Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 12-1Ydintehtävä

   Vesivoimalan putouskorkeus on $15{,}0\,\text{m}$, ja turbiinien läpi virtaa $120\,\text{m}^3$ vettä sekunnissa. Voimalan hyötysuhde on $0{,}900$. Kuinka suuri on voimalan sähköteho?

   MWTarkista
   Vastaus

   $15{,}9\,\text{MW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   putouskorkeus $h = 15{,}0\,\text{m}$, virtaama $Q = 120\,\text{m}^3\text{/s}$, hyötysuhde $\eta = 0{,}900$; veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   sähköteho $P$ yksikössä $\text{MW}$

   Periaate

   Turbiinien läpi putoava vesi menettää potentiaalienergiaa $mgh$. Sekunnissa putoaa massa $\rho Q$. Voimala muuttaa tästä tehosta sähköksi osuuden $\eta$. Siksi käytetään vesivoimalan tehon kaavaa.

   Kaava

   $P = \eta\rho Q g h$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten teho saadaan watteina. Lopuksi $1\,\text{MW} = 10^{6}\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 0{,}900 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 120\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 15{,}0\,\text{m}$

   $= 15\,892\,200\,\text{W}$

   $\approx 15{,}9\,\text{MW}$

   Vastaus

   $15{,}9\,\text{MW}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska putouskorkeus $15{,}0\,\text{m}$, virtaama $120\,\text{m}^3\text{/s}$ ja hyötysuhde $0{,}900$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Kuutiometri vettä antaa $15\,\text{m}$:n pudotuksessa noin $1000\,\text{kg} \cdot 10\,\text{m/s}^2 \cdot 15\,\text{m} = 150\,\text{kJ}$. Siis $120$ kuutiometriä sekunnissa antaa noin $18\,\text{MW}$, ja siitä $90\,\%$ on noin $16\,\text{MW}$. Teho on pienempi kuin Imatran $192\,\text{MW}$, koska sekä virtaama että putouskorkeus ovat pienempiä.

2. Tehtävä 12-2Ydintehtävä

   Yksi kuutiometri vettä, jonka massa on $1000\,\text{kg}$, putoaa voimalaitoksen turbiinin läpi yläaltaasta alaveteen. Korkeusero on $24{,}0\,\text{m}$. Kuinka paljon veden potentiaalienergia pienenee?

   kJTarkista
   Vastaus

   $235\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   veden massa $m = 1000\,\text{kg}$, korkeusero $h = 24{,}0\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   potentiaalienergian pieneneminen $E_\text{p}$ yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Painovoiman potentiaalienergia on verrannollinen korkeuteen valitusta nollatasosta. Valitaan nollatasoksi alaveden pinta. Silloin yläaltaan veden potentiaalienergia on $mgh$. Juuri sen verran energia pienenee, kun vesi putoaa alaveteen.

   Kaava

   $E_\text{p} = mgh$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten energia saadaan jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= 1000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 24{,}0\,\text{m}$

   $= 235\,440\,\text{J}$

   $\approx 235\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $235\,\text{kJ}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska korkeusero $24{,}0\,\text{m}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Arvio $1000\,\text{kg} \cdot 10\,\text{m/s}^2 \cdot 24\,\text{m} = 240\,\text{kJ}$ on lähellä tulosta. Jos sekunnissa putoaa satoja kuutiometrejä, teho on satoja kertoja $235\,\text{kW}$. Se on kymmeniä tai satoja megawatteja, kuten suurissa vesivoimaloissa.

3. Tehtävä 12-3

   Vesivoimalan turbiiniin virtaavan veden teho on $50{,}0\,\text{MW}$, ja generaattori antaa sähkötehoa $46{,}0\,\text{MW}$. Kuinka suuri on voimalan hyötysuhde?

   %Tarkista
   Vastaus

   $92{,}0\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   turbiiniin virtaavan veden teho $P_\text{o} = 50{,}0\,\text{MW}$, sähköteho $P_\text{s} = 46{,}0\,\text{MW}$

   Kysytty

   hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Hyötysuhde on hyödyksi saadun tehon ja laitteeseen otetun tehon suhde. Tässä hyödyllinen teho on sähköteho. Otettu teho on teho, jonka vesi tuo voimalaan.

   Kaava

   $\eta = \dfrac{P_\text{s}}{P_\text{o}}$

   Muunnokset

   Kumpikin teho on megawatteina, joten yksikkö supistuu. Desimaaliluku muutetaan prosenteiksi kertomalla sadalla.

   Sijoitus

   $\eta$$= \dfrac{46{,}0\,\text{MW}}{50{,}0\,\text{MW}}$

   $= 0{,}920$

   $= 92{,}0\,\%$

   Vastaus

   $92{,}0\,\%$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska tehot $46{,}0\,\text{MW}$ ja $50{,}0\,\text{MW}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Hyötysuhde on alle $100\,\%$, kuten pitää. Suuren vesivoimalan hyötysuhde on tyypillisesti noin $90\,\%$. Häviöt ovat $4{,}0\,\text{MW}$ eli $8\,\%$ otetusta tehosta.

4. Tehtävä 12-4

   Tuulivoimalan roottorin pyyhkäisemä pinta-ala on $1500\,\text{m}^2$. Tuulen nopeus on $8{,}0\,\text{m/s}$ ja ilman tiheys $1{,}25\,\text{kg/m}^3$. Kuinka suuri on roottorin läpi virtaavan tuulen teho?

   kWTarkista
   Vastaus

   $480\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   roottorin pyyhkäisemä pinta-ala $A = 1500\,\text{m}^2$, tuulen nopeus $v = 8{,}0\,\text{m/s}$, ilman tiheys $\rho = 1{,}25\,\text{kg/m}^3$

   Kysytty

   tuulen teho $P_\text{tuuli}$ yksikössä $\text{kW}$

   Periaate

   Ajassa $t$ roottorin läpi virtaa ilmalieriö. Sen massa on $m = \rho A v t$ ja sen liike-energia on $\tfrac{1}{2}mv^2$. Tuulen teho on tämä liike-energia jaettuna ajalla. Hyötysuhdetta ei tarvita, koska kysytään tuulen tehoa eikä sähkötehoa.

   Kaava

   $P_\text{tuuli}$$= \dfrac{\tfrac{1}{2}mv^2}{t}$

   $= \dfrac{\tfrac{1}{2}\rho A v t\, v^2}{t}$

   joten $P_\text{tuuli} = \tfrac{1}{2}\rho A v^3$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten teho saadaan watteina. Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P_\text{tuuli}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}25\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1500\,\text{m}^2 \cdot \left(8{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^3$

   $= 480\,000\,\text{W}$

   $= 480\,\text{kW}$

   Vastaus

   $480\,\text{kW}$

   Eli $4{,}8 \cdot 10^{2}\,\text{kW}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tuulen nopeus $8{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Sekunnissa roottorin läpi virtaa $1{,}25 \cdot 1500 \cdot 8\,\text{kg} = 15\,000\,\text{kg}$ ilmaa. Jokaisella kilogrammalla on liike-energiaa $\tfrac{1}{2}\cdot 8^2\,\text{J} = 32\,\text{J}$. Tulo on $480\,000\,\text{J}$ sekunnissa, eli sama tulos. Sähköksi saataisiin tästä alle puolet.

5. Tehtävä 12-5

   Tuulivoimala tuottaa sähköä tasaisella teholla $3{,}00\,\text{MW}$ myrskyisenä päivänä $6{,}00$ tunnin ajan. Kuinka paljon sähköenergiaa voimala tuottaa tänä aikana? Vastaa megawattitunteina.

   MWhTarkista
   Vastaus

   $18{,}0\,\text{MWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sähköteho $P = 3{,}00\,\text{MW}$, aika $t = 6{,}00\,\text{h}$

   Kysytty

   sähköenergia $E$ yksikössä $\text{MWh}$

   Periaate

   Teho kertoo, kuinka paljon energiaa muuntuu aikayksikössä. Kun teho pysyy vakiona, energia on teho kertaa aika.

   Kaava

   $P = \dfrac{E}{t}$, joten $E = Pt$

   Muunnokset

   Teho on megawatteina ja aika tunteina. Silloin energia saadaan suoraan megawattitunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E$$= 3{,}00\,\text{MW} \cdot 6{,}00\,\text{h}$

   $= 18{,}0\,\text{MWh}$

   Vastaus

   $18{,}0\,\text{MWh}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska teho $3{,}00\,\text{MW}$ ja aika $6{,}00\,\text{h}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Jouleina energia on

   $3{,}00 \cdot 10^{6}\,\text{W} \cdot 6{,}00 \cdot 3600\,\text{s}$

   $\approx 6{,}5 \cdot 10^{10}\,\text{J}$

   Sähkölämmitteinen omakotitalo kuluttaa vuodessa noin $20\,\text{MWh}$. Tämä vastaa siis lähes yhden talon vuoden kulutusta.

6. Tehtävä 12-6

   Kahdella vesivoimalalla on sama virtaama ja sama hyötysuhde. Toisen voimalan putouskorkeus on kaksinkertainen toiseen verrattuna. Kaksinkertaisen putouksen voimalan teho on kaksinkertainen. Mikä seuraavista selittää tämän?

   Valitse vaihtoehto.

   • Vesi putoaa korkeammalta kaksi kertaa nopeammin, joten turbiinin läpi kulkee kaksi kertaa enemmän vettä.
   • Vesi muuttuu pudotessaan raskaammaksi, joten sen massa ja sen tuoma teho kaksinkertaistuvat.
   • Korkeampi putous kasvattaa hyötysuhdetta, koska turbiini pyörii silloin nopeammin ja häviää vähemmän.
   • Jokainen turbiinin läpi virtaava vesikilogramma menettää pudotessaan kaksi kertaa enemmän potentiaalienergiaa.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Jokainen turbiinin läpi virtaava vesikilogramma menettää pudotessaan kaksi kertaa enemmän potentiaalienergiaa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä selittää, miksi kaksinkertaisen putouskorkeuden voimalan teho on kaksinkertainen, kun virtaama ja hyötysuhde ovat samat

   Periaate

   Turbiinin läpi putoava vesi menettää potentiaalienergiaa $mgh$. Se on suoraan verrannollinen putouskorkeuteen $h$. Turbiinin läpi kulkeva massa sekunnissa $\rho Q$ on sama. Siksi veden tuoma teho $\rho Q g h$ on verrannollinen putouskorkeuteen. Samalla hyötysuhteella myös sähköteho on verrannollinen putouskorkeuteen.

   Mallivastaus

   Jokainen turbiinin läpi virtaava vesikilogramma menettää pudotessaan kaksi kertaa enemmän potentiaalienergiaa. Massa sekunnissa ja hyötysuhde pysyvät samoina. Siksi teho kaksinkertaistuu, kun putouskorkeus kaksinkertaistuu. Muut selitykset eivät päde. Virtaama on tehtävän mukaan sama. Veden massa ei kasva pudotessa. Hyötysuhde ei muutu.

7. Tehtävä 12-7

   Joen vettä virtaa voimalan turbiinien läpi $35{,}0\,\text{m}^3$ sekunnissa. Putouskorkeus on $8{,}50\,\text{m}$. Kuinka suuri teho vapautuu putoavan veden potentiaalienergiasta? Hyötysuhdetta ei oteta huomioon.

   MWTarkista
   Vastaus

   $2{,}92\,\text{MW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   virtaama $Q = 35{,}0\,\text{m}^3\text{/s}$, putouskorkeus $h = 8{,}50\,\text{m}$; veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   veden tuoma teho $P_\text{o}$ yksikössä $\text{MW}$

   Periaate

   Sekunnissa turbiinien läpi putoaa vesimassa $\rho Q$. Jokainen kilogramma menettää potentiaalienergiaa $gh$. Hyötysuhdetta ei oteta huomioon. Siksi kysytty teho on se, kuinka nopeasti potentiaalienergia pienenee.

   Kaava

   $P_\text{o} = \rho Q g h$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten teho saadaan watteina. Lopuksi $1\,\text{MW} = 10^{6}\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P_\text{o}$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 35{,}0\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8{,}50\,\text{m}$

   $= 2\,918\,475\,\text{W}$

   $\approx 2{,}92\,\text{MW}$

   Vastaus

   $2{,}92\,\text{MW}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska virtaama $35{,}0\,\text{m}^3\text{/s}$ ja putouskorkeus $8{,}50\,\text{m}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Sekunnissa putoaa $35\,000\,\text{kg}$ vettä. Kilogramma menettää $8{,}5\,\text{m}$:n pudotuksessa noin $10 \cdot 8{,}5\,\text{J} = 85\,\text{J}$. Tulo on noin $3{,}0\,\text{MW}$, joten tulos on oikean suuruinen. Hyötysuhteen kanssa sähkötehoa olisi vähemmän kuin $2{,}92\,\text{MW}$.

8. Tehtävä 12-8

   Tietyn ajan kuluessa tuulivoimalan roottorin läpi virtaa ilmaa, jonka massa on $2{,}50\cdot 10^{3}\,\text{kg}$ ja nopeus $12{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on tämän ilman liike-energia?

   kJTarkista
   Vastaus

   $180\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ilman massa $m = 2{,}50 \cdot 10^{3}\,\text{kg}$, nopeus $v = 12{,}0\,\text{m/s}$

   Kysytty

   liike-energia $E_\text{k}$ yksikössä $\text{kJ}$

   Periaate

   Liikkuvan kappaleen liike-energia riippuu massasta ja nopeuden neliöstä. Ilmamassa lasketaan yhtenä kappaleena. Kaikki sen osat liikkuvat nopeudella $v$.

   Kaava

   $E_\text{k} = \tfrac{1}{2}mv^2$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten energia saadaan jouleina. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $E_\text{k}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 2{,}50 \cdot 10^{3}\,\text{kg} \cdot \left(12{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2$

   $= 180\,000\,\text{J}$

   $= 180\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $180\,\text{kJ}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massa ja nopeus on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Kilogramma ilmaa nopeudella $12\,\text{m/s}$ sisältää liike-energiaa $\tfrac{1}{2} \cdot 12^2\,\text{J} = 72\,\text{J}$. Siis $2500$ kilogrammaa sisältää $2500 \cdot 72\,\text{J} = 180\,\text{kJ}$. Tulos täsmää.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 12-9Ydintehtävä

   Suunnitellun vesivoimalan putouskorkeus on $12{,}0\,\text{m}$ ja hyötysuhde $0{,}880$. Kuinka suuri virtaama tarvitaan, jotta sähköteho on $10{,}0\,\text{MW}$?

   m³/sTarkista
   Vastaus

   $96{,}5\,\text{m}^3\text{/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sähköteho $P = 10{,}0\,\text{MW}$, putouskorkeus $h = 12{,}0\,\text{m}$, hyötysuhde $\eta = 0{,}880$; veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   virtaama $Q$ yksikössä $\text{m}^3\text{/s}$

   Periaate

   Vesi menettää pudotessaan potentiaalienergiaa. Voimala muuttaa siitä sähköksi osuuden $\eta$. Ratkaistaan vesivoimalan tehon kaavasta virtaama, joka antaa halutun tehon.

   Kaava

   $P = \eta\rho Q g h$, joten $Q = \dfrac{P}{\eta\rho g h}$

   Muunnokset

   $P$$= 10{,}0\,\text{MW}$

   $= 10{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   Sijoitus

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $\tfrac{\text{W}}{\text{kg/m}^3 \cdot \text{m/s}^2 \cdot \text{m}}$

   $= \tfrac{\text{m}^3}{\text{s}}$

   joten

   $Q$$= \dfrac{10{,}0 \cdot 10^{6}}{0{,}880 \cdot 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 12{,}0}\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}}$

   $= 96{,}53\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}}$

   Vastaus

   $96{,}5\,\text{m}^3\text{/s}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska teho $10{,}0\,\text{MW}$, putouskorkeus $12{,}0\,\text{m}$ ja hyötysuhde $0{,}880$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Kuutiometri vettä antaa $12\,\text{m}$:n pudotuksessa noin $120\,\text{kJ}$ ja sähköä noin $105\,\text{kJ}$. Tehoon $10\,\text{MW}$ tarvitaan siis noin $10\,000 : 105 \approx 95$ kuutiometriä sekunnissa.

2. Tehtävä 12-10Ydintehtävä

   Valmistajan tehokäyrän mukaan tuulivoimala antaa tuulen nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$ sähkötehoa $758\,\text{kW}$. Voimalan roottorin halkaisija on $82\,\text{m}$. Ilman tiheys on $1{,}25\,\text{kg/m}^3$.

   Kuinka suuri osuus roottorin läpi virtaavan tuulen tehosta muuttuu sähköksi? Vastaa prosentteina.

   %Tarkista
   Vastaus

   $45\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   roottorin halkaisija $d = 82\,\text{m}$, tuulen nopeus $v = 8{,}0\,\text{m/s}$, sähköteho $P = 758\,\text{kW}$, ilman tiheys $\rho = 1{,}25\,\text{kg/m}^3$

   Kysytty

   sähköksi muuttuva osuus eli hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Roottorin läpi virtaavan tuulen teho on ilman liike-energia sekunnissa, $\tfrac{1}{2}\rho A v^3$. Voimala muuttaa siitä sähköksi osuuden $\eta$. Osuus saadaan siis tuulivoimalan tehon kaavasta.

   Kaava

   $P = \tfrac{1}{2}\eta\rho A v^3$ ja $A = \pi r^2$, joten $\eta = \dfrac{2P}{\rho A v^3}$

   Muunnokset

   Säde on

   $r$$= 82\,\text{m} : 2$

   $= 41\,\text{m}$

   $P$$= 758\,\text{kW}$

   $= 758\,000\,\text{W}$

   Sijoitus

   $A$$= \pi \cdot (41\,\text{m})^2$

   $= 5281{,}0\,\text{m}^2$

   $\eta$$= \dfrac{2 \cdot 758\,000\,\text{W}}{1{,}25\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 5281{,}0\,\text{m}^2 \cdot \left(8{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^3}$

   $= 0{,}4485$

   Vastaus

   noin $45\,\%$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska halkaisija $82\,\text{m}$ ja tuulen nopeus $8{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Osuus on alle teoreettisen ylärajan $59\,\%$. Todellisen tuulivoimalan osuus on alle puolet, kuten pitääkin. Tuulen teho on noin $1{,}7\,\text{MW}$, ja sähköteho $0{,}76\,\text{MW}$ on vähän alle puolet siitä.

3. Tehtävä 12-11

   Myllypuron pienvesivoimalan turbiinin läpi virtaa $850\,\textsf{l}$ vettä sekunnissa. Putouskorkeus on $6{,}5\,\text{m}$, ja voimalan hyötysuhde on $0{,}75$. Kuinka suuri on voimalan sähköteho?

   kWTarkista
   Vastaus

   $41\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   virtaama $Q = 850\,\textsf{l}\text{/s}$, putouskorkeus $h = 6{,}5\,\text{m}$, hyötysuhde $\eta = 0{,}75$; veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   sähköteho $P$ yksikössä $\text{kW}$

   Periaate

   Turbiinin läpi putoava vesi menettää potentiaalienergiaa. Sekunnissa putoaa massa $\rho Q$. Voimala muuttaa tästä tehosta sähköksi osuuden $\eta$. Siksi käytetään vesivoimalan tehon kaavaa.

   Kaava

   $P = \eta\rho Q g h$

   Muunnokset

   $850\,\textsf{l}$$= 850 \cdot 0{,}001\,\text{m}^3$

   $= 0{,}850\,\text{m}^3$

   joten $Q = 0{,}850\,\text{m}^3\text{/s}$. Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 0{,}75 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 0{,}850\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 6{,}5\,\text{m}$

   $= 40\,650\,\text{W}$

   $\approx 41\,\text{kW}$

   Vastaus

   $41\,\text{kW}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska putouskorkeus $6{,}5\,\text{m}$ ja hyötysuhde $0{,}75$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Sekunnissa putoaa $850\,\text{kg}$ vettä. Se antaa $6{,}5\,\text{m}$:n pudotuksessa noin $850 \cdot 10 \cdot 6{,}5\,\text{J} \approx 55\,\text{kJ}$. Siitä kolme neljäsosaa on noin $41\,\text{kJ}$ sekunnissa. Jos litroja ei muunnettaisi, tulos olisi tuhatkertainen, $41\,\text{MW}$. Se on purolle aivan liikaa.

4. Tehtävä 12-12

   Pienvesivoimalan putouskorkeus on $9{,}50\,\text{m}$, virtaama $3{,}20\,\text{m}^3\text{/s}$ ja hyötysuhde $0{,}800$. Virtaama pysyy samana. Kuinka paljon sähköenergiaa voimala tuottaa vuorokaudessa ($24{,}0\,\text{h}$)? Vastaa megawattitunteina.

   MWhTarkista
   Vastaus

   $5{,}73\,\text{MWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   putouskorkeus $h = 9{,}50\,\text{m}$, virtaama $Q = 3{,}20\,\text{m}^3\text{/s}$, hyötysuhde $\eta = 0{,}800$, aika $t = 24{,}0\,\text{h}$; veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   sähköenergia $E$ yksikössä $\text{MWh}$

   Periaate

   Ensin lasketaan sähköteho vesivoimalan tehon kaavasta, koska putoavan veden potentiaalienergiasta muuttuu sähköksi osuus $\eta$. Kun virtaama pysyy samana, myös teho pysyy vakiona. Silloin energia on teho kertaa aika.

   Kaava

   $P = \eta\rho Q g h$ ja $E = Pt$, joten $E = \eta\rho Q g h t$

   Muunnokset

   Teho lasketaan watteina ja muunnetaan megawateiksi, $1\,\text{MW} = 10^{6}\,\text{W}$. Aika pidetään tunteina, jolloin energia saadaan megawattitunteina.

   Sijoitus

   $P$$= 0{,}800 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 3{,}20\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 9{,}50\,\text{m}$

   $= 238\,579\,\text{W}$

   $E$$= 0{,}238\,579\,\text{MW} \cdot 24{,}0\,\text{h}$

   $= 5{,}7259\,\text{MWh}$

   Vastaus

   $5{,}73\,\text{MWh}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska lähtötiedot on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Teho on noin $0{,}24\,\text{MW}$, ja vuorokaudessa on $24$ tuntia: $0{,}24 \cdot 24 \approx 5{,}8\,\text{MWh}$. Se vastaa noin kolmasosaa sähkölämmitteisen omakotitalon vuoden kulutuksesta. Se sopii pienvoimalalle.

5. Tehtävä 12-13

   Taulukko on esimerkkiaineisto tuulivoimalan sähkötehosta eri tuulen nopeuksilla. Taulukossa on myös se, kuinka monta tuntia vuodessa tuuli puhaltaa kullakin nopeudella. Voimalan nimellisteho eli suurin teho on $2000\,\text{kW}$.

   Muina aikoina tuuli on liian heikko tai voimala on pysäytetty. Silloin se ei tuota sähköä. Oletetaan, että teho pysyy kullakin nopeudella taulukon arvossa koko ilmoitetun ajan.

   Laske voimalan vuodessa tuottama sähköenergia gigawattitunteina.

   Tuulivoimalan teho ja tuulen nopeuden esiintymisaika vuodessa (esimerkkiaineisto)

   $v\,(\text{m/s})$	$P\,(\text{kW})$	$t\,(\text{h})$
   4	100	1500
   6	340	2200
   8	850	1800
   10	1650	1000
   12	2000	700

   GWhTarkista
   Vastaus

   $5{,}5\,\text{GWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukko: teho $P$ ja aika $t$ vuodessa viidellä tuulen nopeudella (esimerkkiaineisto); muina aikoina teho on nolla

   Kysytty

   vuosienergia $E$ yksikössä $\text{GWh}$

   Periaate

   Teho kertoo, kuinka nopeasti energia muuntuu. Siksi energia on teho kertaa aika. Kullakin nopeudella teho on vakio, joten jokaisen rivin energia on $P t$. Vuosienergia on rivien energioiden summa.

   Kaava

   $E = \sum P t$

   Muunnokset

   Kun teho on kilowatteina ja aika tunteina, energia saadaan kilowattitunteina. Lopuksi $1\,\text{GWh} = 10^{6}\,\text{kWh}$.

   Sijoitus

   Rivien energiat ovat $100\,\text{kW} \cdot 1500\,\text{h} = 150\,000\,\text{kWh}$, $340 \cdot 2200 = 748\,000\,\text{kWh}$, $850 \cdot 1800 = 1\,530\,000\,\text{kWh}$, $1650 \cdot 1000 = 1\,650\,000\,\text{kWh}$ ja $2000 \cdot 700 = 1\,400\,000\,\text{kWh}$. Summa on $5\,478\,000\,\text{kWh}$, joten $E = 5{,}478\,\text{GWh}$.

   Vastaus

   $5{,}5\,\text{GWh}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska taulukon tehot on annettu kahdella tai kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Jos voimala tuottaisi koko vuoden ($8760\,\text{h}$) nimellistehoa $2000\,\text{kW}$, energia olisi $17{,}5\,\text{GWh}$. Saatu $5{,}5\,\text{GWh}$ on noin $31\,\%$ siitä. Se sopii siihen, että tuulivoimalan keskiteho on selvästi nimellistehoa pienempi.

6. Tehtävä 12-14

   Taulukko on esimerkkiaineisto joen keskivirtaamasta $Q$ pienvesivoimalan kohdalla huhtikuusta syyskuuhun. Voimalan putouskorkeus on $9{,}0\,\text{m}$ ja hyötysuhde $0{,}85$.

   Oletetaan, että koko virtaama kulkee turbiinin läpi. Putouskorkeus ja hyötysuhde pysyvät vakioina. Jokaisessa kuukaudessa on $30$ vuorokautta.

   a) Laske voimalan tuottama sähköenergia huhtikuusta syyskuuhun yhteensä gigawattitunteina.

   b) Kuinka monta kertaa suurempi sähköteho voimalalla on toukokuussa kuin elokuussa? Selitä taulukon avulla, miksi voimalan tuotanto vaihtelee vuoden aikana.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos.

   Joen keskivirtaama kuukausittain (esimerkkiaineisto)

   Kuukausi	$Q\,(\text{m}^3\text{/s})$
   Huhtikuu	85
   Toukokuu	120
   Kesäkuu	45
   Heinäkuu	30
   Elokuu	28
   Syyskuu	40

   GWhTarkista
   Vastaus

   $19\,\text{GWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   virtaamat huhtikuusta syyskuuhun $85$, $120$, $45$, $30$, $28$ ja $40\,\text{m}^3\text{/s}$ (esimerkkiaineisto), putouskorkeus $h = 9{,}0\,\text{m}$, hyötysuhde $\eta = 0{,}85$, kuukauden pituus $30\,\text{vrk}$; $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) sähköenergia $E$ yksikössä $\text{GWh}$; b) toukokuun ja elokuun tehojen suhde sekä selitys vaihtelulle

   Periaate

   Vesivoimalan teho kuukauden virtaamalla on $P = \eta\rho Q g h$. Suureet $\eta$, $\rho$ ja $h$ ovat vakioita, joten teho on verrannollinen virtaamaan. Energia on teho kertaa aika. Kaikki kuukaudet ovat yhtä pitkiä. Siksi lasketaan yhteen kuukausien tehot ja kerrotaan summa yhden kuukauden pituudella.

   Kaava

   $P = \eta\rho Q g h$ ja $E = Pt$, joten $E = \eta\rho g h\,\left(\sum Q\right) t$

   Muunnokset

   Kuukauden pituus on

   $t$$= 30 \cdot 24\,\text{h}$

   $= 720\,\text{h}$

   Teho lasketaan watteina ja muunnetaan megawateiksi, $1\,\text{MW} = 10^{6}\,\text{W}$. Silloin energia saadaan megawattitunteina. Lopuksi $1\,\text{GWh} = 1000\,\text{MWh}$.

   Sijoitus

   Virtaamien summa on $85 + 120 + 45 + 30 + 28 + 40 = 348\,\text{m}^3\text{/s}$. Kuukausitehojen summa on
   $$\begin{aligned}\textstyle\sum P &= 0{,}85 \cdot 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 9{,}0 \cdot 348\,\text{W} \\ &= 26{,}12\,\text{MW}\end{aligned}$$
   ja energia
   $$\begin{aligned}E &= 26{,}12\,\text{MW} \cdot 720\,\text{h} \\ &= 18\,804\,\text{MWh} \\ &= 18{,}8\,\text{GWh}\end{aligned}$$

   Vastaus

   $19\,\text{GWh}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska putouskorkeus $9{,}0\,\text{m}$ ja hyötysuhde $0{,}85$ on annettu kahdella numerolla.

   Mallivastaus kohtaan b

   Teho on verrannollinen virtaamaan. Siksi toukokuun ja elokuun tehojen suhde on sama kuin virtaamien suhde $120 : 28 = 4{,}3$. Toukokuussa teho on noin $9{,}0\,\text{MW}$ ja elokuussa noin $2{,}1\,\text{MW}$. Taulukossa virtaama on suurin keväällä ja pienin loppukesällä. Tuotanto vaihtelee siis sen mukaan, kuinka paljon vettä joessa virtaa. Putouskorkeus ja hyötysuhde pysyvät vakioina, joten ne eivät selitä vaihtelua.

   Järkevyys

   Keskivirtaama on $348 : 6 = 58\,\text{m}^3\text{/s}$. Sillä teho olisi

   $0{,}85 \cdot 1000 \cdot 58 \cdot 9{,}81 \cdot 9{,}0\,\text{W}$

   $\approx 4{,}35\,\text{MW}$

   Kuuden kuukauden ($4320\,\text{h}$) aikana energia olisi $4{,}35\,\text{MW} \cdot 4320\,\text{h} \approx 18{,}8\,\text{GWh}$. Tulos on sama.

7. Tehtävä 12-15

   Oppilas laski tuulivoimalan sähkötehon ja sai oudon pienen tuloksen. Hänen ratkaisunsa on tässä.

   ”Roottorin halkaisija on $60\,\text{m}$, tuulen nopeus $7{,}0\,\text{m/s}$, ilman tiheys $1{,}25\,\text{kg/m}^3$ ja hyötysuhde $0{,}40$. Pinta-ala on $A = \pi r^2 = 2827\,\text{m}^2$ ja teho $P = \tfrac{1}{2}\eta\rho A v = 0{,}5 \cdot 0{,}40 \cdot 1{,}25 \cdot 2827 \cdot 7{,}0 = 4948\,\text{W} \approx 4{,}9\,\text{kW}$.”

   Selitä, mikä oppilaan kaavassa on virhe. Laske sitten voimalan oikea sähköteho. Vastauskenttään tulee oikea teho kilowatteina.

   kWTarkista
   Vastaus

   $240\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   halkaisija $d = 60\,\text{m}$, tuulen nopeus $v = 7{,}0\,\text{m/s}$, ilman tiheys $\rho = 1{,}25\,\text{kg/m}^3$, hyötysuhde $\eta = 0{,}40$; oppilaan tulos $4{,}9\,\text{kW}$

   Kysytty

   oppilaan virhe ja oikea sähköteho $P$ yksikössä $\text{kW}$

   Periaate

   Roottorin läpi virtaa sekunnissa ilmaa, jonka massa on verrannollinen nopeuteen $v$. Jokaisen ilmakilogramman liike-energia on verrannollinen nopeuden neliöön $v^2$. Siksi tuulen teho on verrannollinen nopeuden kolmanteen potenssiin $v^3$. Oppilas käytti nopeutta ensimmäisessä potenssissa.

   Kaava

   $P = \tfrac{1}{2}\eta\rho A v^3$ ja $A = \pi r^2$

   Muunnokset

   Säde on $r = 60\,\text{m} : 2 = 30\,\text{m}$. Pinta-ala on

   $A$$= \pi \cdot (30\,\text{m})^2$

   $= 2827\,\text{m}^2$

   kuten oppilaalla. Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   Oikea teho on
   $$\begin{aligned}P &= 0{,}5 \cdot 0{,}40 \cdot 1{,}25\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \\ &\quad \cdot 2827\,\text{m}^2 \cdot \left(7{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^3 \\ &= 242\,452\,\text{W}\end{aligned}$$

   Vastaus

   $240\,\text{kW}$

   Eli $2{,}4 \cdot 10^{2}\,\text{kW}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tuulen nopeus $7{,}0\,\text{m/s}$ ja hyötysuhde $0{,}40$ on annettu kahdella numerolla.

   Mallivastaus virheestä

   Oppilaan kaavassa tuulen nopeus on ensimmäisessä potenssissa. Sen pitää olla kolmannessa potenssissa. Virheen huomaa yksiköistä. Yksikkö $\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot \text{m}^2 \cdot \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ on $\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$. Se ei ole watti $\tfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{s}^3}$. Tulokselta puuttuu tekijä $v^2$ eli yksikkö $\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$. Oikea teho on $7{,}0^2 = 49$ kertaa oppilaan tulos.

   Järkevyys

   Oppilaan tulos $4948\,\text{W}$ kerrottuna luvulla $49$ on $242\,452\,\text{W}$. Se on sama kuin oikea tulos. Tuulen teho on $240 : 0{,}40 = 600\,\text{kW}$, ja siitä $40\,\%$ muuttuu sähköksi, kuten pitääkin.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 12-16

   Voimala rakennetaan korkeammalle tornille. Silloin tuulen keskinopeus voimalan kohdalla kasvaa $6{,}0\,\text{m/s}$:sta $9{,}0\,\text{m/s}$:iin. Hyötysuhde pysyy samana, eikä voimala saavuta nimellistehoaan.

   Kuinka monta kertaa suurempi on voimalan sähköteho voimakkaammalla tuulella?

   Tarkista
   Vastaus

   $3{,}4$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tuulen nopeus ennen $v_1 = 6{,}0\,\text{m/s}$ ja jälkeen $v_2 = 9{,}0\,\text{m/s}$; roottori ja hyötysuhde ovat samat, eikä voimala saavuta nimellistehoaan

   Kysytty

   kuinka monta kertaa suurempi sähköteho $P_2$ on kuin $P_1$, suhdeluku $x$

   Periaate

   Sähköteho on osuus $\eta$ roottorin läpi virtaavan ilman liike-energiasta sekunnissa. Kun tuuli on nopeampi, ilmaa virtaa sekunnissa enemmän suhteessa $v$. Lisäksi jokaisella kilogrammalla on liike-energiaa enemmän suhteessa $v^2$. Teho on siis verrannollinen kuutioon $v^3$, kun $\eta$, $\rho$ ja $A$ pysyvät samoina.

   Kaava

   $P = \tfrac{1}{2}\eta\rho A v^3$, joten

   $x$$= \dfrac{P_2}{P_1}$

   $= \dfrac{\tfrac{1}{2}\eta\rho A v_2^3}{\tfrac{1}{2}\eta\rho A v_1^3}$

   $= \left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^3$

   Muunnokset

   Kumpikin nopeus on samassa yksikössä, joten yksikkö supistuu eikä muunnoksia tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= \left(\dfrac{9{,}0\,\text{m/s}}{6{,}0\,\text{m/s}}\right)^3$

   $= 1{,}5^3$

   $= 3{,}375$

   Vastaus

   noin $3{,}4$ kertaa suurempi. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tuulen nopeudet $6{,}0\,\text{m/s}$ ja $9{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Ilmaa virtaa $1{,}5$ kertaa enemmän, ja jokaisella kilogrammalla on $1{,}5^2 = 2{,}25$ kertaa enemmän liike-energiaa: $1{,}5 \cdot 2{,}25 \approx 3{,}4$. Kerroin on suurempi kuin nopeuksien suhde $1{,}5$, kuten kolmannesta potenssista seuraa.

2. Tehtävä 12-17

   Vanhan tuulivoimalan roottorin halkaisija on $82\,\text{m}$, uuden $162\,\text{m}$. Hyötysuhde on sama, eikä kumpikaan saavuta nimellistehoaan. Kuinka monta kertaa suuremman sähkötehon uusi voimala saa samalla tuulen nopeudella?

   Tarkista
   Vastaus

   $3{,}9$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vanhan roottorin halkaisija $d_1 = 82\,\text{m}$, uuden $d_2 = 162\,\text{m}$; tuulen nopeus, ilman tiheys ja hyötysuhde ovat samat, eikä kumpikaan saavuta nimellistehoaan

   Kysytty

   kuinka monta kertaa suurempi uuden voimalan sähköteho $P_2$ on kuin vanhan $P_1$, suhdeluku $x$

   Periaate

   Samalla tuulen nopeudella jokaisen roottorin läpi virtaa sekunnissa ilmalieriö. Sen massa on verrannollinen roottorin pinta-alaan $A = \pi r^2$. Jokaisella ilmakilogrammalla on sama liike-energia. Teho on siis verrannollinen pinta-alaan ja siten halkaisijan neliöön.

   Kaava

   $P = \tfrac{1}{2}\eta\rho A v^3$ ja $A = \pi\left(\tfrac{d}{2}\right)^2$, joten

   $x$$= \dfrac{P_2}{P_1}$

   $= \dfrac{A_2}{A_1}$

   $= \left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^2$

   Muunnokset

   Halkaisijat ovat samassa yksikössä, joten yksikkö supistuu eikä muunnoksia tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= \left(\dfrac{162\,\text{m}}{82\,\text{m}}\right)^2$

   $= 1{,}9756^2$

   $= 3{,}903$

   Vastaus

   noin $3{,}9$ kertaa suurempi. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska halkaisija $82\,\text{m}$ on annettu kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Halkaisija on noin kaksinkertainen. Pinta-ala on siis noin $2^2 = 4$ -kertainen, ja tulos on vähän alle neljän. Siksi uusissa voimaloissa on yhä pidemmät lavat: pinta-ala kasvaa halkaisijan neliössä.

3. Tehtävä 12-18

   Tuuli puhaltaa nopeudella $10{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka korkealta kilogramman vesimäärän pitäisi pudota, jotta sen potentiaalienergia pienenisi yhtä paljon kuin kilogrammalla tätä tuulta on liike-energiaa?

   mTarkista
   Vastaus

   $5{,}10\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tuulen nopeus $v = 10{,}0\,\text{m/s}$, massa $m = 1\,\text{kg}$ sekä ilmalle että vedelle; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   putouskorkeus $h$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Kilogramman ilmaa liike-energia on $\tfrac{1}{2}mv^2$. Kilogramman vettä potentiaalienergia pienenee pudotuksessa $mgh$. Asetetaan nämä yhtä suuriksi. Massa supistuu, joten tulos ei riipu siitä, kuinka monta kilogrammaa verrataan.

   Kaava

   $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$, joten $h = \dfrac{v^2}{2 \cdot g}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{\left(10{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

   $= 5{,}097\,\text{m}$

   Vastaus

   $5{,}10\,\text{m}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska tuulen nopeus $10{,}0\,\text{m/s}$ on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Kilogrammalla tuulta on liike-energiaa vain $50\,\text{J}$. Imatran $24\,\text{m}$:n putouksessa kilogramma vettä antaa noin $235\,\text{J}$. Tuulessa on siis vähän energiaa kilogrammaa kohden, ja ilma on lisäksi kevyttä. Siksi tuulivoimalan roottorin on oltava suuri. Yksikkö: $\tfrac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m}/\text{s}^2} = \text{m}$.

4. Tehtävä 12-19

   Taulukko on esimerkkiaineisto tuulivoimalan sähkötehosta eri tuulen nopeuksilla. Roottorin halkaisija on $80\,\text{m}$, ilman tiheys $1{,}25\,\text{kg/m}^3$ ja voimalan nimellisteho on $2{,}0\,\text{MW}$. Taulukon nopeuksilla voimala toimii nimellistehonsa alapuolella. Hyötysuhteen oletetaan olevan likimain vakio.

   Tutkitaan, noudattaako teho mallia $P = k v^3$.

   a) Laske jokaiselle taulukon riville suhde $P/v^3$. Perustele sen avulla, että teho on verrannollinen nopeuden kolmanteen potenssiin.

   b) Laske suhteiden $P/v^3$ keskiarvosta voimalan hyötysuhde prosentteina.

   c) Mikä olisi mallin mukainen teho nopeudella $13\,\text{m/s}$? Vertaa tulosta nimellistehoon. Selitä, mitä ero kertoo siitä, missä malli pätee.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   Tuulivoimalan sähköteho tuulen nopeuden funktiona (esimerkkiaineisto)

   $v\,(\text{m/s})$	$P\,(\text{kW})$
   4	80
   5	155
   6	275
   7	425
   8	650
   9	905

   %Tarkista
   Vastaus

   $40\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukko: nopeudet $v = 4$–$9\,\text{m/s}$ ja tehot $P = 80$–$905\,\text{kW}$ (esimerkkiaineisto), halkaisija $d = 80\,\text{m}$, ilman tiheys $\rho = 1{,}25\,\text{kg/m}^3$, nimellisteho $2{,}0\,\text{MW}$

   Kysytty

   a) onko $P \propto v^3$; b) hyötysuhde $\eta$ prosentteina; c) mallin teho nopeudella $13\,\text{m/s}$ ja sen vertaus nimellistehoon

   Periaate

   Jos teho noudattaa mallia $P = k v^3$, suhde $P/v^3 = k$ on vakio. Tuulivoimalan kaavassa $P = \tfrac{1}{2}\eta\rho A v^3$ vakio on $k = \tfrac{1}{2}\eta\rho A$. Siksi hyötysuhde saadaan vakiosta $k$, kun roottorin pinta-ala tunnetaan.

   Kaava

   $k = \dfrac{P}{v^3}$ ja $k = \tfrac{1}{2}\eta\rho A$, joten $\eta = \dfrac{2k}{\rho A}$ ja $A = \pi r^2$

   Muunnokset

   Säde on $r = 80\,\text{m} : 2 = 40\,\text{m}$, ja

   $A$$= \pi \cdot (40\,\text{m})^2$

   $= 5027\,\text{m}^2$

   Suhteet lasketaan yksikössä $\text{kW}/(\text{m/s})^3$. Keskiarvo muunnetaan watteihin, $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   Suhteet $P/v^3$ nopeuksilla $4$–$9\,\text{m/s}$ ovat $1{,}250$, $1{,}240$, $1{,}273$, $1{,}239$, $1{,}270$ ja $1{,}241$ yksikössä $\tfrac{\text{kW}}{(\text{m/s})^3}$.
   Suhteiden summa on $7{,}513$, joten keskiarvo on

   $k_\text{ka}$$= 7{,}513 : 6$

   $= 1{,}252\,\tfrac{\text{kW}}{(\text{m/s})^3}$

   $= 1252\,\tfrac{\text{W}}{(\text{m/s})^3}$

   Hyötysuhde on
   $$\begin{aligned}\eta &= \frac{2 \cdot 1252}{1{,}25 \cdot 5027} \\ &= 0{,}3986\end{aligned}$$

   Vastaus

   $40\,\%$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska taulukon tehot on annettu kahdella tai kolmella numerolla.

   Mallivastaus kohtiin a ja c

   Nopeus kasvaa nopeudesta $4\,\text{m/s}$ nopeuteen $9\,\text{m/s}$ eli $2{,}25$-kertaiseksi. Silloin $v^3$ kasvaa yli $11$-kertaiseksi, ja teho kasvaa saman verran: $905 : 80 \approx 11{,}3$. Suhde $P/v^3$ pysyy välillä $1{,}24$–$1{,}27$. Se vaihtelee siis vain noin $\pm 2\,\%$ koko nopeusalueella. Pisteiden satunnainen hajonta selittää pienen vaihtelun. Suhde ei kasva eikä pienene nopeuden mukana, joten malli $P = k v^3$ sopii aineistoon. Tuplaus tukee tulosta. Nopeudesta $4\,\text{m/s}$ nopeuteen $8\,\text{m/s}$ teho kasvaa $650 : 80 \approx 8{,}1$-kertaiseksi, ja $2^3 = 8$. Mallin ennuste nopeudella $13\,\text{m/s}$ on $1{,}252 \cdot 13^3\,\text{kW} \approx 2750\,\text{kW} = 2{,}8\,\text{MW}$. Se on suurempi kuin nimellisteho $2{,}0\,\text{MW}$. Voimala ei voi tuottaa nimellistehoaan enempää. Lapoja käännetään niin, että osa tuulesta menee ohi. Siksi malli $P = k v^3$ pätee vain nimellistehon alapuolella.

   Järkevyys

   Tuulen teho nopeudella $9\,\text{m/s}$ on

   $\tfrac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 5027 \cdot 9^3\,\text{W}$

   $\approx 2290\,\text{kW}$

   Teho $905\,\text{kW}$ on siitä $905 : 2290 \approx 0{,}40$, sama kuin saatu hyötysuhde. Tulos on alle teoreettisen ylärajan $59\,\%$ ja alle puolet, kuten tuulivoimalalla.

5. Tehtävä 12-20

   Tuulivoimapuiston sähköntuotanto ylittää yöllä kulutuksen. Taulukko on esimerkkiaineisto puiston ylijäämätehosta kuuden peräkkäisen tunnin ajalta. Teho on kunkin tunnin keskiarvo.

   Ylijäämäsähkö käytetään pumppaamaan vettä ala-altaasta yläaltaaseen. Yläallas on $85{,}0\,\text{m}$ korkeammalla. Pumppujen hyötysuhde on $0{,}800$ eli $80{,}0\,\%$ sähköenergiasta muuttuu veden potentiaalienergiaksi. Oletetaan, että koko vesimäärä nostetaan korkeuseron $85{,}0\,\text{m}$ verran. Yläaltaan tilavuus on $1{,}20\cdot 10^{6}\,\text{m}^3$.

   a) Kuinka suuri tilavuus vettä saadaan pumpattua yläaltaaseen kuuden tunnin aikana?

   b) Mahtuuko vesi yläaltaaseen?

   c) Kuinka monta tuntia varastoitu potentiaalienergia riittäisi $40{,}0\,\text{MW}$:n kulutukselle? Turbiinin ja generaattorin häviöt jätetään tässä huomiotta. Perustele, miksi pumppuvoimala sopii hyvin tuulivoiman rinnalle.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos.

   Tuulivoimapuiston ylijäämäteho yöllä (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{h})$	$P\,(\text{MW})$
   1	40
   2	52
   3	62
   4	58
   5	48
   6	40

   m³Tarkista
   Vastaus

   $1{,}04 \cdot 10^{6}\,\text{m}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylijäämätehot $40$, $52$, $62$, $58$, $48$ ja $40\,\text{MW}$ kuuden tunnin ajan, kunkin tunnin keskiarvoina (esimerkkiaineisto); nostokorkeus $h = 85{,}0\,\text{m}$, pumppujen hyötysuhde $\eta = 0{,}800$, yläaltaan tilavuus $1{,}20 \cdot 10^{6}\,\text{m}^3$, kulutus $40{,}0\,\text{MW}$; $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   a) pumpatun veden tilavuus $V$ yksikössä $\text{m}^3$; b) mahtuuko vesi yläaltaaseen; c) varastoidun energian kestoaika kulutukselle $40{,}0\,\text{MW}$

   Periaate

   Ylijäämäsähköenergia on teho kertaa aika. Pumput muuttavat siitä osuuden $\eta$ veden potentiaalienergiaksi $mgh$. Siitä ratkaistaan nostetun veden massa ja sitten tilavuus $V = m/\rho$.

   Kaava

   $E = \sum P t$, $\eta E = mgh$, joten $m = \dfrac{\eta E}{gh}$ ja $V = \dfrac{m}{\rho}$

   Muunnokset

   Jokaisen tunnin teho on vakio, joten $E$ saadaan megawattitunteina. Lopuksi

   $1\,\text{MWh}$$= 10^{6}\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 3{,}6 \cdot 10^{9}\,\text{J}$

   Sijoitus

   Tehojen summa on $40 + 52 + 62 + 58 + 48 + 40 = 300\,\text{MW}$. Jokainen teho kestää yhden tunnin, joten

   $E$$= 300\,\text{MWh}$

   $= 300 \cdot 3{,}6 \cdot 10^{9}\,\text{J}$

   $= 1{,}08 \cdot 10^{12}\,\text{J}$

   Veteen siirtyy energiaa

   $\eta E$$= 0{,}800 \cdot 1{,}08 \cdot 10^{12}\,\text{J}$

   $= 8{,}64 \cdot 10^{11}\,\text{J}$

   Massa ja tilavuus ovat
   $$\begin{aligned}m &= \frac{8{,}64 \cdot 10^{11}\,\text{J}}{9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 85{,}0\,\text{m}} \\ &= 1{,}036 \cdot 10^{9}\,\text{kg} \\ V &= \frac{m}{\rho} = 1{,}036 \cdot 10^{6}\,\text{m}^3\end{aligned}$$

   Vastaus

   $1{,}04 \cdot 10^{6}\,\text{m}^3$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska korkeus $85{,}0\,\text{m}$ ja hyötysuhde $0{,}800$ on annettu kolmella numerolla.

   Mallivastaus kohtiin b ja c

   Pumpattu vesi $1{,}04 \cdot 10^{6}\,\text{m}^3$ on pienempi kuin yläaltaan tilavuus $1{,}20 \cdot 10^{6}\,\text{m}^3$. Vesi mahtuu siis altaaseen, ja allas täyttyy noin $86\,\%$:iin. Veteen varastoitunut energia on $0{,}800 \cdot 300\,\text{MWh} = 240\,\text{MWh}$. Teholla $40{,}0\,\text{MW}$ se riittäisi ajaksi $240\,\text{MWh} : 40{,}0\,\text{MW} = 6{,}00\,\text{h}$, jos turbiinin ja generaattorin häviöt jätetään huomiotta. Todellisuudessa häviöt lyhentävät aikaa. Pumppuvoimala sopii tuulivoiman rinnalle. Tuulivoima riippuu säästä, ja sen teho voi ylittää kulutuksen. Vesivoimaa taas on helppo säätää. Ylijäämäsähkö voidaan varastoida veden potentiaalienergiaksi. Kun tuuli tyyntyy ja kulutus on suurempi kuin tuotanto, energia muutetaan takaisin sähköksi.

   Järkevyys

   Tarkistetaan potentiaalienergia:

   $1{,}036 \cdot 10^{9}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 85{,}0\,\text{m}$

   $= 8{,}64 \cdot 10^{11}\,\text{J}$

   joka on $240\,\text{MWh}$. Kuutiometri vettä sitoo $85\,\text{m}$:n korkeudella noin $1000 \cdot 9{,}81 \cdot 85\,\text{J} = 0{,}83\,\text{MJ}$. Energia $240\,\text{MWh} = 8{,}64 \cdot 10^{5}\,\text{MJ}$ vaatii siis noin $10^{6}$ kuutiometriä, kuten saatiin.