Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-1Ydintehtävä

   Auto lähtee liikennevaloista levosta ja saavuttaa nopeuden $25\,\text{m/s}$ ajassa $8{,}0\,\text{s}$. Kiihtyvyys on tasainen. Mikä on auton kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $3{,}1\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_0 = 0$ (levosta), loppunopeus $v = 25\,\text{m/s}$, aika $\Delta t = 8{,}0\,\text{s}$; kiihtyvyys on tasainen

   Kysytty

   auton kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna siihen kuluneella ajalla. Kiihtyvyys on tasainen. Siksi nopeus kasvaa joka sekunti yhtä paljon, ja koko aikavälin keskiarvo on sama kuin kiihtyvyys joka hetki.

   Kaava

   $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, missä $\Delta v = v - v_0$. Siis $a = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$

   Muunnokset

   Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{25\,\text{m/s} - 0\,\text{m/s}}{8{,}0\,\text{s}}$

   $= 3{,}125\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $3{,}1\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $25\,\text{m/s}$ ja ajassa $8{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus kasvaa noin $3\,\text{m/s}$ joka sekunti. Laskun tarkistus: $8 \cdot 3\,\text{m/s} = 24\,\text{m/s}$, mikä on lähellä annettua $25\,\text{m/s}$. Nopeus $25\,\text{m/s} = 90\,\text{km/h}$ kahdeksassa sekunnissa on tavallisen henkilöauton reipas kiihdytys. Kiihtyvyys on positiivinen, koska nopeus kasvaa.

2. Tehtävä 2-2Ydintehtävä

   Pyöräilijä ajaa nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$ ja alkaa sitten jarruttaa. Jarrutuksen aikana kiihtyvyys on $-1{,}5\,\text{m/s}^2$. Mikä on pyöräilijän nopeus $3{,}0\,\text{s}$ jarrutuksen alkamisen jälkeen?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_0 = 6{,}0\,\text{m/s}$, kiihtyvyys $a = -1{,}5\,\text{m/s}^2$, aika $t = 3{,}0\,\text{s}$; liikkeen suunta on positiivinen

   Kysytty

   nopeus $v$ hetkellä $t = 3{,}0\,\text{s}$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Jarrutuksen kiihtyvyys on vakio, ja se osoittaa nopeuteen nähden vastakkaiseen suuntaan. Siksi nopeus pienenee joka sekunti $1{,}5\,\text{m/s}$. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeus on alkunopeus plus kiihtyvyyden ja ajan tulo.

   Kaava

   $v = v_0 + a\,t$. Kaava on jo ratkaistu nopeuden suhteen.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{m/s}^2 \cdot \text{s} = \text{m/s}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= 6{,}0\,\text{m/s} + (-1{,}5\,\text{m/s}^2) \cdot 3{,}0\,\text{s}$

   $= 6{,}0\,\text{m/s} - 4{,}5\,\text{m/s}$

   $= 1{,}5\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa. Laskun erotus tunnetaan kymmenysten tarkkuudella.

   Järkevyys

   Pyöräilijä pysähtyisi ajassa $6{,}0\,\text{m/s} : 1{,}5\,\text{m/s}^2 = 4{,}0\,\text{s}$, joten $3{,}0\,\text{s}$:n kohdalla hän liikkuu vielä hitaasti eteenpäin. Nopeus on positiivinen ja pienempi kuin alussa, kuten jarrutuksessa pitääkin.

3. Tehtävä 2-3

   Kivi pudotetaan levosta kaivoon. Ilmanvastus on pieni. Kuinka pitkän matkan kivi putoaa ajassa $1{,}50\,\text{s}$?

   mTarkista
   Vastaus

   $11{,}0\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_0 = 0$, aika $t = 1{,}50\,\text{s}$, putoamiskiihtyvyys taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus on pieni

   Kysytty

   putoamismatka $s$ metreinä

   Periaate

   Ilmanvastus on pieni, joten kivi putoaa vakiokiihtyvyydellä $g$. Valitaan alaspäin positiiviseksi suunnaksi. Kivi lähtee levosta. Siirtymä on siksi $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala $\tfrac{1}{2}\,g\,t^2$.

   Kaava

   $x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$, missä $x - x_0 = s$, $v_0 = 0$ ja $a = g$. Siis $s = \dfrac{g\,t^2}{2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{m/s}^2 \cdot \text{s}^2 = \text{m}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $s$$= \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (1{,}50\,\text{s})^2$

   $= \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 2{,}25\,\text{s}^2$

   $\approx 11{,}04\,\text{m}$

   Vastaus

   $11{,}0\,\text{m}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten ajassa $1{,}50\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Loppunopeus on $9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}50\,\text{s} \approx 14{,}7\,\text{m/s}$. Keskinopeus on siis noin $7{,}4\,\text{m/s}$, ja $7{,}4\,\text{m/s} \cdot 1{,}50\,\text{s} \approx 11\,\text{m}$. Ensimmäisessä sekunnissa kivi putoaa noin $5\,\text{m}$, joten puolessatoista sekunnissa reilut $10\,\text{m}$ on uskottavaa.

4. Tehtävä 2-4

   Kuvaaja esittää potkulaudan nopeuden ajan funktiona. Mikä on potkulaudan kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}0\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta nopeus $v_1 = 2{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $t_1 = 0$ ja $v_2 = 7{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $t_2 = 5{,}0\,\text{s}$; kuvaaja on suora

   Kysytty

   potkulaudan kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   $(t,v)$-kuvaaja on suora, joten kiihtyvyys on vakio. Kiihtyvyys on suoran kulmakerroin eli nopeuden muutos jaettuna ajan muutoksella.

   Kuvaajan lukeminen

   Suoran päätepisteet ovat ruudukon viivojen risteyksissä. Alkupiste on $(0$; $2{,}0\,\text{m/s})$ ja loppupiste on $(5{,}0\,\text{s}$; $7{,}0\,\text{m/s})$. Kaukana toisistaan olevat pisteet antavat tarkimman kulmakertoimen.

   Kaava

   $a$$= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

   $= \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina, joten tulos tulee yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{7{,}0\,\text{m/s} - 2{,}0\,\text{m/s}}{5{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 1{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $1{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luetuissa arvoissa.

   Järkevyys

   Kuvaajassa nopeus kasvaa jokaisella yhden sekunnin ruudulla yhden $\text{m/s}$-ruudun verran, joten kiihtyvyys $1\,\text{m/s}^2$ näkyy suoraan ruudukosta. Kiihtyvyys on positiivinen, koska suora nousee.

5. Tehtävä 2-5

   Juna lähtee asemalta levosta ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $0{,}40\,\text{m/s}^2$. Kuinka pitkän matkan juna kulkee ensimmäisen $30\,\text{s}$:n aikana?

   mTarkista
   Vastaus

   $180\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_0 = 0$, kiihtyvyys $a = 0{,}40\,\text{m/s}^2$, aika $t = 30\,\text{s}$

   Kysytty

   kuljettu matka $\Delta x$ metreinä

   Periaate

   Juna kiihtyy tasaisesti levosta, eikä se käänny. Matka on siis siirtymä $\Delta x = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$. Alkunopeuden termi on nolla.

   Kaava

   $x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$, joten $v_0 = 0$ antaa

   $\Delta x$$= x - x_0$

   $= \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{m/s}^2 \cdot \text{s}^2 = \text{m}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta x$$= \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}40\,\text{m/s}^2 \cdot (30\,\text{s})^2$

   $= \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}40\,\text{m/s}^2 \cdot 900\,\text{s}^2$

   $= 180\,\text{m}$

   Vastaus

   $180\,\text{m}$

   Eli $1{,}8 \cdot 10^2\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä $0{,}40\,\text{m/s}^2$ ja ajassa $30\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Loppunopeus on $0{,}40\,\text{m/s}^2 \cdot 30\,\text{s} = 12\,\text{m/s}$, joten keskinopeus on $6{,}0\,\text{m/s}$ ja $6{,}0\,\text{m/s} \cdot 30\,\text{s} = 180\,\text{m}$. Loppunopeus

   $12\,\text{m/s}$$= 12 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$

   $\approx 43\,\text{km/h}$

   on tavallinen vauhti, jolla juna lähtee asemalta, ja $180\,\text{m}$ on noin kaksi pikajuoksuradan pituutta ($100\,\text{m}$) eli suunnilleen asemalaiturin mittainen matka.

6. Tehtävä 2-6

   Auto ajaa itään ja jarruttaa tasaisesti, kunnes se pysähtyy. Mihin suuntaan auton kiihtyvyys osoittaa jarrutuksen aikana?

   Valitse vaihtoehto.

   • Ylöspäin, koska pysähtyvään autoon vaikuttaa painon vastavoima, joka osoittaa ylöspäin.
   • Länteen, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa nopeuden muutoksen suuntaan.
   • Itään, koska auto liikkuu itään ja kiihtyvyys osoittaa aina liikkeen suuntaan.
   • Ei mihinkään, koska auto hidastuu eikä nopeus kasva, joten kiihtyvyys on nolla.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Länteen, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa nopeuden muutoksen suuntaan.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mihin suuntaan itään ajavan ja jarruttavan auton kiihtyvyys osoittaa.

   Periaate

   Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla, $a = \Delta v : \Delta t$. Se osoittaa nopeuden muutoksen suuntaan. Jarrutuksessa nopeus pienenee. Loppunopeus on pienempi kuin alkunopeus, ja muutos $\Delta v = v_2 - v_1$ osoittaa vastakkaiseen suuntaan kuin liike. Kun liike on itään, kiihtyvyys osoittaa länteen. Suoralla tämä näkyy etumerkkinä: jos itä on positiivinen, kiihtyvyys on negatiivinen.

   Mallivastaus

   Kiihtyvyys osoittaa länteen, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa nopeuden muutoksen suuntaan. Se ei osoita liikkeen suuntaan, sillä silloin auto kiihtyisi. Se ei ole nolla, koska nopeus muuttuu. Sillä ei ole pystykomponenttia, koska nopeus muuttuu vain vaakasuunnassa.

7. Tehtävä 2-7

   Kuvaaja esittää potkulaudan nopeuden ajan funktiona hetkestä $0$ hetkeen $5{,}0\,\text{s}$. Potkulauta liikkuu koko ajan samaan suuntaan. Kuinka pitkän matkan potkulauta kulkee tänä aikana?

   mTarkista
   Vastaus

   $22{,}5\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta nopeus $v_1 = 2{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $t = 0$ ja $v_2 = 7{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $t = 5{,}0\,\text{s}$; kuvaaja on suora ja nopeus pysyy positiivisena

   Kysytty

   kuljettu matka $\Delta x$ metreinä

   Periaate

   Potkulauta liikkuu koko ajan samaan suuntaan. Siksi matka on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala. Kuvaajan alla on suorakulmio (korkeus $v_1$) ja sen päällä kolmio (korkeus $v_2 - v_1$). Yhdessä ne ovat puolisuunnikas.

   Kuvaajan lukeminen

   Suoran päätepisteet ovat ruudukon viivojen risteyksissä: alkupiste $(0$; $2{,}0\,\text{m/s})$ ja loppupiste $(5{,}0\,\text{s}$; $7{,}0\,\text{m/s})$.

   Kaava

   $\Delta x = v_1\,t + \tfrac{1}{2}\,(v_2 - v_1)\,t$, eli nopeuksien keskiarvo kertaa aika

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten tulos tulee metreinä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta x$$= 2{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot 5{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s}$

   $= 10\,\text{m} + 12{,}5\,\text{m}$

   $= 22{,}5\,\text{m}$

   Vastaus

   $22{,}5\,\text{m}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska luetut arvot ovat tarkasti ruudukon viivoilla.

   Järkevyys

   Keskinopeus on $(2{,}0\,\text{m/s} + 7{,}0\,\text{m/s}) : 2 = 4{,}5\,\text{m/s}$, ja $4{,}5\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} = 22{,}5\,\text{m}$. Matka on suurempi kuin alkunopeudella kuljettu $10\,\text{m}$ ja pienempi kuin loppunopeudella kuljettu $35\,\text{m}$. Näin pitää ollakin.

8. Tehtävä 2-8

   Oppilas ratkaisee tehtävän: kivi pudotetaan levosta kaivoon ja se putoaa pohjaan $2{,}0\,\text{s}$:ssa. Kuinka syvä kaivo on?

   Oppilaan ratkaisu: nopeus hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ on $v = g\,t = 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 2{,}0\,\text{s} \approx 19{,}6\,\text{m/s}$. Syvyys on $s = v\,t = 19{,}6\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s} \approx 39\,\text{m}$.

   Mikä oppilaan ratkaisussa on virheellistä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kiven nopeus kasvaa koko ajan, joten matkaa ei saa laskea loppunopeudella vaan keskinopeudella.
   • Putoamisaika pitää jakaa nopeudella, koska matka saadaan kaavalla $s = t : v$.
   • Putoamiskiihtyvyys pitää kertoa kiven massalla, koska raskas kivi putoaa nopeammin kuin kevyt.
   • Kiven kiihtyvyys ei ole vakio, joten nopeuden laskemiseen ei saa käyttää kaavaa $v = g\,t$.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kiven nopeus kasvaa koko ajan, joten matkaa ei saa laskea loppunopeudella vaan keskinopeudella.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä oppilaan ratkaisussa on virheellistä.

   Periaate

   Kivi putoaa vakiokiihtyvyydellä $g$. Nopeus $v = g\,t$ kasvaa tasaisesti nollasta arvoon $19{,}6\,\text{m/s}$. Matka $v\,t$ pätee vain, jos nopeus on koko ajan sama. Tässä nopeus muuttuu koko ajan. Matka on siis $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala eli keskinopeus kertaa aika.

   Mallivastaus

   Virhe on se, että matka laskettiin loppunopeudella, vaikka kiven nopeus kasvaa koko putoamisen ajan. Nopeuden lasku oli oikein. Oikea matka saadaan keskinopeudesta: $\tfrac{1}{2} \cdot 19{,}6\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s} \approx 20\,\text{m}$. Se on puolet oppilaan tuloksesta. Kaivon syvyys on siis noin $20\,\text{m}$. Massaa ei tarvita, koska putoamiskiihtyvyys on kaikille kappaleille sama, kun ilmanvastus on pieni.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-9Ydintehtävä

   Auto ajaa nopeudella $72\,\text{km/h}$ ja jarruttaa tasaisesti. Se pysähtyy ajassa $4{,}0\,\text{s}$. Kuinka pitkän matkan auto kulkee jarrutuksen aikana?

   mTarkista
   Vastaus

   $40\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_0 = 72\,\text{km/h}$, loppunopeus $v = 0$, jarrutusaika $t = 4{,}0\,\text{s}$; jarrutus on tasaista

   Kysytty

   jarrutusmatka $\Delta x$ metreinä

   Periaate

   Jarrutus on tasaista, joten kiihtyvyys on vakio. Kiihtyvyys saadaan nopeuden muutoksesta ja ajasta. Sen jälkeen matka saadaan paikan yhtälöstä. Auto ei käänny, joten matka on sama kuin siirtymä.

   Kaava

   $a = \dfrac{v - v_0}{t}$ ja $\Delta x = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$

   Muunnokset

   Nopeus muunnetaan sijoittamalla yksiköt:

   $72\,\text{km/h}$$= 72 \cdot \tfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 20\,\text{m/s}$

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0 - 20\,\text{m/s}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= -5{,}0\,\text{m/s}^2$

   $\Delta x$$= 20\,\text{m/s} \cdot 4{,}0\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot (-5{,}0\,\text{m/s}^2) \cdot (4{,}0\,\text{s})^2$

   $= 80\,\text{m} - 40\,\text{m}$

   $= 40\,\text{m}$

   Vastaus

   $40\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $72\,\text{km/h}$ ja ajassa $4{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus pienenee tasaisesti $20\,\text{m/s}$:sta nollaan, joten keskinopeus on $10\,\text{m/s}$ ja $10\,\text{m/s} \cdot 4{,}0\,\text{s} = 40\,\text{m}$, sama tulos. Kiihtyvyyden suuruus $5\,\text{m/s}^2$ on noin puolet $g$:stä, mikä on tavallinen voimakas jarrutus kuivalla tiellä.

2. Tehtävä 2-10Ydintehtävä

   Kuvaaja esittää levosta kiihtyvän kärryn paikan ajan funktiona. Käyrän pisteeseen $P$ hetkellä $4{,}0\,\text{s}$ on piirretty katkoviivana tangentti eli sivuava suora. Mikä on kärryn hetkellinen nopeus hetkellä $4{,}0\,\text{s}$?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta tangentin pisteet $(t_1$; $x_1) = (2{,}0\,\text{s}$; $0\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (6{,}0\,\text{s}$; $16\,\text{m})$; tangentti on piirretty kohtaan $t = 4{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   hetkellinen nopeus $v$ hetkellä $4{,}0\,\text{s}$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   $(t,x)$-kuvaaja on käyrä, koska nopeus muuttuu. Nopeus tietyllä hetkellä on käyrän tangentin kulmakerroin siinä kohdassa. Tangentti on suora, joka koskettaa käyrää. Kulmakerroin lasketaan tangentilta, ei käyrän pisteistä.

   Kuvaajan lukeminen

   Tangentti leikkaa aika-akselin kohdassa $t = 2{,}0\,\text{s}$, jossa $x = 0$, ja kulkee ruudukon risteyksen $(6{,}0\,\text{s}$; $16\,\text{m})$ kautta. Nämä pisteet ovat kaukana toisistaan ja luetaan tarkasti.

   Kaava

   $v$$= \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$

   $= \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten tulos tulee yksikössä $\text{m/s}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{16\,\text{m} - 0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}}$

   $= 4{,}0\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luetuissa arvoissa.

   Järkevyys

   Kuvaajassa kärry on hetkellä $4{,}0\,\text{s}$ paikassa $8{,}0\,\text{m}$. Sen keskinopeus lähdöstä on siis $2{,}0\,\text{m/s}$. Levosta tasaisesti kiihtyvän kappaleen loppunopeus on kaksinkertainen keskinopeuteen nähden eli $4{,}0\,\text{m/s}$. Se on sama kuin tangentista saatu tulos.

3. Tehtävä 2-11

   Pallo heitetään suoraan ylöspäin nopeudella $15{,}0\,\text{m/s}$. Ilmanvastus on pieni. Kuinka korkealle pallo nousee heittokohdasta?

   mTarkista
   Vastaus

   $11{,}5\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_0 = 15{,}0\,\text{m/s}$ ylöspäin, putoamiskiihtyvyys taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ alaspäin; ilmanvastus on pieni

   Kysytty

   nousukorkeus $h$ heittokohdasta metreinä

   Periaate

   Valitaan ylöspäin positiiviseksi suunnaksi. Silloin kiihtyvyys on $-g$ koko lennon ajan. Lakipisteessä nopeus on hetken nolla. Ensin ratkaistaan nousuaika ehdosta $v = 0$. Sitten ratkaistaan korkeus paikan yhtälöstä.

   Kaava

   $v = v_0 - g\,t = 0$, joten $t = \dfrac{v_0}{g}$, ja korkeus on $h = v_0\,t - \dfrac{g\,t^2}{2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{15{,}0\,\text{m/s}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 1{,}529\,\text{s}$

   $h$$= 15{,}0\,\text{m/s} \cdot 1{,}529\,\text{s} - \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (1{,}529\,\text{s})^2$

   $\approx 22{,}94\,\text{m} - 11{,}47\,\text{m}$

   $\approx 11{,}47\,\text{m}$

   Vastaus

   $11{,}5\,\text{m}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten alkunopeudessa $15{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Nousun aikana nopeus pienenee tasaisesti $15{,}0\,\text{m/s}$:sta nollaan, joten keskinopeus on $7{,}5\,\text{m/s}$ ja $7{,}5\,\text{m/s} \cdot 1{,}529\,\text{s} \approx 11{,}5\,\text{m}$. Noin kolmen kerroksen korkeus on uskottava kovalle heitolle.

4. Tehtävä 2-12

   Astronautti pudottaa Kuussa vasaran levosta $1{,}60\,\text{m}$:n korkeudelta. Vasara osuu pintaan $1{,}41\,\text{s}$:n kuluttua. Kuussa ei ole ilmakehää. Mikä on Kuun putoamiskiihtyvyys tämän mittauksen mukaan?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}61\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pudotuskorkeus $h = 1{,}60\,\text{m}$, putoamisaika $t = 1{,}41\,\text{s}$, alkunopeus $v_0 = 0$; Kuussa ei ole ilmanvastusta

   Kysytty

   Kuun putoamiskiihtyvyys $g_\text{K}$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Ilmanvastusta ei ole, joten vasara putoaa vakiokiihtyvyydellä. Se lähtee levosta. Pudotuskorkeus on siis $\tfrac{1}{2}\,g_\text{K}\,t^2$. Ratkaistaan tästä kiihtyvyys.

   Kaava

   $h = \tfrac{1}{2}\,g_\text{K}\,t^2$, joten $g_\text{K} = \dfrac{2h}{t^2}$

   Muunnokset

   Korkeus on metreinä ja aika sekunteina, joten tulos tulee yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $g_\text{K}$$= \dfrac{2 \cdot 1{,}60\,\text{m}}{(1{,}41\,\text{s})^2}$

   $= \dfrac{3{,}20\,\text{m}}{1{,}9881\,\text{s}^2}$

   $\approx 1{,}610\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $1{,}61\,\text{m/s}^2$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $1{,}60\,\text{m}$ ja ajassa $1{,}41\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Taulukkoarvo Kuun putoamiskiihtyvyydelle on $1{,}62\,\text{m/s}^2$, noin kuudesosa Maan arvosta, joten tulos on lähellä sitä. Maassa sama pudotus kestäisi vain

   $\sqrt{2 \cdot 1{,}60\,\text{m} : 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 0{,}57\,\text{s}$

   Kuussa hitaampi putoaminen vastaa pienempää kiihtyvyyttä.

5. Tehtävä 2-13

   Kaltevalla tasolla alas vierivän kärryn nopeus mitattiin videoanalyysillä ajan funktiona. Aineisto on esimerkkiaineisto.

   Piirrä mittauspisteistä $(t,v)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Laske kärryn kiihtyvyys suoran kulmakertoimesta. Anna vastaus yksikössä $\text{m/s}^2$.

   Kärryn nopeus, esimerkkiaineisto

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	0,21
   0,5	0,66
   1,0	1,02
   1,5	1,50
   2,0	1,86
   2,5	2,35
   3,0	2,71

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}84\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon $(t,v)$-pisteet, seitsemän mittausta väliltä $0 \ldots 3{,}0\,\text{s}$; kärry kiihtyy tasaisesti

   Kysytty

   kärryn kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kun kiihtyvyys on tasainen, $(t,v)$-kuvaaja on suora. Suoran kulmakerroin on kiihtyvyys, koska $v = v_0 + a\,t$. Mittauspisteet eivät ole täsmälleen suoralla. Siksi suora sovitetaan kaikkiin pisteisiin yhtä aikaa.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $(t,v)$ nousevat suunnilleen suoraa pitkin. Sovitetun suoran yhtälö on laskimella tai taulukkolaskennalla $v \approx 0{,}84\,\text{m/s}^2 \cdot t + 0{,}22\,\text{m/s}$.

   Kaava

   $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ eli sovitetun suoran kulmakerroin $k$

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina, joten kulmakerroin on yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Kulmakerroin saadaan suoran kahdesta pisteestä, jotka ovat kaukana toisistaan:

   $a$$= \dfrac{2{,}73\,\text{m/s} - 0{,}22\,\text{m/s}}{3{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $\approx 0{,}84\,\text{m/s}^2$

   Tarkistus aineiston päätepisteillä:

   $\dfrac{2{,}71\,\text{m/s} - 0{,}21\,\text{m/s}}{3{,}0\,\text{s}}$

   $\approx 0{,}83\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $0{,}84\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska mittausten nopeudet on annettu kahdella desimaalilla ja pisteet hajoavat hieman.

   Järkevyys

   Alkunopeus $0{,}22\,\text{m/s}$ on lähellä mitattua arvoa $0{,}21\,\text{m/s}$. Sovituksen arvo hetkellä $3{,}0\,\text{s}$ on

   $0{,}22\,\text{m/s} + 0{,}84\,\text{m/s}^2 \cdot 3{,}0\,\text{s}$

   $\approx 2{,}74\,\text{m/s}$

   lähellä mitattua arvoa $2{,}71\,\text{m/s}$. Kiihtyvyys on pieni verrattuna arvoon $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Näin pitääkin olla loivalla tasolla.

6. Tehtävä 2-14

   Kärry lähtee levosta kaltevalla radalla. Sen paikka $x$ lähtöpisteestä mitattiin ajan funktiona. Aineisto on esimerkkiaineisto.

   Paikka ei kasva suoraan ajan mukana, joten $(t,x)$-kuvaajaan ei voi sovittaa suoraa. Laske jokaiselle hetkelle $t^2$. Piirrä $(t^2,x)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Laske kärryn kiihtyvyys suoran kulmakertoimesta. Anna vastaus yksikössä $\text{m/s}^2$.

   Kärryn paikka, esimerkkiaineisto

   $t\,(\text{s})$	$x\,(\text{m})$
   0,0	0,00
   0,4	0,10
   0,8	0,37
   1,2	0,80
   1,6	1,46
   2,0	2,32

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}15\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon $(t,x)$-pisteet, kuusi mittausta väliltä $0 \ldots 2{,}0\,\text{s}$; kärry lähtee levosta paikasta $x_0 = 0$

   Kysytty

   kärryn kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kärry lähtee levosta ja kiihtyy tasaisesti, joten $x = \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$. Silloin $x$ on suoraan verrannollinen suureeseen $t^2$. Kun piirretään $(t^2,x)$-kuvaaja, pisteet ovat suoralla, jonka kulmakerroin on $k = \tfrac{1}{2}\,a$. Näin käyrän sovitus muuttuu suoran sovitukseksi.

   Kuvaajan lukeminen

   Lasketaan $t^2$ jokaiselle hetkelle: $0$, $0{,}16$, $0{,}64$, $1{,}44$, $2{,}56$ ja $4{,}00$ (yksikkö $\text{s}^2$). Pisteet $(t^2,x)$ sopivat suoralle. Sovitetun suoran kulmakerroin on $k \approx 0{,}577\,\text{m/s}^2$.

   Kaava

   $a = 2k$

   Muunnokset

   Kulmakerroin on yksikössä $\text{m} : \text{s}^2 = \text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= 2 \cdot 0{,}577\,\text{m/s}^2$

   $\approx 1{,}15\,\text{m/s}^2$

   Tarkistus päätepisteellä:

   $k$$\approx 2{,}32\,\text{m} : 4{,}00\,\text{s}^2$

   $= 0{,}58\,\text{m/s}^2$

   joten $a \approx 1{,}16\,\text{m/s}^2$.

   Vastaus

   $1{,}15\,\text{m/s}^2$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten sovitetussa kulmakertoimessa. Mittausten hajonta rajoittaa kuitenkin tarkkuuden noin kahteen merkitsevään numeroon.

   Järkevyys

   Sovituksen mukaan paikka hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ on

   $\tfrac{1}{2} \cdot 1{,}15\,\text{m/s}^2 \cdot (2{,}0\,\text{s})^2$

   $= 2{,}30\,\text{m}$

   lähellä mitattua arvoa $2{,}32\,\text{m}$. Suoran vakiotermi on lähellä nollaa. Näin pitääkin olla, kun kärry lähtee origosta.

7. Tehtävä 2-15

   Kärry vierii kaltevalla radalla. Oppilas haluaa selvittää, onko kärryn kiihtyvyys vakio koko matkan ajan. Hänellä on kaksi mittaustapaa. Valoportit mittaavat ajan kahden portin välillä millisekunnin tarkkuudella. Videoanalyysi antaa kärryn paikan jokaisesta kuvasta, esimerkiksi kolmenkymmenen kerran sekunnissa.

   Millä mittaustavalla kysymykseen saadaan parempi vastaus?

   Valitse vaihtoehto.

   • Valoporteilla, koska ajanmittaus on tarkempi ja siksi kiihtyvyys voidaan päätellä yhdestä mittauksesta.
   • Videoanalyysilla, koska nopeus saadaan monelta hetkeltä ja nähdään, onko $(t,v)$-kuvaaja suora.
   • Kumpikaan ei kelpaa, koska kärryn kiihtyvyys voidaan määrittää vain laskemalla kaltevuuskulmasta.
   • Valoporteilla, koska portit mittaavat nopeuden suoraan ja nopeudesta kiihtyvyys on aina vakio.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Videoanalyysilla, koska nopeus saadaan monelta hetkeltä ja nähdään, onko $(t,v)$-kuvaaja suora.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kummalla mittaustavalla voidaan parhaiten selvittää, onko kärryn kiihtyvyys koko matkan ajan vakio.

   Periaate

   Kiihtyvyys on vakio, jos $(t,v)$-kuvaaja on suora. Sen toteamiseen tarvitaan monta mittauspistettä eri hetkiltä, jotta nähdään, pysyykö kulmakerroin samana. Mittauksen tarkkuus on eri asia kuin mittauspisteiden määrä. Tarkkakaan yksittäinen aika ei kerro, miten nopeus muuttuu matkan varrella.

   Mallivastaus

   Parempi vastaus saadaan videoanalyysilla. Sen jokaisesta kuvasta saadaan kärryn paikka ja siitä nopeus. Siksi $(t,v)$-kuvaajaan tulee monta pistettä, ja nähdään, onko kuvaaja suora. Kaksi valoporttia antaa vain yhden keskimääräisen kiihtyvyyden, vaikka aika mitataan tarkasti. Niillä ei siis voi päätellä, muuttuuko kiihtyvyys. Kiihtyvyyttä ei myöskään voi olettaa vakioksi, koska juuri se tutkitaan. Valoportit sopivat paremmin tilanteeseen, jossa vakiokiihtyvyys jo tiedetään ja halutaan tarkka yksittäinen arvo.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 2-16

   Pallo heitetään parvekkeelta suoraan ylöspäin nopeudella $8{,}00\,\text{m/s}$. Heittokohta on $6{,}00\,\text{m}$ maanpinnan yläpuolella. Pallo putoaa lopulta maahan parvekkeen viereen. Ilmanvastus on pieni.

   Kuinka kauan heitosta kuluu, ennen kuin pallo osuu maahan?

   sTarkista
   Vastaus

   $2{,}19\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_0 = 8{,}00\,\text{m/s}$ ylöspäin, heittokohta $6{,}00\,\text{m}$ maan yläpuolella, putoamiskiihtyvyys taulukosta $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus on pieni

   Kysytty

   aika $t$ heitosta maahan osumiseen sekunteina

   Periaate

   Pallon kiihtyvyys on koko lennon ajan $g$ alaspäin, myös lakipisteessä. Koko lento on siis yksi tasaisesti kiihtyvä liike. Valitaan origo heittokohtaan ja ylöspäin positiiviseksi. Maa on silloin paikassa $y = -6{,}00\,\text{m}$. Aika saadaan toisen asteen yhtälöstä.

   Kaava

   $y = v_0\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$. Kun $y = -h$: $\tfrac{1}{2}\,g\,t^2 - v_0\,t - h = 0$, jonka positiivinen ratkaisu on

   $t$$= \dfrac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gh}}{g}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Juuren alla

   $v_0^2 + 2gh$$= (8{,}00\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 6{,}00\,\text{m}$

   $= 181{,}72\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   ja $\sqrt{181{,}72\,\text{m}^2/\text{s}^2} \approx 13{,}48\,\text{m/s}$. Siis

   $t$$= \dfrac{8{,}00\,\text{m/s} + 13{,}48\,\text{m/s}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 2{,}19\,\text{s}$

   Vastaus

   $2{,}19\,\text{s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten alkunopeudessa ja korkeudessa. Toinen ratkaisu $t \approx -0{,}56\,\text{s}$ hylätään, koska se on ennen heittoa.

   Järkevyys

   Nousu kestää $8{,}00\,\text{m/s} : 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}82\,\text{s}$ ja nostaa palloa $3{,}26\,\text{m}$, joten lakipisteestä maahan on $9{,}26\,\text{m}$. Putoaminen levosta kestää

   $\sqrt{2 \cdot 9{,}26\,\text{m} : 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 1{,}37\,\text{s}$

   ja $0{,}82\,\text{s} + 1{,}37\,\text{s} = 2{,}19\,\text{s}$, sama tulos.

2. Tehtävä 2-17

   Metrojuna lähtee asemalta levosta ja kiihtyy tasaisesti nopeuteen $15{,}0\,\text{m/s}$ ajassa $20{,}0\,\text{s}$. Sitten se ajaa tällä nopeudella $60{,}0\,\text{s}$. Lopuksi se jarruttaa tasaisesti seuraavalle asemalle ajassa $15{,}0\,\text{s}$.

   Kuinka pitkä on asemien välinen matka metreinä?

   mTarkista
   Vastaus

   $1160\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiihdytys $0 \to 15{,}0\,\text{m/s}$ ajassa $t_1 = 20{,}0\,\text{s}$, tasainen nopeus $v = 15{,}0\,\text{m/s}$ ajan $t_2 = 60{,}0\,\text{s}$, jarrutus nollaan ajassa $t_3 = 15{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   asemien välinen matka $s$ metreinä

   Periaate

   Juna liikkuu koko ajan samaan suuntaan, joten matka on $(t,v)$-kuvaajan alle jäävä pinta-ala. Kuvaaja koostuu kolmesta osasta: kolmio (kiihdytys), suorakulmio (tasainen nopeus) ja kolmio (jarrutus). Kiihtyvyyksiä ei tarvitse laskea. Pinta-alat saadaan suoraan nopeudesta ja ajoista.

   Kaava

   $s = \tfrac{1}{2}\,v\,t_1 + v\,t_2 + \tfrac{1}{2}\,v\,t_3$

   Muunnokset

   Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina, joten tulos tulee metreinä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $s$$= \tfrac{1}{2} \cdot 15{,}0\,\text{m/s} \cdot 20{,}0\,\text{s} + 15{,}0\,\text{m/s} \cdot 60{,}0\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot 15{,}0\,\text{m/s} \cdot 15{,}0\,\text{s}$

   $= 150\,\text{m} + 900\,\text{m} + 112{,}5\,\text{m}$

   $= 1162{,}5\,\text{m}$

   Vastaus

   $1160\,\text{m}$

   Eli $1{,}16\,\text{km}$, kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa ja ajoissa. Tulos $1162{,}5\,\text{m}$ pyöristetään kolmeen merkitsevään numeroon, joten luvun lopun nolla ei ole merkitsevä; kilometreina asia näkyy selvemmin.

   Järkevyys

   Jos juna kulkisi koko ajan $95\,\text{s}$ nopeudella $15{,}0\,\text{m/s}$, matka olisi $1425\,\text{m}$; kiihdytys ja jarrutus vievät tästä puolet omista osuuksistaan, $150\,\text{m} + 112{,}5\,\text{m}$, joten $1425\,\text{m} - 262{,}5\,\text{m} = 1162{,}5\,\text{m}$. Reilun kilometrin asemaväli on metrolle tavallinen.

3. Tehtävä 2-18

   Pallo heitetään suoraan ylöspäin, ja sen korkeus $y$ mitataan ajan funktiona videoanalyysilla. Mittauspisteisiin sovitettu toisen asteen polynomi on $y = -4{,}86\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 3{,}10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 1{,}20\,\text{m}$, kun suunta ylöspäin on positiivinen.

   Mikä on pallon nopeus hetkellä $t = 0{,}500\,\text{s}$? Anna vastaus etumerkkeineen.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $-1{,}76\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sovitettu polynomi $y = -4{,}86\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 3{,}10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t + 1{,}20\,\text{m}$, ylöspäin positiivinen; hetki $t = 0{,}500\,\text{s}$

   Kysytty

   pallon nopeus $v$ etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$ hetkellä $0{,}500\,\text{s}$

   Periaate

   Polynomia verrataan tasaisesti kiihtyvän liikkeen paikan yhtälöön $y = y_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$. Kertoimista luetaan alkunopeus $v_0 = 3{,}10\,\text{m/s}$ ja $\tfrac{1}{2}\,a = -4{,}86\,\text{m/s}^2$. Siis $a = -9{,}72\,\text{m/s}^2$. Nopeus saadaan sitten yhtälöstä $v = v_0 + a\,t$.

   Kaava

   Polynomin $y = A\,t^2 + B\,t + C$ kertoimista $v_0 = B$ ja $a = 2A$, joten $v = B + 2A\,t$

   Muunnokset

   Kertoimet ovat SI-yksiköissä ja aika sekunteina. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= 3{,}10\,\text{m/s} + 2 \cdot (-4{,}86\,\text{m/s}^2) \cdot 0{,}500\,\text{s}$

   $= 3{,}10\,\text{m/s} - 4{,}86\,\text{m/s}$

   $= -1{,}76\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $-1{,}76\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska polynomin kertoimet ja hetki $0{,}500\,\text{s}$ on annettu kolmella merkitsevällä numerolla. Negatiivinen etumerkki tarkoittaa, että pallo liikkuu jo alaspäin.

   Järkevyys

   Mittauksesta saatu kiihtyvyys $-9{,}72\,\text{m/s}^2$ on lähellä arvoa $-g$, kuten pitääkin. Pallo on lakipisteessä hetkellä $3{,}10\,\text{m/s} : 9{,}72\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}32\,\text{s}$, joten hetkellä $0{,}500\,\text{s}$ se on jo laskeutumassa ja nopeuden täytyy olla negatiivinen. Laskeutumista on kulunut $0{,}18\,\text{s}$, ja $9{,}72\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}18\,\text{s} \approx 1{,}8\,\text{m/s}$.

4. Tehtävä 2-19

   Auton kiihdytystä tutkittiin suoralla tiellä. Auto lähti levosta, ja nopeus luettiin mittarista kahden sekunnin välein. Aineisto on esimerkkiaineisto.

   a) Laske auton kiihtyvyys jokaisella kahden sekunnin aikavälillä. Päättele ja perustele, onko kiihtyvyys vakio.

   b) Laske auton ensimmäisten $8{,}0\,\text{s}$:n aikana kulkema matka lukemalla se $(t,v)$-kuvaajan alta. Oleta, että nopeus muuttuu tasaisesti jokaisella kahden sekunnin välillä. Anna matka vastauslaatikkoon metreinä. Arvioi, onko tulos hieman liian pieni vai liian suuri.

   Auton nopeus, esimerkkiaineisto

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{km/h})$
   0,0	0
   2,0	36
   4,0	62
   6,0	83
   8,0	100

   mTarkista
   Vastaus

   $128\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   auto lähtee levosta; nopeus $v$ hetkillä $t = 0$, $2{,}0$, $4{,}0$, $6{,}0$ ja $8{,}0\,\text{s}$ on $0$, $36$, $62$, $83$ ja $100\,\text{km/h}$

   Kysytty

   a) kiihtyvyys jokaisella kahden sekunnin välillä ja onko se vakio; b) kuljettu matka $s$ ajassa $8{,}0\,\text{s}$ metreinä

   Periaate

   Auto liikkuu koko ajan samaan suuntaan. Kiihtyvyys aikavälillä on nopeuden muutos jaettuna ajalla, $a = \Delta v : \Delta t$. Jos kiihtyvyys olisi vakio, nopeus kasvaisi yhtä paljon joka välillä. Matka on $(t,v)$-kuvaajan alle jäävä pinta-ala. Oletetaan, että nopeus muuttuu tasaisesti jokaisen välin sisällä. Silloin jokaisen välin ala on puolisuunnikas: nopeuksien keskiarvo kertaa $2{,}0\,\text{s}$.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon nopeudet luetaan $(t,v)$-pisteiksi: $(0$; $0)$, $(2{,}0\,\text{s}$; $36\,\text{km/h})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $62\,\text{km/h})$, $(6{,}0\,\text{s}$; $83\,\text{km/h})$ ja $(8{,}0\,\text{s}$; $100\,\text{km/h})$. Kuvaaja nousee, mutta kaartuu loivemmaksi.

   Kaava

   $a$$= \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

   $\Delta s$$= \dfrac{v_1 + v_2}{2} \cdot \Delta t$

   kokonaismatka on välien matkojen summa

   Muunnokset

   Muunnetaan nopeudet yksikköön $\text{m/s}$: $v = \dfrac{v_{\text{km/h}}}{3{,}6}$. Arvot ovat $0$, $10{,}0$, $17{,}2$, $23{,}1$ ja $27{,}8\,\text{m/s}$.

   Sijoitus

   a) Kiihtyvyydet ovat ($\text{m/s}^2$)

   $\dfrac{10{,}0 - 0}{2{,}0}$$= 5{,}0$

   $\dfrac{17{,}2 - 10{,}0}{2{,}0}$$= 3{,}6$

   $\dfrac{23{,}1 - 17{,}2}{2{,}0}$$\approx 2{,}9$

   $\dfrac{27{,}8 - 23{,}1}{2{,}0}$$\approx 2{,}4$

   b) Välien matkat ovat $10{,}0\,\text{m}$, $27{,}2\,\text{m}$, $40{,}3\,\text{m}$ ja $50{,}8\,\text{m}$. Niiden summa on $128{,}3\,\text{m}$.

   Vastaus

   a) Kiihtyvyys ei ole vakio. Se pienenee joka välillä arvosta $5{,}0\,\text{m/s}^2$ arvoon $2{,}4\,\text{m/s}^2$. Siksi $(t,v)$-kuvaaja kaartuu loivemmaksi eikä ole suora. Muutos on paljon suurempi kuin lukemisen epätarkkuus. b) Matka on noin $128\,\text{m}$, kolme merkitsevää numeroa kuten nopeuksien muunnoksessa. Kuvaaja on ylöspäin kupera. Siksi kunkin välin suora jänne kulkee käyrän alapuolella, ja todellinen matka on hieman suurempi kuin laskettu.

   Järkevyys

   Jos kiihtyvyys olisi koko ajan keskimäärin $27{,}8\,\text{m/s} : 8{,}0\,\text{s} \approx 3{,}5\,\text{m/s}^2$, matka olisi

   $\tfrac{1}{2} \cdot 27{,}8\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s}$

   $\approx 111\,\text{m}$

   Laskettu matka on suurempi, koska auto saavuttaa suuren nopeuden jo aikaisin. Tulos on alle $222\,\text{m}$, jonka auto kulkisi, jos nopeus olisi koko ajan $27{,}8\,\text{m/s}$. Näin pitääkin olla. Kiihtyvyys $5\,\text{m/s}^2$ on noin puolet $g$:stä, mikä on tavallinen auton alkukiihtyvyys.

5. Tehtävä 2-20

   Kärry työnnetään ylös kaltevaa ratatasoa, ja liikeanturi mittaa sen nopeuden $v$ ajan funktiona. Ylös radalla on positiivinen suunta, ja kitka on pieni. Aineisto on esimerkkiaineisto.

   a) Piirrä $(t,v)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Laske kärryn kiihtyvyys ja alkunopeus. Perustele, että kiihtyvyys on vakio.

   b) Kuinka kauas lähtöpisteestä kärry ehtii ylöspäin ennen kääntymistä? Anna etäisyys vastauslaatikkoon metreinä.

   c) Kerro sanoin, millaisia ovat $(t,a)$- ja $(t,x)$-kuvaajat hetkestä $0$ hetkeen $5{,}0\,\text{s}$.

   Kärryn nopeus radalla, esimerkkiaineisto

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	2,41
   0,5	2,02
   1,0	1,62
   1,5	1,19
   2,0	0,82
   2,5	0,38
   3,0	−0,01
   3,5	−0,41
   4,0	−0,83

   mTarkista
   Vastaus

   $3{,}6\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon $(t,v)$-pisteet väliltä $0 \ldots 4{,}0\,\text{s}$, ylöspäin radalla positiivinen suunta; kitka on pieni

   Kysytty

   a) kiihtyvyys $a$, alkunopeus $v_0$ ja perustelu vakiokiihtyvyydelle; b) suurin etäisyys $s$ lähtöpisteestä ylöspäin metreinä; c) $(t,a)$- ja $(t,x)$-kuvaajien muodot

   Periaate

   Jos $(t,v)$-pisteet ovat suoralla, kiihtyvyys on vakio ja liike on tasaisesti kiihtyvää: $v = v_0 + a\,t$. Kulmakerroin on $a$ ja leikkauskohta pystyakselilla on $v_0$. Kärry kääntyy, kun $v = 0$. Sen jälkeen se palaa alas, koska kiihtyvyys osoittaa edelleen alas radalla. Suurin etäisyys saadaan paikan yhtälöstä tai $(t,v)$-kuvaajan kolmion alasta hetkeen $v = 0$ asti.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet ovat suunnilleen suoralla, ja nopeus pienenee noin $0{,}8\,\text{m/s}$ joka sekunti. Sovitus antaa $v \approx -0{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot t + 2{,}42\,\text{m/s}$, joten $a \approx -0{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $v_0 \approx 2{,}42\,\text{m/s}$. Suoran paikka pisteiden joukossa osoittaa vakiokiihtyvyyttä: pisteet ovat suoran molemmilla puolilla ilman kaarevuutta. Nopeus pienenee jokaisella $0{,}5\,\text{s}$:n välillä suunnilleen yhtä paljon ($0{,}37 \ldots 0{,}44\,\text{m/s}$).

   Kaava

   Käännöshetki ehdosta $v = v_0 + a\,t_k = 0$ on $t_k = -\dfrac{v_0}{a}$. Etäisyys on $s = v_0\,t_k + \tfrac{1}{2}\,a\,t_k^2$, joka sievenee muotoon $s = \dfrac{v_0^2}{2\,|a|}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t_k$$= \dfrac{2{,}42\,\text{m/s}}{0{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 2{,}99\,\text{s}$

   Etäisyys on

   $s$$= \dfrac{(2{,}42\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 0{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{5{,}86\,\text{m}^2/\text{s}^2}{1{,}62\,\text{m/s}^2}$

   $\approx 3{,}61\,\text{m}$

   c) Kuvaajia ei piirretä vastauslaatikkoon, vaan ne kerrotaan sanoin alla.

   Vastaus

   Kärry ehtii noin $3{,}6\,\text{m}$ lähtöpisteestä ylöspäin, kaksi merkitsevää numeroa, koska kiihtyvyys ja alkunopeus on sovitettu hajonneesta aineistosta. c) $(t,a)$-kuvaaja on vaakasuora suora arvossa $a \approx -0{,}81\,\text{m/s}^2$ koko aikavälin ajan. Kiihtyvyys on vakio ja osoittaa alas radalla myös käännöshetkellä. $(t,x)$-kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka lähtee origosta. Se nousee aluksi jyrkästi ja loivenee. Sen huippu on $x \approx 3{,}6\,\text{m}$ hetkellä $t \approx 3{,}0\,\text{s}$ (tangentti on vaakasuora, koska $v = 0$), ja sen jälkeen kuvaaja laskee. Kärry palaa lähtöpisteeseen hetkellä $2\,t_k \approx 6{,}0\,\text{s}$, joten välillä $0 \ldots 5{,}0\,\text{s}$ kuvaaja on vielä positiivinen.

   Järkevyys

   Nousun keskinopeus on $2{,}42\,\text{m/s} : 2 = 1{,}21\,\text{m/s}$, ja $1{,}21\,\text{m/s} \cdot 2{,}99\,\text{s} \approx 3{,}6\,\text{m}$. Aineiston viimeinen nopeus $-0{,}83\,\text{m/s}$ on lähellä sovituksen arvoa $2{,}42 - 0{,}81 \cdot 4{,}0 \approx -0{,}82\,\text{m/s}$. Aineisto sisältää käännöshetken $t \approx 3{,}0\,\text{s}$ ($v \approx 0$). Kiihtyvyys $0{,}81\,\text{m/s}^2$ on uskottava loivalle kaltevuudelle: se vastaa kaltevuuskulmaa, jossa $g \sin\alpha \approx 0{,}81\,\text{m/s}^2$, eli $\alpha \approx 5\,{}^\circ$.