Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina
Miksi pyöräilijän kuljettu matka voi olla neljä kilometriä, vaikka hänen siirtymänsä on nolla?
Pohjatiedot
- Nopeus peruskoulusta: matka jaettuna ajalla, $v = s/t$
- Koordinaatiston lukeminen: akselit, yksiköt ja suoran jyrkkyys
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Paikka
- Kertoo, missä kappale on valittuun nollakohtaan eli origoon nähden. Etumerkki kertoo, kummalla puolella origoa kappale on.
- Siirtymä
- Paikan muutos alusta loppuun. Siirtymällä on suuruus ja suunta, joten se on vektorisuure.
- Matka
- Kuljetun reitin pituus. Matka ei voi olla negatiivinen, toisin kuin siirtymä.
- Nopeus
- Kertoo, kuinka nopeasti paikka muuttuu ja mihin suuntaan. Nopeuden suuruus ilman suuntaa on vauhti.
- $(t,x)$-kuvaaja
- Kuvaaja, jossa vaaka-akselilla on aika ja pystyakselilla paikka. Suoran jyrkkyys kertoo nopeuden.
Pohdinta
Pyöräilijä lähtee kotoa ja ajaa tasaisesti $2{,}0\,\text{km}$ suoraa tietä kaupalle. Hän ostaa maitoa ja ajaa saman tien takaisin kotiin. Matkamittari näyttää lopuksi $4{,}0\,\text{km}$. Seurantasovellus mittaa paikkaa kotoa. Se näyttää lopuksi $0\,\text{m}$. Sovellus piirtää myös kuvaajan. Vaaka-akselilla on aika ja pystyakselilla pyöräilijän paikka.
Miltä tällainen kuvaaja näyttäisi? Mitä siitä voisi lukea pyöräilijän nopeudesta ja kulkusuunnasta?
Kertaa yläkoulusta
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: kaksi eri nopeutta
Ennuste 2: eri lähtöpaikka
Ennuste 3: vastakkaiset suunnat
Tutki
Simulaatiossa kaksi kärryä ajaa suoraa rataa pitkin. Niiden $(t, x)$-kuvaaja piirtyy samalla.
Simulaatio
Käyttöohje
Paina Käynnistä tai vedä Hetki $t$ -liukusäädintä. Katso, mitä radalla ja kuvaajassa tapahtuu. Valitse Tapaus ja kokeile, miten kuvaajat muuttuvat. Nuolen suunta ja pituus näyttävät nopeuden. Radan pisteet merkitsevät kokonaisia sekunteja. Kuvaajan viiva piirtyy niille hetkille, joissa olet käynyt.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Ne eivät ole mittauksia oikeista kärryistä. Kärryt liikkuvat suoraa rataa pitkin vakionopeudella. Ne ovat heti täydessä vauhdissa. Kitkaa, kiihtymistä ja kärryjen kokoa ei huomioida. Poikkeus on tapaus 4. Kärry $\text{E}$ ajaa $4\,\text{s}$ eteenpäin ja seisoo $2\,\text{s}$. Sitten se palaa $4\,\text{s}$ takaisin samalla vauhdilla. Se päätyy lähtöpaikkaansa.
Laskennan selitys
Nopeuksia ei kerrota lukuina. Lue paikat radalta, kellosta tai kuvaajasta. Laske nopeus paikan muutoksen ja ajan muutoksen suhteena $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Matka $s$ on kuljetun reitin pituus. Siirtymä $\Delta x$ on paikan muutos. Tapauksessa 4 on siksi $\Delta x = 0\,\text{m}$, vaikka $s \neq 0$.
Koe 1: kaksi eri nopeutta
Testaa ennuste 1. Simulaatio on valmiiksi tapauksessa 1. Siinä kärryt A ja B lähtevät samasta kohdasta. Paina Käynnistä ja seuraa, miten kuvaajat piirtyvät. Pysäytä sitten kello vetämällä Hetki $t$ -liukusäädintä. Kirjaa paikat ainakin kolmella eri hetkellä, esimerkiksi $t = 0$, $t = 4{,}0\,\text{s}$ ja $t = 10\,\text{s}$.
Alkutila: tapaus = $1$, hetki $t$ = $0\,\text{s}$. Vakiona: tapaus. Muutetaan: hetki $t$.
| hetki $t$ | $x_\text{A}$ $(\text{m})$ | $x_\text{B}$ $(\text{m})$ |
|---|
Laske kärryn B nopeus taulukon kahden rivin avulla. Vastaa yksikössä $\text{m/s}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Nopeus on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella. Valitse kaksi riviä, esimerkiksi ensimmäinen ja viimeinen. Lue niistä B:n paikat ja ajat.
Vihje 2: mikä yhteys
Käytä sarakkeen $x_B$ lukuja.
Vihje 3: välivaihe
Jos rivit ovat $t = 0$ ja $t = 10\,\text{s}$, niin
Näytä ratkaisu
Annettu
kärryn B paikat taulukosta: $x_{1} = 0\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 0$ ja $x_{2} = 40\,\text{m}$ hetkellä $t_2 = 10\,\text{s}$; kärry liikkuu tasaisesti
Kysytty
kärryn B nopeus $v_\text{B}$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Kärryn liike on tasaista. Siksi paikka muuttuu yhtä paljon joka sekunti. Mitkä tahansa kaksi taulukon riviä antavat saman nopeuden. Nopeus on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, missä $\Delta x = x_2 - x_1$ ja $\Delta t = t_2 - t_1$. Siis $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}$. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$4{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Luvut $10\,\text{s}$ ja $40\,\text{m}$ on annettu tässä kahdella numerolla.
Järkevyys
Kärry B on nopeampi kuin A ($2{,}0\,\text{m/s}$). Siksi sen paikka kasvaa taulukossa nopeammin. Toinen rivipari antaa saman tuloksen. Esimerkiksi hetkellä $t = 4{,}0\,\text{s}$ B on paikassa $16\,\text{m}$, ja
Nopeus on positiivinen, koska paikka kasvaa.
Koe 2: eri lähtöpaikka
Testaa ennuste 2. Simulaatio on valmiiksi tapauksessa 2. Siinä kärry C lähtee A:n edestä positiiviseen suuntaan katsottuna. Paina Käynnistä ja katso kuvaajia. Kirjaa sitten paikat ainakin kolmella eri hetkellä, esimerkiksi $t = 0$, $t = 4{,}0\,\text{s}$ ja $t = 10\,\text{s}$. Laske kummankin kärryn paikan muutos rivien välillä.
Alkutila: tapaus = $2$, hetki $t$ = $0\,\text{s}$. Vakiona: tapaus. Muutetaan: hetki $t$.
| hetki $t$ | $x_\text{A}$ $(\text{m})$ | $x_\text{C}$ $(\text{m})$ |
|---|
Koe 3: vastakkaiset suunnat
Testaa ennuste 3. Simulaatio on valmiiksi tapauksessa 3. Siinä kärry D ajaa kohti origoa. Paina Käynnistä ja katso, missä kuvaajat leikkaavat. Kirjaa paikat ainakin kolmella eri hetkellä, esimerkiksi $t = 0$, $t = 6{,}0\,\text{s}$ ja $t = 10\,\text{s}$.
Alkutila: tapaus = $3$, hetki $t$ = $0\,\text{s}$. Vakiona: tapaus. Muutetaan: hetki $t$.
| hetki $t$ | $x_\text{A}$ $(\text{m})$ | $x_\text{D}$ $(\text{m})$ |
|---|
Laske kärryn D nopeus taulukon kahden rivin avulla. Anna vastaus etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Lue D:n paikat kahdelta riviltä. Laske paikan muutos: loppupaikka miinus alkupaikka. Mihin suuntaan paikka muuttuu?
Vihje 2: mikä yhteys
$v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, ja $x_2 - x_1$ on negatiivinen, kun paikka pienenee.
Vihje 3: välivaihe
Rivit $t = 0$ ja $t = 10\,\text{s}$:
Näytä ratkaisu
Annettu
kärryn D paikat taulukosta: $x_1 = 30\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 0$ ja $x_2 = 0\,\text{m}$ hetkellä $t_2 = 10\,\text{s}$; kärry liikkuu tasaisesti
Kysytty
kärryn D nopeus $v_\text{D}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Liike on tasaista. Siksi nopeus on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella. Muutos lasketaan loppu miinus alku. Silloin etumerkki kertoo suunnan. Kun paikka pienenee, nopeus on negatiivinen.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, missä $\Delta x = x_2 - x_1$ ja $\Delta t = t_2 - t_1$. Siis $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina. Muunnoksia ei tarvita. Älä vaihda alku- ja loppupaikkaa, sillä silloin etumerkki kääntyisi.
Sijoitus
Vastaus
$-3{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Luvut $30\,\text{m}$ ja $10\,\text{s}$ on annettu tässä kahdella numerolla.
Järkevyys
Kärry D ajaa kohti origoa. Siksi paikka pienenee ja nopeuden pitää olla negatiivinen. Takaisinlasku: $30\,\text{m} + (-3{,}0\,\text{m/s}) \cdot 10\,\text{s} = 0\,\text{m}$. Se on taulukon loppupaikka. Vauhti on $3{,}0\,\text{m/s}$. Vauhti on positiivinen luku, vaikka nopeus on negatiivinen.
Mittausaineisto: robotti ajaa viivaa pitkin
Robotti ajaa suoraa viivaa pitkin tasaisella nopeudella. Etäisyysanturi mittaa sen paikan $x$ kahden sekunnin välein. Jokaisessa mittauksessa on pieni virhe. Siksi pisteet eivät osu täsmälleen samalle suoralle. Mittaukset ovat tässä taulukkona ja $(t, x)$-kuvaajana. Aineisto on esimerkki. Se ei ole oikea koe.
| $t$ (s) | $x$ (m) |
|---|---|
| 0 | 4,2 |
| 2 | 6,8 |
| 4 | 10,2 |
| 6 | 13,3 |
| 8 | 15,8 |
| 10 | 19,1 |
Kuvaan on piirretty suora pisteiden läpi. Pisteet jäävät suunnilleen tasaisesti suoran molemmille puolille. Sovitettu suora alkaa paikasta $x_0 = 4{,}1\,\text{m}$ eli pisteestä $(0\,\text{s}$; $4{,}1\,\text{m})$.
Valitse sovitetulta suoralta toinen piste. Sen pitää olla kaukana alkupisteestä $(0\,\text{s}$; $4{,}1\,\text{m})$. Lue pisteen $t$ ja $x$ kuvaajasta. Laske suoran kulmakerroin eli robotin nopeus näiden kahden pisteen avulla. Vastaa yksikössä $\text{m/s}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Suora ei kulje kaikkien mittauspisteiden kautta. Lue siksi piste suoralta. Älä lue sitä taulukosta. Valitse piste, joka on kaukana alkupisteestä, esimerkiksi lähellä hetkeä $t = 10\,\text{s}$. Kirjaa sen $t$ ja $x$.
Vihje 2: mikä yhteys
Alkupiste on $(0\,\text{s}$; $4{,}1\,\text{m})$; suora päättyy noin paikkaan $19\,\text{m}$.
Vihje 3: välivaihe
Hetkien $t = 0$ ja $t = 10\,\text{s}$ välillä suoran paikka kasvaa noin $19\,\text{m} - 4\,\text{m} = 15\,\text{m}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
sovitetun suoran alkupiste $(t_1$; $x_1) = (0\,\text{s}$; $4{,}1\,\text{m})$ ja kuvaajasta luettu toinen piste kaukana siitä $(t_2$; $x_2) \approx (10\,\text{s}$; $19\,\text{m})$; robotti ajaa tasaisella nopeudella
Kysytty
suoran kulmakerroin eli robotin nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Robotti liikkuu tasaisella nopeudella. Siksi sen $(t, x)$-kuvaaja on suora, ja suoran kulmakerroin on nopeus. Mittauspisteissä on pieni virhe. Siksi nopeus lasketaan sovitetun suoran pisteistä. Sitä ei lasketa yksittäisistä mittauksista.
Kuvaajan lukeminen
Alkupiste $(0\,\text{s}$; $4{,}1\,\text{m})$ on annettu. Toinen piste luetaan hetkeltä $t = 10\,\text{s}$ kuvaajan oikeasta reunasta. Mene tästä kohdasta ylös suoralle ja siitä vasemmalle $x$-akselille. Suora on hieman alle $20\,\text{m}$:n ruudukkoviivan. Luetaan siis $x_2 \approx 19\,\text{m}$. Piste luetaan siis ruudukkoviivojen $15\,\text{m}$ ja $20\,\text{m}$ väliltä. Ruudukkoviivojen väli on $5\,\text{m}$. Arvon voi siis lukea noin metrin tarkkuudella. Kaukana toisistaan olevilla pisteillä tämä virhe on pieni verrattuna muutokseen. Pystysuora nousu on $x_2 - x_1$ ja vaakasuora eteneminen $t_2 - t_1$.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, missä $\Delta x = x_2 - x_1$ ja $\Delta t = t_2 - t_1$. Siis $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Alkupaikka $4{,}1\,\text{m}$ ei ole nolla, mutta se supistuu erotuksessa.
Sijoitus
Vastaus
$1{,}5\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Kuvaajasta luettu paikka $19\,\text{m}$ on tarkka vain noin metrin. Siksi $\Delta x \approx 15\,\text{m}$ on kahden numeron luku. Myös mittauspisteiden hajonta rajoittaa tarkkuutta. Pienimmän neliösumman suoran kulmakerroin on $1{,}49 \pm 0{,}03\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Suora nousee, joten nopeus on positiivinen. Suoran paikan yhtälö on noin $x = 4{,}1\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot t$. Hetkellä $t = 10\,\text{s}$ se antaa $19{,}1\,\text{m}$. Se vastaa luettua arvoa $19\,\text{m}$. Taulukon ensimmäisen ja viimeisen mittauksen välinen keskimääräinen nopeus on
Kahdessa sekunnissa paikka kasvaa noin $1{,}5\,\text{m/s} \cdot 2\,\text{s} = 3\,\text{m}$, kuten taulukon rivien välillä. Tulos sopii siis mittauksiin. Jakaminen pelkällä loppupaikalla antaisi väärin $1{,}9\,\text{m/s}$.
Edestakainen liike
Kärry E on simulaation tapauksessa 4. Se ajaa $4{,}0\,\text{s}$ positiiviseen suuntaan ja seisoo $2{,}0\,\text{s}$. Sitten se ajaa $4{,}0\,\text{s}$ takaisin samalla vauhdilla. Vauhti ajon aikana on $2{,}0\,\text{m/s}$. Kärryn $(t, x)$-kuvaaja on alla. Voit toistaa liikkeen simulaatiossa valitsemalla tapauksen 4.
Kärry päätyy lopuksi lähtöpaikkaansa. Matkaa kertyy $16\,\text{m}$.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Liikkeen kuvaaminen alkaa sopimuksesta. Valitaan suora, jota pitkin kappale liikkuu. Suoralle valitaan origo eli nollakohta ja positiivinen suunta. Tämä suora on $x$-akseli. Paikka $x$ kertoo, missä kappale on origoon nähden. Etumerkki kertoo, kummalla puolella kappale on. Paikka $x = -3\,\text{m}$ on kolme metriä origosta negatiiviseen suuntaan. Aika $t$ mitataan kellolla. Liike kuvataan kertomalla paikka jokaisella hetkellä.
Kappale voi siirtyä paikasta $x_1$ paikkaan $x_2$. Silloin sen siirtymä on paikan muutos $\Delta x = x_2 - x_1$. Siirtymä on vektorisuure. Vektorisuureella on sekä suuruus että suunta. Esimerkiksi tuulen nopeus on vektorisuure: pitää tietää, kuinka kovaa tuulee ja mihin suuntaan. Suoralla suunta kerrotaan etumerkillä. Plus tarkoittaa positiivista suuntaa ja miinus vastakkaista suuntaa. Siirtymä ei ole sama asia kuin kuljettu matka $s$. Matka on reitin pituus. Matka ei voi olla negatiivinen. Pyöräilijä voi ajaa kaupalle ja takaisin. Silloin matka on neljä kilometriä. Siirtymä on nolla, koska loppupaikka on sama kuin alkupaikka.
Nopeus kertoo, kuinka nopeasti paikka muuttuu ja mihin suuntaan. Nopeus on myös vektorisuure. Sen etumerkki kertoo suunnan. Nopeuden itseisarvo $|v|$ on vauhti. Vauhti on nopeuden suuruus ilman etumerkkiä. Tasaisessa liikkeessä nopeus pysyy vakiona. Silloin paikka muuttuu yhtä paljon jokaisessa yhtä pitkässä aikavälissä.
Liike voidaan piirtää $(t,x)$-kuvaajaksi. Vaaka-akselilla on aika ja pystyakselilla paikka. Tasaisen liikkeen kuvaaja on suora. Suoran jyrkkyys eli kulmakerroin on nopeus. Jyrkempi suora tarkoittaa suurempaa nopeutta. Vaakasuora suora tarkoittaa, että kappale on paikallaan. Laskeva suora tarkoittaa liikettä negatiiviseen suuntaan. Kuvaaja ei ole kuva kappaleen reitistä. Nouseva viiva ei tarkoita ylämäkeä. Se tarkoittaa, että paikka kasvaa.
Keskinopeus ja tasaisen liikkeen yhtälö
Paikka voi muuttua määrän $\Delta x$ aikavälillä $\Delta t = t_2 - t_1$. Silloin keskinopeus on siirtymä jaettuna ajalla:
$$v_\text{ka} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$
missä $v_\text{ka}$ on keskinopeus (m/s), $\Delta x$ siirtymä (m), $\Delta t$ kulunut aika (s) ja $x_1$ ja $x_2$ paikat (m) hetkillä $t_1$ ja $t_2$. Vektorina nopeus kirjoitetaan $\overline{v}$ ja siirtymä $\Delta\overline{x}$. Suoralla käytetään niiden komponentteja $v$ ja $\Delta x$. Niiden etumerkki kertoo suunnan.
Tasaisessa liikkeessä keskinopeus on sama millä tahansa aikavälillä. Sitä kutsutaan nopeudeksi $v$. Epätasaisessa liikkeessä keskinopeus kertoo vain yhden asian. Se kertoo vakionopeuden, jolla sama siirtymä tehtäisiin samassa ajassa. Kappale voi olla hetkellä $t = 0$ paikassa $x_0$. Silloin kaavasta saadaan paikka ajan funktiona eli paikka millä tahansa hetkellä:
$$x = x_0 + v\,t$$
missä $x$ on paikka hetkellä $t$ (m), $x_0$ alkupaikka (m), $v$ nopeus (m/s) ja $t$ aika (s). Tämä on $(t,x)$-kuvaajan suoran yhtälö. Luku $x_0$ on kohta, jossa suora leikkaa paikka-akselin. Nopeus $v$ on suoran kulmakerroin.
Kulmakerroin lasketaan näin. Valitaan suoralta kaksi pistettä, jotka ovat kaukana toisistaan. Paikan muutos jaetaan ajan muutoksella. Mittauspisteistä piirretään kuvaaja. Siihen sovitetaan suora niin, että pisteet jäävät tasaisesti suoran molemmille puolille. Kulmakerroin lasketaan suoralta. Sitä ei lasketa kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä, koska jokaisessa mittauksessa on pieni virhe.
Yleinen virhekäsitys
$(t,x)$-kuvaaja ei ole kuva kappaleen reitistä. Nouseva viiva ei tarkoita ylämäkeä. Se tarkoittaa, että paikka kasvaa. Toinen virhe on pitää negatiivista nopeutta hitaana nopeutena. Etumerkki kertoo vain suunnan. Nopeus $-3\,\text{m/s}$ on suuruudeltaan suurempi kuin $+2\,\text{m/s}$. Kolmas virhe on päätellä paikasta nopeus. Kappale voi olla edellä ja liikkua silti hitaammin.
Tiivistelmä
- Paikka $x$ kertoo, missä kappale on origoon nähden. Siirtymä $\Delta x = x_2 - x_1$ on paikan muutos. Sen etumerkki kertoo suunnan. Matka on reitin pituus. Matka ei ole negatiivinen.
- Nopeus $v = \Delta x / \Delta t$ on vektorisuure. Tasaisessa liikkeessä se on vakio. Paikka on $x = x_0 + v\,t$.
- Tasaisen liikkeen viiva $(t,x)$-kuvaajassa on suora. Kulmakerroin on nopeus. Sen etumerkki kertoo suunnan.
- Mittausaineistoon sovitetaan suora. Nopeus lasketaan suoralta valituista pisteistä, jotka ovat kaukana toisistaan.
- Edestakaisen liikkeen keskinopeus voi olla nolla, vaikka matka ei ole nolla.
Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi taulukoihin ja kuvaajiin. Mitä sait selville suoran jyrkkyydestä, alkupaikasta ja nopeuden etumerkistä? Palaa myös alun pyöräilijään. Miksi hänen siirtymänsä on nolla, vaikka matka on $4{,}0\,\text{km}$?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Hölkkääjän liike on tasaista. Kuvaajasta luetaan, että hän on hetkellä $t = 0$ paikassa $20\,\text{m}$. Hetkellä $t = 40\,\text{s}$ hän on paikassa $120\,\text{m}$. Mikä on hölkkääjän nopeus? Missä paikassa hän on hetkellä $t = 60\,\text{s}$?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Kuvaajasta luetaan kaksi pistettä: $(t_1$; $x_1) = (0\,\text{s}$; $20\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (40\,\text{s}$; $120\,\text{m})$. Kysytään nopeutta $v$ ja paikkaa $x$ hetkellä $t = 60\,\text{s}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Hölkkääjän liike on tasaista. Siksi nopeus pysyy vakiona ja $(t, x)$-kuvaaja on suora. Nopeus on suoran kulmakerroin. Se on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella. Kun nopeus tunnetaan, paikan saa näin: alkupaikkaan lisätään nopeuden ja ajan tulo.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Nopeus ja paikka ratkaistaan ensin symbolein. Lukuja ei vielä käytetä:
$$\begin{aligned} v &= \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \\ x &= x_1 + v\,t \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina. Siksi nopeus tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}$. Muunnoksia ei tarvita. Alkupaikka on $x_1 = 20\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 0$. Siksi ajaksi $t$ kelpaa suoraan $60\,\text{s}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} v &= \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \\ &= \frac{120\,\text{m} - 20\,\text{m}}{40\,\text{s} - 0\,\text{s}} \\ &= 2{,}5\,\text{m/s} \\[4pt] x &= x_1 + v\,t \\ &= 20\,\text{m} + 2{,}5\,\text{m/s} \cdot 60\,\text{s} \\ &= 20\,\text{m} + 150\,\text{m} \\ &= 170\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Nopeus on $v = 2{,}5\,\text{m/s}$. Paikka hetkellä $60\,\text{s}$ on $x = 170\,\text{m}$ eli $1{,}7 \cdot 10^2\,\text{m}$. Nopeudessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska aikaväli $40\,\text{s}$ on annettu kahdella numerolla. Paikassa tulo $2{,}5\,\text{m/s} \cdot 60\,\text{s} = 150\,\text{m}$ on myös kahdella numerolla. Siksi summa $20\,\text{m} + 150\,\text{m}$ tunnetaan vain kymmenien metrien tarkkuudella: $x = 1{,}7 \cdot 10^2\,\text{m}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Ensimmäisten $40\,\text{s}$:n aikana paikka kasvoi $100\,\text{m}$. Seuraavien $20\,\text{s}$:n aikana se kasvaa puolet siitä, $50\,\text{m}$. Paikka on $120\,\text{m} + 50\,\text{m} = 170\,\text{m}$. Tulos on sama. Nopeus $2{,}5\,\text{m/s}$ on noin $9\,\text{km/h}$. Se on hölkän vauhti. Nopeus on positiivinen, koska kuvaaja nousee.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Pulkka liukuu suoraa rinnettä pitkin tasaisella nopeudella. Rinteessä on mittaustolppa, jonka kohdalla paikka on 0. Pulkka on hetkellä $t = 3{,}0\,\text{s}$ paikassa $4{,}0\,\text{m}$. Hetkellä $t = 7{,}0\,\text{s}$ se on paikassa $24\,\text{m}$.
Missä paikassa pulkka on hetkellä $t = 10{,}0\,\text{s}$? Vastaa yksikössä $\text{m}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Selvitä ensin nopeus kahden annetun hetken avulla.
Vihje 2: mikä yhteys
Nopeus on $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$. Sen jälkeen myöhempi paikka saadaan näin: paikka yhdellä hetkellä plus nopeus kertaa kuluva aika, $x = x_2 + v\,\Delta t$.
Vihje 3: välivaihe
Laske ensin
Lisäaika hetkestä $7{,}0\,\text{s}$ hetkeen $10{,}0\,\text{s}$ on $3{,}0\,\text{s}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
pulkan paikat: $x_1 = 4{,}0\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 3{,}0\,\text{s}$ ja $x_2 = 24\,\text{m}$ hetkellä $t_2 = 7{,}0\,\text{s}$; haluttu hetki $t = 10{,}0\,\text{s}$; nopeus on tasainen
Kysytty
pulkan paikka $x$ hetkellä $t = 10{,}0\,\text{s}$ metreinä
Periaate
Pulkka liukuu tasaisella nopeudella. Nopeus saadaan kahdesta tunnetusta pisteestä. Paikka myöhemmällä hetkellä saadaan tunnetusta pisteestä nopeuden ja kuluneen ajan avulla. Alkuhetken paikka ei ole nolla. Siksi pelkkä $v\,t$ ei kelpaa.
Kaava
$v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$ ja $x = x_2 + v\,(t - t_2)$. Sijoittamalla ensimmäinen toiseen saadaan
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina. Muunnoksia ei tarvita. Ajan muutos lasketaan erotuksena. Sitä ei lasketa hetkestä $t = 0$.
Sijoitus
Vastaus
$39\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten paikoissa $4{,}0\,\text{m}$ ja $24\,\text{m}$.
Järkevyys
Pulkka etenee positiiviseen suuntaan. Siksi paikan pitää olla suurempi kuin $24\,\text{m}$. Toinen reitti: alkupaikka on
Silloin
Tulos on sama. Nopeus $5{,}0\,\text{m/s}$ on $18\,\text{km/h}$. Se sopii rinteessä liukuvalle pulkalle.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Kärry on ensin paikassa $x = 5\,\text{m}$ ja sitten paikassa $x = -3\,\text{m}$. Laske siirtymän komponentti $\Delta x$ etumerkkeineen. Kerro, mitä etumerkki kertoo siirtymävektorin $\Delta\overline{x}$ suunnasta.
Vastaus
$\Delta x$$= x_2 - x_1$$= -3\,\text{m} - 5\,\text{m}$$= -8\,\text{m}$Vektorina siirtymä on $\Delta\overline{x}$. Sen $x$-komponentti on $-8\,\text{m}$ ja pituus $|\Delta\overline{x}| = 8\,\text{m}$. Negatiivinen etumerkki tarkoittaa, että vektori osoittaa $x$-akselin negatiiviseen suuntaan.
- Kolmen kärryn $(t, x)$-kuvaajat ovat suoria. Toinen nousee jyrkemmin kuin toinen. Kolmas laskee. Mitä kuvaajista voi päätellä nopeuksista?
Vastaus
Kulmakerroin on nopeus. Jyrkemmin nouseva suora kuuluu suuremmalle nopeudelle positiiviseen suuntaan. Laskevan suoran kulmakerroin on negatiivinen. Kolmas kärry liikkuu siis negatiiviseen suuntaan.
- Kävelet suoraa katua $100\,\text{m}$ itään. Sitten palaat saman matkan takaisin lähtöpaikkaan. Mikä on kuljettu matka, siirtymä ja keskinopeus?
Vastaus
Matka on $200\,\text{m}$. Siirtymä on 0. Keskinopeus on $v_\text{ka} = \Delta x / \Delta t = 0$. Siirtymä riippuu vain alku- ja loppupaikasta. Se ei riipu reitistä.
1. Käsite
2. Laskeminen
Kärry on hetkellä $t = 0$ paikassa $-12\,\text{m}$. Se liikkuu tasaisesti nopeudella $2{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Missä paikassa kärry on hetkellä $t = 10\,\text{s}$? Vastaa yksikössä $\text{m}$ etumerkkeineen.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Paikka on alkupaikka plus siirtymä. Mikä on siirtymä $10\,\text{s}$:ssa?
Vihje 2: mikä yhteys
Käytä kaavaa $x = x_0 + v\,t$. Alkupaikka on negatiivinen.
Vihje 3: välivaihe
$x = -12\,\text{m} + 2{,}5\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$x_0 = -12\,\text{m}$ hetkellä $t = 0$, $v = 2{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan, haluttu hetki $t = 10\,\text{s}$
Kysytty
kärryn paikka $x$ hetkellä $t = 10\,\text{s}$ etumerkkeineen metreinä
Periaate
Kärryn liike on tasaista. Siksi paikka muuttuu nopeuden ja ajan tulon verran. Paikka on alkupaikka plus tämä siirtymä. Alkupaikka on negatiivinen, joten sen etumerkki on otettava mukaan.
Kaava
$x = x_0 + v\,t$. Kaava on jo ratkaistu paikan suhteen: $x = x_0 + v\,t$
Muunnokset
Paikka on metreinä, nopeus yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$13\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Nopeus $2{,}5\,\text{m/s}$ ja aika $10\,\text{s}$ ovat kahdella numerolla. Summa $-12\,\text{m} + 25\,\text{m}$ on metrin tarkkuudella.
Järkevyys
Kärry siirtyy $25\,\text{m}$ eteenpäin. Se on enemmän kuin alkuetäisyys origosta ($12\,\text{m}$). Siksi kärry ohittaa origon ja paikka on positiivinen. Origossa kärry on hetkellä
Hetkellä $10\,\text{s}$ se on ohittanut origon ja kulkenut vielä $5{,}2\,\text{s} \cdot 2{,}5\,\text{m/s} = 13\,\text{m}$.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Selitä
Selitä omin sanoin, miksi pyöräilijän matka voi olla $4{,}0\,\text{km}$ mutta siirtymä nolla. Selitä myös, miten $(t, x)$-kuvaajasta nähdään nopeuden suuruus ja suunta. Käytä käsitteitä paikka, siirtymä ja nopeus.
Mallivastaus
Pyöräilijä ajaa kaupalle $2{,}0\,\text{km}$ ja takaisin. Reitin pituus eli matka on siis $4{,}0\,\text{km}$. Siirtymä $\Delta x = x_2 - x_1$ on kuitenkin paikan muutos alkupaikasta loppupaikkaan. Loppupaikka on sama kuin alkupaikka, joten $\Delta x = 0$. $(t, x)$-kuvaajassa nopeus on suoran kulmakerroin $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Mitä jyrkempi suora, sitä suurempi on nopeuden suuruus. Nouseva suora tarkoittaa positiivista nopeutta. Laskeva suora tarkoittaa negatiivista nopeutta. Pyöräilijän kuvaajassa on nouseva osa matkalla kauppaan ja laskeva osa paluumatkalla.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Paikka
- Kertoo kappaleen sijainnin valitussa koordinaatistossa tiettynä ajanhetkenä.
- Matka
- Kertoo kappaleen kulkeman reitin kokonaispituuden.
- Siirtymä
- Kertoo kappaleen paikan muutoksen ja suunnan.$$\Delta x = x_2 - x_1$$
- Nopeus
- Kertoo paikan muuttumisnopeuden ja liikkeen suunnan.
- Vauhti
- Kertoo liikkeen nopeuden suuruuden ilman tietoa suunnasta.
- Keskinopeus
- Koko siirtymä jaetaan siihen kuluneella ajalla.$$v_{\text{ka}} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$$
- Tasainen liike
- Nopeus pysyy vakiona, joten paikka muuttuu yhtä paljon yhtä pitkissä aikaväleissä.
- Paikan kuvaaja
- Esittää kappaleen paikan ajan funktiona.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-1Ydintehtävä
Juoksija kulkee tasaisella nopeudella suoraa rataa pitkin. Hän kulkee $120\,\text{m}$:n matkan $15\,\text{s}$:ssa. Liikkeen suunta on valittu positiiviseksi. Mikä on juoksijan nopeus?
Vastaus
$8{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\Delta x = 120\,\text{m}$, $\Delta t = 15\,\text{s}$; liike on tasaista ja suuntaan, joka on valittu positiiviseksi
Kysytty
juoksijan nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Liike on tasaista. Siksi nopeus ei muutu koko matkalla. Nopeus on paikan muutos jaettuna siihen kuluneella ajalla. Juoksija kulkee suoraan positiiviseen suuntaan. Siksi siirtymä on yhtä suuri kuin matka.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Kaava on jo ratkaistu nopeuden suhteen: $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$
Muunnokset
Matka on metreinä ja aika sekunteina, joten tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}$. Muunnosta ei tarvita.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{120\,\text{m}}{15\,\text{s}}$$= 8{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$8{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $15\,\text{s}$. Matka $120\,\text{m}$ ei rajoita tarkkuutta enempää.
Järkevyys
Arvio: $\dfrac{120\,\text{m}}{15\,\text{s}}$ on $8\,\text{m}$ sekunnissa. Laskun voi tarkistaa takaperin: $15\,\text{s}$:ssa $8\,\text{m/s} \cdot 15\,\text{s} = 120\,\text{m}$. Nopeus $8{,}0\,\text{m/s} \approx 29\,\text{km/h}$ on pikajuoksijan vauhtia. Se on mahdollinen $120\,\text{m}$:n matkalla. Etumerkki on positiivinen, koska liike on positiiviseen suuntaan.
- Tehtävä 1-2Ydintehtävä
Kärry on $x$-akselilla ensin paikassa $12\,\text{m}$. Sitten se liikkuu paikkaan $-5{,}0\,\text{m}$. Mikä on kärryn siirtymä? Anna vastaus etumerkkeineen.
Vastaus
$-17\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alkupaikka $x_1 = 12\,\text{m}$, loppupaikka $x_2 = -5{,}0\,\text{m}$
Kysytty
siirtymä $\Delta x$ etumerkkeineen yksikössä $\text{m}$
Periaate
Siirtymä on paikan muutos. Se ei ole kuljettu matka. Se lasketaan aina loppupaikka miinus alkupaikka. Etumerkki kertoo suunnan. Negatiivinen siirtymä tarkoittaa liikettä negatiiviseen suuntaan.
Kaava
$\Delta x = x_2 - x_1$. Kaava on jo ratkaistu siirtymän suhteen: $\Delta x = x_2 - x_1$
Muunnokset
Molemmat paikat ovat metreinä, joten yksiköitä ei tarvitse muuntaa.
Sijoitus
$\Delta x$$= -5{,}0\,\text{m} - 12\,\text{m}$$= -17\,\text{m}$Vastaus
$-17\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Paikka $12\,\text{m}$ tunnetaan metrin tarkkuudella. Siksi erotus on saman tarkkuinen.
Järkevyys
Kärry liikkui negatiiviseen suuntaan. Siksi siirtymän pitää olla negatiivinen. Kärry kulki ensin $12\,\text{m}$ origoon. Sitten se kulki $5{,}0\,\text{m}$ origon yli. Yhteensä se kulki $12\,\text{m} + 5{,}0\,\text{m} = 17\,\text{m}$. Matka ja siirtymän suuruus ovat yhtä suuret, kun kärry ei käänny.
- Tehtävä 1-3
Kärry liikkuu tasaisella nopeudella $3{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Liike kestää $12\,\text{s}$. Kuinka suuri on kärryn siirtymä?
Vastaus
$42\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v = 3{,}5\,\text{m/s}$, $\Delta t = 12\,\text{s}$; liike on tasaista ja positiiviseen suuntaan
Kysytty
siirtymä $\Delta x$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Tasaisessa liikkeessä nopeus pysyy vakiona. Silloin paikka muuttuu yhtä paljon joka sekunti. Siirtymä on siksi nopeus kerrottuna ajalla.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, joten $\Delta x = v\,\Delta t$
Muunnokset
Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina. Sekunnit supistuvat, ja tulos on metreinä. Muunnosta ei tarvita.
Sijoitus
$\Delta x$$= 3{,}5\,\text{m/s} \cdot 12\,\text{s}$$= 42\,\text{m}$Vastaus
$42\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten molemmissa lähtöarvoissa ($3{,}5\,\text{m/s}$ ja $12\,\text{s}$).
Järkevyys
Yksikkö on oikein: $\text{m/s} \cdot \text{s} = \text{m}$. Arvio: noin $3\,\text{m/s} \cdot 12\,\text{s} = 36\,\text{m}$. Siksi $42\,\text{m}$ on oikeaa suuruusluokkaa. Nopeus $3{,}5\,\text{m/s}$ on noin $13\,\text{km/h}$ eli hölkkää. Hölkkääjä kulkee $12\,\text{s}$:ssa muutaman kymmenen metriä. Siirtymä on positiivinen, koska liike on positiiviseen suuntaan.
- Tehtävä 1-4
Kärryn $(t, x)$-kuvaaja on suora. Suora kulkee pisteiden $(0\,\text{s};\, 4{,}0\,\text{m})$ ja $(10\,\text{s};\, 24\,\text{m})$ kautta. Mikä on kärryn nopeus?
Vastaus
$2{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
suoran pisteet $(t_1$; $x_1) = (0\,\text{s}$; $4{,}0\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (10\,\text{s}$; $24\,\text{m})$
Kysytty
kärryn nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Tasaisessa liikkeessä nopeus on vakio. Siksi $(t, x)$-kuvaaja on suora. Suoran kulmakerroin on nousu jaettuna vaakasuuntaisella etenemisellä. Se on sama kuin paikan muutos jaettuna ajan muutoksella eli nopeus.
Kuvaajan lukeminen
Käytetään suoran kahta annettua pistettä. Ensimmäisen paikka on $x_1 = 4{,}0\,\text{m}$ hetkellä $t_1 = 0\,\text{s}$. Toisen paikka on $x_2 = 24\,\text{m}$ hetkellä $t_2 = 10\,\text{s}$. Pystysuuntainen nousu on $x_2 - x_1$. Vaakasuuntainen eteneminen on $t_2 - t_1$. Näiden suhde on nopeus.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, missä $\Delta x = x_2 - x_1$ ja $\Delta t = t_2 - t_1$. Siis $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina. Muunnoksia ei tarvita. Lähtöpaikka $4{,}0\,\text{m}$ ei ole nolla, mutta se supistuu erotuksessa pois.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{24\,\text{m} - 4{,}0\,\text{m}}{10\,\text{s} - 0\,\text{s}}$$= \dfrac{20\,\text{m}}{10\,\text{s}}$$= 2{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$2{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Paikka $24\,\text{m}$ on annettu metrin tarkkuudella ja $4{,}0\,\text{m}$ desimetrin tarkkuudella. Siksi erotus $20\,\text{m}$ on kahden numeron luku. Aika $10\,\text{s}$ on myös kahdella numerolla.
Järkevyys
Kuvaaja nousee, joten nopeus on positiivinen. Tarkistus: $4{,}0\,\text{m} + 2{,}0\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} = 24\,\text{m}$. Se on suoran toinen piste. Jos nopeudeksi laskettaisiin
$\dfrac{24\,\text{m}}{10\,\text{s}}$$= 2{,}4\,\text{m/s}$lähtöpaikka unohtuisi.
- Tehtävä 1-5
Kävelijä on hetkellä $t = 0\,\text{s}$ paikassa $15\,\text{m}$. Hän kulkee tasaisesti nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Missä paikassa hän on hetkellä $t = 20\,\text{s}$?
Vastaus
$45\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$x_0 = 15\,\text{m}$ hetkellä $t = 0\,\text{s}$, $v = 1{,}5\,\text{m/s}$, haluttu hetki $t = 20\,\text{s}$
Kysytty
paikka $x$ hetkellä $t = 20\,\text{s}$, yksikkönä $\text{m}$
Periaate
Liike on tasaista. Siksi paikka muuttuu nopeuden ja ajan tulon verran. Paikka on alkupaikka plus tämä siirtymä, koska kävelijä ei lähtenyt origosta.
Kaava
$x = x_0 + v\,t$. Kaava on jo ratkaistu paikan suhteen: $x = x_0 + v\,t$
Muunnokset
Paikka on metreinä, nopeus yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$x$$= 15\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s}$$= 15\,\text{m} + 30\,\text{m}$$= 45\,\text{m}$Vastaus
$45\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Nopeus $1{,}5\,\text{m/s}$ ja aika $20\,\text{s}$ ovat kahdella numerolla. Summa $15\,\text{m} + 30\,\text{m}$ on metrin tarkkuudella.
Järkevyys
Kävelijä siirtyy $30\,\text{m}$ eteenpäin. Siksi paikan pitää olla suurempi kuin $15\,\text{m}$, ja $45\,\text{m}$ on. Nopeus $1{,}5\,\text{m/s} \approx 5{,}4\,\text{km/h}$ on tavallista kävelyvauhtia. Pelkkä tulo $v\,t = 30\,\text{m}$ olisi siirtymä, ei paikka. Rajatapaus $t = 0$ antaa $x = x_0 = 15\,\text{m}$, kuten pitääkin.
- Tehtävä 1-6
Kappaleen $(t, x)$-kuvaaja on suora, joka laskee vasemmalta oikealle. Mitä tämä kertoo kappaleen liikkeestä?
Vastaus
Paikka pienenee ajan kuluessa. Siksi nopeus on negatiivinen ja liike on negatiiviseen suuntaan.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mitä laskeva suora $(t, x)$-kuvaajassa kertoo liikkeestä.
Periaate
$(t, x)$-kuvaajan suoran kulmakerroin (suoran jyrkkyys) on nopeus $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Kun suora laskee, paikka pienenee ajan kuluessa. Silloin kulmakerroin ja nopeus ovat negatiivisia. Kuvaaja näyttää paikan ajan funktiona. Se ei näytä radan muotoa.
Mallivastaus
Paikka pienenee ajan kuluessa, joten nopeus on negatiivinen ja kappale liikkuu negatiiviseen suuntaan. Vaihtoehto, jossa kappale liikkuu alamäkeä, sekoittaa kuvaajan ja radan kuvan. Kappale voi liikkua vaakasuoralla radalla, vaikka kuvaaja laskee. Pysähtynyt kappale on paikallaan, ja silloin kuvaaja on vaakasuora. Suora, jonka kulmakerroin ei muutu, kuvaa vakionopeutta. Se ei kuvaa hidastuvaa liikettä. Aika kasvaa aina oikealle mentäessä, joten mikään kappale ei kulje ajassa taaksepäin.
Kuvaajan lukeminen
Laskevassa suorassa $x$ on pienempi, kun $t$ on suurempi. Siksi $\Delta x < 0$ ja $\Delta t > 0$. Silloin $\dfrac{\Delta x}{\Delta t} < 0$.
- Tehtävä 1-7
Kävelijä kulkee suoraa tietä $40\,\text{m}$ itään. Sitten hän kääntyy ja kävelee saman $40\,\text{m}$ takaisin lähtöpaikkaansa. Itä on valittu positiiviseksi suunnaksi. Mikä väite koko kävelystä on oikein?
Vastaus
Siirtymä on $0\,\text{m}$, koska loppupaikka on sama kuin alkupaikka.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mikä väite koko kävelyn siirtymästä on oikein.
Periaate
Siirtymä on loppupaikka miinus alkupaikka, $\Delta x = x_2 - x_1$. Se ei riipu reitistä. Matka on kuljetun reitin pituus. Osasiirtymät, joilla on eri suunta, lasketaan yhteen etumerkkeineen.
Mallivastaus
Kävelijä palaa lähtöpaikkaansa. Siksi loppupaikka on sama kuin alkupaikka ja siirtymä on $0\,\text{m}$. Samaan tulokseen pääsee laskemalla osasiirtymät yhteen: $+40\,\text{m} + (-40\,\text{m}) = 0\,\text{m}$. Kuljettu matka on $40\,\text{m} + 40\,\text{m} = 80\,\text{m}$, mutta matka ei ole siirtymä. Väite, että siirtymä on $-40\,\text{m}$, pitäisi paikkansa vain viimeiselle osuudelle. Se ei päde koko kävelylle. Väite, että vain menomatka lasketaan, unohtaa paluun. Paluu kumoaa menomatkan.
- Tehtävä 1-8
Oppilas laskee kärryn nopeuden $(t, x)$-kuvaajan suoralta. Suoran pisteet ovat $(2{,}0\,\text{s};\, 5{,}0\,\text{m})$ ja $(6{,}0\,\text{s};\, 13\,\text{m})$.
Oppilaan ratkaisu: $v = \dfrac{13\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}} = 2{,}2\,\text{m/s}$.
Mikä virhe oppilaan ratkaisussa on?
Vastaus
Hän jakoi toisen pisteen paikan sen ajalla. Pitää jakaa paikan muutos ajan muutoksella.
Näytä ratkaisu
Kysytty
mikä virhe oppilaan nopeuden laskussa on.
Periaate
Suoran kulmakerroin on paikan muutos jaettuna ajan muutoksella, $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$. Muutos on aina erotus: loppu miinus alku. Siksi pelkkä toisen pisteen paikka ei kelpaa osoittajaksi. Pelkkä toisen pisteen aika ei kelpaa nimittäjäksi.
Mallivastaus
Oppilas jakoi toisen pisteen paikan $13\,\text{m}$ sen ajalla $6{,}0\,\text{s}$. Hän ei laskenut erotuksia. Oikein: $v = \dfrac{13\,\text{m} - 5{,}0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}} = \dfrac{8{,}0\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}} = 2{,}0\,\text{m/s}$. Oppilaan tapa toimisi vain, jos suora lähtisi origosta hetkellä nolla. Tässä alkupiste on kuitenkin $(2{,}0\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$. Etumerkki ei ole väärin, koska paikka kasvaa ja nopeus on positiivinen. Nopeus ei ole paikkojen summa jaettuna aikojen summalla, koska summa ei kuvaa muutosta.
Kuvaajan lukeminen
Suoralta luetaan kaksi pistettä: $(t_1$; $x_1) = (2{,}0\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (6{,}0\,\text{s}$; $13\,\text{m})$. Nousu on $x_2 - x_1$ ja eteneminen on $t_2 - t_1$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-9Ydintehtävä
Auto ajaa suoraa tietä tasaisella nopeudella $90\,\text{km/h}$. Kuinka pitkän matkan se kulkee $12\,\text{s}$:ssa? Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$300\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v = 90\,\text{km/h}$, $\Delta t = 12\,\text{s}$; liike on tasaista ja suoraa
Kysytty
siirtymä $\Delta x$ metreinä. Auto ajaa suoraa tietä yhteen suuntaan. Siksi matka $s = v\,\Delta t$ on yhtä suuri
Periaate
Auto ajaa tasaisella nopeudella suoraa tietä yhteen suuntaan. Siksi siirtymä on nopeus kertaa aika. Nopeus ja aika on ensin saatava samaan yksikköjärjestelmään. Silloin tulos tulee metreinä.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, joten $\Delta x = v\,\Delta t$
Muunnokset
Yksi $\text{km/h}$ on
$\dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= \dfrac{1}{3{,}6}\,\text{m/s}$joten
$90\,\text{km/h}$$= \dfrac{90}{3{,}6}\,\text{m/s}$$= 25\,\text{m/s}$Sijoitus
$\Delta x$$= 25\,\text{m/s} \cdot 12\,\text{s}$$= 300\,\text{m}$Vastaus
$300\,\text{m}$
Eli $3{,}0 \cdot 10^2\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa. Nopeus $90\,\text{km/h}$ ja aika $12\,\text{s}$ ovat kahdella numerolla. Muunnoskerroin $3{,}6$ on tarkka eikä rajoita.
Järkevyys
Auto kulkee $25\,\text{m}$ joka sekunti. Se on noin kuuden auton pituus. Kymmenessä sekunnissa matka olisi $250\,\text{m}$ ja kahdessatoista hieman enemmän. Siksi $300\,\text{m}$ sopii. Jos laskisi suoraan $90 \cdot 12 = 1080$, sekoittaisi yksiköt. Se olisi $\text{km/h} \cdot \text{s}$, ei metrejä.
- Tehtävä 1-10Ydintehtävä
Juoksija kulkee suoraa polkua tasaisella nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka monta minuuttia hänellä kestää $1{,}2\,\text{km}$:n matka?
Vastaus
$5{,}0\,\text{min}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v = 4{,}0\,\text{m/s}$, $\Delta x = 1{,}2\,\text{km}$; liike on tasaista ja suoraa
Kysytty
aika $\Delta t$ minuutteina
Periaate
Nopeus on vakio, joten matka kuluu aina samalla vauhdilla. Ajan saa ratkaisemalla nopeuden määritelmästä. Matka ja nopeus tunnetaan.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, joten $\Delta t = \dfrac{\Delta x}{v}$
Muunnokset
$1{,}2\,\text{km}$$= 1{,}2 \cdot 1000\,\text{m}$$= 1200\,\text{m}$Silloin yksiköt ovat $\text{m}$ ja $\text{m/s}$. Aika tulee sekunteina. Koska $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$, niin
$\Delta t_\text{min}$$= \dfrac{\Delta t}{60}$Sijoitus
$\Delta t$$= \dfrac{1200\,\text{m}}{4{,}0\,\text{m/s}}$$= 300\,\text{s}$$= \dfrac{300}{60}\,\text{min}$$= 5{,}0\,\text{min}$Vastaus
$5{,}0\,\text{min}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $4{,}0\,\text{m/s}$ ja matkassa $1{,}2\,\text{km}$.
Järkevyys
Nopeus $4{,}0\,\text{m/s}$ on $14{,}4\,\text{km/h}$. Silloin kilometri kuluu noin $4{,}2\,\text{min}$:ssa. Matka $1{,}2\,\text{km}$ vie noin $1{,}2 \cdot 4{,}2\,\text{min} \approx 5\,\text{min}$. Siksi $5{,}0\,\text{min}$ sopii. Aika on positiivinen, kuten pitääkin.
- Tehtävä 1-11
Kärry on hetkellä $t = 2{,}0\,\text{s}$ paikassa $18\,\text{m}$. Hetkellä $t = 7{,}0\,\text{s}$ se on paikassa $3{,}0\,\text{m}$. Kärry liikkuu tasaisesti. Laske kärryn nopeus etumerkkeineen.
Vastaus
$-3{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$(t_1$; $x_1) = (2{,}0\,\text{s}$; $18\,\text{m})$ ja $(t_2$; $x_2) = (7{,}0\,\text{s}$; $3{,}0\,\text{m})$; liike on tasaista
Kysytty
nopeus $v$ etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Liike on tasaista. Siksi kahden hetken välinen keskinopeus on sama kuin nopeus koko ajan. Nopeus lasketaan paikan muutoksesta jaettuna ajan muutoksella. Etumerkki kertoo suunnan.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, missä $\Delta x = x_2 - x_1$ ja $\Delta t = t_2 - t_1$. Siis $v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Erotukset lasketaan aina loppu miinus alku.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m} - 18\,\text{m}}{7{,}0\,\text{s} - 2{,}0\,\text{s}}$$= \dfrac{-15\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s}}$$= -3{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$-3{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Paikkojen erotus $3{,}0\,\text{m} - 18\,\text{m} = -15\,\text{m}$ on metrin tarkkuudella eli kahdella numerolla. Ajan muutos $5{,}0\,\text{s}$ on myös kahdella numerolla.
Järkevyys
Paikka pienenee, joten nopeuden pitää olla negatiivinen. Kärry liikkuu kohti origoa. Takaisinlasku: $18\,\text{m} + (-3{,}0\,\text{m/s}) \cdot 5{,}0\,\text{s} = 3{,}0\,\text{m}$. Se on toinen annettu paikka. Vauhti on $3{,}0\,\text{m/s}$.
- Tehtävä 1-12
Kärry on hetkellä $t = 0\,\text{s}$ paikassa $-24\,\text{m}$. Se kulkee tasaisesti nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Milloin kärry on origossa eli paikassa $x = 0$?
Vastaus
$16\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$x_0 = -24\,\text{m}$ hetkellä $t = 0\,\text{s}$, $v = 1{,}5\,\text{m/s}$, haluttu paikka $x = 0$
Kysytty
aika $t$ sekunteina
Periaate
Liike on tasaista. Siksi paikka noudattaa yhtälöä $x = x_0 + v\,t$. Kärry on origossa, kun sen paikka on nolla. Tästä ehdosta voi ratkaista ajan.
Kaava
$x = x_0 + v\,t$, joten $v\,t = x - x_0$ ja $t = \dfrac{x - x_0}{v}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$. Siksi aika tulee suoraan sekunteina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{0 - (-24\,\text{m})}{1{,}5\,\text{m/s}}$$= \dfrac{24\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s}}$$= 16\,\text{s}$Vastaus
$16\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa $24\,\text{m}$ ja $1{,}5\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Kärry on origon negatiivisella puolella ja liikkuu positiiviseen suuntaan. Siksi se saapuu origoon, ja aika on positiivinen. Takaisinlasku:
$-24\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 16\,\text{s}$$= -24\,\text{m} + 24\,\text{m}$$= 0$Arvio: $1{,}5\,\text{m/s}$ on noin $1\,\text{m}$ jokaista 0,7 sekuntia kohden. Matka $24\,\text{m}$ vie noin $16\,\text{s}$.
- Tehtävä 1-13
Kärryn liikettä seurattiin videoanalyysillä. Taulukossa on kärryn paikka eri hetkinä (esimerkkiaineisto). Kärryn liike on tasaista.
Piirrä aineistosta $(t, x)$-kuvaaja ja sovita pisteiden läpi suora. Määritä suoran avulla kärryn nopeus $v$. Kerro lisäksi alkupaikka $x_0$ ja kirjoita kärryn paikka ajan funktiona.
Kirjoita vastauslaatikkoon nopeus.
Kärryn paikka videoanalyysissä (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $x\,(\text{m})$ 0,0 0,48 1,0 1,12 2,0 1,67 3,0 2,33 4,0 2,88 5,0 3,53 Vastaus
$0{,}61\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon pisteet $(t$; $x)$ alkaen $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}48\,\text{m})$ ja päättyen $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}53\,\text{m})$; liike on tasaista
Kysytty
nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$, alkupaikka $x_0$ ja paikka ajan funktiona
Periaate
Tasaisessa liikkeessä $(t, x)$-pisteet ovat suoralla. Mittauksissa on pientä virhettä. Siksi suora sovitetaan pisteiden läpi niin, että pisteet jäävät tasaisesti sen molemmille puolille. Nopeus on suoran kulmakerroin. Alkupaikka on kohta, jossa suora leikkaa paikka-akselin.
Kuvaajan lukeminen
Aika-akselille tulee $t = 0 \ldots 5{,}0\,\text{s}$ ja paikka-akselille $0 \ldots 4\,\text{m}$. Pisteet merkitään, ja suora piirretään niiden läpi. Suora kulkee lähellä pisteitä $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}49\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}54\,\text{m})$. Kulmakerroin lasketaan näistä kaukana toisistaan olevista suoran pisteistä. Sitä ei lasketa vierekkäisistä mittauspisteistä.
Kaava
$v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$ ja $x = x_0 + v\,t$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$$\begin{aligned} v &= \dfrac{3{,}54\,\text{m} - 0{,}49\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s} - 0{,}0\,\text{s}} \\ &= 0{,}61\,\text{m/s} \end{aligned}$$
Alkupaikka luetaan kohdasta, jossa suora leikkaa paikka-akselin: $x_0 \approx 0{,}49\,\text{m}$. Paikka on siis $x = 0{,}49\,\text{m} + 0{,}61\,\text{m/s} \cdot t$.
Vastaus
$0{,}61\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Taulukon paikat on annettu kahden desimaalin tarkkuudella, ja suoran sovitus rajoittaa tarkkuutta. Suoran luenta voi vaihdella muutamalla prosentilla.
Järkevyys
Tarkistus keskimmäisellä pisteellä:
$0{,}49\,\text{m} + 0{,}61\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s}$$= 1{,}71\,\text{m}$Taulukossa on $1{,}67\,\text{m}$, joten ero on pieni. Paikka kasvaa, joten nopeus on positiivinen. Nopeus $0{,}61\,\text{m/s}$ sopii pienelle kärrylle.
- Tehtävä 1-14
Kaksi kärryä liikkuu samalla suoralla radalla. Molempien liike on tasaista. Taulukossa on kärryjen A ja B paikat eri hetkinä (esimerkkiaineisto).
Piirrä molempien kärryjen $(t, x)$-pisteet samaan kuvaajaan ja sovita kummallekin suora. Määritä suorista kärryjen nopeudet ja kerro, kumpi kulkee nopeammin.
Milloin kärryt ovat samassa paikassa? Kirjoita vastauslaatikkoon tämä ajanhetki.
Kärryjen A ja B paikat (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $x_\text{A}\,(\text{m})$ $x_\text{B}\,(\text{m})$ 0,0 1,0 20,1 2,0 4,1 16,4 4,0 6,9 12,9 6,0 10,1 9,2 8,0 13,0 5,8 Vastaus
$5{,}8\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukon paikat kärryille A ja B hetkillä $0{,}0\,\text{s} \ldots 8{,}0\,\text{s}$; liikkeet ovat tasaisia
Kysytty
kumpi kärry on nopeampi ja hetki $t$, jolloin kärryt ovat samassa paikassa, yksikössä $\text{s}$
Periaate
Kummankin kärryn pisteet ovat suoralla. Suoran kulmakerroin on nopeus ja leikkauskohta paikka-akselilla on alkupaikka. Kärryt ovat samassa paikassa, kun suorat leikkaavat. Silloin paikat ovat yhtä suuret samalla hetkellä.
Kuvaajan lukeminen
A:lle sovitetaan suora pisteiden $(0{,}0\,\text{s}$; $1{,}0\,\text{m})$ ja $(8{,}0\,\text{s}$; $13{,}0\,\text{m})$ läheltä. B:lle sovitetaan suora pisteiden $(0{,}0\,\text{s}$; $20{,}0\,\text{m})$ ja $(8{,}0\,\text{s}$; $5{,}7\,\text{m})$ läheltä. Näistä saadaan
$v_\text{A}$$= \dfrac{13{,}0\,\text{m} - 1{,}0\,\text{m}}{8{,}0\,\text{s}}$$= 1{,}5\,\text{m/s}$$v_\text{B}$$= \dfrac{5{,}7\,\text{m} - 20{,}0\,\text{m}}{8{,}0\,\text{s}}$$\approx -1{,}8\,\text{m/s}$Alkupaikat ovat $x_{0\text{A}} = 1{,}0\,\text{m}$ ja $x_{0\text{B}} = 20{,}0\,\text{m}$. Kärryn B vauhti on suurempi ($1{,}8\,\text{m/s} > 1{,}5\,\text{m/s}$), mutta se kulkee A:ta kohti negatiiviseen suuntaan.
Kaava
$x_\text{A} = x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t$ ja $x_\text{B} = x_{0\text{B}} + v_\text{B}\,t$. Ehdosta $x_\text{A} = x_\text{B}$ saadaan
$$t = \dfrac{x_{0\text{B}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{B}}$$Muunnokset
Kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{m}$ ja $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita. B:n nopeus sijoitetaan negatiivisena.
Sijoitus
$$\begin{aligned} t &= \dfrac{20{,}0\,\text{m} - 1{,}0\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s} - (-1{,}8\,\text{m/s})} \\ &= \dfrac{19{,}0\,\text{m}}{3{,}3\,\text{m/s}} \\ &= 5{,}8\,\text{s} \end{aligned}$$
Vastaus
$5{,}8\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Nopeudet $1{,}5\,\text{m/s}$ ja $1{,}8\,\text{m/s}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Hetkellä $5{,}8\,\text{s}$ kärry A on paikassa $1{,}0\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 5{,}8\,\text{s} = 9{,}7\,\text{m}$. Kärry B on paikassa
$20{,}0\,\text{m} - 1{,}8\,\text{m/s} \cdot 5{,}8\,\text{s}$$= 9{,}6\,\text{m}$Paikat ovat siis yhtä suuret pyöristyksen tarkkuudella. Ajanhetki on mittausvälin $0{,}0\ldots 8{,}0\,\text{s}$ sisällä. Taulukossa kärryjen järjestys vaihtuu hetkien $4{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ välillä, kuten pitääkin.
- Tehtävä 1-15
Robotti liikkuu suoraa rataa. Sen paikka on mitattu tietyillä hetkillä (esimerkkiaineisto). Kahden mittauspisteen välillä liike on tasaista.
Piirrä robotin $(t, x)$-kuvaaja. Piirrä sen perusteella $(t, v)$-kuvaaja: merkitse jokaisen aikavälin nopeus. Millä aikavälillä robotti liikkuu negatiiviseen suuntaan?
Kirjoita vastauslaatikkoon robotin nopeus tällä aikavälillä etumerkkeineen.
Robotin paikka (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $x\,(\text{m})$ 0,0 2,0 4,0 14 10 14 16 5,0 20 5,0 Vastaus
$-1{,}5\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
robotin pisteet $(t$; $x)$: $(0\,\text{s}$; $2{,}0\,\text{m})$, $(4{,}0\,\text{s}$; $14\,\text{m})$, $(10\,\text{s}$; $14\,\text{m})$, $(16\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$ ja $(20\,\text{s}$; $5{,}0\,\text{m})$; pisteiden välillä liike on tasaista
Kysytty
aikaväli, jolla robotti liikkuu negatiiviseen suuntaan, ja nopeus $v$ sillä välillä yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Jokaisella aikavälillä $(t, x)$-kuvaaja on suora, ja sen kulmakerroin on nopeus. Laskeva osa antaa negatiivisen nopeuden. Vaakasuora osa antaa nopeuden nolla. Nouseva osa antaa positiivisen nopeuden. Siksi $(t, v)$-kuvaaja koostuu vaakasuorista viivoista.
Kuvaajan lukeminen
$(t, x)$-kuvaajassa on neljä osaa: nouseva väli $0\ldots4{,}0\,\text{s}$, vaakasuora väli $4{,}0\ldots10\,\text{s}$, laskeva väli $10\ldots16\,\text{s}$ ja vaakasuora väli $16\ldots20\,\text{s}$. Laskeva väli on $10\ldots16\,\text{s}$. Ensimmäisen välin nopeus on
$\dfrac{14\,\text{m} - 2{,}0\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}}$$= 3{,}0\,\text{m/s}$Nopeuskuvaajassa nopeus on $3{,}0\,\text{m/s}$ välillä $0\ldots4{,}0\,\text{s}$, nolla välillä $4{,}0\ldots10\,\text{s}$, negatiivinen välillä $10\ldots16\,\text{s}$ ja nolla välillä $16\ldots20\,\text{s}$.
Kaava
$v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$$\begin{aligned} v &= \dfrac{5{,}0\,\text{m} - 14\,\text{m}}{16\,\text{s} - 10\,\text{s}} \\ &= \dfrac{-9{,}0\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}} \\ &= -1{,}5\,\text{m/s} \end{aligned}$$
Vastaus
$-1{,}5\,\text{m/s}$
Välillä $10\ldots16\,\text{s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten paikkojen erotuksessa $9{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
Robotin paikka pienenee välillä $10\ldots16\,\text{s}$, joten nopeuden pitää olla negatiivinen. Tarkistus laskemalla takaisin: $14\,\text{m} + (-1{,}5\,\text{m/s}) \cdot 6{,}0\,\text{s} = 5{,}0\,\text{m}$. Se on taulukon paikka hetkellä $16\,\text{s}$. Vaakasuorilla osilla nopeus on nolla, koska paikka ei muutu.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 1-16
Pyöräilijä ajaa suoraa tietä itään $6{,}0\,\text{km}$ ajassa $20\,\text{min}$. Sitten hän kääntyy heti takaisin. Hän ajaa saman $6{,}0\,\text{km}$:n matkan länteen ajassa $30\,\text{min}$. Laske koko matkan keskivauhti eli kuljettu matka jaettuna kuluneella ajalla. Anna vastaus yksikössä m/s.
Vastaus
$4{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
itään $s_1 = 6{,}0\,\text{km}$ ajassa $\Delta t_1 = 20\,\text{min}$ ja länteen $s_2 = 6{,}0\,\text{km}$ ajassa $\Delta t_2 = 30\,\text{min}$
Kysytty
keskivauhti $v_\text{vauhti}$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Keskivauhti on koko kuljettu matka jaettuna kuluneella ajalla. Matkaan lasketaan molemmat osuudet, koska matka ei riipu suunnasta. Keskinopeus olisi eri asia. Se käyttäisi siirtymää, ja siirtymässä suunta vaikuttaa.
Kaava
$v_\text{vauhti} = \dfrac{s}{\Delta t}$, missä $s = s_1 + s_2$ ja $\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2$. Siis
$v_\text{vauhti}$$= \dfrac{s_1 + s_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2}$Muunnokset
$6{,}0\,\text{km} = 6000\,\text{m}$ ja $20\,\text{min} = 1200\,\text{s}$, $30\,\text{min} = 1800\,\text{s}$.
Sijoitus
$v_\text{vauhti}$$= \dfrac{6000\,\text{m} + 6000\,\text{m}}{1200\,\text{s} + 1800\,\text{s}}$$= \dfrac{12\,000\,\text{m}}{3000\,\text{s}}$$= 4{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$4{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Ajat $20\,\text{min}$ ja $30\,\text{min}$ ovat kahdella numerolla. Summa $50\,\text{min}$ on myös kahdella. Matkat $6{,}0\,\text{km}$ ovat myös kahdella, ja niiden summa $12{,}0\,\text{km}$ rajoittaa vähemmän.
Järkevyys
Menon vauhti on
$\dfrac{6000\,\text{m}}{1200\,\text{s}}$$= 5{,}0\,\text{m/s}$Paluun vauhti on
$\dfrac{6000\,\text{m}}{1800\,\text{s}}$$\approx 3{,}3\,\text{m/s}$Keskivauhti on niiden välissä, kuten pitääkin. Pyöräilijä palasi lähtöpaikkaansa. Siksi siirtymä on $0$ ja keskinopeus $0\,\text{m/s}$, vaikka keskivauhti ei ole nolla. Noin $14\,\text{km/h}$ on rauhallista pyöräilyä.
- Tehtävä 1-17
Aino ja Eeva lähtevät samaan aikaan kävelemään toisiaan kohti samalla suoralla. Aino lähtee paikasta 0. Hän kulkee nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$ positiiviseen suuntaan. Eeva lähtee paikasta $90\,\text{m}$. Hän kulkee nopeudella $-1{,}2\,\text{m/s}$.
Missä paikassa he kohtaavat?
Vastaus
$50\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Aino: $x_{0\text{A}} = 0$, $v_\text{A} = 1{,}5\,\text{m/s}$; Eeva: $x_{0\text{E}} = 90\,\text{m}$, $v_\text{E} = -1{,}2\,\text{m/s}$; molemmat lähtevät yhtä aikaa ja liike on tasaista
Kysytty
kohtaamispaikka $x$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Molempien liike on tasaista. Siksi kummankin paikka on muotoa $x_0 + v\,t$. He kohtaavat, kun heidän paikkansa ovat samat samalla hetkellä. Tästä ehdosta ratkeaa ensin aika.
Kaava
$x_\text{A} = x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t$ ja $x_\text{E} = x_{0\text{E}} + v_\text{E}\,t$. Ehdosta $x_\text{A} = x_\text{E}$ seuraa $x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t = x_{0\text{E}} + v_\text{E}\,t$, joten $(v_\text{A} - v_\text{E})\,t = x_{0\text{E}} - x_{0\text{A}}$ ja
$$t = \dfrac{x_{0\text{E}} - x_{0\text{A}}}{v_\text{A} - v_\text{E}}$$
Paikka on $x = x_{0\text{A}} + v_\text{A}\,t$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{m}$ ja $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita. Eevan nopeus sijoitetaan negatiivisena, koska hän kulkee negatiiviseen suuntaan.
Sijoitus
$$\begin{aligned} t &= \dfrac{90\,\text{m} - 0}{1{,}5\,\text{m/s} - (-1{,}2\,\text{m/s})} \\ &= \dfrac{90\,\text{m}}{2{,}7\,\text{m/s}} \\ &= 33{,}33\ldots\,\text{s} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} x &= 0 + 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 33{,}33\ldots\,\text{s} \\ &= 50\,\text{m} \end{aligned}$$
Vastaus
$50\,\text{m}$
Eli $5{,}0 \cdot 10^1\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa. Nopeudet $1{,}5\,\text{m/s}$ ja $-1{,}2\,\text{m/s}$ ovat kahdella numerolla. Niiden erotus $2{,}7\,\text{m/s}$ on myös kahdella.
Järkevyys
Eeva kulkee $1{,}2\,\text{m/s} \cdot 33{,}33\,\text{s} = 40\,\text{m}$. Hänen paikkansa on $90\,\text{m} - 40\,\text{m} = 50\,\text{m}$, sama kuin Ainolla. Paikka on alku- ja loppupisteen välissä. Aino on nopeampi. Siksi kohtaaminen on lähempänä Eevan lähtöpaikkaa kuin puolivälissä ($45\,\text{m}$).
- Tehtävä 1-18
Robotin $(t, x)$-kuvaaja koostuu kolmesta suorasta osasta. Välillä 0–$10\,\text{s}$ paikka kasvaa arvosta 0 arvoon $30\,\text{m}$. Välillä 10–$20\,\text{s}$ robotti on paikallaan. Välillä 20–$40\,\text{s}$ paikka pienenee arvoon $10\,\text{m}$.
Mikä on robotin keskinopeus koko $40\,\text{s}$:n ajalta? Anna vastaus etumerkkeineen.
Vastaus
$0{,}25\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$(t, x)$-kuvaajan osat: $x = 0$ hetkellä $0\,\text{s}$, $x = 30\,\text{m}$ hetkellä $10\,\text{s}$, $x = 30\,\text{m}$ hetkellä $20\,\text{s}$ ja $x = 10\,\text{m}$ hetkellä $40\,\text{s}$
Kysytty
keskinopeus $v_\text{ka}$ koko $40\,\text{s}$:n ajalta etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Keskinopeus on koko siirtymä jaettuna koko ajalla. Siirtymään vaikuttavat vain alku- ja loppupaikka. Välivaiheet eli eteneminen, pysähdys ja paluu eivät vaikuta laskuun.
Kuvaajan lukeminen
Luetaan annetuista pisteistä alkupiste $(0\,\text{s}$; $0\,\text{m})$ ja loppupiste $(40\,\text{s}$; $10\,\text{m})$. Välillä $10\text{–}20\,\text{s}$ kuvaaja on vaakasuora, koska robotti seisoo. Sen pisteitä ei tarvita. Keskinopeus on näiden kahden pisteen välisen suoran kulmakerroin.
Kaava
$v_\text{ka}$$= \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$$= \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$Muunnokset
Paikat ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$v_\text{ka}$$= \dfrac{10\,\text{m} - 0\,\text{m}}{40\,\text{s} - 0\,\text{s}}$$= 0{,}25\,\text{m/s}$Vastaus
$0{,}25\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa. Loppupaikka $10\,\text{m}$ ja aika $40\,\text{s}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Robotti kulki $30\,\text{m}$ eteenpäin ja $20\,\text{m}$ takaisin. Siirtymä on $30\,\text{m} - 20\,\text{m} = 10\,\text{m}$, vaikka matka oli $50\,\text{m}$. Etumerkki on positiivinen, koska robotti on lopussa suuremmassa $x$:ssä kuin alussa. Osanopeuksien $3{,}0\,\text{m/s}$, $0$ ja $-1{,}0\,\text{m/s}$ keskiarvo
$\dfrac{3{,}0 + 0 - 1{,}0}{3}$$= 0{,}67\,\text{m/s}$olisi väärä. Osavälit eivät ole yhtä pitkiä.
- Tehtävä 1-19
Kärryn liikettä tutkittiin videoanalyysillä. Ohjelman mittakaava asetettiin radan viereen asetetun $1{,}00\,\text{m}$:n mittatikun avulla. Tikku oli kuitenkin lähempänä kameraa kuin kärryn rata. Taulukossa on ohjelman antamat paikat (esimerkkiaineisto). Kärryn liike on tasaista.
Myöhemmin radalle asetettiin $2{,}00\,\text{m}$:n mittanauha. Ohjelma antoi sen pituudeksi $1{,}60\,\text{m}$.
Määritä taulukosta ohjelman antama nopeus sovittamalla suora. Korjaa nopeus mittanauhan avulla kärryn todelliseksi nopeudeksi $v$. Arvioi, milloin kärry olisi todellisessa paikassa $6{,}0\,\text{m}$. Perustele, onko ennuste luotettava. Selitä myös, miksi mittakaavavirhe on systemaattinen. Selitä, miksi sitä ei korjata toistamalla mittaus.
Kirjoita vastauslaatikkoon kärryn todellinen nopeus.
Kärryn paikka ohjelman asteikolla (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $x_\text{ohj}\,(\text{m})$ 0,0 0,30 1,0 0,95 2,0 1,62 3,0 2,21 4,0 2,88 5,0 3,52 Vastaus
$0{,}80\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ohjelman paikat $x_\text{ohj}$ hetkillä $0{,}0\ldots5{,}0\,\text{s}$ (esim. $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}30\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}52\,\text{m})$); mittanauhan todellinen pituus $2{,}00\,\text{m}$, ohjelman antama pituus $1{,}60\,\text{m}$; liike on tasaista
Kysytty
kärryn todellinen nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$, hetki jolloin todellinen paikka on $6{,}0\,\text{m}$, ja ennusteen luotettavuus
Periaate
Tasaisessa liikkeessä pisteet ovat suoralla, ja nopeus on suoran kulmakerroin. Mittakaavavirhe kertoo kaikki ohjelman antamat pituudet samalla luvulla. Luku saadaan vertaamalla tunnetun pituuden todellista arvoa ohjelman arvoon. Korjaus kertoo myös nopeuden samalla luvulla.
Kuvaajan lukeminen
Pisteet merkitään $(t, x_\text{ohj})$-kuvaajaan, ja niiden läpi sovitetaan suora. Suora kulkee lähellä pisteitä $(0{,}0\,\text{s}$; $0{,}31\,\text{m})$ ja $(5{,}0\,\text{s}$; $3{,}52\,\text{m})$. Niiden avulla ohjelman antama nopeus on
$v_\text{ohj}$$= \dfrac{3{,}52\,\text{m} - 0{,}31\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s}}$$\approx 0{,}64\,\text{m/s}$ja ohjelman alkupaikka on $0{,}31\,\text{m}$.
Kaava
korjauskerroin
$k$$= \dfrac{\ell_\text{tod}}{\ell_\text{ohj}}$todellinen nopeus $v = k\,v_\text{ohj}$ ja paikka $x = k\,(x_{0,\text{ohj}} + v_\text{ohj}\,t)$
Muunnokset
Kaikki pituudet ovat metreinä ja ajat sekunteina, joten yksikkömuunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$$\begin{aligned} k &= \dfrac{2{,}00\,\text{m}}{1{,}60\,\text{m}} \\ &= 1{,}25 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} v &= 1{,}25 \cdot 0{,}64\,\text{m/s} \\ &= 0{,}80\,\text{m/s} \end{aligned}$$
Todellinen alkupaikka on $1{,}25 \cdot 0{,}31\,\text{m} = 0{,}39\,\text{m}$. Ehdosta $x = 6{,}0\,\text{m}$ saadaan
$$\begin{aligned} t &= \dfrac{6{,}0\,\text{m} - 0{,}39\,\text{m}}{0{,}80\,\text{m/s}} \\ &= 7{,}0\,\text{s} \end{aligned}$$
Vastaus
todellinen nopeus on $0{,}80\,\text{m/s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten mittanauhan arvoissa. Ohjelman antama $0{,}64\,\text{m/s}$ on $20\,\%$ liian pieni. Kärry on todellisessa paikassa $6{,}0\,\text{m}$ noin $7{,}0\,\text{s}$ kuluttua.
Järkevyys
Mittanauha näytti lyhyemmältä kuin se on. Siksi kaikki ohjelman pituudet ovat liian pieniä, ja korjauskertoimen pitää olla suurempi kuin yksi. Näin on, koska $1{,}25$ on suurempi kuin yksi. Tarkistus laskemalla takaisin: $0{,}80\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} = 4{,}0\,\text{m}$ on kärryn todellinen siirtymä. Ohjelman siirtymä $3{,}2\,\text{m}$ on $0{,}8$-kertainen siihen nähden. Ennuste $7{,}0\,\text{s}$ on kaukana mittausvälin päästä. Mittaus päättyy hetkeen $5{,}0\,\text{s}$, joten ennuste ulottuu noin $40\,\%$ mittausaikaa pidemmälle. Ennuste on luotettava vain, jos rata on tasainen, kärry jatkaa vakionopeudella eikä rata pääty ennen $6{,}0\,\text{m}$:ä. Mittakaavavirhe on systemaattinen: se vääristää jokaista mittausta samaan suuntaan samalla kertoimella. Siksi mittausten toistaminen ei poista sitä keskiarvossa. Satunnaisvirhe taas hajottaa pisteitä suoran molemmille puolille, ja se pienenee toistamalla. Virhe korjataan vain kalibroimalla mittakaava tunnetulla pituudella samalta etäisyydeltä kuin kärryn rata.
- Tehtävä 1-20
Valtatiellä tien varressa oleva anturi seuraa rekan paikkaa. Taulukossa on rekan paikka tien suuntaisella $x$-akselilla (esimerkkiaineisto). Rekan liike on tasaista ja positiiviseen suuntaan.
Poliisiauto ohittaa paikan $x = 0$ hetkellä $t = 8{,}0\,\text{s}$. Se ajaa rekan suuntaan tasaisella nopeudella $16\,\text{m/s}$.
Sovita rekan mittauspisteisiin suora ja kirjoita rekan paikka ajan funktiona. Kirjoita poliisiauton paikka ajan funktiona. Määritä, missä paikassa poliisiauto saavuttaa rekan. Perustele, miksi tämä ennuste on epävarma, kun anturin aineisto päättyy hetkeen $t = 40\,\text{s}$.
Kirjoita vastauslaatikkoon saavuttamispaikka.
Rekan paikka (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $x\,(\text{m})$ 0 205 10 302 20 395 30 504 40 598 Vastaus
$7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rekan pisteet $(t$; $x)$ hetkillä $0\ldots40\,\text{s}$, esim. $(0\,\text{s}$; $205\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $598\,\text{m})$; poliisiauto: $x = 0$ hetkellä $t_0 = 8{,}0\,\text{s}$, nopeus $v_\text{P} = 16\,\text{m/s}$
Kysytty
paikka $x$, jossa poliisiauto saavuttaa rekan, yksikössä $\text{m}$, sekä ennusteen luotettavuus
Periaate
Rekan liike on tasaista. Siksi sen $(t, x)$-pisteet sovitetaan suoralla, jonka kulmakerroin on nopeus ja leikkauskohta paikka-akselilla on alkupaikka. Poliisiauton paikka saadaan tasaisen liikkeen yhtälöstä, jossa aika lasketaan sen ohitushetkestä. Auto saavuttaa rekan, kun paikat ovat yhtä suuret samalla hetkellä.
Kuvaajan lukeminen
Pisteet merkitään kuvaajaan, ja suora sovitetaan niiden läpi. Suora kulkee lähellä pisteitä $(0\,\text{s}$; $203\,\text{m})$ ja $(40\,\text{s}$; $598\,\text{m})$. Niistä rekan nopeus on
$v_\text{R}$$= \dfrac{598\,\text{m} - 203\,\text{m}}{40\,\text{s}}$$\approx 9{,}9\,\text{m/s}$ja alkupaikka on $x_{0\text{R}} \approx 203\,\text{m}$.
Kaava
rekka $x_\text{R} = x_{0\text{R}} + v_\text{R}\,t$ ja poliisiauto $x_\text{P} = v_\text{P}\,(t - t_0)$. Ehdosta $x_\text{R} = x_\text{P}$ saadaan
$$t = \dfrac{x_{0\text{R}} + v_\text{P}\,t_0}{v_\text{P} - v_\text{R}}$$
ja paikka on $x = x_{0\text{R}} + v_\text{R}\,t$.Muunnokset
Kaikki suureet ovat yksiköissä $\text{m}$, $\text{s}$ ja $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$$\begin{aligned} t &= \dfrac{203\,\text{m} + 16\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s}}{16\,\text{m/s} - 9{,}9\,\text{m/s}} \\ &= \dfrac{331\,\text{m}}{6{,}1\,\text{m/s}} \\ &= 54\,\text{s} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} x &= 203\,\text{m} + 9{,}9\,\text{m/s} \cdot 54\,\text{s} \\ &= 7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m} \end{aligned}$$
Vastaus
$7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$
Eli noin $740\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa. Nopeuksien erotus $16 - 9{,}9 = 6{,}1\,\text{m/s}$ rajoittaa tarkkuutta.
Järkevyys
Poliisiauton paikka hetkellä $54\,\text{s}$ on
$16\,\text{m/s} \cdot (54\,\text{s} - 8{,}0\,\text{s})$$= 7{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$Se on sama kuin rekan paikka, joten ratkaisu täsmää. Poliisiauto on rekkaa nopeampi, joten saavuttaminen on mahdollista. Ennuste on epävarma, koska aineisto päättyy hetkeen $40\,\text{s}$. Saavuttaminen tapahtuu hetkellä $54\,\text{s}$, eli $14\,\text{s}$ aineiston ulkopuolella. Ennuste olettaa, että rekka ajaa koko ajan samalla nopeudella samaa suoraa tietä. Aineisto ei todista sitä. Pieni virhe rekan nopeudessa kasvaa ennusteessa, koska nopeuksien erotus on pieni. Jos rekan nopeus olisi $0{,}2\,\text{m/s}$ suurempi, aika olisi noin $3\,\%$ pidempi.
Valokuvat
- Long exposure of highway at night with light trails. Viorel Horia Surdu. lähde, Pexels License