Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö
Miksi auto suistuu liukkaassa kaarteessa ulos tieltä?
Pohjatiedot
- Ratanopeus $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ ja se, että nopeuden suunta muuttuu ympyräliikkeessäluku Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus
- Voimakuvion piirtäminen ja liikeyhtälöiden kirjoittaminen: $\Sigma F_x = m a_x$ ja $\Sigma F_y = m a_y$luku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
- Lepokitka on enintään $\mu_0 N$luku Paino, kitka ja kalteva taso
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 4.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Normaalikiihtyvyys
- Tasaisen ympyräliikkeen kiihtyvyys. Se osoittaa kohti radan keskipistettä ja muuttaa nopeuden suuntaa, ei vauhtia.
- Keskeisvoima
- Voimien summa, joka osoittaa kohti ympyräradan keskipistettä. Se ei ole uusi voima, vaan todellisten voimien summa.
- Ympyräliike
- Liike, jonka rata on ympyrä. Tasaisessa ympyräliikkeessä vauhti pysyy samana, mutta suunta muuttuu koko ajan.
Pohdinta
Liukkaana talvipäivänä auto tulee kaarteeseen vähän liian lujaa. Kuljettaja kääntää rattia, mutta auto päätyy lumipenkkaan. Matkustajasta tuntui kaarteessa siltä, että jokin painoi häntä ulospäin ovea vasten.
Mikä voima pitää auton kaarteessa? Onko ulospäin painava voima todellinen?
Valinnainen Kertaa: nopeus ympyräliikkeessä
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: nopeus kaksinkertaistuu
Ennuste 2: kun pito pettää
Valinnainen Ennuste 3: kevyt ja raskas auto
Tutki
Auto kiertää vaakasuoraa ympyrärataa. Vasemmalla on rata ylhäältä. Oikealla ovat auton voimakuvio takaa katsottuna ja tarvittavan kitkan vertailu suurimpaan lepokitkaan.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse ratanopeus $v$ ja radan säde $r$ liukusäätimillä. Valitse myös auton Massa ja tien Pinta. Paina Käynnistä, niin auto lähtee kiertämään rataa. Jos tarvittava kitka on suurempi kuin suurin lepokitka, auto alkaa liukua. Alusta palauttaa auton radalle. Lukemat päivittyvät heti, myös auton ollessa pysähdyksissä. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa animaatiota, mutta lukemat eivät muutu.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Tie on vaakasuora. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta. Renkaiden voimat lasketaan yhteen yhdeksi tukivoimaksi ja yhdeksi kitkavoimaksi. Lepokitkakertoimet ovat mallin arvoja: kuiva asfaltti $\mu_0 = 0{,}80$, märkä asfaltti $0{,}50$ ja jää $0{,}10$. Kun pito pettää, tie antaa mallissa edelleen suurimman kitkansa $\mu_0 mg$ kohtisuoraan auton nopeutta vastaan. Siksi auto kaartaa loivemmin kuin rata. Auto ja nuolet on piirretty selvyyden vuoksi suuremmiksi kuin mittakaavassa. Rata on aina samankokoinen kuvassa.
Laskennan selitys
Normaalikiihtyvyys on $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$. Auto pysyy radalla, jos tien kitka antaa kokonaisvoiman $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Pystysuunnassa $N = mg$, ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Suurin lepokitka on $\mu_0 N = \mu_0 mg$. Jos $m\tfrac{v^2}{r} \le \mu_0 mg$, kitka on $F_\mu = m\tfrac{v^2}{r}$. Muuten $F_\mu = \mu_0 mg$, ja auto liukuu radalta.
Koe 1: nopeus kasvaa
Testaa ennusteet 1 ja 2. Alkutilassa säde on $50\,\text{m}$, massa $1500\,\text{kg}$ ja tie on kuivaa asfalttia. Muuta vain ratanopeutta $v$. Kirjaa mittaus nopeuksilla $5$, $10$, $15$ ja $20\,\text{m/s}$. Aseta lopuksi nopeudeksi $25\,\text{m/s}$ ja sitten $30\,\text{m/s}$. Paina kummallakin Käynnistä ja vertaa, miten auto liikkuu.
Alkutila: säde $r$ = $50\,\text{m}$, massa $m$ = $1500\,\text{kg}$, pinta: kuiva asfaltti, ratanopeus $v$ = $10\,\text{m/s}$. Vakiona: säde $r$, massa $m$, pinta. Muutetaan: ratanopeus $v$.
| ratanopeus $v$ | $a_\text{n}$ $(\text{m/s}^2)$ | tarvittava kitka $(\text{N})$ | suurin lepokitka $(\text{N})$ | pito (1 = riittää) |
|---|
Taulukon mukaan pito riittää nopeudella $15\,\text{m/s}$ mutta ei nopeudella $20\,\text{m/s}$. Laske suurin ratanopeus, jolla auto vielä pysyy radalla kuivalla asfaltilla.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Rajanopeudella tarvittava kitka on juuri yhtä suuri kuin suurin lepokitka. Mitkä voimat vaikuttavat autoon vaakasuunnassa ja pystysuunnassa?
Vihje 2: mikä yhteys
Pystysuunnassa $N = mg$. Vaakasuunnassa $\mu_0 mg = m\dfrac{v^2}{r}$.
Vihje 3: välivaihe
Massa supistuu: $v = \sqrt{\mu_0 g r}$, missä $\mu_0 = 0{,}80$ ja $r = 50\,\text{m}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
säde $r = 50\,\text{m}$, massa $m = 1500\,\text{kg}$, kuivan asfaltin lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}80$ (mallin arvo); $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
suurin ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Auto on tasaisessa ympyräliikkeessä. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on siis $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Ainoa vaakasuora voima on tien lepokitka, ja se on enintään $\mu_0 N$. Rajanopeudella kitka on suurimmillaan.
Voimakuvio
Auto piirretään takaa katsottuna suorakulmioksi. Kaarteen keskipiste on oikealla, $x$-akseli osoittaa kohti keskipistettä ja $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Se on yhtä pitkä kuin paino. Suurin lepokitka $\overline{F}_\mu$ alkaa alapinnan kulmasta ja osoittaa kohti keskipistettä. Kiihtyvyys piirretään erikseen kohti keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $\mu_0 N = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $\mu_0 mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $v = \sqrt{\mu_0 g r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu.
Sijoitus
Vastaus
$19{,}8\,\text{m/s}$
Eli noin $71\,\text{km/h}$. Kolmas numero on mukana, koska raja on juuri alle $20\,\text{m/s}$. Taulukon nopeus $20\,\text{m/s}$ ylittää rajan.
Järkevyys
Tulos sopii taulukkoon: nopeudella $15\,\text{m/s}$ pito riittää, mutta nopeudella $20\,\text{m/s}$ ei. Tarkistus: nopeudella $19{,}8\,\text{m/s}$ tarvittava kitka on
Se on sama kuin suurin lepokitka.
Valinnainen Koe 2: massa muuttuu
Testaa ennuste 3. Alkutilassa säde on $50\,\text{m}$, tie on kuivaa asfalttia ja nopeus on $19\,\text{m/s}$, joka on lähellä rajaa. Muuta vain massaa. Kirjaa mittaus kaikilla kolmella massalla.
Alkutila: säde $r$ = $50\,\text{m}$, pinta: kuiva asfaltti, ratanopeus $v$ = $19\,\text{m/s}$, massa $m$ = $1000\,\text{kg}$. Vakiona: säde $r$, pinta, ratanopeus $v$. Muutetaan: massa $m$.
| massa $m$ | tarvittava kitka $(\text{N})$ | suurin lepokitka $(\text{N})$ | pito (1 = riittää) |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, miten tarvittava kitka riippuu nopeudesta. Selitä myös, miksi auto ajautuu radan ulkoreunan yli, kun pito pettää.
Mallivastaus
Taulukossa tarvittava kitka kasvaa nopeuden neliön mukana. Nopeudella $10\,\text{m/s}$ se on $3{,}0\,\text{kN}$ ja nopeudella $20\,\text{m/s}$ se on $12\,\text{kN}$. Kaksinkertainen nopeus vaatii siis nelinkertaisen kitkan. Kuivan asfaltin suurin lepokitka on mallin arvoissa $11{,}8\,\text{kN}$. Nopeudella $15\,\text{m/s}$ tarvitaan $6{,}75\,\text{kN}$, ja pito riittää. Nopeudella $20\,\text{m/s}$ tarvittava kitka on suurempi kuin tie voi antaa. Kitka osoittaa kohti keskipistettä ja kääntää autoa. Kun kitka ei riitä, auto kaartaa loivemmin kuin rata. Se kulkee sitä suoremmin, mitä suurempi nopeus on, ja ajautuu radan ulkoreunan yli. Ulospäin työntävää voimaa ei tarvita selittämään liikettä.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Nopeuden suunta muuttuu, joten kappale kiihtyy
Luvussa Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus opit, että tasaisessa ympyräliikkeessä kappale kiertää ympyrärataa vakiovauhdilla. Nopeuden suuruus eli ratanopeus $v$ pysyy samana. Nopeuden suunta kuitenkin muuttuu koko ajan, sillä nopeus $\overline{v}$ osoittaa aina radan tangentin suuntaan. Tangentti on suora, joka koskettaa rataa yhdessä pisteessä. Nopeus on vektori, eli sillä on suuruus ja suunta. Siksi myös suunnan muutos on nopeuden muutos. Kun nopeus muuttuu, kappale kiihtyy. Tasaisessa ympyräliikkeessä kappale siis kiihtyy, vaikka sen vauhti ei muutu.
Kuvassa kappaleen nopeus on ensin $\overline{v}_1$ ja hetken kuluttua $\overline{v}_2$. Kun nuolet piirretään samasta pisteestä, niiden kärkien välinen nuoli on nopeuden muutos $\Delta\overline{v}$. Se osoittaa kohti radan keskipistettä. Kiihtyvyys kertoo, kuinka nopeasti nopeus muuttuu. Siksi myös kiihtyvyys osoittaa kohti keskipistettä.
Normaalikiihtyvyys osoittaa keskipisteeseen
Tasaisessa ympyräliikkeessä kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeutta vastaan. Se osoittaa radan joka kohdassa kohti ympyrän keskipistettä. Tätä kiihtyvyyttä kutsutaan normaalikiihtyvyydeksi $\overline{a}_\text{n}$ tai keskeiskiihtyvyydeksi. Nimi tulee siitä, että kiihtyvyys on radan normaalin suuntainen. Normaali on suora, joka on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Kiihtyvyydellä ei ole nopeuden suuntaista osaa, joten vauhti ei kasva eikä pienene. Kiihtyvyys muuttaa vain nopeuden suuntaa.
Kokonaisvoima osoittaa keskipisteeseen
Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima $\Sigma\overline{F}$ on samansuuntainen kuin kiihtyvyys. Kokonaisvoima on kaikkien kappaleeseen vaikuttavien voimien summa. Tasaisessa ympyräliikkeessä tämä summa osoittaa siis kohti radan keskipistettä. Keskipisteeseen osoittavaa kokonaisvoimaa kutsutaan keskeisvoimaksi. Ilman sitä kappale jatkaisi Newtonin ensimmäisen lain mukaan suoraan, radan tangentin suuntaan.
Keskeisvoima ei ole uusi voiman laji. Sitä ei piirretä voimakuvioon omana nuolenaan. Se on todellisten voimien summa, ja tilanne kertoo, mitkä voimat sen muodostavat. Oletetaan, että auto ajaa kaarteessa vaakasuoralla tiellä ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Silloin autoon vaikuttaa vaakasuunnassa vain tien kitka renkaisiin. Kitka osoittaa siis kohti kaarteen keskipistettä. Narun päässä pyörivässä kivessä keskeisvoiman tuottaa narun jännitysvoima. Karusellissa istujaan sen tuottavat istuimen ja tuen voimat.
Voimakuviossa auto on piirretty takaa katsottuna, joten kaarteen keskipiste on vasemmalla. Pystysuunnassa auto ei kiihdy. Siksi tukivoima $\overline{N}$ ja paino $\overline{G}$ kumoavat toisensa. Kitkavoima $\overline{F}_\mu$ jää kokonaisvoimaksi. Jos tie on liukas, lepokitka ei riitä tähän. Silloin auto kääntyy vähemmän kuin tie kaartaa ja ajautuu kaarteen ulkoreunalle. Mikään ei silti työnnä autoa ulospäin.
Normaalikiihtyvyys
Kun kappale liikkuu tasaisessa ympyräliikkeessä, sen normaalikiihtyvyyden suuruus on
$$a_\text{n} = \frac{v^2}{r}$$
missä $a_\text{n}$ on normaalikiihtyvyys ($\text{m/s}^2$), $v$ ratanopeus ($\text{m/s}$) ja $r$ radan säde ($\text{m}$). Kiihtyvyys kasvaa nopeuden neliön mukana. Kun nopeus kaksinkertaistuu, kiihtyvyys nelinkertaistuu. Samalla nopeudella tiukka kaarre eli pieni säde antaa suuren kiihtyvyyden. Jos tunnetaan kierrosaika $T$, ratanopeus lasketaan ensin kaavalla $v = \tfrac{2\pi r}{T}$.
Miksi juuri nopeuden neliö? Nopeus vaikuttaa kahdesti. Kun nopeus on suurempi, nopeusnuoli on pidempi. Silloin sama suunnan kääntyminen tarkoittaa suurempaa nopeuden muutosta $\Delta\overline{v}$. Lisäksi kappale kiertää kaaren nopeammin. Nopeus kääntyy siis saman kulman lyhyemmässä ajassa. Molemmat tekijät kasvavat nopeuden mukana, joten kiihtyvyys kasvaa nopeuden neliön mukana. Kun nopeus on sama mutta säde pienempi, nopeuden suunta kääntyy nopeammin. Silloin kiihtyvyys on suurempi.
Kuvaajassa säteellä $50\,\text{m}$ normaalikiihtyvyys on nopeudella $10\,\text{m/s}$ vain $2{,}0\,\text{m/s}^2$. Nopeudella $20\,\text{m/s}$ se on jo $8{,}0\,\text{m/s}^2$. Kun säde on kaksinkertainen, $100\,\text{m}$, kiihtyvyys on samalla nopeudella puolet pienempi, $4{,}0\,\text{m/s}^2$.
Newtonin toinen laki ympyräliikkeessä
Newtonin toisen lain mukaan kappaleeseen vaikuttavien voimien summan suuruus on tasaisessa ympyräliikkeessä
$$\Sigma F = m\,\frac{v^2}{r}$$
missä $\Sigma F$ on keskipisteeseen osoittava kokonaisvoima ($\text{N}$) ja $m$ kappaleen massa ($\text{kg}$). Lasku tehdään kuten luvussa Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus. Piirrä ensin voimakuvio ja valitse yksi akseli osoittamaan kohti radan keskipistettä. Silloin keskipisteeseen osoittavat voimat ovat positiivisia ja poispäin osoittavat negatiivisia. Niiden summa on $m\tfrac{v^2}{r}$. Kohtisuoraan ratatasoa vastaan kappale ei kiihdy, joten siinä suunnassa voimien summa on nolla.
Nyppylä ja notko
Kun auto ajaa tasaisella vauhdilla nyppylän huipun yli, se on hetken ympyräradalla. Radan keskipiste on tien alapuolella. Kiihtyvyys osoittaa silloin alas, joten paino on suurempi kuin tien tukivoima: $G - N = m\tfrac{v^2}{r}$. Tukivoima on painoa pienempi, ja matkustaja tuntee itsensä kevyeksi. Mitä suurempi nopeus, sitä pienempi tukivoima. Jos $\tfrac{v^2}{r}$ kasvaa yhtä suureksi kuin $g$, tukivoima on nolla. Jos se kasvaa suuremmaksi kuin $g$, auto irtoaa hetkeksi tiestä.
Notkon pohjalla keskipiste on tien yläpuolella, ja kiihtyvyys osoittaa ylös. Silloin tukivoiman on oltava painoa suurempi: $N - G = m\tfrac{v^2}{r}$. Siksi vuoristoradan notkossa matkustaja painuu istuinta vasten ja tuntee itsensä raskaaksi. Kummassakin tapauksessa paino on sama $mg$. Vain tukivoima muuttuu niin, että kokonaisvoima osoittaa kohti kaaren keskipistettä.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että ympyräliikkeessä kappaleeseen vaikuttaa ulospäin keskipakoisvoima. Sen luullaan pitävän kappaleen radalla tai heittävän sen ulos kaarteesta. Sellaista voimaa ei ole. Mikään kappale ei vedä tai työnnä autoa tai matkustajaa ulospäin. Kun auto kääntyy, matkustajan keho pyrkii jatkamaan suoraan. Ovi painuu häntä vasten ja työntää häntä sisäänpäin, kohti kaarteen keskipistettä. Tämä tuntuu painautumisena ulospäin. Kun pito pettää, auto ei lennä säteen suuntaan ulos. Se jatkaa suoremmin kuin tie kaartaa. Toinen virhe on piirtää keskeisvoima voimakuvioon omaksi nuolekseen. Keskeisvoima on todellisten voimien, kuten kitkan tai jännitysvoiman, summa.
Tiivistelmä
- Tasaisessa ympyräliikkeessä ratanopeus on vakio, mutta nopeuden suunta muuttuu. Siksi kappale kiihtyy.
- Normaalikiihtyvyys eli keskeiskiihtyvyys osoittaa kohti radan keskipistettä. Sen suuruus on $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$.
- Kappaleeseen vaikuttavien voimien summa eli keskeisvoima osoittaa kohti keskipistettä: $\Sigma F = m\tfrac{v^2}{r}$. Se on todellisten voimien summa, ei oma voimansa.
- Kaarteessa keskeisvoiman antaa tien kitka ja narussa jännitysvoima. Nyppylän huipulla tukivoima on painoa pienempi, notkon pohjalla suurempi.
- Keskipakoisvoimaa ei ole. Kun keskipisteeseen osoittava voima ei riitä, kappale jatkaa suoremmin kuin rata kaartaa.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin ja teoriaan. Palaa myös alun matkustajaan. Mikä voima häneen kaarteessa todella vaikutti, ja mihin suuntaan se osoitti?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Henkilöauto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, ajaa vaakasuoran tien kaarteessa tasaisella nopeudella $54\,\text{km/h}$. Kaarteen säde on $45\,\text{m}$. Kuinka suuri kitkavoima tien on kohdistettava autoon? Kuinka suuri renkaiden ja tien välisen lepokitkakertoimen on vähintään oltava? Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta. Renkaiden voimat lasketaan yhteen.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $m = 1200\,\text{kg}$, $v = 54\,\text{km/h}$, $r = 45\,\text{m}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kysytään tien kitkavoimaa $F_\mu$ ja pienintä lepokitkakerrointa $\mu_0$.
Vaihe 2/7
Periaate. Valitaan kappaleeksi auto. Siihen vaikuttavat Maa (paino $\overline{G}$) ja tie (tukivoima $\overline{N}$ ja kitka $\overline{F}_\mu$). Auto on tasaisessa ympyräliikkeessä. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa siis kohti kaarteen keskipistettä, ja sen suuruus on $m\tfrac{v^2}{r}$. Ainoa vaakasuora voima on kitka, joten se osoittaa kohti keskipistettä. Renkaat eivät liu'u sivuttain, joten kitka on lepokitkaa. Lepokitka on enintään $\mu_0 N$. Voimakuviossa auto on takaa katsottuna ja kaarteen keskipiste on oikealla. $x$-akseli osoittaa kohti keskipistettä ja $y$-akseli ylös.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Kuviosta luetaan liikeyhtälöt, ja kysytyt suureet ratkaistaan:
$$\begin{aligned} &x\text{:}\ \ F_\mu = m\frac{v^2}{r} \\ &y\text{:}\ \ N - mg = 0 \\ &F_\mu \le \mu_0 N = \mu_0 mg \\ &\mu_0 \ge \frac{v^2}{gr} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Nopeus muutetaan yksikköön $\text{m/s}$:
Vaihe 5/7
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} F_\mu &= m\frac{v^2}{r} \\ \phantom{F_\mu} &= 1200\,\text{kg}\cdot\frac{(15\,\text{m/s})^2}{45\,\text{m}} \\ \phantom{F_\mu} &= 6000\,\text{N} \\[4pt] \mu_0 &\ge \frac{v^2}{gr} \\ \phantom{\mu_0} &= \frac{(15\,\text{m/s})^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 45\,\text{m}} \\ \phantom{\mu_0} &\approx 0{,}510 \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Tien kitkavoima on $F_\mu \approx 6{,}0\,\text{kN}$ kohti kaarteen keskipistettä. Lepokitkakertoimen on oltava vähintään $0{,}51$. Tuloksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $54\,\text{km/h}$ ja säteessä $45\,\text{m}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Normaalikiihtyvyys on
Se on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä, joten kitkan on oltava noin puolet painosta $11{,}8\,\text{kN}$. Kuivalla asfaltilla lepokitkakerroin on noin $0{,}8$, joten auto pysyy kaarteessa. Märällä asfaltilla kerroin voi olla noin $0{,}5$. Silloin pito on rajoilla. Jäällä pito pettäisi. Massa supistuu, joten kertoimen vaatimus on sama kevyelle ja raskaalle autolle.
Etsi virhe
Valitse oikea voimakuvio
Sovella uuteen tilanteeseen
Vuoristoradan vaunu kulkee tasaisella vauhdilla notkon pohjan läpi. Pohjalla radan kaaren säde on $12{,}0\,\text{m}$. Istuin painaa matkustajaa pohjalla kolme kertaa niin suurella voimalla kuin on hänen painonsa.
Kuinka suuri on vaunun nopeus notkon pohjalla?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä matkustajan voimakuvio. Mitkä voimat häneen vaikuttavat pystysuunnassa? Mihin suuntaan hän kiihtyy notkon pohjalla?
Vihje 2: mikä yhteys
Istuimen tukivoima on $N = 3mg$. Valitse $y$ ylös kohti kaaren keskipistettä: $N - mg = m\dfrac{v^2}{r}$.
Vihje 3: välivaihe
$3mg - mg = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $v^2 = 2gr$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kaaren säde $r = 12{,}0\,\text{m}$, istuimen tukivoima $N = 3G = 3mg$, vauhti tasainen; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
vaunun nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Notkon pohjalla matkustaja on hetken ympyräradalla, jonka keskipiste on yläpuolella. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa ylös kohti keskipistettä, ja sen suuruus on $m\tfrac{v^2}{r}$. Pystysuunnassa matkustajaan vaikuttavat paino ja istuimen tukivoima.
Voimakuvio
Matkustaja piirretään suorakulmioksi istuimelle, ja $y$-akseli osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Istuimen tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Se on kolme kertaa painon pituinen. Kiihtyvyys piirretään erikseen ohuena oranssina nuolena ylös kohti kaaren keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $N = 3mg$, joten $2mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $v = \sqrt{2gr}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu.
Sijoitus
Vastaus
$15{,}3\,\text{m/s}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten säteessä $12{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
$15{,}3\,\text{m/s}$ on noin $55\,\text{km/h}$, tavallinen vuoristoradan nopeus. Normaalikiihtyvyys on
Lisäksi istuimen on annettava painon verran voimaa. Yhteensä istuin antaa $3mg$, kuten tehtävässä.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Auto kääntyy jyrkästi vasemmalle, ja matkustaja tuntee painautuvansa oikealla olevaa ovea vasten. Mikä voima matkustajaan todella vaikuttaa vaakasuunnassa? Mihin suuntaan se osoittaa?
Vastaus
Ovi (ja istuin) työntää matkustajaa vasemmalle, kohti kaarteen keskipistettä. Matkustajan keho pyrkii jatkamaan suoraan, joten ovi tulee häntä vasten ja antaa hänelle keskeisvoiman. Ulospäin työntävää keskipakoisvoimaa ei ole. Tunne syntyy siitä, että keho jatkaisi suoraan, jos ovi ei kääntäisi sitä.
- Auto ajaa saman kaarteen ensin nopeudella $40\,\text{km/h}$ ja sitten nopeudella $120\,\text{km/h}$. Kuinka moninkertainen normaalikiihtyvyys on jälkimmäisellä kerralla?
Vastaus
Nopeus kolminkertaistuu. Kaavassa $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$ kiihtyvyys kasvaa nopeuden neliön mukana, joten kiihtyvyys on $3^2 = 9$-kertainen. Samalla tien kitkan on oltava yhdeksänkertainen. Siksi suuri nopeus vie auton helposti ulos kaarteesta.
- Miksi matkustaja tuntee itsensä kevyeksi, kun auto ajaa nopeasti nyppylän eli pienen mäen huipun yli?
Vastaus
Huipulla auto ja matkustaja kiihtyvät alas kohti kaaren keskipistettä. Istuimen tukivoiman on siis oltava painoa pienempi: $N = m\left(g - \tfrac{v^2}{r}\right)$. Paino ei muutu, mutta istuin painaa matkustajaa vähemmän. Se tuntuu keveytenä.
1. Käsite
2. Laskeminen
Lapsi, jonka massa on $30\,\text{kg}$, istuu karusellissa $2{,}0\,\text{m}$:n päässä keskipisteestä. Karuselli tekee yhden kierroksen $4{,}0\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on lapseen vaikuttavien voimien summa?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin lapsen ratanopeus kierrosajasta.
Vihje 2: mikä yhteys
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 30\,\text{kg}$, $r = 2{,}0\,\text{m}$, kierrosaika $T = 4{,}0\,\text{s}$
Kysytty
voimien summa $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Karuselli pyörii tasaisesti, joten lapsi on tasaisessa ympyräliikkeessä. Ratanopeus lasketaan kierrosajasta. Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$150\,\text{N}$
Eli $1{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{N}$ kohti keskipistettä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten säteessä $2{,}0\,\text{m}$ ja kierrosajassa $4{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Voima on noin puolet lapsen painosta $294\,\text{N}$, koska normaalikiihtyvyys $4{,}9\,\text{m/s}^2$ on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä. Istuin ja tuki pystyvät antamaan tämän voiman, mutta lapsen on pidettävä kiinni.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Piirrä itse
Jääkiekko, jonka massa on $0{,}17\,\text{kg}$, on sidottu narulla jäähän kiinnitettyyn tappiin. Kiekko liukuu jäällä vaakasuoraa ympyrää, jonka säde on $0{,}50\,\text{m}$. Sen nopeus on tasainen $1{,}5\,\text{m/s}$. Kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Piirrä paperille kiekon voimakuvio sivulta katsottuna. Piirrä kiekko suorakulmioksi ja jokainen voima omasta vaikutuskohdastaan. Kirjoita liikeyhtälöt ja laske narun jännitysvoima.
Mallikuvio
Kiekkoon vaikuttavat Maa, jää ja naru. Paino $\overline{G}$ osoittaa keskipisteestä alas, ja jään tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös. Narun jännitysvoima $\overline{T}$ osoittaa narun suuntaan kohti tappia eli ympyrän keskipistettä. Muita voimia ei ole. Keskipakoisvoimaa ei ole, eikä keskeisvoimaa piirretä erikseen, koska tässä se on itse jännitysvoima. Kiekko on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten kokonaisvoima osoittaa keskipisteeseen. Kun $x$ osoittaa kohti keskipistettä ja $y$ ylös, saadaan $y$: $N - mg = 0$, joten $N = 0{,}17\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1{,}7\,\text{N}$. Suunnassa $x$ saadaan $T = m\dfrac{v^2}{r} = 0{,}17\,\text{kg}\cdot\dfrac{(1{,}5\,\text{m/s})^2}{0{,}50\,\text{m}} \approx 0{,}77\,\text{N}$. Jännitysvoima on vajaa puolet painosta.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Normaalikiihtyvyys
- Ympyrän keskipistettä kohti suuntautuva kiihtyvyys.$$a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-1Ydintehtävä
Auto ajaa moottoritien liittymän kaarteessa tasaisella nopeudella $20\,\text{m/s}$. Kaarteen säde on $80\,\text{m}$. Kuinka suuri on auton normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
ratanopeus $v = 20\,\text{m/s}$, kaarteen säde $r = 80\,\text{m}$
Kysytty
normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Auto ajaa kaarteessa tasaisella vauhdilla, joten se on tasaisessa ympyräliikkeessä. Nopeuden suunta muuttuu. Kiihtyvyys osoittaa kohti kaarteen keskipistettä. Sen suuruus riippuu vain ratanopeudesta ja säteestä.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja säde metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a_\text{n}$$= \dfrac{(20\,\text{m/s})^2}{80\,\text{m}}$$= \dfrac{400\,\text{m}^2/\text{s}^2}{80\,\text{m}}$$= 5{,}0\,\text{m/s}^2$Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}^2$
Kohti kaarteen keskipistettä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $20\,\text{m/s}$ ja säteessä $80\,\text{m}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Matkustaja tuntee sen selvänä painautumisena sivulle. Kuivalla tiellä pito riittää tähän. Yksikkö $\tfrac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m}} = \text{m/s}^2$ on kiihtyvyyden yksikkö.
- Tehtävä 4-2Ydintehtävä
Juoksija juoksee juoksuradan kaarteessa. Kaarteen säde on $36{,}5\,\text{m}$, ja juoksijan vauhti pysyy samana, $8{,}00\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on juoksijan normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$1{,}75\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
ratanopeus $v = 8{,}00\,\text{m/s}$, kaarteen säde $r = 36{,}5\,\text{m}$
Kysytty
normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Juoksijan vauhti pysyy samana, mutta nopeuden suunta kääntyy kaarteessa. Juoksija on siis tasaisessa ympyräliikkeessä. Kiihtyvyys osoittaa kohti kaarteen keskipistettä.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a_\text{n}$$= \dfrac{(8{,}00\,\text{m/s})^2}{36{,}5\,\text{m}}$$= \dfrac{64{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2}{36{,}5\,\text{m}}$$= 1{,}7534\,\text{m/s}^2$Vastaus
$1{,}75\,\text{m/s}^2$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $8{,}00\,\text{m/s}$ ja säteessä $36{,}5\,\text{m}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on alle viidesosa putoamiskiihtyvyydestä. Juoksija pystyy tuottamaan sen kenkien ja radan välisellä kitkalla, kun hän kallistaa vartaloaan vähän. Pikajuoksijoiden kaarrevauhti on samaa suuruusluokkaa.
- Tehtävä 4-3
Kiven massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Kivi pyörii narun päässä vaakasuoralla ympyräradalla. Radan säde on $1{,}2\,\text{m}$ ja kiven ratanopeus $4{,}0\,\text{m/s}$. Kuinka suuri kokonaisvoima eli voimien summa kiveen vaikuttaa?
Vastaus
$6{,}7\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}50\,\text{kg}$, $r = 1{,}2\,\text{m}$, $v = 4{,}0\,\text{m/s}$, rata vaakasuora
Kysytty
kiveen vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Kivi on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten sen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyys kohti keskipistettä. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on massan ja kiihtyvyyden tulo. Se osoittaa samaan suuntaan kuin kiihtyvyys.
Kaava
$\Sigma F = m a_\text{n}$ ja $a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$, joten $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F$$= 0{,}50\,\text{kg}\cdot\dfrac{(4{,}0\,\text{m/s})^2}{1{,}2\,\text{m}}$$= 0{,}50\,\text{kg}\cdot 13{,}33\,\text{m/s}^2$$= 6{,}667\,\text{N}$Vastaus
$6{,}7\,\text{N}$
Kohti radan keskipistettä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Kiven paino on noin $4{,}9\,\text{N}$. Vaakasuora kokonaisvoima on siis hieman painoa suurempi. Naru myös kannattelee kiveä, joten narun jännitysvoima on vielä suurempi, noin $\sqrt{6{,}7^2 + 4{,}9^2}\,\text{N} \approx 8{,}3\,\text{N}$. Se tuntuu kädessä selvästi mutta on helppo pitää. Yksikkö $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2 = \text{N}$.
- Tehtävä 4-4
Auto ajaa liikenneympyrässä, jonka säde on $25\,\text{m}$. Kiihtyvyysanturin mukaan auton normaalikiihtyvyys on $2{,}5\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri on auton ratanopeus?
Vastaus
$7{,}9\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
normaalikiihtyvyys $a_\text{n} = 2{,}5\,\text{m/s}^2$, säde $r = 25\,\text{m}$
Kysytty
ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Liikenneympyrässä auto kiertää ympyrää. Jos vauhti on tasainen, liike on tasaista ympyräliikettä. Silloin normaalikiihtyvyys riippuu ratanopeudesta ja säteestä.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$, joten $v^2 = a_\text{n} r$ ja $v = \sqrt{a_\text{n} r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$v$$= \sqrt{2{,}5\,\text{m/s}^2\cdot 25\,\text{m}}$$= \sqrt{62{,}5\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$= 7{,}906\,\text{m/s}$Vastaus
$7{,}9\,\text{m/s}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten kiihtyvyydessä ja säteessä.
Järkevyys
$7{,}9\,\text{m/s}$ on noin $28\,\text{km/h}$. Se on tavallinen nopeus liikenneympyrässä. Tarkistus: $\tfrac{(7{,}9\,\text{m/s})^2}{25\,\text{m}} \approx 2{,}5\,\text{m/s}^2$.
- Tehtävä 4-5
Pyykinpesukoneen rummun säde on $0{,}25\,\text{m}$. Linkouksen aikana vaate on rummun reunalla, ja sen ratanopeus on $15\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on vaatteen normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$900\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
rummun säde $r = 0{,}25\,\text{m}$, vaatteen ratanopeus $v = 15\,\text{m/s}$
Kysytty
normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Linkouksessa rumpu pyörii tasaisesti. Rummun reunalla oleva vaate on siis tasaisessa ympyräliikkeessä ja kiihtyy kohti rummun akselia.
Kaava
$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$a_\text{n}$$= \dfrac{(15\,\text{m/s})^2}{0{,}25\,\text{m}}$$= \dfrac{225\,\text{m}^2/\text{s}^2}{0{,}25\,\text{m}}$$= 900\,\text{m/s}^2$Vastaus
$900\,\text{m/s}^2$
Eli $9{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{m/s}^2$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten säteessä $0{,}25\,\text{m}$ ja nopeudessa $15\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on noin $90$-kertainen putoamiskiihtyvyyteen verrattuna. Rummun seinä työntää vaatetta näin suurella voimalla kohti akselia. Vesi pääsee rummun reikien läpi, eikä mikään pidä sitä ympyräradalla. Siksi vesi erottuu vaatteista.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-6Ydintehtävä
Pyöräilijä ajaa alikulkutunnelin notkon pohjan läpi tasaisella nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$. Pyöräilijän ja pyörän yhteinen massa on $80\,\text{kg}$. Notkon pohjalla tien kaaren säde on $16\,\text{m}$. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on tien tukivoima pyörään notkon pohjalla? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$1{,}1\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
yhteinen massa $m = 80\,\text{kg}$, nopeus $v = 8{,}0\,\text{m/s}$, kaaren säde notkon pohjalla $r = 16\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
tien tukivoima $N$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Notkon pohjalla pyöräilijä ja pyörä ovat hetken ympyräradalla. Radan keskipiste on tien yläpuolella. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa ylös kohti keskipistettä, ja sen suuruus on $m\tfrac{v^2}{r}$. Pystysuunnassa vaikuttavat vain paino ja tien tukivoima. Tukivoiman on siis oltava painoa suurempi.
Voimakuvio
Pyöräilijä ja pyörä ovat yksi kappale, joka piirretään suorakulmioksi tien päälle. $y$-akseli osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tien tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Se on painoa pidempi. Kiihtyvyys piirretään erikseen ohuena oranssina nuolena ylös, kohti kaaren keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $N = m\left(g + \dfrac{v^2}{r}\right)$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä. Tulos muutetaan lopuksi kilonewtoneiksi, $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.
Sijoitus
$N$$= 80\,\text{kg}\cdot\left(9{,}81\,\text{m/s}^2 + \dfrac{(8{,}0\,\text{m/s})^2}{16\,\text{m}}\right)$$= 80\,\text{kg}\cdot 13{,}81\,\text{m/s}^2$$= 1104{,}8\,\text{N}$$= 1{,}1048\,\text{kN}$Vastaus
$1{,}1\,\text{kN}$
Ylöspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $8{,}0\,\text{m/s}$ ja säteessä $16\,\text{m}$.
Järkevyys
Paino on $80\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 785\,\text{N}$. Tukivoima on siitä noin $1{,}4$-kertainen, koska $\tfrac{v^2}{r} = 4{,}0\,\text{m/s}^2$ on noin $0{,}4$ kertaa $g$. Pyöräilijä tuntee painuvansa satulaa vasten. Nyppylän huipulla samalla nopeudella tukivoima olisi vastaavasti painoa pienempi.
- Tehtävä 4-7Ydintehtävä
Leikkikentän karuselli pyörii tasaisesti niin, että yksi kierros kestää $5{,}0\,\text{s}$. Lapsi istuu karusellin reunalla $3{,}0\,\text{m}$:n päässä keskipisteestä. Kuinka suuri on lapsen normaalikiihtyvyys?
Vastaus
$4{,}7\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
kierrosaika $T = 5{,}0\,\text{s}$, etäisyys keskipisteestä $r = 3{,}0\,\text{m}$
Kysytty
lapsen normaalikiihtyvyys $a_\text{n}$ yksikössä $\text{m/s}^2$
Periaate
Karuselli pyörii tasaisesti, joten lapsi on tasaisessa ympyräliikkeessä. Luvun Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus mukaan ratanopeus on kierroksen pituus jaettuna kierrosajalla. Normaalikiihtyvyys lasketaan sitten ratanopeudesta.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2\pi\cdot 3{,}0\,\text{m}}{5{,}0\,\text{s}}$$= 3{,}770\,\text{m/s}$$a_\text{n}$$= \dfrac{(3{,}770\,\text{m/s})^2}{3{,}0\,\text{m}}$$= 4{,}737\,\text{m/s}^2$Vastaus
$4{,}7\,\text{m/s}^2$
Kohti karusellin keskipistettä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten kierrosajassa $5{,}0\,\text{s}$ ja säteessä $3{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
Kiihtyvyys on noin puolet putoamiskiihtyvyydestä, joten lapsen on pidettävä kunnolla kiinni. Lähempänä keskipistettä samalla kierrosajalla sekä ratanopeus että kiihtyvyys olisivat pienempiä.
- Tehtävä 4-8
Auto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, ajaa tasaisella nopeudella $12\,\text{m/s}$ nyppylän yli. Nyppylän huipulla tien kaaren säde on $30\,\text{m}$. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on tien tukivoima autoon huipulla? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$6{,}0\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 1200\,\text{kg}$, $v = 12\,\text{m/s}$, kaaren säde huipulla $r = 30\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
tien tukivoima $N$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Huipulla auto on hetken ympyräradalla. Radan keskipiste on tien alapuolella. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa alas kohti keskipistettä, ja sen suuruus on $m\tfrac{v^2}{r}$. Pystysuunnassa autoon vaikuttavat vain paino ja tukivoima. Paino on siis tukivoimaa suurempi.
Voimakuvio
Auto piirretään suorakulmioksi tien päälle. $y$-akseli osoittaa ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tien tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Se on painoa lyhyempi. Kiihtyvyys piirretään erikseen ohuena oranssina nuolena alas, kohti kaaren keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = -m\dfrac{v^2}{r}$, joten $N = m\left(g - \dfrac{v^2}{r}\right)$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä. Tulos muutetaan lopuksi kilonewtoneiksi, $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.
Sijoitus
$N$$= 1200\,\text{kg}\cdot\left(9{,}81\,\text{m/s}^2 - \dfrac{(12\,\text{m/s})^2}{30\,\text{m}}\right)$$= 1200\,\text{kg}\cdot 5{,}01\,\text{m/s}^2$$= 6012\,\text{N}$$= 6{,}012\,\text{kN}$Vastaus
$6{,}0\,\text{kN}$
Ylöspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $12\,\text{m/s}$ ja säteessä $30\,\text{m}$.
Järkevyys
Auton paino on $11{,}8\,\text{kN}$. Tukivoima on siitä vain noin puolet, joten matkustajat tuntevat itsensä kevyiksi. Tukivoima on silti positiivinen, koska $\tfrac{v^2}{r} = 4{,}8\,\text{m/s}^2$ on pienempi kuin $g$. Auto ei siis irtoa tiestä.
- Tehtävä 4-9
Moukarinheittäjä pyörittää moukaria ennen heittoa. Moukarin massa on $7{,}26\,\text{kg}$. Oletetaan, että moukari kiertää vaakasuoraa ympyrää, jonka säde on $1{,}8\,\text{m}$. Yksi kierros kestää $0{,}50\,\text{s}$.
Kuinka suuri kokonaisvoima moukariin vaikuttaa? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$2{,}1\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 7{,}26\,\text{kg}$, säde $r = 1{,}8\,\text{m}$, kierrosaika $T = 0{,}50\,\text{s}$, rata vaakasuora ympyrä
Kysytty
moukariin vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Mallissa moukari on tasaisessa ympyräliikkeessä. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa siis kohti ympyrän keskipistettä, ja sen suuruus on $m\tfrac{v^2}{r}$. Ratanopeus lasketaan kierrosajasta.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $\Sigma F = m\dfrac{v^2}{r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä. Tulos muutetaan lopuksi kilonewtoneiksi, $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2\pi\cdot 1{,}8\,\text{m}}{0{,}50\,\text{s}}$$= 22{,}62\,\text{m/s}$$\Sigma F$$= 7{,}26\,\text{kg}\cdot\dfrac{(22{,}62\,\text{m/s})^2}{1{,}8\,\text{m}}$$= 2064\,\text{N}$$= 2{,}064\,\text{kN}$Vastaus
$2{,}1\,\text{kN}$
Kohti keskipistettä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten säteessä $1{,}8\,\text{m}$ ja kierrosajassa $0{,}50\,\text{s}$.
Järkevyys
Voima on lähes $30$-kertainen moukarin painoon $71\,\text{N}$ verrattuna. Heittäjän on siis nojattava voimakkaasti taaksepäin. Voima on paljon painoa suurempi, joten vaijeri on lähes vaakasuorassa. Vaakasuoran ympyrän malli on siksi kohtuullinen.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 4-10
Vaakasuora jäinen tie kaartaa, ja kaarteen säde on $60\,\text{m}$. Renkaiden ja jään välinen lepokitkakerroin on $0{,}10$. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Millä suurimmalla nopeudella auto voi ajaa kaarteen läpi liukumatta? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vastaus
$28\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaarteen säde $r = 60\,\text{m}$, lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}10$, tie vaakasuora; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
suurin nopeus $v$ yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Kaarteessa ainoa vaakasuora voima autoon on tien lepokitka. Newtonin toisen lain mukaan sen on oltava $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Lepokitka on enintään $\mu_0 N$. Suurimmalla nopeudella kitka on suurimmillaan.
Voimakuvio
Auto piirretään takaa katsottuna suorakulmioksi. Kaarteen keskipiste on oikealla, $x$-akseli osoittaa kohti keskipistettä ja $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Se on yhtä pitkä kuin paino. Suurin lepokitka $\overline{F}_\mu$ alkaa alapinnan kulmasta ja osoittaa kohti keskipistettä. Se on kymmenesosa painon pituudesta. Kiihtyvyys piirretään erikseen kohti keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $\mu_0 N = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $\mu_0 mg = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $v = \sqrt{\mu_0 g r}$
Muunnokset
Tulos muutetaan lopuksi yksikköön $\text{km/h}$:
$1\,\text{m/s}$$= \dfrac{0{,}001\,\text{km}}{\tfrac{1}{3600}\,\text{h}}$$= 3{,}6\,\text{km/h}$Sijoitus
$v$$= \sqrt{0{,}10\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 60\,\text{m}}$$= \sqrt{58{,}86\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$= 7{,}672\,\text{m/s}$$= 7{,}672\cdot 3{,}6\,\text{km/h}$$= 27{,}62\,\text{km/h}$Vastaus
$28\,\text{km/h}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten säteessä $60\,\text{m}$ ja kertoimessa $0{,}10$.
Järkevyys
Jäällä kaarteeseen on ajettava hyvin hitaasti. Kuivalla asfaltilla ($\mu_0 \approx 0{,}8$) sama kaarre onnistuisi $\sqrt{8} \approx 2{,}8$ kertaa suuremmalla nopeudella, noin $78\,\text{km/h}$. Massa supistui, joten raskas auto ei pysy kaarteessa kevyttä paremmin.
- Tehtävä 4-11
Kiekon massa on $0{,}40\,\text{kg}$. Kiekko on sidottu narulla pöytään kiinnitettyyn tappiin ja liukuu sileällä pöydällä vaakasuoraa ympyrää, jonka säde on $0{,}80\,\text{m}$. Naru katkeaa, jos sen jännitysvoima ylittää $25\,\text{N}$. Kitka jätetään huomiotta.
Kuinka suuri voi kiekon pyörimistaajuus eli kierrosten määrä sekunnissa enintään olla?
Vastaus
$1{,}4\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 0{,}40\,\text{kg}$, $r = 0{,}80\,\text{m}$, narun suurin jännitysvoima $T_\text{max} = 25\,\text{N}$, pöytä sileä ja vaakasuora
Kysytty
suurin pyörimistaajuus $f$ yksikössä $\text{Hz}$
Periaate
Kiekko on tasaisessa ympyräliikkeessä. Pöydän tasossa siihen vaikuttaa vain narun jännitysvoima. Newtonin toisen lain mukaan se on siis $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti tappia. Mitä suurempi nopeus, sitä suurempi jännitysvoima. Suurin sallittu jännitysvoima antaa siis suurimman nopeuden. Pyörimistaajuus $f$ on kierrosten määrä sekunnissa. Kiekko kulkee sekunnissa matkan $f \cdot 2\pi r$, joten $v = 2\pi r f$.
Voimakuvio
Kiekko piirretään sivulta katsottuna suorakulmioksi pöydän päälle. Tappi on oikealla, $x$-akseli osoittaa kohti tappia ja $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Pöydän tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Se on yhtä pitkä kuin paino. Narun jännitysvoima $\overline{T}$ alkaa oikeasta sivusta ja osoittaa kohti tappia. Kiihtyvyys piirretään erikseen kohti tappia.
Kaava
$x$: $T = m\dfrac{v^2}{r}$, missä $T$ on narun jännitysvoima, joten $v = \sqrt{\dfrac{T r}{m}}$. Lisäksi $v = 2\pi r f$, joten $f = \dfrac{v}{2\pi r}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. $1\,\text{Hz} = 1\,\text{1/s}$.
Sijoitus
$v$$= \sqrt{\dfrac{25\,\text{N}\cdot 0{,}80\,\text{m}}{0{,}40\,\text{kg}}}$$= \sqrt{50\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$= 7{,}071\,\text{m/s}$$f$$= \dfrac{7{,}071\,\text{m/s}}{2\pi\cdot 0{,}80\,\text{m}}$$= 1{,}407\,\text{Hz}$Vastaus
$1{,}4\,\text{Hz}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten massassa, säteessä ja narun kestossa.
Järkevyys
Kiekko tekee vähän yli yhden kierroksen sekunnissa. Kierrosaika on noin $0{,}71\,\text{s}$, ja sen pystyy tekemään käsin pyörittämällä. Jännitysvoima kasvaa nopeuden neliön mukana. Pieni taajuuden lisäys katkaisisi siis narun nopeasti.
- Tehtävä 4-12
Tiesuunnittelija suunnittelee vaakasuoran kaarteen nopeudelle $80\,\text{km/h}$. Tien kitka saa antaa autoon sivuttaisvoiman, joka on enintään $0{,}25$ kertaa auton paino. Silloin pito riittää myös märällä tiellä. Ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta.
Kuinka suuri kaarteen säteen on vähintään oltava?
Vastaus
$200\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
mitoitusnopeus $v = 80\,\text{km/h}$, sivuttainen kitka enintään $0{,}25\,mg$, tie vaakasuora; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus ja vierimisvastus jätetään huomiotta
Kysytty
pienin kaarteen säde $r$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Kaarteessa ainoa vaakasuora voima autoon on tien kitka. Newtonin toisen lain mukaan sen on oltava $m\tfrac{v^2}{r}$ kohti keskipistettä. Mitä pienempi säde, sitä suurempi kitka tarvitaan. Pienin sallittu säde saadaan siis silloin, kun kitka on suurin sallittu.
Voimakuvio
Auto piirretään takaa katsottuna suorakulmioksi. Kaarteen keskipiste on oikealla, $x$-akseli osoittaa kohti keskipistettä ja $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Se on yhtä pitkä kuin paino. Kitka $\overline{F}_\mu$ alkaa alapinnan kulmasta ja osoittaa kohti keskipistettä. Se on neljäsosa painon pituudesta. Kiihtyvyys piirretään erikseen kohti keskipistettä.
Kaava
$y$: $N - mg = 0$ ja $x$: $F_\mu = m\dfrac{v^2}{r}$. Ehto $F_\mu \le 0{,}25\,mg$ antaa $m\dfrac{v^2}{r} \le 0{,}25\,mg$, joten $r \ge \dfrac{v^2}{0{,}25\,g}$
Muunnokset
$v$$= 80\,\text{km/h}$$= \dfrac{80\cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 22{,}22\,\text{m/s}$Sijoitus
$r$$= \dfrac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{0{,}25\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{493{,}8\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2{,}4525\,\text{m/s}^2}$$= 201{,}4\,\text{m}$Vastaus
$200\,\text{m}$
Eli $2{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{m}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $80\,\text{km/h}$ ja kertoimessa $0{,}25$.
Järkevyys
Maantien kaarteiden säteet ovat satoja metrejä, joten tulos on uskottava. Säde kasvaa nopeuden neliön mukana. Nopeudelle $120\,\text{km/h}$ tarvittaisiin $2{,}25$-kertainen säde, noin $450\,\text{m}$. Massa supistui, joten sama säde riittää kaikille autoille.
Valokuvat
- Apollo 8 prime crew inside centrifuge gondola (S68-53194). NASA. lähde, public domain