Kahden kappaleen liikkeiden vertailu
Miksi paikaltaan lähtevä auto saavuttaa edellä tasaisesti polkevan pyöräilijän vasta kaukana, vaikka auto kiihtyy koko ajan?
Pohjatiedot
- Tasaisen liikkeen paikka $x = x_0 + v\,t$ ja $(t, x)$-kuvaajaluku Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina
- Tasaisesti kiihtyvän liikkeen paikka $x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 5.
Pohdinta
Liikennevalot vaihtuvat vihreiksi. Pysäytysviivalla seissyt auto lähtee liikkeelle ja kiihtyy tasaisesti. Samalla hetkellä pyöräilijä, joka on $16\,\text{m}$ viivan edellä, ajaa tasaisella nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$ samaan suuntaan. Auto kiihtyy koko ajan, mutta pyöräilijä on silti pitkään edellä.
Milloin ja missä auto saavuttaa pyöräilijän, ja kumpi on silloin nopeampi?
Valinnainen Kertaa: kiihtyvän kappaleen paikka
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: kohtaaminen vastakkain
Ennuste 2: nopeudet ohitushetkellä
Ennuste 3: pyöräilijän etumatka
Tutki
Auto A ja pyöräilijä B liikkuvat samalla tiellä. Heidän paikkansa näkyvät yhdellä akselilla ja samassa $(t, x)$-kuvaajassa.
Simulaatio
Käyttöohje
Paina Käynnistä tai vedä Hetki $t$ -liukusäädintä ja valitse Tapaus. Sininen nuoli näyttää nopeuden $\overline{v}$ ja oranssi kiihtyvyyden $\overline{a}$, ja nuolen pituus kertoo suuruuden. Kuvaajan viiva piirtyy niille hetkille, joissa olet käynyt, ja musta rengas ilmestyy kohtaamiseen, kun olet käynyt kohtaamishetkessä. Tapauksessa 5 kappale $\text{A}$ on bussi ja kappale $\text{B}$ juoksija.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja, eivät mittauksia. Kappaleet liikkuvat suoraa tietä pitkin vakiokiihtyvyydellä ($a = 0$ tasaisessa liikkeessä), niitä käsitellään pisteinä, ja ne kulkevat toistensa läpi. Kitkaa ja ilmanvastusta ei huomioida, ja kiihtyvyys saa arvonsa heti lähdössä.
Laskennan selitys
Kummankin kappaleen paikka lasketaan kaavalla $x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$ ja nopeus kaavalla $v = v_0 + a t$. Kappaleet kohtaavat hetkellä, jolloin $x_\text{A} = x_\text{B}$. Lukema $x_\text{B} - x_\text{A}$ kertoo, kuinka paljon suurempi B:n paikkakoordinaatti on, ja se on nolla kohtaamishetkellä. Kun kappaleet liikkuvat positiiviseen suuntaan, se on B:n etumatka.
Koe 1: kohtaaminen vastakkain
Testaa ennuste 1. Alkutila valitsee tapauksen 1, jossa kappaleet liikkuvat vastakkain. Kirjaa lukemat ainakin kolmella eri hetkellä, esimerkiksi $t = 0$, $t = 5{,}0\,\text{s}$ ja $t = 10\,\text{s}$, ja etsi hetki, jolloin kappaleet ovat samassa paikassa.
Alkutila: tapaus = $1$, hetki $t$ = $0\,\text{s}$. Vakiona: tapaus. Muutetaan: hetki $t$.
| hetki $t$ | $x_\text{A}$ $(\text{m})$ | $x_\text{B}$ $(\text{m})$ | $x_\text{B}$ − $x_\text{A}$ $(\text{m})$ |
|---|
Missä paikassa kappaleet kohtaavat? Etsi taulukosta hetki, jolloin $x_\text{A} = x_\text{B}$, ja lue paikka. Vastaa metreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kohtaamishetkellä kappaleet ovat samassa paikassa. Minkä hetken rivillä sarake $x_\text{B} - x_\text{A}$ on nolla?
Vihje 2: mikä yhteys
Paikkojen ero $x_\text{B} - x_\text{A}$ pienenee joka sekunti saman verran, kunnes se on nolla. Kuvaajassa viivat leikkaavat samassa kohdassa.
Vihje 3: välivaihe
Paikkojen ero on aluksi $60\,\text{m}$ ja pienenee $6{,}0\,\text{m}$ sekunnissa, joten se on nolla hetkellä $10\,\text{s}$. Lue paikka tämän hetken rivillä.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta hetkellä $t = 10\,\text{s}$ kappaleiden paikat $x_\text{A} = 50\,\text{m}$ ja $x_\text{B} = 50\,\text{m}$; paikkojen ero $x_\text{B} - x_\text{A} = 0$
Kysytty
kohtaamispaikka $x$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Kappaleet kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä eli $x_\text{A} = x_\text{B}$. Taulukossa se on rivi, jolla paikkojen ero on nolla, ja kohtaamispaikka luetaan samalta riviltä.
Kaava
$x_\text{A} = x_\text{B}$, eli $10 + 4{,}0\,t = 70 - 2{,}0\,t$. Ajaksi tulee
ja paikaksi $x = x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$50\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
B:n paikka on $70\,\text{m} - 2{,}0\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 50\,\text{m}$, sama kuin A:n. Kohtaamispaikka on alkupaikkojen $10\,\text{m}$ ja $70\,\text{m}$ välissä. A on kulkenut $40\,\text{m}$ ja B $20\,\text{m}$, kaksi kertaa lyhyemmän matkan, koska B on kaksi kertaa hitaampi.
Koe 2: auto lähtee levosta
Testaa ennusteet 2 ja 3. Alkutila valitsee tapauksen 3: auto lähtee levosta ja pyöräilijä on $16\,\text{m}$ edellä. Kirjaa lukemat ainakin kolmella eri hetkellä, esimerkiksi $t = 0$, $t = 3{,}0\,\text{s}$, $t = 8{,}0\,\text{s}$ ja $t = 12\,\text{s}$. Etsi hetki, jolloin kappaleet ovat samassa paikassa, ja katso, mitä etumatkalle tapahtuu.
Alkutila: tapaus = $3$, hetki $t$ = $0\,\text{s}$. Vakiona: tapaus. Muutetaan: hetki $t$.
| hetki $t$ | $x_\text{A}$ $(\text{m})$ | $x_\text{B}$ $(\text{m})$ | $v_\text{A}$ $(\text{m/s})$ | $x_\text{B}$ − $x_\text{A}$ $(\text{m})$ |
|---|
Mikä on auton nopeus ohitushetkellä? Etsi taulukosta hetki, jolloin $x_\text{A} = x_\text{B}$, ja lue auton nopeus sillä hetkellä. Vastaa yksikössä m/s.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Ohitushetkellä kappaleet ovat samassa paikassa. Minkä rivin sarake $x_\text{B} - x_\text{A}$ on nolla?
Vihje 2: mikä yhteys
Auton nopeus on sarakkeessa $v_\text{A}$. Lue se samalta riviltä kuin missä paikat ovat yhtä suuret.
Vihje 3: välivaihe
Etsi rivi, jolla
Jos sellaista riviä ei ole taulukossasi, kirjaa lukema hetkellä $t = 8{,}0\,\text{s}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta hetkellä $t = 8{,}0\,\text{s}$: $x_\text{A} = x_\text{B} = 64\,\text{m}$ ja $v_\text{A} = 16\,\text{m/s}$; auton kiihtyvyys $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$ ja alkunopeus nolla
Kysytty
auton nopeus $v_\text{A}$ ohitushetkellä yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Ohitushetki on hetki, jolloin paikat ovat samat, eli rivi, jolla $x_\text{B} - x_\text{A} = 0$. Auton nopeus luetaan samalta riviltä. Auton kiihtyvyys on vakio, joten nopeus kasvaa tasaisesti.
Kaava
$v = v_0 + a\,t$, ja kun $v_0 = 0$, $v_\text{A} = a\,t$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä ja $\text{m/s}^2 \cdot \text{s} = \text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$16\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa; sama luku on taulukon riviltä.
Järkevyys
Auton nopeus $16\,\text{m/s}$ on suurempi kuin pyöräilijän (tapauksen asetuksista) $6{,}0\,\text{m/s}$, kuten ohituksessa pitääkin. Se on myös yli kaksi kertaa pyöräilijän nopeus: auton on ensin kuitenkin ehdittävä tasoittaa etumatka, jonka pyöräilijä sai, kun auto oli hitaampi.
Valinnainen Koe 3: juoksija ja bussi
Tapauksessa 5 bussi lähtee levosta ja juoksija on $5{,}0\,\text{m}$ sen takana nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$. Kirjaa lukemat esimerkiksi hetkillä $t = 0$, $2{,}0\,\text{s}$, $6{,}0\,\text{s}$ ja $7{,}0\,\text{s}$ ja katso, miten etumatka $x_\text{B} - x_\text{A}$ ja kohtaamisten määrä muuttuvat.
Alkutila: tapaus = $5$, hetki $t$ = $0\,\text{s}$. Vakiona: tapaus. Muutetaan: hetki $t$.
| hetki $t$ | $x_\text{A}$ $(\text{m})$ | $x_\text{B}$ $(\text{m})$ | $x_\text{B}$ − $x_\text{A}$ $(\text{m})$ | kohtaamisia |
|---|
Entä jos kappaleet eivät kohtaa?
Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty tilanne, ei mittaus.
Auto $\text{A}$ ajaa tasaisella nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$ origosta. Pyöräilijä $\text{B}$ on hetkellä $t = 0$ paikassa $20\,\text{m}$ ja ajaa samaan suuntaan nopeudella $5{,}0\,\text{m/s}$. Kohtaamisehto $x_\text{A} = x_\text{B}$ antaa yhtälön $3{,}0\,t = 20 + 5{,}0\,t$, jonka ratkaisu on $t = -10\,\text{s}$. Voit tarkistaa tilanteen simulaation tapauksesta 4.
Johtopäätös
Selitä omin sanoin taulukoidesi avulla, miksi auto on ohitushetkellä nopeampi kuin pyöräilijä, vaikka kappaleet ovat silloin samassa paikassa. Käytä sanoja paikka, nopeus ja etumatka.
Mallivastaus
Kohtaamisessa vain paikat ovat samat: $x_\text{A} = x_\text{B}$. Mallin arvoissa auto lähtee levosta ja on aluksi pyöräilijää hitaampi, joten pyöräilijän etumatka kasvaa $16\,\text{m}$:stä. Hetkellä $3{,}0\,\text{s}$ nopeudet ovat molemmat $6{,}0\,\text{m/s}$ ja etumatka on suurimmillaan, $25\,\text{m}$. Sen jälkeen auto on nopeampi ja pienentää etumatkaa. Jotta etumatka ehtii nollautua, auton täytyy olla nopeampi siihen asti, ja ohitushetkellä $8{,}0\,\text{s}$ auton nopeus on $16\,\text{m/s}$ ja pyöräilijän $6{,}0\,\text{m/s}$.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kahden kappaleen liikkeitä voi verrata vain, kun molempien paikka mitataan samasta koordinaatistosta. Valitaan yksi $x$-akseli, yksi origo ja yksi positiivinen suunta sekä yksi kello, joka on nollassa liikkeiden alussa. Silloin kummallakin kappaleella on oma paikka ajan funktiona: $x_\text{A}(t)$ ja $x_\text{B}(t)$. Origo ja suunta voi valita vapaasti, mutta ne valitaan kerran ja pidetään koko tehtävän ajan.
Kappaleet kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä eli $x_\text{A} = x_\text{B}$. Kohtaamisesta kysytään aina kahta asiaa: milloin se tapahtuu ja missä. Jos kappaleet tulevat vastakkaisista suunnista, ne kohtaavat toisensa. Jos takana kulkeva tavoittaa edellä kulkevan ja menee sen ohi, kyseessä on ohitus. Molemmissa fysiikka on sama: paikat ovat yhtä suuret.
Kuvassa kappale A lähtee paikasta $0\,\text{m}$ ja B paikasta $60\,\text{m}$, ja ne liikkuvat vastakkain. Kun kappaleiden paikat on merkitty samalle akselille, näkee heti, kumpi on missäkin ja miten niiden välimatka muuttuu. Kohtaamishetkellä välimatka on nolla.
$(t,x)$-kuvaajassa kumpikin liike on oma viivansa samassa koordinaatistossa. Kohtaaminen on viivojen leikkauspiste: sen vaakakoordinaatti on kohtaamishetki ja pystykoordinaatti kohtaamispaikka. Kuvaajassa ylempänä oleva viiva tarkoittaa suurempaa paikkakoordinaattia. Kohtaamishetkellä kappaleiden kuvaajat leikkaavat toisensa. Kumpi kappale on edellä, riippuu myös liikkeen suunnasta: kun kappaleet liikkuvat $x$-akselin positiiviseen suuntaan, ylempänä oleva viiva kuuluu edellä olevalle kappaleelle. Negatiiviseen suuntaan liikuttaessa edellä on se kappale, jonka viiva on alempana.
Kohtaaminen ei tarkoita, että kappaleilla olisi sama nopeus. Leikkauspisteessä viivat ovat eri jyrkkiä, koska kappaleiden nopeudet ovat erisuuret. Jos kahden tasaisesti liikkuvan kappaleen nopeudet olisivat yhtä suuret, viivat olisivat yhdensuuntaiset ja kappaleiden välimatka pysyisi samana, joten ne eivät kohtaisi, jos ne lähtevät eri paikoista. Ohituksessa takaa tuleva kappale on kohtaamishetkellä nopeampi kuin ohitettava.
Kohtaamisehto
Kohtaamishetki ja kohtaamispaikka saadaan kirjoittamalla kummankin kappaleen paikka ajan funktiona ja merkitsemällä paikat yhtä suuriksi:
$$x_\text{A}(t) = x_\text{B}(t)$$
missä $x_\text{A}(t)$ ja $x_\text{B}(t)$ ovat kappaleiden paikat samassa koordinaatistossa ($\text{m}$) ja $t$ on kohtaamishetki ($\text{s}$). Kun $t$ on ratkaistu, se sijoitetaan jompaankumpaan paikkafunktioon, ja tulos on kohtaamispaikka. Tarkistuksena toinen paikkafunktio antaa saman paikan.
Paikkafunktio riippuu liikkeen lajista. Tasaisessa liikkeessä se on $x = x_0 + v\,t$ (luku Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina). Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike) se on
$$\begin{aligned} x &= x_0 + v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2 \\ v &= v_0 + a\,t \end{aligned}$$
missä $x_0$ on alkupaikka ($\text{m}$), $v_0$ alkunopeus ($\text{m/s}$), $a$ kiihtyvyys ($\text{m/s}^2$), $t$ aika ($\text{s}$) ja $v$ nopeus hetkellä $t$ ($\text{m/s}$). Kaavat pätevät, kun liike on suoraviivaista ja kiihtyvyys on vakio. Kahden tasaisen liikkeen yhtälö on ensimmäisen asteen yhtälö, joten kappaleet kohtaavat enintään kerran. Jos toinen kiihtyy, yhtälö on toisen asteen yhtälö, ja viivoilla voi olla kaksi leikkauspistettä.
Yksinkertaisin ohitus: auto lähtee levosta samasta paikasta, jossa pyöräilijä kulkee tasaisella nopeudella $v$. Autolle $x_\text{A} = \tfrac12 a t^2$ ja pyöräilijälle $x_\text{B} = v\,t$:
$$\begin{aligned} &\tfrac12\,a\,t^2 = v\,t \\ &t\left(\tfrac12\,a\,t - v\right) = 0 \\ &t = 0 \quad\text{tai}\quad t = \frac{2v}{a} \end{aligned}$$
Ratkaisu $t = 0$ on lähtöhetki: kappaleet ovat silloin samassa paikassa. Ohitus tapahtuu hetkellä $t = 2v/a$. Silloin auton nopeus on $a\,t = 2v$, kaksi kertaa pyöräilijän nopeus.
Miksi auton täytyy saavuttaa kaksinkertainen nopeus? Syy näkyy $(t,v)$-kuvaajasta. Siirtymä on nopeuskuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala, ja kahden kuvaajan väliin jäävä pinta-ala kertoo, paljonko etumatka muuttuu. Niin kauan kuin auto on pyöräilijää hitaampi, pyöräilijän etumatka kasvaa. Kun takana oleva lähtee hitaampana, etumatka on suurimmillaan silloin, kun nopeudet ovat yhtä suuret, eikä se ole kohtaamishetki. Vasta sen jälkeen auto on nopeampi ja pienentää etumatkaa. Ohitus tapahtuu, kun etumatkan pieneneminen on yhtä suuri kuin aiempi kasvu: kuvassa kumpikin alue vastaa $9\,\text{m}$. Siksi ohitus tulee vasta kaukana: auton on ensin kurottava umpeen etumatkan kasvu, ja tässä esimerkissä ohituspaikka on $36\,\text{m}$ lähdöstä, vaikka etumatka kasvoi enimmillään vain $9\,\text{m}$.
Jos pyöräilijä on lähtiessä matkan $x_{0\text{B}}$ edellä, yhtälö on $\tfrac12 a t^2 = x_{0\text{B}} + v\,t$. Se ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, ja kohtaamishetki on positiivinen juuri. Negatiivinen juuri kuvaisi hetkeä ennen lähtöä, eikä se kuulu tilanteeseen; kaksi positiivista juurta olisi kaksi kohtaamista. Jos positiivista juurta ei ole, kappaleet eivät kohtaa.
Yleinen virhekäsitys
Yleisin virhe on ajatella, että kappaleilla on kohtaamishetkellä sama nopeus, koska ne ovat samassa paikassa. Paikka ja nopeus ovat eri suureita: kappaleet ovat samassa paikassa vain sillä hetkellä, ja ohituksessa takaa tuleva kulkee ohitushetkellä nopeammin.
Toinen virhe on ratkaista kohtaamishetki merkitsemällä nopeudet yhtä suuriksi. Silloin löytyy hetki, jolla etumatka on suurimmillaan tai pienimmillään, ei hetki, jolla kappaleet ovat samassa paikassa. Kohtaamisessa yhtä suuria ovat paikat.
Kolmas virhe on lukea $(t,v)$-kuvaajan leikkauspiste kohtaamiseksi. Siinä viivat leikkaavat, kun nopeudet ovat yhtä suuret. Kohtaamisen näkee vain $(t,x)$-kuvaajasta.
Tiivistelmä
- Kahden kappaleen paikat mitataan samassa koordinaatistossa: sama origo, sama positiivinen suunta ja sama kello.
- Kappaleet kohtaavat, kun $x_\text{A}(t) = x_\text{B}(t)$. Yhtälöstä saadaan kohtaamishetki, ja sijoittamalla se paikkafunktioon kohtaamispaikka.
- $(t,x)$-kuvaajassa kohtaaminen on viivojen leikkauspiste. Kohtaamisessa nopeudet ovat yleensä erisuuret.
- Kun toinen liike on tasaisesti kiihtyvää, yhtälö on toisen asteen yhtälö. Jokainen positiivinen juuri on kohtaaminen (niitä voi olla kaksi), ja negatiivinen juuri on ennen lähtöä eikä kuulu tilanteeseen.
- Kun takana oleva lähtee hitaampana, etumatka on suurimmillaan silloin, kun nopeudet ovat yhtä suuret, eikä se ole kohtaamishetki.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi taulukoihin ja kuvaajiin. Mitä sait selville kohtaamispaikasta, nopeuksista ohitushetkellä ja etumatkan muutoksesta? Palaa myös alun liikennevaloihin: mistä näkee, että auto saavuttaa pyöräilijän vasta kaukana viivalta?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Pyöräilijä polkee suoraa tietä tasaisella nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$. Hetkellä $t = 0$ hän on $16\,\text{m}$ liikennevalojen pysäytysviivan edellä. Samalla hetkellä viivalla seisova auto lähtee liikkeelle ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ samaan suuntaan. Milloin auto ohittaa pyöräilijän ja kuinka kaukana pysäytysviivasta ohitus tapahtuu?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Origo on pysäytysviivalla ja positiivinen suunta on kulkusuunta. Auto A: $x_{0\text{A}} = 0$, $v_{0\text{A}} = 0$, $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$. Pyöräilijä B: $x_{0\text{B}} = 16\,\text{m}$, $v = 6{,}0\,\text{m/s}$ (vakio). Kysytään ohitushetkeä $t$ ja ohituspaikkaa $x$.
Vaihe 2/7
Periaate. Ohitushetkellä kappaleet ovat samassa paikassa, joten $x_\text{A} = x_\text{B}$. Auton liike on tasaisesti kiihtyvää ja pyöräilijän tasaista, joten kummankin paikka tunnetaan ajan funktiona. Merkitään paikat yhtä suuriksi ja ratkaistaan aika.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Auton paikka on $x_\text{A} = \tfrac12 a t^2$ ja pyöräilijän $x_\text{B} = x_{0\text{B}} + v\,t$. Yhtälö ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla ja valitaan positiivinen juuri:
$$\begin{aligned} &\tfrac12\,a\,t^2 = x_{0\text{B}} + v\,t \\ &\tfrac12\,a\,t^2 - v\,t - x_{0\text{B}} = 0 \\ &t = \frac{v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,x_{0\text{B}}}}{a} \end{aligned}$$
Toisen asteen yhtälön $A t^2 + B t + C = 0$ kertoimet ovat tässä $A = \tfrac12 a$, $B = -v$ ja $C = -x_{0\text{B}}$, ja ratkaisukaava
antaa yllä olevan juuren.
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja juurrettavassa $v^2$ ja $2\,a\,x_{0\text{B}}$ ovat molemmat yksikössä $\text{m}^2/\text{s}^2$. Juurrettava on
Vaihe 5/7
Sijoitus. Sijoitetaan ensin aika ja sen jälkeen paikka:
$$\begin{aligned} t &= \frac{v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,x_{0\text{B}}}}{a} \\ &= \frac{6{,}0\,\text{m/s} + \sqrt{100\,\text{m}^2/\text{s}^2}}{2{,}0\,\text{m/s}^2} \\ &= \frac{6{,}0\,\text{m/s} + 10\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{m/s}^2} \\ &= 8{,}0\,\text{s} \\[4pt] x &= \tfrac12\,a\,t^2 \\ &= \tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (8{,}0\,\text{s})^2 \\ &= 64\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Auto ohittaa pyöräilijän hetkellä $t = 8{,}0\,\text{s}$ paikassa $x = 64\,\text{m}$ pysäytysviivalta laskien. Tuloksissa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtötiedot $6{,}0\,\text{m/s}$, $2{,}0\,\text{m/s}^2$ ja $16\,\text{m}$ ovat kahdella numerolla.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Pyöräilijän paikka on $16\,\text{m} + 6{,}0\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s} = 64\,\text{m}$, joten toinen paikkafunktio antaa saman paikan. Auton nopeus ohitushetkellä on
ja pyöräilijän $6{,}0\,\text{m/s}$, joten auto on ohittaessaan nopeampi, kuten pitääkin. Toinen juuri
on ennen lähtöä eikä kuulu tilanteeseen.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Moottoripyörä seisoo viivalla. Samalla hetkellä kuorma-auto ajaa viivan ohi tasaisella nopeudella $12\,\text{m/s}$. Moottoripyörä lähtee liikkeelle samaan suuntaan ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $3{,}0\,\text{m/s}^2$.
Mikä on moottoripyörän nopeus, kun se saavuttaa kuorma-auton? Vastaa yksikössä m/s.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Saavuttaminen on kohtaaminen. Kirjoita kummankin kappaleen paikka ajan funktiona ja merkitse paikat yhtä suuriksi.
Vihje 2: mikä yhteys
Moottoripyörä: $x = \tfrac12\,a\,t^2$. Kuorma-auto: $x = v\,t$. Ratkaise $t$ (muu kuin $t = 0$) ja laske sitten moottoripyörän nopeus kaavalla $v = a\,t$.
Vihje 3: välivaihe
$\tfrac12\,a\,t^2 = v\,t$ antaa
Kerro tulos kiihtyvyydellä.
Näytä ratkaisu
Annettu
moottoripyörä $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 3{,}0\,\text{m/s}^2$; kuorma-auto tasaisella nopeudella $v = 12\,\text{m/s}$ samasta paikasta; molemmat ovat hetkellä $t = 0$ viivalla
Kysytty
moottoripyörän nopeus $v_\text{M}$ ohitushetkellä yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Moottoripyörä saavuttaa kuorma-auton, kun paikat ovat yhtä suuret. Moottoripyörän liike on tasaisesti kiihtyvää ja kuorma-auton tasaista, ja molemmat lähtevät samasta paikasta. Kun ohitushetki tunnetaan, nopeus saadaan kiihtyvyydestä ja ajasta.
Kaava
$\tfrac12\,a\,t^2 = v\,t$, joten $t = \dfrac{2v}{a}$ ($t = 0$ on lähtö). Nopeus on
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$24\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
Moottoripyörän nopeus on kaksi kertaa kuorma-auton nopeus, kuten ohituksessa samasta paikasta lähdettäessä pitääkin. Paikat ovat samat: $\tfrac12 \cdot 3{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (8{,}0\,\text{s})^2 = 96\,\text{m}$ ja $12\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s} = 96\,\text{m}$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Miksi kahden kappaleen paikat täytyy mitata samasta origosta, samaan suuntaan ja samalla kellolla, ennen kuin kohtaamishetken voi ratkaista?
Vastaus
Kohtaaminen tarkoittaa, että paikat ovat samat samalla hetkellä, $x_\text{A} = x_\text{B}$. Yhtälö kertoo jotain vain, jos molemmat paikat on mitattu samasta koordinaatistosta ja samasta aikahetkestä. Jos kappaleilla olisi eri origo tai eri kello, yhtä suuret luvut eivät tarkoittaisi samaa paikkaa samalla hetkellä.
- Kahden kappaleen $(t, x)$-kuvaajan viivat eivät leikkaa kuvaajan alueella. Mitä se kertoo?
Vastaus
Kappaleet eivät ole samassa paikassa millään kuvatulla hetkellä, joten ne eivät kohtaa tänä aikana. Viivat voivat silti leikata kuvaajan ulkopuolella, esimerkiksi myöhemmin tai ennen hetkeä $t = 0$. Ratkaisu, jossa $t < 0$, ei kuulu tilanteeseen.
- Toisen asteen yhtälön $\tfrac12\,a\,t^2 = x_0 + v\,t$ ratkaisuina on $t = -2{,}0\,\text{s}$ ja $t = 8{,}0\,\text{s}$. Kumpi on kohtaamishetki ja miksi?
Vastaus
Kohtaamishetki on $t = 8{,}0\,\text{s}$. Liike alkaa hetkellä $t = 0$, joten negatiivinen juuri $-2{,}0\,\text{s}$ olisi ennen lähtöä eikä kuulu tilanteeseen.
1. Käsite
2. Laske
Kappale A lähtee paikasta $0$ ja kulkee tasaisesti nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Kappale B lähtee samalla hetkellä paikasta $30\,\text{m}$ ja kulkee tasaisesti nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$ negatiiviseen suuntaan. Milloin kappaleet kohtaavat? Vastaa sekunteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kirjoita kummankin kappaleen paikka ajan funktiona. B:n nopeus on negatiivinen.
Vihje 2: mikä yhteys
Kohtaamisessa $x_\text{A} = x_\text{B}$, eli $2{,}0\,t = 30 - 3{,}0\,t$.
Vihje 3: välivaihe
Siirrä $t$-termit samalle puolelle: $5{,}0\,t = 30$. Ratkaise $t$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kappale A: $x_{0\text{A}} = 0$, $v_\text{A} = 2{,}0\,\text{m/s}$; kappale B: $x_{0\text{B}} = 30\,\text{m}$, $v_\text{B} = -3{,}0\,\text{m/s}$; molemmat tasaisia
Kysytty
kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Kappaleet kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa: $x_\text{A} = x_\text{B}$. Molemmat liikkuvat tasaisesti, joten $x = x_0 + v\,t$ kummallekin. B:n nopeus on negatiivinen, koska se tulee A:ta vastaan.
Kaava
$x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$, joten
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$6{,}0\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.
Järkevyys
Kappaleet lähestyvät toisiaan nopeudella $2{,}0\,\text{m/s} + 3{,}0\,\text{m/s} = 5{,}0\,\text{m/s}$, joten $30\,\text{m}$ kuluu ajassa $6{,}0\,\text{s}$. Paikat:
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä
Auto lähtee levosta, kun pyöräilijä on sen edellä. Selitä omin sanoin, milloin pyöräilijän etumatka on suurimmillaan ja miksi ohitus tapahtuu vasta sen jälkeen.
Mallivastaus
Auto lähtee levosta, joten se on aluksi hitaampi kuin tasaisella nopeudella ajava pyöräilijä. Niin kauan kuin pyöräilijä on nopeampi, hän etenee autoa enemmän ja etumatka kasvaa. Kun auton nopeus on kasvanut yhtä suureksi kuin pyöräilijän, etumatka ei enää kasva: se on suurimmillaan. Sen jälkeen auto on nopeampi ja pienentää etumatkaa. Ohitus tapahtuu vasta, kun etumatka on kulunut loppuun, joten silloin paikat ovat samat ja auto on nopeampi. Nopeuksien yhtäsuuruus ja paikkojen yhtäsuuruus ovat siis eri hetkiä.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-1Ydintehtävä
Kaksi kärryä liikkuu samalla suoralla radalla. Kärryn A paikka on $x_\text{A} = 4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot t$ ja kärryn B paikka on $x_\text{B} = 24\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m/s} \cdot t$. Milloin kärryt kohtaavat?
Vastaus
$4{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$x_\text{A} = 4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot t$ ja $x_\text{B} = 24\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m/s} \cdot t$ samassa koordinaatistossa
Kysytty
kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Kärryt kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä, joten $x_\text{A} = x_\text{B}$. Paikat ovat ajan lineaarisia funktioita, joten yhtälöllä on yksi ratkaisu.
Kaava
$x_\text{A} = x_\text{B}$, eli $4{,}0 + 2{,}0\,t = 24 - 3{,}0\,t$. Termit $t$ vasemmalle ja luvut oikealle: $5{,}0\,t = 20$, joten $t = \dfrac{24 - 4{,}0}{2{,}0 + 3{,}0}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten tulos tulee sekunteina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{24\,\text{m} - 4{,}0\,\text{m}}{2{,}0\,\text{m/s} + 3{,}0\,\text{m/s}}$$= \dfrac{20\,\text{m}}{5{,}0\,\text{m/s}}$$= 4{,}0\,\text{s}$Vastaus
$4{,}0\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa ($2{,}0\,\text{m/s}$ ja $3{,}0\,\text{m/s}$).
Järkevyys
Sijoitus molempiin paikkoihin:
$x_\text{A}$$= 4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot 4{,}0\,\text{s}$$= 12\,\text{m}$$x_\text{B}$$= 24\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m/s} \cdot 4{,}0\,\text{s}$$= 12\,\text{m}$Paikat ovat samat, joten kärryt kohtaavat. Aika on positiivinen, joten kohtaaminen tapahtuu lähdön jälkeen.
- Tehtävä 3-2Ydintehtävä
Pyöräilijä ajaa paikasta $0$ tasaisella nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Juoksija on samalla hetkellä paikassa $60\,\text{m}$ ja juoksee samaan suuntaan tasaisella nopeudella $5{,}0\,\text{m/s}$. Milloin pyöräilijä saavuttaa juoksijan?
Vastaus
$20\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pyöräilijä $x_0 = 0$, $v_\text{P} = 8{,}0\,\text{m/s}$; juoksija $x_0 = 60\,\text{m}$, $v_\text{R} = 5{,}0\,\text{m/s}$; molemmat tasaisia ja samaan suuntaan
Kysytty
hetki $t$, jolloin pyöräilijä saavuttaa juoksijan, yksikössä $\text{s}$
Periaate
Saavuttaminen on kohtaaminen: paikat ovat yhtä suuret. Molemmat liikkuvat tasaisesti, joten $x = x_0 + v\,t$ kummallekin. Pyöräilijä on nopeampi, joten hän saavuttaa juoksijan.
Kaava
$v_\text{P}\,t = x_{0\text{R}} + v_\text{R}\,t$, joten
$(v_\text{P} - v_\text{R})\,t$$= x_{0\text{R}}$$t$$= \dfrac{x_{0\text{R}}}{v_\text{P} - v_\text{R}}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{60\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s} - 5{,}0\,\text{m/s}}$$= \dfrac{60\,\text{m}}{3{,}0\,\text{m/s}}$$= 20\,\text{s}$Vastaus
$20\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.
Järkevyys
Pyöräilijä lähestyy juoksijaa $3{,}0\,\text{m}$ joka sekunti, joten $60\,\text{m}$ vie $20\,\text{s}$. Tarkistus: pyöräilijän paikka on $8{,}0\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s} = 160\,\text{m}$ ja juoksijan $60\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s} = 160\,\text{m}$.
- Tehtävä 3-3
Auto lähtee levosta origosta ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $3{,}0\,\text{m/s}^2$. Missä paikassa auto on $4{,}0\,\text{s}$ kuluttua?
Vastaus
$24\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 3{,}0\,\text{m/s}^2$, $t = 4{,}0\,\text{s}$
Kysytty
auton paikka $x$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Kiihtyvyys on vakio, joten paikka saadaan tasaisesti kiihtyvän liikkeen paikkafunktiosta. Auto lähtee levosta origosta, joten alkupaikka ja alkunopeus ovat nolla.
Kaava
$x = x_0 + v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2$, ja kun $x_0 = 0$ ja $v_0 = 0$, $x = \tfrac12\,a\,t^2$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{m/s}^2 \cdot \text{s}^2 = \text{m}$. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$x$$= \tfrac12 \cdot 3{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (4{,}0\,\text{s})^2$$= \tfrac12 \cdot 3{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 16\,\text{s}^2$$= 24\,\text{m}$Vastaus
$24\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
Jos auto kulkisi koko ajan loppunopeudellaan $3{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}0\,\text{s} = 12\,\text{m/s}$, se etenisi $48\,\text{m}$. Kiihtyvässä liikkeessä keskinopeus on puolet loppunopeudesta, joten matka on puolet siitä eli $24\,\text{m}$.
- Tehtävä 3-4
Kuvaajassa on kahden kärryn paikat ajan funktiona. Lue kuvaajasta, milloin kärryt kohtaavat.
Vastaus
$5{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaaja kärryjen paikoista: kärry A lähtee paikasta $0$ ja kärry B paikasta $40\,\text{m}$
Kysytty
kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Kärryt ovat samassa paikassa samalla hetkellä siinä pisteessä, jossa $(t,x)$-kuvaajan viivat leikkaavat. Kohtaamishetki on leikkauspisteen vaakakoordinaatti.
Kuvaajan lukeminen
Viivat leikkaavat pisteessä, joka on vaakasuoran ruudukkoviivan $x = 30\,\text{m}$ kohdalla. Sieltä pudotetaan pystysuora viiva aika-akselille: se osuu kohtaan $t = 5{,}0\,\text{s}$, kahden ruudukkoviivan ($4$ ja $6\,\text{s}$) puoliväliin.
Kaava
$t = $ leikkauspisteen vaakakoordinaatti, luettuna kuvaajasta
Muunnokset
Akselit ovat valmiiksi yksiköissä $\text{s}$ ja $\text{m}$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Luettu pari on $(t$; $x) = (5{,}0\,\text{s}$; $30\,\text{m})$. Laskentatarkistus kuvaajan päätepisteistä: A etenee $60\,\text{m}$ ajassa $10\,\text{s}$, joten $v_\text{A} = 6{,}0\,\text{m/s}$; B siirtyy $40\,\text{m}$:stä $20\,\text{m}$:iin eli $-20\,\text{m}$ ajassa $10\,\text{s}$, joten $v_\text{B} = -2{,}0\,\text{m/s}$. Yhtälö $6{,}0\,t = 40 - 2{,}0\,t$ antaa
$t$$= \dfrac{40\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s}}$$= 5{,}0\,\text{s}$Vastaus
$5{,}0\,\text{s}$
Kuvaajasta luettuna kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Kohtaamispaikka
$x$$= 6{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s}$$= 30\,\text{m}$on kummankin lähtöpaikan välissä ($0$ ja $40\,\text{m}$), kuten pitää. Kärry A on kulkenut $30\,\text{m}$ ja B $10\,\text{m}$, ja A on kolme kertaa nopeampi.
- Tehtävä 3-5
Juoksija A lähtee paikasta $0$ ja juoksee tasaisella nopeudella $3{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Juoksija B on samalla hetkellä paikassa $60\,\text{m}$ ja juoksee A:ta vastaan tasaisella nopeudella $-2{,}5\,\text{m/s}$. Missä paikassa he kohtaavat?
Vastaus
$35\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
juoksija A: $x_{0\text{A}} = 0$, $v_\text{A} = 3{,}5\,\text{m/s}$; juoksija B: $x_{0\text{B}} = 60\,\text{m}$, $v_\text{B} = -2{,}5\,\text{m/s}$; molemmat liikkuvat tasaisesti
Kysytty
kohtaamispaikka $x$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Juoksijat kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä, joten $x_\text{A} = x_\text{B}$. Kun kohtaamishetki on ratkaistu, kohtaamispaikka on kummankin paikka sillä hetkellä. B:n nopeus on negatiivinen, koska B juoksee A:ta kohti eli negatiiviseen suuntaan.
Kaava
$v_\text{A}\,t = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$, joten
$t$$= \dfrac{x_{0\text{B}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$ja kohtaamispaikka $x = v_\text{A}\,t$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{60\,\text{m}}{3{,}5\,\text{m/s} - (-2{,}5\,\text{m/s})}$$= \dfrac{60\,\text{m}}{6{,}0\,\text{m/s}}$$= 10\,\text{s}$$x$$= 3{,}5\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s}$$= 35\,\text{m}$Vastaus
$35\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
Paikka on juoksijoiden lähtöpaikkojen $0$ ja $60\,\text{m}$ välissä, kuten pitää. B:n paikka samalla hetkellä: $60\,\text{m} - 2{,}5\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 35\,\text{m}$. A on kulkenut $35\,\text{m}$ ja B $25\,\text{m}$, yhteensä $60\,\text{m}$.
- Tehtävä 3-6
Kahden auton nopeuksia kuvaavat $(t,v)$-kuvaajat on piirretty samaan koordinaatistoon. Autot ajavat samaa suoraa tietä samaan suuntaan, ja kuvaajat leikkaavat hetkellä $t = 4{,}0\,\text{s}$. Mitä leikkauspiste kertoo?
Vastaus
Autojen nopeudet ovat silloin yhtä suuret, mutta paikat voivat olla eri.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mitä $(t,v)$-kuvaajien leikkauspiste kertoo.
Periaate
$(t,v)$-kuvaajan piste kertoo kappaleen nopeuden hetkellä $t$. Kun kaksi kuvaajaa leikkaa, kummallakin kappaleella on silloin sama nopeus. Paikan määrää kaikki aiempi liike, eli nopeuskuvaajan alle jäänyt pinta-ala, ei yksittäinen nopeuden arvo.
Mallivastaus
Autojen nopeudet ovat hetkellä $4{,}0\,\text{s}$ yhtä suuret, mutta paikat voivat olla eri. Kohtaamista ei voi lukea tästä kuvaajasta, koska siihen tarvitaan $(t,x)$-kuvaaja tai paikkafunktioiden vertailu. Väite, että autot ovat samassa paikassa, sekoittaa nopeuden ja paikan. Väite samasta kuljetusta matkasta ei päde, koska matka on pinta-ala eikä yksittäinen arvo. Väite samoista kiihtyvyyksistä ei päde, koska kiihtyvyys on kulmakerroin, ja leikkaavilla viivoilla kulmakertoimet ovat erisuuret.
Kuvaajan lukeminen
Kuvaajan vaaka-akselilla on aika ja pystyakselilla nopeus. Leikkauspisteen pystykoordinaatti on kummankin auton yhteinen nopeus, ja vaakakoordinaatti on hetki $4{,}0\,\text{s}$.
- Tehtävä 3-7
Kärry A lähtee origosta hetkellä $t = 0$ ja liikkuu tasaisella nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$. Kärry B lähtee samasta paikasta $3{,}0\,\text{s}$ myöhemmin samaan suuntaan tasaisella nopeudella $7{,}0\,\text{m/s}$.
Milloin kärry B saavuttaa kärryn A? Ilmoita aika A:n lähdöstä laskettuna.
Vastaus
$7{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kärry A: $x_\text{A} = v_\text{A}\,t$ kun $v_\text{A} = 4{,}0\,\text{m/s}$; kärry B lähtee viiveellä $t_0 = 3{,}0\,\text{s}$ nopeudella $v_\text{B} = 7{,}0\,\text{m/s}$; molemmat samasta paikasta
Kysytty
hetki $t$ (A:n lähdöstä laskettuna) yksikössä $\text{s}$
Periaate
Kohtaamisessa paikat ovat yhtä suuret. B on liikkunut vasta ajan $t - t_0$, kun kello näyttää hetkeä $t$, joten B:n paikka on $v_\text{B}\,(t - t_0)$.
Kaava
$v_\text{A}\,t = v_\text{B}\,(t - t_0)$, joten
$(v_\text{B} - v_\text{A})\,t$$= v_\text{B}\,t_0$$t$$= \dfrac{v_\text{B}\,t_0}{v_\text{B} - v_\text{A}}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{7{,}0\,\text{m/s} \cdot 3{,}0\,\text{s}}{7{,}0\,\text{m/s} - 4{,}0\,\text{m/s}}$$= \dfrac{21\,\text{m}}{3{,}0\,\text{m/s}}$$= 7{,}0\,\text{s}$Vastaus
$7{,}0\,\text{s}$
A:n lähdöstä laskettuna, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
A on hetkellä $7{,}0\,\text{s}$ paikassa $4{,}0\,\text{m/s} \cdot 7{,}0\,\text{s} = 28\,\text{m}$ ja B paikassa $7{,}0\,\text{m/s} \cdot (7{,}0\,\text{s} - 3{,}0\,\text{s}) = 28\,\text{m}$. Paikat ovat samat. Kun B lähtee, A on jo $12\,\text{m}$ edellä, ja B lähestyy nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$, joten $12\,\text{m}$ vie $4{,}0\,\text{s}$, eli kohtaaminen on hetkellä $3{,}0\,\text{s} + 4{,}0\,\text{s}$.
- Tehtävä 3-8
Kappale A kiihtyy levosta tasaisesti ja kappale B liikkuu samaan suuntaan tasaisella nopeudella. Mikä ehto ratkaisee, milloin A ohittaa B:n?
Vastaus
Kappaleiden paikat ovat samalla hetkellä yhtä suuret, joten ne ovat samassa kohdassa.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mikä ehto ratkaisee ohitushetken.
Periaate
Ohitus on kohtaaminen: ohitushetkellä A ja B ovat samassa paikassa. Siksi kummankin paikka kirjoitetaan ajan funktiona ja merkitään paikat yhtä suuriksi, $x_\text{A}(t) = x_\text{B}(t)$. Yhtälön ratkaisu antaa hetken.
Mallivastaus
Ohitushetkellä kappaleiden paikat ovat yhtä suuret samalla hetkellä, eli ne ovat samassa kohdassa. Yhtä suuret nopeudet eivät ratkaise ohitusta, koska silloin etumatka on suurimmillaan tai pienimmillään, ei nolla. Yhtä suuret kiihtyvyydet eivät liity paikkaan, ja B:llä kiihtyvyys on nolla. Yhtä suuret kuljetut matkat eivät riitä, jos lähtöpaikat ovat eri, koska paikka on lähtöpaikka lisättynä kuljetulla matkalla.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-9Ydintehtävä
Linja-auto ajaa suoraa tietä tasaisella nopeudella $72\,\text{km/h}$. Henkilöauto on $150\,\text{m}$ linja-auton takana ja ajaa samaan suuntaan tasaisella nopeudella $90\,\text{km/h}$. Kuinka monen sekunnin kuluttua henkilöauto saavuttaa linja-auton?
Vastaus
$30\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
linja-auto $v_\text{L} = 72\,\text{km/h}$, henkilöauto $v_\text{H} = 90\,\text{km/h}$, henkilöauto $d = 150\,\text{m}$ takana; molemmat tasaisia ja samaan suuntaan
Kysytty
aika $t$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Henkilöauto saavuttaa linja-auton, kun paikat ovat yhtä suuret. Molemmat liikkuvat tasaisesti, joten $x = x_0 + v\,t$ kummallekin. Valitaan origo henkilöauton paikaksi lähtöhetkellä.
Kaava
$v_\text{H}\,t = d + v_\text{L}\,t$, joten
$t$$= \dfrac{d}{v_\text{H} - v_\text{L}}$Muunnokset
$90\,\text{km/h}$$= 90 : 3{,}6\,\text{m/s}$$= 25\,\text{m/s}$$72\,\text{km/h}$$= 72 : 3{,}6\,\text{m/s}$$= 20\,\text{m/s}$Sijoitus
$t$$= \dfrac{150\,\text{m}}{25\,\text{m/s} - 20\,\text{m/s}}$$= \dfrac{150\,\text{m}}{5{,}0\,\text{m/s}}$$= 30\,\text{s}$Vastaus
$30\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.
Järkevyys
Nopeusero on $18\,\text{km/h} = 5{,}0\,\text{m/s}$, joten henkilöauto lähestyy $5{,}0\,\text{m}$ sekunnissa ja $150\,\text{m}$ kuluu $30\,\text{s}$:ssa. Tänä aikana henkilöauto ajaa $25\,\text{m/s} \cdot 30\,\text{s} = 750\,\text{m}$ ja linja-auto $150\,\text{m} + 20\,\text{m/s} \cdot 30\,\text{s} = 750\,\text{m}$.
- Tehtävä 3-10Ydintehtävä
Kaksi junaa lähtee yhtä aikaa asemilta, jotka ovat $12\,\text{km}$ päässä toisistaan. Junat kulkevat rinnakkaisia raiteita kohti toisiaan tasaisilla nopeuksilla $90\,\text{km/h}$ ja $54\,\text{km/h}$. Kuinka monen minuutin kuluttua ne kohtaavat?
Vastaus
$5{,}0\,\text{min}$
Näytä ratkaisu
Annettu
asemien väli $D = 12\,\text{km}$, nopeudet $v_1 = 90\,\text{km/h}$ ja $v_2 = 54\,\text{km/h}$ kohti toisiaan, lähtö yhtä aikaa
Kysytty
aika $t$ yksikössä $\text{min}$
Periaate
Junat kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä. Origo on ensimmäisellä asemalla ja positiivinen suunta toista asemaa kohti: $x_1 = v_1\,t$ ja $x_2 = D - v_2\,t$. Yhtälö $x_1 = x_2$ antaa ajan.
Kaava
$v_1\,t = D - v_2\,t$, joten $t = \dfrac{D}{v_1 + v_2}$
Muunnokset
Pidetään pituus kilometreinä ja nopeus yksikössä $\text{km/h}$, jolloin aika tulee tunteina:
$t$$= \dfrac{12\,\text{km}}{144\,\text{km/h}}$Lopuksi $1\,\text{h} = 60\,\text{min}$.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{12\,\text{km}}{90\,\text{km/h} + 54\,\text{km/h}}$$= \dfrac{12\,\text{km}}{144\,\text{km/h}}$$= 0{,}0833\,\text{h}$$= 0{,}0833 \cdot 60\,\text{min}$$= 5{,}0\,\text{min}$Vastaus
$5{,}0\,\text{min}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa ($54\,\text{km/h}$).
Järkevyys
Junat lähestyvät toisiaan nopeudella $144\,\text{km/h} = 2{,}4\,\text{km/min}$, joten $12\,\text{km}$ vie $12 : 2{,}4\,\text{min} = 5{,}0\,\text{min}$. Nopeampi juna kulkee $90\,\text{km/h} \cdot \tfrac{1}{12}\,\text{h} = 7{,}5\,\text{km}$ ja hitaampi $4{,}5\,\text{km}$, yhteensä $12\,\text{km}$.
- Tehtävä 3-11
Kärry A lähtee paikasta $6{,}0\,\text{m}$ ja liikkuu tasaisella nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Kärry B lähtee samalla hetkellä paikasta $42\,\text{m}$ ja liikkuu tasaisella nopeudella $-1{,}0\,\text{m/s}$.
Hahmottele paperille kummankin $(t,x)$-kuvaaja samaan koordinaatistoon ja perustele kuvaajista, miksi viivat leikkaavat ja mitä leikkauspiste kertoo. Ilmoita sitten, milloin kärryt kohtaavat.
Vastaus
$9{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kärry A: $x_{0\text{A}} = 6{,}0\,\text{m}$, $v_\text{A} = 3{,}0\,\text{m/s}$; kärry B: $x_{0\text{B}} = 42\,\text{m}$, $v_\text{B} = -1{,}0\,\text{m/s}$; molemmat liikkuvat tasaisesti
Kysytty
kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$, sekä kuvaajien hahmottelu ja perustelu
Periaate
Tasaisessa liikkeessä $x = x_0 + v\,t$, joten $(t,x)$-kuvaaja on suora: lähtöpaikka on suoran alkupiste ja nopeus sen kulmakerroin. Kärryt kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa samalla hetkellä, eli kun suorat leikkaavat.
Kuvaajan lukeminen
Hahmotelma tehdään näin. Piirrä aika vaaka-akselille ja paikka pystyakselille. A:n suora alkaa kohdasta $6{,}0\,\text{m}$ ja nousee $3{,}0\,\text{m}$ joka sekunti. B:n suora alkaa korkeammalta, kohdasta $42\,\text{m}$, ja laskee $1{,}0\,\text{m}$ joka sekunti, koska nopeus on negatiivinen. Nouseva viiva alkaa alempaa ja laskeva ylempää, joten ne kulkevat toisiaan kohti ja leikkaavat. Leikkauspiste kertoo hetken ja paikan, jossa kärryt ovat samassa kohdassa.
Kaava
$x_\text{A} = x_\text{B}$, eli $x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$. Ratkaistaan
$t$$= \dfrac{x_{0\text{B}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{42\,\text{m} - 6{,}0\,\text{m}}{3{,}0\,\text{m/s} - (-1{,}0\,\text{m/s})}$$= \dfrac{36\,\text{m}}{4{,}0\,\text{m/s}}$$= 9{,}0\,\text{s}$Vastaus
$9{,}0\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
A:n paikka hetkellä $9{,}0\,\text{s}$ on $6{,}0\,\text{m} + 3{,}0\,\text{m/s} \cdot 9{,}0\,\text{s} = 33\,\text{m}$ ja B:n $42\,\text{m} - 1{,}0\,\text{m/s} \cdot 9{,}0\,\text{s} = 33\,\text{m}$. Paikat ovat samat, joten leikkauspiste on $(9{,}0\,\text{s}$; $33\,\text{m})$, kuten hahmotelmassa.
- Tehtävä 3-12
Kuvaajassa on kahden kärryn paikat ajan funktiona. Kärryt liikkuvat tasaisesti. Laske kuvaajan lukemista kärryjen nopeudet ja sen jälkeen, milloin kärryjen välimatka on ensimmäisen kerran $10\,\text{m}$.
Vastaus
$3{,}8\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajasta: kärry A $x_0 = 0$ ja paikka $60\,\text{m}$ hetkellä $10\,\text{s}$; kärry B $x_0 = 40\,\text{m}$ ja paikka $20\,\text{m}$ hetkellä $10\,\text{s}$; liike on tasaista
Kysytty
ensimmäinen hetki $t$, jolloin välimatka on $10\,\text{m}$, yksikössä $\text{s}$
Periaate
Kärryt liikkuvat tasaisesti, joten kummankin kuvaaja on suora ja nopeus on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella. Ennen kohtaamista B on A:n edessä, ja välimatka on $x_\text{B} - x_\text{A}$. Välimatka on $10\,\text{m}$ ensimmäisen kerran ennen kohtaamista ja toisen kerran kohtaamisen jälkeen.
Kuvaajan lukeminen
Kärryn A suora kulkee pisteestä $(0\,\text{s}$; $0)$ pisteeseen $(10\,\text{s}$; $60\,\text{m})$, joten
$v_\text{A}$$= \dfrac{60\,\text{m} - 0}{10\,\text{s} - 0}$$= 6{,}0\,\text{m/s}$Kärryn B suora kulkee pisteestä $(0\,\text{s}$; $40\,\text{m})$ pisteeseen $(10\,\text{s}$; $20\,\text{m})$, joten
$v_\text{B}$$= \dfrac{20\,\text{m} - 40\,\text{m}}{10\,\text{s} - 0}$$= -2{,}0\,\text{m/s}$Kaava
$x_\text{B} - x_\text{A}$$= (40 - 2{,}0\,t) - 6{,}0\,t$$= 40 - 8{,}0\,t$Asetetaan se arvoon $10\,\text{m}$:
$t$$= \dfrac{40\,\text{m} - 10\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s}}$Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{40\,\text{m} - 10\,\text{m}}{6{,}0\,\text{m/s} + 2{,}0\,\text{m/s}}$$= \dfrac{30\,\text{m}}{8{,}0\,\text{m/s}}$$= 3{,}75\,\text{s}$Vastaus
$3{,}8\,\text{s}$
(kaksi merkitsevää numeroa kuten välimatkassa $10\,\text{m}$). Pyöristämätön arvo on $3{,}75\,\text{s}$.
Järkevyys
Välimatka pienenee $8{,}0\,\text{m}$ sekunnissa ja on alussa $40\,\text{m}$. Ajassa $3{,}75\,\text{s}$ se pienenee $30\,\text{m}$, joten jäljelle jää $10\,\text{m}$. Hetki on ennen kohtaamista $t = 5{,}0\,\text{s}$, kuten ensimmäiseltä kerralta pitääkin.
- Tehtävä 3-13
Videoanalyysillä mitattiin kahden juoksijan paikat samalla suoralla radalla. Juoksija A juoksee positiiviseen suuntaan ja juoksija B häntä vastaan. Aineisto on esimerkkiaineisto, ja kumpikin juoksee tasaisella nopeudella.
Määritä juoksijoiden nopeudet taulukon ensimmäisestä ja viimeisestä rivistä ja laske niiden avulla, milloin juoksijat kohtaavat.
Juoksijoiden paikat (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $x_\text{A}\,(\text{m})$ $x_\text{B}\,(\text{m})$ 0,0 3,0 45,0 1,0 6,6 42,4 2,0 10,1 40,2 3,0 13,4 37,4 4,0 17,1 35,1 5,0 20,4 32,4 Vastaus
$7{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta: A: $x_\text{A} = 3{,}0\,\text{m}$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $20{,}4\,\text{m}$ hetkellä $5{,}0\,\text{s}$; B: $x_\text{B} = 45{,}0\,\text{m}$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $32{,}4\,\text{m}$ hetkellä $5{,}0\,\text{s}$; tasainen liike
Kysytty
kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Tasaisessa liikkeessä nopeus on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella. Kun nopeudet tunnetaan, paikat ovat $x = x_0 + v\,t$, ja juoksijat kohtaavat, kun $x_\text{A} = x_\text{B}$. Taulukon pisteet poikkeavat suorasta hieman mittausvirheen takia, joten käytetään ensimmäistä ja viimeistä riviä.
Kuvaajan lukeminen
Nopeudet taulukon päätepisteistä:
$v_\text{A}$$= \dfrac{20{,}4\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0}$$= 3{,}48\,\text{m/s}$$v_\text{B}$$= \dfrac{32{,}4\,\text{m} - 45{,}0\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0}$$= -2{,}52\,\text{m/s}$B:n nopeus on negatiivinen, koska B juoksee A:ta kohti.
Kaava
$x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$, joten
$t$$= \dfrac{x_{0\text{B}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{45{,}0\,\text{m} - 3{,}0\,\text{m}}{3{,}48\,\text{m/s} - (-2{,}52\,\text{m/s})}$$= \dfrac{42{,}0\,\text{m}}{6{,}00\,\text{m/s}}$$= 7{,}0\,\text{s}$Vastaus
$7{,}0\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeudet määritetään kolmen numeron paikoista mutta mittaukseen sisältyy hajontaa.
Järkevyys
Kohtaamispaikka on
$3{,}0\,\text{m} + 3{,}48\,\text{m/s} \cdot 7{,}0\,\text{s}$$= 27{,}4\,\text{m}$ja B:n paikka samalla hetkellä
$45{,}0\,\text{m} - 2{,}52\,\text{m/s} \cdot 7{,}0\,\text{s}$$= 27{,}4\,\text{m}$Paikka on lähtöpaikkojen välissä, kuten pitää. Hetki $7{,}0\,\text{s}$ on taulukon aikaväliä myöhemmin, joten tulos perustuu suoran jatkamiseen, mikä on järkevää tasaisessa liikkeessä.
- Tehtävä 3-14
Oppilas ratkaisi seuraavan tehtävän. Tehtävä: pyöräilijä ajaa tasaisella nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$ ja on hetkellä $t = 0$ paikassa $12\,\text{m}$. Samalla hetkellä paikassa $0$ levossa oleva auto lähtee kiihtyen tasaisesti kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ samaan suuntaan.
Milloin auto ohittaa pyöräilijän?
Oppilaan ratkaisu: ”Ohitushetkellä nopeudet ovat yhtä suuret, joten $a\,t = v$ ja $t = 4{,}0 : 2{,}0 = 2{,}0\,\text{s}$.”
Selitä, mikä oppilaan ratkaisussa on väärin, ja laske oikea ohitushetki. Vastauslaatikkoon tulee oikea ohitushetki.
Vastaus
$6{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pyöräilijä $x_{0\text{B}} = 12\,\text{m}$, $v = 4{,}0\,\text{m/s}$ (tasainen); auto $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$
Kysytty
mikä oppilaan ratkaisussa on väärin; oikea ohitushetki $t$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Ohitus on kohtaaminen, jossa paikat ovat yhtä suuret, $x_\text{A} = x_\text{B}$. Auton paikka on $\tfrac12\,a\,t^2$ ja pyöräilijän $x_{0\text{B}} + v\,t$. Auton liike on tasaisesti kiihtyvää, joten yhtälö on toisen asteen yhtälö.
Kaava
$\tfrac12\,a\,t^2 = x_{0\text{B}} + v\,t$, eli $\tfrac12\,a\,t^2 - v\,t - x_{0\text{B}} = 0$, ja positiivinen juuri on
$t$$= \dfrac{v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,x_{0\text{B}}}}{a}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Juurrettava on
$v^2 + 2\,a\,x_{0\text{B}}$$= 16\,\text{m}^2/\text{s}^2 + 48\,\text{m}^2/\text{s}^2$$= 64\,\text{m}^2/\text{s}^2$Siis
$t$$= \dfrac{4{,}0\,\text{m/s} + 8{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 6{,}0\,\text{s}$Vastaus
$6{,}0\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
Auto on hetkellä $6{,}0\,\text{s}$ paikassa $\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (6{,}0\,\text{s})^2 = 36\,\text{m}$ ja pyöräilijä paikassa $12\,\text{m} + 4{,}0\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} = 36\,\text{m}$. Paikat ovat samat. Auton nopeus on silloin $12\,\text{m/s}$, kolme kertaa pyöräilijän nopeus, joten auto ohittaa nopeampana.
Mallivastaus virheestä
Oppilas asetti nopeudet yhtä suuriksi, mutta kohtaamisessa yhtä suuria ovat paikat, ei nopeudet. Hänen laskemansa hetki $2{,}0\,\text{s}$ on hetki, jolloin auton ja pyöräilijän nopeudet ovat yhtä suuret. Silloin auto on paikassa $4{,}0\,\text{m}$ ja pyöräilijä paikassa $20\,\text{m}$, joten pyöräilijä on $16\,\text{m}$ edellä. Tämä on etumatkan suurin arvo, ei ohitus.
- Tehtävä 3-15
Kaksi kärryä lähtee samasta paikasta samaan suuntaan hetkellä $t = 0$. Taulukossa on niiden nopeudet (esimerkkiaineisto, jossa mittausvirhe on jätetty pois). Kärry A liikkuu tasaisesti ja kärry B kiihtyy tasaisesti.
Piirrä $(t,v)$-kuvaajat samaan koordinaatistoon ja päättele kuvaajista, milloin kärryjen välimatka on suurimmillaan. Kuinka suuri välimatka silloin on?
Kärryjen nopeudet (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $v_\text{A}\,(\text{m/s})$ $v_\text{B}\,(\text{m/s})$ 0,0 12,0 0,0 2,0 12,0 4,0 4,0 12,0 8,0 6,0 12,0 12,0 8,0 12,0 16,0 10,0 12,0 20,0 Vastaus
$36\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta: A: $v_\text{A} = 12{,}0\,\text{m/s}$ koko ajan; B: nopeus kasvaa $4{,}0\,\text{m/s}$ kahdessa sekunnissa, $v_\text{B} = 0$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $20{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $10\,\text{s}$; lähtö samasta paikasta
Kysytty
hetki, jolloin välimatka on suurimmillaan, ja välimatka $s_\text{max}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
A on koko ajan edellä, kun B lähtee samasta paikasta hitaampana. Niin kauan kuin $v_\text{A} > v_\text{B}$, välimatka kasvaa, ja kun B on nopeampi, välimatka pienenee. Välimatka on siis suurimmillaan, kun nopeudet ovat yhtä suuret. Välimatka on kuvaajien väliin jäävä pinta-ala siihen hetkeen asti.
Kuvaajan lukeminen
A:n kuvaaja on vaakasuora viiva $12{,}0\,\text{m/s}$ kohdalla. B:n kuvaaja on origosta nouseva suora, jonka kulmakerroin on
$a_\text{B}$$= \dfrac{4{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{s}}$$= 2{,}0\,\text{m/s}^2$Viivat leikkaavat hetkellä $t = 6{,}0\,\text{s}$, jolloin taulukossa kummankin nopeus on $12{,}0\,\text{m/s}$.
Kaava
Pinta-ala on kolmio, jonka kanta on $t$ ja korkeus $v_\text{A}$: $s_\text{max} = \tfrac12\,t\,v_\text{A}$. Sama saadaan paikkojen erotuksesta $v_\text{A}\,t - \tfrac12\,a_\text{B}\,t^2$.
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$s_\text{max}$$= \tfrac12 \cdot 6{,}0\,\text{s} \cdot 12{,}0\,\text{m/s}$$= 36\,\text{m}$Vastaus
Suurin välimatka on $36\,\text{m}$, ja se on hetkellä $6{,}0\,\text{s}$. Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa.
Järkevyys
Paikkojen erotuksesta: A on paikassa $12{,}0\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} = 72\,\text{m}$ ja B paikassa $\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (6{,}0\,\text{s})^2 = 36\,\text{m}$, joten ero on $36\,\text{m}$. Hetkillä $4{,}0\,\text{s}$ ja $8{,}0\,\text{s}$ ero on kummallakin $32\,\text{m}$, joten $36\,\text{m}$ on suurin.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 3-16
Pysäkki on origo, ja bussi seisoo siinä. Juoksija on pysäkin takana paikassa $-8{,}0\,\text{m}$ ja juoksee positiiviseen suuntaan tasaisella nopeudella $5{,}0\,\text{m/s}$. Hetkellä $t = 0$ bussi lähtee liikkeelle ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $1{,}0\,\text{m/s}^2$ samaan suuntaan.
Milloin juoksija saavuttaa bussin ensimmäisen kerran?
Vastaus
$2{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
juoksija $x_{0\text{R}} = -8{,}0\,\text{m}$, $v = 5{,}0\,\text{m/s}$ (tasainen); bussi $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 1{,}0\,\text{m/s}^2$
Kysytty
ensimmäinen hetki $t$, jolloin juoksija on bussin kohdalla, yksikössä $\text{s}$
Periaate
Kohtaaminen: $x_\text{B} = x_\text{R}$. Bussin paikka on $\tfrac12\,a\,t^2$ ja juoksijan $x_{0\text{R}} + v\,t$. Yhtälö on toisen asteen yhtälö, ja molemmat positiiviset juuret ovat kohtaamisia: ensimmäisellä kerralla juoksija saavuttaa bussin ja toisella bussi, joka on jo nopeampi, menee juoksijan ohi.
Kaava
$\tfrac12\,a\,t^2 = x_{0\text{R}} + v\,t$, eli $\tfrac12\,a\,t^2 - v\,t - x_{0\text{R}} = 0$. Kertoimet ovat $\tfrac12\,a$, $-v$ ja $-x_{0\text{R}}$, joten ratkaisukaavasta
$t$$= \dfrac{v \pm \sqrt{v^2 + 2\,a\,x_{0\text{R}}}}{a}$ja ensimmäinen kohtaaminen on pienempi juuri
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Juurrettava on
$v^2 + 2\,a\,x_{0\text{R}}$$= (5{,}0\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 1{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (-8{,}0\,\text{m})$$= 9{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$Siis
$t$$= \dfrac{5{,}0\,\text{m/s} - 3{,}0\,\text{m/s}}{1{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 2{,}0\,\text{s}$Vastaus
$2{,}0\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa. Suurempi juuri $5{,}0 + 3{,}0 = 8{,}0\,\text{s}$ on hetki, jolloin bussi ohittaa juoksijan.
Järkevyys
Juoksija on hetkellä $2{,}0\,\text{s}$ paikassa
$-8{,}0\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s}$$= 2{,}0\,\text{m}$ja bussi on paikassa
$\tfrac12 \cdot 1{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (2{,}0\,\text{s})^2$$= 2{,}0\,\text{m}$Bussin nopeus on silloin vasta $2{,}0\,\text{m/s}$, joten juoksija on selvästi nopeampi, kuten saavuttamisessa pitääkin.
- Tehtävä 3-17
Bussi seisoo pysäkillä, ja juoksija on sen takana $20\,\text{m}$ päässä. Hetkellä $t = 0$ bussi lähtee liikkeelle samaan suuntaan ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $0{,}50\,\text{m/s}^2$. Juoksija juoksee samaan suuntaan tasaisella nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$.
Saavuttaako juoksija bussin? Kuinka lähelle bussia hän pääsee?
Vastaus
$4{,}0\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
bussi $x_{0\text{B}} = 0$, $v_0 = 0$, $a = 0{,}50\,\text{m/s}^2$; juoksija $x_{0\text{R}} = -20\,\text{m}$, $v = 4{,}0\,\text{m/s}$ (tasainen); molemmat samaan suuntaan
Kysytty
saavuttaako juoksija bussin, ja pienin välimatka $s_\text{min}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Kaksi ajatusta: kohtaaminen vaatii ei-negatiivisen juurrettavan, ja jos kohtaamista ei ole, välimatka on pienimmillään, kun nopeudet ovat yhtä suuret (ennen sitä juoksija lähestyy, sen jälkeen bussi etääntyy).
Kaava
Kohtaaminen $\tfrac12\,a\,t^2 = x_{0\text{R}} + v\,t$ antaa $\tfrac12\,a\,t^2 - v\,t - x_{0\text{R}} = 0$, ja juurrettava on $v^2 + 2\,a\,x_{0\text{R}}$. Nopeudet ovat yhtä suuret, kun $a\,t = v$, eli $t = \dfrac{v}{a}$. Välimatka on
$s$$= x_\text{B} - x_\text{R}$$= \tfrac12\,a\,t^2 - x_{0\text{R}} - v\,t$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Juurrettava:
$(4{,}0\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2 \cdot (-20\,\text{m})$$= 16 - 20$$= -4\,\text{m}^2/\text{s}^2$$< 0$joten juoksija ei saavuta bussia. Nopeudet ovat yhtä suuret hetkellä
$t$$= \dfrac{4{,}0\,\text{m/s}}{0{,}50\,\text{m/s}^2}$$= 8{,}0\,\text{s}$Silloin
$s_\text{min}$$= \tfrac12 \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2 \cdot (8{,}0\,\text{s})^2 + 20\,\text{m} - 4{,}0\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s}$$= 16\,\text{m} + 20\,\text{m} - 32\,\text{m}$$= 4{,}0\,\text{m}$Vastaus
Juoksija ei saavuta bussia; hän pääsee lähimmillään $4{,}0\,\text{m}$ päähän, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
Hetkellä $8{,}0\,\text{s}$ bussi on paikassa $16\,\text{m}$ ja juoksija paikassa $-20\,\text{m} + 32\,\text{m} = 12\,\text{m}$, joten väliä on $4{,}0\,\text{m}$. Hetkillä $6{,}0\,\text{s}$ ja $10\,\text{s}$ väli on $5{,}0\,\text{m}$, joten $4{,}0\,\text{m}$ on pienin. Väli ei mene nollaan.
- Tehtävä 3-18
Skootteri lähtee levosta kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ kohti pyöräilijää, joka on $180\,\text{m}$ päässä ja ajaa skootteria vastaan tasaisella nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$. Skootteri ja pyöräilijä käyttävät eri kaistoja ja kohtaavat.
Milloin ne ovat samassa kohdassa?
Vastaus
$10\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
skootteri $x_0 = 0$, $v_0 = 0$, $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$ positiiviseen suuntaan; pyöräilijä $x_0 = 180\,\text{m}$, nopeus $-8{,}0\,\text{m/s}$ (vastaan, tasainen)
Kysytty
kohtaamishetki $t$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Skootterin liike on tasaisesti kiihtyvää ja pyöräilijän tasaista, ja ne kulkevat vastakkaisiin suuntiin. Kohtaaminen: $x_\text{S} = x_\text{P}$, kun origo on skootterin lähtöpaikka ja positiivinen suunta pyöräilijää kohti.
Kaava
$\tfrac12\,a\,t^2 = D - v\,t$, missä $D = 180\,\text{m}$ ja $v = 8{,}0\,\text{m/s}$ on pyöräilijän vauhti. Siis $\tfrac12\,a\,t^2 + v\,t - D = 0$, ja positiivinen juuri on
$t$$= \dfrac{-v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,D}}{a}$Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Juurrettava on
$v^2 + 2\,a\,D$$= (8{,}0\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 180\,\text{m}$$= 784\,\text{m}^2/\text{s}^2$Siis
$t$$= \dfrac{-8{,}0\,\text{m/s} + 28\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 10\,\text{s}$Vastaus
$10\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa. Negatiivinen juuri $-18\,\text{s}$ olisi ennen lähtöä, eikä se kuulu tilanteeseen.
Järkevyys
Skootteri on ajanut $\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (10\,\text{s})^2 = 100\,\text{m}$ ja pyöräilijä $8{,}0\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 80\,\text{m}$. Yhteensä $100\,\text{m} + 80\,\text{m} = 180\,\text{m}$, eli välimatka on kulunut loppuun.
- Tehtävä 3-19
Esimerkkitilanne: henkilöauto ja kuorma-auto ajavat samaan suuntaan nopeudella $20\,\text{m/s}$. Kuorma-auton pituus on $12\,\text{m}$ ja henkilöauton $5{,}0\,\text{m}$. Henkilöauton etupää on $10\,\text{m}$ kuorma-auton takapään takana.
Kuljettaja ohittaa kuorma-auton. Hän kiihdyttää tasaisesti kiihtyvyydellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$, kunnes henkilöauton takapää on kuorma-auton etupään kohdalla ja hän palaa omalle kaistalleen. Kuorma-auto jatkaa tasaisella nopeudella. Vastakkaiselta kaistalta tulee auto nopeudella $20\,\text{m/s}$, ja sen etupää on ohituksen alkaessa matkan $d$ päässä henkilöauton etupäästä.
a) Kuinka kauan ohitus kestää ja kuinka pitkän matkan henkilöauto ajaa sinä aikana?
b) Kuinka suuri etäisyyden $d$ on vähintään oltava, jotta autot eivät ole ohituksen päättyessä ehtineet kohdata? Onko $d = 300\,\text{m}$ riittävä, ja sopiiko henkilöauton loppunopeus nopeusrajoitukseen $80\,\text{km/h}$?
Vastauslaatikkoon tulee osan b) pienin etäisyys $d$.
Vastaus
$d = 267\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
molemmat $v_0 = 20\,\text{m/s}$; kuorma-auton pituus $L_\text{k} = 12\,\text{m}$, henkilöauton pituus $L_\text{h} = 5{,}0\,\text{m}$, alkuväli (etupää – takapää) $10\,\text{m}$; henkilöauton kiihtyvyys $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$; vastaantulevan nopeus $v_\text{v} = 20\,\text{m/s}$; nopeusrajoitus $80\,\text{km/h}$
Kysytty
ohituksen kesto $t$ ja matka $s_\text{h}$; pienin etäisyys $d$ yksikössä $\text{m}$; loppunopeus rajoitukseen verrattuna
Periaate
Kolme ajatusta. Ensimmäinen: henkilöauton ja kuorma-auton liikkeet kuvataan suhteessa toisiinsa. Kuorma-auto kulkee tasaisesti nopeudella $20\,\text{m/s}$ ja henkilöauto aloittaa samasta nopeudesta, joten ero syntyy vain kiihtyvyydestä: etenemisen ero on $\tfrac12\,a\,t^2$. Toinen: ohitus on valmis, kun etenemisen ero on yhtä suuri kuin etupään ja takapään väli, kuorma-auton pituus ja henkilöauton pituus yhteensä. Kolmas: autot eivät ehdi kohdata, jos henkilöauton ja vastaantulevan kulkemat matkat ovat yhteensä enintään $d$.
Kaava
Tarvittava suhteellinen matka $s_\text{rel} = 10\,\text{m} + L_\text{k} + L_\text{h}$ ja $\tfrac12\,a\,t^2 = s_\text{rel}$, joten $t = \sqrt{\dfrac{2\,s_\text{rel}}{a}}$. Henkilöauton matka $s_\text{h} = v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2$, vastaantulevan matka $s_\text{v} = v_\text{v}\,t$ ja $d_\text{min} = s_\text{h} + s_\text{v}$. Loppunopeus $v = v_0 + a\,t$.
Muunnokset
$80\,\text{km/h}$$= 80 : 3{,}6\,\text{m/s}$$= 22{,}2\,\text{m/s}$Muut suureet ovat SI-yksiköissä.
Sijoitus
$s_\text{rel}$$= 10\,\text{m} + 12\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m}$$= 27\,\text{m}$Siis
$t$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 27\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s}^2}}$$= \sqrt{36\,\text{s}^2}$$= 6{,}0\,\text{s}$Henkilöauton matka:
$s_\text{h}$$= 20\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} + \tfrac12 \cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2 \cdot (6{,}0\,\text{s})^2$$= 120\,\text{m} + 27\,\text{m}$$= 147\,\text{m}$Vastaantulevan matka:
$s_\text{v}$$= 20\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s}$$= 120\,\text{m}$Siis
$d_\text{min}$$= 147\,\text{m} + 120\,\text{m}$$= 267\,\text{m}$Loppunopeus:
$v$$= 20\,\text{m/s} + 1{,}5\,\text{m/s}^2 \cdot 6{,}0\,\text{s}$$= 29\,\text{m/s}$Vastaus
Pienin etäisyys on $d = 267\,\text{m}$ (kolme merkitsevää numeroa, koska tulos on kahden kolminumeroisen summa). Ohitus kestää $6{,}0\,\text{s}$, ja henkilöauto ajaa sinä aikana $147\,\text{m}$. Etäisyys $300\,\text{m}$ riittää laskennallisesti, ja varaa jää $33\,\text{m}$, mutta ohituksen lopussa se on vain noin $0{,}7\,\text{s}$ kahden auton yhteisellä lähestymisnopeudella $\left(33\,\text{m} : 49\,\text{m/s}\right)$. Loppunopeus $29\,\text{m/s} = 104\,\text{km/h}$ ylittää rajoituksen $80\,\text{km/h}$, joten ohitus ei ole sallittu, vaikka etäisyys riittäisi.
Mallivastaus perustelusta
Ohitusta ei kannata tehdä. Laskennallinen varaväli on liian pieni, koska jo pieni virhe kiihtyvyydessä tai vastaantulevan nopeudessa kuluttaa sen. Lisäksi henkilöauton olisi ylitettävä nopeusrajoitus $80\,\text{km/h}$ noin $24\,\text{km/h}$:lla. Malli olettaa vakiokiihtyvyyden ja tarkat pituudet, joten se on karkea.
Järkevyys
Henkilöauto on ajanut $147\,\text{m}$ ja kuorma-auto $20\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} = 120\,\text{m}$, joten ero on $27\,\text{m}$, kuten tarvitaan. Henkilöauton keskinopeus on $147\,\text{m} : 6{,}0\,\text{s} = 24{,}5\,\text{m/s}$, mikä on alku- ja loppunopeuden $20\,\text{m/s}$ ja $29\,\text{m/s}$ keskiarvo.
- Tehtävä 3-20
Esimerkkitilanne: pyöräilijä ajaa tasaisella nopeudella ja ohittaa liikennevalojen pysäytysviivan hetkellä $t = 0$. Videoanalyysillä mitattiin hänen paikkansa $x$ pysäytysviivalta laskettuna (taulukko, esimerkkiaineisto).
Pysäytysviivalla seisova auto lähtee liikkeelle $1{,}5\,\text{s}$ pyöräilijän ohituksen jälkeen ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$ samaan suuntaan. Alueella on nopeusrajoitus $40\,\text{km/h}$.
a) Määritä pyöräilijän nopeus taulukosta.
b) Missä paikassa auto ohittaa pyöräilijän ja milloin pyöräilijän ohituksesta laskien?
c) Mikä on auton nopeus ohitushetkellä ja noudattaako malli nopeusrajoitusta? Miten rajoitus muuttaisi tulosta?
Vastauslaatikkoon tulee osan b) ohituspaikka.
Pyöräilijän paikka (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $x\,(\text{m})$ 0,0 0,0 1,0 6,1 2,0 11,9 3,0 18,1 4,0 23,9 Vastaus
$52\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pyöräilijä: taulukosta $x = 0$ hetkellä $0\,\text{s}$ ja $x = 23{,}9\,\text{m}$ hetkellä $4{,}0\,\text{s}$, tasainen liike; auto lähtee levosta viiveellä $t_0 = 1{,}5\,\text{s}$ pysäytysviivalta, $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$; rajoitus $40\,\text{km/h}$
Kysytty
pyöräilijän nopeus $v$; ohituspaikka $x$ (yksikkö $\text{m}$) ja ohitushetki $t$; auton nopeus ohitushetkellä rajoitukseen verrattuna
Periaate
Pyöräilijän nopeus saadaan taulukon paikan muutoksesta. Auton liike alkaa hetkellä $t_0$, joten sen liikeaika on $t - t_0$. Ohituksessa paikat ovat yhtä suuret, ja yhtälö on toisen asteen yhtälö. Lopuksi auton nopeus verrataan rajoitukseen, jotta nähdään, onko malli todellisuudessa järkevä.
Kuvaajan lukeminen
Taulukon pisteet ovat lähes suoralla: paikka kasvaa noin $6{,}0\,\text{m}$ joka sekunti, joten liike on tasaista. Päätepisteistä
$v$$= \dfrac{23{,}9\,\text{m} - 0}{4{,}0\,\text{s} - 0}$$= 5{,}975\,\text{m/s}$$\approx 6{,}0\,\text{m/s}$Kaava
Pyöräilijä $x_\text{P} = v\,t$ ja auto $x_\text{A} = \tfrac12\,a\,(t - t_0)^2$. Merkitään $\tau = t - t_0$, jolloin $x_\text{P} = v\,(\tau + t_0)$ ja ohituksessa $\tfrac12\,a\,\tau^2 - v\,\tau - v\,t_0 = 0$. Positiivinen juuri on
$\tau$$= \dfrac{v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,v\,t_0}}{a}$Muunnokset
$40\,\text{km/h}$$= 40 : 3{,}6\,\text{m/s}$$= 11{,}1\,\text{m/s}$Muut suureet ovat SI-yksiköissä.
Sijoitus
Juurrettava on
$v^2 + 2\,a\,v\,t_0$$= 36\,\text{m}^2/\text{s}^2 + 2 \cdot 2{,}0 \cdot 6{,}0 \cdot 1{,}5\,\text{m}^2/\text{s}^2$$= 72\,\text{m}^2/\text{s}^2$ja neliöjuuri on $8{,}49\,\text{m/s}$. Siis
$\tau$$= \dfrac{6{,}0\,\text{m/s} + 8{,}49\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 7{,}24\,\text{s}$$t$$= \tau + t_0$$= 7{,}24\,\text{s} + 1{,}5\,\text{s}$$= 8{,}74\,\text{s}$Ohituspaikka:
$x$$= v\,t$$= 6{,}0\,\text{m/s} \cdot 8{,}74\,\text{s}$$= 52{,}4\,\text{m}$Auton nopeus ohituksessa:
$v_\text{A}$$= a\,\tau$$= 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 7{,}24\,\text{s}$$= 14{,}5\,\text{m/s}$Vastaus
Auto ohittaa pyöräilijän noin $52\,\text{m}$ päässä pysäytysviivasta, hetkellä $8{,}7\,\text{s}$ pyöräilijän ohituksesta; kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeus ja kiihtyvyys. Auton nopeus on silloin $14{,}5\,\text{m/s} \approx 52\,\text{km/h}$, mikä ylittää rajoituksen $40\,\text{km/h}$. Malli ei siis noudata rajoitusta.
Mallivastaus rajoituksen vaikutuksesta
Malli olettaa, että auto kiihtyy koko ajan samalla kiihtyvyydellä. Rajoitus $11{,}1\,\text{m/s}$ saavutetaan jo $5{,}6\,\text{s}$ kuluttua lähdöstä, ennen laskettua ohitushetkeä, joten kiihdytys loppuisi ja auto ajaisi tasaisella nopeudella. Silloin ohitus tapahtuisi myöhemmin ja kauempana kuin laskettu $52\,\text{m}$, mutta auto on silti pyöräilijää nopeampi ($11{,}1\,\text{m/s} > 6{,}0\,\text{m/s}$), joten se ohittaa lopulta.
Järkevyys
Auto on liikkunut
$\tfrac12 \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot (7{,}24\,\text{s})^2$$= 52{,}4\,\text{m}$sama kuin pyöräilijän paikka, joten paikat täsmäävät. Auton nopeus $14{,}5\,\text{m/s}$ on suurempi kuin pyöräilijän $6{,}0\,\text{m/s}$, kuten ohituksessa pitää.
