Liikeyhtälö kytketyille kappaleille

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-1Ydintehtävä

   Kärry, jonka massa on $1{,}5\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä. Siihen sidottu lanka vetää sitä vaakasuoraan $3{,}0\,\text{N}$:n voimalla. Piirrä kärryn voimakuvio. Kuinka suuri on kärryn kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1{,}5\,\text{kg}$, langan jännitysvoima $T = 3{,}0\,\text{N}$ vaakasuoraan; kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   kärryn kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kärry kiihtyy vaakasuunnassa, joten Newtonin toisen lain mukaan vaakasuuntaisten voimien summa on massa kertaa kiihtyvyys. Pystysuunnassa kärry ei kiihdy, joten siellä voimat kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, $x$ langan suuntaan. Paino $\overline{G}$ alas ja pöydän tukivoima $\overline{N}$ ylös, yhtä pitkät. Jännitysvoima $\overline{T}$ vaakasuoraan eteenpäin. Vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}$.

   Kaava

   $T = ma$, joten $a = \dfrac{T}{m}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{3{,}0\,\text{N}}{1{,}5\,\text{kg}}$

   $= 2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $3{,}0\,\text{N}$ ja $1{,}5\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Yksi newton antaa kilogramman kappaleelle kiihtyvyyden $1\,\text{m/s}^2$. Voima $3{,}0\,\text{N}$ ja massa $1{,}5\,\text{kg}$ antavat kaksi kertaa sen, ja tulo $1{,}5\,\text{kg} \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2 = 3{,}0\,\text{N}$ palauttaa voiman.

2. Tehtävä 7-2Ydintehtävä

   Punnus, jonka massa on $0{,}60\,\text{kg}$, roikkuu langan varassa ja laskee kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä punnuksen voimakuvio. Kuinka suuri on langan jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $4{,}7\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}60\,\text{kg}$, kiihtyvyys alas $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Punnus kiihtyy alas, joten Newtonin toisen lain mukaan sen kokonaisvoima osoittaa alas ja on $ma$. Siihen vaikuttavat Maa ja lanka.

   Voimakuvio

   Punnus suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös. Nuoli $\overline{G}$ on pidempi, koska kokonaisvoima osoittaa alas.

   Kaava

   $mg - T = ma$, joten $T = m(g - a)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 0{,}60\,\text{kg} \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 - 2{,}0\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}60\,\text{kg} \cdot 7{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 4{,}686\,\text{N}$

   Vastaus

   $4{,}7\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}60\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $2{,}0\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Punnuksen paino on $0{,}60\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 5{,}9\,\text{N}$, ja $4{,}7\,\text{N}$ on sitä pienempi, koska punnus kiihtyy alas. Erotus $1{,}2\,\text{N}$ on $ma = 0{,}60\,\text{kg} \cdot 2{,}0\,\text{m/s}^2$.

3. Tehtävä 7-3

   Kärry, jonka massa on $1{,}0\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä. Siihen sidottu kevyt ja venymätön lanka kulkee pöydän reunalla olevan kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli, ja langan päässä roikkuu punnus, jonka massa on $0{,}40\,\text{kg}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio. Kuinka suuri on langan jännitysvoima, kun kappaleet liikkuvat?

   NTarkista
   Vastaus

   $2{,}8\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 1{,}0\,\text{kg}$, punnus $m_2 = 0{,}40\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta, lanka on kevyt ja venymätön, väkipyörä kevyt ja kitkaton

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kappaleita on kaksi, joten kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Lanka on venymätön, joten kiihtyvyyden suuruus $a$ on sama, ja kevyt lanka sekä kitkaton väkipyörä välittävät voiman muuttumattomana, joten lanka vetää kumpaakin voimalla $T$.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, positiivinen suunta oikealle: $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa, ja vaakasuunnassa vaikuttaa $\overline{T}_1$. Punnus suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $m_2 g = (m_1 + m_2)\,a$, joten $a = \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$, ja $T = m_1 a$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}40\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{1{,}4\,\text{kg}}$

   $= 2{,}803\,\text{m/s}^2$

   $T$$= 1{,}0\,\text{kg} \cdot 2{,}803\,\text{m/s}^2$

   $= 2{,}803\,\text{N}$

   Vastaus

   $2{,}8\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa $1{,}0\,\text{kg}$ ja $0{,}40\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Jännitysvoima on pienempi kuin punnuksen paino $m_2 g = 3{,}9\,\text{N}$, koska punnus kiihtyy alas. Kiihtyvyys

   $a$$= T : m_1$

   $\approx 2{,}8\,\text{m/s}^2$

   on pienempi kuin $g$, ja erotus $3{,}9\,\text{N} - 2{,}8\,\text{N} = 1{,}1\,\text{N}$ on $m_2 a = 0{,}40\,\text{kg} \cdot 2{,}8\,\text{m/s}^2$.

4. Tehtävä 7-4

   Kaksi samanlaista kappaletta, kummankin massa on $3{,}0\,\text{kg}$, roikkuu kevyen langan päissä kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli. Kappaleet ovat levossa. Piirrä toisen kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on langan jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $29\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaksi kappaletta, kummankin massa $m = 3{,}0\,\text{kg}$, levossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; lanka on kevyt, väkipyörä kevyt ja kitkaton

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kappale on levossa, joten Newtonin toisen lain mukaan siihen vaikuttavien voimien summa on nolla. Toisen kappaleen voimakuvio riittää, koska lanka on kevyt ja vetää kumpaakin kappaletta yhtä suurella voimalla.

   Voimakuvio

   Kappale suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät.

   Kaava

   $T - mg = 0$, joten $T = mg$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 3{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 29{,}43\,\text{N}$

   Vastaus

   $29\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $3{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Jännitysvoima on yhden kappaleen paino, ei kahden kappaleen painojen summa $59\,\text{N}$: lanka kannattelee kumpaakin päästään yhdellä voimalla. Jos toinen kappale korvattaisiin seinään kiinnitetyllä koukulla, lanka kestäisi saman voiman.

5. Tehtävä 7-5

   Kaksi kärryä, joiden massat ovat $1{,}0\,\text{kg}$ ja $2{,}0\,\text{kg}$, on sidottu toisiinsa kevyellä langalla kitkattomalla radalla, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kevyempään kärryyn kohdistuu vaakasuora $12\,\text{N}$:n vetovoima, ja kärryt liikkuvat yhdessä.

   Kuinka suuri on kärryjen yhteinen kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärryt $m_1 = 1{,}0\,\text{kg}$ ja $m_2 = 2{,}0\,\text{kg}$, vetovoima $F = 12\,\text{N}$ kevyempään kärryyn; kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   kärryjen yhteinen kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kärryt liikkuvat yhdessä saman kiihtyvyyden suuruudella. Kummallekin kärrylle kirjoitetaan oma liikeyhtälö, ja yhteenlaskussa langan sisäinen voima $T$ poistuu.

   Voimakuvio

   Kevyempi kärry suorakulmiona, positiivinen suunta vetoon päin: vaakasuunnassa vetovoima $\overline{F}$ eteenpäin ja jännitysvoima $\overline{T}_1$ taaksepäin. Raskaampi kärry suorakulmiona: vaakasuunnassa vain $\overline{T}_2$ eteenpäin. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa kummassakin.

   Kaava

   $F - T = m_1 a$ ja $T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $F = (m_1 + m_2)\,a$, joten $a = \dfrac{F}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{12\,\text{N}}{1{,}0\,\text{kg} + 2{,}0\,\text{kg}}$

   $= 4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.

   Järkevyys

   Jännitysvoima on

   $T$$= m_2 a$

   $= 2{,}0\,\text{kg} \cdot 4{,}0\,\text{m/s}^2$

   $= 8{,}0\,\text{N}$

   ja kevyempään kärryyn jää $F - T = 4{,}0\,\text{N} = m_1 a$. Kiihtyvyys on sama kuin jos $3{,}0\,\text{kg}$:n kappaletta vedettäisiin voimalla $12\,\text{N}$.

6. Tehtävä 7-6

   Kärry on kitkattomalla pöydällä ja sidottu langalla väkipyörän yli punnukseen. Punnus laskee ja kärry kiihtyy. Lanka ja väkipyörä ovat kevyet, ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Miten langan jännitysvoima $T$ ja punnuksen paino $G_2$ suhtautuvat toisiinsa?

   Valitse vaihtoehto.

   • $T$ on yhtä suuri kuin $G_2$, koska lanka kannattelee punnusta koko painon verran
   • $T$ on suurempi kuin $G_2$, koska lanka vetää samalla myös kärryä eteenpäin
   • $T$ on pienempi kuin $G_2$, koska punnuksen kokonaisvoima osoittaa alaspäin
   • $T$ on puolet $G_2$:sta, koska lanka jakaa voimansa kahden kappaleen kesken

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   $T$ on pienempi kuin $G_2$, koska punnuksen kokonaisvoima osoittaa alaspäin

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten langan jännitysvoima $T$ ja punnuksen paino $G_2$ suhtautuvat toisiinsa, kun punnus laskee kiihtyen.

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kappaleen kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan. Punnus kiihtyy alas, joten sen kokonaisvoima osoittaa alas. Punnukseen vaikuttavat vain paino alas ja langan jännitysvoima ylös.

   Mallivastaus

   Punnukselle pätee $G_2 - T = m_2 a$, ja koska $a > 0$ alaspäin, $G_2 - T > 0$. Jännitysvoima on siis pienempi kuin punnuksen paino. Lanka ei kannattele koko painoa, koska punnus kiihtyy alas eikä ole levossa. Lanka ei myöskään voi vetää voimakkaammin kuin paino, sillä silloin punnuksen kokonaisvoima osoittaisi ylös eikä punnus laskisi. Lanka vetää kärryä ja punnusta samalla voimalla $T$, joten se ei jaa voimaansa puoliksi: erotus painoon on aina $m_2 a$.

7. Tehtävä 7-7

   Väkipyörän yli kulkevan kevyen ja venymättömän langan päissä roikkuu kaksi kappaletta, joiden massat ovat $0{,}30\,\text{kg}$ ja $0{,}70\,\text{kg}$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kappaleet päästetään liikkeelle. Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on kappaleiden yhteinen kiihtyvyys?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $3{,}9\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m_1 = 0{,}30\,\text{kg}$ ja $m_2 = 0{,}70\,\text{kg}$ langan päissä, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; lanka on kevyt ja venymätön, väkipyörä kevyt ja kitkaton, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   kappaleiden yhteinen kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kummallekin kappaleelle kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Lanka on venymätön, joten kappaleiden kiihtyvyyksillä on sama suuruus $a$, ja kevyt lanka vetää kumpaakin voimalla $T$. Raskaampi kappale laskee ja kevyempi nousee.

   Voimakuvio

   Kevyempi kappale suorakulmiona, positiivinen suunta ylös: $\overline{T}_1$ ylös ja $\overline{G}_1$ alas. Raskaampi kappale suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös. Nuoli $\overline{T}$ on lyhyempi kuin $\overline{G}_2$ ja pidempi kuin $\overline{G}_1$.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $T$ poistuu: $(m_2 - m_1)\,g = (m_1 + m_2)\,a$, joten $a = \dfrac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{(0{,}70\,\text{kg} - 0{,}30\,\text{kg}) \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}30\,\text{kg} + 0{,}70\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{0{,}40 \cdot 9{,}81}{1{,}00}\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}924\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $3{,}9\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa $0{,}30\,\text{kg}$ ja $0{,}70\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kiihtyvyys on pienempi kuin $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, koska kevyempi kappale hidastaa raskaampaa. Jännitysvoima

   $T$$= m_1 (g + a)$

   $= 0{,}30\,\text{kg} \cdot 13{,}73\,\text{m/s}^2$

   $= 4{,}12\,\text{N}$

   antaa raskaammalle

   $m_2 g - T$$= 6{,}87\,\text{N} - 4{,}12\,\text{N}$

   $= 2{,}75\,\text{N}$

   $= m_2 a$
8. Tehtävä 7-8

   Kärry on kitkattomalla pöydällä ja sidottu langalla väkipyörän yli punnukseen, joka laskee. Piirrettäessä kärryn voimakuviota kysytään, mitkä voimat vaikuttavat kärryyn pöydän suunnassa. Mikä väite on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Langan jännitysvoima ja liike-energian voima, koska kärry liikkuu eteenpäin pöydällä
   • Vain punnuksen paino, koska se saa kärryn liikkeelle ja lanka vain välittää sen kärrylle
   • Langan jännitysvoima ja punnuksen paino, koska punnus vetää myös kärryä langan kautta
   • Vain langan jännitysvoima, koska punnuksen paino vaikuttaa punnukseen eikä kärryyn

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Vain langan jännitysvoima, koska punnuksen paino vaikuttaa punnukseen eikä kärryyn

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitkä voimat vaikuttavat kärryyn pöydän suunnassa, kun punnus laskee langan varassa.

   Periaate

   Kappaleen voimakuvioon piirretään vain voimat, jotka kohdistuvat juuri siihen. Jokainen voima syntyy vuorovaikutuksesta: pöydän suunnassa kärryyn koskee vain lanka. Kärryn paino ja pöydän tukivoima ovat pystysuorat.

   Mallivastaus

   Punnuksen paino on Maan voima punnukseen, ja se kuuluu punnuksen voimakuvioon. Lanka välittää punnuksen vaikutuksen kärryyn jännitysvoimana $T$, ja se on kärryn ainoa pöydän suuntainen voima. Kärryn liikeyhtälö pöydän suunnassa on siis $T = m_1 a$. Kärry liikkuu eteenpäin, mutta liike ei ole voima eikä liike-energiaa piirretä voimakuvioon. Koska punnus kiihtyy alas, jännitysvoima on pienempi kuin punnuksen paino: $T < m_2 g$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-9Ydintehtävä

   Nosturin köysi nostaa laatikkoa, jonka massa on $50\,\text{kg}$. Sen alapuolella roikkuu toisen köyden päässä toinen laatikko, jonka massa on $30\,\text{kg}$. Laatikot kiihtyvät ylöspäin kiihtyvyydellä $1{,}2\,\text{m/s}^2$.

   Köydet ovat kevyet ja venymättömät, ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Piirrä kummankin laatikon voimakuvio vihkoon ennen kuin avaat ratkaisun. Kuinka suuri on nosturin köyden jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $880\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylempi laatikko $m_1 = 50\,\text{kg}$, alempi $m_2 = 30\,\text{kg}$, kiihtyvyys ylös $a = 1{,}2\,\text{m/s}^2$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; köydet ovat kevyet ja venymättömät, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   nosturin köyden jännitysvoima $T_1$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Laatikot ovat kaksi kappaletta, ja kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Alempi laatikko roikkuu ylemmästä, joten niillä on sama kiihtyvyys $a$. Kevyen köyden voima on sama köyden kummassakin päässä, joten alempi köysi vetää ylempää laatikkoa alas samalla voimalla $T_2$, jolla se vetää alempaa ylös.

   Voimakuvio

   Ylempi laatikko suorakulmiona, positiivinen suunta ylös: nosturin köyden $\overline{T}_1$ yläpinnasta ylös, paino $\overline{G}_1$ keskipisteestä alas ja alemman köyden $\overline{T}_2$ alapinnasta alas. Alempi laatikko suorakulmiona: $\overline{T}_2$ yläpinnasta ylös ja paino $\overline{G}_2$ alas. Nuoli $\overline{T}_1$ on pisin.

   Kaava

   $T_1 - T_2 - m_1 g = m_1 a$ ja $T_2 - m_2 g = m_2 a$, joten yhteenlaskusta $T_1 = (m_1 + m_2)(g + a)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T_1$$= (50\,\text{kg} + 30\,\text{kg}) \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}2\,\text{m/s}^2)$

   $= 80\,\text{kg} \cdot 11{,}01\,\text{m/s}^2$

   $= 880{,}8\,\text{N}$

   Vastaus

   $880\,\text{N}$

   Eli $8{,}8 \cdot 10^{2}\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä $1{,}2\,\text{m/s}^2$ ja massassa $30\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Laatikoiden yhteinen paino on $80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 785\,\text{N}$, ja kiihtyvä nosto vaatii enemmän. Ylimäärä $96\,\text{N}$ on $(m_1 + m_2)\,a = 80\,\text{kg} \cdot 1{,}2\,\text{m/s}^2$. Alemman köyden voima on

   $T_2$$= m_2 (g + a)$

   $\approx 330\,\text{N}$

   pienempi kuin $T_1$, koska se kantaa vain alemman laatikon.

2. Tehtävä 7-10Ydintehtävä

   Kevyen ja venymättömän langan päissä roikkuu väkipyörän yli kappaleet, joiden massat ovat $0{,}50\,\text{kg}$ ja $1{,}0\,\text{kg}$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kappaleet päästetään liikkeelle. Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on langan jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $6{,}5\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m_1 = 0{,}50\,\text{kg}$ ja $m_2 = 1{,}0\,\text{kg}$ langan päissä, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; lanka on kevyt, väkipyörä kevyt ja kitkaton, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kummallekin kappaleelle kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Raskaampi $m_2$ laskee ja kevyempi $m_1$ nousee samalla kiihtyvyyden suuruudella $a$, koska lanka on venymätön, ja lanka vetää kumpaakin voimalla $T$.

   Voimakuvio

   Kevyempi kappale suorakulmiona, positiivinen suunta ylös: $\overline{T}_1$ ylös ja $\overline{G}_1$ alas. Raskaampi kappale suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten yhteenlaskusta

   $a$$= \dfrac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$

   $T$$= m_1 (g + a)$

   $= \dfrac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}\cdot g$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}50\,\text{kg} \cdot 1{,}0\,\text{kg}}{0{,}50\,\text{kg} + 1{,}0\,\text{kg}} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}6667\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 6{,}54\,\text{N}$

   Vastaus

   $6{,}5\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa $0{,}50\,\text{kg}$ ja $1{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Painot ovat $m_1 g \approx 4{,}9\,\text{N}$ ja $m_2 g \approx 9{,}8\,\text{N}$, ja $6{,}5\,\text{N}$ on niiden välissä: nousevalle kappaleelle $T > G_1$ ja laskevalle $T < G_2$. Kiihtyvyys $a = 3{,}27\,\text{m/s}^2$ antaa samat voimat: $T - G_1 = 1{,}635\,\text{N} = m_1 a$.

3. Tehtävä 7-11

   Jäällä on kaksi kelkkaa, joiden massat ovat $3{,}0\,\text{kg}$ ja $2{,}0\,\text{kg}$. Kelkat on sidottu toisiinsa kevyellä narulla. Raskaampaa kelkkaa vedetään toisella narulla vaakasuoraan $20\,\text{N}$:n voimalla, ja kelkat liikkuvat yhdessä. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä kummankin kelkan voimakuvio.

   Kuinka suuri on kelkkojen välisen narun jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kelkat $m_1 = 3{,}0\,\text{kg}$ (vedettävä) ja $m_2 = 2{,}0\,\text{kg}$, vetovoima $F = 20\,\text{N}$; kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta, narut ovat kevyet ja venymättömät

   Kysytty

   kelkkojen välisen narun jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kelkat liikkuvat yhdessä saman kiihtyvyyden suuruudella $a$. Kummallekin kelkalle kirjoitetaan oma liikeyhtälö; takimmaista kelkkaa vetää vain kelkkojen välinen naru.

   Voimakuvio

   Raskaampi kelkka suorakulmiona, positiivinen suunta vetoon päin: vetovoima $\overline{F}$ eteenpäin ja jännitysvoima $\overline{T}_1$ taaksepäin. Kevyempi kelkka suorakulmiona: vaakasuunnassa vain $\overline{T}_2$ eteenpäin. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa kummassakin.

   Kaava

   $F - T = m_1 a$ ja $T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $a = \dfrac{F}{m_1 + m_2}$, joten $T = m_2 a = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\,F$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{2{,}0\,\text{kg}}{3{,}0\,\text{kg} + 2{,}0\,\text{kg}} \cdot 20\,\text{N}$

   $= 0{,}40 \cdot 20\,\text{N}$

   $= 8{,}0\,\text{N}$

   Vastaus

   $8{,}0\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa.

   Järkevyys

   Narun voima on pienempi kuin vetovoima $20\,\text{N}$, koska se kiihdyttää vain takimmaista kelkkaa. Kiihtyvyys on

   $a$$= 20\,\text{N} : 5{,}0\,\text{kg}$

   $= 4{,}0\,\text{m/s}^2$

   ja etummaiselle kelkalle jää

   $20\,\text{N} - 8{,}0\,\text{N}$$= 12\,\text{N}$

   $= m_1 a$
4. Tehtävä 7-12

   Väkipyörän yli kulkevan kevyen ja venymättömän langan päissä roikkuu kaksi kappaletta. Kevyemmän massa on $0{,}60\,\text{kg}$. Kappaleet päästetään liikkeelle, ja raskaampi laskee kiihtyvyydellä $2{,}0\,\text{m/s}^2$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä kummankin kappaleen voimakuvio.

   Kuinka suuri on raskaamman kappaleen massa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}91\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kevyemmän kappaleen massa $m_1 = 0{,}60\,\text{kg}$, raskaamman kiihtyvyys alas $a = 2{,}0\,\text{m/s}^2$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; lanka on kevyt, väkipyörä kevyt ja kitkaton, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   raskaamman kappaleen massa $m_2$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Kappaleita on kaksi, ja kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Lanka on venymätön, joten kiihtyvyyden suuruus $a$ on sama, ja kevyt lanka vetää kumpaakin voimalla $T$. Kevyempi kappale nousee ja raskaampi laskee.

   Voimakuvio

   Kevyempi kappale suorakulmiona, positiivinen suunta ylös: $\overline{T}_1$ ylös ja $\overline{G}_1$ alas, ja $\overline{T}_1$ on pidempi. Raskaampi kappale suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös, ja $\overline{G}_2$ on pidempi.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Ensimmäisestä $T = m_1 (g + a)$, ja toinen antaa $m_2 (g - a) = T$, joten $m_2 = \dfrac{m_1 (g + a)}{g - a}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m_2$$= \dfrac{0{,}60\,\text{kg} \cdot (9{,}81 + 2{,}0)\,\text{m/s}^2}{(9{,}81 - 2{,}0)\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{7{,}086\,\text{N}}{7{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 0{,}9073\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}91\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}60\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $2{,}0\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Massa $0{,}91\,\text{kg}$ on suurempi kuin $0{,}60\,\text{kg}$, kuten raskaamman kappaleen pitääkin. Tarkistus kaavalla

   $a$$= \dfrac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$

   $= \dfrac{0{,}3073 \cdot 9{,}81}{1{,}5073}\,\text{m/s}^2$

   $\approx 2{,}0\,\text{m/s}^2$

   ja jännitysvoima $T = 7{,}09\,\text{N}$ on painojen $5{,}9\,\text{N}$ ja $8{,}9\,\text{N}$ välissä.

5. Tehtävä 7-13

   Atwoodin koneessa kevyen ja venymättömän langan päissä on väkipyörän yli kaksi punnusta, joiden yhteenlaskettu massa on aina $M = 0{,}500\,\text{kg}$. Väkipyörä on kevyt ja kitkaton. Punnusten massaero $\Delta m = m_2 - m_1$ muutetaan siirtämällä pieniä massoja punnukselta toiselle, ja jokaisella massaerolla mitataan raskaamman punnuksen kiihtyvyys $a$. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksista.

   a) Johda kummankin punnuksen liikeyhtälöstä kaava, jolla $a$ lasketaan massaerosta $\Delta m$.

   b) Piirrä $(\Delta m, a)$-kuvaaja ja sovita siihen suora, joka kulkee origon kautta. Määritä putoamiskiihtyvyys $g$ suoran kulmakertoimesta.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) putoamiskiihtyvyys.

   Atwoodin koneen kiihtyvyys eri massaeroilla (esimerkkiaineisto)

   $\Delta m\,(\text{g})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   50	0,96
   100	2,02
   150	2,88
   200	3,97
   250	4,84

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   punnusten yhteenlaskettu massa $M = 0{,}500\,\text{kg}$; taulukosta $\Delta m = 50$; $100$; $150$; $200$ ja $250\,\text{g}$ sekä $a = 0{,}96$; $2{,}02$; $2{,}88$; $3{,}97$ ja $4{,}84\,\text{m/s}^2$ (esimerkkiaineisto)

   Kysytty

   a) kaava $a$:lle massaeron $\Delta m$ avulla; b) putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kummallekin punnukselle kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Lanka on venymätön ja kevyt, joten punnusten kiihtyvyyden suuruus $a$ ja jännitysvoima $T$ ovat samat. Kun yhtälöt lasketaan yhteen, $T$ poistuu ja jäljelle jää suora verrannollisuus $a \propto \Delta m$. Suoran kulmakertoimesta saadaan $g$.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $(\Delta m, a)$ asettuvat lähes suoralle, joka kulkee origon kautta; yksittäiset pisteet poikkeavat siitä enintään noin $0{,}1\,\text{m/s}^2$, mikä on mittauksen satunnaisvaihtelua. Origon kautta kulkeva sovitussuora osuu viimeisen pisteen kohdalla arvoon $a = 4{,}9\,\text{m/s}^2$, kun $\Delta m = 0{,}250\,\text{kg}$, joten kulmakerroin on

   $k$$= \dfrac{4{,}9\,\text{m/s}^2}{0{,}250\,\text{kg}}$

   $= 19{,}6\,\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{kg}}$

   Kaava

   Kevyempi $m_1$ nousee ja raskaampi $m_2$ laskee: $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$. Yhteenlaskusta $(m_2 - m_1)\,g = (m_1 + m_2)\,a$, joten $a = \dfrac{g}{M}\,\Delta m$. Kulmakerroin on $k = \dfrac{g}{M}$, joten $g = k\,M$

   Muunnokset

   $\Delta m$$= 250\,\text{g}$

   $= 0{,}250\,\text{kg}$

   muut suureet ovat SI-yksiköissä.

   Sijoitus

   $g$$= 19{,}6\,\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{kg}} \cdot 0{,}500\,\text{kg}$

   $= 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska käsin sovitetusta suorasta kulmakerroin saadaan vain kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä tunnettua arvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Pisteiden suhteet $a : \Delta m$ ovat $19{,}2$; $20{,}2$; $19{,}2$; $19{,}9$ ja $19{,}4$ yksikössä $\dfrac{\text{m/s}^2}{\text{kg}}$, siis kaikki lähellä arvoa $19{,}6$. Kaavan mukaan $\Delta m = 250\,\text{g}$ antaa

   $a$$= \dfrac{0{,}250 \cdot 9{,}81}{0{,}500}\,\text{m/s}^2$

   $= 4{,}9\,\text{m/s}^2$

   ja se on pienempi kuin $g$, kuten pitääkin.

6. Tehtävä 7-14

   Kärry, jonka massa on $1{,}20\,\text{kg}$, on kitkattomalla radalla ja sidottu kevyellä ja venymättömällä langalla kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli riippuvaan punnukseen. Kärry päästetään liikkeelle levosta eri punnuksilla, ja jokaisella mitataan kärryn kiihtyvyys $a$. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksista.

   Määritä mittauksesta, jossa punnuksen massa on $0{,}50\,\text{kg}$, langan jännitysvoima kärryn liikeyhtälön avulla. Tarkista tulos punnuksen liikeyhtälöllä samasta mittauksesta. Piirrä ensin kummankin kappaleen voimakuvio.

   Vastauslaatikkoon tulee kärryn liikeyhtälöstä saatu jännitysvoima.

   Kärryn kiihtyvyys eri punnuksilla (esimerkkiaineisto)

   $m_2\,(\text{kg})$	$a\,(\text{m/s}^2)$
   0,10	0,74
   0,20	1,40
   0,30	1,97
   0,50	2,84
   0,70	3,60

   NTarkista
   Vastaus

   $3{,}4\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärryn massa $m_1 = 1{,}20\,\text{kg}$; mittauksesta, jossa punnuksen massa on $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$, kiihtyvyys $a = 2{,}84\,\text{m/s}^2$ (esimerkkiaineisto); $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka jätetään huomiotta, lanka ja väkipyörä ovat kevyet

   Kysytty

   langan jännitysvoima $T$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kärryyn vaikuttaa pöydän suunnassa vain lanka, joten sen liikeyhtälöstä saadaan $T$ suoraan mitatusta kiihtyvyydestä. Tarkistuksena samasta mittauksesta lasketaan $T$ punnuksen liikeyhtälöstä, jossa $T$ on vastakkaissuuntainen painoon.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon rivi $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$ antaa $a = 2{,}84\,\text{m/s}^2$. Kiihtyvyys kasvaa punnuksen massan kasvaessa, mutta ei suoraan verrannollisesti: massa viisinkertaistuu ($0{,}10\,\text{kg} \to 0{,}50\,\text{kg}$), mutta kiihtyvyys vain nelinkertaistuu ($0{,}74 \to 2{,}84\,\text{m/s}^2$).

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, positiivinen suunta langan suuntaan: $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa, vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$. Punnus suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   Kärry: $T = m_1 a$. Punnus: $m_2 g - T = m_2 a$, joten tarkistus $T = m_2\,(g - a)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 1{,}20\,\text{kg} \cdot 2{,}84\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}408\,\text{N}$

   Tarkistus:

   $T$$= 0{,}50\,\text{kg} \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 - 2{,}84\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}50\,\text{kg} \cdot 6{,}97\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}485\,\text{N}$

   Vastaus

   $3{,}4\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska kaksi yhtälöä antaa $3{,}41\,\text{N}$ ja $3{,}49\,\text{N}$, jotka eroavat noin $2\,\%$, joten vain kaksi ensimmäistä numeroa on luotettavia.

   Järkevyys

   Kaksi tapaa antaa $3{,}4\,\text{N}$ ja $3{,}5\,\text{N}$, eli ne eroavat noin $2\,\%$, mikä sopii mittauksen tarkkuuteen. Teorian mukaan

   $a$$= \dfrac{0{,}50 \cdot 9{,}81}{1{,}70}\,\text{m/s}^2$

   $= 2{,}89\,\text{m/s}^2$

   joten mitattu $2{,}84\,\text{m/s}^2$ on hieman pienempi. Jännitysvoima on pienempi kuin punnuksen paino $4{,}9\,\text{N}$, kuten pitääkin.

7. Tehtävä 7-15

   Kitkattomalla pöydällä on kärry, jonka massa on $2{,}0\,\text{kg}$. Siihen sidottu kevyt ja venymätön lanka kulkee kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli, ja langan päässä roikkuu punnus, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Kappaleet päästetään liikkeelle, ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Oppilaan ratkaisu: ”Kärryyn vaikuttaa vaakasuunnassa vain lanka, joten $T = m_1 a$. Punnukselle $m_2 g - T = m_2 a$. Sijoitin ensimmäisen jälkimmäiseen: $m_2 g - m_1 a = m_2 a$. Siitä ratkaisin $a = \dfrac{m_2 g}{m_1} = 2{,}5\,\text{m/s}^2$.”

   Etsi virhe oppilaan ratkaisusta ja laske oikea kiihtyvyys. Piirrä myös kummankin kappaleen voimakuvio.

   Vastauslaatikkoon tulee oikea kiihtyvyys.

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 2{,}0\,\text{kg}$, punnus $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta, lanka ja väkipyörä ovat kevyet; oppilaan tulos $2{,}5\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   oppilaan ratkaisun virhe ja oikea kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kummallekin kappaleelle kirjoitetaan oma liikeyhtälö, ja kiihtyvyys kiihdyttää koko systeemiä: sekä kärryä että punnusta. Oppilaan yhtälöt $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$ ovat oikeat, mutta ratkaisussa on virhe.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, positiivinen suunta oikealle: $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa, ja vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$. Punnus suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   Virhe: sijoituksen jälkeen yhtälö on $m_2 g - m_1 a = m_2 a$, ja punnuksen massa kuuluu myös nimittäjään:

   $m_2 g$$= m_1 a + m_2 a$

   $= (m_1 + m_2)\,a$

   Oppilas unohti punnuksen massan, eli koko liikkuvan systeemin massan $m_1 + m_2$. Oikein $a = \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{2{,}0\,\text{kg} + 0{,}50\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{4{,}905\,\text{N}}{2{,}5\,\text{kg}}$

   $= 1{,}962\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $2{,}0\,\text{kg}$ ja $0{,}50\,\text{kg}$. Oppilaan tulos oli liian suuri, koska hän jakoi vain kärryn massalla.

   Järkevyys

   Jännitysvoima

   $T$$= m_1 a$

   $= 2{,}0\,\text{kg} \cdot 1{,}962\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}92\,\text{N}$

   on pienempi kuin punnuksen paino $4{,}9\,\text{N}$, ja erotus $0{,}98\,\text{N}$ on $m_2 a = 0{,}50\,\text{kg} \cdot 1{,}962\,\text{m/s}^2$. Oppilaan arvolla $a = 2{,}45\,\text{m/s}^2$ olisi $T = m_1 a = 4{,}9\,\text{N}$ ja $m_2 g - T \approx 0$, mutta punnuksen liikeyhtälö vaatisi $m_2 a = 1{,}2\,\text{N}$, joten arvo on väärä.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 7-16

   Hissin kori, jonka massa on $800\,\text{kg}$, roikkuu kevyen ja venymättömän köyden päässä. Köysi kulkee kevyen ja kitkattoman pyörän yli, ja sen toisessa päässä on vastapaino, jonka massa on $1200\,\text{kg}$.

   Vastapaino laskee ja kori nousee. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Piirrä korin ja vastapainon voimakuviot. Kuinka suuri voima köydestä kohdistuu pyörän akseliin, kun pyörä on kevyt ja akseli pitää sen paikallaan?

   NTarkista
   Vastaus

   $19000\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korin massa $m_1 = 800\,\text{kg}$, vastapainon massa $m_2 = 1200\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; köysi on kevyt ja venymätön, pyörä kevyt ja kitkaton, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   köyden pyörän akseliin kohdistama voima $F_\text{akseli}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kori ja vastapaino ovat kaksi kappaletta, ja kummallekin kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Köysi on venymätön, joten $a$ on sama molemmilla, ja kevyt köysi vetää kumpaakin voimalla $T$. Pyörä on kevyt eikä kiihdy, joten sen kokonaisvoima on nolla.

   Voimakuvio

   Kori suorakulmiona, positiivinen suunta ylös: $\overline{T}_1$ ylös ja $\overline{G}_1$ alas. Vastapaino suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös. Nuolet $\overline{T}_1$ ja $\overline{T}_2$ ovat yhtä pitkät. Pyörässä: kaksi $T$ alas, $F_\text{akseli}$ ylös.

   Kaava

   $T - m_1 g = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten

   $T$$= \dfrac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}\cdot g$

   Pyörän tasapainosta $F_\text{akseli} - 2T = 0$, joten $F_\text{akseli} = 2T$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{2 \cdot 800\,\text{kg} \cdot 1200\,\text{kg}}{800\,\text{kg} + 1200\,\text{kg}} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 960\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 9418\,\text{N}$

   $F_\text{akseli}$$= 2 \cdot 9418\,\text{N}$

   $= 18\,835\,\text{N}$

   Vastaus

   $19000\,\text{N}$

   Eli $19\,\text{kN}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska massat on annettu sadan kilogramman tarkkuudella.

   Järkevyys

   Painot ovat $m_1 g \approx 7850\,\text{N}$ ja $m_2 g \approx 11\,770\,\text{N}$, ja $T = 9418\,\text{N}$ on niiden välissä. Akselin voima $18\,835\,\text{N}$ on pienempi kuin painojen summa $19\,620\,\text{N}$, koska vastapaino kiihtyy alas.

2. Tehtävä 7-17

   Kärry, jonka massa on $1{,}0\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä ja sidottu kevyellä ja venymättömällä langalla kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli riippuvaan punnukseen.

   Lanka katkeaa, jos sen jännitysvoima ylittää $3{,}0\,\text{N}$.

   Kuinka suuri on suurin punnuksen massa, jolla lanka vielä kestää, kun kappaleet liikkuvat? Piirrä ensin kummankin kappaleen voimakuvio. Vastaa kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}44\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 1{,}0\,\text{kg}$, suurin sallittu jännitysvoima $T_{\max} = 3{,}0\,\text{N}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka jätetään huomiotta, lanka ja väkipyörä ovat kevyet

   Kysytty

   suurin punnuksen massa $m_2$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Kappaleille kirjoitetaan omat liikeyhtälöt, ja niistä jännitysvoima saadaan massojen funktiona. Jännitysvoima kasvaa punnuksen massan kasvaessa, joten raja-arvo $T = T_{\max}$ antaa suurimman massan.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, positiivinen suunta oikealle: vaakasuunnassa vain $\overline{T}_1$. Punnus suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten $T = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,g$. Kun $T = T_{\max}$: $T_{\max} (m_1 + m_2) = m_1 m_2 g$, joten

   $m_2$$= \dfrac{m_1\,T_{\max}}{g\,m_1 - T_{\max}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $m_2$$= \dfrac{3{,}0\,\text{N} \cdot 1{,}0\,\text{kg}}{1{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 3{,}0\,\text{N}}$

   $= \dfrac{3{,}0\,\text{N}\cdot\text{kg}}{6{,}81\,\text{N}}$

   $= 0{,}4405\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}44\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $3{,}0\,\text{N}$ ja $1{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $T$$= \dfrac{1{,}0 \cdot 0{,}4405}{1{,}4405} \cdot 9{,}81\,\text{N}$

   $\approx 3{,}0\,\text{N}$

   Raja-arvoa suuremmalla punnuksella $T$ on suurempi, mutta aina alle kärryn painon $9{,}81\,\text{N}$, koska $T$ lähestyy arvoa $m_1 g$ vasta äärettömän suurella $m_2$:lla.

3. Tehtävä 7-18

   Kärry, jonka massa on $1{,}5\,\text{kg}$, on kitkattomalla pöydällä ja sidottu kevyellä ja venymättömällä langalla kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli riippuvaan punnukseen, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Kärry päästetään liikkeelle levosta.

   Kuinka kauan kestää, ennen kuin kärry on kulkenut $0{,}90\,\text{m}$? Piirrä ensin kummankin kappaleen voimakuvio.

   sTarkista
   Vastaus

   $0{,}86\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärry $m_1 = 1{,}5\,\text{kg}$, punnus $m_2 = 0{,}50\,\text{kg}$, matka $s = 0{,}90\,\text{m}$, lähtö levosta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka jätetään huomiotta, lanka ja väkipyörä ovat kevyet

   Kysytty

   aika $t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Ensin kappaleiden liikeyhtälöistä saadaan kiihtyvyys. Kiihtyvyys on vakio, joten levosta lähtevälle liikkeelle pätee $s = \tfrac{1}{2}at^2$, josta saadaan aika.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, positiivinen suunta oikealle: vaakasuunnassa vain $\overline{T}_1$. Punnus suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös, ja $T_1 = T_2 = T$.

   Kaava

   $T = m_1 a$ ja $m_2 g - T = m_2 a$, joten $a = \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$. Matkasta $s = \tfrac{1}{2}at^2$, joten $t = \sqrt{\dfrac{2s}{a}}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{2{,}0\,\text{kg}}$

   $= 2{,}4525\,\text{m/s}^2$

   $t$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}90\,\text{m}}{2{,}4525\,\text{m/s}^2}}$

   $= 0{,}857\,\text{s}$

   Vastaus

   $0{,}86\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $0{,}90\,\text{m}$ ja $0{,}50\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Tarkistus: loppunopeus on $at \approx 2{,}1\,\text{m/s}$ ja keskinopeus $1{,}05\,\text{m/s}$, jolloin $1{,}05\,\text{m/s} \cdot 0{,}857\,\text{s} \approx 0{,}90\,\text{m}$. Vapaasti putoava punnus ($a = g$) kulkisi saman matkan ajassa $0{,}43\,\text{s}$, joten $0{,}86\,\text{s}$ on järkevästi pidempi.

4. Tehtävä 7-19

   Veturi vetää kolmea peräkkäistä vaunua suoralla vaakasuoralla radalla. Vaunujen massat ovat $m_1 = 24\,\text{t}$, $m_2 = 18\,\text{t}$ ja $m_3 = 12\,\text{t}$, ja ne on kytketty toisiinsa kytkimillä. Veturin massaa ei lasketa mukaan, ja veturi vetää ensimmäistä vaunua molemmissa järjestyksissä samalla voimalla. Vastusvoimat jätetään huomiotta, ja kytkimet ovat kevyet ja venymättömät. Junan nopeus mitataan lähdön jälkeen. Taulukossa on esimerkkiaineisto.

   a) Määritä taulukosta junan kiihtyvyys. Perustele, miksi sitä voi pitää vakiona.

   b) Piirrä jokaisen vaunun voimakuvio ja laske vaunujen 1 ja 2 välisen kytkimen voima.

   c) Vaunut järjestetään uudelleen niin, että raskain vaunu on viimeisenä ja kevyin ensimmäisenä, ja kiihtyvyys on sama. Kuinka suuri on nyt ensimmäisen ja toisen vaunun välisen kytkimen voima? Kestääkö kytkin, jonka suurin sallittu voima on $20\,\text{kN}$? Perustele, miksi kytkimen voima muuttui.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kytkimen voima kilonewtoneina.

   Junan nopeus lähdön jälkeen (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	0,00
   5,0	2,46
   10,0	5,03
   15,0	7,48
   20,0	10,02

   kNTarkista
   Vastaus

   $15\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vaunujen massat $m_1 = 24\,\text{t}$, $m_2 = 18\,\text{t}$ ja $m_3 = 12\,\text{t}$; taulukosta nopeus $v = 0$ hetkellä $t = 0$ ja $v = 10{,}02\,\text{m/s}$ hetkellä $t = 20{,}0\,\text{s}$ (esimerkkiaineisto); kytkimen suurin sallittu voima $20\,\text{kN}$; vastusvoimat jätetään huomiotta

   Kysytty

   a) junan kiihtyvyys $a$; b) vaunujen 1 ja 2 välisen kytkimen voima $K_{12}$ yksikössä $\text{kN}$; c) kytkimen voima, kun vaunut ovat järjestyksessä $12\,\text{t}$, $18\,\text{t}$, $24\,\text{t}$, ja kestääkö kytkin

   Periaate

   Vaunut ovat kytketyt, joten ne liikkuvat yhdessä samalla kiihtyvyydellä $a$. Kullekin vaunulle kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Kytkin vaunujen 1 ja 2 välillä vetää vaunua 2 eteenpäin ja sen takana olevat vaunut 2 ja 3 vastustavat sitä, joten kytkimen voima kiihdyttää kaikkia sen takana olevia vaunuja. Kolmannen lain mukaan vaunu 2 vetää vaunua 1 taaksepäin yhtä suurella voimalla.

   Kuvaajan lukeminen

   Nopeus kasvaa tasaisesti noin $2{,}5\,\text{m/s}$ jokaisella viiden sekunnin välillä ($2{,}46$; $2{,}57$; $2{,}45$; $2{,}54\,\text{m/s}$), joten $(t, v)$-kuvaaja on lähes suora ja kiihtyvyys on vakio. Kulmakerroin päätepisteistä on

   $a$$= \dfrac{10{,}02\,\text{m/s} - 0}{20{,}0\,\text{s} - 0}$

   $= 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   Voimakuvio

   Veturin voima on merkitty $\overline{F}$. Vaunu 3 suorakulmiona, positiivinen suunta junan liikkeen suuntaan: vaakasuunnassa vain kytkimen voima $\overline{K}_{23}$ eteenpäin. Vaunu 2: $\overline{K}_{12}$ eteenpäin ja $\overline{K}_{23}$ taaksepäin. Vaunu 1: veturin voima eteenpäin ja $\overline{K}_{12}$ taaksepäin. Jokaisessa vaunussa paino ja tukivoima kumoavat toisensa (kuvassa pystynuolet on piirretty lyhennettyinä). Nuolet $\overline{K}_{12}$ ovat yhtä pitkät vaunuissa 1 ja 2, ja $\overline{K}_{23}$ yhtä pitkät vaunuissa 2 ja 3 (kolmas laki), ja $\overline{K}_{12}$ on pidempi kuin $\overline{K}_{23}$.

   Kaava

   Vaunu 3: $K_{23} = m_3 a$. Vaunu 2: $K_{12} - K_{23} = m_2 a$. Yhteenlaskusta $K_{12} = (m_2 + m_3)\,a$

   Muunnokset

   $m_2 + m_3$$= 18\,\text{t} + 12\,\text{t}$

   $= 30\,\text{t}$

   $= 30\,000\,\text{kg}$

   $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   b)

   $K_{12}$$= 30\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   $= 15\,000\,\text{N}$

   $= 15\,\text{kN}$

   c) Uusi järjestys on $12\,\text{t}$, $18\,\text{t}$, $24\,\text{t}$, ja vaunujen 1 ja 2 välisen kytkimen takana ovat $18\,\text{t}$ ja $24\,\text{t}$, yhteensä $42\,\text{t}$. Silloin

   $K_{12}'$$= 42\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   $= 21\,000\,\text{N}$

   $= 21\,\text{kN}$

   Vastaus

   a) $a = 0{,}50\,\text{m/s}^2$. b) $15\,\text{kN}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $18\,\text{t}$ ja $12\,\text{t}$ (vastauslaatikkoon tulee tämä). c) $21\,\text{kN}$, joten kytkin, jonka raja on $20\,\text{kN}$, ei kestä uudessa järjestyksessä. Syy: kytkimen voima kiihdyttää kaikkia sen takana olevia vaunuja, ja raskain vaunu on nyt kytkimen takana.

   Järkevyys

   Alkuperäisessä järjestyksessä kytkimet ovat

   $K_{12}$$= 15\,\text{kN}$

   $K_{23}$$= 12\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$

   $= 6{,}0\,\text{kN}$

   ja veturin voima vaunuun 1 on $54\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2 = 27\,\text{kN}$. Voima pienenee veturista taaksepäin, koska jokainen kytkin kiihdyttää yhä vähemmän massaa, ja vaunun 2 yhtälö tarkistuu:

   $15\,\text{kN} - 6{,}0\,\text{kN}$$= 9{,}0\,\text{kN}$

   $= 18\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2$
5. Tehtävä 7-20

   Kitkattomalla radalla on kärry, jonka massa $m_1$ on tuntematon. Siihen sidottu kevyt ja venymätön lanka kulkee kevyen ja kitkattoman väkipyörän yli, ja langan päässä roikkuu punnus, jonka massa $m_2$ vaihtelee. Kärry päästetään liikkeelle levosta, ja mitataan aika $t$, jonka punnus laskeutuu matkan $0{,}80\,\text{m}$ lattiaan asti. Taulukossa on esimerkkiaineisto mittauksista.

   a) Laske jokaisesta mittauksesta punnuksen kiihtyvyys. Johda kummankin kappaleen liikeyhtälöistä kaava, jolla kärryn massa lasketaan massasta $m_2$ ja kiihtyvyydestä $a$.

   b) Määritä kärryn massa jokaisesta mittauksesta ja laske niiden keskiarvo.

   c) Punnus, jonka massa on $0{,}200\,\text{kg}$, osuu lattiaan; rata on riittävän pitkä, joten kärry ei osu väkipyörään. Mitä kärrylle tapahtuu sen jälkeen? Perustele ja laske kärryn nopeus tällä hetkellä.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) kärryn massan keskiarvo.

   Punnuksen laskeutumisaika $0{,}80\,\text{m}$:n matkalla (esimerkkiaineisto)

   $m_2\,(\text{kg})$	$t\,(\text{s})$
   0,100	1,29
   0,200	0,96
   0,300	0,80
   0,400	0,73

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}91\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 0{,}80\,\text{m}$ levosta; taulukosta $m_2 = 0{,}100$; $0{,}200$; $0{,}300$ ja $0{,}400\,\text{kg}$ ja ajat $t = 1{,}29$; $0{,}96$; $0{,}80$ ja $0{,}73\,\text{s}$ (esimerkkiaineisto); $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka jätetään huomiotta, lanka ja väkipyörä ovat kevyet

   Kysytty

   a) kiihtyvyydet ja kaava $m_1$:lle; b) kärryn massan $m_1$ keskiarvo yksikössä $\text{kg}$; c) kärryn liike punnuksen osuttua lattiaan ja sen nopeus

   Periaate

   Kappaleet lähtevät levosta ja kiihtyvyys on vakio, joten $s = \tfrac{1}{2}at^2$ antaa $a$:n ajasta. Kummallekin kappaleelle kirjoitetaan oma liikeyhtälö, ja niistä $m_1$ ratkeaa, kun $a$ ja $m_2$ tunnetaan. Kun lanka löystyy, kärryyn ei vaikuta vaakasuunnassa enää mikään voima, joten ensimmäinen laki ratkaisee c)-kohdan.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukosta luetaan neljä mittausta $(m_2, t)$. Aika lyhenee, kun punnus kasvaa, mikä on järkevää, koska kiihtyvyys kasvaa.

   Voimakuvio

   Mittaus $m_2 = 0{,}200\,\text{kg}$, $a = 1{,}74\,\text{m/s}^2$. Kärry suorakulmiona, positiivinen suunta oikealle (langan suuntaan): $\overline{G}_1$ ja $\overline{N}$ kumoavat toisensa, vaakasuunnassa vaikuttaa vain $\overline{T}_1$ oikealle. Punnus suorakulmiona, positiivinen suunta alas: $\overline{G}_2$ alas ja $\overline{T}_2$ ylös.

   Kaava

   a) $a = \dfrac{2s}{t^2}$. Kärry: $T = m_1 a$. Punnus: $m_2 g - T = m_2 a$. Sijoittamalla $m_2 g = m_1 a + m_2 a$, joten

   $m_1$$= m_2 \left(\dfrac{g}{a} - 1\right)$

   b)

   $m_{1,\text{ka}}$$= \dfrac{\Sigma m_1}{n}$

   c) $v = at$ ja $s = \tfrac{1}{2}vt$, joten $v = \dfrac{2s}{t}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   a) Kiihtyvyydet ovat $a = \dfrac{1{,}60\,\text{m}}{t^2}$: $0{,}961$; $1{,}736$; $2{,}500$ ja $3{,}002\,\text{m/s}^2$.
   b)

   $m_1$$= m_2 \left(\dfrac{g}{a} - 1\right)$

   antaa kullekin mittaukselle

   $m_1$$= 0{,}100\,\text{kg} \cdot (10{,}20 - 1)$

   $= 0{,}920\,\text{kg}$

   $m_1$$= 0{,}200\,\text{kg} \cdot (5{,}65 - 1)$

   $= 0{,}930\,\text{kg}$

   $m_1$$= 0{,}300\,\text{kg} \cdot (3{,}924 - 1)$

   $= 0{,}877\,\text{kg}$

   $m_1$$= 0{,}400\,\text{kg} \cdot (3{,}27 - 1)$

   $= 0{,}907\,\text{kg}$

   Massojen summa on $3{,}634\,\text{kg}$, joten

   $m_{1,\text{ka}}$$= \dfrac{3{,}634\,\text{kg}}{4}$

   $= 0{,}909\,\text{kg}$

   c) Kun

   $m_2$$= 0{,}200\,\text{kg}$

   $v$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}80\,\text{m}}{0{,}96\,\text{s}}$

   $= 1{,}67\,\text{m/s}$

   Vastaus

   b) $0{,}91\,\text{kg}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska neljä arvoa vaihtelee välillä $0{,}88$–$0{,}93\,\text{kg}$ eikä kolmas numero ole luotettava. c) Kun punnus osuu lattiaan, lanka löystyy eikä kärryyn vaikuta enää vaakasuuntaista voimaa. Ensimmäisen lain mukaan kärry jatkaa liikettä tasaisella nopeudella, noin $1{,}7\,\text{m/s}$, kunnes jokin muu voima vaikuttaa siihen.

   Järkevyys

   Neljä massaa ovat $0{,}88$–$0{,}93\,\text{kg}$, eli ne poikkeavat keskiarvosta enintään $4\,\%$, ja ero on satunnaisvaihtelua, ei suuntautunutta. Tarkistus:

   $a$$= \dfrac{m_2 g}{m_1 + m_2}$

   $= \dfrac{0{,}200 \cdot 9{,}81}{1{,}109}\,\text{m/s}^2$

   $= 1{,}77\,\text{m/s}^2$

   on lähellä mitattua $1{,}74\,\text{m/s}^2$. Loppunopeus $1{,}67\,\text{m/s}$ on kaksinkertainen keskinopeuteen $s : t = 0{,}83\,\text{m/s}$ nähden, kuten tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä pitääkin.