Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö
Miksi auto suistuu liukkaassa kaarteessa ulos tieltä?
Pohjatiedot
- Ratanopeus $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ ja nopeuden suunnan muuttuminen ympyräliikkeessäluku Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus
- Voimakuvion piirtäminen ja liikeyhtälöt $\Sigma F_x = m a_x$ ja $\Sigma F_y = m a_y$luku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
- Lepokitka on enintään $\mu_0 N$luku Paino, kitka ja kalteva taso
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Liukkaana talvipäivänä auto tulee kaarteeseen vähän liian lujaa. Kuljettaja kääntää rattia, mutta auto päätyy lumipenkkaan. Matkustajasta tuntui kaarteessa siltä, että jokin painoi häntä ulospäin ovea vasten.
Mikä voima pitää auton kaarteessa, ja onko ulospäin painava voima todellinen?
Valinnainen Kertaa: nopeus ympyräliikkeessä
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: nopeus kaksinkertaistuu
Ennuste 2: kun pito pettää
Valinnainen Ennuste 3: kevyt ja raskas auto
Tutki
Auto kiertää vaakasuoraa ympyrärataa. Vasemmalla on rata ylhäältä, oikealla auton voimakuvio takaa katsottuna ja tarvittavan kitkan vertailu suurimpaan lepokitkaan.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse ratanopeus $v$ ja radan säde $r$ liukusäätimillä sekä auton Massa ja tien Pinta. Paina Käynnistä, niin auto lähtee kiertämään rataa. Jos tarvittava kitka on suurempi kuin suurin lepokitka, auto alkaa liukua. Alusta palauttaa auton radalle. Lukemat päivittyvät heti, myös auton ollessa pysähdyksissä. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa animaatiota muuttamatta lukemia.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Tie on vaakasuora, ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta, ja renkaiden voimat lasketaan yhteen yhdeksi tukivoimaksi ja yhdeksi kitkavoimaksi. Lepokitkakertoimet ovat mallin arvoja: kuiva asfaltti $\mu_0 = 0{,}80$, märkä asfaltti $0{,}50$ ja jää $0{,}10$. Kun pito pettää, mallissa tie antaa edelleen suurimman kitkansa $\mu_0 mg$ kohtisuoraan auton nopeutta vastaan, joten auto kaartaa loivemmin kuin rata. Auto ja nuolet on piirretty selvyyden vuoksi suuremmiksi kuin mittakaavassa, ja rata on aina samankokoinen kuvassa.
Laskennan selitys
Normaalikiihtyvyys on $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$, ja auto pysyy radalla, jos tien kitka antaa kokonaisvoiman $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Pystysuunnassa $N = mg$, ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Suurin lepokitka on $\mu_0 N = \mu_0 mg$. Jos $m\tfrac{v^2}{r} \le \mu_0 mg$, kitka on $F_\mu = m\tfrac{v^2}{r}$; muuten $F_\mu = \mu_0 mg$, ja auto liukuu radalta.
Koe 1: nopeus kasvaa
Testaa ennusteet 1 ja 2. Alkutila valitsee säteen $50\,\text{m}$, massan $1500\,\text{kg}$ ja kuivan asfaltin. Muuta vain ratanopeutta $v$. Kirjaa mittaus nopeuksilla $5$, $10$, $15$ ja $20\,\text{m/s}$. Aseta lopuksi nopeudeksi $25\,\text{m/s}$ ja sitten $30\,\text{m/s}$, paina kummallakin Käynnistä ja vertaa, miten auto liikkuu.
Alkutila: säde $r$ = $50\,\text{m}$, massa $m$ = $1500\,\text{kg}$, pinta: kuiva asfaltti, ratanopeus $v$ = $10\,\text{m/s}$. Vakiona: säde $r$, massa $m$, pinta. Muutetaan: ratanopeus $v$.
| ratanopeus $v$ | $a_\text{n}$ $(\text{m/s}^2)$ | tarvittava kitka $(\text{N})$ | suurin lepokitka $(\text{N})$ | pito (1 = riittää) |
|---|
Taulukon mukaan pito riittää nopeudella $15\,\text{m/s}$ mutta ei nopeudella $20\,\text{m/s}$. Laske, mikä on suurin ratanopeus, jolla auto vielä pysyy tällä radalla kuivalla asfaltilla.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Rajanopeudella tarvittava kitka on juuri yhtä suuri kuin suurin lepokitka. Mitkä voimat vaikuttavat autoon vaaka- ja pystysuunnassa?
Vihje 2: mikä yhteys
Pystysuunnassa $N = mg$. Vaakasuunnassa $\mu_0 mg = m\dfrac{v^2}{r}$.
Vihje 3: välivaihe
Massa supistuu: $v = \sqrt{\mu_0 g r}$, missä $\mu_0 = 0{,}80$ ja $r = 50\,\text{m}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
säde $r = 50\,\text{m}$, massa $m = 1500\,\text{kg}$, kuivan asfaltin lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}80$ (mallin arvo); $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
suurin ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Auto on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Ainoa vaakasuora voima on tien lepokitka, joka voi olla enintään $\mu_0 N$. Rajanopeudella kitka on suurimmillaan.
Voimakuvio
Auto takaa katsottuna suorakulmiona, kaarteen keskipiste oikealla, $x$ kohti keskipistettä ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös yhtä pitkänä ja suurin lepokitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan kulmasta kohti keskipistettä. Kiihtyvyys erikseen kohti keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $\mu_0 N = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $\mu_0 mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $v = \sqrt{\mu_0 g r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
Vastaus
$19{,}8\,\text{m/s}$
Eli noin $71\,\text{km/h}$. Kolmas numero on mukana, koska raja on juuri alle $20\,\text{m/s}$: taulukon nopeus $20\,\text{m/s}$ ylittää sen.
Järkevyys
Tulos on taulukon kanssa sopusoinnussa: nopeudella $15\,\text{m/s}$ pito riittää ja nopeudella $20\,\text{m/s}$ ei. Tarkistus: nopeudella $19{,}8\,\text{m/s}$ tarvittava kitka on
sama kuin suurin lepokitka.
Valinnainen Koe 2: massa muuttuu
Testaa ennuste 3. Alkutila valitsee säteen $50\,\text{m}$, kuivan asfaltin ja nopeuden $19\,\text{m/s}$, joka on lähellä rajaa. Muuta vain massaa ja kirjaa mittaus kaikilla kolmella massalla.
Alkutila: säde $r$ = $50\,\text{m}$, pinta: kuiva asfaltti, ratanopeus $v$ = $19\,\text{m/s}$, massa $m$ = $1000\,\text{kg}$. Vakiona: säde $r$, pinta, ratanopeus $v$. Muutetaan: massa $m$.
| massa $m$ | tarvittava kitka $(\text{N})$ | suurin lepokitka $(\text{N})$ | pito (1 = riittää) |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, miten tarvittava kitka riippuu nopeudesta, ja miksi auto ajautuu radan ulkoreunan yli, kun pito pettää.
Mallivastaus
Taulukossa tarvittava kitka kasvaa nopeuden neliön mukana: nopeudella $10\,\text{m/s}$ se on $3{,}0\,\text{kN}$ ja nopeudella $20\,\text{m/s}$ $12\,\text{kN}$, eli kaksinkertainen nopeus vaatii nelinkertaisen kitkan. Kuivan asfaltin suurin lepokitka on mallin arvoissa $11{,}8\,\text{kN}$. Nopeudella $15\,\text{m/s}$ tarvitaan $6{,}75\,\text{kN}$ ja pito riittää, mutta nopeudella $20\,\text{m/s}$ tarvittava kitka on suurempi kuin tie voi antaa. Kitka osoittaa kohti keskipistettä ja kääntää autoa. Kun se ei riitä, auto kaartaa loivemmin kuin rata, ja sitä suoremmin mitä suurempi nopeus, ja ajautuu radan ulkoreunan yli. Ulospäin työntävää voimaa ei tarvita selittämään liikettä.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Nopeuden suunta muuttuu, joten kappale kiihtyy
Luvussa Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus opit, että tasaisessa ympyräliikkeessä kappale kiertää ympyrärataa vakiovauhdilla. Nopeuden suuruus eli ratanopeus $v$ pysyy samana, mutta nopeuden suunta muuttuu koko ajan: nopeus $\overline{v}$ on aina radan tangentin suuntainen. Nopeus on vektori, joten suunnan muutoskin on nopeuden muutos. Kun nopeus muuttuu, kappaleella on kiihtyvyys. Tasaisessa ympyräliikkeessä kappale siis kiihtyy, vaikka sen vauhti ei muutu.
Kuvassa kappaleen nopeus on ensin $\overline{v}_1$ ja hetken kuluttua $\overline{v}_2$. Kun nuolet piirretään samasta pisteestä, niiden kärkien välinen nuoli on nopeuden muutos $\Delta\overline{v}$. Se osoittaa kohti radan keskipistettä. Kiihtyvyys on nopeuden muutos aikayksikköä kohti, joten kiihtyvyyskin osoittaa keskipisteeseen.
Normaalikiihtyvyys osoittaa keskipisteeseen
Tasaisen ympyräliikkeen kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeutta vastaan ja osoittaa radan joka kohdassa kohti ympyrän keskipistettä. Sitä kutsutaan normaalikiihtyvyydeksi $\overline{a}_\text{n}$ tai keskeiskiihtyvyydeksi. Nimi tulee siitä, että kiihtyvyys on radan normaalin eli tangenttia vastaan kohtisuoran suoran suuntainen. Koska kiihtyvyydellä ei ole nopeuden suuntaista osaa, vauhti ei kasva eikä pienene: kiihtyvyys muuttaa vain nopeuden suuntaa.
Kokonaisvoima osoittaa keskipisteeseen
Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima $\Sigma\overline{F}$ on samansuuntainen kuin kiihtyvyys. Tasaisessa ympyräliikkeessä kappaleeseen vaikuttavien voimien summa osoittaa siis kohti radan keskipistettä. Tätä keskipisteeseen osoittavaa kokonaisvoimaa kutsutaan keskeisvoimaksi. Ilman sitä kappale jatkaisi Newtonin ensimmäisen lain mukaisesti suoraan, radan tangentin suuntaan.
Keskeisvoima ei ole uusi voiman laji, eikä sitä piirretä voimakuvioon omana nuolenaan. Se on todellisten voimien summa, ja tilanne kertoo, mitkä voimat sen muodostavat. Kun auto ajaa kaarteessa vaakasuoralla tiellä ja ilmanvastus jätetään huomiotta, ainoa vaakasuora voima autoon on tien kitka renkaisiin, joten kitka osoittaa kohti kaarteen keskipistettä. Narun päässä pyörivään kiveen sen tuottaa narun jännitysvoima, ja karusellissa istujaan istuimen ja tuen voimat.
Voimakuviossa auto on piirretty takaa katsottuna, jolloin kaarteen keskipiste on vasemmalla. Pystysuunnassa auto ei kiihdy, joten tukivoima $\overline{N}$ ja paino $\overline{G}$ kumoavat toisensa. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ jää kokonaisvoimaksi. Jos tie on liukas, lepokitka ei riitä tähän. Silloin auto kaartaa vähemmän kuin tie ja ajautuu ulkokaarteen puolelle, vaikka mikään ei työnnä sitä ulospäin.
Normaalikiihtyvyys
Kun kappale liikkuu tasaisessa ympyräliikkeessä, sen normaalikiihtyvyyden suuruus on
$$a_\text{n} = \frac{v^2}{r}$$
missä $a_\text{n}$ on normaalikiihtyvyys ($\text{m/s}^2$), $v$ ratanopeus ($\text{m/s}$) ja $r$ radan säde ($\text{m}$). Kiihtyvyys kasvaa nopeuden neliön mukana: kun nopeus kaksinkertaistuu, kiihtyvyys nelinkertaistuu. Samalla nopeudella tiukka kaarre eli pieni säde antaa suuren kiihtyvyyden. Jos tunnetaan kierrosaika $T$, ratanopeus saadaan ensin kaavasta $v = \tfrac{2\pi r}{T}$.
Miksi juuri nopeuden neliö? Nopeus vaikuttaa kahdesti. Suuremmalla nopeudella nopeusnuoli on pidempi, joten sama suunnan kääntyminen merkitsee suurempaa nopeuden muutosta $\Delta\overline{v}$. Lisäksi kappale kiertää kaaren nopeammin, joten nopeus kääntyy saman kulman lyhyemmässä ajassa. Kumpikin tekijä kasvaa nopeuden mukana, joten kiihtyvyys kasvaa nopeuden neliön mukana. Samalla nopeudella pienemmän säteen kaarteessa nopeuden suunta kääntyy nopeammin, joten kiihtyvyys on suurempi.
Kuvaajassa säteellä $50\,\text{m}$ normaalikiihtyvyys on nopeudella $10\,\text{m/s}$ vain $2{,}0\,\text{m/s}^2$, mutta nopeudella $20\,\text{m/s}$ jo $8{,}0\,\text{m/s}^2$. Kaksinkertaisella säteellä $100\,\text{m}$ se on samalla nopeudella puolet pienempi, $4{,}0\,\text{m/s}^2$.
Newtonin toinen laki ympyräliikkeessä
Newtonin toisen lain mukaan kappaleeseen vaikuttavien voimien summan suuruus on tasaisessa ympyräliikkeessä
$$\Sigma F = m\,\frac{v^2}{r}$$
missä $\Sigma F$ on keskipisteeseen osoittava kokonaisvoima ($\text{N}$) ja $m$ kappaleen massa ($\text{kg}$). Laskussa toimitaan kuten luvussa Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus: piirretään ensin voimakuvio ja valitaan yksi akseli osoittamaan kohti radan keskipistettä. Silloin keskipisteeseen osoittavat voimat ovat positiivisia, poispäin osoittavat negatiivisia, ja niiden summa on $m\tfrac{v^2}{r}$. Kohtisuoraan ratatasoa vastaan kappale ei kiihdy, joten siinä suunnassa voimien summa on nolla.
Nyppylä ja notko
Kun auto ajaa tasaisella vauhdilla nyppylän huipun yli, se on hetken ympyräradalla, jonka keskipiste on tien alapuolella. Kiihtyvyys osoittaa silloin alas, joten paino on suurempi kuin tien tukivoima: $G - N = m\tfrac{v^2}{r}$. Tukivoima on painoa pienempi, ja matkustaja tuntee itsensä kevyeksi. Mitä suurempi nopeus, sitä pienempi tukivoima. Jos $\tfrac{v^2}{r}$ kasvaa yhtä suureksi kuin $g$, tukivoima on nolla. Jos se kasvaa suuremmaksi kuin $g$, auto irtoaa hetkeksi tiestä.
Notkon pohjalla keskipiste on tien yläpuolella, ja kiihtyvyys osoittaa ylös. Silloin tukivoiman on oltava painoa suurempi: $N - G = m\tfrac{v^2}{r}$. Siksi vuoristoradan notkossa matkustaja painuu istuinta vasten ja tuntee itsensä raskaaksi. Kummassakin tapauksessa paino on sama $mg$. Vain tukivoima muuttuu niin, että kokonaisvoima osoittaa kohti kaaren keskipistettä.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että ympyräliikkeessä kappaleeseen vaikuttaa ulospäin keskipakoisvoima, joka pitää sen radalla tai heittää sen kaarteesta ulos. Sellaista voimaa ei ole: mikään kappale ei vedä tai työnnä autoa tai matkustajaa ulospäin. Kun auto kääntyy, matkustajan keho pyrkii jatkamaan suoraan. Ovi painuu häntä vasten ja työntää häntä sisäänpäin, kohti kaarteen keskipistettä, ja se tuntuu painautumisena ulospäin. Kun pito pettää, auto ei lennä säteen suuntaisesti ulos, vaan jatkaa suoremmin kuin tie kaartaa. Toinen virhe on piirtää voimakuvioon keskeisvoima omaksi nuolekseen. Keskeisvoima on todellisten voimien, kuten kitkan tai jännitysvoiman, summa.
Tiivistelmä
- Tasaisessa ympyräliikkeessä ratanopeus on vakio, mutta nopeuden suunta muuttuu, joten kappale kiihtyy.
- Normaalikiihtyvyys eli keskeiskiihtyvyys osoittaa kohti radan keskipistettä, ja sen suuruus on $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$.
- Kappaleeseen vaikuttavien voimien summa eli keskeisvoima osoittaa kohti keskipistettä: $\Sigma F = m\tfrac{v^2}{r}$. Se on todellisten voimien summa, ei oma voimansa.
- Kaarteessa keskeisvoiman antaa tien kitka, narussa jännitysvoima. Nyppylän huipulla tukivoima on painoa pienempi, notkon pohjalla suurempi.
- Keskipakoisvoimaa ei ole. Kun keskipisteeseen osoittava voima ei riitä, kappale jatkaa suoremmin kuin rata kaartaa.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin ja teoriaan. Palaa myös alun matkustajaan: mikä voima häneen kaarteessa todella vaikutti, ja mihin suuntaan se osoitti?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Henkilöauto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, ajaa vaakasuoran tien kaarteessa tasaisella nopeudella $54\,\text{km/h}$. Kaarteen säde on $45\,\text{m}$. Kuinka suuri kitkavoima tien on kohdistettava autoon, ja kuinka suuri renkaiden ja tien välisen lepokitkakertoimen on vähintään oltava? Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta, ja renkaiden voimat lasketaan yhteen.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $m = 1200\,\text{kg}$, $v = 54\,\text{km/h}$, $r = 45\,\text{m}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kysytään tien kitkavoimaa $F_\mu$ ja pienintä lepokitkakerrointa $\mu_0$.
Vaihe 2/7
Periaate. Valitaan kappaleeksi auto. Siihen vaikuttavat Maa (paino $\overline{G}$) ja tie (tukivoima $\overline{N}$ ja kitka $\overline{F}_\mu$). Auto on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kohti kaarteen keskipistettä ja on suuruudeltaan $m\tfrac{v^2}{r}$. Ainoa vaakasuora voima on kitka, joten se osoittaa kohti keskipistettä. Renkaat eivät liu'u sivuttain, joten kitka on lepokitkaa, enintään $\mu_0 N$. Voimakuviossa auto on takaa katsottuna ja kaarteen keskipiste oikealla, $x$-akseli kohti keskipistettä ja $y$-akseli ylös.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Kuviosta luetaan liikeyhtälöt ja ratkaistaan kysytyt suureet:
$$\begin{aligned} &x\text{:}\ \ F_\mu = m\frac{v^2}{r} \\ &y\text{:}\ \ N - mg = 0 \\ &F_\mu \le \mu_0 N = \mu_0 mg \\ &\mu_0 \ge \frac{v^2}{gr} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Nopeus muutetaan yksikköön $\text{m/s}$:
Vaihe 5/7
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} F_\mu &= m\frac{v^2}{r} \\ \phantom{F_\mu} &= 1200\,\text{kg}\cdot\frac{(15\,\text{m/s})^2}{45\,\text{m}} \\ \phantom{F_\mu} &= 6000\,\text{N} \\[4pt] \mu_0 &\ge \frac{v^2}{gr} \\ \phantom{\mu_0} &= \frac{(15\,\text{m/s})^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 45\,\text{m}} \\ \phantom{\mu_0} &\approx 0{,}510 \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Tien kitkavoima on $F_\mu \approx 6{,}0\,\text{kN}$ kohti kaarteen keskipistettä, ja lepokitkakertoimen on oltava vähintään $0{,}51$, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten nopeus $54\,\text{km/h}$ ja säde $45\,\text{m}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Normaalikiihtyvyys on
noin puolet putoamiskiihtyvyydestä, joten kitkan on oltava noin puolet painosta $11{,}8\,\text{kN}$. Kuivalla asfaltilla lepokitkakerroin on noin $0{,}8$, joten auto pysyy kaarteessa. Märällä asfaltilla, jossa kerroin voi olla noin $0{,}5$, pito on rajoilla, ja jäällä se pettäisi. Massa supistuu, joten kertoimen vaatimus on sama kevyelle ja raskaalle autolle.
Etsi virhe
Valitse oikea voimakuvio
Sovella uuteen tilanteeseen
Vuoristoradan vaunu kulkee tasaisella vauhdilla notkon pohjan läpi. Pohjalla radan kaaren säde on $12{,}0\,\text{m}$. Istuin painaa pohjalla matkustajaa kolme kertaa niin suurella voimalla kuin hänen painonsa.
Kuinka suuri on vaunun nopeus notkon pohjalla?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä matkustajan voimakuvio. Mitkä voimat häneen vaikuttavat pystysuunnassa, ja mihin suuntaan hän kiihtyy notkon pohjalla?
Vihje 2: mikä yhteys
Istuimen tukivoima on $N = 3mg$. Valitse $y$ ylös kohti kaaren keskipistettä: $N - mg = m\dfrac{v^2}{r}$.
Vihje 3: välivaihe
$3mg - mg = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $v^2 = 2gr$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kaaren säde $r = 12{,}0\,\text{m}$, istuimen tukivoima $N = 3G = 3mg$, vauhti tasainen; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
vaunun nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Notkon pohjalla matkustaja on hetken ympyräradalla, jonka keskipiste on yläpuolella. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa ylös kohti keskipistettä ja on $m\tfrac{v^2}{r}$. Pystysuunnassa matkustajaan vaikuttavat paino ja istuimen tukivoima.
Voimakuvio
Matkustaja suorakulmiona istuimella, $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja istuimen tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, kolme kertaa painon pituisena. Kiihtyvyys erikseen ohuena oranssina nuolena ylös kohti kaaren keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $N = 3mg$, joten $2mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $v = \sqrt{2gr}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita, ja massa supistuu.
Sijoitus
Vastaus
$15{,}3\,\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten säteessä $12{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
$15{,}3\,\text{m/s}$ on noin $55\,\text{km/h}$, tavallinen vuoristoradan nopeus. Normaalikiihtyvyys on
ja istuimen on annettava sen lisäksi painon verran: yhteensä $3mg$, kuten tehtävässä.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Auto kääntyy jyrkästi vasemmalle, ja matkustaja tuntee painautuvansa oikealla olevaa ovea vasten. Mikä voima matkustajaan todella vaikuttaa vaakasuunnassa, ja mihin suuntaan se osoittaa?
Vastaus
Ovi (ja istuin) työntää matkustajaa vasemmalle, kohti kaarteen keskipistettä. Matkustajan keho pyrkii jatkamaan suoraan, joten ovi tulee häntä vasten ja antaa hänelle keskeisvoiman. Ulospäin työntävää keskipakoisvoimaa ei ole: tunne syntyy siitä, että keho jatkaisi suoraan, jos ovi ei kääntäisi sitä.
- Auto ajaa saman kaarteen ensin nopeudella $40\,\text{km/h}$ ja sitten nopeudella $120\,\text{km/h}$. Kuinka moninkertainen on normaalikiihtyvyys jälkimmäisellä kerralla?
Vastaus
Nopeus kolminkertaistuu, ja $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$ kasvaa nopeuden neliön mukana, joten kiihtyvyys on $3^2 = 9$-kertainen. Samalla tien kitkan on oltava yhdeksänkertainen, ja siksi suuri nopeus vie auton helposti ulos kaarteesta.
- Miksi auton matkustaja tuntee itsensä kevyeksi, kun auto ajaa nopeasti nyppylän huipun yli?
Vastaus
Huipulla auto ja matkustaja kiihtyvät alas kohti kaaren keskipistettä, joten istuimen tukivoiman on oltava painoa pienempi: $N = m\left(g - \tfrac{v^2}{r}\right)$. Paino ei muutu, mutta istuin painaa matkustajaa vähemmän, ja se tuntuu keveytenä.
1. Käsite
2. Laskeminen
Lapsi, jonka massa on $30\,\text{kg}$, istuu karusellissa $2{,}0\,\text{m}$:n päässä keskipisteestä. Karuselli tekee yhden kierroksen $4{,}0\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on lapseen vaikuttavien voimien summa?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin lapsen ratanopeus kierrosajasta.
Vihje 2: mikä yhteys
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 30\,\text{kg}$, $r = 2{,}0\,\text{m}$, kierrosaika $T = 4{,}0\,\text{s}$
Kysytty
voimien summa $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Karuselli pyörii tasaisesti, joten lapsi on tasaisessa ympyräliikkeessä. Ratanopeus saadaan kierrosajasta, ja Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$150\,\text{N}$
Eli $1{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{N}$ kohti keskipistettä, kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $2{,}0\,\text{m}$ ja kierrosajassa $4{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Voima on noin puolet lapsen painosta $294\,\text{N}$, koska normaalikiihtyvyys $4{,}9\,\text{m/s}^2$ on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä. Istuin ja tuki pystyvät antamaan tämän voiman, mutta lapsen on pidettävä kiinni.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Piirrä itse
Jääkiekko, jonka massa on $0{,}17\,\text{kg}$, on sidottu narulla jäähän kiinnitettyyn tappiin. Kiekko liukuu jäällä vaakasuoraa ympyrää, jonka säde on $0{,}50\,\text{m}$, tasaisella nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä kiekon voimakuvio sivulta katsottuna paperille: kiekko suorakulmiona ja jokainen voima vaikutuskohdastaan. Kirjoita liikeyhtälöt ja laske narun jännitysvoima.
Mallikuvio
Kiekkoon vaikuttavat Maa, jää ja naru. Paino $\overline{G}$ osoittaa keskipisteestä alas, ja jään tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Narun jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa narun suuntaan kohti tappia eli ympyrän keskipistettä. Muita voimia ei ole: keskipakoisvoimaa ei ole, eikä keskeisvoimaa piirretä erikseen, koska tässä se on itse jännitysvoima. Kiekko on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten kokonaisvoima osoittaa keskipisteeseen. Kun $x$ osoittaa kohti keskipistettä ja $y$ ylös: $y$: $N - mg = 0$, joten $N = 0{,}17\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}7\,\text{N}$. $x$: $T = m\dfrac{v^2}{r} = 0{,}17\,\text{kg}\cdot\dfrac{(1{,}5\,\text{m/s})^2}{0{,}50\,\text{m}} \approx 0{,}77\,\text{N}$. Jännitysvoima on vajaa puolet painosta.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Normaalikiihtyvyys
- Ympyrän keskipistettä kohti suuntautuva kiihtyvyys.$$a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-1Ydintehtävä
Auto ajaa moottoritien liittymän kaarteessa tasaisella nopeudella $20\,\text{m/s}$. Kaarteen säde on $80\,\text{m}$. Kuinka suuri on auton normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
ratanopeus $v = 20\,\text{m/s}$, kaarteen säde $r = 80\,\text{m}$
Kysytty
normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Auto ajaa kaarteessa tasaisella vauhdilla, joten se on tasaisessa ympyräliikkeessä. Nopeuden suunta muuttuu, ja kiihtyvyys osoittaa kohti kaarteen keskipistettä. Sen suuruus riippuu vain ratanopeudesta ja säteestä.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja säde metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a_\text{n}$$= \dfrac{(20\,\text{m/s})^2}{80\,\text{m}}$$= \dfrac{400\,\text{m}^2/\text{s}^2}{80\,\text{m}}$$= 5{,}0\,\text{m/s}^2$Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}^2$
Kohti kaarteen keskipistettä, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $20\,\text{m/s}$ ja säteessä $80\,\text{m}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Matkustaja tuntee sen selvänä sivuttaisena painautumisena, mutta kuivalla tiellä pito riittää siihen. Yksikkö $\tfrac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m}} = \text{m/s}^2$ on kiihtyvyyden yksikkö.
- Tehtävä 4-2Ydintehtävä
Juoksija juoksee juoksuradan kaarteessa, jonka säde on $36{,}5\,\text{m}$. Hänen vauhtinsa pysyy kaarteessa samana, $8{,}00\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on juoksijan normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$1{,}75\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
ratanopeus $v = 8{,}00\,\text{m/s}$, kaarteen säde $r = 36{,}5\,\text{m}$
Kysytty
normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Juoksijan vauhti pysyy samana, mutta hänen nopeutensa suunta kääntyy kaarteessa. Hän on siis tasaisessa ympyräliikkeessä, ja kiihtyvyys osoittaa kohti kaarteen keskipistettä.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a_\text{n}$$= \dfrac{(8{,}00\,\text{m/s})^2}{36{,}5\,\text{m}}$$= \dfrac{64{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2}{36{,}5\,\text{m}}$$= 1{,}7534\,\text{m/s}^2$Vastaus
$1{,}75\,\text{m/s}^2$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $8{,}00\,\text{m/s}$ ja säteessä $36{,}5\,\text{m}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on alle viidesosa putoamiskiihtyvyydestä, joten juoksija pystyy tuottamaan sen kenkien ja radan välisellä kitkalla kallistamalla vartaloaan vähän. Pikajuoksijoiden kaarrevauhti on samaa suuruusluokkaa.
- Tehtävä 4-3
Kivi, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$, pyörii narun päässä vaakasuoralla ympyräradalla. Radan säde on $1{,}2\,\text{m}$ ja kiven ratanopeus $4{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka suuri kokonaisvoima kiveen vaikuttaa?
Vastaus
$6{,}7\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}50\,\text{kg}$, $r = 1{,}2\,\text{m}$, $v = 4{,}0\,\text{m/s}$, rata vaakasuora
Kysytty
kiveen vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kivi on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten sen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyys kohti keskipistettä. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on massan ja kiihtyvyyden tulo ja osoittaa samaan suuntaan.
Kaava
$\Sigma F = m a_\text{n}$ ja $a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$, joten $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F$$= 0{,}50\,\text{kg}\cdot\dfrac{(4{,}0\,\text{m/s})^2}{1{,}2\,\text{m}}$$= 0{,}50\,\text{kg}\cdot 13{,}33\,\text{m/s}^2$$= 6{,}667\,\text{N}$Vastaus
$6{,}7\,\text{N}$
Kohti radan keskipistettä, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Kiven paino on noin $4{,}9\,\text{N}$, joten vaakasuora kokonaisvoima on hieman painoa suurempi. Naru myös kannattelee kiveä, joten narun jännitysvoima on vielä suurempi, noin $\sqrt{6{,}7^2 + 4{,}9^2}\,\text{N} \approx 8{,}3\,\text{N}$. Se tuntuu kädessä selvästi mutta on helppo pitää. Yksikkö $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2 = \text{N}$.
- Tehtävä 4-4
Auto ajaa liikenneympyrässä, jonka säde on $25\,\text{m}$. Kiihtyvyysanturi näyttää, että auton normaalikiihtyvyys on $2{,}5\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on auton ratanopeus?
Vastaus
$7{,}9\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
normaalikiihtyvyys $a_\text{n} = 2{,}5\,\text{m/s}^2$, säde $r = 25\,\text{m}$
Kysytty
ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Liikenneympyrässä auto kiertää ympyrää. Jos vauhti on tasainen, liike on tasaista ympyräliikettä, ja normaalikiihtyvyys riippuu ratanopeudesta ja säteestä.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$, joten $v^2 = a_\text{n} r$ ja $v = \sqrt{a_\text{n} r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$v$$= \sqrt{2{,}5\,\text{m/s}^2\cdot 25\,\text{m}}$$= \sqrt{62{,}5\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$= 7{,}906\,\text{m/s}$Vastaus
$7{,}9\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä ja säteessä.
Järkevyys
$7{,}9\,\text{m/s}$ on noin $28\,\text{km/h}$, tavallinen nopeus liikenneympyrässä. Tarkistus: $\tfrac{(7{,}9\,\text{m/s})^2}{25\,\text{m}} \approx 2{,}5\,\text{m/s}^2$.
- Tehtävä 4-5
Pyykinpesukoneen rummun säde on $0{,}25\,\text{m}$. Linkouksen aikana rummun reunalla olevan vaatteen ratanopeus on $15\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on vaatteen normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$900\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
rummun säde $r = 0{,}25\,\text{m}$, vaatteen ratanopeus $v = 15\,\text{m/s}$
Kysytty
normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Linkouksessa rumpu pyörii tasaisesti, joten rummun reunalla oleva vaate on tasaisessa ympyräliikkeessä ja kiihtyy kohti rummun akselia.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a_\text{n}$$= \dfrac{(15\,\text{m/s})^2}{0{,}25\,\text{m}}$$= \dfrac{225\,\text{m}^2/\text{s}^2}{0{,}25\,\text{m}}$$= 900\,\text{m/s}^2$Vastaus
$900\,\text{m/s}^2$
Eli $9{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{m/s}^2$, kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $0{,}25\,\text{m}$ ja nopeudessa $15\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on noin $90$-kertainen putoamiskiihtyvyyteen verrattuna. Rummun seinä työntää vaatetta näin suurella voimalla kohti akselia, mutta vesi pääsee rummun reikien läpi, eikä mikään pidä sitä ympyräradalla. Siksi vesi erottuu vaatteista.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-6Ydintehtävä
Pyöräilijä ajaa alikulkutunnelin notkon pohjan läpi tasaisella nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$. Pyöräilijän ja pyörän yhteinen massa on $80\,\text{kg}$, ja notkon pohjalla tien kaaren säde on $16\,\text{m}$. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on tien tukivoima pyörään notkon pohjalla? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$1{,}1\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
yhteinen massa $m = 80\,\text{kg}$, nopeus $v = 8{,}0\,\text{m/s}$, kaaren säde notkon pohjalla $r = 16\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
tien tukivoima $N$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Notkon pohjalla pyöräilijä ja pyörä ovat hetken ympyräradalla, jonka keskipiste on tien yläpuolella. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa ylös kohti keskipistettä ja on $m\tfrac{v^2}{r}$. Pystysuunnassa niihin vaikuttavat vain paino ja tien tukivoima, joten tukivoiman on oltava painoa suurempi.
Voimakuvio
Pyöräilijä ja pyörä yhtenä kappaleena suorakulmiona tien päällä, $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tien tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, painoa pidempänä. Kiihtyvyys erikseen ohuena oranssina nuolena ylös kohti kaaren keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $N = m\left(g + \dfrac{v^2}{r}\right)$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä; tulos muutetaan lopuksi kilonewtoneiksi, $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.
Sijoitus
$N$$= 80\,\text{kg}\cdot\left(9{,}81\,\text{m/s}^2 + \dfrac{(8{,}0\,\text{m/s})^2}{16\,\text{m}}\right)$$= 80\,\text{kg}\cdot 13{,}81\,\text{m/s}^2$$= 1104{,}8\,\text{N}$$= 1{,}1048\,\text{kN}$Vastaus
$1{,}1\,\text{kN}$
Ylöspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $8{,}0\,\text{m/s}$ ja säteessä $16\,\text{m}$.
Järkevyys
Paino on $80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 785\,\text{N}$, ja tukivoima on siitä noin $1{,}4$-kertainen, koska $\tfrac{v^2}{r} = 4{,}0\,\text{m/s}^2$ on noin $0{,}4$ kertaa $g$. Pyöräilijä tuntee painuvansa satulaa vasten. Nyppylän huipulla samalla nopeudella tukivoima olisi vastaavasti painoa pienempi.
- Tehtävä 4-7Ydintehtävä
Leikkikentän karuselli pyörii tasaisesti niin, että yksi kierros kestää $5{,}0\,\text{s}$. Lapsi istuu karusellin reunalla $3{,}0\,\text{m}$:n päässä keskipisteestä. Kuinka suuri on lapsen normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$4{,}7\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
kierrosaika $T = 5{,}0\,\text{s}$, etäisyys keskipisteestä $r = 3{,}0\,\text{m}$
Kysytty
lapsen normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Karuselli pyörii tasaisesti, joten lapsi on tasaisessa ympyräliikkeessä. Luvun Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus mukaan ratanopeus on kierroksen pituus jaettuna kierrosajalla, ja normaalikiihtyvyys saadaan ratanopeudesta.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2\pi\cdot 3{,}0\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s}}$$= 3{,}770\,\text{m/s}$$a_\text{n}$$= \dfrac{(3{,}770\,\text{m/s})^2}{3{,}0\,\text{m}}$$= 4{,}737\,\text{m/s}^2$Vastaus
$4{,}7\,\text{m/s}^2$
Kohti karusellin keskipistettä, kaksi merkitsevää numeroa kuten kierrosajassa $5{,}0\,\text{s}$ ja säteessä $3{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä, joten lapsen on pidettävä kunnolla kiinni. Lähempänä keskipistettä samalla kierrosajalla sekä ratanopeus että kiihtyvyys olisivat pienempiä.
- Tehtävä 4-8
Auto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, ajaa tasaisella nopeudella $12\,\text{m/s}$ nyppylän yli. Nyppylän huipulla tien kaaren säde on $30\,\text{m}$. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on tien tukivoima autoon huipulla? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$6{,}0\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 1200\,\text{kg}$, $v = 12\,\text{m/s}$, kaaren säde huipulla $r = 30\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
tien tukivoima $N$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Huipulla auto on hetken ympyräradalla, jonka keskipiste on tien alapuolella. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa alas kohti keskipistettä ja on $m\tfrac{v^2}{r}$. Pystysuunnassa autoon vaikuttavat vain paino ja tukivoima, joten paino on tukivoimaa suurempi.
Voimakuvio
Auto suorakulmiona tien päällä, $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tien tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, painoa lyhyempänä. Kiihtyvyys erikseen ohuena oranssina nuolena alas kohti kaaren keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = -m\dfrac{v^2}{r}$, joten $N = m\left(g - \dfrac{v^2}{r}\right)$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä; tulos muutetaan lopuksi kilonewtoneiksi, $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.
Sijoitus
$N$$= 1200\,\text{kg}\cdot\left(9{,}81\,\text{m/s}^2 - \dfrac{(12\,\text{m/s})^2}{30\,\text{m}}\right)$$= 1200\,\text{kg}\cdot 5{,}01\,\text{m/s}^2$$= 6012\,\text{N}$$= 6{,}012\,\text{kN}$Vastaus
$6{,}0\,\text{kN}$
Ylöspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $12\,\text{m/s}$ ja säteessä $30\,\text{m}$.
Järkevyys
Auton paino on $11{,}8\,\text{kN}$, ja tukivoima on siitä vain noin puolet, joten matkustajat tuntevat itsensä kevyiksi. Tukivoima on silti positiivinen, koska $\tfrac{v^2}{r} = 4{,}8\,\text{m/s}^2$ on pienempi kuin $g$: auto ei irtoa tiestä.
- Tehtävä 4-9
Moukarinheittäjä pyörittää $7{,}26\,\text{kg}$:n moukaria ennen heittoa. Oletetaan, että moukari kiertää vaakasuoraa ympyrää, jonka säde on $1{,}8\,\text{m}$, ja yksi kierros kestää $0{,}50\,\text{s}$.
Kuinka suuri kokonaisvoima moukariin vaikuttaa? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$2{,}1\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 7{,}26\,\text{kg}$, säde $r = 1{,}8\,\text{m}$, kierrosaika $T = 0{,}50\,\text{s}$, rata vaakasuora ympyrä
Kysytty
moukariin vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Mallissa moukari on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa kohti ympyrän keskipistettä ja on $m\tfrac{v^2}{r}$. Ratanopeus saadaan kierrosajasta.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä; tulos muutetaan lopuksi kilonewtoneiksi, $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2\pi\cdot 1{,}8\,\text{m}}{0{,}50\,\text{s}}$$= 22{,}62\,\text{m/s}$$\Sigma F$$= 7{,}26\,\text{kg}\cdot\dfrac{(22{,}62\,\text{m/s})^2}{1{,}8\,\text{m}}$$= 2064\,\text{N}$$= 2{,}064\,\text{kN}$Vastaus
$2{,}1\,\text{kN}$
Kohti keskipistettä, kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $1{,}8\,\text{m}$ ja kierrosajassa $0{,}50\,\text{s}$.
Järkevyys
Voima on lähes $30$-kertainen moukarin painoon $71\,\text{N}$ verrattuna, joten heittäjän on nojattava voimakkaasti taaksepäin. Koska voima on näin paljon painoa suurempi, vaijeri on lähes vaakasuorassa, ja vaakasuoran ympyrän malli on kohtuullinen.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 4-10
Jäinen tie kaartaa vaakasuorassa, ja kaarteen säde on $60\,\text{m}$. Renkaiden ja jään välinen lepokitkakerroin on $0{,}10$. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Millä suurimmalla nopeudella auto voi ajaa kaarteen läpi liukumatta? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vastaus
$28\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaarteen säde $r = 60\,\text{m}$, lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}10$, tie vaakasuora; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
suurin nopeus $v$ yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Kaarteessa ainoa vaakasuora voima autoon on tien lepokitka, ja Newtonin toisen lain mukaan sen on oltava $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Lepokitka voi olla enintään $\mu_0 N$. Suurimmalla nopeudella kitka on suurimmillaan.
Voimakuvio
Auto takaa katsottuna suorakulmiona, kaarteen keskipiste oikealla, $x$ kohti keskipistettä ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös yhtä pitkänä ja suurin lepokitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan kulmasta kohti keskipistettä, kymmenesosa painon pituudesta. Kiihtyvyys erikseen kohti keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $\mu_0 N = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $\mu_0 mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $v = \sqrt{\mu_0 g r}$
Muunnokset
Tulos muutetaan lopuksi yksikköön $\text{km/h}$:
$1\,\text{m/s}$$= \dfrac{0{,}001\,\text{km}}{\tfrac{1}{3600}\,\text{h}}$$= 3{,}6\,\text{km/h}$Sijoitus
$v$$= \sqrt{0{,}10\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 60\,\text{m}}$$= \sqrt{58{,}86\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$= 7{,}672\,\text{m/s}$$= 7{,}672\cdot 3{,}6\,\text{km/h}$$= 27{,}62\,\text{km/h}$Vastaus
$28\,\text{km/h}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $60\,\text{m}$ ja kertoimessa $0{,}10$.
Järkevyys
Jäällä kaarteeseen on ajettava hyvin hitaasti, ja kuivalla asfaltilla ($\mu_0 \approx 0{,}8$) sama kaarre onnistuisi $\sqrt{8} \approx 2{,}8$ kertaa suuremmalla nopeudella, noin $78\,\text{km/h}$. Massa supistui, joten raskaskaan auto ei pysy kaarteessa paremmin.
- Tehtävä 4-11
Kiekko, jonka massa on $0{,}40\,\text{kg}$, on sidottu narulla pöytään kiinnitettyyn tappiin, ja se liukuu sileällä pöydällä vaakasuoraa ympyrää, jonka säde on $0{,}80\,\text{m}$. Naru katkeaa, jos sen jännitysvoima ylittää $25\,\text{N}$. Kitka jätetään huomiotta.
Kuinka suuri voi kiekon pyörimistaajuus enintään olla?
Vastaus
$1{,}4\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}40\,\text{kg}$, $r = 0{,}80\,\text{m}$, narun suurin jännitysvoima $T_\text{max} = 25\,\text{N}$, pöytä sileä ja vaakasuora
Kysytty
suurin pyörimistaajuus $f$ yksikössä $\text{Hz}$
Periaate
Kiekko on tasaisessa ympyräliikkeessä. Pöydän tasossa siihen vaikuttaa vain narun jännitysvoima, joten Newtonin toisen lain mukaan se on $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti tappia. Mitä suurempi nopeus, sitä suurempi jännitysvoima, joten suurin sallittu jännitysvoima antaa suurimman nopeuden. Pyörimistaajuus $f$ on kierrosten määrä sekunnissa, joten kiekko kulkee sekunnissa matkan $f \cdot 2\pi r$ eli $v = 2\pi r f$.
Voimakuvio
Kiekko sivulta katsottuna suorakulmiona pöydän päällä, tappi oikealla, $x$ kohti tappia ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, pöydän tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös yhtä pitkänä ja narun jännitysvoima $\overline{T}$ oikeasta sivusta kohti tappia. Kiihtyvyys erikseen kohti tappia.
Kaava
$x$: $T = m\dfrac{v^2}{r}$, missä $T$ on narun jännitysvoima, joten $v = \sqrt{\dfrac{T r}{m}}$; $v = 2\pi r f$, joten $f = \dfrac{v}{2\pi r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita; $1\,\text{Hz} = 1\,\text{1/s}$.
Sijoitus
$v$$= \sqrt{\dfrac{25\,\text{N}\cdot 0{,}80\,\text{m}}{0{,}40\,\text{kg}}}$$= \sqrt{50\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$= 7{,}071\,\text{m/s}$$f$$= \dfrac{7{,}071\,\text{m/s}}{2\pi\cdot 0{,}80\,\text{m}}$$= 1{,}407\,\text{Hz}$Vastaus
$1{,}4\,\text{Hz}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa, säteessä ja narun kestossa.
Järkevyys
Kiekko tekee vähän yli yhden kierroksen sekunnissa, ja kierrosaika on noin $0{,}71\,\text{s}$, mikä on käsin pyöritettynä mahdollista. Jännitysvoima kasvaa nopeuden neliön mukana, joten pieni taajuuden lisäys katkaisisi narun nopeasti.
- Tehtävä 4-12
Tiesuunnittelija mitoittaa vaakasuoran kaarteen nopeudelle $80\,\text{km/h}$. Turvallisuussyistä tien kitkan ei pidä joutua antamaan autoon suurempaa sivuttaista voimaa kuin $0{,}25$ kertaa auton paino, jotta pito riittää myös märällä tiellä. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Kuinka suuri kaarteen säteen on vähintään oltava?
Vastaus
$200\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
mitoitusnopeus $v = 80\,\text{km/h}$, sivuttainen kitka enintään $0{,}25\,mg$, tie vaakasuora; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
pienin kaarteen säde $r$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Kaarteessa ainoa vaakasuora voima autoon on tien kitka, ja Newtonin toisen lain mukaan sen on oltava $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Mitä pienempi säde, sitä suurempi kitka tarvitaan, joten pienin sallittu säde saadaan, kun kitka on suurin sallittu.
Voimakuvio
Auto takaa katsottuna suorakulmiona, kaarteen keskipiste oikealla, $x$ kohti keskipistettä ja $y$ ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös yhtä pitkänä ja kitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan kulmasta kohti keskipistettä, neljäsosa painon pituudesta. Kiihtyvyys erikseen kohti keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $F_\mu = m\dfrac{v^2}{r}$. Ehto $F_\mu \le 0{,}25\,mg$ antaa $m\dfrac{v^2}{r} \le 0{,}25\,mg$, joten $r \ge \dfrac{v^2}{0{,}25\,g}$
Muunnokset
$v$$= 80\,\text{km/h}$$= \dfrac{80\cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 22{,}22\,\text{m/s}$Sijoitus
$r$$= \dfrac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{0{,}25\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2{,}4525\,\text{m/s}^2}$$= 201{,}4\,\text{m}$Vastaus
$200\,\text{m}$
Eli $2{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $80\,\text{km/h}$ ja kertoimessa $0{,}25$.
Järkevyys
Maantien kaarteiden säteet ovat satoja metrejä, joten tulos on uskottava. Säde kasvaa nopeuden neliön mukana: nopeudelle $120\,\text{km/h}$ tarvittaisiin $2{,}25$-kertainen säde, noin $450\,\text{m}$. Massa supistui, joten sama säde riittää kaikille autoille.
Valokuvat
- Apollo 8 prime crew inside centrifuge gondola (S68-53194). NASA. lähde, public domain