Newtonin toinen laki

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Leikkiautoon, jonka massa on $2{,}5\,\text{kg}$, vaikuttaa vaakasuora kokonaisvoima $6{,}0\,\text{N}$. Kuinka suuri on leikkiauton kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $2{,}4\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 2{,}5\,\text{kg}$, kokonaisvoima $\Sigma F = 6{,}0\,\text{N}$ vaakasuoraan

   Kysytty

   kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima määrää kiihtyvyyden: $\Sigma F = ma$. Kokonaisvoima on annettu suoraan, joten voimia ei tarvitse laskea yhteen.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$, joten $a = \dfrac{\Sigma F}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{6{,}0\,\text{N}}{2{,}5\,\text{kg}}$

   $= 2{,}4\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $2{,}4\,\text{m/s}^2$

   Kokonaisvoiman suuntaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtötiedoissa $6{,}0\,\text{N}$ ja $2{,}5\,\text{kg}$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on hieman yli kaksi kertaa niin monta newtonia kuin massa on kilogrammoja. Siksi kiihtyvyys on hieman yli $2\,\text{m/s}^2$. Leikkiauton nopeus kasvaa joka sekunti $2{,}4\,\text{m/s}$, mikä sopii reippaaseen tönäisyyn.

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Pyöräilijän ja polkupyörän yhteismassa on $80\,\text{kg}$. Ne kiihtyvät vaakasuoralla tiellä kiihtyvyydellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri kokonaisvoima niihin vaikuttaa?

   NTarkista
   Vastaus

   $120\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   yhteismassa $m = 80\,\text{kg}$, kiihtyvyys $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Newtonin toinen laki: kiihtyvyys syntyy kokonaisvoimasta, ja $\Sigma F = ma$. Pyöräilijä ja pyörä liikkuvat yhdessä, joten ne käsitellään yhtenä kappaleena.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = \text{N}$. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 80\,\text{kg}\cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   $= 120\,\text{N}$

   Vastaus

   $120\,\text{N}$

   Eli $1{,}2\cdot 10^{2}\,\text{N}$ liikkeen suuntaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa $80\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $1{,}5\,\text{m/s}^2$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on noin kuudesosa pyöräilijän ja pyörän painosta $80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 785\,\text{N}$. Siksi kiihtyvyys on noin kuudesosa putoamiskiihtyvyydestä, $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Kokonaisvoima on se voima, joka jää jäljelle, kun tien voimasta renkaaseen vähennetään vastusvoimat.

3. Tehtävä 5-3

   Kappaleeseen vaikuttaa kokonaisvoima $45\,\text{N}$, ja kappaleen kiihtyvyys on $3{,}0\,\text{m/s}^2$. Mikä on kappaleen massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $15\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kokonaisvoima $\Sigma F = 45\,\text{N}$, kiihtyvyys $a = 3{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   massa $m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan $\Sigma F = ma$. Kun kokonaisvoima ja kiihtyvyys tunnetaan, massa saadaan ratkaisemalla laista massa. Massa kertoo, kuinka paljon voimaa tarvitaan tiettyyn kiihtyvyyteen.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$, joten $m = \dfrac{\Sigma F}{a}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $\dfrac{\text{N}}{\text{m/s}^2}$$= \dfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}^2}{\text{m/s}^2}$

   $= \text{kg}$

   Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{45\,\text{N}}{3{,}0\,\text{m/s}^2}$

   $= 15\,\text{kg}$

   Vastaus

   $15\,\text{kg}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtötiedoissa $45\,\text{N}$ ja $3{,}0\,\text{m/s}^2$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Tarkistetaan kertomalla: $15\,\text{kg}\cdot 3{,}0\,\text{m/s}^2 = 45\,\text{N}$. Tämä on annettu kokonaisvoima. Yksiköksi tulee kilogramma, kuten massalle kuuluu.

4. Tehtävä 5-4

   Laatikon massa on $12\,\text{kg}$. Laatikkoa vedetään vaakasuoralla lattialla vaakasuoraan $38\,\text{N}$:n voimalla. Lattian kitkavoima laatikkoon on $20\,\text{N}$. Piirrä laatikon voimakuvio. Kuinka suuri on laatikon kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 12\,\text{kg}$, vetävä voima $F = 38\,\text{N}$ vaakasuoraan, kitkavoima $F_\mu = 20\,\text{N}$

   Kysytty

   laatikon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyyden määrää kokonaisvoima, ei vetävä voima yksin. Pystysuunnassa laatikko ei kiihdy. Siksi pystysuorat voimat kumoavat toisensa ja kokonaisvoima on vaakasuora.

   Voimakuvio

   Laatikko piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on vedon suunta. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät. Vetävä voima $\overline{F}$ osoittaa eteenpäin. Lattian kitkavoima $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan takakulmasta taaksepäin, ja se on lyhyempi kuin vetävä voima.

   Kaava

   Vaakasuunnassa $F - F_\mu = ma$, joten $a = \dfrac{F - F_\mu}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{38\,\text{N} - 20\,\text{N}}{12\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{18\,\text{N}}{12\,\text{kg}}$

   $= 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Vedon suuntaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtötiedoissa on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $38\,\text{N} : 12\,\text{kg} \approx 3{,}2\,\text{m/s}^2$. Kitka vie yli puolet vetävästä voimasta. Siksi kiihtyvyys on alle puolet siitä, kuten pitääkin.

5. Tehtävä 5-5

   Rakennustyömaalla nostetaan $8{,}0\,\text{kg}$:n ämpäriä köydellä suoraan ylöspäin tasaisella nopeudella. Piirrä ämpärin voimakuvio. Kuinka suuri on köyden jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $78\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 8{,}0\,\text{kg}$, ämpäri nousee tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on silloin nolla, vaikka ämpäri liikkuu.

   Voimakuvio

   Ämpäri piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ lähtee yläpinnasta ylös ja paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas. Nuolet ovat yhtä pitkät. Nopeutta ei piirretä voimaksi.

   Kaava

   $T - mg = 0$, joten $T = mg$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 8{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 78{,}48\,\text{N}$

   Vastaus

   $78\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa $8{,}0\,\text{kg}$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Yhden kilogramman paino on noin $10\,\text{N}$, joten kahdeksan kilon ämpärin paino on noin $80\,\text{N}$. Köysi kannattelee koko painon, ei enempää. Tasaisella nopeudella ylös liikkuminen ei vaadi kokonaisvoimaa.

6. Tehtävä 5-6

   Hissi nousee ylöspäin ja hidastuu, kunnes se pysähtyy. Positiivinen suunta on ylös. Mikä väite hissiin vaikuttavasta kokonaisvoimasta $\Sigma\overline{F}$ on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kokonaisvoima osoittaa ylös, koska köyden voima on aina painoa suurempi hissin noustessa.
   • Kokonaisvoima osoittaa ylös, koska hissi liikkuu ylöspäin ja nopeus määrää voiman suunnan.
   • Kokonaisvoima osoittaa alas, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa alaspäin.
   • Kokonaisvoima on nolla, koska hissin liikkeen suunta pysyy koko ajan samana ylöspäin.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kokonaisvoima osoittaa alas, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa alaspäin.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mihin suuntaan hissiin vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma\overline{F}$ osoittaa, kun hissi nousee ja hidastuu

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$. Kokonaisvoima osoittaa siis aina kiihtyvyyden suuntaan. Kiihtyvyyden suunta on nopeuden muutoksen suunta: kun nopeus pienenee, kiihtyvyys osoittaa nopeutta vastaan.

   Mallivastaus

   Oikea väite on se, jonka mukaan kokonaisvoima osoittaa alas, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa alas. Hissi liikkuu yhä ylöspäin, mutta sen nopeus pienenee. Siksi kiihtyvyys ja kokonaisvoima osoittavat alas. Köyden voima on silloin pienempi kuin paino. Väite, jonka mukaan nopeuden suunta ratkaisee kokonaisvoiman suunnan, sekoittaa nopeuden ja kiihtyvyyden. Väite nollasta kokonaisvoimasta pätisi vain tasaisessa nousussa. Väite, jonka mukaan köyden voima on aina painoa suurempi, pätee vain nousun alussa.

7. Tehtävä 5-7

   Jääkiekkokiekon massa on $170\,\text{g}$. Mailan isku antaa kiekolle vaakasuoran kiihtyvyyden $400\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri kokonaisvoima kiekkoon vaikuttaa iskun aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $68\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 170\,\text{g}$, $a = 400\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyys syntyy kokonaisvoimasta: $\Sigma F = ma$. Kiekon kiihtyvyys ja massa tiedetään. Kokonaisvoima saadaan, kun massa on ensin kilogrammoina.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$

   Muunnokset

   $170\,\text{g}$$= 170 : 1000\,\text{kg}$

   $= 0{,}17\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 0{,}17\,\text{kg}\cdot 400\,\text{m/s}^2$

   $= 68\,\text{N}$

   Vastaus

   $68\,\text{N}$

   Liikkeen suuntaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa $170\,\text{g}$ on kaksi merkitsevää numeroa.

   Järkevyys

   Kiekon paino on $0{,}17\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}7\,\text{N}$. Isku on noin $40$ kertaa painon suuruinen, koska kiihtyvyys on noin $40$ kertaa putoamiskiihtyvyys: $400 : 9{,}81 \approx 41$. Pieni kiekko tarvitsee suuren voiman, koska kiihtyvyys on suuri.

8. Tehtävä 5-8

   Moottorikelkkaan vaikuttaa vaakasuora kokonaisvoima $0{,}60\,\text{kN}$, ja sen kiihtyvyys on $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Mikä on moottorikelkan massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\cdot 10^{2}\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\Sigma F = 0{,}60\,\text{kN}$, $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   massa $m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Newtonin toinen laki $\Sigma F = ma$ yhdistää kokonaisvoiman, massan ja kiihtyvyyden. Kun kaksi niistä tunnetaan, kolmannen saa ratkaisemalla sen laista.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$, joten $m = \dfrac{\Sigma F}{a}$

   Muunnokset

   $0{,}60\,\text{kN}$$= 0{,}60 \cdot 1000\,\text{N}$

   $= 600\,\text{N}$

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{600\,\text{N}}{1{,}5\,\text{m/s}^2}$

   $= 400\,\text{kg}$

   Vastaus

   $4{,}0\cdot 10^{2}\,\text{kg}$

   Eli $400\,\text{kg}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtötiedoissa on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Tarkistetaan kertomalla: $400\,\text{kg}\cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2 = 600\,\text{N}$. Moottorikelkan massa on todellisuudessa muutama sata kilogrammaa.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-9Ydintehtävä

   Henkilöauton massa on $1200\,\text{kg}$. Auto kiihtyy vaakasuoralla tiellä levosta nopeuteen $90\,\text{km/h}$ tasaisesti $10\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on autoon vaikuttava kokonaisvoima kiihdytyksen aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $3000\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1200\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 0$, loppunopeus $v = 90\,\text{km/h}$, aika $\Delta t = 10\,\text{s}$, tasainen kiihtyminen

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Auton nopeus kasvaa tasaisesti, joten kiihtyvyys on vakio. Kiihtyvyys saadaan nopeuden muutoksesta. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on massa kertaa kiihtyvyys.

   Kaava

   $a = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$ ja $\Sigma F = ma$, joten

   $\Sigma F$$= \dfrac{m(v - v_0)}{\Delta t}$

   Muunnokset

   $90\,\text{km/h}$$= 90 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 25\,\text{m/s}$

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= \dfrac{1200\,\text{kg}\cdot(25\,\text{m/s} - 0)}{10\,\text{s}}$

   $= 1200\,\text{kg}\cdot 2{,}5\,\text{m/s}^2$

   $= 3000\,\text{N}$

   Vastaus

   $3000\,\text{N}$

   Eli $3{,}0\,\text{kN}$ liikkeen suuntaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ajassa $10\,\text{s}$ ja nopeudessa $90\,\text{km/h}$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Kiihtyvyys $2{,}5\,\text{m/s}^2$ on tavallisen henkilöauton reipas kiihdytys. Kokonaisvoima on noin neljäsosa auton painosta $1200\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 12\,\text{kN}$. Samoin kiihtyvyys on noin neljäsosa putoamiskiihtyvyydestä.

2. Tehtävä 5-10Ydintehtävä

   Hissikorin massa matkustajineen on $900\,\text{kg}$. Hissi lähtee liikkeelle alaspäin kiihtyvyydellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on kannatinköyden jännitysvoima kiihdytyksen aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $7500\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 900\,\text{kg}$, kiihtyvyys alaspäin $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kannatinköyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Hissi kiihtyy alaspäin. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa silloin alas ja on $ma$. Paino on siis suurempi kuin köyden voima.

   Voimakuvio

   Hissikori matkustajineen piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on alas, kiihtyvyyden suuntaan. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ lähtee yläpinnasta ylös, ja se on lyhyempi kuin paino. Kiihtyvyys merkitään erikseen, ei voimaksi.

   Kaava

   $mg - T = ma$, joten $T = m(g - a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 900\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1{,}5\,\text{m/s}^2)$

   $= 900\,\text{kg}\cdot 8{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 7479\,\text{N}$

   Vastaus

   $7500\,\text{N}$

   Eli $7{,}5\,\text{kN}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kiihtyvyydessä $1{,}5\,\text{m/s}^2$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Hissin paino on $900\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 8{,}8\,\text{kN}$. Köyden voima on $ma = 1{,}35\,\text{kN}$ pienempi kuin paino, jotta kokonaisvoima osoittaa alas. Kun hissi lähtee alas, matkustaja tuntee itsensä hetken kevyemmäksi.

3. Tehtävä 5-11

   Nosturi laskee $120\,\text{kg}$:n kuormaa alaspäin nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$. Juuri ennen maata kuorma hidastuu tasaisesti ja pysähtyy $2{,}0\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on köyden jännitysvoima hidastumisen aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $1300\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 120\,\text{kg}$, nopeus alaspäin $v_0 = 2{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 0$, aika $\Delta t = 2{,}0\,\text{s}$, tasainen hidastuminen; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kuorma liikkuu alas mutta hidastuu, joten kiihtyvyys osoittaa ylös. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan eli ylös. Köyden voima on siis suurempi kuin paino.

   Voimakuvio

   Kuorma piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ lähtee yläpinnasta ylös, ja se on pidempi kuin paino. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Nopeus alas ja kiihtyvyys ylös merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   Kiihtyvyyden suuruus on $a = \dfrac{|v - v_0|}{\Delta t}$ ylöspäin, ja $T - mg = ma$, joten $T = m(g + a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{2{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{s}}$

   $= 1{,}0\,\text{m/s}^2$

   $T$$= 120\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}0\,\text{m/s}^2)$

   $= 120\,\text{kg}\cdot 10{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 1297{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $1300\,\text{N}$

   Eli $1{,}3\,\text{kN}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeudessa $2{,}0\,\text{m/s}$ ja ajassa $2{,}0\,\text{s}$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Kuorman paino on $120\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}18\,\text{kN}$. Köyden voima on $ma = 120\,\text{N}$ suurempi kuin paino, jotta kokonaisvoima osoittaa ylös ja pysäyttää alas liikkuvan kuorman. Jos köysi kannattelisi vain painon, kuorma jatkaisi alas tasaisella nopeudella.

4. Tehtävä 5-12

   Kaksi lasta vetää $30\,\text{kg}$:n kärryä vaakasuoralla pihalla vaakasuorilla naruilla vastakkaisiin suuntiin. Toinen vetää $60\,\text{N}$:n voimalla ja toinen $45\,\text{N}$:n voimalla. Kitka jätetään huomiotta. Kuinka suuri on kärryn kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 30\,\text{kg}$, voimat $F_\text{a} = 60\,\text{N}$ ja $F_\text{b} = 45\,\text{N}$ vaakasuoraan vastakkaisiin suuntiin, ei kitkaa

   Kysytty

   kärryn kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kiihtyvyyden määrää kokonaisvoima. Vastakkaisiin suuntiin osoittavat voimat vähennetään toisistaan. Pystysuunnassa paino ja maan tukivoima kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Kärry piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on suuremman vedon suunta. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät. Narun voima $\overline{F}_\text{a}$ lähtee toisesta kyljestä eteenpäin. Narun voima $\overline{F}_\text{b}$ lähtee toisesta kyljestä taaksepäin, ja se on lyhyempi.

   Kaava

   $F_\text{a} - F_\text{b} = ma$, joten

   $a$$= \dfrac{F_\text{a} - F_\text{b}}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{60\,\text{N} - 45\,\text{N}}{30\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{15\,\text{N}}{30\,\text{kg}}$

   $= 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Suuremman vedon suuntaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtötiedoissa on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Kärry kiihtyy voimakkaamman vetäjän suuntaan, kuten köydenvedossa. Jos kumpikin vetäisi $60\,\text{N}$:n voimalla, kokonaisvoima ja kiihtyvyys olisivat nolla. Kokonaisvoima $15\,\text{N}$ on paljon pienempi kuin kumpikaan veto, joten kiihtyvyys on pieni.

5. Tehtävä 5-13

   Ilmatyynyradalla kärryä veti vaakasuora vakiovoima. Voiman suuruutta muutettiin. Kärryn massa pysyi samana. Kitka oli niin pieni, että sen voi jättää huomiotta. Jokaisella voimalla $F$ mitattiin kärryn kiihtyvyys $a$. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   Piirrä mittauspisteistä $(F, a)$-kuvaaja. Sovita pisteisiin suora origon kautta. Määritä suoran kulmakerroin ja laske sen avulla kärryn massa. Kirjoita vastauslaatikkoon kärryn massa.

   Kärryn kiihtyvyys eri vetovoimilla (esimerkkiaineisto)

   $F\,(\text{N})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   0,20	0,41
   0,40	0,78
   0,60	1,22
   0,80	1,58
   1,00	2,03

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon pisteet $(F, a)$, esimerkiksi $F = 1{,}00\,\text{N}$ ja $a = 2{,}03\,\text{m/s}^2$; massa on vakio, kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   kärryn massa $m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Kitka on pieni, joten vetovoima on kokonaisvoima. Newtonin toisen lain mukaan $a = \dfrac{1}{m}F$. Kiihtyvyys on verrannollinen voimaan. Siksi kuvaajan suora kulkee origon kautta (ei voimaa, ei kiihtyvyyttä), ja sen kulmakerroin on $\dfrac{1}{m}$.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet piirretään $(F, a)$-koordinaatistoon. Pisteiden väliin sovitetaan suora origon kautta. Suoralta luetaan piste $F = 1{,}00\,\text{N}$, $a = 2{,}01\,\text{m/s}^2$. Kulmakerroin lasketaan origon ja tämän pisteen avulla, ei kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä.

   Kaava

   $k = \dfrac{a}{F} = \dfrac{1}{m}$, joten $m = \dfrac{1}{k}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{N}}$$= \dfrac{1}{\text{kg}}$

   Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{2{,}01\,\text{m/s}^2 - 0\,\text{m/s}^2}{1{,}00\,\text{N} - 0\,\text{N}}$

   $= 2{,}01\,\tfrac{1}{\text{kg}}$

   $m$$= \dfrac{1}{2{,}01\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 0{,}4975\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{kg}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin luetaan kuvaajasta noin kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Mittauspisteissä $a : F$ on $0{,}41 : 0{,}20 \approx 2{,}05\,\tfrac{1}{\text{kg}}$ ja $2{,}03 : 1{,}00 = 2{,}03\,\tfrac{1}{\text{kg}}$. Kaikki suhteet ovat siis lähellä arvoa $2{,}0\,\tfrac{1}{\text{kg}}$. Massa $0{,}5\,\text{kg}$ sopii pienelle ilmatyynykärrylle. Pisteet eivät ole täsmälleen suoralla, koska mittauksessa on satunnaista vaihtelua.

6. Tehtävä 5-14

   Kärryä vedettiin vaakasuoralla radalla joka kerta samalla vaakasuoralla voimalla. Kärryn massaa $m$ muutettiin lisäämällä siihen punnuksia. Jokaisella massalla mitattiin kiihtyvyys $a$. Kitka oli pieni, ja se jätetään huomiotta. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Laske jokaiselle massalle käänteisluku $1/m$ ja piirrä $(1/m, a)$-kuvaaja. Sovita pisteisiin suora origon kautta ja määritä sen kulmakerroin. Mitä kulmakerroin kertoo?

   b) Mitkä suureet piti pitää vakioina, jotta mittaus on oikeudenmukainen? Kirjoita vastauslaatikkoon vetävän voiman suuruus.

   Kärryn kiihtyvyys eri massoilla (esimerkkiaineisto)

   $m\,(\text{kg})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   0,20	6,1
   0,30	3,9
   0,40	3,1
   0,50	2,4
   0,60	2,0

   NTarkista
   Vastaus

   $1{,}2\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vetovoima on vakio, taulukon pisteet $(m, a)$, esimerkiksi $m = 0{,}20\,\text{kg}$ ja $a = 6{,}1\,\text{m/s}^2$; kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   vetävän voiman suuruus $F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Vakiovoimalla $a = F \cdot \dfrac{1}{m}$. Kiihtyvyys on siis verrannollinen massan käänteislukuun $\dfrac{1}{m}$. Käänteisluvun avulla käyrä $(m, a)$ muuttuu suoraksi, ja suoran kulmakerroin on voima $F$. Suora kulkee origon kautta, koska hyvin suurella massalla kiihtyvyys olisi lähes nolla. Kulmakerroin ja suora ovat järkeviä vain, jos vain massa muuttuu: vetävä voima, alusta ja kitka pitää pitää samoina.

   Kuvaajan lukeminen

   Käänteisluvut ovat $5{,}0$, $3{,}3$, $2{,}5$, $2{,}0$ ja $1{,}7\,\tfrac{1}{\text{kg}}$. Pisteet $(1/m, a)$ ovat suoralla. Suoralta luetaan pisteet $(0, 0)$ ja $(5{,}0\,\tfrac{1}{\text{kg}}, 6{,}0\,\text{m/s}^2)$.

   Kaava

   $a = F \cdot \dfrac{1}{m}$, joten kulmakerroin $k = \dfrac{\Delta a}{\Delta(1/m)} = F$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $\text{kg}\cdot\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$= \text{N}$

   Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $F$$= k$

   $= \dfrac{6{,}0\,\text{m/s}^2 - 0\,\text{m/s}^2}{5{,}0\,\tfrac{1}{\text{kg}} - 0\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 1{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   a) kulmakerroin on vetävä voima $F$; b) vakioina pidettiin vetävä voima, rata ja kitka. Vain massa muuttui. Voiman suuruus on $1{,}2\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kiihtyvyydet on luettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Jokaisessa pisteessä $ma$ on lähellä samaa arvoa: $0{,}20\,\text{kg} \cdot 6{,}1\,\text{m/s}^2 = 1{,}22\,\text{N}$ ja $0{,}50\,\text{kg} \cdot 2{,}4\,\text{m/s}^2 = 1{,}20\,\text{N}$. Jos massa kaksinkertaistuu, kiihtyvyys puolittuu: $0{,}30\,\text{kg}$ antaa $3{,}9\,\text{m/s}^2$ ja $0{,}60\,\text{kg}$ antaa $2{,}0\,\text{m/s}^2$.

7. Tehtävä 5-15

   Nosturi laskee betonielementin laiturille. Elementin massa on $820\,\text{kg}$. Elementti liikkuu alaspäin ja hidastuu tasaisesti. Sen kiihtyvyyden suuruus on $1{,}20\,\text{m/s}^2$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Opiskelija laski köyden jännitysvoiman näin: ”Elementti liikkuu alaspäin, joten kiihtyvyys osoittaa alas. Siis $mg - T = ma$, josta $T = m(g - a) = 820\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1{,}20\,\text{m/s}^2) = 7{,}06\,\text{kN}$.”

   Mikä on opiskelijan ratkaisun virhe? Laske oikea köyden jännitysvoima. Kirjoita vastauslaatikkoon köyden jännitysvoiman suuruus.

   NTarkista
   Vastaus

   $9030\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 820\,\text{kg}$, kiihtyvyyden suuruus $a = 1{,}20\,\text{m/s}^2$, elementti liikkuu alas ja hidastuu; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$ ja opiskelijan ratkaisun virhe

   Periaate

   Newtonin toisen lain $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$ mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan, ei nopeuden suuntaan. Elementti liikkuu alas mutta hidastuu. Sen nopeus pienenee, joten kiihtyvyys osoittaa ylös. Opiskelija valitsi kiihtyvyyden suunnaksi liikkeen suunnan eli alas. Köyden täytyy vetää ylöspäin painoa enemmän, jotta kokonaisvoima osoittaa ylös.

   Voimakuvio

   Betonielementti piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ lähtee yläpinnasta ylös ja paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas. Nuoli $\overline{T}$ on pidempi kuin $\overline{G}$. Nopeus osoittaa alas ja kiihtyvyys ylös.

   Kaava

   $T - mg = ma$, joten $T = m(g + a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 820\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}20\,\text{m/s}^2)$

   $= 820\,\text{kg}\cdot 11{,}01\,\text{m/s}^2$

   $= 9028{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $9030\,\text{N}$

   Eli $9{,}03\,\text{kN}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska kiihtyvyydessä $1{,}20\,\text{m/s}^2$ on kolme numeroa. Opiskelijan virhe oli ottaa kiihtyvyyden suunnaksi liikkeen suunta alas. Kiihtyvyys osoittaa ylös, koska elementti hidastuu.

   Järkevyys

   Paino on $820\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 8044{,}2\,\text{N}$. Hidastavaan kiihtyvyyteen tarvitaan lisäksi $820\,\text{kg}\cdot 1{,}20\,\text{m/s}^2 = 984\,\text{N}$. Summa on $9028{,}2\,\text{N}$. Opiskelijan tulos $7{,}06\,\text{kN}$ olisi painoa pienempi. Silloin elementti kiihtyisi alas eikä hidastuisi.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 5-16

   Opiskelijan massa on $60{,}0\,\text{kg}$, ja hän seisoo hississä henkilövaa'an päällä. Vaaka mittaa voiman, jolla se tukee opiskelijaa. Vaaka näyttää voiman kilogrammoina eli jakaa voiman luvulla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kun hissi lähtee liikkeelle, vaaka näyttää hetken $54{,}0\,\text{kg}$.

   Kuinka suuri on hissin kiihtyvyys, ja mihin suuntaan se osoittaa?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}98\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   opiskelijan massa $m = 60{,}0\,\text{kg}$, vaa'an lukema $54{,}0\,\text{kg}$ eli vaa'an tukivoima $N = 54{,}0\,\text{kg}\cdot g$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hissin (ja opiskelijan) kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja sen suunta

   Periaate

   Vaaka ei mittaa massaa vaan tukivoimaa, jolla se työntää opiskelijaa. Opiskelija kiihtyy hissin mukana. Newtonin toisen lain mukaan tukivoiman ja painon erotus on siksi $ma$.

   Voimakuvio

   Opiskelija piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja vaa'an tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Lukema on pienempi kuin massa, joten $\overline{N}$ on lyhyempi kuin $\overline{G}$. Siksi kokonaisvoima osoittaa alas.

   Kaava

   $N - mg = ma$, joten $a = \dfrac{N - mg}{m}$

   Muunnokset

   Vaa'an lukema muunnetaan voimaksi:

   $N$$= 54{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 529{,}74\,\text{N}$

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{529{,}74\,\text{N} - 60{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{60{,}0\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{529{,}74\,\text{N} - 588{,}6\,\text{N}}{60{,}0\,\text{kg}}$

   $= -0{,}981\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $0{,}98\,\text{m/s}^2$

   Alaspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lukemien erotus $6{,}0\,\text{kg}$ on annettu kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Vaaka näyttää kymmenen prosenttia liian vähän. Siksi kiihtyvyys on kymmenesosa putoamiskiihtyvyydestä, $0{,}1\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Miinusmerkki tarkoittaa kiihtyvyyttä alas: hissi lähtee liikkeelle alaspäin. Sama lukema näkyisi myös, jos ylöspäin liikkuva hissi hidastuisi.

2. Tehtävä 5-17

   Tyhjän puutavara-auton massa on $10\,\text{t}$. Se kiihtyy levosta nopeuteen $36\,\text{km/h}$ tasaisesti $8{,}0\,\text{s}$:ssa. Täyteen lastattuna auton massa on $25\,\text{t}$. Oletetaan, että kokonaisvoima on kiihdytyksen aikana sama kuin tyhjällä autolla.

   Kuinka kauan lastatulta autolta kestää kiihtyä levosta nopeuteen $36\,\text{km/h}$?

   sTarkista
   Vastaus

   $20\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tyhjän auton massa $m_1 = 10\,\text{t}$, lastatun auton massa $m_2 = 25\,\text{t}$, nopeuden muutos $\Delta v = 36\,\text{km/h}$, tyhjän auton aika $\Delta t_1 = 8{,}0\,\text{s}$, sama kokonaisvoima

   Kysytty

   lastatun auton kiihdytysaika $\Delta t_2$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Tyhjän auton kiihdytyksestä saadaan kokonaisvoima Newtonin toisella lailla. Sama kokonaisvoima antaa suuremmalle massalle pienemmän kiihtyvyyden. Pienemmällä kiihtyvyydellä sama nopeuden muutos vie pidemmän ajan.

   Kaava

   $\Sigma F$$= m_1 \dfrac{\Delta v}{\Delta t_1}$

   $\Sigma F$$= m_2 \dfrac{\Delta v}{\Delta t_2}$

   joten

   $\Delta t_2$$= \dfrac{m_2 \Delta v}{\Sigma F}$

   Muunnokset

   $36\,\text{km/h}$$= 36 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 10\,\text{m/s}$

   $10\,\text{t} = 10\,000\,\text{kg}$ ja $25\,\text{t} = 25\,000\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 10\,000\,\text{kg}\cdot\dfrac{10\,\text{m/s}}{8{,}0\,\text{s}}$

   $= 12\,500\,\text{N}$

   $\Delta t_2$$= \dfrac{25\,000\,\text{kg}\cdot 10\,\text{m/s}}{12\,500\,\text{N}}$

   $= 20\,\text{s}$

   Vastaus

   $20\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ajassa $8{,}0\,\text{s}$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Massa kasvaa $2{,}5$-kertaiseksi. Siksi kiihtyvyys pienenee $2{,}5$-kertaisesti ja aika pitenee $2{,}5$-kertaiseksi: $2{,}5\cdot 8{,}0\,\text{s} = 20\,\text{s}$. Tämä selittää, miksi lastattu auto jää liikennevaloista jälkeen.

3. Tehtävä 5-18

   Lapsi liukuu pulkalla vaakasuoralla lumella. Pulkan ja lapsen yhteismassa on $30\,\text{kg}$, ja nopeus on aluksi $4{,}0\,\text{m/s}$. Kukaan ei vedä eikä työnnä pulkkaa. Lumen kitkavoima on $18\,\text{N}$, eikä ilmanvastusta oteta huomioon.

   Kuinka kauan kestää, ennen kuin pulkka pysähtyy?

   sTarkista
   Vastaus

   $6{,}7\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 30\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 4{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 0$, kitkavoima $F_\mu = 18\,\text{N}$

   Kysytty

   aika $\Delta t$ yksikössä $\text{s}$, jonka kuluttua pulkka pysähtyy

   Periaate

   Pulkkaa ei vedetä eikä työnnetä. Ainoa vaakasuora voima on kitka, joka osoittaa liikettä vastaan. Kitka on vakio, joten Newtonin toisen lain mukaan hidastuvuus on vakio. Pysähtymisaika saadaan nopeuden muutoksesta.

   Voimakuvio

   Pulkka ja lapsi piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on liikkeen suunta. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja lumen tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät. Lumen kitkavoima $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan takakulmasta taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole.

   Kaava

   $-F_\mu = ma$ ja $a = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$, joten $\Delta t = \dfrac{m(v_0 - v)}{F_\mu}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta t$$= \dfrac{30\,\text{kg}\cdot(4{,}0\,\text{m/s} - 0)}{18\,\text{N}}$

   $= \dfrac{120\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{18\,\text{N}}$

   $= 6{,}67\,\text{s}$

   Vastaus

   $6{,}7\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtötiedoissa $4{,}0\,\text{m/s}$, $18\,\text{N}$ ja $30\,\text{kg}$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Hidastuvuus on $18\,\text{N} : 30\,\text{kg} = 0{,}60\,\text{m/s}^2$. Nopeus pienenee joka sekunti $0{,}6\,\text{m/s}$, ja $4{,}0\,\text{m/s}$ kuluu noin seitsemässä sekunnissa. Pulkka liikkuu koko ajan eteenpäin, vaikka kokonaisvoima osoittaa taaksepäin. Pulkka vain hidastuu.

4. Tehtävä 5-19

   Opiskelijat tutkivat, miten pöytää pitkin vedetyn kärryn kiihtyvyys $a$ riippuu vaakasuorasta vetovoimasta $F$. Kärryn massa pysyi samana. Liikkuvaan kärryyn vaikuttaa alustan kitkavoima, joka on aina yhtä suuri. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Piirrä mittauspisteistä $(F, a)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Perustele, miksi suora ei kulje origon kautta.

   b) Määritä suoran kulmakertoimesta kärryn massa.

   c) Määritä kitkavoiman suuruus kohdasta, jossa suora leikkaa $F$-akselin. Kirjoita vastauslaatikkoon kitkavoiman suuruus.

   Kärryn kiihtyvyys eri vetovoimilla (esimerkkiaineisto)

   $F\,(\text{N})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   2,0	0,40
   3,0	0,91
   4,0	1,42
   5,0	1,88
   6,0	2,41

   NTarkista
   Vastaus

   $1{,}2\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon pisteet $(F, a)$ väliltä $F = 2{,}0 \ldots 6{,}0\,\text{N}$; massa on vakio, kitkavoima on vakio

   Kysytty

   kitkavoiman suuruus $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$ (lisäksi kärryn massa $m$)

   Periaate

   Liikkuvaan kärryyn vaikuttaa vetovoima liikkeen suuntaan ja kitka sitä vastaan. Newtonin toisen lain mukaan $F - F_\mu = ma$ eli $a = \dfrac{1}{m}F - \dfrac{F_\mu}{m}$. Kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $\dfrac{1}{m}$. Suora ei kulje origon kautta, koska osa vetovoimasta menee kitkan voittamiseen. Kiihtyvyys on nolla, kun $F = F_\mu$. Siksi suora leikkaa $F$-akselin kitkavoiman kohdalla.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteiden väliin sovitetaan suora. Suoralta luetaan kaksi pistettä kaukana toisistaan: $(2{,}0\,\text{N}, 0{,}41\,\text{m/s}^2)$ ja $(6{,}0\,\text{N}, 2{,}40\,\text{m/s}^2)$. Kulmakerroin lasketaan niistä. Leikkauskohta $F$-akselilla saadaan ensimmäisestä pisteestä ja kulmakertoimesta.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta a}{\Delta F}$

   $= \dfrac{1}{m}$

   joten $m = \dfrac{1}{k}$. Leikkauskohdassa $a = 0$, joten $F_\mu = F_1 - \dfrac{a_1}{k}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{2{,}40\,\text{m/s}^2 - 0{,}41\,\text{m/s}^2}{6{,}0\,\text{N} - 2{,}0\,\text{N}}$

   $= 0{,}4975\,\tfrac{1}{\text{kg}}$

   $m$$= \dfrac{1}{0{,}4975\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 2{,}01\,\text{kg}$

   $F_\mu$$= 2{,}0\,\text{N} - \dfrac{0{,}41\,\text{m/s}^2}{0{,}4975\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 1{,}18\,\text{N}$

   Vastaus

   $1{,}2\,\text{N}$

   ($1{,}18\,\text{N}$ ennen pyöristystä). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa. Kärryn massa on noin $2{,}0\,\text{kg}$. Pisteet eivät ole täsmälleen suoralla, koska mittauksessa on satunnaista vaihtelua. Tulos on siis arvio.

   Järkevyys

   Kun $F = 4{,}0\,\text{N}$, kokonaisvoima on

   $4{,}0\,\text{N} - 1{,}18\,\text{N}$$= 2{,}82\,\text{N}$

   $a$$= 2{,}82\,\text{N} : 2{,}01\,\text{kg}$

   $= 1{,}40\,\text{m/s}^2$

   Tämä vastaa taulukon arvoa $1{,}42\,\text{m/s}^2$. Kitka on pieni painoon $2{,}01\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 19{,}7\,\text{N}$ verrattuna, noin $6\,\%$ siitä. Se sopii sileälle alustalle.

5. Tehtävä 5-20

   Hississä seisoo henkilö, jonka massa on $70\,\text{kg}$. Hissi lähtee levosta ylöspäin ja liikkuu kolmessa vaiheessa. Vaiheiden 1 ja 2 kiihtyvyydet on mitattu kiihtyvyysanturilla (esimerkkiaineisto). Positiivinen suunta on ylös.

   Vaiheessa 3 hissi hidastuu tasaisesti ja pysähtyy hetkellä $t = 13{,}0\,\text{s}$.

   a) Laske hissin suurin nopeus.

   b) Laske hissin kiihtyvyys vaiheessa 3.

   c) Piirrä henkilön voimakuvio vaiheessa 3 ja laske lattian tukivoima henkilöön. Vertaa tukivoimaa henkilön painoon ja perustele, miksi tukivoima on eri suuri kuin paino. Kirjoita vastauslaatikkoon c)-kohdan tukivoima.

   Hissin kiihtyvyys vaiheissa 1 ja 2 (esimerkkiaineisto)

   Vaihe	$t_{\text{alku}}\,(\text{s})$	$t_{\text{loppu}}\,(\text{s})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   1	0,0	3,0	1,0
   2	3,0	9,0	0,0

   NTarkista
   Vastaus

   $630\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70\,\text{kg}$, vaihe 1: $0 \ldots 3{,}0\,\text{s}$, $a_1 = 1{,}0\,\text{m/s}^2$; vaihe 2: $3{,}0 \ldots 9{,}0\,\text{s}$, $a_2 = 0$; vaihe 3: $9{,}0 \ldots 13{,}0\,\text{s}$, tasainen hidastuminen pysähtymiseen; alkunopeus $0$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   suurin nopeus $v_{\max}$, kiihtyvyys $a_3$ ja lattian tukivoima $N$ vaiheessa 3

   Periaate

   Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeuden muutos on $\Delta v = a\Delta t$. Hissi kiihtyy vain vaiheessa 1. Siksi suurin nopeus on vaiheen 1 lopussa, ja se säilyy vaiheessa 2. Vaiheessa 3 hissi hidastuu pysähtymiseen. Henkilöön vaikuttavat Maa (paino) ja lattia (tukivoima). Newtonin toisen lain mukaan niiden summa on $ma$.

   Voimakuvio

   Henkilö piirretään suorakulmiona, ja positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Nuoli $\overline{N}$ on lyhyempi kuin $\overline{G}$, koska kiihtyvyys osoittaa alas. Nopeus osoittaa ylös.

   Kaava

   $v_{\max}$$= a_1\Delta t_1$

   $a_3$$= \dfrac{0 - v_{\max}}{\Delta t_3}$

   $N - mg = ma_3$, joten $N = m(g + a_3)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Vaiheen 3 kesto on

   $\Delta t_3$$= 13{,}0\,\text{s} - 9{,}0\,\text{s}$

   $= 4{,}0\,\text{s}$

   Sijoitus

   $v_{\max}$$= 1{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 3{,}0\,\text{s}$

   $= 3{,}0\,\text{m/s}$

   $a_3$$= \dfrac{0 - 3{,}0\,\text{m/s}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= -0{,}75\,\text{m/s}^2$

   Tukivoima on

   $N$$= 70\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 0{,}75\,\text{m/s}^2)$

   $= 70\,\text{kg}\cdot 9{,}06\,\text{m/s}^2$

   $= 634{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $630\,\text{N}$

   ($634\,\text{N}$ ennen pyöristystä). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa $70\,\text{kg}$ on kaksi numeroa. Suurin nopeus on $3{,}0\,\text{m/s}$ ja kiihtyvyys vaiheessa 3 on $0{,}75\,\text{m/s}^2$ alaspäin. Tukivoima on pienempi kuin paino $mg = 686{,}7\,\text{N}$, koska kokonaisvoima ja kiihtyvyys osoittavat alas.

   Järkevyys

   Hissi pysähtyy: $3{,}0\,\text{m/s} - 0{,}75\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}0\,\text{s} = 0$. Painon ja tukivoiman erotus on

   $686{,}7\,\text{N} - 634{,}2\,\text{N}$

   $= 52{,}5\,\text{N}$

   $= 70\,\text{kg}\cdot 0{,}75\,\text{m/s}^2$

   Voimat täsmäävät siis liikeyhtälön kanssa. Vaiheessa 1 tukivoima olisi vastaavasti painoa suurempi, $70\,\text{kg}\cdot 10{,}81\,\text{m/s}^2 = 756{,}7\,\text{N}$. Tasaisessa vaiheessa 2 se olisi yhtä suuri kuin paino.