Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
Miksi pulkka voi painaa alustaansa eri tavalla, kun sitä vedetään narusta vinosti ylöspäin, kuin silloin, kun se vain seisoo paikallaan?
Pohjatiedot
- Newtonin toinen laki $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$ luvusta Newtonin toinen laki. Laki kertoo, että kokonaisvoima määrää kiihtyvyyden.
- Suorakulmaisen kolmion sini ja kosini
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 4.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Voimakuvio
- Kuva, jossa näkyvät vain yhteen kappaleeseen vaikuttavat voimat nuolina.
- Kokonaisvoima
- Kaikkien kappaleeseen vaikuttavien voimien summa.
- Komponentti
- Voiman osa jonkin akselin suunnassa. Komponentit eivät ole uusia voimia.
- Jännitysvoima
- Voima, jolla kireä naru tai lanka vetää kappaletta.
Pohdinta
Kaksi lasta liikuttaa pulkkaa jäällä vuorotellen. Toinen vetää lyhyestä narusta vinosti ylöspäin. Toinen työntää pulkkaa takaa kahvasta, joka osoittaa vinosti alaspäin. Molemmat käyttävät yhtä suurta voimaa. Jäällä kitka on pieni. Pulkan jalakset painavat jäätä kuitenkin eri tavalla.
Mitkä voimat vaikuttavat pulkkaan kummassakin tapauksessa? Painaako pulkka jäätä yhtä suurella voimalla kuin silloin, kun se seisoo paikallaan?
Valinnainen Kertaa: liukuva kiekko
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: tukivoima vinossa vedossa
Ennuste 2: kulma ja kiihtyvyys
Tutki
Simulaatiossa pulkkaa vedetään narulla tai työnnetään kahvasta jäällä. Vasemmalla on tilannekuva. Oikealla on pulkan voimakuvio. Nuolten pituudet ovat mittakaavassa.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Tilanne (veto tai työntö). Säädä voimaa $F$ ja kulmaa $\alpha$. Voimakuvio päivittyy heti. Paina Käynnistä, niin pulkka lähtee liikkeelle. Paina Alusta, niin pulkka pysähtyy alkuun. Näytä voiman F komponentit-ruutu näyttää voiman $F$ komponentit katkoviivoin. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa liikettä, mutta lukemat eivät muutu. Lukemat ovat kuvan alla.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Jää on vaakasuora, ja kitka jätetään huomiotta. Siksi pulkkaan vaikuttavat vain paino $\overline{G}$, jään tukivoima $\overline{N}$ ja narun tai kahvan voima $\overline{F}$. Narun voima on narun jännitysvoima. Sen symboli on yleensä $\overline{T}$. Tässä narun voimaa ja kahvan työntövoimaa merkitään samalla symbolilla $\overline{F}$, koska simulaatiossa voi valita vedon tai työnnön. Voima on niin pieni, ettei pulkka nouse jäästä. Ilmanvastusta ei ole. Nopeuden sininen nuoli on tilannekuvassa, ei voimakuviossa, koska nopeus ei ole voima.
Laskennan selitys
Voiman komponentit ovat $F_x = F\cos\alpha$ ja $F_y = F\sin\alpha$. Vedossa $F_y$ osoittaa ylös ja työnnössä alas. Pystysuunnassa pulkka ei kiihdy. Siksi $N + F_y - G = 0$ vedossa ja $N - F_y - G = 0$ työnnössä. Lisäksi $G = mg$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Vaakasuunnassa $F_x = ma$, joten $a = \dfrac{F\cos\alpha}{m}$.
Koe 1: vetokulma muuttuu
Testaa ennusteet. Alkutilassa on veto, voima $F = 100\,\text{N}$ ja massa $20\,\text{kg}$. Silloin pulkan paino on $196\,\text{N}$. Muuta vain kulmaa $\alpha$. Kirjaa mittaus ainakin kulmilla $0^\circ$, $30^\circ$ ja $60^\circ$. Katso joka kerta, miten voimakuvion nuolet muuttuvat.
Alkutila: tilanne: veto narulla, voima $F$ = $100\,\text{N}$, massa $m$ = $20\,\text{kg}$, kulma $\alpha$ = $0^\circ$. Vakiona: tilanne, voima $F$, massa $m$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $N$ $(\text{N})$ | $F_x$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Kulmalla $30^\circ$ tukivoima on pienempi kuin paino $196\,\text{N}$.
Kuinka suuri on narun voiman pystykomponentti $F_y$ silloin? Pystykomponentti on narun voiman osa, joka osoittaa ylös. Laske se taulukon tukivoimasta ja painosta. Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Pulkka ei kiihdy pystysuunnassa. Siksi pystysuuntaisten voimien summa on nolla.
Vihje 2: mikä yhteys
Ylös vaikuttavat $N$ ja $F_y$. Alas vaikuttaa $G$. Yhtälö on $N + F_y - G = 0$.
Vihje 3: välivaihe
$F_y = G - N = 196\,\text{N} - N$. Tässä $N$ on taulukon rivin $30^\circ$ tukivoima.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta kulmalla $\alpha = 30^\circ$ tukivoima $N = 146\,\text{N}$; paino $G = 196\,\text{N}$ ($m = 20\,\text{kg}$); voima $F = 100\,\text{N}$
Kysytty
narun voiman pystykomponentti $F_y$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Pulkka pysyy jään pinnalla, joten se ei kiihdy pystysuunnassa. Newtonin toisen lain mukaan pystysuuntaisten voimien summa on silloin nolla.
Voimakuvio
Pulkka on piirretty suorakulmiona, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Ylös vaikuttavat tukivoima $N$ ja narun voiman pystykomponentti $F_y$. Alas vaikuttaa paino $G$. Vaakakomponentti $F_x$ osoittaa liikkeen suuntaan. Se ei kuulu pystysuuntaiseen yhtälöön.
Kaava
$N + F_y - G = 0$, joten $F_y = G - N$
Muunnokset
Kaikki voimat ovat newtoneina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$50\,\text{N}$
Kokonaisina newtoneina, kuten lukemat. Lukemat $196\,\text{N}$ ja $146\,\text{N}$ on pyöristetty kokonaisiksi newtoneiksi. Siksi erotus on luotettava noin yhden newtonin tarkkuudella. Erotuksessa ratkaisee desimaalien määrä, ei merkitsevien numeroiden määrä.
Järkevyys
Trigonometrialla saadaan
Tulos on sama. Pystykomponentti on pienempi kuin voima $100\,\text{N}$, kuten komponentin pitää olla.
Valinnainen Koe 2: työntö kahvasta
Vaihda vetäminen työntämiseen. Alkutilassa on työntö, voima $F = 100\,\text{N}$ ja massa $20\,\text{kg}$. Muuta kulmaa. Kirjaa tukivoima ainakin kahdella kulmalla.
Alkutila: tilanne: työntö kahvasta, voima $F$ = $100\,\text{N}$, massa $m$ = $20\,\text{kg}$, kulma $\alpha$ = $0^\circ$. Vakiona: tilanne, voima $F$, massa $m$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $N$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi ja voimakuvion avulla, miksi tukivoima ja kiihtyvyys pienenevät, kun vetokulma kasvaa ja voima pysyy samana.
Mallivastaus
Narun voima $F = 100\,\text{N}$ jaetaan komponentteihin $F_x = F\cos\alpha$ ja $F_y = F\sin\alpha$. Kun kulma kasvaa, pystykomponentti kasvaa. Se kannattelee suuremman osan painosta. Siksi jään tukivoima $N = G - F\sin\alpha$ pienenee. Mallin arvoissa se on $196\,\text{N}$ vaakasuoralla vedolla ja $146\,\text{N}$ kulmalla $30^\circ$. Samalla vaakakomponentti pienenee. Kitkaa ei ole, joten vain vaakakomponentti kiihdyttää pulkkaa: $a = \dfrac{F\cos\alpha}{m}$ on $5{,}0\,\text{m/s}^2$ kulmalla $0^\circ$ ja $2{,}5\,\text{m/s}^2$ kulmalla $60^\circ$. Voima ei siis vaikuta vain suuruudellaan vaan myös suunnallaan.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Valinnainen Mittaus jousivaa'alla
Keksitty esimerkkiaineisto
Opiskelija vetää puupalikkaa pöydällä jousivaa'alla. Vaa'an naru on $30^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Palikan massa on $0{,}60\,\text{kg}$. Palikka liikkuu tasaisella nopeudella. Vaaka näyttää viidellä vedolla lukemat $2{,}1\,\text{N}$, $1{,}9\,\text{N}$, $2{,}0\,\text{N}$, $2{,}0\,\text{N}$ ja $2{,}0\,\text{N}$. Keskiarvo on $2{,}0\,\text{N}$. Piirrä palikan voimakuvio vihkoon ennen kuin vastaat.
Kuinka suuri on pöydän tukivoima palikkaan, kun vaa'an voima on $2{,}0\,\text{N}$? Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä voimakuvio: paino, tukivoima, kitka ja vaa'an voima. Mitkä niistä ovat pystysuoria? Millä voimalla on pystykomponentti?
Vihje 2: mikä yhteys
Palikka ei kiihdy pystysuunnassa: $N + F\sin\alpha - mg = 0$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}60\,\text{kg}$, vaa'an voima $F = 2{,}0\,\text{N}$ (viiden lukeman keskiarvo), kulma $\alpha = 30^\circ$; palikka liikkuu tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pöydän tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Palikka liikkuu tasaisesti ja pysyy pöydällä, joten sen kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla kummassakin suunnassa. Tukivoima saadaan pystysuunnasta.
Voimakuvio
Palikka on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös. Kitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin. Vaa'an voima $\overline{F}$ osoittaa vinosti ylös eteenpäin. Pystysuunnassa ovat $N$, $F\sin\alpha$ ja $G$.
Kaava
$N + F\sin\alpha - mg = 0$, joten $N = mg - F\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$4{,}9\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}60\,\text{kg}$ ja voima $2{,}0\,\text{N}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Tukivoima on vähän pienempi kuin paino $5{,}9\,\text{N}$, koska naru nostaa palikkaa $1{,}0\,\text{N}$:n voimalla. Vaakasuunnassa kitka on $F\cos\alpha \approx 1{,}7\,\text{N}$. Se on pienempi kuin vaa'an voima, kuten vinossa vedossa pitääkin.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kappaleeseen vaikuttaa yleensä monta voimaa yhtä aikaa. Voima on veto tai työntö. Maa vetää kappaletta alaspäin. Alusta tukee sitä. Naru vetää sitä. Pinta jarruttaa sitä. Jokainen voima syntyy kappaleen ja jonkin toisen kappaleen välillä.
Liikkeen ratkaisee kaikkien voimien yhteisvaikutus. Sitä sanotaan myös kokonaisvoimaksi, ja sen merkki on $\Sigma\overline{F}$. Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Vektorisumma tarkoittaa, että voimat lasketaan yhteen suunnat huomioiden. Luvussa Newtonin toinen laki opit, että kokonaisvoima määrää kiihtyvyyden: $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$.
Voimat piirretään ensin voimakuvioon. Silloin kaikki voimat tulevat mukaan, eikä laskuun eksy ylimääräisiä voimia. Voimakuvio on eri kuva kuin tilannekuva. Tilannekuvassa näkyy koko tilanne: alusta, naru, vetäjä ja liikkeen suunta. Voimakuviossa on vain yksi valittu kappale. Se piirretään yksinkertaisena suorakulmiona. Siihen vaikuttavat voimat on piirretty nuolina. Nuolen suunta on voiman suunta. Pidempi nuoli tarkoittaa suurempaa voimaa.
Kuvassa laatikkoa vedetään narulla vinosti ylöspäin. Narun voima osoittaa eteenpäin ja ylöspäin. Ylöspäin osoittava osa auttaa kannattelemaan laatikkoa. Siksi lattian ei tarvitse tukea laatikkoa yhtä paljon kuin silloin, kun laatikko seisoo paikallaan. Tukivoima $N$ on tässä pienempi kuin paino $G$. Tukivoima on pinnan voima, joka työntää kappaletta pois pinnasta. Nopeutta ei piirretä voimakuvioon. Nopeus ei ole voima.
Voimakuvion piirtäminen
Voimakuvio piirretään aina samoilla kahdeksalla vaiheella. Käy ne läpi joka kerta. Tee niin myös silloin, kun tilanne näyttää helpolta.
- Valitse kappale. Päätä, minkä kappaleen voimat piirrät. Voimakuvioon tulevat vain voimat, jotka vaikuttavat tähän kappaleeseen. Voimat, joilla kappale itse vaikuttaa muihin, eivät kuulu kuvioon.
- Etsi vuorovaikutukset. Luettele kaikki, mikä vaikuttaa kappaleeseen. Maa aiheuttaa painon. Jokainen pinta, jota kappale koskettaa, aiheuttaa tukivoiman ja kitkan. Jokainen naru aiheuttaa jännitysvoiman. Työntö tai veto on voima. Ilma tai vesi aiheuttaa vastuksen ja nosteen. Jokaisella voimalla on aiheuttaja kappaleen ulkopuolella. Pelkkä liike ei aiheuta voimaa.
- Piirrä kappale ja voimat. Piirrä kappale yksinkertaisena suorakulmiona. Piirrä yksi nuoli kutakin voimaa kohti. Nuoli lähtee siitä kohdasta, johon voima vaikuttaa. Työntävän voiman nuoli voi myös päättyä siihen kohtaan.
- Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas.
- Tukivoima $\overline{N}$ on kohtisuorassa kosketuspintaa vastaan. Kohtisuorassa tarkoittaa suorassa kulmassa. Tukivoima työntää kappaletta pois pinnasta. Se ei aina osoita ylös. Katto työntää alas ja seinä sivulle.
- Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ on kosketuspinnan suuntainen. Se vastustaa liukumista pinnan suhteen. Sen suunta tulee siitä, mihin kappale liukuu tai yrittää liukua pinnan suhteen. Kitka ei aina osoita nopeutta vastaan. Kitkan nuoli alkaa kosketuspinnan kulmasta kappaleen ulkopuolelle tai päättyy siihen. Älä piirrä sitä kappaleen sivua pitkin sivun keskeltä.
- Jännitysvoima $\overline{T}$ vaikuttaa narun suuntaisesti. Se vetää kappaletta narua kohti.
- Ilmanvastus piirretään vain, jos tilanne ja sen oletukset vaativat sen.
- Nimeä voimat. Anna jokaiselle voimalle oma tunnus. Kaksi samanlaista voimaa erotetaan alaindekseillä, esimerkiksi $\overline{T}_1$ ja $\overline{T}_2$.
- Mieti suuruudet. Levossa ja tasaisessa liikkeessä kokonaisvoima on nolla. Silloin nuolet kumoavat toisensa. Kiihtyvässä liikkeessä kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan. Kiihtyvyyden suunta ei aina ole nopeuden suunta. Älä keksi tarkkoja pituuksia, jos tiedot eivät määrää niitä.
- Vain voimat. Nopeus, kiihtyvyys ja siirtymä eivät ole voimia. Jos niitä tarvitaan, piirrä ne kappaleen viereen ohuina nuolina ja eri värein. Tässä kurssissa voimat ovat punaisia, nopeus on sininen ja kiihtyvyys oranssi. Kokonaisvoima ei ole yksi voima lisää.
- Komponentit eivät ole uusia voimia. Komponentti on voiman osa jonkin akselin suunnassa. Kun voima jaetaan komponentteihin, laskussa käytetään komponentteja voiman sijasta. Piirrä ne katkoviivalla. Silloin niitä ei sekoiteta voimiin.
- Liikeyhtälö. Vasta nyt valitaan akselit. Sitten kirjoitetaan Newtonin toinen laki komponenteittain. Käytä kuvion voimia ja etumerkkejä.
Kuvassa on neljä tilannetta. Niissä voimien suunnat yllättävät usein. Rinteellä tukivoima on kohtisuorassa rinnettä vastaan. Se ei ole pystysuora. Kitka pitää laatikkoa paikallaan rinteen suuntaisesti. Heliumpallo painuu kattoa vasten. Katto vaikuttaa palloon alaspäin.
Voimakuviossa kappale on aina yksinkertainen suorakulmio. Jokainen voima lähtee omasta vaikutuskohdastaan. Paino lähtee keskipisteestä. Tukivoima ja kitka lähtevät kosketuspinnasta. Jännitysvoima lähtee narun kiinnityskohdasta. Työntävän voiman nuoli voi myös päättyä siihen kohtaan, johon työntö kohdistuu. Tilannekuvassa kappaleet piirretään sellaisina kuin ne näyttävät. Voimakuvioon piirretään vain suorakulmio ja voimat.
Ylioppilaskokeiden arviointiohjeissa voimakuviosta saa tehtäväkohtaisia pisteitä. Kevään 2025 heliumpallotehtävässä puuttuva, ylimääräinen tai väärään suuntaan piirretty voima vei kaikki voimakuvion pisteet. Samoin kävi, jos pallon voimaksi piirrettiin nopeus tai kiihtyvyys. Syksyn 2025 kokeessa puuttuvasta nimestä vähennettiin piste. Tarkka pisteytys vaihtelee tehtävästä toiseen. Joka kokeessa vaaditaan samaa: kaikki voimat, ei keksittyjä voimia, oikeat suunnat ja yksiselitteiset nimet.
Liikeyhtälö komponenteittain
Newtonin toinen laki koskee kokonaisvoimaa:
$$\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$$
missä $\Sigma\overline{F}$ on kappaleeseen vaikuttavien voimien vektorisumma (N), $m$ kappaleen massa (kg) ja $\overline{a}$ sen kiihtyvyys (m/s²). Joskus voimat eivät ole samalla suoralla. Silloin valitaan kaksi kohtisuoraa akselia. Laki kirjoitetaan erikseen kummankin akselin suuntaan:
$$\begin{aligned} \Sigma F_x &= m a_x \\ \Sigma F_y &= m a_y \end{aligned}$$
missä $\Sigma F_x$ ja $\Sigma F_y$ ovat voimien komponenttien summat (N) ja $a_x$ ja $a_y$ kiihtyvyyden komponentit (m/s²). Komponentti on positiivinen, kun se osoittaa akselin suuntaan. Se on negatiivinen, kun se osoittaa vastakkaiseen suuntaan. Valitse akselit niin, että toinen osoittaa kiihtyvyyden suuntaan.
Vinon voiman $F$ komponentit saadaan suorakulmaisesta kolmiosta. Kulma $\alpha$ on voiman ja $x$-akselin välinen kulma:
$$\begin{aligned} F_x &= F\cos\alpha \\ F_y &= F\sin\alpha \end{aligned}$$
missä $F$ on voiman suuruus (N), $F_x$ ja $F_y$ sen komponentit (N) ja $\alpha$ kulma. Komponentit eivät ole uusia voimia. Ne korvaavat voiman $F$ laskussa.
Yleinen virhekäsitys
Liikkuvaan kappaleeseen ei tarvitse vaikuttaa voimaa liikkeen suuntaan. Liukuvaan laatikkoon vaikuttavat vain paino, tukivoima ja kitka. "Liikkeen voimaa" ei ole, koska mikään kappale ei aiheuta sitä.
Toinen yleinen virhe on pitää tukivoimaa aina yhtä suurena kuin paino. Tukivoima on juuri niin suuri, kuin tilanne vaatii. Vinossa vedossa se on painoa pienempi. Vinossa työnnössä se on painoa suurempi. Ylöspäin kiihtyvässä hississä se on myös painoa suurempi.
Kolmas virhe on piirtää komponentit voimiksi voiman lisäksi. Silloin sama voima tulee laskuun kahteen kertaan.
Tiivistelmä
- Voimakuviossa on vain valittu kappale suorakulmiona ja siihen vaikuttavat voimat. Tilannekuva ja voimakuvio ovat eri kuvia.
- Jokaisella voimalla on aiheuttaja: Maa, pinta, naru, työntäjä tai ilma. Nopeus ja kiihtyvyys eivät ole voimia. Ne piirretään eri värein kuin voimat.
- Tukivoima on kohtisuorassa pintaa vastaan. Kitka on pinnan suuntainen. Jännitysvoima on narun suuntainen.
- Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Laki $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$ kirjoitetaan komponenteittain: $\Sigma F_x = m a_x$ ja $\Sigma F_y = m a_y$.
- Vinon voiman komponentit ovat $F\cos\alpha$ ja $F\sin\alpha$. Ne korvaavat voiman laskussa. Ne eivät ole uusia voimia.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin. Mitä opit tukivoiman suuruudesta? Mitä opit voiman suunnan merkityksestä? Palaa myös alun pulkkaan. Miten jään tukivoima eroaa vedossa ja työnnössä? Miksi se eroaa?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Pulkkaa, jonka massa on $12\,\text{kg}$, vedetään vaakasuoralla lumella narulla. Naru on $35^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Narun jännitysvoima on $80\,\text{N}$ ja lumen kitkavoima $30\,\text{N}$. Kuinka suuri on pulkan kiihtyvyys, ja kuinka suuri on lumen tukivoima?
Vaihe 1/8
Tunnetut ja kysytty. $m = 12\,\text{kg}$, $T = 80\,\text{N}$, $\alpha = 35^\circ$, $F_\mu = 30\,\text{N}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kysytään kiihtyvyyttä $a$ ja tukivoimaa $N$.
Vaihe 2/8
Periaate. Valitaan kappaleeksi pulkka. Siihen vaikuttavat Maa (paino), lumi (tukivoima ja kitka) ja naru (jännitysvoima). Newtonin toinen laki kirjoitetaan kahteen suuntaan. Vaakasuunnassa pulkka kiihtyy. Pystysuunnassa pulkka pysyy lumen pinnalla, joten $a_y = 0$.
Vaihe 3/8
Voimakuvio. Pulkka piirretään suorakulmiona. Voimat lähtevät vaikutuskohdistaan. Akselit valitaan niin, että $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Narun voima jaetaan komponentteihin $T_x = T\cos\alpha$ ja $T_y = T\sin\alpha$. Ne on piirretty katkoviivalla.
Vaihe 4/8
Kaava ratkaistuna. Kuviosta luetaan liikeyhtälöt. Niistä ratkaistaan kysytyt suureet:
$$\begin{aligned} &x\text{:}\ \ T\cos\alpha - F_\mu = m a \\ &y\text{:}\ \ N + T\sin\alpha - mg = 0 \\ &a = \frac{T\cos\alpha - F_\mu}{m} \\ &N = mg - T\sin\alpha \end{aligned}$$
Vaihe 5/8
Yksikkömuunnokset. Muunnoksia ei tarvita. Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
Vaihe 6/8
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} a &= \frac{T\cos\alpha - F_\mu}{m} \\ \phantom{a} &= \frac{80\,\text{N}\cdot\cos 35^\circ - 30\,\text{N}}{12\,\text{kg}} \\ \phantom{a} &\approx 2{,}96\,\text{m/s}^2 \\[4pt] N &= mg - T\sin\alpha \\ \phantom{N} &= 12\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad\ - 80\,\text{N}\cdot\sin 35^\circ \\ \phantom{N} &\approx 71{,}8\,\text{N} \end{aligned}$$
Vaihe 7/8
Tulos. Kiihtyvyys on $a \approx 3{,}0\,\text{m/s}^2$ ja tukivoima $N \approx 72\,\text{N}$. Vastaukset annetaan kahdella merkitsevällä numerolla. Lähtötiedoissa $80\,\text{N}$, $30\,\text{N}$ ja $12\,\text{kg}$ on myös kaksi merkitsevää numeroa.
Vaihe 8/8
Järkevyys. Pulkan paino on $mg \approx 118\,\text{N}$. Tukivoima $72\,\text{N}$ on sitä pienempi. Syy on, että narun pystykomponentti $T_y \approx 46\,\text{N}$ kannattelee osan painosta. Summa täsmää: $72\,\text{N} + 46\,\text{N} \approx 118\,\text{N}$. Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $65{,}5\,\text{N} : 12\,\text{kg} \approx 5{,}5\,\text{m/s}^2$. Kitka siis pienentää kiihtyvyyttä, kuten pitääkin.
Etsi virhe
Valitse oikea voimakuvio
Sovella uuteen tilanteeseen
Kalastaja nostaa $2{,}0\,\text{kg}$:n kalaa siimalla suoraan ylöspäin. Kala kiihtyy ylöspäin kiihtyvyydellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$.
Kuinka suuri on siiman jännitysvoima? Jännitysvoima on voima, jolla siima vetää kalaa. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä kalan voimakuvio. Mitkä kaksi voimaa kalaan vaikuttavat? Kumpi on suurempi, kun kala kiihtyy ylös?
Vihje 2: mikä yhteys
Valitse $y$-akseli ylös. Liikeyhtälö on $T - mg = ma$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 2{,}0\,\text{kg}$, kiihtyvyys ylöspäin $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
siiman jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kala kiihtyy, joten siihen vaikuttavien voimien summa ei ole nolla. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on $ma$ kiihtyvyyden suuntaan eli ylöspäin.
Voimakuvio
Kala on piirretty suorakulmiona, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Siiman jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa ylös ja paino $\overline{G}$ alas. Jännitysvoima $\overline{T}$ on pidempi, koska kokonaisvoima osoittaa ylös. Kiihtyvyys piirretään erikseen, ei voimaksi.
Kaava
$T - mg = ma$, joten $T = m(g + a)$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyydet yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$23\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $2{,}0\,\text{kg}$ ja kiihtyvyys $1{,}5\,\text{m/s}^2$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Kalan paino on noin $20\,\text{N}$. Kiihtyvä nosto vaatii enemmän, ja $23\,\text{N}$ on vähän suurempi. Ylimäärä $3\,\text{N}$ on $ma = 2{,}0\,\text{kg}\cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2$. Jos kala laskettaisiin alas samalla kiihtyvyydellä, siima tarvitsisi vain $m(g - a) \approx 17\,\text{N}$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Pallo on heitetty suoraan ylös. Se on juuri ratansa korkeimmassa kohdassa. Mitkä voimat palloon vaikuttavat, kun ilmanvastus jätetään huomiotta?
Vastaus
Vain paino $\overline{G}$, joka osoittaa alas. Heittäjän käsi ei enää koske palloon, joten ylöspäin vievää voimaa ei ole. Korkeimmassa kohdassa nopeus on hetken nolla. Kiihtyvyys on silloinkin $g$ alaspäin.
- Miksi voiman komponentit piirretään voimakuvioon katkoviivalla? Mitä tapahtuu, jos laskussa käytetään sekä voimaa että sen komponentteja?
Vastaus
Komponentit eivät ole uusia voimia. Yhdessä ne korvaavat voiman. Katkoviiva erottaa ne voimista. Jos laskuun otetaan sekä voima että sen komponentit, sama voima tulee mukaan kahdesti. Silloin tulos on väärä.
- Laatikkoa vedetään vaakasuoralla lattialla narulla. Naru on kulmassa $\alpha$ vaakatasoon nähden. Narun jännitysvoima on $T$, kitkavoima $F_\mu$ ja laatikon massa $m$. Kirjoita pystysuuntainen liikeyhtälö. Ratkaise siitä tukivoima $N$.
Vastaus
Pystysuunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N + T\sin\alpha - mg = 0$ ja $N = mg - T\sin\alpha$. Kitka on vaakasuora, joten se ei kuulu pystysuuntaiseen yhtälöön.
1. Käsite
2. Laskeminen
Kauppaa varten tehty kyltti roikkuu kahden yhtä pitkän vaijerin varassa. Kyltin massa on $8{,}0\,\text{kg}$. Kumpikin vaijeri on $50^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Kyltti on paikallaan.
Kuinka suuri on kummankin vaijerin jännitysvoima? Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä kyltin voimakuvio: paino ja kaksi jännitysvoimaa $\overline{T}_1$ ja $\overline{T}_2$. Tilanne on symmetrinen, joten $T_1 = T_2 = T$.
Vihje 2: mikä yhteys
Vaakakomponentit kumoavat toisensa. Pystysuunnassa $2T\sin 50^\circ - mg = 0$.
Vihje 3: välivaihe
$T = \dfrac{mg}{2\sin 50^\circ}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 8{,}0\,\text{kg}$, vaijereiden kulma vaakatasoon $\alpha = 50^\circ$, kyltti on paikallaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
yhden vaijerin jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kyltti on paikallaan. Siksi Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla kummassakin suunnassa. Tilanne on symmetrinen, joten vaijereiden jännitysvoimat ovat yhtä suuret.
Voimakuvio
Kyltti on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa oikealle ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Jännitysvoima $\overline{T}_1$ osoittaa vinosti ylös vasemmalle ja $\overline{T}_2$ vinosti ylös oikealle. Molemmat ovat $50^\circ$ vaakatasosta. Niiden vaakakomponentit $T\cos 50^\circ$ kumoavat toisensa. Pystykomponentit $T\sin 50^\circ$ osoittavat ylös.
Kaava
$y$: $2T\sin\alpha - mg = 0$, joten $T = \dfrac{mg}{2\sin\alpha}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$51\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $8{,}0\,\text{kg}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Jos vaijerit olisivat pystysuorat, kumpikin kantaisi puolet painosta eli $39\,\text{N}$. Vinot vaijerit tarvitsevat enemmän, koska vain osa voimasta on pystysuuntaista. Siksi $51\,\text{N} > 39\,\text{N}$ on järkevä. Mitä loivemmassa kulmassa vaijerit ovat, sitä suurempi jännitysvoima tarvitaan.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Piirrä itse
Laatikon massa on $12\,\text{kg}$. Sitä työnnetään vaakasuoralla lattialla kahvasta. Kahva osoittaa vinosti alaspäin $30^\circ$:n kulmassa. Työntövoima on $60\,\text{N}$, ja laatikko liukuu tasaisella nopeudella. Lattian ja laatikon välillä on kitkaa. Piirrä laatikon voimakuvio paperille. Piirrä laatikko suorakulmiona ja jokainen voima sen vaikutuskohdasta. Kirjoita sitten liikeyhtälöt vaaka- ja pystysuunnassa. Laske kitkavoima ja tukivoima.
Mallikuvio
Laatikkoon vaikuttavat Maa, lattia ja kahva. Maan vetovoima eli paino $\overline{G}$ osoittaa keskipisteestä alas. Lattia vaikuttaa alapinnasta kahdella voimalla. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan ylös. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin, koska laatikko liukuu eteenpäin. Kahvan voima $\overline{F}$ osoittaa vinosti alas eteenpäin. Liikkeen suuntaista lisävoimaa ei ole. Laatikko liukuu tasaisesti, joten kokonaisvoima on nolla. Kun $x$ osoittaa eteenpäin ja $y$ ylös, saadaan seuraavat yhtälöt. $x$: $F\cos 30^\circ - F_\mu = 0$, joten $F_\mu = 60\,\text{N}\cdot\cos 30^\circ \approx 52\,\text{N}$. $y$: $N - mg - F\sin 30^\circ = 0$, joten $N = 12\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 + 60\,\text{N}\cdot\sin 30^\circ \approx 148\,\text{N}$. Tukivoima on painoa $118\,\text{N}$ suurempi, koska kahvan voiman pystykomponentti painaa laatikkoa lattiaa vasten.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Voimakuvio
- Piirros, jossa esitetään kaikki tarkasteltavaan kappaleeseen vaikuttavat voimat nuolina.
- Tukivoima
- Pinnan kappaleeseen kohdistama voima, joka suuntautuu kohtisuoraan pintaa vastaan.
- Jännitysvoima
- Kireän langan tai narun kappaleeseen kohdistama voima suuntautuu langan suuntaisesti.
- Liikeyhtälö
- Newtonin toisen lain sovellus, jossa kappaleeseen vaikuttavien voimien summa yhdistetään kiihtyvyyteen.
- Voimakomponentti
- Voiman osa valitussa koordinaatiston suunnassa.
- Komponenttimuoto
- Liikeyhtälö kirjoitetaan erikseen esimerkiksi vaaka- ja pystysuunnassa.
- Tasapainoehto
- Etenemisliikkeen tasapainossa kappaleeseen vaikuttavien voimien vektorisumma on nolla.$$\Sigma\overline{F} = \overline{0}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-1Ydintehtävä
Lampun massa on $1{,}5\,\text{kg}$. Lamppu roikkuu paikallaan pystysuoran johdon varassa. Piirrä lampun voimakuvio. Laske johdon jännitysvoima.
Vastaus
$14{,}7\,\text{N} \approx 15\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 1{,}5\,\text{kg}$, lamppu on paikallaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
johdon jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$. Jännitysvoima on voima, jolla johto vetää lamppua.
Periaate
Lamppu on levossa. Silloin Newtonin toisen lain mukaan siihen vaikuttavien voimien summa on nolla.
Voimakuvio
Lamppu on piirretty suorakulmiona, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Lamppuun vaikuttavat Maa ja johto. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Johdon jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa johtoa pitkin ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät.
Kaava
$T - mg = 0$, joten $T = mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$T$$= 1{,}5\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 14{,}715\,\text{N}$Vastaus
$14{,}7\,\text{N} \approx 15\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $1{,}5\,\text{kg}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Kilogramman paino on noin $10\,\text{N}$. Puolentoista kilon lampun paino on siis noin $15\,\text{N}$. Johto kannattelee koko painon, koska muita ylöspäin vaikuttavia voimia ei ole.
- Tehtävä 6-2Ydintehtävä
Kuvan voimakuviossa yksi ruutu vastaa $10\,\text{N}$:n voimaa. Kappaleeseen vaikuttaa neljä voimaa. Kuinka suuri on kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima?
Vastaus
$15\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuviosta luetut voimat: $F_1 = 40\,\text{N}$ oikealle, $F_2 = 25\,\text{N}$ vasemmalle, $F_3 = 30\,\text{N}$ ylös ja $F_4 = 30\,\text{N}$ alas
Kysytty
kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$. Kokonaisvoima on kaikkien voimien yhteisvaikutus.
Periaate
Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Lasketaan komponenttien summat erikseen kummankin akselin suunnassa. Akseli $x$ osoittaa oikealle ja $y$ ylös.
Kuvaajan lukeminen
Nuolten pituudet luetaan ruuduista. Nuoli $F_1$ on neljä ruutua pitkä. Nuoli $F_2$ on kaksi ja puoli ruutua pitkä. Nuolet $F_3$ ja $F_4$ ovat kolme ruutua pitkiä. Yksi ruutu on $10\,\text{N}$.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1 - F_2$ ja $\Sigma F_y = F_3 - F_4$. Kun $\Sigma F_y = 0$, kokonaisvoiman suuruus on $\Sigma F = |\Sigma F_x|$
Muunnokset
Ruudut muunnetaan newtoneiksi: $4\cdot 10\,\text{N} = 40\,\text{N}$ ja $2{,}5\cdot 10\,\text{N} = 25\,\text{N}$.
Sijoitus
$\Sigma F_y$$= 30\,\text{N} - 30\,\text{N}$$= 0$$\Sigma F$$= 40\,\text{N} - 25\,\text{N}$$= 15\,\text{N}$Vastaus
$15\,\text{N}$
Oikealle. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa. Ruudukosta voi lukea vain puolen ruudun tarkkuudella, eli $5\,\text{N}$:n tarkkuudella.
Järkevyys
Pystysuorat voimat ovat yhtä pitkät, joten ne kumoavat toisensa. Vaakasuunnassa oikealle osoittava nuoli on puolitoista ruutua pidempi. Se on $15\,\text{N}$, joten kokonaisvoima osoittaa oikealle. Kokonaisvoima ei ole voimien suuruuksien summa $125\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-3
Opiskelija painaa $0{,}50\,\text{kg}$:n kirjaa pystysuoraa seinää vasten. Hän painaa vaakasuoralla $20\,\text{N}$:n voimalla. Kirja pysyy paikallaan. Piirrä kirjan voimakuvio. Kuinka suuri on seinän kitkavoima kirjaan?
Vastaus
$4{,}9\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}50\,\text{kg}$, käden voima $F = 20\,\text{N}$ vaakasuoraan seinää kohti, kirja on paikallaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
seinän kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$. Kitkavoima on voima, joka estää kirjaa liukumasta.
Periaate
Kirja on levossa. Silloin voimien summa on nolla sekä vaaka- että pystysuunnassa. Seinä on pystysuora. Siksi sen tukivoima on vaakasuora ja sen kitkavoima on pystysuora.
Voimakuvio
Kirja on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa seinää kohti ja $y$ ylös. Käden voima $\overline{F}$ osoittaa seinää kohti. Seinän tukivoima $\overline{N}$ osoittaa seinästä poispäin. Molemmat ovat vaakasuoria. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Seinän kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa ylös, koska kirja yrittää liukua alas.
Kaava
$y$: $F_\mu - mg = 0$, joten $F_\mu = mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\mu$$= 0{,}50\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 4{,}905\,\text{N}$Vastaus
$4{,}9\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}50\,\text{kg}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Kitka kannattelee kirjan koko painon, koska vain se vaikuttaa ylöspäin. Käden voima $20\,\text{N}$ ei näy suoraan vastauksessa. Se määrää tukivoiman $N = 20\,\text{N}$. Kitka on juuri niin suuri, kuin paikallaan pysyminen vaatii. Tukivoima ei tässä osoita ylös vaan vaakasuoraan.
- Tehtävä 6-4
Ihmisen massa on $65\,\text{kg}$. Hän seisoo hississä, joka liikkuu ylöspäin tasaisella nopeudella. Piirrä ihmisen voimakuvio. Kuinka suuri on hissin lattian tukivoima ihmiseen?
Vastaus
$640\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 65\,\text{kg}$, hissi liikkuu tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$. Tukivoima on voima, jolla lattia työntää ihmistä ylöspäin.
Periaate
Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla. Silloin Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla, vaikka ihminen liikkuu.
Voimakuvio
Ihminen on piirretty suorakulmiona, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Lattian tukivoima $\overline{N}$ osoittaa ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät. Nopeutta ei piirretä voimaksi.
Kaava
$N - mg = 0$, joten $N = mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 65\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 637{,}65\,\text{N}$Vastaus
$640\,\text{N}$
Eli $6{,}4\cdot 10^{2}\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $65\,\text{kg}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Tukivoima on sama kuin ihmisen paino, aivan kuin hissi seisoisi. Liike tasaisella nopeudella ei vaadi kokonaisvoimaa. Vaa'alla seisova ihminen näkisi tavallisen painonsa.
- Tehtävä 6-5
Laatikkoa vedetään köydellä. Köyden jännitysvoima on $250\,\text{N}$, ja köysi on $40^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Piirrä köyden voima ja katkoviivoin sen komponentit. Kuinka suuri on jännitysvoiman vaakakomponentti?
Vastaus
$190\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$T = 250\,\text{N}$, kulma vaakatasoon $\alpha = 40^\circ$
Kysytty
jännitysvoiman vaakakomponentti $T_x$ yksikössä $\text{N}$. Vaakakomponentti on se osa voimasta, joka osoittaa vaakasuoraan.
Periaate
Voima ja sen komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion. Voima on kolmion pisin sivu eli hypotenuusa. Vaakakomponentti on kulman $\alpha$ viereinen kateetti.
Voimakuvio
Köyden voima $\overline{T}$ on yksi yhtenäinen nuoli. Se lähtee kiinnityskohdasta vinosti ylös $40^\circ$:n kulmassa. Komponentit $T_x$ ja $T_y$ piirretään katkoviivoin samasta kohdasta.
Kaava
$T_x = T\cos\alpha$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja kulma asteina. Muunnoksia ei tarvita. Laskimen asteikko on DEG.
Sijoitus
$T_x$$= 250\,\text{N}\cdot\cos 40^\circ$$= 191{,}5\,\text{N}$Vastaus
$190\,\text{N}$
Eli $1{,}9\cdot 10^{2}\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa. Kulma $40^\circ$ on annettu kahdella numerolla, eikä voima $250\,\text{N}$ ole sitä tarkempi.
Järkevyys
Komponentti on pienempi kuin voima $250\,\text{N}$, kuten pitää. Kulma on alle $45^\circ$. Siksi vaakakomponentti on suurempi kuin pystykomponentti $250\,\text{N}\cdot\sin 40^\circ \approx 161\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-6
Laatikko liukuu oikealle vaakasuoralla lattialla. Lattian kitka hidastaa laatikkoa. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Mitkä voimat piirretään laatikon voimakuvioon?
Vastaus
Paino, tukivoima ja kitka, koska kullakin voimalla on aiheuttaja
Näytä ratkaisu
Kysytty
mitkä voimat piirretään voimakuvioon, kun laatikko liukuu vaakasuoralla lattialla ja kitka hidastaa sitä.
Periaate
Voimakuvioon piirretään vain ne voimat, jotka vaikuttavat valittuun kappaleeseen. Jokaisella voimalla on aiheuttaja: Maa, pinta, naru tai työntäjä. Nopeus ja kiihtyvyys eivät ole voimia. Newtonin toisen lain mukaan kappale voi liikkua, vaikka liikkeen suuntaista voimaa ei ole.
Mallivastaus
Laatikkoon vaikuttaa kolme voimaa. Maa vetää laatikkoa alas (paino). Lattia tukee laatikkoa ylös (tukivoima). Lattia vastustaa liukumista vasemmalle (kitka). Paino ja tukivoima ovat yhtä pitkät, koska laatikko ei liiku pystysuunnassa. Kitka on ainoa vaakasuora voima, joten se hidastaa laatikkoa. Oikealle osoittavaa liikevoimaa ei ole, koska mikään kappale ei aiheuta sitä. Nopeutta ei piirretä voimaksi. Tarvittaessa se piirretään erikseen voimakuvion viereen. Tukivoimaa ei saa jättää pois, vaikka se kumoaa painon.
- Tehtävä 6-7
Kaksi ihmistä työntää kaappia vaakasuoralla lattialla samaan suuntaan. Toinen työntää $120\,\text{N}$:n voimalla ja toinen $85\,\text{N}$:n voimalla. Lattian kitkavoima kaappiin on $150\,\text{N}$ vastakkaiseen suuntaan. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa.
Kuinka suuri on kaappiin vaikuttava kokonaisvoima?
Vastaus
$55\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
työntövoimat $F_1 = 120\,\text{N}$ ja $F_2 = 85\,\text{N}$ samaan suuntaan, kitkavoima $F_\mu = 150\,\text{N}$ vastakkaiseen suuntaan; paino ja tukivoima kumoavat toisensa
Kysytty
kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$. Kokonaisvoima on kaikkien voimien yhteisvaikutus.
Periaate
Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Kaikki voimat ovat samalla suoralla. Siksi summa lasketaan vaakasuunnan komponenteista. Akseli $x$ osoittaa työntämisen suuntaan. Pystysuunnassa kokonaisvoima on nolla.
Voimakuvio
Kaappi on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa työntämisen suuntaan ja $y$ ylös. Kaksi työntövoimaa $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ osoittavat eteenpäin. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös, ja ne ovat yhtä pitkät. Kitkavoima on pidempi kuin kumpikaan työntövoima, mutta lyhyempi kuin niiden summa.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1 + F_2 - F_\mu$
Muunnokset
Kaikki voimat ovat newtoneina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F_x$$= 120\,\text{N} + 85\,\text{N} - 150\,\text{N}$$= 55\,\text{N}$Vastaus
$55\,\text{N}$
Työntämisen suuntaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska annetuissa voimissa on kaksi numeroa.
Järkevyys
Työntövoimat ovat yhteensä $205\,\text{N}$. Se on enemmän kuin kitka $150\,\text{N}$. Siksi kokonaisvoima osoittaa työntämisen suuntaan ja kaappi kiihtyy. Jos työntövoimat olisivat yhteensä alle $150\,\text{N}$, kaappi hidastuisi tai pysyisi paikallaan. Kokonaisvoima ei ole voimien suuruuksien summa $355\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-8
Laatikko on vaakasuoralla lattialla. Laatikkoa vedetään narulla vinosti ylöspäin, mutta laatikko pysyy paikallaan. Miten lattian tukivoima $N$ suhtautuu laatikon painoon $G$?
Vastaus
$N$ on painoa pienempi, koska naru kannattelee osaa painosta
Näytä ratkaisu
Kysytty
miten lattian tukivoima $N$ suhtautuu laatikon painoon $G$, kun laatikkoa vedetään narulla vinosti ylöspäin eikä se liiku.
Periaate
Laatikko on levossa. Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla myös pystysuunnassa. Pystysuunnassa on kolme voimaa. Paino osoittaa alas. Tukivoima ja narun jännitysvoiman pystykomponentti osoittavat ylös.
Mallivastaus
Pystysuunnan yhtälö on $N + T\sin\alpha - G = 0$, joten $N = G - T\sin\alpha$. Narun pystykomponentti kannattelee osan painosta. Lattian tarvitsee tukea vain loppuosa. Siksi tukivoima on painoa pienempi. Tukivoima ei siis ole aina yhtä suuri kuin paino. Se on juuri niin suuri kuin pystysuunnan tasapaino vaatii. Jos naru vetäisi vaakasuoraan, tukivoima olisi painon suuruinen. Jos naru vetäisi laatikkoa vinosti alaspäin, tukivoima olisi painoa suurempi. Tukivoima olisi nolla vasta, kun narun pystykomponentti olisi yhtä suuri kuin koko paino. Silloin laatikko olisi irtoamaisillaan lattiasta.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-9Ydintehtävä
Pulkan massa on $15\,\text{kg}$. Sitä vedetään vaakasuoralla lumella narulla, joka on $30^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Narun jännitysvoima on $60\,\text{N}$, ja pulkka liikkuu tasaisella nopeudella. Piirrä pulkan voimakuvio vihkoon ennen kuin avaat ratkaisun.
Kuinka suuri on lumen kitkavoima?
Vastaus
$52\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 15\,\text{kg}$, $T = 60\,\text{N}$, $\alpha = 30^\circ$, pulkka liikkuu tasaisella nopeudella
Kysytty
lumen kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla. Silloin voimien summa on nolla myös liikkeen suunnassa. Kitka on yhtä suuri kuin narun voiman vaakakomponentti.
Voimakuvio
Pulkka on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Lumen tukivoima $\overline{N}$ osoittaa ylös, ja se on painoa lyhyempi. Narun jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa vinosti ylös eteenpäin. Lumen kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin. Komponentti $T_x$ on piirretty katkoviivalla.
Kaava
$x$: $T\cos\alpha - F_\mu = 0$, joten $F_\mu = T\cos\alpha$
Muunnokset
Voima on newtoneina. Muunnoksia ei tarvita. Massaa ei tarvita, koska kitka saadaan vaakasuunnan yhtälöstä.
Sijoitus
$F_\mu$$= 60\,\text{N}\cdot\cos 30^\circ$$= 51{,}96\,\text{N}$Vastaus
$52\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voima $60\,\text{N}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Kitka on vähän pienempi kuin narun voima $60\,\text{N}$. Syy on, että vain osa narun voimasta vetää eteenpäin. Pystysuunnasta tukivoima on
$N$$= mg - T\sin\alpha$$\approx 147\,\text{N} - 30\,\text{N}$$= 117\,\text{N}$Se on painoa pienempi.
- Tehtävä 6-10Ydintehtävä
Ihmisen massa on $60\,\text{kg}$. Hän seisoo hississä. Hissi lähtee liikkeelle ylöspäin kiihtyvyydellä $1{,}2\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on lattian tukivoima ihmiseen kiihdytyksen aikana?
Vastaus
$660\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 60\,\text{kg}$, kiihtyvyys ylöspäin $a = 1{,}2\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Ihminen kiihtyy ylöspäin hissin mukana. Siksi kokonaisvoima osoittaa ylös. Newtonin toisen lain mukaan se on $ma$.
Voimakuvio
Ihminen on piirretty suorakulmiona, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös. Tukivoima on pidempi. Kiihtyvyys piirretään erikseen, ei voimaksi.
Kaava
$N - mg = ma$, joten $N = m(g + a)$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyydet yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 60\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}2\,\text{m/s}^2)$$= 60\,\text{kg}\cdot 11{,}01\,\text{m/s}^2$$= 660{,}6\,\text{N}$Vastaus
$660\,\text{N}$
Eli $6{,}6\cdot 10^{2}\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $60\,\text{kg}$ ja kiihtyvyys $1{,}2\,\text{m/s}^2$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Paino on noin $590\,\text{N}$. Tukivoima on noin $70\,\text{N}$ suurempi. Erotus on
$ma$$= 60\,\text{kg}\cdot 1{,}2\,\text{m/s}^2$$= 72\,\text{N}$Kun hissi lähtee ylös, tunnet itsesi painavammaksi. Lattia painaa jalkoja tavallista enemmän.
- Tehtävä 6-11
Laatikon massa on $40\,\text{kg}$. Sitä työnnetään vaakasuoralla lattialla kahvasta $120\,\text{N}$:n voimalla. Voima osoittaa $30^\circ$:n kulmassa vinosti alaspäin. Lattian kitkavoima laatikkoon on $80\,\text{N}$. Kuinka suuri on laatikon kiihtyvyys?
Vastaus
$0{,}60\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 40\,\text{kg}$, $F = 120\,\text{N}$ kulmassa $\alpha = 30^\circ$ vaakatason alapuolelle, $F_\mu = 80\,\text{N}$
Kysytty
laatikon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Laatikko kiihtyy vaakasuunnassa. Newtonin toisen lain mukaan vaakasuuntaisten voimakomponenttien summa on $ma$. Pystysuuntaista yhtälöä ei tarvita, koska kitka on annettu.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Lattian tukivoima $\overline{N}$ osoittaa ylös, ja se on painoa pidempi. Kahvan voima $\overline{F}$ osoittaa vinosti alas eteenpäin. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin. Komponentit $F_x$ ja $F_y$ on piirretty katkoviivalla.
Kaava
$x$: $F\cos\alpha - F_\mu = ma$, joten $a = \dfrac{F\cos\alpha - F_\mu}{m}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja massa kilogrammoina. Tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}^2$.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{120\,\text{N}\cdot\cos 30^\circ - 80\,\text{N}}{40\,\text{kg}}$$= \dfrac{103{,}9\,\text{N} - 80\,\text{N}}{40\,\text{kg}}$$= 0{,}598\,\text{m/s}^2$Vastaus
$0{,}60\,\text{m/s}^2$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Vaakakomponentti $104\,\text{N}$ on vain vähän suurempi kuin kitka $80\,\text{N}$. Kokonaisvoima $24\,\text{N}$ on siis pieni, ja $40\,\text{kg}$:n laatikko kiihtyy hitaasti. Jos koko voima $120\,\text{N}$ vaikuttaisi eteenpäin, kiihtyvyys olisi $1{,}0\,\text{m/s}^2$.
- Tehtävä 6-12
Kaksi lasta vetää $50\,\text{kg}$:n kelkkaa jäällä naruilla. Narut ovat vaakasuorat ja kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toinen lapsi vetää $30\,\text{N}$:n voimalla ja toinen $40\,\text{N}$:n voimalla. Kitka jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on kelkan kiihtyvyys?
Vastaus
$1{,}0\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 50\,\text{kg}$, $F_1 = 30\,\text{N}$ ja $F_2 = 40\,\text{N}$ vaakasuoraan, kohtisuorassa toisiaan vastaan; kitkaa ei ole
Kysytty
kelkan kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Newtonin toisen lain mukaan se määrää kiihtyvyyden. Pystysuunnassa paino ja jään tukivoima kumoavat toisensa.
Voimakuvio
Kelkka on piirretty suorakulmiona ylhäältä katsottuna. Akseli $x$ osoittaa voiman $\overline{F}_1$ suuntaan ja $y$ voiman $\overline{F}_2$ suuntaan. Sivulta katsottuna paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös. Ne ovat yhtä pitkät.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1$ ja $\Sigma F_y = F_2$, joten $\Sigma F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$. Newtonin toisesta laista $\Sigma F = ma$, joten $a = \dfrac{\Sigma F}{m}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja massa kilogrammoina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F$$= \sqrt{(30\,\text{N})^2 + (40\,\text{N})^2}$$= 50\,\text{N}$$a$$= \dfrac{50\,\text{N}}{50\,\text{kg}}$$= 1{,}0\,\text{m/s}^2$Vastaus
$1{,}0\,\text{m/s}^2$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voimat $30\,\text{N}$ ja $40\,\text{N}$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Kokonaisvoima $50\,\text{N}$ on suurempi kuin kumpikaan voima. Se on pienempi kuin niiden summa $70\,\text{N}$, koska voimat osoittavat eri suuntiin. Kiihtyvyys osoittaa voimien väliin, lähemmäs suurempaa voimaa.
- Tehtävä 6-13
Voima-antureilla tutkitaan rengasta. Rengas pysyy paikallaan kolmen köyden varassa. Köysi A vetää rengasta vaakasuoraan vasemmalle. Köysi C vetää rengasta pystysuoraan alas. Köysi B vetää rengasta vinosti ylös oikealle. Köyden B ja vaakatason välinen kulma on $\alpha$. Köysien massoja ja renkaan massaa ja painoa ei oteta huomioon. Taulukossa on esimerkkiaineisto kolmesta mittauksesta. Anturit A, B ja C näyttävät voimat $F_\text{A}$, $F_\text{B}$ ja $F_\text{C}$.
a) Perustele, miksi renkaaseen vaikuttavien voimien summa on nolla. Kirjoita liikeyhtälöt $x$- ja $y$-suunnassa. Piirrä renkaan voimakuvio suorakulmiona.
b) Laske kulma $\alpha$ kunkin mittauksen voimista $F_\text{A}$ ja $F_\text{C}$. Laske myös kolmen kulman keskiarvo.
c) Tarkista tulos. Laske ensimmäisen mittauksen komponenteista voima $F_\text{B}$. Vertaa tulosta anturin lukemaan.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kulmien keskiarvo.
Kolmen köyden voimat renkaaseen (esimerkkiaineisto) $F_\text{A}\,(\text{N})$ $F_\text{C}\,(\text{N})$ $F_\text{B}\,(\text{N})$ 3,0 2,5 3,9 4,5 3,8 5,9 6,0 5,1 7,9 Vastaus
$\alpha_\text{ka} = 40{,}1\,{}^\circ \approx 40\,{}^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
rengas on paikallaan; mittaukset $(F_\text{A}, F_\text{C}, F_\text{B})$: $(3{,}0$; $2{,}5$; $3{,}9)\,\text{N}$, $(4{,}5$; $3{,}8$; $5{,}9)\,\text{N}$ ja $(6{,}0$; $5{,}1$; $7{,}9)\,\text{N}$
Kysytty
kulman $\alpha$ keskiarvo $\alpha_\text{ka}$ yksikössä $^\circ$
Periaate
Rengas on levossa. Newtonin toisen lain mukaan siihen vaikuttavien voimien summa on nolla sekä vaaka- että pystysuunnassa. Köysi B on vino. Siksi sen voima jaetaan komponentteihin.
Voimakuvio
Rengas on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa oikealle ja $y$ ylös. Köyden A jännitysvoima $\overline{F}_\text{A}$ osoittaa vasemmalle. Köyden C jännitysvoima $\overline{F}_\text{C}$ osoittaa alas. Köyden B voima $\overline{F}_\text{B}$ lähtee vinosti ylös oikealle kulmassa $\alpha$. Sen komponentit $F_\text{B}\cos\alpha$ ja $F_\text{B}\sin\alpha$ piirretään katkoviivoin. Komponentit ovat yhtä pitkät kuin $F_\text{A}$ ja $F_\text{C}$. Renkaan painoa ei piirretä, koska tehtävässä sitä ei oteta huomioon.
Kuvaajan lukeminen
Taulukosta luetaan kunkin mittauksen voimat $F_\text{A}$ ja $F_\text{C}$. Vertailua varten luetaan myös anturin B lukema.
Kaava
$x$: $F_\text{B}\cos\alpha - F_\text{A} = 0$ ja $y$: $F_\text{B}\sin\alpha - F_\text{C} = 0$, joten
$\alpha$$= \arctan\dfrac{F_\text{C}}{F_\text{A}}$Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja kulma lasketaan asteina. Muunnoksia ei tarvita. Laskimen asteikko on DEG.
Sijoitus
Kulmat ovat
$$\begin{aligned} \alpha_1 &= \arctan\dfrac{2{,}5}{3{,}0} = 39{,}8\,{}^\circ \\ \alpha_2 &= \arctan\dfrac{3{,}8}{4{,}5} = 40{,}2\,{}^\circ \\ \alpha_3 &= \arctan\dfrac{5{,}1}{6{,}0} = 40{,}4\,{}^\circ \end{aligned}$$
Summa on $120{,}4\,{}^\circ$, joten keskiarvo on
$\alpha_\text{ka}$$= 120{,}4\,{}^\circ : 3$$= 40{,}1\,{}^\circ$Tarkistus ensimmäisellä mittauksella:
$F_\text{B}$$= \sqrt{(3{,}0\,\text{N})^2 + (2{,}5\,\text{N})^2}$$= 3{,}9\,\text{N}$Vastaus
a) Voimakuvio ja yhtälöt ovat yllä. b) $\alpha_\text{ka} = 40{,}1\,{}^\circ \approx 40\,{}^\circ$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voimien lukemissa on kaksi numeroa. c) Laskettu $F_\text{B} = 3{,}9\,\text{N}$ on sama kuin anturin lukema.
Järkevyys
Kolme kulmaa eroaa toisistaan enintään $0{,}6\,{}^\circ$. Ne kuvaavat siis samaa kulmaa. Pieni vaihtelu on mittauksen satunnaista vaihtelua. Voimat kasvavat samassa suhteessa, ja suhde $F_\text{C} : F_\text{A}$ pysyy noin $0{,}84$:ssä. Kulma on alle $45\,{}^\circ$, joten $F_\text{A} > F_\text{C}$ kuten taulukossa. Voima $F_\text{B}$ on suurempi kuin kumpikaan komponentti, mutta pienempi kuin niiden summa $5{,}5\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-14
Laatikon massa on $12\,\text{kg}$. Laatikko potkaistaan liikkeelle vaakasuoralla lattialla. Laatikko liukuu oikealle ja hidastuu. Lattian kitkavoima laatikkoon on $30\,\text{N}$ vasemmalle. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Opiskelija ratkaisee kiihtyvyyden näin:
”Laatikko liikkuu oikealle, joten siihen vaikuttaa potkun antama voima $40\,\text{N}$ oikealle. Kokonaisvoima on $40\,\text{N} - 30\,\text{N} = 10\,\text{N}$ oikealle, joten $a = 10\,\text{N} : 12\,\text{kg} \approx 0{,}83\,\text{m/s}^2$ oikealle ja laatikko kiihtyy.”
a) Mikä on opiskelijan virhe? Piirrä laatikon oikea voimakuvio.
b) Laske laatikon kiihtyvyyden suuruus oikein.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kiihtyvyyden suuruus.
Vastaus
$a = 2{,}5\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 12\,\text{kg}$, kitkavoima $F_\mu = 30\,\text{N}$ vasemmalle, laatikko liukuu oikealle ja hidastuu; ilmanvastusta ei ole
Kysytty
a) opiskelijan virhe; b) kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Voimakuvioon kuuluvat vain ne voimat, jotka vaikuttavat kappaleeseen ja joilla on aiheuttaja. Opiskelija piirsi laatikkoon ”potkun voiman”. Potkun jälkeen mikään kappale ei kuitenkaan työnnä laatikkoa oikealle. Lisäksi opiskelija päätteli kiihtyvyyden suunnan liikkeen suunnasta, vaikka laatikko hidastuu. Potkun voima vaikuttaa laatikkoon vain niin kauan kuin jalka koskee siihen. Kun laatikko on irronnut jalasta, sen vaakasuoraan liikkeeseen vaikuttaa vain kitka.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa oikealle ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ ylös, ja ne ovat yhtä pitkät. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa vasemmalle. Oikealle ei piirretä voimaa. Nopeus oikealle ja kiihtyvyys vasemmalle piirretään erikseen kuvion viereen.
Kaava
$x$: $-F_\mu = m a_x$, joten $a_x = -\dfrac{F_\mu}{m}$ ja kiihtyvyyden suuruus on $a = \dfrac{F_\mu}{m}$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja massa kilogrammoina. Tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}^2$.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{30\,\text{N}}{12\,\text{kg}}$$= 2{,}5\,\text{m/s}^2$Vastaus
a) Voimakuvioon on otettu ylimääräinen voima, jolla ei ole aiheuttajaa. b) $a = 2{,}5\,\text{m/s}^2$ vasemmalle eli liikettä vastaan. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska annetuissa arvoissa on kaksi numeroa. Laatikko hidastuu.
Järkevyys
Kokonaisvoima $30\,\text{N}$ osoittaa vasemmalle. Siksi kiihtyvyys osoittaa vasemmalle ja laatikko hidastuu, kuten tehtävässä sanotaan. Opiskelijan tulos, jonka mukaan laatikko kiihtyy, on ristiriidassa tämän kanssa. Kitka on vain noin neljännes laatikon painosta $118\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-15
Opiskelija tutkii kokeellisesti, miten kaksi vinoa voimaa yhdistyvät. Rengas on vaakasuoralla pöydällä. Renkaan paino ja pöydän tukivoima kumoavat toisensa. Opiskelija kiinnittää renkaaseen kolme voima-anturia. Anturit 1 ja 2 vetävät rengasta voimilla $F_1 = 6{,}0\,\text{N}$ ja $F_2 = 8{,}0\,\text{N}$. Voimien suuntien välinen kulma on $\varphi$. Anturi 3 vetää rengasta vastakkaiseen suuntaan kuin voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summa. Rengas pysyy paikallaan. Taulukossa on esimerkkiaineisto kolmesta mittauksesta.
a) Perustele, miksi anturin 3 lukema $F_3$ on yhtä suuri kuin voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan suuruus.
b) Laske voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan suuruus, kun $\varphi = 60\,{}^\circ$. Valitse $x$-akseli voiman $\overline{F}_1$ suuntaan.
c) Vertaa laskettua arvoa mitattuun arvoon. Kerro, mistä pieni ero voi johtua.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) summan suuruus.
Anturin 3 lukema eri kulmilla (esimerkkiaineisto) $\varphi\,({}^\circ)$ $F_3\,(\text{N})$ 30 13,4 60 12,3 90 10,1 Vastaus
$\Sigma F \approx 12\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$F_1 = 6{,}0\,\text{N}$, $F_2 = 8{,}0\,\text{N}$, niiden suuntien välinen kulma $\varphi = 60\,{}^\circ$; taulukosta $F_3 = 12{,}3\,\text{N}$, kun $\varphi = 60\,{}^\circ$
Kysytty
voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$, kun $\varphi = 60\,{}^\circ$
Periaate
a) Rengas on levossa. Newtonin toisen lain mukaan voimien $\overline{F}_1$, $\overline{F}_2$ ja $\overline{F}_3$ summa on nolla. Siksi anturin 3 voima on yhtä suuri kuin voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summa, mutta vastakkaiseen suuntaan. Anturin lukema kertoo siis summan suuruuden. b) Vinojen voimien summa lasketaan komponenteittain.
Voimakuvio
Rengas on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa voiman $\overline{F}_1$ suuntaan. Voima $\overline{F}_1$ lähtee suoraan $x$-akselin suuntaan. Voima $\overline{F}_2$ lähtee $60\,{}^\circ$:n kulmassa ylöspäin. Voima $\overline{F}_3$ lähtee vastakkaiseen suuntaan kuin voimien summa. Komponentit $F_{2x}$ ja $F_{2y}$ piirretään katkoviivoin.
Kuvaajan lukeminen
Taulukosta luetaan rivi $\varphi = 60\,{}^\circ$: $F_3 = 12{,}3\,\text{N}$.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1 + F_2\cos\varphi$ ja $\Sigma F_y = F_2\sin\varphi$, joten $\Sigma F = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja kulma asteina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Ensin komponentit:
$$\begin{aligned} \Sigma F_x &= 6{,}0\,\text{N} + 8{,}0\,\text{N}\cdot\cos 60\,{}^\circ \\ &= 10{,}0\,\text{N} \\ \Sigma F_y &= 8{,}0\,\text{N}\cdot\sin 60\,{}^\circ \\ &= 6{,}93\,\text{N} \end{aligned}$$
Sitten suuruus:
$\Sigma F$$= \sqrt{(10{,}0\,\text{N})^2 + (6{,}93\,\text{N})^2}$$= 12{,}2\,\text{N}$Vastaus
a) Rengas on levossa, joten voima $\overline{F}_3$ kumoaa voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan. b) $\Sigma F \approx 12\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska annetuissa voimissa on kaksi numeroa. c) Mitattu $12{,}3\,\text{N}$ eroaa lasketusta $12{,}2\,\text{N}$:sta noin $0{,}1\,\text{N}$ eli noin yhden prosentin. Ero on mittausepävarmuuden kokoinen. Se voi johtua kulman lukemisen epätarkkuudesta, anturien nollauksesta tai siitä, että rengas ei ole täysin paikallaan.
Järkevyys
Summa $12{,}2\,\text{N}$ on pienempi kuin voimien suuruuksien summa $14{,}0\,\text{N}$. Se on myös suurempi kuin suurempi voima $8{,}0\,\text{N}$. Näin pitääkin olla kulmalla $60\,{}^\circ$. Taulukossa lukema pienenee kulman kasvaessa ($13{,}4\,\text{N}$, $12{,}3\,\text{N}$, $10{,}1\,\text{N}$). Kulmalla $90\,{}^\circ$ summa on $\sqrt{6{,}0^2 + 8{,}0^2}\,\text{N} = 10\,\text{N}$ kuten mittauksessa.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 6-16
Ihmisen massa on $70\,\text{kg}$. Hän seisoo hississä, joka liikkuu ylöspäin mutta hidastaa pysähtyessään. Hidastuvuus on $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Piirrä ihmisen voimakuvio vihkoon. Merkitse nopeus ja kiihtyvyys erikseen sen viereen ennen kuin avaat ratkaisun.
Kuinka suuri on lattian tukivoima?
Vastaus
$580\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 70\,\text{kg}$, hissi liikkuu ylöspäin ja hidastaa, kiihtyvyyden suuruus $1{,}5\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Ylöspäin liikkuva hissi hidastuu. Silloin sen kiihtyvyys osoittaa alas, vaikka nopeus osoittaa ylös. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan eli alas.
Voimakuvio
Ihminen on piirretty suorakulmiona, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös. Tukivoima on lyhyempi. Nopeus $\overline{v}$ ylös (sininen) ja kiihtyvyys $\overline{a}$ alas (oranssi) piirretään kuvion viereen ohuina nuolina. Ne eivät ole voimia. Kiihtyvyyden komponentti on $a_y = -1{,}5\,\text{m/s}^2$.
Kaava
$N - mg = m a_y$, joten $N = m(g + a_y)$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyydet yksikössä $\text{m/s}^2$. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 70\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1{,}5\,\text{m/s}^2)$$= 70\,\text{kg}\cdot 8{,}31\,\text{m/s}^2$$= 581{,}7\,\text{N}$Vastaus
$580\,\text{N}$
Eli $5{,}8\cdot 10^{2}\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $70\,\text{kg}$ ja kiihtyvyys $1{,}5\,\text{m/s}^2$ on annettu kahdella numerolla.
Järkevyys
Paino on noin $690\,\text{N}$. Tukivoima on sitä pienempi, koska kokonaisvoima osoittaa alas. Kun hissi pysähtyy ylhäällä, tunnet itsesi hetken kevyemmäksi. Jos saisit tukivoimaksi painoa suuremman, olisit valinnut kiihtyvyyden suunnan nopeuden mukaan. Se on yleinen virhe.
- Tehtävä 6-17
Curlingkiven massa on $19\,\text{kg}$. Kivi irtoaa heittäjän kädestä nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$. Se liukuu suoraan, kunnes se pysähtyy $20\,\text{s}$ kuluttua. Oletetaan, että kivi hidastuu tasaisesti ja ilmanvastus on merkityksettömän pieni.
Kuinka suuri on jään kitkavoima kiveen liukumisen aikana?
Vastaus
$1{,}9\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 19\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 2{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 0$, aika $\Delta t = 20\,\text{s}$; hidastuminen tasaista
Kysytty
kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kiven vauhti muuttuu tasaisesti. Siksi kiihtyvyys on $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Newtonin toisen lain mukaan liikkeen suuntainen kokonaisvoima on $ma$. Ainoa vaakasuora voima on kitka.
Voimakuvio
Kivi on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas ja jään tukivoima $\overline{N}$ ylös. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole, koska heittäjä ei enää koske kiveen.
Kaava
$a_x = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$ ja $x$: $-F_\mu = m a_x$, joten $F_\mu = \dfrac{m(v_0 - v)}{\Delta t}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, nopeudet yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\mu$$= \dfrac{19\,\text{kg}\cdot(2{,}0\,\text{m/s} - 0)}{20\,\text{s}}$$= 19\,\text{kg}\cdot 0{,}10\,\text{m/s}^2$$= 1{,}9\,\text{N}$Vastaus
$1{,}9\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten massassa, nopeudessa ja ajassa.
Järkevyys
Kiven paino on noin $190\,\text{N}$. Kitka on vain noin prosentti siitä, mikä sopii sileälle jäälle. Kiihtyvyyden komponentti on negatiivinen, koska kivi hidastuu. Kitka osoittaa taaksepäin kuten kuviossa.
- Tehtävä 6-18
Heliumilmapallon massa kumeineen ja kaasuineen on $4{,}0\,\text{g}$. Pallo on noussut huoneen kattoon ja painuu paikallaan sitä vasten. Ilman noste palloon on $0{,}10\,\text{N}$. Naru on irti. Piirrä pallon voimakuvio. Laske, kuinka suurella voimalla katto vaikuttaa palloon.
Vastaus
$0{,}061\,\text{N} \approx 0{,}06\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 4{,}0\,\text{g}$, noste $F_\text{noste} = 0{,}10\,\text{N}$, pallo on paikallaan katossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
katon tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$. Noste on voima, jolla ilma työntää palloa ylöspäin.
Periaate
Pallo on levossa. Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on silloin nolla. Katto koskettaa palloa yläpuolelta. Sen tukivoima on kohtisuorassa kattoa vastaan ja työntää palloa pois katosta eli alas.
Voimakuvio
Pallo on piirretty suorakulmiona, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Noste $\overline{F}_\text{noste}$ osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Katon tukivoima $\overline{N}$ osoittaa myös alas. Nosteen nuoli on yhtä pitkä kuin painon ja tukivoiman nuolet yhteensä. Ilmanvastusta ei ole, koska pallo ei liiku.
Kaava
$F_\text{noste} - mg - N = 0$, joten $N = F_\text{noste} - mg$
Muunnokset
$m$$= 4{,}0\,\text{g}$$= 4{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$$= 0{,}0040\,\text{kg}$Sijoitus
$N$$= 0{,}10\,\text{N} - 0{,}0040\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 0{,}10\,\text{N} - 0{,}03924\,\text{N}$$= 0{,}06076\,\text{N}$Vastaus
$0{,}061\,\text{N} \approx 0{,}06\,\text{N}$
Tukivoima on kahden voiman erotus. Erotuksessa ratkaisee desimaalien määrä. Noste $0{,}10\,\text{N}$ tunnetaan sadasosanewtonin tarkkuudella.
Järkevyys
Noste on suurempi kuin paino $0{,}039\,\text{N}$. Ilman kattoa pallo nousisi. Katto pysäyttää pallon työntämällä alaspäin juuri ylimäärän verran: $0{,}039\,\text{N} + 0{,}061\,\text{N} = 0{,}10\,\text{N}$. Tukivoima osoittaa tässä alas, ei ylös.
- Tehtävä 6-19
Laatikon massa on $25\,\text{kg}$. Laatikkoa vedetään vaakasuoralla lattialla köydellä, joka on $30\,{}^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Köyden jännitysvoima on koko ajan $120\,\text{N}$. Laatikko lähtee levosta, ja liikeanturi mittaa sen nopeuden. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksesta. Köyden massaa ja ilmanvastusta ei oteta huomioon.
a) Piirrä laatikon voimakuvio. Kirjoita liikeyhtälöt $x$- ja $y$-suunnassa.
b) Määritä laatikon kiihtyvyys taulukon nopeuksista.
c) Laske lattian kitkavoima laatikkoon.
d) Laske lattian tukivoima. Selitä, miksi se on painoa pienempi.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan c) kitkavoima.
Laatikon nopeus köyden vetäessä (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $v\,(\text{m/s})$ 0,0 0,00 1,0 0,78 2,0 1,63 3,0 2,38 4,0 3,22 5,0 4,01 Vastaus
$F_\mu \approx 84\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 25\,\text{kg}$, $T = 120\,\text{N}$, $\alpha = 30\,{}^\circ$, laatikko lähtee levosta; taulukosta $v = 0$ hetkellä $t = 0$ ja $v = 4{,}01\,\text{m/s}$ hetkellä $t = 5{,}0\,\text{s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$ ja tukivoima $N$
Periaate
Laatikko kiihtyy vaakasuunnassa. Pystysuunnassa se ei liiku. Kiihtyvyys saadaan nopeuden muutoksesta (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Newtonin toinen laki kirjoitetaan komponenteittain. Vaakasuunnassa kokonaisvoima on $ma$. Pystysuunnassa se on nolla.
Voimakuvio
Laatikko on piirretty suorakulmiona. Akseli $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Lattian tukivoima $\overline{N}$ osoittaa ylös, ja se on painoa lyhyempi. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa vinosti ylös eteenpäin. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ osoittaa taaksepäin. Komponentit $T_x$ ja $T_y$ piirretään katkoviivoin. Kiihtyvyys eteenpäin piirretään erikseen. Sitä ei piirretä voimaksi.
Kuvaajan lukeminen
Nopeus kasvaa suunnilleen yhtä paljon joka sekunti. Peräkkäisten sekuntien muutokset ovat $0{,}78$, $0{,}85$, $0{,}75$, $0{,}84$ ja $0{,}79\,\text{m/s}$. Kiihtyvyys on siis likimain vakio. Se saadaan koko aikavälin muutoksesta
$\Delta v$$= 4{,}01\,\text{m/s} - 0$$= 4{,}01\,\text{m/s}$$\Delta t = 5{,}0\,\text{s}$.
Kaava
$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, $x$: $T\cos\alpha - F_\mu = ma$ ja $y$: $N + T\sin\alpha - mg = 0$, joten $F_\mu = T\cos\alpha - ma$ ja $N = mg - T\sin\alpha$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Lisäksi $\text{N} / \text{kg} = \text{m/s}^2$.
Sijoitus
Kiihtyvyys on
$a$$= \dfrac{4{,}01\,\text{m/s}}{5{,}0\,\text{s}}$$= 0{,}802\,\text{m/s}^2$Kitkavoima:
$$\begin{aligned} F_\mu &= 120\,\text{N}\cdot\cos 30\,{}^\circ \\ &\quad - 25\,\text{kg}\cdot 0{,}802\,\text{m/s}^2 \\ &= 103{,}9\,\text{N} - 20{,}05\,\text{N} \\ &= 83{,}9\,\text{N} \end{aligned}$$
Tukivoima:
$$\begin{aligned} N &= 25\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad - 120\,\text{N}\cdot\sin 30\,{}^\circ \\ &= 245{,}25\,\text{N} - 60\,\text{N} \\ &= 185\,\text{N} \end{aligned}$$
Vastaus
a) Voimakuvio ja yhtälöt ovat yllä. b) $a \approx 0{,}80\,\text{m/s}^2$. c) $F_\mu \approx 84\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massassa ja kulmassa on kaksi numeroa. d) $N \approx 185\,\text{N} \approx 1{,}9\cdot 10^2\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja kulmassa. Tukivoima on painoa $245\,\text{N}$ pienempi. Syy on, että köyden pystykomponentti $T\sin\alpha = 60\,\text{N}$ kannattelee osan painosta. Lattian tarvitsee tukea vain loppuosa: $N + T\sin\alpha = mg$.
Järkevyys
Köyden vaakakomponentti $104\,\text{N}$ on suurempi kuin kitka $84\,\text{N}$. Siksi kokonaisvoima $20\,\text{N}$ osoittaa eteenpäin ja laatikko kiihtyy, kuten taulukko näyttää. Kokonaisvoima $ma = 20\,\text{N}$ on noin viidennes vaakakomponentista. Tarkistus pystysuunnassa:
$185\,\text{N} + 60\,\text{N}$$= 245\,\text{N}$$= mg$ - Tehtävä 6-20
Nosturi nostaa levosta kuorman suoraan ylös ja pysäyttää sen ylhäällä. Kuorman massa on $80\,\text{kg}$. Nosto kestää $8{,}0\,\text{s}$, ja siinä on kolme vaihetta. Ensimmäisessä vaiheessa kuorma kiihtyy hetkien $0{,}0\,\text{s}$ ja $2{,}0\,\text{s}$ välillä. Toisessa vaiheessa kuorma liikkuu tasaisella nopeudella hetkien $2{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ välillä. Kolmannessa vaiheessa kuorma hidastuu pysähtymiseen hetkien $6{,}0\,\text{s}$ ja $8{,}0\,\text{s}$ välillä. Kiihtyvyys on kussakin vaiheessa likimain vakio. Voima-anturi mittaa köyden voiman kuormaan. Taulukossa on esimerkkiaineisto lukemista. Köyden massaa ja ilmanvastusta ei oteta huomioon.
a) Piirrä kuorman voimakuvio ensimmäisessä vaiheessa. Kirjoita liikeyhtälö.
b) Laske kuorman kiihtyvyys kussakin vaiheessa. Käytä vaiheen lukemien keskiarvoa.
c) Selitä, miksi köyden voima on kolmannessa vaiheessa painoa pienempi, vaikka kuorma liikkuu ylöspäin.
d) Kuinka korkealle kuorma nostetaan?
Vastauslaatikkoon tulee kohdan d) nostokorkeus.
Köyden voima kuormaan (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $T\,(\text{N})$ 0,5 881 1,0 878 1,5 883 3,0 786 4,0 783 5,0 785 6,5 691 7,0 688 7,5 690 Vastaus
$h \approx 14{,}4\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 80\,\text{kg}$, kuorma lähtee levosta ja pysähtyy; vaiheet $0$–$2{,}0\,\text{s}$, $2{,}0$–$6{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0$–$8{,}0\,\text{s}$; köyden voima taulukosta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
nostokorkeus $h$ yksikössä $\text{m}$ sekä kiihtyvyys kussakin vaiheessa
Periaate
Kuormaan vaikuttavat paino ja köyden jännitysvoima. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyys saadaan voimien erotuksesta. Kiihtyvyyden suunta on kokonaisvoiman suunta. Se on ylös, kun köyden voima on painoa suurempi, ja alas, kun köyden voima on painoa pienempi. Kun kiihtyvyys tunnetaan, korkeus saadaan liikkeen vaiheiden matkoista (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).
Voimakuvio
Ensimmäisessä vaiheessa kuorma on piirretty suorakulmiona, ja akseli $y$ osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ osoittaa alas. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa ylös, ja se on painoa pidempi. Nopeus ylös ja kiihtyvyys ylös piirretään erikseen kuvion viereen. Niitä ei piirretä voimiksi. Toisessa vaiheessa nuolet ovat yhtä pitkät. Kolmannessa vaiheessa jännitysvoima on painoa lyhyempi.
Kuvaajan lukeminen
Taulukon lukemat jaetaan vaiheisiin hetkien $2{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ mukaan. Vaiheen 1 lukemien summa on $881\,\text{N} + 878\,\text{N} + 883\,\text{N} = 2642\,\text{N}$, joten keskiarvo on $880{,}7\,\text{N}$. Vaiheessa 2 summa on $2354\,\text{N}$ ja keskiarvo $784{,}7\,\text{N}$. Vaiheessa 3 summa on $2069\,\text{N}$ ja keskiarvo $689{,}7\,\text{N}$.
Kaava
$T - mg = m a_y$, joten $a_y = \dfrac{T - mg}{m}$. Suurin nopeus on $v_\text{max} = a_1 \Delta t_1$. Matkat ovat $h_1 = \tfrac12 a_1 \Delta t_1^2$, $h_2 = v_\text{max}\,\Delta t_2$ ja $h_3 = \tfrac12 v_\text{max}\,\Delta t_3$, koska kolmannessa vaiheessa nopeus pienenee tasaisesti nollaan. Korkeus on $h = h_1 + h_2 + h_3$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina, massa kilogrammoina ja ajat sekunteina. Muunnoksia ei tarvita. Paino on
$mg$$= 80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 784{,}8\,\text{N}$Sijoitus
Kiihtyvyydet:
$$\begin{aligned} a_1 &= \frac{880{,}7 - 784{,}8}{80}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &= 1{,}20\,\text{m/s}^2 \\ a_2 &= \frac{784{,}7 - 784{,}8}{80}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &\approx 0 \\ a_3 &= \frac{689{,}7 - 784{,}8}{80}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &= -1{,}19\,\text{m/s}^2 \end{aligned}$$
Suurin nopeus on
$v_\text{max}$$= 1{,}198\,\text{m/s}^2\cdot 2{,}0\,\text{s}$$= 2{,}397\,\text{m/s}$Matkat:
$$\begin{aligned} h_1 &= \tfrac12\cdot 1{,}198\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot (2{,}0\,\text{s})^2 \\ &= 2{,}40\,\text{m} \\ h_2 &= 2{,}397\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 4{,}0\,\text{s} \\ &= 9{,}59\,\text{m} \\ h_3 &= \tfrac12\cdot 2{,}397\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2{,}0\,\text{s} \\ &= 2{,}40\,\text{m} \end{aligned}$$
Korkeus on
$h$$= 2{,}40\,\text{m} + 9{,}59\,\text{m} + 2{,}40\,\text{m}$$= 14{,}38\,\text{m}$Vastaus
a) Voimakuvio ja yhtälö ovat yllä. b) $a_1 \approx 1{,}2\,\text{m/s}^2$ ylös, $a_2 \approx 0$ ja $a_3 \approx -1{,}2\,\text{m/s}^2$ eli kiihtyvyys alas. c) Kolmannessa vaiheessa kokonaisvoima osoittaa alas. Siksi köyden voima on painoa pienempi, vaikka nopeus osoittaa ylös. Kuorma hidastuu. Kiihtyvyyden suunta on kokonaisvoiman suunta. Se ei ole liikkeen suunta. d) $h \approx 14{,}4\,\text{m}$. Kahdella merkitsevällä numerolla se on $14\,\text{m}$ kuten massa $80\,\text{kg}$. Vastauslaatikkoon käy tarkempi arvo $14{,}4\,\text{m}$.
Järkevyys
Tasaisessa vaiheessa köyden voima $785\,\text{N}$ on sama kuin paino $785\,\text{N}$, kuten pitää. Nopeuden muutokset kumoavat toisensa. Vaiheessa 3 nopeus pienenee $1{,}19\,\text{m/s}^2\cdot 2{,}0\,\text{s} = 2{,}38\,\text{m/s}$. Se on lähes koko nopeus $2{,}40\,\text{m/s}$, joten nosto päättyy levossa kuten tehtävässä. Korkeus on myös suurimman nopeuden ja ajan tulo. Kiihdytys- ja hidastusvaihe kattavat yhdessä saman matkan kuin tasainen nopeus ajassa $2{,}0\,\text{s}$. Siksi
$h$$= v_\text{max}\cdot 6{,}0\,\text{s}$$= 2{,}397\,\text{m/s}\cdot 6{,}0\,\text{s}$$= 14{,}4\,\text{m}$