Satelliitit ja planeetat ympyräradalla
Miksi Kansainvälinen avaruusasema ISS ei putoa Maahan, ja miksi astronautit leijuvat sen sisällä?
Pohjatiedot
- Tasaisessa ympyräliikkeessä kappaleella on normaalikiihtyvyys $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä, ja ratanopeus on $v = \tfrac{2\pi r}{T}$luku Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö
- Kahden kappaleen välinen gravitaatiovoima on $F = \gamma \tfrac{Mm}{r^2}$, ja putoamiskiihtyvyys etäisyydellä $r$ on $g = \tfrac{\gamma M}{r^2}$luku Kappaleiden välinen gravitaatiovoima
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 3.
Pohdinta
Kansainvälinen avaruusasema ISS kiertää Maata noin $420\,\text{km}$:n korkeudella, ja sen voi nähdä kirkkaana liikkuvana pisteenä Suomenkin taivaalla. Asema on massaltaan noin $420\,000\,\text{kg}$, mutta se ei putoa, vaikka mikään ei kannattele sitä. Aseman sisällä astronautit, työkalut ja vesipisarat leijuvat ilmassa.
Mikä pitää ISS:n radallaan, ja miksi astronautit leijuvat sen sisällä?
Valinnainen Kertaa: kokonaisvoima ympyräliikkeessä
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: liian pieni nopeus
Ennuste 2: kevyt ja raskas satelliitti
Ennuste 3: miksi astronautti leijuu?
Tutki
Laukaise satelliitti vaakasuoraan ja seuraa, millaisen radan Maan gravitaatio sille piirtää.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse lähtökorkeus ja satelliitin massa ja säädä lähtönopeutta $v$. Laukaise lähettää satelliitin radan ylimmästä kohdasta vaakasuoraan oikealle. Musta viiva on satelliitin rata ja katkoviiva ympyrä, jonka säde on lähtöhetken etäisyys. Oikealla (puhelimessa alla) oleva kuvaaja näyttää satelliitin korkeuden $h$ maanpinnasta sen mukaan, kuinka monta astetta satelliitti on kiertänyt Maan ympäri; katkoviiva on lähtökorkeus. Kun rata on ympyrä, kuvaaja on vaakasuora viiva. Ensimmäisen kierroksen jälkeen lukemissa näkyvät radan alin ja ylin korkeus sekä kiertoaika $T$. Kun muutat jotakin arvoa, satelliitti palaa lähtöpaikalle. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia: kierros kestää ruudulla muutaman sekunnin, ja aika $t$ on simuloitua aikaa.
Mallin oletukset
Satelliittiin vaikuttaa vain Maan gravitaatiovoima $F = \gamma \tfrac{Mm}{r^2}$ kohti Maan keskipistettä, missä $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja Maan säde $R = 6371\,\text{km}$. Ilmanvastusta, Kuun ja Auringon gravitaatiota ja Maan liikettä ei ole mallissa, joten esimerkiksi $155\,\text{km}$:n korkeudelle laskeutuva rata ei todellisuudessa säilyisi. Maa pysyy paikallaan, koska satelliitti on paljon kevyempi. Kuun etäisyydellä satelliitti on koekappale: oikean Kuun oma massa liikuttaisi myös Maata. Kaikki lukemat ovat mallin arvoja.
Laskennan selitys
Rataa ei piirretä valmiina, vaan liike lasketaan pienin aika-askelin. Jokaisella askeleella lasketaan kiihtyvyys $\tfrac{F}{m} = \tfrac{\gamma M}{r^2}$ kohti Maan keskipistettä, ja paikka ja nopeus päivitetään sen avulla (nopeus-Verlet-menetelmä, askel $\tfrac{1}{1500}$ paikallisen ympyräradan kiertoajasta). Kiertoaika $T$ on aika, jossa satelliitti kiertää täyden kierroksen Maan ympäri. Punaisen voimanuolen pituus on lähtöhetkellä sama kaikilla massoilla ja pienenee kuten $\tfrac{1}{r^2}$; voiman suuruus näkyy lukemissa. Sinisen nopeusnuolen pituus on verrannollinen vauhtiin.
Koe 1: millä nopeudella rata on ympyrä?
Testaa ennuste 1. Lähtökorkeus on $400\,\text{km}$ ja massa pysyy vakiona; muuta vain lähtönopeutta. Laukaise satelliitti ensin nopeudella $7{,}00\,\text{km/s}$, sitten esimerkiksi nopeuksilla $7{,}60$, $8{,}00$ ja $7{,}70\,\text{km/s}$. Kirjaa jokaisen laukaisun jälkeen radan alin ja ylin korkeus. Etsi nopeus, jolla ne ovat lähes yhtä suuret.
Alkutila: lähtökorkeus $h$: $400\,\text{km}$, satelliitin massa $m$: $1000\,\text{kg}$, lähtönopeus $v$: $7{,}00\,\text{km/s}$. Vakiona: lähtökorkeus $h$, satelliitin massa $m$. Muutetaan: lähtönopeus $v$.
| lähtönopeus $v$ | alin korkeus $(\text{km})$ | ylin korkeus $(\text{km})$ |
|---|
Millä lähtönopeudella satelliitti kiertää $400\,\text{km}$:n korkeudella ympyrärataa? Vastaa kilometreinä sekunnissa kahden desimaalin tarkkuudella.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kun nopeus on liian pieni, alin korkeus jää alle $400\,\text{km}$:n; kun se on liian suuri, ylin korkeus nousee yli $400\,\text{km}$:n. Kumpaan suuntaan nopeutta pitää muuttaa?
Vihje 2: mikä yhteys
Puolita väliä: jos $7{,}60\,\text{km/s}$ on liian pieni ja $7{,}70\,\text{km/s}$ liian suuri, kokeile $7{,}65\,\text{km/s}$ ja jatka siitä.
Vihje 3: välivaihe
Ympyrärata syntyy, kun gravitaatiovoima on juuri ympyräliikkeen vaatima voima: $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$. Voit tarkistaa tuloksen laskemalla $v = \sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$, kun $r = 6771\,\text{km}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
lähtökorkeus $h = 400\,\text{km}$; simulaatiossa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja $R = 6371\,\text{km}$; $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
ympyräradan lähtönopeus $v$ yksikössä km/s
Periaate
Simulaatiossa ympyrärata löytyy nopeudella, jolla radan alin ja ylin korkeus ovat yhtä suuret. Tulos voidaan tarkistaa laskemalla: satelliittiin vaikuttaa vain gravitaatio, joten se on ympyräliikkeen kokonaisvoima, $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$.
Kaava
$\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$, josta massa $m$ supistuu ja $v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$, missä $r = R + h$
Muunnokset
Sijoitus
joten
Vastaus
$7{,}67\,\text{km/s}$
Kahdella desimaalilla, koska simulaation nopeussäätimen askel on $0{,}01\,\text{km/s}$.
Järkevyys
Simulaatiossa nopeudella $7{,}67\,\text{km/s}$ alin korkeus on noin $396\,\text{km}$ ja ylin $400\,\text{km}$, ja nopeudella $7{,}68\,\text{km/s}$ ylin korkeus nousee noin $432\,\text{km}$:iin, joten ympyräradan nopeus on näiden välissä. Tulos on hieman suurempi kuin esimerkin ISS:n $7{,}66\,\text{km/s}$, koska rata on $20\,\text{km}$ alempana.
Koe 2: vaikuttaako satelliitin massa?
Testaa ennuste 2. Lähtökorkeus on $400\,\text{km}$ ja lähtönopeus $7{,}67\,\text{km/s}$; muuta vain satelliitin massaa. Laukaise jokainen satelliitti ja kirjaa ensimmäisen kierroksen jälkeen alin ja ylin korkeus, kiertoaika ja gravitaatiovoima.
Alkutila: lähtökorkeus $h$: $400\,\text{km}$, lähtönopeus $v$ = $7{,}67\,\text{km/s}$, satelliitin massa $m$: $1\,\text{kg}$. Vakiona: lähtökorkeus $h$, lähtönopeus $v$. Muutetaan: satelliitin massa $m$.
| satelliitin massa $m$ | alin korkeus $(\text{km})$ | ylin korkeus $(\text{km})$ | $T$ $(\text{min})$ | $F$ $(\text{N})$ |
|---|
Todellisia ratoja
Tilastoaineisto · NASA: International Space Station Facts and Figures ja Moon Fact Sheet (2024); GPS.gov: Space Segment (2024); geostationaarisen radan kiertoaika on Maan pyörähdysaika eli tähtivuorokausi.
Taulukossa on neljän lähes ympyrärataa kiertävän Maan satelliitin radan säde $r$ (etäisyys Maan keskipisteestä) ja kiertoaika $T$.
| Satelliitti | $r$ (km) | $T$ |
|---|---|---|
| ISS | $6790$ | $92{,}9\,\text{min}$ |
| GPS-satelliitti | $26\,560$ | $11\,\text{h}\;58\,\text{min}$ |
| geostationaarinen satelliitti | $42\,164$ | $23\,\text{h}\;56\,\text{min}$ |
| Kuu | $384\,400$ | $27{,}32\,\text{d}$ |
Laske GPS-satelliitin ratanopeus taulukon arvoista. Vastaa kilometreinä sekunnissa.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Satelliitti kulkee yhden kierroksen aikana ympyrän kehän pituuden. Mikä on kehän pituus?
Vihje 2: mikä yhteys
$v = \tfrac{2\pi r}{T}$. Muunna kiertoaika ensin sekunneiksi.
Vihje 3: välivaihe
$r = 2{,}656 \cdot 10^{7}\,\text{m}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
GPS-satelliitin radan säde $r = 26\,560\,\text{km}$ ja kiertoaika $T = 11\,\text{h}\;58\,\text{min}$ taulukosta
Kysytty
ratanopeus $v$ yksikössä km/s
Periaate
Rata on lähes ympyrä, ja satelliitti kulkee tasaisella vauhdilla yhden kierroksen aikana ympyrän kehän $2\pi r$ kiertoajassa $T$.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$3{,}87\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kiertoajassa $11\,\text{h}\;58\,\text{min}$.
Järkevyys
GPS-satelliitti on noin neljä kertaa kauempana Maan keskipisteestä kuin ISS ($26\,560\,\text{km} : 6790\,\text{km} \approx 3{,}9$), ja sen nopeus on noin puolet ISS:n nopeudesta $7{,}65\,\text{km/s}$. Ympyräradan malli $v = \sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$ antaa samalle säteelle $3{,}873\,\text{km/s}$, lähes saman arvon.
Johtopäätös: mikä ratkaisee ympyräradan?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: mitä radalle tapahtui, kun lähtönopeus oli liian pieni tai liian suuri, ja millä nopeudella rata oli ympyrä? Vaikuttiko satelliitin massa rataan, vaikka gravitaatiovoima muuttui? Mikä voima pitää satelliitin ympyräradalla?
Mallivastaus
Kun lähtönopeus oli $7{,}00\,\text{km/s}$, satelliitti törmäsi Maahan, ja nopeudella $7{,}60\,\text{km/s}$ se laskeutui noin $155\,\text{km}$:n korkeudelle ja palasi lähtökorkeudelle. Nopeudella $8{,}00\,\text{km/s}$ se nousi noin $1700\,\text{km}$:n korkeudelle. Ympyrärata syntyi noin nopeudella $7{,}67\,\text{km/s}$, jolloin alin ja ylin korkeus olivat lähes samat. Kokeessa 2 kaikki massat kiersivät saman radan noin $92{,}4\,\text{min}$:ssa, vaikka gravitaatiovoima kasvoi massan mukana ($8{,}69\,\text{N}$, $8{,}69\,\text{kN}$, $3{,}65\,\text{MN}$). Satelliittia pitää radallaan Maan gravitaatiovoima, joka on ainoa ja siis kokonaisvoima: ympyräradalla se on juuri ympyräliikkeen vaatima voima $\tfrac{mv^2}{r}$. Koska molemmat ovat verrannollisia massaan, massa ei vaikuta ratanopeuteen. Arvot ovat mallin arvoja.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kappaletta, joka kiertää toista kappaletta gravitaation varassa, kutsutaan satelliitiksi. Kuu on Maan luonnollinen satelliitti, ISS ja sääsatelliitit ovat ihmisen rakentamia. Rataa, jota pitkin satelliitti kiertää, kutsutaan kiertoradaksi. Satelliittiin vaikuttaa avaruudessa käytännössä vain yksi voima: Maan gravitaatiovoima, joka osoittaa kohti Maan keskipistettä. Koska se on ainoa voima, se on myös kokonaisvoima. Luvussa Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö todettiin, että tasaisessa ympyräliikkeessä kokonaisvoima osoittaa radan keskipisteeseen ja antaa kappaleelle normaalikiihtyvyyden. Ympyräradalla gravitaatiovoima tekee juuri tämän: se on kohtisuorassa nopeuteen nähden, joten se ei muuta vauhtia vaan kääntää nopeuden suuntaa koko ajan.
Satelliitti siis putoaa koko ajan kohti Maata, mutta ei osu siihen. Ilman gravitaatiota se jatkaisi suoraan radan tangentin suuntaan. Gravitaatio taivuttaa rataa, ja kun vauhti on juuri sopiva, rata kaartuu samaa tahtia kuin Maan pinta kaartuu satelliitin alla. Silloin etäisyys Maan keskipisteestä pysyy samana ja rata on ympyrä.
Jos nopeus on pienempi, gravitaatio kääntää rataa jyrkemmin kuin ympyrä vaatisi: satelliitti laskeutuu alemmas ja palaa sitten lähtökorkeudelle, tai osuu Maahan, jos nopeus on paljon liian pieni. Jos nopeus on suurempi, rata kaartuu loivemmin ja satelliitti nousee kauemmas ennen paluutaan. Näissä tapauksissa rata ei ole ympyrä vaan soikea, eikä tasaisen ympyräliikkeen malli kuvaa sitä.
Ratanopeus ympyräradalla
Kun satelliitti, jonka massa on $m$, kiertää ympyrärataa keskuskappaleen ympäri, gravitaatiovoima on ainoa voima ja siis kokonaisvoima. Newtonin toisen lain mukaan sen on oltava yhtä suuri kuin ympyräliikkeeseen tarvittava voima $m a_\text{n} = \tfrac{m v^2}{r}$:
$$\gamma \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$
missä $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ on gravitaatiovakio, $M$ keskuskappaleen massa ($\text{kg}$), $m$ satelliitin massa ($\text{kg}$), $r$ radan säde ($\text{m}$) ja $v$ satelliitin ratanopeus ($\text{m/s}$). Radan säde mitataan keskuskappaleen keskipisteestä: Maan satelliitille $r = R + h$, missä $R = 6371\,\text{km}$ on Maan säde ja $h$ satelliitin korkeus maanpinnasta.
Satelliitin massa $m$ on yhtälön kummallakin puolella ja supistuu pois. Kun yhtälö kerrotaan puolittain luvulla $r$ ja jaetaan massalla $m$, saadaan $v^2 = \tfrac{\gamma M}{r}$, joten ympyräradan ratanopeus on
$$v = \sqrt{\frac{\gamma M}{r}}$$
Ratanopeus riippuu vain keskuskappaleen massasta $M$ ja radan säteestä $r$, ei satelliitin massasta. Raskas avaruusasema ja pieni kuutiosatelliitti kiertävät samalla korkeudella samalla nopeudella. Mitä kauempana satelliitti kiertää, sitä pienempi sen ratanopeus on.
Yhden kierroksen aikana satelliitti kulkee ympyrän kehän $2\pi r$, joten kiertoaika saadaan luvun Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö yhteydestä $v = \tfrac{2\pi r}{T}$:
$$T = \frac{2\pi r}{v}$$
missä $T$ on kiertoaika ($\text{s}$). Kaukana kiertävän satelliitin rata on pidempi ja sen vauhti pienempi, joten kiertoaika kasvaa nopeasti etäisyyden kasvaessa: ISS kiertää Maan noin puolessatoista tunnissa, Kuu noin $27\,\text{d}$:ssä. Kun satelliitin säde ja kiertoaika mitataan, samasta yhtälöstä voidaan ratkaista myös keskuskappaleen massa $M$. Näin on määritetty esimerkiksi Maan, Auringon ja Marsin massat.
Geostationaarinen rata
Geostationaarinen satelliitti kiertää päiväntasaajan yläpuolella samaan suuntaan kuin Maa pyörii, ja sen kiertoaika on sama kuin Maan pyörähdysaika, $23\,\text{h}\;56\,\text{min}$. Siksi se näyttää pysyvän taivaalla paikallaan, ja lautasantennin voi suunnata siihen kerran. Koska kiertoaika määrää radan säteen, kaikki geostationaariset satelliitit kiertävät samalla korkeudella, noin $35\,800\,\text{km}$:n korkeudella.
Painottomuus
Avaruusasemalla astronautit leijuvat, ja vaaka näyttäisi nollaa. Syy ei ole painovoiman puuttuminen. ISS:n korkeudella $420\,\text{km}$ gravitaatiovoiman antama kiihtyvyys on $\tfrac{\gamma M}{r^2} \approx 8{,}6\,\text{m/s}^2$, noin $88\,\%$ maanpinnan arvosta. Astronauttiin, jonka massa on $70\,\text{kg}$, vaikuttaa siis noin $605\,\text{N}$:n paino eli Maan gravitaatiovoima $F$, kun maanpinnalla se olisi $687\,\text{N}$.
Asema ja astronautti ovat vapaassa pudotuksessa: kumpaankin vaikuttaa vain gravitaatio, ja kumpikin saa saman kiihtyvyyden kohti Maata. Koska ne putoavat samalla tavalla, lattia ei paina astronauttia eikä vaaka joudu tukemaan häntä, joten tukivoima on nolla. Painottomuus on tila, jossa kappaleeseen vaikuttaa vain gravitaatio ja se putoaa vapaasti: tukivoima on nolla, vaikka paino vaikuttaa koko ajan.
Saman tilan voi kokea hetken maan päälläkin: hypyn aikana, vapaasti putoavassa hississä tai lentokoneessa, joka lentää moottorit säädettyinä heittoliikkeen rataa. Painottomuutta ei selitä mikään gravitaation kumoava "keskipakoisvoima". Jos jokin voima kumoaisi gravitaation, kokonaisvoima olisi nolla, ja asema jatkaisi suoraan eteenpäin eikä kiertäisi Maata.
Milloin ympyrämalli pätee
Tasaisen ympyräliikkeen malli on yksinkertaistus. Se kuvaa satelliitin liikettä hyvin, kun
- keskuskappale on paljon massiivisempi kuin satelliitti, joten sitä voidaan pitää paikallaan pysyvänä,
- muiden kappaleiden gravitaatio ja ilmanvastus ovat niin pieniä, että vain keskuskappaleen gravitaatio vaikuttaa,
- satelliitin nopeus on juuri sen radan säteen ympyräradan nopeus, jolloin etäisyys keskipisteestä pysyy vakiona.
Monet todelliset radat ovat lähes ympyröitä. Maan etäisyys Auringosta vaihtelee vain noin $3\,\%$ keskietäisyydestä, joten ympyrämalli kuvaa Maan rataa hyvin. Kuun etäisyys Maasta vaihtelee noin $11\,\%$, joten malli antaa Kuulle hyvän likiarvon. Halleyn komeetan rata on sen sijaan hyvin pitkänomainen, eikä ympyrämalli sovi siihen lainkaan.
| Kappale | lähin etäisyys | suurin etäisyys |
|---|---|---|
| Maa | $147{,}1\,\text{milj. km}$ | $152{,}1\,\text{milj. km}$ |
| Kuu | $363\,300\,\text{km}$ | $405\,500\,\text{km}$ |
| Halleyn komeetta | $88\,\text{milj. km}$ | $5250\,\text{milj. km}$ |
Maan ja Halleyn komeetan etäisyydet on mitattu Auringosta, Kuun etäisyys Maasta. Lähde: NASA, Planetary Fact Sheets (Earth, Moon) ja Halleyn komeetan ratatiedot, 2024.
Pienet poikkeamat mallista näkyvät tarkoissa mittauksissa. Kuun mitatuista arvoista laskettu ratanopeus $1{,}023\,\text{km/s}$ on noin $0{,}5\,\%$ suurempi kuin mallin antama $1{,}018\,\text{km/s}$, koska Kuun massa on noin $\tfrac{1}{81}$ Maan massasta: Maa ja Kuu kiertävät yhteistä massakeskipistettä, eikä Maa pysy paikallaan. ISS:n korkeudella ohut ilma jarruttaa asemaa ja rata madaltuu hitaasti, joten asemaa nostetaan moottoreilla säännöllisesti.
Yleinen virhekäsitys
"Avaruudessa ei ole painovoimaa, siksi astronautit leijuvat." Väite on väärä. ISS:n korkeudella gravitaatio on lähes yhtä voimakas kuin maanpinnalla, ja juuri se pitää aseman radallaan. Ilman gravitaatiota asema lentäisi suoraan pois. Astronautit leijuvat, koska he ja asema putoavat vapaasti samalla kiihtyvyydellä.
Toinen virhe on sijoittaa kaavaan $v = \sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$ korkeus $h$ eikä etäisyyttä Maan keskipisteestä $r = R + h$. ISS:lle se antaisi nopeudeksi noin $31\,\text{km/s}$, nelinkertaisen todelliseen verrattuna. Kolmas virhe on luulla, että raskaan satelliitin täytyy kiertää nopeammin: suurempi massa saa suuremman gravitaatiovoiman, mutta se tarvitsee myös suuremman voiman kääntyäkseen, joten massa supistuu pois.
Tiivistelmä
- Satelliittiin vaikuttaa vain keskuskappaleen gravitaatiovoima. Se on kokonaisvoima, joka antaa ympyräradalla normaalikiihtyvyyden: $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$.
- Ympyräradan ratanopeus on $v = \sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$ ja kiertoaika $T = \tfrac{2\pi r}{v}$. Satelliitin massa ei vaikuta, ja kauempana kiertävä satelliitti on hitaampi ja sen kiertoaika on pidempi.
- Radan säde mitataan keskuskappaleen keskipisteestä: $r = R + h$.
- Painottomuus on vapaata putoamista: gravitaatio vaikuttaa, mutta tukivoima on nolla.
- Ympyrämalli pätee, kun keskuskappale on paljon satelliittia massiivisempi, muut voimat ovat pieniä ja rata on lähes ympyrä.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja teoriaan. Palaa sitten alun kysymykseen: mikä pitää ISS:n radallaan, ja miksi astronautit leijuvat sen sisällä?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kansainvälinen avaruusasema ISS kiertää Maata lähes ympyrärataa noin $420\,\text{km}$:n korkeudella. Laske aseman ratanopeus ja kiertoaika. Maan massa on $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Korkeus $h = 420\,\text{km}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$, gravitaatiovakio $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$. Kysytään ratanopeutta $v$ ja kiertoaikaa $T$.
Vaihe 2/7
Periaate. Asemaan vaikuttaa vain Maan gravitaatiovoima, kun ilmanvastus jätetään huomiotta. Se on siis kokonaisvoima ja antaa ympyräradalla normaalikiihtyvyyden kohti Maan keskipistettä: $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$. Radan säde mitataan Maan keskipisteestä, joten $r = R + h$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Aseman massa supistuu pois:
$$\begin{aligned} r &= R + h \\ v &= \sqrt{\frac{\gamma M}{r}} \\ T &= \frac{2\pi r}{v} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Etäisyydet metreiksi:
joten $r = 6{,}791 \cdot 10^{6}\,\text{m}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} &v = \sqrt{\frac{\gamma M}{r}} \\ &\gamma M = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \\ &\quad \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg} \\ &\quad = 3{,}98438 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2 \\ &v = \sqrt{\frac{3{,}98438 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{6{,}791 \cdot 10^{6}\,\text{m}}} \\ &= 7659{,}7\,\text{m/s} \\[6pt] &T = \frac{2\pi r}{v} \\ &= \frac{2\pi \cdot 6{,}791 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{7659{,}7\,\text{m/s}} \\ &= 5570{,}6\,\text{s} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Ratanopeus on $v \approx 7{,}66\,\text{km/s}$ ja kiertoaika
Tulokset ilmoitetaan kolmella merkitsevällä numerolla kuten Maan massa $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. NASAn mukaan ISS kiertää Maan noin $92{,}9\,\text{min}$:ssa, joten malli on hyvin lähellä mitattua. Aivan maanpinnan tasolla ympyräradan nopeus olisi
ISS on hieman kauempana, joten sen nopeus on hieman pienempi, kuten pitääkin.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Hubble-avaruusteleskooppi kiertää Maata lähes ympyrärataa, ja NASAn mukaan sen kiertoaika on noin $95{,}4\,\text{min}$. Kuinka korkealla maanpinnasta Hubble kiertää? Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $6371\,\text{km}$. Vastaa kilometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Tunnet nyt kiertoajan etkä nopeutta. Millä kahdella yhtälöllä nopeus, säde ja kiertoaika liittyvät toisiinsa ympyräradalla?
Vihje 2: mikä yhteys
Sijoita $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ yhtälöön $v^2 = \tfrac{\gamma M}{r}$ ja ratkaise $r^3 = \tfrac{\gamma M T^2}{4\pi^2}$.
Vihje 3: välivaihe
joten
Muista lopuksi vähentää Maan säde.
Näytä ratkaisu
Annettu
kiertoaika $T = 95{,}4\,\text{min}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
korkeus maanpinnasta $h$ kilometreinä
Periaate
Teleskooppiin vaikuttaa vain Maan gravitaatiovoima, joten se on ympyräliikkeen kokonaisvoima: $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$. Lisäksi tasaisessa ympyräliikkeessä $v = \tfrac{2\pi r}{T}$. Kun nopeus sijoitetaan, jäljelle jää yhtälö säteelle $r$.
Kaava
josta
$h = r - R$
Muunnokset
Sijoitus
joten
Vastaus
noin $544\,\text{km}$, kolme merkitsevää numeroa kuten kiertoajassa $95{,}4\,\text{min}$.
Järkevyys
Hubblen kiertoaika on hieman pidempi kuin ISS:n $92{,}9\,\text{min}$, joten sen täytyy kiertää hieman ylempänä kuin ISS ($420\,\text{km}$), kuten tulos kertoo. Tarkistus: säteellä $6915\,\text{km}$ ratanopeus on
ja $\sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$ antaa saman arvon.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Avaruusasemalla astronautti leijuu, vaikka hänen painonsa on lähes yhtä suuri kuin maanpinnalla. Miksi hän leijuu?
Vastaus
Astronautti ja asema ovat vapaassa pudotuksessa: kumpaankin vaikuttaa vain gravitaatio, ja kumpikin saa saman kiihtyvyyden kohti Maata. Lattia ei siksi paina astronauttia, ja tukivoima on nolla. Tämä on painottomuutta; gravitaatio vaikuttaa koko ajan.
- Mainitse yksi tilanne, jossa tasaisen ympyräliikkeen malli ei sovi kappaleen radan kuvaamiseen, ja perustele.
Vastaus
Esimerkiksi Halleyn komeetta: sen etäisyys Auringosta vaihtelee noin $88\,\text{milj. km}$:stä noin $5250\,\text{milj. km}$:iin, joten rata on hyvin pitkänomainen eikä ympyrä. Malli ei sovi myöskään, jos satelliitin nopeus ei ole sen radan ympyräradan nopeus tai jos ilmanvastus jarruttaa sitä selvästi.
1. Ratanopeus ja etäisyys
2. Marsin massa sen kuun radasta
Marsin kuu Phobos kiertää Marsia lähes ympyrärataa, jonka säde on $9376\,\text{km}$, ja sen kiertoaika on $7\,\text{h}\;39\,\text{min}$. Laske Marsin massa kilogrammoina. Kirjoita kymmenen potenssi e-merkinnällä: esimerkiksi $5{,}00 \cdot 10^{23}$ kirjoitetaan 5,00e23.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Phobokseen vaikuttaa vain Marsin gravitaatio. Mikä yhtälö kertoo, että gravitaatiovoima on ympyräliikkeen kokonaisvoima?
Vihje 2: mikä yhteys
$\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$ ja $v = \tfrac{2\pi r}{T}$, joten $M = \tfrac{4\pi^2 r^3}{\gamma T^2}$.
Vihje 3: välivaihe
$r = 9{,}376 \cdot 10^{6}\,\text{m}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
Phoboksen radan säde $r = 9376\,\text{km}$ ja kiertoaika $T = 7\,\text{h}\;39\,\text{min}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
Marsin massa $M$
Periaate
Phobokseen vaikuttaa vain Marsin gravitaatiovoima, joten se on ympyräliikkeen kokonaisvoima: $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$. Phobos on paljon Marsia kevyempi, joten Mars pysyy käytännössä paikallaan. Nopeus saadaan kiertoajasta: $v = \tfrac{2\pi r}{T}$.
Kaava
josta $M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{\gamma T^2}$
Muunnokset
Sijoitus
joten
Vastaus
$6{,}43 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kiertoajassa $7\,\text{h}\;39\,\text{min}$.
Järkevyys
NASAn mukaan Marsin massa on $6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$, noin kymmenesosa Maan massasta $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$. Mars on Maata pienempi planeetta, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Yksiköt:
koska $1\,\text{N} = 1\,\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2}$.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Piirrä ja selitä
Piirrä paperille voimakuvio satelliitista, joka kiertää Maata ympyrärataa, kun satelliitti on radan ylimmässä kohdassa. Merkitse satelliitin viereen myös sen nopeus ja kiihtyvyys. Selitä sitten voimakuvion avulla, miksi satelliitti ei putoa Maahan, vaikka gravitaatio vetää sitä koko ajan.
Mallikuvio
Satelliittiin vaikuttaa vain yksi voima, Maan gravitaatiovoima $\overline{F}$, joka lähtee satelliitin keskipisteestä kohti Maan keskipistettä, tässä kohdassa suoraan alas. Muita voimia ei ole: ei ilmanvastusta, ei liikkeen suuntaista voimaa eikä keskipakoisvoimaa. Nopeus $\overline{v}$ on radan tangentin suuntainen ja kiihtyvyys $\overline{a}_\text{n}$ osoittaa kokonaisvoiman suuntaan kohti Maan keskipistettä. Satelliitti putoaa koko ajan kohti Maata, mutta samalla se liikkuu niin nopeasti sivuttain, että rata kaartuu samaa tahtia kuin Maan pinta: etäisyys keskipisteestä ei muutu. Gravitaatiovoima on ympyräliikkeen kokonaisvoima, $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Pyörähdys
- Yksi kokonainen kierros ympyräradalla.
- Satelliitti
- Kappale, joka kiertää gravitaation vaikutuksesta toista kappaletta.
- Kiertorata
- Reitti, jota satelliitti tai taivaankappale kulkee keskuskappaleensa ympäri.
- Kiertoaika
- Yhteen kokonaiseen kierrokseen keskuskappaleen ympäri kuluva aika.
- Geostationaarinen rata
- Päiväntasaajan yläpuolinen ympyrärata, jolla satelliitin kiertoaika on vuorokausi, joten se näyttää pysyvän paikallaan taivaalla.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-1Ydintehtävä
Sääsatelliitti NOAA-20 kiertää Maata lähes ympyrärataa, jonka säde on $7196\,\text{km}$. Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$. Laske satelliitin ratanopeus. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$7{,}44\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 7196\,\text{km}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
ratanopeus $v$ kilometreinä sekunnissa
Periaate
Satelliittiin vaikuttaa vain Maan gravitaatiovoima, joten se on ympyräliikkeen kokonaisvoima: $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$. Satelliitin massa supistuu pois.
Kaava
$\gamma \dfrac{Mm}{r^2}$$= \dfrac{mv^2}{r}$josta $v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$
Muunnokset
$r$$= 7196\,\text{km}$$= 7{,}196 \cdot 10^{6}\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.
Sijoitus
$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$$= 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$joten
$v$$= \sqrt{\dfrac{3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{7{,}196 \cdot 10^{6}\,\text{m}}}$$= 7441\,\text{m/s}$$= 7{,}441\,\text{km/s}$Vastaus
$7{,}44\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten Maan massassa $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$.
Järkevyys
NOAA-20 kiertää noin $825\,\text{km}$:n korkeudella eli ylempänä kuin ISS, jonka nopeus on noin $7{,}66\,\text{km/s}$. Kauempana kiertävä satelliitti on hitaampi, joten hieman pienempi nopeus on odotettu.
- Tehtävä 6-2Ydintehtävä
GPS-satelliitti kiertää Maata ympyrärataa, jonka säde on $26\,560\,\text{km}$, nopeudella $3{,}87\,\text{km/s}$. Kuinka pitkä on satelliitin kiertoaika? Anna vastaus tunteina.
Vastaus
$12{,}0\,\text{h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 26\,560\,\text{km}$, ratanopeus $v = 3{,}87\,\text{km/s}$
Kysytty
kiertoaika $T$ tunteina
Periaate
Satelliitti kulkee tasaisella vauhdilla, ja yhden kierroksen aikana se kulkee ympyrän kehän $2\pi r$ kiertoajassa $T$.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$, josta $T = \dfrac{2\pi r}{v}$
Muunnokset
$r$$= 26\,560\,\text{km}$$= 2{,}656 \cdot 10^{7}\,\text{m}$$v$$= 3{,}87\,\text{km/s}$$= 3870\,\text{m/s}$lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.
Sijoitus
$T$$= \dfrac{2\pi \cdot 2{,}656 \cdot 10^{7}\,\text{m}}{3870\,\text{m/s}}$$= 43\,122\,\text{s}$$= 43\,122 : 3600\,\text{h}$$= 11{,}98\,\text{h}$Vastaus
$12{,}0\,\text{h}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $3{,}87\,\text{km/s}$.
Järkevyys
GPS-satelliitit kiertävät Maan kahdesti vuorokaudessa, joten noin $12\,\text{h}$:n kiertoaika on oikea. Ympyrän kehä on noin $1{,}7 \cdot 10^{5}\,\text{km}$, ja noin $4\,\text{km/s}$:n vauhdilla siihen kuluu noin $4 \cdot 10^{4}\,\text{s}$ eli yli $11\,\text{h}$.
- Tehtävä 6-3
Geostationaarinen viestintäsatelliitti kiertää Maata ympyrärataa, jonka säde on $42\,164\,\text{km}$. Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$. Laske satelliitin normaalikiihtyvyys.
Vastaus
$0{,}224\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 42\,164\,\text{km}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$
Periaate
Satelliittiin vaikuttaa vain gravitaatiovoima, joten se on kokonaisvoima. Newtonin toisen lain mukaan $\gamma \tfrac{Mm}{r^2} = m a_\text{n}$, joten normaalikiihtyvyys on sama kuin gravitaatiovoiman antama kiihtyvyys sillä etäisyydellä.
Kaava
$\gamma \dfrac{Mm}{r^2} = m a_\text{n}$, josta $a_\text{n} = \dfrac{\gamma M}{r^2}$
Muunnokset
$r$$= 42\,164\,\text{km}$$= 4{,}2164 \cdot 10^{7}\,\text{m}$Sijoitus
$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$$= 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$joten
$a_\text{n}$$= \dfrac{3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{(4{,}2164 \cdot 10^{7}\,\text{m})^2}$$= 0{,}2241\,\text{m/s}^2$Vastaus
$0{,}224\,\text{m/s}^2$
Kolme merkitsevää numeroa kuten Maan massassa.
Järkevyys
Satelliitti on noin $6{,}6$ kertaa kauempana Maan keskipisteestä kuin maanpinta, joten kiihtyvyys on noin $\tfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2}{6{,}6^2} \approx 0{,}23\,\text{m/s}^2$. Yksikkö:
$\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot \tfrac{\text{kg}}{\text{m}^2}$$= \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}$$= \text{m/s}^2$ - Tehtävä 6-4
Kuu kiertää Maata lähes ympyrärataa, jonka säde on $384\,400\,\text{km}$, ja sen kiertoaika on $27{,}3\,\text{d}$. Laske Kuun ratanopeus. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$1{,}02\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 384\,400\,\text{km}$, kiertoaika $T = 27{,}3\,\text{d}$
Kysytty
Kuun ratanopeus $v$ kilometreinä sekunnissa
Periaate
Kuu kiertää lähes ympyrärataa lähes tasaisella vauhdilla, joten se kulkee kiertoajassa $T$ ympyrän kehän $2\pi r$.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$
Muunnokset
$r$$= 384\,400\,\text{km}$$= 3{,}844 \cdot 10^{8}\,\text{m}$$T$$= 27{,}3 \cdot 24 \cdot 3600\,\text{s}$$= 2{,}3587 \cdot 10^{6}\,\text{s}$lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2\pi \cdot 3{,}844 \cdot 10^{8}\,\text{m}}{2{,}3587 \cdot 10^{6}\,\text{s}}$$= 1024\,\text{m/s}$$= 1{,}024\,\text{km/s}$Vastaus
$1{,}02\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kiertoajassa $27{,}3\,\text{d}$.
Järkevyys
Kuu on noin $57$ kertaa kauempana kuin ISS ($384\,400 : 6790 \approx 57$), joten ympyrämallin mukaan sen nopeuden pitäisi olla noin $\tfrac{1}{\sqrt{57}} \approx \tfrac{1}{7{,}5}$ ISS:n nopeudesta $7{,}66\,\text{km/s}$, eli noin $1{,}0\,\text{km/s}$.
- Tehtävä 6-5
Kuuta kiertävä luotain kulkee ympyrärataa, jonka säde on $1847\,\text{km}$. Kuun massa on $7{,}35 \cdot 10^{22}\,\text{kg}$. Laske luotaimen ratanopeus. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$1{,}63\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 1847\,\text{km}$, Kuun massa $M = 7{,}35 \cdot 10^{22}\,\text{kg}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
luotaimen ratanopeus $v$ kilometreinä sekunnissa
Periaate
Luotaimeen vaikuttaa vain Kuun gravitaatiovoima, joten se on ympyräliikkeen kokonaisvoima; keskuskappaleena on nyt Kuu.
Kaava
$\gamma \dfrac{Mm}{r^2}$$= \dfrac{mv^2}{r}$josta $v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$
Muunnokset
$r$$= 1847\,\text{km}$$= 1{,}847 \cdot 10^{6}\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.
Sijoitus
$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 7{,}35 \cdot 10^{22}\,\text{kg}$$= 4{,}905 \cdot 10^{12}\,\text{m}^3/\text{s}^2$joten
$v$$= \sqrt{\dfrac{4{,}905 \cdot 10^{12}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{1{,}847 \cdot 10^{6}\,\text{m}}}$$= 1630\,\text{m/s}$$= 1{,}630\,\text{km/s}$Vastaus
$1{,}63\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten Kuun massassa $7{,}35 \cdot 10^{22}\,\text{kg}$.
Järkevyys
Kuun massa on noin $\tfrac{1}{81}$ Maan massasta ja radan säde noin $0{,}27$ kertaa ISS:n radan säde, joten nopeus on noin
$7{,}7\,\text{km/s} \cdot \sqrt{\tfrac{1}{81 \cdot 0{,}27}}$$\approx 1{,}6\,\text{km/s}$
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 6-6Ydintehtävä
Satelliitti kiertää Maata ympyrärataa nopeudella $5{,}00\,\text{km/s}$. Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $6371\,\text{km}$. Kuinka korkealla maanpinnasta satelliitti kiertää? Anna vastaus kilometreinä.
Vastaus
$9570\,\text{km}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ratanopeus $v = 5{,}00\,\text{km/s}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
korkeus maanpinnasta $h$ kilometreinä
Periaate
Gravitaatiovoima on satelliitin ainoa voima ja siis ympyräliikkeen kokonaisvoima. Yhtälöstä ratkaistaan ensin radan säde $r$, joka mitataan Maan keskipisteestä, ja korkeus on $h = r - R$.
Kaava
$\gamma \dfrac{Mm}{r^2}$$= \dfrac{mv^2}{r}$josta $r = \dfrac{\gamma M}{v^2}$ ja $h = r - R$
Muunnokset
$v$$= 5{,}00\,\text{km/s}$$= 5000\,\text{m/s}$$R$$= 6371\,\text{km}$$= 6{,}371 \cdot 10^{6}\,\text{m}$Sijoitus
$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$$= 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$joten
$r$$= \dfrac{3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{(5000\,\text{m/s})^2}$$= 1{,}5938 \cdot 10^{7}\,\text{m}$joten
$h$$= 1{,}5938 \cdot 10^{7}\,\text{m} - 6{,}371 \cdot 10^{6}\,\text{m}$$= 9{,}567 \cdot 10^{6}\,\text{m}$$= 9567\,\text{km}$Vastaus
$9570\,\text{km}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $5{,}00\,\text{km/s}$.
Järkevyys
Nopeus $5{,}00\,\text{km/s}$ on ISS:n $7{,}66\,\text{km/s}$ ja GPS-satelliitin $3{,}87\,\text{km/s}$ välissä, ja niin on myös radan säde $15\,900\,\text{km}$ ($6790\,\text{km}$ ja $26\,560\,\text{km}$). Tarkistus:
$\sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$$= \sqrt{\tfrac{3{,}984 \cdot 10^{14}}{1{,}594 \cdot 10^{7}}}\,\text{m/s}$$\approx 5000\,\text{m/s}$ - Tehtävä 6-7Ydintehtävä
Marsia kiertävä luotain kulkee ympyrärataa $400\,\text{km}$:n korkeudella Marsin pinnasta. Marsin massa on $6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$ ja säde $3390\,\text{km}$. Laske luotaimen ratanopeus. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$3{,}36\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
korkeus $h = 400\,\text{km}$, Marsin massa $M = 6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$ ja säde $R = 3390\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
ratanopeus $v$ kilometreinä sekunnissa
Periaate
Luotaimeen vaikuttaa vain Marsin gravitaatiovoima, joten se on ympyräliikkeen kokonaisvoima. Radan säde mitataan Marsin keskipisteestä: $r = R + h$.
Kaava
$\gamma \dfrac{Mm}{r^2}$$= \dfrac{mv^2}{r}$josta $v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{R + h}}$
Muunnokset
$r$$= 3390\,\text{km} + 400\,\text{km}$$= 3790\,\text{km}$$= 3{,}790 \cdot 10^{6}\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.
Sijoitus
$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$$= 4{,}285 \cdot 10^{13}\,\text{m}^3/\text{s}^2$joten
$v$$= \sqrt{\dfrac{4{,}285 \cdot 10^{13}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{3{,}790 \cdot 10^{6}\,\text{m}}}$$= 3362\,\text{m/s}$$= 3{,}362\,\text{km/s}$Vastaus
$3{,}36\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten Marsin massassa $6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$.
Järkevyys
Samalla korkeudella Maan ympäri nopeus on noin $7{,}7\,\text{km/s}$. Marsin massa on vain noin kymmenesosa Maan massasta ja säde noin puolet, joten nopeuden pitää olla selvästi pienempi:
$7{,}7\,\text{km/s} \cdot \sqrt{0{,}107 \cdot \tfrac{6771}{3790}}$$\approx 3{,}4\,\text{km/s}$ - Tehtävä 6-8
Kuun pinnalla putoamiskiihtyvyys on $1{,}62\,\text{m/s}^2$ ja Kuun säde on $1737\,\text{km}$.
Kuinka suuri nopeus tarvitaan, jotta luotain kiertäisi Kuuta ympyrärataa aivan sen pinnan yläpuolella? Kuulla ei ole ilmakehää. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$1{,}68\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Kuun pinnan putoamiskiihtyvyys $g = 1{,}62\,\text{m/s}^2$ ja säde $R = 1737\,\text{km}$; ei ilmakehää
Kysytty
ympyräradan nopeus $v$ aivan Kuun pinnan yläpuolella
Periaate
Luotaimeen vaikuttaa vain Kuun gravitaatiovoima, joka on ympyräliikkeen kokonaisvoima. Pinnan tasolla gravitaatiovoiman antama kiihtyvyys on $\tfrac{\gamma M}{R^2} = g$ (luku Kappaleiden välinen gravitaatiovoima), joten Kuun massaa ei tarvita: normaalikiihtyvyyden on oltava $g$.
Kaava
$m g = \dfrac{m v^2}{R}$, josta $v = \sqrt{g R}$
Muunnokset
$R$$= 1737\,\text{km}$$= 1{,}737 \cdot 10^{6}\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.
Sijoitus
$v$$= \sqrt{1{,}62\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}737 \cdot 10^{6}\,\text{m}}$$= 1677\,\text{m/s}$$= 1{,}677\,\text{km/s}$Vastaus
$1{,}68\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten putoamiskiihtyvyydessä $1{,}62\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Tulos on hieman suurempi kuin tason 1 luotaimen $1{,}63\,\text{km/s}$, joka kiertää $110\,\text{km}$ ylempänä: alempana kiertävä on nopeampi. Yksikkö:
$\sqrt{\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \text{m}}$$= \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ - Tehtävä 6-9
Astronautti, jonka massa on $75\,\text{kg}$, työskentelee avaruusasemalla $410\,\text{km}$:n korkeudella. Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $6371\,\text{km}$. Kuinka suuri gravitaatiovoima astronauttiin vaikuttaa, vaikka hän on painoton?
Vastaus
$650\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
astronautin massa $m = 75\,\text{kg}$, korkeus $h = 410\,\text{km}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
astronauttiin vaikuttava gravitaatiovoima $F$
Periaate
Painottomuus ei tarkoita, että gravitaatio puuttuisi: astronauttiin vaikuttaa Maan gravitaatiovoima, joka lasketaan gravitaatiolaista etäisyydellä $r = R + h$ Maan keskipisteestä. Leijuminen johtuu vapaasta putoamisesta, ei voiman puuttumisesta.
Kaava
$F = \gamma \dfrac{M m}{r^2}$, missä $r = R + h$
Muunnokset
$r$$= 6371\,\text{km} + 410\,\text{km}$$= 6781\,\text{km}$$= 6{,}781 \cdot 10^{6}\,\text{m}$Sijoitus
$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$$= 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$joten
$F$$= \dfrac{3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2 \cdot 75\,\text{kg}}{(6{,}781 \cdot 10^{6}\,\text{m})^2}$$= 649{,}9\,\text{N}$Vastaus
$650\,\text{N}$
Eli $6{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $75\,\text{kg}$.
Järkevyys
Maanpinnalla sama astronautti painaa $75\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 736\,\text{N}$. Asemalla voima on noin $88\,\%$ tästä, koska etäisyys keskipisteestä on vain noin $6\,\%$ suurempi: $\left(\tfrac{6371}{6781}\right)^2 \approx 0{,}88$.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 6-10
Mars pyörähtää akselinsa ympäri kerran $24\,\text{h}\;37\,\text{min}$:ssa. Marsia kiertävän viestintäsatelliitin halutaan pysyvän koko ajan saman pinnan kohdan yläpuolella kuten geostationaarinen satelliitti Maan yläpuolella. Marsin massa on $6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$ ja säde $3390\,\text{km}$.
Kuinka korkealla Marsin pinnasta satelliitin on kierrettävä? Anna vastaus kilometreinä.
Vastaus
$1{,}70 \cdot 10^{4}\,\text{km}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Marsin pyörähdysaika $T = 24\,\text{h}\;37\,\text{min}$, massa $M = 6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$ ja säde $R = 3390\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
satelliitin korkeus Marsin pinnasta $h$ kilometreinä
Periaate
Jotta satelliitti pysyy saman pinnan kohdan yläpuolella, sen kiertoajan on oltava Marsin pyörähdysaika ja sen on kierrettävä päiväntasaajan yläpuolella samaan suuntaan kuin Mars pyörii. Gravitaatiovoima on satelliitin ympyräliikkeen kokonaisvoima, ja nopeus on $v = \tfrac{2\pi r}{T}$.
Kaava
$\dfrac{\gamma M}{r}$$= v^2$$= \dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}$josta
$r$$= \sqrt[3]{\dfrac{\gamma M T^2}{4\pi^2}}$$h = r - R$
Muunnokset
$T$$= 24 \cdot 3600\,\text{s} + 37 \cdot 60\,\text{s}$$= 88\,620\,\text{s}$$R$$= 3390\,\text{km}$$= 3{,}390 \cdot 10^{6}\,\text{m}$Sijoitus
$\gamma M T^2$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg} \cdot (88\,620\,\text{s})^2$$= 3{,}3650 \cdot 10^{23}\,\text{m}^3$joten
$r$$= \sqrt[3]{\dfrac{3{,}3650 \cdot 10^{23}\,\text{m}^3}{4\pi^2}}$$= \sqrt[3]{8{,}524 \cdot 10^{21}\,\text{m}^3}$$= 2{,}0427 \cdot 10^{7}\,\text{m}$joten
$h$$= 2{,}0427 \cdot 10^{7}\,\text{m} - 3{,}390 \cdot 10^{6}\,\text{m}$$= 1{,}7037 \cdot 10^{7}\,\text{m}$$= 17\,037\,\text{km}$Vastaus
noin $1{,}70 \cdot 10^{4}\,\text{km}$ eli $17\,000\,\text{km}$, kolme merkitsevää numeroa kuten Marsin massassa $6{,}42 \cdot 10^{23}\,\text{kg}$.
Järkevyys
Maan geostationaarinen rata on noin $35\,800\,\text{km}$:n korkeudella. Marsin pyörähdysaika on lähes sama kuin Maan, mutta massa vain noin kymmenesosa, joten sama kiertoaika saavutetaan pienemmällä säteellä: $r \propto \sqrt[3]{M}$ antaa $42\,164\,\text{km} \cdot \sqrt[3]{0{,}107} \approx 20\,000\,\text{km}$, mikä vastaa saatua kiertoradan sädettä $r = 20\,400\,\text{km}$.
- Tehtävä 6-11
Ohut ilma jarruttaa avaruusasemaa, ja sen lähes ympyrärata madaltuu viikkojen aikana $400\,\text{km}$:n korkeudelta $398\,\text{km}$:n korkeudelle. Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $6371\,\text{km}$.
Kasvaako vai pieneneekö aseman ratanopeus, ja kuinka paljon? Anna ratanopeuden muutos metreinä sekunnissa (kasvu positiivisena). Älä pyöristä välituloksia ennen vähennystä.
Vastaus
$1{,}13\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
korkeus ennen $h_1 = 400\,\text{km}$ ja jälkeen $h_2 = 398\,\text{km}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Kysytty
ratanopeuden muutos $\Delta v = v_2 - v_1$ metreinä sekunnissa
Periaate
Rata pysyy lähes ympyränä koko ajan, joten kummallakin korkeudella ratanopeus on ympyräradan nopeus, jonka gravitaatio määrää. Jarrutus madaltaa rataa, ja alempana ympyräradan nopeus on suurempi, joten asema päätyy liikkumaan nopeammin.
Kaava
$v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$, joten
$\Delta v$$= \sqrt{\dfrac{\gamma M}{R + h_2}} - \sqrt{\dfrac{\gamma M}{R + h_1}}$Muunnokset
$r_1$$= 6771\,\text{km}$$= 6{,}771 \cdot 10^{6}\,\text{m}$$r_2$$= 6769\,\text{km}$$= 6{,}769 \cdot 10^{6}\,\text{m}$ja $\gamma M = 3{,}98438 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$. Kaksi nopeutta on lähes yhtä suuria ja niiden erotus on vain noin yksi metri sekunnissa, joten välituloksia ei pyöristetä ennen vähennystä: nopeudet lasketaan kahden desimaalin tarkkuudella ja vähennetään vasta sitten.
Sijoitus
$v_1$$= \sqrt{\dfrac{3{,}98438 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{6{,}771 \cdot 10^{6}\,\text{m}}}$$= 7671{,}03\,\text{m/s}$$v_2$$= \sqrt{\dfrac{3{,}98438 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{6{,}769 \cdot 10^{6}\,\text{m}}}$$= 7672{,}17\,\text{m/s}$joten
$\Delta v$$= 7672{,}17\,\text{m/s} - 7671{,}03\,\text{m/s}$$= 1{,}13\,\text{m/s}$Vastaus
Ratanopeus kasvaa noin $1{,}13\,\text{m/s}$. Kolme merkitsevää numeroa, koska korkeuksien ero $2\,\text{km}$ on tarkka ja muutos on laskettu välituloksia pyöristämättä.
Järkevyys
Säde pienenee vain $2\,\text{km}$ eli noin $0{,}03\,\%$, joten nopeuden muutos on pieni: $1{,}13\,\text{m/s}$ on noin $0{,}015\,\%$ nopeudesta $7671\,\text{m/s}$, mikä sopii niin pieneen säteen muutokseen. Etumerkki on positiivinen, vaikka ilma jarruttaa: rata madaltuu, ja alempana gravitaatio vaatii suuremman nopeuden.
- Tehtävä 6-12
Maa pyörähtää akselinsa ympäri kerran vuorokaudessa.
Kuinka lyhyt Maan pyörähdysajan pitäisi olla, jotta päiväntasaajalla seisova ihminen olisi painoton? Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $6371\,\text{km}$, ja Maan muoto oletetaan pallon muotoiseksi. Anna vastaus minuutteina.
Vastaus
$84{,}4\,\text{min}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$; Maa oletetaan palloksi
Kysytty
pyörähdysaika $T$, jolla päiväntasaajalla seisova ihminen olisi painoton, minuutteina
Periaate
Ihminen kiertää Maan pyöriessä ympyrää, jonka säde on $R$. Hän on painoton, kun maa ei paina häntä eli tukivoima on nolla: silloin gravitaatiovoima yksin riittää juuri ympyräliikkeen kokonaisvoimaksi, kuten ympyräradalla kiertävällä satelliitilla.
Kaava
$\gamma \dfrac{Mm}{R^2}$$= \dfrac{mv^2}{R}$$v = \dfrac{2\pi R}{T}$, joten
$\dfrac{\gamma M}{R}$$= \dfrac{4\pi^2 R^2}{T^2}$$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{\gamma M}}$
Muunnokset
$R$$= 6371\,\text{km}$$= 6{,}371 \cdot 10^{6}\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.
Sijoitus
$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$$= 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$joten
$T$$= 2\pi\sqrt{\dfrac{(6{,}371 \cdot 10^{6}\,\text{m})^3}{3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2}}$$= 5062\,\text{s}$$= 5062 : 60\,\text{min}$$= 84{,}36\,\text{min}$Vastaus
noin $84{,}4\,\text{min}$, kolme merkitsevää numeroa kuten Maan massassa.
Järkevyys
Tämä on maanpinnan tasolla kiertävän satelliitin kiertoaika, ja ISS kiertää vain vähän ylempänä $92{,}8\,\text{min}$:ssa, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa ja hieman lyhyempi kuten pitää. Todellinen pyörähdysaika, noin $24\,\text{h}$, on noin $17$ kertaa pidempi, joten painottomuudesta ollaan kaukana.
Valokuvat
- The International Space Station photographed from a Soyuz spacecraft (iss056e201248). NASA/Roscosmos. lähde, public domain (NASA)