Kahden kappaleen liikkeiden vertailu

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 3-1Ydintehtävä

   Kaksi kärryä liikkuu samalla suoralla radalla. Kärryn A paikka on $x_\text{A} = 4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot t$. Kärryn B paikka on $x_\text{B} = 24\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m/s} \cdot t$. Milloin kärryt kohtaavat?

   sTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $x_\text{A} = 4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot t$ ja $x_\text{B} = 24\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m/s} \cdot t$ samassa koordinaatistossa

   Kysytty

   kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Kärryt kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä. Siksi $x_\text{A} = x_\text{B}$. Paikat ovat ajan lineaarisia funktioita (kuvaaja on suora). Siksi yhtälöllä on yksi ratkaisu.

   Kaava

   $x_\text{A} = x_\text{B}$, eli $4{,}0 + 2{,}0\,t = 24 - 3{,}0\,t$. Viedään termit $t$ vasemmalle ja luvut oikealle: $5{,}0\,t = 20$, joten $t = \dfrac{24 - 4{,}0}{2{,}0 + 3{,}0}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten tulos tulee sekunteina. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{24\,\text{m} - 4{,}0\,\text{m}}{2{,}0\,\text{m/s} + 3{,}0\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{20\,\text{m}}{5{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 4{,}0\,\text{s}$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeuksissakin ($2{,}0\,\text{m/s}$ ja $3{,}0\,\text{m/s}$) on kaksi.

   Järkevyys

   Sijoitetaan aika molempiin paikkoihin:

   $x_\text{A}$$= 4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot 4{,}0\,\text{s}$

   $= 12\,\text{m}$

   $x_\text{B}$$= 24\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m/s} \cdot 4{,}0\,\text{s}$

   $= 12\,\text{m}$

   Paikat ovat samat, joten kärryt kohtaavat. Aika on positiivinen, joten kohtaaminen tapahtuu lähdön jälkeen.

2. Tehtävä 3-2Ydintehtävä

   Pyöräilijä ajaa paikasta $0$ tasaisella nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Juoksija on samalla hetkellä paikassa $60\,\text{m}$. Hän juoksee samaan suuntaan tasaisella nopeudella $5{,}0\,\text{m/s}$. Milloin pyöräilijä saavuttaa juoksijan?

   sTarkista
   Vastaus

   $20\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pyöräilijä $x_0 = 0$, $v_\text{P} = 8{,}0\,\text{m/s}$; juoksija $x_0 = 60\,\text{m}$, $v_\text{R} = 5{,}0\,\text{m/s}$; molemmat liikkuvat tasaisesti samaan suuntaan

   Kysytty

   hetki $t$, jolloin pyöräilijä saavuttaa juoksijan, yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Saavuttaminen on kohtaaminen, eli paikat ovat yhtä suuret. Molemmat liikkuvat tasaisesti, joten kummallekin pätee $x = x_0 + v\,t$. Pyöräilijä on nopeampi, joten hän saavuttaa juoksijan.

   Kaava

   $v_\text{P}\,t = x_{0\text{R}} + v_\text{R}\,t$, joten

   $(v_\text{P} - v_\text{R})\,t$$= x_{0\text{R}}$

   $t$$= \dfrac{x_{0\text{R}}}{v_\text{P} - v_\text{R}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{60\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s} - 5{,}0\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{60\,\text{m}}{3{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 20\,\text{s}$

   Vastaus

   $20\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.

   Järkevyys

   Pyöräilijä lähestyy juoksijaa $3{,}0\,\text{m}$ joka sekunti, joten $60\,\text{m}$ vie $20\,\text{s}$. Tarkistus: pyöräilijän paikka on $8{,}0\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s} = 160\,\text{m}$ ja juoksijan paikka on $60\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s} = 160\,\text{m}$.

3. Tehtävä 3-3

   Auto lähtee levosta origosta ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $3{,}0\,\text{m/s}^2$. Missä paikassa auto on $4{,}0\,\text{s}$ kuluttua?

   mTarkista
   Vastaus

   $24\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 3{,}0\,\text{m/s}^2$, $t = 4{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   auton paikka $x$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Kiihtyvyys on vakio, joten paikka saadaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen paikkafunktiosta. Auto lähtee levosta origosta. Siksi alkupaikka ja alkunopeus ovat nolla.

   Kaava

   $x = x_0 + v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2$, ja kun $x_0 = 0$ ja $v_0 = 0$, $x = \tfrac12\,a\,t^2$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{m/s}^2 \cdot \text{s}^2 = \text{m}$. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= \tfrac12 \cdot 3{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (4{,}0\,\text{s})^2$

   $= \tfrac12 \cdot 3{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 16\,\text{s}^2$

   $= 24\,\text{m}$

   Vastaus

   $24\,\text{m}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Oletetaan, että auto kulkisi koko ajan loppunopeudellaan $3{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}0\,\text{s} = 12\,\text{m/s}$. Silloin se etenisi $48\,\text{m}$. Kiihtyvässä liikkeessä keskinopeus on puolet loppunopeudesta. Siksi matka on puolet siitä eli $24\,\text{m}$.

4. Tehtävä 3-4

   Kuvaajassa on kahden kärryn paikat ajan funktiona. Lue kuvaajasta, milloin kärryt kohtaavat.

   sTarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaaja kärryjen paikoista: kärry A lähtee paikasta $0$ ja kärry B paikasta $40\,\text{m}$

   Kysytty

   kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Kärryt ovat samassa paikassa samalla hetkellä siinä pisteessä, jossa $(t,x)$-kuvaajan viivat leikkaavat. Kohtaamishetki on leikkauspisteen vaakakoordinaatti.

   Kuvaajan lukeminen

   Viivat leikkaavat pisteessä, joka on vaakasuoran ruudukkoviivan $x = 30\,\text{m}$ kohdalla. Sieltä pudotetaan pystysuora viiva aika-akselille. Se osuu kohtaan $t = 5{,}0\,\text{s}$, kahden ruudukkoviivan ($4$ ja $6\,\text{s}$) puoliväliin.

   Kaava

   $t = $ leikkauspisteen vaakakoordinaatti, luettuna kuvaajasta

   Muunnokset

   Akselit ovat valmiiksi yksiköissä $\text{s}$ ja $\text{m}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Luettu pari on $(t$; $x) = (5{,}0\,\text{s}$; $30\,\text{m})$. Tarkistetaan vielä laskemalla kuvaajan päätepisteistä. Kärry A etenee $60\,\text{m}$ ajassa $10\,\text{s}$, joten $v_\text{A} = 6{,}0\,\text{m/s}$. Kärry B siirtyy $40\,\text{m}$:stä $20\,\text{m}$:iin eli $-20\,\text{m}$ ajassa $10\,\text{s}$, joten $v_\text{B} = -2{,}0\,\text{m/s}$. Yhtälö $6{,}0\,t = 40 - 2{,}0\,t$ antaa

   $t$$= \dfrac{40\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 5{,}0\,\text{s}$

   Vastaus

   $5{,}0\,\text{s}$

   Arvo on luettu kuvaajasta kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Kohtaamispaikka

   $x$$= 6{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s}$

   $= 30\,\text{m}$

   on kummankin lähtöpaikan ($0$ ja $40\,\text{m}$) välissä, kuten pitää. Kärry A on kulkenut $30\,\text{m}$ ja kärry B $10\,\text{m}$. Kärry A on kolme kertaa nopeampi.

5. Tehtävä 3-5

   Juoksija A lähtee paikasta $0$ ja juoksee tasaisella nopeudella $3{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Juoksija B on samalla hetkellä paikassa $60\,\text{m}$. Hän juoksee A:ta vastaan tasaisella nopeudella $-2{,}5\,\text{m/s}$.

   Missä paikassa he kohtaavat?

   mTarkista
   Vastaus

   $35\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   juoksija A: $x_{0\text{A}} = 0$, $v_\text{A} = 3{,}5\,\text{m/s}$; juoksija B: $x_{0\text{B}} = 60\,\text{m}$, $v_\text{B} = -2{,}5\,\text{m/s}$; molemmat liikkuvat tasaisesti

   Kysytty

   kohtaamispaikka $x$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Juoksijat kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä, joten $x_\text{A} = x_\text{B}$. Kun kohtaamishetki on ratkaistu, kohtaamispaikka on kummankin juoksijan paikka sillä hetkellä. B:n nopeus on negatiivinen. Syy on, että B juoksee A:ta kohti eli negatiiviseen suuntaan.

   Kaava

   $v_\text{A}\,t = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$, joten

   $t$$= \dfrac{x_{0\text{B}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$

   ja kohtaamispaikka $x = v_\text{A}\,t$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{60\,\text{m}}{3{,}5\,\text{m/s} - (-2{,}5\,\text{m/s})}$

   $= \dfrac{60\,\text{m}}{6{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 10\,\text{s}$

   $x$$= 3{,}5\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s}$

   $= 35\,\text{m}$

   Vastaus

   $35\,\text{m}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Paikka on juoksijoiden lähtöpaikkojen $0$ ja $60\,\text{m}$ välissä, kuten pitää. B:n paikka samalla hetkellä on $60\,\text{m} - 2{,}5\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 35\,\text{m}$. A on kulkenut $35\,\text{m}$ ja B $25\,\text{m}$, yhteensä $60\,\text{m}$.

6. Tehtävä 3-6

   Kahden auton nopeudet on piirretty $(t,v)$-kuvaajina samaan koordinaatistoon. Autot ajavat samaa suoraa tietä samaan suuntaan. Kuvaajat leikkaavat hetkellä $t = 4{,}0\,\text{s}$. Mitä leikkauspiste kertoo?

   Valitse vaihtoehto.

   • Autojen kiihtyvyydet ovat silloin yhtä suuret, koska viivat ovat samalla korkeudella.
   • Autojen nopeudet ovat silloin yhtä suuret, mutta paikat voivat olla eri.
   • Autot ovat silloin samassa paikassa, koska kuvaajat kohtaavat toisensa.
   • Autot ovat silloin kulkeneet saman matkan, koska ne ovat ajaneet yhtä kauan.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Autojen nopeudet ovat silloin yhtä suuret, mutta paikat voivat olla eri.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä $(t,v)$-kuvaajien leikkauspiste kertoo.

   Periaate

   $(t,v)$-kuvaajan piste kertoo kappaleen nopeuden hetkellä $t$. Kun kaksi kuvaajaa leikkaa, kummallakin kappaleella on silloin sama nopeus. Paikan määrää koko aiempi liike, eli nopeuskuvaajan alle jäävä pinta-ala. Yksi nopeuden arvo ei riitä.

   Mallivastaus

   Autojen nopeudet ovat hetkellä $4{,}0\,\text{s}$ yhtä suuret, mutta paikat voivat olla eri. Kohtaamista ei voi lukea tästä kuvaajasta. Siihen tarvitaan $(t,x)$-kuvaaja tai paikkafunktioiden vertailu. Väite, että autot ovat samassa paikassa, sekoittaa nopeuden ja paikan. Väite samasta matkasta ei päde, koska matka on pinta-ala eikä yksi arvo. Väite samoista kiihtyvyyksistä ei päde, koska kiihtyvyys on kulmakerroin. Leikkaavilla viivoilla kulmakertoimet ovat erilaiset.

   Kuvaajan lukeminen

   Vaaka-akselilla on aika ja pystyakselilla nopeus. Leikkauspisteen pystykoordinaatti on kummankin auton yhteinen nopeus. Vaakakoordinaatti on hetki $4{,}0\,\text{s}$.

7. Tehtävä 3-7

   Kärry A lähtee origosta hetkellä $t = 0$. Se liikkuu tasaisella nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$. Kärry B lähtee samasta paikasta $3{,}0\,\text{s}$ myöhemmin samaan suuntaan. B liikkuu tasaisella nopeudella $7{,}0\,\text{m/s}$.

   Milloin kärry B saavuttaa kärryn A? Ilmoita aika A:n lähdöstä laskettuna.

   sTarkista
   Vastaus

   $7{,}0\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry A: $x_\text{A} = v_\text{A}\,t$, kun $v_\text{A} = 4{,}0\,\text{m/s}$; kärry B lähtee viiveellä $t_0 = 3{,}0\,\text{s}$ nopeudella $v_\text{B} = 7{,}0\,\text{m/s}$; molemmat samasta paikasta

   Kysytty

   hetki $t$ (A:n lähdöstä laskettuna) yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Kohtaamisessa paikat ovat yhtä suuret. Kun kello näyttää hetkeä $t$, B on liikkunut vasta ajan $t - t_0$. Siksi B:n paikka on $v_\text{B}\,(t - t_0)$.

   Kaava

   $v_\text{A}\,t = v_\text{B}\,(t - t_0)$, joten

   $(v_\text{B} - v_\text{A})\,t$$= v_\text{B}\,t_0$

   $t$$= \dfrac{v_\text{B}\,t_0}{v_\text{B} - v_\text{A}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{7{,}0\,\text{m/s} \cdot 3{,}0\,\text{s}}{7{,}0\,\text{m/s} - 4{,}0\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{21\,\text{m}}{3{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 7{,}0\,\text{s}$

   Vastaus

   $7{,}0\,\text{s}$

   A:n lähdöstä laskettuna. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   A on hetkellä $7{,}0\,\text{s}$ paikassa $4{,}0\,\text{m/s} \cdot 7{,}0\,\text{s} = 28\,\text{m}$. B on paikassa $7{,}0\,\text{m/s} \cdot (7{,}0\,\text{s} - 3{,}0\,\text{s}) = 28\,\text{m}$. Paikat ovat samat. Kun B lähtee, A on jo $12\,\text{m}$ edellä. B lähestyy nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$, joten $12\,\text{m}$ vie $4{,}0\,\text{s}$. Kohtaaminen on siis hetkellä $3{,}0\,\text{s} + 4{,}0\,\text{s}$.

8. Tehtävä 3-8

   Kappale A kiihtyy levosta tasaisesti. Kappale B liikkuu samaan suuntaan tasaisella nopeudella. Mikä ehto ratkaisee, milloin A ohittaa B:n?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kappaleiden nopeudet ovat yhtä suuret, koska silloin ne kulkevat rinnakkain.
   • Kappaleiden paikat ovat samalla hetkellä yhtä suuret, joten ne ovat samassa kohdassa.
   • Kappaleiden kiihtyvyydet ovat yhtä suuret, koska silloin liike on samanlaista.
   • Kappaleiden kulkemat matkat ovat yhtä suuret, vaikka lähtöpaikat olisivat eri.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kappaleiden paikat ovat samalla hetkellä yhtä suuret, joten ne ovat samassa kohdassa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä ehto ratkaisee ohitushetken.

   Periaate

   Ohitus on kohtaaminen. Ohitushetkellä A ja B ovat samassa paikassa. Siksi kummankin paikka kirjoitetaan ajan funktiona ja paikat merkitään yhtä suuriksi, $x_\text{A}(t) = x_\text{B}(t)$. Yhtälön ratkaisu antaa hetken.

   Mallivastaus

   Ohitushetkellä kappaleiden paikat ovat yhtä suuret samalla hetkellä, eli ne ovat samassa kohdassa. Yhtä suuret nopeudet eivät ratkaise ohitusta, koska silloin etumatka on suurimmillaan tai pienimmillään, ei nolla. Yhtä suuret kiihtyvyydet eivät liity paikkaan, ja B:llä kiihtyvyys on nolla. Yhtä suuret matkat eivät riitä, jos lähtöpaikat ovat eri. Paikka on lähtöpaikka lisättynä kuljetulla matkalla.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 3-9Ydintehtävä

   Linja-auto ajaa suoraa tietä tasaisella nopeudella $72\,\text{km/h}$. Henkilöauto on $150\,\text{m}$ linja-auton takana. Se ajaa samaan suuntaan tasaisella nopeudella $90\,\text{km/h}$. Kuinka monen sekunnin kuluttua henkilöauto saavuttaa linja-auton?

   sTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   linja-auto $v_\text{L} = 72\,\text{km/h}$, henkilöauto $v_\text{H} = 90\,\text{km/h}$, henkilöauto on $d = 150\,\text{m}$ takana; molemmat kulkevat tasaisesti samaan suuntaan

   Kysytty

   aika $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Henkilöauto saavuttaa linja-auton, kun paikat ovat yhtä suuret. Molemmat liikkuvat tasaisesti, joten kummallekin pätee $x = x_0 + v\,t$. Valitaan origo henkilöauton paikaksi lähtöhetkellä.

   Kaava

   $v_\text{H}\,t = d + v_\text{L}\,t$, joten

   $t$$= \dfrac{d}{v_\text{H} - v_\text{L}}$

   Muunnokset

   Muunnetaan nopeudet metreiksi sekunnissa:

   $90\,\text{km/h}$$= 90 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 25\,\text{m/s}$

   $72\,\text{km/h}$$= 72 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 20\,\text{m/s}$

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{150\,\text{m}}{25\,\text{m/s} - 20\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{150\,\text{m}}{5{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 30\,\text{s}$

   Vastaus

   $30\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.

   Järkevyys

   Nopeusero on $18\,\text{km/h} = 5{,}0\,\text{m/s}$. Henkilöauto lähestyy siis $5{,}0\,\text{m}$ sekunnissa, ja $150\,\text{m}$ kuluu $30\,\text{s}$:ssa. Tänä aikana henkilöauto ajaa $25\,\text{m/s} \cdot 30\,\text{s} = 750\,\text{m}$ ja linja-auto $150\,\text{m} + 20\,\text{m/s} \cdot 30\,\text{s} = 750\,\text{m}$.

2. Tehtävä 3-10Ydintehtävä

   Kaksi junaa lähtee yhtä aikaa asemilta, jotka ovat $12\,\text{km}$ päässä toisistaan. Junat kulkevat rinnakkaisia raiteita toisiaan kohti. Niiden tasaiset nopeudet ovat $90\,\text{km/h}$ ja $54\,\text{km/h}$.

   Kuinka monen minuutin kuluttua ne kohtaavat?

   minTarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   asemien väli $D = 12\,\text{km}$, nopeudet $v_1 = 90\,\text{km/h}$ ja $v_2 = 54\,\text{km/h}$ toisiaan kohti, lähtö yhtä aikaa

   Kysytty

   aika $t$ yksikössä $\text{min}$

   Periaate

   Junat kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä. Origo on ensimmäisellä asemalla ja positiivinen suunta on toista asemaa kohti: $x_1 = v_1\,t$ ja $x_2 = D - v_2\,t$. Yhtälö $x_1 = x_2$ antaa ajan.

   Kaava

   $v_1\,t = D - v_2\,t$, joten $t = \dfrac{D}{v_1 + v_2}$

   Muunnokset

   Pidetään pituus kilometreinä ja nopeus yksikössä $\text{km/h}$. Silloin aika tulee tunteina:

   $t$$= \dfrac{12\,\text{km}}{144\,\text{km/h}}$

   Lopuksi muunnetaan tunnit minuuteiksi, koska $1\,\text{h} = 60\,\text{min}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{12\,\text{km}}{90\,\text{km/h} + 54\,\text{km/h}}$

   $= \dfrac{12\,\text{km}}{144\,\text{km/h}}$

   $= 0{,}0833\,\text{h}$

   $= 0{,}0833 \cdot 60\,\text{min}$

   $= 5{,}0\,\text{min}$

   Vastaus

   $5{,}0\,\text{min}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa ($54\,\text{km/h}$).

   Järkevyys

   Junat lähestyvät toisiaan nopeudella $144\,\text{km/h} = 2{,}4\,\text{km/min}$. Siksi $12\,\text{km}$ vie $12 : 2{,}4\,\text{min} = 5{,}0\,\text{min}$. Nopeampi juna kulkee $90\,\text{km/h} \cdot \tfrac{1}{12}\,\text{h} = 7{,}5\,\text{km}$ ja hitaampi juna $4{,}5\,\text{km}$, yhteensä $12\,\text{km}$.

3. Tehtävä 3-11

   Kärry A lähtee paikasta $6{,}0\,\text{m}$ ja liikkuu tasaisella nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Kärry B lähtee samalla hetkellä paikasta $42\,\text{m}$ ja liikkuu tasaisella nopeudella $-1{,}0\,\text{m/s}$.

   Hahmottele paperille kummankin $(t,x)$-kuvaaja samaan koordinaatistoon. Perustele kuvaajista, miksi viivat leikkaavat ja mitä leikkauspiste kertoo. Ilmoita sitten, milloin kärryt kohtaavat.

   sTarkista
   Vastaus

   $9{,}0\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry A: $x_{0\text{A}} = 6{,}0\,\text{m}$, $v_\text{A} = 3{,}0\,\text{m/s}$; kärry B: $x_{0\text{B}} = 42\,\text{m}$, $v_\text{B} = -1{,}0\,\text{m/s}$; molemmat liikkuvat tasaisesti

   Kysytty

   kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$, sekä kuvaajien hahmottelu ja perustelu

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä $x = x_0 + v\,t$, joten $(t,x)$-kuvaaja on suora. Lähtöpaikka on suoran alkupiste ja nopeus on sen kulmakerroin (jyrkkyys). Kärryt kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä eli kun suorat leikkaavat.

   Kuvaajan lukeminen

   Hahmotelma tehdään näin. Piirrä aika vaaka-akselille ja paikka pystyakselille. A:n suora alkaa kohdasta $6{,}0\,\text{m}$ ja nousee $3{,}0\,\text{m}$ joka sekunti. B:n suora alkaa ylempää, kohdasta $42\,\text{m}$. Se laskee $1{,}0\,\text{m}$ joka sekunti, koska nopeus on negatiivinen. Nouseva viiva alkaa alempaa ja laskeva ylempää. Siksi ne kulkevat toisiaan kohti ja leikkaavat. Leikkauspiste kertoo hetken ja paikan, jossa kärryt ovat samassa kohdassa.

   Kaava

   $x_\text{A} = x_\text{B}$, eli $x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$. Ratkaistaan

   $t$$= \dfrac{x_{0\text{B}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{42\,\text{m} - 6{,}0\,\text{m}}{3{,}0\,\text{m/s} - (-1{,}0\,\text{m/s})}$

   $= \dfrac{36\,\text{m}}{4{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 9{,}0\,\text{s}$

   Vastaus

   $9{,}0\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   A:n paikka hetkellä $9{,}0\,\text{s}$ on $6{,}0\,\text{m} + 3{,}0\,\text{m/s} \cdot 9{,}0\,\text{s} = 33\,\text{m}$ ja B:n paikka on $42\,\text{m} - 1{,}0\,\text{m/s} \cdot 9{,}0\,\text{s} = 33\,\text{m}$. Paikat ovat samat, joten leikkauspiste on $(9{,}0\,\text{s}$; $33\,\text{m})$, kuten hahmotelmassa.

4. Tehtävä 3-12

   Kuvaajassa on kahden kärryn paikat ajan funktiona. Kärryt liikkuvat tasaisesti. Laske kuvaajan lukemista ensin kärryjen nopeudet. Laske sitten, milloin kärryjen välimatka on ensimmäisen kerran $10\,\text{m}$.

   sTarkista
   Vastaus

   $3{,}8\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta: kärry A $x_0 = 0$ ja paikka $60\,\text{m}$ hetkellä $10\,\text{s}$; kärry B $x_0 = 40\,\text{m}$ ja paikka $20\,\text{m}$ hetkellä $10\,\text{s}$; liike on tasaista

   Kysytty

   ensimmäinen hetki $t$, jolloin välimatka on $10\,\text{m}$, yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Kärryt liikkuvat tasaisesti, joten kummankin kuvaaja on suora. Nopeus on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella. Ennen kohtaamista B on A:n edessä, ja välimatka on $x_\text{B} - x_\text{A}$. Välimatka on $10\,\text{m}$ kaksi kertaa: ensin ennen kohtaamista ja sitten kohtaamisen jälkeen.

   Kuvaajan lukeminen

   Kärryn A suora kulkee pisteestä $(0\,\text{s}$; $0)$ pisteeseen $(10\,\text{s}$; $60\,\text{m})$, joten

   $v_\text{A}$$= \dfrac{60\,\text{m} - 0}{10\,\text{s} - 0}$

   $= 6{,}0\,\text{m/s}$

   Kärryn B suora kulkee pisteestä $(0\,\text{s}$; $40\,\text{m})$ pisteeseen $(10\,\text{s}$; $20\,\text{m})$, joten

   $v_\text{B}$$= \dfrac{20\,\text{m} - 40\,\text{m}}{10\,\text{s} - 0}$

   $= -2{,}0\,\text{m/s}$

   Kaava

   $x_\text{B} - x_\text{A}$$= (40 - 2{,}0\,t) - 6{,}0\,t$

   $= 40 - 8{,}0\,t$

   Asetetaan se arvoon $10\,\text{m}$:

   $t$$= \dfrac{40\,\text{m} - 10\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s}}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{40\,\text{m} - 10\,\text{m}}{6{,}0\,\text{m/s} + 2{,}0\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{30\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 3{,}75\,\text{s}$

   Vastaus

   $3{,}8\,\text{s}$

   (kaksi merkitsevää numeroa kuten välimatkassa $10\,\text{m}$). Pyöristämätön arvo on $3{,}75\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Välimatka pienenee $8{,}0\,\text{m}$ sekunnissa, ja alussa se on $40\,\text{m}$. Ajassa $3{,}75\,\text{s}$ se pienenee $30\,\text{m}$, joten jäljelle jää $10\,\text{m}$. Hetki on ennen kohtaamista $t = 5{,}0\,\text{s}$, kuten ensimmäiseltä kerralta pitääkin.

5. Tehtävä 3-13

   Videoanalyysillä mitattiin kahden juoksijan paikat samalla suoralla radalla. Juoksija A juoksee positiiviseen suuntaan. Juoksija B juoksee häntä vastaan. Aineisto on esimerkkiaineisto. Kumpikin juoksee tasaisella nopeudella.

   Määritä juoksijoiden nopeudet taulukon ensimmäisestä ja viimeisestä rivistä. Laske niiden avulla, milloin juoksijat kohtaavat.

   Juoksijoiden paikat (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$x_\text{A}\,(\text{m})$	$x_\text{B}\,(\text{m})$
   0,0	3,0	45,0
   1,0	6,6	42,4
   2,0	10,1	40,2
   3,0	13,4	37,4
   4,0	17,1	35,1
   5,0	20,4	32,4

   sTarkista
   Vastaus

   $7{,}0\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta: A: $x_\text{A} = 3{,}0\,\text{m}$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $20{,}4\,\text{m}$ hetkellä $5{,}0\,\text{s}$; B: $x_\text{B} = 45{,}0\,\text{m}$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $32{,}4\,\text{m}$ hetkellä $5{,}0\,\text{s}$; tasainen liike

   Kysytty

   kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella. Kun nopeudet tunnetaan, paikat ovat $x = x_0 + v\,t$. Juoksijat kohtaavat, kun $x_\text{A} = x_\text{B}$. Taulukon pisteet poikkeavat suorasta hieman mittausvirheen takia. Siksi käytetään ensimmäistä ja viimeistä riviä.

   Kuvaajan lukeminen

   Nopeudet taulukon päätepisteistä:

   $v_\text{A}$$= \dfrac{20{,}4\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0}$

   $= 3{,}48\,\text{m/s}$

   $v_\text{B}$$= \dfrac{32{,}4\,\text{m} - 45{,}0\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0}$

   $= -2{,}52\,\text{m/s}$

   B:n nopeus on negatiivinen, koska B juoksee A:ta kohti.

   Kaava

   $x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$, joten

   $t$$= \dfrac{x_{0\text{B}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{45{,}0\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m}}{3{,}48\,\text{m/s} - (-2{,}52\,\text{m/s})}$

   $= \dfrac{42{,}0\,\text{m}}{6{,}00\,\text{m/s}}$

   $= 7{,}0\,\text{s}$

   Vastaus

   $7{,}0\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska mittauksessa on hajontaa.

   Järkevyys

   Kohtaamispaikka on

   $3{,}0\,\text{m} + 3{,}48\,\text{m/s} \cdot 7{,}0\,\text{s}$

   $= 27{,}4\,\text{m}$

   B:n paikka samalla hetkellä on

   $45{,}0\,\text{m} - 2{,}52\,\text{m/s} \cdot 7{,}0\,\text{s}$

   $= 27{,}4\,\text{m}$

   Paikka on lähtöpaikkojen välissä, kuten pitää. Hetki $7{,}0\,\text{s}$ on myöhemmin kuin taulukon aikaväli. Tulos perustuu siis suoran jatkamiseen. Se on järkevää tasaisessa liikkeessä.

6. Tehtävä 3-14

   Oppilas ratkaisi seuraavan tehtävän. Tehtävä: pyöräilijä ajaa tasaisella nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$. Hetkellä $t = 0$ hän on paikassa $12\,\text{m}$. Samalla hetkellä paikassa $0$ levossa oleva auto lähtee liikkeelle. Auto kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ samaan suuntaan.

   Milloin auto ohittaa pyöräilijän?

   Oppilaan ratkaisu: ”Ohitushetkellä nopeudet ovat yhtä suuret, joten $a\,t = v$ ja $t = 4{,}0 : 2{,}0 = 2{,}0\,\text{s}$.”

   Selitä, mikä oppilaan ratkaisussa on väärin. Laske oikea ohitushetki. Vastauslaatikkoon tulee oikea ohitushetki.

   sTarkista
   Vastaus

   $6{,}0\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pyöräilijä $x_{0\text{B}} = 12\,\text{m}$, $v = 4{,}0\,\text{m/s}$ (tasainen); auto $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   mikä oppilaan ratkaisussa on väärin; oikea ohitushetki $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Ohitus on kohtaaminen, jossa paikat ovat yhtä suuret, $x_\text{A} = x_\text{B}$. Auton paikka on $\tfrac12\,a\,t^2$ ja pyöräilijän $x_{0\text{B}} + v\,t$. Auton liike on tasaisesti kiihtyvää, joten yhtälö on toisen asteen yhtälö.

   Kaava

   $\tfrac12\,a\,t^2 = x_{0\text{B}} + v\,t$, eli $\tfrac12\,a\,t^2 - v\,t - x_{0\text{B}} = 0$, ja positiivinen juuri on

   $t$$= \dfrac{v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,x_{0\text{B}}}}{a}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Juurrettava on

   $v^2 + 2\,a\,x_{0\text{B}}$$= 16\,\text{m}^2/\text{s}^2 + 48\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 64\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Siis

   $t$$= \dfrac{4{,}0\,\text{m/s} + 8{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{m/s}^2}$

   $= 6{,}0\,\text{s}$

   Vastaus

   $6{,}0\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Auto on hetkellä $6{,}0\,\text{s}$ paikassa $\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (6{,}0\,\text{s})^2 = 36\,\text{m}$. Pyöräilijä on paikassa $12\,\text{m} + 4{,}0\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} = 36\,\text{m}$. Paikat ovat samat. Auton nopeus on silloin $12\,\text{m/s}$, kolme kertaa pyöräilijän nopeus. Auto ohittaa siis nopeampana.

   Mallivastaus virheestä

   Oppilas asetti nopeudet yhtä suuriksi. Kohtaamisessa yhtä suuria ovat kuitenkin paikat, ei nopeudet. Oppilaan laskema hetki $2{,}0\,\text{s}$ on hetki, jolloin auton ja pyöräilijän nopeudet ovat yhtä suuret. Silloin auto on paikassa $4{,}0\,\text{m}$ ja pyöräilijä paikassa $20\,\text{m}$. Pyöräilijä on siis $16\,\text{m}$ edellä. Tämä on etumatkan suurin arvo, ei ohitus.

7. Tehtävä 3-15

   Kaksi kärryä lähtee samasta paikasta samaan suuntaan hetkellä $t = 0$. Taulukossa on niiden nopeudet. Aineisto on esimerkkiaineisto, josta mittausvirhe on jätetty pois. Kärry A liikkuu tasaisesti. Kärry B kiihtyy tasaisesti.

   Piirrä $(t,v)$-kuvaajat samaan koordinaatistoon. Päättele kuvaajista, milloin kärryjen välimatka on suurimmillaan. Kuinka suuri välimatka silloin on?

   Kärryjen nopeudet (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v_\text{A}\,(\text{m/s})$	$v_\text{B}\,(\text{m/s})$
   0,0	12,0	0,0
   2,0	12,0	4,0
   4,0	12,0	8,0
   6,0	12,0	12,0
   8,0	12,0	16,0
   10,0	12,0	20,0

   mTarkista
   Vastaus

   $36\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta: A: $v_\text{A} = 12{,}0\,\text{m/s}$ koko ajan; B: nopeus kasvaa $4{,}0\,\text{m/s}$ kahdessa sekunnissa, $v_\text{B} = 0$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $20{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $10\,\text{s}$; lähtö samasta paikasta

   Kysytty

   hetki, jolloin välimatka on suurimmillaan, ja välimatka $s_\text{max}$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   B lähtee samasta paikasta hitaampana, joten A on koko ajan edellä. Niin kauan kuin $v_\text{A} > v_\text{B}$, välimatka kasvaa. Kun B on nopeampi, välimatka pienenee. Välimatka on siis suurimmillaan, kun nopeudet ovat yhtä suuret. Välimatka on kuvaajien väliin jäävä pinta-ala siihen hetkeen asti.

   Kuvaajan lukeminen

   A:n kuvaaja on vaakasuora viiva kohdassa $12{,}0\,\text{m/s}$. B:n kuvaaja on origosta nouseva suora. Sen kulmakerroin on

   $a_\text{B}$$= \dfrac{4{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{s}}$

   $= 2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Viivat leikkaavat hetkellä $t = 6{,}0\,\text{s}$. Silloin taulukossa kummankin nopeus on $12{,}0\,\text{m/s}$.

   Kaava

   Pinta-ala on kolmio, jonka kanta on $t$ ja korkeus $v_\text{A}$: $s_\text{max} = \tfrac12\,t\,v_\text{A}$. Sama saadaan paikkojen erotuksesta $v_\text{A}\,t - \tfrac12\,a_\text{B}\,t^2$.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $s_\text{max}$$= \tfrac12 \cdot 6{,}0\,\text{s} \cdot 12{,}0\,\text{m/s}$

   $= 36\,\text{m}$

   Vastaus

   Suurin välimatka on $36\,\text{m}$, ja se on hetkellä $6{,}0\,\text{s}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.

   Järkevyys

   Paikkojen erotuksesta: A on paikassa $12{,}0\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} = 72\,\text{m}$. B on paikassa $\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (6{,}0\,\text{s})^2 = 36\,\text{m}$. Ero on siis $36\,\text{m}$. Hetkillä $4{,}0\,\text{s}$ ja $8{,}0\,\text{s}$ ero on kummallakin $32\,\text{m}$, joten $36\,\text{m}$ on suurin.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 3-16

   Pysäkki on origo, ja bussi seisoo siinä. Juoksija on pysäkin takana paikassa $-8{,}0\,\text{m}$. Hän juoksee positiiviseen suuntaan tasaisella nopeudella $5{,}0\,\text{m/s}$. Hetkellä $t = 0$ bussi lähtee liikkeelle samaan suuntaan ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $1{,}0\,\text{m/s}^2$.

   Milloin juoksija saavuttaa bussin ensimmäisen kerran?

   sTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   juoksija $x_{0\text{R}} = -8{,}0\,\text{m}$, $v = 5{,}0\,\text{m/s}$ (tasainen); bussi $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 1{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ensimmäinen hetki $t$, jolloin juoksija on bussin kohdalla, yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Kohtaaminen: $x_\text{B} = x_\text{R}$. Bussin paikka on $\tfrac12\,a\,t^2$ ja juoksijan paikka on $x_{0\text{R}} + v\,t$. Yhtälö on toisen asteen yhtälö. Molemmat positiiviset juuret ovat kohtaamisia. Ensimmäisellä kerralla juoksija saavuttaa bussin. Toisella kerralla bussi on jo nopeampi ja menee juoksijan ohi.

   Kaava

   $\tfrac12\,a\,t^2 = x_{0\text{R}} + v\,t$, eli $\tfrac12\,a\,t^2 - v\,t - x_{0\text{R}} = 0$. Kertoimet ovat $\tfrac12\,a$, $-v$ ja $-x_{0\text{R}}$, joten ratkaisukaavasta saadaan

   $t$$= \dfrac{v \pm \sqrt{v^2 + 2\,a\,x_{0\text{R}}}}{a}$

   Ensimmäinen kohtaaminen on pienempi juuri.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Juurrettava on

   $v^2 + 2\,a\,x_{0\text{R}}$$= (5{,}0\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 1{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (-8{,}0\,\text{m})$

   $= 9{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Siis

   $t$$= \dfrac{5{,}0\,\text{m/s} - 3{,}0\,\text{m/s}}{1{,}0\,\text{m/s}^2}$

   $= 2{,}0\,\text{s}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa. Suurempi juuri $5{,}0 + 3{,}0 = 8{,}0\,\text{s}$ on hetki, jolloin bussi ohittaa juoksijan.

   Järkevyys

   Juoksija on hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ paikassa

   $-8{,}0\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s}$

   $= 2{,}0\,\text{m}$

   Bussi on paikassa

   $\tfrac12 \cdot 1{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (2{,}0\,\text{s})^2$

   $= 2{,}0\,\text{m}$

   Bussin nopeus on silloin vasta $2{,}0\,\text{m/s}$. Juoksija on selvästi nopeampi, kuten saavuttamisessa pitääkin.

2. Tehtävä 3-17

   Bussi seisoo pysäkillä. Juoksija on bussin takana $20\,\text{m}$ päässä. Hetkellä $t = 0$ bussi lähtee liikkeelle samaan suuntaan ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $0{,}50\,\text{m/s}^2$. Juoksija juoksee samaan suuntaan tasaisella nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$.

   Saavuttaako juoksija bussin? Kuinka lähelle bussia hän pääsee?

   mTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   bussi $x_{0\text{B}} = 0$, $v_0 = 0$, $a = 0{,}50\,\text{m/s}^2$; juoksija $x_{0\text{R}} = -20\,\text{m}$, $v = 4{,}0\,\text{m/s}$ (tasainen); molemmat kulkevat samaan suuntaan

   Kysytty

   saavuttaako juoksija bussin, ja pienin välimatka $s_\text{min}$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Tehtävässä on kaksi ajatusta. Kohtaaminen vaatii, että juurrettava ei ole negatiivinen. Jos kohtaamista ei ole, välimatka on pienimmillään, kun nopeudet ovat yhtä suuret. Ennen sitä juoksija lähestyy bussia, ja sen jälkeen bussi etääntyy.

   Kaava

   Kohtaaminen $\tfrac12\,a\,t^2 = x_{0\text{R}} + v\,t$ antaa $\tfrac12\,a\,t^2 - v\,t - x_{0\text{R}} = 0$, ja juurrettava on $v^2 + 2\,a\,x_{0\text{R}}$. Nopeudet ovat yhtä suuret, kun $a\,t = v$, eli $t = \dfrac{v}{a}$. Välimatka on

   $s$$= x_\text{B} - x_\text{R}$

   $= \tfrac12\,a\,t^2 - x_{0\text{R}} - v\,t$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Juurrettava:

   $(4{,}0\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2 \cdot (-20\,\text{m})$

   $= 16 - 20$

   $= -4\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $< 0$

   joten juoksija ei saavuta bussia. Nopeudet ovat yhtä suuret hetkellä

   $t$$= \dfrac{4{,}0\,\text{m/s}}{0{,}50\,\text{m/s}^2}$

   $= 8{,}0\,\text{s}$

   Silloin

   $s_\text{min}$$= \tfrac12 \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2 \cdot (8{,}0\,\text{s})^2 + 20\,\text{m} - 4{,}0\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s}$

   $= 16\,\text{m} + 20\,\text{m} - 32\,\text{m}$

   $= 4{,}0\,\text{m}$

   Vastaus

   Juoksija ei saavuta bussia. Hän pääsee lähimmillään $4{,}0\,\text{m}$ päähän. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Hetkellä $8{,}0\,\text{s}$ bussi on paikassa $16\,\text{m}$ ja juoksija paikassa $-20\,\text{m} + 32\,\text{m} = 12\,\text{m}$, joten väliä on $4{,}0\,\text{m}$. Hetkillä $6{,}0\,\text{s}$ ja $10\,\text{s}$ väli on $5{,}0\,\text{m}$, joten $4{,}0\,\text{m}$ on pienin. Väli ei mene nollaan.

3. Tehtävä 3-18

   Skootteri lähtee levosta kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ kohti pyöräilijää. Pyöräilijä on $180\,\text{m}$ päässä ja ajaa skootteria vastaan tasaisella nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$. Skootteri ja pyöräilijä käyttävät eri kaistoja ja kohtaavat.

   Milloin ne ovat samassa kohdassa?

   sTarkista
   Vastaus

   $10\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   skootteri $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$ positiiviseen suuntaan; pyöräilijä $x_0 = 180\,\text{m}$, nopeus $-8{,}0\,\text{m/s}$ (vastaan, tasainen)

   Kysytty

   kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Skootterin liike on tasaisesti kiihtyvää ja pyöräilijän liike on tasaista. Ne kulkevat vastakkaisiin suuntiin. Kohtaaminen: $x_\text{S} = x_\text{P}$, kun origo on skootterin lähtöpaikka ja positiivinen suunta on pyöräilijää kohti.

   Kaava

   $\tfrac12\,a\,t^2 = D - v\,t$, missä $D = 180\,\text{m}$ ja $v = 8{,}0\,\text{m/s}$ on pyöräilijän vauhti. Siis $\tfrac12\,a\,t^2 + v\,t - D = 0$, ja positiivinen juuri on

   $t$$= \dfrac{-v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,D}}{a}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Juurrettava on

   $v^2 + 2\,a\,D$$= (8{,}0\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 180\,\text{m}$

   $= 784\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Siis

   $t$$= \dfrac{-8{,}0\,\text{m/s} + 28\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{m/s}^2}$

   $= 10\,\text{s}$

   Vastaus

   $10\,\text{s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa. Negatiivinen juuri $-18\,\text{s}$ olisi ennen lähtöä, eikä se kuulu tilanteeseen.

   Järkevyys

   Skootteri on ajanut $\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (10\,\text{s})^2 = 100\,\text{m}$ ja pyöräilijä $8{,}0\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 80\,\text{m}$. Yhteensä $100\,\text{m} + 80\,\text{m} = 180\,\text{m}$, eli kappaleiden välimatka on kulunut loppuun.

4. Tehtävä 3-19

   Esimerkkitilanne: henkilöauto ja kuorma-auto ajavat samaan suuntaan nopeudella $20\,\text{m/s}$. Kuorma-auton pituus on $12\,\text{m}$ ja henkilöauton pituus on $5{,}0\,\text{m}$. Henkilöauton etupää on $10\,\text{m}$ kuorma-auton takapään takana.

   Kuljettaja ohittaa kuorma-auton. Hän kiihdyttää tasaisesti kiihtyvyydellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$, kunnes henkilöauton takapää on kuorma-auton etupään kohdalla. Silloin hän palaa omalle kaistalleen. Kuorma-auto jatkaa tasaisella nopeudella. Vastakkaiselta kaistalta tulee auto nopeudella $20\,\text{m/s}$. Kun ohitus alkaa, sen etupää on matkan $d$ päässä henkilöauton etupäästä.

   a) Kuinka kauan ohitus kestää? Kuinka pitkän matkan henkilöauto ajaa sinä aikana?

   b) Kuinka suuri etäisyyden $d$ on vähintään oltava, jotta autot eivät ehdi kohdata ennen ohituksen loppua? Onko $d = 300\,\text{m}$ riittävä? Sopiiko henkilöauton loppunopeus nopeusrajoitukseen $80\,\text{km/h}$?

   Vastauslaatikkoon tulee osan b) pienin etäisyys $d$.

   mTarkista
   Vastaus

   $d = 267\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   molemmat $v_0 = 20\,\text{m/s}$; kuorma-auton pituus $L_\text{k} = 12\,\text{m}$, henkilöauton pituus $L_\text{h} = 5{,}0\,\text{m}$, alkuväli (etupää – takapää) $10\,\text{m}$; henkilöauton kiihtyvyys $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$; vastaantulevan nopeus $v_\text{v} = 20\,\text{m/s}$; nopeusrajoitus $80\,\text{km/h}$

   Kysytty

   ohituksen kesto $t$ ja matka $s_\text{h}$; pienin etäisyys $d$ yksikössä $\text{m}$; loppunopeus rajoitukseen verrattuna

   Periaate

   Tässä on kolme ajatusta. Ensimmäinen: autojen liikkeet kuvataan suhteessa toisiinsa. Kuorma-auto kulkee tasaisesti nopeudella $20\,\text{m/s}$. Henkilöauto aloittaa samasta nopeudesta, joten ero syntyy vain kiihtyvyydestä. Etenemisen ero on $\tfrac12\,a\,t^2$. Toinen: ohitus on valmis, kun etenemisen ero on yhtä suuri kuin etupään ja takapään väli. Se on kuorma-auton pituus ja henkilöauton pituus yhteensä. Kolmas: autot eivät ehdi kohdata, jos henkilöauton ja vastaantulevan kulkemat matkat ovat yhteensä enintään $d$.

   Kaava

   Tarvittava suhteellinen matka on $s_\text{rel} = 10\,\text{m} + L_\text{k} + L_\text{h}$ ja $\tfrac12\,a\,t^2 = s_\text{rel}$, joten $t = \sqrt{\dfrac{2\,s_\text{rel}}{a}}$. Henkilöauton matka on $s_\text{h} = v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2$, vastaantulevan matka on $s_\text{v} = v_\text{v}\,t$ ja $d_\text{min} = s_\text{h} + s_\text{v}$. Loppunopeus on $v = v_0 + a\,t$.

   Muunnokset

   $80\,\text{km/h}$$= 80 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 22{,}2\,\text{m/s}$

   Muut suureet ovat SI-yksiköissä.

   Sijoitus

   $s_\text{rel}$$= 10\,\text{m} + 12\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m}$

   $= 27\,\text{m}$

   Siis

   $t$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 27\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s}^2}}$

   $= \sqrt{36\,\text{s}^2}$

   $= 6{,}0\,\text{s}$

   Henkilöauton matka:

   $s_\text{h}$$= 20\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} + \tfrac12 \cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2 \cdot (6{,}0\,\text{s})^2$

   $= 120\,\text{m} + 27\,\text{m}$

   $= 147\,\text{m}$

   Vastaantulevan matka:

   $s_\text{v}$$= 20\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s}$

   $= 120\,\text{m}$

   Siis

   $d_\text{min}$$= 147\,\text{m} + 120\,\text{m}$

   $= 267\,\text{m}$

   Loppunopeus:

   $v$$= 20\,\text{m/s} + 1{,}5\,\text{m/s}^2 \cdot 6{,}0\,\text{s}$

   $= 29\,\text{m/s}$

   Vastaus

   Pienin etäisyys on $d = 267\,\text{m}$ (kolme merkitsevää numeroa, koska tulos on kahden kolminumeroisen summa). Ohitus kestää $6{,}0\,\text{s}$, ja henkilöauto ajaa sinä aikana $147\,\text{m}$. Etäisyys $300\,\text{m}$ riittää laskennallisesti. Varaa jää $33\,\text{m}$. Ohituksen lopussa se on vain noin $0{,}7\,\text{s}$ kahden auton yhteisellä lähestymisnopeudella $\left(33\,\text{m} : 49\,\text{m/s}\right)$. Loppunopeus $29\,\text{m/s} = 104\,\text{km/h}$ ylittää rajoituksen $80\,\text{km/h}$. Ohitus ei siis ole sallittu, vaikka etäisyys riittäisi.

   Mallivastaus perustelusta

   Ohitusta ei kannata tehdä. Laskennallinen varaväli on liian pieni, koska jo pieni virhe kiihtyvyydessä tai vastaantulevan nopeudessa kuluttaa sen. Lisäksi henkilöauton pitäisi ylittää nopeusrajoitus $80\,\text{km/h}$ noin $24\,\text{km/h}$:lla. Malli olettaa vakiokiihtyvyyden ja tarkat pituudet, joten se on karkea.

   Järkevyys

   Henkilöauto on ajanut $147\,\text{m}$ ja kuorma-auto $20\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} = 120\,\text{m}$. Ero on $27\,\text{m}$, kuten tarvitaan. Henkilöauton keskinopeus on $147\,\text{m} : 6{,}0\,\text{s} = 24{,}5\,\text{m/s}$. Se on alkunopeuden $20\,\text{m/s}$ ja loppunopeuden $29\,\text{m/s}$ keskiarvo.

5. Tehtävä 3-20

   Esimerkkitilanne: pyöräilijä ajaa tasaisella nopeudella. Hän ohittaa liikennevalojen pysäytysviivan hetkellä $t = 0$. Videoanalyysillä mitattiin hänen paikkansa $x$ pysäytysviivalta laskettuna (taulukko, esimerkkiaineisto).

   Pysäytysviivalla seisova auto lähtee liikkeelle $1{,}5\,\text{s}$ pyöräilijän ohituksen jälkeen. Se kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ samaan suuntaan. Alueella on nopeusrajoitus $40\,\text{km/h}$.

   a) Määritä pyöräilijän nopeus taulukosta.

   b) Missä paikassa auto ohittaa pyöräilijän? Milloin se tapahtuu pyöräilijän ohituksesta laskien?

   c) Mikä on auton nopeus ohitushetkellä? Noudattaako malli nopeusrajoitusta? Miten rajoitus muuttaisi tulosta?

   Vastauslaatikkoon tulee osan b) ohituspaikka.

   Pyöräilijän paikka (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$x\,(\text{m})$
   0,0	0,0
   1,0	6,1
   2,0	11,9
   3,0	18,1
   4,0	23,9

   mTarkista
   Vastaus

   $52\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pyöräilijä: taulukosta $x = 0$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $x = 23{,}9\,\text{m}$ hetkellä $4{,}0\,\text{s}$, tasainen liike; auto lähtee levosta viiveellä $t_0 = 1{,}5\,\text{s}$ pysäytysviivalta, $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$; rajoitus $40\,\text{km/h}$

   Kysytty

   pyöräilijän nopeus $v$; ohituspaikka $x$ (yksikkö $\text{m}$) ja ohitushetki $t$; auton nopeus ohitushetkellä rajoitukseen verrattuna

   Periaate

   Pyöräilijän nopeus saadaan taulukon paikan muutoksesta. Auton liike alkaa hetkellä $t_0$, joten sen liikeaika on $t - t_0$. Ohituksessa paikat ovat yhtä suuret, ja yhtälö on toisen asteen yhtälö. Lopuksi auton nopeus verrataan rajoitukseen. Näin nähdään, onko malli todellisuudessa järkevä.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon pisteet ovat lähes suoralla. Paikka kasvaa noin $6{,}0\,\text{m}$ joka sekunti, joten liike on tasaista. Päätepisteistä

   $v$$= \dfrac{23{,}9\,\text{m} - 0}{4{,}0\,\text{s} - 0}$

   $= 5{,}975\,\text{m/s}$

   $\approx 6{,}0\,\text{m/s}$

   Kaava

   Pyöräilijä $x_\text{P} = v\,t$ ja auto $x_\text{A} = \tfrac12\,a\,(t - t_0)^2$. Merkitään $\tau = t - t_0$, jolloin $x_\text{P} = v\,(\tau + t_0)$ ja ohituksessa $\tfrac12\,a\,\tau^2 - v\,\tau - v\,t_0 = 0$. Positiivinen juuri on

   $\tau$$= \dfrac{v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,v\,t_0}}{a}$

   Muunnokset

   $40\,\text{km/h}$$= 40 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 11{,}1\,\text{m/s}$

   Muut suureet ovat SI-yksiköissä.

   Sijoitus

   Juurrettava on

   $v^2 + 2\,a\,v\,t_0$$= 36\,\text{m}^2/\text{s}^2 + 2 \cdot 2{,}0 \cdot 6{,}0 \cdot 1{,}5\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 72\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Neliöjuuri on $8{,}49\,\text{m/s}$. Siis

   $\tau$$= \dfrac{6{,}0\,\text{m/s} + 8{,}49\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{m/s}^2}$

   $= 7{,}24\,\text{s}$

   $t$$= \tau + t_0$

   $= 7{,}24\,\text{s} + 1{,}5\,\text{s}$

   $= 8{,}74\,\text{s}$

   Ohituspaikka:

   $x$$= v\,t$

   $= 6{,}0\,\text{m/s} \cdot 8{,}74\,\text{s}$

   $= 52{,}4\,\text{m}$

   Auton nopeus ohituksessa:

   $v_\text{A}$$= a\,\tau$

   $= 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 7{,}24\,\text{s}$

   $= 14{,}5\,\text{m/s}$

   Vastaus

   Auto ohittaa pyöräilijän noin $52\,\text{m}$ päässä pysäytysviivasta, hetkellä $8{,}7\,\text{s}$ pyöräilijän ohituksesta. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa ja kiihtyvyydessä. Auton nopeus on silloin $14{,}5\,\text{m/s} \approx 52\,\text{km/h}$. Se ylittää rajoituksen $40\,\text{km/h}$. Malli ei siis noudata rajoitusta.

   Mallivastaus rajoituksen vaikutuksesta

   Malli olettaa, että auto kiihtyy koko ajan samalla kiihtyvyydellä. Rajoitus $11{,}1\,\text{m/s}$ saavutetaan jo $5{,}6\,\text{s}$ kuluttua lähdöstä, ennen laskettua ohitushetkeä. Silloin kiihdytys loppuisi ja auto ajaisi tasaisella nopeudella. Ohitus tapahtuisi myöhemmin ja kauempana kuin laskettu $52\,\text{m}$. Auto on silti pyöräilijää nopeampi ($11{,}1\,\text{m/s} > 6{,}0\,\text{m/s}$), joten se ohittaa lopulta.

   Järkevyys

   Auto on liikkunut

   $\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (7{,}24\,\text{s})^2$

   $= 52{,}4\,\text{m}$

   Se on sama kuin pyöräilijän paikka, joten paikat täsmäävät. Auton nopeus $14{,}5\,\text{m/s}$ on suurempi kuin pyöräilijän $6{,}0\,\text{m/s}$, kuten ohituksessa pitää.