Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-1Ydintehtävä

   Kivi pudotetaan levosta sillalta, joka on $12{,}0\,\text{m}$ vedenpinnan yläpuolella. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Millä nopeudella kivi osuu veteen?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $15{,}3\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pudotuskorkeus $h = 12{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   nopeus $v$ veden pinnassa yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Kiveen vaikuttaa vain paino. Siksi vain paino tekee työtä ja mekaaninen energia säilyy. Nollataso valitaan vedenpintaan. Alussa kivellä on vain potentiaalienergiaa. Lopussa sillä on vain liike-energiaa.

   Kaava

   $mgh = \tfrac{1}{2} mv^2$, joten $v = \sqrt{2gh}$

   Muunnokset

   Korkeus on metreinä, joten muunnoksia ei tarvita. Massaa ei tarvita, koska se supistuu pois.

   Sijoitus

   $v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 12{,}0\,\text{m}}$

   $= \sqrt{235{,}44\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 15{,}34\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $15{,}3\,\text{m/s}$

   Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska korkeus $12{,}0\,\text{m}$ on annettu kolmella.

   Järkevyys

   Arvio pyöreillä luvuilla:

   $\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 12}\,\text{m/s}$

   $= \sqrt{240}\,\text{m/s}$

   $\approx 15{,}5\,\text{m/s}$

   Tulos on siis oikeaa suuruusluokkaa. Nopeus on noin $55\,\text{km/h}$. Se sopii noin nelikerroksisen talon korkuiseen pudotukseen.

2. Tehtävä 11-2Ydintehtävä

   Rullalautailija liikkuu rampin pohjalla nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$. Hän nousee rampin toista reunaa ylös potkaisematta. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka korkealle rampin pohjasta lautailija nousee?

   mTarkista
   Vastaus

   $1{,}8\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   nopeus pohjalla $v = 6{,}0\,\text{m/s}$, nopeus ylimmässä kohdassa $0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   nousukorkeus $h$ rampin pohjasta yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Lautailijaan vaikuttavat paino ja rampin tukivoima. Tukivoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä. Siksi mekaaninen energia säilyy. Nollataso on rampin pohjalla. Kun lautailija pysähtyy ylimmässä kohdassa, liike-energia on muuttunut kokonaan potentiaalienergiaksi.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv^2 = mgh$, joten $h = \dfrac{v^2}{2 \cdot g}$

   Muunnokset

   Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{(6{,}0\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{36\,\text{m}^2/\text{s}^2}{19{,}62\,\text{m/s}^2}$

   $= 1{,}835\,\text{m}$

   Vastaus

   $1{,}8\,\text{m}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska nopeus $6{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kahdella.

   Järkevyys

   Kun pudotaan $1{,}8\,\text{m}$, nopeus on $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}835}\,\text{m/s} = 6{,}0\,\text{m/s}$. Laskun voi siis tehdä myös toiseen suuntaan. Oikeasti kitka ja ilmanvastus pienentävät nousukorkeutta hieman.

3. Tehtävä 11-3

   Laatikkoa työnnetään vaakasuoralla lattialla $4{,}0\,\text{m}$:n matka. Lattian kitkavoima laatikkoon on $35\,\text{N}$. Kuinka suuren työn kitkavoima tekee laatikkoon? Ilmoita työ etumerkkeineen.

   JTarkista
   Vastaus

   $-140\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matka $s = 4{,}0\,\text{m}$, kitkavoima $F_\mu = 35\,\text{N}$ liikettä vastaan

   Kysytty

   kitkavoiman tekemä työ $W$ etumerkkeineen yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Kitkavoima osoittaa liikettä vastaan. Sen liikkeen suuntainen komponentti on siksi $-F_\mu$. Voima, joka vastustaa liikettä, tekee negatiivista työtä.

   Kaava

   $W = F_\parallel s$, ja $F_\parallel = -F_\mu$, joten $W = -F_\mu s$

   Muunnokset

   Voima on newtoneina ja matka metreinä, joten muunnoksia ei tarvita; $1\,\text{N}\cdot\text{m} = 1\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W$$= -35\,\text{N} \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= -140\,\text{J}$

   Vastaus

   $-140\,\text{J}$

   Eli $-1{,}4 \cdot 10^2\,\text{J}$. Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska matka $4{,}0\,\text{m}$ ja voima $35\,\text{N}$ on annettu kahdella.

   Järkevyys

   Työ on negatiivinen, koska kitka vähentää laatikon energiaa. Energiaa $140\,\text{J}$ muuttuu laatikon ja lattian sisäenergiaksi. Suuruusluokka: noin $40\,\text{N}$ kertaa $4\,\text{m}$ on noin $160\,\text{J}$.

4. Tehtävä 11-4

   Pikajuoksijan massa on $65\,\text{kg}$. Hän kiihdyttää lähdössä levosta nopeuteen $8{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka suuren työn juoksijaan vaikuttava kokonaisvoima tekee kiihdytyksen aikana? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $2{,}1\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 65\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 0$, loppunopeus $v_2 = 8{,}0\,\text{m/s}$

   Kysytty

   kokonaisvoiman tekemä työ $W_\text{kok}$ yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Kokonaisvoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin liike-energian muutos. Kokonaisvoimaa tai matkaa ei tarvitse tietää. Alku- ja loppunopeus kertovat liike-energian muutoksen.

   Kaava

   $W_\text{kok}$$= \Delta E_\text{k}$

   $= \tfrac{1}{2} mv_2^2 - \tfrac{1}{2} mv_1^2$

   ja $v_1 = 0$, joten $W_\text{kok} = \tfrac{1}{2} mv_2^2$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $W_\text{kok}$$= \tfrac12 \cdot 65\,\text{kg} \cdot (8{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 2080\,\text{J}$

   Vastaus

   $2{,}1\,\text{kJ}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska massa $65\,\text{kg}$ ja nopeus $8{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kahdella.

   Järkevyys

   Työ on positiivinen, koska juoksijan liike-energia kasvaa. Arvio: $\tfrac12 \cdot 60 \cdot 64\,\text{J} \approx 1900\,\text{J}$. Tulos on siis oikeaa suuruusluokkaa.

5. Tehtävä 11-5

   Hiihtäjän mekaaninen energia on mäen päällä $12{,}4\,\text{kJ}$ ja mäen alla $9{,}8\,\text{kJ}$. Kuinka suuren työn kitka ja ilmanvastus tekevät yhteensä hiihtäjään laskun aikana? Ilmoita työ etumerkkeineen.

   kJTarkista
   Vastaus

   $-2{,}6\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mekaaninen energia mäen päällä $E_{\text{mek},1} = 12{,}4\,\text{kJ}$ ja mäen alla $E_{\text{mek},2} = 9{,}8\,\text{kJ}$

   Kysytty

   kitkan ja ilmanvastuksen yhdessä tekemä työ $W_\text{muut}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Energiaperiaatteen mukaan mekaanisen energian muutos on yhtä suuri kuin muiden voimien kuin painon tekemä työ. Tässä muut voimat ovat kitka ja ilmanvastus. Lumen tukivoima ei tee työtä, koska se on kohtisuorassa liikettä vastaan.

   Kaava

   $E_{\text{mek},1} + W_\text{muut} = E_{\text{mek},2}$, joten $W_\text{muut} = E_{\text{mek},2} - E_{\text{mek},1}$

   Muunnokset

   Molemmat energiat ovat kilojouleina, joten vastaus saadaan suoraan kilojouleina.

   Sijoitus

   $W_\text{muut}$$= 9{,}8\,\text{kJ} - 12{,}4\,\text{kJ}$

   $= -2{,}6\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $-2{,}6\,\text{kJ}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla. Energiat tunnetaan kymmenesosakilojoulen tarkkuudella, ja niiden erotus on $2{,}6\,\text{kJ}$.

   Järkevyys

   Työ on negatiivinen, koska kitka ja ilmanvastus vastustavat liikettä ja mekaaninen energia pienenee. Hiihtäjä menetti noin viidenneksen mekaanisesta energiastaan. Se on uskottavaa laskettelussa.

6. Tehtävä 11-6

   Kaksi lasta laskee levosta liukumäkeä alas. Toisen liukumäki on jyrkkä ja lyhyt. Toisen liukumäki on loiva ja pitkä. Molempien lähtökorkeus on sama. Lasten massat ovat yhtä suuret. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Mitä lasten nopeuksista liukumäen alapäässä voi päätellä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Nopeudet ovat yhtä suuret, koska potentiaalienergian muutos on sama.
   • Jyrkän mäen lapsi on nopeampi, koska hänen potentiaalienergiansa muuttuu nopeammin.
   • Loivan mäen lapsi on nopeampi, koska hän kiihtyy pidemmän aikaa.
   • Jyrkän mäen lapsi on nopeampi, koska hänen kiihtyvyytensä on suurempi.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Nopeudet ovat yhtä suuret, koska potentiaalienergian muutos on sama.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten lasten nopeudet liukumäen alapäässä suhtautuvat toisiinsa

   Periaate

   Kumpaankin lapseen vaikuttavat paino ja liukumäen tukivoima. Tukivoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia säilyy. Painon tekemä työ eli potentiaalienergian muutos riippuu vain korkeuserosta. Radan muoto ja pituus eivät vaikuta siihen.

   Mallivastaus

   Molemmat lapset lähtevät levosta samalta korkeudelta, ja heidän massansa on sama. Alun potentiaalienergia $mgh$ on siis sama. Alapäässä se on kokonaan muuttunut liike-energiaksi, $mgh = \tfrac{1}{2} mv^2$. Siis $v = \sqrt{2gh}$ on molemmilla sama. Jyrkässä mäessä kiihtyvyys on suurempi mutta matka lyhyempi. Loivassa mäessä kiihtyvyys on pienempi mutta matka pidempi. Nämä tasoittavat toisensa, ja nopeudet ovat alapäässä yhtä suuret. Vain kuluva aika on erilainen.

7. Tehtävä 11-7

   Luistelijan massa on $58{,}0\,\text{kg}$. Hän liukuu jäällä nopeudella $7{,}50\,\text{m/s}$. Kitka ja ilmanvastus hidastavat liikettä, ja nopeus pienenee arvoon $4{,}50\,\text{m/s}$.

   Kuinka suuren työn luistelijaan vaikuttava kokonaisvoima tekee hidastumisen aikana? Ilmoita työ etumerkkeineen kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $-1{,}04\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 58{,}0\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 7{,}50\,\text{m/s}$, loppunopeus $v_2 = 4{,}50\,\text{m/s}$

   Kysytty

   kokonaisvoiman tekemä työ $W_\text{kok}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Kokonaisvoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin liike-energian muutos. Kokonaisvoimaa ja matkaa ei tarvitse tietää. Alku- ja loppunopeus kertovat liike-energian muutoksen.

   Kaava

   $W_\text{kok}$$= \Delta E_\text{k}$

   $= \tfrac{1}{2} mv_2^2 - \tfrac{1}{2} mv_1^2$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   Ensin

   $v_2^2 - v_1^2$$= (20{,}25 - 56{,}25)\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= -36{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Siis

   $W_\text{kok}$$= \tfrac12 \cdot 58{,}0\,\text{kg} \cdot (-36{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2)$

   $= -1044\,\text{J}$

   $= -1{,}044\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $-1{,}04\,\text{kJ}$

   Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska massa $58{,}0\,\text{kg}$ ja nopeudet on annettu kolmella.

   Järkevyys

   Työ on negatiivinen, koska kitka ja ilmanvastus vastustavat liikettä. Liike-energia pienenee. Alussa liike-energia on $\tfrac12 \cdot 58 \cdot 7{,}50^2\,\text{J} \approx 1630\,\text{J}$ ja lopussa $\tfrac12 \cdot 58 \cdot 4{,}50^2\,\text{J} \approx 590\,\text{J}$; erotus on noin $-1040\,\text{J}$.

8. Tehtävä 11-8

   Oppilas ratkaisee tehtävän: ”Laatikko liukuu kaltevaa lankkua alas $5{,}0\,\text{m}$:n matkan. Lankun päiden korkeusero on $1{,}5\,\text{m}$. Liikettä vastustava kitkavoima on $8{,}0\,\text{N}$. Kuinka suuren työn kitka tekee laatikkoon?”

   Oppilaan ratkaisu: $W = -F_\mu h = -8{,}0\,\text{N} \cdot 1{,}5\,\text{m} = -12\,\text{J}$.

   Mikä oppilaan ratkaisussa on virheellistä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kitkan työ on nolla, koska tukivoima kumoaa kitkan.
   • Kitkavoima pitää kertoa laatikon painolla eikä korkeuserolla.
   • Etumerkki on väärä, koska kitka kasvattaa laatikon mekaanista energiaa.
   • Kitkan työ lasketaan kuljetulla matkalla eikä korkeuserolla.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kitkan työ lasketaan kuljetulla matkalla eikä korkeuserolla.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä oppilaan ratkaisussa on virheellistä

   Periaate

   Voiman tekemä työ on $W = F_\parallel s$. Tässä $s$ on kuljettu matka voiman suunnassa. Kitkavoima osoittaa koko matkan ajan liikettä vastaan, joten kitkan työ on $-F_\mu s$. Tässä $s$ on matka pitkin lankkua. Korkeusero kuuluu painon työhön eli potentiaalienergian muutokseen. Se ei kuulu kitkan työhön.

   Mallivastaus

   Oppilas on kertonut kitkavoiman lankun päiden korkeuserolla. Kitkan työhön tarvitaan kuitenkin matka, jonka laatikko kulkee pitkin lankkua. Kitkavoima toimii koko lankun pituudella, joten oikea työ on $W = -8{,}0\,\text{N} \cdot 5{,}0\,\text{m} = -40\,\text{J}$. Etumerkki $-$ oli oikein, koska kitka vastustaa liikettä. Vain matka oli väärä. Oppilaan tulos $-12\,\text{J}$ on liian pieni.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-9Ydintehtävä

   Pallo heitetään suoraan alaspäin parvekkeelta, joka on $15{,}0\,\text{m}$:n korkeudella. Heittonopeus on $8{,}00\,\text{m/s}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Millä nopeudella pallo osuu maahan?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $18{,}9\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeus $h = 15{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 8{,}00\,\text{m/s}$ alaspäin, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   nopeus $v_2$ maassa yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Heiton jälkeen palloon vaikuttaa vain paino, joten mekaaninen energia säilyy. Nollataso valitaan maahan. Alussa pallolla on sekä liike-energiaa että potentiaalienergiaa. Lopussa sillä on vain liike-energiaa. Liike-energia ei riipu nopeuden suunnasta.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh = \tfrac{1}{2} mv_2^2$, joten $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   Ensin

   $v_1^2$$= (8{,}00\,\text{m/s})^2$

   $= 64{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $2gh$$= 2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$

   $= 294{,}3\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Siis

   $v_2$$= \sqrt{(64{,}0 + 294{,}3)\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 18{,}93\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $18{,}9\,\text{m/s}$

   Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska korkeus $15{,}0\,\text{m}$ ja nopeus $8{,}00\,\text{m/s}$ on annettu kolmella.

   Järkevyys

   Pelkkä pudotus antaisi $\sqrt{294{,}3}\,\text{m/s} \approx 17{,}2\,\text{m/s}$. Heitto lisää nopeutta, joten tuloksen pitää olla tätä suurempi. Nopeudet eivät kuitenkaan summaudu: $18{,}9\,\text{m/s}$ on paljon vähemmän kuin $8{,}0 + 17{,}2\,\text{m/s}$. Syy on, että energiat summautuvat, eivät nopeudet.

2. Tehtävä 11-10Ydintehtävä

   Auton massa on $1200\,\text{kg}$. Auto ajaa vaakasuoralla tiellä nopeudella $72\,\text{km/h}$. Kuljettaja jarruttaa, ja tien kitkavoima renkaisiin on jarrutuksen aikana $6{,}0\,\text{kN}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kuinka pitkä on auton jarrutusmatka?

   mTarkista
   Vastaus

   $40\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 1200\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 72\,\text{km/h}$, loppunopeus $v_2 = 0$, kitkavoima $F_\mu = 6{,}0\,\text{kN}$ liikettä vastaan; tie on vaakasuora ja ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   jarrutusmatka $s$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Tie on vaakasuora, joten potentiaalienergia ei muutu. Paino ja tien tukivoima ovat kohtisuorassa liikettä vastaan, eivätkä ne tee työtä. Ainoa työtä tekevä voima on kitka. Se on samalla kokonaisvoima, joten sen työ on liike-energian muutos.

   Kaava

   $-F_\mu s = 0 - \tfrac{1}{2} mv_1^2$, joten $s = \dfrac{mv_1^2}{2F_\mu}$

   Muunnokset

   $v_1$$= 72\,\text{km/h}$

   $= 72 : 3{,}6\,\text{m/s}$

   $= 20\,\text{m/s}$

   $F_\mu$$= 6{,}0\,\text{kN}$

   $= 6{,}0 \cdot 1000\,\text{N}$

   $= 6000\,\text{N}$

   Sijoitus

   $s$$= \dfrac{1200\,\text{kg} \cdot (20\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 6000\,\text{N}}$

   $= \dfrac{480\,000\,\text{J}}{12\,000\,\text{N}}$

   $= 40\,\text{m}$

   Vastaus

   $40\,\text{m}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska nopeus $72\,\text{km/h}$ ja voima $6{,}0\,\text{kN}$ on annettu kahdella.

   Järkevyys

   Hidastuvuus on $6000\,\text{N} : 1200\,\text{kg} = 5{,}0\,\text{m/s}^2$. Liikeyhtälöistä saadaan sama matka: $\tfrac{(20\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 5{,}0\,\text{m/s}^2} = 40\,\text{m}$. Liike-energia on verrannollinen nopeuden neliöön. Kaksinkertaisella nopeudella jarrutusmatka olisi siis nelinkertainen.

3. Tehtävä 11-11

   Nosturi nostaa $250\,\text{kg}$:n betonikuormaa tasaisella nopeudella $18{,}0\,\text{m}$ ylöspäin. Kuinka suuren työn nosturin köysi tekee kuormaan? Vastaa kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $44{,}1\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 250\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 18{,}0\,\text{m}$, nopeus vakio, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden tekemä työ $W_\text{muut}$ yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Kuormaan vaikuttavat paino ja köyden jännitysvoima. Köysi on muu voima kuin paino, joten käytetään energiaperiaatetta. Nopeus on vakio, joten liike-energia ei muutu. Köyden työ kasvattaa siis vain potentiaalienergiaa. Nollataso valitaan kuorman lähtökorkeudelle.

   Kaava

   $E_{\text{k},1} + E_{\text{p},1} + W_\text{muut}$

   $= E_{\text{k},2} + E_{\text{p},2}$

   ja $E_{\text{k},1} = E_{\text{k},2}$ ja $E_{\text{p},1} = 0$, joten $W_\text{muut} = mgh$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W_\text{muut}$$= 250\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 18{,}0\,\text{m}$

   $= 44\,145\,\text{J}$

   $= 44{,}1\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $44{,}1\,\text{kJ}$

   Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska nostokorkeus $18{,}0\,\text{m}$ ja massa $250\,\text{kg}$ on annettu kolmella.

   Järkevyys

   Tasaisella nopeudella köyden voima on yhtä suuri kuin paino, noin $2{,}5\,\text{kN}$. Ja $2{,}5\,\text{kN} \cdot 18\,\text{m} = 45\,\text{kJ}$. Työ on positiivinen, koska köysi vetää liikkeen suuntaan ja kasvattaa kuorman mekaanista energiaa.

4. Tehtävä 11-12

   Jääkiekkoilija lyö levossa olevaa kiekkoa. Kiekon massa on $0{,}16\,\text{kg}$. Maila työntää kiekkoa liikkeen suuntaan keskimäärin $120\,\text{N}$:n voimalla $0{,}30\,\text{m}$:n matkan. Jään kitka jätetään huomiotta.

   Kuinka suuri on kiekon nopeus, kun se irtoaa mailasta?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $21\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}16\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1 = 0$, mailan voima $F = 120\,\text{N}$ liikkeen suuntaan, matka $s = 0{,}30\,\text{m}$; jään kitka jätetään huomiotta

   Kysytty

   kiekon nopeus $v_2$ irtoamishetkellä yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Kiekkoon vaikuttavat paino, jään tukivoima ja mailan voima. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa. Ne eivät tee työtä vaakasuorassa liikkeessä. Mailan voima on siis kokonaisvoima. Kokonaisvoiman työ on yhtä suuri kuin liike-energian muutos.

   Kaava

   $Fs = \tfrac{1}{2} mv_2^2 - 0$, joten $v_2 = \sqrt{\dfrac{2Fs}{m}}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v_2$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 120\,\text{N} \cdot 0{,}30\,\text{m}}{0{,}16\,\text{kg}}}$

   $= \sqrt{\dfrac{72\,\text{J}}{0{,}16\,\text{kg}}}$

   $= 21{,}2\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $21\,\text{m/s}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska massa $0{,}16\,\text{kg}$ ja matka $0{,}30\,\text{m}$ on annettu kahdella.

   Järkevyys

   Nopeus on noin $76\,\text{km/h}$. Se on tavallinen kova laukaus. Mailan tekemä työ $36\,\text{J}$ on yhtä suuri kuin kiekon liike-energia:

   $\tfrac12 \cdot 0{,}16\,\text{kg} \cdot (21{,}2\,\text{m/s})^2$

   $\approx 36\,\text{J}$
5. Tehtävä 11-13

   Oppilaat tutkivat heilurin energiaa valoportilla. Heilurin kuula päästetään levosta eri korkeuksilta $h$. Korkeus mitataan heilurin alimmasta kohdasta. Alimmassa kohdassa oleva valoportti mittaa kuulan nopeuden $v$. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Laske jokaisesta mittauksesta $v^2$. Piirrä pisteet $(h, v^2)$-koordinaatistoon ja sovita niihin origon kautta kulkeva suora. Määritä suoran kulmakerroin.

   b) Johda säilymislaista kulmakertoimen ja putoamiskiihtyvyyden $g$ yhteys. Laske $g$.

   c) Perustele, miksi suoran pitää kulkea origon kautta.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   Kuulan nopeus heilurin alimmassa kohdassa (esimerkkiaineisto)

   $h\,(\text{m})$	$v\,(\text{m/s})$
   0,05	1,00
   0,10	1,38
   0,15	1,73
   0,20	1,96
   0,25	2,23
   0,30	2,41

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuulan korkeus alimmasta kohdasta $h$ ja nopeus alimmassa kohdassa $v$ taulukon kuudessa mittauksessa; alkunopeus $0$; kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Kuulaan vaikuttavat paino ja langan jännitysvoima. Jännitysvoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä, joten mekaaninen energia säilyy. Nollataso on alin kohta. Ylhäällä kuulalla on vain potentiaalienergiaa ja alhaalla vain liike-energiaa. Massa supistuu pois, joten kuulan massaa ei tarvita.

   Kuvaajan lukeminen

   Neliöt ovat

   $v^2$$= 1{,}00$; $1{,}90$; $2{,}99$; $3{,}84$; $4{,}97$; $5{,}81\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Pisteet $(h, v^2)$ asettuvat suoran lähelle. Suora kulkee origon kautta, joten kulmakerroin saadaan yhdestä suoran pisteestä. Suora kulkee pisteiden lomassa pisteen $(0{,}30\,\text{m}$; $5{,}86\,\text{m}^2/\text{s}^2)$ kautta. Siis kulmakerroin on

   $k$$= 5{,}86\,\text{m}^2/\text{s}^2 : 0{,}30\,\text{m}$

   $= 19{,}5\,\text{m/s}^2$

   Kaava

   $mgh = \tfrac{1}{2} mv^2$, joten $v^2 = 2g \cdot h$. Suoran kulmakerroin on $k = 2g$, joten $g = \dfrac{k}{2}$.

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $g$$= \dfrac{19{,}5\,\text{m/s}^2}{2}$

   $= 9{,}77\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska korkeudet $h$ on annettu kahdella (esimerkiksi $0{,}05\,\text{m}$). Kuvaajasta luettu tarkempi arvo on $9{,}77\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Tulos poikkeaa tunnetusta arvosta $9{,}81\,\text{m/s}^2$ alle prosentin. Se on mittausvirheen rajoissa. Yksittäinen mittaus antaa samaa suuruusluokkaa: $h = 0{,}30\,\text{m}$ ja $v = 2{,}41\,\text{m/s}$ antavat $g = v^2 : (2h) = 9{,}68\,\text{m/s}^2$. c) Suoran pitää kulkea origon kautta. Kun $h = 0$, kuula on alimmassa kohdassa levossa eikä sillä ole liike-energiaa. Siis $v = 0$ ja $v^2 = 0$. Yhtälö $v^2 = 2gh$ on verrannollisuus. Siinä ei ole vakiotermiä.

6. Tehtävä 11-14

   Pienoisvuoristoradan vaunun massa matkustajineen on $420\,\text{kg}$. Vaunun korkeus $h$ ja nopeus $v$ mitattiin radan neljässä kohdassa. Ratamatka kohdasta A on $s$. Taulukko on esimerkkiaineisto. Nollataso on maanpinta.

   a) Laske vaunun mekaaninen energia kohdissa A, B, C ja D kilojouleina.

   b) Kuinka suuren työn vastusvoimat tekevät vaunuun kohtien A ja D välillä yhteensä?

   c) Millä kohtien välillä keskimääräinen vastusvoima on suurin? Perustele laskemalla.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos kilojouleina.

   Vaunun mittaukset radan eri kohdissa (esimerkkiaineisto)

   Kohta	$s\,(\text{m})$	$h\,(\text{m})$	$v\,(\text{m/s})$
   A	0	18,0	1,5
   B	55	6,0	14,6
   C	120	12,0	7,9
   D	170	3,0	14,2

   kJTarkista
   Vastaus

   $W_\text{muut} \approx -19{,}9\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 420\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kohdissa A, B, C, D ratamatka $s = 0$; $55$; $120$; $170\,\text{m}$, korkeus $h = 18{,}0$; $6{,}0$; $12{,}0$; $3{,}0\,\text{m}$ ja nopeus $v = 1{,}5$; $14{,}6$; $7{,}9$; $14{,}2\,\text{m/s}$

   Kysytty

   a) mekaaninen energia $E_\text{mek}$ kohdissa A–D; b) vastusvoimien työ $W_\text{muut}$ kohtien A ja D välillä; c) kohtien väli, jolla keskimääräinen vastusvoima on suurin

   Periaate

   Mekaaninen energia on $E_\text{mek} = \tfrac{1}{2} mv^2 + mgh$ nollatasosta maanpinnasta. Tukivoima ei tee työtä, joten vaunun mekaanisen energian muutos on vastusvoimien työ, $W_\text{muut} = E_{\text{mek},2} - E_{\text{mek},1}$. Vastusvoima on liikettä vastaan koko matkan. Sen keskiarvo välillä on $F = -W_\text{muut} : \Delta s$.

   Kaava

   $E_\text{mek} = \tfrac{1}{2} mv^2 + mgh$ ja $W_\text{muut} = E_{\text{mek,D}} - E_{\text{mek,A}}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   a) Kohdassa A on

   $\tfrac12 \cdot 420 \cdot 1{,}5^2\,\text{J} + 420 \cdot 9{,}81 \cdot 18{,}0\,\text{J}$

   $= 0{,}47\,\text{kJ} + 74{,}16\,\text{kJ}$

   $= 74{,}6\,\text{kJ}$

   Samoin lasketaan kohdat B, C ja D. Liike-energiat ovat $44{,}8$; $13{,}1$; $42{,}3\,\text{kJ}$ ja potentiaalienergiat $24{,}7$; $49{,}4$; $12{,}4\,\text{kJ}$. Siis $E_\text{mek} = 69{,}5$; $62{,}5$; $54{,}7\,\text{kJ}$. b)

   $W_\text{muut}$$= 54{,}7\,\text{kJ} - 74{,}6\,\text{kJ}$

   $= -19{,}9\,\text{kJ}$

   c) Välillä A–B energia pienenee $5{,}15\,\text{kJ}$ matkalla $55\,\text{m}$. Siis

   $F$$= 5150\,\text{J} : 55\,\text{m}$

   $= 94\,\text{N}$

   Välillä B–C se pienenee $6{,}94\,\text{kJ}$ matkalla $65\,\text{m}$. Siis $F = 107\,\text{N}$. Välillä C–D se pienenee $7{,}84\,\text{kJ}$ matkalla $50\,\text{m}$. Siis $F = 157\,\text{N}$.

   Vastaus

   b) $W_\text{muut} \approx -19{,}9\,\text{kJ}$. Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska korkeudet ja nopeudet on annettu kolmella. c) Keskimääräinen vastusvoima on suurin kohtien C ja D välillä, noin $1{,}6 \cdot 10^2\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Mekaaninen energia pienenee joka välillä, kuten pitääkin. Kaikkiaan noin $27\,\%$ alkuenergiasta muuttui sisäenergiaksi. Koko radan keskimääräinen vastusvoima on $19\,900\,\text{J} : 170\,\text{m} \approx 117\,\text{N}$. Se on osavälien arvojen $94\,\text{N}$, $107\,\text{N}$ ja $157\,\text{N}$ välissä, kuten pitää.

7. Tehtävä 11-15

   Oppilaat määrittävät kitkavoiman kokeella. Puupalikan massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Palikan annetaan liukua vaakasuoralla pöydällä eri alkunopeuksilla $v_0$. Jokaisella kerralla mitataan palikan pysähtymismatka $s$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Kitkavoiman oletetaan olevan vakio. Taulukko on esimerkkiaineisto.

   a) Laske $v_0^2$. Piirrä pisteet $(v_0^2, s)$-koordinaatistoon ja sovita niihin origon kautta kulkeva suora. Määritä suoran kulmakerroin.

   b) Johda energiaperiaatteesta kulmakertoimen ja kitkavoiman $F_\mu$ yhteys. Laske kitkavoima.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos newtoneina.

   Palikan pysähtymismatka eri alkunopeuksilla (esimerkkiaineisto)

   $v_0\,(\text{m/s})$	$s\,(\text{m})$
   1,0	0,22
   1,5	0,47
   2,0	0,88
   2,5	1,35
   3,0	1,98

   NTarkista
   Vastaus

   $F_\mu \approx 1{,}1\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}50\,\text{kg}$, loppunopeus $0$; alkunopeudet $v_0 = 1{,}0$; $1{,}5$; $2{,}0$; $2{,}5$; $3{,}0\,\text{m/s}$ ja pysähtymismatkat $s = 0{,}22$; $0{,}47$; $0{,}88$; $1{,}35$; $1{,}98\,\text{m}$; kitkavoima $F_\mu$ vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   kitkavoima $F_\mu$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Pöytä on vaakasuora, joten potentiaalienergia ei muutu. Paino ja tukivoima ovat kohtisuorassa liikettä vastaan eivätkä tee työtä. Kitka on siis kokonaisvoima, ja sen työ on liike-energian muutos.

   Kuvaajan lukeminen

   Neliöt ovat $v_0^2 = 1{,}00$; $2{,}25$; $4{,}00$; $6{,}25$; $9{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$. Pisteet $(v_0^2, s)$ asettuvat origon kautta kulkevan suoran lähelle. Suora kulkee pisteen $(9{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$; $1{,}97\,\text{m})$ kautta. Siis kulmakerroin on

   $k$$= 1{,}97\,\text{m} : 9{,}00\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= 0{,}219\,\text{s}^2/\text{m}$

   Kaava

   $-F_\mu s = 0 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$, joten $s = \dfrac{m}{2F_\mu} \cdot v_0^2$. Kulmakerroin on $k = \dfrac{m}{2F_\mu}$, joten $F_\mu = \dfrac{m}{2k}$.

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   $1\,\text{kg} : (\text{s}^2/\text{m})$$= 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$

   $= 1\,\text{N}$

   Sijoitus

   $F_\mu$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg}}{2 \cdot 0{,}2188\,\text{s}^2/\text{m}}$

   $= 1{,}14\,\text{N}$

   Vastaus

   $F_\mu \approx 1{,}1\,\text{N}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska massa $0{,}50\,\text{kg}$ on annettu kahdella.

   Järkevyys

   Palikan paino on $0{,}50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 4{,}9\,\text{N}$, joten kitkavoima on noin $23\,\%$ painosta. Kitkakerroin on siis noin $0{,}23$. Se on uskottava puulle pöydällä. Yksittäisestä mittauksesta saadaan samaa: $v_0 = 2{,}0\,\text{m/s}$ antaa

   $F_\mu$$= m v_0^2 : (2s)$

   $= 0{,}50 \cdot 4{,}0 : 1{,}76\,\text{N}$

   $= 1{,}14\,\text{N}$

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 11-16

   Pyöräilijä rullaa polkematta ja jarruttamatta mäen alas. Pyöräilijän ja pyörän yhteinen massa on $80\,\text{kg}$.

   Mäen päällä nopeus on $4{,}0\,\text{m/s}$ ja mäen alla $13{,}0\,\text{m/s}$. Mäen korkeus on $12{,}0\,\text{m}$, ja tietä on mäessä $150\,\text{m}$.

   Kuinka suuri on pyöräilijää jarruttava keskimääräinen vastusvoima? Ilmanvastus ja vierimisvastus lasketaan yhteen.

   NTarkista
   Vastaus

   $22\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 80\,\text{kg}$, nopeus mäen päällä $v_1 = 4{,}0\,\text{m/s}$ ja mäen alla $v_2 = 13{,}0\,\text{m/s}$, korkeus $h = 12{,}0\,\text{m}$, tien pituus $s = 150\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   keskimääräinen vastusvoima $F_\text{vast}$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Pyöräilijään vaikuttavat paino, tien tukivoima sekä ilmanvastus ja vierimisvastus. Tukivoima ei tee työtä. Vastusvoimat ovat muita voimia kuin paino, joten energiaperiaate antaa niiden työn. Vastusvoima osoittaa liikettä vastaan koko matkan, joten sen työ on $-F_\text{vast} s$. Nollataso valitaan mäen alle.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh - F_\text{vast} s = \tfrac{1}{2} mv_2^2$, joten

   $F_\text{vast}$$= \dfrac{\tfrac{m}{2}(v_1^2 - v_2^2) + mgh}{s}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Ensin

   $\tfrac{m}{2}(v_1^2 - v_2^2)$$= \tfrac12 \cdot 80\,\text{kg} \cdot (16 - 169)\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $= -6120\,\text{J}$

   $mgh$$= 80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 12{,}0\,\text{m}$

   $= 9417{,}6\,\text{J}$

   Siis

   $F_\text{vast}$$= \dfrac{-6120\,\text{J} + 9417{,}6\,\text{J}}{150\,\text{m}}$

   $= \dfrac{3297{,}6\,\text{J}}{150\,\text{m}}$

   $= 21{,}98\,\text{N}$

   Vastaus

   $22\,\text{N}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska massa $80\,\text{kg}$ ja nopeus $4{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kahdella.

   Järkevyys

   Vastusvoimat veivät $3{,}3\,\text{kJ}$ eli noin kolmanneksen potentiaalienergiasta $9{,}4\,\text{kJ}$. Noin $13\,\text{m/s}$:n nopeudella pyöräilijän ilmanvastus on muutamia kymmeniä newtoneja. Keskiarvo $22\,\text{N}$ koko mäelle on siis uskottava.

2. Tehtävä 11-17

   Vuoristoradan vaunun massa matkustajineen on $500\,\text{kg}$. Vaunu ylittää $35{,}0\,\text{m}$ korkean mäen huipun nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$. Seuraavan mäen huipulle on rataa $120\,\text{m}$. Vaunuun vaikuttaa koko matkan keskimäärin $150\,\text{N}$:n vastusvoima.

   Kuinka korkea seuraava mäki saa enintään olla, jotta vaunu pääsee sen huipulle?

   mTarkista
   Vastaus

   $31{,}5\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 500\,\text{kg}$, ensimmäisen huipun korkeus $h_1 = 35{,}0\,\text{m}$, nopeus siellä $v_1 = 2{,}0\,\text{m/s}$, ratamatka $s = 120\,\text{m}$, vastusvoima $F_\text{vast} = 150\,\text{N}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   seuraavan mäen suurin korkeus $h_2$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Vaunuun vaikuttavat paino, radan tukivoima ja vastusvoima. Tukivoima ei tee työtä. Vastusvoima tekee työn $-F_\text{vast} s$, joten käytetään energiaperiaatetta. Vaunu pääsee korkeimmalle mäelle, kun sen nopeus huipulla on juuri ja juuri nolla. Nollataso valitaan maahan.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh_1 - F_\text{vast} s = mgh_2$, joten

   $h_2$$= h_1 + \dfrac{v_1^2}{2 \cdot g} - \dfrac{F_\text{vast} s}{mg}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\dfrac{v_1^2}{2g}$$= \dfrac{(2{,}0\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 0{,}204\,\text{m}$

   $\dfrac{F_\text{vast} s}{mg}$$= \dfrac{150\,\text{N} \cdot 120\,\text{m}}{500\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= 3{,}670\,\text{m}$

   Siis

   $h_2$$= (35{,}0 + 0{,}204 - 3{,}670)\,\text{m}$

   $= 31{,}53\,\text{m}$

   Vastaus

   enintään $31{,}5\,\text{m}$. Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska korkeus $35{,}0\,\text{m}$ on annettu kolmella.

   Järkevyys

   Vastusvoima vie $150\,\text{N} \cdot 120\,\text{m} = 18\,\text{kJ}$. Se vastaa noin $3{,}7\,\text{m}$:n korkeutta $500\,\text{kg}$:n vaunulle. Alun pieni nopeus lisää vain $0{,}2\,\text{m}$. Mäki on siis vähän matalampi kuin edellinen, kuten vuoristoradoissa. Oikeasti mäki tehdään vielä matalammaksi, jotta vaunu ylittää huipun vauhdilla.

3. Tehtävä 11-18

   Kivi heitetään meren rannalla $20{,}0\,\text{m}$ korkealta kalliolta. Heittonopeus on $12{,}0\,\text{m/s}$, ja heitto on vinosti ylöspäin $35^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Millä nopeudella kivi osuu veteen?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $23{,}2\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeus $h = 20{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 12{,}0\,\text{m/s}$ kulmassa $35^\circ$ vaakatasoon nähden, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   kiven nopeus $v_2$ veden pinnassa yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Heiton jälkeen kiveen vaikuttaa vain paino, joten mekaaninen energia säilyy. Energia on skalaari. Liike-energia $\tfrac{1}{2} mv^2$ riippuu vain nopeuden suuruudesta, ei suunnasta. Heittokulmaa ei siis tarvita. Nollataso valitaan vedenpintaan.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2} mv_1^2 + mgh = \tfrac{1}{2} mv_2^2$, joten $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   Ensin

   $v_1^2$$= (12{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 144\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   $2gh$$= 2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 20{,}0\,\text{m}$

   $= 392{,}4\,\text{m}^2/\text{s}^2$

   Siis

   $v_2$$= \sqrt{(144 + 392{,}4)\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 23{,}16\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $23{,}2\,\text{m/s}$

   Vastaus on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska korkeus $20{,}0\,\text{m}$ ja nopeus $12{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kolmella.

   Järkevyys

   Tulos on suurempi kuin pelkän pudotuksen nopeus $\sqrt{392{,}4}\,\text{m/s} \approx 19{,}8\,\text{m/s}$. Se on suurempi myös kuin heittonopeus, kuten pitää. Kivi osuisi veteen samalla nopeudella $23{,}2\,\text{m/s}$, jos sen heittäisi samalla nopeudella vaakasuoraan tai alaspäin. Suunta olisi silloin eri.

4. Tehtävä 11-19

   Lumilautailijan massa varusteineen on $70\,\text{kg}$. Hän laskee levosta rinteen yläpäästä. Rinteen korkeusero on $6{,}0\,\text{m}$ ja rinteen pituus $45\,\text{m}$. Rinteen alapäästä hän liukuu vaakasuoralla lumella pysähtymiseen asti. Hän mittaa pysähtymiseen kuluneen matkan $s$. Taulukko on esimerkkiaineisto kuudesta laskusta. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Lumen kitkavoima oletetaan vakioksi sekä rinteessä että vaakasuoralla.

   a) Laske pysähtymismatkan keskiarvo.

   b) Laske lumen keskimääräinen kitkavoima energiaperiaatteella.

   c) Laske lautailijan nopeus rinteen alapäässä. Perustele, miksi se on pienempi kuin kitkattomassa tapauksessa.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   Pysähtymismatka vaakasuoralla lumella (esimerkkiaineisto)

   Lasku	$s\,(\text{m})$
   1	29,4
   2	31,2
   3	28,7
   4	30,5
   5	29,9
   6	30,7

   NTarkista
   Vastaus

   $F \approx 55\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70\,\text{kg}$, korkeusero $h = 6{,}0\,\text{m}$, rinteen pituus $L = 45\,\text{m}$, alkunopeus $0$ ja pysähtymisen jälkeen nopeus $0$; vaakasuora pysähtymismatka $s = 29{,}4$; $31{,}2$; $28{,}7$; $30{,}5$; $29{,}9$; $30{,}7\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; kitkavoima $F$ vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   a) pysähtymismatkan keskiarvo $s_\text{ka}$; b) keskimääräinen kitkavoima $F$ yksikössä $\text{N}$; c) nopeus $v$ rinteen alapäässä

   Periaate

   Lautailijaan vaikuttavat paino, lumen tukivoima ja kitka. Tukivoima ei tee työtä, joten kitka on ainoa muu voima. Käytetään energiaperiaatetta. Kitka on koko ajan liikettä vastaan, joten sen työ on $-F$ kertaa koko kuljettu matka $L + s_\text{ka}$. Nollataso on rinteen alapää. Alussa ja lopussa nopeus on nolla. Koko alun potentiaalienergia $mgh$ muuttuu siis sisäenergiaksi.

   Kaava

   a) $s_\text{ka} = \dfrac{\text{summa}}{6}$. b) $mgh - F\left(L + s_\text{ka}\right) = 0$, joten $F = \dfrac{mgh}{L + s_\text{ka}}$. c) Rinteessä $mgh - F L = \tfrac{1}{2} mv^2$, joten

   $v$$= \sqrt{\dfrac{2\left(mgh - F L\right)}{m}}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   a) Pysähtymismatkojen summa on $180{,}4\,\text{m}$. Siis

   $s_\text{ka}$$= 180{,}4\,\text{m} : 6$

   $= 30{,}07\,\text{m}$

   b)

   $mgh$$= 70\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 6{,}0\,\text{m}$

   $= 4120\,\text{J}$

   $L + s_\text{ka}$$= 45\,\text{m} + 30{,}07\,\text{m}$

   $= 75{,}07\,\text{m}$

   Siis

   $F$$= 4120\,\text{J} : 75{,}07\,\text{m}$

   $= 54{,}9\,\text{N}$

   c) Kitkan työ rinteessä on

   $F L$$= 54{,}9\,\text{N} \cdot 45\,\text{m}$

   $= 2470\,\text{J}$

   Siis

   $\tfrac{1}{2} mv^2$$= 4120\,\text{J} - 2470\,\text{J}$

   $= 1650\,\text{J}$

   $v$$= \sqrt{2 \cdot 1650\,\text{J} : 70\,\text{kg}}$

   $= 6{,}87\,\text{m/s}$

   Vastaus

   b) $F \approx 55\,\text{N}$. Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska massa $70\,\text{kg}$ ja korkeus $6{,}0\,\text{m}$ on annettu kahdella. c) Nopeus rinteen alapäässä on noin $6{,}9\,\text{m/s}$. Se on pienempi kuin kitkattoman rinteen nopeus $\sqrt{2gh} = 10{,}8\,\text{m/s}$. Syy on se, että kitka on muuttanut osan potentiaalienergiasta sisäenergiaksi jo rinteessä. Mekaaninen energia rinteen alapäässä on $1650\,\text{J}$ eikä $4120\,\text{J}$.

   Järkevyys

   Kitkavoima $55\,\text{N}$ on noin $8\,\%$ lautailijan painosta $687\,\text{N}$. Kitkakerroin on siis noin $0{,}08$, mikä sopii liukkaalle lumelle. Rinteessä kitka muuttaa $2470\,\text{J} : 4120\,\text{J} \approx 60\,\%$ energiasta sisäenergiaksi. Se vastaa rinteen osuutta koko matkasta: $45 : 75{,}07 \approx 60\,\%$.

5. Tehtävä 11-20

   Tennispallon massa on $0{,}057\,\text{kg}$. Pallo pudotetaan levosta kovalle lattialle $1{,}20\,\text{m}$:n korkeudelta. Pallon korkeus mitataan videolta jokaisen kimmahduksen jälkeen ylimmässä kohdassa. Taulukko on esimerkkiaineisto. Ilmanvastus jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia muuttuu vain kimmahduksissa. Nollataso on lattia.

   a) Laske pallon mekaaninen energia jokaisessa ylimmässä kohdassa. Laske myös osuus, jonka pallo säilyttää kustakin kimmahduksesta.

   b) Laske säilyneiden osuuksien keskiarvo prosentteina.

   c) Laske, kuinka paljon mekaanista energiaa muuttuu sisäenergiaksi ensimmäisessä kimmahduksessa. Perustele aineiston avulla, säilyykö pallon mekaaninen energia kimmahduksissa ja säilyykö kokonaisenergia.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   Pallon korkeus ylimmässä kohdassa (esimerkkiaineisto)

   Kimmahduksia	$h\,(\text{m})$
   0	1,20
   1	0,77
   2	0,49
   3	0,32
   4	0,20

   %Tarkista
   Vastaus

   $64\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}057\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; korkeudet ylimmässä kohdassa $h_0 = 1{,}20\,\text{m}$ ja kimmahdusten jälkeen $h_1 = 0{,}77$; $h_2 = 0{,}49$; $h_3 = 0{,}32$; $h_4 = 0{,}20\,\text{m}$; ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   a) pallon mekaaninen energia ylimmissä kohdissa ja kimmahduksesta säilynyt osuus; b) osuuksien keskiarvo prosentteina; c) ensimmäisessä kimmahduksessa sisäenergiaksi muuttunut mekaaninen energia sekä perustelu energian säilymisestä

   Periaate

   Ylimmässä kohdassa pallo on hetken levossa, joten liike-energia on nolla ja $E_\text{mek} = mgh$ (nollataso on lattia). Lennon aikana vaikuttaa vain paino, joten mekaaninen energia säilyy. Muutokset tapahtuvat kimmahduksissa. Massa ja $g$ supistuvat osuudesta, joten osuus on korkeuksien suhde, $\dfrac{E_{n+1}}{E_n} = \dfrac{h_{n+1}}{h_n}$.

   Kaava

   $E_n = mgh_n$, osuus $r_n = \dfrac{h_{n+1}}{h_n}$, ja ensimmäisen kimmahduksen energiamuutos

   $\Delta E$$= E_0 - E_1$

   $= mg\left(h_0 - h_1\right)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä. Osuus muutetaan prosenteiksi kertomalla sadalla.

   Sijoitus

   a) Energiat ovat

   $E_0$$= 0{,}057 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}20\,\text{J}$

   $= 0{,}671\,\text{J}$

   $E_1 = 0{,}431\,\text{J}$, $E_2 = 0{,}274\,\text{J}$, $E_3 = 0{,}179\,\text{J}$ ja $E_4 = 0{,}112\,\text{J}$. Osuudet ovat $r_0 = 0{,}77 : 1{,}20 = 0{,}642$, $r_1 = 0{,}636$, $r_2 = 0{,}653$ ja $r_3 = 0{,}625$. b) Osuuksien summa on $2{,}556$. Siis keskiarvo on $2{,}556 : 4 = 0{,}639 = 63{,}9\,\%$. c)

   $\Delta E$$= 0{,}057\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (1{,}20 - 0{,}77)\,\text{m}$

   $= 0{,}240\,\text{J}$

   Vastaus

   b) Pallo säilyttää kimmahduksessa keskimäärin noin $64\,\%$ mekaanisesta energiastaan. Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska korkeudet on annettu kahdella. c) Ensimmäisessä kimmahduksessa mekaanista energiaa muuttuu sisäenergiaksi noin $0{,}24\,\text{J}$. Perustelu: pallon mekaaninen energia ei säily kimmahduksissa. Se pienenee joka kerta (korkeudet pienenevät: $1{,}20 \to 0{,}77 \to 0{,}49 \to 0{,}32 \to 0{,}20\,\text{m}$), mutta kokonaisenergia säilyy. Kimmahduksessa pallon ja lattian vuorovaikutus muuttaa osan mekaanisesta energiasta pallon ja lattian sisäenergiaksi (lämpenemiseksi) ja ääneksi.

   Järkevyys

   Osuudet $0{,}625$–$0{,}653$ ovat lähes samat. Pallo menettää siis jokaisessa kimmahduksessa suunnilleen saman osuuden, ja se on uskottava tennispallolle. Neljän kimmahduksen jälkeen jäljellä on $0{,}20 : 1{,}20 \approx 17\,\%$ alkuenergiasta, ja $0{,}639^4 \approx 0{,}167$ antaa saman.