Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-1Ydintehtävä

   Laskuvarjohyppääjä, jonka massa varusteineen on $75{,}0\,\text{kg}$, putoaa vatsa alaspäin rajanopeudella. Piirrä hyppääjän voimakuvio. Kuinka suuri on ilmanvastus?

   NTarkista
   Vastaus

   $736\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 75{,}0\,\text{kg}$, hyppääjä putoaa rajanopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Rajanopeudella nopeus ei muutu, joten kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on silloin nolla, vaikka hyppääjä liikkuu: ilmanvastus kumoaa painon.

   Voimakuvio

   Hyppääjä suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, yhtä pitkinä. Nopeutta ei piirretä voimaksi.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $F_\text{v}$$= 75{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 735{,}75\,\text{N}$

   Vastaus

   $736\,\text{N}$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $75{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kilogramman paino on noin $10\,\text{N}$, joten $75\,\text{kg}$:n hyppääjän paino on noin $750\,\text{N}$, ja rajanopeudella ilmanvastus on yhtä suuri. Ilmanvastus ei ole painoa suurempi, koska silloin hyppääjä hidastuisi.

2. Tehtävä 9-2Ydintehtävä

   Kivi, jonka massa on $2{,}00\,\text{kg}$, putoaa pystysuoraan alas. Eräällä hetkellä ilmanvastus on $5{,}00\,\text{N}$. Kuinka suuri on kiveen vaikuttava kokonaisvoima tällä hetkellä?

   NTarkista
   Vastaus

   $14{,}6\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 2{,}00\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 5{,}00\,\text{N}$, kivi putoaa alas; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kiveen vaikuttavat Maa (paino) ja ilma (ilmanvastus). Putoavan kiven ilmanvastus osoittaa nopeutta vastaan eli ylös, joten kokonaisvoima on painon ja ilmanvastuksen erotus.

   Voimakuvio

   Kivi suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa lyhyempänä.

   Kaava

   $\Sigma F = G - F_\text{v}$, ja $G = mg$, joten $\Sigma F = mg - F_\text{v}$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 2{,}00\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 5{,}00\,\text{N}$

   $= 19{,}62\,\text{N} - 5{,}00\,\text{N}$

   $= 14{,}62\,\text{N}$

   Vastaus

   $14{,}6\,\text{N}$

   Alaspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}00\,\text{kg}$ ja ilmanvastuksessa $5{,}00\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on pienempi kuin paino $19{,}6\,\text{N}$ mutta positiivinen, joten kivi kiihtyy vielä alaspäin, nyt hitaammin kuin ilman ilmaa. Kokonaisvoima pienenee nopeuden kasvaessa, koska ilmanvastus kasvaa.

3. Tehtävä 9-3

   Koripallo, jonka massa on $0{,}600\,\text{kg}$, heitetään suoraan alas suurella nopeudella. Heti heiton jälkeen ilmanvastus on $8{,}00\,\text{N}$.

   Kuinka suuri on pallon kiihtyvyyden suuruus tällä hetkellä, ja mihin suuntaan kiihtyvyys osoittaa?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $3{,}52\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}600\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 8{,}00\,\text{N}$, pallo on heitetty alas ja liikkuu alas; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   pallon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja sen suunta

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyyden määrää kokonaisvoima. Pallo liikkuu alas, joten ilmanvastus osoittaa ylös, nopeutta vastaan. Ilmanvastus on painoa suurempi, joten kokonaisvoima osoittaa ylös, vaikka pallo liikkuu alas.

   Voimakuvio

   Pallo suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa pidempänä.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = ma$, joten $a = \dfrac{mg - F_\text{v}}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{0{,}600\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 8{,}00\,\text{N}}{0{,}600\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{5{,}886\,\text{N} - 8{,}00\,\text{N}}{0{,}600\,\text{kg}}$

   $= -3{,}523\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $3{,}52\,\text{m/s}^2$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}600\,\text{kg}$ ja ilmanvastuksessa $8{,}00\,\text{N}$. Miinusmerkki kertoo, että kiihtyvyys osoittaa ylös.

   Järkevyys

   Ilmanvastus on noin $1{,}4$ kertaa paino $5{,}9\,\text{N}$, joten ylöspäin jää noin $2\,\text{N}$ ja kiihtyvyys on noin $2\,\text{N} : 0{,}6\,\text{kg} \approx 3{,}5\,\text{m/s}^2$. Pallo hidastuu, kunnes ilmanvastus on pienentynyt painon suuruiseksi.

4. Tehtävä 9-4

   Jalkapallo, jonka massa on $0{,}450\,\text{kg}$, on potkaistu suoraan ylöspäin, ja se nousee vielä. Eräällä hetkellä ilmanvastus on $1{,}20\,\text{N}$. Piirrä pallon voimakuvio.

   Kuinka suuri on palloon vaikuttava kokonaisvoima tällä hetkellä?

   NTarkista
   Vastaus

   $5{,}61\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}450\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 1{,}20\,\text{N}$, pallo nousee; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kun jalka on irronnut pallosta, palloon vaikuttavat vain Maa (paino) ja ilma (ilmanvastus). Nouseva pallo liikkuu ylös, joten ilmanvastus osoittaa alas, samaan suuntaan kuin paino. Ylöspäin vievää voimaa ei ole.

   Voimakuvio

   Pallo suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ylhäältä alas yläpintaan asti. Nopeus ylös merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $\Sigma F$$= -G - F_\text{v}$

   $= -mg - F_\text{v}$

   joten kokonaisvoiman suuruus on $|\Sigma F| = mg + F_\text{v}$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $|\Sigma F|$$= 0{,}450\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 + 1{,}20\,\text{N}$

   $= 4{,}4145\,\text{N} + 1{,}20\,\text{N}$

   $= 5{,}6145\,\text{N}$

   Vastaus

   $5{,}61\,\text{N}$

   Alaspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}450\,\text{kg}$ ja ilmanvastuksessa $1{,}20\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Kokonaisvoima on suurempi kuin paino $4{,}41\,\text{N}$, koska ilmanvastus vetää samaan suuntaan. Siksi nouseva pallo hidastuu nopeammin kuin ilman ilmaa. Kokonaisvoima osoittaa alas, vaikka pallo liikkuu ylös.

5. Tehtävä 9-5

   Pyöräilijä ajaa vaakasuoralla tiellä tasaisella nopeudella. Ilmanvastus on $18\,\text{N}$, ja renkaiden vierimisvastus (renkaiden ja tien aiheuttama vastus) on yhteensä $6{,}0\,\text{N}$.

   Kuinka suuri on tien kitkavoima, joka työntää vetävää pyörää eteenpäin?

   NTarkista
   Vastaus

   $24\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus on vakio, ilmanvastus $F_\text{v} = 18\,\text{N}$, vierimisvastus (renkaiden ja tien aiheuttama vastus) $F_\text{r} = 6{,}0\,\text{N}$

   Kysytty

   tien kitkavoima $F$, joka työntää vetävää pyörää eteenpäin, yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on nolla. Vaakasuunnassa tien kitkavoiman, jolla tie työntää vetävää pyörää eteenpäin, on kumottava molemmat vastusvoimat; vierimisvastus on tässä erillinen vastusvoima. Pystysuunnassa paino ja tien tukivoima kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Pyöräilijä ja pyörä yhtenä suorakulmiona, positiivinen suunta eteenpäin. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tien tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, yhtä pitkinä. Tien kitkavoima $\overline{F}$ vetävän pyörän alapinnasta eteenpäin, ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ja vierimisvastus $\overline{F}_\text{r}$ taaksepäin.

   Kaava

   $F - F_\text{v} - F_\text{r} = 0$, joten $F = F_\text{v} + F_\text{r}$

   Muunnokset

   Kaikki voimat ovat newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $F$$= 18\,\text{N} + 6{,}0\,\text{N}$

   $= 24\,\text{N}$

   Vastaus

   $24\,\text{N}$

   Eteenpäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten ilmanvastuksessa $18\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Eteenpäin vievä voima on yhtä suuri kuin vastusvoimat yhteensä, ei suurempi, koska nopeus ei kasva. Kymmenien newtonien voima sopii tavalliseen pyöräilyyn tasaisella tiellä; suurin osa siitä kuluu ilmanvastukseen.

6. Tehtävä 9-6

   Kappale putoaa ilmassa ja on saavuttanut rajanopeutensa. Mikä seuraavista kuvaa tilannetta oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Ilmanvastus ja paino ovat yhtä suuret, koska kokonaisvoima on nolla
   • Kappaleeseen ei vaikuta voimia, koska sen nopeus pysyy vakiona
   • Paino on ilmanvastusta suurempi, koska kappale liikkuu yhä alaspäin
   • Ilmanvastus on painoa suurempi, koska kappale ei enää kiihdy alaspäin

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Ilmanvastus ja paino ovat yhtä suuret, koska kokonaisvoima on nolla

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä väite kuvaa oikein putoavaa kappaletta, joka on saavuttanut rajanopeuden.

   Periaate

   Rajanopeudella kappaleen nopeus ei muutu, joten kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on silloin nolla, vaikka kappale liikkuu. Kappaleeseen vaikuttavat edelleen paino alas ja ilmanvastus ylös.

   Mallivastaus

   Oikea väite on, että ilmanvastus ja paino ovat yhtä suuret ja kokonaisvoima on nolla. Jos ilmanvastus olisi painoa suurempi, kokonaisvoima osoittaisi ylös ja kappale hidastuisi. Jos paino olisi suurempi, kokonaisvoima osoittaisi alas ja nopeus kasvaisi. Väite, ettei voimia olisi lainkaan, on väärin, sillä nopeus pysyy vakiona vain siksi, että kaksi voimaa kumoaa toisensa. Liikkeen suunta ei kerro voimien suuruuksia.

7. Tehtävä 9-7

   Kaksi samankokoista ja samanmuotoista palloa pudotetaan korkealta ilmassa. Toinen on täytetty hiekalla ja toinen on tyhjä. Kumpi pallo saavuttaa suuremman rajanopeuden?

   Valitse vaihtoehto.

   • Molemmat saavuttavat saman, koska kaikki kappaleet putoavat samalla kiihtyvyydellä
   • Molemmat saavuttavat saman, koska pallojen koko ja muoto ovat samat
   • Tyhjä pallo, koska ilma hidastaa raskasta palloa enemmän kuin kevyttä
   • Hiekkapallo, koska suuremman painon kumoamiseen tarvitaan suurempi ilmanvastus

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Hiekkapallo, koska suuremman painon kumoamiseen tarvitaan suurempi ilmanvastus

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kumpi samankokoisista ja samanmuotoisista palloista, hiekalla täytetty vai tyhjä, saavuttaa suuremman rajanopeuden.

   Periaate

   Rajanopeudella ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino. Samankokoisiin ja samanmuotoisiin palloihin vaikuttaa samalla nopeudella suunnilleen sama ilmanvastus, ja ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa.

   Mallivastaus

   Hiekkapallo saavuttaa suuremman rajanopeuden. Sen paino on suurempi, joten ilmanvastuksen täytyy kasvaa suuremmaksi ennen kuin se kumoaa painon. Ilmanvastus kasvaa vasta nopeuden kasvaessa, joten raskaamman pallon on kiihdyttävä suurempaan nopeuteen. Tyhjä pallo tasaantuu pienemmällä nopeudella, koska sen paino on pienempi. Väite, että kaikki kappaleet putoavat samalla tavalla, pätee vain ilman ilmanvastusta. Ilmassa painon ero näkyy rajanopeudessa.

8. Tehtävä 9-8

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $60{,}0\,\text{kg}$. Varjon auetessa hän liikkuu yhä alaspäin, ja ilmanvastus on $1500\,\text{N}$.

   Oppilas ratkaisi kokonaisvoiman suuruuden näin: "Hyppääjä liikkuu alas, joten kokonaisvoima osoittaa alas ja sen suuruus on $mg + F_\text{v} = 2089\,\text{N}$."

   Etsi oppilaan ajatusvirhe ja laske kokonaisvoiman suuruus oikein. Vastauslaatikkoon tulee oikea kokonaisvoiman suuruus.

   NTarkista
   Vastaus

   $911\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 60{,}0\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 1500\,\text{N}$, hyppääjä liikkuu alas; oppilaan tulos $2089\,\text{N}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoiman suuruus $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$ ja oppilaan virhe

   Periaate

   Kokonaisvoima on kappaleeseen vaikuttavien voimien summa, ja sen suunta on kiihtyvyyden suunta, ei liikkeen suunta. Ilmanvastus osoittaa nopeutta vastaan eli ylös, vaikka hyppääjä liikkuu alas. Oppilas lisäsi ilmanvastuksen painoon, ikään kuin se osoittaisi alas liikkeen mukana.

   Voimakuvio

   Hyppääjä suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa pidempänä. Nopeus alas merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $\Sigma F = mg - F_\text{v}$, ja kokonaisvoiman suuruus on $|\Sigma F|$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja voima newtoneina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 60{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 1500\,\text{N}$

   $= 588{,}6\,\text{N} - 1500\,\text{N}$

   $= -911{,}4\,\text{N}$

   Vastaus

   $911\,\text{N}$

   Ylöspäin (miinusmerkki kertoo suunnan, kun positiivinen suunta on alas), kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $60{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Ilmanvastus $1500\,\text{N}$ on noin $2{,}5$-kertainen paino $588{,}6\,\text{N}$, joten ylöspäin jää noin $1{,}5$ painon verran eli noin $900\,\text{N}$. Hyppääjä hidastuu mutta liikkuu yhä alas.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-9Ydintehtävä

   Sulkapallo, jonka massa on $5{,}10\,\text{g}$, putoaa rajanopeudella. Kuinka suuri on ilmanvastus?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}0500\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 5{,}10\,\text{g}$, sulkapallo putoaa rajanopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Rajanopeudella nopeus ei muutu, joten kokonaisvoima on Newtonin toisen lain mukaan nolla: ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino ja osoittaa ylös.

   Voimakuvio

   Sulkapallo suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, yhtä pitkinä.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$

   Muunnokset

   $5{,}10\,\text{g}$$= 5{,}10 : 1000\,\text{kg}$

   $= 5{,}10\cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $F_\text{v}$$= 5{,}10\cdot 10^{-3}\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}050031\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}0500\,\text{N}$

   Eli $50{,}0\,\text{mN}$ ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $5{,}10\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Viiden gramman paino on noin $0{,}05\,\text{N}$, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Jos grammoja ei muuntaisi, tulos olisi tuhatkertainen, noin $50\,\text{N}$, mikä on viiden kilon painon verran ja aivan liikaa sulkapallolle.

2. Tehtävä 9-10Ydintehtävä

   Laskuvarjohyppääjä, jonka massa varusteineen on $70{,}0\,\text{kg}$, putoaa vatsa alaspäin. Eräällä hetkellä hänen kiihtyvyytensä on $6{,}00\,\text{m/s}^2$ alaspäin. Kuinka suuri ilmanvastus häneen vaikuttaa tällä hetkellä?

   NTarkista
   Vastaus

   $267\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70{,}0\,\text{kg}$, kiihtyvyys $a = 6{,}00\,\text{m/s}^2$ alaspäin; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Hyppääjän kiihtyvyys on pienempi kuin $g$, joten jokin voima vastustaa painoa: ilmanvastus ylös. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima $G - F_\text{v}$ on massa kertaa kiihtyvyys, ja siitä ratkaistaan ilmanvastus.

   Voimakuvio

   Hyppääjä suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa lyhyempänä. Kiihtyvyys alas merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = mg - ma = m(g - a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $F_\text{v}$$= 70{,}0\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 6{,}00\,\text{m/s}^2)$

   $= 70{,}0\,\text{kg}\cdot 3{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 266{,}7\,\text{N}$

   Vastaus

   $267\,\text{N}$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $70{,}0\,\text{kg}$ ja kiihtyvyydessä $6{,}00\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Hyppääjän paino on noin $690\,\text{N}$. Kiihtyvyys on noin $60\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä, joten ilmanvastus kumoaa noin $40\,\%$ painosta, noin $270\,\text{N}$. Hyppääjä ei ole vielä rajanopeudella, koska ilmanvastus on painoa pienempi.

3. Tehtävä 9-11

   Tennispallo, jonka massa on $57{,}0\,\text{g}$, lyödään suoraan ylöspäin. Kun pallo nousee, ilmanvastus on eräällä hetkellä $0{,}250\,\text{N}$. Kuinka suuri on pallon kiihtyvyys tällä hetkellä?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $14{,}2\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 57{,}0\,\text{g}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 0{,}250\,\text{N}$, pallo nousee; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Mailan osuman jälkeen palloon vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus. Nousevan pallon ilmanvastus osoittaa nopeutta vastaan eli alas, samaan suuntaan kuin paino, joten molemmat hidastavat nousua.

   Voimakuvio

   Pallo suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ylhäältä alas yläpintaan asti. Nopeus ylös ja kiihtyvyys alas merkitään erikseen.

   Kaava

   $-mg - F_\text{v} = ma$, joten

   $a$$= -\dfrac{mg + F_\text{v}}{m}$

   $= -\left(g + \dfrac{F_\text{v}}{m}\right)$

   Muunnokset

   $57{,}0\,\text{g}$$= 57{,}0 : 1000\,\text{kg}$

   $= 0{,}0570\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $a$$= -\left(9{,}81\,\text{m/s}^2 + \dfrac{0{,}250\,\text{N}}{0{,}0570\,\text{kg}}\right)$

   $= -(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 4{,}386\,\text{m/s}^2)$

   $= -14{,}196\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $14{,}2\,\text{m/s}^2$

   Alaspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $57{,}0\,\text{g}$ ja ilmanvastuksessa $0{,}250\,\text{N}$. Miinusmerkki kertoo, että kiihtyvyys osoittaa alas.

   Järkevyys

   Kiihtyvyyden suuruus on suurempi kuin $g$, koska ilmanvastus ja paino vetävät samaan suuntaan. Kevyelle pallolle jo pieni ilmanvastus on merkittävä: $0{,}25\,\text{N}$ on lähes puolet pallon painosta $0{,}56\,\text{N}$.

4. Tehtävä 9-12

   Auto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, ajaa vaakasuoralla tiellä tasaisella nopeudella $100\,\text{km/h}$. Ilmanvastus on $450\,\text{N}$ ja renkaiden vierimisvastus (renkaiden ja tien aiheuttama vastus) yhteensä $180\,\text{N}$. Kuljettaja painaa kytkimen pohjaan, jolloin moottori ei enää vedä autoa.

   Kuinka suuri on auton hidastuvuus heti tämän jälkeen?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}525\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1200\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 450\,\text{N}$, vierimisvastus $F_\text{r} = 180\,\text{N}$, moottori ei vedä; nopeus $100\,\text{km/h}$ (ei tarvita)

   Kysytty

   hidastuvuus eli kiihtyvyyden suuruus $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kun moottori ei enää vedä, eteenpäin vievää voimaa ei ole. Vaakasuunnassa jäävät vain vastusvoimat taaksepäin, ja Newtonin toisen lain mukaan ne antavat autolle kiihtyvyyden taaksepäin. Ilmanvastus on heti kytkimen painamisen jälkeen sama kuin ennen, koska nopeus ei ole vielä ehtinyt muuttua.

   Voimakuvio

   Auto suorakulmiona, positiivinen suunta liikkeen suuntaan. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tien tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, yhtä pitkinä. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ja vierimisvastus $\overline{F}_\text{r}$ taaksepäin. Eteenpäin vievää voimaa ei ole.

   Kaava

   $-F_\text{v} - F_\text{r} = ma$, joten

   $a$$= -\dfrac{F_\text{v} + F_\text{r}}{m}$

   Muunnokset

   Nopeutta ei tarvita laskussa, joten sitä ei muunneta. Voimat ovat newtoneina ja massa kilogrammoina.

   Sijoitus

   $a$$= -\dfrac{450\,\text{N} + 180\,\text{N}}{1200\,\text{kg}}$

   $= -\dfrac{630\,\text{N}}{1200\,\text{kg}}$

   $= -0{,}525\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $0{,}525\,\text{m/s}^2$

   Kolme merkitsevää numeroa, kun tehtävän luvut $450\,\text{N}$, $180\,\text{N}$ ja $1200\,\text{kg}$ luetaan kolminumeroisiksi arvoiksi.

   Järkevyys

   Vastusvoimat ovat yhteensä vain noin $5\,\%$ auton painosta $11{,}8\,\text{kN}$, joten hidastuvuus on noin $5\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä, $0{,}5\,\text{m/s}^2$. Vapaalla rullaava auto hidastuu hitaasti, mikä vastaa kokemusta. Nopeuden pienentyessä ilmanvastus pienenee, joten hidastuvuuskin pienenee myöhemmin.

5. Tehtävä 9-13

   Vaahtomuovipallon massa on $20{,}0\,\text{g}$. Pallo pudotetaan levosta, ja sen nopeus mitataan videolta. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   Määritä pallon kiihtyvyys hetkellä $t = 0{,}60\,\text{s}$ kulmakertoimena taulukon pisteistä $t = 0{,}40\,\text{s}$ ja $t = 0{,}80\,\text{s}$. Kuinka suuri ilmanvastus palloon vaikuttaa tällä hetkellä?

   Pudotetun vaahtomuovipallon nopeus (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,00	0,00
   0,20	1,85
   0,40	3,35
   0,60	4,45
   0,80	5,15
   1,00	5,55
   1,20	5,75
   1,40	5,80

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}106\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 20{,}0\,\text{g}$; taulukosta $v_1 = 3{,}35\,\text{m/s}$ hetkellä $t_1 = 0{,}40\,\text{s}$ ja $v_2 = 5{,}15\,\text{m/s}$ hetkellä $t_2 = 0{,}80\,\text{s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ hetkellä $t = 0{,}60\,\text{s}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kiihtyvyys on $(t,v)$-kuvaajan kulmakerroin. Hetkeä $0{,}60\,\text{s}$ ympäröivien pisteiden välinen kulmakerroin antaa kiihtyvyyden tälle hetkelle. Palloon vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus, joten Newtonin toinen laki antaa ilmanvastuksen.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $(0{,}40\,\text{s}$; $3{,}35\,\text{m/s})$ ja $(0{,}80\,\text{s}$; $5{,}15\,\text{m/s})$ ovat symmetrisesti hetken $0{,}60\,\text{s}$ molemmin puolin, ja niiden kautta piirretyn suoran kulmakerroin on kiihtyvyys. Pisteet ovat kaukana toisistaan, joten yksittäisen mittauksen virhe vaikuttaa vähän.

   Voimakuvio

   Pallo suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa lyhyempänä.

   Kaava

   $a = \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$ ja $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = m(g - a)$

   Muunnokset

   $m$$= 20{,}0\,\text{g}$

   $= 20{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   $= 0{,}0200\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{5{,}15\,\text{m/s} - 3{,}35\,\text{m/s}}{0{,}80\,\text{s} - 0{,}40\,\text{s}}$

   $= 4{,}50\,\text{m/s}^2$

   $F_\text{v}$$= 0{,}0200\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 4{,}50\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}0200\,\text{kg}\cdot 5{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}1062\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}106\,\text{N}$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $20{,}0\,\text{g}$ ja nopeuksissa.

   Järkevyys

   Pallon paino on $0{,}0200\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 0{,}196\,\text{N}$, ja ilmanvastus $0{,}106\,\text{N}$ on noin puolet siitä. Kiihtyvyys $4{,}50\,\text{m/s}^2$ on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä, kuten pitää. Taulukon lopussa nopeus on lähes vakio, $5{,}8\,\text{m/s}$, jolloin ilmanvastus on lähellä painoa $0{,}196\,\text{N}$.

6. Tehtävä 9-14

   Oppilaat pudottivat korkealta paperikartioita, jotka olivat samanmuotoisia mutta joiden massa kasvoi, kun niitä oli sisäkkäin useampi. Kokeessa mitattiin kunkin kartion nopeus, kun se oli lakannut kiihtymästä. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Kuinka suuri ilmanvastus kartioon 4 vaikuttaa rajanopeudella?

   b) Kuinka monta kertaa suurempi tämä ilmanvastus on kuin kartioon 1 vaikuttava, ja mitä vertailu kertoo ilmanvastuksen riippuvuudesta nopeudesta?

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan a) tulos.

   Paperikartioiden rajanopeudet (esimerkkiaineisto)

   Kartio	$m\,(\text{g})$	$v_\text{raja}\,(\text{m/s})$
   1	1,2	0,72
   2	2,4	1,05
   3	3,6	1,28
   4	4,8	1,49

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}047\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta kartio 4: $m_4 = 4{,}8\,\text{g}$ ja $v_4 = 1{,}49\,\text{m/s}$; kartio 1: $m_1 = 1{,}2\,\text{g}$ ja $v_1 = 0{,}72\,\text{m/s}$; kartiot ovat rajanopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) ilmanvastus $F_\text{v}$ kartioon 4 rajanopeudella yksikössä $\text{N}$; b) kuinka monta kertaa suurempi se on kuin kartioon 1 vaikuttava

   Periaate

   Kun kartio ei enää kiihdy, sen kokonaisvoima on nolla. Rajanopeudella ilmanvastus on siis yhtä suuri kuin paino. Nopeutta ei tarvita ilmanvastuksen laskemiseen, vaan massa riittää.

   Voimakuvio

   Kartio suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, yhtä pitkinä.

   Kaava

   $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$

   Muunnokset

   $m_4$$= 4{,}8\,\text{g}$

   $= 4{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   Sijoitus

   a)

   $F_\text{v}$$= 4{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}047088\,\text{N}$

   b) Ilmanvastuksien suhde on sama kuin massojen suhde: $4{,}8\,\text{g} : 1{,}2\,\text{g} = 4{,}0$. Nopeuksien suhde on $1{,}49\,\text{m/s} : 0{,}72\,\text{m/s} = 2{,}1$.

   Vastaus

   a) $0{,}047\,\text{N}$ ylöspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $4{,}8\,\text{g}$. b) Ilmanvastus on $4{,}0$ kertaa suurempi, mutta nopeus vain noin $2{,}1$ kertaa suurempi. Ilmanvastus kasvaa siis nopeammin kuin nopeus: nopeuden kaksinkertaistuessa ilmanvastus kasvaa noin nelinkertaiseksi.

   Järkevyys

   Kartion paino on noin $5\,\text{g}$, ja $1\,\text{g}$:n paino on noin $0{,}01\,\text{N}$, joten paino on noin $0{,}05\,\text{N}$, ja ilmanvastus rajanopeudella on yhtä suuri. Raskaammalla kartiolla rajanopeus on suurempi, kuten aineisto näyttää: nopeudet kasvavat $0{,}72\,\text{m/s}$:sta $1{,}49\,\text{m/s}$:iin.

7. Tehtävä 9-15

   Taulukossa on laskuvarjohyppääjän nopeus alaspäin ajan funktiona varjon auettua. Aineisto on esimerkkiaineisto, ja hyppääjä liikkuu koko ajan alaspäin.

   Mikä väite hyppääjään vaikuttavasta kokonaisvoimasta on oikea?

   Hyppääjän nopeus varjon auettua (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	52,0
   1,0	24,5
   2,0	12,8
   3,0	8,9
   4,0	7,6
   5,0	7,3
   6,0	7,2

   Valitse vaihtoehto.

   • Se osoittaa lopussa ylös, koska ilmanvastus on silloin suurimmillaan
   • Se osoittaa koko ajan alas, koska hyppääjä liikkuu koko ajan alas
   • Se on nolla koko ajan, koska hyppääjän nopeus on aina yhtä suuri
   • Se osoittaa ensin ylös ja on lopussa lähes nolla, koska nopeus pienenee ja tasaantuu

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Se osoittaa ensin ylös ja on lopussa lähes nolla, koska nopeus pienenee ja tasaantuu

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä väite hyppääjään vaikuttavasta kokonaisvoimasta on oikea taulukon aineiston perusteella.

   Periaate

   Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan, ei liikkeen suuntaan. Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla, joten se luetaan taulukosta nopeuden muutoksesta.

   Mallivastaus

   Taulukossa nopeus alaspäin pienenee ensimmäisen sekunnin aikana arvosta $52{,}0\,\text{m/s}$ arvoon $24{,}5\,\text{m/s}$, eli noin $27{,}5\,\text{m/s}$ sekunnissa. Hyppääjä liikkuu alas mutta hidastuu, joten kiihtyvyys ja kokonaisvoima osoittavat ylös. Ilmanvastus on silloin painoa suurempi. Lopussa nopeus on lähes vakio, $7{,}3\,\text{m/s}$ ja $7{,}2\,\text{m/s}$, joten kiihtyvyys ja kokonaisvoima ovat lähes nolla ja ilmanvastus on painon suuruinen. Väite, että kokonaisvoima osoittaa alas, koska liike on alas, sekoittaa voiman ja nopeuden suunnan. Väite, että kokonaisvoima olisi nolla koko ajan, on ristiriidassa muuttuvan nopeuden kanssa.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 9-16

   Laskuvarjohyppääjä, jonka massa varusteineen on $72{,}0\,\text{kg}$, putoaa vatsa alaspäin rajanopeudella. Hän kääntyy nopeasti pää edellä -asentoon, jolloin ilmanvastus pienenee samalla nopeudella puoleen entisestä.

   Kuinka suuri on hyppääjän kiihtyvyys heti asennon muutoksen jälkeen?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $4{,}91\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 72{,}0\,\text{kg}$, aluksi rajanopeus, asennon muutoksen jälkeen ilmanvastus on puolet entisestä samalla nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kiihtyvyys $a$ heti asennon muutoksen jälkeen yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Rajanopeudella ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino, koska kokonaisvoima on nolla. Heti asennon muutoksen jälkeen nopeus on vielä sama, mutta ilmanvastus on pienentynyt puoleen painosta. Kokonaisvoima ei ole enää nolla, ja Newtonin toinen laki antaa kiihtyvyyden.

   Voimakuvio

   Hyppääjä suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Ennen muutosta paino $\overline{G}$ ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ovat yhtä pitkät. Heti muutoksen jälkeen paino keskipisteestä alas ja ilmanvastus alhaalta ylös alapintaan asti puolet painon pituisena.

   Kaava

   Ennen muutosta $F_\text{v} = mg$, joten muutoksen jälkeen $F_\text{v}' = \tfrac{1}{2}mg$. Liikeyhtälö $mg - F_\text{v}' = ma$ antaa

   $a$$= \dfrac{mg - \tfrac{1}{2}mg}{m}$

   $= \dfrac{g}{2}$

   Muunnokset

   Massa supistuu pois, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2}{2}$

   $= 4{,}905\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $4{,}91\,\text{m/s}^2$

   Alaspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten putoamiskiihtyvyydessä $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Massaa ei tarvittu.

   Järkevyys

   Puolet painosta jää kumoamatta, joten kiihtyvyys on puolet putoamiskiihtyvyydestä. Hyppääjä alkaa taas kiihtyä, kunnes ilmanvastus kasvaa uudessa asennossa painon suuruiseksi, nyt suuremmalla rajanopeudella.

2. Tehtävä 9-17

   Pallo, jonka massa on $0{,}200\,\text{kg}$, heitetään suoraan ylös. Nousun aikana eräällä hetkellä ilmanvastus on $0{,}600\,\text{N}$. Myöhemmin pallo putoaa takaisin alas, ja eräällä hetkellä ilmanvastus on taas $0{,}600\,\text{N}$.

   Kuinka paljon suurempi on pallon kiihtyvyyden suuruus ensimmäisellä hetkellä kuin toisella?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $6{,}00\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}200\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 0{,}600\,\text{N}$ sekä nousussa että laskussa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kiihtyvyyksien suuruuksien erotus $\Delta a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Ilmanvastus osoittaa aina nopeutta vastaan. Nousussa se osoittaa alas painon kanssa, laskussa ylös painoa vastaan. Newtonin toinen laki antaa kummankin hetken kiihtyvyyden, ja ne vähennetään toisistaan.

   Voimakuvio

   Kaksi kuviota, pallo suorakulmiona. Nousussa paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ ylhäältä alas yläpintaan asti. Laskussa paino alas ja ilmanvastus alhaalta ylös alapintaan asti. Kummassakin positiivinen suunta on alas.

   Kaava

   Nousussa $mg + F_\text{v} = ma_1$, joten $a_1 = g + \dfrac{F_\text{v}}{m}$. Laskussa $mg - F_\text{v} = ma_2$, joten $a_2 = g - \dfrac{F_\text{v}}{m}$. Erotus on

   $\Delta a$$= a_1 - a_2$

   $= \dfrac{2F_\text{v}}{m}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta a$$= \dfrac{2\cdot 0{,}600\,\text{N}}{0{,}200\,\text{kg}}$

   $= 6{,}00\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $6{,}00\,\text{m/s}^2$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}200\,\text{kg}$ ja ilmanvastuksessa $0{,}600\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Erikseen laskettuina

   $a_1$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 + 3{,}00\,\text{m/s}^2$

   $= 12{,}81\,\text{m/s}^2$

   $a_2$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 3{,}00\,\text{m/s}^2$

   $= 6{,}81\,\text{m/s}^2$

   ja niiden erotus on $6{,}00\,\text{m/s}^2$. Kumpikin kiihtyvyys osoittaa alas, mutta nousussa se on suurempi kuin $g$ ja laskussa pienempi.

3. Tehtävä 9-18

   Pallo, jonka massa on $0{,}150\,\text{kg}$, pudotetaan levosta korkealta. Kuvaajassa on pallon nopeus ajan funktiona, ja käyrän pisteeseen $P$ on piirretty tangentti.

   Kuinka suuri ilmanvastus palloon vaikuttaa hetkellä, jota piste $P$ vastaa?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}150\,\text{kg}$, kuvaajassa pallon nopeus ajan funktiona ja tangentti pisteeseen $P$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastus $F_\text{v}$ hetkellä, jota piste $P$ vastaa, yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kiihtyvyys on $(t,v)$-kuvaajan kulmakerroin. Käyrän kulmakerroin tietyllä hetkellä on sen tangentin kulmakerroin. Kun kiihtyvyys tunnetaan, Newtonin toinen laki antaa ilmanvastuksen, koska palloon vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus.

   Voimakuvio

   Pallo suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa lyhyempänä.

   Kuvaajan lukeminen

   Tangentti alkaa pystyakselilta kohdasta $(0$; $2{,}0\,\text{m/s})$ ja kulkee ruudukon risteyksen $(2{,}0\,\text{s}$; $15{,}0\,\text{m/s})$ kautta. Nämä pisteet ovat kaukana toisistaan ja ruudukon viivoilla, joten ne luetaan tarkasti. Kulmakerroin luetaan tangentilta, ei käyrän pisteistä.

   Kaava

   $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ ja $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = m(g - a)$

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$, ajat sekunteina ja massa kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{15{,}0\,\text{m/s} - 2{,}0\,\text{m/s}}{2{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}}$

   $= 6{,}5\,\text{m/s}^2$

   $F_\text{v}$$= 0{,}150\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 - 6{,}5\,\text{m/s}^2)$

   $= 0{,}150\,\text{kg}\cdot 3{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 0{,}4965\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{N}$

   Ylöspäin, kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luettu kiihtyvyys $6{,}5\,\text{m/s}^2$ on kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Pallon paino on $0{,}150\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}5\,\text{N}$. Kiihtyvyys on noin kaksi kolmasosaa putoamiskiihtyvyydestä, joten ilmanvastus kumoaa noin kolmasosan painosta, noin $0{,}5\,\text{N}$. Myöhemmin käyrä loivenee, ilmanvastus kasvaa ja lähestyy painoa.

4. Tehtävä 9-19

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $82{,}0\,\text{kg}$. Taulukossa on hänen nopeutensa alaspäin varjon avautumisen jälkeen. Aineisto on esimerkkiaineisto.

   a) Kuinka suuri ilmanvastus on hetkellä $t = 1{,}0\,\text{s}$? Arvioi kiihtyvyys pisteistä $t = 0{,}5\,\text{s}$ ja $t = 1{,}5\,\text{s}$ ja valitse positiiviseksi suunnaksi alas.

   b) Kuinka monta kertaa painon suuruinen ilmanvastus tällöin on, ja mihin suuntaan kokonaisvoima osoittaa? Perustele, miksi hyppääjä ei kuitenkaan nouse.

   c) Päättele taulukosta ilmanvastus lopussa ja perustele, miksi nopeus pysyy silloin vakiona.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan a) tulos.

   Hyppääjän nopeus varjon avautumisen jälkeen (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,0	50,0
   0,5	33,0
   1,0	22,0
   1,5	15,5
   2,0	11,5
   3,0	7,6
   4,0	6,2
   5,0	5,7
   6,0	5,6

   NTarkista
   Vastaus

   $2240\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 82{,}0\,\text{kg}$; taulukosta $v_1 = 33{,}0\,\text{m/s}$ hetkellä $t_1 = 0{,}5\,\text{s}$ ja $v_2 = 15{,}5\,\text{m/s}$ hetkellä $t_2 = 1{,}5\,\text{s}$; lopussa $v \approx 5{,}6\,\text{m/s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; positiivinen suunta alas

   Kysytty

   a) ilmanvastus $F_\text{v}$ hetkellä $t = 1{,}0\,\text{s}$ yksikössä $\text{N}$; b) ilmanvastus painon monikertana ja kokonaisvoiman suunta; c) ilmanvastus lopussa

   Periaate

   Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla, ja hetkeä $1{,}0\,\text{s}$ ympäröivät pisteet antavat sen kyseiselle hetkelle. Hyppääjään vaikuttavat vain paino ja ilmanvastus, joten Newtonin toinen laki antaa ilmanvastuksen. Kiihtyvyyden suunta määrää kokonaisvoiman suunnan.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan taulukosta pisteet $(0{,}5\,\text{s}$; $33{,}0\,\text{m/s})$ ja $(1{,}5\,\text{s}$; $15{,}5\,\text{m/s})$, jotka ovat hetken $1{,}0\,\text{s}$ molemmin puolin. Nopeus pienenee, joten kulmakerroin eli kiihtyvyys on negatiivinen. Lopun nopeudet $5{,}7\,\text{m/s}$ ja $5{,}6\,\text{m/s}$ ovat lähes samat, joten kiihtyvyys on siellä lähes nolla.

   Voimakuvio

   Hyppääjä suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa selvästi pidempänä. Nopeus alas merkitään erikseen kuvion viereen.

   Kaava

   $a = \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$ ja $mg - F_\text{v} = ma$, joten $F_\text{v} = m(g - a)$. Lopussa $a = 0$, joten $F_\text{v} = mg$.

   Muunnokset

   Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$, ajat sekunteina ja massa kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   a)

   $a$$= \dfrac{15{,}5\,\text{m/s} - 33{,}0\,\text{m/s}}{1{,}5\,\text{s} - 0{,}5\,\text{s}}$

   $= -17{,}5\,\text{m/s}^2$

   $F_\text{v}$$= 82{,}0\,\text{kg}\cdot(9{,}81\,\text{m/s}^2 + 17{,}5\,\text{m/s}^2)$

   $= 82{,}0\,\text{kg}\cdot 27{,}31\,\text{m/s}^2$

   $= 2239{,}42\,\text{N}$

   b)

   $mg$$= 82{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 804{,}42\,\text{N}$

   joten

   $F_\text{v} : mg$$= 2239{,}42\,\text{N} : 804{,}42\,\text{N}$

   $= 2{,}78$

   c) $F_\text{v} = mg = 804{,}42\,\text{N}$.

   Vastaus

   a) $2240\,\text{N}$ ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $82{,}0\,\text{kg}$. b) Ilmanvastus on noin $2{,}8$-kertainen paino. Kokonaisvoima $\Sigma F = mg - F_\text{v} = -1435\,\text{N}$ osoittaa ylös, koska kiihtyvyys on ylös. Hyppääjä ei nouse, koska kokonaisvoima pienentää vain alaspäin suuntautuvaa nopeutta: nopeus on kaikissa taulukon kohdissa positiivinen alas. c) Ilmanvastus on noin $804\,\text{N}$, painon suuruinen. Nopeus pysyy vakiona, koska paino ja ilmanvastus kumoavat toisensa ja kokonaisvoima on nolla.

   Järkevyys

   Ilmanvastus on kolmisen kertaa paino, joten kokonaisvoima on noin kaksi painoa ylöspäin ja kiihtyvyys noin $2g \approx 20\,\text{m/s}^2$. Laskettu $17{,}5\,\text{m/s}^2$ on tätä lähellä. Kun nopeus pienenee, ilmanvastus pienenee, kiihtyvyys lähestyy nollaa ja nopeus tasaantuu, kuten taulukon loppu näyttää.

5. Tehtävä 9-20

   Sadepisara, jonka massa on $0{,}0140\,\text{g}$, putoaa pilvestä korkeudelta $1{,}50\,\text{km}$. Maan lähellä pisaran nopeus on mittausten mukaan vakio $8{,}0\,\text{m/s}$ (esimerkkiaineisto). Oletetaan, että pisara lähtee levosta ja liikkuu pystysuoraan.

   a) Kuinka suuri ilmanvastus pisaraan vaikuttaa Maan lähellä?

   b) Kuinka suuri nopeus pisaralla olisi alhaalla, jos ilmanvastusta ei olisi ja pisaran kiihtyvyys olisi koko matkan $g$?

   c) Perustele näiden tulosten avulla, miksi sadepisarat eivät ole vaarallisia, ja kerro, miten ilmanvastus muuttuu pisaran pudotessa.

   Vastauslaatikkoon tulee kohdan b) tulos.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $172\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}0140\,\text{g}$, pudotuskorkeus $h = 1{,}50\,\text{km}$, nopeus Maan lähellä vakio $v = 8{,}0\,\text{m/s}$; pisara lähtee levosta ja liikkuu pystysuoraan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) ilmanvastus $F_\text{v}$ Maan lähellä; b) pisaran nopeus $v$ alhaalla yksikössä $\text{m/s}$, jos ilmanvastusta ei olisi; c) perustelu, miksi sadepisarat eivät ole vaarallisia

   Periaate

   Kun nopeus on vakio, kiihtyvyys on nolla ja ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino. Jos ilmanvastusta ei olisi, pisaraan vaikuttaisi vain paino ja kiihtyvyys olisi koko matkan $g$, joten tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaava $v^2 = 2gh$ antaa loppunopeuden levosta lähdettäessä.

   Voimakuvio

   Pisara pienenä suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Maan lähellä paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alhaalta ylös alapintaan asti, yhtä pitkinä.

   Kaava

   a) $mg - F_\text{v} = 0$, joten $F_\text{v} = mg$. b) $v^2 = 2gh$, joten $v = \sqrt{2gh}$.

   Muunnokset

   $m$$= 0{,}0140\,\text{g}$

   $= 1{,}40 \cdot 10^{-5}\,\text{kg}$

   $h$$= 1{,}50\,\text{km}$

   $= 1500\,\text{m}$

   Sijoitus

   a)

   $F_\text{v}$$= 1{,}40 \cdot 10^{-5}\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 1{,}373 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   b)

   $v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1500\,\text{m}}$

   $= \sqrt{29430\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 171{,}55\,\text{m/s}$

   Vastaus

   a) $1{,}37 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$ ylöspäin. b) $172\,\text{m/s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $1{,}50\,\text{km}$. c) Ilman ilmanvastusta nopeus olisi noin $620\,\text{km/h}$, yli $20$-kertainen todelliseen $8{,}0\,\text{m/s}$ nähden, ja pisara olisi vaarallinen. Pisaran pudotessa ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, kunnes se on painon suuruinen. Silloin kokonaisvoima on nolla ja nopeus pysyy vakiona. Pisaran paino on vain noin $1{,}4 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$, joten pieni ilmanvastus riittää kumoamaan sen jo pienellä nopeudella.

   Järkevyys

   Kiihtyvyydellä $g$ pisara saavuttaisi nopeuden $8{,}0\,\text{m/s}$ ajassa $8{,}0\,\text{m/s} : 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 0{,}82\,\text{s}$ eli muutamassa metrissä, vaikka matkaa on $1500\,\text{m}$. Todellisuudessa ilmanvastus rajoittaa nopeuden jo heti alussa, joten pisara kulkee lähes koko matkan vakionopeudella ja kokee putoamisen vain noin $190\,\text{s}$ ajan. Tulos $171{,}55\,\text{m/s}$ on suuruusluokaltaan oikea, sillä $\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1500} \approx 170$.