Newtonin toinen laki

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Leikkiautoon, jonka massa on $2{,}5\,\text{kg}$, vaikuttaa vaakasuora kokonaisvoima $6{,}0\,\text{N}$. Kuinka suuri on leikkiauton kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $2{,}4\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 2{,}5\,\text{kg}$, kokonaisvoima $\Sigma F = 6{,}0\,\text{N}$ vaakasuoraan

   Kysytty

   kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima määrää kiihtyvyyden: $\Sigma F = ma$. Kokonaisvoima on annettu suoraan, joten voimia ei tarvitse laskea yhteen.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$, joten $a = \dfrac{\Sigma F}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{6{,}0\,\text{N}}{2{,}5\,\text{kg}}$

   $= 2{,}4\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $2{,}4\,\text{m/s}^2$

   Kokonaisvoiman suuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa $6{,}0\,\text{N}$ ja $2{,}5\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on hieman yli kaksi kertaa niin monta newtonia kuin massa on kilogrammoja, joten kiihtyvyys on hieman yli $2\,\text{m/s}^2$. Leikkiauton nopeus kasvaa sekunnissa $2{,}4\,\text{m/s}$, mikä sopii reippaaseen tönäisyyn.

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Pyöräilijä ja polkupyörä, joiden yhteismassa on $80\,\text{kg}$, kiihtyvät vaakasuoralla tiellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$:n kiihtyvyydellä. Kuinka suuri kokonaisvoima niihin vaikuttaa?

   NTarkista
   Vastaus

   $120\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   yhteismassa $m = 80\,\text{kg}$, kiihtyvyys $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Newtonin toinen laki: kiihtyvyys syntyy kokonaisvoimasta, ja $\Sigma F = ma$. Pyöräilijää ja pyörää käsitellään yhtenä kappaleena, koska ne liikkuvat yhdessä.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = \text{N}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 80\,\text{kg}\cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   $= 120\,\text{N}$

   Vastaus

   $120\,\text{N}$

   Eli $1{,}2\cdot 10^{2}\,\text{N}$ liikkeen suuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $80\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $1{,}5\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on noin kuudesosa pyöräilijän ja pyörän painosta $80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 785\,\text{N}$, joten kiihtyvyys on noin kuudesosa putoamiskiihtyvyydestä, $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Kokonaisvoima on se, mitä jää, kun tien voima renkaaseen vähennetään vastusvoimilla.

3. Tehtävä 5-3

   Kappaleeseen vaikuttaa kokonaisvoima $45\,\text{N}$, ja sen kiihtyvyys on $3{,}0\,\text{m/s}^2$. Mikä on kappaleen massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $15\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kokonaisvoima $\Sigma F = 45\,\text{N}$, kiihtyvyys $a = 3{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   massa $m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan $\Sigma F = ma$. Kun kokonaisvoima ja kiihtyvyys tunnetaan, massa saadaan ratkaisemalla laki massan suhteen: massa kertoo, kuinka paljon voimaa tarvitaan tiettyyn kiihtyvyyteen.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$, joten $m = \dfrac{\Sigma F}{a}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $\dfrac{\text{N}}{\text{m/s}^2}$$= \dfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}^2}{\text{m/s}^2}$

   $= \text{kg}$

   joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{45\,\text{N}}{3{,}0\,\text{m/s}^2}$

   $= 15\,\text{kg}$

   Vastaus

   $15\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa $45\,\text{N}$ ja $3{,}0\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Tarkistus kertomalla: $15\,\text{kg}\cdot 3{,}0\,\text{m/s}^2 = 45\,\text{N}$, joka on annettu kokonaisvoima. Yksikkö tulee kilogrammoiksi, kuten massalle pitää.

4. Tehtävä 5-4

   Laatikkoa, jonka massa on $12\,\text{kg}$, vedetään vaakasuoralla lattialla vaakasuoraan suuntaan $38\,\text{N}$:n voimalla. Lattian kitkavoima laatikkoon on $20\,\text{N}$. Piirrä laatikon voimakuvio. Kuinka suuri on laatikon kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 12\,\text{kg}$, vetävä voima $F = 38\,\text{N}$ vaakasuoraan, kitkavoima $F_\mu = 20\,\text{N}$

   Kysytty

   laatikon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kiihtyvyyden määrää kokonaisvoima Newtonin toisen lain mukaan, ei vetävä voima yksin. Pystysuunnassa laatikko ei kiihdy, joten pystysuorat voimat kumoavat toisensa ja kokonaisvoima on vaakasuora.

   Voimakuvio

   Laatikko suorakulmiona, positiivinen suunta vedon suuntaan. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, yhtä pitkinä. Vetävä voima $\overline{F}$ eteenpäin ja lattian kitkavoima $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta taaksepäin, vetävää voimaa lyhyempänä.

   Kaava

   Vaakasuunnassa $F - F_\mu = ma$, joten $a = \dfrac{F - F_\mu}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{38\,\text{N} - 20\,\text{N}}{12\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{18\,\text{N}}{12\,\text{kg}}$

   $= 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Vedon suuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $38\,\text{N} : 12\,\text{kg} \approx 3{,}2\,\text{m/s}^2$. Kitka vie yli puolet vetävästä voimasta, joten kiihtyvyys on alle puolet siitä, kuten pitääkin.

5. Tehtävä 5-5

   Rakennustyömaalla nostetaan $8{,}0\,\text{kg}$:n ämpäriä köydellä suoraan ylöspäin tasaisella nopeudella. Piirrä ämpärin voimakuvio. Kuinka suuri on köyden jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $78\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 8{,}0\,\text{kg}$, ämpäri nousee tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on nolla, vaikka ämpäri liikkuu.

   Voimakuvio

   Ämpäri suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös ja paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, yhtä pitkinä. Nopeutta ei piirretä voimaksi.

   Kaava

   $T - mg = 0$, joten $T = mg$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 8{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 78{,}48\,\text{N}$

   Vastaus

   $78\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $8{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kilogramman paino on noin $10\,\text{N}$, joten kahdeksan kilon ämpärin paino on noin $80\,\text{N}$. Köysi kannattelee koko painon eikä enempää, koska ylöspäin liikkuminen tasaisella nopeudella ei vaadi kokonaisvoimaa.

6. Tehtävä 5-6

   Hissi nousee ylöspäin ja hidastuu pysähtyäkseen. Positiivinen suunta on ylös. Mikä väite hissiin vaikuttavasta kokonaisvoimasta $\Sigma\overline{F}$ on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kokonaisvoima osoittaa ylös, koska köyden voima on aina painoa suurempi hissin noustessa.
   • Kokonaisvoima osoittaa ylös, koska hissi liikkuu ylöspäin ja nopeus määrää voiman suunnan.
   • Kokonaisvoima osoittaa alas, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa alaspäin.
   • Kokonaisvoima on nolla, koska hissin liikkeen suunta pysyy koko ajan samana ylöspäin.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kokonaisvoima osoittaa alas, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa alaspäin.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mihin suuntaan hissiin vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma\overline{F}$ osoittaa, kun hissi nousee ja hidastuu

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$, joten kokonaisvoima osoittaa aina kiihtyvyyden suuntaan. Kiihtyvyyden suunta on nopeuden muutoksen suunta: kun nopeus pienenee, kiihtyvyys osoittaa nopeutta vastaan.

   Mallivastaus

   Oikea väite on se, jonka mukaan kokonaisvoima osoittaa alas, koska nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa alas. Hissi liikkuu yhä ylöspäin, mutta sen nopeus pienenee, joten kiihtyvyys ja kokonaisvoima osoittavat alas. Köyden voima on silloin painoa pienempi. Väite, jonka mukaan nopeuden suunta ratkaisee kokonaisvoiman suunnan, sekoittaa nopeuden ja kiihtyvyyden. Väite nollasta kokonaisvoimasta pätisi vain tasaisessa nousussa. Väite, jonka mukaan köyden voima on aina painoa suurempi, pätee vain nousua aloittaessa.

7. Tehtävä 5-7

   Jääkiekkokiekon massa on $170\,\text{g}$. Mailan isku antaa kiekolle vaakasuoran kiihtyvyyden $400\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri kokonaisvoima kiekkoon vaikuttaa iskun aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $68\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 170\,\text{g}$, $a = 400\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyys syntyy kokonaisvoimasta: $\Sigma F = ma$. Kiekon kiihtyvyys ja massa tunnetaan, joten kokonaisvoima saadaan, kun massa on ensin kilogrammoina.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$

   Muunnokset

   $170\,\text{g}$$= 170 : 1000\,\text{kg}$

   $= 0{,}17\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 0{,}17\,\text{kg}\cdot 400\,\text{m/s}^2$

   $= 68\,\text{N}$

   Vastaus

   $68\,\text{N}$

   Liikkeen suuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $170\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Kiekon paino on $0{,}17\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}7\,\text{N}$, joten isku on noin $40$ kertaa painon suuruinen, kun kiihtyvyys on noin $40$ kertaa putoamiskiihtyvyys: $400 : 9{,}81 \approx 41$. Pieni kiekko tarvitsee suuren voiman, koska kiihtyvyys on suuri.

8. Tehtävä 5-8

   Moottorikelkkaan vaikuttaa vaakasuora kokonaisvoima $0{,}60\,\text{kN}$, ja sen kiihtyvyys on $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Mikä on moottorikelkan massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\cdot 10^{2}\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\Sigma F = 0{,}60\,\text{kN}$, $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   massa $m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Newtonin toinen laki $\Sigma F = ma$ yhdistää kokonaisvoiman, massan ja kiihtyvyyden. Kun kaksi niistä tunnetaan, kolmas saadaan ratkaisemalla laki sen suhteen.

   Kaava

   $\Sigma F = ma$, joten $m = \dfrac{\Sigma F}{a}$

   Muunnokset

   $0{,}60\,\text{kN}$$= 0{,}60 \cdot 1000\,\text{N}$

   $= 600\,\text{N}$

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{600\,\text{N}}{1{,}5\,\text{m/s}^2}$

   $= 400\,\text{kg}$

   Vastaus

   $4{,}0\cdot 10^{2}\,\text{kg}$

   Eli $400\,\text{kg}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Tarkistus kertomalla: $400\,\text{kg}\cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2 = 600\,\text{N}$. Moottorikelkan massa on realistisesti muutama sata kilogrammaa.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-9Ydintehtävä

   Henkilöauto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, kiihdyttää vaakasuoralla tiellä levosta nopeuteen $90\,\text{km/h}$ tasaisesti $10\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on autoon vaikuttava kokonaisvoima kiihdytyksen aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $3000\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1200\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 0$, loppunopeus $v = 90\,\text{km/h}$, aika $\Delta t = 10\,\text{s}$, tasainen kiihtyminen

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Auton nopeus kasvaa tasaisesti, joten sen kiihtyvyys on vakio ja saadaan nopeuden muutoksesta. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on massa kertaa kiihtyvyys.

   Kaava

   $a = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$ ja $\Sigma F = ma$, joten

   $\Sigma F$$= \dfrac{m(v - v_0)}{\Delta t}$

   Muunnokset

   $90\,\text{km/h}$$= 90 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 25\,\text{m/s}$

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= \dfrac{1200\,\text{kg}\cdot(25\,\text{m/s} - 0)}{10\,\text{s}}$

   $= 1200\,\text{kg}\cdot 2{,}5\,\text{m/s}^2$

   $= 3000\,\text{N}$

   Vastaus

   $3000\,\text{N}$

   Eli $3{,}0\,\text{kN}$ liikkeen suuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $10\,\text{s}$ ja nopeudessa $90\,\text{km/h}$.

   Järkevyys

   Kiihtyvyys $2{,}5\,\text{m/s}^2$ on tavallisen henkilöauton reipas kiihdytys. Kokonaisvoima on noin neljäsosa auton painosta $1200\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 12\,\text{kN}$, samoin kuin kiihtyvyys on noin neljäsosa putoamiskiihtyvyydestä.

2. Tehtävä 5-10Ydintehtävä

   Hissikori, jonka massa matkustajineen on $900\,\text{kg}$, lähtee liikkeelle alaspäin kiihtyvyydellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on kannatinköyden jännitysvoima kiihdytyksen aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $7500\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 900\,\text{kg}$, kiihtyvyys alaspäin $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kannatinköyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Hissi kiihtyy alaspäin, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa alas ja on $ma$. Paino on siis köyden voimaa suurempi.

   Voimakuvio

   Hissikori matkustajineen suorakulmiona, positiivinen suunta alas, kiihtyvyyden suuntaan. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja köyden jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös, painoa lyhyempänä. Kiihtyvyys merkitään erikseen, ei voimaksi.

   Kaava

   $mg - T = ma$, joten $T = m(g - a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 900\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1{,}5\,\text{m/s}^2)$

   $= 900\,\text{kg}\cdot 8{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 7479\,\text{N}$

   Vastaus

   $7500\,\text{N}$

   Eli $7{,}5\,\text{kN}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä $1{,}5\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Hissin paino on $900\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 8{,}8\,\text{kN}$. Köyden voima on sitä $ma = 1{,}35\,\text{kN}$ pienempi, jotta kokonaisvoima osoittaa alas. Hissin lähtiessä alas matkustaja tuntee itsensä hetken kevyemmäksi.

3. Tehtävä 5-11

   Nosturi laskee $120\,\text{kg}$:n kuormaa alaspäin nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$. Juuri ennen maata kuorma hidastuu tasaisesti ja pysähtyy $2{,}0\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on köyden jännitysvoima hidastumisen aikana?

   NTarkista
   Vastaus

   $1300\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 120\,\text{kg}$, nopeus alaspäin $v_0 = 2{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 0$, aika $\Delta t = 2{,}0\,\text{s}$, tasainen hidastuminen; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kuorma liikkuu alas mutta hidastuu, joten sen kiihtyvyys osoittaa ylös. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan eli ylös, joten köyden voima on painoa suurempi.

   Voimakuvio

   Kuorma suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös, painoa pidempänä, ja paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas. Nopeus alas ja kiihtyvyys ylös merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   Kiihtyvyyden suuruus $a = \dfrac{|v - v_0|}{\Delta t}$ ylöspäin, ja $T - mg = ma$, joten $T = m(g + a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{2{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{s}}$

   $= 1{,}0\,\text{m/s}^2$

   $T$$= 120\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}0\,\text{m/s}^2)$

   $= 120\,\text{kg}\cdot 10{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 1297{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $1300\,\text{N}$

   Eli $1{,}3\,\text{kN}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $2{,}0\,\text{m/s}$ ja ajassa $2{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Kuorman paino on $120\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}18\,\text{kN}$. Köyden voima on sitä $ma = 120\,\text{N}$ suurempi, jotta kokonaisvoima osoittaa ylös ja pysäyttää alaspäin liikkuvan kuorman. Jos köysi kannattelisi vain painon, kuorma jatkaisi alas tasaisella nopeudella.

4. Tehtävä 5-12

   Kaksi lasta vetää $30\,\text{kg}$:n kärryä vaakasuoralla pihalla vaakasuorilla naruilla vastakkaisiin suuntiin. Toinen vetää $60\,\text{N}$:n ja toinen $45\,\text{N}$:n voimalla. Kitka jätetään huomiotta. Kuinka suuri on kärryn kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 30\,\text{kg}$, voimat $F_\text{a} = 60\,\text{N}$ ja $F_\text{b} = 45\,\text{N}$ vaakasuoraan vastakkaisiin suuntiin, ei kitkaa

   Kysytty

   kärryn kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kiihtyvyyden määrää kokonaisvoima. Vastakkaissuuntaiset voimat vähennetään toisistaan, ja pystysuunnassa paino ja maan tukivoima kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, positiivinen suunta suuremman vedon suuntaan. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, yhtä pitkinä. Narun voima $\overline{F}_\text{a}$ toisesta kyljestä eteenpäin ja $\overline{F}_\text{b}$ toisesta kyljestä taaksepäin, lyhyempänä.

   Kaava

   $F_\text{a} - F_\text{b} = ma$, joten

   $a$$= \dfrac{F_\text{a} - F_\text{b}}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{60\,\text{N} - 45\,\text{N}}{30\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{15\,\text{N}}{30\,\text{kg}}$

   $= 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Suuremman vedon suuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Kärry kiihtyy voimakkaamman vetäjän suuntaan, kuten köydenvedossa. Jos kumpikin vetäisi $60\,\text{N}$:lla, kokonaisvoima ja kiihtyvyys olisivat nolla. Kokonaisvoima $15\,\text{N}$ on paljon pienempi kuin kumpikaan veto, joten kiihtyvyys on pieni.

5. Tehtävä 5-13

   Ilmatyynyradalla kärryä veti vaakasuora vakiovoima, jonka suuruutta muutettiin. Kärryn massa pysyi samana, ja kitka oli niin pieni, että se voidaan jättää huomiotta. Kullakin voimalla $F$ mitattiin kärryn kiihtyvyys $a$. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   Piirrä mittauspisteistä $(F, a)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora origon kautta. Määritä suoran kulmakerroin ja sen avulla kärryn massa. Vastauslaatikkoon kärryn massa.

   Kärryn kiihtyvyys eri vetovoimilla (esimerkkiaineisto)

   $F\,(\text{N})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   0,20	0,41
   0,40	0,78
   0,60	1,22
   0,80	1,58
   1,00	2,03

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon pisteet $(F, a)$, esimerkiksi $F = 1{,}00\,\text{N}$ ja $a = 2{,}03\,\text{m/s}^2$; massa vakio, kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   kärryn massa $m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Kitka on pieni, joten vetovoima on kokonaisvoima, ja Newtonin toisen lain mukaan $a = \dfrac{1}{m}F$. Kiihtyvyys on verrannollinen voimaan, joten kuvaajan suora kulkee origon kautta (ei voimaa, ei kiihtyvyyttä) ja sen kulmakerroin on $\dfrac{1}{m}$.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet piirretään $(F, a)$-koordinaatistoon ja pisteiden lomaan sovitetaan suora origon kautta. Suoralta luetaan piste $F = 1{,}00\,\text{N}$, $a = 2{,}01\,\text{m/s}^2$. Kulmakerroin lasketaan origon ja tämän pisteen avulla, ei kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä.

   Kaava

   $k = \dfrac{a}{F} = \dfrac{1}{m}$, joten $m = \dfrac{1}{k}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{N}}$$= \dfrac{1}{\text{kg}}$

   joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{2{,}01\,\text{m/s}^2 - 0\,\text{m/s}^2}{1{,}00\,\text{N} - 0\,\text{N}}$

   $= 2{,}01\,\tfrac{1}{\text{kg}}$

   $m$$= \dfrac{1}{2{,}01\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 0{,}4975\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin luetaan kuvaajasta noin kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Mittauspisteissä $a : F$ on $0{,}41 : 0{,}20 \approx 2{,}05\,\tfrac{1}{\text{kg}}$ ja $2{,}03 : 1{,}00 = 2{,}03\,\tfrac{1}{\text{kg}}$, eli kaikki suhteet ovat lähellä arvoa $2{,}0\,\tfrac{1}{\text{kg}}$. Massa $0{,}5\,\text{kg}$ sopii pieneen ilmatyynykärryyn. Pisteet eivät ole täsmälleen suoralla mittauksen satunnaisvaihtelun vuoksi.

6. Tehtävä 5-14

   Kärryä vedettiin vaakasuoralla radalla joka kerta samalla vaakasuoralla voimalla. Kärryn massaa $m$ muutettiin lisäämällä siihen punnuksia, ja kullakin massalla mitattiin kiihtyvyys $a$. Kitka oli pieni ja jätetään huomiotta. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Laske jokaiselle massalle käänteisluku $1/m$ ja piirrä $(1/m, a)$-kuvaaja. Sovita pisteisiin suora origon kautta ja määritä sen kulmakerroin. Mitä kulmakerroin kertoo?

   b) Mitkä suureet piti pitää vakioina, jotta mittaus on oikeudenmukainen? Vastauslaatikkoon vetävän voiman suuruus.

   Kärryn kiihtyvyys eri massoilla (esimerkkiaineisto)

   $m\,(\text{kg})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   0,20	6,1
   0,30	3,9
   0,40	3,1
   0,50	2,4
   0,60	2,0

   NTarkista
   Vastaus

   $1{,}2\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vetovoima vakio, taulukon pisteet $(m, a)$, esimerkiksi $m = 0{,}20\,\text{kg}$ ja $a = 6{,}1\,\text{m/s}^2$; kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   vetävän voiman suuruus $F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Vakiovoimalla $a = F \cdot \dfrac{1}{m}$, joten kiihtyvyys on verrannollinen massan käänteislukuun $\dfrac{1}{m}$. Käänteisluvun avulla käyrä $(m, a)$ muuttuu suoraksi, ja suoran kulmakerroin on voima $F$. Suora kulkee origon kautta, koska hyvin suurella massalla kiihtyvyys olisi lähes nolla. Kulmakertoimen ja suoran mielekkyyden edellytys on, että vain massa muuttuu: vetävän voiman, alustan ja kitkan pitää pysyä samoina.

   Kuvaajan lukeminen

   Käänteisluvut ovat $5{,}0$, $3{,}3$, $2{,}5$, $2{,}0$ ja $1{,}7\,\tfrac{1}{\text{kg}}$. Pisteet $(1/m, a)$ asettuvat suoralle, ja suoralta luetaan pisteet $(0, 0)$ ja $(5{,}0\,\tfrac{1}{\text{kg}}, 6{,}0\,\text{m/s}^2)$.

   Kaava

   $a = F \cdot \dfrac{1}{m}$, joten kulmakerroin $k = \dfrac{\Delta a}{\Delta(1/m)} = F$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $\text{kg}\cdot\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$= \text{N}$

   joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $F$$= k$

   $= \dfrac{6{,}0\,\text{m/s}^2 - 0\,\text{m/s}^2}{5{,}0\,\tfrac{1}{\text{kg}} - 0\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 1{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   a) kulmakerroin on vetävä voima $F$; b) vakioina pidettiin vetävä voima, rata ja kitka, vain massa muuttui. Voiman suuruus on $1{,}2\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyyksien lukemissa.

   Järkevyys

   Jokaisessa pisteessä $ma$ on lähellä samaa arvoa: $0{,}20\,\text{kg} \cdot 6{,}1\,\text{m/s}^2 = 1{,}22\,\text{N}$ ja $0{,}50\,\text{kg} \cdot 2{,}4\,\text{m/s}^2 = 1{,}20\,\text{N}$. Jos massa kaksinkertaistuu, kiihtyvyys puolittuu: $0{,}30\,\text{kg}$ antaa $3{,}9\,\text{m/s}^2$ ja $0{,}60\,\text{kg}$ antaa $2{,}0\,\text{m/s}^2$.

7. Tehtävä 5-15

   Nosturi laskee betonielementin, jonka massa on $820\,\text{kg}$, laiturille. Elementti liikkuu alaspäin ja hidastuu tasaisesti, ja sen kiihtyvyyden suuruus on $1{,}20\,\text{m/s}^2$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Opiskelija laski köyden jännitysvoiman näin: ”Elementti liikkuu alaspäin, joten kiihtyvyys osoittaa alas. Siis $mg - T = ma$, josta $T = m(g - a) = 820\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1{,}20\,\text{m/s}^2) = 7{,}06\,\text{kN}$.”

   Mikä on opiskelijan ratkaisun virhe? Laske oikea köyden jännitysvoima. Vastauslaatikkoon köyden jännitysvoiman suuruus.

   NTarkista
   Vastaus

   $9030\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 820\,\text{kg}$, kiihtyvyyden suuruus $a = 1{,}20\,\text{m/s}^2$, elementti liikkuu alas ja hidastuu; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$ ja opiskelijan ratkaisun virhe

   Periaate

   Newtonin toisen lain $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$ mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan, ei nopeuden suuntaan. Elementti liikkuu alas mutta hidastuu, joten sen nopeus pienenee ja kiihtyvyys osoittaa ylös. Opiskelija valitsi kiihtyvyyden suunnaksi liikkeen suunnan eli alas. Köyden täytyy vetää ylöspäin painoa enemmän, jotta kokonaisvoima osoittaa ylös.

   Voimakuvio

   Betonielementti suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös ja paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas. Nuoli $\overline{T}$ on pidempi kuin $\overline{G}$. Nopeus osoittaa alas ja kiihtyvyys ylös.

   Kaava

   $T - mg = ma$, joten $T = m(g + a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 820\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}20\,\text{m/s}^2)$

   $= 820\,\text{kg}\cdot 11{,}01\,\text{m/s}^2$

   $= 9028{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $9030\,\text{N}$

   Eli $9{,}03\,\text{kN}$, kolme merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä $1{,}20\,\text{m/s}^2$. Opiskelijan virhe oli ottaa kiihtyvyyden suunnaksi liikkeen suunta alas: kiihtyvyys osoittaa ylös, koska elementti hidastuu.

   Järkevyys

   Paino on $820\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 8044{,}2\,\text{N}$. Hidastavaan kiihtyvyyteen tarvitaan lisäksi $820\,\text{kg}\cdot 1{,}20\,\text{m/s}^2 = 984\,\text{N}$, ja summa on $9028{,}2\,\text{N}$. Opiskelijan tulos $7{,}06\,\text{kN}$ olisi painoa pienempi, jolloin elementti kiihtyisi alas eikä hidastuisi.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 5-16

   Opiskelija, jonka massa on $60{,}0\,\text{kg}$, seisoo hississä henkilövaa'an päällä. Vaaka mittaa voiman, jolla se tukee opiskelijaa, ja näyttää sen kilogrammoina eli jakaa voiman luvulla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kun hissi lähtee liikkeelle, vaaka näyttää hetken $54{,}0\,\text{kg}$.

   Kuinka suuri on hissin kiihtyvyys, ja mihin suuntaan se osoittaa?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}98\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   opiskelijan massa $m = 60{,}0\,\text{kg}$, vaa'an lukema $54{,}0\,\text{kg}$ eli vaa'an tukivoima $N = 54{,}0\,\text{kg}\cdot g$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hissin (ja opiskelijan) kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja sen suunta

   Periaate

   Vaaka ei mittaa massaa vaan tukivoimaa, jolla se työntää opiskelijaa. Opiskelija kiihtyy hissin mukana, joten Newtonin toisen lain mukaan tukivoiman ja painon erotus on $ma$.

   Voimakuvio

   Opiskelija suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja vaa'an tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Lukema on pienempi kuin massa, joten $\overline{N}$ on lyhyempi kuin $\overline{G}$ ja kokonaisvoima osoittaa alas.

   Kaava

   $N - mg = ma$, joten $a = \dfrac{N - mg}{m}$

   Muunnokset

   Vaa'an lukema muunnetaan voimaksi:

   $N$$= 54{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 529{,}74\,\text{N}$

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{529{,}74\,\text{N} - 60{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{60{,}0\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{529{,}74\,\text{N} - 588{,}6\,\text{N}}{60{,}0\,\text{kg}}$

   $= -0{,}981\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $0{,}98\,\text{m/s}^2$

   Alaspäin, kaksi merkitsevää numeroa, koska lukemien erotus $6{,}0\,\text{kg}$ on kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Vaaka näyttää kymmenen prosenttia liian vähän, joten kiihtyvyys on kymmenesosa putoamiskiihtyvyydestä, $0{,}1\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Miinusmerkki tarkoittaa kiihtyvyyttä alas: hissi lähtee liikkeelle alaspäin. Sama lukema näkyisi myös, jos ylöspäin liikkuva hissi hidastuisi.

2. Tehtävä 5-17

   Tyhjä puutavara-auto, jonka massa on $10\,\text{t}$, kiihtyy levosta nopeuteen $36\,\text{km/h}$ tasaisesti $8{,}0\,\text{s}$:ssa. Täyteen lastattuna sen massa on $25\,\text{t}$. Oletetaan, että kokonaisvoima on kiihdytyksen aikana sama kuin tyhjällä autolla.

   Kuinka kauan lastatulta autolta kestää kiihtyä levosta nopeuteen $36\,\text{km/h}$?

   sTarkista
   Vastaus

   $20\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tyhjän auton massa $m_1 = 10\,\text{t}$, lastatun $m_2 = 25\,\text{t}$, nopeuden muutos $\Delta v = 36\,\text{km/h}$, tyhjän auton aika $\Delta t_1 = 8{,}0\,\text{s}$, sama kokonaisvoima

   Kysytty

   lastatun auton kiihdytysaika $\Delta t_2$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Tyhjän auton kiihdytyksestä saadaan kokonaisvoima Newtonin toisella lailla. Sama kokonaisvoima antaa suuremmalle massalle pienemmän kiihtyvyyden, ja pienemmällä kiihtyvyydellä sama nopeuden muutos vie pidemmän ajan.

   Kaava

   $\Sigma F$$= m_1 \dfrac{\Delta v}{\Delta t_1}$

   $\Sigma F$$= m_2 \dfrac{\Delta v}{\Delta t_2}$

   joten

   $\Delta t_2$$= \dfrac{m_2 \Delta v}{\Sigma F}$

   Muunnokset

   $36\,\text{km/h}$$= 36 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 10\,\text{m/s}$

   $10\,\text{t} = 10\,000\,\text{kg}$ ja $25\,\text{t} = 25\,000\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 10\,000\,\text{kg}\cdot\dfrac{10\,\text{m/s}}{8{,}0\,\text{s}}$

   $= 12\,500\,\text{N}$

   $\Delta t_2$$= \dfrac{25\,000\,\text{kg}\cdot 10\,\text{m/s}}{12\,500\,\text{N}}$

   $= 20\,\text{s}$

   Vastaus

   $20\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $8{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Massa kasvaa $2{,}5$-kertaiseksi, joten kiihtyvyys pienenee $2{,}5$-kertaisesti ja aika pitenee $2{,}5$-kertaiseksi: $2{,}5\cdot 8{,}0\,\text{s} = 20\,\text{s}$. Tämä selittää, miksi lastattu auto jää liikennevaloista jälkeen.

3. Tehtävä 5-18

   Lapsi liukuu pulkalla vaakasuoralla lumella. Pulkan ja lapsen yhteismassa on $30\,\text{kg}$, ja nopeus on aluksi $4{,}0\,\text{m/s}$. Kukaan ei vedä eikä työnnä pulkkaa. Lumen kitkavoima on $18\,\text{N}$, eikä ilmanvastusta oteta huomioon.

   Kuinka kauan kestää, ennen kuin pulkka pysähtyy?

   sTarkista
   Vastaus

   $6{,}7\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 30\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 4{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 0$, kitkavoima $F_\mu = 18\,\text{N}$

   Kysytty

   aika $\Delta t$ yksikössä $\text{s}$, jonka kuluttua pulkka pysähtyy

   Periaate

   Pulkkaa ei vedetä eikä työnnetä, joten ainoa vaakasuora voima on liikettä vastaan osoittava kitka. Kitka on vakio, joten Newtonin toisen lain mukaan hidastuvuus on vakio, ja pysähtymisaika saadaan nopeuden muutoksesta.

   Voimakuvio

   Pulkka ja lapsi suorakulmiona, positiivinen suunta liikkeen suuntaan. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja lumen tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, yhtä pitkinä. Lumen kitkavoima $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole.

   Kaava

   $-F_\mu = ma$ ja $a = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$, joten $\Delta t = \dfrac{m(v_0 - v)}{F_\mu}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta t$$= \dfrac{30\,\text{kg}\cdot(4{,}0\,\text{m/s} - 0)}{18\,\text{N}}$

   $= \dfrac{120\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{18\,\text{N}}$

   $= 6{,}67\,\text{s}$

   Vastaus

   $6{,}7\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa $4{,}0\,\text{m/s}$, $18\,\text{N}$ ja $30\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Hidastuvuus on $18\,\text{N} : 30\,\text{kg} = 0{,}60\,\text{m/s}^2$, joten nopeus pienenee sekunnissa $0{,}6\,\text{m/s}$, ja $4{,}0\,\text{m/s}$ kuluu noin seitsemässä sekunnissa. Pulkka liikkuu koko ajan eteenpäin, vaikka kokonaisvoima osoittaa taaksepäin: se vain hidastuu.

4. Tehtävä 5-19

   Opiskelijat tutkivat, miten pöytää pitkin vedetyn kärryn kiihtyvyys $a$ riippuu vaakasuorasta vetovoimasta $F$. Kärryn massa pysyi samana. Liikkuvaan kärryyn vaikuttaa alustan vakiosuuruinen kitkavoima. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Piirrä mittauspisteistä $(F, a)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Perustele, miksi suora ei kulje origon kautta.

   b) Määritä suoran kulmakertoimesta kärryn massa.

   c) Määritä kitkavoiman suuruus suoran ja $F$-akselin leikkauskohdasta. Vastauslaatikkoon kitkavoiman suuruus.

   Kärryn kiihtyvyys eri vetovoimilla (esimerkkiaineisto)

   $F\,(\text{N})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   2,0	0,40
   3,0	0,91
   4,0	1,42
   5,0	1,88
   6,0	2,41

   NTarkista
   Vastaus

   $1{,}2\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon pisteet $(F, a)$ väliltä $F = 2{,}0 \ldots 6{,}0\,\text{N}$; massa vakio, kitkavoima vakio

   Kysytty

   kitkavoiman suuruus $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$ (lisäksi kärryn massa $m$)

   Periaate

   Liikkuvaan kärryyn vaikuttaa vetovoima liikkeen suuntaan ja kitka sitä vastaan, joten Newtonin toisen lain mukaan $F - F_\mu = ma$ eli $a = \dfrac{1}{m}F - \dfrac{F_\mu}{m}$. Kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $\dfrac{1}{m}$. Suora ei kulje origon kautta, koska osa vetovoimasta kuluu kitkan voittamiseen: kiihtyvyys on nolla, kun $F = F_\mu$, joten suora leikkaa $F$-akselin kitkavoiman kohdalla.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteiden lomaan sovitetaan suora. Suoralta luetaan kaksi pistettä kaukana toisistaan: $(2{,}0\,\text{N}, 0{,}41\,\text{m/s}^2)$ ja $(6{,}0\,\text{N}, 2{,}40\,\text{m/s}^2)$. Kulmakerroin lasketaan niistä, ja leikkauskohta $F$-akselilla saadaan ensimmäisestä pisteestä kulmakertoimella.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta a}{\Delta F}$

   $= \dfrac{1}{m}$

   joten $m = \dfrac{1}{k}$, ja leikkauskohdassa $a = 0$, joten $F_\mu = F_1 - \dfrac{a_1}{k}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{2{,}40\,\text{m/s}^2 - 0{,}41\,\text{m/s}^2}{6{,}0\,\text{N} - 2{,}0\,\text{N}}$

   $= 0{,}4975\,\tfrac{1}{\text{kg}}$

   $m$$= \dfrac{1}{0{,}4975\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 2{,}01\,\text{kg}$

   $F_\mu$$= 2{,}0\,\text{N} - \dfrac{0{,}41\,\text{m/s}^2}{0{,}4975\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$

   $= 1{,}18\,\text{N}$

   Vastaus

   $1{,}2\,\text{N}$

   ($1{,}18\,\text{N}$ ennen pyöristystä), kaksi merkitsevää numeroa. Kärryn massa on noin $2{,}0\,\text{kg}$. Pisteet eivät ole täsmälleen suoralla mittauksen satunnaisvaihtelun vuoksi, joten tulos on arvio.

   Järkevyys

   Kun $F = 4{,}0\,\text{N}$, kokonaisvoima on

   $4{,}0\,\text{N} - 1{,}18\,\text{N}$$= 2{,}82\,\text{N}$

   $a$$= 2{,}82\,\text{N} : 2{,}01\,\text{kg}$

   $= 1{,}40\,\text{m/s}^2$

   mikä vastaa taulukon arvoa $1{,}42\,\text{m/s}^2$. Kitka on pieni verrattuna painoon $2{,}01\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 19{,}7\,\text{N}$, noin $6\,\%$ siitä, mikä sopii sileälle alustalle.

5. Tehtävä 5-20

   Hississä seisoo henkilö, jonka massa on $70\,\text{kg}$. Hissi lähtee levosta ylöspäin ja liikkuu kolmessa vaiheessa. Vaiheiden 1 ja 2 kiihtyvyydet on mitattu kiihtyvyysanturilla (esimerkkiaineisto), ja positiivinen suunta on ylös.

   Vaiheessa 3 hissi hidastuu tasaisesti ja pysähtyy hetkellä $t = 13{,}0\,\text{s}$.

   a) Laske hissin suurin nopeus.

   b) Laske hissin kiihtyvyys vaiheessa 3.

   c) Piirrä henkilön voimakuvio vaiheessa 3 ja laske lattian tukivoima henkilöön. Vertaa sitä henkilön painoon ja perustele, miksi tukivoima eroaa painosta. Vastauslaatikkoon c)-kohdan tukivoima.

   Hissin kiihtyvyys vaiheissa 1 ja 2 (esimerkkiaineisto)

   Vaihe	$t_{\text{alku}}\,(\text{s})$	$t_{\text{loppu}}\,(\text{s})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   1	0,0	3,0	1,0
   2	3,0	9,0	0,0

   NTarkista
   Vastaus

   $630\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70\,\text{kg}$, vaihe 1: $0 \ldots 3{,}0\,\text{s}$, $a_1 = 1{,}0\,\text{m/s}^2$; vaihe 2: $3{,}0 \ldots 9{,}0\,\text{s}$, $a_2 = 0$; vaihe 3: $9{,}0 \ldots 13{,}0\,\text{s}$, tasainen hidastuminen pysähtymiseen; alkunopeus $0$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   suurin nopeus $v_{\max}$, kiihtyvyys $a_3$ ja lattian tukivoima $N$ vaiheessa 3

   Periaate

   Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeuden muutos on $\Delta v = a\Delta t$. Hissi kiihtyy vain vaiheessa 1, joten suurin nopeus on vaiheen 1 lopussa ja se säilyy vaiheessa 2. Vaiheessa 3 hissi hidastuu pysähtymiseen. Henkilöön vaikuttavat Maa (paino) ja lattia (tukivoima), ja Newtonin toisen lain mukaan niiden summa on $ma$.

   Voimakuvio

   Henkilö suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Nuoli $\overline{N}$ on lyhyempi kuin $\overline{G}$, koska kiihtyvyys osoittaa alas. Nopeus osoittaa ylös.

   Kaava

   $v_{\max}$$= a_1\Delta t_1$

   $a_3$$= \dfrac{0 - v_{\max}}{\Delta t_3}$

   $N - mg = ma_3$, joten $N = m(g + a_3)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Vaiheen 3 kesto on

   $\Delta t_3$$= 13{,}0\,\text{s} - 9{,}0\,\text{s}$

   $= 4{,}0\,\text{s}$

   Sijoitus

   $v_{\max}$$= 1{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 3{,}0\,\text{s}$

   $= 3{,}0\,\text{m/s}$

   $a_3$$= \dfrac{0 - 3{,}0\,\text{m/s}}{4{,}0\,\text{s}}$

   $= -0{,}75\,\text{m/s}^2$

   Tukivoima on

   $N$$= 70\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 0{,}75\,\text{m/s}^2)$

   $= 70\,\text{kg}\cdot 9{,}06\,\text{m/s}^2$

   $= 634{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $630\,\text{N}$

   ($634\,\text{N}$ ennen pyöristystä), kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $70\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä. Suurin nopeus on $3{,}0\,\text{m/s}$ ja kiihtyvyys vaiheessa 3 on $0{,}75\,\text{m/s}^2$ alaspäin. Tukivoima on painoa $mg = 686{,}7\,\text{N}$ pienempi, koska kokonaisvoima ja kiihtyvyys osoittavat alas.

   Järkevyys

   Hissi pysähtyy: $3{,}0\,\text{m/s} - 0{,}75\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}0\,\text{s} = 0$. Tukivoiman ja painon erotus on

   $686{,}7\,\text{N} - 634{,}2\,\text{N}$

   $= 52{,}5\,\text{N}$

   $= 70\,\text{kg}\cdot 0{,}75\,\text{m/s}^2$

   joten voimat täsmäävät liikeyhtälön kanssa. Vaiheessa 1 tukivoima olisi vastaavasti painoa suurempi, $70\,\text{kg}\cdot 10{,}81\,\text{m/s}^2 = 756{,}7\,\text{N}$, ja tasaisessa vaiheessa 2 yhtä suuri kuin paino.