnuksen paino $m_2 g = 3{,}9\,\text{N}$, koska punnus kiihtyy alas. Kiihtyvyys

   $a$$= T : m_1$

   $\approx 2{,}8\,\text{m/s}^2$

   on pienempi kuin $g$. Erotus $3{,}9\,\text{N} - 2{,}8\,\text{N} = 1{,}1\,\text{N}$ on $m_2 a = 0{,}40\,\text{kg} \cdot 2{,}8\,\text{m/s}^2$.

4. Tehtävä 7-4

   Kaksi samanlaista kappaletta roikkuu kevyen langan päissä kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli. Kummankin massa on $3{,}0\,\text{kg}$. Kappaleet ovat levossa. Piirrä toisen kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on langan jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $29\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi kappaletta, kummankin massa $m = 3{,}0\,\text{kg}$, levossa, ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Lanka on kevyt, ja väkipyörä on kevyt ja kitkaton.

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kappale on levossa. Newtonin toisen lain mukaan siihen vaikuttavien voimien summa on silloin nolla. Toisen kappaleen voimakuvio riittää, koska kevyt lanka vetää kumpaakin kappaletta yhtä suurella voimalla.

   Voimakuvio

   Piirrä kappale suorakulmioksi, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät.

   Kaava

   $T - mg = 0$, joten $T = mg$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 3{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 29{,}43\,\text{N}$

   Vastaus

   $29\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa $3{,}0\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Jännitysvoima on yhden kappaleen paino. Se ei ole kahden kappaleen painojen summa $59\,\text{N}$, sillä lanka kannattelee kumpaakin päästään yhdellä voimalla. Jos toinen kappale korvattaisiin seinään kiinnitetyllä koukulla, lanka kestäisi saman voiman.

5. Tehtävä 7-5

   Kaksi kärryä, joiden massat ovat $1{,}0\,\text{kg}$ ja $2{,}0\,\text{kg}$, on sidottu toisiinsa kevyellä langalla. Ne ovat kitkattomalla radalla, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kevyempää kärryä vetää vaakasuora $12\,\text{N}$:n voima, ja kärryt liikkuvat yhdessä.

   Kuinka suuri on kärryjen yhteinen kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärryt $m_1 = 1{,}0\,\text{kg}$ ja $m_2 = 2{,}0\,\text{kg}$, vetovoima $F = 12\,\text{N}$ kevyempään kärryyn. Kitka jätetään huomiotta.

   Kysytty

   kärryjen yhteinen kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kärryt liikkuvat yhdessä, ja niiden kiihtyvyydet ovat yhtä suuret. Kummallekin kärrylle kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Kun yhtälöt lasketaan yhteen, langan sisäinen voima $T$ poistuu.

   Voimakuvio

   Piirrä kevyempi kärry suorakulmioksi, positiivinen suunta vetoon päin. Vaakasuunnassa vetovoima $\overline{F}$ osoittaa eteenpäin ja jännitysvoima $\overline{T}_1$ taaksepäin. Piirrä raskaampi kärry suorakulmioksi. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_2$ eteenpäin. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa kummassakin kärryssä.

   Kaava

   $F - T = m_1 a$ ja $T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $F = (m_1 + m_2)\,a$, joten $a = \dfrac{F}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{12\,\text{N}}{1{,}0\,\text{kg} + 2{,}0\,\text{kg}}$

   $= 4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiedoissakin on kaksi.

   Järkevyys

   Jännitysvoima on

   $T$$= m_2 a$

   $= 2{,}0\,\text{kg} \cdot 4{,}0\,\text{m/s}^2$

   $= 8{,}0\,\text{N}$

   Kevyempään kärryyn jää $F - T = 4{,}0\,\text{N} = m_1 a$. Kiihtyvyys on sama kuin silloin, kun $3{,}0\,\text{kg}$:n kappaletta vedettäisiin voimalla $12\,\text{N}$.

6. Tehtävä 7-6

   Kärry on kitkattomalla pöydällä. Kärry on sidottu langalla punnukseen väkipyörän yli. Punnus laskee ja kärry kiihtyy. Lanka ja väkipyörä ovat kevyet. Ilmanvastusta ei oteta huomioon.

   Miten langan jännitysvoima $T$ ja punnuksen paino $G_2$ vertautuvat toisiinsa?

   Valitse vaihtoehto.

   • $T$ on yhtä suuri kuin $G_2$, koska lanka kannattelee punnusta koko painon verran
   • $T$ on suurempi kuin $G_2$, koska lanka vetää samalla myös kärryä eteenpäin
   • $T$ on pienempi kuin $G_2$, koska punnuksen kokonaisvoima osoittaa alaspäin
   • $T$ on puolet $G_2$:sta, koska lanka jakaa voimansa kahden kappaleen kesken

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   $T$ on pienempi kuin $G_2$, koska punnuksen kokonaisvoima osoittaa alaspäin

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten langan jännitysvoima $T$ ja punnuksen paino $G_2$ vertautuvat toisiinsa, kun punnus laskee ja kiihtyy.

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan. Punnus kiihtyy alas, joten sen kokonaisvoima osoittaa alas. Punnukseen vaikuttavat vain paino alas ja langan jännitysvoima ylös.

   Mallivastaus

   Punnukselle pätee $G_2 - T = m_2 a$. Punnus kiihtyy alas, joten $a > 0$ ja $G_2 - T > 0$. Jännitysvoima on siis pienempi kuin punnuksen paino. Lanka ei kannattele koko painoa, koska punnus kiihtyy alas eikä ole levossa. Lanka ei voi vetää myöskään painoa kovemmin. Silloin kokonaisvoima osoittaisi ylös, eikä punnus laskisi. Lanka vetää kärryä ja punnusta samalla voimalla $T$. Se ei jaa voimaansa puoliksi. Voimien erotus on aina $m_2 a$.

7. Tehtävä 7-7

   Kevyen ja venymättömän langan päissä roikkuu kaksi kappaletta väkipyörän yli. Kappaleiden massat ovat $0{,}30\,\text{kg}$ ja $0{,}70\,\text{kg}$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Kappaleet päästetään liikkeelle. Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on kappaleiden yhteinen kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $3{,}9\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m_1 = 0{,}30\,\text{kg}$ ja $m_2 = 0{,}70\,\text{kg}$ langan päissä ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Lanka on kevyt ja venymätön. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kysytty

   kappaleiden yhteinen kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kirjoita kummallekin kappaleelle oma liikeyhtälö. Lanka ei veny, joten kappaleiden kiihtyvyyksillä on sama suuruus $a$. Kevyt lanka vetää kumpaakin kappaletta voimalla $T$. Raskaampi kappale laskee ja kevyempi nousee.

   Voimakuvio

   Piirrä kevyempi kappale suorakulmioksi. Positiivinen suunta on ylös. Voima $\overline{T}_1$ osoittaa ylös ja $\overline{G}_1$ alas. Piirrä raskaampi kappale suorakulmioksi. Positiivinen suunta on alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös. Nuoli $\overline{T}$ on lyhyempi kuin $\overline{G}_2$ ja pidempi kuin $\overline{G}_1$.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Kun lasket yhtälöt yhteen, $T$ poistuu: $(m_2 - m_1)\,g = (m_1 + m_2)\,a$. Siis $a = \dfrac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{(0{,}70\,\text{kg} - 0{,}30\,\text{kg}) \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}30\,\text{kg} + 0{,}70\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{0{,}40 \cdot 9{,}81}{1{,}00}\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}924\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $3{,}9\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massoissa $0{,}30\,\text{kg}$ ja $0{,}70\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Kiihtyvyys on pienempi kuin $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, koska kevyempi kappale hidastaa raskaampaa. Jännitysvoima on

   $T$$= m_1 (g + a)$

   $= 0{,}30\,\text{kg} \cdot 13{,}73\,\text{m/s}^2$

   $= 4{,}12\,\text{N}$

   Raskaammalle kappaleelle saadaan

   $m_2 g - T$$= 6{,}87\,\text{N} - 4{,}12\,\text{N}$

   $= 2{,}75\,\text{N}$

   $= m_2 a$
8. Tehtävä 7-8

   Kärry on kitkattomalla pöydällä. Kärry on sidottu langalla väkipyörän yli punnukseen, joka laskee. Piirrät kärryn voimakuvion. Mitkä voimat vaikuttavat kärryyn pöydän suunnassa? Mikä väite on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Langan jännitysvoima ja liike-energian voima, koska kärry liikkuu eteenpäin pöydällä
   • Vain punnuksen paino, koska se saa kärryn liikkeelle ja lanka vain välittää sen kärrylle
   • Langan jännitysvoima ja punnuksen paino, koska punnus vetää myös kärryä langan kautta
   • Vain langan jännitysvoima, koska punnuksen paino vaikuttaa punnukseen eikä kärryyn

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Vain langan jännitysvoima, koska punnuksen paino vaikuttaa punnukseen eikä kärryyn

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitkä voimat vaikuttavat kärryyn pöydän suunnassa, kun punnus laskee langan varassa.

   Periaate

   Voimakuvioon piirretään vain voimat, jotka vaikuttavat juuri siihen kappaleeseen. Jokainen voima syntyy vuorovaikutuksesta. Pöydän suunnassa kärryyn koskee vain lanka. Kärryn paino ja pöydän tukivoima ovat pystysuorat.

   Mallivastaus

   Punnuksen paino on Maan voima punnukseen. Se kuuluu punnuksen voimakuvioon. Lanka välittää punnuksen vaikutuksen kärryyn jännitysvoimana $T$. Se on kärryn ainoa voima pöydän suunnassa. Kärryn liikeyhtälö pöydän suunnassa on siis $T = m_1 a$. Kärry liikkuu eteenpäin, mutta liike ei ole voima. Liike-energiaa ei piirretä voimakuvioon. Punnus kiihtyy alas, joten jännitysvoima on pienempi kuin punnuksen paino: $T < m_2 g$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-9Ydintehtävä

   Nosturin köysi nostaa laatikkoa, jonka massa on $50\,\text{kg}$. Sen alapuolella roikkuu toisen köyden päässä toinen laatikko, jonka massa on $30\,\text{kg}$. Laatikot kiihtyvät ylöspäin kiihtyvyydellä $1{,}2\,\text{m/s}^2$.

   Köydet ovat kevyet ja venymättömät, ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Piirrä kummankin laatikon voimakuvio vihkoon, ennen kuin avaat ratkaisun. Kuinka suuri on nosturin köyden jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $880\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylempi laatikko $m_1 = 50\,\text{kg}$, alempi laatikko $m_2 = 30\,\text{kg}$, kiihtyvyys ylös $a = 1{,}2\,\text{m/s}^2$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Köydet ovat kevyet ja venymättömät. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kysytty

   nosturin köyden jännitysvoima $T_1$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Laatikot ovat kaksi kappaletta, ja kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Alempi laatikko roikkuu ylemmästä, joten niillä on sama kiihtyvyys $a$. Kevyen köyden voima on sama köyden kummassakin päässä. Siksi alempi köysi vetää ylempää laatikkoa alas samalla voimalla $T_2$, jolla se vetää alempaa laatikkoa ylös.

   Voimakuvio

   Piirrä ylempi laatikko suorakulmioksi, positiivinen suunta ylös. Nosturin köyden voima $\overline{T}_1$ lähtee yläpinnasta ylös, paino $\overline{G}_1$ keskipisteestä alas ja alemman köyden voima $\overline{T}_2$ alapinnasta alas. Piirrä alempi laatikko suorakulmioksi. Voima $\overline{T}_2$ lähtee yläpinnasta ylös ja paino $\overline{G}_2$ alas. Nuoli $\overline{T}_1$ on pisin.

   Kaava

   $T_1 - T_2 - m_1 g = m_1 a$ ja $T_2 - m_2 g = m_2 a$, joten yhteenlaskusta $T_1 = (m_1 + m_2)(g + a)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T_1$$= (50\,\text{kg} + 30\,\text{kg}) \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}2\,\text{m/s}^2)$

   $= 80\,\text{kg} \cdot 11{,}01\,\text{m/s}^2$

   $= 880{,}8\,\text{N}$

   Vastaus

   $880\,\text{N}$

   Eli $8{,}8 \cdot 10^{2}\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kiihtyvyydessä $1{,}2\,\text{m/s}^2$ ja massassa $30\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Laatikoiden yhteinen paino on $80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 785\,\text{N}$. Kiihtyvä nosto vaatii enemmän. Ylimäärä $96\,\text{N}$ on $(m_1 + m_2)\,a = 80\,\text{kg} \cdot 1{,}2\,\text{m/s}^2$. Alemman köyden voima on

   $T_2$$= m_2 (g + a)$

   $\approx 330\,\text{N}$

   Se on pienempi kuin $T_1$, koska se kantaa vain alemman laatikon.

2. Tehtävä 7-10Ydintehtävä

   Kevyen ja venymättömän langan päissä roikkuu väkipyörän yli kaksi kappaletta. Niiden massat ovat $0{,}50\,\text{kg}$ ja $1{,}0\,\text{kg}$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kappaleet päästetään liikkeelle. Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on langan jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $6{,}5\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m_1 = 0{,}50\,\text{kg}$ ja $m_2 = 1{,}0\,\text{kg}$ langan päissä ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Lanka on kevyt, ja väkipyörä on kevyt ja kitkaton. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kummallekin kappaleelle kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Raskaampi $m_2$ laskee ja kevyempi $m_1$ nousee. Lanka ei veny, joten kiihtyvyys $a$ on molemmilla yhtä suuri. Lanka vetää kumpaakin voimalla $T$.

   Voimakuvio

   Piirrä kevyempi kappale suorakulmioksi, positiivinen suunta ylös. Voima $\overline{T}_1$ osoittaa ylös ja $\overline{G}_1$ alas. Piirrä raskaampi kappale suorakulmioksi, positiivinen suunta alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten yhteenlaskusta

   $a$$= \dfrac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$

   $T$$= m_1 (g + a)$

   $= \dfrac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}\cdot g$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}50\,\text{kg} \cdot 1{,}0\,\text{kg}}{0{,}50\,\text{kg} + 1{,}0\,\text{kg}} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}6667\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 6{,}54\,\text{N}$

   Vastaus

   $6{,}5\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massoissa $0{,}50\,\text{kg}$ ja $1{,}0\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Painot ovat $m_1 g \approx 4{,}9\,\text{N}$ ja $m_2 g \approx 9{,}8\,\text{N}$. Tulos $6{,}5\,\text{N}$ on niiden välissä: nousevalle kappaleelle $T > G_1$ ja laskevalle $T < G_2$. Kiihtyvyys $a = 3{,}27\,\text{m/s}^2$ antaa samat voimat: $T - G_1 = 1{,}635\,\text{N} = m_1 a$.

3. Tehtävä 7-11

   Jäällä on kaksi kelkkaa, joiden massat ovat $3{,}0\,\text{kg}$ ja $2{,}0\,\text{kg}$. Kelkat on sidottu toisiinsa kevyellä narulla. Raskaampaa kelkkaa vedetään toisella narulla vaakasuoraan $20\,\text{N}$:n voimalla, ja kelkat liikkuvat yhdessä. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä kummankin kelkan voimakuvio.

   Kuinka suuri on kelkkojen välisen narun jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kelkat $m_1 = 3{,}0\,\text{kg}$ (vedettävä) ja $m_2 = 2{,}0\,\text{kg}$ sekä vetovoima $F = 20\,\text{N}$. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Narut ovat kevyet ja venymättömät.

   Kysytty

   kelkkojen välisen narun jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kelkat liikkuvat yhdessä, ja niiden kiihtyvyys $a$ on yhtä suuri. Kummallekin kelkalle kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Takimmaista kelkkaa vetää vain kelkkojen välinen naru.

   Voimakuvio

   Piirrä raskaampi kelkka suorakulmioksi, positiivinen suunta vetoon päin. Vetovoima $\overline{F}$ osoittaa eteenpäin ja jännitysvoima $\overline{T}_1$ taaksepäin. Piirrä kevyempi kelkka suorakulmioksi. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_2$ eteenpäin. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa kummassakin kelkassa.

   Kaava

   $F - T = m_1 a$ ja $T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $a = \dfrac{F}{m_1 + m_2}$, joten $T = m_2 a = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\,F$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{2{,}0\,\text{kg}}{3{,}0\,\text{kg} + 2{,}0\,\text{kg}} \cdot 20\,\text{N}$

   $= 0{,}40 \cdot 20\,\text{N}$

   $= 8{,}0\,\text{N}$

   Vastaus

   $8{,}0\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiedoissakin on kaksi.

   Järkevyys

   Narun voima on pienempi kuin vetovoima $20\,\text{N}$, koska naru kiihdyttää vain takimmaista kelkkaa. Kiihtyvyys on

   $a$$= 20\,\text{N} : 5{,}0\,\text{kg}$

   $= 4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Etummaiselle kelkalle jää

   $20\,\text{N} - 8{,}0\,\text{N}$$= 12\,\text{N}$

   $= m_1 a$
4. Tehtävä 7-12

   Väkipyörän yli kulkevan kevyen ja venymättömän langan päissä roikkuu kaksi kappaletta. Kevyemmän massa on $0{,}60\,\text{kg}$. Kappaleet päästetään liikkeelle, ja raskaampi laskee kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on raskaamman kappaleen massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}91\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kevyemmän kappaleen massa $m_1 = 0{,}60\,\text{kg}$, raskaamman kiihtyvyys alas $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Lanka on kevyt, ja väkipyörä on kevyt ja kitkaton. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kysytty

   raskaamman kappaleen massa $m_2$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Kappaleita on kaksi, ja kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Lanka ei veny, joten kiihtyvyys $a$ on molemmilla yhtä suuri. Kevyt lanka vetää kumpaakin voimalla $T$. Kevyempi kappale nousee ja raskaampi laskee.

   Voimakuvio

   Piirrä kevyempi kappale suorakulmioksi, positiivinen suunta ylös. Voima $\overline{T}_1$ osoittaa ylös ja $\overline{G}_1$ alas, ja $\overline{T}_1$ on pidempi. Piirrä raskaampi kappale suorakulmioksi, positiivinen suunta alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös, ja $\overline{G}_2$ on pidempi.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Ensimmäisestä saadaan $T = m_1 (g + a)$. Toinen antaa $m_2 (g - a) = T$, joten $m_2 = \dfrac{m_1 (g + a)}{g - a}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m_2$$= \dfrac{0{,}60\,\text{kg} \cdot (9{,}81 + 2{,}0)\,\text{m/s}^2}{(9{,}81 - 2{,}0)\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{7{,}086\,\text{N}}{7{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 0{,}9073\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}91\,\text{kg}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa $0{,}60\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ on kaksi.

   Järkevyys

   Massa $0{,}91\,\text{kg}$ on suurempi kuin $0{,}60\,\text{kg}$, kuten raskaamman kappaleen pitääkin. Tarkistus kaavalla

   $a$$= \dfrac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$

   $= \dfrac{0{,}3073 \cdot 9{,}81}{1{,}5073}\,\text{m/s}^2$

   $\approx 2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Jännitysvoima $T = 7{,}09\,\text{N}$ on painojen $5{,}9\,\text{N}$ ja $8{,}9\,\text{N}$ välissä.

5. Tehtävä 7-13

   Atwoodin koneessa kaksi punnusta roikkuu kevyen ja venymättömän langan päissä väkipyörän yli. Punnusten yhteinen massa on aina $M = 0{,}500\,\text{kg}$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton. Massaero on $\Delta m = m_2 - m_1$. Massaeroa muutetaan siirtämällä pieniä massoja punnukselta toiselle. Jokaisella massaerolla mitataan raskaamman punnuksen kiihtyvyys $a$. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksista.

   a) Johda kummankin punnuksen liikeyhtälöstä kaava, jolla lasket $a$:n massaerosta $\Delta m$.

   b) Piirrä $(\Delta m, a)$-kuvaaja ja sovita siihen suora, joka kulkee origon kautta. Määritä putoamiskiihtyvyys $g$ suoran kulmakertoimesta.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) putoamiskiihtyvyys.

   Atwoodin koneen kiihtyvyys eri massaeroilla (esimerkkiaineisto)

   $\Delta m\,(\text{g})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   50	0,96
   100	2,02
   150	2,88
   200	3,97
   250	4,84

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   punnusten yhteinen massa $M = 0{,}500\,\text{kg}$. Taulukosta: $\Delta m = 50$; $100$; $150$; $200$ ja $250\,\text{g}$ sekä $a = 0{,}96$; $2{,}02$; $2{,}88$; $3{,}97$ ja $4{,}84\,\text{m/s}^2$ (esimerkkiaineisto).

   Kysytty

   a) kaava, jolla lasket $a$:n massaerosta $\Delta m$; b) putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kirjoita kummallekin punnukselle oma liikeyhtälö. Lanka ei veny ja on kevyt. Siksi kiihtyvyyden suuruus $a$ ja jännitysvoima $T$ ovat molemmilla samat. Kun lasket yhtälöt yhteen, $T$ poistuu. Jäljelle jää suora verrannollisuus $a \propto \Delta m$. Suoran kulmakertoimesta saat $g$:n.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $(\Delta m, a)$ ovat lähes suoralla, joka kulkee origon kautta. Yksittäiset pisteet poikkeavat suorasta enintään noin $0{,}1\,\text{m/s}^2$. Se on mittauksen satunnaista vaihtelua. Origon kautta kulkeva sovitussuora osuu viimeisen pisteen kohdalla arvoon $a = 4{,}9\,\text{m/s}^2$, kun $\Delta m = 0{,}250\,\text{kg}$. Kulmakerroin on siis

   $k$$= \dfrac{4{,}9\,\text{m/s}^2}{0{,}250\,\text{kg}}$

   $= 19{,}6\,\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{kg}}$

   Kaava

   Kevyempi $m_1$ nousee ja raskaampi $m_2$ laskee: $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Yhteenlaskusta saadaan $(m_2 - m_1)\,g = (m_1 + m_2)\,a$, joten $a = \dfrac{g}{M}\,\Delta m$. Kulmakerroin on $k = \dfrac{g}{M}$, joten $g = k\,M$

   Muunnokset

   $\Delta m$$= 250\,\text{g}$

   $= 0{,}250\,\text{kg}$

   Muut suureet ovat SI-yksiköissä.

   Sijoitus

   $g$$= 19{,}6\,\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{kg}} \cdot 0{,}500\,\text{kg}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska käsin sovitetun suoran kulmakertoimen saa vain kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä tunnettua arvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Pisteiden suhteet $a : \Delta m$ ovat $19{,}2$; $20{,}2$; $19{,}2$; $19{,}9$ ja $19{,}4$ yksikössä $\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{kg}}$. Kaikki ovat lähellä arvoa $19{,}6$. Kaavan mukaan $\Delta m = 250\,\text{g}$ antaa

   $a$$= \dfrac{0{,}250 \cdot 9{,}81}{0{,}500}\,\text{m/s}^2$

   $= 4{,}9\,\text{m/s}^2$

   Se on pienempi kuin $g$, kuten pitääkin.

6. Tehtävä 7-14

   Kärry on kitkattomalla radalla. Sen massa on $1{,}20\,\text{kg}$. Kärry on sidottu kevyellä ja venymättömällä langalla punnukseen, joka roikkuu kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli. Kärry päästetään liikkeelle levosta eri punnuksilla. Jokaisella kerralla mitataan kärryn kiihtyvyys $a$. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksista.

   Valitse mittaus, jossa punnuksen massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Määritä langan jännitysvoima kärryn liikeyhtälön avulla. Tarkista tulos punnuksen liikeyhtälöllä samasta mittauksesta. Piirrä ensin kummankin kappaleen voimakuvio.

   Vastauslaatikkoon tulee kärryn liikeyhtälöstä saatu jännitysvoima.

   Kärryn kiihtyvyys eri punnuksilla (esimerkkiaineisto)

   $m_2\,(\text{kg})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   0,10	0,74
   0,20	1,40
   0,30	1,97
   0,50	2,84
   0,70	3,60

   NTarkista
   Vastaus

   $3{,}4\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärryn massa $m_1 = 1{,}20\,\text{kg}$. Mittauksessa, jossa punnuksen massa on $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$, kiihtyvyys on $a = 2{,}84\,\text{m/s}^2$ (esimerkkiaineisto). $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kitka jätetään huomiotta. Lanka ja väkipyörä ovat kevyet.

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Pöydän suunnassa kärryyn vaikuttaa vain lanka. Kärryn liikeyhtälöstä saat siis $T$:n suoraan mitatusta kiihtyvyydestä. Tarkista tulos laskemalla $T$ myös punnuksen liikeyhtälöstä. Siinä $T$ on painon vastasuuntainen.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon rivi $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$ antaa $a = 2{,}84\,\text{m/s}^2$. Kiihtyvyys kasvaa, kun punnuksen massa kasvaa. Kasvu ei ole suoraan verrannollinen. Massa tulee viisinkertaiseksi ($0{,}10\,\text{kg} \to 0{,}50\,\text{kg}$), mutta kiihtyvyys tulee vain nelinkertaiseksi ($0{,}74 \to 2{,}84\,\text{m/s}^2$).

   Voimakuvio

   Piirrä kärry suorakulmioksi. Positiivinen suunta on langan suuntaan. Voimat $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$. Piirrä punnus suorakulmioksi. Positiivinen suunta on alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   Kärry: $T = m_1 a$. Punnus: $m_2 g - T = m_2 a$, joten tarkistus on $T = m_2\,(g - a)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 1{,}20\,\text{kg} \cdot 2{,}84\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}408\,\text{N}$

   Tarkistus:

   $T$$= 0{,}50\,\text{kg} \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 - 2{,}84\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}50\,\text{kg} \cdot 6{,}97\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}485\,\text{N}$

   Vastaus

   $3{,}4\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa. Yhtälöt antavat $3{,}41\,\text{N}$ ja $3{,}49\,\text{N}$, jotka eroavat noin $2\,\%$. Siksi vain kaksi ensimmäistä numeroa on luotettavia.

   Järkevyys

   Kaksi tapaa antaa $3{,}4\,\text{N}$ ja $3{,}5\,\text{N}$. Ne eroavat noin $2\,\%$, mikä sopii mittauksen tarkkuuteen. Teorian mukaan

   $a$$= \dfrac{0{,}50 \cdot 9{,}81}{1{,}70}\,\text{m/s}^2$

   $= 2{,}89\,\text{m/s}^2$

   Mitattu $2{,}84\,\text{m/s}^2$ on hieman pienempi. Jännitysvoima on pienempi kuin punnuksen paino $4{,}9\,\text{N}$, kuten pitääkin.

7. Tehtävä 7-15

   Kitkattomalla pöydällä on kärry, jonka massa on $2{,}0\,\text{kg}$. Kärryyn on sidottu kevyt ja venymätön lanka. Lanka kulkee kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli. Langan päässä roikkuu punnus, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Kappaleet päästetään liikkeelle. Ilmanvastusta ei oteta huomioon.

   Oppilaan ratkaisu: ”Kärryyn vaikuttaa vaakasuunnassa vain lanka, joten $T = m_1 a$. Punnukselle $m_2 g - T = m_2 a$. Sijoitin ensimmäisen jälkimmäiseen: $m_2 g - m_1 a = m_2 a$. Siitä ratkaisin $a = \dfrac{m_2 g}{m_1} = 2{,}5\,\text{m/s}^2$.”

   Etsi virhe oppilaan ratkaisusta ja laske oikea kiihtyvyys. Piirrä myös kummankin kappaleen voimakuvio.

   Vastauslaatikkoon tulee oikea kiihtyvyys.

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 2{,}0\,\text{kg}$, punnus $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Lanka ja väkipyörä ovat kevyet. Oppilaan tulos on $2{,}5\,\text{m/s}^2$.

   Kysytty

   oppilaan ratkaisun virhe ja oikea kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kirjoita kummallekin kappaleelle oma liikeyhtälö. Kiihtyvyys koskee koko systeemiä: sekä kärryä että punnusta. Oppilaan yhtälöt $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$ ovat oikein, mutta ratkaisussa on virhe.

   Voimakuvio

   Piirrä kärry suorakulmioksi. Positiivinen suunta on oikealle. Voimat $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$. Piirrä punnus suorakulmioksi. Positiivinen suunta on alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   Virhe: sijoituksen jälkeen yhtälö on $m_2 g - m_1 a = m_2 a$. Myös punnuksen massa kuuluu nimittäjään:

   $m_2 g$$= m_1 a + m_2 a$

   $= (m_1 + m_2)\,a$

   Oppilas unohti punnuksen massan. Pitää käyttää koko liikkuvan systeemin massaa $m_1 + m_2$. Oikein on $a = \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{2{,}0\,\text{kg} + 0{,}50\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{4{,}905\,\text{N}}{2{,}5\,\text{kg}}$

   $= 1{,}962\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiedoissa $2{,}0\,\text{kg}$ ja $0{,}50\,\text{kg}$ on kaksi. Oppilaan tulos oli liian suuri, koska hän jakoi vain kärryn massalla.

   Järkevyys

   Jännitysvoima

   $T$$= m_1 a$

   $= 2{,}0\,\text{kg} \cdot 1{,}962\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}92\,\text{N}$

   on pienempi kuin punnuksen paino $4{,}9\,\text{N}$. Erotus $0{,}98\,\text{N}$ on $m_2 a = 0{,}50\,\text{kg} \cdot 1{,}962\,\text{m/s}^2$. Oppilaan arvolla $a = 2{,}45\,\text{m/s}^2$ saisi $T = m_1 a = 4{,}9\,\text{N}$ ja $m_2 g - T \approx 0$. Punnuksen liikeyhtälö vaatisi kuitenkin $m_2 a = 1{,}2\,\text{N}$. Arvo on siis väärä.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 7-16

   Hissin kori, jonka massa on $800\,\text{kg}$, roikkuu kevyen ja venymättömän köyden päässä. Köysi kulkee kevyen ja kitkattoman pyörän yli. Köyden toisessa päässä on vastapaino, jonka massa on $1200\,\text{kg}$.

   Vastapaino laskee ja kori nousee. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Piirrä korin ja vastapainon voimakuviot. Kuinka suuri voima köydestä kohdistuu pyörän akseliin? Pyörä on kevyt, ja akseli pitää sen paikallaan.

   NTarkista
   Vastaus

   $19000\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korin massa $m_1 = 800\,\text{kg}$, vastapainon massa $m_2 = 1200\,\text{kg}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Köysi on kevyt ja venymätön, pyörä on kevyt ja kitkaton, ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kysytty

   voima $F_\text{akseli}$, jolla köysi vaikuttaa pyörän akseliin, yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kori ja vastapaino ovat kaksi kappaletta, ja kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Köysi ei veny, joten $a$ on molemmilla yhtä suuri. Kevyt köysi vetää kumpaakin voimalla $T$. Pyörä on kevyt eikä kiihdy, joten sen kokonaisvoima on nolla.

   Voimakuvio

   Piirrä kori suorakulmioksi, positiivinen suunta ylös. Voima $\overline{T}_1$ osoittaa ylös ja $\overline{G}_1$ alas. Piirrä vastapaino suorakulmioksi, positiivinen suunta alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös. Nuolet $\overline{T}_1$ ja $\overline{T}_2$ ovat yhtä pitkät. Pyörässä on kaksi voimaa $T$ alas ja voima $F_\text{akseli}$ ylös.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten

   $T$$= \dfrac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}\cdot g$

   Pyörän tasapainosta $F_\text{akseli} - 2T = 0$, joten $F_\text{akseli} = 2T$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{2 \cdot 800\,\text{kg} \cdot 1200\,\text{kg}}{800\,\text{kg} + 1200\,\text{kg}} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 960\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 9418\,\text{N}$

   $F_\text{akseli}$$= 2 \cdot 9418\,\text{N}$

   $= 18\,835\,\text{N}$

   Vastaus

   $19000\,\text{N}$

   Eli $19\,\text{kN}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massat on annettu sadan kilogramman tarkkuudella.

   Järkevyys

   Painot ovat $m_1 g \approx 7850\,\text{N}$ ja $m_2 g \approx 11\,770\,\text{N}$. Jännitysvoima $T = 9418\,\text{N}$ on niiden välissä. Akselin voima $18\,835\,\text{N}$ on pienempi kuin painojen summa $19\,620\,\text{N}$, koska vastapaino kiihtyy alas.

2. Tehtävä 7-17

   Kärry, jonka massa on $1{,}0\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä. Se on sidottu kevyellä ja venymättömällä langalla kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli riippuvaan punnukseen.

   Lanka katkeaa, jos sen jännitysvoima ylittää $3{,}0\,\text{N}$.

   Kuinka suuri on suurin punnuksen massa, jolla lanka vielä kestää, kun kappaleet liikkuvat? Piirrä ensin kummankin kappaleen voimakuvio. Vastaa kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}44\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 1{,}0\,\text{kg}$, suurin sallittu jännitysvoima $T_{\max} = 3{,}0\,\text{N}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kitka jätetään huomiotta. Lanka ja väkipyörä ovat kevyet.

   Kysytty

   suurin punnuksen massa $m_2$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Kappaleille kirjoitetaan omat liikeyhtälöt. Niistä saadaan jännitysvoima massojen avulla. Jännitysvoima kasvaa, kun punnuksen massa kasvaa. Siksi raja-arvo $T = T_{\max}$ antaa suurimman massan.

   Voimakuvio

   Piirrä kärry suorakulmioksi, positiivinen suunta oikealle. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$. Piirrä punnus suorakulmioksi, positiivinen suunta alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten $T = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,g$. Kun $T = T_{\max}$: $T_{\max} (m_1 + m_2) = m_1 m_2 g$, joten

   $m_2$$= \dfrac{m_1\,T_{\max}}{g\,m_1 - T_{\max}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m_2$$= \dfrac{3{,}0\,\text{N} \cdot 1{,}0\,\text{kg}}{1{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 3{,}0\,\text{N}}$

   $= \dfrac{3{,}0\,\text{N}\cdot\text{kg}}{6{,}81\,\text{N}}$

   $= 0{,}4405\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}44\,\text{kg}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiedoissa $3{,}0\,\text{N}$ ja $1{,}0\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $T$$= \dfrac{1{,}0 \cdot 0{,}4405}{1{,}4405} \cdot 9{,}81\,\text{N}$

   $\approx 3{,}0\,\text{N}$

   Jos punnus on raja-arvoa raskaampi, $T$ on suurempi. Se on kuitenkin aina pienempi kuin kärryn paino $9{,}81\,\text{N}$, koska $T$ lähestyy arvoa $m_1 g$ vasta äärettömän suurella $m_2$:lla.

3. Tehtävä 7-18

   Kärry, jonka massa on $1{,}5\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä. Se on sidottu kevyellä ja venymättömällä langalla kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli riippuvaan punnukseen, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Kärry päästetään liikkeelle levosta.

   Kuinka kauan kestää, ennen kuin kärry on kulkenut $0{,}90\,\text{m}$? Piirrä ensin kummankin kappaleen voimakuvio.

   sTarkista
   Vastaus

   $0{,}86\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 1{,}5\,\text{kg}$, punnus $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$, matka $s = 0{,}90\,\text{m}$, lähtö levosta ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kitka jätetään huomiotta. Lanka ja väkipyörä ovat kevyet.

   Kysytty

   aika $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Ensin kappaleiden liikeyhtälöistä saadaan kiihtyvyys. Kiihtyvyys on vakio, joten levosta lähtevälle liikkeelle pätee $s = \tfrac{1}{2}at^2$. Siitä saadaan aika.

   Voimakuvio

   Piirrä kärry suorakulmioksi, positiivinen suunta oikealle. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$. Piirrä punnus suorakulmioksi, positiivinen suunta alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös, ja $T_1 = T_2 = T$.

   Kaava

   $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten $a = \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$. Matkasta $s = \tfrac{1}{2}at^2$, joten $t = \sqrt{\dfrac{2s}{a}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{2{,}0\,\text{kg}}$

   $= 2{,}4525\,\text{m/s}^2$

   $t$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}90\,\text{m}}{2{,}4525\,\text{m/s}^2}}$

   $= 0{,}857\,\text{s}$

   Vastaus

   $0{,}86\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiedoissa $0{,}90\,\text{m}$ ja $0{,}50\,\text{kg}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Tarkistus: loppunopeus on $at \approx 2{,}1\,\text{m/s}$ ja keskinopeus $1{,}05\,\text{m/s}$. Silloin $1{,}05\,\text{m/s} \cdot 0{,}857\,\text{s} \approx 0{,}90\,\text{m}$. Vapaasti putoava punnus ($a = g$) kulkisi saman matkan ajassa $0{,}43\,\text{s}$. Aika $0{,}86\,\text{s}$ on järkevästi pidempi.

4. Tehtävä 7-19

   Veturi vetää kolmea vaunua peräkkäin suoralla vaakasuoralla radalla. Vaunujen massat ovat $m_1 = 24\,\text{t}$, $m_2 = 18\,\text{t}$ ja $m_3 = 12\,\text{t}$. Vaunut on kytketty toisiinsa kytkimillä. Veturin massaa ei lasketa mukaan. Veturi vetää ensimmäistä vaunua samalla voimalla molemmissa järjestyksissä. Vastusvoimia ei oteta huomioon. Kytkimet ovat kevyet ja venymättömät. Junan nopeus mitataan lähdön jälkeen. Taulukossa on esimerkkiaineisto.

   a) Määritä taulukosta junan kiihtyvyys. Perustele, miksi kiihtyvyyttä voi pitää vakiona.

   b) Piirrä jokaisen vaunun voimakuvio. Laske vaunujen 1 ja 2 välisen kytkimen voima.

   c) Vaunut järjestetään uudelleen. Raskain vaunu on viimeisenä ja kevyin ensimmäisenä. Kiihtyvyys on sama. Kuinka suuri on nyt ensimmäisen ja toisen vaunun välisen kytkimen voima? Kestääkö kytkin, jonka suurin sallittu voima on $20\,\text{kN}$? Perustele, miksi kytkimen voima muuttui.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kytkimen voima kilonewtoneina.

   Junan nopeus lähdön jälkeen (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	0,00
   5,0	2,46
   10,0	5,03
   15,0	7,48
   20,0	10,02

   kNTarkista
   Vastaus

   $15\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vaunujen massat $m_1 = 24\,\text{t}$, $m_2 = 18\,\text{t}$ ja $m_3 = 12\,\text{t}$. Taulukosta: nopeus on $v = 0$ hetkellä $t = 0$ ja $v = 10{,}02\,\text{m/s}$ hetkellä $t = 20{,}0\,\text{s}$ (esimerkkiaineisto). Kytkimen suurin sallittu voima on $20\,\text{kN}$. Vastusvoimat jätetään huomiotta.

   Kysytty

   a) junan kiihtyvyys $a$; b) vaunujen 1 ja 2 välisen kytkimen voima $K_{12}$ yksikössä $\text{kN}$; c) kytkimen voima, kun vaunut ovat järjestyksessä $12\,\text{t}$, $18\,\text{t}$, $24\,\text{t}$, ja kestääkö kytkin

   Periaate

   Vaunut on kytketty toisiinsa, joten ne liikkuvat yhdessä samalla kiihtyvyydellä $a$. Kirjoita kullekin vaunulle oma liikeyhtälö. Vaunujen 1 ja 2 välinen kytkin vetää vaunua 2 eteenpäin. Sen takana olevat vaunut 2 ja 3 vastustavat tätä. Siksi kytkimen voima kiihdyttää kaikkia vaunuja, jotka ovat sen takana. Kolmannen lain mukaan vaunu 2 vetää vaunua 1 taaksepäin yhtä suurella voimalla.

   Kuvaajan lukeminen

   Nopeus kasvaa tasaisesti noin $2{,}5\,\text{m/s}$ jokaisella viiden sekunnin välillä ($2{,}46$; $2{,}57$; $2{,}45$; $2{,}54\,\text{m/s}$). Siksi $(t, v)$-kuvaaja on lähes suora ja kiihtyvyys on vakio. Kulmakerroin päätepisteistä on

   $a$$= \dfrac{10{,}02\,\text{m/s} - 0}{20{,}0\,\text{s} - 0}$

   $= 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Voimakuvio

   Veturin voima on merkitty $\overline{F}$. Piirrä vaunu 3 suorakulmioksi. Positiivinen suunta on junan liikkeen suuntaan. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain kytkimen voima $\overline{K}_{23}$ eteenpäin. Vaunu 2: $\overline{K}_{12}$ eteenpäin ja $\overline{K}_{23}$ taaksepäin. Vaunu 1: veturin voima eteenpäin ja $\overline{K}_{12}$ taaksepäin. Jokaisessa vaunussa paino ja tukivoima kumoavat toisensa (kuvassa pystynuolet on piirretty lyhyinä). Nuolet $\overline{K}_{12}$ ovat yhtä pitkät vaunuissa 1 ja 2. Nuolet $\overline{K}_{23}$ ovat yhtä pitkät vaunuissa 2 ja 3 (kolmas laki). Nuoli $\overline{K}_{12}$ on pidempi kuin $\overline{K}_{23}$.

   Kaava

   Vaunu 3: $K_{23} = m_3 a$. Vaunu 2: $K_{12} - K_{23} = m_2 a$. Yhteenlaskusta saadaan $K_{12} = (m_2 + m_3)\,a$

   Muunnokset

   $m_2 + m_3$$= 18\,\text{t} + 12\,\text{t}$

   $= 30\,\text{t}$

   $= 30\,000\,\text{kg}$

   $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   b)

   $K_{12}$$= 30\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   $= 15\,000\,\text{N}$

   $= 15\,\text{kN}$

   c) Uusi järjestys on $12\,\text{t}$, $18\,\text{t}$, $24\,\text{t}$. Vaunujen 1 ja 2 välisen kytkimen takana ovat $18\,\text{t}$ ja $24\,\text{t}$, yhteensä $42\,\text{t}$. Silloin

   $K_{12}'$$= 42\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   $= 21\,000\,\text{N}$

   $= 21\,\text{kN}$

   Vastaus

   a) $a = 0{,}50\,\text{m/s}^2$. b) $15\,\text{kN}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tiedoissa $18\,\text{t}$ ja $12\,\text{t}$ on kaksi (vastauslaatikkoon tulee tämä). c) $21\,\text{kN}$. Kytkin, jonka raja on $20\,\text{kN}$, ei siis kestä uudessa järjestyksessä. Syy: kytkimen voima kiihdyttää kaikkia sen takana olevia vaunuja, ja raskain vaunu on nyt kytkimen takana.

   Järkevyys

   Alkuperäisessä järjestyksessä kytkimet ovat

   $K_{12}$$= 15\,\text{kN}$

   $K_{23}$$= 12\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   $= 6{,}0\,\text{kN}$

   Veturin voima vaunuun 1 on $54\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2 = 27\,\text{kN}$. Voima pienenee veturista taaksepäin, koska jokainen kytkin kiihdyttää yhä pienempää massaa. Vaunun 2 yhtälö täsmää:

   $15\,\text{kN} - 6{,}0\,\text{kN}$$= 9{,}0\,\text{kN}$

   $= 18\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$
5. Tehtävä 7-20

   Kitkattomalla radalla on kärry. Kärryn massa $m_1$ on tuntematon. Kärryyn on sidottu kevyt ja venymätön lanka. Lanka kulkee kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli. Langan päässä roikkuu punnus, jonka massa $m_2$ vaihtelee. Kärry päästetään liikkeelle levosta. Mitataan aika $t$, jonka punnus laskeutuu matkan $0{,}80\,\text{m}$ lattiaan asti. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksista.

   a) Laske jokaisesta mittauksesta punnuksen kiihtyvyys. Johda kummankin kappaleen liikeyhtälöistä kaava, jolla lasket kärryn massan massasta $m_2$ ja kiihtyvyydestä $a$.

   b) Määritä kärryn massa jokaisesta mittauksesta. Laske niiden keskiarvo.

   c) Punnus, jonka massa on $0{,}200\,\text{kg}$, osuu lattiaan. Rata on riittävän pitkä, joten kärry ei osu väkipyörään. Mitä kärrylle tapahtuu sen jälkeen? Perustele ja laske kärryn nopeus tällä hetkellä.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kärryn massan keskiarvo.

   Punnuksen laskeutumisaika $0{,}80\,\text{m}$:n matkalla (esimerkkiaineisto)

   $m_2\,(\text{kg})$	$t\,(\text{s})$
   0,100	1,29
   0,200	0,96
   0,300	0,80
   0,400	0,73

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}91\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 0{,}80\,\text{m}$ levosta. Taulukosta: $m_2 = 0{,}100$; $0{,}200$; $0{,}300$ ja $0{,}400\,\text{kg}$ sekä ajat $t = 1{,}29$; $0{,}96$; $0{,}80$ ja $0{,}73\,\text{s}$ (esimerkkiaineisto). $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kitka jätetään huomiotta. Lanka ja väkipyörä ovat kevyet.

   Kysytty

   a) kiihtyvyydet ja kaava $m_1$:lle; b) kärryn massan $m_1$ keskiarvo yksikössä $\text{kg}$; c) kärryn liike sen jälkeen, kun punnus osuu lattiaan, ja kärryn nopeus

   Periaate

   Kappaleet lähtevät levosta ja kiihtyvyys on vakio. Siksi $s = \tfrac{1}{2}at^2$ antaa kiihtyvyyden $a$ ajasta. Kirjoita kummallekin kappaleelle oma liikeyhtälö. Niistä saat $m_1$:n, kun tiedät $a$:n ja $m_2$:n. Kun lanka löystyy, kärryyn ei vaikuta vaakasuunnassa enää mikään voima. Silloin ensimmäinen laki ratkaisee kohdan c).

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukosta luetaan neljä mittausta $(m_2, t)$. Aika lyhenee, kun punnus on painavampi. Se on järkevää, koska kiihtyvyys kasvaa.

   Voimakuvio

   Mittaus $m_2 = 0{,}200\,\text{kg}$, $a = 1{,}74\,\text{m/s}^2$. Piirrä kärry suorakulmioksi. Positiivinen suunta on oikealle (langan suuntaan). Voimat $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$ oikealle. Piirrä punnus suorakulmioksi. Positiivinen suunta on alas. Voima $\overline{G}_2$ osoittaa alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   a) $a = \dfrac{2s}{t^2}$. Kärry: $T = m_1 a$. Punnus: $m_2 g - T = m_2 a$. Sijoittamalla saadaan $m_2 g = m_1 a + m_2 a$, joten

   $m_1$$= m_2 \left(\dfrac{g}{a} - 1\right)$

   b)

   $m_{1,\text{ka}}$$= \dfrac{\Sigma m_1}{n}$

   c) $v = at$ ja $s = \tfrac{1}{2}vt$, joten $v = \dfrac{2s}{t}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   a) Kiihtyvyydet ovat $a = \dfrac{1{,}60\,\text{m}}{t^2}$: $0{,}961$; $1{,}736$; $2{,}500$ ja $3{,}002\,\text{m/s}^2$.
   b)

   $m_1$$= m_2 \left(\dfrac{g}{a} - 1\right)$

   antaa kullekin mittaukselle

   $m_1$$= 0{,}100\,\text{kg} \cdot (10{,}20 - 1)$

   $= 0{,}920\,\text{kg}$

   $m_1$$= 0{,}200\,\text{kg} \cdot (5{,}65 - 1)$

   $= 0{,}930\,\text{kg}$

   $m_1$$= 0{,}300\,\text{kg} \cdot (3{,}924 - 1)$

   $= 0{,}877\,\text{kg}$

   $m_1$$= 0{,}400\,\text{kg} \cdot (3{,}27 - 1)$

   $= 0{,}907\,\text{kg}$

   Massojen summa on $3{,}634\,\text{kg}$, joten

   $m_{1,\text{ka}}$$= \dfrac{3{,}634\,\text{kg}}{4}$

   $= 0{,}909\,\text{kg}$

   c) Kun

   $m_2$$= 0{,}200\,\text{kg}$

   $v$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}80\,\text{m}}{0{,}96\,\text{s}}$

   $= 1{,}67\,\text{m/s}$

   Vastaus

   b) $0{,}91\,\text{kg}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska neljä arvoa vaihtelee välillä $0{,}88$–$0{,}93\,\text{kg}$. Kolmas numero ei ole luotettava. c) Kun punnus osuu lattiaan, lanka löystyy. Kärryyn ei vaikuta enää vaakasuuntaista voimaa. Ensimmäisen lain mukaan kärry jatkaa liikettä tasaisella nopeudella, noin $1{,}7\,\text{m/s}$, kunnes jokin muu voima vaikuttaa siihen.

   Järkevyys

   Neljä massaa ovat $0{,}88$–$0{,}93\,\text{kg}$. Ne poikkeavat keskiarvosta enintään $4\,\%$. Ero on satunnaista vaihtelua, ei suuntautunutta. Tarkistus:

   $a$$= \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$

   $= \dfrac{0{,}200 \cdot 9{,}81}{1{,}109}\,\text{m/s}^2$

   $= 1{,}77\,\text{m/s}^2$

   on lähellä mitattua arvoa $1{,}74\,\text{m/s}^2$. Loppunopeus $1{,}67\,\text{m/s}$ on kaksinkertainen keskinopeuteen $s : t = 0{,}83\,\text{m/s}$ verrattuna, kuten tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä pitääkin.