Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 1-1Ydintehtävä

   Juoksija kulkee tasaisella nopeudella suoraa rataa pitkin $120\,\text{m}$:n matkan $15\,\text{s}$:ssa liikkeen suuntaan, joka on valittu positiiviseksi. Mikä on juoksijan nopeus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\Delta x = 120\,\text{m}$, $\Delta t = 15\,\text{s}$; liike on tasaista ja suuntaan, joka on valittu positiiviseksi

   Kysytty

   juoksijan nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Liike on tasaista, joten nopeus ei muutu koko matkalla. Silloin nopeus on paikan muutos jaettuna siihen kuluneella ajalla. Matka on suoraan positiiviseen suuntaan, joten siirtymä on yhtä suuri kuin matka.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Kaava on jo ratkaistu nopeuden suhteen: $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$

   Muunnokset

   Matka on metreinä ja aika sekunteina, joten tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}$. Muunnosta ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{120\,\text{m}}{15\,\text{s}}$

   $= 8{,}0\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $15\,\text{s}$ (matka $120\,\text{m}$ ei rajoita tarkemmin).

   Järkevyys

   Arvio: $\dfrac{120\,\text{m}}{15\,\text{s}}$ on $8\,\text{m}$ sekunnissa, ja $15\,\text{s}$:ssa $8\,\text{m/s} \cdot 15\,\text{s} = 120\,\text{m}$, joten laskun voi tarkistaa takaperin. Nopeus $8{,}0\,\text{m/s} \approx 29\,\text{km/h}$ on pikajuoksijan vauhtia, joten $120\,\text{m}$:n matkalla se on mahdollinen. Etumerkki on positiivinen, koska liike on positiiviseen suuntaan.

2. Tehtävä 1-2Ydintehtävä

   Kärry on $x$-akselilla ensin paikassa $12\,\text{m}$ ja liikkuu sitten paikkaan $-5{,}0\,\text{m}$. Mikä on kärryn siirtymä? Anna vastaus etumerkkeineen.

   mTarkista
   Vastaus

   $-17\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkupaikka $x_1 = 12\,\text{m}$, loppupaikka $x_2 = -5{,}0\,\text{m}$

   Kysytty

   siirtymä $\Delta x$ etumerkkeineen yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Siirtymä on paikan muutos, ei kuljettu matka. Se lasketaan aina loppupaikka miinus alkupaikka, joten etumerkki kertoo suunnan: negatiivinen siirtymä on liikettä negatiiviseen suuntaan.

   Kaava

   $\Delta x = x_2 - x_1$. Kaava on jo ratkaistu siirtymän suhteen: $\Delta x = x_2 - x_1$

   Muunnokset

   Molemmat paikat ovat metreinä, joten yksiköitä ei tarvitse muuntaa.

   Sijoitus

   $\Delta x$$= -5{,}0\,\text{m} - 12\,\text{m}$

   $= -17\,\text{m}$

   Vastaus

   $-17\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Paikka $12\,\text{m}$ on tunnettu metrin tarkkuudella, joten erotus on sillä tarkkuudella.

   Järkevyys

   Kärry liikkui negatiiviseen suuntaan, joten siirtymän pitää olla negatiivinen. Kärry kulki ensin $12\,\text{m}$ origoon ja sitten $5{,}0\,\text{m}$ sen yli, yhteensä $12\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m} = 17\,\text{m}$. Matka ja siirtymän suuruus ovat tässä yhtä suuret, jos kärry ei käänny.

3. Tehtävä 1-3

   Kärry liikkuu tasaisella $3{,}5\,\text{m/s}$:n nopeudella positiiviseen suuntaan $12\,\text{s}$ ajan. Kuinka suuri on kärryn siirtymä?

   mTarkista
   Vastaus

   $42\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $v = 3{,}5\,\text{m/s}$, $\Delta t = 12\,\text{s}$; liike on tasaista ja positiiviseen suuntaan

   Kysytty

   siirtymä $\Delta x$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus pysyy vakiona, joten paikka muuttuu yhtä paljon joka sekunti. Siirtymä on siksi nopeus kerrottuna ajalla.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, joten $\Delta x = v\,\Delta t$

   Muunnokset

   Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten sekunnit supistuvat ja tulos on metreinä. Muunnosta ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta x$$= 3{,}5\,\text{m/s} \cdot 12\,\text{s}$

   $= 42\,\text{m}$

   Vastaus

   $42\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten molemmissa lähtöarvoissa ($3{,}5\,\text{m/s}$ ja $12\,\text{s}$).

   Järkevyys

   Yksikkö on oikein: $\text{m/s} \cdot \text{s} = \text{m}$. Arvio: noin $3\,\text{m/s} \cdot 12\,\text{s} = 36\,\text{m}$, joten $42\,\text{m}$ on oikeaa suuruusluokkaa. Nopeus $3{,}5\,\text{m/s}$ vastaa noin $13\,\text{km/h}$, eli hölkkää, ja $12\,\text{s}$:ssa hölkkääjä kulkee muutaman kymmenen metriä. Siirtymä on positiivinen, koska liike on positiiviseen suuntaan.

4. Tehtävä 1-4

   Kärryn $(t, x)$-kuvaaja on suora, joka kulkee pisteiden $(0\,\text{s};\, 4{,}0\,\text{m})$ ja $(10\,\text{s};\, 24\,\text{m})$ kautta. Mikä on kärryn nopeus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   suoran pisteet $(t_1$; $x_1) = (0\,\text{s}$; $4{,}0\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (10\,\text{s}$; $24\,\text{m})$

   Kysytty

   kärryn nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä nopeus on vakio, joten $(t, x)$-kuvaaja on suora. Suoran kulmakerroin eli nousu jaettuna vaakasuuntaisella etenemisellä on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella, eli nopeus.

   Kuvaajan lukeminen

   Käytetään suoran kahta annettua pistettä: ensimmäisen paikka $x_1 = 4{,}0\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 0\,\text{s}$ ja toisen paikka $x_2 = 24\,\text{m}$ hetkellä $t_2 = 10\,\text{s}$. Pystysuuntainen nousu on $x_2 - x_1$ ja vaakasuuntainen eteneminen $t_2 - t_1$. Näiden suhde on nopeus.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, missä $\Delta x = x_2 - x_1$ ja $\Delta t = t_2 - t_1$. Siis $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Lähtöpaikka $4{,}0\,\text{m}$ ei ole nolla, mutta se supistuu erotuksessa pois.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{24\,\text{m} - 4{,}0\,\text{m}}{10\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{20\,\text{m}}{10\,\text{s}}$

   $= 2{,}0\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska paikka $24\,\text{m}$ on annettu metrin tarkkuudella ($4{,}0\,\text{m}$ desimetrin), joten erotus $20\,\text{m}$ on kahden numeron luku; aika $10\,\text{s}$ on myös kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Kuvaaja nousee, joten nopeus on positiivinen. Tarkistus: $4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 24\,\text{m}$, mikä on suoran toinen piste. Jos nopeudeksi laskettaisiin

   $\dfrac{24\,\text{m}}{10\,\text{s}}$$= 2{,}4\,\text{m/s}$

   unohtuisi lähtöpaikka.

5. Tehtävä 1-5

   Kävelijä on hetkellä $t = 0\,\text{s}$ paikassa $15\,\text{m}$ ja kulkee tasaisesti nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Missä paikassa hän on hetkellä $t = 20\,\text{s}$?

   mTarkista
   Vastaus

   $45\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $x_0 = 15\,\text{m}$ hetkellä $t = 0\,\text{s}$, $v = 1{,}5\,\text{m/s}$, haluttu hetki $t = 20\,\text{s}$

   Kysytty

   paikka $x$ hetkellä $t = 20\,\text{s}$, yksikkönä $\text{m}$

   Periaate

   Liike on tasaista, joten paikka muuttuu nopeuden ja ajan tulon verran. Paikka on alkupaikka plus tämä siirtymä, koska kävelijä ei lähtenyt origosta.

   Kaava

   $x = x_0 + v\,t$. Kaava on jo ratkaistu paikan suhteen: $x = x_0 + v\,t$

   Muunnokset

   Paikka on metreinä, nopeus yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= 15\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s}$

   $= 15\,\text{m} + 30\,\text{m}$

   $= 45\,\text{m}$

   Vastaus

   $45\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeus $1{,}5\,\text{m/s}$ ja aika $20\,\text{s}$ ovat kahdella numerolla ja summa $15\,\text{m} + 30\,\text{m}$ on metrin tarkkuudella.

   Järkevyys

   Kävelijä siirtyy $30\,\text{m}$ eteenpäin, joten paikan pitää olla suurempi kuin $15\,\text{m}$, ja $45\,\text{m}$ on. Nopeus $1{,}5\,\text{m/s} \approx 5{,}4\,\text{km/h}$ on tavallista kävelyvauhtia. Pelkkä tulo $v\,t = 30\,\text{m}$ olisi siirtymä, ei paikka. Rajatapaus $t = 0$ antaa $x = x_0 = 15\,\text{m}$, kuten pitääkin.

6. Tehtävä 1-6

   Kappaleen $(t, x)$-kuvaaja on suora, joka laskee vasemmalta oikealle. Mitä tämä kertoo kappaleen liikkeestä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kappale liikkuu alamäkeä, koska kuvaaja kulkee alaspäin ja kuvaaja esittää radan muotoa.
   • Kappale on pysähtymässä, koska kuvaajan suora kallistuu ja nopeuden suuruus pienenee.
   • Paikka pienenee ajan kuluessa, joten nopeus on negatiivinen ja liike on negatiiviseen suuntaan.
   • Kappale kulkee ajan kuluessa taaksepäin ajassa, koska kuvaajan paikkaluvut käyvät pienemmiksi.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Paikka pienenee ajan kuluessa, joten nopeus on negatiivinen ja liike on negatiiviseen suuntaan.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä laskeva suora $(t, x)$-kuvaajassa kertoo liikkeestä.

   Periaate

   $(t, x)$-kuvaajan suoran kulmakerroin on nopeus $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Kun suora laskee, paikka pienenee ajan kuluessa, joten kulmakerroin ja nopeus ovat negatiivisia. Kuvaaja esittää paikkaa ajan funktiona, ei radan muotoa.

   Mallivastaus

   Paikka pienenee ajan kuluessa, joten nopeus on negatiivinen ja kappale liikkuu negatiiviseen suuntaan. Vaihtoehto, jossa kappale liikkuu alamäkeä, sekoittaa kuvaajan radan kuvaan: kappale voi liikkua vaakasuoralla radalla, vaikka kuvaaja laskee. Pysähtynyt kappale on paikallaan, jolloin kuvaaja on vaakasuora. Suora, jonka kulmakerroin ei muutu, kuvaa vakionopeutta, ei hidastuvaa liikettä. Aika kasvaa aina oikealle mentäessä, joten ajassa taaksepäin kulkevaa kappaletta ei ole.

   Kuvaajan lukeminen

   Laskevassa suorassa $x$ on pienempi, kun $t$ on suurempi, joten $\Delta x < 0$ ja $\Delta t > 0$. Silloin $\dfrac{\Delta x}{\Delta t} < 0$.

7. Tehtävä 1-7

   Kävelijä kulkee suoraa tietä $40\,\text{m}$ itään, kääntyy ja kävelee saman $40\,\text{m}$ takaisin lähtöpaikkaansa. Itä on valittu positiiviseksi suunnaksi. Mikä väite koko kävelystä on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Siirtymä on $40\,\text{m}$, koska vain menomatka lasketaan, kun liike kääntyy.
   • Siirtymä on $-40\,\text{m}$, koska viimeinen osuus kulkee negatiiviseen suuntaan.
   • Siirtymä on $80\,\text{m}$, koska siirtymä on kuljetun reitin koko pituus.
   • Siirtymä on $0\,\text{m}$, koska loppupaikka on sama kuin alkupaikka.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Siirtymä on $0\,\text{m}$, koska loppupaikka on sama kuin alkupaikka.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä väite koko kävelyn siirtymästä on oikein.

   Periaate

   Siirtymä on loppupaikka miinus alkupaikka, $\Delta x = x_2 - x_1$, eikä se riipu reitistä. Matka on kuljetun reitin pituus. Osasiirtymät, joiden suunta on eri, summautuvat etumerkkeineen.

   Mallivastaus

   Kävelijä palaa lähtöpaikkaansa, joten loppupaikka on sama kuin alkupaikka ja siirtymä on $0\,\text{m}$. Samaan tulokseen pääsee summaamalla osasiirtymät: $+40\,\text{m} + (-40\,\text{m}) = 0\,\text{m}$. Kuljettu matka on $40\,\text{m} + 40\,\text{m} = 80\,\text{m}$, mutta matka ei ole siirtymä. Väite, jonka mukaan siirtymä on $-40\,\text{m}$, pitäisi paikkansa vain viimeiselle osuudelle, ei koko kävelylle. Väite, jonka mukaan vain menomatka lasketaan, unohtaa paluun, joka kumoaa menomatkan.

8. Tehtävä 1-8

   Oppilas laskee kärryn nopeuden $(t, x)$-kuvaajan suoralta, jonka pisteet ovat $(2{,}0\,\text{s};\, 5{,}0\,\text{m})$ ja $(6{,}0\,\text{s};\, 13\,\text{m})$.

   Oppilaan ratkaisu: $v = \dfrac{13\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}} = 2{,}2\,\text{m/s}$.

   Mikä virhe oppilaan ratkaisussa on?

   Valitse vaihtoehto.

   • Virhettä ei ole, koska nopeus on loppupaikka jaettuna kuluneella kokonaisajalla alusta asti.
   • Hän jakoi toisen pisteen paikan sen ajalla, vaikka pitää jakaa paikan muutos ajan muutoksella.
   • Hän laski vauhdin eikä nopeutta, koska nopeus saadaan paikkojen summasta jaettuna aikojen summalla.
   • Hän vaihtoi pisteet keskenään, joten etumerkki on väärin ja oikea nopeus on $-2{,}2\,\text{m/s}$.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Hän jakoi toisen pisteen paikan sen ajalla, vaikka pitää jakaa paikan muutos ajan muutoksella.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä virhe oppilaan nopeuden laskussa on.

   Periaate

   Suoran kulmakerroin on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella, $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$. Muutos on aina erotus loppu miinus alku, joten pelkkä toisen pisteen paikka ei kelpaa osoittajaksi eikä pelkkä toisen pisteen aika nimittäjäksi.

   Mallivastaus

   Oppilas jakoi toisen pisteen paikan $13\,\text{m}$ sen ajalla $6{,}0\,\text{s}$ eikä laskenut erotuksia. Oikein: $v = \dfrac{13\,\text{m} - 5{,}0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}} = \dfrac{8{,}0\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}} = 2{,}0\,\text{m/s}$. Oppilaan tapa toimisi vain, jos suora lähtisi origosta hetkellä nolla, mutta tässä alkupiste on $(2{,}0\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$. Etumerkki ei ole väärin, koska paikka kasvaa ja nopeus on positiivinen. Nopeus ei ole paikkojen summa jaettuna aikojen summalla, koska summa ei kuvaa muutosta.

   Kuvaajan lukeminen

   Suoralta luetaan kaksi pistettä: $(t_1$; $x_1) = (2{,}0\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (6{,}0\,\text{s}$; $13\,\text{m})$. Nousu on $x_2 - x_1$ ja eteneminen $t_2 - t_1$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 1-9Ydintehtävä

   Auto ajaa suoraa tietä tasaisella nopeudella $90\,\text{km/h}$. Kuinka pitkän matkan se kulkee $12\,\text{s}$:ssa? Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $300\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $v = 90\,\text{km/h}$, $\Delta t = 12\,\text{s}$; liike on tasaista ja suoraa

   Kysytty

   siirtymä $\Delta x$ metreinä; auto ajaa suoraa tietä yhteen suuntaan, joten matka $s = v\,\Delta t$ on yhtä suuri

   Periaate

   Auto ajaa tasaisella nopeudella suoraa tietä yhteen suuntaan, joten siirtymä on nopeus kertaa aika. Nopeus ja aika on ensin saatava samaan yksikköjärjestelmään, jotta tulos tulee metreinä.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, joten $\Delta x = v\,\Delta t$

   Muunnokset

   Yksi $\text{km/h}$ on

   $\dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= \dfrac{1}{3{,}6}\,\text{m/s}$

   joten

   $90\,\text{km/h}$$= \dfrac{90}{3{,}6}\,\text{m/s}$

   $= 25\,\text{m/s}$

   Sijoitus

   $\Delta x$$= 25\,\text{m/s} \cdot 12\,\text{s}$

   $= 300\,\text{m}$

   Vastaus

   $300\,\text{m}$

   Eli $3{,}0 \cdot 10^2\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeus $90\,\text{km/h}$ ja aika $12\,\text{s}$ ovat kahdella numerolla; muunnoskerroin $3{,}6$ on tarkka eikä rajoita.

   Järkevyys

   Auto kulkee $25\,\text{m}$ joka sekunti, ja se on noin kuuden auton pituus. Kymmenessä sekunnissa matka olisi $250\,\text{m}$ ja kahdessatoista hieman enemmän, joten $300\,\text{m}$ sopii. Jos laskisi suoraan $90 \cdot 12 = 1080$, sekoittaisi yksiköt: se olisi $\text{km/h} \cdot \text{s}$, ei metrejä.

2. Tehtävä 1-10Ydintehtävä

   Juoksija kulkee suoraa polkua tasaisella $4{,}0\,\text{m/s}$:n nopeudella. Kuinka monta minuuttia hänellä kestää $1{,}2\,\text{km}$:n matka?

   minTarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $v = 4{,}0\,\text{m/s}$, $\Delta x = 1{,}2\,\text{km}$; liike on tasaista ja suoraa

   Kysytty

   aika $\Delta t$ minuutteina

   Periaate

   Nopeus on vakio, joten matka kuluu aina samalla vauhdilla. Ajan saa ratkaisemalla nopeuden määritelmästä, kun matka ja nopeus tunnetaan.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, joten $\Delta t = \dfrac{\Delta x}{v}$

   Muunnokset

   $1{,}2\,\text{km}$$= 1{,}2 \cdot 1000\,\text{m}$

   $= 1200\,\text{m}$

   jotta yksiköt ovat $\text{m}$ ja $\text{m/s}$. Aika tulee sekunteina, ja $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$, joten

   $\Delta t_\text{min}$$= \dfrac{\Delta t}{60}$

   Sijoitus

   $\Delta t$$= \dfrac{1200\,\text{m}}{4{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 300\,\text{s}$

   $= \dfrac{300}{60}\,\text{min}$

   $= 5{,}0\,\text{min}$

   Vastaus

   $5{,}0\,\text{min}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $4{,}0\,\text{m/s}$ ja matkassa $1{,}2\,\text{km}$.

   Järkevyys

   Nopeus $4{,}0\,\text{m/s}$ on $14{,}4\,\text{km/h}$, jolloin kilometri kuluu noin $4{,}2\,\text{min}$:ssa, joten $1{,}2\,\text{km}$ vie noin $1{,}2 \cdot 4{,}2\,\text{min} \approx 5\,\text{min}$, ja $5{,}0\,\text{min}$ sopii. Aika on positiivinen, kuten pitääkin.

3. Tehtävä 1-11

   Kärry on hetkellä $t = 2{,}0\,\text{s}$ paikassa $18\,\text{m}$ ja hetkellä $t = 7{,}0\,\text{s}$ paikassa $3{,}0\,\text{m}$. Kärry liikkuu tasaisesti. Laske kärryn nopeus etumerkkeineen.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $-3{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $(t_1$; $x_1) = (2{,}0\,\text{s}$; $18\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (7{,}0\,\text{s}$; $3{,}0\,\text{m})$; liike on tasaista

   Kysytty

   nopeus $v$ etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Liike on tasaista, joten kahden hetken välinen keskinopeus on sama kuin nopeus koko ajan. Nopeus lasketaan paikan muutoksesta jaettuna ajan muutoksella, ja etumerkki kertoo suunnan.

   Kaava

   $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, missä $\Delta x = x_2 - x_1$ ja $\Delta t = t_2 - t_1$. Siis $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Erotukset lasketaan aina loppu miinus alku.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m} - 18\,\text{m}}{7{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{-15\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s}}$

   $= -3{,}0\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $-3{,}0\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska paikkojen erotus $3{,}0\,\text{m} - 18\,\text{m} = -15\,\text{m}$ on metrin tarkkuudella (kaksi numeroa) ja ajan muutos $5{,}0\,\text{s}$ on myös kahdella.

   Järkevyys

   Paikka pienenee, joten nopeuden pitää olla negatiivinen: kärry liikkuu kohti origoa. Takaisinlasku: $18\,\text{m} + (-3{,}0\,\text{m/s}) \cdot 5{,}0\,\text{s} = 3{,}0\,\text{m}$, mikä on toinen annettu paikka. Vauhti on $3{,}0\,\text{m/s}$.

4. Tehtävä 1-12

   Kärry on hetkellä $t = 0\,\text{s}$ paikassa $-24\,\text{m}$ ja kulkee tasaisesti nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Milloin kärry on origossa eli paikassa $x = 0$?

   sTarkista
   Vastaus

   $16\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $x_0 = -24\,\text{m}$ hetkellä $t = 0\,\text{s}$, $v = 1{,}5\,\text{m/s}$, haluttu paikka $x = 0$

   Kysytty

   aika $t$ sekunteina

   Periaate

   Liike on tasaista, joten paikka noudattaa yhtälöä $x = x_0 + v\,t$. Kärry on origossa, kun sen paikka on nolla, ja tästä ehdosta voi ratkaista ajan.

   Kaava

   $x = x_0 + v\,t$, joten $v\,t = x - x_0$ ja $t = \dfrac{x - x_0}{v}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$, joten aika tulee suoraan sekunteina. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{0 - (-24\,\text{m})}{1{,}5\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{24\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s}}$

   $= 16\,\text{s}$

   Vastaus

   $16\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa $24\,\text{m}$ ja $1{,}5\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Kärry on origon negatiivisella puolella ja liikkuu positiiviseen suuntaan, joten se saapuu origoon, ja aika on positiivinen. Takaisinlasku:

   $-24\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 16\,\text{s}$

   $= -24\,\text{m} + 24\,\text{m}$

   $= 0$

   Arvio: $1{,}5\,\text{m/s}$ on noin $1\,\text{m}$ jokaista 0,7 sekuntia kohden, ja $24\,\text{m}$ vie noin $16\,\text{s}$.

5. Tehtävä 1-13

   Kärryn liikettä seurattiin videoanalyysillä. Taulukossa on kärryn paikka eri hetkinä (esimerkkiaineisto). Kärryn liike on tasaista.

   Piirrä aineistosta $(t, x)$-kuvaaja ja sovita pisteiden läpi suora. Määritä suoran avulla kärryn nopeus $v$. Ilmoita lisäksi alkupaikka $x_0$ ja kirjoita kärryn paikka ajan funktiona.

   Kirjoita vastauslaatikkoon nopeus.

   Kärryn paikka videoanalyysissä (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$x\,(\text{m})$
   0,0	0,48
   1,0	1,12
   2,0	1,67
   3,0	2,33
   4,0	2,88
   5,0	3,53

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}61\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon pisteet $(t$; $x)$ alkaen $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}48\,\text{m})$ ja päättyen $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}53\,\text{m})$; liike on tasaista

   Kysytty

   nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$, alkupaikka $x_0$ ja paikka ajan funktiona

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä $(t, x)$-pisteet ovat suoralla. Mittauksissa on pientä virhettä, joten suora sovitetaan pisteiden läpi niin, että pisteet jäävät tasaisesti sen molemmille puolille. Nopeus on suoran kulmakerroin, ja alkupaikka on suoran leikkauskohta paikka-akselilla.

   Kuvaajan lukeminen

   Aika-akselille $t = 0 \ldots 5{,}0\,\text{s}$ ja paikka-akselille $0 \ldots 4\,\text{m}$. Pisteet merkitään, ja suora piirretään niiden läpi. Suora kulkee lähellä pisteitä $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}49\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}54\,\text{m})$. Kulmakerroin lasketaan näistä kaukana toisistaan olevista suoran pisteistä, ei vierekkäisistä mittauspisteistä.

   Kaava

   $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$ ja $x = x_0 + v\,t$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} v &= \dfrac{3{,}54\,\text{m} - 0{,}49\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0{,}0\,\text{s}} \\ &= 0{,}61\,\text{m/s} \end{aligned}$$

   Alkupaikka luetaan suoran leikkauskohdasta: $x_0 \approx 0{,}49\,\text{m}$. Paikka on siis $x = 0{,}49\,\text{m} + 0{,}61\,\text{m/s} \cdot t$.

   Vastaus

   $0{,}61\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska taulukon paikat ovat kahden desimaalin tarkkuudella ja suoran sovitus rajoittaa tarkkuutta. Suoran luenta voi vaihdella muutamalla prosentilla.

   Järkevyys

   Tarkistus keskimmäisellä pisteellä:

   $0{,}49\,\text{m} + 0{,}61\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s}$

   $= 1{,}71\,\text{m}$

   kun taulukossa on $1{,}67\,\text{m}$, eli ero on pieni. Paikka kasvaa, joten nopeus on positiivinen. Nopeus $0{,}61\,\text{m/s}$ sopii pienelle kärrylle.

6. Tehtävä 1-14

   Kaksi kärryä liikkuu samalla suoralla radalla ja liikkeet ovat tasaisia. Taulukossa on kärryjen A ja B paikat eri hetkinä (esimerkkiaineisto).

   Piirrä molempien kärryjen $(t, x)$-pisteet samaan kuvaajaan ja sovita kummallekin suora. Määritä suorista kärryjen nopeudet ja kerro, kumpi kulkee nopeammin.

   Milloin kärryt ovat samassa paikassa? Kirjoita vastauslaatikkoon tämä ajanhetki.

   Kärryjen A ja B paikat (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$x_\text{A}\,(\text{m})$	$x_\text{B}\,(\text{m})$
   0,0	1,0	20,1
   2,0	4,1	16,4
   4,0	6,9	12,9
   6,0	10,1	9,2
   8,0	13,0	5,8

   sTarkista
   Vastaus

   $5{,}8\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon paikat kärryille A ja B hetkillä $0{,}0\,\text{s} \ldots 8{,}0\,\text{s}$; liikkeet ovat tasaisia

   Kysytty

   kumpi kärry on nopeampi ja hetki $t$, jolloin kärryt ovat samassa paikassa, yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Kummankin kärryn pisteet ovat suoralla. Suoran kulmakerroin on nopeus ja leikkauskohta alkupaikka. Kärryt ovat samassa paikassa, kun suorat leikkaavat, eli kun paikat ovat yhtä suuret samalla hetkellä.

   Kuvaajan lukeminen

   Sovitetaan A:lle suora pisteiden $(0{,}0\,\text{s}$; $1{,}0\,\text{m})$ ja $(8{,}0\,\text{s}$; $13{,}0\,\text{m})$ läheltä ja B:lle pisteiden $(0{,}0\,\text{s}$; $20{,}0\,\text{m})$ ja $(8{,}0\,\text{s}$; $5{,}7\,\text{m})$ läheltä. Näistä saadaan

   $v_\text{A}$$= \dfrac{13{,}0\,\text{m} - 1{,}0\,\text{m}}{8{,}0\,\text{s}}$

   $= 1{,}5\,\text{m/s}$

   $v_\text{B}$$= \dfrac{5{,}7\,\text{m} - 20{,}0\,\text{m}}{8{,}0\,\text{s}}$

   $\approx -1{,}8\,\text{m/s}$

   ja alkupaikat ovat $x_{0\text{A}} = 1{,}0\,\text{m}$ ja $x_{0\text{B}} = 20{,}0\,\text{m}$. Kärryn B nopeus on suurempi vauhdiltaan ($1{,}8\,\text{m/s} > 1{,}5\,\text{m/s}$), mutta se kulkee A:ta kohti negatiiviseen suuntaan.

   Kaava

   $x_\text{A} = x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t$ ja $x_\text{B} = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$. Ehdosta $x_\text{A} = x_\text{B}$ saadaan
   $$t = \dfrac{x_{0\text{B}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{m}$ ja $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita. B:n nopeus sijoitetaan negatiivisena.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} t &= \dfrac{20{,}0\,\text{m} - 1{,}0\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s} - (-1{,}8\,\text{m/s})} \\ &= \dfrac{19{,}0\,\text{m}}{3{,}3\,\text{m/s}} \\ &= 5{,}8\,\text{s} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $5{,}8\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeudet $1{,}5\,\text{m/s}$ ja $1{,}8\,\text{m/s}$ ovat kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Hetkellä $5{,}8\,\text{s}$ kärry A on paikassa $1{,}0\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 5{,}8\,\text{s} = 9{,}7\,\text{m}$ ja kärry B paikassa

   $20{,}0\,\text{m} - 1{,}8\,\text{m/s} \cdot 5{,}8\,\text{s}$

   $= 9{,}6\,\text{m}$

   eli paikat ovat yhtä suuret pyöristyksen tarkkuudella. Ajanhetki on mittausvälin $0{,}0\ldots 8{,}0\,\text{s}$ sisällä, ja taulukossa kärryjen järjestys vaihtuu hetkien $4{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ välillä, kuten pitääkin.

7. Tehtävä 1-15

   Robotti liikkuu suoraa rataa, ja sen paikka on mitattu tietyillä hetkillä (esimerkkiaineisto). Kahden mittauspisteen välillä liike on tasaista.

   Piirrä robotin $(t, x)$-kuvaaja ja sen perusteella $(t, v)$-kuvaaja kuvaamalla jokaisen aikavälin nopeus. Millä aikavälillä robotti liikkuu negatiiviseen suuntaan?

   Kirjoita vastauslaatikkoon robotin nopeus tällä aikavälillä etumerkkeineen.

   Robotin paikka (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$x\,(\text{m})$
   0,0	2,0
   4,0	14
   10	14
   16	5,0
   20	5,0

   m/sTarkista
   Vastaus

   $-1{,}5\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   robotin pisteet $(t$; $x)$: $(0\,\text{s}$; $2{,}0\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $14\,\text{m})$, $(10\,\text{s}$; $14\,\text{m})$, $(16\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$ ja $(20\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$; pisteiden välillä liike on tasaista

   Kysytty

   aikaväli, jolla robotti liikkuu negatiiviseen suuntaan, ja nopeus $v$ sillä välillä yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Jokaisella aikavälillä $(t, x)$-kuvaaja on suora, ja sen kulmakerroin on nopeus. Laskeva osa antaa negatiivisen nopeuden, vaakasuora osa nopeuden nolla ja nouseva osa positiivisen. Siksi $(t, v)$-kuvaaja koostuu vaakasuorista viivoista.

   Kuvaajan lukeminen

   $(t, x)$-kuvaajassa on neljä osaa: nouseva väli $0\ldots4{,}0\,\text{s}$, vaakasuora väli $4{,}0\ldots10\,\text{s}$, laskeva väli $10\ldots16\,\text{s}$ ja vaakasuora väli $16\ldots20\,\text{s}$. Laskeva väli on $10\ldots16\,\text{s}$. Ensimmäisen välin nopeus on

   $\dfrac{14\,\text{m} - 2{,}0\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}}$$= 3{,}0\,\text{m/s}$

   Nopeuskuvaajassa nopeus on $3{,}0\,\text{m/s}$ välillä $0\ldots4{,}0\,\text{s}$, nolla välillä $4{,}0\ldots10\,\text{s}$, negatiivinen välillä $10\ldots16\,\text{s}$ ja nolla välillä $16\ldots20\,\text{s}$.

   Kaava

   $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} v &= \dfrac{5{,}0\,\text{m} - 14\,\text{m}}{16\,\text{s} - 10\,\text{s}} \\ &= \dfrac{-9{,}0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}} \\ &= -1{,}5\,\text{m/s} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $-1{,}5\,\text{m/s}$

   Välillä $10\ldots16\,\text{s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten paikkojen erotuksessa $9{,}0\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Robotin paikka pienenee välillä $10\ldots16\,\text{s}$, joten nopeuden pitää olla negatiivinen. Takaisinlasku: $14\,\text{m} + (-1{,}5\,\text{m/s}) \cdot 6{,}0\,\text{s} = 5{,}0\,\text{m}$, mikä on taulukon paikka hetkellä $16\,\text{s}$. Vaakasuorilla osilla nopeus on nolla, koska paikka ei muutu.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 1-16

   Pyöräilijä ajaa suoraa tietä itään $6{,}0\,\text{km}$ ajassa $20\,\text{min}$ ja kääntyy sitten heti takaisin ajaen saman $6{,}0\,\text{km}$:n matkan länteen ajassa $30\,\text{min}$. Laske koko matkan keskivauhti eli kuljettu matka jaettuna kuluneella ajalla. Anna vastaus yksikössä m/s.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   itään $s_1 = 6{,}0\,\text{km}$ ajassa $\Delta t_1 = 20\,\text{min}$ ja länteen $s_2 = 6{,}0\,\text{km}$ ajassa $\Delta t_2 = 30\,\text{min}$

   Kysytty

   keskivauhti $v_\text{vauhti}$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Keskivauhti on koko kuljettu matka jaettuna kuluneella ajalla. Matkaan lasketaan molemmat osuudet, koska matka ei riipu suunnasta. Keskinopeus olisi eri asia, koska se käyttäisi siirtymää, jossa suunta vaikuttaa.

   Kaava

   $v_\text{vauhti} = \dfrac{s}{\Delta t}$, missä $s = s_1 + s_2$ ja $\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2$. Siis

   $v_\text{vauhti}$$= \dfrac{s_1 + s_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2}$

   Muunnokset

   $6{,}0\,\text{km} = 6000\,\text{m}$ ja $20\,\text{min} = 1200\,\text{s}$, $30\,\text{min} = 1800\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $v_\text{vauhti}$$= \dfrac{6000\,\text{m} + 6000\,\text{m}}{1200\,\text{s} + 1800\,\text{s}}$

   $= \dfrac{12\,000\,\text{m}}{3000\,\text{s}}$

   $= 4{,}0\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska ajat $20\,\text{min}$ ja $30\,\text{min}$ (summa $50\,\text{min}$) ovat kahdella numerolla; matkat $6{,}0\,\text{km}$ ovat myös kahdella, ja niiden summa $12{,}0\,\text{km}$ rajoittaa vähemmän.

   Järkevyys

   Menon vauhti on

   $\dfrac{6000\,\text{m}}{1200\,\text{s}}$$= 5{,}0\,\text{m/s}$

   ja paluun vauhti

   $\dfrac{6000\,\text{m}}{1800\,\text{s}}$$\approx 3{,}3\,\text{m/s}$

   ja arvo on niiden välissä, kuten keskivauhdin kuuluu. Pyöräilijä palasi lähtöpaikkaansa, joten siirtymä on $0$ ja keskinopeus $0\,\text{m/s}$, vaikka keskivauhti ei ole nolla. Noin $14\,\text{km/h}$ on rauhallista pyöräilyä.

2. Tehtävä 1-17

   Aino ja Eeva lähtevät samaan aikaan kävelemään toisiaan kohti samalla suoralla. Aino lähtee paikasta 0 ja kulkee nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Eeva lähtee paikasta $90\,\text{m}$ ja kulkee nopeudella $-1{,}2\,\text{m/s}$.

   Missä paikassa he kohtaavat?

   mTarkista
   Vastaus

   $50\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   Aino: $x_{0\text{A}} = 0$, $v_\text{A} = 1{,}5\,\text{m/s}$; Eeva: $x_{0\text{E}} = 90\,\text{m}$, $v_\text{E} = -1{,}2\,\text{m/s}$; molemmat lähtevät yhtä aikaa ja liike on tasaista

   Kysytty

   kohtaamispaikka $x$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Molempien liike on tasaista, joten kummankin paikka on muotoa $x_0 + v\,t$. He kohtaavat, kun heidän paikkansa ovat samat samalla hetkellä, ja siitä ehdosta ratkeaa ensin aika.

   Kaava

   $x_\text{A} = x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t$ ja $x_\text{E} = x_{0\text{E}} + v_\text{E}\,t$. Ehdosta $x_\text{A} = x_\text{E}$ seuraa $x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t = x_{0\text{E}} + v_\text{E}\,t$, joten $(v_\text{A} - v_\text{E})\,t = x_{0\text{E}} - x_{0\text{A}}$ ja

   $$t = \dfrac{x_{0\text{E}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{E}}$$

   Paikka on $x = x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{m}$ ja $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita. Eevan nopeus sijoitetaan negatiivisena, koska hän kulkee negatiiviseen suuntaan.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} t &= \dfrac{90\,\text{m} - 0}{1{,}5\,\text{m/s} - (-1{,}2\,\text{m/s})} \\ &= \dfrac{90\,\text{m}}{2{,}7\,\text{m/s}} \\ &= 33{,}33\ldots\,\text{s} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} x &= 0 + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 33{,}33\ldots\,\text{s} \\ &= 50\,\text{m} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $50\,\text{m}$

   Eli $5{,}0 \cdot 10^1\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeudet $1{,}5\,\text{m/s}$ ja $-1{,}2\,\text{m/s}$ ovat kahdella numerolla ja niiden erotus $2{,}7\,\text{m/s}$ myös.

   Järkevyys

   Eeva kulkee $1{,}2\,\text{m/s} \cdot 33{,}33\,\text{s} = 40\,\text{m}$, joten hänen paikkansa on $90\,\text{m} - 40\,\text{m} = 50\,\text{m}$, sama kuin Ainolla. Paikka on alku- ja loppupisteen välissä, ja koska Aino on nopeampi, kohtaaminen on lähempänä Eevan lähtöpaikkaa kuin puolivälissä ($45\,\text{m}$).

3. Tehtävä 1-18

   Robotin $(t, x)$-kuvaaja koostuu kolmesta suorasta osasta: välillä 0–$10\,\text{s}$ paikka kasvaa arvosta 0 arvoon $30\,\text{m}$, välillä 10–$20\,\text{s}$ robotti on paikallaan ja välillä 20–$40\,\text{s}$ paikka pienenee arvoon $10\,\text{m}$.

   Mikä on robotin keskinopeus koko $40\,\text{s}$:n ajalta? Anna vastaus etumerkkeineen.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}25\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $(t, x)$-kuvaajan osat: $x = 0$ hetkellä $0\,\text{s}$, $x = 30\,\text{m}$ hetkellä $10\,\text{s}$, $x = 30\,\text{m}$ hetkellä $20\,\text{s}$ ja $x = 10\,\text{m}$ hetkellä $40\,\text{s}$

   Kysytty

   keskinopeus $v_\text{ka}$ koko $40\,\text{s}$:n ajalta etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Keskinopeus on koko siirtymä jaettuna koko ajalla. Siirtymään vaikuttavat vain alku- ja loppupaikka, joten välivaiheet eli eteneminen, pysähdys ja paluu eivät vaikuta laskuun.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan annetuista pisteistä alkupiste $(0\,\text{s}$; $0\,\text{m})$ ja loppupiste $(40\,\text{s}$; $10\,\text{m})$. Välillä $10\text{–}20\,\text{s}$ kuvaaja on vaakasuora, koska robotti seisoo, eikä sen pisteitä tarvita. Keskinopeus on näiden kahden pisteen välisen suoran kulmakerroin.

   Kaava

   $v_\text{ka}$$= \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$

   $= \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

   Muunnokset

   Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v_\text{ka}$$= \dfrac{10\,\text{m} - 0\,\text{m}}{40\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 0{,}25\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}25\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska loppupaikka $10\,\text{m}$ ja aika $40\,\text{s}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Robotti kulki $30\,\text{m}$ eteenpäin ja $20\,\text{m}$ takaisin, joten siirtymä on $30\,\text{m} - 20\,\text{m} = 10\,\text{m}$ vaikka matka oli $50\,\text{m}$. Etumerkki on positiivinen, koska robotti on lopussa suuremmassa $x$:ssä kuin alussa. Osanopeuksien $3{,}0\,\text{m/s}$, $0$ ja $-1{,}0\,\text{m/s}$ keskiarvo

   $\dfrac{3{,}0 + 0 - 1{,}0}{3}$$= 0{,}67\,\text{m/s}$

   olisi väärä, koska osavälit eivät ole yhtä pitkiä.

4. Tehtävä 1-19

   Kärryn liikettä tutkittiin videoanalyysillä. Ohjelman mittakaava asetettiin radan viereen asetetun $1{,}00\,\text{m}$:n mittatikun avulla, mutta tikku oli lähempänä kameraa kuin kärryn rata. Taulukossa on ohjelman antamat paikat (esimerkkiaineisto). Kärryn liike on tasaista.

   Myöhemmin radalle asetettiin $2{,}00\,\text{m}$:n mittanauha, ja ohjelma antoi sen pituudeksi $1{,}60\,\text{m}$.

   Määritä taulukosta ohjelman antama nopeus sovittamalla suora. Korjaa nopeus mittanauhan avulla kärryn todelliseksi nopeudeksi $v$. Arvioi, milloin kärry olisi todellisessa paikassa $6{,}0\,\text{m}$, ja perustele, onko ennuste luotettava. Selitä myös, miksi mittakaavavirhe on systemaattinen eikä sitä korjata toistamalla mittaus.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kärryn todellinen nopeus.

   Kärryn paikka ohjelman asteikolla (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$x_\text{ohj}\,(\text{m})$
   0,0	0,30
   1,0	0,95
   2,0	1,62
   3,0	2,21
   4,0	2,88
   5,0	3,52

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}80\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ohjelman paikat $x_\text{ohj}$ hetkillä $0{,}0\ldots5{,}0\,\text{s}$ (esim. $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}30\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}52\,\text{m})$); mittanauhan todellinen pituus $2{,}00\,\text{m}$, ohjelman antama pituus $1{,}60\,\text{m}$; liike on tasaista

   Kysytty

   kärryn todellinen nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$, hetki jolloin todellinen paikka on $6{,}0\,\text{m}$, ja ennusteen luotettavuus

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä pisteet ovat suoralla, ja nopeus on suoran kulmakerroin. Mittakaavavirhe kertoo kaikki ohjelman antamat pituudet samalla luvulla. Se saadaan vertaamalla tunnetun pituuden todellista arvoa ohjelman arvoon, ja korjaus kertoo myös nopeuden samalla luvulla.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet merkitään $(t, x_\text{ohj})$-kuvaajaan, ja niiden läpi sovitetaan suora. Suora kulkee lähellä pisteitä $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}31\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}52\,\text{m})$. Niiden avulla ohjelman antama nopeus on

   $v_\text{ohj}$$= \dfrac{3{,}52\,\text{m} - 0{,}31\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s}}$

   $\approx 0{,}64\,\text{m/s}$

   ja ohjelman alkupaikka $0{,}31\,\text{m}$.

   Kaava

   korjauskerroin

   $k$$= \dfrac{\ell_\text{tod}}{\ell_\text{ohj}}$

   todellinen nopeus $v = k\,v_\text{ohj}$ ja paikka $x = k\,(x_{0,\text{ohj}} + v_\text{ohj}\,t)$

   Muunnokset

   Kaikki pituudet ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten yksikkömuunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{2{,}00\,\text{m}}{1{,}60\,\text{m}} \\ &= 1{,}25 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} v &= 1{,}25 \cdot 0{,}64\,\text{m/s} \\ &= 0{,}80\,\text{m/s} \end{aligned}$$

   Todellinen alkupaikka on $1{,}25 \cdot 0{,}31\,\text{m} = 0{,}39\,\text{m}$, joten ehdosta $x = 6{,}0\,\text{m}$ saadaan

   $$\begin{aligned} t &= \dfrac{6{,}0\,\text{m} - 0{,}39\,\text{m}}{0{,}80\,\text{m/s}} \\ &= 7{,}0\,\text{s} \end{aligned}$$

   Vastaus

   todellinen nopeus on $0{,}80\,\text{m/s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten mittanauhan arvoissa. Ohjelman antama $0{,}64\,\text{m/s}$ on $20\,\%$ liian pieni. Kärry on todellisessa paikassa $6{,}0\,\text{m}$ noin $7{,}0\,\text{s}$ kuluttua.

   Järkevyys

   Mittanauha näytti lyhyemmältä kuin se on, joten kaikki ohjelman pituudet ovat liian pieniä ja korjauskertoimen pitää olla suurempi kuin yksi, kuten $1{,}25$ on. Takaisinlasku: $0{,}80\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} = 4{,}0\,\text{m}$ on kärryn todellinen siirtymä, ja ohjelman siirtymä $3{,}2\,\text{m}$ on $0{,}8$-kertainen siihen nähden. Ennuste $7{,}0\,\text{s}$ on kaukana mittausvälin päästä: mittaus päättyy hetkeen $5{,}0\,\text{s}$, joten ennuste ulottuu noin $40\,\%$ mittausaikaa pidemmälle. Se on luotettava vain, jos rata on tasainen ja kärry jatkaa vakionopeudella eikä rata pääty ennen $6{,}0\,\text{m}$:ä. Mittakaavavirhe on systemaattinen: se vääristää jokaista mittausta samaan suuntaan samalla kertoimella, joten mittausten toistaminen ei keskiarvossa poista sitä. Satunnaisvirhe taas hajottaa pisteitä suoran molemmille puolille ja pienenee toistamalla. Virhe korjataan vain kalibroimalla mittakaava tunnetulla pituudella samalta etäisyydeltä kuin kärryn rata.

5. Tehtävä 1-20

   Valtatiellä tien varressa oleva anturi seuraa rekan paikkaa. Taulukossa on rekan paikka tien suuntaisella $x$-akselilla (esimerkkiaineisto). Rekan liike on tasaista ja positiiviseen suuntaan.

   Poliisiauto ohittaa paikan $x = 0$ hetkellä $t = 8{,}0\,\text{s}$ ja ajaa rekan suuntaan tasaisella nopeudella $16\,\text{m/s}$.

   Sovita rekan mittauspisteisiin suora ja kirjoita rekan paikka ajan funktiona. Kirjoita poliisiauton paikka ajan funktiona. Määritä, missä paikassa poliisiauto saavuttaa rekan, ja perustele, miksi tämä ennuste on epävarma, kun anturin aineisto päättyy hetkeen $t = 40\,\text{s}$.

   Kirjoita vastauslaatikkoon saavuttamispaikka.

   Rekan paikka (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$x\,(\text{m})$
   0	205
   10	302
   20	395
   30	504
   40	598

   mTarkista
   Vastaus

   $7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   rekan pisteet $(t$; $x)$ hetkillä $0\ldots40\,\text{s}$, esim. $(0\,\text{s}$; $205\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $598\,\text{m})$; poliisiauto: $x = 0$ hetkellä $t_0 = 8{,}0\,\text{s}$, nopeus $v_\text{P} = 16\,\text{m/s}$

   Kysytty

   paikka $x$, jossa poliisiauto saavuttaa rekan, yksikössä $\text{m}$, sekä ennusteen luotettavuus

   Periaate

   Rekan liike on tasaista, joten sen $(t, x)$-pisteet sovitetaan suoralla, jonka kulmakerroin on nopeus ja leikkauskohta alkupaikka. Poliisiauton paikka on tasaisen liikkeen yhtälö, jossa aika lasketaan sen ohitushetkestä. Auto saavuttaa rekan, kun paikat ovat yhtä suuret samalla hetkellä.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet merkitään kuvaajaan, ja suora sovitetaan niiden läpi. Suora kulkee lähellä pisteitä $(0\,\text{s}$; $203\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $598\,\text{m})$. Niistä rekan nopeus on

   $v_\text{R}$$= \dfrac{598\,\text{m} - 203\,\text{m}}{40\,\text{s}}$

   $\approx 9{,}9\,\text{m/s}$

   ja alkupaikka $x_{0\text{R}} \approx 203\,\text{m}$.

   Kaava

   rekka $x_\text{R} = x_{0\text{R}} + v_\text{R}\,t$ ja poliisiauto $x_\text{P} = v_\text{P}\,(t - t_0)$. Ehdosta $x_\text{R} = x_\text{P}$ saadaan
   $$t = \dfrac{x_{0\text{R}} + v_\text{P}\,t_0}{v_\text{P} - v_\text{R}}$$
   ja paikka on $x = x_{0\text{R}} + v_\text{R}\,t$.

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{m}$, $\text{s}$ ja $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} t &= \dfrac{203\,\text{m} + 16\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s}}{16\,\text{m/s} - 9{,}9\,\text{m/s}} \\ &= \dfrac{331\,\text{m}}{6{,}1\,\text{m/s}} \\ &= 54\,\text{s} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} x &= 203\,\text{m} + 9{,}9\,\text{m/s} \cdot 54\,\text{s} \\ &= 7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$

   Eli noin $740\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeuksien erotus $16 - 9{,}9 = 6{,}1\,\text{m/s}$ rajoittaa tarkkuutta.

   Järkevyys

   Poliisiauton paikka hetkellä $54\,\text{s}$ on

   $16\,\text{m/s} \cdot (54\,\text{s} - 8{,}0\,\text{s})$

   $= 7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$

   sama kuin rekan paikka, joten ratkaisu täsmää. Poliisiauto on rekkaa nopeampi, joten saavuttaminen on mahdollista. Ennuste on epävarma, koska aineisto päättyy hetkeen $40\,\text{s}$ ja saavuttaminen tapahtuu hetkellä $54\,\text{s}$, eli $14\,\text{s}$ aineiston ulkopuolella. Ennuste olettaa, että rekka ajaa koko ajan samalla nopeudella samaa suoraa tietä, mitä aineisto ei todista. Pieni virhe rekan nopeudessa kasvaa ennusteessa, koska nopeuksien erotus on pieni: jos rekan nopeus olisi $0{,}2\,\text{m/s}$ suurempi, aika olisi noin $3\,\%$ pidempi.