Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
Miksi pulkka voi painaa alustaansa eri tavalla, kun sitä vedetään narusta vinosti ylöspäin, kuin silloin, kun se vain seisoo paikallaan?
Pohjatiedot
- Newtonin toinen laki $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$ luvusta Newtonin toinen laki
- Suorakulmaisen kolmion sini ja kosini
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Kaksi lasta liikuttaa pulkkaa jäällä vuorotellen. Toinen vetää lyhyestä narusta vinosti ylöspäin, toinen työntää pulkkaa takaa kahvasta, joka osoittaa vinosti alaspäin. Molemmat käyttävät yhtä suurta voimaa. Jäällä kitka on pieni, mutta pulkan jalakset painavat jäätä vasten eri tavalla.
Mitkä voimat pulkkaan vaikuttavat kummassakin tapauksessa, ja painaako pulkka jäätä yhtä suurella voimalla kuin seistessään paikallaan?
Valinnainen Kertaa: liukuva kiekko
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: tukivoima vinossa vedossa
Ennuste 2: kulma ja kiihtyvyys
Tutki
Simulaatiossa pulkkaa vedetään narulla tai työnnetään kahvasta jäällä. Vasemmalla on tilannekuva ja oikealla pulkan voimakuvio, jonka nuolten pituudet ovat mittakaavassa.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Tilanne (veto tai työntö) ja säädä voimaa $F$ ja kulmaa $\alpha$. Voimakuvio päivittyy heti. Paina Käynnistä, niin pulkka lähtee liikkeelle, ja Alusta, niin se pysähtyy alkuun. Ruutu Näytä voiman F komponentit näyttää voiman $F$ komponentit katkoviivoin. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa liikettä muuttamatta lukemia. Lukemat ovat kuvan alla.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Jää on vaakasuora ja kitka jätetään huomiotta, joten pulkkaan vaikuttavat vain paino $\overline{G}$, jään tukivoima $\overline{N}$ ja narun tai kahvan voima $\overline{F}$. Narun voima on narun jännitysvoima, jota merkitään yleensä $\overline{T}$; tässä sitä ja kahvan työntövoimaa merkitään samalla symbolilla $\overline{F}$, koska simulaatio vaihtaa vedon ja työnnön. Voima on niin pieni, ettei pulkka nouse jäästä. Ilmanvastusta ei ole. Nopeuden sininen nuoli on tilannekuvassa, ei voimakuviossa, koska nopeus ei ole voima.
Laskennan selitys
Voiman komponentit ovat $F_x = F\cos\alpha$ ja $F_y = F\sin\alpha$. Vedossa $F_y$ osoittaa ylös, työnnössä alas. Pystysuunnassa pulkka ei kiihdy, joten $N + F_y - G = 0$ vedossa ja $N - F_y - G = 0$ työnnössä, ja $G = mg$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Vaakasuunnassa $F_x = ma$, joten $a = \dfrac{F\cos\alpha}{m}$.
Koe 1: vetokulma muuttuu
Testaa ennusteet. Alkutila valitsee vedon, voiman $F = 100\,\text{N}$ ja massan $20\,\text{kg}$, jolloin pulkan paino on $196\,\text{N}$. Muuta vain kulmaa $\alpha$. Kirjaa mittaus ainakin kulmilla $0^\circ$, $30^\circ$ ja $60^\circ$, ja katso joka kerta, miten voimakuvion nuolet muuttuvat.
Alkutila: tilanne: veto narulla, voima $F$ = $100\,\text{N}$, massa $m$ = $20\,\text{kg}$, kulma $\alpha$ = $0^\circ$. Vakiona: tilanne, voima $F$, massa $m$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $N$ $(\text{N})$ | $F_x$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Kulmalla $30^\circ$ tukivoima on pienempi kuin paino $196\,\text{N}$. Kuinka suuri on narun voiman pystykomponentti $F_y$ silloin? Laske se taulukon tukivoimasta ja painosta. Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Pulkka ei kiihdy pystysuunnassa, joten pystysuuntaisten voimien summa on nolla.
Vihje 2: mikä yhteys
Ylös vaikuttavat $N$ ja $F_y$, alas $G$: $N + F_y - G = 0$.
Vihje 3: välivaihe
$F_y = G - N = 196\,\text{N} - N$, missä $N$ on taulukon rivin $30^\circ$ tukivoima.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta kulmalla $\alpha = 30^\circ$ tukivoima $N = 146\,\text{N}$; paino $G = 196\,\text{N}$ ($m = 20\,\text{kg}$); voima $F = 100\,\text{N}$
Kysytty
narun voiman pystykomponentti $F_y$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Pulkka pysyy jään pinnalla, joten se ei kiihdy pystysuunnassa. Newtonin toisen lain mukaan pystysuuntaisten voimien summa on silloin nolla.
Voimakuvio
Pulkka suorakulmiona, $y$-akseli ylös. Ylös vaikuttavat tukivoima $N$ ja narun voiman pystykomponentti $F_y$, alas paino $G$. Vaakakomponentti $F_x$ osoittaa liikkeen suuntaan, mutta se ei vaikuta pystysuuntaiseen yhtälöön.
Kaava
$N + F_y - G = 0$, joten $F_y = G - N$
Muunnokset
Kaikki voimat ovat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$50\,\text{N}$
Kokonaisina newtoneina, kuten lukemat. Lukemat $196\,\text{N}$ ja $146\,\text{N}$ on pyöristetty kokonaisiksi newtoneiksi, joten niiden erotus on luotettava noin yhden newtonin tarkkuudella. Erotuksessa ratkaisee desimaalien määrä, ei merkitsevien numeroiden määrä.
Järkevyys
Trigonometrialla
sama tulos. Pystykomponentti on pienempi kuin voima $100\,\text{N}$, kuten komponentin pitää olla.
Valinnainen Koe 2: työntö kahvasta
Vaihda vetäminen työntämiseen. Alkutila valitsee työnnön, voiman $F = 100\,\text{N}$ ja massan $20\,\text{kg}$. Muuta kulmaa ja kirjaa tukivoima ainakin kahdella kulmalla.
Alkutila: tilanne: työntö kahvasta, voima $F$ = $100\,\text{N}$, massa $m$ = $20\,\text{kg}$, kulma $\alpha$ = $0^\circ$. Vakiona: tilanne, voima $F$, massa $m$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $N$ $(\text{N})$ | $a$ $(\text{m/s}^2)$ |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi ja voimakuvion avulla, miksi tukivoima ja kiihtyvyys pienenevät, kun vetokulma kasvaa ja voima pysyy samana.
Mallivastaus
Narun voima $F = 100\,\text{N}$ jakautuu komponentteihin $F_x = F\cos\alpha$ ja $F_y = F\sin\alpha$. Kun kulma kasvaa, pystykomponentti kasvaa ja kannattelee suuremman osan painosta, joten jään tukivoima $N = G - F\sin\alpha$ pienenee: mallin arvoissa $196\,\text{N}$ vaakasuoralla vedolla ja $146\,\text{N}$ kulmalla $30^\circ$. Samalla vaakakomponentti pienenee, ja koska kitkaa ei ole, vain se kiihdyttää pulkkaa: $a = \dfrac{F\cos\alpha}{m}$ on $5{,}0\,\text{m/s}^2$ kulmalla $0^\circ$ ja $2{,}5\,\text{m/s}^2$ kulmalla $60^\circ$. Voima ei siis vaikuta vain suuruudellaan vaan myös suunnallaan.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Valinnainen Mittaus jousivaa'alla
Keksitty esimerkkiaineisto
Opiskelija vetää puupalikkaa pöydällä jousivaa'alla, jonka naru on $30^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Palikan massa on $0{,}60\,\text{kg}$. Kun palikka liikkuu tasaisella nopeudella, vaaka näyttää viidellä vedolla lukemat $2{,}1\,\text{N}$, $1{,}9\,\text{N}$, $2{,}0\,\text{N}$, $2{,}0\,\text{N}$ ja $2{,}0\,\text{N}$, keskimäärin $2{,}0\,\text{N}$. Piirrä palikan voimakuvio vihkoon ennen kuin vastaat.
Kuinka suuri on pöydän tukivoima palikkaan, kun vaa'an voima on $2{,}0\,\text{N}$? Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä voimakuvio: paino, tukivoima, kitka ja vaa'an voima. Mitkä niistä ovat pystysuoria tai niillä on pystykomponentti?
Vihje 2: mikä yhteys
Palikka ei kiihdy pystysuunnassa: $N + F\sin\alpha - mg = 0$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}60\,\text{kg}$, vaa'an voima $F = 2{,}0\,\text{N}$ (viiden lukeman keskiarvo), kulma $\alpha = 30^\circ$; palikka liikkuu tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pöydän tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Palikka liikkuu tasaisesti ja pysyy pöydällä, joten sen kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla kummassakin suunnassa; tukivoiman antaa pystysuunta.
Voimakuvio
Palikka suorakulmiona, $x$ liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas, tukivoima $\overline{N}$ ylös, kitka $\overline{F}_\mu$ taaksepäin ja vaa'an voima $\overline{F}$ vinosti ylös eteenpäin. Pystysuunnassa ovat $N$, $F\sin\alpha$ ja $G$.
Kaava
$N + F\sin\alpha - mg = 0$, joten $N = mg - F\sin\alpha$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$4{,}9\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}60\,\text{kg}$ ja voimassa $2{,}0\,\text{N}$.
Järkevyys
Tukivoima on vähän pienempi kuin paino $5{,}9\,\text{N}$, koska naru nostaa palikkaa $1{,}0\,\text{N}$:n voimalla. Vaakasuunnasta kitka on $F\cos\alpha \approx 1{,}7\,\text{N}$, pienempi kuin vaa'an voima, kuten vinossa vedossa pitääkin.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kappaleeseen vaikuttaa yleensä monta voimaa yhtä aikaa. Maa vetää sitä alaspäin, alusta tukee, naru vetää ja pinta jarruttaa. Jokainen voima kertoo yhdestä vuorovaikutuksesta kappaleen ja jonkin toisen kappaleen välillä. Liikkeen ratkaisee näiden voimien yhteisvaikutus eli kokonaisvoima $\Sigma\overline{F}$, joka on voimien vektorisumma. Luvussa Newtonin toinen laki opit, että kokonaisvoima määrää kiihtyvyyden: $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$.
Jotta kaikki voimat tulevat mukaan eikä mitään ylimääräistä eksy laskuun, voimat piirretään ensin voimakuvioon. Se on eri kuva kuin tilannekuva. Tilannekuvassa näkyy koko tilanne: alusta, naru, vetäjä ja liikkeen suunta. Voimakuviossa on vain valittu kappale pelkistettynä suorakulmiona ja siihen vaikuttavat voimat nuolina. Nuolen suunta on voiman suunta, ja nuolten pituudet kertovat, mikä voima on suurempi.
Kuvan laatikkoa vedetään narulla vinosti ylöspäin. Narun voima osoittaa sekä eteenpäin että ylöspäin. Ylöspäin osoittava osa kannattelee laatikkoa, joten lattian ei tarvitse tukea sitä yhtä paljon kuin paikallaan seistessä. Siksi tukivoima $N$ on pienempi kuin paino $G$. Nopeutta ei piirretä voimakuvioon, koska nopeus ei ole voima.
Voimakuvion piirtäminen
Voimakuvio piirretään aina samoilla kahdeksalla vaiheella. Ne kannattaa käydä läpi joka kerta, myös silloin, kun tilanne näyttää helpolta.
- Valitse kappale. Päätä, minkä kappaleen voimat piirrät. Voimakuvioon tulevat vain voimat, jotka vaikuttavat tähän kappaleeseen. Voimat, joilla kappale itse vaikuttaa muihin, eivät kuulu siihen.
- Etsi vuorovaikutukset. Luettele kaikki, mikä vaikuttaa kappaleeseen: Maa (paino), jokainen pinta, jota kappale koskettaa (tukivoima ja kitka), jokainen naru (jännitysvoima), työntö tai veto sekä ilma tai vesi (vastus ja noste). Jokaisella voimalla on aiheuttaja kappaleen ulkopuolella. Pelkkä liike ei aiheuta voimaa.
- Piirrä kappale ja voimat. Piirrä kappale pelkistettynä suorakulmiona. Piirrä kullekin voimalle yksi nuoli, joka lähtee voiman vaikutuskohdasta. Työntävän voiman nuoli voi myös päättyä vaikutuskohtaan.
- Paino $\overline{G}$ osoittaa suoraan alas.
- Tukivoima $\overline{N}$ on kohtisuorassa kosketuspintaa vastaan ja työntää kappaletta poispäin pinnasta. Se ei aina osoita ylös: katto työntää alas ja seinä sivulle.
- Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ on kosketuspinnan suuntainen. Sen suunta tulee siitä, mihin suuntaan kappale liukuu tai pyrkii liukumaan pinnan suhteen. Se ei aina ole nopeutta vastaan. Kitkan nuoli alkaa kosketuspinnan kulmasta kappaleen ulkopuolelle tai päättyy siihen. Sitä ei piirretä kappaleen sivua pitkin sivun keskeltä.
- Jännitysvoima $\overline{T}$ vaikuttaa narun suuntaisesti ja vetää kappaletta narua kohti.
- Ilmanvastus piirretään vain, kun tilanne ja sen oletukset sitä vaativat.
- Nimeä voimat. Anna jokaiselle voimalle oma tunnus. Kaksi samanlaista voimaa erotetaan indekseillä, esimerkiksi $\overline{T}_1$ ja $\overline{T}_2$.
- Mieti suuruudet. Levossa ja tasaisessa liikkeessä kokonaisvoima on nolla, joten nuolet kumoavat toisensa. Kiihtyvässä liikkeessä kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan, joka ei aina ole nopeuden suunta. Älä keksi tarkkoja pituuksia, jos tiedot eivät niitä määrää.
- Vain voimat. Nopeus, kiihtyvyys ja siirtymä eivät ole voimia. Jos niitä tarvitaan, ne piirretään kappaleen viereen ohuina nuolina ja eri värein: tässä kurssissa voimat ovat punaisia, nopeus sininen ja kiihtyvyys oranssi. Kokonaisvoima ei ole yksi voima lisää.
- Komponentit eivät ole uusia voimia. Kun voima jaetaan komponentteihin, komponentit yhdessä korvaavat voiman laskussa. Ne piirretään katkoviivalla, jotta niitä ei sekoiteta voimiin.
- Liikeyhtälö. Vasta nyt valitaan akselit ja kirjoitetaan Newtonin toinen laki komponenteittain kuvion voimista ja etumerkeistä.
Kuvassa on neljä tilannetta, joissa voimien suunnat yllättävät usein. Rinteellä tukivoima on kohtisuorassa rinnettä vastaan eikä pystysuora, ja kitka pitää laatikkoa paikallaan rinteen suuntaisesti. Kattoa vasten painuvaan heliumpalloon katto vaikuttaa alaspäin.
Voimakuviossa kappale on aina pelkistetty suorakulmio, ja jokainen voima lähtee vaikutuskohdastaan: paino keskipisteestä, tukivoima ja kitka kosketuspinnasta ja jännitysvoima narun kiinnityskohdasta. Työntävän voiman nuoli voi myös päättyä kohtaan, johon työntö kohdistuu. Tilannekuvassa kappaleet piirretään sellaisina kuin ne näyttävät, mutta voimakuvioon piirretään vain suorakulmio ja voimat.
Ylioppilaskokeiden arviointiohjeissa voimakuviolle on annettu tehtäväkohtaiset pisteet. Esimerkiksi kevään 2025 heliumpallotehtävässä puuttuva, ylimääräinen tai väärään suuntaan piirretty voima vei kaikki voimakuvion pisteet, ja nopeuden tai kiihtyvyyden piirtäminen pallon voimaksi samoin. Syksyn 2025 kokeessa puuttuvasta nimestä vähennettiin piste. Tarkka pisteytys vaihtelee tehtävästä toiseen, mutta joka kokeessa vaaditaan samaa: kaikki voimat, ei keksittyjä voimia, oikeat suunnat ja yksiselitteiset nimet.
Liikeyhtälö komponenteittain
Newtonin toinen laki koskee kokonaisvoimaa:
$$\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$$
missä $\Sigma\overline{F}$ on kappaleeseen vaikuttavien voimien vektorisumma (N), $m$ kappaleen massa (kg) ja $\overline{a}$ sen kiihtyvyys (m/s²). Kun voimat eivät ole samalla suoralla, valitaan kaksi kohtisuoraa akselia ja kirjoitetaan laki kummankin akselin suuntaan erikseen:
$$\begin{aligned} \Sigma F_x &= m a_x \\ \Sigma F_y &= m a_y \end{aligned}$$
missä $\Sigma F_x$ ja $\Sigma F_y$ ovat voimien komponenttien summat (N) ja $a_x$ ja $a_y$ kiihtyvyyden komponentit (m/s²). Akselin suuntaan osoittava komponentti on positiivinen ja vastakkainen negatiivinen. Akselit kannattaa valita niin, että toinen osoittaa kiihtyvyyden suuntaan.
Vinon voiman $F$ komponentit saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, kun $\alpha$ on voiman ja $x$-akselin välinen kulma:
$$\begin{aligned} F_x &= F\cos\alpha \\ F_y &= F\sin\alpha \end{aligned}$$
missä $F$ on voiman suuruus (N), $F_x$ ja $F_y$ sen komponentit (N) ja $\alpha$ kulma. Komponentit eivät ole uusia voimia, vaan ne korvaavat voiman $F$ laskussa.
Yleinen virhekäsitys
Liikkuvaan kappaleeseen ei tarvitse vaikuttaa voimaa liikkeen suuntaan. Liukuvaan laatikkoon vaikuttavat vain paino, tukivoima ja kitka, eikä "liikkeen voimaa" ole: ei ole mitään kappaletta, joka sitä aiheuttaisi. Toinen yleinen virhe on pitää tukivoimaa aina yhtä suurena kuin paino. Tukivoima on juuri niin suuri, kuin tilanne vaatii: vinossa vedossa se on painoa pienempi, vinossa työnnössä suurempi ja ylöspäin kiihtyvässä hississä suurempi. Kolmas virhe on piirtää komponentit voimiksi voiman lisäksi, jolloin sama voima tulee laskuun kahteen kertaan.
Tiivistelmä
- Voimakuviossa on vain valittu kappale suorakulmiona ja siihen vaikuttavat voimat. Tilannekuva ja voimakuvio ovat eri kuvia.
- Jokaisella voimalla on aiheuttaja: Maa, pinta, naru, työntäjä tai ilma. Nopeus ja kiihtyvyys eivät ole voimia, ja ne piirretään eri värein kuin voimat.
- Tukivoima on kohtisuorassa pintaa vastaan, kitka pinnan suuntainen ja jännitysvoima narun suuntainen.
- Kokonaisvoima on voimien vektorisumma, ja $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$ kirjoitetaan komponenteittain: $\Sigma F_x = m a_x$ ja $\Sigma F_y = m a_y$.
- Vinon voiman komponentit ovat $F\cos\alpha$ ja $F\sin\alpha$. Ne korvaavat voiman laskussa eivätkä ole uusia voimia.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin. Mitä opit tukivoiman suuruudesta ja voiman suunnan merkityksestä? Palaa myös alun pulkkaan: miten jään tukivoima eroaa vedossa ja työnnössä, ja miksi?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Pulkkaa, jonka massa on $12\,\text{kg}$, vedetään vaakasuoralla lumella narulla, joka on $35^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Narun jännitysvoima on $80\,\text{N}$ ja lumen kitkavoima $30\,\text{N}$. Kuinka suuri on pulkan kiihtyvyys, ja kuinka suuri on lumen tukivoima?
Vaihe 1/8
Tunnetut ja kysytty. $m = 12\,\text{kg}$, $T = 80\,\text{N}$, $\alpha = 35^\circ$, $F_\mu = 30\,\text{N}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kysytään kiihtyvyyttä $a$ ja tukivoimaa $N$.
Vaihe 2/8
Periaate. Valitaan kappaleeksi pulkka. Siihen vaikuttavat Maa (paino), lumi (tukivoima ja kitka) ja naru (jännitysvoima). Newtonin toinen laki kirjoitetaan kahteen suuntaan: vaakasuunnassa pulkka kiihtyy, pystysuunnassa se pysyy lumen pinnalla, joten $a_y = 0$.
Vaihe 3/8
Voimakuvio. Pulkka piirretään suorakulmiona, ja voimat lähtevät vaikutuskohdistaan. Akselit valitaan niin, että $x$ osoittaa liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Narun voima jaetaan komponentteihin $T_x = T\cos\alpha$ ja $T_y = T\sin\alpha$, jotka on piirretty katkoviivalla.
Vaihe 4/8
Kaava ratkaistuna. Kuviosta luetaan liikeyhtälöt ja ratkaistaan kysytyt suureet:
$$\begin{aligned} &x\text{:}\ \ T\cos\alpha - F_\mu = m a \\ &y\text{:}\ \ N + T\sin\alpha - mg = 0 \\ &a = \frac{T\cos\alpha - F_\mu}{m} \\ &N = mg - T\sin\alpha \end{aligned}$$
Vaihe 5/8
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
Vaihe 6/8
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} a &= \frac{T\cos\alpha - F_\mu}{m} \\ \phantom{a} &= \frac{80\,\text{N}\cdot\cos 35^\circ - 30\,\text{N}}{12\,\text{kg}} \\ \phantom{a} &\approx 2{,}96\,\text{m/s}^2 \\[4pt] N &= mg - T\sin\alpha \\ \phantom{N} &= 12\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad\ - 80\,\text{N}\cdot\sin 35^\circ \\ \phantom{N} &\approx 71{,}8\,\text{N} \end{aligned}$$
Vaihe 7/8
Tulos. Kiihtyvyys on $a \approx 3{,}0\,\text{m/s}^2$ ja tukivoima $N \approx 72\,\text{N}$, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten lähtötiedot $80\,\text{N}$, $30\,\text{N}$ ja $12\,\text{kg}$.
Vaihe 8/8
Järkevyys. Pulkan paino on $mg \approx 118\,\text{N}$. Tukivoima $72\,\text{N}$ on sitä pienempi, koska narun pystykomponentti $T_y \approx 46\,\text{N}$ kannattelee osan painosta, ja $72\,\text{N} + 46\,\text{N} \approx 118\,\text{N}$. Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $65{,}5\,\text{N} : 12\,\text{kg} \approx 5{,}5\,\text{m/s}^2$, joten kitka pienentää sitä, kuten pitääkin.
Etsi virhe
Valitse oikea voimakuvio
Sovella uuteen tilanteeseen
Kalastaja nostaa $2{,}0\,\text{kg}$:n kalaa siimalla suoraan ylöspäin niin, että kala kiihtyy ylöspäin $1{,}5\,\text{m/s}^2$:n kiihtyvyydellä. Kuinka suuri on siiman jännitysvoima? Ilmanvastus jätetään huomiotta. Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä kalan voimakuvio. Mitkä kaksi voimaa kalaan vaikuttavat, ja kumpi on suurempi, kun kala kiihtyy ylös?
Vihje 2: mikä yhteys
Valitse $y$-akseli ylös. Liikeyhtälö on $T - mg = ma$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 2{,}0\,\text{kg}$, kiihtyvyys ylöspäin $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
siiman jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kala kiihtyy, joten siihen vaikuttavien voimien summa ei ole nolla. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on $ma$ kiihtyvyyden suuntaan eli ylöspäin.
Voimakuvio
Kala suorakulmiona, $y$-akseli ylös. Siiman jännitysvoima $\overline{T}$ ylös ja paino $\overline{G}$ alas. $\overline{T}$ on pidempi, koska kokonaisvoima osoittaa ylös. Kiihtyvyys piirretään erikseen, ei voimaksi.
Kaava
$T - mg = ma$, joten $T = m(g + a)$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyydet yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$23\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}0\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $1{,}5\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Kalan paino on noin $20\,\text{N}$. Kiihtyvä nosto vaatii enemmän, ja $23\,\text{N}$ on vähän suurempi. Ylimäärä $3\,\text{N}$ on $ma = 2{,}0\,\text{kg}\cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2$. Jos kala laskettaisiin alas samalla kiihtyvyydellä, siima tarvitsisi vain $m(g - a) \approx 17\,\text{N}$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Pallo on heitetty suoraan ylös, ja se on juuri ratansa korkeimmassa kohdassa. Mitkä voimat palloon vaikuttavat, kun ilmanvastus jätetään huomiotta?
Vastaus
Vain paino $\overline{G}$, joka osoittaa alas. Heittäjän käsi ei enää koske palloon, joten ylöspäin vievää voimaa ei ole. Korkeimmassa kohdassa nopeus on hetken nolla, mutta kiihtyvyys on silloinkin $g$ alaspäin.
- Miksi voiman komponentit piirretään voimakuvioon katkoviivalla, ja mitä tapahtuu, jos laskussa käytetään sekä voimaa että sen komponentteja?
Vastaus
Komponentit eivät ole uusia voimia, vaan ne yhdessä korvaavat voiman. Katkoviiva erottaa ne voimista. Jos laskuun otetaan sekä voima että sen komponentit, sama voima tulee mukaan kahdesti ja tulos on väärä.
- Laatikkoa vedetään vaakasuoralla lattialla narulla, joka on kulmassa $\alpha$ vaakatasoon nähden. Narun jännitysvoima on $T$, kitkavoima $F_\mu$ ja laatikon massa $m$. Kirjoita pystysuuntainen liikeyhtälö ja ratkaise siitä tukivoima $N$.
Vastaus
Pystysuunnassa laatikko ei kiihdy, joten $N + T\sin\alpha - mg = 0$ ja $N = mg - T\sin\alpha$. Kitka on vaakasuora, joten se ei kuulu pystysuuntaiseen yhtälöön.
1. Käsite
2. Laskeminen
Kauppaa varten tehty kyltti, jonka massa on $8{,}0\,\text{kg}$, roikkuu kahden yhtä pitkän vaijerin varassa. Kumpikin vaijeri on $50^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden, ja kyltti on paikallaan.
Kuinka suuri on kummankin vaijerin jännitysvoima? Vastaa newtoneina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä kyltin voimakuvio: paino ja kaksi jännitysvoimaa $\overline{T}_1$ ja $\overline{T}_2$. Tilanne on symmetrinen, joten $T_1 = T_2 = T$.
Vihje 2: mikä yhteys
Vaakakomponentit kumoavat toisensa. Pystysuunnassa $2T\sin 50^\circ - mg = 0$.
Vihje 3: välivaihe
$T = \dfrac{mg}{2\sin 50^\circ}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 8{,}0\,\text{kg}$, vaijereiden kulma vaakatasoon $\alpha = 50^\circ$, kyltti on paikallaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
yhden vaijerin jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kyltti on paikallaan, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla kummassakin suunnassa. Tilanne on symmetrinen, joten vaijereiden jännitysvoimat ovat yhtä suuret.
Voimakuvio
Kyltti suorakulmiona, $x$ oikealle ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas, jännitysvoima $\overline{T}_1$ vinosti ylös vasemmalle ja $\overline{T}_2$ vinosti ylös oikealle, molemmat $50^\circ$ vaakatasosta. Niiden vaakakomponentit $T\cos 50^\circ$ kumoavat toisensa, ja pystykomponentit $T\sin 50^\circ$ osoittavat ylös.
Kaava
$y$: $2T\sin\alpha - mg = 0$, joten $T = \dfrac{mg}{2\sin\alpha}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$51\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $8{,}0\,\text{kg}$.
Järkevyys
Jos vaijerit olisivat pystysuorat, kumpikin kantaisi puolet painosta, $39\,\text{N}$. Vinot vaijerit tarvitsevat enemmän, koska vain osa voimasta on pystysuuntaista, joten $51\,\text{N} > 39\,\text{N}$ on järkevä. Mitä loivemmassa vaijerit ovat, sitä suurempi jännitysvoima tarvitaan.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Piirrä itse
Laatikkoa, jonka massa on $12\,\text{kg}$, työnnetään vaakasuoralla lattialla kahvasta, joka osoittaa $30^\circ$:n kulmassa vinosti alaspäin. Työntövoima on $60\,\text{N}$, ja laatikko liukuu tasaisella nopeudella. Lattian ja laatikon välillä on kitkaa. Piirrä laatikon voimakuvio paperille: laatikko suorakulmiona ja jokainen voima vaikutuskohdastaan. Kirjoita sitten liikeyhtälöt vaaka- ja pystysuunnassa ja laske kitkavoima ja tukivoima.
Mallikuvio
Laatikkoon vaikuttavat Maa, lattia ja kahva. Maan vetovoima eli paino $\overline{G}$ osoittaa keskipisteestä alas. Lattia vaikuttaa alapinnasta kahdella voimalla: tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan ylös ja kitkavoima $\overline{F}_\mu$ taaksepäin, koska laatikko liukuu eteenpäin. Kahvan voima $\overline{F}$ osoittaa vinosti alas eteenpäin. Liikkeen suuntaista lisävoimaa ei ole. Laatikko liukuu tasaisesti, joten kokonaisvoima on nolla. Kun $x$ osoittaa eteenpäin ja $y$ ylös: $x$: $F\cos 30^\circ - F_\mu = 0$, joten $F_\mu = 60\,\text{N}\cdot\cos 30^\circ \approx 52\,\text{N}$. $y$: $N - mg - F\sin 30^\circ = 0$, joten $N = 12\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 + 60\,\text{N}\cdot\sin 30^\circ \approx 148\,\text{N}$. Tukivoima on painoa $118\,\text{N}$ suurempi, koska kahvan voiman pystykomponentti painaa laatikkoa lattiaa vasten.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Voimakuvio
- Piirros, jossa esitetään kaikki tarkasteltavaan kappaleeseen vaikuttavat voimat nuolina.
- Tukivoima
- Pinnan kappaleeseen kohdistama voima, joka suuntautuu kohtisuoraan pintaa vastaan.
- Jännitysvoima
- Kireän langan tai narun kappaleeseen kohdistama voima suuntautuu langan suuntaisesti.
- Liikeyhtälö
- Newtonin toisen lain sovellus, jossa kappaleeseen vaikuttavien voimien summa yhdistetään kiihtyvyyteen.
- Voimakomponentti
- Voiman osa valitussa koordinaatiston suunnassa.
- Komponenttimuoto
- Liikeyhtälö kirjoitetaan erikseen esimerkiksi vaaka- ja pystysuunnassa.
- Tasapainoehto
- Etenemisliikkeen tasapainossa kappaleeseen vaikuttavien voimien vektorisumma on nolla.$$\Sigma\overline{F} = \overline{0}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 8 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-1Ydintehtävä
Lamppu, jonka massa on $1{,}5\,\text{kg}$, roikkuu paikallaan pystysuoran johdon varassa. Piirrä lampun voimakuvio ja laske johdon jännitysvoima.
Vastaus
$14{,}7\,\text{N} \approx 15\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 1{,}5\,\text{kg}$, lamppu on paikallaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
johdon jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Lamppu on levossa, joten Newtonin toisen lain mukaan siihen vaikuttavien voimien summa on nolla.
Voimakuvio
Lamppu suorakulmiona, $y$-akseli ylös. Lamppuun vaikuttavat Maa ja johto: paino $\overline{G}$ alas ja johdon jännitysvoima $\overline{T}$ johtoa pitkin ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät.
Kaava
$T - mg = 0$, joten $T = mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$T$$= 1{,}5\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 14{,}715\,\text{N}$Vastaus
$14{,}7\,\text{N} \approx 15\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $1{,}5\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kilogramman paino on noin $10\,\text{N}$, joten puolentoista kilon lampun paino on noin $15\,\text{N}$. Johto kannattelee koko painon, koska muita ylöspäin vaikuttavia voimia ei ole.
- Tehtävä 6-2Ydintehtävä
Kuvan voimakuviossa yksi ruutu vastaa $10\,\text{N}$:n voimaa. Kappaleeseen vaikuttaa neljä voimaa. Kuinka suuri on kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima?
Vastaus
$15\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuviosta luetut voimat: $F_1 = 40\,\text{N}$ oikealle, $F_2 = 25\,\text{N}$ vasemmalle, $F_3 = 30\,\text{N}$ ylös ja $F_4 = 30\,\text{N}$ alas
Kysytty
kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Lasketaan komponenttien summat kummankin akselin suuntaan erikseen, kun $x$ osoittaa oikealle ja $y$ ylös.
Kuvaajan lukeminen
Nuolten pituudet luetaan ruuduista: $F_1$ on neljä ruutua, $F_2$ kaksi ja puoli ruutua, $F_3$ ja $F_4$ kolme ruutua kumpikin. Yksi ruutu on $10\,\text{N}$.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1 - F_2$ ja $\Sigma F_y = F_3 - F_4$. Kun $\Sigma F_y = 0$, kokonaisvoiman suuruus on $\Sigma F = |\Sigma F_x|$
Muunnokset
Ruudut muunnetaan newtoneiksi: $4\cdot 10\,\text{N} = 40\,\text{N}$ ja $2{,}5\cdot 10\,\text{N} = 25\,\text{N}$.
Sijoitus
$\Sigma F_y$$= 30\,\text{N} - 30\,\text{N}$$= 0$$\Sigma F$$= 40\,\text{N} - 25\,\text{N}$$= 15\,\text{N}$Vastaus
$15\,\text{N}$
Oikealle, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella; ruudukosta luetaan puolen ruudun eli $5\,\text{N}$:n tarkkuudella.
Järkevyys
Pystysuorat voimat ovat yhtä pitkät ja kumoavat toisensa. Vaakasuunnassa oikealle osoittava nuoli on puolitoista ruutua pidempi, eli $15\,\text{N}$, joten kokonaisvoima osoittaa oikealle. Kokonaisvoima ei ole voimien suuruuksien summa $125\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-3
Opiskelija painaa $0{,}50\,\text{kg}$:n kirjaa pystysuoraa seinää vasten vaakasuoralla $20\,\text{N}$:n voimalla. Kirja pysyy paikallaan. Piirrä kirjan voimakuvio. Kuinka suuri on seinän kitkavoima kirjaan?
Vastaus
$4{,}9\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}50\,\text{kg}$, käden voima $F = 20\,\text{N}$ vaakasuoraan seinää kohti, kirja on paikallaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
seinän kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kirja on levossa, joten voimien summa on nolla sekä vaaka- että pystysuunnassa. Seinä on pystysuora, joten sen tukivoima on vaakasuora ja kitkavoima pystysuora.
Voimakuvio
Kirja suorakulmiona, $x$ kohti seinää ja $y$ ylös. Käden voima $\overline{F}$ kohti seinää ja seinän tukivoima $\overline{N}$ seinästä poispäin, molemmat vaakasuoria. Paino $\overline{G}$ alas ja seinän kitkavoima $\overline{F}_\mu$ ylös, koska kirja pyrkii liukumaan alas.
Kaava
$y$: $F_\mu - mg = 0$, joten $F_\mu = mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\mu$$= 0{,}50\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 4{,}905\,\text{N}$Vastaus
$4{,}9\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kitka kannattelee kirjan koko painon, koska vain se vaikuttaa ylöspäin. Käden voima $20\,\text{N}$ ei suoraan näy vastauksessa: se määrää tukivoiman $N = 20\,\text{N}$, mutta kitka on juuri niin suuri, kuin paikallaan pysyminen vaatii. Tukivoima ei tässä osoita ylös vaan vaakasuoraan.
- Tehtävä 6-4
Ihminen, jonka massa on $65\,\text{kg}$, seisoo hississä, joka liikkuu ylöspäin tasaisella nopeudella. Piirrä ihmisen voimakuvio. Kuinka suuri on hissin lattian tukivoima ihmiseen?
Vastaus
$640\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 65\,\text{kg}$, hissi liikkuu tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla, vaikka ihminen liikkuu.
Voimakuvio
Ihminen suorakulmiona, $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ ylös, yhtä pitkinä. Nopeutta ei piirretä voimaksi.
Kaava
$N - mg = 0$, joten $N = mg$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 65\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 637{,}65\,\text{N}$Vastaus
$640\,\text{N}$
Eli $6{,}4\cdot 10^{2}\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $65\,\text{kg}$.
Järkevyys
Tukivoima on sama kuin ihmisen paino, aivan kuin hissi seisoisi. Liike tasaisella nopeudella ei vaadi kokonaisvoimaa. Vaa'alla seisova ihminen näkisi tavallisen painonsa.
- Tehtävä 6-5
Laatikkoa vedetään köydellä, jonka jännitysvoima on $250\,\text{N}$ ja joka on $40^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Piirrä köyden voima ja katkoviivoin sen komponentit. Kuinka suuri on jännitysvoiman vaakakomponentti?
Vastaus
$190\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$T = 250\,\text{N}$, kulma vaakatasoon $\alpha = 40^\circ$
Kysytty
jännitysvoiman vaakakomponentti $T_x$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Voima ja sen komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusa on voima. Vaakakomponentti on kulman $\alpha$ viereinen kateetti.
Voimakuvio
Köyden voima $\overline{T}$ yhtenäisenä nuolena kiinnityskohdasta vinosti ylös $40^\circ$:n kulmassa, komponentit $T_x$ ja $T_y$ katkoviivoin samasta kohdasta.
Kaava
$T_x = T\cos\alpha$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja kulma asteina, joten muunnoksia ei tarvita; laskin on asteikolla DEG.
Sijoitus
$T_x$$= 250\,\text{N}\cdot\cos 40^\circ$$= 191{,}5\,\text{N}$Vastaus
$190\,\text{N}$
Eli $1{,}9\cdot 10^{2}\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska kulma $40^\circ$ on annettu kahdella numerolla eikä voima $250\,\text{N}$ ole sitä tarkempi.
Järkevyys
Komponentti on pienempi kuin voima $250\,\text{N}$, kuten pitää. Kulma on alle $45^\circ$, joten vaakakomponentti on suurempi kuin pystykomponentti $250\,\text{N}\cdot\sin 40^\circ \approx 161\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-6
Laatikko liukuu oikealle vaakasuoralla lattialla ja hidastuu lattian kitkan vaikutuksesta. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Mitkä voimat piirretään laatikon voimakuvioon?
Vastaus
Paino, tukivoima ja kitka, koska kullakin voimalla on aiheuttaja
Näytä ratkaisu
Kysytty
mitkä voimat piirretään voimakuvioon, kun laatikko liukuu vaakasuoralla lattialla ja hidastuu kitkan vaikutuksesta.
Periaate
Voimakuvioon piirretään vain valittuun kappaleeseen vaikuttavat voimat, ja jokaisella voimalla on aiheuttaja: Maa, pinta, naru tai työntäjä. Nopeus ja kiihtyvyys eivät ole voimia. Newtonin toisen lain mukaan kappale voi liikkua ilman liikkeen suuntaista voimaa.
Mallivastaus
Laatikkoon vaikuttavat kolme voimaa. Maa vetää laatikkoa alas (paino), lattia tukee sitä ylös (tukivoima) ja lattia vastustaa liukumista vasemmalle (kitka). Paino ja tukivoima ovat yhtä pitkät, koska laatikko ei liiku pystysuunnassa, ja kitka on ainoa vaakasuora voima, joten se hidastaa laatikkoa. Oikealle osoittavaa liikevoimaa ei ole, koska ei ole mitään kappaletta, joka sitä aiheuttaisi. Nopeutta ei piirretä voimaksi, vaan tarvittaessa erikseen voimakuvion viereen. Tukivoimaa ei saa jättää pois, vaikka se kumoaa painon.
- Tehtävä 6-7
Kaksi ihmistä työntää kaappia vaakasuoralla lattialla samaan suuntaan, toinen $120\,\text{N}$:n ja toinen $85\,\text{N}$:n voimalla. Lattian kitkavoima kaappiin on $150\,\text{N}$ vastakkaiseen suuntaan. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa.
Kuinka suuri on kaappiin vaikuttava kokonaisvoima?
Vastaus
$55\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
työntövoimat $F_1 = 120\,\text{N}$ ja $F_2 = 85\,\text{N}$ samaan suuntaan, kitkavoima $F_\mu = 150\,\text{N}$ vastakkaiseen suuntaan; paino ja tukivoima kumoavat toisensa
Kysytty
kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Voimat ovat samalla suoralla, joten summa lasketaan vaakasuunnan komponenteista, kun $x$ osoittaa työntämisen suuntaan. Pystysuunnassa kokonaisvoima on nolla.
Voimakuvio
Kaappi suorakulmiona, $x$ työntämisen suuntaan ja $y$ ylös. Kaksi työntövoimaa $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ eteenpäin, kitkavoima $\overline{F}_\mu$ taaksepäin sekä paino $\overline{G}$ alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös yhtä pitkinä. Kitkavoima on pidempi kuin kumpikaan työntövoima mutta lyhyempi kuin niiden summa.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1 + F_2 - F_\mu$
Muunnokset
Kaikki voimat ovat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F_x$$= 120\,\text{N} + 85\,\text{N} - 150\,\text{N}$$= 55\,\text{N}$Vastaus
$55\,\text{N}$
Työntämisen suuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa voimissa.
Järkevyys
Työntövoimat ovat yhteensä $205\,\text{N}$, mikä on suurempi kuin kitka $150\,\text{N}$, joten kokonaisvoima osoittaa työntämisen suuntaan ja kaappi kiihtyy. Jos työntövoimat olisivat yhteensä alle $150\,\text{N}$, kaappi hidastuisi tai pysyisi paikallaan. Kokonaisvoima ei ole voimien suuruuksien summa $355\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-8
Laatikko on vaakasuoralla lattialla. Sitä vedetään narulla vinosti ylöspäin, mutta laatikko pysyy liikkumatta lattialla. Miten lattian tukivoima $N$ suhtautuu laatikon painoon $G$?
Vastaus
$N$ on painoa pienempi, koska naru kannattelee osaa painosta
Näytä ratkaisu
Kysytty
miten lattian tukivoima $N$ suhtautuu laatikon painoon $G$, kun laatikkoa vedetään narulla vinosti ylöspäin eikä se liiku.
Periaate
Laatikko on levossa, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla myös pystysuunnassa. Pystysuunnassa on kolme voimaa: paino alas sekä tukivoima ja narun jännitysvoiman pystykomponentti ylös.
Mallivastaus
Pystysuunnan yhtälö on $N + T\sin\alpha - G = 0$, joten $N = G - T\sin\alpha$. Narun pystykomponentti kannattelee osan painosta, ja lattian tarvitsee tukea vain loppuosa, joten tukivoima on painoa pienempi. Tukivoima ei siis ole aina yhtä suuri kuin paino: se on juuri niin suuri, kuin pystysuunnan tasapaino vaatii. Jos naru vetäisi vaakasuoraan, tukivoima olisi painon suuruinen, ja jos naru vetäisi laatikkoa vinosti alaspäin, tukivoima olisi painoa suurempi. Tukivoima olisi nolla vasta, kun narun pystykomponentti olisi yhtä suuri kuin koko paino, ja silloin laatikko olisi irtoamaisillaan lattiasta.
Taso 2 · soveltava harjoitus 7 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-9Ydintehtävä
Pulkkaa, jonka massa on $15\,\text{kg}$, vedetään vaakasuoralla lumella narulla, joka on $30^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Narun jännitysvoima on $60\,\text{N}$, ja pulkka liikkuu tasaisella nopeudella. Piirrä pulkan voimakuvio vihkoon ennen kuin avaat ratkaisun.
Kuinka suuri on lumen kitkavoima?
Vastaus
$52\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 15\,\text{kg}$, $T = 60\,\text{N}$, $\alpha = 30^\circ$, pulkka liikkuu tasaisella nopeudella
Kysytty
lumen kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla, joten voimien summa on nolla myös liikkeen suunnassa: kitka on yhtä suuri kuin narun voiman vaakakomponentti.
Voimakuvio
Pulkka suorakulmiona, $x$ liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas, lumen tukivoima $\overline{N}$ ylös ja painoa lyhyempi, narun jännitysvoima $\overline{T}$ vinosti ylös eteenpäin ja lumen kitkavoima $\overline{F}_\mu$ taaksepäin. Komponentti $T_x$ katkoviivalla.
Kaava
$x$: $T\cos\alpha - F_\mu = 0$, joten $F_\mu = T\cos\alpha$
Muunnokset
Voima on newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita. Massaa ei tarvita, koska kitka saadaan vaakasuunnan yhtälöstä.
Sijoitus
$F_\mu$$= 60\,\text{N}\cdot\cos 30^\circ$$= 51{,}96\,\text{N}$Vastaus
$52\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $60\,\text{N}$.
Järkevyys
Kitka on vähän pienempi kuin narun voima $60\,\text{N}$, koska vain osa narun voimasta vetää eteenpäin. Pystysuunnasta tukivoima on
$N$$= mg - T\sin\alpha$$\approx 147\,\text{N} - 30\,\text{N}$$= 117\,\text{N}$painoa pienempi.
- Tehtävä 6-10Ydintehtävä
Ihminen, jonka massa on $60\,\text{kg}$, seisoo hississä. Hissi lähtee liikkeelle ylöspäin kiihtyvyydellä $1{,}2\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on lattian tukivoima ihmiseen kiihdytyksen aikana?
Vastaus
$660\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 60\,\text{kg}$, kiihtyvyys ylöspäin $a = 1{,}2\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Ihminen kiihtyy ylöspäin hissin mukana, joten kokonaisvoima osoittaa ylös ja on Newtonin toisen lain mukaan $ma$.
Voimakuvio
Ihminen suorakulmiona, $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös, tukivoima pidempänä. Kiihtyvyys piirretään erikseen, ei voimaksi.
Kaava
$N - mg = ma$, joten $N = m(g + a)$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyydet yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 60\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}2\,\text{m/s}^2)$$= 60\,\text{kg}\cdot 11{,}01\,\text{m/s}^2$$= 660{,}6\,\text{N}$Vastaus
$660\,\text{N}$
Eli $6{,}6\cdot 10^{2}\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $60\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $1{,}2\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Paino on noin $590\,\text{N}$, ja tukivoima on sitä noin $70\,\text{N}$ suurempi, mikä on
$ma$$= 60\,\text{kg}\cdot 1{,}2\,\text{m/s}^2$$= 72\,\text{N}$Hissin lähtiessä ylös tunnet itsesi painavammaksi, koska lattia painaa jalkoja tavallista enemmän.
- Tehtävä 6-11
Laatikkoa, jonka massa on $40\,\text{kg}$, työnnetään vaakasuoralla lattialla kahvasta $120\,\text{N}$:n voimalla, joka osoittaa $30^\circ$:n kulmassa vinosti alaspäin. Lattian kitkavoima laatikkoon on $80\,\text{N}$. Kuinka suuri on laatikon kiihtyvyys?
Vastaus
$0{,}60\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 40\,\text{kg}$, $F = 120\,\text{N}$ kulmassa $\alpha = 30^\circ$ vaakatason alapuolelle, $F_\mu = 80\,\text{N}$
Kysytty
laatikon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Laatikko kiihtyy vaakasuunnassa. Newtonin toisen lain mukaan vaakasuuntaisten voimakomponenttien summa on $ma$. Pystysuuntaista yhtälöä ei tarvita, koska kitka on annettu.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona, $x$ liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas, lattian tukivoima $\overline{N}$ ylös ja painoa pidempi, kahvan voima $\overline{F}$ vinosti alas eteenpäin ja kitkavoima $\overline{F}_\mu$ taaksepäin. Komponentit $F_x$ ja $F_y$ katkoviivalla.
Kaava
$x$: $F\cos\alpha - F_\mu = ma$, joten $a = \dfrac{F\cos\alpha - F_\mu}{m}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja massa kilogrammoina, joten tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}^2$.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{120\,\text{N}\cdot\cos 30^\circ - 80\,\text{N}}{40\,\text{kg}}$$= \dfrac{103{,}9\,\text{N} - 80\,\text{N}}{40\,\text{kg}}$$= 0{,}598\,\text{m/s}^2$Vastaus
$0{,}60\,\text{m/s}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Vaakakomponentti $104\,\text{N}$ on vain vähän suurempi kuin kitka $80\,\text{N}$, joten kokonaisvoima $24\,\text{N}$ on pieni ja $40\,\text{kg}$:n laatikko kiihtyy hitaasti. Jos koko voima $120\,\text{N}$ vaikuttaisi eteenpäin, kiihtyvyys olisi $1{,}0\,\text{m/s}^2$.
- Tehtävä 6-12
Kaksi lasta vetää $50\,\text{kg}$:n kelkkaa jäällä naruilla, jotka ovat vaakasuorat ja kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toinen vetää $30\,\text{N}$:n ja toinen $40\,\text{N}$:n voimalla. Kitka jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on kelkan kiihtyvyys?
Vastaus
$1{,}0\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 50\,\text{kg}$, $F_1 = 30\,\text{N}$ ja $F_2 = 40\,\text{N}$ vaakasuoraan, kohtisuorassa toisiaan vastaan; kitkaa ei ole
Kysytty
kelkan kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Kokonaisvoima on voimien vektorisumma, ja Newtonin toisen lain mukaan se määrää kiihtyvyyden. Pystysuunnassa paino ja jään tukivoima kumoavat toisensa.
Voimakuvio
Kelkka suorakulmiona ylhäältä katsottuna, $x$ voiman $\overline{F}_1$ suuntaan ja $y$ voiman $\overline{F}_2$ suuntaan. Sivulta katsottuna paino $\overline{G}$ alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös, yhtä pitkinä.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1$ ja $\Sigma F_y = F_2$, joten $\Sigma F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$. Newtonin toisesta laista $\Sigma F = ma$, joten $a = \dfrac{\Sigma F}{m}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja massa kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F$$= \sqrt{(30\,\text{N})^2 + (40\,\text{N})^2}$$= 50\,\text{N}$$a$$= \dfrac{50\,\text{N}}{50\,\text{kg}}$$= 1{,}0\,\text{m/s}^2$Vastaus
$1{,}0\,\text{m/s}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimissa $30\,\text{N}$ ja $40\,\text{N}$.
Järkevyys
Kokonaisvoima $50\,\text{N}$ on suurempi kuin kumpikaan voima mutta pienempi kuin niiden summa $70\,\text{N}$, koska voimat ovat eri suuntiin. Kiihtyvyys osoittaa voimien väliin, lähemmäs suurempaa voimaa.
- Tehtävä 6-13
Voima-antureilla tutkitaan rengasta, joka pysyy paikallaan kolmen köyden varassa. Köysi A vetää rengasta vaakasuoraan vasemmalle ja köysi C pystysuoraan alas. Köysi B vetää rengasta vinosti ylös oikealle kulmassa $\alpha$ vaakatasoon nähden. Köysien massat sekä renkaan massa ja paino jätetään huomiotta. Taulukossa on esimerkkiaineisto kolmesta mittauksesta, joissa anturit A, B ja C näyttävät voimat $F_\text{A}$, $F_\text{B}$ ja $F_\text{C}$.
a) Perustele, miksi renkaaseen vaikuttavien voimien summa on nolla, ja kirjoita liikeyhtälöt $x$- ja $y$-suunnassa. Piirrä renkaan voimakuvio suorakulmiona.
b) Laske kulma $\alpha$ kunkin mittauksen voimista $F_\text{A}$ ja $F_\text{C}$ sekä kolmen kulman keskiarvo.
c) Tarkista tulos laskemalla ensimmäisen mittauksen komponenteista voima $F_\text{B}$ ja vertaamalla sitä anturin lukemaan.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kulmien keskiarvo.
Kolmen köyden voimat renkaaseen (esimerkkiaineisto) $F_\text{A}\,(\text{N})$ $F_\text{C}\,(\text{N})$ $F_\text{B}\,(\text{N})$ 3,0 2,5 3,9 4,5 3,8 5,9 6,0 5,1 7,9 Vastaus
$\alpha_\text{ka} = 40{,}1\,{}^\circ \approx 40\,{}^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
rengas on paikallaan; mittaukset $(F_\text{A}, F_\text{C}, F_\text{B})$: $(3{,}0$; $2{,}5$; $3{,}9)\,\text{N}$, $(4{,}5$; $3{,}8$; $5{,}9)\,\text{N}$ ja $(6{,}0$; $5{,}1$; $7{,}9)\,\text{N}$
Kysytty
kulman $\alpha$ keskiarvo $\alpha_\text{ka}$ yksikössä $^\circ$
Periaate
Rengas on levossa, joten Newtonin toisen lain mukaan siihen vaikuttavien voimien summa on nolla sekä vaaka- että pystysuunnassa. Köysi B on vino, joten sen voima jaetaan komponentteihin.
Voimakuvio
Rengas suorakulmiona, $x$ oikealle ja $y$ ylös. Köyden A jännitysvoima $\overline{F}_\text{A}$ vasemmalle ja köyden C jännitysvoima $\overline{F}_\text{C}$ alas. Köyden B voima $\overline{F}_\text{B}$ lähtee vinosti ylös oikealle kulmassa $\alpha$, ja sen komponentit $F_\text{B}\cos\alpha$ ja $F_\text{B}\sin\alpha$ piirretään katkoviivoin. Komponentit ovat yhtä pitkät kuin $F_\text{A}$ ja $F_\text{C}$. Renkaan painoa ei piirretä, koska tehtävässä se jätetään huomiotta.
Kuvaajan lukeminen
Taulukosta luetaan kunkin mittauksen voimat $F_\text{A}$ ja $F_\text{C}$. Vertailuun otetaan myös anturin B lukema.
Kaava
$x$: $F_\text{B}\cos\alpha - F_\text{A} = 0$ ja $y$: $F_\text{B}\sin\alpha - F_\text{C} = 0$, joten
$\alpha$$= \arctan\dfrac{F_\text{C}}{F_\text{A}}$Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja kulma lasketaan asteina, joten muunnoksia ei tarvita; laskin on asteikolla DEG.
Sijoitus
Kulmat ovat
$$\begin{aligned} \alpha_1 &= \arctan\dfrac{2{,}5}{3{,}0} = 39{,}8\,{}^\circ \\ \alpha_2 &= \arctan\dfrac{3{,}8}{4{,}5} = 40{,}2\,{}^\circ \\ \alpha_3 &= \arctan\dfrac{5{,}1}{6{,}0} = 40{,}4\,{}^\circ \end{aligned}$$
Summa on $120{,}4\,{}^\circ$, joten keskiarvo on
$\alpha_\text{ka}$$= 120{,}4\,{}^\circ : 3$$= 40{,}1\,{}^\circ$Tarkistus ensimmäisellä mittauksella:
$F_\text{B}$$= \sqrt{(3{,}0\,\text{N})^2 + (2{,}5\,\text{N})^2}$$= 3{,}9\,\text{N}$Vastaus
a) Voimakuvio ja yhtälöt yllä. b) $\alpha_\text{ka} = 40{,}1\,{}^\circ \approx 40\,{}^\circ$, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten voimien lukemat. c) Laskettu $F_\text{B} = 3{,}9\,\text{N}$ on sama kuin anturin lukema.
Järkevyys
Kolme kulmaa poikkeaa toisistaan enintään $0{,}6\,{}^\circ$, joten ne kuvaavat samaa kulmaa ja pieni vaihtelu on mittauksen satunnaisvaihtelua. Voimat kasvavat samassa suhteessa, ja suhde $F_\text{C} : F_\text{A}$ pysyy noin $0{,}84$:ssä. Kulma on alle $45\,{}^\circ$, joten $F_\text{A} > F_\text{C}$ kuten taulukossa. Voima $F_\text{B}$ on suurempi kuin kumpikaan komponentti mutta pienempi kuin niiden summa $5{,}5\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-14
Laatikko, jonka massa on $12\,\text{kg}$, potkaistaan liikkeelle vaakasuoralla lattialla. Laatikko liukuu oikealle ja hidastuu. Lattian kitkavoima laatikkoon on $30\,\text{N}$ vasemmalle. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Opiskelija ratkaisee kiihtyvyyden näin:
”Laatikko liikkuu oikealle, joten siihen vaikuttaa potkun antama voima $40\,\text{N}$ oikealle. Kokonaisvoima on $40\,\text{N} - 30\,\text{N} = 10\,\text{N}$ oikealle, joten $a = 10\,\text{N} : 12\,\text{kg} \approx 0{,}83\,\text{m/s}^2$ oikealle ja laatikko kiihtyy.”
a) Mikä on opiskelijan virhe? Piirrä laatikon oikea voimakuvio.
b) Laske laatikon kiihtyvyyden suuruus oikein.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kiihtyvyyden suuruus.
Vastaus
$a = 2{,}5\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 12\,\text{kg}$, kitkavoima $F_\mu = 30\,\text{N}$ vasemmalle, laatikko liukuu oikealle ja hidastuu; ilmanvastusta ei ole
Kysytty
a) opiskelijan virhe; b) kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Voimakuvioon kuuluvat vain kappaleeseen vaikuttavat voimat, joilla on aiheuttaja. Opiskelija piirsi laatikkoon ”potkun voiman”, vaikka potkun jälkeen mikään kappale ei työnnä laatikkoa oikealle, ja päätteli kiihtyvyyden suunnan liikkeen suunnasta, vaikka laatikko hidastuu. Potkun voima vaikuttaa laatikkoon vain sen ajan, kun jalka koskee siihen. Kun laatikko on irronnut jalasta, sen vaakasuoraan liikkeeseen vaikuttaa vain kitka.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona, $x$ oikealle ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ ylös yhtä pitkinä sekä kitkavoima $\overline{F}_\mu$ vasemmalle. Oikealle ei piirretä voimaa. Nopeus oikealle ja kiihtyvyys vasemmalle piirretään kuvion viereen erikseen.
Kaava
$x$: $-F_\mu = m a_x$, joten $a_x = -\dfrac{F_\mu}{m}$ ja kiihtyvyyden suuruus on $a = \dfrac{F_\mu}{m}$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja massa kilogrammoina, joten tulos tulee suoraan yksikössä $\text{m/s}^2$.
Sijoitus
$a$$= \dfrac{30\,\text{N}}{12\,\text{kg}}$$= 2{,}5\,\text{m/s}^2$Vastaus
a) Voimakuvioon on otettu ylimääräinen voima, jolla ei ole aiheuttajaa. b) $a = 2{,}5\,\text{m/s}^2$ vasemmalle eli liikettä vastaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa arvoissa. Laatikko hidastuu.
Järkevyys
Kokonaisvoima $30\,\text{N}$ osoittaa vasemmalle, joten kiihtyvyys osoittaa vasemmalle ja laatikko hidastuu, kuten tehtävässä sanotaan. Opiskelijan tulos, jonka mukaan laatikko kiihtyy, on ristiriidassa tämän kanssa. Kitka on vain noin neljännes laatikon painosta $118\,\text{N}$.
- Tehtävä 6-15
Opiskelija tutkii kokeellisesti, miten kaksi vinoa voimaa yhdistyvät. Rengas on vaakasuoralla pöydällä, joten sen paino ja pöydän tukivoima kumoavat toisensa. Hän kiinnittää renkaaseen kolme voima-anturia. Anturit 1 ja 2 vetävät rengasta voimilla $F_1 = 6{,}0\,\text{N}$ ja $F_2 = 8{,}0\,\text{N}$, joiden suuntien välinen kulma on $\varphi$. Anturi 3 vetää rengasta vastakkaiseen suuntaan kuin voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summa, ja rengas pysyy paikallaan. Taulukossa on esimerkkiaineisto kolmesta mittauksesta.
a) Perustele, miksi anturin 3 lukema $F_3$ on yhtä suuri kuin voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan suuruus.
b) Laske voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan suuruus, kun $\varphi = 60\,{}^\circ$. Valitse $x$-akseli voiman $\overline{F}_1$ suuntaan.
c) Vertaa laskettua arvoa mitattuun ja kerro, mistä pieni ero voi johtua.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) summan suuruus.
Anturin 3 lukema eri kulmilla (esimerkkiaineisto) $\varphi\,({}^\circ)$ $F_3\,(\text{N})$ 30 13,4 60 12,3 90 10,1 Vastaus
$\Sigma F \approx 12\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$F_1 = 6{,}0\,\text{N}$, $F_2 = 8{,}0\,\text{N}$, niiden suuntien välinen kulma $\varphi = 60\,{}^\circ$; taulukosta $F_3 = 12{,}3\,\text{N}$, kun $\varphi = 60\,{}^\circ$
Kysytty
voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$, kun $\varphi = 60\,{}^\circ$
Periaate
a) Rengas on levossa, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien $\overline{F}_1$, $\overline{F}_2$ ja $\overline{F}_3$ summa on nolla. Siksi anturin 3 voima on yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen kuin voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summa, ja sen lukema kertoo summan suuruuden. b) Vinojen voimien summa lasketaan komponenteittain.
Voimakuvio
Rengas suorakulmiona, $x$ voiman $\overline{F}_1$ suuntaan. Voima $\overline{F}_1$ lähtee suoraan $x$-akselin suuntaan ja voima $\overline{F}_2$ kulmassa $60\,{}^\circ$ ylöspäin. Voima $\overline{F}_3$ lähtee vastakkaiseen suuntaan kuin niiden summa. Komponentit $F_{2x}$ ja $F_{2y}$ piirretään katkoviivoin.
Kuvaajan lukeminen
Taulukosta luetaan rivi $\varphi = 60\,{}^\circ$: $F_3 = 12{,}3\,\text{N}$.
Kaava
$\Sigma F_x = F_1 + F_2\cos\varphi$ ja $\Sigma F_y = F_2\sin\varphi$, joten $\Sigma F = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja kulma asteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Ensin komponentit:
$$\begin{aligned} \Sigma F_x &= 6{,}0\,\text{N} + 8{,}0\,\text{N}\cdot\cos 60\,{}^\circ \\ &= 10{,}0\,\text{N} \\ \Sigma F_y &= 8{,}0\,\text{N}\cdot\sin 60\,{}^\circ \\ &= 6{,}93\,\text{N} \end{aligned}$$
Sitten suuruus:
$\Sigma F$$= \sqrt{(10{,}0\,\text{N})^2 + (6{,}93\,\text{N})^2}$$= 12{,}2\,\text{N}$Vastaus
a) Rengas on levossa, joten voima $\overline{F}_3$ kumoaa voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ summan. b) $\Sigma F \approx 12\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa voimissa. c) Mitattu $12{,}3\,\text{N}$ eroaa laskennallisesta $12{,}2\,\text{N}$:sta noin $0{,}1\,\text{N}$ eli noin yhden prosentin; ero on mittausepävarmuuden suuruusluokkaa. Se voi johtua kulman lukemisen epätarkkuudesta, anturien nollauksesta tai siitä, että rengas ei ole täysin paikallaan.
Järkevyys
Summa $12{,}2\,\text{N}$ on pienempi kuin voimien suuruuksien summa $14{,}0\,\text{N}$ ja suurempi kuin suurempi voima $8{,}0\,\text{N}$, kuten kulmalla $60\,{}^\circ$ pitääkin. Taulukossa lukema pienenee kulman kasvaessa ($13{,}4\,\text{N}$, $12{,}3\,\text{N}$, $10{,}1\,\text{N}$), ja kulmalla $90\,{}^\circ$ summa on $\sqrt{6{,}0^2 + 8{,}0^2}\,\text{N} = 10\,\text{N}$ kuten mittauksessa.
Taso 3 · haastava 5 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 6-16
Ihminen, jonka massa on $70\,\text{kg}$, seisoo hississä, joka liikkuu ylöspäin mutta hidastaa pysähtyessään. Hidastuvuus on $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Piirrä ihmisen voimakuvio vihkoon ja merkitse nopeus ja kiihtyvyys erikseen sen viereen ennen kuin avaat ratkaisun.
Kuinka suuri on lattian tukivoima?
Vastaus
$580\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 70\,\text{kg}$, hissi liikkuu ylöspäin ja hidastaa, kiihtyvyyden suuruus $1{,}5\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Ylöspäin liikkuva hissi hidastuu, joten sen kiihtyvyys osoittaa alas, vaikka nopeus osoittaa ylös. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan eli alas.
Voimakuvio
Ihminen suorakulmiona, $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ alas ja tukivoima $\overline{N}$ ylös, tukivoima lyhyempänä. Nopeus $\overline{v}$ ylös (sininen) ja kiihtyvyys $\overline{a}$ alas (oranssi) piirretään kuvion viereen ohuina nuolina, ei voimiksi. Kiihtyvyyden komponentti on $a_y = -1{,}5\,\text{m/s}^2$.
Kaava
$N - mg = m a_y$, joten $N = m(g + a_y)$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja kiihtyvyydet yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$N$$= 70\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1{,}5\,\text{m/s}^2)$$= 70\,\text{kg}\cdot 8{,}31\,\text{m/s}^2$$= 581{,}7\,\text{N}$Vastaus
$580\,\text{N}$
Eli $5{,}8\cdot 10^{2}\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $70\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $1{,}5\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Paino on noin $690\,\text{N}$, ja tukivoima on sitä pienempi, koska kokonaisvoima osoittaa alas. Hissin pysähtyessä ylhäällä tunnet itsesi hetken kevyemmäksi. Jos tukivoimaksi saisi painoa suuremman, kiihtyvyyden suunta olisi valittu nopeuden mukaan, mikä on yleinen virhe.
- Tehtävä 6-17
Curlingkivi, jonka massa on $19\,\text{kg}$, irtoaa heittäjän kädestä nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$ ja liukuu suoraan, kunnes se pysähtyy $20\,\text{s}$ kuluttua. Oletetaan, että kivi hidastuu tasaisesti ja ilmanvastus on merkityksettömän pieni.
Kuinka suuri on jään kitkavoima kiveen liu'un aikana?
Vastaus
$1{,}9\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 19\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 2{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 0$, aika $\Delta t = 20\,\text{s}$; hidastuminen tasaista
Kysytty
kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kiven vauhti muuttuu tasaisesti, joten kiihtyvyys on $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Newtonin toisen lain mukaan liikkeen suuntainen kokonaisvoima on $ma$, ja ainoa vaakasuora voima on kitka.
Voimakuvio
Kivi suorakulmiona, $x$ liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas, jään tukivoima $\overline{N}$ ylös ja kitkavoima $\overline{F}_\mu$ taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole, koska heittäjä ei enää koske kiveen.
Kaava
$a_x = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$ ja $x$: $-F_\mu = m a_x$, joten $F_\mu = \dfrac{m(v_0 - v)}{\Delta t}$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina, nopeudet yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\mu$$= \dfrac{19\,\text{kg}\cdot(2{,}0\,\text{m/s} - 0)}{20\,\text{s}}$$= 19\,\text{kg}\cdot 0{,}10\,\text{m/s}^2$$= 1{,}9\,\text{N}$Vastaus
$1{,}9\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa, nopeudessa ja ajassa.
Järkevyys
Kiven paino on noin $190\,\text{N}$, ja kitka on vain noin prosentti siitä, mikä sopii sileälle jäälle. Kiihtyvyyden komponentti on negatiivinen, koska kivi hidastuu, ja kitka osoittaa taaksepäin kuten kuviossa.
- Tehtävä 6-18
Heliumilmapallo, jonka massa kumeineen ja kaasuineen on $4{,}0\,\text{g}$, on noussut huoneen kattoon ja painuu paikallaan sitä vasten. Ilman noste palloon on $0{,}10\,\text{N}$. Naru on irti. Piirrä pallon voimakuvio ja laske, kuinka suurella voimalla katto vaikuttaa palloon.
Vastaus
$0{,}061\,\text{N} \approx 0{,}06\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 4{,}0\,\text{g}$, noste $F_\text{noste} = 0{,}10\,\text{N}$, pallo on paikallaan katossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
katon tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Pallo on levossa, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on nolla. Katto koskettaa palloa yläpuolelta, joten sen tukivoima on kohtisuorassa kattoa vastaan ja työntää palloa poispäin katosta eli alas.
Voimakuvio
Pallo suorakulmiona, $y$-akseli ylös. Noste $\overline{F}_\text{noste}$ ylös, paino $\overline{G}$ alas ja katon tukivoima $\overline{N}$ alas. Noste on yhtä pitkä kuin paino ja tukivoima yhteensä. Ilmanvastusta ei ole, koska pallo ei liiku.
Kaava
$F_\text{noste} - mg - N = 0$, joten $N = F_\text{noste} - mg$
Muunnokset
$m$$= 4{,}0\,\text{g}$$= 4{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$$= 0{,}0040\,\text{kg}$Sijoitus
$N$$= 0{,}10\,\text{N} - 0{,}0040\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 0{,}10\,\text{N} - 0{,}03924\,\text{N}$$= 0{,}06076\,\text{N}$Vastaus
$0{,}061\,\text{N} \approx 0{,}06\,\text{N}$
Tukivoima on erotus, ja erotuksessa ratkaisee desimaalien määrä: noste $0{,}10\,\text{N}$ tunnetaan sadasosanewtonin tarkkuudella.
Järkevyys
Noste on suurempi kuin paino $0{,}039\,\text{N}$, joten ilman kattoa pallo nousisi. Katto pysäyttää sen työntämällä alaspäin juuri ylimäärän verran: $0{,}039\,\text{N} + 0{,}061\,\text{N} = 0{,}10\,\text{N}$. Tukivoima osoittaa tässä alas, ei ylös.
- Tehtävä 6-19
Laatikkoa, jonka massa on $25\,\text{kg}$, vedetään vaakasuoralla lattialla köydellä, joka on $30\,{}^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Köyden jännitysvoima on koko ajan $120\,\text{N}$. Laatikko lähtee levosta, ja liikeanturi mittaa sen nopeuden. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksesta. Köyden massa ja ilmanvastus jätetään huomiotta.
a) Piirrä laatikon voimakuvio ja kirjoita liikeyhtälöt $x$- ja $y$-suunnassa.
b) Määritä laatikon kiihtyvyys taulukon nopeuksista.
c) Laske lattian kitkavoima laatikkoon.
d) Laske lattian tukivoima ja selitä, miksi se on painoa pienempi.
Vastauslaatikkoon tulee kohdan c) kitkavoima.
Laatikon nopeus köyden vetäessä (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $v\,(\text{m/s})$ 0,0 0,00 1,0 0,78 2,0 1,63 3,0 2,38 4,0 3,22 5,0 4,01 Vastaus
$F_\mu \approx 84\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 25\,\text{kg}$, $T = 120\,\text{N}$, $\alpha = 30\,{}^\circ$, laatikko lähtee levosta; taulukosta $v = 0$ hetkellä $t = 0$ ja $v = 4{,}01\,\text{m/s}$ hetkellä $t = 5{,}0\,\text{s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$ ja tukivoima $N$
Periaate
Laatikko kiihtyy vaakasuunnassa eikä liiku pystysuunnassa. Kiihtyvyys saadaan nopeuden muutoksesta (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike), ja Newtonin toinen laki kirjoitetaan komponenteittain: vaakasuunnassa kokonaisvoima on $ma$, pystysuunnassa nolla.
Voimakuvio
Laatikko suorakulmiona, $x$ liikkeen suuntaan ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ ylös ja painoa lyhyempi, köyden jännitysvoima $\overline{T}$ vinosti ylös eteenpäin ja kitkavoima $\overline{F}_\mu$ taaksepäin. Komponentit $T_x$ ja $T_y$ katkoviivoin. Kiihtyvyys eteenpäin piirretään erikseen, ei voimaksi.
Kuvaajan lukeminen
Nopeus kasvaa suunnilleen yhtä paljon joka sekunti: peräkkäisten sekuntien muutokset ovat $0{,}78$, $0{,}85$, $0{,}75$, $0{,}84$ ja $0{,}79\,\text{m/s}$. Kiihtyvyys on siis likimain vakio, ja se saadaan koko aikavälin muutoksesta
$\Delta v$$= 4{,}01\,\text{m/s} - 0$$= 4{,}01\,\text{m/s}$$\Delta t = 5{,}0\,\text{s}$.
Kaava
$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, $x$: $T\cos\alpha - F_\mu = ma$ ja $y$: $N + T\sin\alpha - mg = 0$, joten $F_\mu = T\cos\alpha - ma$ ja $N = mg - T\sin\alpha$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{N} / \text{kg} = \text{m/s}^2$.
Sijoitus
Kiihtyvyys on
$a$$= \dfrac{4{,}01\,\text{m/s}}{5{,}0\,\text{s}}$$= 0{,}802\,\text{m/s}^2$Kitkavoima:
$$\begin{aligned} F_\mu &= 120\,\text{N}\cdot\cos 30\,{}^\circ \\ &\quad - 25\,\text{kg}\cdot 0{,}802\,\text{m/s}^2 \\ &= 103{,}9\,\text{N} - 20{,}05\,\text{N} \\ &= 83{,}9\,\text{N} \end{aligned}$$
Tukivoima:
$$\begin{aligned} N &= 25\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \\ &\quad - 120\,\text{N}\cdot\sin 30\,{}^\circ \\ &= 245{,}25\,\text{N} - 60\,\text{N} \\ &= 185\,\text{N} \end{aligned}$$
Vastaus
a) Voimakuvio ja yhtälöt yllä. b) $a \approx 0{,}80\,\text{m/s}^2$. c) $F_\mu \approx 84\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja kulmassa. d) $N \approx 185\,\text{N} \approx 1{,}9\cdot 10^2\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja kulmassa. Tukivoima on painoa $245\,\text{N}$ pienempi, koska köyden pystykomponentti $T\sin\alpha = 60\,\text{N}$ kannattelee osan painosta: lattian tarvitsee tukea vain loppuosa, $N + T\sin\alpha = mg$.
Järkevyys
Köyden vaakakomponentti $104\,\text{N}$ on suurempi kuin kitka $84\,\text{N}$, joten kokonaisvoima $20\,\text{N}$ osoittaa eteenpäin ja laatikko kiihtyy, kuten taulukko näyttää. Kokonaisvoima $ma = 20\,\text{N}$ on noin viidennes vaakakomponentista. Tarkistus pystysuunnassa:
$185\,\text{N} + 60\,\text{N}$$= 245\,\text{N}$$= mg$ - Tehtävä 6-20
Nosturi nostaa levosta kuorman, jonka massa on $80\,\text{kg}$, suoraan ylös ja pysäyttää sen ylhäällä. Nosto kestää $8{,}0\,\text{s}$ ja siinä on kolme vaihetta: kuorma kiihtyy hetkien $0{,}0\,\text{s}$ ja $2{,}0\,\text{s}$ välillä, liikkuu tasaisella nopeudella hetkien $2{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ välillä ja hidastuu pysähtymiseen hetkien $6{,}0\,\text{s}$ ja $8{,}0\,\text{s}$ välillä. Kunkin vaiheen kiihtyvyys on likimain vakio. Voima-anturi mittaa köyden voiman kuormaan, ja taulukossa on esimerkkiaineisto lukemista. Köyden massa ja ilmanvastus jätetään huomiotta.
a) Piirrä kuorman voimakuvio ensimmäisessä vaiheessa ja kirjoita liikeyhtälö.
b) Laske kuorman kiihtyvyys kussakin vaiheessa käyttäen vaiheen lukemien keskiarvoa.
c) Selitä, miksi köyden voima on kolmannessa vaiheessa painoa pienempi, vaikka kuorma liikkuu ylöspäin.
d) Kuinka korkealle kuorma nostetaan?
Vastauslaatikkoon tulee kohdan d) nostokorkeus.
Köyden voima kuormaan (esimerkkiaineisto) $t\,(\text{s})$ $T\,(\text{N})$ 0,5 881 1,0 878 1,5 883 3,0 786 4,0 783 5,0 785 6,5 691 7,0 688 7,5 690 Vastaus
$h \approx 14{,}4\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 80\,\text{kg}$, kuorma lähtee levosta ja pysähtyy; vaiheet $0$–$2{,}0\,\text{s}$, $2{,}0$–$6{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0$–$8{,}0\,\text{s}$; köyden voima taulukosta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
nostokorkeus $h$ yksikössä $\text{m}$ sekä kiihtyvyys kussakin vaiheessa
Periaate
Kuormaan vaikuttavat paino ja köyden jännitysvoima. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyys saadaan voimien erotuksesta, ja kiihtyvyyden suunta on kokonaisvoiman suunta: ylös, kun köyden voima on painoa suurempi, ja alas, kun se on painoa pienempi. Kun kiihtyvyys tunnetaan, korkeus saadaan liikkeen vaiheiden matkoista (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).
Voimakuvio
Ensimmäisessä vaiheessa kuorma on suorakulmio, $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ alas ja köyden jännitysvoima $\overline{T}$ ylös, jännitysvoima painoa pidempänä. Nopeus ylös ja kiihtyvyys ylös piirretään kuvion viereen erikseen, ei voimiksi. Toisessa vaiheessa nuolet ovat yhtä pitkät ja kolmannessa jännitysvoima on painoa lyhyempi.
Kuvaajan lukeminen
Taulukon lukemat jaetaan vaiheisiin hetkien $2{,}0\,\text{s}$ ja $6{,}0\,\text{s}$ mukaan. Vaiheen 1 lukemien summa on $881\,\text{N} + 878\,\text{N} + 883\,\text{N} = 2642\,\text{N}$, joten keskiarvo on $880{,}7\,\text{N}$. Vaiheessa 2 summa on $2354\,\text{N}$ ja keskiarvo $784{,}7\,\text{N}$, vaiheessa 3 summa on $2069\,\text{N}$ ja keskiarvo $689{,}7\,\text{N}$.
Kaava
$T - mg = m a_y$, joten $a_y = \dfrac{T - mg}{m}$. Suurin nopeus on $v_\text{max} = a_1 \Delta t_1$, ja matkat ovat $h_1 = \tfrac12 a_1 \Delta t_1^2$, $h_2 = v_\text{max}\,\Delta t_2$ ja $h_3 = \tfrac12 v_\text{max}\,\Delta t_3$, koska kolmannessa vaiheessa nopeus pienenee tasaisesti nollaan. Korkeus on $h = h_1 + h_2 + h_3$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina, massa kilogrammoina ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Paino on
$mg$$= 80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$$= 784{,}8\,\text{N}$Sijoitus
Kiihtyvyydet:
$$\begin{aligned} a_1 &= \frac{880{,}7 - 784{,}8}{80}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &= 1{,}20\,\text{m/s}^2 \\ a_2 &= \frac{784{,}7 - 784{,}8}{80}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &\approx 0 \\ a_3 &= \frac{689{,}7 - 784{,}8}{80}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &= -1{,}19\,\text{m/s}^2 \end{aligned}$$
Suurin nopeus on
$v_\text{max}$$= 1{,}198\,\text{m/s}^2\cdot 2{,}0\,\text{s}$$= 2{,}397\,\text{m/s}$Matkat:
$$\begin{aligned} h_1 &= \tfrac12\cdot 1{,}198\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot (2{,}0\,\text{s})^2 \\ &= 2{,}40\,\text{m} \\ h_2 &= 2{,}397\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 4{,}0\,\text{s} \\ &= 9{,}59\,\text{m} \\ h_3 &= \tfrac12\cdot 2{,}397\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2{,}0\,\text{s} \\ &= 2{,}40\,\text{m} \end{aligned}$$
Korkeus on
$h$$= 2{,}40\,\text{m} + 9{,}59\,\text{m} + 2{,}40\,\text{m}$$= 14{,}38\,\text{m}$Vastaus
a) Voimakuvio ja yhtälö yllä. b) $a_1 \approx 1{,}2\,\text{m/s}^2$ ylös, $a_2 \approx 0$ ja $a_3 \approx -1{,}2\,\text{m/s}^2$ eli kiihtyvyys alas. c) Kolmannessa vaiheessa kokonaisvoima osoittaa alas, joten köyden voima on painoa pienempi, vaikka nopeus osoittaa ylös: kuorma hidastuu. Kiihtyvyyden suunta on kokonaisvoiman suunta, ei liikkeen suunta. d) $h \approx 14{,}4\,\text{m}$ eli kahden merkitsevän numeron tarkkuudella $14\,\text{m}$ kuten massassa $80\,\text{kg}$; vastauslaatikkoon käy tarkempi arvo $14{,}4\,\text{m}$.
Järkevyys
Tasaisessa vaiheessa köyden voima $785\,\text{N}$ on sama kuin paino $785\,\text{N}$, kuten pitää. Nopeuden muutokset kumoavat toisensa: vaiheessa 3 nopeus pienenee $1{,}19\,\text{m/s}^2\cdot 2{,}0\,\text{s} = 2{,}38\,\text{m/s}$, eli lähes arvosta $2{,}40\,\text{m/s}$ nollaan, joten nosto päättyy levossa kuten tehtävässä. Korkeus on myös suurimman nopeuden ja ajan tulo: kiihdytys- ja hidastusvaihe kattavat yhdessä saman matkan kuin tasainen nopeus ajassa $2{,}0\,\text{s}$, joten
$h$$= v_\text{max}\cdot 6{,}0\,\text{s}$$= 2{,}397\,\text{m/s}\cdot 6{,}0\,\text{s}$$= 14{,}4\,\text{m}$