Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-1Ydintehtävä

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $75{,}0\,\text{kg}$. Hän putoaa vatsa alaspäin rajanopeudella. Piirrä hyppääjän voimakuvio. Kuinka suuri on ilmanvastus?

   NTarkista
   Vastaus

   $736\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 75{,}0\,\text{kg}$, hyppääjä putoaa rajanopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Rajanopeudella nopeus ei muutu, joten kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on silloin nolla, vaikka hyppääjä liikkuu. Ilmanvastus kumoaa painon.

   Voimakuvio

   Hyppääjä on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Nuolet ovat yhtä pitkät. Nopeutta ei piirretä voimaksi.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $F_\text{v}$$= 75{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 735{,}75\,\text{N}$

   Vastaus

   $736\,\text{N}$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $75{,}0\,\text{kg}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Yhden kilogramman paino on noin $10\,\text{N}$. Siksi $75\,\text{kg}$:n hyppääjän paino on noin $750\,\text{N}$, ja rajanopeudella ilmanvastus on yhtä suuri. Ilmanvastus ei voi olla painoa suurempi, koska silloin hyppääjä hidastuisi.

2. Tehtävä 9-2Ydintehtävä

   Kivi putoaa pystysuoraan alas, ja sen massa on $2{,}00\,\text{kg}$. Eräällä hetkellä ilmanvastus on $5{,}00\,\text{N}$. Kuinka suuri on kiveen vaikuttava kokonaisvoima tällä hetkellä?

   NTarkista
   Vastaus

   $14{,}6\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 2{,}00\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 5{,}00\,\text{N}$, kivi putoaa alas; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kiveen vaikuttavat Maa (paino) ja ilma (ilmanvastus). Putoavan kiven ilmanvastus osoittaa nopeutta vastaan eli ylös. Kokonaisvoima on siis painon ja ilmanvastuksen erotus.

   Voimakuvio

   Kivi on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Se on painoa lyhyempi.

   Kaava

   $\Sigma F = G - F_\text{v}$, ja $G = mg$, joten $\Sigma F = mg - F_\text{v}$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 2{,}00\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 5{,}00\,\text{N}$

   $= 19{,}62\,\text{N} - 5{,}00\,\text{N}$

   $= 14{,}62\,\text{N}$

   Vastaus

   $14{,}6\,\text{N}$

   Alaspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $2{,}00\,\text{kg}$ ja ilmanvastus $5{,}00\,\text{N}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on pienempi kuin paino $19{,}6\,\text{N}$, mutta se on positiivinen. Kivi kiihtyy siis vielä alaspäin, mutta hitaammin kuin ilman ilmaa. Kun nopeus kasvaa, ilmanvastus kasvaa ja kokonaisvoima pienenee.

3. Tehtävä 9-3

   Koripallo heitetään suoraan alas suurella nopeudella, ja sen massa on $0{,}600\,\text{kg}$. Heti heiton jälkeen ilmanvastus on $8{,}00\,\text{N}$.

   Kuinka suuri on pallon kiihtyvyyden suuruus tällä hetkellä? Mihin suuntaan kiihtyvyys osoittaa?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $3{,}52\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}600\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 8{,}00\,\text{N}$, pallo on heitetty alas ja liikkuu alas; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   pallon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja sen suunta

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima määrää kiihtyvyyden. Pallo liikkuu alas, joten ilmanvastus osoittaa ylös, nopeutta vastaan. Ilmanvastus on painoa suurempi, joten kokonaisvoima osoittaa ylös, vaikka pallo liikkuu alas.

   Voimakuvio

   Pallo on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Se on painoa pidempi.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = ma$, joten $a = \dfrac{mg - F_\text{v}}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}600\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 8{,}00\,\text{N}}{0{,}600\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{5{,}886\,\text{N} - 8{,}00\,\text{N}}{0{,}600\,\text{kg}}$

   $= -3{,}523\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $3{,}52\,\text{m/s}^2$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}600\,\text{kg}$ ja ilmanvastus $8{,}00\,\text{N}$ on annettu kolmella numerolla. Miinusmerkki kertoo, että kiihtyvyys osoittaa ylös.

   Järkevyys

   Ilmanvastus on noin $1{,}4$ kertaa paino $5{,}9\,\text{N}$. Ylöspäin jää siis noin $2\,\text{N}$, ja kiihtyvyys on noin $2\,\text{N} : 0{,}6\,\text{kg} \approx 3{,}5\,\text{m/s}^2$. Pallo hidastuu, kunnes ilmanvastus on pienentynyt painon suuruiseksi.

4. Tehtävä 9-4

   Jalkapallo on potkaistu suoraan ylöspäin, ja se nousee vielä. Pallon massa on $0{,}450\,\text{kg}$. Eräällä hetkellä ilmanvastus on $1{,}20\,\text{N}$. Piirrä pallon voimakuvio.

   Kuinka suuri on palloon vaikuttava kokonaisvoima tällä hetkellä?

   NTarkista
   Vastaus

   $5{,}61\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}450\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 1{,}20\,\text{N}$, pallo nousee; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kun jalka on irronnut pallosta, palloon vaikuttavat vain Maa (paino) ja ilma (ilmanvastus). Pallo liikkuu ylös, joten ilmanvastus osoittaa alas, samaan suuntaan kuin paino. Ylöspäin vievää voimaa ei ole.

   Voimakuvio

   Pallo on suorakulmio, ja positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee ylhäältä alas yläpintaan asti. Nopeus ylös merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $\Sigma F$$= -G - F_\text{v}$

   $= -mg - F_\text{v}$

   joten kokonaisvoiman suuruus on $|\Sigma F| = mg + F_\text{v}$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $|\Sigma F|$$= 0{,}450\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}20\,\text{N}$

   $= 4{,}4145\,\text{N} + 1{,}20\,\text{N}$

   $= 5{,}6145\,\text{N}$

   Vastaus

   $5{,}61\,\text{N}$

   Alaspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}450\,\text{kg}$ ja ilmanvastus $1{,}20\,\text{N}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on suurempi kuin paino $4{,}41\,\text{N}$, koska ilmanvastus vetää samaan suuntaan. Siksi nouseva pallo hidastuu nopeammin kuin ilman ilmaa. Kokonaisvoima osoittaa alas, vaikka pallo liikkuu ylös.

5. Tehtävä 9-5

   Pyöräilijä ajaa vaakasuoralla tiellä tasaisella nopeudella. Ilmanvastus on $18\,\text{N}$. Renkaiden vierimisvastus (renkaiden ja tien aiheuttama vastus) on yhteensä $6{,}0\,\text{N}$.

   Kuinka suuri on tien kitkavoima, joka työntää vetävää pyörää eteenpäin?

   NTarkista
   Vastaus

   $24\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus on vakio, ilmanvastus $F_\text{v} = 18\,\text{N}$, vierimisvastus (renkaiden ja tien aiheuttama vastus) $F_\text{r} = 6{,}0\,\text{N}$

   Kysytty

   tien kitkavoima $F$, joka työntää vetävää pyörää eteenpäin, yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on nolla. Vaakasuunnassa tien kitkavoima työntää vetävää pyörää eteenpäin. Sen täytyy kumota molemmat vastusvoimat. Vierimisvastus on tässä oma vastusvoimansa. Pystysuunnassa paino ja tien tukivoima kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Pyöräilijä ja pyörä ovat yhtenä suorakulmiona, ja positiivinen suunta on eteenpäin. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja tien tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät. Tien kitkavoima $\overline{F}$ lähtee vetävän pyörän alapinnasta eteenpäin. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ja vierimisvastus $\overline{F}_\text{r}$ osoittavat taaksepäin.

   Kaava

   $F - F_\text{v} - F_\text{r} = 0$, joten $F = F_\text{v} + F_\text{r}$

   Muunnokset

   Kaikki voimat ovat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $F$$= 18\,\text{N} + 6{,}0\,\text{N}$

   $= 24\,\text{N}$

   Vastaus

   $24\,\text{N}$

   Eteenpäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska ilmanvastus $18\,\text{N}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Eteenpäin vievä voima on yhtä suuri kuin vastusvoimat yhteensä. Se ei ole suurempi, koska nopeus ei kasva. Kymmenien newtonien voima sopii tavalliseen pyöräilyyn tasaisella tiellä. Suurin osa siitä kuluu ilmanvastukseen.

6. Tehtävä 9-6

   Kappale putoaa ilmassa ja on saavuttanut rajanopeutensa. Mikä seuraavista väitteistä on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Ilmanvastus ja paino ovat yhtä suuret, koska kokonaisvoima on nolla
   • Kappaleeseen ei vaikuta voimia, koska sen nopeus pysyy vakiona
   • Paino on suurempi kuin ilmanvastus, koska kappale liikkuu yhä alaspäin
   • Ilmanvastus on suurempi kuin paino, koska kappale ei enää kiihdy alaspäin

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Ilmanvastus ja paino ovat yhtä suuret, koska kokonaisvoima on nolla

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä väite kuvaa oikein putoavaa kappaletta, joka on saavuttanut rajanopeuden.

   Periaate

   Rajanopeudella kappaleen nopeus ei muutu, joten kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on silloin nolla, vaikka kappale liikkuu. Kappaleeseen vaikuttavat edelleen paino alas ja ilmanvastus ylös.

   Mallivastaus

   Oikea väite on, että ilmanvastus ja paino ovat yhtä suuret ja kokonaisvoima on nolla. Jos ilmanvastus olisi suurempi kuin paino, kokonaisvoima osoittaisi ylös ja kappale hidastuisi. Jos paino olisi suurempi, kokonaisvoima osoittaisi alas ja nopeus kasvaisi. Väite, ettei voimia ole lainkaan, on väärin. Nopeus pysyy vakiona vain siksi, että kaksi voimaa kumoaa toisensa. Liikkeen suunta ei kerro voimien suuruuksia.

7. Tehtävä 9-7

   Kaksi palloa on samankokoisia ja samanmuotoisia. Ne pudotetaan korkealta ilmassa. Toinen on täytetty hiekalla ja toinen on tyhjä. Kumpi pallo saavuttaa suuremman rajanopeuden?

   Valitse vaihtoehto.

   • Molemmat saavuttavat saman, koska kaikki kappaleet putoavat samalla kiihtyvyydellä
   • Molemmat saavuttavat saman, koska pallojen koko ja muoto ovat samat
   • Tyhjä pallo, koska ilma hidastaa raskasta palloa enemmän kuin kevyttä
   • Hiekkapallo, koska suuremman painon kumoamiseen tarvitaan suurempi ilmanvastus

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Hiekkapallo, koska suuremman painon kumoamiseen tarvitaan suurempi ilmanvastus

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kumpi samankokoisista ja samanmuotoisista palloista saavuttaa suuremman rajanopeuden, hiekalla täytetty vai tyhjä.

   Periaate

   Rajanopeudella ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino. Samankokoisiin ja samanmuotoisiin palloihin vaikuttaa samalla nopeudella suunnilleen sama ilmanvastus. Ilmanvastus kasvaa, kun nopeus kasvaa.

   Mallivastaus

   Hiekkapallo saavuttaa suuremman rajanopeuden. Sen paino on suurempi. Siksi ilmanvastuksen täytyy kasvaa suuremmaksi, ennen kuin se kumoaa painon. Ilmanvastus kasvaa vasta nopeuden kasvaessa, joten raskaamman pallon on kiihdyttävä suurempaan nopeuteen. Tyhjä pallo tasaantuu pienemmällä nopeudella, koska sen paino on pienempi. Väite, että kaikki kappaleet putoavat samalla tavalla, pätee vain ilman ilmanvastusta. Ilmassa painon ero näkyy rajanopeudessa.

8. Tehtävä 9-8

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $60{,}0\,\text{kg}$. Kun varjo aukeaa, hän liikkuu yhä alaspäin. Ilmanvastus on $1500\,\text{N}$.

   Oppilas ratkaisi kokonaisvoiman suuruuden näin: ”Hyppääjä liikkuu alas, joten kokonaisvoima osoittaa alas ja sen suuruus on $mg + F_\text{v} = 2089\,\text{N}$.”

   Etsi oppilaan ajatusvirhe. Laske kokonaisvoiman suuruus oikein. Vastauslaatikkoon tulee oikea kokonaisvoiman suuruus.

   NTarkista
   Vastaus

   $911\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 60{,}0\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 1500\,\text{N}$, hyppääjä liikkuu alas; oppilaan tulos $2089\,\text{N}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$ ja oppilaan virhe

   Periaate

   Kokonaisvoima on kaikkien voimien summa. Sen suunta on kiihtyvyyden suunta, ei liikkeen suunta. Ilmanvastus osoittaa nopeutta vastaan eli ylös, vaikka hyppääjä liikkuu alas. Oppilas lisäsi ilmanvastuksen painoon. Hän ajatteli, että ilmanvastus osoittaa alas liikkeen mukana.

   Voimakuvio

   Hyppääjä on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti, ja se on painoa pidempi. Nopeus alas merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $\Sigma F = mg - F_\text{v}$, ja kokonaisvoiman suuruus on $|\Sigma F|$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 60{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1500\,\text{N}$

   $= 588{,}6\,\text{N} - 1500\,\text{N}$

   $= -911{,}4\,\text{N}$

   Vastaus

   $911\,\text{N}$

   Ylöspäin. Miinusmerkki kertoo suunnan, kun positiivinen suunta on alas. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $60{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Ilmanvastus $1500\,\text{N}$ on noin $2{,}5$-kertainen paino $588{,}6\,\text{N}$. Ylöspäin jää siis noin $1{,}5$ painon verran eli noin $900\,\text{N}$. Hyppääjä hidastuu, mutta liikkuu yhä alas.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-9Ydintehtävä

   Sulkapallo putoaa rajanopeudella, ja sen massa on $5{,}10\,\text{g}$. Kuinka suuri on ilmanvastus?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}0500\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 5{,}10\,\text{g}$, sulkapallo putoaa rajanopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Rajanopeudella nopeus ei muutu, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on nolla. Ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino, ja se osoittaa ylös.

   Voimakuvio

   Sulkapallo on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Nuolet ovat yhtä pitkät.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$

   Muunnokset

   $5{,}10\,\text{g}$$= 5{,}10 : 1000\,\text{kg}$

   $= 5{,}10\cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $F_\text{v}$$= 5{,}10\cdot 10^{-3}\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}050031\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}0500\,\text{N}$

   Eli $50{,}0\,\text{mN}$ ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $5{,}10\,\text{g}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Viiden gramman paino on noin $0{,}05\,\text{N}$, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Jos grammoja ei muuntaisi kilogrammoiksi, tulos olisi tuhatkertainen, noin $50\,\text{N}$. Se vastaa viiden kilogramman painoa ja on aivan liikaa sulkapallolle.

2. Tehtävä 9-10Ydintehtävä

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $70{,}0\,\text{kg}$, ja hän putoaa vatsa alaspäin. Eräällä hetkellä hänen kiihtyvyytensä on $6{,}00\,\text{m/s}^2$ alaspäin. Kuinka suuri ilmanvastus häneen vaikuttaa tällä hetkellä?

   NTarkista
   Vastaus

   $267\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70{,}0\,\text{kg}$, kiihtyvyys $a = 6{,}00\,\text{m/s}^2$ alaspäin; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Hyppääjän kiihtyvyys on pienempi kuin $g$, joten jokin voima vastustaa painoa. Se on ilmanvastus, ja se osoittaa ylös. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima $G - F_\text{v}$ on massa kertaa kiihtyvyys. Siitä ratkaistaan ilmanvastus.

   Voimakuvio

   Hyppääjä on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Se on painoa lyhyempi. Kiihtyvyys alas merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = mg - ma = m(g - a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $F_\text{v}$$= 70{,}0\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 6{,}00\,\text{m/s}^2)$

   $= 70{,}0\,\text{kg}\cdot 3{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 266{,}7\,\text{N}$

   Vastaus

   $267\,\text{N}$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $70{,}0\,\text{kg}$ ja kiihtyvyys $6{,}00\,\text{m/s}^2$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Hyppääjän paino on noin $690\,\text{N}$. Kiihtyvyys on noin $60\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä, joten ilmanvastus kumoaa noin $40\,\%$ painosta eli noin $270\,\text{N}$. Hyppääjä ei ole vielä rajanopeudella, koska ilmanvastus on painoa pienempi.

3. Tehtävä 9-11

   Tennispallo lyödään suoraan ylöspäin, ja sen massa on $57{,}0\,\text{g}$. Kun pallo nousee, ilmanvastus on eräällä hetkellä $0{,}250\,\text{N}$. Kuinka suuri on pallon kiihtyvyys tällä hetkellä?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $14{,}2\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 57{,}0\,\text{g}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 0{,}250\,\text{N}$, pallo nousee; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kun maila on osunut palloon, palloon vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus. Nousevan pallon ilmanvastus osoittaa nopeutta vastaan eli alas, samaan suuntaan kuin paino. Molemmat hidastavat nousua.

   Voimakuvio

   Pallo on suorakulmio, ja positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee ylhäältä alas yläpintaan asti. Nopeus ylös ja kiihtyvyys alas merkitään erikseen.

   Kaava

   $-mg - F_\text{v} = ma$, joten

   $a$$= -\dfrac{mg + F_\text{v}}{m}$

   $= -\left(g + \dfrac{F_\text{v}}{m}\right)$

   Muunnokset

   $57{,}0\,\text{g}$$= 57{,}0 : 1000\,\text{kg}$

   $= 0{,}0570\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $a$$= -\left(9{,}81\,\text{m/s}^2 + \dfrac{0{,}250\,\text{N}}{0{,}0570\,\text{kg}}\right)$

   $= -(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 4{,}386\,\text{m/s}^2)$

   $= -14{,}196\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $14{,}2\,\text{m/s}^2$

   Alaspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $57{,}0\,\text{g}$ ja ilmanvastus $0{,}250\,\text{N}$ on annettu kolmella numerolla. Miinusmerkki kertoo, että kiihtyvyys osoittaa alas.

   Järkevyys

   Kiihtyvyyden suuruus on suurempi kuin $g$, koska ilmanvastus ja paino vetävät samaan suuntaan. Kevyelle pallolle jo pieni ilmanvastus on tärkeä: $0{,}25\,\text{N}$ on lähes puolet pallon painosta $0{,}56\,\text{N}$.

4. Tehtävä 9-12

   Auton massa on $1200\,\text{kg}$, ja se ajaa vaakasuoralla tiellä tasaisella nopeudella $100\,\text{km/h}$. Ilmanvastus on $450\,\text{N}$. Renkaiden vierimisvastus (renkaiden ja tien aiheuttama vastus) on yhteensä $180\,\text{N}$. Kuljettaja painaa kytkimen pohjaan, ja moottori ei enää vedä autoa.

   Kuinka suuri on auton hidastuvuus heti tämän jälkeen?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}525\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1200\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 450\,\text{N}$, vierimisvastus $F_\text{r} = 180\,\text{N}$, moottori ei vedä; nopeus $100\,\text{km/h}$ (ei tarvita)

   Kysytty

   hidastuvuus eli kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kun moottori ei enää vedä, eteenpäin vievää voimaa ei ole. Vaakasuunnassa jäävät vain vastusvoimat taaksepäin. Newtonin toisen lain mukaan ne antavat autolle kiihtyvyyden taaksepäin. Ilmanvastus on heti kytkimen painamisen jälkeen sama kuin ennen, koska nopeus ei ole vielä ehtinyt muuttua.

   Voimakuvio

   Auto on suorakulmio, ja positiivinen suunta on liikkeen suunta. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja tien tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Nuolet ovat yhtä pitkät. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ja vierimisvastus $\overline{F}_\text{r}$ osoittavat taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole.

   Kaava

   $-F_\text{v} - F_\text{r} = ma$, joten

   $a$$= -\dfrac{F_\text{v} + F_\text{r}}{m}$

   Muunnokset

   Nopeutta ei tarvita laskussa, joten sitä ei muunneta. Voimat ovat newtoneina ja massa kilogrammoina.

   Sijoitus

   $a$$= -\dfrac{450\,\text{N} + 180\,\text{N}}{1200\,\text{kg}}$

   $= -\dfrac{630\,\text{N}}{1200\,\text{kg}}$

   $= -0{,}525\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $0{,}525\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kun tehtävän luvut $450\,\text{N}$, $180\,\text{N}$ ja $1200\,\text{kg}$ luetaan kolminumeroisiksi arvoiksi.

   Järkevyys

   Vastusvoimat ovat yhteensä vain noin $5\,\%$ auton painosta $11{,}8\,\text{kN}$. Siksi hidastuvuus on noin $5\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä eli $0{,}5\,\text{m/s}^2$. Vapaalla rullaava auto hidastuu hitaasti, ja se vastaa omaa kokemustamme. Kun nopeus pienenee, ilmanvastus pienenee, joten hidastuvuuskin pienenee myöhemmin.

5. Tehtävä 9-13

   Vaahtomuovipallon massa on $20{,}0\,\text{g}$. Pallo pudotetaan levosta, ja sen nopeus mitataan videolta. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   Määritä pallon kiihtyvyys hetkellä $t = 0{,}60\,\text{s}$ kulmakertoimena taulukon pisteistä $t = 0{,}40\,\text{s}$ ja $t = 0{,}80\,\text{s}$. Kuinka suuri ilmanvastus palloon vaikuttaa tällä hetkellä?

   Pudotetun vaahtomuovipallon nopeus (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,00	0,00
   0,20	1,85
   0,40	3,35
   0,60	4,45
   0,80	5,15
   1,00	5,55
   1,20	5,75
   1,40	5,80

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}106\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 20{,}0\,\text{g}$; taulukosta $v_1 = 3{,}35\,\text{m/s}$ hetkellä $t_1 = 0{,}40\,\text{s}$ ja $v_2 = 5{,}15\,\text{m/s}$ hetkellä $t_2 = 0{,}80\,\text{s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ hetkellä $t = 0{,}60\,\text{s}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kiihtyvyys on $(t,v)$-kuvaajan kulmakerroin. Kulmakerroin kertoo, kuinka jyrkästi kuvaaja nousee. Hetken $0{,}60\,\text{s}$ molemmin puolin olevat pisteet antavat kiihtyvyyden tälle hetkelle. Palloon vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus, joten Newtonin toinen laki antaa ilmanvastuksen.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $(0{,}40\,\text{s}$; $3{,}35\,\text{m/s})$ ja $(0{,}80\,\text{s}$; $5{,}15\,\text{m/s})$ ovat yhtä kaukana hetkestä $0{,}60\,\text{s}$ kummallakin puolella. Niiden kautta piirretyn suoran kulmakerroin on kiihtyvyys. Pisteet ovat kaukana toisistaan, joten yksittäisen mittauksen virhe vaikuttaa vähän.

   Voimakuvio

   Pallo on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti, ja se on painoa lyhyempi.

   Kaava

   $a = \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$ ja $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = m(g - a)$

   Muunnokset

   $m$$= 20{,}0\,\text{g}$

   $= 20{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   $= 0{,}0200\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{5{,}15\,\text{m/s} - 3{,}35\,\text{m/s}}{0{,}80\,\text{s} - 0{,}40\,\text{s}}$

   $= 4{,}50\,\text{m/s}^2$

   $F_\text{v}$$= 0{,}0200\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 4{,}50\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}0200\,\text{kg}\cdot 5{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}1062\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}106\,\text{N}$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $20{,}0\,\text{g}$ ja nopeuksissa.

   Järkevyys

   Pallon paino on $0{,}0200\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 0{,}196\,\text{N}$. Ilmanvastus $0{,}106\,\text{N}$ on noin puolet siitä. Kiihtyvyys $4{,}50\,\text{m/s}^2$ on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä, kuten pitää. Taulukon lopussa nopeus on lähes vakio, $5{,}8\,\text{m/s}$. Silloin ilmanvastus on lähellä painoa $0{,}196\,\text{N}$.

6. Tehtävä 9-14

   Oppilaat pudottivat korkealta paperikartioita. Kartiot olivat samanmuotoisia. Niiden massa kasvoi, kun niitä oli sisäkkäin useampi. Kokeessa mitattiin jokaisen kartion nopeus, kun se oli lakannut kiihtymästä. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Kuinka suuri ilmanvastus kartioon 4 vaikuttaa rajanopeudella?

   b) Kuinka monta kertaa suurempi tämä ilmanvastus on kuin kartioon 1 vaikuttava? Mitä vertailu kertoo siitä, miten ilmanvastus riippuu nopeudesta?

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan a) tulos.

   Paperikartioiden rajanopeudet (esimerkkiaineisto)

   Kartio	$m\,(\text{g})$	$v_\text{raja}\,(\text{m/s})$
   1	1,2	0,72
   2	2,4	1,05
   3	3,6	1,28
   4	4,8	1,49

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}047\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta kartio 4: $m_4 = 4{,}8\,\text{g}$ ja $v_4 = 1{,}49\,\text{m/s}$; kartio 1: $m_1 = 1{,}2\,\text{g}$ ja $v_1 = 0{,}72\,\text{m/s}$; kartiot ovat rajanopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) ilmanvastus $F_\text{v}$ kartioon 4 rajanopeudella yksikössä $\text{N}$; b) kuinka monta kertaa suurempi se on kuin kartioon 1 vaikuttava

   Periaate

   Kun kartio ei enää kiihdy, sen kokonaisvoima on nolla. Rajanopeudella ilmanvastus on siis yhtä suuri kuin paino. Ilmanvastuksen laskemiseen ei tarvita nopeutta. Massa riittää.

   Voimakuvio

   Kartio on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Voimat ovat yhtä pitkät.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$

   Muunnokset

   $m_4$$= 4{,}8\,\text{g}$

   $= 4{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   Sijoitus

   a)

   $F_\text{v}$$= 4{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}047088\,\text{N}$

   b) Ilmanvastuksien suhde on sama kuin massojen suhde: $4{,}8\,\text{g} : 1{,}2\,\text{g} = 4{,}0$. Nopeuksien suhde on $1{,}49\,\text{m/s} : 0{,}72\,\text{m/s} = 2{,}1$.

   Vastaus

   a) $0{,}047\,\text{N}$ ylöspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $4{,}8\,\text{g}$. b) Ilmanvastus on $4{,}0$ kertaa suurempi, mutta nopeus vain noin $2{,}1$ kertaa suurempi. Ilmanvastus kasvaa siis nopeammin kuin nopeus. Kun nopeus kaksinkertaistuu, ilmanvastus kasvaa noin nelinkertaiseksi.

   Järkevyys

   Kartion paino on noin $5\,\text{g}$. Painon $1\,\text{g}$ voima on noin $0{,}01\,\text{N}$, joten kartion paino on noin $0{,}05\,\text{N}$. Ilmanvastus rajanopeudella on yhtä suuri. Raskaammalla kartiolla rajanopeus on suurempi, kuten aineisto näyttää: nopeudet kasvavat $0{,}72\,\text{m/s}$:sta $1{,}49\,\text{m/s}$:iin.

7. Tehtävä 9-15

   Taulukossa on laskuvarjohyppääjän nopeus alaspäin ajan funktiona sen jälkeen, kun varjo on auennut. Aineisto on esimerkkiaineisto. Hyppääjä liikkuu koko ajan alaspäin.

   Mikä väite hyppääjään vaikuttavasta kokonaisvoimasta on oikea?

   Hyppääjän nopeus varjon auettua (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	52,0
   1,0	24,5
   2,0	12,8
   3,0	8,9
   4,0	7,6
   5,0	7,3
   6,0	7,2

   Valitse vaihtoehto.

   • Se osoittaa lopussa ylös, koska ilmanvastus on silloin suurimmillaan
   • Se osoittaa koko ajan alas, koska hyppääjä liikkuu koko ajan alas
   • Se on nolla koko ajan, koska hyppääjän nopeus on aina yhtä suuri
   • Se osoittaa ensin ylös ja on lopussa lähes nolla, koska nopeus pienenee ja tasaantuu

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Se osoittaa ensin ylös ja on lopussa lähes nolla, koska nopeus pienenee ja tasaantuu

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä väite hyppääjään vaikuttavasta kokonaisvoimasta on oikea taulukon aineiston perusteella.

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan, ei liikkeen suuntaan. Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla. Se luetaan taulukosta nopeuden muutoksesta.

   Mallivastaus

   Taulukossa nopeus alaspäin pienenee ensimmäisen sekunnin aikana arvosta $52{,}0\,\text{m/s}$ arvoon $24{,}5\,\text{m/s}$. Se on noin $27{,}5\,\text{m/s}$ sekunnissa. Hyppääjä liikkuu alas mutta hidastuu, joten kiihtyvyys ja kokonaisvoima osoittavat ylös. Ilmanvastus on silloin suurempi kuin paino. Lopussa nopeus on lähes vakio, $7{,}3\,\text{m/s}$ ja $7{,}2\,\text{m/s}$. Silloin kiihtyvyys ja kokonaisvoima ovat lähes nolla, ja ilmanvastus on painon suuruinen. Väite, että kokonaisvoima osoittaa alas, koska liike on alas, sekoittaa voiman ja nopeuden suunnan. Väite, että kokonaisvoima on nolla koko ajan, ei sovi yhteen muuttuvan nopeuden kanssa.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 9-16

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $72{,}0\,\text{kg}$. Hän putoaa vatsa alaspäin rajanopeudella. Hän kääntyy nopeasti pää edellä -asentoon. Silloin ilmanvastus pienenee samalla nopeudella puoleen entisestä.

   Kuinka suuri on hyppääjän kiihtyvyys heti asennon muutoksen jälkeen?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $4{,}91\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 72{,}0\,\text{kg}$, aluksi rajanopeus, asennon muutoksen jälkeen ilmanvastus on puolet entisestä samalla nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kiihtyvyys $a$ heti asennon muutoksen jälkeen yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Rajanopeudella kokonaisvoima on nolla, joten ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino. Heti asennon muutoksen jälkeen nopeus on vielä sama, mutta ilmanvastus on pienentynyt puoleen painosta. Kokonaisvoima ei ole enää nolla, ja Newtonin toinen laki antaa kiihtyvyyden.

   Voimakuvio

   Hyppääjä on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Ennen muutosta paino $\overline{G}$ ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ovat yhtä pitkät. Heti muutoksen jälkeen paino lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus lähtee alhaalta ylös alapintaan asti, ja se on puolet painon pituudesta.

   Kaava

   Ennen muutosta $F_\text{v} = mg$, joten muutoksen jälkeen $F_\text{v}' = \tfrac{1}{2}mg$. Liikeyhtälö $mg - F_\text{v}' = ma$ antaa

   $a$$= \dfrac{mg - \tfrac{1}{2}mg}{m}$

   $= \dfrac{g}{2}$

   Muunnokset

   Massa supistuu pois, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2}{2}$

   $= 4{,}905\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $4{,}91\,\text{m/s}^2$

   Alaspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska putoamiskiihtyvyys $9{,}81\,\text{m/s}^2$ on annettu kolmella numerolla. Massaa ei tarvittu.

   Järkevyys

   Puolet painosta jää kumoamatta, joten kiihtyvyys on puolet putoamiskiihtyvyydestä. Hyppääjä alkaa taas kiihtyä. Kiihtyminen jatkuu, kunnes ilmanvastus on uudessa asennossa yhtä suuri kuin paino. Silloin rajanopeus on suurempi.

2. Tehtävä 9-17

   Pallo, jonka massa on $0{,}200\,\text{kg}$, heitetään suoraan ylös. Nousun aikana eräällä hetkellä ilmanvastus on $0{,}600\,\text{N}$. Myöhemmin pallo putoaa takaisin alas, ja eräällä hetkellä ilmanvastus on taas $0{,}600\,\text{N}$.

   Kuinka paljon suurempi on pallon kiihtyvyyden suuruus ensimmäisellä hetkellä kuin toisella?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $6{,}00\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}200\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 0{,}600\,\text{N}$ sekä nousussa että laskussa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kiihtyvyyksien suuruuksien erotus $\Delta a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Ilmanvastus osoittaa aina nopeutta vastaan. Nousussa se osoittaa alas, samaan suuntaan kuin paino. Laskussa se osoittaa ylös, painoa vastaan. Newtonin toinen laki antaa kiihtyvyyden kummallakin hetkellä, ja kiihtyvyydet vähennetään toisistaan.

   Voimakuvio

   Kuvioita on kaksi, ja pallo on suorakulmio. Nousussa paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ylhäältä alas yläpintaan asti. Laskussa paino osoittaa alas ja ilmanvastus lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Kummassakin positiivinen suunta on alas.

   Kaava

   Nousussa $mg + F_\text{v} = ma_1$, joten $a_1 = g + \dfrac{F_\text{v}}{m}$. Laskussa $mg - F_\text{v} = ma_2$, joten $a_2 = g - \dfrac{F_\text{v}}{m}$. Erotus on

   $\Delta a$$= a_1 - a_2$

   $= \dfrac{2F_\text{v}}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta a$$= \dfrac{2\cdot 0{,}600\,\text{N}}{0{,}200\,\text{kg}}$

   $= 6{,}00\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $6{,}00\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa $0{,}200\,\text{kg}$ ja ilmanvastus $0{,}600\,\text{N}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Erikseen laskettuina

   $a_1$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 + 3{,}00\,\text{m/s}^2$

   $= 12{,}81\,\text{m/s}^2$

   $a_2$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 3{,}00\,\text{m/s}^2$

   $= 6{,}81\,\text{m/s}^2$

   Niiden erotus on $6{,}00\,\text{m/s}^2$. Kumpikin kiihtyvyys osoittaa alas. Nousussa kiihtyvyys on suurempi kuin $g$ ja laskussa pienempi.

3. Tehtävä 9-18

   Pallo, jonka massa on $0{,}150\,\text{kg}$, pudotetaan levosta korkealta. Kuvaajassa on pallon nopeus ajan funktiona. Käyrän pisteeseen $P$ on piirretty tangentti.

   Kuinka suuri ilmanvastus palloon vaikuttaa hetkellä, jota piste $P$ vastaa?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}150\,\text{kg}$, kuvaajassa pallon nopeus ajan funktiona ja tangentti pisteeseen $P$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ hetkellä, jota piste $P$ vastaa, yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kiihtyvyys on $(t,v)$-kuvaajan kulmakerroin. Käyrän kulmakerroin tietyllä hetkellä on sen tangentin kulmakerroin. Kun kiihtyvyys tunnetaan, Newtonin toinen laki antaa ilmanvastuksen, koska palloon vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus.

   Voimakuvio

   Pallo on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Se on painoa lyhyempi.

   Kuvaajan lukeminen

   Tangentti alkaa pystyakselilta kohdasta $(0$; $2{,}0\,\text{m/s})$ ja kulkee ruudukon risteyksen $(2{,}0\,\text{s}$; $15{,}0\,\text{m/s})$ kautta. Nämä pisteet ovat kaukana toisistaan ja ruudukon viivoilla, joten ne voi lukea tarkasti. Kulmakerroin luetaan tangentilta, ei käyrän pisteistä.

   Kaava

   $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ ja $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = m(g - a)$

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$, ajat sekunteina ja massa kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{15{,}0\,\text{m/s} - 2{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 6{,}5\,\text{m/s}^2$

   $F_\text{v}$$= 0{,}150\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 6{,}5\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}150\,\text{kg}\cdot 3{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}4965\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{N}$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luettu kiihtyvyys $6{,}5\,\text{m/s}^2$ on kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Pallon paino on $0{,}150\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}5\,\text{N}$. Kiihtyvyys on noin kaksi kolmasosaa putoamiskiihtyvyydestä, joten ilmanvastus kumoaa noin kolmasosan painosta eli noin $0{,}5\,\text{N}$. Myöhemmin käyrä loivenee, ilmanvastus kasvaa ja lähestyy painoa.

4. Tehtävä 9-19

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $82{,}0\,\text{kg}$. Taulukossa on hänen nopeutensa alaspäin sen jälkeen, kun varjo on avautunut. Aineisto on esimerkkiaineisto.

   a) Kuinka suuri ilmanvastus on hetkellä $t = 1{,}0\,\text{s}$? Arvioi kiihtyvyys pisteistä $t = 0{,}5\,\text{s}$ ja $t = 1{,}5\,\text{s}$. Valitse positiiviseksi suunnaksi alas.

   b) Kuinka monta kertaa painon suuruinen ilmanvastus tällöin on? Mihin suuntaan kokonaisvoima osoittaa? Perustele, miksi hyppääjä ei kuitenkaan nouse.

   c) Päättele taulukosta ilmanvastus lopussa. Perustele, miksi nopeus pysyy silloin vakiona.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan a) tulos.

   Hyppääjän nopeus varjon avautumisen jälkeen (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	50,0
   0,5	33,0
   1,0	22,0
   1,5	15,5
   2,0	11,5
   3,0	7,6
   4,0	6,2
   5,0	5,7
   6,0	5,6

   NTarkista
   Vastaus

   $2240\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 82{,}0\,\text{kg}$; taulukosta $v_1 = 33{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $t_1 = 0{,}5\,\text{s}$ ja $v_2 = 15{,}5\,\text{m/s}$ hetkellä $t_2 = 1{,}5\,\text{s}$; lopussa $v \approx 5{,}6\,\text{m/s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; positiivinen suunta alas

   Kysytty

   a) ilmanvastus $F_\text{v}$ hetkellä $t = 1{,}0\,\text{s}$ yksikössä $\text{N}$; b) ilmanvastus painon monikertana ja kokonaisvoiman suunta; c) ilmanvastus lopussa

   Periaate

   Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla. Hetken $1{,}0\,\text{s}$ molemmin puolin olevat pisteet antavat kiihtyvyyden tälle hetkelle. Hyppääjään vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus, joten Newtonin toinen laki antaa ilmanvastuksen. Kiihtyvyyden suunta kertoo kokonaisvoiman suunnan.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan taulukosta pisteet $(0{,}5\,\text{s}$; $33{,}0\,\text{m/s})$ ja $(1{,}5\,\text{s}$; $15{,}5\,\text{m/s})$. Ne ovat hetken $1{,}0\,\text{s}$ molemmin puolin. Nopeus pienenee, joten kulmakerroin eli kiihtyvyys on negatiivinen. Lopun nopeudet $5{,}7\,\text{m/s}$ ja $5{,}6\,\text{m/s}$ ovat lähes samat. Siellä kiihtyvyys on lähes nolla.

   Voimakuvio

   Hyppääjä on suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti, ja se on selvästi painoa pidempi. Nopeus alas merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $a = \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$ ja $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = m(g - a)$. Lopussa $a = 0$, joten $F_\text{v} = mg$.

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$, ajat sekunteina ja massa kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   a)

   $a$$= \dfrac{15{,}5\,\text{m/s} - 33{,}0\,\text{m/s}}{1{,}5\,\text{s} - 0{,}5\,\text{s}}$

   $= -17{,}5\,\text{m/s}^2$

   $F_\text{v}$$= 82{,}0\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 17{,}5\,\text{m/s}^2)$

   $= 82{,}0\,\text{kg}\cdot 27{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 2239{,}42\,\text{N}$

   b)

   $mg$$= 82{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 804{,}42\,\text{N}$

   joten

   $F_\text{v} : mg$$= 2239{,}42\,\text{N} : 804{,}42\,\text{N}$

   $= 2{,}78$

   c) $F_\text{v} = mg = 804{,}42\,\text{N}$.

   Vastaus

   a) $2240\,\text{N}$ ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $82{,}0\,\text{kg}$. b) Ilmanvastus on noin $2{,}8$-kertainen paino. Kokonaisvoima $\Sigma F = mg - F_\text{v} = -1435\,\text{N}$ osoittaa ylös, koska kiihtyvyys on ylös. Hyppääjä ei nouse, koska kokonaisvoima vain pienentää alaspäin suuntautuvaa nopeutta. Nopeus on kaikissa taulukon kohdissa positiivinen alas. c) Ilmanvastus on noin $804\,\text{N}$ eli painon suuruinen. Nopeus pysyy vakiona, koska paino ja ilmanvastus kumoavat toisensa ja kokonaisvoima on nolla.

   Järkevyys

   Ilmanvastus on kolmisen kertaa paino. Kokonaisvoima on siis noin kaksi painoa ylöspäin, ja kiihtyvyys on noin $2g \approx 20\,\text{m/s}^2$. Laskettu $17{,}5\,\text{m/s}^2$ on tätä lähellä. Kun nopeus pienenee, ilmanvastus pienenee. Kiihtyvyys lähestyy nollaa ja nopeus tasaantuu, kuten taulukon loppu näyttää.

5. Tehtävä 9-20

   Sadepisaran massa on $0{,}0140\,\text{g}$. Se putoaa pilvestä korkeudelta $1{,}50\,\text{km}$. Maan lähellä pisaran nopeus on mittausten mukaan vakio $8{,}0\,\text{m/s}$ (esimerkkiaineisto). Oleta, että pisara lähtee levosta ja liikkuu pystysuoraan.

   a) Kuinka suuri ilmanvastus pisaraan vaikuttaa Maan lähellä?

   b) Kuinka suuri nopeus pisaralla olisi alhaalla, jos ilmanvastusta ei olisi? Oleta, että pisaran kiihtyvyys olisi koko matkan $g$.

   c) Perustele näiden tulosten avulla, miksi sadepisarat eivät ole vaarallisia. Kerro, miten ilmanvastus muuttuu pisaran pudotessa.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) tulos.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $172\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}0140\,\text{g}$, pudotuskorkeus $h = 1{,}50\,\text{km}$, nopeus Maan lähellä vakio $v = 8{,}0\,\text{m/s}$; pisara lähtee levosta ja liikkuu pystysuoraan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) ilmanvastus $F_\text{v}$ Maan lähellä; b) pisaran nopeus $v$ alhaalla yksikössä $\text{m/s}$, jos ilmanvastusta ei olisi; c) perustelu, miksi sadepisarat eivät ole vaarallisia

   Periaate

   Kun nopeus on vakio, kiihtyvyys on nolla ja ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino. Jos ilmanvastusta ei olisi, pisaraan vaikuttaisi vain paino. Kiihtyvyys olisi koko matkan $g$. Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaava $v^2 = 2gh$ antaa silloin loppunopeuden, kun lähdetään levosta.

   Voimakuvio

   Pisara on pieni suorakulmio, ja positiivinen suunta on alas. Maan lähellä paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ lähtee alhaalta ylös alapintaan asti. Voimat ovat yhtä pitkät.

   Kaava

   a) $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$. b) $v^2 = 2gh$, joten $v = \sqrt{2gh}$.

   Muunnokset

   $m$$= 0{,}0140\,\text{g}$

   $= 1{,}40 \cdot 10^{-5}\,\text{kg}$

   $h$$= 1{,}50\,\text{km}$

   $= 1500\,\text{m}$

   Sijoitus

   a)

   $F_\text{v}$$= 1{,}40 \cdot 10^{-5}\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 1{,}373 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   b)

   $v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1500\,\text{m}}$

   $= \sqrt{29430\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 171{,}55\,\text{m/s}$

   Vastaus

   a) $1{,}37 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$ ylöspäin. b) $172\,\text{m/s}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $1{,}50\,\text{km}$. c) Ilman ilmanvastusta nopeus olisi noin $620\,\text{km/h}$. Se on yli $20$-kertainen todelliseen $8{,}0\,\text{m/s}$ verrattuna, ja pisara olisi vaarallinen. Kun pisara putoaa, ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, kunnes se on painon suuruinen. Silloin kokonaisvoima on nolla ja nopeus pysyy vakiona. Pisaran paino on vain noin $1{,}4 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$. Pieni ilmanvastus riittää kumoamaan sen jo pienellä nopeudella.

   Järkevyys

   Kiihtyvyydellä $g$ pisara saavuttaisi nopeuden $8{,}0\,\text{m/s}$ ajassa $8{,}0\,\text{m/s} : 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 0{,}82\,\text{s}$. Se tapahtuisi muutamassa metrissä, vaikka matkaa on $1500\,\text{m}$. Todellisuudessa ilmanvastus rajoittaa nopeuden heti alussa. Pisara kulkee lähes koko matkan vakionopeudella ja putoaa vain noin $190\,\text{s}$. Tulos $171{,}55\,\text{m/s}$ on suuruusluokaltaan oikea, sillä $\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1500} \approx 170$.